Controlli Automatici A - ce.unipr.it · 1 2. Analisi dei Sistemi Dinamici Lineari Controlli Automatici A – Prof. Aurelio Piazzi 5 aprile 2002 Controlli Automatici A Corsi di laurea

1

2. Analisi dei Sistemi Dinamici Lineari

Controlli Automatici A – Prof. Aurelio Piazzi 5 aprile 2002

Controlli Automatici A

Corsi di laurea triennali in Ingegneria Elettronica, Informatica, Telecomunicazioni

a.a. 2001/2002Docente: Prof. Aurelio Piazzi

Email: [email protected]://www.ce.unipr.it/people/piazzi/

2



2.1 Equazioni differenziali lineari2.2 Cenni di teoria delle funzioni impulsive2.3 Soluzione dell’equazione differenziale e

funzione di trasferimento2.4 Le relazioni fra le condizioni iniziali2.5 Le risposte canoniche2.6 I sistemi elementari del primo e secondo ordine2.7 I poli dominanti di un sistema dinamico

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2.1 Equazioni differenziali lineari

• Sistemi scalari rappresentati da eq. differenziali lineari a coefficienti costanti

ubDubuDbyaDyayDayDa mm

nn

nn 0101

11 ++=++++ −− ……

∑ ∑= =

=n

i

m

i

ii

ii uDbyDa

0 0

È un modello matematico formale del sistema dinamico (orientato) Σ, y = variabile d’uscita, u = variabile d’ingresso.

n = ordine dell’eq. diff., per estensione ordine di Σ, n ≥ m;

ρ := n – m ordine relativo o grado relativo di Σ.

4



• L’insieme dei Behaviours B B B B di Σ può essere quindi definito come:

B B B B := { (u(t),y(t)) : Σi=0n ai Di y = Σi=0

m bi Di u , u(t), y(t) funzioni reali definite su (-∞, +∞) }

• Proprietà: Il sistema Σ è lineare

Dim.: È immediata.

Siano (ui(t), yi(t)) ∈ B B B B , i = 1,2. Allora ∀ c1, c2 ∈ R segue:

( c1 u1(t) + c2 u2(t), c1 y1(t) + c2 y2(t) ) ∈ B B B B QED

5



• Il sistema Σ esprime un rapporto di causalità fra causa ed effetto. L’effetto, cioè l’uscita, viene usualmente determinata a partire dalla conoscenza dell’azione forzante:

{ segnale d’ingresso u(t) definito per t ≥ 0 }

e dalle condizioni iniziali espresse al tempo t = 0-

−−−−−−

−

−

)0(,),0(),0();0(,),0(),0(

1

1

yDDyyuDDuu

n

m

……

L’effetto determinato è il segnale d’uscita y(t) definito per t ≥ 0.

• L’istante t = 0 è in generale istante di discontinuità sia per l’ingresso che per l’uscità

6



• L’uscita y(t)|[0,+∞) potrebbe anche essere determinata dalla conoscenza dell’azione forzante u(t)|[0,+∞) e dalle condizioni iniziali specificate al tempo t = 0+ :

++++++

−

−

)0(,),0(),0();0(,),0(),0(

1

1

yDDyyuDDuu

n

m

……

• def. Evoluzione libera (o “moto” libero)

È l’uscita di Σ, indicata con yL(t) t ≥ 0 , corrispondente all’ingresso identicamente nullo ( u(t) = 0 ∀ t ≥ 0 ) e alle condizioni iniziali assegnate.

• def. Evoluzione forzata (o “moto” forzato)

È l’uscita di Σ, indicata con yF(t) t ≥ 0 , corrispondente all’azione forzante (ingresso assegnato u(t)|[0,+∞) ) ed a condizioni iniziali tutte nulle.

7



• Proprietà (scomposizione dell’uscita):

L’uscita di Σ y(t), con t ≥ 0 , è data dalla somma dell’evoluzione forzata con l’evoluzione libera:

),()()( tytyty LF += ),0[ +∞∈t

• Proprietà (della coppia azione-forzante evoluzione-forzata)

Data l’azione forzante u(t)|[0,+∞) sia yF(t)|[0,+∞) la corrispondente evoluzione forzata. Allora assumendo l’estensione u(t) = 0 e y(t) = 0 ∀ t < 0 vale

(u(t), yF(t)) ∈ B B B B

8



• Esempio: determinazione dell’uscita in un circuito RLC

Sistema orientato da u ad y: eq. diff. corrispondente

)()()()(2 tutytRCDytyLCD =++

Ordine = 2

Ordine relativo = 2

9



Problema: dato l’ingresso a gradino di figura u(t)

e le condizioni iniziali i(0-) = i0 e y(0-) = y0 determinare y(t) per t ≥ 0. [ si utilizzi il metodo della trasformata di Laplace]

