Control Aula21 Exercicio Diagrama de Bode A

custo

Profa Ninoska Bojorge

Outros Processos de Separao

Diagrama de Bode

Departamento de Engenharia Qumica e de Petrleo UFF Disciplina: TEQ102- CONTROLE DE PROCESSOS

Traado Aproximado: Devido s escalas empregadas nos Diagramas de Bode, estes podem ser construdos em forma aproximada mediante traos retos ou assntotas de mdulo e fase. Elas aproximam a curva real, somando-se as contribuies individuais de cada plo ou zero.

As figuras seguintes mostra os diagramas de Bode aproximados para funciones simples de 1 ordem. No caso de 2 ordem, as aproximaes podem ser bastante longe dos diagramas exatos, dependendo do fator de amortecimento.

5.A. Traado das Assntotas

2

Ganho constante K Mdulo: MdB = 20 log |K| Fase: = 0

5.A. Traado das Assntotas

3

4

5Considere-se a FT complexa G(s),

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )1 2 3 (13-23) =

LL

a b cG j G j G jG jG j G j G j

De teoria de variveis complexas, podemos expressar a magnitude e o ngulo de fase como segue:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )1 2 3 (13-24a) =

LL

a b cG j G j G jG jG j G j G j

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )1 2 3

[ ] (13-24b)a b cG j G j G j G j

G j G j G j

= + + + + + +

LL

Funes de Transferncia Complexa

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )1 2 3 (13-22)=LL

a b cG s G s G sG sG s G s G s

Substitui-se s=j,(1)

(2)

(3)

(4) 6

( )1N 2 21AR and tan 1= =

+

Diagrama de Bode

Diagrama de Bode para Sistema 1 ordem

seja:

O grfico, chamado de diagrama de Bode, fornece uma exposio conveniente das respostas caractersticas em frequncia de um modelo de funo de transferncia. constitudo por parcelas de AR e em funo de .

Normalmente, e expresso em unidades de radians/tempo .

- A baixa frequncia ( 0 e > 1):ARN = 1/ e = - 90

7

8

Figure 13.2 Bode diagram for a first-order process. (Seborg)

9 Note-se que as assntotas cruzam em , conhecidas como frequncia do ponto de interrupo ou frequncia angular. Aqui o valor de ARN :

1/ b= =

( )N 1AR 0.707 (13-30)1 1b= = =+ Alguns livros e software define-se AR de forma diferente, em termos de

decibis. Nesse caso, a relao de amplitude em decibis ARdB definida como:

(5)

(6)ARARdB log20=

10

Processo com elementos Integraoa funo de transferncia para o elemento com integrao foi definida na aula anterior como:

( ) ( )( ) (5-34)Y s KG sU s s

= =

( )AR (13-34) K KG jj

= = =

( ) ( ) 90 (13-35)G j K= = = o

(7)

(8)

(9)

11

Processo de Segunda OrdemUma funo de transferncia geral que descreve qualquer resposta subamortecida, criticamente amortecida ou sobreamortecidos de sistema de segunda ordem :

( ) 2 2 (13-40) 2 1KG s

s s= + + (10)

Seguindo o mesmo procedimento descrito para 1 ordem, obtm-se:

e:

Clique para editar os estilos do texto mestre Segundo nvel

Terceiro nvel Quarto nvel

12

Grficos de Bode de um sistema de 2da ordem

os grficos de Bode para um sistema de segunda ordem dependem do valor do fator de amortecimento (vide figura).

no grfico de AR se observa uma assntota de baixa frequncia de inclinao zero e uma assntota de alta frequncia de inclinao -2.

a frequncia de pto. de interrupo se localiza em 1/. A transio do AR desde baixa a alta frequncia depende do valor de . a baixas frequncias o ngulo fase se aproxima a 0, entretanto que a altas frequncias se aproxima a -180. Na frequncia pto de interrupo, o ngulo fase de -90.

