Control Automático

Control con observadores de estado

Contenido

◼ Observabilidad

◼ Observadores de estado sin entrada r(t)

◼ Cálculo de la ganancia Kf del observador usando Ackermann

◼ Compensadores con entrada de referencia

◼ La función de transferencia del compensador con observador

de estado

◼ Ejemplos y ejercicios

E. Interiano 2

Observabilidad: definición

Partimos del sistema

◼ se dice que el estado x(t0) es observable si dada cualquier entrada u(t), existe un tiempo finito tf t0 tal que, el conocimiento de:

◼ u(t) para t0 t tf◼ las matrices A, B, C y D

◼ la salida y(t) para t0 t tfsea suficiente para determinar x(t0).

E. Interiano 3

ሶ𝐱 = 𝐀𝐱(𝑡) + 𝐁𝐮(𝑡)𝐲(𝑡) = 𝐂𝐱(𝑡) + 𝐃𝐮(𝑡)

Observabilidad: definición

◼ Si cada estado del sistema es observable para un tiempo finito, se dice que el sistema es completamente observable, o simplemente observable.

◼ Para que el sistema descrito sea completamente observable, es necesario y suficiente que S, la matriz de observabilidad de n x np, tenga un rango n.

E. Interiano 4

𝐒 =

𝐂𝐂𝐀𝐂𝐀𝟐

. . .𝐂𝐀𝐧−𝟏

Pruebas para la observabilidad

◼ Si el sistema tiene solo una salida, C es una matriz de reglón de 1 x n y S es una matriz cuadrada de n x n. Entonces, el sistema es completamente observable si S es no singular

◼ Para un sistema SISO, el par A,C es completamente observable si A y C están en la forma canónica observable (FCO) o son transformables a la FCO mediante una transformación de similitud.

E. Interiano 5

Pruebas para la observabilidad (2)

◼ Si A está en la forma canónica diagonal (FCD) el par A,Ces completamente observable si todos los elementos en las columnas de C son diferentes de cero.

◼ Si A está en la forma canónica de Jordan (FCJ), el par A,Ces completamente observable si NO todos los elementos en las columnas de C que corresponden a la primera columna de cada bloque de Jordan son cero.

E. Interiano 6

Observabilidad a partir de G(s) o G(z)

◼Si la función de transferencia entrada-salida de un sistema

lineal tiene cancelación de polos y ceros, el sistema será o no

observable dependiendo de cómo se definan las variables de

estado.

◼Si la función de transferencia entrada-salida no tiene

cancelación de polos y ceros, el sistema siempre se puede

representar mediante las ecuaciones dinámicas como un

sistema totalmente observable.

E. Interiano 7

Ejemplo 1a

◼ Sea la función de transferencia

◼ Se descompone en la forma FCC

◼ Cuya matriz de observabilidad, S,es singular y por ello el par [A,C] no es observable

E. Interiano 8

𝑌(𝑠)

𝑈(𝑠)=

𝑠 + 1

(𝑠 + 1)(𝑠 + 2)𝐀 =

0 1−2 −3

𝐁 =01

𝐂 = 1 1

𝐒 =𝐂𝐂𝐀

=1 1−2 −2

Ejemplo 1a: continuación

◼ El sistema en forma FCC se transforma a la forma FCO

◼ Debido a que la FCO se puederealizar, el par A, C es observable

◼ Note que se pierde la controlabilidad !

E. Interiano 9

𝐀 =0 −21 −3

𝐁 =11

𝐂 = 0 1

ሶ𝐱 =0 1−2 −3

𝐱 +01𝑢

𝑦 = 1 1 𝐱

la realimentación puede alterar

la observabilidad

◼ Sea el sistema del cual puede

demostrarse que es observable

◼ Aplicamos realimentación de

estado con

◼ La matriz S tiene el

determinante

E. Interiano 10

ሶ𝐱 =0 1−2 −3

𝐱 +11𝑢

𝑦 = 1 2 𝐱

𝑢(𝑡) = 𝑟(𝑡) − 𝐊𝐱(𝑡) 𝐊 = [𝑘1, 𝑘2]

𝐱(𝑡) = (𝐀 − 𝐁𝐊)𝐱(𝑡) + 𝐁𝐫(𝑡)

