CONTROL DIRECTO DE SISTEMAS EN T. DISCRETO de Clase (ppt... · Control de Sistemas en Tiempo Discreto en el Lugar de las Raíces zAl ser GH(z) una magnitud compleja se imponen 2 condiciones:

CONTROL DIRECTO DE SISTEMAS EN T. DISCRETO

Tema 6

Indice

Control de Sistemas en Tiempo Discreto en el Lugar de las RaícesControl de Sistemas en Tiempo Discreto por Respuesta FrecuencialControl por Síntesis Directa. Método de Truxal-Ragazzini

Control de Sistemas en Tiempo Discreto en el Lugar de las Raíces

El método de compensación del lugar de las raíces en el plano zes similar al caso continuo en el plano s, esto es, se especificarán las ubicaciones de los polos dominantes en lazo cerrado y se elegirá un tipo de compensador adecuado para cumplirlas.

Para ello se ubicará el lugar geométrico de las raíces de

1 0+ =GH z( )

1 01 2

1 2+

⋅ + ⋅ + ++ ⋅ + +

=K z z z z z z

z p z p z pm

n

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

L

L


Al ser GH(z) una magnitud compleja se imponen 2 condiciones:

1. condición de ángulo

2. Condición de magnitud

Los valores de z que cumplan la condición de angulo para K varaible definen el lugar geométrico de las raíces o polos del sistema en bucle cerrado (LdR)

La aplicación de la condición de magnitud para una K determinado define los polos específicos del sistema en bucle cerrado.

...2,1,0)12(180))(arg( =+−= kkzGH

1)( =zGH


......))(arg( 2121 −−−++= θθφφzGH

n

m

AAABBB

KzGHK

K

21

21)(⋅⋅

=


En general

Con objeto de determinar la ubicación de los polos y ceros el controlador Gc(z) digital se obtendrá la deficiencia angular en los polos deseados zd

La condición de magnitud evaluada en zd permitirá ajustar la ganancia del controlador Kc.

)()()()()()(

)(21

21

cncc

cmcccc pzpzpz

zzzzzzKzG

++⋅+++⋅+⋅

=L

L

dzzzGH

=−∠−= )(º180φ


La forma más habitual del controlador Gc(z) será:

1

z

xz p z

01

z

x

z p

z0

G z Kz zz z

z zcp

p( ) ,= ⋅++

>00 G z K

z zz z

z zcp

p( ) ,= ⋅++

>00

Controlador de Adelanto (φ>0) Controlador de Atraso (φ<0)


1

z

x

z p 2

z0 2

x

z p1

z 01

G z Kz zz z

z zz zc

p

Ad

p

At

( ) = ⋅++

⋅++

01

1

02

2123 123

Controlador de Atraso-Adelanto

Los esquemas anteriores cubren a los controladores PID, en concreto el control PD (Adelanto con zp = 0), el control PI (Atraso con zp = 1) y el control PID (Atraso-Adelanto con zp1 = 0 , zp2 = -1), para el caso de discretizacion Euler hacia atrás.

Control de Sistemas en Tiempo Discreto por Respuesta Frecuencial

El método de compensación basado en la respuesta en frecuencia para sistemas en tiempo discreto es análogo al caso continuo. No obstante, será necesario realizar previamente la transformación bilineal que obtenga a partir de la planta G(z) la planta G(w).

A partir de G(w) se realizará el diseño del controlador Gc(w),utilizando los procedimientos de diseño en continua, teniendo en cuenta la distorsión del eje de frecuencia w = jν respecto al eje s = jω. Una vez obtenido Gc(w) se aplicará nuevamente la transformación bilineal para obtener Gc(z).


El procedimiento se resume en los siguientes pasos:

1. Obtener G(z) y hallar

2. Hacer w = jν , y establecer la ganancia del controlador Kpara cumplir las especificaciones de error estático y de velocidad en su caso.

3. Dibujar el diagrama Bode de KG(ν), y determinar MF y MG.

4. En caso de no cumplirse las especificaciones de MF y MG se diseñará un compensador Gc(w) por las técnicas convencionales , desprovisto de ganancia.

5. Transformar Gc(w) en Gc(z) , según

G w G z z

Tw

Tw

( ) ( )==

+

−

12

12

112)()(

+−

==

zz

Twcc wGzG


Se ha de resaltar que el diseño es aproximado en tanto en cuanto , por tanto se cumplirá

El eje ν , está distorsionado respecto al eje ω, pues

ωω

< s

10ν ω≈

νω

=2

2Ttan

T

Control por Síntesis Directa. Método de Truxal-Ragazzini

El método de síntesis directa o de Truxal - Ragazzini, permite diseñar un GD(z) para que se cumpla que la secuencia de error e(kT) ante una referenciaº en particular sea cero tras un número N de periodos T, y se mantenga así, con un tiempo mínimo de establecimiento, y sin rizado entre muestras.

E z( )R z( ) +

-G zD ( ) G z( )

C z( )U z( )

G z Zes

G sTs

p( ) ( )=−

⋅⎧⎨⎩

⎫⎬⎭

−1 Gp(s) de orden n


Se tratará de diseñar GD(z), para cumplir las especificaciones de error señaladas, e incluso una especificación sobre las constantes de error estático.

