CONTROLABILIDAD Y OBSERVABILIDAD

5/11/2018 CONTROLABILIDAD Y OBSERVABILIDAD - slidepdf.com

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Universidad Nacional de Ingeniería

INGENIERIA DE CONTROL: MT221 2011Controlabilidad y Observabilidad

CONTROLABILIDAD Y OBSERVABILIDAD

Son conceptos que describen a la interacción entre el mundo externo (entradas y salidas) y las

variables internas del sistema (estados). La controlabilidad es la propiedad que indica si el

comportamiento de un sistema puede ser controlado por medio de sus entradas, mientras que

la observabilidad es la propiedad que indica si el comportamiento interno del sistema puede

detectarse en sus salidas.

CONTROLABILIDAD.-

Consideremos el sistema de n estados y p entradas

BuAxx.

, (6.1)

con las matrices constantesnxpnxn RByRA . Como la controlabilidad relaciona las

entradas y los estados del sistema, la ecuación de salida es irrelevante.

Definición 6.1 (Controlabilidad). La ecuación de estados (6.1), o el par (A, B), se dice con-

trolable si para cualquier estado inicialn

0 Rxx(0) y cualquier estado finaln

1 Rx ,

existe una entrada que transfiere el estado x de0

x a1

x en tiempo finito. En caso contrario,

la ecuación (6.1), o el par (A, B), se dice no controlable.

La controlabilidad tiene que ver con la posibilidad de llevar al sistema de cualquier estado

inicial al cualquier estado final en tiempo finito, no importando qué trayectoria se siga, o qué

entrada se use.

Teorema 6.1 (Test de Controlabilidad). Las siguientes afirmaciones son equivalentes:

1.-nxpnxn RB,RAB),(A,parEl , es controlable.

2.- La matriz de controlabilidad,

nxn1-n2 C B],A ... BA AB [BC R (6.2)

es de rango n (rango fila pleno).

3.-La matriz nxn

t

0

τ)-(tAττ)-A(t

t

0

τAτAτ dτeBBedτeBBeWc(t)ττ

(6.3)

es no singular para todo t > 0.





Ejemplo:

Sistemas no controlables

Veamos el sistema eléctrico de la izquierda en la figura. Es un sistema de primer orden;

variable de estado x: la tensión en el capacitor.

- Si el capacitor esta inicialmente descargado x(0) = 0 => x(t) = 0, para todo t 0

independientemente de la tensión u de entrada aplicada, debido a la simetría de red.

Este sistema es no controlable.

En el sistema de la derecha, éste tiene dos variables de estado, las tensiones en los dos

capacitores, 21 y xx . La entrada puede llevar 21 xox a cualquier valor, pero no puede

llevar 21 y xx a distintos valores. Por ejemplo, si )0(x(0)x 21 entonces (t)x(t)x 21

para todo 0t independiente de la tensión aplicada en u. Este sistema también es no

controlable.

Sistemas controlables

Sea la linealización de un péndulo invertido. La ecuación de estados lineal de un péndulo dado

es:

x0001y

u

2

0

1

0

x

0500

1000

0100

1010

x.

Calculamos la matriz de controlabilidad

01002

10020

0201

0010

B]A BA AB [BC32

Como la matriz tiene rango 4, por lo que éste sistema es controlable.





OBSERVABILIDAD.-

Consideramos el sistema lineal estacionario.

DuCxy

BuAxx.

qxpqxnnxpnxn

RD,RC,RB,RA (6.14)

Definición 6.2 (Observabilidad). La ecuación de estados (6.14), es observable si para cualquier

estado inicial x(0) (desconocido), existe un tiempo finito t1 tal que el conocimiento de la

entrada u y la salida y sobre el intervalo [0, t1] es suficiente para determinar en forma única el

estado inicial x(0). En caso contrario el sistema es no observable.

Teorema 6.5 (Test de Observabilidad). Las siguientes afirmaciones son equivalentes:

1.-qxnnxn RC,RAC),(A,parEl , es observable.

2.- La matriz de observabilidad,

,RO,

CA

...

CA

CA

C

Onqxn

1n

2(6.20)

es de rango n (rango columna pleno).

3.-La matriz nxn

t

0

)-A(tττ)-(tA

t

0

AτττA dτCeCedτCeCeWo(t) (6.21)

es no singular para todo t > 0.

Ejemplo:

Sistemas no observables

En el circuito de la izquierda en la Figura 6.4, si la entrada es nula, la salida es idénticamente

nula para cualquier tensión en el capacitor, debido a la simetría de las resistencias. Sabemos

que la entrada y salida son ambas nulas, pera la tensión inicial en el capacitor (el estado)

puede no serlo y no podemos determinarla. Este sistema es no observable.





El circuito de la derecha en la figura 6.4 tiene dos variables de estado, la corriente por la

inductancia, x1, y la tensión en el capacitor x2. La entrada u es una fuente de corriente. Si u=0

y la tensión inicial en el capacitor es nula, x2(0)=0, la salida es nula independientemente de la

corriente en la inductancia, que no necesariamente es nula. El estado inicial x1(0) no puede ser

determinado del conocimiento de u e y, y el sistema es no observable.

Sistemas observables

Consideremos el sistema de segundo orden

x21y

u10

01x

11

01x.

Calculamos la matriz de observabilidad

23

21

CA

CO

Como la matriz tiene rango 2, por lo que éste sistema es observable.

EJEMPLO CON MATLAB:

1.- Considere el sistema definido por:

x3

x2

x1

11920y

u

1

0

0

x3

x2

x1

6116

100

010

x3

x2

x1

.

.

.

¿Es el sistema de estado completamente observable y completamente controlable?





SOLUCION:

El sistema es completamente controlable

El sistema es completamente observable

>>

A=[0 1 0; 0 0 1; 6 11 -6];

B=[0; 0 ; 1];

C=[20 9 11];

CC1=B;

CC2=A*B;

CC3=A^2*B;

CC=[CC1';CC2';CC3'];

CC=CC';

if(rank(CC)==3)

fprintf('El sistema es completamente controlable \n');

else

fprintf('El sistema no es completamente controlable \n');

end

G1=C;

G2=C*A;

G3=C*A^2;

G=[G1;G2;G3];

if(rank(G)==3)

fprintf('El sistema es completamente observable \n');

else

fprintf('El sistema no es completamente observable \n');

end

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