Conversión de la energía potencial en energía cinética y viceversa

Supongamos un cuerpo de masa m a una altura h. En esta posición inicial, el cuerpo tiene una

energía potencial inicial gravitatoria que viene dada por:

hgmEpi

Como el cuerpo se encuentra en reposo, no tiene energía cinética. Sin embargo, el cuerpo, a

medida que baja, va adquiriendo mayor velocidad, con lo que su energía cinética va en

aumento. Por el contrario, la energía potencial disminuye paulatinamente, ya que la altura a la

que se encuentra el cuerpo es cada vez menor.

De este modo, cuando el cuerpo llega al suelo, su energía cinética es máxima, mientras que su

energía potencial es igual a cero. La energía cinética del cuerpo en esta posición viene dada

por:

2

2

1mvEcf

En estas condiciones, si tenemos en cuenta las características del movimiento con el que el cuerpo

cae, llegamos a la siguiente conclusión:

cfpi Emvg

vmgmghE 2

2

2

1

2

Es decir, la energía cinética que tiene el cuerpo al llegar al suelo es igual a la energía potencial que

tenía dicho cuerpo en el instante inicial de su movimiento. O bien, dicho de otra forma, la energía

potencial se ha transformado completamente en energía cinética.

Supongamos ahora el caso contrario, es decir, desde el suelo vamos a lanzar el cuerpo hacia

arriba con una velocidad inicial v. En esta situación el cuerpo inicia su movimiento dotado de una

energía cinética que viene dada por:

2

2

1mvEci

Como el cuerpo se encuentra al nivel del suelo, no tiene energía potencial. Sin embargo, a medida

que el cuerpo sube, va disminuyendo su velocidad y, en consecuencia, va disminuyendo su energía

cinética. Por el contrario, a medida que el cuerpo gana altura, la energía potencial aumenta

progresivamente.

La ascensión del cuerpo continuará hasta que su velocidad llegue a ser nula, alcanzando entonces

el punto más alto de su trayectoria. En ese momento la energía cinética será nula y la energía

potencial será máxima.

En estas condiciones, al igual que en el caso anterior, el valor de la energía potencial que tiene el

cuerpo en el punto más alto es igual a la energía cinética que tenía dicho cuerpo en el instante

inicial de su movimiento. Es decir, la energía cinética se ha transformado completamente en

energía potencial.

pfci EE

Sistemas donde no se consideran

las fuerzas de rozamiento

Supongamos un cuerpo que desciende desde una cierta altura, h hasta llegar al nivel del suelo

despreciando el rozamiento del aire.

Estudiaremos la energía que tiene dicho cuerpo en un punto cualquiera, A, de su recorrido.

El cuerpo se encontrará a una determinada altura, hA, y, por lo tanto, tendrá una determinada

energía potencial:

ApA mghE

En dicho punto, el cuerpo tendrá también una velocidad, Va, y energía cinética:

2

2

1mvEcA

La energía mecánica total de dicho cuerpo viene dada por la suma sus energías cinética y

potencial:

En cada punto del recorrido del cuerpo, la energía cinética y la energía potencial van cambiando;

lo que se mantiene constante es la suma.

En estas condiciones, la velocidad que lleva el cuerpo se puede escribir en función de la altura y

de la aceleración de la gravedad, de la siguiente manera:

)(22

AA hhgV

En consecuencia, sustituyendo en la expresión de la energía total; resulta:

Es decir, la suma de las energías cinética y potencial del cuerpo en un punto cualquiera de su

recorrido es igual a la energía potencial que tiene dicho cuerpo al principio de este recorrido y, por

lo tanto( es igual a la energía cinética que tiene el cuerpo al final de dicho recorrido.

piAAmA EmghmghhhgmE )(22

1

De este modo, si se considera nulo el rozamiento, entonces se cumple el principio de

conservación de la energía mecánica, que se enuncia así:

La energía mecánica de un cuerpo en movimiento se mantiene constante en todos y cada

uno de los puntos de su recorrido.

Matemáticamente, este principio se expresa mediante esta ecuación

cinéticapotencialmecánica EEE (no consideramos rozamiento)

Si sobre el cuerpo actúan fuerzas aplicadas, el trabajo realizado por estas fuerzas produce una

variación de la energía cinética y potencial del cuerpo, cumpliéndose la relación:

pipfcicfEXTERNO EEEEW

donde WEXTERNO representa el trabajo realizado por las fuerzas aplicadas sobre el cuerpo y donde

Eci y Epi y Ecf y Epf, representan, respectivamente, las energías cinética y potencial del cuerpo,

antes y des­pués de la aplicación de las fuerzas.

140 m

.

A

B

C

Problema: Calcula la velocidad en B y C de una pelota de 200

g. de masa, sabiendo que B la pelota ha descendido 50 m.