• Discussione sulle condizioni iniziali:

Le c. i. associate all’eq. diff. sono y(0-), Dy(0-) (si noti che sono assenti le c. i. sulla u(t) perché m = 0 ):

Ci

CiDydi

Cty

t 0)0()0()(1)( =−=−⇒= ∫ ∞−ττ

10



si applichi la trasformata di L. all’eq. diff.:

[ ])(:)( tyLsY = [ ])(:)( tuLsU =

( ) ( ) )()()0()()0()0()(2 sUsYyssYRCDysysYsLC =++−++−+−

Sorge il problema: conosciamo le condizioni iniziali al tempo 0-quando sarebbero necessarie quelle al tempo 0+.

Soluzione: deduciamo le c. i. al tempo 0+ da quelle al tempo 0-.

Ragionamento fisico:a. Il segnale di corrente che attraversa una induttanza non può essere discontinuo …

CiDyDyii 0)0()0()0()0( =−=+⇒−=+

11



b. Il segnale di tensione ai capi di un condensatore non può essere discontinuo …

0)0()0( yyy =−=+

• Riprendendo l’eq. trasformata:

( ) ( ))0()0()0()()(12 RCyLCDysLCysUsYRCsLCs +++=++

11)()( 2

0002 ++

+++++

=RCsLCs

RCyLisLCyRCsLCssUsY

susU 0)( =

12



( ) 11)( 2

0002

0

+++++

++=

RCsLCsRCyLisLCy

RCsLCssusY

antirasformando si ottiene:

)()()( tytyty LF +=

( )

++++=

++

=

−

−

1)(

1)(

20001

201

RCsLCsRCyLisLCyLty

RCsLCssuLty

L

F

[ev. forzata + ev. libera]

13



• Problema: come risolvere il problema delle condizioni iniziali senza invocare principi esterni all’eq. diff. stessa? Oppure come risolvere direttamente l’eq. diff. a partire dalla conoscenza delle condizioni iniziali al tempo 0- ?

Una possibile soluzione a questi problemi consiste nell’attribuire significato all’eq. diff. al tempo t = 0. Questo richiede il concetto di derivata generalizzata … (relativo alla teoria delle distribuzioni o funzioni impulsive).

14



2.2 Cenni di teoria delle funzioni impulsive

• Def. Gradino unitario 1(t)

• Introduciamo f(t;τ) ∈ C0 :

≥<

=0100

:)(1tt

t

>

≤≤<

=

ττ

ττ

t

ttt

tf

1

0100

:);(

)(1);(lim 0 ttf =+→ ττ

15



≥

≤≤<

=

τ

ττ

τ

t

tt

tDf

0

0100

);(Il concetto usuale di limite non ammette l’esistenza di limτ→0+Df(t;τ) ciononostante:

);(lim:)( 0 τδ τ tDft +→=

(delta di Dirac)

δ(t) è una distribuzione, o più informalmente una funzione impulsiva

• Interpretazione di δ(t)

δ(t) è la derivata generalizzata del gradino unitario: δ(t) = D*1(t)

D* è l’operatore della derivata generalizzata: è un operatore lineare (come lo è D)

16



• Proprietà della delta di Dirac δ(t):

1. assumendo ta ≤ T ≤ tb :

∫ =−b

a

t

t

dtTt 1)(δ ∫ =−b

a

t

t

TfdtTttf )()()( δ

2. la trasformata di Laplace di δ(t) è 1 :

infatti

[ ] 1)( =tL δ

∫+∞

−− ==0

0 1)( sst edtetδ

• Introduciamo le derivate (generalizzate) di δ(t) :

D*i δ(t) ≡ derivata generalizzata di ordine i della delta di Dirac

δ(i)(t) := D*i δ(t)

17



• Costruzione di δ(1)(t) mediante limite di una funzione continua a tratti. Scegliamo f(t;τ) ∈ C1 :

>

≤≤−+−

≤≤<

=

τττ

ττ

τττ

21

21221

021

00

:);(2

2

22

t

ttt

ttt

tf

>

≤≤+−

≤≤<

=

τττ

ττ

τττ

20

221

0100

:);(2

2

t

tt

ttt

tDf

>

≤≤−

≤≤<

=

τττ

τ

τττ

20

21

0100

:);(2

22

t

t

tt

tfD

Osserviamo che:

);(lim)(1 0 ττ tft +→= );(lim)( 0 τδ τ tDft +→=

18



Infine: );(lim:)()( 20

*)1( τδδ τ tfDtDt +→==

• Questo metodo costruttivo si può estendere per ottenere δ(i)(t) …

19



• Derivate generalizzate del gradino unitario 1(t):

( )( )

)()(1.........

