Continuidad y convergencia - Semillero de investigación Almagesto · 2008-07-29 · Continuidad y convergencia Diego Acosta Álvarez Universidad de Antioquia Licenciatura en Matemáticas

Espacios métricosEspacios topológicos

Continuidad y convergencia

Diego Acosta Álvarez

Universidad de AntioquiaLicenciatura en Matemáticas y Física

Abril 17 de 2008

Diego Acosta Álvarez Continuidad y convergencia


1 Espacios métricosAbiertos y cerradosConvergenciaContinuidad

2 Espacios topológicosContinuidadFiltrosConvergencia



Abiertos y cerradosConvergenciaContinuidad

Espacios métricos

Definición (Espacio Métrico). Sea M , ∅ un conjunto. Si existe unafunción d : M × M → R que satisface las siguientes propiedades:

1 d(x, y) ≥ 0 y d(x, y) = 0 si y solo si x = y (Positividad)2 d(x, y) = d(y, x) (Simetría)3 d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) (Desigualdad triangular)

Decimos que el par (M, d) es un espacio métrico.




Espacios métricos

Ejemplos1 En Rn podemos definir d : Rn ×Rn → R de las siguientes

formas:

d(x, y) =

n∑i=1

(xi − yi)2

1/2

d∞(x, y) = max1≤i≤n {|xi − yi|}

d1(x, y) =

n∑i=1

|xi − yi|

2 Sea M = B(X,R) = { f : X → R : f es acotada}. La métricad : M × M → R se define por:

d( f , g) = supx∈X{| f (x) − g(x)|}




Espacios métricos

Ejemplos1 En Rn podemos definir d : Rn ×Rn → R de las siguientes

formas:

d(x, y) =

n∑i=1

(xi − yi)2

1/2

d∞(x, y) = max1≤i≤n {|xi − yi|}

d1(x, y) =

n∑i=1

|xi − yi|

2 Sea M = B(X,R) = { f : X → R : f es acotada}. La métricad : M × M → R se define por:

d( f , g) = supx∈X{| f (x) − g(x)|}




Abiertos y cerrados

Definición (Bola abierta y bola cerrada). Sea r > 0. Los conjuntosB(a, r) = {x ∈ M : d(x, a) < r} y B[a, r] = {x ∈ M : d(x, a) ≤ r} sedenominan respectivamente bola abierta y bola cerrada de centro a yradio r.Definición (Conjuntos abiertos y cerrados). Sea X ⊆ M, con (M, d)un espacio métrico.

1 X es llamado abierto si y solo si ∀x ∈ X∃r > 0 : B(x, r) ⊂ X.2 X es cerrado si y solo si su complemento M − X es abierto.

Teorema (Caracterización de abiertos). Llamemos τ la colección delos conjuntos abiertos de (M, d). Es decir,τ = {A ⊆ M : A es abierto en M}. Entonces:

1 ∅,M ∈ τ2 Para una colección (Aλ)λ∈Λ ⊂ τ, se tiene que A =

⋃λ∈Λ Aλ ∈ τ.

3 Si A1, ..., Ak ∈ τ, entonces⋂k

i=1 Ai ∈ τ.




Abiertos y cerrados







i=1 Ai ∈ τ.




Abiertos y cerrados







i=1 Ai ∈ τ.




Convergencia

Definición (Sucesión). Sea (M, d) un espacio métrico. Una sucesiónes una función x : N→ M tal que x(n) = xn ∈ M.

Definición (Límite de una sucesión). El límite de una sucesión, es unelemento a ∈ M para el cual se satisfacen las siguientes condiciones:∀ε > 0,∃n0 ∈ N : ∀n > n0 se cumple d(xn, a) < ε. En este caso seescribe lımn→∞ xn = a

Proposición (Convergencia y abiertos). Un conjunto A ⊂ M esabierto si y solo si para toda sucesión convergente en M conlımn→∞ xn ∈ A, existe n0 ∈ N tal que ∀n ≥ n0, xn ⊂ A

Proposición (Convergencia y cerrados). Un conjunto A ⊂ M escerrado si y solo si toda sucesión (xn)n∈N ⊂ A convergente en M esconvergente en A.




Convergencia








Convergencia








Convergencia








Continuidad

Definición (Función continua). Sean (M, d) y (N, ρ) espaciosmétricos. Una función f : M → N se dice continua en el punto a ∈ Msi y solo si ∀ε > 0 ∃δ > 0 : ∀x ∈ M con d(x, a) < δ se tieneρ( f (x), f (a)) < ε. Una función es continua en A ⊂ M si lo es en cadapunto de A.

Proposición (Funciones continuas y conjuntos abiertos). Sean(M, d) y (N, ρ) espacios métricos y f : M → N una función. f escontinua si y solo si para cada A ⊂ N abierto en N se tienef −1(A) ⊂ M es abierto en M.

Proposición (Funciones continuas y sucesiones). Una funciónf : M → N es continua en a ∈ M si y solo si para toda sucesión(xn)n∈N, tal que xn → a en M, se sigue f (xn)→ f (a) en N.