𝐒 =𝐂

𝐂(𝐀 − 𝐁𝐊)=

1 2−𝑘1 − 4 −3𝑘2 − 5

𝐒 = 6𝑘1 − 3𝑘2 + 3

Por lo que si k1 y k2 se seleccionan para que S = 0, el

sistema en lazo cerrado sería no observable

Observabilidad en tiempo discreto

Partimos del sistema

Para que este sistema sea observable la matriz de nm x n debe

tener rango n

E. Interiano 11

𝐱((𝑘 + 1)𝑇) = 𝐀𝑑𝐱(𝑘𝑇) + 𝐁𝑑𝐮(𝑘𝑇)𝐲(𝑘𝑇) = 𝐂𝐱(𝑘𝑇) + 𝐃𝐮(𝑘𝑇)

𝐒 =

𝐂𝐂𝐀𝐝

𝐂𝐀𝐝𝟐

. . .

𝐂𝐀𝐝𝐧−𝟏

Ejercicio 1

Encuentre si el sistema es observable

E. Interiano 12

𝐱(𝑘 + 1) =1.65 −0.6751 0

𝐱(𝑘) +10𝑢(𝑘)

𝑦(𝑘) = 1 0.825 𝐱(𝑘) T = 0.01s

Ejemplo 1b: Observabilidad en tiempo

discreto

◼ Los sistemas mostrados con completamente observables

E. Interiano 13

𝐱 𝑘 + 1 =0.7 00 0.8

𝑥1(𝑘)𝑥2(𝑘)

+23𝐮 𝑘 ;

𝑦 𝑘 = 1 3𝑥1(𝑘)𝑥2(𝑘)

𝐱(𝑘 + 1) =

0.9 1 0 00 0.9 10 0 0.9

0.5 10 0 0.5

𝐱(𝑘) +

0 10 03 00 02 1

𝑢1(𝑘)𝑢2(𝑘)

𝑦1(𝑘)𝑦2(𝑘)

=1 1 1 0 00 1 1 1 0

𝐱(𝑘)

Observadores de estado (1)

No siempre es posible medir el estado x

A veces es necesario estimar las variables de estado no medibles a partir

de las variables de salida y de las variables de control

E. Interiano 14

ሶ𝑥(𝑡) 𝑦(𝑡)𝑥(𝑡)

𝑥(𝑡)

𝑢(𝑡)0 න

Observadores de estado (2)

El estado simulado es diferente al estado x real debido a

incertidumbres del modelo

E. Interiano 15

𝐱

ሶ𝑥(𝑡) 𝑦(𝑡)𝑥(𝑡)

𝑥(𝑡)

𝑢(𝑡)

𝑦(𝑡)

0 න

Simulador

Observadores de estado (3)

Introducimos la salida y al simulador para mejorar la estimación del estado

x y obtenemos un observador

E. Interiano 16

ሶ𝑥(𝑡)

𝑦(𝑡)

𝑦(𝑡)

𝑥(𝑡)

𝑥(𝑡)

𝑢(𝑡)

0

-

+

El observador de estado completo de

Luenberger

E. Interiano 17

Realimentación para

corregir el error de x

Planta

Observador

r(t) y(t)x(t)u(t)0

𝑦(𝑡)𝑥(𝑡)

+

-

Ecuaciones del observador de estado

◼ Las ecuaciones del observador son similares a las del sistema, excepto porque se ha añadido un término a partir de la resta de las salidas del sistema y del observador. Observe que la contribución de D se cancela durante la resta.

◼ Este término agregado, que corresponde a una realimentación, ponderada por la matriz Kf, ayudará a reducir la diferencia entre el estado del modelo y estado del sistema real

E. Interiano 18

ሶ𝐱(𝑡) = 𝐀𝐱(𝑡) + 𝐁𝐮(𝑡) + 𝐊𝐟𝐂 𝐱(𝑡) − 𝐱(𝑡)

𝑦(𝑡) = 𝐂 ⋅ 𝐱(𝑡) + 𝐃𝑢(𝑡)

Ecuaciones del observador de estado (2)

◼ Restando a la ecuación de estado del sistema original, la ecuación del estado estimado obtenemos

