32

CORRIGE TD n°6 Interféromètre de Michelson.

EXERCICE 1 : interféromètre de Michelson (franges d’égale épaisseur) Un interféromètre de Michelson est réglé pour donner des franges de coin d’air ; la différence de marche au centre du champ des miroirs est nulle. On opère sous incidence quasi normale, en lumière monochromatique de longueur d’onde dans le vide λ0 = 0,5893 µm et on dispose de deux lentilles convergentes L1 et L2 de même distance focale f’ = 0,20 m. On observe les franges du coin d’air par projection sur un écran E.

1. Faire un schéma. 2. L’écran E est placé à D = 1 m de la lentille L2. L’interfrange mesuré sur l’écran est : i

= 5 mm. Calculer l’angle α du coin d’air. On règle maintenant l’interféromètre de Michelson en lumière blanche.

3. Qu’observe-t-on sur l’écran ? On interpose sur un des trajets du faisceau lumineux (entre la séparatrice et un des miroirs) une lame d'indice n (le rayon lumineux est perpendiculaire aux faces de la lame) et d'épaisseur e.

4. Montrer qu'en déplaçant un des miroirs, on peut retrouver le phénomène initial. Pourquoi opère-t-on en lumière blanche ?

5. Montrer qu'ainsi on peut mesurer l'indice de la lame connaissant son épaisseur.

CORRECTION :

1. La lentille L1 permet d’obtenir un faisceau quasi parallèle en plaçant la source au voisinage du foyer objet. Les franges sont alors localisées sur le coin d’air dont on forme l’image, grâce à L2, sur l’écran (E).

33

Sur cette figure, seuls les rayons ou les portions de rayon nécessaires pour la compréhension du schéma ont été représentés. L’axe O1O’ a été orienté de façon à pouvoir utiliser la relation de conjugaison pour la lentille L2.

2. L’interfrange i est mesuré sur l’écran. Il est lié à l’interfrange i0 sur le coin par :

20

2 1

'/

O Oi i

O Oγ= =

Correspondant au grandissement transversal induit par (L2). Or on lit sur le schéma : 2 'O O D= . Par ailleurs 2 'O O et 2 1O O sont liés par la relation

de conjugaison (L2) : 2 2 1

1 1 1'' fO O O O

− = d’où l’on tire sans peine : 2 1'

'DfO O

D f=

−.

Puis : ( )0 / '/ ' 1, 25 mm.i i if D fγ= = − = Or pour le coin d’air, l’interfrange est donné par la formule classique 0 0 / 2i λ α= . On en déduit que ( ) ( ) 4

0 ' / 2 ' 2,36 10 rad 0,81 minute d'angle.D f ifα λ −= − = × =

3. On peut s’assurer que la différence de marche est nulle au centre de l’écran en éclairant le dispositif en lumière blanche : on doit voir apparaître au centre de l’écran la frange d’ordre zéro, achromatique, entouré de quelques franges de plus en plus irisées et de moins en moins contrastées.

Remarque : l’interfrange du coin d’air est inversement proportionnel à α. Quand on observe ce type de franges, on peut agir sur les vis d’orientation des miroirs pour augmenter l’interfrange (écarter les franges). On se rapproche alors du parallélisme entre M1 et M2’.

4. L’introduction de la lame d’épaisseur e introduit une différence de marche

supplémentaire que l’on peut compenser en modifiant la position du miroir M2. Si la lame a été ajoutée entre la lame séparatrice et le miroir M2, il va falloir rapprocher le miroir M2 de la séparatrice. Si au contraire, il a été placé entre le miroir M1 et la séparatrice, il va falloir éloigner le miroir M2. On observe le phénomène en lumière blanche car on ne peut donc observer que quelques franges sur l’écran, ce qui permet une mesure précise. La différence de marche supplémentaire introduite est ( )2 1s e nδ = − . On doit mettre le facteur 2 en raison de l’aller-retour. Et on a implicitement approximer l’indice de l’air à 1. En modifiant la position du miroir M2 de cette distance, on retrouve les franges d’interférences précédentes.

5. En repérant les positions du miroir M2 avant introduction de la lame et après

introduction de la lame une fois que l’on a retrouvé la figure d’interférences, on détermine la différence de marche supplémentaire introduit par la lame. Attention un déplacement x du miroir introduit une différence de marche supplémentaire de 2x en raison de l’aller retour. Soit ∆, le déplacement du miroir M2, on a alors / 1n e=∆ + .

EXERCICE 2 : Observation d’un doublet.

34

Un interféromètre de Michelson est éclairé par une source monochromatique λ0 (pulsation ω0) collimatée par la lentille L1 qui donne un faisceau parallèle. Ce faisceau, considéré comme étant une onde plane dont l’amplitude du champ électrique 0

0i tE e ω est divisé en

deux faisceaux identiques par une lame séparatrice d’épaisseur négligeable (appelé pellicule séparatrice).

