TEMA – PROGRESIONES 3º E.S.O.

Profesor Juan Sanmartín – Matemáticas Curso 2012/2013

Fibonacci

SUCESIONES

Se llama sucesión a un conjunto de números dados ordenadamente de modo que se

puedan numerar: primero (a1), segundo (a2), tercero(a3), etc…

,...17,13,9,5,1

,...64,32,16,8,4,2

,...a,a,a,a

,...,27,9,31

4321

Los elementos de una sucesión se llaman términos y se suelen designar mediante una

letra con un subíndice a1. El subíndice de cada elemento indica el lugar que ocupa en la

sucesión: a1 , a2 , a3 , a4 , a5 , a6 , …. an

SUCESIONES

Término general de una sucesión

Se llama término general de una sucesión, a, y se representa como an, a la expresión

que representa un término cualquiera de esta.

50n220an

Hay sucesiones cuyo término general puede

expresarse mediante una fórmula, an =f(n),

en la cual, dando a n un cierto valor, se

obtiene el término correspondiente a la

posición que indica ese valor (ver tabla de la

izquierda).

20450220a

70350220a

120250220a

170150220a

4

3

2

1

EJEMPLOS SUCESIÓN A PARTIR DEL TÉRMINO GENERAL

...

53352a

35342a

21332a

11322a

5312a

32na

2

5

2

4

2

3

2

2

2

1

2n

...

12342)(515b

6232)(414b

2122)(313b

0012)(212b

0102)(111b

2n1nb

5

4

3

2

1

n

Para obtener cada uno de los términos, se sustituye la n por el valor correspondiente a

la posición del término, es decir, en a5 se sustituye n por 5

SUCESIONES

Sucesión recurrente

Las sucesiones cuyos términos se obtienen a partir de los anteriores se dice que

están dadas en forma recurrente.

,...13,8,5,3,2,1,1

Famosa Sucesión de Fibonacci, donde se obtiene cada término

de la suma de los dos anteriores y por lo tanto su expresión seria.

2n1nn fff

1223133 fffff

EJEMPLOS SUCESIÓN RECURRENTE

...

10122243112t3t2t3t2t

11381342t3t2t3t2t

4622312t3t2t3t2t

1341322t3t2t3t2t

t3t2t

4526166

3425155

2324144

1223133

2n1nn

En este tipo de sucesión, al comenzar recurriendo a los

anteriores debemos conocer de antemano dichos términos,

en este caso n-1 y n-2, es decir los dos anteriores.

11 t

22 t

EJEMPLOS SUCESIÓN RECURRENTE

...

11-0fffff

011fffff

101fffff

fff

3425155

2324144

1223133

2n1nn

En este tipo de sucesión, al comenzar recurriendo a los

anteriores debemos conocer de antemano dichos términos,

en este caso n-1 y n-2, es decir los dos anteriores.

0f1

1f2

SUCESIONES – PROGRESIÓN ARITMÉTICA

Una progresión aritmética es una sucesión en la que para pasar de un término al

siguiente se suma una cantidad fija y siempre la misma (positiva o negativa) a la que se

denomina diferencia d de la progresión

,...17,14,11,8,5,2

diferencia

3 3

El término general de una progresión aritmética, conociendo el primer término a1 y la

diferencia d, viene dado por la siguiente expresión:

d1naa 1n

Ya que para obtener el término an tenemos que sumarle (n-1) veces a a1 (primer

término) la diferencia d.

d1naa 1n

Ejemplo:

,...17,14,11,8,5,2

3 3

1a 3a 4a 5a 6a2a

Es decir, para obtener el término a6=17 debemos sumarle a a1=2 la diferencia +3 un

número de veces (n-1=6-1=5), es decir cinco veces.

