1

Corpuscolo: punto materiale, soggetto a F=ma

Newton ipotizzo’ la natura corpuscolare della luce

ma l’idea fu abbandonata per le equazioni di Maxwell che dimostrarono che la luce consiste di onde.

Equazione delle onde:2

2

2 2

1 ff

c t

Onde: principio di sovrapposizione

interferenza

diffrazione

Dimostrazione della natura ondulatoria della luce: diffrazione

Corpuscoli e onde in Fisica Classica

Griffiths pag. 3772

Stesse leggi dalle

onde radio ai

gamma!

0 0

( ) ( )

0 0

Onda elettromagnetica che viaggia nel vuoto lungo l'asse x,

con vettore di propagazione k=(k,0,0), asse , asse

Re , Rei kx t i kx t

E z B y

E E e B B e

Onda e.m. piana con vettore d’onda (k,0,0) lungo x

z

x

Mandiamo l’onda contro uno schermo nero con una fenditura parallela a z, per

–a<y<a. Si osserva diffrazione di Fraunhofer. Dietro lo schermo l’onda devia.

0 0 0 0: 0, 0 . 0, . 0 0, 0Maxwell x xdivE divB k E k B E B

3

FromWikipedia

Numerical approximation of diffraction

pattern from a slit of width equal to

wavelength of an incident plane wave in

3D spectrum visualization

FromWikipedia

Numerical approximation of diffraction

pattern from a slit of width equal to five

times the wavelength of an incident plane

wave in 3D spectrum visualization

Sullo schermo a destra non si produce una figura netta, di larghezza

uguale alla fenditura, come accadebbe in ottica geometrica. La luce non e’

una raffica di punti materiali.

5

Interferenza con la luce: in certi punti le onde arrivano

in fase, il altri in opposizione di fase

6

Vettore

d’onda

x

y

Diffrazione di Fraunhofer

2

2

Intensita' E della lucesulloschermo

sin( )

kadI d

ka

( , , ) Re(0,0, ) asse z

al piano della figura;

asse y

vettore d'onda asse

ikx

x y zE E E E e

B

k x

x

Vettore

d’onda k

|k|=2 p/ l

a

-a

lastra

fotografica

Schermo con

fenditura

7

-4 -2 2 4

2

4

6

8

PlotSin 7 x

x

2

, List x, 4, 4 , PlotRange All

-4 -2 2 4

10

20

30

40

50

Allargando la fenditura si stringe lo schema di diffrazione

2

sin kadI d

ka

ka=2pa/l =3

ka=7

sin(3 )x

x

sin(7 )x

x

8

Allargando la fenditura si stringe lo schema di diffrazione.

Se l e’ trascurabile rispetto ad a, il vettore d’onda non e’ piu’

deflesso e valgono le Leggi dell’ottica geometrica.

2

sin kadI d

ka

9

La Fisica Classica spiega bene questi fenomeni:

Alla fenditura viene bloccata la parte dell’onda con |y|>a. Il campo elettrico non e’ piu’ lo stesso, ma diventa:

2 2 sin1 iqy qa

a y dq eq

p

-a ay

2 2a y

| | 0 se ,ikxe a y y a a

Onda in arrivo: ( , , ) Re(0,0, ) asse z

al piano della figura;

asse y

vettore d'onda asse

ikx

x y zE E E E e

B

k x

Onda alla fenditura: ( , , ) Re(0,0, ) | | asse zikx

x y zE E E E e a y

y

-a

a

x

10

Quindi e’ una

sovrapposizione di

componenti con vettori

d’onda k diversi)0,,( qkk

2 2 sin1 iqy qa

a y dq eq

p

Dietro lo schermo 2 2 sin1ikx ikx iqy

z

qaE E e a y E e dq e

q

p

( )sin1

( , ) i kx qy

z

qaE x y E dq e

qp

Onda alla fenditura: ( , , ) Re(0,0, ) | | asse zikx

x y zE E E E e a y

| | 0 se ,ikxe a y y a a

sin1( ) = componente di Fourier del campo

qaA q E

qp

11

( , ,0)k k q

tan( )q

k va ad un angolo

La componente

Ampiezza del campo:

( ) ( )

sin sin1 1( )

i kx qy

zE dq e A q

qa k aA q E E

q k

p p

k

qK+q

L’intensita’ della luce va col campo elettrico al quadrato:

2

sin kadI d

ka

Caso di una fenditura larga: ka grande, deflessione piccola

12

Lampada

lastra

fotografica

interferenza

Interferenza di onde e.m.: esperimento della doppia fenditura

Computational model of an interference

pattern from two-slit diffraction

14

Lord Kelvin pensava che la Fisica fosse finita:

Meccanica dei fenomeni quotidiani, del moto dei

fluidi (equazione di Navier-Stokes), del moto

browniano e del sistema solare-fenomeni elettrici e

magnetici- circuiti-ottica geometrica-diffrazione-

interferenza- termodinamica-teoria cinetica-…….

