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Universidad Central “Marta Abreu” de Las Villas
Facultad de Ingeniería Eléctrica
Departamento de Automática y Sistemas Computacionales
TRABAJO DE DIPLOMA
Control de seguimiento de trayectoria en
espacio cartesiano para robot paralelo con
2 GDL
Autor: Guillermo Peláez Iglesias
Tutor: Ms.C. Orlando Urquijo Pascual
Santa Clara
2017
"Año 59 de la Revolución"
Universidad Central “Marta Abreu” de Las Villas
Facultad de Ingeniería Eléctrica
Departamento de Automática y Sistemas Computacionales
TRABAJO DE DIPLOMA
Control de seguimiento de trayectoria en
espacio cartesiano para robot paralelo con
2 GDL
Autor: Guillermo Peláez Iglesias
Email: [email protected]
Tutor: Ms.C. Orlando Urquijo Pascual
Prof. Auxiliar, Dpto. Automática, Fac. Ingeniería Eléctrica,
UCLV. Email: [email protected]
Santa Clara
2017
"Año 59 de la Revolución"
i
Hago constar que el presente trabajo de diploma fue realizado en la Universidad Central
“Marta Abreu” de Las Villas como parte de la culminación de estudios de la especialidad
de Ingeniería en Automática, autorizando a que el mismo sea utilizado por la Institución,
para los fines que estime conveniente, tanto de forma parcial como total y que además no
podrá ser presentado en eventos, ni publicados sin autorización de la Universidad.
Firma del Autor
Los abajo firmantes certificamos que el presente trabajo ha sido realizado según acuerdo de
la dirección de nuestro centro y el mismo cumple con los requisitos que debe tener un
trabajo de esta envergadura referido a la temática señalada.
Firma del Autor
Firma del Jefe de Departamento
donde se defiende el trabajo
Firma del Responsable de
Información Científico-Técnica
ii
PENSAMIENTO
Una máquina puede hacer el trabajo de 50 hombres corrientes. Pero no existe ninguna
máquina que pueda hacer el trabajo de un hombre extraordinario.
Franklin Delano Roosevelt
iii
DEDICATORIA
A mi mamá y a mi papá por haberme regalado lo más preciado, la vida; además por estar
siempre dispuestos a brindarme su apoyo para que saliera adelante, a Grisbey y a Pipito
unos suegros increíbles que depositaron en mí la confianza necesaria durante todo este
tiempo, a mi novia Lilibey por su amor y comprensión, a mi familia por el apoyo brindado,
a mis amigos de la universidad por ayudarme cuando más lo necesité. En fin, dedico este
trabajo a todos los que de una forma u otra han influido de manera positiva en mi
formación profesional.
iv
AGRADECIMIENTOS
A mi tutor Urquijo por su colaboración, paciencia y apoyo incondicional en la elaboración
de este trabajo que constituye el esfuerzo de cinco años, a Izaguirre que me sirvió de guía
cuando lo necesité, a Valeriano por leer los trabajos previos hechos hasta la predefensa y
darme una visión más acorde a la investigación, al colectivo de profesores de la carrera, a
mi novia Lilibey que dejó de hacer muchísimos proyectos referidos a su especialidad por
tal que usara su laptop y a todos, muchísimas gracias.
v
RESUMEN
El desarrollo de esquemas de control de movimiento de robots paralelos es un tema de gran
interés en la comunidad científica internacional. Aspectos importantes como el modelado y
la simulación constituyen hoy día problemas abiertos. En este contexto, el trabajo aquí
expuesto consiste en un esquema de control de seguimiento de trayectoria en espacio
cartesiano con realimentación de la velocidad, aplicado a un robot paralelo de dos grados
de libertad, accionado por cilindros neumáticos, en aplicación de simulador industrial de
movimiento.
En tal sentido, la propuesta se basa en un esquema de control cinemático en espacio de
tareas que prescinde del cálculo del modelo dinámico del robot, además, esta depende en su
totalidad de la obtención del modelo referente a la cinemática diferencial.
Para validar la propuesta se realizan experimentos utilizando softwares de simulación con
el robot caso de estudio, las cuales demuestran la efectividad de la estrategia de control
planteada.
vi
TABLA DE CONTENIDOS
PENSAMIENTO ................................................................................................................... ii
DEDICATORIA ................................................................................................................... iii
AGRADECIMIENTOS ......................................................................................................... iv
RESUMEN ............................................................................................................................. v
INTRODUCCIÓN .................................................................................................................. 1
CAPÍTULO 1. MODELADO Y CONTROL DE ROBOTS PARALELOS ..................... 6
1.1 Robótica paralela ...................................................................................................... 6
1.1.1 Conceptualización de robots paralelo ............................................................... 6
1.1.2 Configuraciones estructurales de los robots paralelos ...................................... 7
1.1.3 Aplicaciones ...................................................................................................... 8
1.1.4 Breve historia de la robótica paralela ............................................................... 9
1.2 Modelado de los robots paralelos ........................................................................... 10
1.2.1 Modelado cinemático inverso ......................................................................... 11
1.2.2 Modelado cinemático directo .......................................................................... 12
1.2.3 Cinemática diferencial .................................................................................... 14
1.2.4 Modelado dinámico de los robots paralelos ................................................... 16
1.3 Estrategias de control de seguimiento de trayectoria en espacio de tareas ............ 17
1.4 Conclusiones parciales ........................................................................................... 24
vii
CAPÍTULO 2. MODELADO DEL ROBOT PARALELO DE 2 GDL .......................... 26
2.1 Descripción de la plataforma de dos grados de libertad ........................................ 26
2.2 Modelado de la plataforma de 2 GDL .................................................................... 28
2.2.1 Modelado cinemático inverso ......................................................................... 28
2.2.2 Modelado cinemático directo .......................................................................... 31
2.2.3 Cinemática diferencial .................................................................................... 33
2.2.4 Modelado no lineal de los actuadores neumáticos .......................................... 35
2.2.5 Obtención del modelo electro-neumático a través de identificación
experimental .................................................................................................................. 37
2.3 Conclusiones parciales ........................................................................................... 40
CAPÍTULO 3. ESQUEMA DE CONTROL DE SEGUIMIENTO DE TRAYECTORIA
EN ESPACIO CARTESIANO PARA UN ROBOT PARALELO DE 2 GDL .................... 41
3.1 Esquema de control de seguimiento de trayectoria con realimentación de la
velocidad ........................................................................................................................... 41
3.1.1 Resultados de la simulación ............................................................................ 42
3.2 Lazo de control articular ........................................................................................ 43
3.2.1 Sintonía del regulador en el espacio cartesiano .............................................. 45
3.3 Análisis económico ................................................................................................ 51
3.4 Conclusiones del capítulo ...................................................................................... 51
CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES ................................................................... 53
Conclusiones ..................................................................................................................... 53
Recomendaciones ............................................................................................................. 54
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS ................................................................................. 55
ANEXOS .............................................................................................................................. 60
viii
Anexo I Control de seguimiento de trayectoria en espacio cartesiano con realimentación
de la velocidad .................................................................................................................. 60
Anexo II Programa en MATLAB para la jacobiana directa e inversa ....................... 61
INTRODUCCIÓN 1
INTRODUCCIÓN
La robótica paralela es la rama de la ciencia que se encarga del estudio de robots cuya
estructura mecánica, que enlaza la base fija con el elemento terminal, está compuesta por
dos o más cadenas cinemáticas cerradas (Merlet, 2012). Estos sistemas son empleados en
aplicaciones tales como son: simuladores de movimiento (Castellanos y otros, 2011), para
el posicionamiento de dispositivos pesados, como antenas, radares y telescopios (Zabalza y
Ros, 2007), para máquinas herramientas (Silva y otros, 2009), aplicaciones navales (Yeh y
otros, 2009), simuladores de vuelo (Cardona, 2015), cirugía médica y rehabilitación (Dutta,
2012), entre otras.
Entre las ventajas que presentan este tipo de estructura robótica se encuentran la alta
exactitud de posicionamiento, mayor rigidez en su estructura mecánica dado que comparten
la carga entre todas sus extremidades, así como alta relación peso-carga, gran velocidad de
movimiento y buena repetitividad (Wang y Pi, 2013). No obstante, el estudio de estos
sistemas trae consigo complicaciones en cuanto a: las limitaciones en el espacio de trabajo,
la presencia de singularidades de su estructura mecánica, que dificulta la obtención de los
modelos cinemáticos y dinámicos (Muller, 2008) y, por ende, aumenta la complejidad para
el diseño de los controladores.
Al trabajar con estructuras paralelas accionadas por cilindros neumáticos, los diseñadores
se enfrentan al desafío de diseñar sistemas de control para procesos multivariables, de
arquitecturas cinemáticas complejas, complicados modelos dinámicos altamente no lineales
y de alta interacción, gran integración sensorial y exigentes especificaciones para los lazos
de control (Nalluri y Mallikarjuna, 2009), por lo que el control de seguimiento de
trayectoria de estos sistemas se convierte en un reto para la comunidad científica
internacional.
INTRODUCCIÓN 2
El control de seguimiento de trayectoria consiste en seguir una trayectoria dada en el
tiempo 𝑞𝑑(𝑡) 𝑜 𝑥𝑑(𝑡) y sus sucesivas derivadas ��𝑑(𝑡) 𝑜 ��𝑑(𝑡)𝑦 ��𝑑(𝑡) 𝑜 ��𝑑(𝑡), las cuales
describen la velocidad y aceleración deseadas respectivamente (Siciliano y Khatib, 2008).
La trayectoria deseada en la robótica se puede describir como la pose deseada de las
coordenadas cartesianas del efector final del robot respecto a la base fija (Hu y otros, 2012).
El movimiento del robot puede ser controlado realimentando la posición y velocidad, ya
sea en el espacio articular como en el espacio de tareas.
El control de seguimiento de trayectoria en el espacio articular requiere la solución de la
cinemática inversa para convertir la trayectoria deseada del robot en el espacio de tareas en
las elongaciones correspondientes de cada articulación actuada, y presenta algunas
limitaciones en cuanto a la compensación de las incertidumbres del sistema (Xian y otros,
2004). Por su parte, el control de seguimiento de trayectoria en el espacio de tareas, tiene la
capacidad de compensar estas incertidumbres, aunque necesita la medición directa de las
variables cartesianas del robot (Stefanovic, 2012), lo cual resulta muy costoso limitando el
uso de estas estrategias en robots manipuladores industriales (Nazari y otros, 2014). El
objetivo del control de seguimiento en el espacio de tareas es garantizar el movimiento del
efector final de manera que siga la señal deseada tan fielmente como sea posible, donde el
error regulado es el existente entre la pose real y la deseada de la plataforma móvil,
garantizándose un mejor desempeño del robot, sobre todo cuando las especificaciones son
dadas en el espacio cartesiano (Yen y Lai, 2009).
El control de seguimiento de trayectoria en robots paralelos ha sido implementado
utilizando tanto estrategias no lineales como lineales (Wang y Pi, 2013). Paccot en su
trabajo demuestra las ventajas del control en el espacio de tareas respecto al articular en
robots paralelos, y evalúa estrategias de control PID simples y por par calculado (Paccot y
otros, 2009). Por otra parte, Davliakos y Papadopoulos presentan una estrategia de control
de seguimiento de posición en espacio de tareas en cascada con un lazo de control de
seguimiento de fuerza basado en modelo, que es ampliada con una acción PD que es la
encargada de que el error de seguimiento de trayectoria converja a cero de manera
exponencial (Davliakos y Papadopoulos, 2007). Bellakenal propone un sistema de control
cartesiano con evaluación de la cinemática directa y una variante para evitar la misma
empleando un sistema sensorial basado en imagen garantizando el control de la posición y
INTRODUCCIÓN 3
de sus sucesivas derivadas (Bellakenal y otros, 2011). En el trabajo de Ider y Korkmaz se
presenta un esquema de seguimiento de trayectoria de los manipuladores paralelos dirigido
a la presencia de la flexibilidad en las unidades de articulación. La ley de control propuesta
desacopla y linealiza el sistema y logra estabilidad asintótica por realimentación de las
posiciones y velocidades de las articulaciones y rotores accionados (Ider y Korkmaz, 2009).
En una gran cantidad de aplicaciones de simuladores de conducción, el control de
seguimiento de trayectoria deseada en el espacio de tareas es de vital importancia para el
desempeño del sistema (Zhao y otros, 2010).
Como parte de las investigaciones realizadas por el grupo de investigación GARP se han
llevado a cabo varias investigaciones con el objetivo de mejorar el desempeño de los robots
paralelos en aplicaciones de seguimiento de trayectoria. En (Izaguirre y otros, 2011c), se
propone un esquema de control cartesiano con la utilización de un doble lazo en cascada
que no cumplía con los requerimientos de seguimiento de trayectoria en una plataforma de
tres grados de libertad. Para dar solución a este problema en (Urquijo, 2014) se propone
una solución basada en (Slotine y Li, 1989), que ya resolvía los problemas de seguimiento
de trayectoria en la plataforma de tres grados de libertad, aunque sin la realimentación de la
velocidad del efector final, lo cual entra en contradicción con el concepto de seguimiento
de trayectoria.
Situación del problema
No se cuenta con una estrategia de control en espacio cartesiano para el robot paralelo de 2
GDL que garantice un control de seguimiento de trayectoria con realimentación de la
velocidad de la plataforma móvil.
Objetivo general
Implementar un control de seguimiento de trayectoria con realimentación de la velocidad
en espacio cartesiano para robots paralelos con 2 GDL.
