CONTRÔLES - Cours de topographie

BTS Métiers du Géomètre-Topographe et de la Modélisation Numérique

Lycée Livet – Philippe Lhuillier - Nantes

CONTRÔLES

Précision des mesuresThéorie des erreurs

Tolérances

LYCEEEUGENELIVET

NANTES

J’habite à Peupré - A peu près où ? - Ben, a Peupré…. Tres précisément à Peupré”

Longitude : 06° 34’ 40.2” E Latitude : 47° 13’ 47.4” N

BTS Métiers du Géomètre-Topographe et de la Modélisation Numérique - Lycée Livet

TRAITEMENTS NUMÉRIQUES – Les contrôles

Page 0 / 20

1. Le contrôle des instruments.

Les protocoles de

contrôles.

Les protocoles développés par les constructeurs. 3

Les méthodes d’étalonnage et de calibration. 2

Les modes opératoires de mise en évidence et de correction des erreurs

instrumentales. 3

2. Le contrôle des mesures, des données.

Les types de contrôles.

Les contrôles durant les mesures.

4 Les contrôles directs et indirects.

Les contrôles absolus et relatifs.

Les fautes. La recherche et l’élimination.

3 Les contrôles des données

sauvegardées. Les types de supports et les méthodes de sauvegarde.

3. La conformité des mesures.

La précision. La définition.

Le principe et le calcul d’écarts types.

3

L’exactitude.

La définition.

Le principe et le calcul d’erreurs systématiques.

Les tolérances techniques.

Calcul de tolérances prenant en compte les conditions réelles

d’observation : angulaire, planimétrie et altimétrie.

La composition d’erreurs

accidentelles.

L’utilisation de la loi de composition des erreurs accidentelles dans des

cas simples.

Les tolérances

réglementaires ou

conventionnelles.

Les principaux textes et contraintes réglementaires.

La notion d’échantillonnage : le type et la quantité des objets.

Les calculs d’écarts.

La définition de seuils.

Le respect de classes de précisions.

4. La conformité des documents professionnels.

Les obligations contractuelles.

Les représentations conventionnelles.

Les classes de précisions.

3

LES SAVOIRS ASSOCIÉES AUX COMPÉTENCES :

2.2.9 CONTRÔLES



Page 1 / 20

Le cahier des charges d’une étude topographique ou foncière précise toujours la qualité des résultats à obtenir.

Il faut donc que vous sachiez l'estimer.

Même si vous vous aidez de logiciels spécialisés, vous devez être capable d'interpréter un résultat et surtout d’en

évaluer la précision.

De plus, il ne faut pas oublier qu'en tant que "technicien", supérieur ou pas, vous aurez la responsabilité de dossiers.

Vous aurez donc à faire le choix des appareils et des méthodes qui concourent, ensemble, à atteindre un degré de

qualité imposé.

C'est le chapitre qui vous permettra donc de vous justifier.

N'oubliez pas non plus que beaucoup d'entreprises font appel aux cabinets de Géomètres Experts pour des problèmes

de responsabilités.

Attention, l'auteur, ne prend, en aucune manière, la responsabilité du déclenchement de toutes migraines

occasionnées par la lecture de ce cours!



Page 2 / 20

SOMMAIRE

1 Erreurs systématiques, erreurs accidentelles, fautes page 2

1.1 Qualité des observations page 3

1.2 Indices de dispersion page 4

1.3 Caractérisation de la mesure et de son erreur page 5

2 Erreurs accidentelles dans les mesures directes page 5

2.1 Détermination des indices de dispersion page 6

2.2 Courbe de fréquence des erreurs accidentelles page 7

2.3 Rappel de mathématique page 7

3 Loi de composition de l’écart type page 8

3.1 Différentielle accidentelle page 8

3.2 Ecart type d’une somme algébrique page 8

3.3 Ecart type d’une moyenne arithmétique page 9

3.4 Ecart type d’une série de mesures doubles page 10

3.5 Ecart type d’une moyenne pondérée page 10

4 Evaluation de l’erreur systématique globale d’une mesure page 12

4.1 Evaluation sommaire page 12

4.2 Conséquence pour la courbe de fréquence page 12

5 Tableau des erreurs courantes d’opérations topographiques page 13

6 Formules intermédiaires de contrôle page 13

6.1 Point de canevas page 13

6.2 Tour d’horizon en relèvement page 14

6.3 Cheminement polygonal page 14

6.4 Cheminement altimétrique page 15

6.5 Point rayonné au tachéomètre page 16

6.6 Point rayonné au GPS page 16

6.7 G0 ou V0 moyen page 16

7 Précision des travaux topographiques page 17

7.1 Généralités page 17

7.2 Ecart en position page 17

7.3 Point de contrôle page 18

7.4 Spécification de la précision des levés page 18

7.5 Catégorie de travaux topographiques page 19



Page 3 / 20

Les mesures effectuées en topographie sont diverses : mesure de longueurs, de dénivelées, d’angles …

Les instruments utilisés ( niveau, théodolite, tachéomètre, ruban …) ont des caractéristiques bien définies

entraînant une approximation dans le résultat de la mesure.

Les mesures topographiques, comme toutes les mesures physiques, sont inévitablement inexactes.

Ces inexactitudes proviennent des instruments de mesure, des sens de l'observateur et parfois des méthodes

de mesure.

La valeur réelle d’une mesure n’est en général pas connue.

La mesure est définie avec une approximation limitée.

Incertitude de mesure

Soit une variable x dont la valeur réelle (mais pas forcément connue) est xR

On procède à n mesures, ou évaluations, de x appelées xi (1 ≤ i ≤ n )

Ces mesures sont généralement différentes de xR

Cette différence (x - xR ) est la variable erreur.

Exemples :

. la longueur d’un bâtiment ne pourra guère être mesurée qu’au centimètre près.

. l’angle entre deux directions d’un tour d’horizon sera déterminé au mieux à quelques

dmgon près.

. la mesure de l’angle que font entre elles deux droites tracées sur le papier ne pourra être

mesurée avec un rapporteur qu’au décigon près.