La première partie du faisceau réfléchie par un miroir fixe M1 et après une nouvelle traversée de la pellicule se dirige vers la lentille L2 et le détecteur. La deuxième partie du faisceau est réfléchie par un miroir mobile M2 et après réflexion sur la pellicule vient interférer avec la première partie du faisceau. En x = 0, la différence de marche δ entre les deux faisceaux qui interfèrent est nulle.

1. Ecrire l’amplitude du champ électrique des deux faisceaux au niveau du détecteur. 2. Ecrire l’éclairement Ed vu par le détecteur en fonction du déplacement d du miroir

mobile M2. 3. Représenter graphiquement la variation de l’éclairement Ed en fonction de λ0. Sur

quelle distance doit-on déplacer le miroir mobile M2 pour que l’éclairement Ed passe d’un minimum à un autre ?

4. On remplace la source monochromatique par une source émettant deux longueurs d’onde proches λ1 et λ2 (∆λ = λ1−λ2, λ1≈λ2≈λ0 et ∆λ<< λ0) et de même amplitude. Donner la nouvelle expression de l’éclairement Ed en fonction de λ0, ∆λ et de d. Représenter schématiquement cette variation et déterminer ∆λ ou ∆υ.

5. Cette source est un laser He-Ne émettant sur deux modes séparés de ∆υ au voisinage de λ0 = 632,8 nm. Déterminer la valeur numérique de ∆υ en MHz sachant que l’on est obligé de déplacer le miroir de 24,5 cm pour faire décrire à Ed(d) un motif complet.

CORRECTION :

1. Au niveau de la séparatrice, le champ est divisé en deux parties égales. L’éclairement est divisé par deux. L’amplitude du champ doit donc être multiplié par 1/ 2 . On passe une nouvelle fois par la séparatrice. Le champ électrique doit donc être multiplié par ½. Au niveau du détecteur, on utilise le théorème de superposition pour déterminer le champ électrique.

35

( )01 exp

2dEE i tω= et ( )0

2 exp2dEE i tω= d’où ( )0

00

2exp 1 exp2dE iE i t πδω

λ

⎛ ⎞⎛ ⎞− ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟= ⎜ + ⎜ ⎟⎟⎜ ⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎜ ⎝ ⎠⎝ ⎠

où 2dδ= est la différence de marche entre les deux faisceaux. 2. On en déduit que :

( )( ) ( )( ) ( ) ( )2 2

* 0 0 01 exp 1 exp 1 cos 1 cos4 2 2d d d

E EE E i iϕ ϕ ϕ ϕ= = + − + = + = +EE

0 41 cos2d

dπλ

⎛ ⎞⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜= + ⎟⎟⎜ ⎜ ⎟⎟⎜⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠E

E .

3.

Pour passer d’un minimum à l’autre, le miroir M2 doit se déplacer de λ/2. 4. Les sources de longueur d’onde différente ne sont pas cohérentes. On en déduit que :

1 2

0, , 0

1 2 1 2 1 2

4 4 2 2 2 22 cos cos 1 cos cos2d d d

d d d d d dλ λ

π π π π π πλ λ λ λ λ λ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟ ⎟⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎟ ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎟= + = + + = + + −⎜ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎟ ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎟ ⎟⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠E

E E E E

0 20 0

4 21 cos cosdd dπ π λ

λ λ

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞∆ ⎟⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎟⎟ ⎟= ⎜ + ⎜ ⎜ ⎟⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜ ⎟⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎟⎜ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠E E

La variation précédente est modulée par le terme 20

2cos dπ λλ

⎛ ⎞∆ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠. On a une période spatiale

20

spatialed λλ

=∆

. Le terme 0

4cos dπλ

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠ varie entre -1 et 1 et beaucoup plus vite que la

modulation. On en déduit que la période spatiale est 20

2spatialed λλ

=∆

36

5. On est obligé de déplacer le miroir de 24,5 cm pour retrouver la même figure. On en

déduit que 20 0,00817 nm

2 spatialedλλ∆ = = . Par ailleurs ν λ

ν λ∆ ∆= et donc

20

6,12 GHzc λνλ∆∆ = = .

EXERCICE 3 : Interférences en lumière blanche ; spectre cannelé On reprend l’interféromètre décrit dans l’exercice précédent auquel on se reportera. La source (S) émet maintenant de manière uniforme dans un intervalle de fréquence (ν1,ν2). L’éclairement émis dans la bande élémentaire de largeur dν appartenant à cet intervalle s’écrit : d Adν=E .

1. Montrer que l’éclairement total peut se mettre sous la forme : ( )( )0 1 f δ= +E E

Expliciter ( )f δ . 2. Cette source est en fait une source de lumière blanche ; les longueurs d’onde qui

limitent le spectre sont : 2 10, 400 nm et 0,650 nm.λ λ= = En vous aidant d’une calculatrice, tracer 0/E E en fonction de δ, δ variant de -0,2 µm à 0,2 µm. En déduire une méthode de réglage de l’interféromètre en épaisseur nulle.

