Corsi di Laurea in Informatica, A.A. 2018-19 Calcolo …...Diabolik, 8 sia sia Tex sia Diabolik. In ne, 3 leggono tutti e tre i periodici. Calcolare 1) quanti leggono solo Topolino,

Corsi di Laurea in Informatica, A.A. 2018-19Calcolo delle probabilita (Docente: Bertini)

Esercizi settimanali

Settimana 1

Esercizio 1. Dimostrare le seguenti relazioni insiemistiche:

(A ∪B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C)

(A ∩B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C)

(A ∩B)c = Ac ∪Bc

Esercizio 2. Siano A,B due insiemi. Dimostrare che le seguenti affermazioni sono equivalenti

i) A ⊂ Bii) A ∩B = Aii) A ∪B = B

Esercizio 3. Sia A, B e C tre insiemi non necessariamnte disgiunti. Esprimere |A ∪ B ∪ C| intermini delle cardinalita di A, B, C e delle loro intersezioni.

Esercizio 4. Dopo aver intervistato 50 studenti si raccolgono i seguenti dati: 25 hanno studiatofrancese, 20 hanno studiato tedesco e 5 hanno studiato entrambe le lingue. Calcolare

1) quanti studenti hanno studiato solo francese,

2) quanti studenti hanno studiato solo tedesco,

3) quanti studenti non hanno studiato ne francese ne tedesco.

Esercizio 5. Dopo aver intervistato 60 persone si raccolgono i seguenti dati: 25 leggono Topolino,26 leggono Tex, 23 leggono Diabolik. Inoltre, 9 leggono sia Topolino sia Tex, 11 sia Topolino siaDiabolik, 8 sia sia Tex sia Diabolik. Infine, 3 leggono tutti e tre i periodici. Calcolare

1) quanti leggono solo Topolino,

2) quanti leggono solo Tex,

3) quanti leggono solo Diabolik,

4) quanti leggono almeno uno dei tre periodici,

5) quanti leggono uno solo dei tre periodici,

6) quanti non leggono alcuno dei tre periodici.

Esercizio 6. Sia (Ω,P) uno spazio di probabilita, e siano A, B e C tre eventi. Supponiamo disapere A ∩B ∩ C = ∅ e P(A ∩ C) = 1/5 e P(B ∩ C) = 2/5.

1) Calcolare P((A ∪B) ∩ C)

2) Quali sono i possibili valori di P(A ∩B)? (Ad esempio, puo essere P(A ∩B) = 1?)

Esercizio 7.

1) Se P(A) = 1/3 e P(Bc) = 1/4, A e B possono essere eventi disgiunti?

2) Se P(A) = 1/4 e P(A ∪B) = 3/4, quanto vale P(B) nel caso che A e B siano disgiunti?

3) Se P(A) = P(B) = 3/8, puo verificarsi che P(A ∪B) = 1/4? E P(A ∪B) = 7/8?

4) Siano P(A) = 3/4 e P(B) = 3/8. Si verifichi che 1/8 ≤ P(A ∩B) ≤ 3/8.

5) Si dimostri la diseguaglianza:

P(A ∩B) ≥ P(A) + P(B)− 1

Esercizio 8. Si lanciano 2 dadi equi, uno di colore rosso, l’altro di colore blu.

1) Descrivere lo spazio degli eventi elementari Ω.

2) Descrivere, come sottoinsiemi di Ω, i seguenti eventi: “il dado rosso vale 5”, “uno dei due dadivale 5”, “entrambi i dadi valgono 5”, “nessun dado vale 5”, “la somma dei dadi vale 5”.

3) Calcolare la probabilita degli eventi nel punto precedente.



Settimana 2

Esercizio 1. Un’associazione e formata da 25 iscritti. Tra questi devono essere scelti un presidenteed un segretario.

1) Quanti sono i modi possibili per ricoprire le due cariche?