Le choix de l’instrument est important : Il faut choisir l'instrument le plus approprié, donnant une précision

suffisante, mais non superflue.

1 Erreurs systématiques, erreurs accidentelles, fautes ..

Les mesures sont généralement différentes de xR ; cette différence est la variable erreur dont on distingue

deux composantes : l’erreur systématique et l’erreur accidentelle.

Erreurs systématiques

En présence d’une erreur systématique, les mesurages donnent des valeurs qui s’écartent systématiquement

de la valeur vraie.

Une erreur systématique est donc une erreur qui, lors de plusieurs mesurages effectués dans les mêmes

conditions, reste constante ou qui varie de manière mathématique si les conditions changent.

L’erreur systématique n’est pas une variable aléatoire.

Exemples :

. les défauts d’excentricité des axes sur un appareil.

. la collimation horizontale

. la collimation verticale

. la réfraction atmosphérique( latérale ou verticale)

. la parallaxe dans la lecture d’une mesure.



Page 3 / 20

La réfraction latérale d’un rayon lumineux en présence d’une surface exposée au soleil, la parallaxe

dans la lecture d’une mesure… sont impossibles à évaluer.

D’une façon générale, on peut considérer que l’erreur systématique n’est finalement jamais évaluée car elle

est : . soit inconnue

. soit connue et alors corrigée, auquel cas on l’annule.

Erreurs accidentelles

Lorsque l’on répète plusieurs fois le mesurage d’une grandeur physique, on obtient généralement différentes

valeurs plus ou moins dispersées (et qui sont souvent distribuées suivant une loi normale, voir plus loin) : à

partir de ces résultats des mesures, on va pouvoir estimer la qualité du mesurage.

Une erreur accidentelle est une erreur qui varie de façon imprévisible en valeur absolue et en signe lorsque

l'on effectue un grand nombre de mesurages de la même valeur d'une grandeur dans des conditions

pratiquement identiques.

L’erreur accidentelle est une variable aléatoire.

Exemples :

. calage de l’axe principal d’un théodolite

. centrage sur le point stationné

. pointé

Fautes

La faute est une inexactitude dont l'ordre de grandeur est important par rapport à la précision recherchée dans

la mesure.

C'est une erreur grossière qui résulte d'une exécution incorrecte du mesurage.

Exemples :

. faute de lecture sur une mire

. faute de transcription d’une mesure

….

Les fautes proviennent d'une étourderie, d'une maladresse ou d'un oubli. Il est donc indispensable de les

éliminer. Pour cela on utilise :

. le contrôle direct qui consiste à recommencer la mesure par le même procédé.

. le contrôle indirect permettant la mesure ou fournissant le résultat d'un calcul par une

technique différente.

1.1 Qualité des observations ..

L’erreur accidentelle permet d’introduire les notions de :

. répétitivité (fidélité) qui est définie comme l’étroitesse de l’accord entre les résultats de mesurages

successifs d’une même grandeur, effectués avec la même méthode, par le même opérateur, avec les

mêmes instruments de mesure.

. reproductibilité (justesse) qui est définie comme l’étroitesse de l’accord entre les résultats de

mesurages successifs d’une même grandeur, dans le cas où les mesurages individuels sont

effectués : suivant différentes méthodes, au moyen de différents instruments de mesure, par

différents opérateurs.



Page 4 / 20

Ces deux types d’erreurs peuvent être illustrés par le tir à la cible :

On peut dire qu’un appareil ˝précis˝ est juste et fidèle.

1.2 Indices de dispersion ..

La fidélité d’un instrument de mesure est la qualité qui caractérise son aptitude à donner, pour une même

valeur de la grandeur mesurée, des indications concordantes entre elles.

La dispersion des indications est le phénomène présenté par un instrument qui donne dans une série de

mesurages d’une même valeur de la grandeur mesurée, effectués dans des conditions bien déterminées, des

indications différentes.

Cette dispersion est exprimée quantitativement par l’étendue de la dispersion ou par un indice de dispersion

encore appelé erreur de fidélité.

Les différents indices de dispersion :

. erreur moyenne probable ep

. erreur moyenne arithmétique ea

. erreur moyenne quadratique eq appelé également écart type σ

En topographie, l’indice de dispersion utilisé pour donner la précision d’un instrument est l’écart type.

L’écart type est reconnu comme étant l’unité de base des calculs d’erreurs.



Page 5 / 20

1.3 Caractérisation de la mesure et de son erreur ..

On peut caractériser la mesure par :

. une moyenne estimée de la mesure

. un écart type

La moyenne estimée de la mesure est la moyenne arithmétique des n mesurages

x1, x2, … xi … xn faits pour caractériser une grandeur.

x = xi

n

Si l’erreur systématique est nulle (ce que l’on suppose pour la suite),

alors x xR quand n h

(xR = valeur réelle, à priori inconnue).

L’écart type est défini comme étant la racine carrée de la moyenne du carré de l’écart entre la mesure et

la valeur réelle xR .

σ = 1

n (xi - xR)²

xR est généralement inconnu, on en a juste une estimation par la moyenne x .

On peut alors calculer une estimation de l’écart type noté s .

s = 1

n-1 (xi - x)²

cette expression peut s’écrire aussi s = 1

n-1 [ xi² -

1

n ( xi )²]

Remarque : le passage de n à n-1. On dit que l’on a n-1 degrés de liberté.

2 Erreurs accidentelles dans les mesures directes ..

L’erreur accidentelle (erreur aléatoire) est la différence entre le résultat du mesurage et la valeur de

comparaison. Suivant la valeur de comparaison, on distingue l’erreur vraie et l’erreur apparente.

L’erreur vraie (e) est la différence entre le résultat du mesurage (x i) et la valeur vraie (xR) .

ei = xi - xR ei z 0 (les erreurs vraies étant de signe aléatoire)

La valeur vraie d’une grandeur caractérise une grandeur parfaitement connue.

Exemples :

. la somme des dénivelées dans un cheminement fermé.

