Control Automatico II_129p

Notas de Clase Control Automtico 2Julio H. Braslavsky [email protected] 10 de julio de 2000

Resumen Estas notas son una transcripcin de las transparencias usadas para las clases de Control Automtico 2 dadas en el cuatrimestre de otoo de 2000. No pretende ser un apunte completo para el curso, sino una gua detallada para el estudio del material citado como biliografa recomendada, en el cual se basa.

ndice General1 Introduccin 1.1 Introduccin a Control Automtico 2 1.1.1 Representacin Externa . . . 1.1.2 Representacin Interna . . . 1.1.3 Sistemas Estacionarios . . . 1.2 Panorama de la Materia . . . . . . . 1.3 Bibliografa y Material de Estudio . . 1.4 Cursado y Regularizacin . . . . . . 1.5 Calendario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 4 4 4 5 5 6 6 6 8 8 9 9 10 10 11 12 15 15 16 16 17 19 19 20 21 22 22 23 24 24 24 27 27 28 29 30 31 31 32 32 33 34 35

2 Descripcin Matemtica de Sistemas 2.1 Una taxonoma de sistemas . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Sistemas Lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Sistemas lineales estacionarios . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Representacin entrada-salida . . . . . . . . . . 2.3.2 Representacin en Espacio de Estados . . . . . 2.4 Representacin en diagrama de bloques . . . . . . . . . 2.5 Linealizacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6 Sistemas discretos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.1 Descripcin entrada-salida de sistemas discretos 2.6.2 Representacin en Espacio de Estados . . . . . 2.7 Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 Herramientas de lgebra Lineal 3.1 Vectores y Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Bases y Ortonormalizacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Norma de vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2 Ortonormalizacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Ecuaciones Lineales Algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Transformaciones de Similitud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5 Forma Diagonal y Forma de Jordan . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.1 Autovalores y autovectores . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.2 Forma Companion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6 Funciones de Matrices Cuadradas . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6.1 Polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6.2 Polinomio mnimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6.3 Funciones matriciales no necesariamente polinomiales 3.6.4 Series de Potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6.5 Diferenciacin e Integracin Matricial . . . . . . . . . . 3.6.6 La Exponencial Matricial . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7 Ecuacin de Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.8 Formas Cuadrticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.8.1 Matrices denidas y semi-denidas positivas . . . . . . 3.9 La Descomposicin en Valores Singulares (SVD) . . . . . . . . 3.10 Normas de Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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ndice General

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3.11 Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.12 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Solucin de la Ecuacin de Estado y Realizaciones 4.1 Solucin de Ecuaciones de Estado Estacionarias . . . . . . . . . . 4.1.1 Comportamiento asinttico de la respuesta a entrada nula 4.1.2 Discretizacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Ecuaciones de Estado Equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1 Equivalencia a estado cero . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.2 Parmetros de Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Formas Cannicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.1 Forma cannica modal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.2 Forma cannica controlable . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.3 Forma cannica del controlador . . . . . . . . . . . . . . . 4.4 Realizaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.1 Realizacin Mnima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.2 Sistemas Discretos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5 Solucin de Ecuaciones de Estado Inestacionarias . . . . . . . . . 4.5.1 Matriz Fundamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.2 Caso Discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6 Ecuaciones Inestacionarias Equivalentes . . . . . . . . . . . . . . 4.7 Realizaciones de Sistemas Inestacionarios . . . . . . . . . . . . . 4.8 Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.9 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Estabilidad 5.1 Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Estabilidad Entrada-Salida de Sistemas Estacionarios . . . . 5.2.1 Representacin externa . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.2 Caso MIMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.3 Representacin interna . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.4 Caso discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Estabilidad Interna de Sistemas Estacionarios . . . . . . . . 5.3.1 Sistemas discretos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4 El Teorema de Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5 Estabilidad Interna de Sistemas Discretos . . . . . . . . . . . 5.6 Estabilidad de Sistemas Inestacionarios . . . . . . . . . . . . 5.6.1 Estabilidad entrada/salida . . . . . . . . . . . . . . . . 5.6.2 Estabilidad interna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.6.3 Invariancia frente a transformaciones de equivalencia 5.7 Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.8 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Controlabilidad y Observabilidad 7 Especicaciones y Limitaciones de Diseo 7.1 Sensibilidad y Robustez . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.1 Perturbaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.2 Incertidumbre . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 Funciones de Sensibilidad . . . . . . . . . . . . . . . 7.3 Especicaciones de la Respuesta en Frecuencia . . 7.4 Robustez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4.1 Estabilidad Robusta . . . . . . . . . . . . . . 7.4.2 Desempeo robusto . . . . . . . . . . . . . . 7.5 Restricciones algebraicas en y . . . . . . 7.6 Especicaciones de diseo en la respuesta temporal 7.7 Restricciones en la Respuesta al Escaln . . . . . . 7.7.1 Efecto de ceros y polos en el eje imaginario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 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ndice General

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7.8 Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.9 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 Realimentacin de Estados y Observadores 8.1 Panorama del captulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2 Nota Histrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3 Realimentacin de Estados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3.1 Otra receta para calcular . . . . . . . . . . . . . . . 8.4 Estabilizacin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.5 Regulacin y Seguimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.5.1 Seguimiento Robusto: Accin Integral . . . . . . . . . 8.6 Observadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.6.1 Una primer solucin: Observador a lazo abierto . . . 8.6.2 Una solucin mejor: Observador a lazo cerrado . . . 8.6.3 Observador de orden reducido . . . . . . . . . . . . . 8.7 Realimentacin de estados estimados . . . . . . . . . . . . . 8.8 Realimentacin de estados caso MIMO . . . . . . . . . . . 8.8.1 Diseo Cclico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.8.2 Diseo via Ecuacin de Sylvester . . . . . . . . . . . 8.8.3 Diseo Cannico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.9 Observadores MIMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.9.1 Observador MIMO de orden reducido . . . . . . . . . 8.9.2 Nota Histrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.10 Consideraciones de diseo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.10.1 Dicultades de la realimentacin de ganancia elevada 8.10.2 Resumen del proceso de diseo . . . . . . . . . . . . 8.11 Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.12 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Introduccin al Control ptimo 9.1 Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . 9.1.1 El Principio de Optimalidad . . 9.1.2 Nota Histrica . . . . . . . . . 9.2 Control LQ discreto . . . . . . . . . . . 9.2.1 Transicin . . . . 9.2.2 Transicin . . . . 9.2.3 Transicin . . . . . . 9.3 Control LQ en tiempo continuo . . . . 9.4 Control LQ de Horizonte Innito . . . . 9.5 Estimadores ptimos . . . . . . . . . 9.5.1 Modelos de sistemas con ruido 9.5.2 Filtro de Kalman discreto . . . 9.6 Notas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.7 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

86 87 89 89 90 90 94 94 94 97 98 99 99 101 102 104 104 106 107 107 108 108 108 109 110 110 112 114 114 114 115 116 116 117 117 119 119 121 121 122 125 126

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Captulo 1

Introduccin1.1 Introduccin a Control Automtico 2

Esta materia es un curso avanzado en sistemas lineales y tcnicas de control, que introduce la representacin y el diseo de sistemas en dominio temporal. Los sistemas a los que nos referiremos a lo largo de la materia son representaciones matemticas de sistemas fsicos, y el tipo de representacin considerada son las ecuaciones en variable de estado. En general, vamos a asumir que el modelo del sistema fsico est disponible. Es decir, no vamos a profundizar en la obtencin de este modelo, que puede hacerse utilizando tcnicas de modelado a partir de leyes fsicas (como en Procesos y Mquinas), o a travs de estimacin paramtrica (como en Identicacin).

1.1.1 Representacin ExternaA partir de la propiedad de linearidad, un sistema puede describirse mediante la ecuacin integral

La ecuacin (1.1) describe la relacin entre la seal de entrada y la seal de salida , ambas funciones, en general vectoriales, de la variable real , el tiempo. Este tipo de representacin es entrada-salida o externa, y el sistema en s est descripto como un operador, denotmoslo , que mapea la funcin en ,

Para cada posible seal de entrada , el operador computa la salida est denida por la funcin , intrnseca al sistema.

a travs de la integral (1.1), que

1.1.2 Representacin InternaLa descripcin externa (1.1) vale para sistemas a parmetros distribuidos (como las lneas de transmisin de energa elctrica). Cuando el sistema es a parmetros concentrados, entonces tambin puede describirse por ecuaciones del tipo

Notar que la ecuacin (1.2) es un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden, mientras que la ecuacin (1.3) es un sistema de ecuaciones algebraicas. Conforman lo que se conoce como representacin interna de sistemas lineales. Como el vector se denomina el estado del sistema, el conjunto de ecuaciones (1.2), (1.3) se denominan ecuacin en espacio de estados, o simplemente, ecuacin de estado.

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0

0

G

T

0

G

1

G

b(F2IHF2xwSF2 e 3Cut532 0 1 G1 v h 1 1 s 4 1 1 G1 p h 1 1 f 4 1 3CrHF2qgiF2 e F2"gF2 d e

Aa 8@ bc1SQR(PIGH(FDCC 8 6`YF2 0 E E 1 4 1 T G 4 0 U 0 XG VT W

A B 8@ 1 Q E G ED1 8 6 4 1 SR(PIH(FCC 97532 0 A T e

(1.1)

(1.2) (1.3)

1. Introduccin

5

1.1.3 Sistemas EstacionariosSi el sistema es lineal, adems de ser a parmetros concentrados, estacionario, entonces las ecuaciones (1.1), (1.2) y (1.3) se reducen a

Para los sistemas lineales estacionarios es posible aplicar la transformada de Laplace, que es una herramienta importante en anlisis y diseo (Control Automtico 1). Aplicando la transformada de Laplace a (1.4) obtenemos la familiar representacin

donde la funcin es la funcin o matriz transferencia del sistema. Ambas (1.4) y (1.7) son representaciones externas; (1.4) en el dominio temporal, y (1.7) en el dominio frecuencial.