2) Se gli individui vengono scelti a caso per ricoprire le cariche, qual e la probabilita che unassegnato membro dell’associazione ne ricopra una?

Esercizio 2. Quanti sono gli anagrammi (anche senza senso) delle parole: RISO, PATATE eCOZZE.

Esercizio 3. Dimostrare, via calcolo diretto, l’identita(n

k

)=

(n− 1

k − 1

)+

(n− 1

k

)

Esercizio 4. Sia S un insieme di cardinalita n. Quanti sono i sottoinsiemi di S di cardinalita k(con k = 0, . . . , n)?

Esercizio 5. Dimostrare, via induzione in n, la formula del binomio:

(a + b)n =n∑

k=0

(n

k

)an−kbk

Esercizio 6. Un compito di esame prevede di rispondere (esattamente) a 10 domande tra le 13proposte.

1) In quanti modi si possono scegliere le domande?

2) Supponendo che le prime due domade siano obbligatorie, in quanti modi si possono scegliere ledomande?

3) Supponendo sia richiesto di rispondere alla prima o alla seconda domanda (ma non ad entrambe),in quanti modi si possono scegliere le domande?

Esercizio 7. Alfredo e Bianca escono la sera con 5 amici. Cominciano la serata con un aperitivoal bar. Davanti al bancone ci sono 7 sgabelli vuoti in fila e ciascuno sceglie uno sgabello a caso.Qual e la probabilita che Alfredo e Bianca si siedano vicini? Dopo si recano al ristorante, dovegli viene assegnato un tavolo rotondo con 7 sedie e ciascuno sceglie una sedia a caso. Qual e laprobabilita che Alfredo e Bianca si siedano vicini?

Esercizio 8. Vengono estratte 5 carte a caso da un mazzo di 52 carte francesi. Calcolare laprobabilita di ottenere:

1) poker;

2) colore;

3) full;1

4) doppia coppia (ma non un full);

5) tris (ma ne poker ne full).



Settimana 3

Esercizio 1. Si consideri una classe con 9 studenti. Il docente prepara 3 compiti diversi ed ognicompito viene assegnato a 3 studenti.

1) In quanti modi si possono abbinare i 9 studenti ai 3 compiti?

2) Se il docente avesse invece preparato 9 compiti diversi, in quanti modi si sarebbero potutiabbinare i 9 studenti ai 9 compiti?

Si consideri ora la medisima classe di 9 studenti.

3) In quanti modi si possono partizionare i 9 studenti in 3 gruppi, ognuno dei quali con 3 studenti?

4) In quanti modi si possono partizionare i 9 studenti in 3 gruppi, uno dei quali con 5 studenti e irimanenti due con 2 studenti ognuno?

5) In quanti modi si possono partizionare i 9 studenti in 9 gruppi, ognuno dei quali con un singolostudente?

Esercizio 2. In un dipartimento di Psicostoria, le aule I e II possono accogliere 50 studenticiascuna, mentre l’aula III puo accoglierne 100. Per seguire il corso di probabilita in tali aule, 200matricole vengono divise in tre gruppi (di 50, 50 e 100 studenti).

1) In quanti modi si possono creare i tre gruppi?

2) In quanti modi si possono assegnare gli studenti nelle tre aule?

Alyona e Bogdana vorrebbero seguire il corso insieme per aiutarsi nello studio, ma vorrebberoevitare di ritrovarsi in classe con l’insopportabile Vadik.

3) Calcolare la probabilita che tale desiderio si avveri.

Esercizio 3. Un mazzo di carte napoletane e costituito da 40 carte di 4 semi distinti (denominatidenari, coppe, spade e bastoni), numerate dall’asso al re.

In una partita di tresette si distribuiscono 10 carte a ciascuno dei 4 giocatori. Un giocatoreottiene una napoletana se riceve asso, due e tre dello stesso seme.