)()()(1)(1)()()(1)(1

)()(1

)1(*

)2()1(*2**3*

)1(***2*

*

ttD

ttDtDDtDttDtDDtD

ttD

nn −=

======

=

δ

δδδδ

δ

• Derivate generalizzate della funzione gradino f(t) = k 1(t)

20



( ) ( )( ) ( )

( ) )()(1.........

)()(1)(1)()(1)(1

)1(*

)1(2*2*

**

tktkD

tktkDtkDtktkDtkD

nn −=

====

δ

δδ

• Derivate generalizzate di una funzione discontinua:

f(t) ∈ Cn(R – {0}) ed esistono f(0+) ( =: f+ ) e f(0-) ( =: f- ) ed anche Di f(0+) ( =: Di f+ ) e Di f(0-) ( =: Di f- )

Si introduce g(t) ∈ C0(R) definita come

( )

≥−−<

=−+ 0)(

0)(:)(

tfftfttf

tg

Equivalentemente: ( ) )(1)(:)( tfftftg −+ −−=

21



Rappresentazione della funzione discontinua f(t) (relazione di ordine zero):

( ) )(1)()( tfftgtf −+ −+=

ovvero

f. discontinua = f. continua + f. a gradino

22



• Derivando in senso usuale Df(t) = Dg(t) ed in t = 0 possiamo attribuire, a Df(t) ovvero a Dg(t), un valore (finito) convenzionale, per esempio (Df+ + Df-)/2

Assunzione: La derivata generalizzata di una funzione continua sia la derivata usuale: )()(* tDgtgD =

• Applichiamo alla relazione di ordine zero l’operatore D*:

( )( ) )()()(

)(1)()()(*

***

tfftDgtfDtffDtgDtfD

δ−+

−+

−+=

−+=

( ) )()()(* tfftDftfD δ−+ −+=

f. derivata gen. di ordine 1 = f. discontinua + f. impulsiva (di ordine 0)

23



La funzione discontinua Df(t) può essere scomposta, come già visto, nella somma di una funzione continua ed una funzione a gradino …

( ) )()()(1)(:)( 011 RCtgtDfDftDftg ∈⇒−−= −+

segue: ( ) ( ) )()(1)()( 1* tfftDfDftgtfD δ−+−+ −+−+=

d. generalizzata di ordine 1 = f. continua + f. a gradino + f. impulsiva di ordine 0

Si voglia descrivere D*f(t) in un intorno infinitesimale di t = 0; questo significa valutare D*f(t) con t ∈ {0-, 0 , 0+}

( ) ( ) ( )( ) +−+−

−+−+−+−

−

=−+=+

−=−+−+=

=−

DfDfDfDffDffffDfDfDffD

DffD

)0(

)0()0()0(

)0(

*

*

*

δδ

In sintesi con t ∈ {0-, 0 , 0+} :

( ) ( ) )()(1)(* tfftDfDfDftfD δ−+−+− −+−+=

24



• Determinazione di D*2f(t):

Applicando la derivata generalizzata alla relazione che esprime D*f(t)

( ) ( ) )()()()( )1(1

2* tfftDfDftDgtfD δδ −+−+ −+−+=

Dalla definizione di g1(t) : Dg1(t) = D2f(t) ⇒

( ) ( ) )()()()( )1(22* tfftDfDftfDtfD δδ −+−+ −+−+=

( ) )()()(1)(:)( 02

2222 RCtgtfDfDtfDtg ∈⇒−−= −+

( ) ( ) ( ) )()()(1)()( )1(222

2* tfftDfDftfDfDtgtfD δδ −+−+−+ −+−+−+=

( ) ( ) ( ) )()()(1)( : }{0-,0,0con

)1(2222* tfftDfDftfDfDfDtfDt

δδ −+−+−+− −+−+−+=+∈

[ d. gen. di ord. 2 = f. cont. + f. a gradino + f. impul. di ord. 0 + f. impul. di ord. 1 ]

25



• Derivata generalizzata di ordine n di f(t):( ) ( ) )( )()()( )1(11* tfftfDfDtfDtfD nnnnn −

−+−−

+− −++−+= δδ

( ) )()( )(1)(:)( 0 RCtgtfDfDtfDtg nnnn

n ∈⇒−−= −+

( ) ( )( ) )(

)()(1)()()1(

11*

tfftfDfDtfDfDtgtfD

n

nnnnn

n

−−+

−−

+−

−+

−+

+−+−+=

δδ

[ d. gen. di ord. n = f. cont. + f. a gradino + f. impul. di ord. 0 + . . .