La función de transferencia en lazo cerrado será

F(z) deberá tener un tiempo de establecimiento finito y error en régimen permanente cero ante referencia de entrada impulso

)()(1)()(

)()()(

zGzGzGzG

zRzCzF

D

D

⋅+⋅

==

NN

NN

Tpasosnumfinitarespuesta

NN z

azazazazaazF ++⋅+⋅=⋅++⋅+==

−−− K4444 34444 21

K1

10

).(

110)( N n≥


Despejando

El controlador así diseñado habrá de cumplir tres condiciones:

Condición de Realización física.Condición de Estabilidad.Condición de Error en régimen permanente nuloCondición de Rizado Nulo entre muestras.

1. Condición de Realización Física

El controlador GD(z) ha de ser físicamente realizable.

))(1()()()(

zFzGzFzGD −⋅

=


a) Causalidad: grado num(GD(z)) grado den(GD(z)).

b) Si G(z) se expande en potencias de z-1, el término más significativo de F(z) en potencias de z-1 debe ser al menos tan grande como el de G(z), por ejemplo

2. Condición de Estabilidad.

Se deberá evitar la cancelación de polos inestables o críticos de G(z) , y ceros de GD(z),ya que no es exacta, y hay divergencias con el tiempo kT, dando lugar a inestabilidad

≤

0)()( 02

21

1021 ≡⇒+++=⇒++= −−−− azazaazFzzzG KK


Tampoco el controlador GD(z) no tendrá polos inestables o críticos que cancelen ceros de G(z) fuera del círculo unidad.

a) Para el primer caso suponiendo

polos inestables de G(z) serán incluidos como ceros en 1-F(z)

.

1 , )()( 1 ≥−

= ααzzGzG

α

α

−⋅+

−⋅

=

zGG

zG

GzF

D

D

1

1

1)(

11 )()(1

1)(1GGz

z

zzG

zGzF

DD

⋅+−−

=

−⋅+

=−α

α

α


b) Para el segundo caso suponiendo

los ceros externos al circulo unidad de G(z), persistirán como ceros de F(z).

3. Condición de Error Permanente Nulo.

El error permanente será cero tras un número finito de muestras N y así se mantendrá,

1 , )(

)(2

≥−

= ββzG

zzG

)(1)(

2

2

2

ββ

β

β

−⋅+−

⋅=−

⋅+

−⋅

=zGG

zG

GzG

GzG

zFD

D

D

D

finito ,0)(lim NkTeNTk

→→


A partir del esquema de control en lazo cerrado

En particular, se tendrá

Por tanto

E z R z C z R z F z( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ))= − = ⋅ −1

( )R z

P zz

q P z escalonq P z Tz rampa

q P zT

z z parabolica

q( )( )

( )

( ) &

( )

( ) &

=−

→= == =

= = +

⎧

⎨

⎪⎪

⎩

⎪⎪

− +−

− −1

0 11

22

1 11

21 2

E zP z F z

z q( )( ) ( ( ))( )

=⋅ −− − +

11 1 1


E(z) debe ser un polinomio en z-1, con un número finito de términos , esto es,

Por tanto, se elige 1 – F(z) según,

con N(z) tambien finito al igual que F(z). De esta manera

Por ello, el controlador GD(z) de Truxal-Ragazzini será,

E z b b z b zmN( ) = + ⋅ + + ⋅− −

0 11 K

1 1 1 1− = − ⋅− +F z z N zq( ) ( ) ( )

E z P z N z b b z b zNN( ) ( ) ( )= ⋅ = + + +− −

0 11 K

)()1()()()( 11 zNzzG

zFzG qD ⋅−⋅= +−


4. Condición de Rizado Nulo

Para que el rizado del error e(t) sea nulo entre muestras, se cumplirá para la salida c(t) que

, ante entrada escalón., ante entrada rampa., ante entrada parabólica.

Estas condiciones serán establecidas sobre la señal de control u(t), ya que la ausencia de rizado impone que u(t) sea constante para referencias r(t) escalón, rampa y aceleración.

c t NT cte( )> =cteNTtc => )(&cteNTtc => )(&&


En concreto se impondrán sobre la secuencia u(kT) ya que

y de esta manera aparecen condiciones sobre F(z).

Hay que notar que el diseño se vincula a la señal de referencia r(kT). Además, como el diseño no depende de T, se pueden producir efectos no lineales como saturación (T pequeño) e inestabilidad (T grande).

........)( )1(1

110 ++++⋅+= +−

+−− N

NN

N zbzbzbbzU

)()()(

)()(

)()(

)()()(

zGzRzF

zGzR

zRzC

zGzCzU ⋅=⋅==

Documents

CONTROL DIRECTO DE SISTEMAS EN T. DISCRETO de Clase (ppt... · Control de Sistemas en Tiempo Discreto en el Lugar de las Raíces zAl ser GH(z) una magnitud compleja se imponen 2 condiciones: