CONTROL ADAPTATIVO EMBEBIDO

F. Pedraza%, F. Segura, C+. Camargo *A. Gauthier+

{f­pedraz, fsegura, agauthie}@uniandes.edu.co, cicamargoba@unal.edu.co

* Profesor del Departamento de Ingeniería Eléctrica & Electrónica Universidad Nacional de Colombia, Bogotá+    Profesores del Departamento de Ingeniería Eléctrica & Electrónica Universidad de los Andes, Bogotá

% Estudiante de Ingeniería Electrónica Universidad de los Andes, Bogotá.

RESUMEN

En   este   documento   se   presenta   información   relevante   acerca   del   control   adaptativo   y   su   implementación   sobreplataformas embebidas. El sistema desarrollado en este proyecto presenta ventajas de versatilidad, siendo capaz de manejardiversos esquemas de control de procesos  SISO;   y de portabilidad, utilizando elementos de fácil manipulación. Comologros  más  destacados   alcanzados   en  este   trabajo,   se  destacan:  obtención de  un   regulador  auto­ajustable   (STR)  parasistemas de hasta quinto orden; desarrollo de librerías en control, identificación e interfaz para el sistema operativo detiempo real   eCos.  Se realizaron modelos en  MATLAB  que permiten realizar pruebas  a priori  de  las capacidades delsistema.  Por   las   simulaciones   realizadas,   se  observó   la  necesidad  de   introducir   mejoras  al   algoritmo de  control  quepermitan el manejo de señales de prueba generadas dentro del dispositivo. En general, este proyecto ha abierto la puertapara la implementación de diferentes esquemas de control adaptativo y su posterior verificación de manera experimental.

CONTROL ADAPTATIVO EMBEBIDO

F. Pedraza%, F. Segura, C+. Camargo *A. Gauthier+

{f­pedraz, fsegura, agauthie}@uniandes.edu.co, cicamargoba@unal.edu.co* Profesor del Departamento de Ingeniería Eléctrica & Electrónica Universidad Nacional de Colombia, Bogotá

+    Profesores del Departamento de Ingeniería Eléctrica & Electrónica Universidad de los Andes, Bogotá% Estudiante de Ingeniería Electrónica Universidad de los Andes, Bogotá.

RESUMEN

En   este   documento   se   presenta   información   relevanteacerca   del   control   adaptativo   y   su   implementación   sobreplataformas   embebidas.   El   sistema   desarrollado   en   esteproyecto presenta ventajas de versatilidad,  siendo capaz demanejar diversos esquemas de control de procesos  SISO;   yde portabilidad, utilizando elementos de fácil manipulación. 

1. INTRODUCCIONEl desarrollo del control adaptativo ha sido necesario para elmanejo de procesos cuyas dinámicas cambian continuamentey   cuyas variaciones  no pueden ser previstas. En esos casoslos esquemas de control tradicional no han sido capaces depresentar soluciones adecuadas.

A   pesar   de   las   ventajas   que   representa   contar   concontroladores  adaptativos,  existen  algunas   limitaciones  quehan   impedido   el   desarrollo   e   implementación   de   estos   enprocesos   reales.   Entre   estas,   se   encuentra   la   demora   queimplica   el   cálculo   que   se   debe   realizar   para   obtener   losparámetros   del   controlador.     Una   de   las   solucionesplanteadas,  es   la  de   contar  con  arrancadores  que   lleven alproceso a puntos de estabilidad, desde los cuales sea posibleactivar métodos de adaptación que optimicen la respuesta delsistema. Sin embargo, un reto mayor se presenta al no contarcon este tipo de arrancador para el ajuste rápido en la primerainstancia del control; para esto se hace necesario el desarrollode sistemas que permitan a los controladores auto ajustarsede forma eficaz pero de forma eficiente; llegando a obtenerlos resultados deseados.

En este proyecto se presenta una arquitectura que permite laimplementación   de   diferentes   esquemas   de   controladaptativo,   así   como   posibles   combinaciones   entre   estos,haciendo   posible   el   planteamiento   y   puesta   a   punto   desoluciones   rápidas,   capaces   de   superar   las   demandasimpuestas por la sociedad actual (precio, tiempo de salida almercado, versatilidad, etc.).

2. CONTROL ADAPTATIVOExisten muchos procesos en los cuales la dinámica y/o las

características de las perturbaciones cambian continuamente,haciendo necesario el desarrollo de controladores adaptables,capaces de ajustar sus parámetros de forma continua. Estoscontroladores   tienen   una   estructura   especial,   caracterizadapor   dos   ciclos   esenciales;   por   un   lado,   el   ciclo   derealimentación normal, en el cual se encuentra el controlador(de  parámetros  ajustables),  y  el  proceso o planta; y por  elotro,   se   encuentra   el   ciclo   encargado   del   ajuste   de   losparámetros del controlador. Es en este último ciclo en el quese diferencian realmente los esquemas de control adaptativo.Algunos   de   los   cuales   son:   Programación   de   Ganancia,Sistema   Adaptativo   por   Modelo   de   Referencia   (MRAS),Regulador   Auto­Ajustable   (STR)   y   Control   Dual   oEstocástico.