Objetivos específicos
1. Analizar tendencias mundiales en cuanto a estrategias de control de seguimiento
de trayectoria desarrolladas en robots paralelos con realimentación de velocidad.
INTRODUCCIÓN 4
2. Obtener modelos matemáticos necesarios del robot paralelo de 2GDL para la
implementación de la estrategia de control de seguimiento de trayectoria en
espacio de tareas.
3. Implementar esquema de control cartesiano para el seguimiento de trayectoria con
realimentación de la posición y de la velocidad.
4. Evaluar el desempeño del esquema de control propuesto mediante simulación
utilizando modelo lineal del sistema electro-neumático implementado en
SIMULINK.
Tareas investigativas
1. Análisis de las tendencias mundiales en cuanto a estrategias de control de
seguimiento de trayectoria en espacio de tarea con realimentación de velocidad
para el robot paralelo de 2GDL.
2. Obtención del modelo del sistema electro-neumático de la plataforma de 2 GDL a
través de identificación experimental.
3. Descripción del modelo cinemático inverso y directo para la estimación del
posicionamiento articular y cartesiano respectivamente de la plataforma de 2 GDL.
4. Obtención de los modelos Jacobianos para la estimación de la velocidad del
efector final de la plataforma de 2 GDL y las velocidades articulares de cada uno
de los pistones de la plataforma neumática.
5. Implementación de un esquema de control cartesiano para el seguimiento de
trayectoria con realimentación de la posición y de la velocidad.
6. Evaluación del desempeño del esquema de control propuesto utilizando modelo
lineal del sistema electro-neumático implementado en SIMULINK.
Organización del informe
El informe está conformado por una introducción, el desarrollo organizado en tres
capítulos, seguido de las conclusiones, recomendaciones y las referencias bibliográficas.
Capítulo 1: Se exponen los principales aspectos teóricos relacionados con la robótica
paralela. Se abordan además las principales técnicas de modelado de los sistemas electro-
neumáticos y las estructuras robóticas paralelas. Por último, se hace un análisis crítico de
INTRODUCCIÓN 5
las principales estrategias de control de seguimiento de trayectoria utilizadas aplicadas a
sistemas robóticos en general.
Capítulo 2: Se realiza una descripción de la plataforma de 2 GDL. Se abordan las
principales técnicas de modelado de la plataforma de 2 GDL SIMPRO utilizado como caso
de estudio y se describe el proceso de identificación experimental para la obtención del
modelo electro-neumático.
Capítulo 3: Se plantea el esquema de control de seguimiento de trayectoria con la
realimentación de la velocidad y se evalúa en SIMULINK la veracidad del mismo y de los
bloques referentes a la cinemática diferencial. También se realiza una descripción del lazo
de control articular para la obtención del controlador y, por último, se hace la sintonía del
regulador externo del lazo cartesiano.
CAPÍTULO 1. MODELADO Y CONTROL DE ROBOTS PARALELOS 6
CAPÍTULO 1. MODELADO Y CONTROL DE ROBOTS
PARALELOS
En este capítulo se abordan los principales conceptos acerca de la robótica paralela y se
incursiona en aspectos de modelado y control de los sistemas electro-neumáticos utilizados
para el accionamiento de estas estructuras. También se incluyen aspectos de las técnicas de
modelado para los robots paralelos y se reflejan algunas de las estrategias de control más
utilizadas para el control de seguimiento de trayectoria en estos dispositivos mecánicos.
1.1 Robótica paralela
En el presente epígrafe se abordarán los principales aspectos teóricos relacionados con la
robótica paralela, haciendo énfasis en el modelado de estas estructuras robóticas y en las
diferentes variantes de control de seguimiento de trayectoria publicadas en la literatura
especializada.
1.1.1 Conceptualización de robots paralelo
Se puede definir a un manipulador paralelo o máquina cinemática paralela genérica como
un mecanismo de cadena cinemática cerrada en el que su efector final está unido a la base
por varias cadenas cinemáticas independientes (Merlet, 2012). Hay un caso particular de
manipulador paralelo genérico que reúne las siguientes características:
1. Posee un mínimo de dos cadenas cinemáticas que permiten una adecuada distribución de
la carga.
2. El número de actuadores es mínimo.
3. El número de sensores necesarios para el control del mecanismo en lazo cerrado es
también mínimo.
CAPÍTULO 1. MODELADO Y CONTROL DE ROBOTS PARALELOS 7
4. Cuando los actuadores están bloqueados el manipulador permanece en la posición
anterior al bloqueo.
Al manipulador paralelo genérico que reúne las características anteriores se le denomina
robot paralelo (Merlet, 2012) y lo define como aquel manipulador que está constituido por
un efector final con n grados de libertad y una base fija, unidos por al menos dos cadenas
cinemáticas independientes, en el que el movimiento se produce a través de n actuadores
independientes.
Las cadenas cinemáticas simples son aquellas en las cuales cada miembro posee un grado
de conexión (para cada elemento de enlace de un manipulador, el grado de conexión es el
número de cuerpos rígidos conectados a dicho elemento de enlace a través de una
articulación) que es menor o igual que dos; mientras que las cadenas cinemáticas cerradas
se obtienen cuando cualquiera de los elementos de enlace, excepto la base, posee un grado
de conexión mayor o igual que tres (Merlet, 2012).
Según (Barrientos y Penin, 1997), cada uno de los movimientos que puede realizar cada
articulación con respecto a la anterior, se denomina grado de libertad (GDL). El número de
grados de libertad del robot viene dado por la suma de los grados de libertad de las
articulaciones que lo componen.
1.1.2 Configuraciones estructurales de los robots paralelos
Dependiendo de las prestaciones requeridas en los distintos campos de aplicación, existen
muchas estructuras mecánicas en las que se basa el funcionamiento de los robots paralelos.
La topología o arquitectura de un mecanismo paralelo se establece como las articulaciones,
conexiones, acoplamientos y actuadores que están estructurados para lograr un determinado
movimiento (Merlet, 2012).
Las configuraciones estructurales de los robots paralelos dependen del número de
combinaciones de las cadenas cinemáticas que lo componen, del tipo y de las restricciones
en el movimiento de las articulaciones, etc. No obstante, Merlet, siendo uno de los autores
que más ha profundizado en el estudio del tema, las divide en dos grupos según el
movimiento que realizan: los robots planares y los espaciales (Merlet, 2012).
CAPÍTULO 1. MODELADO Y CONTROL DE ROBOTS PARALELOS 8
Robots planares: Un robot planar posee un efector final con dos o tres grados de libertad,
dos traslaciones en el plano y una rotación, en caso de tener tres gados de libertad, sobre un
eje perpendicular a dicho plano. En los robots planares de tres grados de libertad, tres
cadenas soportan el efector final. Las cadenas se conectan al efector final en tres puntos:
generalmente el efector final es un triángulo (Merlet, 2012).
Robots espaciales: Los robots espaciales son aquellos que experimentan el movimiento en
todo el espacio tridimensional y no en un plano, es decir, se pueden trasladar (posición en
el espacio) y girar (orientación en el espacio) en los tres ejes de coordenadas; esto le
confiere 3, 4, 5 y 6 grados de libertad, aunque existen algunos casos particulares que sólo
poseen dos grados de libertad (Bonev, 2002).
Figura 1.1: Configuraciones estructurales de los robots paralelos.
1.1.3 Aplicaciones
Con el estudio del funcionamiento de los robots paralelos y el aumento de la capacidad de
cómputo de los nuevos procesadores, se han desarrollado múltiples aplicaciones de estos
manipuladores paralelos. Entre las principales podemos mencionar las aplicaciones
industriales como máquinas herramientas y en centros de ensamblaje. En aplicaciones
médicas en los que se requiere alta precisión para operaciones en el campo de la
oftalmología y neurocirugía, es también extendido su uso aprovechando la exactitud de
posicionamiento del elemento terminal. Esta característica es aprovechada en la industria de
componentes electrónicos en la fabricación de circuitos integrados y placas electrónicas,
debido a la precisión que requiere realizar la soldadura de estos componentes, y también
está su uso como simuladores de vuelo y de conducción para el adiestramiento de personal
y como medio de recreación.
CAPÍTULO 1. MODELADO Y CONTROL DE ROBOTS PARALELOS 9
Figura 1.2: Aplicaciones de la robótica paralela.
1.1.4 Breve historia de la robótica paralela
El uso de los robots paralelos data del año 1931, cuando James E. Gwinnett patentó el
primer mecanismo paralelo del que se tenga conocimiento. Se trataba de una plataforma de
movimiento destinada a la industria del entretenimiento diseñada como plataforma
rotacional para los teatros (Gwinnett, 1931).
Una década más tarde, Willard L.V. Pollard inventó el que se conoce comúnmente como el
primer robot industrial y fue precisamente un robot paralelo destinado a pintura con spray
(Aracil y Saltarén, 2006). En 1947, V.E. Gough ideó un robot paralelo con seis actuadores
lineales formando una estructura de octaedro. Este robot con 6 GDL fue utilizado en la
empresa Dunlop para el ensayo de neumáticos de aviación. La estructura fue presentada en
un congreso de La Federación Internacional de Sociedades de Ingenieros y Técnicos del
Automóvil (FISITA) en 1962. En la actualidad, existen multitud de plataformas basadas en
este diseño en numerosas empresas (Zabalza y Ros, 2007).
En 1965 D. Stewart presentó en un artículo una plataforma de 6 GDL para ser utilizada
como simulador de vuelo. El artículo de Stewart tuvo y tiene una gran influencia en el
mundo académico y se considera como uno de los primeros trabajos de análisis de
plataformas paralelas (Zabalza y Ros, 2007).
En 1967, Klaus L. Cappel desarrolla un simulador de movimiento según la configuración
Gough-Stewart, que fue empleado como simulador de helicópteros (Cappel, 1967), siendo
CAPÍTULO 1. MODELADO Y CONTROL DE ROBOTS PARALELOS 10
los simuladores de movimiento el campo de aplicación donde mayor éxito han cosechado
los robots paralelos (Lombaerts y otros, 2011). En tal sentido, se destacan novedosos
simuladores de vuelo para entrenamiento de pilotos, los simuladores de vuelo de la NASA
(Slob, 2008), el simulador NADS de la Universidad de Iowa (Ahmad y Papelis, 2006), y el
TACOM (Reid, 1992). En 1978, K.H. Hunt sugirió que se usaran los mecanismos actuados
de forma paralela en los simuladores de vuelo como robots manipuladores, y destacó que
los manipuladores paralelos requerían de un estudio más detallado en el contexto de las
aplicaciones robóticas a la vista de las ventajas en cuanto a rigidez y precisión respecto a
los robots serie convencionales (Aracil y Saltarén, 2006). En 1983, K.H. Hunt presentó un
manipulador paralelo de 6 GDL accionado por actuadores giratorios.
1.2 Modelado de los robots paralelos
Una de las desventajas reconocidas de los robots paralelos radica en la dificultad de la
resolución de los modelos cinemático y dinámico (Wu y otros, 2008). No obstante, resulta
imprescindible su obtención para implementar estrategias de control que dependen de la
solución de estos modelos (Chen y otros, 2009).
Las expresiones cinemáticas estudian el movimiento del robot con respecto a un sistema de
referencia, sin tener en cuenta las fuerzas o pares que lo producen, estableciéndose una
relación analítica entre las funciones que representan el movimiento articular y las que
describen la pose del elemento terminal en el espacio de trabajo. Cuando es necesario
determinar la posición y orientación del elemento terminal con respecto a un sistema de
coordenadas, siendo conocidas las variables articulares y los parámetros geométricos del
robot, se está en presencia del problema cinemático directo, sin embargo, cuando se quiere
determinar el valor de las coordenadas articulares para una configuración conocida que
debe adoptar el robot, se define el problema cinemático inverso (Chalbat y Staicu, 2009).
Por su parte, el modelo dinámico establece relaciones matemáticas entre las coordenadas
cartesianas del elemento terminal, sus derivadas (velocidad y aceleración), las fuerzas y/o
pares aplicados a las articulaciones y los parámetros del robot, tales como: masas de los
eslabones, inercias, fricción, etc. (Yen y Lai, 2009), estableciéndose de manera directa o
inversa la interrelación entre las fuerzas y/o torques que actúan sobre el mecanismo y el
movimiento que en él se origina.
CAPÍTULO 1. MODELADO Y CONTROL DE ROBOTS PARALELOS 11
Dada la existencia de cadenas cerradas, la obtención de las expresiones dinámicas en este
tipo de robots constituye un procedimiento muy laborioso, siendo difícil obtener muchos de
los parámetros involucrados en dichas ecuaciones, aún mediante estimación en línea
(Shurong y Shihuan, 2008).
1.2.1 Modelado cinemático inverso
La cinemática inversa permite determinar las variables que definen las coordenadas
articulares del robot a partir de conocidas la posición y orientación del elemento terminal en
el espacio cartesiano. En el caso de los robots paralelos, dichas expresiones incluyen
ecuaciones altamente acopladas, no lineales, cuya solución se complejiza notablemente con
el aumento del número de grados de libertad (Cherfia y otros, 2007).
Existen dos procedimientos para el planteamiento del problema cinemático inverso en
robots paralelos: el método analítico (basado en formulación vectorial) y el método
geométrico (basado en formulación algebraica) (Merlet, 2006a).