Voi siete al tavolo, e ricevete la vostra mano di 10 carte.

1) Calcolare la probabilita che otteniate una napoletana di bastoni (asso, due e tre di bastoni).

2) Calcolare la probabilita che otteniate contemporaneamente una napoletana di bastoni e di coppe.

3) Calcolare la probabilita che otteniate almeno una napoletana.

Esercizio 4. Carletto deve fare il compito in classe di matematica. Nel sussidiario ci sono50 esercizi di equazioni ellittiche semilineari, 30 di geometria non commutativa e 10 di statisticabayesiana. Carletto non sa assolutamente nulla di tali materie, impara quindi a memoria 20 esercizidi equazioni ellittiche semilineari, 10 di geometria non commutativa e 5 di statistica bayesiana. Almomento del compito, Carletto svolge solo gli esercizi che ha imparato a memoria.

1) Se la maestra prepara un compito scegliendo a caso, tra gli esercizi del sussidiario, 4 esercizidi geometria commutativa, con quale probabilita Carletto riesce a svolgere tutti gli esercizi digeometria commutativa?

Si supponga invece che la maestra prepari il compito scegliendo a caso, tra gli esercizi del sussidiario,5 esercizi di equazioni ellittiche semilineari, 4 esercizi di geometria non commutativa e 1 eserciziodi statistica bayesiana.

2) Quanti compiti diversi puo preparare la maestra? (compiti che differiscono solo per l’ordinedegli esercizi non sono considerati diversi)

3) Con quale probabilita Carletto svolge tutti i 10 esercizi?

4) Con quale probabilita Carletto svolge 3 esercizi di equazioni ellittiche semilineari, 2 di geometrianon commutativa e 1 di statistica bayesiana?

Esercizio 5. Siano S, S′ insiemi finiti con |S| = n e |S′| = k. Rispondere alle seguente domandeal variare di n, k ∈ N

1) Quante sono le funzioni da S a S′?

2) Quante sono le funzioni iniettive da S a S′?

3) Quante sono le funzioni biunivoche da S a S′?

4) (N.B. Domanda impegnativa) Quante sono le funzioni suriettive da S a S′? (Suggerimento:utilizzare il principio di inclusione/esclusione)



Settimana 4

Esercizio 1. Siano A,B due eventi con P(A) = 0.3, P(A∪B) = 0.5 e P(B) = p. Trovare il valoredi p nei seguenti casi:

1) A e B sono disgiunti,

2) A e B sono indipendenti,

3) A e un sottoinsieme di B.

Esercizio 2. Siano A,B,C tre eventi indipendenti. Dimostrare che i seguneti eventi sonoindipendenti

1) A, B, C,

2) A, B, C,

3) A, B, C.

Esercizio 3. Se i tre cavalli a, b, c competono tra loro le rispettive probabilta di vitttoria sono0.3, 0.5, 0.2. Si sfidano in tre gare consecutive. Calcolare la probabilita dei seguenti eventi:

1) lo stesso cavallo vince tutte e tre le gare,

2) ogni cavallo vince una gara.

Esercizio 4. Un missile colpisce il bersaglio con probabilita pari a 1/3.

1) se si lanciano 3 missili, con quale probabilita almeno uno colpisce il bersaglio?

2) trovare il numero minimo di missili da lanciare affinche la probabilita che almeno uno colpiscail bersaglio sia superiore al 90%.

Esercizio 5. E noto che i gemelli possono essere omozigoti, in questo caso sono necessariamentedello stesso sesso, oppure eterozigoti, e in questo caso sono dello stesso sesso nel 50% dei casi. Siap la probabilita che due gemelli siano omozigoti.

1) Calcolare, in funzione di p, la probabilita che 2 gemelli siano omozigoti sapendo che sono dellostesso sesso.

2) Calcolare, in funzione di p, la probabilita che 2 gemelli siano di sesso diverso.

