Sistemas de Control y Proceso Adaptativo. Diseño y métodos y estrategias de control

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Sistemas de Control y Proceso Adaptativo. Diseño y métodos

y estrategias de control

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Fiabilidad y estabilidadFiabilidad

• La fiabilidad es una de las principales características que define cualquier sistema (electrónico, mecánico, etc.). La fiabilidad se define como la probabilidad de seguir funcionando a lo largo del tiempo en determinadas condiciones.

• La fiabilidad constituye un aspecto fundamental en la calidad de cualquier dispositivo, por ello, resulta fundamental su cuantificación, de forma que se puedan hacer estimaciones sobre la vida útil de cualquier producto.

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Fiabilidad y estabilidad Fiabilidad

• Tasa instantánea de fallo (λ): es la probabilidad de que, en un sistema que haya funcionado hasta el instante t, se produzca un fallo durante el intervalo (t, t+Δt).

• Tiempo medio de buen funcionamiento (MTBF, Mean Time Between Failures): es el tiempo medio que transcurre entre dos fallos sucesivos de un sistema. MTBF = 1 / λ.

• Tiempo medio de reparación (MTTR, Mean Time To Repair): es el tiempo medio que se emplea para reparar un sistema.

• Tasa instantánea de reparación (µ): se define como 1 / MTTR.• Disponibilidad (A): se define como A = MTBF / (MTBF +

MTTR).

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• Esquema de fiabilidad: es un diagrama de bloques que proporciona una respuesta sobre qué elemento de un sistema debe funcionar en modo que garantice su funcionamiento normal y cuáles pueden estar defectuosos. Se introduce así el concepto de redundancia.

• Error-masking: es la manera de enmascarar alguna posibilidad de error con el fin de evitar que influya de forma directa e incontrolada sobre el desarrollo de la función requerida.

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• Tolerancia a fallos: se define como tolerante a fallos a un sistema que asegura el desarrollo de la función requerida también cuando en una de las partes que componen el sistema se produce un defecto. La tolerancia de un defecto se consigue con la introducción de la redundancia o del enmascaramiento de errores (error-masking en el hardware o en el software). Un sistema tolerante a fallos está compuesto esencialmente de los siguientes elementos:– Detección del defecto: sensores y circuitos detectores.– Aislamiento del defecto: aislamiento de la parte defectuosa sin influir en el

resto del sistema.– Diagnosis del defecto: diagnóstico para la identificación de la causa del

defecto.– Eliminación del defecto: sustitución del módulo defectuoso sin interrumpir

la función que realiza el sistema.– Retorno al funcionamiento: el regreso a la condición normal de

funcionamiento se debe realizar sin interrumpir la función que se realiza.

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• Redundancia: presupone la existencia en el sistema de diversas posibilidades alternativas para garantizar el desarrollo de la función deseada.

• Grado de redundancia: si de n elementos colocados en paralelo k son redundantes, es decir, n-k elementos pueden soportar la función que se realiza, se puede decir que el sistema posee un grado de redundancia n-k sobre n.

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• Cuando se tiene un conjunto de N componentes idénticos, de los que hasta el instante t han fallado Nf y continúan funcionando Ns, la probabilidad de supervivencia de un componente en el instante t es

y la probabilidad de que haya fallado hasta ese instante es

siendo evidente que

N

NtS s)(

N

NtF f)(

1)()( N

NNtFtS fs

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• Se define la tasa de fallo como el número de componentes que fallan por unidad de tiempo en relación con el número de componentes que sobreviven.