◼ Después de factorizar

E. Interiano 19

ሶ𝐱(𝑡) − ሶ𝐱(𝑡) = 𝐀𝐱(𝑡) + 𝐁𝑢(𝑡) −[𝐀𝐱(𝑡) + 𝐁𝑢(𝑡) + 𝐊𝐟𝐂 𝐱(𝑡) − 𝐱(𝑡) ]

ሶ𝐱(𝑡) − ሶ𝐱(𝑡) = (𝐀 − 𝐊𝐟𝐂) 𝐱(𝑡) − 𝐱(𝑡)

Ecuaciones del observador de estado (3)

◼ Definimos e(t) como el error entre el estado de la planta y el

estado estimado

◼ Esta ecuación homogénea para el error, es muy similar a la

que se obtuvo cuando se analizó la realimentación de estado.

◼ Se debe calcular Kf para que el observador sea: estable y

más rápido que el sistema realimentado y así el error se

extinga rápidamente; lo que equivale a que el estado

estimado converja en el estado real rápidamente.E. Interiano

20

ሶ𝐞(𝑡) = ሶ𝐱(𝑡) − ሶ𝐱(𝑡) = (𝐀 − 𝐊𝐟𝐂)𝐞(𝑡)

Ecuaciones del observador de estado en

tiempo discreto

E. Interiano 21

𝐱(𝑘 + 1) = 𝐀𝑑 𝐱(𝑘) + 𝐁𝑑𝐮(𝑘) + 𝐊𝐟𝐂 𝐱(𝑘) − 𝐱(𝑘)

𝑦(𝑘) = 𝐂 ⋅ 𝐱(𝑘) + 𝐃𝑢(𝑘)

𝐞(𝑘 + 1) = 𝐱(𝑘 + 1) − 𝐱(𝑘 + 1) = (𝐀𝑑 − 𝐊𝐟𝐂)𝐞(𝑘)

𝐱(𝑘 + 1) − 𝐱(𝑘 + 1) = (𝐀𝑑 − 𝐊𝐟𝐂) 𝐱(𝑘) − 𝐱(𝑘)

Formas de cálculo de Kf

◼ Por sustitución directa de

◼ Por medio de la transformación a la forma FCO

◼ Por la fórmula de Ackerman para observador

E. Interiano 22

𝐊𝑓 =

𝑘𝑓1𝑘𝑓2⋮

𝑘𝑓𝑛

Transformación a FCO

Sea Q la matriz de transformación, con S la matriz de

observabilidad

Y con

E. Interiano 23

𝐐 = (𝐖𝐒)−𝟏

𝐖 =

𝑎1 𝑎2 • • • 𝑎𝑛−1 1𝑎2 𝑎3 • • • 1 0•••

•••

• •• •• •

𝑎𝑛−11

10

••

••

••

00

00

Transformación a FCO

◼ Se define como un nuevo vector de estado

◼ Si el sistema es observable, la matriz Q tiene inversa.

◼ Utilizando la matriz Q se puede transformar el sistema a la

forma canónica observable:

E. Interiano 24

ො𝐱

𝐱 = 𝐐ො𝐱

ሶො𝐱 = 𝐐−𝟏𝐀𝐐ො𝐱 + 𝐐−𝟏𝐁𝐮

𝐲 = 𝐂𝐐ො𝐱 + 𝐃𝐮

La forma canónica observable

◼ Los elementos de las matrices y no están restringidos a ninguna forma

E. Interiano 25

𝐀 =

0 0 . . 0 −𝑎01 0 . . 0 −𝑎10 1 . . 0 −𝑎2. . . . . .0 0 . . 1 −𝑎𝑛−1

𝐂 = 0 0 . . 0 1

𝐁 𝐃

Ecuación característica

La ecuación característica del observador se encuentra como

Donde Q-1 Kf de define como la matriz de coeficientes

Sustituyendo Q-1AQ, Q-1Kf y CQ en

E. Interiano 26

𝜆𝐈 − (𝐀 − 𝐊𝑓𝐂) = 𝐐−𝟏(𝜆𝐈 − (𝐀 − 𝐊𝑓𝐂))𝐐 = 𝜆𝐈 − 𝐐

−𝟏𝐀𝐐 + 𝐐−𝟏𝐊𝑓𝐂𝐐 = 𝟎

𝐐−1𝐊𝑓 =

𝛿0𝛿1⋮

𝛿𝑛−1

𝜆𝐈 − 𝐐−𝟏𝐀𝐐+ 𝐐−𝟏𝐊𝑓𝐂𝐐 = 0

Ecuación característica (2)