Esercizio 6. Un canale di comunicazione trasmette segnali binari. A causa del rumore di fondoalcune volte viene trasmesso 0, ma e ricevuto 1; altre volte viene trasmesso 1 e ricevuto 0. Siassuma che

• la probabilita che uno 0 sia ricevuto correttamente e 0.94;• la probabilita che un 1 sia ricevuto correttamente e 0.91.

Viene spedito un singolo bit, che con probabilita 0.45 e 0 e con probabilita 0.55 e 1. Calcolare:

1) la probabilita che venga ricevuto 1;

2) la probabilita che venga ricevuto 0;

3) la probabilita che sia stato trasmesso 1 se si e ricevuto 1;

4) la probabilita che sia stato trasmesso 0 se si e ricevuto 0;

5) la probabilita che si verifichi un errore di trasmissione.

Esercizio 7. In un’urna ci sono tre monete: la prima e equa ed ha testa (T) su di una faccia ecroce (C) sull’altra, la seconda ha C su entrambe le facce, la terza ha T su entrambe le facce. Siestrae a caso una moneta dall’urna e la si lancia senza guardare di quale moneta si tratti.

1) Calcolare la probabilita che esca T.

2) Sapendo che la moneta ha reso T, calcolare la probabilita che sull’altra faccia ci sia C.

Supponendo che la moneta abbia reso testa, la si raccoglie e la si lancia nuovamente (senza guardarel’altra faccia della moneta).

3) Calcolare la probabilita di ottenere ancora T.

Esercizio 8. Alice (A), Barbara (B) e Carlo (C) si sfidano in un torneo con le seguenti modalita.Nel primo incontro si affrontano A e B. Il vincitore gioca poi contro C, se vince anche questoincontro e proclamato vincitore; se invece vince C, costui gioca contro il perdente dell’incontroprecedente e cosı di seguito. Il primo giocatore che vince due incontri consecutivi vince il torneo.Si tenga presente che A, B e C hanno la stessa abilita nel gioco e pertanto ogni incontro e vintoda uno dei due contendenti con probabilita 1/2.

1) Qualche giocatore e avvantaggiato dalle regole?

2) Calcolare la probabilita che il torneo finisca dopo n incontri, n ≥ 2.

3) Calcolare le probabilita di vittoria per A, B e C.

4) Il torneo potrebbe non avere mai termine?



Settimana 5

Esercizio 1. In un’azienda le macchine A, B, e C producono il 40%, 10%, e 50% dei prodotti. Lerispettive percentuali di prodotti difettosi sono 2%, 3% e 4%. Scegliendo un prodotto a caso,

1) calcolare la probabilita che sia difettoso,

2) supponendo sia difettoso, calcolare le probabilita che sia stato prodotto dalla macchina A, B, oC.

Esercizio 2. Alice e Bob tirano una freccia ciscuno ad un pernice, Alice la colpisce con probabilita1/3 e Bob 1/4.

1) Calcolare la probabilita che entrambe le frecce centrino la pernice.

2) Calcolare la probabilita che una delle due frecce centri la pernice.

3) Suppondo che la pernice sia stata colpita da un fraccia, calcolare con che probabilita e quellatirata da Alice.

Esercizio 3. Armando gioca 10 partite alla roulette puntando sul rosso 1 euro a partita. Laprobabilita di vincere una singola partita e 18/37

1) Calcolare la probabilita che Armando vinca per la prima volta alla quinta partita.

2) Calcolare la probabilita che armando vinca almeno 2 partite.

3) Calcolare la probabilita che alla fine delle 10 partite il capitale di Armando sia aumentato di 2euro.

Esercizio 4.

1) Siano B,N, n ∈ N con B,N ≥ n. Dimostrare, per esempio attraverso un’interpretazioneprobabilistica, la formula

n∑

k=0

(B

k

)(N

n− k

)=

(N + B

n

).