Empleando la formulación vectorial se puede construir un sistema de ecuaciones que
contendrá igual número de ecuaciones que de incógnitas, especificando la expresión
vectorial cerrada que pasa por los puntos de unión de las cadenas cinemáticas con la base
fija (𝐴𝑖) y la plataforma móvil (𝐵𝑖), e incluyendo los puntos de origen de los sistemas
referenciales fijo y móvil, previamente definidos (Rolland, 2005).
Figura 1.3: Representación de la formulación vectorial.
Para cada cadena cinemática se puede establecer una función vectorial entre los puntos 𝐴𝑖 y
𝐵𝑖 expresada en las coordenadas generalizadas (X), tal que 𝐴𝑖𝐵𝑖 =U(X). Entonces, de
CAPÍTULO 1. MODELADO Y CONTROL DE ROBOTS PARALELOS 12
acuerdo a la Figura 1.3, estableciendo R como la matriz de rotación que define la
orientación relativa del sistema de referencia móvil respecto al fijo, se plantea para un robot
de n grados de libertad:
𝐴𝑖𝐵𝑖 = 𝑂𝑃 + R𝑃𝐵𝑖 - 𝑂𝐴𝑖 ; 𝑖=1…n (1.1)
Donde se cumple:
𝑂𝐴𝑖 → 𝑂𝐴|𝑅𝑓 = [𝑂𝐴 1,…,𝑂𝐴
𝑛] y 𝑃𝐵𝑖 → 𝑃𝐵|𝑅𝑚 = [𝑃𝐵 1,…,𝑃𝐵
𝑛] (1.2)
Cualquier pose de la plataforma móvil que satisface las restricciones cinemáticas impuestas
por la estructura del robot, es determinada por el vector 𝑂𝐵𝑖 𝑅𝑓, por lo que se puede plantear
la ecuación:
𝑂𝐵𝑖 |𝑅𝑓 = 𝑂𝑃 |𝑅𝑓 + R𝑃𝐵𝑖 |𝑅𝑚 ; 𝑖=1…n ( 1.3)
El desplazamiento lineal que experimenta cada cadena cinemática puede ser expresado
como la dimensión del vector 𝐴𝑖𝐵𝑖 , donde 𝐿𝑖 = ||𝐴𝑖𝐵𝑖 ||2, expresión que se incorpora a
(1.3) para llegar a la ecuación:
𝐿𝑖2 = [|| 𝑂𝑃 |𝑅𝑓 + R𝑃𝐵𝑖 |𝑅𝑚 − 𝑂𝐴𝑖 |𝑅𝑓||2 ]
2 ; 𝑖 =1…n (1.4)
Luego, a partir de (1.4), los cuadrados de las longitudes de las cadenas articuladas se
pueden definir por la siguiente expresión matricial general:
𝐿𝑖2=||𝑂𝐴|𝑅𝑓||2
2+||𝑃𝐵|𝑅𝑓||22+2(𝑂𝐴|𝑅𝑓𝑅(𝑃𝐵|𝑅𝑚))𝑂𝑃|𝑅𝑓+2𝑂𝐴|𝑅𝑓 𝑅(𝑃𝐵|𝑅𝑚)+||𝑂𝑃|𝑅𝑓||2
2
(1.5)
La expresión anterior contiene términos lineales en las coordenadas del punto P, donde los
términos cuadráticos pueden desaparecer mediante manipulaciones matemáticas, quedando
solamente un sistema de tres ecuaciones lineales de las coordenadas del punto P, al cual se
incorpora la matriz de rotación para obtener la solución del mismo cuando el robot presenta
movimientos rotacionales (Merlet, 2006a). De esta manera, a partir de conocidas las
coordenadas generalizadas del robot, se calcula el vector de coordenadas articulares.
1.2.2 Modelado cinemático directo
El modelo cinemático directo obtiene la posición del elemento terminal a partir de las
variables articulares (Lu y otros, 2007). El procedimiento consiste en plantear la expresión
CAPÍTULO 1. MODELADO Y CONTROL DE ROBOTS PARALELOS 13
(1.5) de manera inversa, obteniéndose de forma genérica un sistema de ecuaciones
algebraicas no lineales donde se involucran funciones de las variables espaciales y
articulares del robot (Rolland, 2005). Considerando la Figura 1.3 se tiene que 𝑂𝐴𝑖 |𝑅𝑓 y
𝑃𝐵𝑖 |𝑅𝑚 los que describen la geometría de la base y de la plataforma móvil respectivamente,
por lo que la magnitud del vector 𝐿𝑖 = ||𝐴𝑖𝐵𝑖 ||2, que indica las longitudes de las cadenas
cinemáticas, se puede expresar como:
𝐿𝑖 = ||𝑂𝐵𝑖 |𝑅𝑓 - 𝑂𝐴𝑖 |𝑅𝑓||2=|| 𝑂𝑃 |𝑅𝑓 + R(𝑃𝐵𝑖 )|𝑅𝑚 - 𝑂𝐴𝑖 |𝑅𝑓||2 (1.6)
Definiendo tres puntos distintos (𝐵1, 𝐵2, 𝐵3) para ubicar la localización de la plataforma
móvil, se cumplirá que 𝑂𝐵𝑖 |𝑅𝑓 = [𝑋𝑖, 𝑌𝑖, 𝑍𝑖] para 𝑖 =1…3. Estableciendo 𝑢1, 𝑢2, 𝑢3 como
ejes coordenados del lugar donde articulan dichos puntos, se tiene:
𝑢1 =𝐵1𝐵2
‖𝐵1𝐵2 ‖ ; 𝑢2 =
𝐵1𝐵3
‖𝐵1𝐵3‖ ; 𝑢3 = 𝑢1^𝑢2 (1.7)
Dado que la plataforma móvil se considera como un cuerpo rígido que no sufre
deformación durante su movimiento, entonces para cualquier punto 𝐵𝑖 que forme parte de
la misma, se puede plantear:
𝐵1𝐵𝑖 |𝑅𝑏1 = 𝑎𝐵𝑖𝑢1+𝑏𝐵𝑖𝑢2+𝑐𝐵𝑖𝑢3 ; 𝑖=1…n (1.8)
Donde 𝑎𝐵𝑖; 𝑏𝐵𝑖; 𝑐𝐵𝑖; (𝑖=1…n) son parámetros que solamente dependen de la geometría de
la plataforma, siendo explícitamente deducidos a partir de 𝑃𝐵𝑖 |𝑅𝑚, por lo tanto:
𝐿𝑖2 =(𝑥𝑖−𝑂𝐴𝑖𝑥)
2+ (𝑦𝑖− 𝑂𝐴𝑖𝑦)2 ; 𝑖 =1…3 (1.9)
𝐿𝑖2 = ||�� 𝑘|𝑅𝑏1 − 𝑂𝐴
𝑘|𝑅𝑓||2 ; 𝑖 =4…6 (1.10)
Con ello se obtiene un sistema de ecuaciones algebraico que considera tres ecuaciones para
las extremidades activas del robot y otras tres en términos de las variables 𝑥𝑖, 𝑦𝑖, es decir:
𝐹𝑖 = (𝑥𝑖−𝑂𝐴𝑖𝑥)2+ (𝑦𝑖− 𝑂𝐴𝑖𝑦)
2 − 𝐿𝑖2; 𝑖 =1…3 (1.11)
𝐶𝑖 = ||�� 𝑘|𝑅𝑏1 − 𝑂𝐴 𝑘|𝑅𝑓||2 − 𝐿𝑖
2 ; 𝑖 =4…6 (1.12)
Para solucionar (1.11) y (1.12) es necesario disponer de al menos igual cantidad de
ecuaciones que de incógnitas. Para ello se derivan tres expresiones adicionales de
CAPÍTULO 1. MODELADO Y CONTROL DE ROBOTS PARALELOS 14
restricción a partir del sistema de ecuaciones (1.13), que se obtienen de plantear dos
ecuaciones que emplean la norma de los vectores que definen la localización de la
plataforma (puntos 𝐵𝑖 ) y una tercera a partir de multiplicaciones entre dichos vectores, por
lo que se establece:
𝐶7 = (||𝐵2𝐵1 |𝑅𝑓||2)
2 − (𝑥2 − 𝑥1)2 + (𝑦2 − 𝑦1)
2+(𝑧2 − 𝑧1)2=(||𝐵2𝐵1
|𝑅𝑓||2)2
𝐶8 = (||𝐵3𝐵1 |𝑅𝑓||2)
2 − (𝑥3 − 𝑥1)2 + (𝑦3 − 𝑦1)
2+(𝑧3 − 𝑧1)2 = (||𝐵3𝐵1
|𝑅𝑓||2)2 (1.13)
𝐶7 = (𝑥3 − 𝑥1)(𝑥2 − 𝑥1) + (𝑦3 − 𝑦1)(𝑦2 − 𝑦1) +(𝑧3 − 𝑧1)(𝑧2 − 𝑧1)
=||𝐵1𝐵2 |𝑅𝑚||^||𝐵1𝐵2
|𝑅𝑚||
El último sistema de ecuaciones se desarrolla a partir de las siguientes combinaciones de
funciones:
𝐹7 =−𝐶7+𝐹1+𝐹2 (1.14)
𝐹8 =−𝐶8+𝐹1+𝐹3 (1.15)
𝐹9 =2𝐶9+𝐹7+𝐹8 − 2𝐹1 (1.16)
Para el caso analizado, donde se ha definido la localización de la plataforma móvil por los
puntos 𝐵1, 𝐵2, 𝐵3 (modelo de tres puntos), se obtiene un sistema de nueve ecuaciones con
nueve incógnitas, formado por seis ecuaciones cuadráticas y tres cuárticas (Rolland, 2007).
La cinemática directa en robots paralelos se enfoca a la obtención de un sistema complejo
de ecuaciones polinómicas, difícil de manipular de manera analítica, por lo que requiere
procedimientos numéricos para su solución, donde desafortunadamente no existe una
solución única cerrada (Sung-Hua y otros, 2008).
1.2.3 Cinemática diferencial
Debido a la existencia de múltiples cadenas cerradas en robots paralelos, el análisis de la
cinemática diferencial se convierte en un problema de mucho mayor complejidad que en
los robots serie (Zhiyong y Ghorbel, 2006), sin embargo, varios investigadores han
estudiado a profundidad la matriz Jacobiana con el objetivo de analizar las singularidades
(Di-Gregorio, 2009), manipulabilidad (Merlet, 2006a), dexteridad (Guo y otros, 2008),
CAPÍTULO 1. MODELADO Y CONTROL DE ROBOTS PARALELOS 15
índices de comportamiento (Sadjadian y Taghirad, 2006), y otras tantas importantes
propiedades cinemáticas asociadas a este tipo de robots (Nawratil, 2009).
Lung-Wen Tsai (1945-2002) fue uno de los primeros autores que sugirió para los robots
paralelos la separación de la matriz Jacobiana en dos matrices, una asociada a la cinemática
inversa y otra a la directa (Tsai, 2000).
Para un robot no redundante (donde el número de grados de libertad (n) coincide con la
cantidad de actuadores), las restricciones cinemáticas impuestas por la estructura paralela
pueden ser expresadas matemáticamente por la igualdad (1.17), siendo Ɵ una función
implícita n-dimensional del vector de variables espaciales (x) y articulares (q) del robot.
Ɵ(x,q) = 0 (1.17)
Diferenciando (1.17) con respecto al tiempo, se encuentra la relación entre la razón de
cambio de las coordenadas articulares y las velocidades del elemento terminal en el espacio
cartesiano.
𝐷𝑥Ɵ(x,q)x+ 𝐷𝑞Ɵ(x,q)q= 0 ∀ q ∈ 𝑅𝑛; x ∈ 𝑅𝑛 (1.18)
Donde 𝐷𝑥 y 𝐷𝑞 son las matrices de orden n x n que representan el operador diferencial
mapeado en los espacios coordenados cartesiano y articular respectivamente. Por lo tanto,
se cumple:
𝜕𝜃
𝜕𝑥(𝑑𝑥
𝑑𝑡) =
𝜕𝜃
𝜕𝑞(𝑑𝑞
𝑑𝑡) → 𝐽𝑥�� = 𝐽𝑞��
Siendo:
𝐽𝑥 =𝜕Ɵ
𝜕𝑥 (1.19)
𝐽𝑞 = − 𝜕Ɵ
𝜕𝑞 (1.20)
La existencia de dos matrices Jacobianas separadas, las que se representan en las
ecuaciones (1.19) y (1.20), resulta de gran utilidad a la hora de efectuar el análisis de
configuraciones singulares para robots paralelos. Dentro de este contexto se establecen tres
tipos de singularidades, a saber, las singularidades de la cinemática inversa cuando det(𝐽𝑞)
= 0; las singularidades de la cinemática directa cuando det(𝐽𝑥) = 0; y la denominada
singularidad combinada cuando ambos determinantes son cero (Li y Xu, 2006).
CAPÍTULO 1. MODELADO Y CONTROL DE ROBOTS PARALELOS 16
Entonces, la matriz Jacobiana convencional denotada por J puede ser escrita como:
q = 𝐽x ; siendo: 𝐽𝑖𝑗 =𝜕q𝑖
𝜕x𝑗 (1.21)
Cumpliéndose: 𝐽 = 𝐽𝑞−1𝐽𝑥
La Jacobiana (1.21) relaciona la velocidad espacial del elemento terminal (x ∈ 𝑅𝑛) con la
razón de cambio de las coordenadas articulares actuadas del robot. Es de notar que para los
robots paralelos muchos autores prefieren emplear la notación inversa establecida para los
tipos serie (donde: q = 𝐽x ; 𝐽𝑖𝑗 =𝜕x𝑖
𝜕q𝑗), dada la diferencia existente entre el problema
cinemático directo e inverso en ambos tipos de robots (Sokolov y Xirouchakis, 2007).