Obtenemos

E. Interiano 27

𝜆𝐈 −

0 0 0 ⋯ −𝑎01 0 0 ⋯ −𝑎10 1 0 ⋯ ⋮⋮ 0 ⋱ ⋯ −𝑎𝑛−20 0 ⋯ 1 −𝑎𝑛−1

+

𝛿0𝛿1⋮

𝛿𝑛−1

0 0 ⋯ 1 =

=

𝜆 0 0 ⋯ 𝑎0 + 𝛿0−1 𝜆 0 ⋯ 𝑎1 + 𝛿10 −1 𝜆 ⋯ ⋮⋮ 0 ⋱ ⋯ 𝑎𝑛−2 + 𝛿𝑛−20 0 ⋯ −1 𝜆 + 𝑎𝑛−1 + 𝛿𝑛−1

=

= 𝜆𝑛 + (𝑎𝑛−1 + 𝛿𝑛−1)𝜆𝑛−1 +⋯(𝑎1 + 𝛿1)𝜆 + (𝑎0 + 𝛿0) = 0

La matriz Kf

Igualando los coeficientes del polinomio característico de (A-KfC) con los

coeficientes de potencias iguales de obtenidos

Finalmente

E. Interiano 28

𝐊𝑓 = 𝐐

𝛿0𝛿1⋮

𝛿𝑛−1

𝐐−1𝐊𝑓 =

𝛿0𝛿1⋮

𝛿𝑛−1

⇒

(𝜆 − 𝜇1)(𝜆 − 𝜇2)⋯ (𝜆 − 𝜇𝑛) = 𝜆𝑛 + 𝛼𝑛−1𝜆

𝑛−1 +⋯𝛼1𝜆 + 𝛼0 = 0

𝑎0 + 𝛿0 = 𝛼0 ⇒ 𝛿0 = 𝛼0 − 𝑎0𝑎1 + 𝛿1 = 𝛼1 ⇒ 𝛿1 = 𝛼1 − 𝑎1⋮𝑎𝑛−1 + 𝛿𝑛−1 = 𝛼𝑛−1 ⇒ 𝛿𝑛−1= 𝛼𝑛−1 − 𝑎𝑛−1

𝐊𝑓 = 𝐐

𝛼0 − 𝑎0𝛼1 − 𝑎1

⋮𝛼𝑛−1 − 𝑎𝑛−1

Pasos para el diseño del observador por

transformación FCO

1. Verifique la condición de observabilidad del sistema con S.

2. A partir del polinomio característico de la matriz A,

determine los valores de

3. Determine la matriz de transformación Q que transforma la ecuación de estado del sistema a la forma canónica observable (si ya esta en forma FCO, entonces Q = I).

4. Utilizando los valores propios i deseados para el observador, halle el polinomio característico correspondiente

determine los valores de i5. Determine la matriz Kf de ganancia

E. Interiano 29

𝜆𝐈 − 𝐀 = 𝜆𝑛 + 𝑎𝑛−1𝜆𝑛−1 +⋯+ 𝑎1𝜆 + 𝑎0

𝑎𝑖

(𝜆 − 𝜇1)(𝜆 − 𝜇2)⋯ (𝜆 − 𝜇𝑛) = 𝜆𝑛 + 𝛼𝑛−1𝜆

𝑛−1 +⋯𝛼1𝜆 + 𝛼0

𝐊𝑓 = 𝐐

𝛼0 − 𝑎0𝛼1 − 𝑎1

⋮𝛼𝑛−1 − 𝑎𝑛−1

Fórmula de Ackermann para observadores

◼ Para sistemas SISO, existe además de la sustitución directa y la transformación aFCO, la forma sistemática dada por Ackermann para calcular la matriz Kf

◼ φe(A) es el polinomio característico deseado para el estimador u observador, evaluado en la matriz A, del sistema original

◼ Si el sistema es completamente observable, la matriz de observabilidad Stiene rango n y es no singular.

