Contribuciones al Modelado, Control y Análisis de Estabilidad de Sistemas Borrosos. Aplicaciones. Autor: Omar Sánchez Pérez. Director: Aníbal Ollero Baturone

Contribuciones al Modelado, Control Contribuciones al Modelado, Control y Análisis de Estabilidady Análisis de Estabilidad

de Sistemas Borrosos. Aplicaciones.de Sistemas Borrosos. Aplicaciones.

Autor: Omar Sánchez Pérez.Autor: Omar Sánchez Pérez.

Director: Aníbal Ollero Baturone.Director: Aníbal Ollero Baturone.

Tesis Doctoral

Esquema de la presentación.Esquema de la presentación.

Introducción

Modelos basados en sistemas borrosos.Modelos basados en sistemas borrosos.

Estructuras de control basadas en sistemas borrosos.Estructuras de control basadas en sistemas borrosos.

Análisis de estabilidad basado en índices.Análisis de estabilidad basado en índices.

Aplicaciones experimentales:Aplicaciones experimentales:

Planta para la depuración de aguas residuales.Planta para la depuración de aguas residuales.

Aplicaciones a robótica móvil:Aplicaciones a robótica móvil:

Seguimiento de trayectorias.Seguimiento de trayectorias.

Seguimiento de objetos móviles.Seguimiento de objetos móviles.

Conclusiones y desarrollos futuros.Conclusiones y desarrollos futuros.

Introducción(I)

y(k+1)u(k)

+

-

PlantaModelo InversoBorroso

Modelo

borroso de la planta

Modelo de referencia

r(k)

yd(k+1)

Control borroso por modelo inverso especializado.

)1(^

ky

ncku

kukykdykyncnc

)()(

)1(^

))1()1(^

(1

Adaptación de parámetros del controlador: Modelo directo de la planta

Ley de control: Modelo inverso.

Introducción(II)

Tipos de controladores Expresión analítica

•Modelo inverso especializado

•Modelo inverso

•Linealización por realimentación

•Adaptativo de sistemas no lineales

•Adaptativo directo

•Adaptativo directo usando técnicas del control predictivo

•Redes de Neuronas

•Error a la salida del controlador comoestimador de coeficientes de un PID

•Sistemas borrosos+Redes de Neuronas

•Sistemas borrosos

Introducción(III)

)(

)(

xu

buxfx

Análisis de estabilidad basado en Indices.

)x;()x(.

NTONCES E

es ., . . , 2 es 2 y 1 es 1 y

es y ., . . , y 1 es 1 SI

rif

rix

rmiBmur

iBuriBu

rniAnxr

iAx

Modelo borroso de la planta

ModeloBorroso

xu

Controlador borroso

nxlnjcxl

jclju

lnjCnxl

kjCixljCx

...11)x( ENTONCES

es y ., . . y, es y ., . . , y 1 es 1 SIControlador

Borroso

Los Indices de estabilidad son aplicables sin que el modelo de la planta esté disponible.


Introducción











Modelo

Mental Verbal Físico Matemático

Fase imprecisaFase imprecisa

Definición heurísticade un conjunto de reglas

borrosas.

Fase deterministaFase determinista

Función no lineal con parámetros adaptables

Estructura de un modelo borroso (I).Estructura de un modelo borroso (I).

Variables lingüísticas

Operador lingüístico

Base de reglas

Motor de inferencia

borrosa

BorrosificadorDesborro-sificador

Aplicaciónde variablelingüística

Escalar

Flujo de cálculos

Flujo de información

Escalar

Datos

Borrosificador: Consecuente escalar.

Motor de inferencia: Producto.

Desborrosificador: Centro-promedio.

Ml

n

i FFixFil

Ml

n

i FFixFillyxf

1 1)],,([

1 1)],,([

)(

Estructura de un modelo borroso (II).Estructura de un modelo borroso (II).

Capa deEntrada

Capa Oculta 1Fi 2

Fi MFi

11F

12F 1

3F

1Fn 2

1F

22F

23F

2Fn M

F1

MF 2

MF 3 M

Fn

1x 2x 3x nx

Regla 1

Regla 2

Regla M

1y 2y

My

Capa de Salida

l

lly

Red borrosa

a3

a2

ap

ap-1

ap-2

a1

x(t)

w1

w2

w3

.

.

.wp-2

wp-1

wp

Datos deentrada

Funcionesbase

Vectorde pesos

Red con Memoria Asociativa

¿Porqué modelo basado en sistemas borrosos?

Estructura de un modelo borroso (III).Estructura de un modelo borroso (III).

Semejanzas

Ambos son aproximadores universales.

Principio de funcionamiento semejante:

• Motor de inferencia hacia adelante.

• Utilizan el gradiente para minimizar el error entre la salida real y el modelo.

Ventajas de los sistemas borrosos

Sistemas Borrosos vs. Redes de Neuronas

La adaptación de parámetros “inteligente”.

Se pueden aplicar los Indices de estabilidad.

Admiten estrategias combinadas con técnicas de diseño de controladores lineales.