. la sommes des angles d’un polygone fermé

. la mesure d’un angle droit

L’erreur apparente (v) est la différence entre le résultat du mesurage (x i) et la moyenne arithmétique des

mesures.

vi = xi - x vi = 0 (la somme des erreurs apparentes est toujours nulle)

Dans la réalité, on connaît très rarement la valeur vraie de la mesure. On prend comme valeur la plus

probable la moyenne des mesures.

La différence est appelée écart pour les mesures directes et résidu pour les mesures indirectes.



Page 6 / 20

Les écarts e et v sont des écarts absolus.

Le quotient de l’écart par la mesure donne l’erreur relative, résultat exprimé sous forme de pourcentage ou

de fraction.

Statistiques

Si le nombre de mesures n tend vers l’infini, on peut affirmer que :

. les petites erreurs sont les plus nombreuses

. il y a sensiblement autant d’erreurs positives que d’erreurs négatives

. la somme algébrique des erreurs tend vers 0

Dans la plupart des cas, les erreurs accidentelles ont une distribution normale

(ou gaussienne).

f(x) = 1

σ 2π e –

1

2

x-m

σ

2

2.1 Détermination des indices de dispersion ..

Les indices de dispersion utilisés en topographie sont donc: l’erreur moyenne probable (écart équiprobable)

ep , l’erreur moyenne arithmétique (écart moyen arithmétique) ea et l’erreur moyenne quadratique (écart

type) eq .

L’écart équiprobable ep est celui qui a la probabilité 1

2 de n’être pas dépassé en valeur absolue.

L’écart équiprobable est donc l’écart du milieu dans la suite des valeurs absolues des erreurs classées

dans l’ordre croissant ou décroissant.

En dépit de son nom, l’écart équiprobable n’est pas l’écart qui a la plus grande probabilité de se produire : on

a simplement une chance sur deux de ne pas l’atteindre ou de le dépasser.

L’écart moyen arithmétique ea est la moyenne arithmétique des valeurs absolues des écarts.

L’écart moyen arithmétique est peu utilisé en topographie.

ea = | ei |

n

L’écart type eq (σ ) est la racine carrée de la moyenne du carré de l’écart entre la mesure et la valeur réelle

xR .

σ = ei²

n ou σ =

vi²

n - 1

Ces indices de dispersion sont des unités de mesure des erreurs accidentelles.

On démontre en probabilité qu’ils sont liés par la relation : 4eq z 5ea z 6ep..



Page 7 / 20

2.2 Courbe de fréquence des erreurs accidentelles (courbe de Gauss) ..

Lorsqu’une même mesure est répétée un très grand nombre de fois sans erreur systématique, on constate

qu’il y a sensiblement autant d’erreurs positives que d’erreurs négatives et que les plus petites en valeur

absolue sont les plus nombreuses.

On peut tracer un diagramme en portant en abscisses les valeurs des erreurs et en ordonnées leur nombre.

En pratique, l’unité de mesure utilisée pour le tracé est l’erreur probable (écart équiprobable) ep .

On trace des rectangles ayant comme base la valeur d’une erreur probable et comme hauteur le nombre

d’erreurs comprises entre les bornes de la base.

Si on trace la courbe en laissant des aires égales à l’intérieur et à l’extérieur de chaque rectangle, on obtient

la courbe de fréquence des erreurs accidentelles ou courbe de Gauss.

Courbe de fréquence des erreurs accidentelles

La répartition des erreurs est donnée par la figure ci-dessus.

Le point d’inflexion de la courbe situe la limite de l’écart type : les deux tiers des écarts observés sont

inférieurs ou égaux à cet écart type.

La probabilité pour qu’une erreur dépasse 4ep est de 1%.

Ce qui signifie que sur 100 mesures une seule à une ″chance″ de dépasser 4ep.

Tolérance = 4 erreur probable = 8/3 Ecart type

2.3 Rappel de mathématique ..

Ces courbes ayant toujours la même allure (forme de cloche) quel que soit le phénomène étudié sont

superposables par un simple changement d’échelle des abscisses ou des ordonnées.

Par conséquent toutes ces courbes ont la même équation, établie en calcul des probabilités.

f(x) = k .e – h² x² h = 1

σ 2 et k =

h

π

Formule dans laquelle e est la base des logarithmes népériens et h un module de précision lié à l’écart type.

X0.4%

16.1%

3ep

1.8%

2epep

6.7%

4ep

Y

25%

16.1%

0-2ep -ep-3ep

1.8%0.4%

-4ep

6.7%

25%



Page 8 / 20

3 Loi de composition de l’écart type ..

Théorème des erreurs

Les erreurs sont des discordances suffisamment petites pour être considérées comme des infiniment

petits du premier ordre, et négliger leurs carrés et leurs produits :

Soit x = f (a,b,c …) expression dans laquelle l’inconnue x est fonction des mesures directes a, b, c …

La formule de Taylor permet d’écrire :

x + dx = f (a,b,c …) + da .f′a

1! +

da².f″a

2 ! + … +

db .f′b

1! +

db².f″b

2! + …

en négligeant les carrés, on obtient :

dx = da .f′a + db .f′b + dc .f′c + …

L'erreur sur une fonction de plusieurs variables est la différentielle totale de la fonction.

L'influence d'une erreur sur le résultat est indépendante de celle de toutes les autres.

Attention : cette loi ne concerne que les erreurs systématiques dont on connaît le signe.

Une loi différente s'applique aux erreurs accidentelles.

En pratique cette formule sert généralement pour calculer l’erreur systématique dx sur x si da, db,

dc…représentent les erreurs systématiques sur a, b, c …

3.1 Différentielle accidentelle ..

Lorsque toutes les erreurs systématiques ont été éliminées, les incertitudes de mesurage sur a, b, c…

sont accidentelles et après étude de l’instrument utilisé, on connaît leurs écarts types σa , σb ,σc…

Considérons une série de mesures xi et la somme de leur erreurs dxi :

dxi = f′a .dai + f′b .dbi + f′c .dci + …

(dxi)² = (f′a .dai )² + (f′b .dbi )² + (f′c .dci )² + …+ 2 f′a f′b dai dbi + …

Comme il s’agit d’erreurs accidentelles, la somme des doubles produits tend vers 0.