E. Interiano 30

𝐊𝐟 = 𝛗𝐞(𝐀)

𝐂𝐂𝐀⋮

𝐂𝐀𝐧−𝟏

−1 00⋮1

Ejemplo 2: El controlador

◼El sistema

Ha sido realimentado de estado para ubicar los polos de lazo

cerrado en

Con K = [ 0.65 -0.3625] y K0 = 0.1712 para reducir el error de

estado estacionario a cero (en ausencia del observador)

E. Interiano 31

𝐱(𝑘 + 1) =1.65 −0.6751 0

𝐱(𝑘) +10𝑢(𝑘)

𝑦(𝑘) = 1 0.825 𝐱(𝑘) T = 0.01s

𝜇1,2 = 0.5 ± 𝑗0.25

Ejemplo 2: El observador

El observador debe responder más rápido que la planta

realimentada por lo que los polos del observador se ubicarán en

El polinomio característico del observador es

Comprobamos la observabilidad

E. Interiano 32

𝜑𝑒(𝑧) = 𝑧2 − 0.25𝑧 + 0.07813

𝜇1,2 = 0.125 ± 𝑗0.25

𝐒 =𝐂𝐂𝐀

=1 0.825

2.475 −0.675

Ejemplo 2: cálculo de φe(A)

Calculamos φe(A)

La matriz Kf

E. Interiano 33

𝛗𝐞(𝐀) = 𝐀𝟐 − 0.25𝐀 + 0.07813𝐈

𝛗𝐞(𝐀) =2.0475 −1.11381.65 −0.675

−0.4125 −0.16880.25 0

+0.0781 0

0 0.0781

𝛗𝐞(𝐀) =1.7131 −0.9451.4 −0.5969

𝐊𝐟 = 𝛗𝐞(𝐀) ⋅𝐂𝐂𝐀

−1 01

Ejemplo 2: El observador realimentado

Finalmente

La nueva matriz

Tiene E. Interiano 34

ෙ𝐀

ෙ𝐀 = 𝐀 − 𝐊𝐟𝐂 =1.65 −0.6751 0

−0.8680.6448

⋅ 1 0.825

ෙ𝐀 =0.7820 −1.39110.3552 −0.532

𝐊𝐟 =1.7131 −0.9451.4 −0.5969

⋅1 0.825

2.475 −0.675

−1 01

=0.8680.6448

𝜆1,2 = 0.125 ± 𝑗0.25

Ejemplo 2: Resultados

E. Interiano 35

Respuesta sistema compensado

Con K0 = 0.0837

Originales

Observador Sistemax

x

Ejemplo 2: Análisis de resultados

◼ Los polos de lazo cerrado se encuentran en el sitio deseado para el

observador y para el sistema

◼ El error de estado estacionario es cero, ajustando K0 al valor 0.0837

◼ El tiempo de muestreo parece muy grande para la ubicación deseada de

los polos de la planta

◼ El estimador es más rápido que el sistema realimentado en estado y el

estado estimado se producirá con suficiente anticipación como para que

pueda ser usado en la realimentación

E. Interiano 36

Estructura de la forma general del

compensador por real. estado

E. Interiano 37

ሶ𝐱 = 𝐀𝐱 + 𝐁𝑢𝑦 = 𝐂𝐱

Modelo del sistema

−𝐊

Ley de control

ሶ𝐱 = 𝐀𝐱 + 𝐁𝑢 + 𝐊𝐟Δ𝑦 +𝐌𝑟𝑦 = 𝐂𝐱

Observador

Nr u y

ũ

+

+

+

-

ỹ

Δ𝑦𝐱

Compensador realimentado en variables

de estado: Caso general.

◼ Las ecuaciones generales del compensador

◼ La ecuación para el error

E. Interiano 38

ሶ𝐱(𝑡) = 𝐀𝐱(𝑡) + 𝐁𝑢(𝑡) + 𝐊𝐟Δ𝑦(𝑡) + 𝐌𝑟(𝑡)

𝑢(𝑡) = 𝑢(𝑡) + 𝐍𝑟(𝑡) = −𝐊𝐱(𝑡) + 𝐍𝑟(𝑡)

Δ𝑦(𝑡) = 𝑦(𝑡) − 𝐂 ⋅ 𝐱(𝑡)

ሶ𝐞(𝑡) = ሶ𝐱(𝑡) − ሶ𝐱(𝑡) = 𝐀𝐱(𝑡) + 𝐁𝑢(𝑡) −[𝐀𝐱(𝑡) + 𝐁𝑢(𝑡) + 𝐊𝐟Δ𝑦(𝑡) + 𝐌𝑟(𝑡)]

ሶ𝐞(𝑡) = 𝐀 − 𝐊𝐟𝐂 𝐞(𝑡) + 𝐁𝐍 −𝐌 𝑟(𝑡)

Compensadores y reguladores

◼ A un compensador en variables de estado sin entrada de

referencia se le llama regulador

◼ Si N y M son cero, las ecuaciones del compensador se

reducen a las del regulador.