Aportaciones en esta tesis doctoralAportaciones en esta tesis doctoral

Los parámetros tienen un claro significado físico:

• Más eficiente selección de las condiciones iniciales.• Modelo resultante puede analizarse como conjunto de reglas borrosas.

.

Mayor robustez en la fase de identificación basado en el concepto de “integridad”.

Soporta definiciones flexibles en la estructura del modelo que facilitan el modelado por caja gris.

Aprendizaje supervisado(I).Aprendizaje supervisado(I).

Pasos para la obtención de un modelo basadoen el gradiente descendiente.

Establecer las condiciones iniciales.

Proyectar la red hacia adelante.

Adaptar los parámetros ajustables.

Si el error deseado no se ha alcanzado, repetir

a partir del paso ‚.

Aprendizaje supervisado(II).Aprendizaje supervisado(II).

Indices de Marsh:

Objetivos:

1.- En cada punto del UD debe estar definida una FP.

UD

FP

3.- La suma de los grados de pertenencia de las FP en la zona de solape debe ser menor que uno.

0.6+0.7=1.3

2.- Dos FP no pueden tener el grado de pertenencia en el mismo punto.

4.- El solape de dos FP no debe sobrepasar el máximo grado de pertenencia de alguna FP.

Aprendizaje supervisado(III).Aprendizaje supervisado(III).

)(_)1(_)1(_)(_RS(j)

jminsopjmaxsopjminsopjmaxsop

RfARnSRS

Razón de solape

Rango de solape (RnS) Rns

RfARango de definición de las

funciones adyacentes (RfA).

MaSAzSRbS

))1(_)(_(2

1

1)1()(

RbS(j)

jminsopjmaxsop

M

jxjFjF

Robustez del solape

Aprendizaje supervisado(IV).Aprendizaje supervisado(IV).

MaS

MaS=Máxima área en la zona de solape

AzSAzS=Área de la suma de las FP

en la zona de solape.

Aprendizaje supervisado(V).Aprendizaje supervisado(V).

La razón y robustes del solape para FP triangulares y gaussianas.

0

20

40

60

80

100

120

140

160

FP triangular 10 30 10 20

FP gaussiana 70 90 70 140

RnS RfA AzS MaS

0%10%20%

30%40%50%60%

70%80%90%

RS RbS

FP triangular FP gaussiana

Aprendizaje supervisado(VI).Aprendizaje supervisado(VI).

La razón de solape debe ser superior para las FP Gaussianas

Aprendizaje supervisado(VII).Aprendizaje supervisado(VII).

Condiciones iniciales para las FP de la parte precedente de reglas.

MminUmaxUl

i 2)__(

Definición de ancho de las FP:

Wang, 1994:

Deficiencias:

•No garantiza la integridad.

•El grado de activación máxima de la zona de solape depende del número de reglas.

Propuesta en esta tesis:

44.

RSRS

i

1 ; _ ; _1 li

limaxUM

iminUi

1)__(

MminUmaxU

solape. de RazónRScentros. entre Intervalo

Aprendizaje supervisado(VIII).Aprendizaje supervisado(VIII).

Aprendizaje supervisado(IX).Aprendizaje supervisado(IX).

nxlnaxlaxlalaeslyEntonceslnFesnxyylFesxSIlR . . . 22110 , ... 1 1 :)(

Condiciones iniciales para la parte consecuente de las reglas.

Reglas del tipo TSK.

nxnaxaxaa

nxlnaM

llwxla

M

llwxla

M

llwla

M

llw

M

llw

y

...22110

1...22111101

1

1

Salida a partir de coeficientes variables:

nxMnaxMaxMaMaMy

nxnaxaxaay

nxnaxaxaay

... 22110

.

.

2 ... 2221

21

20

2

1 ... 2121

11

10

1

Obtener los coeficientes comouna solución a un sistema de

ecuaciones lineales:

Aprendizaje supervisado(X).Aprendizaje supervisado(X).

Funciones de Pertenencia FPTG-I y FPTG-II.1.- Aumentan el soporte de las FP triangulares.2.- Mantener una expresión analítica para la zona de pertenencia cero.

o 2

; 2

2)(

exp

y 2

2

2

1

)(

limlFi

lil

iixlil

iixli

liixaF

limlFi

lil

iixlil

ili

liix

ixlFi

2 ;

2

2)(

exp

2

2

21

)(lil

iixlil

iixli

liixaF

lil

iixlil

ili

liix

ixlFi

Aprendizaje supervisado(XI).Aprendizaje supervisado(XI).

Ajuste en la adaptación basado en los Indices de Marsh.Razón de solape. Robustez del solape.

1221

1221)RS(

ji

ji

ji

ji

ji

ji

ji

jij,i

j=1..M-1 (número de reglas) i=1..n (variables de la parte precedente).

)1221(2

1

1))1()((

)RbS(

j

ij

ij

ij

i

M

jxjFijFi

j,i

nj

i

RSrRSRSnj

inj

i

)()(1

RSr = Razón de solape deseado.

nj

i

RbSrRbSRbSnj

inj

i

)()(1

RbSr = Robustez de solape deseado.