… + f. impul. di ord. n -1 ]

( ) ( )( ) )(

)()(1)(:}0,0,0{con

)1(

11*

tfftfDfDtfDfDfDtfD

t

n

nnnnnn

−−+

−−

+−

−+−

−+

+−+−+=+−∈

δδ

26



• Trasformata di Laplace della derivata generalizzata:[ ] [ ] [ ] [ ]

)()( )()()()()()()(*

−++

−+−+

−+−==−+=−+=

fffssFtLfftDfLtfftDfLtfDL δδ

[ ] )0()()( econclusionin * −−= fssFtfDL

[ ] ( )[ ] [ ] ( )[ ] )0()0()()(

)()()()(22*

***2*

−−−−=

−−=−== −−−

DfsfsFstfDLDffssFsDftfDsLtfDDLtfDL

Generalizzando (per induzione) i ∈ N

[ ] )0()()(1

0

1* −−= ∑−

=

−− fDssFstfDLi

j

jijii

27



2.3 Soluzione dell’equazione differenziale e funzione di trasferimentoIl modello matematico del sistema Σ

descritto dall’eq. diff.

∑ ∑= =

=n

i

m

i

ii

ii tuDbtyDa

0 0)()(

viene riscritto inserendo le derivate generalizzate:

∑ ∑= =

=n

i

m

i

ii

ii tuDbtyDa

0 0

** )()(

ed applichiamo la trasformata di Laplace …

28



[ ] [ ][ ] [ ]

[ ] [ ]

ji

j

jim

ii

m

i

ii

ji

j

jin

ii

n

i

ii

i

j

jijin

i

m

ii

i

j

jijii

n

i

m

i

ii

ii

n

i

m

i

ii

ii

suDbsUsbsyDasYsa

sUbuDssUsbsYayDssYsa

sUbtuDLbsYatyDLa

tuDLbtyDLa

tysYtuLsU

)( )(

)()()()(

)()()()(

)()(

)(:)( , )(:)(

1

0

1

10

1

0

1

10

0

1

0

1

1 10

1

0

1

01 1

*0

*

0 0

**

∑∑∑∑∑∑

∑∑ ∑∑

∑ ∑

∑ ∑

−

=−

−−

==

−

=−

−−

==

−

=−

−−

= =

−

=−

−−

= =

= =

−

=−

+

−=+

−

+=+

=

==

∑

∑∑∑∑

∑

∑

=

−

=−

−−

=

−

=−

−−

=

=

=

−+= n

i

ii

ji

j

jii

m

i

ji

j

jii

n

in

i

ii

m

i

ii

sa

suDbsyDasU

sa

sbsY

0

1

0

1

1

1

0

1

1

0

0

)()(

29



Quindi:

[ ] [ ]

libera) evoluzionedell' (trasf.

)(

forzata) evoluzionedell' ta(trasforma )()(

)()()(

0

1

0

1

1

1

0

1

1

0

0

∑

∑∑∑∑

∑

∑

=

−

=−

−−

=

−

=−

−−

=

=

=

−=

=

+=

n

i

ii

ji

j

jii

m

i

ji

j

jii

n

iL

n

i

ii

m

i

ii

F

LF

sa

suDbsyDasY

sUsa

sbsY

tyLtyLsY

30



• Def. (Funzione di trasferimento di Σ)

Si definisce f.d.t. del sistema dinamico la funzione di variabile complessa

==

∑

∑

=

=

)()(: :)(

0

0

sasb

sa

sbsG n

i

ii

m

i

ii

per la quale è valida la relazione [ ] [ ])()()( tuLsGtyL F =

É un modello matematico alternativoall’eq. diff.; se le condizioni inizialisono tutte nulle (sistema in quieteall’istante t = 0- ):

)()()( sUsGsY =

31



• Def. : Un sistema Σ si dice (strettamente) proprio se la sua funzione di trasferimento è (strettamente) propria.Quindi:

Se n ≥ m (ρ ≥ 0) ↔ Σ proprio; se n > m (ρ ≥ 1) ↔ Σ strettamente proprio.

• Def. (guadagno statico di Σ)

É il rapporto fra il valore costante dell’uscita e il valore costante dell’ingresso ( ≠ 0 ) quando Σ è all’equilibrio:

K:= (ycostante)/(ucostante)

Dall’eq. diff. si deduce G(0)K quindi e :0

0 ==abK

32



• Def. (zeri di Σ)

Sono i valori complessi z ∈ C che annullano la f.d.t. : G(z)=0 .