◼ Para un sistema de una única entrada, N es un escalar, que

llamaremos K0, y M es un vector columna de longitud n.

E. Interiano 39

Compensador realimentado en variables

de estado: Caso 1

◼ Si N y M se seleccionan de forma tal que el error e(t) sea

independiente de r(t)

◼ Si escogemos K0 para hacer cero el error de estado

estacionario ante entrada escalón

E. Interiano 40

ሶ𝐞(𝑡) = 𝐀 − 𝐊𝐟𝐂 ⋅ 𝐞(𝑡) + 𝐁𝐾0 −𝐌 ⋅ 𝑟(𝑡)

𝐌 = 𝐁𝐾0

ሶ𝐞(𝑡) = 𝐀 − 𝐊𝐟𝐂 ⋅ 𝐞(𝑡)

ሶ𝐱(𝑡) = 𝐀𝐱(𝑡) + 𝐁𝑢(𝑡) + 𝐊𝐟Δ𝑦(𝑡)

𝑢(𝑡) = −𝐊𝐱(𝑡) + 𝐾0𝑟(𝑡)

Estructura del caso 1

◼ El compensador se encuentra en el lazo de realimentación

E. Interiano 41

Modelo del sistema

ሶ𝐱 = 𝐀𝐱 + 𝐁𝑢𝑦 = 𝐂𝐱

−𝐊

Ley de control

ሶ𝐱 = 𝐀 − 𝐊𝐟𝐂 ⋅ 𝐱 + 𝐁𝑢 + 𝐊𝐟𝑦

Observador

K0r u y

ũ

+

+

𝐱

Compensador

El compensador con observador

Con M = BK0 las ecuaciones del compensador con observador de estado

son

E. Interiano 42

ሶ𝐱(𝑡) = [𝐀 − 𝐁𝐊 − 𝐊𝐟𝐂] ⋅ 𝐱(𝑡) + 𝐊𝐟𝑦(𝑡)𝑢(𝑡) = −𝐊 ⋅ 𝐱(𝑡) + 𝑘0𝑟(𝑡)

𝑦(𝑡)𝑥(𝑡)𝑢(𝑡)𝑟(𝑡)

𝑥(𝑡)

La función de transferencia

◼ Como puede observarse de las ecuaciones, la salida del

controlador con observador es u(t) y la entrada es y(t).

◼ Aplicando la transformada de Laplace y despejando

◼ Este regulador se debe aplicar con realimentación positiva y

se calcula de la misma forma para sistemas discretos

E. Interiano 43

𝐾(𝑠) =𝑈(𝑠)

𝑌(𝑠)= −𝐊 ⋅ [𝑠𝐈 − (𝐀 − 𝐁𝐊 − 𝐊𝐟𝐂)]

−1 ⋅ 𝐊𝐟

El compensador con observador en

tiempo discreto

Con M = BK0 las ecuaciones del controlador con observador son:

Aplicando la transformada Z y despejando encontramos la función de

transferencia, en tiempo discreto, del regulador con observador

E. Interiano 44

𝐱(𝑘 + 1) = [𝐀𝑑 − 𝐁𝑑𝐊 − 𝐊𝐟𝐂] ⋅ 𝐱(𝑘) + 𝐊𝐟𝑦(𝑘)𝑢(𝑘) = −𝐊 ⋅ 𝐱(𝑘) + 𝑘0𝑟(𝑘)

𝐾(𝑧) =𝑈(𝑧)

𝑌(𝑧)= −𝐊 ⋅ [𝑧𝐈 − (𝐀𝑑 − 𝐁𝑑𝐊 − 𝐊𝐟𝐂)]

−1 ⋅ 𝐊𝐟

Ejemplo 3: Calcular G(z)