(dxi)² = (f′a .dai )² + (f′b .dbi )² + (f′c .dci )² + …

(dxi)² = f′a² . (dai)² + f′b² . (dbi)² + f′c² . (dci)² + …

En rappelant que σx = dxi²

n donc (dxi)² = n .σx

²

n .σx² = f′a² . n .σa

² + f′b² . n .σb² + f′c² . n .σc

² + …

σx² = f′a

² .σa² + f′b

² .σb² + f′c

² .σc² + …

3.2 Ecart type d’une somme algébrique ..

Soit la fonction x = a + b + c + … expression dans laquelle l’inconnue x est fonction des mesures directes

a, b, c …

On a f′a = f′b = f′c = 1

La loi de composition des écarts types (σx² = f′a² .σa

² + f′b² .σb² + f′c² .σc

² +…) donne :

σx² = σa

² + σb² + σc

² +…



Page 9 / 20

Si les différents termes de la fonction sont de précisions différentes (σa ≠ σb

≠ σc ≠…)

σx² = σa

² + σb² + σc

² +… σx = σa

² + σb² + σc

² +…

Si les différents termes de la fonction sont de même précision (σa = σb

= σc =…= σ )

σx² = σ² + σ² + σ² +… = n . σ² σx

= σ . n

Il est intéressant de voir comment les s’accumulent : on les appelle aussi erreurs quadratiques car elles se

cumulent par leurs carrés.

Erreur totale = 1² + 2² + 3² +…

Exemple : quand on lit sur une mire au moyen d’un niveau, on admet les erreurs accidentelles suivantes :

. 1 = dû au calage de la nivelle = 0,3mm

. 2 = dû à la mise au point = 0.2mm

. 3 = dû à l’interpolation sur la mire = 1mm

. 4 = dû à l’erreur de pose de la mire = 0,5mm.

L’erreur globale est donc : t = 0,3² + 0.2² + 1² + 0.5² Erreur globale = 1,2mm

Quand les erreurs individuelles sont de même nature, on peut simplifier la formule précédente :

Erreur totale = i n

Exemple : avec ce même niveau, j’effectue un cheminement de 12 dénivelées, soit 24 visées.

L’erreur totale à craindre à la fin est de 1,2mm 24 = 6mm. (T=16mm).

3.3 Ecart type d’une moyenne arithmétique ..

Soit la fonction x = a + b + c + …

n expression dans laquelle l’inconnue x est fonction des mesures directes

a, b, c …

Par définition de la moyenne arithmétique toutes les valeurs qui la composent ont la même précision, donc :

σa = σb

= σc =…= σ et on a f′a = f′b = f′c =

1

n

La loi de composition des écarts types (σx² = f′a² .σa

² + f′b² .σb² + f′c .σc

² +…) donne :

σx² =

1

n ² σ² +

1

n ² σ² +

1

n ² σ² +…=

n

n² σ² σx

= σ

n

L’écart type d’une moyenne étant inversement proportionnel à la racine carrée du nombre de mesures, la

précision croît lentement quand on augmente le nombre de mesures.

A l’évidence, il est bon de répéter plusieurs fois la même mesure, action que l’on appelle réitération.

L’intérêt est double : la réitération permet de contrôler les écarts entre plusieurs séries de mesure, et

améliore dans le même temps la précision du résultat moyen . Ainsi, l’écart type sur une distance mesurée

aller-retour est améliorée de 2 fois. Un angle mesuré 4 fois voit sa précision doublée…

Pour n réitérations, on a :

moyen = total

n

On remarquera que la réitération est un moyen qui permet d’accéder à une précision que ne peut pas

garantir l’instrument. Mais on ne dépassera pas 4 réitérations si possible !



Page 10 / 20

3.4 Ecart type d’une série de mesures doubles ..

Les doubles mesures sont fréquentes en topographie du fait de la nécessité constante de faire des

contrôles.

Il est possible, à partir d’une série de mesures doubles de même nature et de même ordre de grandeur, de

déterminer l’écart type d’une mesure élémentaire à partir de leur différence.

On en déduira alors l’écart type de la moyenne de chaque mesure double.

La méthode est intéressante pour tester un instrument à l’aide de mesures réelles sans s’astreindre à

répéter un grand nombre de fois la même mesure.

Soit a1 b1 c1 ... i1 ... n1 la première série de mesures

Et a2 b2 c2 ... i2 ... n2 la deuxième série de mesures

La valeur la plus probable de l'une de ces mesures est i = i1 + i2

2

d'où les deux erreurs apparentes vi1 = i - i1 = i1 - i2

2

vi2 = i - i2 = i2 - i1

2

en posant i1 - i2 = di (différence) vi1 = di

2 et vi2 = -

di

2

L' écart type de l'une des deux mesures i1 ou i2 vaut donc :

σ = vi1

² + vi2

²

2-1 =

di²

4 +

di²

4 =

di²

2

σ = di

2

Nous pouvons effectuer le même calcul pour toutes les doubles mesures de la série. Comme elles sont faites

avec la même précision, nous pouvons déterminer l'écart type de toutes les erreurs ainsi calculées, d'où l'écart

type d'une mesure quelconque de la série qui tient compte de toutes les observations.

σx² =

σ²

n =

di²

2

n σx

= di²

2n

3.5 Ecart type d’une moyenne pondérée ..

Supposons qu'une quantité x ait été déterminée par un certain nombre de mesures effectuées en plusieurs

séries et dans les mêmes conditions, c'est à dire avec le même écart type σ.

La 1 ère série composée de p1 mesures a donné la valeur moyenne x1

x1 = (x1(1) + x1(2) + x1(3) + x1(4) + ….+ x1(p1) ) / p1

La 2 ème série composée de p2 mesures a donné la valeur moyenne x2

x2 = x2(1) + x2(2) + x2(3) + x2(4) + ….+ x2(p2) ) / p2

La 3 ème série composée de p3 mesures a donné la valeur moyenne x3

x3 = x3(1) + x3(2) + x3(3) + x3(4) + ….+ x3(p3) ) / p3

..............….