• Def. (poli di Σ)

Sono le singolarità della funzione di trasferimento G(s).

Normalmente i poli sono le radici di a(s) = 0 ma …

}3,3,2{ } di poli {}4{ } di zeri {

)3)(2)(1(45)( 2

2

−−−=Σ−=Σ

+++++=sss

sssG

33



• Def. (modi del sistema dinamico Σ )

Sono le funzioni “tipiche” associate ai poli di Σ secondo la regola:

se p è un polo reale di molteplicità h :pthptpt ettee 1 , , , −

Se σ ± ω è una coppia di poli complessi coniugati di molteplicità h :)(sen, ),(sen ),(sen 1

2

1

hthtt tetttete ϕωϕωϕω σσσ +++ −

{ } { })2(sen ),2(sen ,,,, di modi]4)1)[(5()4(

)72)(1()(

1154244

223

2

ϕϕ ++=Σ++++

+++=

−−−−−− tteteeetteesssssssG

tttttt

Esempio:

34



• Proprietà (evoluzione libera e modi di Σ )

Sia Σ un sistema la cui f.d.t. non ammetta cancellazioni poli-zeri ( a(s) e b(s) sono coprimi fra loro). Allora l’evoluzione libera è una combinazione lineare dei suoi modi.

Dim.

[ ] c.i. dalle dipende 1-n grado di polinomio )( )()()( ≤≡= scsascsyL L

I modi di Σ sono associati alle radici di a(s) = 0 [perché a(s) e b(s) sono coprimi]. Quindi dallo sviluppo in fratti semplici segue la tesi … QED

35



• Non tutti i sistemi dinamici lineari e stazionari sono caratterizzati da f.d.t. razionali.Esempio: ritardo finito. Se u(t) è il segnale all’ingresso, il segnale all’uscita è y(t) = u(t-t0) dove t0 è il tempo di ritardo.

[ ] [ ] [ ] stst esGetuLttuLtyL 00 )( )()()( 0−− =⇒=−=

In generale, i sistemi dinamici lineari e stazionari retti da eq. diff. alle derivate parziali hanno f.d.t. trascendenti (non razionali).

36



2.4 Le relazioni fra le condizioni iniziali• Un problema generale associato all’eq. diff. di Σ è l’individuazione delle relazioni che legano le c.i. al tempo 0- alle c.i. al tempo 0+.

Specificatamente, il problema può essere posto come: Date le condizioni iniziali al tempo 0-

−−−−−−

−

−

)0(, ),0(),0()0(, ),0(),0(

1

1

yDDyyuDDuu

n

m

……

e le condizioni iniziali dell’azione forzante{ })0(, ),0(),0( 1 +++ − uDDuu m…

determinare le c.i. sull’uscita al tempo 0+

{ })0(, ),0(),0( 1 +++ − yDDyy m…

37



La soluzione a questo problema completa lo studio della discontinuità di u(t) e y(t) al tempo zero e permette la comprensione dei legami di continuità dei segnali fra causa ed effetto. Possibile soluzione (inopportuna): da Y(s) si calcola y(t) mediante antitrasformazione di L. e quindi

1,,1,0 ),(lim)0( 0 −==+ +→ nityDyD it

i …

Si desidera un approccio che eviti il calcolo completo di y(t)|[0,+∝)

• Si applichi la t. di Laplace all’eq. diff. con le derivate “normali”:

∑

∑∑∑∑

∑

∑

=

−

=+

−−

=

−

=+

−−

=

=

=

−+= n

i

ii

ji

j

jii

m

i

ji

j

jii

n

in

i

ii

m

i

ii

sa

suDbsyDasU

sa

sbsY

0

1

0

1

1

1

0

1

1

0

0

)()(

38



Evidentemente le due espressioni di Y(s) dedotte debbono coincidere per ogni u(t) e per ogni insieme di c.i. Deve quindi valere l’identità:

ji

j

jii

m

i

ji

j

jii

n

i

ji

j

jii

m

i

ji

j

jii

n

isuDbsyDasuDbsyDa

1

0

1

1

1

0

1

1

1

0

1

1

1

0

1

1∑∑∑∑∑∑∑∑−

=+

−−

=

−

=+

−−

=

−

=−

−−

=

−

=−

−−

=

−=−

Da questa identità si possono ricavare le relazioni algebriche che legano le condizioni al tempo 0+ a quelle al tempo 0- (si ricorda che n ≥ m e ρ := n – m èl’ordine relativo (o grado relativo) di Σ.