1.2

1. Introduccin 2. Descripcin Matemtica de Sistemas 3. Herramientas de lgebra Lineal 4. Solucin de la Ecuacin de Estado y Realizaciones 5. Estabilidad 6. Controlabilidad y Observabilidad 7. Especicaciones y Limitaciones de Diseo 8. Realimentacin de Estados y Observadores 9. Introduccin al Control ptimo2. Descripcin Matemtica de Sistemas 2.1. Una taxonoma de sistemas 2.2. Sistemas lineales 2.3. Sistemal lineales estacionarios 2.4. Linealizacin 2.5. Sistemas discretos 3. Herramientas de lgebra Lineal 3.1. Vectores y matrices 3.2. Bases y ortonormalizacin 3.3. Ecuaciones lineales algebraicas 3.4. Transformaciones de similaridad 3.5. Forma diagonal y forma de Jordan 3.6. Funciones matriciales 3.7. Ecuacin de Lyapunov 3.8. Algunas frmulas tiles

A A C31C q4B A I G 5 0 4

Panorama de la Materia3.9. Formas cuadrticas y matrices denidas positivas 3.10. Descomposicin en valores singulares 3.11. Normas de matrices 4. Solucin de la Ecuacin de Estado y Realizaciones 4.1. Solucin de ecuaciones de estado estacionarias 4.2. Cambio de coordenadas 4.3. Realizaciones 4.4. Sistemas lineales inestacionarios 5. Estabilidad 5.1. Estabilidad entrada-salida 5.2. Estabilidad interna 5.3. Teorema de Lyapunov 5.4. Estabilidad de sistemas inestacionarios 6. Controlabilidad y Observabilidad 6.1. Controlabilidad 6.2. Observabilidad 6.3. Descomposiciones cannicas 6.4. Condiciones en ecuaciones en forma de Jordan 6.5. Ecuaciones de estado discretas 6.6. Controlabilidad y muestreo 6.7. Sistemas inestacionarios 7. Especicaciones y Limitaciones de Diseo 7.1. Funciones de sensitividad 7.2. Especicaciones de diseo 7.3. Limitaciones en la respuesta temporal

1 E G iQ (PIH(E

b(F12IGg(F2 e t532 0 v h 1 s 4 1 1 32IGBpwSF2 e gF2 d e h 1A f 4 1 y 1 C 8 6 532 0 4 1

(1.4) (1.5) (1.6)

(1.7)

1. Introduccin

6

7.4. Limitaciones en la respuesta frecuencial 8. Realimentacin de Estados y Observadores 8.1. Realimentacin de estados 8.2. Regulacin y seguimiento 8.3. Observadores 8.4. Realimentacin de estados estimados 8.5. Realimentacin de estados Caso MIMO 8.6. Observadores Caso MIMO

8.7. Realimentacin de estados estimados Caso MIMO 9. Introduccin al Control ptimo 9.1. El principio de optimalidad 9.2. Regulador ptimo cuadrtico 9.3. Estimador ptimo cuadrtico 9.4. Control ptimo cuadrtico Gaussiano

1.3

Bibliografa y Material de Estudio

El programa sigue principalmente los libros (en ingls, sorry!) 1. Chi-Tsong Chen. Linear System Theory and Design. Oxford University Press, 3rd edition, 1999. 2. John S. Bay. Fundamentals of Linear State Space Systems. WCB/McGraw-Hill, 1999. Otros libros recomendados: 3. Wilson J. Rugh. Linear System Theory. Prentice Hall, 2nd edition, 1995. 4. T. Kailath. Linear Systems. Prentice Hall, Englewood Cliffs, NJ, 1980. 5. E.D. Sontag. Mathematical control theory. Deterministic nite dimensional systems. Springer-Verlag, 2nd edition, 1998.

1.4

Cursado y Regularizacin

Regularizacin: La materia se regulariza aprobando los dos parciales y los trabajos prcticos con un promedio de por lo menos 60%. De ser necesario, habr un parcial recuperatorio. Aprobacin: La materia se aprueba en el examen nal, consistente de dos partes: prctica y coloquio. Para regulares, la prctica cubre los captulos no includos en los trabajos prcticos y parciales. No regulares (libres) rinden prctica sobre toda la materia. El coloquio es no promocionable y cubre toda la materia. El promedio de regularizacin contribuye a la nota del examen nal en la siguiente proporcin: Parciales: Trabajos Prcticos: Prctica Final: Coloquio Final: 40% 20% 20% 20%

1.5

CalendarioL UNES M ARTES Clase 1 7 8 2 15 2 22 3 M IRCOLES Clase 2 9 J UEVES 10 V IERNES

Mar 6 1 13 2 20 3

Clase 3

14

Clase 4

16

17

Clase 5

21

Clase 6

23

24

1. Introduccin

7

L UNES 27 3 Abr 3 4 10 4 17 5 Clase 7 28

M ARTES 29 3 5 4 12 4 19 5

M IRCOLES Clase 8

J UEVES 30 31

V IERNES

Clase 9

4

Clase 10

6

7

Clase 11

11

Clase 12

13

14

Clase 13

18

Clase 14

20 Jueves santo 27 Mesas de abril 4

21 Viernes santo 28 Mesas de abril 5

24 Clase 15 Mesas de abril 5 May 1 D. del Trabajador 8 6 15 6 22 7 29 7 5 8 Clase 17

25 Mesas de abril 2

26 Clase 16 Mesas de abril 6 3 Primer parcial 10 6 17 7 24 7 31 8 7 8 14 8 21 9 28 9 5 9 Clase 18

9

11

12

Clase 19

16

Clase 20

18

19

Clase 21

23

Clase 22

25

26

Clase 23

30

Clase 24

Jun 1

2

Clase 25

6

Clase 26

8

9

12 Segundo parcial 19 8 26 9 Jul 3 9 Clase 28

13

Clase 27

15

16

20

Clase 29

22

23

Clase 30

27

Clase 31

29

30

Clase 32

4

Clase 33

6

7 Entrega de Actas

Captulo 2

Descripcin Matemtica de Sistemas2.1 Una taxonoma de sistemasG G y 1 1 G y1

Uno de los problemas ms simples en robtica es el control de la posicin de un brazo simple de robot usando un motor colocado en la junta. Matemticamente, este sistema no es ms que un pndulo controlado por torque. Asumiendo que la friccin es despreciable, que el brazo es rgido, y que toda la masa del brazo est concentrada en el extremo libre, aplicando las leyes de Newton, el ngulo respecto de la vertical est dado por la ecuacin diferencial

El brazo simple de robot es un ejemplo de lo que se llama un sistema dinmico, causal, de tiempo continuo, nito-dimensional, no lineal y estaFigura 2.1: Pndulo cionario. Dinmico se reere a que las variables que denen el estado del brazo en un instante dado, y , no dependen en forma instantnea del torque de control . Si por ejemplo se aplica un valor de torque constante, tomar un tiempo no nulo en alcanzar su valor de equilibrio. Un sistema no dinmico es esttico, y en l la salida depende en forma instantnea de la entrada. Un ejemplo es un amplicador electrnico donde efectos capacitivos e inductivos son despreciables. Los sistemas estticos suelen llamarse tambin sin memoria. Un sistema es causal o no anticipativo si la salida en un Figura 2.2: Amplicador instante dado depende de los valores presentes y pasados de la entrada, y no de valores futuros. Sistemas anticipativos o predictivos pueden adivinar entradas futuras. Ningn sistema fsico real es anticipativo. La salida actual de un sistema causal depende del pasado de la entrada. Pero cunto tiempo atrs tienen efecto valores pasados de la entrada? Estrictamente, habra que volver atrs en el tiempo hasta , lo que no es muy prctico. El concepto de estado salva este problema.

El estado resume toda la historia del sistema desde hasta : conociendo el valor de ngulo y velocidad angular en , podemos predecir la respuesta del brazo de robot a valores de torque para todo .

8

1 3C 0

y1

y t1 1

El estado entrada

de un sistema en el instante es la informacin en que junto con la para determina unvocamente la salida para todo .

y1

0

b 1 G 4 1 h 1 R3CrF2 HX 3C d 1 F2rG y 2 e 1 y1 d y 2 e 1 1 G y 1 1

(2.1)

2. Descripcin Matemtica de Sistemas

9

Podemos pensar que la entrada para sistema para

y las condiciones iniciales

El ejemplo del brazo de robot es nito-dimensional, puesto que el estado en un instante cualquiera de tiempo puede ser caracterizado completamente por un nmero nito de parmetros (en este caso, dos: ngulo y velocidad angular). Un ejemplo de sistema innito-dimensional aparece en el problema de regulacin de la temperatura del aula por medio de acondicionadores de aire. La temperatura aparece como una distribucin en todo el volumen del aula, y su caracterizacin completa requiere un nmero innito de datos (la temperatura en todos los puntos del aula). El trmino en tiempo continuo se reere al hecho de que la variable es continua, en contraste al caso de un sistema denido por una ecuacin diferencia

2.2

Sistemas Lineales

Un sistema se llama lineal si cumple con el principio de superposicin, es decir, dados dos pares de condiciones iniciales y entradas,

tenemos que

La propiedad (2.3) es de aditividad, y la propiedad (2.4) de homogeneidad. La combinacin de ambas es la propiedad de superposicin La propiedad de aditividad permite considerar la respuesta del sistema como la superposicin de la respuesta a condiciones iniciales y excitacin aplicadas por separado.

La respuesta de un sistema lineal es la superposicin de su respuesta libre (a condiciones iniciales, sin excitacin) y su respuesta forzada (a excitacin, con condiciones iniciales nulas relajado). Los sistemas no lineales, como el brazo de robot, no cumplen con el principio de superposicin.

2.3

Sistemas lineales estacionariosy 11SDHF2rG 1 f e y 1 1 D1 i232 e y C e 1

Un sistema es estacionario si para cada par condiciones iniciales y entrada (2.5)

y iHF2rG 1 1 D1 f e }`5 y C e 4 1 y 1t1S~}w4F2rG D 1 f e y C e 1

y SH3C k G 1 1 D1 b v$tus y C k e 1 y 1 1 D1 G h 1 tiHF2 r wSF2 q y 2 r e S y 2 q 1 h 1

m

para

1 3C e

y 2 e 1

1

D oDj up%n4

y 1t1lD232 x e z 1

y SHF2 w e 1 1 D1

y du1 1

determinan la evolucin del

y 11lDHF2 k G 1 f e y 1 1 D1 k tSHF2 e y 2 e 1 k

yzzz

zzz

z|

{

e 1 1 D1 x h 1 w 4 1 By tYlHF2 e 3C e YF2 e

y 11iD232IG 1 gBy f e tSHF2 e 1 1 D1 y 2 e 1 G f By e tSHF2 e 3C %e 1 1 D1 r h 1 q e s s f e y 1 1 D1 k tSHF2 e s ih ih b e gh e 4 7h e G p f j 1

y tY1 1

(2.2)

(2.3) (2.4)


10

y cada

Es decir, el sistema responde da la misma respuesta, corrida en tiempo, si se le aplica la misma entrada corrida con iguales condiciones iniciales. Un sistema que no cumple esta propiedad se dice inestacionario.