3. On place en écran à la place du détecteur et on appelle F’ le foyer image de la lentille L2. On fixe la différence de marche δ à une valeur supérieure à 2 µm. Qu’observe-t-on en F’ ?

37

On place derrière F’ un spectroscope dont F’ constitue la fente d’entrée. Montrer que l’on obtient un spectre traversé de bandes sombres (ou spectre cannelé). Evaluer le nombre N de bandes sombres dans le domaine visible en fonction de δ. En déduire une méthode de réglage de l’épaisseur nulle du Michelson.

CORRECTION :

1. Au niveau du détecteur, la différence de marche entre deux rayons qui interfèrent est 2dδ = . C’est une grandeur purement géométrique, qui ne dépend pas de la longueur

d’onde ou de la fréquence. Rappelons la formule générale donnant l’éclairement des interférences à deux ondes en lumière monochromatique :

022 1 cos πδλ

⎛ ⎞⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜= + ⎟⎟⎜ ⎜ ⎟⎟⎜⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠E E

Soit compte tenu de /cλ ν= :

022 1 cos

cπδν⎛ ⎞⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜= + ⎟⎟⎜ ⎜ ⎟⎟⎜⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

E E

Cette formule s’adapte à la contribution dE au niveau du détecteur de largeur spectrale dν en écrivant :

22 1 cosd A dcπδν ν

⎛ ⎞⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜= + ⎟⎟⎜ ⎜ ⎟⎟⎜⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠E

Dans ce résultat, on aurait pu omettre le facteur 2 sans dommage pour le résultat final puisque nous normaliserons à 0E le préfacteur deE , afin d’obtenir une expression conforme à celle fournie par l’énoncé. Les contributions à E des différentes bandes du spectre s’ajoutent (incohérence des vibrations de fréquences différentes).

2

1

22 1 cos .A dc

ν

ν

πδν ν⎛ ⎞⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜= + ⎟⎟⎜ ⎜ ⎟⎟⎜⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠∫E

( ) 2 12 1

2 22 sin sin2

cAc cπδν πδνν ν

πδ⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎜⎢ ⎥= − + − ⎟⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜ ⎟⎟ ⎟⎜ ⎜⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎣ ⎦

E

Or ( )( ) ( )( )sin sin 2sin / 2 cos / 2p q p q p q− = − + .

( ) ( )( ) ( )2 1 2 1

2 12 1

2 1 sin coscAc c

πδ ν ν πδ ν νν ν

πδ ν ν

⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + ⎟⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎜⎢ ⎥⎟⎟ ⎟⎜= − + ⎜ ⎜ ⎟⎟ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎜ ⎜ ⎟⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎟⎜− ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦E

Cette expression est de la forme donnée par l’énoncé avec ( )0 2 12A ν ν= −E et :

( ) ( )( ) ( )2 1 2 1

2 1

sin coscfc c

πδ ν ν πδ ν νδ

πδ ν ν⎛ ⎞ ⎛ ⎞− +⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟= ⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜− ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

.

Il est commode d’introduire les longueurs d’ondes λ2 et λ1.

( ) ( )( ) ( )1 2 1 21 2

1 2 1 2 1 2

sin cosfπδ λ λ πδ λ λλλδ

πδ λ λ λλ λλ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− +⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟= ⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜− ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

38

2. Donnons à cette formule un aspect numérique en exprimant la différence de marche δ en µm. On obtient :

( ) ( ) ( )sincos

af b

aδ

δ δδ

=

Avec -13,02 µm ; 12,69 µm ; en µm.a b δ= =

Le tracé de cette courbe montre que l’on peut observer au mieux que quelques franges bien contrastées. Pour régler l’interféromètre en différence de marche nulle, on amène la frange brillante d’ordre 0 au centre de l’écran.

3. Pour une différence de marche supérieure à 2 µm, on n’observe pratiquement plus

d’interférences. Par contre un spectroscope fera apparaître sous forme de bandes sombres des longueurs d’onde telles que (2 1) / 2pδ λ= + avec p entier. Désignons par ' '

1 2 et λ λ les longueurs d’onde des bandes sombres qui sont aux deux extrémités du spectre :

' '2 2 1 1(2 1) / 2 ; (2 1) / 2p pδ λ δ λ= + = + .

Si N est le nombre de bandes sombres (extrémités comprises) : 2 1 ( 1)p p N= + −

On tire facilement des relations précédentes : ' '1 1 2 21/ 2 ; 1/ 2p pδλ δλ= − = − , ce qui

permet d’obtenir ( ) ( )' ' ' '1 2 1 21N δ λ λ λλ= + − . Pour évaluer N, nous remplaçons

' '1 2 et λ λ par 1 2 et λ λ . Comme il s’agit uniquement d’un ordre de grandeur, la

39

présence du 1 dans cette formule n’est pas significative. Il est intéressant de relier numériquement N à δ.

( ) ( )1 2 1 2 ou N Nδ λ λ λ λ δ= − ≈ . En réalisant le montage et en déplaçant le chariot dans un sens qui diminue le nombre de cannelures, on se rapproche du contact optique.