Page 11 / 20

La valeur la plus probable de x est :

x= (x1(1) + x1(2) +...+ x1(p1)) + (x2(1) + x2(2) +...+ x2(p2)) + (x3(1) + x3(2) + ...+ x3(p3) )

p1 + p2 + p3

Ce rapport s’appelle la moyenne pondérée, les nombres p1 , p2 , p3 , … étant les poids des moyennes

partielles x1 , x2 , x3 , …

soit x = p1 x1 + p2 x2 + p3 x3 + …

p1 + p2 + p3 + … =

pi xi

pi

x = pi xi

pi

L'écart type relatif à x1 a pour valeur σ1 =

σ

p1


σ

p2


σ

p3

On peut donc écrire : pi = σ²

σi² , ainsi les poids sont-ils inversement proportionnels aux carrés des

écarts types correspondants.

L’expression x = p1 x1 + p2 x2 + p3 x3 + …

p1 + p2 + p3 + … peut s’écrire x =

x1

σ1² +

x2

σ2² +

x3

σ3²

1

σ1² +

1

σ2² +

1

σ3²

Calculons l'écart type sur x en appliquant la loi de composition (σx² = f′a² .σa

² + f′b² .σb² + f′c².σc

² +..):

σx² = f′x1

² .σx1² + f′x2

² .σx2² + f′x3

².σx3²

avec f′x1 =

1

σ1²

1

σ1² +

1

σ2² +

1

σ3

²

f′x2 =

1

σ2²

1

σ1² +

1

σ2² +

1

σ3²

f′x3 =

1

σ3²

1

σ1² +

1

σ2² +

1

σ3²

d’où σx² =

1

σ1²

+ 1

σ2²

+ 1

σ3²

( 1

σ1² +

1

σ2² +

1

σ3² )²

σx =

1

1

σ1² +

1

σ2² +

1

σ3²

σx =

1

1

σi²



Page 12 / 20

4 Evaluation de l’erreur systématique globale d’une mesure ..

Un instrument juste est un instrument donnant des mesures dépourvues d’erreurs systématiques.

Ces erreurs systématiques étant en général cumulatives, elles doivent être corrigées soit par mode opératoire

soit par le calcul.

Lorsque l'on est en présence d'erreurs ei sur lesquelles se greffent des systématismes et qu'on ne peut à priori

présumer leurs caractères de constante ou de fonctionnalité par rapport à la grandeur mesurée, il est toujours

conseillé de construire avec ces erreurs un graphe d'axes rectangulaires.

4.1 Evaluation sommaire ..

Elle consiste à mesurer n fois une grandeur dont on connaît la valeur conventionnellement vraie x et à

calculer les erreurs vraies.

Si les erreurs sont indifféremment positives et négatives, leur somme est à peu près nulle, ei z 0 et il n’y a

pas d’erreur systématique.

Par contre si une forte majorité des erreurs est de même signe, chacune d'elles est constituée d'une partie

systématique et d'une partie accidentelle.

Une valeur approchée de l'erreur systématique sera donnée par la formule : Es = ei

n

Dans cette formule, la somme des erreurs accidentelles est très proche de 0 et il ne reste pratiquement que la

somme des erreurs systématiques.

4.2 Conséquence pour la courbe de fréquence ..

Si on trace la courbe de fréquence d'une série d'erreurs comportant un certain systématisme, on constate

que l'axe de symétrie de la courbe en cloche est décalé de l'origine des axes de la valeur de l'erreur

systématique.

Les erreurs systématiques étant généralement faibles, l'évaluation sommaire vue au paragraphe 4.1 comme

l'étude de la courbe de fréquence sont le plus souvent insuffisantes et doivent être remplacées par la courbe

des erreurs cumulées.

0

n

eEs



Page 13 / 20

5 Tableau des erreurs courantes d’opérations topographiques ..

Opération et instrument

Ecart-type

instrumental

Précision attendue Commentaire

Mesure d’une base au ruban,

à plat

1cm à 100m Longueur de la base : 250m

= 1 x 2.5 = 1.6 cm

250 = 2,5 fois 100m

Mesure d’une base au ruban,

en suspendu.

3cm à 100m Longueur de la base : 180m

= 3 x 1.8 = 4 cm

Mesure d’une distance au

distancemètre.

2mm+/-2ppm Distance = 300m

= 2² + (2 x 0.3)² =2.1 mm

Mesure d’une grande

distance au distancemètre.

2mm+/-2ppm Distance = 1200m

= 2² + (2 x 1.2)² =3.1 mm

Rayonnement au

tachéomètre

5mm+/-5ppm

1,5mgr

Visée de 300m

D = 5.2 mm

T = D TanAz = 7 mm

R = D²+ T² = 8.7 mm

La précision interne d’un

point rayonné est au

maximum de 2cm avec cet

instrument.

Intersection au théodolite

5dmgr 2 visées de 500m.

mmTT 9,321

mmTTi 5,5²2²1

Intersection spatiale en

métrologie

3dmgr 2 visées de 20m.

mmTT 1,021

σ=0,14mm

L’intersection est très

précise à courte distance !

Nivellement indirect au

tachéomètre.

3mm+/-3ppm

1mgr

Visée de 300m

σD = 3 mm

σT = 4.7 mm

Z = D²+ T² = 5.6 mm

Le nivellement indirect est

centimétrique !

Nivellement direct au niveau 2mm/km Cheminement de 1,6km

mm5.26,1.2

Positionnement GNSS 2mm+/-1ppm Ligne de base de 13km.

P= 2² + (1 x 13)² =13mm

La précision du GNSS se

dégrade avec la distance.

6 Formules intermédiaires de contrôles ..

Afin de respecter la classe de précision fixée par le cahier des charges, au vu de la loi de 2003 sur les

tolérances légales, on donne ici, à titre indicatif, quelques formules approchées de tolérances à appliquer sur

les points de canevas, afin de satisfaire au sondage final.