2.3.1 Representacin entrada-salidaPor superposicin se deduce la representacin de sistemas lineales mediante la integral de convolucin

causalidad

para

,

y como las condiciones iniciales se asumen nulas, (2.7) se reduce a

La condicin de causalidad para un sistema lineal estacionario se reduce a

para

2.3.2 Representacin en Espacio de EstadosTodo sistema lineal nito-dimensional puede describirse mediante ecuaciones de estado (EE)

de evolucin de entrada

de salida de ganancia directa

Cuando el sistema es adems estacionario, entonces la representacin en EE se reduce a

v 1 t 3C 0

v 1 t F2rG

Para un sistema de orden , el vector de estados es un vector , es decir que tiene para cada . Si el sistema tiene entradas y salidas, entonces matrices se suelen llamar

variables de estado, e . Las

} 91

} 4 1 wF2

j

U Ht v v U H$t v s

B

As podemos redenir se reduce a

simplemente como

. La representacin entrada-salida del sistema

.

A

Si el sistema tiene entradas y salidas, entonces hablamos de la matriz de respuesta al impulso . Si el sistema es estacionario entonces para cualquier se cumple

t R32 ED1

donde es respuesta al impulso: la salida del sistema a un impulso unitario (Chen 1999). La causalidad implica que

en el instante

(2.8)

E

1 F2

(E

b h y SHF2 r `( 2rG e 1 1 D1 G h 1 f h y tSH 2 e 1 1 D 1 h y C e 1 1 2 b E rQ (E y y 1G E 2IH( 8 7IR(PIH(E C 8 7532 0 6 4 E Q E G 1 6 4 1 b } RpD E E u1 }D pcE 2 1 1 4 2 Y 3D R2 5(32 h E h 1 4 ED1 b(F2IHF2xwSF2 e 3Cut532 0 1 G1 v h 1 1 s 4 1 1 G1 p h 1 1 f 4 1 3CrHF2qgiF2 e F2"gF2 d e ED1 R32 D E Q E G ED1 IR(PIH(FCC V7532 0 6 4 1 8@ b E Q E G ED1 IR(PIH(FCC 8 7532 0 6 4 1 } 4 ED1 `5(FC2 b 1 G v h 1 s 4 1 (F2Ig(F2 e t532 0 1 G p h 1 f 4 1 32IBwSF2 e gF2 d e 1 vD sD pD H52uf v 1 Yt 32 e U t v p U $t v f Hv

v t

, tenemos que (2.6)

(2.7)


11

Aplicando la transformada de Laplace a (2.8) obtenemos

de donde siguen

y de y . Las transformadas inversas Las ecuaciones algebraicas (2.9) permiten computar dan e . Asignando vemos que la matriz transferencia del sistema es

En M ATLAB las funciones tf2ss y ss2tf permiten pasar de una representacin a otra. Ejemplo 2.1. Supongamos que el brazo de robot trabaja tomando objetos de distinta masa. Entonces vara con cada objeto y tenemos que escribir

El sistema se convierte en inestacionario. Ejemplo 2.2. Consideremos un cohete a reaccin que asciende en forma vertical de la supercie de la tierra. La fuerza de propulsin es el producto , donde es la velocidad relativa de escape de gases, y la velocidad de variacin de masa , supuestas constantes. Asumiendo la aceleracin de la gravedad constante,

EE

Figura 2.3: Cohete

El sistema es lineal, de dimensin 2, e inestacionario.

2.4

Representacin en diagrama de bloques

El diagrama de bloques se obtiene en forma directa de las EE.

tiene el diagrama de bloques de la Figura 2.4.

} o

1 re 31C F12IGch F3C q e o F2 0 4 1 q r 1 e j 1 F32 dr e h F2 1 q F2 e } b o 4 32 dq e 1

Ejemplo 2.3. El sistema

(2.10)

1 F2

1 3C d

F

Como

, entonces . Deniendo y y tomando como salida la altura, llegamos a la representacin en

Pr G

1 F2 r e j F2 0 1 F2 q e } 4 1 8 @ @ @ 32 r e 1 32 r e 1 }`45 e D h } h F32 q e j } }} 4 F32 q dd e 1 1 } U r 1 F2 4 F2 e 1 U y 3Cd d 1 F2 4 F12 q e G 4 1 1 y Gh y 4F12 b y G h F2 5F2 3C 1 4 1 1

} e

0

}

} 4 } wY e P e b(Pr G vgp h h } q Yf us S G p q Yf S h } p 1 3C d yG

b 1 G 4 1 1 (F2rtF2 H" F2 SF2 3C h 1 1

D(Pr G gSP v h p h I G g(2.9)

A vwhp q Yf uY s 4 1 F2 0 F2 e 1

e p 4 q Yf 5 e p q Yf 5 4

e t5 0 s 4 e g e e f 4 } 0 } 9 y G e


12

Figura 2.4: DB del sistema (2.10)

2.5

Linealizacin

La gran mayora de los sistemas fsicos son no lineales. Una clase importante de ellos se puede describir por las ecuaciones de estado

donde y son campos vectoriales no lineales, es decir, escrita en trminos escalares, la componente de en (2.11) es

Este tipo de sistemas se trata en detalle en Sistemas No Lineales. Una ecuacin de estado lineal es una herramienta til para describir sistemas como (2.11) en forma aproximada. El proceso de obtencin de un modelo lineal a partir de uno no lineal se llama linealizacin. La linealizacin se realiza alrededor de un punto o trayectoria de operacin, denida por valores nominales , y que satisfacen (2.11),

Nos interesa el comportamiento de la ecuacin no lineal (2.11) para una entrada y estado inicial cercanos a los valores nominales, es decir y para y sucientemente pequeos para . Suponemos que la correspondiente solucin permanece cercana a la nominal, y escribimos para cada . En trminos de la ecuacin de estado no lineal (2.11) tenemos

h1 4 1 3C e F2 e

m

1 3C 0 y e (2.11)

1 3CHG

k 4 1 k b y e 5 y C e

y e h y e Y y 2 e S y 2 e 23H3CHwSF2G H3C e SF2 e dY32 d e SF2 d e 4 1 h 1 D1D1G h 1 D1 h 1 4 1 h 1

o

y e h y e 4 y e 1 1 DbbbD 1 1 GDbbbD1 G1 DbbbD1 FH y 2 e HHH y 2 q e HF2 HHHF2 q 232 e HHF2 q e k nF2 dk e 4 1 1 r F2 e 1 F2 q e 1G h 1 4 1 32H32IG 32IG o D 1D R3H y e Y y 2 e R3H 4 1 D 1D ~} b 1 32 q d e 1 F2 dr e y 11iD232I G 1 gBy f e tSHF2 e 1 1 D1 y 2 e 1 y 2 1 y 2 1 e H3CrHH3C D1 GD1 e H3CrHH3C D1 GD1 y t1 1 y t1 1 1 32IG e 532 0 4 1 e %dF2 d e 4 1 y e F2 e 1 1 3C e 1 32 d e o 1 3CrG

r 2 h b 2 h w" l HC lG 4 h rd 0 r H h i 2" H2 r d qG 4 hEjemplo 2.4. Consideremos el pndulo invertido sobre un carro mvil de la Figura 2.6. Las ecuaciones de movimiento son

31DH31CrGHDH3C e Y32 0 1 4 1 e b 1D1 D1 (FHF2IG HF2 e G F2(FHF2rG HF2 e YF2"f 4 1 p D 1D1 D1 4 1 e y ` y e 5 y 2 e 2322HF2wSF2 e F2"g5F2 d e 4 1 D1G1 p h 1 1 f 4 1donde

1 F22G

1 32 e

e

G1D HHFrG D e DbbbDj HH4Repitiendo la operacin para cada y volviendo a la notacin vectorial, obtenemos

G h e 1 D e 5 3G D

G23 G D e 1D e 3G 1D

G qG h G1D k H2wh q 23G D e k h q e e D e h 1D k 2Hh q e FrG D e k h 1D FrG D e k nFD gqG D e h e k 1 G h m

Asumiendo diferenciabilidad, podemos expandir el lado derecho de esta ecuacin usando series de Taylor alrededor de y , reteniendo slo los trminos de primer orden. Notar que la expansin es en trminos de y ; no se hace con respecto a la tercer variable . Especicamos la operacin para la componente , que queda 1

1


Figura 2.5: Trayectoria de operacin y aproximacin

m

De igual manera se expande la ecuacin de salida cin lineal

Notar que las EE obtenidas por linealizacin van a ser en general inestacionarias, an cuando las funciones originales y sean estacionarias, debido a que las matrices Jacobianas se evalan a lo largo de trayectorias y no puntos estacionarios.

e b 1D1 D1 R3HF2G H3C e G Y32XR3HF2G H3C e 5F2us 4 1 v D 1D1 D1 4 1

1D1 D1 FHF2rG HF2 e F2 0 4 1

1 32 0 F2 0 YF2 0 1 4 1

Dado que la relacin entre y aproximadamente descripto por una EE lineal inestacionaria de la forma

D y e y 12 e R3HF2G H3C e %3C 4 D 1D1 D1 4 1 C bb x x Hb x b b b b b b b b Cb b b HHHHb b b Hb x C x x bb x Hb x x x e h 1 D 1 e 1 e pF2rG HF2 dY32 d

1 F2 e 1 3C e

1 F2 e

1 1 3CrG 32 e

donde la notacin

representa el Jacobiano, o Matriz Jacobiana, del campo vectorial

donde y

, de donde obtenemos la aproxima-

(el modelo incremental) queda

, con

D1 G1 v h 1 1 s 4 1 HF2 H3CxgS32 e F2u7F2 0

de

e

con respecto a , (2.12) 13 ,

h 1 SF2 d e

y e ye

G

e


14

Figura 2.6: Pndulo invertido.

y

Deniendo , , , y est dada como

y

vemos que el sistema tiene la forma

, donde

Como trayectoria de operacin tomamos , , que es fcil ver que satisface (es un equilibrio). Las matrices y de los respectivos Jacobianos de evaluados sobre esta trayectoria son

Ejemplo 2.5 ((Rugh 1995)). Volvemos al ejemplo del cohete de la clase pasada. Las ecuaciones de movimiento eran

donde ahora tomamos la velocidad de cambio de masa libre (ejercicio en la clase anterior). Deniendo como una variable de estado ms, y denotando , , ,y tomando como una entrada independiente llegamos al modelo no lineal

Consideramos ahora su linealizacin alrededor una trayectoria nominal correspondiente a un valor constante de la entrada . No es difcil calcular la trayectoria nominal explcitamente mediante integracin directa, primero de , luego y nalmente . Haciendo las cuentas obtenemos

1 Por

simplicidad no escribimos la dependencia temporal de

y .

