Controle ótimo em sistemas p-fuzzy

Chryslaine M. Pereira Centro de Matemática Cognição e Computação, CMCC, UFABC

09210-170, Santo André, SP E-mail: chrysnana@gmail.com

Rodney C. Bassanezi

Centro de Matemática Cognição e Computação, CMCC, UFABC 09210-170, Santo André, SP

E-mail: Rodney.@ime.unicamp.br

RESUMO

A modelagem matemática de fenômenos naturais, por meio de sistemas dinâmicos, pode estar sujeita a incertezas inerentes aos parâmetros das equações que descrevem tais fenômenos. Por exemplo, em problemas de dinâmica populacional nem sempre é possível saber exatamente a quantidade de indivíduos ou a capacidade suporte em uma determinada região. Também nem sempre é possível, por dificuldade técnica ou falta de informação, incorporar todas as leis necessárias para descrever o fenômeno estudado. Desta forma, a subjetividade é um importante fator que deve ser considerado na modelagem matemática.

Para fenômenos modelados por equações diferenciais, existem algumas alternativas de modelagem clássica que contemplam incertezas inerentes aos parâmetros e condições iniciais. Dentre as mais importantes se destacam as equações diferenciais estocásticas e a teoria de inclusões diferenciais. No caso em que as leis que regem os fenômenos não são bem conhecidas uma das principais alternativas são os sistemas baseados em regras fuzzy ou sistemas p-fuzzy. ([1], [2], [5] e [6])

Em muitas aplicações podemos estar interessados em interferir na dinâmica natural do fenômeno estudado para alcançar determinados objetivos. Quando a modelagem é feita por meio de equações diferenciais esta influência é estabelecida por meio da teoria de controle ótimo ([4]).

No entanto, o controle ótimo para modelagem por meio de sistemas p-fuzzy tem sido pouco estudado tanto do ponto de vista teórico quanto em aplicações. Assim, estudo de controle ótimo em sistemas p-fuzzy pode se tornar uma ferramenta importante na influência de trajetórias determinadas por leis parcialmente conhecidas. Neste trabalho vamos apresentar alguns resultados que temos obtido aplicando a teoria de controle ótimo em sistemas p-fuzzy. Modelos de controle ótimo, utilizando o Princípio do Máximo de Pontryagin, serão formulados e analisados, porém, a ênfase desta pesquisa será a utilização de modelos alternativos, provenientes da teoria fuzzy. Aplicaremos os resultados teóricos em alguns modelos baseados em regras fuzzy com crescimento inibido e modelos de dinâmica populacional ([3]). Os resultados obtidos serão aplicados, em particular, para minimizar o funcional não linear

∫ +=

T

dtbuaxuxJ0

22 )(),(

no qual )(tu é o controle e )(tx é a variável de estado cuja dinâmica é definida pela equação

diferencial

xtuxftx )()()(' −=

sendo a função )(xf dada por um sistema baseado em regras fuzzy. Finalmente, devemos

fazer uma análise comparativa entre os diversos modelos matemáticos de controle – determinístico e fuzzy. Algumas simulações numéricas serão apresentadas com o objetivo de ilustrar os resultados alcançados.

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ISSN 1984-8218

Palavras-chave: Controle ótimo, sistemas p-fuzzy, conjutos fuzzy.

Referências [1] L.C Barros e R. C. Bassanezi, Tópicos de Lógica Fuzzy e Biomatemática, Coleção IMECC,

Textos Didáticos 5, Campinas, 2006. [2] M. S. Cecconello, Sistemas dinâmicos em espaços métricos fuzzy-Aplicações em

Biomatemática, Tese de Doutorado, IMECC-UNICAMP, 2010. [3] M. S Ceconello, R.C. Bassanezi e J.D.M, da Silva, Modelagem alternativa para dinâmica

populacional: Sistemas Dinâmicos Fuzzy, Pub. da SBMAC, Águas de Lindoia, 2010.

[4] B. D. Craven, Control and Optimization, Ed. Chapman & Hall, 1995.

[5] D. Dubois , H. Prade, S. Sessa, Recent Literature, Fuzzy Sets and Systems, 100(1998) 381-386.

[6] A.O. Soares, Modelagem alternativa em epidemiologia – Gripe Suína, dissertação de

Mestrado, CMCC(UFABC), 2010.

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ISSN 1984-8218