2) Una moneta equa viene lanciata 2n volte. Calcolare la probabilita che il numero di teste ottenutenei primi n lancia sia uguale al numero di teste negli ultimi n lanci.

Esercizio 5. E stato indetto un referendum in una popolazione di n individui (tutti aventi dirittoal voto). Ciascun individuo andra a votare con probabilita 1/2, indipendentemente dagli altri.Inoltre, se un individuo andra a votare, votera SI con probabilita 1/2, indipendentemente daglialtri.

1) Calcolare la probabilita che un individuo fissato vada a votare e voti SI.

2) Calcolare la probabilita che il numero di voti SI sia k, k = 0 . . . , n.

3) Sapendo che il numero di voti SI e pari a k, calcolare la probabilita che il numero di votanti siastato m, m = k, . . . , n.

Esercizio 6. Per n ∈ N e p ∈ (0, 1) si consideri la distribuzione binomiale (numero di teste in nlanci di moneta truccata)

P (k) =

(n

k

)pk(1− p)n−k, k = 0, . . . , n.

Dimostrare che P (k) e crescente per k ≤ k per un oppurtuno k = k(n, p) (da trovare) e decrescenteper k > k.

Esercizio 7. Tre sentieri collegano i bivacchi A, B e C in modo che da ciascun bivacco si possaraggiungere uno qualunque degli altri due con un sentiero diretto. A causa di frane, ciascunsentiero puo essere non percorribile. Sia pAB ∈ (0, 1) (rispettivamente pBC , pAC) la probabilitache il sentiero che collega A con B (rispettivamente B con C, A con C) sia percorribile. Si assumache lo stato di agibilita di ciascun sentiero sia indipendente dagli altri. Vi trovate al bivacco A.

1) Calcolare la probabilita che possiate arrivare al bivacco C.

2) Un alpinista vi ha detto che non e possibile arrivare a C per via delle frane. Calcolare laprobabilita che possiate comunque arrivare a B.

Supponiamo ora che tra A e B via siano 3 sentieri diretti, ciascuno percorribile con probabilita qindipendentemente dagli altri.

3) Calcolare le due probabilita precedenti (senza rifare tutti i calcoli).

Esercizio 8. Sia S un inieme di cardinalita n. Si scelgono a caso due sottoinsiemi di S. Calcolarela probabilita che il primo sottoinsieme scelto sia incluso nel secondo.



Settimana 6

Esercizio 1. Lanciando un dado equo a 6 facce, sia X il risultato ottenuto.

1) Calcolare la distribuzione di X.

2) Calcolare il valore atteso di X.

3) Calcolare la varianza di X.

Esercizio 2. Lanciando due dadi equi a 6 facce, sia X il minimo tra i due risultati.


2) Calcolare il valore atteso di X.

Esercizio 3. (Variabile aleatoria ipergeometrica) Si consideri un’urna con b palline biancheed n palline nere. Si effettuano k estrazioni senza rimpiazzo (k ≤ b + n). Sia Xi, i = 1, . . . , k lavariabile aleatorie che vale 1 se l’i-ma pallina estratta e bianca e 0 se nera. Sia inoltre X il numerototale di palline bianche estratte.

1) Trovare la distribuzione di X.

2) Calcolare il valore di attesa di X.

(E richiesto sia il calcolo diretto a partire dalla distribuzione di X sia quello a partire dal valoredi attesa di Xi.)

3) Calcolare la covarianza tra Xi e Xj , i, j = 1, . . . , k.


(E richiesto sia il calcolo diretto a partire dalla distribuzione di X sia quello svolto scrivendo

X =∑k

i=1 Xi ed usando la risposta alla domanda precedente.)

Esercizio 4. Si consideri un esame a risposta multipla organizzato al modo seguente. In totaleci sono 10 domande e per ogni domanda ci sono 4 possibili risposte, di cui una sola e corretta.L’algoritmo di valutazione e il seguente: ogni risposta giusta vale 3 e ogni risposta sbagliata (o nonrisposta) vale −1. Alice risponde a caso a tutte le 10 domande.