1 D1 YpF2rG HF2 e %

v t e

1 3C F2 e F2 d u3C r e 3C uF2 q e 4 1 1 4 1 1 4 1 1 F2 d F2rG 4 1

G HD e %d4 d e

w q} b 4 }D } ~ q }

X p f 1}gF2IG `532 1 } 1 ( w l e w P P c w re b 1 y gh G (y h h 1 1 y G Yj y (y y uy yG h 1o h h 1yG 1 y G j 1 y G j r 1 q F2 %e 1 r F2 e 1 32 e } 7 y G G 4 G 4 9p 0 G d 4 e j }} } w } 1 F2rG 1 3C d e 1 e 3C b F12IG h 4 3C r d e 1 1 3C q d e 1 3C r e w4 e d 0 4 r e 0 4 q e D 1 (F2IG c } p j } } } G %D % G 4 %DD G %D G h F2 5F2 3C 1 4 1 1 } } } } e e 4 G e r 5HD e % e q e 4 }D } p Vf 4 y 4Y3C e 1 Y3C r e 4 1 4 1 q Y3C %e 1 F2rG 1 32 v t G }


15

Substituyendo los valores nominales (slo los de y variables incrementales

Las condiciones iniciales para las variables incrementales estn dadas por

2.6

Sistemas discretos1

La mayora de los conceptos de EE para sistemas lineales continuos puede transladarse directamente a sistemas discretos, descriptos por ecuaciones diferencia. En este caso la variable temporal slo asume valores en un conjunto denumerable (cuyos elementos pueden contarse 2 ). Cuando el sistema discreto se obtiene a partir de un muestreo de un sistema continuo, vamos a considerar slo el caso de muestreo regular, donde , , donde es el perodo de muestreo. En este caso denotamos las variables discretas (secuencias) como , etc. Los conceptos de dimensin nita, causalidad, linealidad y el principio de superposicin de las respuestas debido a condiciones iniciales y entradas, son exactamente como en el caso continuo. Una salvedad: a diferencia del caso continuo, retardos puros no dan lugar a un sistema de dimensin innita si el retardo es un mltiplo del perodo de muestreo .

2.6.1 Descripcin entrada-salida de sistemas discretos

si si

donde y son nmeros enteros. Notar que en el caso discreto los impulsos son fcilmente realizables fsicamente. En un sistema lineal discreto toda secuencia de entrada puede representarse mediante la serie

Si denota la salida de una sistema discreto a una secuencia de impulsos aplicada en el instante , entonces tenemos que

(por homogeneidad) (por aditividad)

2 Es

decir, ponerse en correspondencia con los nmeros naturales.

h

b

G

ihI

Denimos la secuencia de impulsos

como

h ih IG G h h 4 1 bbb o Dj D } Hqa%p~4

} j yG y yG y b 1 (F2HG 1 w h h 1 SF2 e r F1 g h y G x } } ` n 1 1 4 1 F12rG F2IY32 G 32 e 3C e F2 e 1 G 4 1 32IG F2 e 1 1 j } b e 5%D e G D r e %G x 4 G } }y

Los Jacobianos necesarios son

G

ihI b G

ih i D h i G D h ( D

h 4 4 h

y b } } 4 } e e }

j } }

j

} f xihI 4

} } } j } } } }

ihI G D G D ihI xihI

ih D ih 4 G

}

e 4 G Y%D e 4 1 F2 d e h

aparecen) obtenemos la EE linealizada en las


16

Si el sistema es causal no habr salida antes de que la entrada se aplique, por lo que causalidad para

Para sistemas discretos causales la representacin (2.13) se reduce a

y si adems tenemos estacionariedad, entonces vale la propiedad de invariancia respecto de corrimientos en el tiempo y llegamos a la representacin del sistema mediante la convolucin discreta

2.6.2 Representacin en Espacio de EstadosTodo sistema discreto lineal nito-dimensional puede describirse mediante EE (diferencia)

y en el caso estacionario

En este caso, tiene sentido hablar de funciones transferencia discretas, . La relacin entre funcin transferencia discreta y representacin de estados es idntica al caso continuo,

y sirven las mismas funciones de M ATLAB ss2tf y tf2ss.

2.7

ResumenLa matriz transferencia es racional sii el sistema es lineal, estacionario y de dimensin nita. Las representaciones externas asumen condiciones iniciales nulas.

Los sistemas de dimensin innita no pueden describirse en EE.

Mediante linealizacin, puede describirse el comportamiento de un sistema no lineal en forma aproximada mediante un modelo en EE incremental lineal.

La linealizacin se realiza alrededor de una trayectoria de operacin nominal conocida, y los modelos incrementales obtenidos sern, en general, inestacionarios.

Los sistemas discretos tienen representaciones equivalentes a las de sistemas continuos mediante series de convolucin, funciones transferencia en transformada , y EE diferencia. A diferencia del caso continuo, los retardos puros no necesariamente dan lugar a un sistema discreto distribuido.

h 4 P

A

xih y xih y ih b G 4 G 4 0

ih.

As la salida

excitada por la entrada

h

G

h ih h D G gh v ih ih ih G gh p

D v h gp q Yf RPutYP s 4

ih h ih b wh e 74 0 G v s h ih ih G p gh e 4 7h e f j

ih ih b G D 4 0 ih 0 } w4 @ ih ih D G D 4 0 ih D e ih 74 ih 0 s e h 4 7h ih e f j A

puede representarse mediante la serie (2.13)


17

Tipo de sistema dim. innita lineal dim. nita, lineal

Representacin interna

Representacin externa

dim. inf., lineal, est.

2.8

Ejercicios1 3C 0 y 1 1 )1 SQ 8 2 0F2 0 75 0 6 4

Ejercicio 2.1. A partir de la denicin de transformada de Laplace de

probar que para un sistema lineal estacionario

. es

Ejercicio 2.2. Cmo se modica el sistema del cohete si la velocidad de cambio de masa ? Escribir las EE y clasicarlo.

Ejercicio 2.3. Considerar un sistema consistente en un retardo puro,

Es dinmico, lineal, de dimensin nita, estacionario? Ejercicio 2.4. Introducir el sistema (2.10) en M ATLAB utilizando la funcin ss y obtener la funcin transferencia con ss2tf. Explorar las herramientas ssdata, tfdata, zpkdata y ltiview. Ejercicio 2.5. Para la ecuacin diferencial

usar una simple identidad trigonomtrica como ayuda para encontrar una solucin nominal correspondente a , , . Determinar una EE linealizada que describa el comportamiento del sistema alrededor de esta trayectoria nominal. Ejercicio 2.6. Linealizar la EE no lineal

alrededor de la trayectoria nominal originada en Ejercicio 2.7. Para la EE no lineal

,y

.

calcular las posibles soluciones constantes, a menudo denominadas estados de equilibrio, y las correspondientes EE linealizadas.

4 3CrG 1

yG

' ' ' H%& & &

} 4 1 gF2rG

@

dim. n., lineal, est.

%rF SF ' ' ' H%& & & @ %rF SF

r%rF VSF @ %rF VSF

@

j 4 } r 4 } q d e Y e

4 I G 5 0

F12rGwSF2 r r e SF2 r q e SF2 e h 1 h 1 h 1 q 1 r 1 q 32 e 32 %e o 32 e 1 r

F %# F5" $ ! F 35 $ ! % " "(

j 4 } } 4 } 1 4 1 Y d 0 g 0 c 2 Y3CrG

1 32IG j F2 0 4SF2 0 4 1 3 h 1

b ( 2In532 0 1 G 4 1

312 q e 32InY3C r d e 1 G 4 1 1 32 r r e Y3C %dq e 4 1 j

32 1 4 F32 1

dr e qd e

1 F2 d


18

Ejercicio 2.8. Considerar la EE no lineal

con estado inicial y entrada nominal constante . Mostrar que la salida nominal es . Linealizar la EE alrededor de la solucin nominal. Hay algo raro en este sistema? de la secuencia

Ejercicio 2.9. De la denicin de transformada

probar que para un sistema lineal estacionario discreto

j 32IG 4 1

4 PI G P 5P 0

0 1

y h 0 4 ih 0 P 0 4

j 4 1 d5F2 0 7 8r y 6 e 5 4 } r 1 32 e o 32 e 532 0 1 4 1 32 e o 32 r e 1 1 32 e F2 q e F2IG F2 d e 4 1 1 1 1 1 F2IG

.

Captulo 3

Herramientas de lgebra Lineal3.1 bb Hb

Vectores y Matricesk j m j @ @ q@ b Hbb r b HbHbHHb 4 b bb bbb bb B bb Hb r r @ Hb Fr @ Cr @ Vf D C r q @ bb @ q @ b r q bHb q 3q Ak f Ak @ f v v t f t 19

Los elementos bsicos en teora de sistemas lineales son vectores (columna) o (la) y matrices con elementos reales, es decir, , . Denotamos el elemento del vector como , y el elemento de una matriz como o .

En M ATLAB: vectores v = [v1;v2; ;vn] = [v1,v2, ,vn] y matrices A=[a11,a12, ,a1m;a21,a22, ,a2m; ].1 El producto de dos matrices y slo est denido si . En particular para vectores , , tenemos . Escribimos la matriz con todos sus elementos cero como , simplemente si las dimensiones (M ATLAB [n,m]=size(A)) son claras del contexto. Para matrices cuadradas, , la matriz nula es y la matriz identidad o simplemente (M ATLAB I=eye(n)). Asumimos las operaciones de suma y producto de matrices familiares. Lo interesante del producto de matrices es que en general es no conmutativo, es decir, y no son siempre lo mismo. Si es cuadrada, para cualquier entero la potencia est bien denida, con . Si existe un tal que decimos que es nilpotente.