Para empezar tenemos que comprender que la energía

mecánica en los puntos A, B y C es la misma, es decir…

CmecánicaBmecánicaAmecánica EEE ___

Entonces comenzamos por el punto más alto A

2

___2

1AAAcinéticaApotencialAm vmhgmEEE

Como en A , el cuerpo se deja caer no tiene velocidad en A y por lo tanto Energía cinética

smvA 0

Entonces

.27514081,92,0__ JhgmEE AApotencialAm

En el punto B tenemos la misma Energía Mecánica que en A y por lo tanto

JvmhgmEEE BBBcinéticaBpotencialBm 2752

1 2

___

Como se nos indica que ha descendido 50 m., la altura en B será…

.905014050 mhh AB

Y por lo tanto…

Jvvmhgm BBB 2752,02

19081,92,0

2

1 22

Despejamos la velocidad en B

s

mv

vv

B

entonces

B

entonces

B

4,312,0

6,1762752

6,1762752,02

12752,0

2

16,176 22

Para concluir calculamos la velocidad en C, donde la Energía Mecánica es la misma que en A y B.

JvmhgmEEE CCCcinéticaCpotencialCm 2752

1 2

___

Pero en este caso la altura en C es cero .0mhc y por lo tanto

JvmEE CCcinéticaCm 2752

1 2

__

Y por lo cual concluimos…

smvJvvm cCC 44,52

2,0

27522752,0

2

1

2

1 22

Problema: Un cuerpo de masa 15 kg. se sitúa en lo alto de un plano inclinado 35º sobre la horizontal.

La longitud del plano es 20 m.

¿Cuánto vale la energía potencial del cuerpo al estar en lo alto del plano?

¿Con qué velocidad llega el cuerpo al final del plano? ¿Cuánto vale su energía cinética

en ese instante?.

Cuando está a una altura de 1m. ¿Qué velocidad lleva?

20 m.

35°

1 m

.

A

B

C

En este problema sabemos la longitud de la

rampa y el ángulo que forma esta con la

horizontal, pero desconocemos la altura, y

por lo tanto tenemos que aplicar las razones

trigonométricas…

Aopuesto

op

opopuesto

hmc

sencc

senhipotenusa

catetosen

.5,11

º352020

º35

Tenemos la altura en A y podemos empezar el problema como el anterior…

CmecánicaBmecánicaAmecánica EEE ___

Entonces comenzamos por el punto más alto A

2

___2

1AAAcinéticaApotencialAm vmhgmEEE

Como en A , el cuerpo se deja caer no tiene velocidad en A y por lo tanto Energía cinética smvA 0

Entonces

.16925,1181,915__ JhgmEE AApotencialAm

Consideramos B el final del plano y por lo tanto con altura 0. .0mhB

smv

JvJvmEE

B

entonces

BBBcinéticaBm

1515

16922

1692152

11692

2

1 22

__

Planteamos

El problema nos pregunta que velocidad llevará cuando está a un metro de altura…

Jv

JvmhgmEEE

C

entonces

CCCcinéticaCpotencialCm

1692152

1181,915

16922

1

2

2

___

Despejamos la velocidad

s

mv

JvJv

c

CC

4,1415

14716922

1692152

1147169215

2

1181,915 22

Final

5 m

.

3,7

m.

16,5

0 m

.

A

B

C

Problema: Fijándote en la figura. Calcula la velocidad en el punto inicial para que la vagoneta pase

el looping con una velocidad mínima de 45 km/h. ¿Qué velocidad tendrá al final do recorrido?.

(masavagoneta=3700 kg.)

El planteamiento de este ejercicio es distinto a los anteriores, puesto que no conocemos la velocidad

en el punto a, que no puede ser cero. Eso sí, conocemos que tiene que pasar el looping a 45 km/h y

la altura del mismo, por lo tanto conocemos la Energía Mecánica en ese punto. Vamos a comenzar

por ahí. Primero todo al S.I.

sm

km

m

s

h

h

kmvB 5,12

.1

.1000

3600

145

Calculamos la energía mecánica en B.

2

___2

1BBBcinéticaBpotencialBm vmhgmEEE

JE Cm 8879635,1237002

15,1681,93700 2

_

Hemos obtenido la Energía Mecánica en B y por lo tanto…

CmecánicaBmecánicaAmecánica EEE ___

Ahora podemos calcular la velocidad en el punto A (inicio de recorrido)

Jv

JvmhgmEEE

A

entonces

AAAcinéticaApotencialAm

88796337002

1581,93700

8879632

1

2

2

___

La velocidad en A es…

.

54,193700

1814858879632

88796337002

1181485 2

smv

Jv

A

A

Y de la misma manera para el punto C (final del recorrido)

Jv

JvmhgmEEE

C

entonces

CCCcinéticaCpotencialCm

88796337002

17,381,93700

8879632

1

2

2

___

.

2,203700

1349908879632

88796337002

1134990 2

smv

Jv

C

C

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