Ma ….

15

Joseph John Thomson scopre l’elettrone (1897)

misurando il rapporto e/m per i raggi catodici e per gli ioni H

L’elettricita’ non era un fluido continuo.......

Cheetham (Manchester) 1856-Cambridge 1940

16

Max Planck (1858-1947)

34 34

Costante di Planck

6.62619610 Js, = 1.054571726 102

hh Js

p

Nel 1900introdusse il quanto di luce dienergia E h

I quanti di Planck e il dualismo

17

Anno 1900: Legge di Planck del corpo nerou=densita’ spettrale di energia in equilibrio in una cavita’

l

l l

pl

l l

2 5 4

( , ) ( , )

8 1( , ) ( )

1B

hc

K T

u T d u T d con

c hc Jouleu T u

me

p

3 3

38 1( , )

1

Joule.( ),

,

B

h

K T

s

m

T

h

t

u Tc

empe

freque eratn a uraz

l

ll

l l

2

In terminidi lunghezzad'onda

1c periodo

c cdc d

costante di Boltzmann KB =1,380622 10-23 J

346.62619610 Jsh

I quanti con E>>KBT sono congelati, mentre gli oscillatori classici non lo sarebbero.

18

metallo

elettrometro scarico

Rosso (frequenza sotto soglia)

vuoto

Effetto fotoelettrico

Con luce di bassa frequenza (al di sotto di una soglia )l’elettrometro resta scarico

indipendentemente dall’intensita’ (a meno di prendere un laser di potenza)

19

metallo

elettrometro carico

Blu (frequenza sopra soglia)

vuoto

Effetto fotoelettrico

Con luce di alta frequenza (al di sopra di una soglia ) l’elettrometro si carica proporzionalmente alla intensita’

A. Einstein (1905): quantizzati anche emessione ed assorbimento di fotoni

E h

elettrometro scarico

soglia=lavoro di estrazione del metallo

Aspetti corpuscolari e ondulatori della luce

2

0

flusso del vettore di Poyntingsec*

Energia E BS

m

, densita' di energia densita' di momento.u

P u Pc

Per un’onda elettromagnetica classica (Griffiths Introduction to Electrodynamics pag.380)

Le equazioni di Maxwell descrivono correttamente la propagazione della

luce e predicono che diffranga e interferisca come un’onda.

20

vettore d'onda vettore di Poynting.k

21

Aspetti corpuscolari e ondulatori della luce

Per la Fisica Classica la luce viene assorbita su una lastra in modo continuo. Invece viene assorbita in pixel. Cio’ diventa piu’ evidente alle basse intensita’. Planck:la luce viaggia in quanti

A. Einstein (1905): la luce e’ anche emessa ed assorbita in quanti (fotoni)

2

0

flusso del vettore di Poyntingsec*

Energia E BS

m

, densita' di energia densita' di momento.u

P u Pc

Applichiamo le stesse regole per energia per un'onda da 1 quanto (fotone)

2 2energia= , dove ,

2

vettore d'onda,

momentodel fotone.

h h hu h p k k

c

k

p k

p p

l p l l

Cio’ non toglie che le equazioni di Maxwell descrivono correttamente la

propagazione della luce e predicono che diffranga e interferisca come

un’onda.

Per un’onda elettromagnetica classica (Griffiths Introduction to Electrodynamics pag.380)

Atomo

John Dalton per primo cercò di descrivere l’atomo nel 1803 basandosi sulla

conservazione della massa (Lavoisier) e sulla legge delle proporzioni definite di Proust. L’esistenza degli atomi

rimase a lungo una congettura. Il successo della teoria cinetica dei gas (distribuzione di Maxwell) contribui’ a

rafforzarla.

John Dalton, eaglesfield 1766-Manchester 1844

23

Atomo di Idrogeno

L’elettrone fu scoperto da J.J. Thomson nel 1897, il nucleo da Rutherford nel 1911.

Ernest RutherfordJoseph John Thomson

La stima della massa atomica dipendeva dal numero di Avogadro A=6*10^23, che fu ottenuto da Einstein nel 1905 nel lavoro sul moto browniano;si trova che un protone pesa 1,67 10^(-27) Kg.

24

La serie di Balmer, importante in in fisica e astronomia, e’ una sequenza di righe nel visibile dello spettro dell'atomo di idrogeno.