6.1 Points de canevas ..

La précision d’un point de canevas sera au moins égale à celle exigée des points de détail. Par

précaution, on en déduira l’écart-type que l’on divisera par 2 !

Exemple : la classe de précision exigée sur les points de détail est de 25 mm. L’écart-type moyen

correspondant est donc de 25mm ; on cherchera à garantir une précision de 10mm à 15mm sur les points

de canevas !



Page 14 / 20

6.2 Tour d’horizon en relèvement ..

Au cas où le point de canevas serait déterminé par relèvement, notamment sur des clochers du

système Lambert NTF, l’écart-type à attendre sera de l’ordre de quelques centimètres ! On ne peut donc

exiger une fermeture des tours supérieure à 20dmgr et un écart angulaire entre 2 moyennes issues des paires

de séquences supérieur à 20dmgr !

6.3 Cheminement polygonal ..

On peut apprécier la fermeture planimétrique d’un cheminement polygonal en appliquant les écarts-

types des instruments utilisés.

1 Fermeture angulaire

Il faut d’abord estimer la précision des gisements de référence. La formule suivante permet

d’apprécier angulairement la précision des gisements de référence en fonction de leur éloignement

D, de leur écart-type er et de l’écart-type de la station es :

e = er² + es² σ = ArcTan (e/D)

Exemple : l’écart type de la station est estimé à 20mm et l’écart-type du clocher visé (point NTF situé

à 2km) est estimé à 5cm. Le calcul donne pour e = 54mm. D’où σ du gisement = 1,7mgr.

La formule suivante donne l’écart-type « et » total à craindre pour n stations, en fonction de l’écart-

type « e1 » du gisement de départ, de l’écart-type « e2 » du gisement de fermeture, et de l’écart-type

« e3 » de l’instrument et de la méthode utilisés ; elle correspond à des conditions d’emploi en centrage

forcé ; à défaut d’un tel procédé, prévoir une erreur supplémentaire globale « e4 » d’environ 2mgr par

station.

²3.²2²1 eneeet (+n.e4² si nécessaire)

Remarque : les termes e1 et e2 disparaissent pour un cheminement fermé ou pour la précision interne !

On ne tiendra pas compte de cette fermeture pour des côtés courts (inférieurs à 50m).

Exemple : l’écart-type du gisement de départ est estimé à 2mgr, celui du gisement de fermeture à 1mgr,

celui de l’instrument à 1,5mgr. On compte 12 stations de cheminement.

et = 2² + 1² + 12.1,5² = 5,7mgr Si la polygonale est fermée, et = 5,2mgr

2 Fermeture planimétrique

La formule suivante donne l’écart-type « et » à craindre pour n côtés, en fonction de l’écart-

type « e1 » de la station de départ, de l’écart-type « e2 », de l’écart-type « e3 » du distancemètre, de

l’écart-type « e4 » du théodolite, des distances Li depuis chaque station au point de fermeture ; elle

correspond à des conditions d’emploi en centrage forcé ; à défaut d’un tel procédé, prévoir une erreur

supplémentaire globale « e5 » d’environ 5mm par station.

.²)².4.(²3.²2²1 LieTaneneeet (+n.e5² si nécessaire)

Remarque : les termes e1 et e2 disparaissent pour une polygonale fermée ou pour la précision interne !

Exemple 1 : polygonale encadrée de 6 côtés de 200m

L’écart-type de la station de départ est estimé à 15mm, celui de la station de fermeture à 15mm, celui

du distancemètre à 3mm et celui du théodolite à 1,5mgr. La polygonale est tendue et homogène (6

côtés de 200m). Centrage forcé en positions I et II

et = 0.015²+0.015²+6.(0.003²)+0.00002356².(200²+400²+600²+800²+1000²+1200²) = 0.05m

Fermeture planimétrique escomptée = 5cm



Page 15 / 20

Exemple 2 : polygonale fermée de 5 côtés

L’écart-type du distancemètre est de 3mm, celui du théodolite de 1,4mgr. Centrage forcé en position I

et II. Il n’y a pas d’erreur sur la station de départ 1, qui est aussi la station de fermeture !

Les distances Li sont : 1-2 = 120m, 1-3 = 175m ; 1-4 = 210m ; 1-5 = 190m, d’où

et = 5.(0,003²) +(TAN0,0014)².(120²+175²+210²+190²)

Fermeture planimétrique escomptée = 1cm

POINT NODAL : les formules classiques restent valables, pour des écarts-types individuels « ei »

calculés pour chaque polygonale.

Poids pi = 1

ei² écart-type global =

1

pi

Exemple : 3 polygonales convergent en un point nodal. Les écarts-types respectifs sont : 5cm, 7cm et

3cm. Les poids respectifs sont : 0.04, 0.0204 et 0.111.

L’écart-type global sur le point nodal est de 24mm.

6.4 Cheminement altimétrique ..

1 Nivellement direct

L’écart-type global « et » est fonction de l’écart-type « e1 » du repère de nivellement de

départ, de l’écart-type « e2 » du repère de fermeture, de l’écart-type « e3 » du niveau (et de la

méthode), de la longueur L du cheminement, exprimée en km.

²3.²2²1 eLeeet

Remarque : les termes e1 et e2 disparaissent pour un cheminement fermé et pour la précision interne.

Exemple 1 : Nivellement encadré

les écarts-types des repères sont estimés à 4mm, l’écart-type du niveau est de 3mm par km de

cheminement double. Le cheminement est doublé et mesure 1450m.

et = 4²+4²+1.45.3² = 6.7mm

Si le cheminement est fermé, Fermeture escomptée = 3.6mm

Exemple 2 : Nivellement fermé

Ecart-type du niveau = 4mm par km, lectures aux trois fils :longueur du cheminement = 1600m.