1.2.4 Modelado dinámico de los robots paralelos
En ausencia de fuerzas de fricción y otros disturbios dinámicos, la forma generalizada de
representar el modelo dinámico de un robot de n grados de libertad (Zhao y Gao, 2009) en
el espacio articular es:
ῖ =M(q)q + 𝐶(𝑞, q)q+G(q) (1.22)
donde:
M(q): Matriz de inercia (n × n).
𝐶(𝑞, q): Matriz de fuerzas de Coriolis y Centrífugas (n × 1).
G(q): Vector de fuerzas gravitacionales (n × 1).
q: Vector de coordenadas articulares (n × 1).
ῖ: Vector de fuerzas o pares articulares aplicados (n × 1).
Entre las formulaciones más empleadas para la obtención de estos modelos se encuentran el
método de Newton-Euler, la Formulación Lagrangiana, las Ecuaciones de Gibbs –Appell y
el Principio del Trabajo Virtual. Todos estos métodos implican desarrollos muy laboriosos
para la obtención de estos modelos, además que los mismos requieren un elevado tiempo de
cómputo, característica que se convierte en desventaja para la implementación de
estrategias de control que requieran su uso en tiempo real (Izaguirre, 2012).
CAPÍTULO 1. MODELADO Y CONTROL DE ROBOTS PARALELOS 17
Por este motivo es recomendable evitar el desarrollo analítico de estas expresiones
dinámicas, y en su lugar, se recomienda el uso de paquetes de software que faciliten la
descripción del comportamiento dinámico del sistema en su conjunto (Li y otros, 2009).
1.3 Estrategias de control de seguimiento de trayectoria en espacio de tareas
En aplicaciones de seguimiento de trayectoria, el manipulador se mueve a través de un
camino trazado en el espacio para realizar una tarea determinada según la aplicación. Este
camino es generalmente especificado en el espacio cartesiano en términos de trayectoria
deseada del efector final, mientras que las acciones de control son realizadas en el espacio
articular. Esto conlleva a dos tipos de esquemas de control de seguimiento de trayectoria,
uno en el espacio cartesiano y otro en el espacio articular (Siciliano y Khatib, 2008).
El control de seguimiento de trayectoria está dividido en 3 puntos esenciales (Kelly y otros,
2005):
Planificación del trayecto
Generación de trayectorias
Diseño del control
El control de seguimiento de trayectoria, ya sea en el espacio de tareas como en el articular,
consiste en seguir una trayectoria dada en el tiempo 𝑞𝑑(𝑡) 𝑜 𝑥𝑑(𝑡) y sus sucesivas
derivadas ��𝑑(𝑡) 𝑜 ��𝑑(𝑡)𝑦 ��𝑑(𝑡) 𝑜 ��𝑑(𝑡), las cuales describen la velocidad y aceleración
deseadas respectivamente (Siciliano y Khatib, 2008). Para un movimiento simple de un
robot se puede utilizar una función polinomial como la que se define por la ecuación (1.23),
en donde se demuestra que la referencia de velocidad y aceleración deseada en el bloque de
generación de trayectoria se puede definir como la primera y segunda derivada
respectivamente (Siciliano y Khatib, 2008).
𝑦(𝑡) = 𝑎 + 𝑏𝑡 + 𝑐𝑡2 + 𝑑𝑡3
��(𝑡) = 𝑏 + 2𝑐𝑡 + 3𝑑𝑡2 (1.23)
��(𝑡) = 2𝑐 + 6𝑑𝑡
Otros autores (Hu y otros, 2012), definen que la trayectoria deseada en la robótica se puede
describir como la pose deseada de las coordenadas cartesianas del efector final del robot
CAPÍTULO 1. MODELADO Y CONTROL DE ROBOTS PARALELOS 18
respecto a la base fija. El movimiento del robot puede ser controlado realimentando la
posición y velocidad, ya sea en el espacio articular como en el espacio de tareas.
Una gran cantidad de estrategias de control, lineales y no lineales, han sido reportadas en la
literatura en los últimos años, con el uso de modelo dinámico inverso, técnicas de
linealización de la realimentación, entre otras.
En sus trabajos el francés Flavien Paccot demuestra las ventajas del control en el espacio de
tareas respecto al articular en robots paralelos y evalúa estrategias de control de
seguimiento con control PID simple (figura 1.4-a) y por par calculado (figura 1.4-b),
considerando siempre disponible la información de posicionamiento y velocidad de la
plataforma móvil, por lo que no propone variantes de sistema sensorial, aun reconociendo
la dificultad que implica la medida directa de la ubicación del elemento terminal del robot
(Paccot y otros, 2009). En este control se podrían esperar buenos resultados si se contara
con un buen modelo dinámico y una buena identificación dinámica, además de un buen
algoritmo para las transformaciones numéricas restantes (Paccot y otros, 2009).
Figura 1.4: Control cartesiano considerando disponible la pose de la plataforma móvil.
En este caso se presenta una estrategia de control de seguimiento de la posición en espacio
de tareas en cascada con un lazo de control de seguimiento de fuerza basado en modelo,
que es ampliada con una acción PD que es la encargada de que el error de seguimiento a la
trayectoria deseada converja a cero de manera exponencial (Davliakos y Papadopoulos,
2007). Esta estrategia tiene como característica que el lazo interno de fuerza es más rápido
que el lazo externo de posición. Tiene como ventaja que no es necesario la estimación de la
aceleración de la derivada de la fuerza deseada, lo cual constituye un problema por la
aparición de ruido en el sistema de control. Esta estrategia utiliza la solución del modelo
dinámico inverso del sistema para describir el movimiento de la plataforma móvil y la
CAPÍTULO 1. MODELADO Y CONTROL DE ROBOTS PARALELOS 19
acción del sistema hidráulico. Además, las variables de posición y velocidad son obtenidas
a partir de la solución de la cinemática directa. El esquema de control de esta estrategia se
muestra en la Figura 1.5. Las simulaciones arrojaron buenos resultados en el control de
seguimiento ante una trayectoria deseada en el espacio de tareas.
Figura 1.5: Estrategia de control de seguimiento de posición en espacio de tareas en
cascada con un lazo de control de seguimiento de fuerza basado en modelo.
Jean Jacques Slotine (Slotine and Li, 1989), en su libro “Applied Nonlinear Control”,
presenta una estrategia de control donde la parte feedforward es usada para cancelar el
efecto de las perturbaciones conocidas proveyendo una acción anticipativa, por lo que
resulta de gran ayuda para realizar control de seguimiento de trayectoria en un robot
paralelo dado su alto carácter no lineal. Para realizar una compensación feedforward
siempre se requiere el modelo de la planta, aunque en muchos casos no necesita ser un
modelo tan exacto. La calidad del desempeño del sistema de control dependerá en gran
medida de la exactitud del modelo estimado. Luego el término feedforward se calcula
invirtiendo el modelo de la planta y será responsable de reducir y eliminar el error de
seguimiento. El problema de implementar este control radica en el hecho de que en la
mayoría de los casos el modelo inverso de la planta será un sistema con más ceros que
polos, o sea, un sistema irrealizable físicamente. Se demuestra que la configuración
propuesta por Slotine (Figura 1.6) permite un seguimiento perfecto la salida respecto a la
referencia, 𝑦𝑑 = 𝑦. Esta configuración presenta la desventaja de que no puede ser utilizada
directamente para resolver problemas de seguimiento de trayectoria en sistemas de fase no
mínima, que presentan ceros positivos, ya que el inverso del modelo sería inestable. En esta
CAPÍTULO 1. MODELADO Y CONTROL DE ROBOTS PARALELOS 20
solución se logran alcanzar buenos resultados de control de seguimiento de una trayectoria
deseada sin la necesidad de la realimentación de la velocidad y aceleración de la salida.
Figura 1.6: Estrategia de control de seguimiento de trayectoria generalizada.
Por su parte, S. Bellakehal propone un sistema de control cartesiano con evaluación de la
cinemática directa (Figura 1.7-a) y una variante para evitar la misma empleando sistema
sensorial basado en imagen (Figura 1.7-b), pero incorpora en el lazo los algoritmos de
adquisición y procesamiento de imágenes en tiempo real (Bellakenal y otros, 2011), por lo
que no reduce significativamente las exigencias de cómputo que se logran al prescindir del
cálculo de la cinemática directa. Este trabajo propone una solución que garantiza el control
de la posición y de sus sucesivas derivadas, lo cual cumple con las especificaciones del
control de seguimiento de trayectoria en espacio de tareas utilizando la solución de la
cinemática directa en uno de los casos para la estimación del espacio cartesiano. Además,
utiliza el cálculo del modelo dinámico inverso para el cálculo de la ley de control. En la
Figura 1.7-a) se muestra cómo la realimentación de velocidad se realiza utilizando la
solución del modelo Jacobiano inverso, su uso evita las oscilaciones en la ley de control
que podría causar en el sistema el uso de la derivada de la medición de la pose que se
muestra en la Figura 1.7-b).
CAPÍTULO 1. MODELADO Y CONTROL DE ROBOTS PARALELOS 21
Figura 1.7: Control cartesiano basado en cinemática directa (a) y sistema sensorial
basado en imagen (b).
En este trabajo se aborda el problema de control de seguimiento de trayectoria de un robot
paralelo que incluye la dinámica del actuador eléctrico en el espacio de tareas, en la Figura
1.8 se muestra el esquema de control general. Para estos robots accionados eléctricamente,
se diseña una ley de control no lineal en las tensiones de entrada de las armaduras (Beji y
otros, 1998). La técnica de control consiste en un control de seguimiento de una trayectoria
cartesiana y un control de fuerza convergente. El modelo obtenido está en forma estándar
para permitir la aplicación de métodos de perturbación singular. Para validar el controlador
correctivo propuesto, el concepto de pasividad y las técnicas de perturbación singulares se
combinan con éxito. Los resultados de la simulación muestran un buen comportamiento del
controlador de seguimiento de trayectoria en espacio de tareas propuesto. En este caso
particular la trayectoria deseada se da en coordenadas articulares, y la realimentación de la
pose y sus sucesivas derivadas se realiza a partir de la solución del modelo geométrico
inverso.
CAPÍTULO 1. MODELADO Y CONTROL DE ROBOTS PARALELOS 22
Figura 1.8: Diagrama de bloques del sistema y del bloque de control.
En este trabajo con el fin de mejorar la precisión de seguimiento de la trayectoria de un
robot paralelo plano de tres grados de libertad, se desarrolla un nuevo enfoque de control
basado en el control adaptativo con el uso del denominado error de sincronización (Ren y
Mills, 2006). Al igual que el error de contorno propuesto para las máquinas herramientas, el
error de sincronización definido representa el grado de coordinación entre las juntas activas
en el robot paralelo, que es sustancialmente diferente de los errores de seguimiento
tradicionales. Mediante el uso del error de sincronización, todas las juntas activas del robot
paralelo se controlan para moverse de una manera sincrónica de modo que la precisión de
seguimiento de la trayectoria del efector final del robot se mejore sustancialmente. Además,
con el uso del control adaptativo, se garantiza que el error de sincronización y el error de
pose de la plataforma converjan a cero simultáneamente, mientras que los parámetros
inciertos en el modelo dinámico del sistema se garantizan que convergen a sus valores
verdaderos. Los experimentos realizados en el robot paralelo plano verifican las
reivindicaciones anteriores y evalúan el rendimiento del enfoque de control propuesto, en
comparación con el control PID convencional.
En este artículo el control de seguimiento de trayectoria de los manipuladores paralelos está
dirigido a la presencia de la flexibilidad en las unidades de articulación (Figura 1.9). El
amortiguamiento estructural articular también se considera en el modelo dinámico. El
sistema se convierte primero en una estructura de árbol abierto mediante la desconexión de
CAPÍTULO 1. MODELADO Y CONTROL DE ROBOTS PARALELOS 23
un número suficiente de juntas no accionadas. Los bucles cerrados se expresan entonces
mediante ecuaciones de restricción. Se muestra que, en un robot paralelo con
accionamientos de unión flexibles, las ecuaciones de dinámica inversa de nivel de
aceleración son singulares porque los pares de control no tienen un efecto instantáneo sobre
las aceleraciones del efector final debido a los medios elásticos. Eliminando los
multiplicadores de Lagrange y las variables intermedias, se obtiene una relación de entrada-
salida de cuarto orden entre los pares de actuadores y las variables de posición, velocidad y
aceleración del efector final (Ider y Korkmaz, 2009). La ley de control propuesta desacopla
y linealiza el sistema y logra estabilidad asintótica por realimentación de la posición y la
velocidad de las articulaciones y rotores accionados. Como estudio de caso, se simula un
manipulador paralelo plano de tres grados de libertad para ilustrar el rendimiento del
método. La trayectoria deseada del efector final se elige de tal manera que se evitan las
posiciones cinemáticas y de accionamiento del singular.
Figura 1.9: Implementación del esquema de control dinámico inverso.