• Proprietà (relazioni fra le condizioni iniziali)

−

−−

=

−

−−

===

−−

+−

−+

−+

−

−

−−

+−

−+

++

−+

−++

+

−

−−

+−

−+−+

uDuD

DuDuuu

bbbbbb

bbb

yDyD

yDyDyDyD

aaaaaa

aaa

yDyDDyDyyy

mmmm

m

mm

m

nnnn

n

nn

n

11121

2

1

11

11

121

2

1

11

0

00

0

00 , , , …

ρρ

ρρ

ρρ

ρ

ρρ

39



• Conseguentemente le c.i al tempo 0+ si possono determinare risolvendo il sistema:

−

−−

+

+

=

−−

+−

−+

−+

−

−

−−

−+

−

−++

+

−

+−

++

+

−++

+

−

uDuD

DuDuuu

bbbbbb

bbb

yD

yDyD

aaaaaa

aaa

yD

yDyD

aaaaaa

aaa

mmmm

m

mm

m

nnn

n

nn

n

nnn

n

nn

n

11121

2

1

1

1

121

2

1

1

1

121

2

1

0

00

0

00

0

00ρ

ρ

ρρ

ρ

ρ

ρ

ρρ

ρ

Da questa equazione matriciale si possono ricavare facili relazioni ricorsive …

40



• Considerato che l’istante t = 0 è un istante convenzionale per Σ e che u(t) è una funzione continua a tratti segue che y(t) ∈ Cρ-1.

Più in generale vale (con C-1 si denota l’insieme delle funzioni continue a tratti)

• Proprietà (continuità ingresso uscita)

Sia (u(t), y(t)) ∈ B e p ∈ Z con p ≥ −1. Allorapp CtyCtu +∈⇔∈ ρ)( )(

Dim. : (cenno) Per p = 0 occorre provare che ρCtyCtu ∈⇔∈ )( )( 0

Dalle relazioni fra c.i. abbiamo ( an≠ 0) ( ) ( )−+−+ −=− uubyDyDa mnρρ

QED ... ecc , viceversae segue da Quindi −+−+ == yDyDuu ρρ

41



Esempio: studio delle condizioni iniziali per l’eq. diff. (associata al circuito RLC già introdotta)

uyRCDyyLCD =++2

eq.l' integrare"" senza e edeterminar vuoleSi).(1)( è forzante azionel' ,/ e sono -0 tempoal c.i. le 000

++

−− ===Dyy

tutuCiDyyy

Soluzione: u(t) è funzione continua a tratti quindi y(t) ∈Cρ-1 = C1 ( ρ = 2), quindi y(t) e Dy(t) sono entrambe continue: CiDyDyyyy / e 00 ==== −+−+

Ragionamento alternativo: si riscrive l’eq. diff. interpretata con le derivate generalizzate

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) utyyaDyatyyatDyDyayDa

tyytDyDyyDyDtyyDyyD=−++−+−+

−+−+=−+=

−+−+−+

−+−+−+

)()()(

)()( e )(

11)1(

222

2

)1(22**

δδδδδδ

Quest’ultima eq. è valida per ogni t, in particolare per t = 0 …

42



2.5 Le risposte canoniche• Proprietà (della coppia azione-forzante evoluzione forzata)

Sia (u(t),y(t)) ∈ B con u(t) = 0 ed y(t) = 0 per t < 0. Segue

( )( ) B )(),( 3.

B )(),( 2.

B )(,)( .1

**

00

∈

∈

∈

∫∫

tyDtuDtyDtuD

dydutt

ττττ

Dim. : Evidentemente (u(t),y(t)) ∈ B se e solo se Y(s) = G(s) U(s) .

1. segue ))() )(1)()(1

00

=

⇔= ∫∫

tt

du(τLsGdy(LsUs

sGsYs

τττ

( ) ( ) [ ] [ ] 2. segue )()()( )()()( ** tuDLsGtyDLssUsGssY =⇔=

43



Per provare la 3. si usa un altro approccio:

∑ ∑= =

=n

i

m

i

ii

ii tuDbtyDa

0 0)()(

applicando l’operatore derivata (normale):

QED 3. segue )()(00

tDuDbtDyDam

i

ii

n

i

ii

=

∑∑==

• Segnali tipici per l’ingresso di Σ:

δ(t) impulso unitario (delta di Dirac) L[δ(t)] = 1

1(t) gradino unitario L[1(t)] = 1/s

t 1(t) rampa unitaria L[t 1(t)] = 1/s2

(1/2) t2 1(t) parabola unitaria L[(1/2) t2 1(t) ] = 1/s3

44



• Def. Risposta canonica

É l’evoluzione forzata di Σ in risposta ad un segnale tipico all’ingresso

Le risposte canoniche usualmente adottate sono:

g(t) ≡ risposta all’impulso δ(t) o risposta impulsiva

gs(t) ≡ risposta al gradino 1(t) o risposta indiciale

si noti che g(t) = gs(t) = 0 per t < 0

[ ]

=

=

−

−

)(1)(

)()(

1

1

sGs

Ltg

sGLtg

s

45



• Proprietà:

( ))()( propri testrettamen sistemi iper )()(

)()(

*0

tDgtgtgDtg

tgdg

s

s

s

t

==

=∫ ττ

Dim.