Controlador

Ajuste deParámetros

Planta SalidaEntrada

Señal deControl

ParámetrosControlador

Fig.  1. Diagrama de Bloques de un Sistema AdaptativoGeneralizado

2.1 Regulador Auto­Ajustable (STR):En este esquema de control  adaptativo,   los parámetrosdel   proceso   son   estimados   en   línea   (recursivamente),para con éstos, ajustar los parámetros del controlador. Elciclo de ajuste,  entonces, puede representarse  separadoen dos  bloques;  uno,  encargado de  la  identificación, yotro, encargado del diseño. 

Controlador Proceso

EstimaciónDiseñoControlador

Regulador auto­ajustable

ParámetrosControlador

Referencia

EntradaSalida

Parámetros del ProcesoEspecificación

Fig. 2. Diagrama de Bloques de un STR

3.  IDENTIFICACIÓN DE SISTEMASEn la estructura de los STR (Figura 2.) se evidencia laimportancia que tiene el bloque de Identificación, ya que deél, depende que el ajuste del controlador se realice de formaadecuada. Para lograr que los parámetros del proceso seanestimados correctamente, es necesario seleccionar laestructura del modelo que mejor se ajuste a las característicasreales del proceso.

La representación matemática del modelo, puede ser escritacomo

y t =−a1 y t−1 −a2 y t−2 −−an y t−n b0 u t−d 0 bm u t−d 0−m = T t−1

(1)donde:

T=a1 a2 an b0 bm T t−1=−y t−1 −y t−n u t−d0 u t−d0−m 3.1. Estimador Recursivo por mínimos Cuadrados con

Factor de Olvido

Es utilizado para la estimación recursiva de los parámetrosen λ, y esta dado por el siguiente conjunto de ecuaciones:

t = t−1 K t t t =y t − T t−1 t−1 K t =P t−1 t−1 T t−1 P t−1 t−1 −1

P t = I−K t T t−1 P t−1

(2)donde:

0≤1 , es el factor de olvido. A medida que este se

acerca a 1, la estimación de los parámetros pierdesensibilidad, pero gana estabilidad.

P t es la matriz proporcional a la covarianza. Al

inicializarla con valores muy altos, la estimación inicialva a converger rápidamente.

La identificación por medio de este método, se utiliza paraprocesos cuyos cambios se realizan de forma lenta.

3.2.Ejemplo: Motor DC.

Como prueba, se utilizó el modelo de velocidad angular deun motor DC. Con función de transferencia es:

V=

KJsb LsR K 2

(3)

donde:

J [kg.m^2/s^2]: Momento de inercia del rotor.b[Nms]: Cociente de amortiguación del sistema mecánico.K[Nm/Amp]: Constante de fuerza electromecánica.R[ohm]: Resistencia eléctrica.L[H]: Inductancia eléctrica.V[V]: Voltaje de entrada.

[rad/s]: Velocidad angular del eje.

Se utilizó un motor con los siguientes valores: J=0.01,b=0.1, K=0.01, R=1, L=0.5, y con un tiempo de muestreo de0.5 segundos, se obtuvo la siguiente función de transferenciadiscreta:

y t u t

=0 . 05417 z0 . 008598

z2−0 .3742 z0 . 002479(4)

De donde se obtiene: b1=0.05417, b2=0.008598, a1=-0.3742 y a2=0.002479.

tiempo (s)Gráf. 1.   Valor numérico de la estimación de los parámetros

a1 y b1 del motor como función del tiempo transcurrido.

Es posible apreciar en la Gráfica 1 que la convergencia esrelativamente lenta, ya que se estabiliza aproximadamente en1000s. Si cambiamos los valores de inicialización,

aumentando P 0 o disminuyendo λ, la estimación se

realizará mucho más rápido.

Ahora, si se introduce un cambio iniciando en t=1000shasta t=1200s. Se obtiene el siguiente resultado

tiempo (seg)Gráf. 2. Valor numérico de b1 en función del tiempo

transcurrido. Para J(t<1000)=0.001, J(1000<=t<1200)=0.001+0.0005t, J(2000<t)=0.11

En la Gráfica 2 se observa como el valor de λ , afecta la

respuesta del algoritmo (2). Vemos sin embargo, que debidoa que la variación de J es lenta, la estabilidad del sistema seconserva.

En el dispositivo desarrollado se inicializan las variables deforma manual, aunque es posible mantenerlos con datospreestablecidos. Esto permite utilizar el conocimiento que setenga del proceso para mejorar la respuesta del controlador.