Continuidad







Continuidad






ContinuidadFiltrosConvergencia

Topología

Definición (Topología). Sea X un conjunto. Una topología oestructura topológica en X es una familia τ de subconjuntos de X, esdecir, τ ∈P(X) = {A : A ⊂ X}, que satisface:

1 Cada unión arbitraria de elementos de τ es un elemento de τ.2 Cada intersección finita de elementos de τ es un elemento de τ.3 ∅,X ∈ τ.

El par (X, τ) donde X es un conjunto y τ una topología en X esllamado un espacio topológico. Los elementos de X son llamadospuntos y cada U ∈ τ abierto del espacio topológico (X, τ).

Una vecindad de x ∈ X es un conjunto V (x) ⊂ X tal queV (x) ⊃ U 3 x, para algún U ∈ τ.




Topología

Definición (Topología). Sea X un conjunto. Una topología oestructura topológica en X es una familia τ de subconjuntos de X, esdecir, τ ∈P(X) = {A : A ⊂ X}, que satisface:

1 Cada unión arbitraria de elementos de τ es un elemento de τ.2 Cada intersección finita de elementos de τ es un elemento de τ.3 ∅,X ∈ τ.

El par (X, τ) donde X es un conjunto y τ una topología en X esllamado un espacio topológico. Los elementos de X son llamadospuntos y cada U ∈ τ abierto del espacio topológico (X, τ).

Una vecindad de x ∈ X es un conjunto V (x) ⊂ X tal queV (x) ⊃ U 3 x, para algún U ∈ τ.




Continuidad

Definición (Función continua). Sean (X, τX) y (Y, τY) espaciostopológicos. Una función f : X→ Y es llamada continua, si laimagen inversa de cada abierto en Y es abierto en X.

Definición (Función secuencialmente continua). Una funciónf : X→ Y con X y Y espacios topológicos es llamadasecuencialmente continua en a ∈ X si satisface:

∀(xn)n∈N ⊂ X : xn → a, se tiene f (xn)→ f (a)

Teorema. Sea X un espacio topológico 1-contable y Y un espaciotopológico. f : X→ Y es continua en a ∈ X si y solo si f essecuencialmente continua en a ∈ X.




Continuidad








Continuidad








Filtros

Definición (Filtro). Dado un conjunto X, un filtro F para X es unacolección no vacía, de subconjuntos no vacíos de X tal que:

1 Si F1, F2 ∈ F entonces F1 ∩ F2 ∈ F .2 Si F ∈ F y G ⊃ F, entonces G ∈ F .

Ejemplo. Dado un espacio topológico (X, τ) y x ∈ X, el conjuntoV (x) de todas las vecindades de x es un filtro para X, llamado filtro devecindades de x.

Definición (Base de filtro). Dado un filtro F , decimos que B ⊆ Fes una base de filtro para F si y solo si, dado F ∈ F existe B ∈ B talque B ⊆ F.




Filtros








Filtros








Convergencia

Definición (Convergencia de filtros). Sea F un filtro en un espaciotopológico (X, τ). Decimos que F converge al punto x ∈ X, si y solosi, V (x) ⊂ F . Lo notamos escribiendo: F → x.

Definición (Filtro asociado a una sucesión). Sea (xn)n∈N unasucesión en el espacio X. Para cada n ∈ N sea Xn = {xm : m ≥ n} lacola n-ésima de la sucesión. Definimos un filtro F , el filtro asociadoa la sucesión como

F ={A ⊂ X : A ⊃ Xn para algún n ∈ N

}Teorema. Sea (xn)n∈N una sucesión en X. xn → x, si y solo si, el filtroasociado a la sucesión converge a x.




Convergencia








Convergencia









Proposición. Sea f : X→ Y una función. Dado un filtro F en X, lacolección

f (F ) = { f (F) : F ∈ F }

es una base para un filtro en Y, denotado como 〈 f (F )〉. Si f essobreyectiva, entonces f (F ) es un filtro.

Teorema. Sean (X, τX), (Y, τY) espacios topológicos. Una funciónf : X→ Y es continua en el punto x ∈ X, si y solo si, para cada filtroF de X tal que F → x, se tiene que el filtro 〈 f (F )〉 converge af (x) ∈ Y.





Proposición. Sea f : X→ Y una función. Dado un filtro F en X, lacolección

f (F ) = { f (F) : F ∈ F }

es una base para un filtro en Y, denotado como 〈 f (F )〉. Si f essobreyectiva, entonces f (F ) es un filtro.

Teorema. Sean (X, τX), (Y, τY) espacios topológicos. Una funciónf : X→ Y es continua en el punto x ∈ X, si y solo si, para cada filtroF de X tal que F → x, se tiene que el filtro 〈 f (F )〉 converge af (x) ∈ Y.




Bibliografía

Munkres, J.R. (2000)Topology. Prentice-Hall Inc.

Rubiano, Gustavo. (2005).Topología general. Bogotá: Universidad Nacional.

Lima, Élon. (1958)Topologia dos espaços métricos. Rio de Janeiro: IMPA.


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