13

Substituindo e reordenando:s j=

( ) ( )2 22 2AR (13-41a)1 2K=

+1

2 22 tan (13-41b)

1 =

Figure 13.3 Bode diagrams for second-order processes (Seborg).

(11a)

(11b)



Quando a frequncia tende para zero ou infinito o RA e a fase apresentam o seguinte comportamento assinttico:

14



Observa-se em algumas curvas existe um sobreimpulso, ou valor mximo. Para calcular o valor mximo de RA deve-se determinar o mnimo de:

15

ou seja,

e utilizando este valor de frequncia o RA ser:



Observe-se que, para sistemas superamortecidos

16

Para sistemas subamortecidos,RA tem amplitude mxima em uma frequncia chamada "frequnciade ressonncia", que foi determinada acima no clculo do valor mximo de RA. Assim, a frequncia de ressonncia :

Grficos de Bode para um sistema de segunda ordem(K = 1, = 1) 17

s j=

18

que pode ser escrita na forma racional pela substituio da identidade de Euler,

( ) cos sin (13-54)= = jG j e jde (13)

( )( )

2 2

1

AR cos sin 1 (13-55)sin tancos

G j

G j

= = + = = =

ou (13-56)=

Tempo mortoSuas respostas caractersticas em frequncia pode ser obtida atravs da substituio de ,

( ) (13-53)jG j e= (12)

(13)

(14)

(15)

19

Grficos de Bode de um sistema de tempo morto puro

Na seguinte figura se observam os grficos de Bode correspondentes a umsistema de tempo morto puro. Quando a frequncia aumenta, o ngulo fasese faz mais negativo. Quanto maior o valor do tempo morto, mais rpidodiminui o ngulo fase (se torna mais rapidamente negativo).

Figura - Diagramas de Bode de un sistema de tiempo muerto puro (tD = 0.1)

( ) ( 1)= +G s K s

20

( ) ( 1)= +G j K j

( )( ) ( )

2 2

1

AR 1 tan

= = += = +

G j K

G j

Processo Zeros

Substituindo s=j da

Considere-se um processo zero,

Assim:

Nota: Em geral, uma constante que multiplica (p.ex., K) muda o AR por um fator K , sem afetar .



Diagrama de Bode

21

Fazendo Grficos no Matlab

A resposta do processo a uma perturbao senoidal, com variando de 0 a chamada de resposta frequencial, e representada por um par degrficos denominados de diagramas de Bod, que representam em umgrfico log-log a RA contra a frequncia, e em outro semi-log a fase contraa frequncia como se v a seguir:

loglog(.01,.01,10000,10)gridxlabel('freqncia (rad/seg)')ylabel('RA')



22



23

semilogx(.1,-90,1000,90)gridxlabel('freqncia (rad/seg)')ylabel('fase')

24



Plotando processo de 2da ordem

25

PASSO 1: reescrever a funo transferncia em forma padro. Faa tanto nos termos do numerador e denominador de ordem mais baixa. O numerador um polinmio de 1 ordem, e o denominador a 2ordem.



PASSO 2: Separar a funo de transferncia em suas partes constituintes.A funo de transferncia tem quatro componentes:

26

Uma constante de 0,1 Um plo em s=-10 Um plo em s=-100 Um zero em s=-1

PASSO 3: Desenhe o BODE DIAGRAMA para cada parte.Isso feito nos diagramas a seguir.

27

A constante a linha azul --- (uma quantidade de 0,1 igual a -20 dB -). A fase constante em 0 graus

>> BodePaper(0.01,10000,-60,80,-180,135)

K =0,120log(0,1) = -20 dB

PASSO 3: Desenhe o BODE DIAGRAMA para cada parte.

http://lpsa.swarthmore.edu/Bode/BodePaper.html

28

>> BodePaper(0.01,10000,-60,80,-180,135)

plo em s = -10

O plo de 10 rad / s a linha verde ---. 0 dB at a frequncia de corte, e ento cai, com uma inclinao de -20 dB / dcada.A fase de 0 graus at 1 / 10 da frequncia de corte (1 rad / seg) depois cai linearmente at -90 graus em 10 vezes a quebra de frequncia (100 rad / seg).