Ajuste del centro de una FP:

2))1(22)1((

14

)1(

j

ij

ij

ij

i

ji

ji

ji

RS

Ajuste del ancho de una FP:

2

1

1

1

1)1()(2

)1(3

21212

1)(

MaS

M

j

M

jjFjFMaS

ji

jiix

jiFx

ji

RbS

Algoritmo propuesto para la obtención de un modelo basadoen el gradiente descendiente.

Establecer las condiciones iniciales.

Proyectar la red hacia adelante.

Adaptar los parámetros ajustables.

Si el error deseado no se ha alcanzado, repetir

a partir del paso ‚.

Ajuste de los parámetros basado en los índices de Marsh.

Aprendizaje supervisado(XII).Aprendizaje supervisado(XII).

Aprendizaje supervisado(XIII).Aprendizaje supervisado(XIII).

Efecto de utilizar FP triangular o FPTG-2.

tNtutututyty 551.044.0352.0155.0

tatNtNtN 263.0153.1

Modelo de Box y Jenkins:

sistema. del RuidotN

.2CO de iónConcentracty

blanco. Ruidota

Metano.de Flujotu

Modelo borroso:

] ;4 ,1[ tytuty

1.- Consecuente TSK con término independiente.2.- Número de reglas M=15.

3.- Factor de aprendizaje (con momento)=0.001.

4.- Número de épocas= 13.

FP triangular: FPTG-2:

Aprendizaje supervisado(XIV).Aprendizaje supervisado(XIV).

Mejora de la adaptación basada en los Indices de Marsh.

4tu 1ty

324 2

12 xxy )2cos(2 )1sen(4 xxy

Aprendizaje supervisado(XV).Aprendizaje supervisado(XV).

FPTG-2

Efectos del aprendizaje sobre diferentes FP

.5-

)24exp(2 )13exp(3

xxy

2

)2cos(.

1

)1sen(x

xx

xy

Aprendizaje supervisado(XVI).Aprendizaje supervisado(XVI).

Efectos del aprendizaje sobre diferentes FP

-10-5

05

10 -10

-5

0

5

10-0.5

0

0.5

1

1.5

-10-5

05

10 -10

-5

0

5

10

-0.5

0

0.5

1

1.5FP Triangular FP Gaussiana

Aprendizaje supervisado(XVII).Aprendizaje supervisado(XVII).

Análisis en tres dimensiones de la función:2

)2cos(.

1

)1sen(x

xx

xy

-10-5

05

10 -10

-5

0

5

10

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

FPTG-2 -10-5

05

-10

-5

0

5-0.5

0

0.5

1

FPTG-2

)(1.0 )(101

)(2.0.tx

txtxx

Aprendizaje supervisado(XVIII).Aprendizaje supervisado(XVIII).

Serie temporal caótica de Mackey-Glass.

Aplicación de diferentes métodos de aprendizaje.

Aprendizaje no supervisado(I).Aprendizaje no supervisado(I).

Grupos próximos a un entorno.

Algoritmo de grupos próximosAlgoritmo de grupos próximos1.- Incorporar el primer conjunto de datos1.- Incorporar el primer conjunto de datoscomo un grupo.como un grupo.

2.- Determinar, de los grupos existentes,2.- Determinar, de los grupos existentes,el más próximo al nuevo grupo.el más próximo al nuevo grupo. Grupo próximo

Nuevo grupo

r’r

Grupos de datos identificados por reglas

3.- Si el nuevo grupo está fuera del 3.- Si el nuevo grupo está fuera del radio de proximidad, incorporarlo. radio de proximidad, incorporarlo.

r’

Grupo próximo

r

Nuevo grupo

Grupos de datos identificados por reglas

r ’

3’.- Si el nuevo grupo está dentro del 3’.- Si el nuevo grupo está dentro del rango, no incorporarlo.rango, no incorporarlo.

4.- Realizar inferencia borrosa.4.- Realizar inferencia borrosa.5.- Repetir paso 2 y consecuentes.5.- Repetir paso 2 y consecuentes.

Nota:Nota: La señal de salida no es utilizada como indicador de error (aprendizaje no supervisado).

Aprendizaje no supervisado(II).Aprendizaje no supervisado(II).

Expresión analítica delconjunto de reglas.

M

l

lxxlkB

M

l

lxxlkA

xkf

1)

2

2

0exp(

1)

2

2

0exp()(

2)1(2)2(1)()1)2()(1()2()1()()1(

kykykukykukykykyky

500>kpara )5/2(2.0)250/2(8.0)(500kpara )250/2()(

ksinksinkuksinku

0 200 400 600-1

-0.5

0

0.5

k

Sa

lid

a d

e la

pla

nta

y M

od

elo

Bo

rro

so

-- Salida de la planta.. Valor estimado

Crecimiento incontroladodel número de reglas.

Aprendizaje no supervisado(III).Aprendizaje no supervisado(III).

Expresión analítica delconjunto de reglas.