Ecart-type total = 4

3 . 1,6 = 2,9mm Fermeture escomptée = 3 mm

2 Nivellement tachéométrique

Pour des cheminements en terrain peu accidenté (pente inférieure à 10%), on peut admettre

la formule suivante qui tient compte de l’écart-type « e1 » de la station de départ, de l’écart-type

« e2 » de la station de fermeture, de l’écart-type « e3 » du théodolite (et de la méthode), de la longueur

D des « n » côtés homogènes (on néglige ici les erreurs de mesure de la hauteur des tourillons !) ; elle

correspond à des conditions d’emploi en centrage forcé ; à défaut d’un tel procédé, prévoir une erreur

supplémentaire globale « e4 » d’environ 5mm aux stations extrêmes pour la prise de hauteur des

tourillons. ²)².3..(²2²1 DeTanneeet (+e4² si nécessaire)

Remarque : on néglige les termes e1 et e2 pour un cheminement fermé ou pour la précision interne.

Exemple 1 : nivellement encadré sur 2 stations connues

Précision des points d’appui : 5mm, e3 = 1,5mgr et D= 200m (8 côtés).

et = 0.005²+0.005²+8.(200²).(Tan 0.015)² = 0.015m

On compte 5mm d’erreur sur les hauteurs de tourillons de départ et de fermeture.

Ecart-type total = 0,015²+0,005²+0,005² = 0,0166 m Fermeture escomptée = 17mm



Page 16 / 20

Exemple 2 : nivellement indirect façon « direct »

Cheminement pour niveler une station de polygonale, depuis un repère de nivellement directement

visé de la première station. 7 stations de 170m en moyenne avec un tachéomètre d’écart-type = 1mgr.

Double pointé par prisme. Erreur sur le repère = 5mm.

Ecart-type total = 0.005² + (170 Tan 0.001)² . 7 = 0.0087m précision escomptée = 9 mm

6.5 Point rayonné au tachéomètre ..

L’écart-type global absolu « et » du point rayonné est fonction de l’écart-type « e1 » de la station, de

l’écart-type « e2 » du distancemètre, de l’écart-type « e3 » du théodolite, de la distance « D » au point

rayonné : )²3.².(²2²1 eTANDeeet

Remarque : on néglige « e1 » pour la précision interne, comme en Lambert moyen.

Exemple : point rayonné à 300m, e1 = 10mm, e2 = 3mm, e3 = 1,5mgr.

et = 0.010²+0.003²+300².(TAN 0.0015)² = 12,6mm . Précision interne = 7,6mm

6.6 Point rayonné au GPS ..

L’écart-type global tient compte de l’écart-type « e1 » de la station, de l’écart-type «e2 » (partie mm) et

« e3 » (partie ppm) du GPS et de la distance « D » au point rayonné, exprimé en km.

)²3.(²2²1 eDeeet on néglige le terme « e1 » en précision interne.

Exemple : e1 de la station = 5mm, point rayonné à 8km, l’écart-type du GPS vaut : 3mm+/-2ppm.

et = 5² + (3 + 2 x 8)² = 20 mm Précision interne = 19 mm

La précision altimétrique est évaluée à 2 ou 3 fois celle de la planimétrie !

6.7 G0 (ou V0) moyen ..

L’écart angulaire dépend essentiellement de la qualité des références visées et de leur distance. Quelques

mgr seront acceptés dans les cas courants.



Page 17 / 20

7 Précision des travaux topographiques ..

Tous les travaux topographiques réalisés par l’Etat, les collectivités locales et leurs établissements publics

ou exécutés pour leur compte doivent être spécifiés et évalués selon les modalités définies ci-dessous.

7.1 Généralités ..

Pour les différents types de levés réalisés pour les collectivités territoriales, les classes de précision étaient

définies par l'arrêté interministériel du 21 janvier 1980 jusqu'à l'année 2003. Celui-ci est apparu dépassé pour

deux raisons principales:

- les tolérances n'étaient pas définies à partir des résultats imposés, mais à partir des moyens utilisés

(précision des mesures angulaires et linéaires)

- les nouvelles technologies (et en particulier le GPS) nécessitent de nouvelles méthodologies de mesures

non référencées dans l'arrêté de 1980.

Une commission du CNIG (Conseil National de l'Information Géographique) a donc été chargée de

mettre en place une nouvelle réglementation validée sous la forme:

- d'un arrêté daté du 16 septembre 2003

- d'une circulaire (pour expliquer la mise en œuvre de l'arrêté)

- d'une annexe présentant une série d'exemples d'application

- d'une seconde annexe donnant les définitions des termes utilisés dans l'arrêté.

Ce nouvel arrêté ne définit plus des spécifications de moyens (comme celui de 1980) mais de

résultats. Ainsi, les entreprises exécutant les levés peuvent utiliser les méthodes et les matériels qu'ils

désirent, la validité des levés n'étant jugée que sur les résultats obtenus (et contrôlés).

Remarque: Il est à noter que la précision "théorique" des mesures peut toujours être déterminée avec les

calculs de théorie des erreurs à partir des précisions des appareils utilisés.

7.2 Ecart en position ..

La position d'un point peut être définie par:

- 1 coordonnée (exemple: la cote z pour un levé altimétrique)

- 2 coordonnées (exemple: les coordonnées x, y pour un levé planimétrique)

- 3 coordonnées (exemple: les coordonnées x, y, z pour un levé tridimensionnel isotrope).

Un levé tridimensionnel dont les caractéristiques sont différentes en planimétrie et altimétrie doit subir

des traitements séparés pour les 2 coordonnées planimétriques xy et la cote altimétrique z.

L'arrêté du 16 septembre 2003 définit un paramètre appelé l'écart en position Epos.

L'écart en position correspond à la distance euclidienne entre la position du point donné et sa position

issue d'un contrôle, c'est à dire la racine carrée de la somme des carrés des écarts sur chacune des

coordonnées soumises à la même classe de précision.

Nombre de coordonnées 1 (z) 2 (x, y) 3 (x, y, z)

Ecart en position z

2

zpos eeE 2

y

2

xpos eeE 2

z

2

y

2

xpos eeeE



Page 18 / 20

7.3 Point de contrôle ..

Lors d'un levé, le cahier des charges doit spécifier sa classe de précision (mesure, en général une

longueur, caractérisant les propriétés statistiques entre les coordonnées obtenues et celles issues des

contrôles).