( ) ).()( segue )(, )(),(000

tgdgBdgδ(τ)dτBtgt s

ttt

=∈

⇒∈ ∫∫∫ ττττδ

( ) ( ) ).( segue )(),(1 )(),(1 *** tgDg(t)BtgDtDBtgt sss =∈⇒∈

QED ).()( quindi continua, funzione una è )( , 1 Se * tDgtgDtg sss =≥ρ

46



• Le risposte canoniche sono m.m alternativi all’eq. diff. o alla funzione di trasferimento. Infatti permettono la determinazione dell’ev. forzata nota l’azione forzante.

• Proprietà (integrali di Duhamel)

Nota la risposta all’impulso g(t) , l’evoluzione forzata y(t)|[0,+∝) in risposta all’azione forzante u(t)|[0,+∝) è determinabile mediante gli integrali di D.:

τττ

τττ

dtugty

dtguty

t

t

)()()(

)()()(

0

0

−=

−=

∫

∫

47



Dim.: si può assumere u(t) = 0 per t < 0, si applica il teorema di convoluzione…

QED D. di int. gli seguono quindi e

)()()(

)()()(

)()()(

0

0

−=

−=

=

∫

∫∞+

∞+

τττ

τττ

dtugty

dtguty

sUsGsY

• Proprietà (integrali di Vaschy)Nota la risposta al gradino gs(t) , l’evoluzione forzata y(t)|[0,+∝) in risposta all’azione forzante u(t)|[0,+∝) è determinabile mediante gli integrali di V.:

)()0()()()(

)()0()()()(

0

0

tgudtugty

tgudtguty

s

t

s

ss

t

++−′=

++−′=

∫

∫

τττ

τττ

48



Dim. : … ancora u(t) = 0 per t < 0.

[ ][ ] [ ]

( )

( )

QED

)()0()()(

)()()0()(

: neconvoluzio di teoremail applicando0)0( perchè )()0()()()(

)()(1

)( )(1)(

0

0

*

−++−′=

−++′=

=−++′==

=

=

∫

∫∞+

∞+

ττδττ

τττδτ

δ

dtutugy(t)

dtguuy(t)

ututuLtuDLssU

tgLsGs

ssUsGs

sY

s

s

s

49



2.6 I sistemi elementari del primo e secondo ordine• Sistemi del primo ordine (strettamente propri)

{ } { }

=Σ

−=Σ

∈≡+

=

− t1

di modi 1 di poli

R) ( tempodi costante

1) ad tonormalizza statico (guadagno 1

1)(

τ

τ

τττ

e

ssG

50



* determinazione di gs(t) (risposta al gradino unitario)

regime. di valoredel (99,3%) 95% il raggiungey uscital' )(5 3Per t

0 , 11 1

1)( /1

τττ

τ

=

≥−=

⋅+

= −− tess

Ltg ts

51



• Parametri della risposta al gradinoSpesso la risposta al gradino unitario di un sistema dinamico generico ha l’andamento di figura dove si evidenziano “parametri” caratteristici:

52



{ } T 05,0)( :RT min :T

toassestamen di tempoTazionesovraelong massima di istante T

salita di tempoTritardo di tempoT

regime) di valoredel %(in azionesovraelong massima

a

a

≥∀≤−∈=

≡≡≡≡≡

+ tyyty

S

regimeregime

m

s

r

• Sistemi del secondo ordine (senza zeri)caratterizzati dalla funzione di trasferimento G(s) così parametrizzata:

)1,0( o,smorzament di tecoefficien naturale, pulsazione

1)0( , 2

)( 22

2

∈≡∈≡

=++

=

+

δω

ωδωω

R

Gss

sG

n

nn

n

53



{ } { }{ } ( ){ } 1sen )( di modi

1 )( di poli

12

2

ϕδω

δωδωδω +−=

−±−=−

nt

nn

nesG

jsG

* Determinazione della risposta al gradino unitario

( )