4. MDPP1 CON CANCELACION DE CEROS

Se escoge un controlador lineal R, S, T del tipo mostrado enla Figura 3.

Ru = Tuc ­Sy  A/By

uc Controlador

u

Proceso

Fig. 3. Controlador Lineal Generalizado

Donde: AB

representa la función de transferencia discreta

del proceso,

A q y t =B q u t (5)

A q =qna1 qn−1an

B q =b0 qmb1 qm−1bm

El sistema de lazo cerrado es:

1Minimum Degree Pole Placement 

y t = BTARBS

uc t (6)

u t = ATARBS

uc t (7)

Para sintonizar el controlador, deben encontrarse R y S, talque, el denominador de la Ecuación (6) tenga lascaracterísticas deseadas.

4.1 Diseño del controlador

Para realizar el diseño debe tenerse la función detransferencia de lazo cerrado deseada, expresada por los

polinomios Am y Bm , y además un polinomio de

observación A0 . Estas son introducidas por el usuario al

momento de iniciar el programa de control.

Teniendo entonces la ecuación:

Am y t =Bm uc t (8)

Es posible entonces iniciar el diseño del controlador.Primero, es necesario verificar las siguientes condiciones de

compatibilidad:

deg Am=deg A , deg Bm=deg B ,

deg A0=deg A−deg B−1

Bm=B− Bm'

En el caso del dispositivo desarrollado, esta verificación serealiza internamente para evitar posibles errores por parte delusuario; permitiéndole únicamente el ingreso de valoresdisponibles para estos polinomios.

El polinomio numerador en la función de transferencia delazo abierto debe factorizarse de la siguiente manera,

B=B B− con B mónica.

Se soluciona la ecuación de Diophantine, teniendo en

cuenta que deg Sdeg A

AR'B−S=A0 Am (9)

Y se obtienen los valores de los polinomios del controlador

R=R' B y T=A0 Bm'

. Con éstos se calcula la señal

de control.

Todo el proceso del diseño del controlador se realizautilizando los datos provenientes de la identificación,asumiendo que los parámetros estimados por ésta son losreales. Antes de llegar a obtener la respuesta deseada, elsistema pasa por un estado transitorio, en el cual, la señal decontrol oscila entre los valores máximo y mínimo permitidos.Para probar el controlador se utilizó la función detransferencia del motor DC expresada en la Ecuación (3).

Gráf. 3. Velocidad angular del motor DC en función deltiempo Am={1 -1 0.4} Para J(t<1000)=0.001, J(1000<=t<1200)

=0.001+0.0005t, J(2000<t)=0.11

En la Gráfica 32 se aprecia como el comportamiento de larespuesta del sistema en lazo cerrado se ve afectado por lavariación de J. La respuesta que se observa entre 900 y 1000s es la deseada. Ahora bien; si se utiliza el modulo deidentificación para generar los parámetros de A y Bnecesarios para el diseño, obtenemos la Gráfica 4. En la cual,se observa un período de transición mientras los estimadoresde los parámetros del modelo se estabilizan. Luego de estetiempo, la respuesta que se obtiene del proceso se mantieneigual a la deseada. Aquí se evidencian claramente las ventajasdel control adaptativo; que permitió, a pesar de los cambiosen el proceso, mantener “constante” la respuesta de lazocerrado.

Gráf. 4. Velocidad angular en función del tiempo.Se utilizó el algoritmo completo para control STR

2 Las variables del algoritmo de identificación utilizado para

obtener la Gráfica 3, son: T=0 . 02 0 .1 0 0 ,

P1,1 0 =P2,2 0 =P3,3 0 =P4,4 0 =100 y λ=1

Las variables del algoritmo de identificación utilizado paraobtener la Gráfica 3, son:

T=0 .02 0 .1 0 0 ,

P1,1 0 =P2,2 0 =P3,3 0 =P4,4 0 =100 y

=1 .

5. SISTEMAS EMBEBIDOS3

Uno de los principales impulsos para el desarrollo delcontrol adaptativo, provino de los rápidos avancestecnológicos en los microprocesadores, que permitieronimplementar las leyes asociadas a este tipo de control.

El siguiente paso es entonces la utilización de sistemasembebidos como plataforma para este tipo de desarrollo.Permitiendo probar al máximo las capacidades decontroladores adaptaivos especializados. La Arquitecturaescogida para implementación del controlador adaptativo seencuentra conformada por la tarjeta XPORT 2.0 [12] y elGameBoy Advanced (GBA) de Nintendo [13], y cuyodiagrama de bloques se presenta en la Figura 4..