Determinante El determinante es otra familiar funcin escalar de una matriz cuadrada, (M ATLAB det(A)). El determinante puede evaluarse recursivamente mediante la expansin de Laplace: Sea el cofactor del elemento , o sea el producto de por el determinante de la submatriz obtenida de eliminar en la la y la columna . Entonces para cualquier jo, ,

1 Ojo con la transpuesta en M ATLAB cuando se trabaja con vectores o matrices complejos; representa la transpuesta conjugada, la transpuesta sin conjugar es ..

j W Ak

j U VT fR

X

m

X Yj

m

Si

y

son tales que

es cuadrada, entonces

S f S p R 4 uf R p

A k j

9

V

Traza. Para una matriz cuadrada trace(A))

, la traza es la suma de los elementos de su diagonal (en M ATLAB

.

(3.1)

}

bb Hb

d4 y f

}

4

F G4

}

bb b

f f Yp

p uf

D v 1 Et p

} w

h

H v t B I $t f v

bb b

f

m

p uf

f @ Ak

W @ q A U T b A k A k Vf R 4

q 4 4 r q . . .

} `4

p f @ q k b kk Vf R 4 S

v v t H t

bb Hb

f

9m

f

}

P Qh

3. Herramientas de lgebra Lineal

20

Esta es la expansin sobre la la . Una expresin anloga existe para la expansin sobre una columna . Vemos de (3.1) que el determinante no es ms que la suma de productos de los elementos de la matriz, por lo que es una funcin matricial diferenciable todas las veces que uno quiera. Si y son matrices , entonces . , , sii (M ATLAB inv(A), Inversa La matriz cuadrada tiene una inversa, A(-1)). Una frmula comn para se basa en los cofactores de . El adjunto de , , es la matriz cuyo elemento es el cofactor de o sea, la transpuesta de la matriz de cofactores. Entonces

La inversa del producto de dos matrices cuadradas no singulares cumple . Una frmula muy til en teora de sistemas lineales es el lema de inversin de matrices.

3.2

Bases y Ortonormalizacin v

El conjunto de todos los vectores de puede verse como un espacio vectorial lineal con las operaciones estndar de suma de vectores y producto por nmeros reales. Las matrices (o si consideramos vectores la) son operadores lineales denidos sobre estos espacios. Dos vectores e en son linealmente independientes (LI) si la nica combinacin lineal de ellos que da el vector nulo, , es la trivial, . Sino son linealmente dependientes. El concepto se extiende a un conjunto de cualquier nmero de vectores. Si el conjunto de vectores es linealmente dependiente, entonces existe un conjunto de escalares don,y de al menos uno es distinto de cero, digamos

Entonces podemos escribir como combinacin lineal de los restantes vectores, . La dimensin de un espacio lineal es el mximo nmero de vectores LI en ese espacio; en . Un conjunto de vectores LI en es una base de si todo vector de se puede escribir como una combinacin lineal nica de los vectores del conjunto. Sea una base de . Entonces dado un vector cualquiera puede expresarse en forma nica como

. . .

B qj o

Ejemplo 3.1. Consideremos los vectores y La representacin del vector en las coordenadas

. Como son LI, forman una base en es , que se obtiene de

.

donde es la representacin de con respecto a la base (o en las coordenadas) La matriz es no singular por denicin, y sirve para obtener la representacin de cualquier vector en en la base , . En particular, siempre existe la base formada por los versores , , etc. En ese caso .

v Dbbb HHD r D q

r v

v r g 4 qe h %H2h r e s q

s HHD s D s Dbbb r q

d

B 55} 4 r ) B YHqj 4 q ) } bbb j } bbb }

v

v

Dbbb HHD r D q

r D q B o o 4 r

} r D } q w4 5s ~`4 s

d d d d d b q f q 5e q f Fe q h q 4 q uf q 5e

v

d

Lema 3.1 (Inversin de Matrices). Dadas matrices cuadradas y no singulares, entonces

de dimensiones compatibles, donde

y

9

p p f q f q n4 q "u

m 9 9m f f UVT wf q n4 q 5f q f 4 f f }n4 f R U T U T U VT U VT f p Yp R Y" R Y R Yu R 4 p f 4 p ff eD D 0lpD B j 4 q

} q `4 s

e

e h Dbbb q i4 e HHD r D q h B s Hb s 4 e bb r sq s D e i4 h bb Hb r q 4 r s s q s h22wh r r s h q q s 4 e t e v

q f

B qj 4 e

v

qe qe b } g4 e s 2Hh r s h q s h re

m

r q } w4 r e s h q e s v re qe

f

f

bT ca`

f

f Rca` 4 f bT q f

4 tth

e HHD r e D q e Dbbb

U VT

p

f

son

e s

.


21

o sea que

puede escribirse como

3.2.1 Norma de vectoresEl concepto de norma de un vector es una generalizacin de la idea de magnitud. La norma de un vector , denotada , es una funcin del espacio vectorial en (los reales positivos ms el 0) que cumple con las siguientes tres propiedades: 1. 2. 3. para todo y sii .

, para todo escalar .

para todo

,

(desigualdad triangular).

Dado un vector

, tres tpicas normas en norma-1

son

norma-2 o eucldea

En M ATLAB norm(x,1), norm(x,2) = norm(x) y norm(x,inf). La bola unitaria es el conjunto de vectores de norma no mayor que la unidad. La forma de la bola unitaria depende de la norma.

La norma 2 o eucldea es la longitud del vector desde el origen. A menos que aclaremos lo contrario, vamos

a trabajar siempre con la norma 2.

Figura 3.2: Bola unitaria en

en normas 1, 2 e

r v

norma-

.

e

r uh q 4 e o

e

v

y v

re e q s } g4 e

p p } g4 e

s r q k e q q k

B e Hb r bb

b j YtX

p e p r

D o 4 j 3 3 j 4 j j o o j o j j q o 4 r q 4 e j q ep e IU t e p v 74 q p y w C`k x p e p q k eq u t p p r e v 44 e B e s t q p e p q k e q q k e q e 4 e p p p r q p h qe X e h e p ep p p q s qr4 e s p p } 9 e p ep

.


22

3.2.2 OrtonormalizacinUn vector de est normalizado si . Un conjunto de vectores . Dos vectores , es ortonormal si y son ortogonales si

Dado un conjunto de vectores LI , podemos obtener un conjunto ortonormal de vectores usando el procedimiento de ortonormalizacin de Schmidt,

Si es una matriz Qu puede decirse entonces de

,

, con todas sus columnas ortonormales, entonces

?

3.3

Ecuaciones Lineales Algebraicas0 f 0 4 e f(3.2)

Consideremos el conjunto de ecuaciones lineales algebraicas

donde e son matrices reales dadas, respectivamente y , y es la incgnita a resolver, . El problema consiste de ecuaciones y incgnitas escalares, y puede que sea menor, igual o mayor que . La existencia de solucin depende de la imagen de . El espacio imagen, o simplemente imagen, de es el espacio generado haciendo todas las posibles combinaciones lineales de las columnas de . La dimensin de la imagen de es el rango de . Un vector se llama vector nulo de si . El espacio de todos los vectores nulos de se llama el kernel o espacio nulo de . La dimensin del kernel de cumple la relacin

En M ATLAB orth(A) da una base ortonormal de la imagen de , rank(A) da el rango, y null(A) da una base ortonormal del kernel. Ejemplo 3.2. Sea la matriz

El rango de es , ya que y son LI pero y son combinacin lineal de y . Podemos tomar el conjunto como una base de la imagen de . La ecuacin (3.3) implica que la dimensin del kernel de es , y puede vericarse que los vectores

son vectores nulos de

(

). Como

y

son LI,

es una base del kernel de .

Hemos denido el rango de como el nmero de columnas LI de , pero tambin es igual al nmero de las LI de , por lo que se cumple que

Teorema 3.1 (Existencia de solucin). Dada una matriz

y un vector

,

f

v t 0

f r Dq

$t f v

r

y

r@

q@

f

o

f

B C j

f @ @

}

q

o

f r f 4 } wxg4 q f f } 4 r B } C j

@ @ @ @ }3 b r q

r@

q@

w ` b ( D P% S X f

o j

U

dimensin de

nmero de columnas de

4 dh B h

(3.3)

j

X

f

f

f

e

j

` f Yr% S f

f

f

f

b G p p D rG p p D qG

p

} 4 e f f

HHD r D q Dbbb

X p G bb Hb rG qG

f

r q

B hYh B q q q r Bq

4 f YY S

b f9.

9 lm

4

m

si si

r 4 e B q e

r e

q e

HHH~p%n4 m D e D b bu b D o D p j p k j 4 e B e 4 e

D

4

o

o

v s

@ @ r Dq f

j

j

o

}

bHb r q h b 4 G bb r H b r G q qG HHD r D q jDbbb j

j f e B k e 4 A e j 4 q j } o f 4 Vf

}

e

} `4 q e B r e


23

1. Existe una solucin

de la ecuacin

sii

pertenece a la imagen de , o sea,

2. Existe una solucin

de

para todo

sii

( es de rango la pleno).

Teorema 3.2 (Parametrizacin de todas la soluciones). Dada una matriz y un vector sea una solucin de y sea la dimensin del kernel de . Entonces 1. Si ( tiene rango columna pleno), entonces la solucin

es nica. nmeros

es tambin solucin de

.

Ejemplo 3.3. Consideremos la ecuacin

Puede verse fcilmente que est en la imagen de y que es una solucin. Con la base del kernel de obtenida en el Ejemplo 3.2 podemos expresar la solucin general de (3.4) como

donde

y

pueden tomar cualquier valor en

.

A veces vamos a encontrar el problema formulado en trminos de vectores la, , donde son y . Puede tratarse como antes considerando el problema transpuesto . En M ATLAB la solucin de puede obtenerse como x = A y. El smbolo denota divisin matricial por izquierda. Para el caso usamos la divisin matricial por derecha x = y/A. Teorema 3.3 (Sistemas cuadrados). Sea donde es cuadrada. Entonces

1. Si es no singular existe una solucin nica para cada , dada por solucin de es . 2. La ecuacin homognea tiene soluciones no nulas sii LI es igual a la dimensin del kernel de .