M

l

lxxlkB

M

l

lxxlkA

xkf

1)

2

2

0exp(

1)

2

2

0exp()(

1)1( tlkBl

kB

Existe un indicador de número de grupos quese identifican por unaregla:

Algoritmo de grupos próximos modificadoAlgoritmo de grupos próximos modificado1.- Incorporar el primer conjunto de datos1.- Incorporar el primer conjunto de datoscomo un grupo.como un grupo.

2.- Determinar, de los grupos existentes,2.- Determinar, de los grupos existentes,el más próximo al nuevo grupo.el más próximo al nuevo grupo.

4.- Realizar inferencia borrosa.4.- Realizar inferencia borrosa.

5.- Repetir paso 2 y consecuentes.5.- Repetir paso 2 y consecuentes.

3.- Si el nuevo grupo está fuera del 3.- Si el nuevo grupo está fuera del radio de proximidad, incorporarlo.radio de proximidad, incorporarlo.

3’.- Si el nuevo grupo está dentro del 3’.- Si el nuevo grupo está dentro del radio de proximidad, no incorporarlo.radio de proximidad, no incorporarlo.

3’’.- Controlar el crecimiento de las reglas.3’’.- Controlar el crecimiento de las reglas.

Aprendizaje no supervisado(IV).Aprendizaje no supervisado(IV).

Ejemplo del control de crecimiento del número de reglas.

)()1(),()1( kukykygky ))1(2)(21(

)5.2)()(1()()1(),(

kykykykykykykyg )250/2( ksinu

Modelo de la planta: Función desconocida: Estímulo:

Aprendizaje no supervisado(V).Aprendizaje no supervisado(V).

Empobrecimiento de la identificación: Validación del modelo (21 reglas):

Sistemas borrosos jerárquicosSistemas borrosos jerárquicos

yJ

y1J-1

yn’J-1

yn’2

y121

yn’1

y21

y11

SB 11x3

x4

x1

SB 21x6

x5 SB 12

x7

x8

SB n’2

xi

SB n1xn+N

xn

.

.

SB 1J

Nivel 1 Nivel 2 Nivel J

x2

SBMIMO I

SBMIMOII

SBMIMO S

x1

x2

xn

.

.

1.x

2.x

sx.

Sistemas borrosos MIMOSistemas borrosos MIMO


Introducción










Estructuras de Control (I).Estructuras de Control (I).

• Control por modelo inverso.

• Control por modelo inverso especializado.

• Control basado en la linealización por realimentación.

(Moscinski,Ogonowski; 1994)

• Control basado en el error a la salida del controlador.(Andersen, Lotfi, Tsoi; 1997)

• Control adaptativo de sistemas no lineales. (Sheen, Kumara; 1993)

• Control adaptativo directo.

• Control adaptativo directo basado en técnicas del

control predictivo.

(Noriega, Wang; 1998)

Estructuras de Control (II).Estructuras de Control (II).

Control basado en la linealización por realimentación.

u kG X

F X y km( )( )

( ) ( )^

^

11 y k F X G X u k( ) ( ) ( ) ( ) 1

z-1

z-1

+ -

F X G X^ ^

( ), ( )

u(k)ym(k+1)

Equivalenciacierta.

ControladorPlanta

y k F X G X u k^ ^ ^

( ) ( ) ( ) ( ) 1

Red Adaptativa

e(k+1)

u(k)+

-

Plantay(k+1)

G(X)

F(X)

u(k)

e(k+1)+

-

Plantay(k+1)

G(X)

F(X)

Estructuras de Control (III).Estructuras de Control (III).

Obtención de dos modelos borrosos.

Estructuras de Control (IV).Estructuras de Control (IV).

Linealización por realimentación usando sistemas borrosos.

Narendra, 1989: Mocinski, Ogonowski; 1994:

)(

)(

)(1

)()(

)(1

)(

)1(

)1(

2

1

22

21

22

1

2

1

ku

ku

ky

kyky

ky

ky

ky

ky )())(()1( 321 kupkypsinpky

2.13 22 8.01 ppp

Estructuras de Control (V).Estructuras de Control (V).

Extensión de la linealización por realimentación.

)(2)dx(2)(1)dx(2)dx(2)1(2

)(2)dx(1)(1)dx(1)dx(1)1(1kuhkugfky

kuhkugfky

)1(2),1(1),1(2),1(1),(2),(1dx :donde kukukykykyky

)dx(1^

)dx(2^

)dx(1^

)dx(2^

)dx(2^

)1(2)dx(1^

)dx(1^

)1(1)dx(2^

)(1hggh

fkdyhfkdyh

ku

)dx(1^

)dx(2^

)dx(1^

)dx(2^

)dx(1^

)1(1)dx(2^

)dx(2^

)1(2)dx(1^

)(2hggh

fkdygfkdyg

ku

Si se aplica el principio de equivalencia cierta:

)dx(^2)dx(2 ),dx(

^2)dx(2 ),dx(

^2)dx(2 );dx(

^1)dx(1 ),dx(

^1)dx(1 ),dx(

^1)dx(1 hhggffhhggff

Entonces se cumple: )1(2)1(2 );1(1)1(1 kdykykdyky


Introducción










Indices de estabilidad (I).Indices de estabilidad (I).