17532

EJEMPLOS OBTENCIÓN TÉRMINO GENERAL DE UNA PROGRESIÓN ARITMÉTICA

Ejemplo 01 ,...22,17,12,7,2na

51n2a5d

2ad1naa n

1

1n

35n55n2a51n2a n

resolvemos

n

2235535na 5

ejemplo

n a

Obtenemos la siguiente expresión con la que podemos calcular cualquiera de los

términos de la sucesión

Ejemplo 02 ,...5,3,1,1,3,5,7,9 nb

21n9b2d

9bd1nbb n

1

1n

2n1122n9b21n9b n

resolvemos

n

314117211211b 7

ejemplo

n bn

Obtenemos la siguiente expresión con la que podemos calcular cualquiera de los

términos de la sucesión

Desde muy pequeño Gauss mostró su talento para los

números y para el lenguaje. Aprendió a leer solo, y sin que

nadie lo ayudara aprendió muy rápido la aritmética desde

muy pequeño.

En 1784 a los siete años de edad ingresó en la escuela

primaria de Brunswick donde daba clases un profesor

llamado Büttner. Se cuenta la anécdota de que a los dos

años de estar en la escuela durante la clase de Aritmética el

profesor propuso el problema de sumar los números de una

progresión aritmética.Gauss halló la respuesta correcta casi

inmediatamente diciendo «Ligget se'» (ya está). Al acabar la

hora se comprobaron las soluciones y se vio que la solución

de Gauss era correcta mientras muchas de las de sus

compañeros no.

ANÉCDOTA DE GAUSS

“…Tenía Gauss 10 años cuando un día en la escuela el profesor manda sumar los

cien primeros números naturales. El maestro quería unos minutos de tranquilidad…

pero transcurridos pocos segundos Gauss levanta la mano y dice tener la solución:

los cien primeros números naturales suman 5.050. Y efectivamente es así. ¿Cómo

lo hizo Gauss? Pues mentalmente se dio cuenta de que la suma del primer término

con el último, la del segundo con el penúltimo, etc., era constante:

1011011011011011011011011011012

12345...979899100

10099989796...4321

n

n

n

S

S

S

50502

1001011001012

nn SS

La suma de la sucesión de los cien números naturales con la misma sucesión

invertida da 101 cada término, es decir, sumaríamos 100 veces 101.

SUMA DE LOS TÉRMINOS DE UNA PROGRESIÓN ARITMÉTICA

nn-nn ,a,a,...,a,a,a,aaa 124321

Entonces obtenemos la siguiente expresión general para la suma de los términos

de una progresión aritmética.

nnn

nnnn

nnnnn

aaaaS

aaaaaaaS

aaaaaaaS

11

123421

123321

()()()()()()2

...

...

22 1

1

naaSnaaS n

nnn

Ejemplo 03: Calcula el término general de la siguiente sucesión, el término 7 y la suma

de los 12 primeros términos

,...220,200,180,160,140,120nc

201n801c20d

801cd1ncc n

1

1n

nn 201602020180c201n801c nn

300140160720160c7 n20160cn

Obtenemos el término general de la sucesión y con este obtenemos el término 7, es

decir b7.

2400

2

10360120

2

1010110

ccS

2

10

2

10110

1

ccS

nccS n

n

Para obtener la suma de los 10 primeros términos, sustituimos n en la fórmula de la

suma de los términos de una sucesión aritmética

No tenemos el término 10, por lo que lo tenemos que calcular…

3602001601020160c10

Entonces…

SUCESIONES – PROGRESIÓN GEOMÉTRICA

Una progresión geométrica es una sucesión en la que para pasar de un término al

siguiente se multiplica una cantidad fija y siempre la misma a la que se denomina razón

r de la progresión

243,81,27,9,3,1

razón

3x 3x

El término general de una progresión geométrica, conociendo el primer término a1 y la

razón r, viene dado por la siguiente expresión:

1-n1n raa

Ya que para obtener el término an tenemos que multiplicar el primer término a1 por la

razón r un numero de veces igual a n-1.