Trao de referncia


29

>> BodePaper(0.1,100,-60,80,-180,135)

plo em s = -100

O plo em 100 rad / s a linha azul claro. 0 dB at a frequncia de corte, e ento cai, com uma inclinao de -20 dB / dcada. A fase de 0 graus at 1 / 10 da frequncia ruptura (10 rad / seg) depois desce linearmente at -90 graus em 10 vezes a quebra de frequncia (1.000 rad / seg).


30

>> BodePaper(0.01,10000,-60,80,-180,135)

Zero em s = 1

O zero a 1 rad / s a linha vermelha. 0 dB at a frequncia de interrupo, em seguida, sobe a 20 dB / grau.

A fase de 0 graus at 1/10 da frequncia quebra (0,1 rad / s), ento aumenta linearmente a 90 em 10 vezes a frequncia de ruptura (10 rad / seg).


31

>> BodePaper(0.01,10000,-60,80,-180,135)

PASSO 4: Desenhe o Diagrama BODE GERAL somando os resultados anteriores.

O resultado assinttico a Linha-amarela, uma Resposta Exata a Linha azul continua (por ex., obtida no Matlab).

num= 100*[1 1]den =[1 110 1000];sys = tf(num,den);bode(sys)

no Matlab seria:

32

Caractersticas de resposta de frequncia de Controladores Feedback

Controlador Proporcional. Considere um controlador proportional com gaho positivo

( ) (13-57)c cG s K=neste caso , o qual independente de . Assim,( )c cG j K=

AR (13-58)c cK=e

0 (13-59)c = o

(16)

(17)

(18)

( ) 11 11 1 + = + = =

Ic c c c

I I I

jG j K K K jj j

33

Controlador Proporcional-Integral. o controlador proporcional integral (PI) tem a funcao de transferencia ,

( ) 111 (13-60) Ic c cI IsG s K K

s s += + =

Assim, a razo de amplitude e ngulo de fase so:

( ) ( )( )2

2

11AR 1 (13-62)I

c c c cII

G j K K+= = + =

( ) ( ) ( )1 1 tan 1/ tan 90 (13-63)c c I IG j = = = o

Substitute s=j:

(19)

(20)

(21)

34

Figure 13.9 Bode plot of a PI controller, ( ) 10 1210csG ss+ =

35

Controlador proporcional derivativo Ideal. Para o controlador proporcional derivativo (PD):

As caractersticas de resposta de frequncia so semelhantes s de um zero LHP:

( ) ( )1 (13-64)c c DG s K s= +

( )2AR 1 (13-65)c c DK= +( )1 tan (13-66)D=

Controlador proporcional derivativo com Filtro. O controlador PD mais frequentemente realizado tem a funo de transferncia:

( ) 1 (13-67) 1Dc c DsG s Ks

+= +

(22)

(23)

(24)

(25)

36

Figure 13.10 Bode plots of an ideal PD controller and a PD controller with derivative filter.

Idea:

With Derivative Filter:

( ) 4 120.4 1csG ss+ = +

Controlador PID

Controlador PID paralelo.

( )1

11 c c DG s K ss = + +

( ) 11

1 1 1

Dc c

D

s sG s Ks s

+ += + 37

Controlador PID serie

Controlador PID serie com filtro

( ) ( )11

1 1 (13-73)c c DsG s K ss

+= +

38

Figure 13.11 Bode plots of ideal parallel PID controller and series PID controller with derivative filter ( = 1).Idea parallel:

Series with Derivative Filter:

( ) 10 1 4 1210 0.4 1cs sG ss s+ + = +

( ) 12 1 410c

G s ss

= + +

39



40

Mais informao nos livros de:

Smith & Corripio: Capitulo 8 - Lugar das razes e tcnicas de respostas de frequncia.

Seborg : Capitulo 14 - Frequency Response Analysis

http://lpsa.swarthmore.edu/Bode/BodeFiles.html1

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