Fundamentos de los índices de estabilidad (Aracil, Ollero, García Cerezo, 1989).

Indicador de cuán lejos un sistema se encuentra de la situación en la que un autovalor cruza el eje imaginario ( I1 ).

Chequea la condición bajo la cual dos autovalores cruzan el eje imaginario ( I2 ).

Permite predecir la condición bajo la cual aparezca un nuevo punto de equilibrio ( I3 ).

j

j

Indices de estabilidad (II).Indices de estabilidad (II).

Los índices de estabilidad aplicados a sistemas multivariables (1994).

)det()1(1 JnI Indice I1:

1

)det(2 I

HI Indice I2:

nasnansans

JsIJP

1..11

)det(

. . . . . . . . . . . . 4 2 1

. . . 5 3 1

na

aa

aaa

H

))()((3 xfxbminI

Indice I3

El modelo de la planta debe estar disponible.

Aporte: El modelo de la planta no tiene que estar disponible.

Indices de estabilidad (III).Indices de estabilidad (III).

)x,()x(.

Entonces

es y ., . . y,1 es 1 y

es y ., . . , y 1 es 1 Si

rifix

rmiBmur

iBu

rniAnxr

iAx

Modelo borroso

)()x( es Entonc

es y ., . . , y 1 es 1 Si

xllju

lnjCnxl

jCx

Controlador borroso

u x

Sistemas borrosos del tipo TSK.

Los sistemas borrosos son aproximadores universales: Se puede obtener un modelo borroso de cualquier planta.

Indices de estabilidad (IV).Indices de estabilidad (IV).

Descripción del conjunto de reglas.

murmibjur

jiburibnxr

niaxriar

iaix

rmiBmur

jiBjuriBur

niAnxriAx

...... 11...110 es )x(.

NTONCES E

es . . . es .. y 1 es 1 y es y ., . . , y 1 es 1 SI

Modelo de la planta.

i=1..n sistemas borrosos r=1..M reglas para cada sistema j=1..m señales de control

Controlador borroso.

nxlnjckxl

kjcxljcju

lnjCnxl

kjCixljCx

...11)x( ENTONCES

es y ., . . y, es y ., . . , y 1 es 1 SI

j=1..m sistemas borrosos l=1..N reglas para cada sistema k=1..n variables de estado

Indices de estabilidad (V).Indices de estabilidad (V).

Expresión analítica.

kxn

k

m

j N

llCjw

N

llkjcl

Cjw

M

rrCLiw

M

rrjibr

CLiw

M

rrCLiw

M

rrkiar

CLiw

M

rrCLiw

M

rriar

CLiwix

1 11

1

1

1

1

1

1

1 0.

Término afín Coeficientes variables Señales de control

n

klkj

lkjkxl

jlCjw

1),,(

Grado de activación dereglas del controlador

Grado de activación dereglas del proceso

n

k

m

nkrki

rkinkur

irki

rkikxr

irCLiw

1 1),,(),,(

Indices de estabilidad (VI).Indices de estabilidad (VI).

El Jacobiano del sistema.

n

k kxm

jkjtcjntbkntantannx

n

k kxm

jkjtcjitbkitaitaiix

n

k kxm

jkjtcjtbktatax

1)

1(0

...

1)

1(0

...

1)

111(011

.1

Representación del sistemaen función de los coeficientes variables.

)(

)( . . . )( . . . 1

)(..

)( . . .

)( . . .

1

)(..

)(1 . . . )(1 . . .

1

)(1

exxnx

xnkx

xnx

xn

nxxi

kxxi

xxi

nxx

kxx

xx

J

nnkx

xi

)(

Indices de estabilidad (VII).Indices de estabilidad (VII).

kxn

k

m

jtjkqipt

jkqihtkqigt

qidm

jqjtcjitbqita

qxi

1 11

)x(

2

1

1 1 00

M

rrCLiw

M

r

M

s qx

sCLiwr

iarCLiws

CLiwria

qx

rCLiw

tqid 2

1

1 1

M

rrCLiw

M

r

M

s qx

sCLiwr

kiarCLiws

CLiwrkia

qx

rCLiw

tkqig

kjt

M

r

rCLi

M

r

M

s q

sCLir

jirCLi

sCLi

rji

q

rCLi

tjkqi c

w

x

wbwwb

x

w

h2

1

1 1

jitb

N

llCjw

N

l vlqj

vqj

lqjqxl

qjvqjqx

lkjcl

CjwN

vvCjw

tjkqip

2

1

1 )(2

22

12

Obtención de un término de la matriz Jacobiana.

Indices de estabilidad (VIII).Indices de estabilidad (VIII).

Indice I3.

e2min

xe1maxxe

1min

xe2min

xe2max

1

(x)xtbC(x)xtA

xe2

xe1min

(x)xtbC(x)xtA1

max(x)xtbC(x)xtA

1

e1min

e2min

xe1min

xe2min

xe2max

2

(x)xtbC(x)xtA

xe2

xe1maxxe

1min(x)xtbC(x)xtA

2

max(x)xtbC(x)xtA

2

e1min

min(x)xtbC(x)xtA

2

min(x)xtbC(x)xtA

1

2

2

2

13

min(x)xtbC(x)xtA

min(x)xtbC(x)xtAI

2

1

2.1

.