. En particular la nica

es singular. El nmero de soluciones

3.4

Transformaciones de Similitudmapea vectores de en

Una matriz cuadrada

, (3.5)

Si representamos los vectores de , y la ecuacin (3.5) da

con respecto a una nueva base

, tenemos que

e h 4 e

0D e

h

2. Si reales

sea

una base del kernel de . Entonces para cualquier conjunto de el vector

v gt 0

B 0 4 B e B f 0 gf e 4

f 7t f v

0 q n4 e f

Dbbb HHD r D q

y B ly y 4 e

f

YYr% ` S 4 f

f

e

0

f

f

v t 0

` h f Yr% S

0 e h 4 aEf q h

f

v

v t

0 4 e f

e e } o } b q 4 r e 3 3 o q e j 0 4 e f 0 4 e f s h22wh r r s h q q s h hDbbbD oDj m H~ %4 Dbbb HD r D q

f

v

j } r D o} s h j j j } rr

}4 e f } `4 e

0 Vf e 4 0 4 e f

v

0 h i4 QEf e h

0 4 e f

0

} g4 e f

q s h s h qq s

f

f

e 4 e D k s Qh P } h f `4 }

r s

b 0 4 e f

} 3} 4 } h e 4 e r Dq

donde

.

f

0

0 4 e f

0 4 e f e v q $t 0 ` 0 f S 5Y 4 f $t e v

`S f j 0 4 e f j o j } q s f } o0 h 4 0

,

e

(3.4)

j

e


24

Ejemplo 3.4. Consideremos la matriz

y la base

3.5

Forma Diagonal y Forma de Jordantal que

3.5.1 Autovalores y autovectores

(3.6)

Como vimos en la clase pasada, este sistema admite soluciones no nulas si la matriz (determinante cero). Denimos el polinomio caracterstico de

es singular

El polinomio es mnico,2 de grado , y tiene coecientes reales. Para cada raz de la matriz es singular, y por lo tanto, la ecuacin algebraica (3.6) tiene al menos una solucin no nula. Concluimos que toda raz de es un autovalor de ; como tiene grado , la matriz tiene autovalores (aunque no necesariamente todos distintos).

3.5.2 Forma CompanionEn general, el clculo del polinomio caracterstico de una matriz requiere la expansin de . Sin embargo, para ciertas matrices el polinomio caracterstico es evidente. Estas son las matrices en la forma companion, (M ATLAB A = compan(p), donde p es un polinomio)

k

2 El

coeciente del trmino de mayor orden es .

5g

Yf

Un nmero es un autovalor de la matriz si existe un vector no nulo Este vector es un autovector (por derecha) de asociado al autovalor . Los autovalores de se encuentran resolviendo la ecuacin algebraica

4

f

f

g R T U

g j

f

g

v t

g j

g

f

f Yt f v

} } } j } } } j } } } j } } } s

f

j } } s

s s r s q s

g j

q } j } r s

j e fj

s r j } } } } j q s

j

}

} j

b (Yf

f

s } j } q s s r s s

}

}

Calculamos

Dbbb HHD r D q

f

se llama transformacin de similitud, y y se dicen similares. Si es la base cannica (formada por los versores), entonces la columna de que la representacin del vector con respecto a la base . En la base la columna de es la representacin de en la base se ve de , que se suele escribir

m

k f CHHD r CD q )Dbbb ) )

j j o 4 } } 7h 3 j } @ @ h bb db r h @ @ bb Hb r

f

f

m

@ q h 4 Hb r f q f f bb q @ 4 b r q f h bb h 4 h f Ef

f

k f )

h f q tVf h 4 bHD r D q Db b CHD r 0D q V )Dbbb ) )

j

j }

Yf g j g R VT U g 4 5 j

g b } w4 Yf

4 h Ef q iV f h 4

j

o

h it g

s

j

}

}

j

}

}

}

Vf 4 o

3

La matriz

es la representacin de

con respecto a la base

Dbbb HHD r D q

f

h Ef q q hE f ht4Vf h Ef q h

iV f h 4 j } } j } s } } } } } } g

f

. La transformacin

no es ms . Esto

.


25

con el mismo polinomio caracterstico . En M ATLAB los autovalores de se calculan con la funcin r = eig(A), donde ; poly(r) da el polinomio caracterstico. Otro caso donde los autovalores (y el polinomio caracterstico) son particularmente evidentes es cuando es diagonal,

Pero, podemos siempre representar 1. autovalores todos reales y distintos 2. autovalores complejos y distintos 3. autovalores repetidos Analizamos cada caso. Caso 1: autovalores de

en forma diagonal? No siempre, depende de si

todos reales y distintos

En este caso los autovectores correspondientes son LI. Usamos el conjunto de autovectores, , como base. Sea la representacin de en esta base. La columna 1 de es la representacin de en la base nueva, . . .

y concluimos que la columna 1 de respecto a la base nueva, o sea

es

. La columna 2 es la representacin de . Siguiendo este procedimiento, llegamos a que

Concluimos que toda matriz con autovalores distintos tiene una representacin en forma diagonal (es diagonalizable). Caso 2: autovalores de

complejos y distintos

Cuando todos los autovalores son distintos, pero algunos son complejos, no podemos llevar a una forma diagonal real (aunque si compleja). Siendo real, los autovalores complejos aparecen siempre en pares conjugados , y dan lugar a pares de autovectores tambin complejos conjugados . En este caso se puede llevar a una forma real diagonal en bloques, para lo cual la nueva base se arma con los autovectores reales, y las partes reales e imaginarias de los autovectores complejos. Por ejemplo, si tenemos dos autovalores reales y dos pares de autovalores complejos, con autovectores , formamos la base

H 9 H H 9 H r Iv r D r I9 h r HD q Iv q D q I9 h q D r D q G G G G g g h q tD r D q q

s a9

f

q r4

g

H I9

G qn4

f

s 9 av r r u9 r q uv q q u9 s s 9 s r q wD h tD q q tD

g

H H b Y r D r D q D q D r D q G G

f

2H

}

. . .

. . .

..

.

. . .

HHD r D q Dbbb

r r g 4 r f

f

f

g B } bb ~Hg b } r } B H} q l } bbb f

f

f

y p o

y

b

m mm n q q g q 4 f 4

}}

f

2H 2H

}

f

r g }

}

. . .

. . .

. . .

..

.

. . .

tiene:

B g HHD q lg Dbbb

4 F

f s h g s h r g r s h g q s h g 5 g j 4

g 2H b 2H } 2H } 2H }

g

} }

} r g

}

4 } Vf } q g } q g } } f qq g 4 q f 4 V f

f

con


26

En esta base la matriz

Caso 3: autovalores de

Este es un caso especial. Cuando tiene autovalores repetidos puede que no podamos llevarla a una forma diagonal, pero siempre se puede llevar a una forma triangular o diagonal en bloques. Supongamos que tiene un autovalor con multiplicidad , es decir, un slo autovalor repetido veces. Para simplicar consideremos . Sabemos que la matriz es singular. Ahora, caben las posibilidades de que el kernel (espacio nulo) de tenga dimensin o . Si tiene dimensin , entonces sabemos que hay cuatro soluciones independientes (no nulas, pues la nula es la solucin particular), correspondientes a una base del kernel .

En este caso hay autovectores independientes, y es diagonalizable usando la base . Veamos ahora el otro caso extremo, el kernel de tiene dimensin . En este caso slo podemos encontrar una solucin independiente. Necesitamos tres vectores independientes ms para armar una base. Una forma de lograrlo es usando el concepto de autovalores generalizados. Un vector es un autovector generalizado de grado asociado al autovalor si y

Estos vectores forman una cadena de autovectores generalizados de longitud 4, y cumplen las propiedades , , y . Los vectores LI por denicin, y cumplen con

As la representacin de

con respecto a la base

g } `4 Yf

D Dr Dq

3

}g } } b j } j } g }} } } j g f 5g h 4 5g h r 4 r 5g h q 4 q 5g 4 r q g D D D g } w4 f } w4 r r f } g4 q

g b f Pt4 g f Pt4 r g f Pt4

g

r

g f g f g f

q r

f f r f q f

4 y

g

Si

el problema se reduce al caso recin visto. Para

denimos

es

D Dr Dq

D Dr Dq

g

j

4

f f s s b s r s q

g

3 4

3

g }w4 q Yf

o D~pDj g Yf

r

f

q 4 e

9t f v

f

3

x

Hay un bloque de

por cada par de autovalores complejos conjugados. repetidos

r q r s b }} }

}

s r

r q

} } } } }

} } } s} q q q q s q q o o3

} }

f }

tiene la representacin

j d4 g } `4 Yf

g } `4 e Yf

} } } } r g Yf

}

} } } 4 } V f } q g g f


27

Es fcil chequear que las columnas de son la representacin de , en la base . Esta matriz triangular se llama bloque de Jordan de orden 4. Si el kernel de tiene dimensin 2, entonces hay dos cadenas de autovectores generalizados cuya longitudes sumadas dan 4. Pueden ser y , y , y . En este caso la base se forma con los vectores de las dos cadenas. Igualmente, si el kernel de tiene dimensin 3, entonces hay tres cadenas de autovectores generalizados, etc. En resumen, si tiene un autovalor con multiplicidad 4, existe una matriz no singular tal que

tiene una de las siguientes formas de Jordan

La forma general a la que podemos llevar una matriz va a ser diagonal en bloques, donde los bloques pueden ser de para autovalores reales distintos, para pares de autovalores complejos conjugados, y bloques de Jordan para autovalores mltiples. La forma de Jordan puede usarse para establecer propiedades generales de matrices. Por ejemplo, . Como es triangular, es el producto de los autovalores,

por lo que es no singular sii no tiene autovalores nulos. En M ATLAB podemos usar [q,d] = eig(A) para calcular los autovalores y la base de autovectores si es diagonalizable (sino, Chen (1999) menciona [q,d] = jordan(A), usable con restricciones, pero aparentemente disponible solamente en las versiones de M ATLAB con el symbolic toolbox).