Por otra parte, Izaguirre propone un esquema de control cartesiano para un robot paralelo
de 3 GDL en aplicación de simulador de movimiento (Izaguirre, 2012). El mismo (Figura
1.10) consiste en un esquema de control en cascada donde en el lazo interno se implementa
un control desacoplado para cada una de las articulaciones y en el lazo externo se resuelve
el problema de posicionamiento del efector final de la plataforma. Para el cálculo de la
posición deseada de cada articulación se emplea el modelo cinemático inverso y para la
CAPÍTULO 1. MODELADO Y CONTROL DE ROBOTS PARALELOS 24
realimentación de la pose del efector final se implementa un sistema sensorial
extereoceptivo que evita el uso del modelo cinemático directo, que para el caso específico
del robot de 3GDL resulta en una solución muy engorrosa y el modelo da como solución
múltiples resultados. Este esquema de control no resuelve el problema de seguimiento de
trayectoria en el espacio de tareas para esta estructura robótica, pero el esquema representa
una arquitectura abierta, lo cual hace posible la incorporación de otras leyes de control al
mismo sin afectar el comportamiento ni la filosofía de control del esquema propuesto.
Figura 1.10: Esquema de control cartesiano en espacio de tareas.
1.4 Conclusiones parciales
Los robots paralelos tienen altas ventajas en múltiples aplicaciones. Su control trae consigo
grandes retos debido al carácter no lineal, al acoplado de su estructura y a la existencia de
diferentes tipos de singularidades en el sistema.
El modelado cinemático, así como el dinámico de las estructuras paralelas, constituyen
procedimientos muy laboriosos y que requieren gran potencia de cálculo para su
implementación en aplicaciones de tiempo real, no obstante, el acelerado desarrollo de los
microcontroladores y su gran potencia de cálculo, permiten el uso de estos modelos para la
implementación de estrategias de control donde no se cuente con un sistema sensorial.
Las diferentes estrategias de control en espacio de tareas puestas a consideración resultan
eficientes para el control de seguimiento de trayectoria en aplicaciones de robots paralelos
de diferentes grados de libertad, aunque en su mayoría es un requerimiento la obtención del
modelo dinámico del sistema.
CAPÍTULO 1. MODELADO Y CONTROL DE ROBOTS PARALELOS 25
El esquema de control cinemático en espacio de tareas, por su característica de arquitectura
abierta y que prescinde del modelo dinámico del robot, resulta ser una solución a tener en
cuenta para la implementación de un esquema de control de seguimiento de trayectoria en
espacio de tareas con realimentación de velocidad en el robot paralelo de 2GDL. La
solución propuesta en (Bellakenal y otros, 2011) puede ser adaptada al esquema de control
cartesiano propuesto en (Izaguirre, 2012), utilizando la solución de los modelos Jacobianos
para la estimación de las velocidades tanto de las articulaciones como de las coordenadas
cartesianas del robot, y de esta manera, tener el control tanto de la posición como de la
velocidad del ladeo y el cabeceo en el simulador neumático de 2GDL.
CAPÍTULO 2. MODELADO DEL ROBOT PARALELO DE 2 GDL 26
CAPÍTULO 2. MODELADO DEL ROBOT PARALELO DE 2 GDL
En este capítulo se realiza primeramente una descripción de la plataforma de 2 GDL.
Seguido a esto, se realiza la descripción del modelo cinemático inverso obtenido de la
plataforma objeto de estudio para estimar las elongaciones de los pistones a partir de las
variables espaciales de orientación y el modelo cinemático directo, estos dos a partir de la
formulación vectorial y la obtención de la Jacobiana (directa e inversa). También se obtiene
el modelo lineal del sistema electro-neumático a través del método de identificación
experimental para la obtención de los reguladores encargados del control articular.
2.1 Descripción de la plataforma de dos grados de libertad
El simulador de movimiento objeto de estudio es un robot paralelo de dos grados de
libertad, en la Figura 2.1 se muestra la estructura robótica. El mismo está compuesto por
una base fija que se une a la plataforma móvil mediante dos cadenas cinemáticas
independientes.
Figura 2.1: Plataforma de dos grados de libertad SIMPRO.
CAPÍTULO 2. MODELADO DEL ROBOT PARALELO DE 2 GDL 27
Cada extremidad posee un pistón neumático FESTO DNCB-100-320-PPV-A de doble
efecto de desplazamiento lineal, los cuales producen los movimientos espaciales de la
cabina. Las elongaciones de los vástagos de los cilindros son sensadas por potenciómetros
lineales, tipo MLO-POT-500-TLF, de ± 0,01 mm de precisión, cuyas señales de salida
sirven como retroalimentación a los lazos de control, para lograr desplazamientos precisos
de los vástagos, garantizando la correcta orientación de la plataforma móvil en cada
instante de tiempo. Los pistones son accionados por válvulas MPYE 5-3/8-010-B, este
accionamiento proporciona al sistema los dos grados de libertad con que se mueve en el
espacio de tareas, denominados: ladeo y cabeceo, representados por las variables α y β
respectivamente.
De esta forma se logra la orientación deseada del elemento terminal en el espacio
cartesiano, y gracias a ello, simular escenarios virtuales que son visualizados en un monitor
ubicado en el interior de una cabina que, con capacidad para dos personas, descansa sobre
la plataforma móvil. El robot está diseñado para soportar una carga de 2.18 su peso total,
por lo que posee una excelente relación carga útil-peso, además, posee un espacio de
trabajo relativamente pequeño, ambas características esenciales en los robots paralelos.
Los grados de libertad de la plataforma móvil varían para el cabeceo de -13°a 19° y para el
ladeo de 13° a -19°.
En la Tabla 2.1 se muestran de manera resumida los datos técnicos y principales
especificaciones del simulador.
Tabla 2.1 Datos técnicos de la plataforma de 2 GDL
Descripción del Parámetro Valor
Ángulo de ladeo de la plataforma móvil de 13° a -19°
Ángulo de cabeceo de la plataforma móvil de -13°a 19°
Máxima elongación de los cilindros 320 mm
Distancia del origen a cada cilindro 560 mm
Masa total de la cabina 510 kg
CAPÍTULO 2. MODELADO DEL ROBOT PARALELO DE 2 GDL 28
2.2 Modelado de la plataforma de 2 GDL
De manera general, en la robótica paralela el sistema de ecuaciones cinemáticas es
altamente no lineal y su solución resulta compleja (Cherfia y otros, 2007), en este sentido,
el sistema robótico estudiado no es una excepción.
Las ecuaciones de la cinemática inversa servirán para conocer los valores adecuados de las
elongaciones de los cilindros en cada instante de tiempo, en correspondencia con la
orientación y posición deseadas de la plataforma móvil, dadas en el espacio cartesiano.
Las expresiones de la cinemática directa permiten determinar la pose del elemento terminal
a partir de conocidas las variables articulares y los parámetros geométricos del robot (Lu y
otros, 2007). Debido al movimiento altamente acoplado que caracteriza a los robots
paralelos, encontrar una única solución a la cinemática directa constituye hoy día una de las
problemáticas más difíciles de resolver (Jamwal y otros, 2010). No obstante, dada la
configuración estructural de la plataforma de 2 GDL, el cálculo de la cinemática directa
proporciona soluciones únicas y su uso para la implementación de estrategias de control de
seguimiento en espacio cartesiano no es desechable.
Por otra parte, para la implementación de esquemas de control de seguimiento de
trayectoria, tanto en el espacio articular como en el de tareas, la medición o estimación de
la velocidad de las articulaciones y de las variables cartesianas es de vital importancia para
ejercer el control sobre las mismas. Para ello, es necesaria la obtención de los modelos
Jacobianos que son los encargados de realizar la estimación de dichas variables.
2.2.1 Modelado cinemático inverso
Para el desarrollo del modelo cinemático inverso se emplea la formulación vectorial,
método analítico muy intuitivo, que permite mediante procedimiento geométrico
desarrollar un sistema de ecuaciones cinemáticas con igual cantidad de ecuaciones que de
incógnitas (Merlet, 2006a).
Para el caso particular de la plataforma de dos grados de libertad, se tiene que la base fija
está compuesta por el triángulo formado por los puntos 𝐴1𝑂𝐴2, dependiendo solamente de
las longitudes fijas denominadas 𝑎1 y 𝑎2. Por su parte la plataforma móvil está conformada
por el plano que forman los puntos 𝐵1𝑃𝐵2, siendo única su geometría y solamente
CAPÍTULO 2. MODELADO DEL ROBOT PARALELO DE 2 GDL 29
dependiente y definida por la longitud de sus bordes 𝑏1 y 𝑏2, según se muestra en la Figura
2.2.
Figura 2.2: Arquitectura geométrica y notaciones de la plataforma de 2 GDL.
En tal sentido, se considera ubicar el sistema de referencia móvil coincidente con el centro
del triángulo que conforma el elemento terminal del robot (plataforma móvil), la cual es la
responsable de soportar la cabina de conducción. El sistema de referencia fijo se coloca en
el centro de la base fija ubicada en la parte inferior de la base metálica que soporta toda la
estructura de la plataforma, la cual va sólidamente anclada al suelo.
La orientación en el espacio de la plataforma móvil estará determinada por los ángulos de
rotación α y β. El ángulo α es el ángulo de rotación alrededor del eje x’ del sistema (x’y’z’)
de coordenadas móviles, el cual da la sensación de cabeceo, mientras que β denota el
ángulo de rotación alrededor del eje y’, el cual brinda la sensación de ladeo.
Según el esquema de la Figura 2.2, se puede plantear la siguiente ecuación cerrada vectorial
válida para ambas cadenas cinemáticas del robot:
𝑂𝐴𝑖 + 𝐴𝑖 𝐵𝑖 + 𝐵
𝐴 𝑃𝐵𝑖 𝑂𝑃 = 0 ∀ 𝑖 = 1, 2 (2.1)
Donde 𝐵𝐴
es la matriz de rotación del sistema de referencia móvil (frame B) respecto al
fijo (frame A), que permite conocer la orientación de la plataforma móvil. En este sentido
se emplean los ángulos de Euler en el convenio ZYX conocido también como "roll-pitch-
yaw", donde:
cos0
cos0
001
cos0
010
0cos
100
0cos
0cos
sen
sen
sen
sen
sen
senA
B (2.2)
CAPÍTULO 2. MODELADO DEL ROBOT PARALELO DE 2 GDL 30
Dado que no existe rotación alrededor del eje z, el ángulo de guiñada (ψ) es cero, quedando
definida la matriz de rotación como:
coscos cos
cos0
cos cos
sensen
sen
sensensenA
B
(2.3)
Dado que se requiere obtener la cinemática inversa del robot, se puede expresar (2.1) en
función de la elongación de la articulación activa del robot.
𝐴𝑖 𝐵𝑖 = 𝐵𝐴
𝑃𝐵𝑖 + 𝑂𝑃 𝑂𝐴𝑖
(2.4)
Que expresada en forma compacta queda:
𝑙𝑖 = 𝑏𝑖 + 𝑝 𝑎𝑖 (2.5)
Donde la magnitud de los vectores en (2.5) se calculan como:
Tzyx
T
zyx OOOPPPOPp ,,,, (2.6)
2ii
OAa (2.7)
2ii PBb (2.8)
La expresión (2.4) se puede escribir para cada cadena cinemática de la forma:
ALi = 𝐵𝐴
Bbi + Ap Aai (2.9)
Derivando (2.9) y dado que Aai y Ap son vectores de magnitud constante, se tiene:
𝐵𝑖𝐴 = 𝐵
𝐴 bi ��𝒊 + 𝐵
𝐴 ��𝑖 ��𝒊 (2.10)
El término 𝐵𝑖𝐴 representa la velocidad lineal del punto de pivoteo Bi de cada extremidad
activa del robot, referida al sistema referencial fijo (frame A). Esta componente de
velocidad es perpendicular al vector unitario que apunta a lo largo de cada uno de los ejes
de rotación, según se ilustra en la Figura 2.3.
CAPÍTULO 2. MODELADO DEL ROBOT PARALELO DE 2 GDL 31
Figura 2.3: Representación de velocidad lineal del punto de pivoteo Bi en el sistema
referencial móvil.
La variable ��𝒊 es el vector unitario que apunta en dirección de 𝐿𝑖 . Multiplicando (2.10) por
𝐵𝐴
1, y puesto que la velocidad lineal del vector bi es cero, se tiene que:
( 𝐵𝑖𝐴 )
𝐵= 𝐵
𝐴 𝐵
𝐴 −1
bi ��𝒊 (2.11)
Teniendo en cuenta la velocidad angular de un cuerpo rígido, se tiene:
BiA = bi ��𝐢 = ( B
A × bi ) ��𝐢 , siendo = 𝐵𝐴
𝐵𝐴
−1
(2.12)
Donde:
: Matriz simétrica de Skew.
𝐵𝐴 : Vector de velocidad angular del sistema referencial B respecto al A, es decir, la
velocidad angular de la plataforma móvil.
2.2.2 Modelado cinemático directo
En el caso de la cinemática directa la variable conocida sería la longitud del brazo
articulado, y las incógnitas son el ángulo α y el ángulo β que definen la orientación del
efector final.
Figura 2.4: Representación de la cadena cinemática perteneciente al movimiento de
cabeceo.
CAPÍTULO 2. MODELADO DEL ROBOT PARALELO DE 2 GDL 32
Se analiza la cadena cinemática (Figura 2.4) correspondiente al movimiento de cabeceo y
se logra, mediante leyes trigonométricas referidas al ángulo φ, la ecuación (2.13) de la
cinemática inversa, que permite conocer la longitud de la articulación 𝐴2𝐵’2 en función de
la orientación del elemento terminal.