25

Formula di Balmer,

un'equazione empirica scoperta nel 1885 dal matematico svizzero Johann Balmerdescrive le lunghezze d’onda delle righe di emissione dell’Idrogeno.Ancora non si era scoperto l’elettrone ne’ il nucleo….

2

2

7 1

2

1,2,3...4

1 1 1( ), 1.0972 104

m m

m

m

m cB m

m

R R mm

l l

l

Poi fu scoperta la serie di Lyman (ultravioletta)

7 1

2 2

1 1 1Lyman ( ), 1.0972 10

1R R m

nl

2

2

1 1: Balmer ( ),

4

1Lyman (1 ), Rydberg 13.59

m

m

m

m

hcFrequenze h Ry

m

hch Ry Ry eV

m

l

l

26

Atomo classico= punti materiali a distanza R, orbita circolare

2 2

2

vm e

R R

8

0 0.5910 : Perche'?R a cm

Ma una carica accelerata irraggia onde e.m.

Quindi l’atomo non e’ stabile! Dovrebbe

irraggiare a frequenze crescenti e con

potenze crescenti.

2 22 2

3 3

0

Potenza irraggiata, formula classica di Larmor:

2 1 2erg/s ( ) Watt ( )

3 4 3

dE e dE eW a cgs W a SI

dt c dt cp

Mistero! Qualunque R va altrettanto

bene!

Joseph Larmor (1857-1942)

Per trovare la legge di Larmor, occorre calcolare i campi (di Lienard-Wichert) di una carica puntiforme e il vettore di Poynting. Ma si arriva subito all’ordine di grandezza con semplici considerazioni.

2 2 2

2

v,

2 2

2

e m eU T

R R

eE

R

2

2

22

2 2 2 2 3 4 3 3

dipende solo da , e' scalare proporzionale a

Si annulla se 0, non dipende dal segno di proporzionale a

Dimensioni nel sistema cgs : energia ,

( ) *( ) ( )

dove W e' una

dEW a a

dt

e e e

eE e EL

L

E L Le a EL LT EL T W

T T T

potenza.

2 2

22

3

Per avere una potenza, dobbiamo dividere per una velocita'alcubo

e possiamo usaresolo c :

e a

dE eW a

dt c

2 22 2

3 3

0

Potenza irraggiata, formula di Larmor:

2 1 2erg/s ( ) Watt ( )

3 4 3

dE e dE eW a cgs W a SI

dt c dt cp

L’argomento semplice predice la formula giusta tranne il fattore 2/3. 27

2 22

3 2

8

0

2 forza, sostituiamoci ,

3

dove 0.5910

dE e ea a

dt c m mR

R a cm

213

0 2

22

0

Introduciamo 2.810 cosiddetto raggio classico elettrone

che si ottiene ponendo mc (ipotesi che la massa sia di origine elettrostatica;

ma qui non facciamo questa ipotesi, e' solo una n

er cm

mc

e

r

3 3

0

4

otazione). Viene:

2raggio dell'orbita

3

r mcdEW R

dt R

22

3

22

3

0

Potenza irraggiata, formula di Larmor:

2erg / s (cgs)

3

1 2Watt ( ). Usiamo il cgs.

4 3

dE eW a

dt c

dE eW a SI

dt cp

6

4 2 3

2Viene:

3

dE eW

dt R m c

2 2

0

L'andamento di ( ) e'datoda :

4

3

R t

R R r c

2

2 2

00 2

2 2

0 0

2

L'energia elettrostatica classica dell'atomoe' ( ) ,2

cioe' dove .2

La sua derivata e' .2 2

Uguagliamo la derivata alla potenza irraggiata:

eE R

R

r mc eE r

R mc

r mc r mcdE d dR

dt dt R R dt

dEW

dt

2 3 3

0 0

2 4

2

2 3

r mc r mcdR

R dt R

3 3

0

4

8

0

2. Supponiamo che al tempo 0

3

0.5910 (stima del raggio dell'atomo di H).

Come varia R(t) mentre l'atomo irraggia?

r mcdEW

dt R

R a cm

29

2 2

0 0

4Dobbiamo risolvere con condizione iniziale (0) .

3R R r c R a

3 3

2 3 3 2

0

0

3

0

0

2

0

2

1 1 4Poiche' , risolviamo: .

3 3 3

Per , 0 .

4 .

4

Elettrone caduto sul nucleo!

R

d dR R R R r c

dt dt

at

r c

Rr

a t

tc

11Tempodi vita dell'atomo : 1.6 10 . Energia irraggiata= .

Invece l’atomo e’ stabile!

La Fisica classica non spiega l'atomo.

t s

30

Classicamente non si capisce come l’atomo sia stabile

11' : 1.6 10 .

Invece l’atomo e’ stabile!