−=−==

−=−=

+−=

++

= −−

δδδδϕ

δδωω

ϕωωδω

ω δω

22

2

2

22

21

1arctg1arcsen )arcos( :

11: 1:

sen1)2(

)(

A

tAesss

Lty

n

t

nn

n n

54



( )

tn

t

n

n

nn

nn teess

Lty

ttty

ωω ωω

ω

δ

ωπωδ

−−− −−=

−

=

+∞==

−=

+−=⇒=

1)(

)(

calcoli i rifacendo ma )! (A precedente eespressionl' utilizzare possonon 1per

cos12

sen1)( 0per

:limiteSituazioni

2

21

55



* Calcolo della massima sovraelongazione S

( ) ( )( ) ( )

( )

…

…

…

,2,1,0 1

,2,1,0 , 1tg

cos 1sen

0cos sen0)(

2

2

2

=−

=

==⇔−=+

+−=+

=+−+

=−−

nnt

nntt

tt

tAeteAtDy

n

ttn

nn

δωπ

πωδδϕω

ϕωδϕωδ

ϕωωϕωδω δωδω

( )

( ) 22

22maxmin,

1)1(sen 1arcsen che dato

sen 1

exp 1

11)(

δϕπδϕ

ϕπδπδ

δ

−−=+⇒−=

=+

−−

−−=

nn

nnty

56



{ } …,2,1,0 1

dove exp )1(1)(

1exp )1(1)(

2maxmin,

2maxmin,

=−

=−−−=

−−−−=

nnttty

nty

n

nn

n

δωπδω

δπδ

57



( )11001

exp 1

max

2max

−=

−−+=

yS

yδ

δπ

−−=

21exp 100

δδπS

58



* Calcolo del tempo di assestamento Ta

un limite superiore (upper bound) può essere determinato risolvendo l’eq. :

305,0ln 05,0 −≅=−=−an

T Te an δωδω

naT δω

3≅

* Tempo di salita Ts

nsT ω

8,1≈ É una relazione approssimata dedotta interpolando datinumerici

59



• Specifiche tipiche sulla risposta al gradinoUn sistema di controllo abbia fra l’ingresso di riferimento r (set-point) e l’uscita controllata y una f.d.t. G(s) del secondo ordine con la seguente struttura:

)1,0( ,0 , 2

)( 22

2

∈>++

= δωωδω

ωn

nn

n

sssG

Tipicamente si richiede che

a) S ≤ Slim

b) Ta ≤ Ta,lim

dove Slim (sovraelongazione massima) e Ta,lim (tempo di assestamento massimo) sono specifiche assegnate dal progettista sul sistema di controllo.

60



{ } { } { }

{ } { }

)(

3 ; )(

arcos , 1

exp 100 ;

:presentate relazioni dalle

limlim,limlim,

limlim2lim

limlimlimlimlim

nannaa TTT

SSS

δωδωδω

δϕδπδϕϕδδ

=≥⇔≤

=

−−=≤⇔≥⇔≤

* Interpretazione geometrica delle condizioni S ≤ Slim e Ta ≤ Ta,lim : le specifiche sono soddisfatte se e solo se i poli complessi coniugati appartengono al settore evidenziato

61



2.7 I poli dominanti di un sistema dinamicoSistema Σ generico con f.d.t. G(s) = b(s)/a(s), n poli ed m zeri, con tutti i poli a parte reale (strettamente) negativa (tutti i modiconvergono a zero per t → +∞)

• Poli dominanti (prima definizione)

É la coppia di poli più vicina all’asse immaginario.Esempi:

62



Proprietà qualitativa: La risposta al gradino unitario dipende approssimativamente dai soli poli dominanti di Σ.… la dinamica “transiente” è “dominata” dall’influenza dei poli dominanti …

Conseguenza: se i poli dominanti sono complessi coniugati i parametri della risposta S, Ta e Ts sono determinabili approssimativamente dalle relazioni presentate in §2.6.

* Esempio di un caso critico (quasi cancellazione polo-zero)

63



• Poli dominanti (seconda definizione)

É la coppia di poli, non soggetta a quasi cancellazione polo-zero, piùvicina all’asse immaginario.

* Precisazioni:

1. Il concetto di poli dominantiporta ad una approssimazionedel comportamento transienteche può essere anche moltorozza …

2. Non è sempre possibileindividuare una “vera” coppia di poli dominanti.

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Controlli Automatici A - ce.unipr.it · 1 2. Analisi dei Sistemi Dinamici Lineari Controlli Automatici A – Prof. Aurelio Piazzi 5 aprile 2002 Controlli Automatici A Corsi di laurea