• Operando e integrando se tiene

que representa la fiabilidad de un componente, definida como la probabilidad de que sobreviva en el tiempo t supuesto su funcionamiento en el instante 0.

dt

dN

Nt f

s

1)(

dt

tdS

tSdt

tSd

tSdt

tdF

tSNdt

dN

N

N

dt

dN

NN

Nt f

s

f

s

)(

)(

1)(1(

)(

1)(

)(

11)(

t

dtt

etS 0

)(

)(

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• En poblaciones homogéneas de componentes idénticos se observa experimentalmente que la tasa de fallos evoluciona según la conocida curva de bañera, en la que se distinguen tres zonas. La primera, denominada zona de mortalidad infantil, con una elevada tasa de fallo debida a los defectos de fabricación, etc., viene representada por una curva decreciente. La segunda, denominada zona de vida útil, es aquella en la que se produce la menor tasa de fallos y viene representada por una curva prácticamente plana. La tercera zona, denominada zona de envejecimiento, es aquella en la que la vida útil de los componentes está llegando a su fin, por lo que la tasa de fallos viene representada por una curva con pendiente creciente.

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• La fiabilidad de un sistema depende de la fiabilidad de todos y cada uno de sus componentes, de ahí que se recurra a la redundancia para aumentar la fiabilidad de un sistema. Por lo tanto, en sistemas más o menos complejos, resulta interesante conocer la fiabilidad del sistema en sí, no la de sus componentes. Los sistemas en lazo abierto son muy sensibles a perturbaciones.

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• Sistema no reparable: La probabilidad de que el sistema no deje de funcionar es igual al producto de las probabilidades de que no falle ninguno de sus componentes, que expresado matemáticamente resulta.

N

i

tN

i

tis

sNi eeeSS1

)(

1

21

N

iiNs

121

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• Sistema no reparable: Considerando ahora N componentes colocados en paralelo de forma que es necesario que fallen todos para que falle el sistema, la probabilidad de fallo del sistema es igual al producto de las probabilidades de fallo de cada uno de los elementos. Dado que la probabilidad de fallo del componente i es

Para el sistema

)(1)( tStF ii

N

i

N

iiis tStFtF

1 1

)(1)()(

N

iis tStS

1

)(11)(

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• Sistema reparable: supongamos ahora que la velocidad de reparación es µ, y el tiempo medio de reparación se define por su inversa r = 1/ µ. La probabilidad de que un elemento esté funcionando en el momento t + Δt es igual a la probabilidad de que, estando funcionando en t, no se averíe en Δt, más la probabilidad de que, estando averiado en t se repare en Δt. Se puede concluir que, para un sistema compuesto por N componentes funcionalmente en serie se tiene que la velocidad de fallo es

el tiempo medio de reparación es, siempre que λi sea pequeño frente a la unidad

N

iis

1

N

ii

i

N

ii

s

rr

1

1

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• Sistema reparable: Para un sistema con elementos funcionalmente conectados en paralelo

Con la condición de que λiri tenga un valor pequeño frente a 1, y

N

i i

N

iiis rr

11

1

N

i i

s

r

r

1

11

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Fiabilidad y estabilidad Estabilidad

• La estabilidad de un sistema realimentado está estrechamente relacionada con la posición de las raíces de la ecuación característica de la función de transferencia del sistema. Un sistema es estable cuando todos los polos de su función de transferencia están en el semiplano s izquierdo. La estabilidad relativa de un sistema se analizará estudiando las situaciones relativas de los polos.

Según R. Dorf, un sistema estable es un sistema dinámico con una respuesta acotada ante una entrada acotada.

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• La respuesta de un sistema dinámico ante una entrada será decreciente, neutra o creciente. Por la definición de estabilidad se deduce que un sistema será estable si, y solo si, el valor de su respuesta a un impulso g(t) integrada sobre un intervalo finito, es un valor finito.

• La localización de los polos en el semiplano s izquierdo garantiza una respuesta decreciente para entradas de perturbación. Los planos situados sobre el eje jω dan como resultado una respuesta neutra y los situados en el semiplano s derecho una respuesta creciente (y por tanto inestable).