1) Calcolare la probabilita che Alice ottenga la sufficenza (18/30).

2) Calcolare il valore di attesa del voto di Alice.

3) Calcolare la varianza del voto di Alice.

Esercizio 5. Una scatola contiene 10 transistor di cui 3 sono rotti. Si esamina un transistor allavolta (senza rimpiazzo) finche non se ne trova uno rotto. Calcolare il valore di attesa del numerodi transistor esaminati.

Esercizio 6. Un dado equo viene lanciato finche non esce 5 o 6. Sia T il numero totale di lancieffettuati e X il risultato del dado nell’ultimo lancio effettuato.

1) Calcolare P(T = 3, X = 5).

2) Calcolare la distribuzione di T .


4) Dire, giustificando la risposta, se sono variabili aleatorie T e X sono indipendenti.

Esercizio 7. Quante volte bisogna lanciare – in media – un dado equo per vedere apparire tuttele faccie?Sugg. Utilizzando variabili aleatorie geometriche si trova la soluzione senza necessita di calcoli.



Settimana 7

Esercizio 1. Siano Xi, i = 1, 2 variabili aleatorie indipendenti uniformi in 1, . . . , n.

1) Calcolare la distribuzione di X1 +X2.

2) Calcolare il valore di attesa di X1 +X2.

3) Calcolare la varianza di X1 +X2.

Esercizio 2. Si assuma che - in media - il 2% della popolazione sia mancina. Dato un campionedi 100 individui, utilizzando l’approssimazione di Poisson, calcolare la probabilita che almeno 3siano mancini.

Esercizio 3. (Indipendenza di variabili aleatorie) Siano X e Y due variabili aleatorie.

1) Dimostrare che se X e una variabile aleatoria certa, ovvero X = c per un qualche c ∈ R, alloraX e Y sono indipendenti.

2) Dimostrare che nel caso in cui X e Y sono binarie, ovvero∣∣Im(X)

∣∣ =∣∣Im(Y )

∣∣ = 2, le variabilialeatorie X e Y sono indipendenti se e solo se cov(X,Y ) = 0.

3) Costruire un esempio in cui cov(X,Y ) = 0 ma X e Y non sono indipendenti.

Esercizio 4. In uno schema di Bernoulli con probabilita di testa p ∈ (0, 1) sia X la variabilealeatoria che conta il numero di risultati consecutivi uguali al primo; ovvero X = 1 se il primolancio e testa e il secondo croce oppure il primo croce ed il secondo testa, X = 2 se due teste e poiuna croce oppure due croci e poi una testa,...

1) Trovare la distribuzione di X.

2) Calcolare il valore di attesa di X.


Esercizio 5. Ogni giorno Carlo riceve un numero aleatorio X di email, che possiamo pensare comeuna variabile aleatoria di Poisson di parametro λ > 0, ovvero Im(X) = Z+ = 0, 1, 2, . . . , n, . . .e P(X = n) = e−λλn/n!, n ∈ Z+. Ogni email, indipendentemente dalle altre e dal numerototale di email ricevute, e spam con probabilita p e legittima con probabilita 1 − p. Siano Y e Zrispettivamente il numero di email di spam e di email legittime ricevute oggi da Carlo.

1) Calcolare la legge di Y e quella di Z.

2) Dire se Y e Z siano o meno indipendenti. In caso affermativo dimostrarlo, in caso contrariodare un controesempio.

Esercizio 6. Una moneta con probabilita di testa pari a p ∈ [0, 1] viene lanciata un numero divolte aleatorio (indipendente dai risultati dei lanci della moneta) con distribuzione di Poisson diparametro λ > 0. Trovare le distribuzioni del numero totale di teste e croci otteneute e dimostrareche queste due variabili aleatorie sono indipendenti.