𝐴2𝐵’2 2= 𝑃𝐴2
2+ 𝑃𝐵’2 2
− 2𝑃𝐴2 𝑃𝐵’2 cosφ (2.13)
Teniendo en cuenta:
𝑃𝐵’2 = 𝑏2 (2.14)
𝑃𝐴2 = √𝑂𝑃 2 + 𝑂𝐴2
2 (2.15)
𝜑 = 𝜑0 + 𝛼 (2.16)
Donde 𝜑0 es el ángulo inicial comprendido entre 𝑃𝐴2 y 𝑃𝐵2
y se calcula mediante la
siguiente ecuación:
𝜑0 = tan−1(𝑂𝑃
𝑂𝐴2 ) (2.17)
Para la solución de la cinemática directa, se puede despejar de la ecuación (2.13) el término
𝜑.
𝜑 = cos−1(𝑃𝐴2 2
+𝑃𝐵’2 2−𝐴2𝐵’2 2
2𝑃𝐴2 𝑃𝐵’2 ) (2.18)
α = 𝜑 − 𝜑0 (2.19)
Figura 2.5: Representación de la cadena cinemática perteneciente al movimiento de
ladeo.
CAPÍTULO 2. MODELADO DEL ROBOT PARALELO DE 2 GDL 33
Para el análisis del movimiento de ladeo se realiza de la misma forma, solo que es la otra
cadena correspondiente al ángulo β y los restantes puntos (Figura 2.5), como se expone en
las siguientes ecuaciones:
𝐴1𝐵’1 2= 𝑃𝐴1
2+ 𝑃𝐵’1 2
− 2𝑃𝐴1 𝑃𝐵’1 cosφ (2.20)
Teniendo en cuenta:
𝑃𝐵’1 = 𝑏1 (2.21)
𝑃𝐴1 = √𝑂𝑃 2 + 𝑂𝐴1
2 (2.22)
𝜃 = 𝜃0 + 𝛽 (2.23)
Donde 𝜃0 es el ángulo inicial comprendido entre 𝑃𝐴1 y 𝑃𝐵1
y se calcula mediante la
siguiente ecuación:
𝜃0 = tan−1(𝑂𝑃
𝑂𝐴1 ) (2.24)
Para la solución de la cinemática directa quedaría de la siguiente forma:
𝜃 = cos−1(𝑃𝐴1 2
+𝑃𝐵’1 2−𝐴1𝐵’1 2
2𝑃𝐴1 𝑃𝐵’1 ) (2.25)
𝛽 = 𝜃 − 𝜃0 (2.26)
2.2.3 Cinemática diferencial
Debido a la existencia de múltiples cadenas cinemáticas cerradas en robots paralelos, el
análisis de la cinemática diferencial se convierte en un problema de mucha mayor
complejidad que en los robots serie (Zhiyong y Ghorbel, 2006). En este contexto la matriz
Jacobiana relaciona la velocidad espacial del elemento terminal (dx/dt) con la razón de
cambio de las coordenadas articulares actuadas del robot (dq/dt). Es de notar que para los
robots paralelos muchos autores prefieren emplear la notación inversa establecida para los
tipos serie, dada la diferencia existente entre el problema cinemático directo e inverso en
ambos tipos de robots (Sokolov y Xirouchakis, 2007).
Dado que se cumple:
CAPÍTULO 2. MODELADO DEL ROBOT PARALELO DE 2 GDL 34
= [
0 −𝑧 𝑦
𝑧 0 −𝑥
−𝑦 𝑥 0] (2.27)
Entonces la velocidad articular del robot (Aqi) se puede expresar como:
qi = [
0 −𝑧 𝑦
𝑧 0 −𝑥
−𝑦 𝑥 0] [
𝑏𝑖𝑥
𝑏𝑖𝑦
𝑏𝑖𝑧
] = [
𝑦𝑏𝑖𝑧 − 𝑏𝑖𝑦𝑧
𝑧𝑏𝑖𝑥 − 𝑏𝑖𝑧𝑥
𝑥𝑏𝑖𝑦 − 𝑏𝑖𝑥𝑦
] (2.28)
Mientras la razón de cambio de la orientación del elemento terminal en el espacio
cartesiano es definida por (2.29), e indica el vector bidimensional de la velocidad angular
de la plataforma móvil.
x (2.29)
Para el caso de los robots paralelos (Tsai, 2000), la separación de la matriz Jacobiana en
dos matrices permite considerar la igualdad:
qJxJ qx o bien qJJ q
A
Bx (2.30)
Así es posible relacionar las velocidades angulares del elemento terminal con la razón de
cambio respecto al tiempo de las variables articulares.
Puesto que no existe rotación alrededor del eje z (Z = 0), la expresión (2.28) queda ahora
de la forma:
Aqi = [
𝑦𝑏𝑖𝑧
𝑥𝑏𝑖𝑧
𝑥𝑏𝑖𝑦 − 𝑏𝑖𝑥𝑦
] (2.31)
Pudiéndose reescribir la ecuación (2.31) como:
𝑞�� = (𝑏𝑖 × ��𝒊) 𝐵𝐴
(2.32)
La parte izquierda de (2.32) indica la razón de cambio de las variables articulares, mientras
que el término de la derecha representa la velocidad angular de la plataforma móvil. Luego,
mediante comparación de (2.30) y (2.32), se establece:
𝐽𝑞 = 𝐼 2×2 (2.33)
CAPÍTULO 2. MODELADO DEL ROBOT PARALELO DE 2 GDL 35
𝐽𝑥 = 𝑏𝑖 × ��𝒊 = [(𝑏1 × ��𝟏)
𝑻
(𝑏2 × ��𝟐)𝑻] (2.34)
Bajo estas consideraciones se puede matemáticamente plantear:
22
11
2
1
xJq
q
q
x
(2.35)
Lo cual permite relacionar mediante la matriz Jacobiana (Jx), el vector de las velocidades
angulares de la plataforma móvil con el vector de las velocidades de las articulaciones
activas del robot, obteniéndose la cinemática diferencial. De igual forma, el inverso de (Jx)
relaciona el vector de las velocidades de las articulaciones con el vector de velocidades
angulares del efector final del robot.
2.2.4 Modelado no lineal de los actuadores neumáticos
El modelo no lineal del sistema se obtiene a partir del modelo de la válvula, la dinámica de
las presiones y el modelo de la masa móvil, donde se tiene en cuenta el dimensionamiento
característico presente en el carrete de las válvulas proporcionales neumáticas. El fluido
gaseoso a través de ellas es mal lubricante y siempre va a existir un flujo constante en su
punto de equilibrio que provoca una no linealidad en el sistema (Burrows, 1972).
El modelo de un actuador requiere analizarse en tres sub-sistemas:
Modelo de la válvula: Contempla la dinámica del flujo de aire a través de la válvula en
función de la acción de control y las presiones en sus extremos.
Modelo del actuador: Contempla la dinámica de las presiones en las cámaras del cilindro
en función del flujo de aire y los volúmenes de las cámaras del cilindro, así como sus
variaciones. Estos dos últimos parámetros quedan definidos por la posición y velocidad del
émbolo (y, por tanto, de la carga) si se conoce el área de sus dos caras.
Modelo de la carga: Contempla la dinámica del movimiento de la carga en función de las
presiones aplicadas a cada lado del émbolo, y las fuerzas externas y de fricción que estén
presentes en la estructura mecánica.
CAPÍTULO 2. MODELADO DEL ROBOT PARALELO DE 2 GDL 36
Las válvulas MPYE-5-3/8-010-B presentan un ancho de banda aproximadamente de 100
Hz, por lo que su dinámica frente a la dinámica de la carga es despreciable (Rubio, 2007),
como resultado, el modelo de la válvula sólo incluye la característica estática del flujo de
aire. Mediante experimentos, (Prieto, 2013) demuestra la presencia de una no linealidad del
tipo backslash, característica propia de las válvulas neumáticas (Karpenko y Sepehri,
2004).
También se realiza el análisis de la dinámica de las presiones de las cámaras del cilindro
electro-neumático de doble efecto y el balance de fuerzas del cilindro, dando como
resultado que la dinámica de un sistema neumático puede ser resumido en:
��1 =𝑅𝑇
𝑉1(𝑦)(𝑄𝑚1 −
𝑃1𝐴1��
𝑅𝑇)
��2 =𝑅𝑇
𝑉2(𝑦)(𝑄𝑚2 −
𝑃2𝐴2��
𝑅𝑇) (2.36)
�� = (𝑃1𝐴1 − 𝑃2𝐴2 − 𝑃𝑎𝐴𝜗 − 𝐹𝑓)/𝑀
𝜕𝜗
𝜕𝑡= ��
𝑉1 = 𝐴1𝑦
𝑉2 = 𝐴2(𝑦𝑚𝑥 − 𝑦) = 𝐴2𝑦𝑚𝑥 − 𝐴2𝑦
Donde 𝑦𝑚𝑥 es la posición máxima del cilindro y 𝑦 es posición del cilindro.
Donde:
R: Constante ideal de los gases (R=287,2 J/kgK)
m: Masa del aire (kg)
𝑷𝟏, 𝑷𝟐: Presión de las cámaras superior e inferior (Pa)
𝑨𝟏, 𝑨𝟐: Área de las cámaras inferior y superior (𝑚2)
𝒚 : Posición del pistón (m)
𝑽𝟏(𝒚), 𝑽𝟐(𝒚): Volumen de la cámara inferior y superior del pistón (𝑚3)
M: Carga (kg)
𝑨𝝑: Área de la sección transversal del vástago (𝑚2)
CAPÍTULO 2. MODELADO DEL ROBOT PARALELO DE 2 GDL 37
𝝑: Velocidad del pistón (𝑚
𝑠)
𝑭𝒇: Fuerza de fricción (N)
𝑸𝒎𝟏, 𝑸𝒎𝟐: Flujos másicos hacia el cilindro (𝑘𝑔
𝑠)
La fricción entre el émbolo y el cilindro es uno de los fenómenos que más incide en la no
linealidad de los actuadores electro-neumáticos, es una fuerza que se opone al movimiento
y provoca el deterioro del desempeño de los sistemas de control. A ella están asociados
efectos tales como error en estado estable, movimientos a saltos (Stick-Slip) y oscilaciones
(por la combinación del stick-slip con acciones de control integral) (Rubio, 2007).
Es bien conocida la dificultad de la resolución de los modelos dinámicos de los sistemas
electro-neumáticos, debido a la gran cantidad de parámetros a tener en cuenta para su
obtención (Burrows, 1972). Por ese motivo, en esta investigación se obtiene el modelo
dinámico que relaciona el mando con la posición de los pistones, a través del método de
identificación experimental, con el propósito de obtener controladores para el lazo de
control articular.
2.2.5 Obtención del modelo electro-neumático a través de identificación
experimental
Los actuadores electro-neumáticos se han ido introduciendo en aplicaciones de la robótica
paralela donde es necesario el posicionamiento continuo de la carga, tal es el caso de la
plataforma de 2 GDL para el simulador de conducción de SIMPRO.
Para determinar el modelo dinámico de un cilindro electro-neumático, normalmente en la
literatura se tienen en cuenta varias consideraciones, por ejemplo: solo hay fricción viscosa,
una temperatura constante e igual en todas las cámaras del cilindro, el gas es ideal, y la
válvula se encuentra perfectamente ajustada y con una dinámica despreciable (Rubio,
2007). Desarrollar estrategias para el control en este tipo de actuadores ha resultado ser
bastante difícil, debido fundamentalmente a que la dinámica de los actuadores electro-
neumáticos es altamente no lineal (Pearce, 2005).
El modelo utilizado en este proyecto es obtenido de acuerdo a la metodología trazada por
(Rubio, 2007), donde se tiene en cuenta el subdimensionamiento de la válvula y no se
CAPÍTULO 2. MODELADO DEL ROBOT PARALELO DE 2 GDL 38
promedian las constantes de tiempo de las cámaras del cilindro, por lo que se cuenta con un
modelo que describe con mayor exactitud la verdadera dinámica de los actuadores electro-
neumáticos.
Para el proceso de identificación experimental se excita al sistema con una señal seudo-
aleatoria como se muestra en la Figura 2.6, alrededor del valor de posición central de cada
cilindro, que es donde se demuestra que el modelo que se obtiene es el que tiene los polos
complejos conjugados más próximos al origen del plano del lugar de las raíces, por lo que,
sin dudas, es la dinámica más exigente (Varseveld, 1997). Se cierra el lazo de control de
posición pues la función de transferencia de la dinámica de los actuadores es tipo uno, por
tanto, el sistema se vuelve inestable en lazo abierto. El lazo se cierra a un período de
muestreo de 1 ms, con un regulador proporcional para no alterar el orden del sistema cuya
ganancia (Kp) es conocida.
Figura 2.6: Diagrama de identificación de lazo cerrado para el sistema electro-
neumático.
En el proceso de identificación experimental se emplea el Toolbox de Identificación del
software Matlab y se utiliza la estructura básica ARMAX, la cual presentó los mejores
resultados en (Rubio, 2007).
El ARMAX es un modelo paramétrico que queda descrito por una estructura y un número
finito de parámetros que relacionan las señales de interés del sistema (entrada, salida y
perturbaciones). Con dicha estructura es posible realizar un proceso de identificación sin
tener ningún tipo de conocimiento previo. Permiten describir el comportamiento de
cualquier sistema lineal. Su dificultad radica en la elección del tipo de modelo, orden del
mismo, número de parámetros, que se ajuste satisfactoriamente a los datos de entrada-salida
obtenidos experimentalmente (López, 2005). Este inconveniente no obstaculiza el proceso
de identificación experimental de este sistema debido a que los trabajos anteriores aportan
estos parámetros, se utiliza un ARMAX de cuarto orden sin retardo.