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• Criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz : Este método algebraico está basado en la ecuación característica del sistema, que normalmente se escribe de la forma

• Se construye el siguiente arreglo: los cambios de signo en la primera columna serán las raíces con partes reales positivas

0)( 11

10

nnnn asasasasq

1

531

531

531

42

0

3

2

1

n

nnn

nnn

nnn

nnn

n

n

n

n

h

ccc

bbb

aaa

aaa

s

s

s

s

s

1

70613

1

50412

1

30211

a

aaaab

a

aaaab

a

aaaab

1

41713

1

31512

1

21311

b

baabc

b

baabc

b

baabc

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• Criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz: Si en una fila el primer elemento es cero, no se podrían seguir calculando elementos. Esto se puede resolver de tres formas:

• 1. Haciendo un cambio de variable s = 1/x con lo que se consigue un polinomio en x cuyas raíces serán las inversas del polinomio en s. Si aplico el método al polinomio en x se obtendrá la solución.

• 2. Multiplicando el polinomio por un factor (s+a) donde a > 0, aumentando en l el grado del polinomio, con lo que tendrá una raiz en s = -a.

• 3. Sustituir el cero por un infinitésimo ϵ, se sigue construyendo la tabla, tomando ϵ como constante. Al final se hace tender ϵ a cero por la derecha.

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• Criterio de estabilidad de Routh-Hurwitz: La condición necesaria y suficiente para que todas las raíces de la ecuación se encuentren en el semiplano s negativo es que todos los términos de la ecuación sean positivos y que todos los términos de la primera columna sean positivos.

• El criterio de estabilidad de Routh solo contempla la estabilidad absoluta del sistema pero no la estabilidad relativa. Uno de los métodos utilizados para determinar la estabilidad relativa es cambiar la posición del eje del plano s haciendo s= ŝ-k. A partir de aquí se construye la ecuación en ŝ y se repite el proceso, obteniéndose el número de raíces situadas a la derecha del nuevo eje, situado en s= -k.

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• Criterio de estabilidad de Nyquist: El criterio de estabilidad de Nyquist relaciona la respuesta en frecuencia en lazo abierto G(jω)H(jω) con el número de ceros y polos de 1+G(s)H(s) que se encuentran el el semiplano derecho del plano s. Este sistema es útil porque permite determinar gráficamente la estabilidad absoluta en lazo cerrado a partir de las curvas de respuesta en frecuencia en lazo abierto, sin que sea necesario determinar los polos en lazo cerrado. Resulta muy útil especialmente en los casos en los que no se conocen las expresiones matemáticas de un sistema y solo se conoce su respuesta en frecuencia.

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• Teorema del argumento: Se llama F(s) a un cociente de polinomios de variable s, siendo P el número de polos y z el número de ceros de dicha función, que quedan dentro de un contorno determinado en el plano s, considerando la multiplicidad (polos dobles). Si la función no pasa por ningún punto singular ni por ceros, entonces la representación de esta función en el plano imagen tendrá un número N de circunvalaciones al origen, igual a la diferencia entre los ceros y polos encerrados por el contorno. La forma de los trayectos o de los contornos no influye en el cumplimiento del teorema.

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• Teorema del argumento: sea un sistema

Operando se tiene

Los ceros de 1+GH(s) darán la estabilidad del sistema. Coinciden con los polos de A(s). Los polos de 1+GH(s) coinciden con los polos de GH(s).

)(

)()(;

)(

)()(;

)()(1

)(

)(

)()(

2

2

1

1

sQ

sPsH

sQ

sPsG

sHsG

sG

sR

sCsA

)()()()(

)()()(

2121

21

sQsQsPsP

sPsPsA

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21

21

sQsQ

sPsPsGH

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Sensibilidad y precisión Estabilidad

• Teorema del argumento: Para que el sistema sea estable, los ceros de 1+GH(s) deben encontrarse en el semiplano izquierdo. Consideremos un trayecto cerrado que encierra todo el trayecto derecho, llamado trayecto de Nyquist

Si realizo la representación de 1 + GH(s) de ese trayecto cerrado, aplicando el teorema del argumento, tendremos que ;para que el sistema sea estable el número de ceros (Z) ha de ser igual a cero.

jsI ;0)

º90,90) sII

jsIII ;0)

PNZPZN

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• Medida de la estabilidad relativa variando el trayecto de Nyquist: La estabilidad relativa nos indica en qué grado es estable un sistema. Cuanto más próximos estén los polos al eje imaginario, menos estable será el sistema.