◼ Sea el sistema del ejemplo 1

E. Interiano 45

𝐱(𝑘 + 1) =1.65 −0.6751 0

𝐱(𝑘) +10𝑢(𝑘)

𝑦(𝑘) = 1 0.825 𝐱(𝑘) T = 0.01s

𝐊𝐟 =0.8680.6448𝐊 = 0.65 −0.3625

𝐾(𝑧) =𝑈(𝑧)

𝑌(𝑧)=−0.3305(𝑧 − 0.6412)

(𝑧2 + 0.4𝑧 + 0.2952)

Ejemplo 3: Cálculo de T(z)

La función de transferencia de lazo cerrado es

E. Interiano 46

𝑇(𝑧) =𝐺(𝑧)

1 − 𝐾(𝑧)𝐺(𝑧)

𝑇(𝑧) =

(𝑧 + 0.825)(𝑧2 − 1.65𝑧 + 0.675)

1 −−0.3305(𝑧 − 0.6412)(𝑧2 + 0.4𝑧 + 0.2952)

(𝑧 + 0.825)(𝑧2 − 1.65𝑧 + 0.675)

𝑇(𝑧) =(𝑧 + 0.825)(𝑧2 + 0.4𝑧 + 0.2952)

(𝑧2 − 𝑧 + 0.3125)(𝑧2 − 0.25𝑧 + 0.07812)

Ejemplo 3: Haciendo ess = 0

Encontramos la nueva constante K0 para el sistema

realimentado con observador

E. Interiano 47

𝐾0 =1

lim𝑧→1

𝑇 (𝑧)

𝐾0 =1

lim𝑧→1

(𝑧 + 0.825)(𝑧2 + 0.4𝑧 + 0.2952)(𝑧2 − 𝑧 + 0.3125)(𝑧2 − 0.25𝑧 + 0.07812)

𝐾0 = 0.0837

Ejemplo 3: Resultados

E. Interiano 48

Respuesta del sistema realimentado

en estado con la matriz –K, y

realimentado con observador.

Originales

Observador Sistema

Ejemplo 3: Análisis de resultados

◼ Hay una pequeña diferencia entre el sistema realimentado

con el estado y el sistema realimentado con observador de

estado; aunque ambos alcanzan el mismo valor final casi al

mismo tiempo y tienen ess = 0

◼ Puede observarse que el sistema en lazo cerrado T(z) tiene 4

polos, (color rojo), los dos del observador y los dos del

sistema realimentado; mostrados como polos de lazo abierto

para ganancia cero. Todos los polos se encuentran en las

ubicaciones escogidas y definidas por las matrices K y Kf.

E. Interiano 49

E. Interiano 50

Ejemplo 3: Análisis de resultados de

la simulación◼ Hay una pequeña diferencia entre las salidas del sistema realimentado

con el estado observado y el sistema realimentado con regulador;

aunque ambos alcanzan el mismo valor final casi al mismo tiempo y

tienen ess = 0, el primero adelanta al segundo.

◼ Una vez transcurrido el transitorio, no hay diferencia entre los estados

del sistema realimentado y los estados del observador.

◼ En las acciones de control, si existe una diferencia en el valor final entre

la acción de control 𝑢1(𝑘) del sistema realimentado con el estado delobservador y la acción de control 𝑢2(𝑘) del sistema realimentado conregulador. Esto es debido principalmente a que el regulador no recibe

u(k) directamente.E. Interiano 51

Compensador realimentado en variables de

estado: Caso 2

◼ Si seleccionamos N = 0 y M = -Kf

◼ El error será

E. Interiano 52

ሶ𝐞(𝑡) = 𝐀 − 𝐊𝐟𝐂 ⋅ 𝐞(𝑡) − 𝐌 ⋅ 𝑟(𝑡)

𝐌 = −𝐊𝐟

ሶ𝐱(𝑡) = 𝐀𝐱(𝑡) + 𝐁𝑢(𝑡) + 𝐊𝐟Δ𝑦(𝑡) − 𝐊𝐟𝑟(𝑡)

𝑢(𝑡) = −𝐊𝐱(𝑡)