Tempodi vita dell atomo t s

Classicamente non si capisce perche’ abbia dimensioni di 10-8 cm, energia caratteristica di 10 V, e nemmeno perche’ emetta righe ……..

Modello atomico di Bohr

Dopo la scoperta del nucleo quasi puntiforme

(Rutherford, 1913) Bohr propose un modello planetario

per l’atomo di H basato sulle equazioni classiche

22

2 2

2

22

2 2

1v

2

vForza centrifuga=forza centripe a v

1v

2

tZe

mr

ZeE m

r

Zem

Ze ZeE

r

r r

r m

Imponendo una quantizzazione del momento angolare con

n=1,2,3,…

.mvr n

32

2 2 2

22

2 2

2 2

2

v ,con

vForza centrifuga=forza centrip

Mettendo

eta

insieme

v

mvr n m r n

Zem

r r

Zem

r

2 2 22 2 2 2

2

2 2 4

2 2

1

2 2

n

n mn m n

n

Ze nm r n r

mr Ze m

Ze Z meE h E E

r n

Spiega la formula di Rydberg, ma niente altro .

33

L’esperimento che piu’ stupi’ e fece capire fu quello di Stern e

Gerlach

34

Esperimento di Stern e Gerlach (1922)

Gli atomi hanno correnti? sono calamite?

3535

p 2dove = momento magnetico, S= r area della spira,

n normale, i=corrente

iSnc

e = fattore giromagnetico

2mc

B

Introduciamo un campo esterno B=(0,0,B)

Energia del dipolo nel campo magnetico . cosE B B

Momenti magnetico e angolare in Fisica classica

p

pp

2

per 1 particella di carica e che gira,

ev evr e e = = r v=

2

carica

rc 2c 2

ev i= =

tem

c 2mc

po 2 r

r n n L

Spira percorsa da corrente i

= momento magnetico

3

La spira produce un campo B

B =r

A Ar

J=

3636

Energia del dipolo nel campo magnetico .E B

Un momento magnetico precede

intorno al campo, ma non puo’

modificare l’angolo per la

conservazione dell'energia.

Forza in un campo disomogeneo

( . ) .F E B B

B

37

Gli atomi di Ag hanno correnti? sono calamite?

Modello di Bohr per Ag Z=47

3838

Gli atomi di Ag sono calamite?

Fascio di atomi di Ag

lunghezza l

N

lastra fotografica

S

z

Fuoco

Vapore di Ag

campo non omogeneo

N

S

x

z

3939

Esperimento di Stern-Gerlach (1922)

Atomi di Ag in campo magnetico disomogeneo

Gli atomi venivano prodotti vaporizzando Ag metallico ed il fascio veniva collimato

N

S

x

z

4040

L

N

S

Se i dipoli magnetici fossero tutti in senso SN

2z

v B l

v z mv

z

B lm v F t F t

z v

z

F t B lv

m z mv

. li defletterebbe tutti da una parte.F B

4141

L

N

S

Se i dipoli magnetici fossero tutti in senso NS

2z

v B l

v z mv

. li defletterebbe tutti dall'altra parte.F B

4242

L

N

S

Se i dipoli magnetici fossero tutti paralleli al moto nessuno sarebbe deflesso

4343

L

N

S

Se i dipoli magnetici sono distribuiti stocasticamente

come e’ ragionevole aspettarsi classicamente

4444

Dall’allargamento del fascio si doveva trovare il momento magnetico.....

schema dell'apparato visto lungo una direzione a 90 gradi dal

fascio; il campo disomogeneo disperde un fascio di atomi di

Argento:

2

apertura angolare: 2z

B l

z mv

45

Stern e Gerlach avevano ragionato molto bene, ma dal punto di vista classico.

Ma il fascio si divide in due ugualmente intensi , uno col momento parallelo al

campo e l'altro antiparallelo.

vengono due fasci distinti polarizzati in spin! Uno spin e’ su o giu’!

Non e’ un miscuglio statistico,ma una sovrapposizione quantica.

L’analogia classica e’ con luce non polarizzata, che puo’ sempre essere

analizzata in polarizzazione destra e sinistra.

Birifrangenza: scomposizione della luce in due raggi

in materiali anisotropi in cui l’indice di rifrazione dipende dalla polarizzazione

Analogo dell’esperimento di Ster-Gerlach con fotoni ( che hanno spin 1)

Orientando il cristallo si puo’ fare in modo che la direzione privilegiata sia lungo x;

La luce polarizzata parallela a x viene deflessa diversamente da quella parallela a y

Un prisma di Wollaston

fatto con due prismi di

calcite manda diverse

polarizzazioni ad angoli

diversi Un fascio polarizzato e’ di nuovo scisso da un polarizzatore orientato

diversamente