Esercizio 7. Si consideri la disposizione casuale di n palline in k scatole. Sia Xi = 0, . . . , n ilnumero di palline nella scatola i, con i = 1, . . . , k.

1) Calcolare la distribuzione di X1.

2) Calcolare la covarianza tra X1 e X2.

Si consideri il limite in cui k, n→∞ con nk → λ ∈ (0,+∞)

3) Calcolare la distribuzione limite di X1.

4) Dimostrare che in questo limite le variabili aleatorie X1 e X2 diventano indipendenti.



Settimana 8

Esercizio 1. (Costruzione intervalli di confidenza) Si consideri una moneta truccata conparametro di truccatura p incognito. Al fine di determinare p, si lancia la moneta n volte e si stimap con Sn/n, ove Sn e il numero di teste negli n lanci effettuati. Dato δ > 0 determinare quantogrande deve essere n affiche la probabilita che |Sn/n− p| < δ sia almeno il 95%.

Esercizio 2. Si consideri un urna con n palline. Ogni pallina, l’una indipendentemente dall’altra,viene dipinta di rosso con probabilita p o di blu con probabilita 1 − p, p ∈ (0, 1). Si estraggonopoi, senza rimpiazzo, k palline dall’urna, k ≤ n. Siano Y il numero delle palline dipinte di blu eX il numero di palline blu estratte.

1) Determinare le distribuzioni marginali delle variabili aleatorie X e Y .

2) Determinare la distribuzione di Y condizionata a X.

3) Determinare la distribuzione di X condizionata a Y .

4) Calcolare la covarianza tra X e Y .

Esercizio 3. Da un gruppo di 7 batterie, di cui 3 nuove, 2 usate ma funzionanti e 2 difettose,ne vengono scelte 3 a caso. Siano X e Y rispettivamente il numero di batterie nuove e usate (mafunzionanti) tra quelle scelte.

1) Determinare la distribuzione congiunta di (X,Y ) e le distribuzioni marginali di X e di Y .

2) Calcolare cov(X,Y ). Le variabili aleatorie X e Y sono indipendenti?

3) Le tre batterie scelte sono montate su di un apparecchio che funziona se nessuna di esse edifettosa. Determinare la probabilita che l’apparecchio funzioni.

Esercizio 4. I componenti elettronici prodotti in una fabbrica sono difettosi, l’uno indipendente-mente dall’altro, con probabilita p e funzionanti con probabilita 1−p, p ∈ (0, 1). Vengono sottopostiad un controllo di qualita con la seguente modalita: ogni componente, l’uno indipendentementedall’altro, viene ispezionato con probabilita α e non ispezionato con probabilita 1− α, α ∈ (0, 1).Un componente trovato difettoso viene scartato, mentre gli altri vengono messi in commercio. Sisupponga di avere n componenti prodotti dalla fabbrica.

1) Calcolare la distribuzione del numero di componenti che vengono scartati dopo il controllo diqualita.

2) Sapendo che il numero di componenti scartati dopo il controllo di qualita e pari a k, k =0, 1, . . . . , n, calcolare la distribuzione dei componenti difettosi tra gli n− k messi in commercio.

Esercizio 5. Un dado che ha una faccia blu, due rosse e tre verdi viene lanciato due volte. SianoR il numero di volte in cui il dado esibisce la faccia superiore rossa e V il numero di volte in cui ildado esibisce la faccia superiore verde.

1) Costruire la tabella della distribuzione congiunta di (R, V ).

2) Determinare la distribuzione di Z = maxR, V e calcolare E(Z) e V(Z).

Esercizio 6. Siano X,Y due variabili aleatorie di Bernoulli di parametro p e indipendenti. Sianoinoltre

Z = X(1− Y ) e W = 1−XY.

1) Qual e la distribzione congiunta di (Z,W )?