Les points de contrôle doivent être bien identifiés et ne pas présenter d'ambiguïté.

On définit un coefficient de sécurité C qui correspond au rapport entre la classe de précision des points à

contrôler (issus du levé) et celle des déterminations de contrôle. Ce coefficient C doit être au moins égal à 2.

Exemple: Pour un levé altimétrique au centimètre (1cm), le contrôle doit être effectué au moins au demi

centimètre (5mm).

7.4 Spécification de la précision des levés ..

L'arrêté du 16 septembre 2003 indique que "la précision d'un levé d'objets géographiques peut être

spécifiée soit par un gabarit d'erreurs spécifiques, soit par un modèle standard".

Ceci signifie que les intervenants (donneurs d'ordre et exécutants) lors du levé peuvent définir dans le

cahier des charges des gabarits d'erreurs pratiquement "sur mesure" ou choisir une méthode (modèle

standard) précisément définie dans l'arrêté. Il apparaît évident que la très grande majorité des intervenants

vont utiliser ce modèle standard qui est relativement simple d'emploi.

1 - GABARIT D'ERREURS (modèle spécifique)

Un gabarit d'erreur est défini pour les levés sous la forme d'une courbe, d'un histogramme ou d'une

table de valeurs, qui précisent le nombre toléré d'écarts qui dépassent les seuils fixés. Le nombre des

seuils et des écarts tolérés est fixé dans le cahier des charges.

Exemple: On définit 4 seuils tels que:

- moins de 20% des écarts doivent être supérieurs à 10cm



- aucun écart ne doit dépasser 1m

2 - MODELE STANDARD

A partir d'un échantillon comportant N objets géographiques, on calcule l'écart moyen en position

Emoy.pos. qui est la moyenne arithmétique des écarts en position Epos:

N

EE

pos

.pos.moy

On dit que la population (ensemble des objets mesurés) dont est issu l'échantillon est de classe de

précision cmxx si les 3 conditions suivantes sont remplies simultanément.

Les formules suivantes suivent une loi gaussienne de répartition des écarts pour un nombre élevé de

ces écarts mesurés. Dans ce cas, le seuil T correspond à une tolérance à 1%. Dans la pratique, le nombre

de mesures de contrôle est insuffisant pour établir une loi gaussienne: les formules suivantes sont donc

forfaitaires et définissent une base de travail relativement facile à mettre en place et utiliser

(contrairement au gabarit d'erreur).



Page 19 / 20

Conditions à remplir pour un échantillon N issu d'une population d'objets géographiques:

1) L'écart moyen en position Emoy pos (en cm) est inférieur à

2cmC2

11xx

2) Le nombre N' d'écarts dépassant le premier seuil

2cmC2

11xxkT

n'excède pas l'entier immédiatement supérieur à

N232,0N01,0

Voir le tableau suivant pour le coefficient k

3) Aucun écart en position dans l'échantillon n'excède le second seuil

2cmC2

11xxk5,1T

Valeur du coefficient k en fonction du nombre de coordonnées n des points de contrôle:

n 1 2 3

k 3,23 2,42 2,11

Exemples de nombre N' maxi d'écarts dépassant le 1er seuil T acceptés pour un échantillon de N éléments:

N De 1

à 4

De 5

à 13

De 14

à 44

De 45

à 85

De 86

à 132

De 133

à 184

De 185

à 240

De 241

à 298

De 299

à 359

De 360

à 422

De 423

à 487

N' 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

7.5 Catégories de travaux topographiques ..

1 - POINTS DE CANEVAS

1.1 - Origines des erreurs

Les écarts observés sont issus de 3 origines:

- les erreurs internes

- les erreurs de rattachement

- les erreurs propres du réseau légal de référence.

Les erreurs internes sont définies à partir de l'écart entre les coordonnées obtenues par les

mesures de contrôle et celles que l'on obtient par calcul dans un système indépendant en appliquant

une translation (1 coordonnée) et une rotation (2 ou 3 coordonnées) sur l'ensemble des coordonnées

fournies pour ces points.



Page 20 / 20

Les erreurs de rattachement sont définies à partir des écarts sur les mesures permettant le lien

entre le réseau légal de référence et le canevas lui-même. Le rattachement doit s'effectuer sur un

nombre suffisant de point du réseau légal de référence pour pouvoir mettre en évidence de possibles

discordances dans ce réseau. La précision du rattachement doit également être cohérente avec celle du

réseau légal de référence.

Les erreurs propres au réseau légal de référence sont spécifiées par son gestionnaire (exemple:

l'IGN pour le RGF93) avec différents niveaux de précision possible. Si la discordance entre les points

du réseau légal de référence est plus importante que la précision donnée par le gestionnaire, la

précision est remplacée par la discordance de rattachement constatée.

1.2 - Classe de précision totale

La classe de précision s'applique aux écarts entre les coordonnées fournies pour chaque point et

celles des mesures de contrôle. L'erreur totale est la composition des erreurs internes, de rattachement

et de l'erreur propre du réseau légal de référence. L'erreur totale ne peut donc être inférieure à l'une de

ces 3 sources d'erreurs (en particulier, l'erreur propre du réseau légal de référence).

1.3 - Classe de précision interne

La classe de précision s'applique aux écarts entre les coordonnées obtenues pour chaque point par

les mesures de contrôle et celles obtenues par calcul dans un système indépendant (translation et

rotation). Si des points d'appui sont inclus dans le canevas, ils sont pris en compte avec leurs

coordonnées déterminées dans le système indépendant.

1.4 - Choix de la classe de précision

Les classe de précision des canevas doivent être spécifiées selon 4 critères possibles:

- classe de précision planimétrique totale

- classe de précision planimétrique interne

- classe de précision altimétrique totale

- classe de précision altimétrique interne.

2 - OBJETS GEOGRAPHIQUES

Les objets géographiques sont des points de détail, des longueurs, des surfaces, des volumes,…

mesurés.

Les classes de précision de levé de ces objets sont relatives aux canevas qui leur servent de référence

(précisions planimétrique et altimétrique).

Documents

CONTRÔLES - Cours de topographie