• Si se calculan las raíces del factor cuadrático tendremos

A medida que aumenta , la parte imaginaria disminuye y la parte real se hace más negativa. Si se tendrá un polo doble sobre el eje real. Si se tendrá dos polos conjugados sobre el eje imaginario.

2222

12

44

nn

nnn js

1

0

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• Se necesita saber si existen coeficientes de amortiguamiento menores a los dados.

• Con este ángulo se obtiene un nuevo trayecto de Nyquist. A continuación se aplica el criterio de Nyquist sobre el nuevo trayecto.

sentgn

n

21

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• Estabilidad de sistemas en serie:

si no se han producido cancelaciones, el denominador de G(s) viene dado por el producto de G1(s)G2(s), y los polos de G(s) son el conjunto de polos de los dos subsistemas. Se concluye que el sistema G(s) será estable si y solamente si lo son individualmente los dos subsistemas. Si ha habido cancelaciones hay una parte oculta que no permite garantizar la estabilidad según este criterio.

)()(

)()()()()(

21

2121 sDsD

sNsNsGsGsG

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• Estabilidad de sistemas en paralelo:

igualmente, si no se producen cancelaciones, el denominador de G(s) se corresponde con el producto de los denominadores de G1(s) y G2(s), y los polos de G(s) son el conjunto de los polos de ambos subsistemas. Del mismo modo se concluye que el sistema será asintóticamente estable si y solo si lo son ambos subsistemas. Sin embargo, cuando D1(s) y D2(s) tienen factores comunes, se producen cancelaciones, por lo que habría que mantener la misma cautela que en el caso anterior.

)()(

)()()()()()()(

21

122121 sDsD

sDsNsDsNsGsGsG

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• Estabilidad de sistemas con variables de estados: La estabilidad de un sistema modelado mediante un diagrama de flujo en variables de estado se puede averiguar sin especial complicación. - Si la función de transferencia está expresada en el dominio de s, entonces la estabilidad estará representada por las raíces del denominador. Como ya se ha mencionado, a este denominador se le llama ecuación característica. Por ello, para analizar su estabilidad se analiza esta ecuación característica utilizando el método de Routh-Hurwitz. - Si el sistema está evaluado mediante un diagrama de flujo de señal, se obtiene la ecuación característica evaluando el determinante del grafo de flujo. - Si el sistema viene representado mediante diagramas de bloques, se obtiene la ecuación característica utilizando los métodos de simplificación de bloques, con las precauciones descritas anteriormente.

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Bibliografía• K. Ogata, Modern Control Engineering.• R. Dorf, R. Bishop: Sistemas de control moderno.• B. Kuo, F. Golnaraghi: Automatic Control Systems.• P. Bolzern: Fundamentos de control automático.• S. Martínez: Electrónica de potencia. Componentes, topologías y equipos

Enlaces de interés• http://www.uoc.edu/in3/e-math/docs/Fiab_1.pdf • http://laurel.datsi.fi.upm.es/~ssoo/STR/Fiabilidad.pdf• http://it.aut.uah.es/danihc/DHC_files/menus_data/SCTR/ToleranciaFiabilidad.pdf• http://isa.uniovi.es/docencia/TiempoReal/Recursos/temas/Fiabilidad.pdf• http://web.usal.es/~sebas/TEORIA/TEMA7-REGULACION.pdf• http://www.ing.unlp.edu.ar/controlm/electricista/archivos/apuntes/cap4.pdf• http://www.ie.itcr.ac.cr/gaby/Licenciatura/Analisis_Sistemas_Lineales/Presentaciones/

07_Estabilidadv2008s02.pdf• http://www.herrera.unt.edu.ar/controldeprocesos/tema_4/Tp4B.pdf

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