Camille Jordan (1838-1922)

3.6

Funciones de Matrices Cuadradasest bien denida. Dado un polinomio

3.6.1 Polinomios

Dada la transformacin de similitud

tenemos que

b } 4 wS s f q s H2wh q f q s h YY j h h f 4 f

g

Teorema 3.4 (Cayley-Hamilton). Sea caracterstico de . Entonces

s gq s gq g g T U h h H27h q s h aYf 4

D q h f H2 q Eah q E f 4 q E f 4 f h 4 h f h h h h h Ef q Vf h 4 h Ef q Vf h 4 r f } r f b }% } q f 4 f

o

R a j 4 b h f utP% q 5Y f % h 4

h h 4 f q t f %tY%

f

Si

es diagonal en bloques, digamos y tambin

es fcil vericar que

o

la potencia Vimos que para cualquier entero denimos como

, como

D Dr Dq g g h B % 4 h

q G

D r D q D r D q % G G G } } }g

3

m D D oDj ~~pd4 D k f } } }gf

}

}g

}

} j } }

}g

}

U VT U VT R VT U h f R q h R

g

}

}

}g

q r D q % G G } }g } } j } } }g } fg

} 4 f q f% YY% } y y }c 4Vf @ @ b 2Hh q f q h f h Y% } 4

g

j

U T U VT 4 h E f q R h 4 fR

}

}

}g

r Dq j j }g }

y

} j } }

}g

}

g { g

f

j

f

}

}g

v $t f

}

}g

}

} j } }

}g

}

D f (Y k

g z

f P

g

f g q k U T 4 R | Vf

h gY% f 4 f @ 2Hh g q @ h q

h Ef q iVf h 4

j

U VT f R

} }g

j }g } } }

}g

o f o

el polinomio (3.7)


28

Es decir, una matriz satisface su propio polinomio caracterstico. El teorema de Cayley-Hamilton implica que se puede escribir como una combinacin lineal de . Si multiplicamos (3.7) por obtenemos que se puede escribir como combinacin lineal de , que a su vez se puede escribir en trminos de . En conclusin, todo polinomio puede expresarse, para apropiados , como una combinacin lineal de las potencias de de a .

3.6.2 Polinomio mnimoHabamos visto el teorema de Cayley-Hamilton, que deca que toda matriz satisface su polinomio caracterstico, es decir, si , entonces . Pero, podr satisfacer un polinomio de grado menor al de ? La respuesta depende de la multiplicidad de los autovalores de . Cuando los autovalores son todos de multiplicidad 1 (todos distintos), entonces el polinomio caracterstico es el polinomio de menor grado que satisface (polinomio mnimo), o sea en este caso. Cuando hay autovalores con multiplicidad mayor que 1 (repetidos), el polinomio mnimo podr ser de grado menor que . El polinomio mnimo se puede expresar como

donde es la dimensin del bloque de Jordan ms grande asociado a bloque de Jordan asociado . Ejemplo 3.5. En la matriz

. Como

puede tener ms de un

El autovalor tiene multiplicidad 3, y dos bloques de Jordan asociados: rdenes 2 y 1. El autovalor multiplicidad 1.

tiene

polinomio caracterstico polinomio mnimo

El polinomio mnimo es siempre factor del polinomio caracterstico. Como consecuencia del teorema de Cayley-Hamilton vimos que para todo polinomio , el polinomio matricial se puede expresar como una combinacin lineal de . Si el polinomio mnimo se conoce (y por lo tanto los ), en realidad se puede expresar como una combinacin lineal de un conjunto menor, , que es an mejor. Una forma de calcular (con si se conoce, y sino con ) es mediante la frmula de divisin de polinomios:

donde

es el polinomio cociente y

el polinomio resto. Tenemos

o sea que todo se reduce a determinar los coecientes del polinomio . La divisin de polinomios es til si el grado de no es mucho mayor que el de . De lo contrario es mejor determinar los coecientes de evaluando en los autovalores de y planteando un sistema de ecuaciones algebraicas.

f f

f g j y "h g q "2Hh q g q i5 g h 4

r g

%

g

k g

DHbbHbD f q k ~

f P% q 3HHHq3p% fDbbbD fD

fD f r u 3HHHq3p% fDbbbD fD k g fg j

b

f

3HHu3p fDbbbD fD k q

g %

} 4 f aY j

g

D(Y 45P hY 4YY Y j Y Y% f f } f f h f f 4 f g g g g g g D ( j % h 4

g g DR r g g D R r

~ ~ ~ b q f q H2wf q y Y% h h h 4 f a } f j f Y% q 3HHu3p fDbbbD fDg g

q

g g g g 4 C k rq g g 4 k

Yf

g g

X k

}

}

g g R T U g j 4 a j

f P%

}

r g

x

k k g g | 5 g D C k 4

} q g

}

}

q f } } q g j

k g 4 | 5 k g 4 | Y j

} } 4 Vf } q g

q g

f Y%

f

4 8})

7 y y q y y5 4 r qy f g g 5 % 4 f P%

g g %

k g k g q k x g j 4

f

%

}} j

g 4 Y

q

x x

j

4

f

f

y Fy q

4 " %

y Fy q f

g g g g j 4 % h m b HH~p%4 DbbbD oDj g de

k

f

Si los autovalores de ciones con incgnitas


son todos distintos, los

se pueden resolver del sistema de

Si tiene autovalores repetidos, hay que derivar faltantes.

g g g g g D R k Y k S k j k Y k % 4 h 4

Ejemplo 3.6. Queremos calcular

Planteamos el problema como el clculo de . Sea . En el espectro (el conjunto de autovalores) de

con

para

(dos elementos iguales en este caso,

g

2j } 8% } j 8( 4 y j 4 }} D q ruwtj aj 4 } } y "h q 4 3y q j y

f

g

g

y "h g q rY g 4

y as concluimos que

,y

, o sea,

V g

j } } } b xcj 8j 4 }} %j j oj j 4 j } }} y "h f q r4 3y q f y j 5j 4 j 5j 4 f

Teorema 3.5. Sean dados donde . Sea que . Entonces los coecientes

Resumimos el resultado que usamos en el ejemplo en un teorema.

pueden calcularse resolviendo el sistema de

HHp%n4 m DbbbD oDj X

j

k h DbbbDjD } 2H%~`4

g g D R k Y k 4

j

y una matriz

k f Y y rh g q 2H`h q g q q h 4 qg

4 k

4 f g P% k s

g g j 4 r `h 5 j

b j o

j }

4 Vf

k g

donde

3.6.3 Funciones matriciales no necesariamente polinomiales

g g b o o g Q Q k ,y ,

g o o g Q % Q

Dada una funcin mos el polinomio

ms general, una forma de denir es usando el Teorema 3.5. Es decir: calculade orden igualando en el espectro de , y as denimos .

g g j 4 f 4 f P 5P%

8 8 8 8 ) ) ) r po 8 } r) b 4 } ) 8 8 } 8 8 ) ) ) po r po po } r ) 2 8 r )ih 8 1 o h3 8 r po 8 )2h 8 1 wh r 3 8 1 8 ) 8 r tYY ) f ) o ) f ) ) 4 f 8 8 8 8 8 8 8 8 )1 ) ) r )x4 r r )2o poh )1 g4 q r )h )1 o 4 y b y "h q Vh r 3 4 8 ) o o r x q "h r `4 8 7x C u o )1 j y "h q "h r 4 8 ) x C j y "h g q %h r g r rY g 4 8} ) f fpara . Aplicando el Teorema 3.5 tenemos que , . El polinomio caracterstico de ,y3

j

Haciendo las cuentas obtenemos

Ejemplo 3.7. Queremos calcular

4Y o 4YC j 4YC j g o r j

k g

3 Ojo

que la diferenciacin en la segunda lnea es con respecto a , no .

. Sea

para

y

el polinomio de orden

con polinomio caracterstico

evaluado en . El polinomio caracterstico de

, con coecientes

. Finalmente,

hasta obtener las ecuaciones

ecuaciones algebraicas

a determinar, tal

es

. Finalmente ) tenemos ecua29 es ,

f

y y 7`y y 4 b qy o o `yy Vf y 7qy q o oEsta denicin es en realidad equivalente a la anteriormente vista en el Teorema 3.5. No lo probamos, pero mostramos un caso particular. Ejemplo 3.9. Consideremos otra vez el bloque de Jordan del Ejemplo 3.8,

f

%

f Y%

g

g g g h r r h i5 4

q

g 4 tY j

Su polinomio caracterstico es simplemente , elegimos

q % } } g} j q g q % g } g} b Ip g 4 f Y% o p q r q j q % } p q g r p q g Ip q g q g % o r j f Y% y y y g ylylyy D llyyy 4 Yf q ylyly ylyly y y y y 5l y yyl y y q g 5lyy q g qllyy q g yl y lyyly D ylyyly y yy yy 4 yyly 4 Yf HD qy qlyy 4 r f 2D lqy qlyy 5Yf y yy y q yly g Yf q g g D D b q g 4 D q g o 4 r ( q 0d4 q ( q %n4 y r g g f 45 % g g q gg r g g g D y " q h %h r q "h q 4 y "h g q g Xgen el espectro de da las expresiones ,

Otra forma de denir una funcin matricial que se puede representar por

8 8 b r 8

3.6.4 Series de Potencias

o

y y y 8 8 8 0r g ) 4 G5 %

} q g j }

q g b j} }

As, por ejemplo, si

que en este ejemplo permite obtener la expresin general para

Una propiedad til del bloque de Jordan es la de nilpotencia de

} } q g j

} } 4 } Vf q g

La condicin

Ejemplo 3.8. Consideremos el bloque de Jordan de orden 4


,

es a travs de la serie de potencias de

g

con radio de convergencia . Si todos los autovalores de denir como

tienen magnitud menor que , entonces podemos

. Si en vez de seleccionar

. Supongamos

(3.8)

y ~ k b k f k Y% 4 f

f Y%

y g ~ k g 4 k k % % g

y

8

y 8} y 4 )

30


31

Entonces

3.6.5 Diferenciacin e Integracin MatricialSe dene elemento a elemento, son respectivamente

Con estas deniciones no es difcil probar que vale la propiedad

el teorema fundamental del clculo,

y la regla de Leibniz

En M ATLAB se calcula con la funcin expm(A),4 que implementa la expansin de Pad. Usando (EXP) es fcil probar las siguientes dos propiedades de

Cmo probamos la tercera? En general Diferenciando trmino a trmino (EXP) obtenemos

(por qu?).

as tenemos que4 Ojo

.

no confundir con exp(A), que da la matriz de las exponenciales de los elementos de .

g

8

Una funcin de particular inters en este curso es . Como la serie de Taylor converge para todo y nitos, tenemos que

h 8 22`h 0 r

o

h S1

h "j 4

o

3.6.6 La Exponencial Matricial

3

)

h

Por la propiedad de nilpotencia del bloque de Jordan, para reduce inmediatamente a la expresin que sacamos en el Ejemplo 3.8.