FPGAS partan II

150K

Cport

CPLD

Flash4Mbytes

Conector I/O64 pines

S DRAM16Mbytes

ARM7TDMIGamePad10 Botones

Pantallaa Color

Parlante

JT AG

Xport 2.0

GBA

Fig. 4. Diagrama de Bloques Xport 2.0 + GBA

5.1. Tarjeta de expansión

Esta   tarjeta   fue   diseñada   para   brindar   la   capacidad   detrabajar como un sistema de control adaptativo completo, escapaz   de   recibir   información   por   parte   del   usuario   einteractuar con este; y lo más importante, permite utilizar lasdiferentes técnicas de control adaptativo con el fin de buscarlas   soluciones   más   eficientes   al   momento   de   controlarcualquier proceso.

3 sistemas electrónicos basados en el diseño conjunto deHardware (HW) y Software (SW), desarrollados paracumplir tareas específicas.

5.2. Interfaz con en usuario

El sistema de control desarrollado en este proyecto (STR)no es ciento por ciento autónomo; ya que es necesario que lesean   introducidos   ciertos   parámetros   que   permitan   elfuncionamiento tanto del bloque de identificación como el decontrol. Es posible sin embargo, que algunos de éstos, seanutilizados en valores predeterminados, dependiendo del tipode proceso que se desea controlar y de  la respuesta que sedesea obtener del sistema como tal. 

5.3.Interfaz con el procesoEl  algoritmo  de   identificación  LSE  por  un   lado  necesita

tener los datos de la entrada “ut” y de la salida del proceso“y”;   y   el   de   control   por   el   otro,   requiere   además   de   lareferencia “uc”. Para la obtención de estos datos, se utilizó unconversor análogo­digital de 8 canales con una precisión de 8bits por dato.  

Fig. 5. Plataforma  Culminada.6. RESULTADOS Y CONCLUSIONES● Se desarrolló  e   implementó  una  tarjeta de expansión,

que puede ser utilizada junto al GBA y el XPORT paraprobar   sistemas   de   control   discreto   tanto   adaptativoscomo tradicionales.

● Se implementó  por completo un controlador  STR  concapacidad para manejar procesos hasta de quinto orden.

● Existen  otras  aplicaciones de  las  que  se  puede   tomarprovecho,   como   lo   son:   interfaz   GBA­teclado,visualización de señales análogas (7 en total),  libreríaspara control STR, salida análoga desde el GBA, etc.

● Se   diseñaron   en   MATLAB   librerías   destinadas   alcontrol   adaptativo  STR;   tanto   para   la   identificacióncomo para diseño de controladores lineales.

●  Existen algunos problemas debidos a la cuantización delas señales, que resultan más evidentes a medida que sedisminuye el factor de olvido.

● El tiempo de muestreo debe encontrarse por encima de0.1s.   Los   cálculos   que   se   realizan   en   el   procesador,toman demasiados ciclos de máquina. A pesar de que serealizó   una   optimización   de   las   operaciones,   no   fueposible disminuir este tiempo. Para aumentar disminuirel   tiempo   de   muestreo,   se   deben   realizar   algunasoperaciones en Hardware dentro de la FPGA.

● Del   tiempo   requerido   para   el   procesamiento,   laidentificación utiliza aproximadamente el 70%.

8.  REFERENCIAS

[1] Astrom K. J. and B. Wittenmark, 1995. Adaptive Control, 2a

edición. Addison­Wesley. [2] Sastry S. and M. Bodson, 1989. Adaptive Control: stability,convergence and robustness.  Englewood Cliffs, N.J.:  Prentice­Hall.[3]  Ljung L., 1998. System Identification: Theory for the User.2a edición. Prentice­Hall. [4] Ogata K., 1994.  Discrete­Time Control Systems. 2a  edición.Pearson Education.[5]   Vélez   C.   M.,   2003.  Control   Adaptativo   aplicado   a   unPéndulo Invertido. Universidad EAFIT. Medellín.   [6]   Rodríguez,   Rafael.  Sistema   Operativo   en   Tiempo   Real(RTOS) para MicroPP­ARM.[7] Charmed Labs.,  2003.  Xport 2.0 User Guide.  Versión 1.4.Disponible en: www.charmedlabs.com.[8]  Charmed Labs.,  Xport  2.0  Custum Configuration Tutorial.Versión 2.2.Disponible en: www.charmedlabs.com.[9] University of Michigan., 1997. Control Tutorials for Matlab.Disponible en: http://www.engin.umich.edu/group/ctm/examples/examples.html[10] Programa para el curso de Adaptive Control. Lund Instituteof Technology. Disponible en:http://www.control.lth.se/~kursar/[11] A course in Neural Networks for System Identification andControl.   Technical   University   of   Denmark.   Disponible   en:http://www.iau.dtu.dk/nnbook/Files/course5.pdf[12] www.charmedlabs.com[13] www.nintendo.com