CAPÍTULO 2. MODELADO DEL ROBOT PARALELO DE 2 GDL 39
La estructura que poseen los modelos ARMAX es:
𝐴(𝑞−1)𝑦(𝑡) = 𝐵(𝑞−1)𝑢(𝑡) + 𝐶(𝑞−1)𝑒(𝑡) (2.37)
Dicha estructura estaría representada en un diagrama en bloques de la forma:
Figura 2.7: Diagrama en bloque de la estructura ARMAX.
Dentro de las características a tener en cuenta para la estimación se encuentra el porciento
de ajuste de la salida del modelo (FIT) a la salida real medida, definido en Toolbox de
identificación como:
𝐹𝐼𝑇 = [1 −𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎(𝑦𝑚−𝑦)
𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎(𝑦−𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎(𝑦))] 100% (2.38)
Donde 𝑦𝑚 es el vector de la salida simulada del modelo, ante la misma entrada con que se
obtiene el vector de salida del sistema real 𝑦. Para este proceso de identificación el valor de
FIT resultante fue 60,55 %.
El análisis de la correlación de sus residuos con la entrada es otro aspecto importante, ya
que ofrece la proporción de la independencia entre los errores del modelo y la señal de
entrada. Cuanto más próximos a cero sean los términos de la correlación, más exacto será el
modelo estimado. En la práctica, se define un intervalo de confianza a partir de la varianza
esperada de esta correlación y se verifica que los términos estén dentro de ese intervalo
(Ljung, 1999).
El modelo que se obtiene del proceso de identificación experimental es de cuarto orden,
que puede ser reducido a un modelo de tercer orden tipo uno. Esta nueva estructura es más
CAPÍTULO 2. MODELADO DEL ROBOT PARALELO DE 2 GDL 40
sencilla para la utilización del modelo en la síntesis de controladores del lazo de control
articular. Como resultado el modelo tiene la siguiente expresión:
𝐺𝑟𝑜𝑏𝑜𝑡(𝑠) =105700
𝑠(𝑠2+7,579𝑠+1036) (2.39)
2.3 Conclusiones parciales
El modelo cinemático inverso mediante la formulación vectorial resulta ser un método
práctico, que permite mediante procedimientos geométricos y teoremas matemáticos
desarrollar sistemas con igual número de ecuaciones que de incógnitas.
La obtención de los modelos Jacobianos de la plataforma móvil de 2 GDL permitirá la
implementación de esquemas de control de seguimiento de trayectoria en espacio de tareas
con realimentación de velocidad, para ejercer el control sobre las velocidades angulares del
efector final.
La obtención del modelo no lineal de los actuadores neumáticos por la vía del cálculo
matemático resulta bastante engorroso, ya que es necesario estimar parámetros con mucha
incertidumbre como zonas muertas y fricciones.
La técnica de identificación experimental aplicada al sistema electro-neumático demuestra
tener buenos resultados para la obtención de modelos, con el objetivo de su utilización en la
síntesis del controlador del lazo de control articular.
CAPÍTULO 3: ESQUEMA DE CONTROL DE SEGUIMIENTO DE TRAYECTORIA EN ESPACIO
CARTESIANO PARA UN ROBOT PARALELO CON 2 GDL 41
CAPÍTULO 3. ESQUEMA DE CONTROL DE SEGUIMIENTO DE
TRAYECTORIA EN ESPACIO CARTESIANO PARA
UN ROBOT PARALELO DE 2 GDL
En este capítulo se presenta la implementación de un esquema de control de seguimiento de
trayectoria en espacio cartesiano con realimentación de la velocidad. En tal sentido, se
realiza una descripción detallada del esquema de control propuesto, se explica el lazo de
control interno encargado del control de las variables articulares y la sintonía de los
reguladores externos cartesianos para cumplir con desempeños adecuados en aplicaciones
de seguimiento de trayectoria. Para confirmar el cumplimiento de los requisitos de diseño,
se procede con la simulación del sistema de control utilizando modelo lineal obtenido a
través de identificación experimental.
3.1 Esquema de control de seguimiento de trayectoria con realimentación de la
velocidad
En la Figura 3.1 se muestra el esquema de control propuesto. Este está formado por un lazo
de control interno (lazo de control articular) que actúa de manera desacoplada para cada
articulación y toma la referencia de la solución del problema cinemático inverso (𝑻−𝟏), en
donde al controlador Gc se le adiciona una ganancia Kdq, acción derivativa al lazo de
control proveniente del error de velocidad articular (𝒆��). Este esquema de control tiene
como característica que prescinde del uso del modelo dinámico del robot paralelo de 2
GDL. La obtención del modelo dinámico de esta estructura sería muy laboriosa e implicaría
trabajar con un modelo fuertemente no lineal y multivariable, trayendo aparejado el cálculo
de la dinámica inversa del robot dentro del lazo de control (Wang y otros, 2009).
CAPÍTULO 3: ESQUEMA DE CONTROL DE SEGUIMIENTO DE TRAYECTORIA EN ESPACIO
CARTESIANO PARA UN ROBOT PARALELO CON 2 GDL 42
El lazo de control externo (lazo de control cartesiano) es el encargado de asegurar el
seguimiento de trayectoria de las variables en el espacio de tareas, con la adición en esta
solución de una ganancia Kdx que actúa a través del error de velocidad de las variables
cartesianas.
Los bloques de cinemática diferencial (Jacobiana directa e inversa, o sea,
𝑱 y 𝑱−𝟏 respectivamente) permiten relacionar, mediante la matriz Jacobiana (Jx), el vector de
las velocidades angulares de la plataforma móvil (��) con el vector de las velocidades de las
articulaciones activas del robot (��), y viceversa. El modelo cinemático directo, denotado
por 𝑻, permite conocer la pose del elemento terminal (x) a partir de la longitud del brazo
articulado (q).
Figura 3.1: Esquema de control de seguimiento de trayectoria con realimentación de la
velocidad.
3.1.1 Resultados de la simulación
A partir de la implementación en SIMULIK del esquema de control propuesto (ver Anexo
I) se desarrollan las simulaciones para demostrar que el sistema cumple con los
requerimientos establecidos de seguimiento de trayectoria. Teniendo en cuenta la
importancia que tiene la cinemática diferencial para esta investigación se desarrolla la
Jacobiana directa y la Jacobiana inversa (ver Anexo II), ambas relacionan mediante la
matriz Jacobiana (Jx) el vector de las velocidades angulares de la plataforma móvil con el
vector de las velocidades de las articulaciones activas del robot y viceversa.
En la Figura 3.2 se representa la simulación referente a la Jacobiana directa donde el
modelo se excita con dos funciones sinusoidales idénticas con una amplitud de 13 grados y
frecuencia de 0.8 rad/seg, una por el movimiento de cabeceo y la otra por el movimiento de
ladeo. En la simulación se evidencia que la velocidad de cada una de las articulaciones,
CAPÍTULO 3: ESQUEMA DE CONTROL DE SEGUIMIENTO DE TRAYECTORIA EN ESPACIO
CARTESIANO PARA UN ROBOT PARALELO CON 2 GDL 43
encargadas de los movimientos de ladeo y cabeceo, alcanzan un máximo de amplitud de
aproximadamente 108 mm/seg, resultado que es físicamente posible de alcanzar por el
pistón neumático, comprobándose de esta manera la validez del modelo para su utilización
en el esquema de control de seguimiento de trayectoria propuesto.
De igual forma se realizó un experimento para la validación de la Jacobiana inversa que
estima las velocidades cartesianas del efector final. La Figura 3.3 representa la simulación
de la Jacobiana inversa donde el modelo se excita con una función sinusoidal, con la misma
frecuencia, pero con una amplitud de 100 mm en la articulación correspondiente al
movimiento de ladeo. Los resultados demuestran que la estimación del modelo calculado
tiene una velocidad máxima de aproximadamente 8.6 grados/seg, resultado que es
físicamente posible de alcanzar por el efector final de la plataforma de 2 GDL.
Figura 3.2: Respuesta de la Jacobiana directa ante entrada sinusoidal.
Figura 3.3: Respuesta de la Jacobiana inversa ante entrada sinusoidal.
3.2 Lazo de control articular
Dado que el simulador está diseñado para que los valores deseados de la pose de la
plataforma móvil sean en el espacio de tareas, la solución de control requiere de la
obtención de la posición deseada de cada articulación mediante el cálculo de la cinemática
CAPÍTULO 3: ESQUEMA DE CONTROL DE SEGUIMIENTO DE TRAYECTORIA EN ESPACIO
CARTESIANO PARA UN ROBOT PARALELO CON 2 GDL 44
inversa del robot en cada instante de tiempo. Luego, se implementa el lazo de control
desacoplado en el espacio articular, que garantiza el cumplimiento de las especificaciones
de diseño, a pesar de los efectos de la interacción dinámica entre las diferentes cadenas
articuladas del sistema.
Rubio propone una solución para el control de los sistemas electro-neumáticos aplicada a
un simulador de 2 GDL (Rubio, 2007), que consiste en el modelado por identificación y la
obtención del controlador a partir de los criterios de desempeño deseados, el cual generó
buenos resultados en el desempeño de las variables articulares del robot.
El controlador debe garantizar en lazo cerrado un par de polos complejos conjugados
dominantes de manera que satisfagan las especificaciones de tiempo de establecimiento
menor que 1 segundo para entrada escalón, con un mínimo de sobrecresta, rechazo del
sistema a perturbaciones y acción integral incorporada, de modo que el sistema sea tipo dos
y garantice capacidad de seguimiento a referencias tipo rampa con cero error en estado
estable (Rubio, 2007).
La función de transferencia propuesta para el controlador es de la forma:
𝐺𝑐(𝑠) =𝐾𝑝(𝑠2+𝑎1𝑠+𝑎0)(𝑠+𝑎)
𝑠(𝑠2+𝑏1𝑠+𝑏0) (3.1)
Partiendo de que la respuesta en lazo cerrado deseada requiere la dominancia de un par de
polos complejos conjugados, se fija la frecuencia natural no amortiguada del sistema en
wn=10 rad/s y la razón de amortiguamiento en φ=0.7. Con dichos índices de
comportamiento se obtiene la función de transferencia correspondiente al controlador:
𝐺𝑐(𝑠) =0.13325(𝑠2+7.579𝑠+1036)(𝑠+1.818)
𝑠(𝑠2+88𝑠+2256) (3.2)
Izaguirre realiza un análisis de la robustez del lazo de control, ante la posible influencia de
los efectos dinámicos de interacción entre los actuadores, mediante el cálculo del valor que
adquiere la función sensitividad de la salida del lazo (Izaguirre, 2012). Gracias a ello se
verifica que el controlador diseñado garantiza la robustez necesaria del sistema ante
posibles cambios en los parámetros de la planta, brindando garantía del buen
comportamiento del sistema en lazo cerrado en el rango de bajas frecuencia.
CAPÍTULO 3: ESQUEMA DE CONTROL DE SEGUIMIENTO DE TRAYECTORIA EN ESPACIO
CARTESIANO PARA UN ROBOT PARALELO CON 2 GDL 45
El control cinemático en el espacio articular ofrece varias ventajas, dado que consiste en un
control del tipo desacoplado, la carga computacional de los controladores es reducida por lo
que su implementación es viable en el hardware de control con aplicación práctica
industrial en tiempo real y a bajos períodos de muestreo y, por consiguiente, el diseño de
los reguladores resulta muy sencillo debido a que los lazos de control son independientes
(Izaguirre, 2012).
El esquema de control de seguimiento de trayectoria propuesto en esta investigación
adiciona una acción de control derivativa a partir del error de velocidad de las
articulaciones actuadas, en forma de una ganancia Kdq, implementando de esta manera en
el lazo interno una estrategia de control PI-D, que modifica el lazo de control propuesto por
(Rubio, 2007). La ganancia Kdq se ajusta a partir de la magnitud que aportan los ceros del
regulador Gc para la compensación de los polos de la planta. En la Figura 3.4 se muestra el
comportamiento de la articulación correspondiente al movimiento de ladeo a partir de una
simulación del esquema de control para seguimiento de trayectoria propuesto. Se puede
observar cómo el seguimiento de trayectoria en el espacio articular sufre una afectación en
su desempeño, alcanzando un error máximo de hasta 10 mm.
Figura 3.4: Respuesta del lazo de control articular ante entrada sinusoidal.
3.2.1 Sintonía del regulador en el espacio cartesiano
El sistema de control será implementado en un controlador digital, y el diseño del regulador
se efectúa en el dominio discreto (Izaguirre y otros, 2011c). En este caso, desde el punto de
vista práctico, se procede con una simplificación dinámica del lazo interior, similar a las
empleadas en control visual para seguimiento en un plano (Bonfe y otros, 2002), y control
servo-visual 3D de brazo robótico serie (Hernández y otros, 2008), aunque en esta última
CAPÍTULO 3: ESQUEMA DE CONTROL DE SEGUIMIENTO DE TRAYECTORIA EN ESPACIO
CARTESIANO PARA UN ROBOT PARALELO CON 2 GDL 46
aplicación el esquema de control está concebido como tipo regulador, es decir, sigue
disturbio, y no posee la capacidad de seguimiento de trayectoria.
En el esquema de la Figura 3.1 el efecto dinámico del lazo interior es independiente del
externo, donde en condición estable de operación, el control de posición en el espacio
articular satisface la condición:
𝑞(𝑡) = 𝑞𝑑(𝑡) ≅ 0, (𝑛 × 1) ∀ 𝑡 > 0 (3.3)
En tal caso, el diseño digital del controlador externo se efectúa considerando que la
dinámica del lazo interior puede ser aproximada por uno o dos instantes de muestreo del
lazo exterior (Hernández y otros, 2011), por lo que la igualdad 3.3 se modifica por 3.4.