ሶ𝐱(𝑡) = 𝐀 − 𝐁𝐊 − 𝐊𝐟𝐂 ⋅ 𝐱(𝑡) + 𝐊𝐟(𝑦(𝑡) − 𝑟(𝑡))

Δ𝑦(𝑡) = 𝑦(𝑡) − 𝐂 ⋅ 𝐱(𝑡)

ሶ𝐞(𝑡) = 𝐀 − 𝐊𝐟𝐂 ⋅ 𝐞(𝑡) + 𝐊𝐟 ⋅ 𝑟(𝑡)

Estructura del caso 2

◼ El compensador se encuentra en el camino directo con

realimentación unitaria

E. Interiano 53

+

-

ሶ𝐱 = 𝐀𝐱 + 𝐁𝑢𝑦 = 𝐂𝐱

Modelo del sistema

−𝐊

Ley de control

ሶ𝐱 = (𝐀 − 𝐁𝐊 − 𝐊𝐟𝐂)𝐱 +𝐊𝐟(𝑦 − 𝑟)

Observador

r(t) u y(t)

Compensador

Ejercicios

1. Encuentre si el sistema discreto mostrado, con T = 0.01s, es

controlable y observable.

2. Haga que el sistema tenga los polos de lazo cerrado

ubicados en = 0.6 +/- 0.25j y que tenga error de estado

estacionario cero ante un escalón en la entrada r(k)

E. Interiano 54

𝑥(𝑘 + 1) =0.9319 −0.024140.03863 0.99951

⋅ 𝑥(𝑘) +0.019310.0003908

⋅ 𝑢

𝑦(𝑘) = 0 1.25 ⋅ 𝑥(𝑘)

Ejercicios (2)

◼ Verifique el cálculo de la matriz K y el escalar K0 para el

ejemplo 1.

◼ Para el sistema mostrado, diseñe un regulador con

observador que haga que los polos de lazo cerrado del

sistema se ubiquen en = -1.5 j2.

E. Interiano 55

ሶ𝐱 =0 1

20.6 0𝐱 +

01𝑢

𝑦 = 1 0 𝐱

Ejercicios (3)

Para el sistema mostrado, diseñe un compensador discreto con

observador que tenga respuesta dead-beat, (polos en z = 0) y

que haga que los polos de lazo cerrado del sistema se ubiquen

en . Calcule además K0 para eliminar el error

de estado estacionario ante una entrada escalón

E. Interiano 56

𝐱(𝑘 + 1) =−0.35 −1.3751 2

𝐱(𝑘) +10𝑢(𝑘)

𝑦(𝑘) = 1 2.825 𝐱(𝑘) T = 0.01s

𝜇1,2 = 0.7 ± 𝑗0.25

Ejercicios (4)

◼ Para la estructura del caso 2, encuentre la función de

transferencia del compensador

◼ ¿Encuentre el error de estado estacionario para entrada

escalón para el caso 2?

◼ ¿Será posible para el caso 2, hacer que el error de estado

estacionario ante entrada escalón sea 0?

E. Interiano 57

Tarea

◼ Investigue que es un observador de estado incompleto o de orden

reducido y cuándo puede ser aplicado.

◼ Investigue qué es el principio de dualidad de Kalman.

◼ ¿Qué establece el principio de separación de Kalman? ¿Cómo se

prueba?

◼ Demuestre la fórmula de Ackerman para K

◼ ¿Cuán rápidos deben ser los polos del observador de Luenberger

respecto a los de la planta?

◼ ¿Cuál tipo de observador resuelve el problema del observador en

presencia de ruido?

E. Interiano 58

Referencias

[1] Ogata, Katsuhiko. „Ingeniería de Control Moderna“, Pearson, Prentice Hall, 2003, 4ª Ed., Madrid.

[2] Ogata, Katsuhiko. „Sistemas de Control en tiempo discreto“, Prentice Hall, 1996, 2ª Ed., México.

[3] Dorf, Richard, Bishop Robert. „Sistemas de control moderno“, 10ª Ed., Prentice Hall, 2005, España.

[4] http://en.wikipedia.org/wiki/State_observer

[5]http://www.stanford.edu/dept/MSandE/people/faculty/luenberger/articles/otsoals.pdf

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http://en.wikipedia.org/wiki/State_observerhttp://www.stanford.edu/dept/MSandE/people/faculty/luenberger/articles/otsoals.pdf