Ejemplo:

,...30000,3000,300,30,3

10x 10x

1a 3a 4a 5a2a

Es decir, para obtener el término a5=30000 debemos multiplicar a1=3 por la razón r=10

un número de veces (n-1=5-1=4), es decir cinco veces.

30000103103 415

1-n1n raa

EJEMPLOS OBTENCIÓN TÉRMINO GENERAL DE UNA PROGRESIÓN GEOMÉTRICA

Ejemplo 04 ,...96,48,24,12,6,3 na

1

n

111n 23a

2

3aaa

nn

rr

48232323a415

5

ejemplo1

n

an

Obtenemos la siguiente expresión con la que podemos calcular cualquiera de los

términos de la sucesión

EJEMPLOS OBTENCIÓN TÉRMINO GENERAL DE UNA PROGRESIÓN GEOMÉTRICA

Ejemplo 05

1

n

111n 5,080b

5,0

08bbb

nn

rr

5,25,0805,0805,080b516

6

ejemplo1

n

bn

Obtenemos la siguiente expresión con la que podemos calcular cualquiera de los

términos de la sucesión

5,2;5;10;20;40;80

5,0x 5,0x

Dividir entre 2 es igual

a multiplicar por 0,5

5,02

1

SUMA DE LOS TÉRMINOS DE UNA PROGRESIÓN ARITMÉTICA

La suma de una progresión geométrica es.

raaSrS

aaaaaaS

raaaaaarS

nnn

nnnn

nnnnn

1

12321

1232

...

...

nnnn aaaaaaS 12321 ...

raaaaaaa

rararararararS

nnnn

nnnn

12432

12321

...

...

Si multiplicamos dicha suma de la sucesión por r nos queda…

Ahora restamos ambas sucesiones…

Es por lo que, podemos deducir que la suma de los n primeros términos de una

progresión geométrica de razón r es:

nnnn aaaaaaS 12321 ...

11 1 ararSaraSrS nnnnn

1111.

11 111.

1 araarrarSararS nnn

raa

nn

nn

1

111 1

1111

r

raSraararS

n

nnn

n

Tras las anteriores operaciones obtenemos…

Ejemplo 06: Calcula el término general de la siguiente sucesión, el término 10 y la

suma de los 10 primeros términos

,...6250,1250,250,50,10,2ne

1

n

111n 52e

5

2eee

nn

rr

3906250525252e 9110

10

1

n

en

Obtenemos la siguiente expresión con la que podemos calcular cualquiera de los

términos de la sucesión

Para obtener la suma de los 10 primeros términos, sustituimos n en la fórmula de la

suma de los términos de una sucesión geométrica.

Entonces…

1

1

1

1 101

101

r

reS

r

reS

n

n

2441406

15

152

1

1 10101

10

r

reS

Ejemplo 07: Calcula el término general, el término 7 y la suma de los 10 primeros

términos de las siguiente sucesión geométrica: b1=2 ; r= 3

.

1

n

111n 32b

3

2bbb

nn

rr

39366323232b 9110

10

1

n

bn

Obtenemos la siguiente expresión con la que podemos calcular cualquiera de los

términos de la sucesión

Para obtener la suma de los 10 primeros términos, sustituimos n en la fórmula de la

suma de los términos de una sucesión geométrica.

Entonces…

1

1

1

1 101

101

r

rbS

r

rbS

n

n

59048

13

132

1

1 10101

10

r

rbS

Ejemplo 08: Halla el término general de una progresión aritmética sabiendo que a5=8 y

a11=17. ¿Qué lugar ocupa el término que vale 152?.

dc

d

10cd11171c

4cd15c8cd1ncc

1111

115

1n

2

3

6

9817410 ddd

dd 10174810d17c

4d8c

10dc17

4dc8

1

1

1

1

2682

348

2

31

481

cd

dc

2

312 ncn

13

22152

2

312152152

nncc nn

1011100n1n100

Un vez que obtenemos el término general de la sucesión aritmética, podemos

obtener la posición que ocupa el término 152.

FIN DE TEMA

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