21)(

)(21

2.1

.

(x)xtbC(x)xtA

(x)xtbC(x)xtA

x

x

xxtCx

xbxxtA

x

x


Introducción










Planta para la depuración de aguas residuales(I).Planta para la depuración de aguas residuales(I).

Interacción microbial.

Substratos contaminantes:

• Substratos energéticos: Mezcla de celulosa, hemicelulosa y glucosa.

• Substratos xenobióticos: Mezcla de compuestos derivados de la lignina.

Agente biodegradante:

• Biomasa (se alimenta de los substratos contaminantes).

Alta Biodegradabilidad.

Menor Biodegradabilidad.

1.- Asegurar condiciones para el crecimiento de la biomasa.

Puede provocar alteraciones bacteriológicas indeseables en el ecosistema.

Soluciones:

Objetivo: Mantener el agua libre de contaminantes.

2.- Controlar el crecimiento de la biomasa y de substratos xenobióticos.

Planta para la depuración de aguas residuales(II).Planta para la depuración de aguas residuales(II).

ea(t)sa(t)D(t)

Controlde nivel

salida

u1(t) u 2(t)

Agua limpia Agua residual Mezcla

Salida

Control de nivel

u1(t) u2(t)

)()(2)()(1)()()(

)()()(

)()(.

tctutctutctssateeK

teemteeatssK

tssmtc

)(2))(()()(1)()()(

)(

/)(

.tutsmaxaststutc

teeatssKts

scYsmts

)(2))(()()(1)()()(

)(

/)(

.tutemaxaetetutc

tssateeKte

ecYemte

c(t)=Biomasa

s(t)=Substratos xenobióticos.

e(t)=Substratos energéticos.

Planta para la depuración de aguas residuales(III).Planta para la depuración de aguas residuales(III).

Puntos de equilibrio en lazo abierto.

)()(1.0)(1

)(2.0)(10)(5.1

)(1.0)(.

tctste

tetets

tstc

)()(10)(5.1

)(142.0)(.

tctets

tsts

)()(1.0)(1

)()(.

tctste

tete

Soluciones:

)(te )(tsc(t)=0(I)

(II) )(tc e(t)=0 s(t)=0

Reglas del proceso___________________________________

Planta para la depuración de aguas residuales(IV).Planta para la depuración de aguas residuales(IV).

Estrategia de control.0.

70.

6

0.2 0.3

c

A1,B1, K1

A2,B2, K2

A3,B3, K3

A4,B4, K4

s

A B

A

Bu1Bx1A1C

.x entonces A es c y Bes s Si

u2Bx2A2C.x entonces A es c y A es s Si

u3Bx3A3C.x entonces Bes c y Bes s Si

u4Bx4A4C.x entonces Bes c y A es s Si

Reglas del controlador___________________________________

Si s es B y c es A entonces u = P1r - K1xSi s es A y c es A entonces u = P2r - K2xSi s es B y c es B entonces u = P3r - K3xSi s es A y c es B entonces u = P4r - K4x

Planta para la depuración de aguas residuales(V).Planta para la depuración de aguas residuales(V).

Expresión analítica en lazo cerrado.

4

1 4

1

4

1

4

1 3)23121311(2)22121211(1)21121111(212212111111

31321211111

1.

ll r

rCwl

CLw

r xrklbrklbxrklbrklbxrklbrklb

errplberrplbrCw

xlaxlaxlalc

lCLw

x

4

1 4

1

4

1

4

1 )3)23221321(2)22221221(1)21221121(212222111121

32322212121

2.

ll r

rCwl

CLw


errplberrplbrCw

xlaxlaxlalc

lCLw

x

4

1 4

1

4

1

4

1 3)23321331(2)22321231(1)21321131(212232111131

33323213131

3.

ll r

rCwl

CLw


errplberrplbrCw

xlaxlaxlalc

lCLw

x

tiempo(horas)

u2

Planta para la depuración de aguas residuales(VI).Planta para la depuración de aguas residuales(VI).

tiempo(horas)

u1

tiempo(horas)

s(t)

tiempo(horas)

c(t)

Planta para la depuración de aguas residuales(VII).Planta para la depuración de aguas residuales(VII).

Análisis de estabilidad con funciones de pertenencia sigmoide.

AB AB

Expresión analítica válida para todo el universo de discurso.

4

1 4

1

4

1

4

1 ))()232131()()222121(

)()212111(2122211111

)(3)(2)(11

))(),(),((.

ll r

rCwl

CLw

r terklibrkl

ibtsrklibrkl

ib

tcrklibrkl

iberrpliberrpl

ibrCw

teliatsl

iatclial

ic

lCLw

tetstcifix

Indice I3: No se produce inestabilidad por la aparición de un nuevo punto de equilibrio.

Planta para la depuración de aguas residuales(VII).Planta para la depuración de aguas residuales(VII).

Aplicación de los índices de estabilidad.