4

8 x b E Q ED1 I2(FCCuf 1 8 uSF2d (FCCuf F2 d (32"g4 I2(32"f 6 h 1 ED1 1 ED1 f E Q ED1

@ b 1 1 R32 A k SQ Q

8 } )

g }g4 Yf g g g g h f 2 q f`~H q %dY% h 4 f 2Hh r q f g q o ( q

@ y D E Q E crC(P A k 8 6

g g g g q g g g g 2Hh r q q o ( q h 2 `( q %d % h 4

8 8 } 8 } ) G4 ) )

8} )

D 1 d 1 f h 1 p 1 d (F2Bp F2"lF2qH3Cuf 4 F2232"f SQ Q 1 p1 1

}) h y b f 1 %H2wf 1o h `ct4 8 ) 4 h f1 h } r

8 8 8 8 f } x4 } w4 } ) ) ) f h q D f f 1 d4 0 h q f 1 w4 f Xh q 1 f j 1 4 8 } ) SQ Q q

1

g

y D 1 f E Q E 8 1 (F2"w4 I2(P"f 6 SQ Q

1 1 F2"f SQ Q

b 8} D 8 ) 8 }

g

Supongamos que

tiene el siguiente desarrollo en serie de potencias alrededor de

, la serie de potencias se

q g(EXP)

%

44 q ) 8 }) 44 D rn4 y )

y D I2(uf 8 6 E Q E 8 x 1 8 6 SQ Q 8 }) 8 ) }

H2wh 8

o


32

3.7

Ecuacin de Lyapunov(LYAP)

Es la siguiente ecuacin matricial

y . Las matrices y la donde y son matrices constantes, respectivamente de dimensiones incgnita son . La ecuacin (LYAP) es lineal en y puede escribirse como sistema de ecuaciones algebraicas en la forma estndar . Vemoslo para y :

Haciendo las cuentas y expresando

y

como vectores apilando sus columnas, llegamos a

es decir , donde es la matriz de la ecuacin anterior, y y son las matrices y convertidas en vectores .5 Como es cuadrada, por el Teorema 3 de la clase del 20 de marzo, esta ecuacin tiene solucin nica si la matriz es invertible, es decir si no tiene ningn autovalor nulo. Resulta que si y son respectivamente los autovalores de y , los autovalores de son , . En M ATLAB la ecuacin (LYAP) se resuelve con lyap(A,B,-C).

3.8

Formas Cuadrticas r" B G B , donde , es una forma cuadrtica. Sin prdida , ya que

Dada una matriz , la funcin escalar de generalidad se puede tomar como simtrica,

y as

puede escribirse en forma compacta como

0t Y vf2l{{

5

E

2.

debe ser real dado que

( : producto de Kronecker).

1. el escalar

(donde

denota la transpuesta conjugada de ) es real (sea

real o no),

Los autovalores de una matriz simtrica son todos reales, ya que para todo autovalor ,

para todo

. con autovector de

V E

t t t

{

t t t

iz

w w

t w t

w

0

t

t

Ejercicio 3.1. Probar que la transformada de Laplace de

es

w w w t t w t w w t w t w w w t w w w t t w G t t

a# #

aY

( B ui B B

fCfCI l 0fCfIc E

80

ix( {z

i

w

w

r B 4


33

Toda matriz real simtrica es diagonalizable, es decir, el orden de su mayor bloque de Jordan es . Si no lo fuera, es decir, si existiera un autovector generalizado de orden mayor que asociado a algn autovalor repetido , tendra que vericarse que

Pero entonces

debera ser nulo por (3.9) y no nulo por (3.10). Una contradiccin que prueba que no puede tener bloques de Jordan de orden mayor que , y por lo tanto debe ser similar a una matriz diagonal: existe una no singular tal que , donde es diagonal. matriz Notar que como es simtrica y diagonal,

o

3.8.1 Matrices denidas y semi-denidas positivasUna matriz simtrica se dice denida positiva, que denotamos , si para todo vector no nulo. Es semi-denida positiva, que denotamos , si para todo vector no nulo. Si es denida positiva, entonces sii . Si es semi-denida positiva, entonces existe algn no nulo tal que . Existen pruebas para determinar si una matriz es denida o semi-denida positiva basados en las propiedades del signo de los determinantes de diversas submatrices. Uno de ellos se basa en los menores principales. Sea una matriz simtrica con entradas . Entonces dados los enteros y , con , denimos los menores principales de la matriz como

son los primeros menores principales de

.

S (P@R@7@

GG

CffCI

Los escalares , la esquina superior izquierda de

, que son simplemente los determinantes de las submatrices de

,

CfCf

%

)

B

#% B

donde

y

son respectivamente el menor y mayor autovalor de

# $

' ( # &

Una desigualdad importante para una matriz simtrica que para cualquier

{

A A 0C A @ A 7

B

00 @ A 7 8 A 00 C0 0C 00 @ @ 7 B@ 8 00 @ 7 7 97 8 00 800

Y WIW G 00 (I@W GG XW7 GG E 5 3 1 I7Q77@ HF6DCnc

B

B

) ) CCfCI

"!

R@W P@R@7@

G GG I7Q77Q7@W

531 642E 0 ffCf

GG

G

U 531 V6DTcI t n

B

"! B

' 0 ffCf &

donde

es una matriz diagonal con los autovalores de

, que son todos reales, en la diagonal. es la desigualdad de Rayleigh-Ritz, que dice

.

Teorema 3.6. Para toda matriz real simtrica

existe una matriz ortogonal

que implica que y . Toda matriz no singular sus columnas son vectores ortonormales.

con esta propiedad se llama ortogonal, y tal que

B

VCG

2 t

B Y G B B # B 4 B #4 vt

vt

f

para algn

,y

B tt

B vt 80r

(3.9) (3.10)

(3.11)


34

1. Cada uno de sus autovalores es positivo (no negativo). 2. Todos sus primeros menores principales son positivos (todos su menores principales son no negativos).

Ejemplo 3.10. La matriz simtrica

3.9

La Descomposicin en Valores Singulares (SVD) y denamos son no negativos. Como

Los valores singulares de la matriz

son

0C

donde

.

V

G

C0 C0

00 00

. . .

. . .

. . .

. . .

. . .

C0 C0 C0

0q

. . .

. . .

..

.

. . .

. . .

. . .

8

G

tG

Teorema 3.8 (Descomposicin en Valores Singulares). Para toda matriz tonormales y tales que

, existen matrices or-

w

C0 C0

80

00 00

00 00

# 0q #

q

q GG

r T w

i

# q # q

y

B

donde

es una matriz diagonal con los

en la diagonal. La matriz

es

con los

q

Por el Teorema 3.7, para

existe una matriz ortogonal

Vh ge f d

)

0

C0

q

B i

"pF i

) CCff

w B

c

las matrices cuadradas de autovalores nulos. Supongamos que hay

B n B B 6D1 G E B ni 53

y

autovalores positivos de

8

G

Consideremos una matriz positiva. Sus autovalores

. Claramente

es

, simtrica, y semi-denida

comparten los mismos autovalores positivos y slo dieren en el nmero , y sea . Entonces podemos ordenar

tal que

en la diagonal.

#

w

B

Y w w

w

es denida positiva si y slo si ,y .

y

. Es semi-denida positiva si y slo si

#

t t

Una matriz simtrica denida positiva).

es denida negativa (semi-denida negativa ) si

es denida positiva (semi-

V

G

t

`

8Ct

`

VCx

`

3. Existe una matriz no singular ) tal que .

Teorema 3.7. Una matriz simtrica guientes condiciones se satisface:

es denida positiva (semi-denida positiva) sii cualquiera de las si-

(una matriz singular

, o una matriz

, con

`B `

i #

w xvxE

w

C0

w

#

G 6D1 53

t r us q

a tb

B B

#

#

y

w


35

La descomposicin en valores singulares (SVD)6 revela muchas propiedades de la matriz . Por ejemplo, si es el ndice del valor singular positivo ms pequeo, entonces

4. tenemos la representacin

1

0.5

0.5

1 1 0.5 0 0 0.5 1 1 0.5 0.5 1

En M ATLAB la funcin [U,S,V]=svd(A) calcula los valores y vectores singulares.

3.10 Normas de Matrices El concepto de norma de vectores se extiende a matrices. Sea denirse como una matriz . La norma de puede (3.12)

Esta norma denida desde la norma de los vectores se llama norma inducida. Usando diferentes normas vectoriales ( , , , etc.) obtenemos diferentes normas inducidas. En este curso vamos a utilizar la norma inducida por la norma vectorial eucldea, , que es la que se conoce como norma espectral de una matriz. Otra propiedad importante de la descomposicin en valores singulares de es que la norma espectral de est dada por su mayor valor singular,

6 Singular

Value Decomposition.

d

Figura 3.3: Hiper-elipsoide

en

q

q

0

.

d

Los valores singulares representan precisamente las longitudes de los semiejes del hiper-elipsoide . La Figura 3.3 muestra el conjunto para una matriz con .

m

pkl Ikj q q

q

3. los vectores

son una base ortonormal de la imagen de ,

q

d

wcg g

v t g z x| ig 4|{ rsy wwggg g rps ng q ho u d g

' i CfC 4& ' CfCf pi &

2. los vectores

B

c

q i

1. el rango de

es , son una base ortonormal del kernel de ,

w

y

y

B

B

wy

Los vectores en las columnas de y derechos respectivamente de . Es fcil vericar comparando las columnas de las ecuaciones

S 88 7 S 88 7 y E E

son los vectores singulares izquierdos y que

8h f d

) fCfC

t f

}

q

q

'

%

q

g ng

B t

g g e ichf &

c


36

est dada por (3.12) como

Las races de esta cuadrtica estn dadas por

El radical puede escribirse de forma que su positividad es obvia. Eligiendo el signo positivo, y despus de un poco de lgebra llegamos a

(3.13)

De (3.13) se ve que

La norma espectral de una matriz en M ATLAB se calcula con norm(A). Algunas propiedades tiles de la norma espectral de matrices:

3.11 ResumenEn este captulo hemos repasado

Las deniciones bsicas relativas a vectores y matrices, traza, determinante, e inversa.

Bases y conjuntos ortonormales, independencia lineal, el concepto de norma, y el mtodo de ortonormalizacin de Schmidt.

Los resultados principales para la solucin de ecuaciones lineales algebraicas, y los conceptos de imagen, rango y kernel de una

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