𝑞𝑘 = 𝑞𝑑(𝑘−1) ∀ 𝑘 > 0 (3.4)
Astrom establece que un valor razonable para la frecuencia de muestreo se define entre 10
y 30 veces el valor del ancho de banda deseado del sistema en lazo cerrado (Astrom y
Wittenmark, 1997). Para el simulador de movimiento, este valor se encuentra alrededor de
0,1 Hz, por lo que el período de muestreo puede quedar establecido en 300 ms como valor
máximo aceptable.
Figura 3.5: Diagrama del lugar geométrico de la raíz para el controlador proporcional.
En la Figura 3.5 se muestra la sintonía de un controlador proporcional, siguiendo los
requerimientos de mínima sobrecresta, error en estado estable menor de 2 grados en el lazo
de ladeo y un tiempo de establecimiento menor que 1 segundo, además, se sabe que para el
CAPÍTULO 3: ESQUEMA DE CONTROL DE SEGUIMIENTO DE TRAYECTORIA EN ESPACIO
CARTESIANO PARA UN ROBOT PARALELO CON 2 GDL 47
lugar geométrico de la raíz la ganancia debe ser menor que 1 para que el sistema sea
estable. En este caso se toma una ganancia de regulador de 0.17.
Las Figuras 3.6 y 3.7 representan la respuesta del sistema ante entrada sinusoidal para la
posición y velocidad perteneciente al movimiento de ladeo. Como se puede apreciar las
respuestas no cumplen con los requerimientos señalados de seguimiento de trayectoria,
además de tener un retardo entre las señales de entrada y salida apreciable con un error
máximo de posición de 2.5 grados y de velocidad de aproximadamente 2 grados/seg.
Ambas respuestas denotan la exigencia de una acción integral en el lazo cartesiano.
Figura 3.6: Respuesta del controlador P para el lazo de posición ante entrada
sinusoidal.
Figura 3.7: Respuesta del controlador P para el lazo de velocidad ante entrada
sinusoidal.
El diagrama del lugar geométrico que se representa en la Figura 3.8 es para sintonizar un
controlador PI digital en sustitución del proporcional siguiendo los mismos requerimientos:
mínima sobrecresta, tiempo de establecimiento menor que 1 segundo, pero con cero error
en estado estable.
CAPÍTULO 3: ESQUEMA DE CONTROL DE SEGUIMIENTO DE TRAYECTORIA EN ESPACIO
CARTESIANO PARA UN ROBOT PARALELO CON 2 GDL 48
Figura 3.8: Diagrama del lugar geométrico de la raíz para el controlador PI.
Utilizando como período de muestreo 100 ms se obtiene un controlador PI digital de la
forma:
𝐺𝑐(𝑧) =𝑇𝑠𝐾𝑖(0.08+0.9𝑧−1)
1−𝑧−1 =0.07(0.08+0.9𝑧−1)
1−𝑧−1 (3.5)
En las Figura 3.9 y 3.10 se representa la respuesta del sistema ante entrada sinusoidal para
la posición y velocidad perteneciente al movimiento de ladeo. Como se puede observar hay
menor retardo entre la señal de entrada y la señal de salida, en comparación al controlador
P, y un error máximo de posición de 0.8 grados y de velocidad de aproximadamente
1grado/seg. A pesar del buen comportamiento en posición y velocidad aún no se cumplen
con los requerimientos para control de seguimiento de trayectoria.
Figura 3.9: Respuesta del controlador PI para el lazo de posición ante entrada
sinusoidal.
CAPÍTULO 3: ESQUEMA DE CONTROL DE SEGUIMIENTO DE TRAYECTORIA EN ESPACIO
CARTESIANO PARA UN ROBOT PARALELO CON 2 GDL 49
Figura 3.10: Respuesta del controlador PI para el lazo de velocidad ante entrada
sinusoidal.
Para obtener los desempeños adecuados para seguimiento de trayectoria que requiere la
aplicación de simulador de conducción de 2 GDL, se implementa en su totalidad el
esquema de control propuesto teniendo en cuenta la acción derivativa que se obtiene a
partir del cálculo del error de velocidad cartesiano. La sintonía de los parámetros del
regulador PI-D se ajustan suponiendo un controlador PID para el lazo de control cartesiano.
El diagrama del lugar geométrico que se representa en la Figura 3.11 es para sintonizar un
controlador PID digital en sustitución del PI.
Figura 3.11: Diagrama del lugar geométrico de la raíz para el controlador PID.
Utilizando como período de muestreo 100 ms se obtiene un controlador PID digital de la
forma:
CAPÍTULO 3: ESQUEMA DE CONTROL DE SEGUIMIENTO DE TRAYECTORIA EN ESPACIO
CARTESIANO PARA UN ROBOT PARALELO CON 2 GDL 50
𝐺𝑐(𝑧) =0.42(0.07+0.93𝑧−1)(0.06+0.4𝑧−1)
(0.099+0.901𝑧−1)(1−𝑧−1) (3.6)
En las Figura 3.12 y 3.13 se representa la respuesta del sistema ante entrada sinusoidal para
la posición y velocidad perteneciente al movimiento de ladeo en donde ya se realimenta la
velocidad y se puede observar que la señal real es prácticamente la señal deseada con un
error máximo para la posición 0.2 grados y para la velocidad de aproximadamente 0.5
grados/seg. Evaluando los resultados, se puede decir que, con la implementación del
esquema de control de seguimiento de trayectoria propuesto, que cuenta con la
realimentación de velocidad, se cumplen con los requerimientos de seguimiento de
trayectoria deseados para la plataforma de 2 GDL.
Figura 3.12: Respuesta del controlador PID para el lazo de posición ante entrada
sinusoidal.
Figura 3.13: Respuesta del controlador PID para el lazo de velocidad ante entrada
sinusoidal.
CAPÍTULO 3: ESQUEMA DE CONTROL DE SEGUIMIENTO DE TRAYECTORIA EN ESPACIO
CARTESIANO PARA UN ROBOT PARALELO CON 2 GDL 51
3.3 Análisis económico
La plataforma de dos grados de libertad objeto de estudio tiene un precio de
aproximadamente 12 000 USD con el control implementado, y con la cabina de
conducción, incluyendo el sistema de visualización y mando, oscila entre 30 000 y 40 000
USD. El costo de un paquete de electrodos de soldar por arco eléctrico vale en el mercado
3.00 USD, el metro cuadrado de plancha de acero de 3 mm cuesta 13.00 USD, las
articulaciones universales 2.5 USD y las vigas de acero de perfil U cuestan alrededor de 8
USD el metro, un cilindro neumático de doble efecto 50 USD. Debido al alto costo de los
materiales es indispensable un correcto diseño y construcción de la plataforma, puesto que
ellos representan lo necesario para construir un robot de este tipo. El empleo de esta
plataforma de conducción permite el adiestramiento del personal a la hora de conducir un
vehículo, lo que representa un ahorro de combustible, gomas, rodamientos y piezas de
automóviles, y se logra el perfeccionamiento de la técnica de conducción evitando
accidentes de tránsito. Por último, cabe mencionar que esta plataforma contribuye a la
formación profesional de estudiantes en la UCLV, ya que se diseñan y validan estrategias
de control y modelos matemáticos de forma experimental, lo cual también representa una
ventaja económica considerable.
3.4 Conclusiones del capítulo
Los modelos demostraron ser eficientes y fiables para su uso en estrategias de control de
seguimiento de trayectoria, tanto para el cálculo de las variables articulares (Jacobiana
directa y cinemática inversa) como para las variables en espacio de tareas (cinemática
directa y Jacobiana inversa).
La aproximación dinámica realizada del lazo de control interno permite una sintonía del
regulador del lazo de control externo más sencilla. La respuesta del sistema ante
variaciones en la referencia del espacio de tareas demostró la validez de esta simplificación
para el ajuste de los parámetros de control. Esto permite prescindir del modelo dinámico
del robot, lo cual hace de la solución planteada una implementación más simple con
relación a las expuestas en el Capítulo 1.
CAPÍTULO 3: ESQUEMA DE CONTROL DE SEGUIMIENTO DE TRAYECTORIA EN ESPACIO
CARTESIANO PARA UN ROBOT PARALELO CON 2 GDL 52
La estrategia de control propuesta, que modifica el esquema de control cartesiano en
espacio de tareas con la adición de una acción derivativa, resultando en una acción PI-D, y
que realimenta velocidad, demuestra buenos resultados en aplicaciones de seguimiento de
trayectoria.
CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES 53
CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES
Conclusiones
Como resultado final arrojado por esta investigación, tenemos que se propone un esquema
de control de seguimiento de trayectoria en el espacio cartesiano, que cumple con la
realimentación de la velocidad en un robot paralelo de 2 GDL accionado por actuadores
neumáticos. A partir de estos resultados, se plantean las conclusiones generales siguientes:
El análisis de las estrategias de control revisadas demostró que la implementación de un
esquema de control de seguimiento de trayectoria con realimentación de velocidad, y que
prescindiera del cálculo del modelo dinámico, era posible a partir de la reestructuración del
esquema de control cinemático en espacio de tareas y la utilización de modelos Jacobianos
para la estimación de las velocidades articulares y cartesianas.
La obtención del modelo lineal del sistema electro-neumático a través del método de
identificación experimental demostró ser válido para la obtención del regulador del lazo
interno articular del esquema de control propuesto. De la misma forma, los modelos
Jacobianos obtenidos demostraron exactitud para ser utilizados en la estimación de las
velocidades articulares y cartesianas, para de esta manera, obtener un esquema de control
que cumpliera con los requerimientos de seguimiento de trayectoria previstos para la
aplicación del simulador neumático de 2 GDL.
La implementación del esquema de control propuesto cumple con los requerimientos para
un esquema de control de seguimiento de trayectoria en espacio de tareas que realimente
velocidad de las variables cartesianas del efector final del robot de 2 GDL. Las
simulaciones realizadas utilizando el modelo lineal de los actuadores electro-neumáticos
CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES 54
demostraron un buen desempeño en seguir trayectorias tipo seno, validando así el esquema
de control propuesto para aplicaciones de seguimiento de trayectoria.
Recomendaciones
Como principales recomendaciones del presente trabajo se proponen:
Comprobar la validez del esquema de control propuesto con resultados experimentales
utilizando modelo no lineal implementado en SIMULINK/ADAMS y con el robot paralelo
de 2GDL.
Extender la implementación del esquema de control propuesto para robots en aplicaciones
industriales.
Extender la investigación para proponer un esquema de control de seguimiento de
trayectoria que realimente, además, la aceleración de las variables del efector final.
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ANEXOS 60
ANEXOS
Anexo I Control de seguimiento de trayectoria en espacio cartesiano con
realimentación de la velocidad
ANEXOS 61
Anexo II Programa en MATLAB para la jacobiana directa e inversa
h=950; % Altura de la Plataforma Móvil % Definición de las variables principales O=[0;0;0]; % Origen del sistema de Ref. Fijo P=[0,0,-h]; % Origen del sistema de Ref. Móvil A1=[-560;0;0]; % Base del Pistón 1 -orig- A2=[0; -560;0]; % Base del Pistón 2 -orig- B1=[-560;0;-h]; % Pto B1 de la plataforma móvil B2=[0;-560;-h]; % Pto B2 de la plataforma móvil % Definición de los Vectores A1B1=[A1(1)-B1(1);A1(2)-B1(2);A1(3)-B1(3)]; A2B2=[A2(1)-B2(1);A2(2)-B2(2);A2(3)-B2(3)]; Lin1=norm(A1B1) % Long. inicial de cabeceo Lin2=norm(A2B2) % Long. inicial de ladeo syms alfa beta % Matriz Rotación convenio ZYX Mrot=[cos(beta),sin(alfa)*sin(beta),sin(beta)*cos(alfa); 0,cos(alfa),-
sin(alfa);-sin(beta),cos(beta)*sin(alfa),cos(beta)*cos(alfa);] A1B1=OP+Mrot*PB1-OA1 % Vector de cierre cabeceo A2B2=OP+Mrot*PB2-OA2 % Vector de cierre ladeo L1=sqrt(A1B1(1)^2+A1B1(2)^2+A1B1(3)^2) % Long. final de cabeceo L2=sqrt(A2B2(1)^2+A2B2(2)^2+A2B2(3)^2) % Long. final de ladeo q1=130-(L1-Lin1) q2=130-(L2-Lin2) % Cinemática Diferencial % Jacobiana directa J11=simplify(diff(q1,beta)) J12=simplify(diff(q1,alfa)) J21=simplify(diff(q2,beta)) J22=simplify(diff(q2,alfa)) J=[J11 J12;J21 J22] Det_J=det(J) Det_J_simplif=simplify(Det_J) % Jacobiana inversa Inv_J=inv(J) Inv_J_simplif=simplify(Inv_J)
![[LICENCIATURA EN ARQUITECTURA] › DGPDI › Documents › SEI › Seguimiento de Egresado… · II. Trayectoria Académica En lo que respecta a la trayectoria académica de los egresados,](https://img.pdfslide.tips/doc/110x75/5f176a5325cb6d2e0f7e3dec/licenciatura-en-arquitectura-a-dgpdi-a-documents-a-sei-a-seguimiento-de.jpg)