)33,

22,11(3

)3,2,1(32

)3,2,1(31

)3,2,1(3

3

)3,2,1(22

)3,2,1(21

)3,2,1(2

3

)3,2,1(12

)3,2,1(11

)3,2,1(1

exxexxexxx

xxxfx

xxxfx

xxxf

xxxxf

xxxxf

xxxxf

xxxxf

xxxxf

xxxxf

J

)(3);(2);(1 textsxtcx

(ce ,se ,ee ) = (0.7, 0.2, 0) (ce ,se ,ee ) = (0.7, 0.3, 0) (ce ,se ,ee ) = (0.6, 0.2, 0) (ce ,se ,ee ) = (0.6, 0.3, 0)

I1 I20.57590.5637

0.4364

0.4237

2.63802.6831

2.4437

2.3989

Indices I1 e I2 positivos: Ningun autovalor cruza el eje imaginario

s(t)c(t)

No se hace cero y no cambia de signo

2

)2,1(2

1

)2,1(1x

xxf

x

xxf

Si

No existenciclos límites

Teorema de Poincaré-Bendixson

Planta para la depuración de aguas residuales(VIII).Planta para la depuración de aguas residuales(VIII).

Aparición de ciclos límites.

Sistema simplificado: e(t)=0.

4

1 4

1

4

1

4

12)22121211(1)21121111(

212212111111

21211111

)2,1(11.

ll r

rCwl

CLw

r xrklbrklbxrklbrklb

errplberrplbrCw

xlaxlalc

lCLw

xxfx

4

1 4

1

4

1

4

12)22221221(1)21221121(

212222111121

22212121

)2,1(12.

ll r

rCwl

CLw

r xrklbrklbxrklbrklb

errplberrplbrCw

xlaxlalc

lCLw

xxfx

Planta para la depuración de aguas residuales(IX).Planta para la depuración de aguas residuales(IX).

Control basado en la linealización por realimentación.

)dx(1^

)dx(2^

)dx(1^

)dx(2^

)dx(1^

)1()dx(2^

)dx(2^

)1()dx(1^

)dx(2

)dx(1^

)dx(2^

)dx(1^

)dx(2^

)dx(2^

)1()dx(1^

)dx(1^

)1()dx(2^

)dx(2)dx(2)1(

)dx(1^

)dx(2^

)dx(1^

)dx(2^

)dx(1^

)1()dx(2^

)dx(2^

)1()dx(1^

)dx(1

)dx(1^

)dx(2^

)dx(1^

)dx(2^

)dx(2^

)1()dx(1^

)dx(1^

)1()dx(2^

)dx(1)dx(1)1(

hggh

fkdcgfkdsg

h

hggh

fkdshfkdch

gfks

hggh

fkdcgfkdsg

h

hggh

fkdshfkdch

gfkc

u1

u2

Planta para la depuración de aguas residuales(X).Planta para la depuración de aguas residuales(X).


Introducción










Aplicación a robótica móvil (I).Aplicación a robótica móvil (I).

Punto Objetivo

x X

Y

Punto Objetivo

X

Y

vgdtgdx

)sen(

vwdt

gd

))()((1

tutdtd

))()((1 tvutvvdt

dv

Modelo de un vehiculo autónomo.

x= Posición.= Orientación.

= Curvatura.

v= Velocidad.

Aplicación a robótica móvil (II).Aplicación a robótica móvil (II).

Modelo borroso de un vehiculo autónomo.

vulxfulxevl

xdlxcxl

xblxa

lx

lvUvulUulVvlSlXxlRl

xR

es .

Entonces es y es y es y es y es y es Si :

vulfulevldlcxlblal

lvUvulUulVvlSlXxlRlR

es .


vulfulevldlcxlblal

lvUvulUulVvlSlXxlRlR

es .


vulvfulvevl

vdlvcxl

vblva

lv

lvUvulUulVvlSlXxlRl

vR

es .


) , , , , ,(.

vuuvxf

) , , , , ,(.

vuuvxxfx

) , , , , ,(.

vuuvxf

) , , , , ,(.

vuuvxvfv

Aplicación a robótica móvil (III).Aplicación a robótica móvil (III).

Modelo borroso del ROMEO-3R.

Intervalo de las variables pertenecientes al modelo cinemático y dinámico:

•Curvatura en la dirección del vehículo :m•Velocidad :m/s•Orientación:•Posición :m

Características del identificador borroso:

•Tipo de función de pertenencia: FPTG-II.

•Método de adaptación: Gradiente descendente, con momento y ajuste basado en los índices de Marsh.

• úmero de épocas: 100.• Razón de solape y robustez del solape: 0.6.• Número de reglas: 21.• Factor de incremento-decremento del factor de aprendizaje: 1.06 y 0.4.• Tolerancia para el cambio en el factor de aprendizaje: 5 %.

Aplicación a robótica móvil (IV).Aplicación a robótica móvil (IV).

curvatura orientación

• Linealización por realimentación.

Aplicación a robótica móvil (V).Aplicación a robótica móvil (V).

Control de un vehículo autónomo.

• Seguimiento de caminos basado en selector de punto destino borroso.

• Seguimiento de un objeto móvil (estimador de posición borroso).

Implementación teórica:

Implementación práctica:

Aplicación a robótica móvil (VI).Aplicación a robótica móvil (VI).

Selector de punto destino borroso.

Conocimiento heurísticoIdentificador del destino óptimo utilizado por un conductor para seguir determinada trayectoria

))(),(( kvk

)6(),6( x

)5(),5( x

)3(),3( x

)2(),2( x

)1(),1( x

)4(),4( x

)4(; )3( ),2( ),1( ),3( ),2( ),1( , , )( xxxxv(k)k )4(; )3( ),2( ),1( ),3( ),2( ),1( , , )( xxxv(k)k

)6(; )5( ),4( ),3( ),5( ),4( ),3( , , )( xxxxv(k)k )6(; )5( ),4( ),3( ),5( ),4( ),3( , , )( xxxv(k)k

Seguimiento de caminos basado en selector de punto destino borroso.

Aplicación a robótica móvil (VII).Aplicación a robótica móvil (VII).

Planificadorde

trayectoria

Generador depunto destino

Dinámicadel

vehículo

G

Estimador del punto destino

Estimador delpunto destino

Controladorborroso

Vehículoautónomo

u

G

z-1

Estructura del controlador

Aplicación a robótica móvil (VIII).Aplicación a robótica móvil (VIII).

Resultados experimentales.

metros

me

tro

s

Estimación de trayectoria Seguimiento de un camino.

Aplicación a robótica móvil (IX).Aplicación a robótica móvil (IX).

I nd

i ce

I 3

x

0,0,0,0

)x()x()x()x(

)x()x()x()x(

)x()x()x()x(

)x()x()x()x(

)x(

vxvvv

xvv

vx

vxx

xxx

vx

J

s4 + 4.7491s3 + 8.3663s2 + 6.8638s + 2.6139

Polinomio característico

Indices I1 e I2

I1 = 2.6920I2 = 166.6497

Análisis de estabilidad basado en índices.

Aplicación a robótica móvil (X).Aplicación a robótica móvil (X).

Estimador borroso de posición de un objeto móvil. Problemática:

(a) Pérdida de la coordenada del objeto en movimiento.

(b) Retardo en la información de coordenada por tiempo de procesamiento.

)1(^

kxy(k-d)

x(k-d)

Procesadorde imagen

Predictor Borroso de

Coordenadas

Dinámica del vehículo

)1(^

ky

)x(kn)dy(k ... d)y(kn)dx(k ... d)x(kv(k)k 1 ; ,, , ,, ,),(

)y(kn)dx(k ... d)x(kn)dy(k ... d)y(kv(k)k 1 ; ,, , ,, ,),(

Conjunto de reglas.

Aplicación a robótica móvil (XI).Aplicación a robótica móvil (XI).

)(..)()(..)(

)( es )1( Entonces es )( y ,..., es )(

y es )( y ,..., es )( y es y es )( Si :

dkylxdk

dndkylxndk

ddkxlxdk

cndkxlxndk

cv(k)lxb

klxakxlxdk

Ydkylxndk

Yndky

lxdk

Xdkxlxndk

XndkxlxVv(k)lxRklxR

Procesador de imagen. Estimador borroso de coordenadas.

Estimador decoordenadas

Controladorborroso

Vehículoautónomo

u

G

z-1

Estructura del controlador para el seguimiento de un objeto móvil.

Aplicación a robótica móvil (XII).Aplicación a robótica móvil (XII).

Aplicación a robótica móvil (XIII).Aplicación a robótica móvil (XIII).

Resultados experimentales en el seguimiento de un hombre.

Conclusiones.Conclusiones.

Selección de datos significativos.... ..... ..... .... ........ ..... ..... .... ........ ..... .....

Selección de datos significativos.... ..... ..... .... ........ ..... ..... .... ........ ..... .....

Diseño del sistema borroso

Conocimiento del experto.

Análisis de estabilidadbasado en Indices

• Estimador de punto destino.• Estimador de coordenadas.• Estructura borrosa jerárquica: - Seguimiento de caminos. - Seguimiento de objetos móviles.

• Dos nuevas funciones de pertenencia.• Adaptación basada en Indices de Marsh.• Inicialización de parte precedente y consecuente de reglas.• Estimador de número de reglas en algoritmo por grupos próximos.• Extensión en la aplicación de la linealización por realimentación.

Extensión a sistemas borrososMIMO sin necesidad del modelo.

Desarrollos futuros.Desarrollos futuros.

• Interpretación física de los parámetros que determinan la convergencia en los algoritmos Quickprop y RPROP.

• Extender la aplicación de la linealización por realimentación a sistemas con tres o mas señales de control.

• Extender la aplicación de los indices de estabilidad a diferentes estructuras de controladores.

• Implementar un supervisor de estabilidad.

• Realizar el modelo borroso del ROMEO-3R con consecuentes no lineales.

Documents

Contribuciones al Modelado, Control y Análisis de Estabilidad de Sistemas Borrosos. Aplicaciones. Autor: Omar Sánchez Pérez. Director: Aníbal Ollero Baturone