2) Quali sono le distribuzioni marginali di Z e W?

3) Per quali valori di p le variabili aleatorie Z e W sono indipendenti?

Esercizio 7. A e B giocano al seguente gioco: A scrive 1 o 2 su un foglio e B deve indovinare ilnumero scritto da A Se A ha scritto i ∈ 1, 2 e B indovina allora A paga i euro a B. Se invece Bnon indovina allora B paga 0.75 euro ad A.

Si supponga che B adotti una strategia casuale dichiarando 1 con probabilita p e 2 con probabilita1− p.

1) Supponendo che A abbia scritto 1 determinare il guadagno medio di B

2) Supponendo che A abbia scritto 2 determinare il guadagno medio di B

3) determinare il valore di p che massimizza il minimo tra i 2 guadagni medi precedenti.

Si supponga che A adotti una strategia casuale scrivendo 1 con probabilita q e 2 con probabilita1− q.

4) Supponendo che B dichiari 1 determinare la perdita media di A.

5) Supponendo che B dichiari 2 determinare la perdita media di A.

6) determinare il valore di q che minimizza la massima tra le 2 perdite medie precedenti.

Confrontare le risposte ai punti 3 e 6.

Corsi di Laurea in Informatica, A.A. 2018-19Calcolo delle probabilità (Docente: Bertini)


Settimana 9

Esercizio 1. Sia X una variabile aleatoria a valori in Z+ = 0, 1, . . ., dimostrare che

E(X) =+∞∑

k=0

P(X > k).

Esercizio 2. Sia X la variabile aleatoria continua con densità di probabilità

fX(x) =

16x+ k se x ∈ [0, k]

0 altrimenti

1) Trovare il valore di k.

2) Calcolare P(1 ≤ X ≤ 2).

Esercizio 3. Siano U una variabile aleatoria uniforme in [0, 1] e V una variabile aleatoriaindipendente da U uniforme in [−1, 1].

1) Calcolare la distribuzione (ovvero la densità di probabilità) di V 2.

2) Calcolare la distribuzione (ovvero la densità di probabilità) di log(1/U).

3) Calcolare P (U ≤ V ).

Esercizio 4. Siano τi, i = 1, 2 variabili aleatorie esponenziali di parametro λ > 0 indipendenti.

1) Calcolare la distribuzione (ovvero la densità di probabilità) di τ1 + τ2.

2) Calcolare la distribuzione (ovvero la densità di probabilità) di maxτ1, τ2.3) Calcolare la distribuzione (ovvero la densità di probabilità) di minτ1, τ2.

Esercizio 5. Si consideri il circuito in gura, dove i tempi di rottura dei componenti 1, 2, 3 sono

Figura 1. Il circuito si considera funzionante se il componente 1 funziona edalmeno uno tra i componenti 2 e 3 funziona.

variabili aleatorie esponenziali indipendenti rispettivamente di parametri λ1, λ2, λ3.

1) Determinare la legge del tempo di rottura del circuito.

2) Calcolare esplicitamente il valore di attesa del tempo di rottura del circuito.

3) Sapendo che al tempo T il circuito funziona, calcolare la probabilità che uno tra i componenti2 e 3 si sia rotto.

Esercizio 6. Arthur e Bobby sono due atleti che competono nei cento metri piani. I tempi Ta eTb impiegati rispettivamente da Arthur e Bobby durante una competizione possono essere descritticome

Ta = 9.50s+ Y +Xa, Tb = 10.0s+ Y +Xb

dove (esprimendo tutte le grandezze in secondi) Y , Xa ed Xb sono variabili aleatorie i.i.d. unifor-memente distribuite sull'intervallo [0, 1]. Si noti che la variabile Y è introdotta per tenere contodelle condizioni atmosferiche (che inuenzano entrambe le prestazioni di Arthur e Bobby) e dunqueessa contribuisce nella stesso modo in Ta e Tb. Viceversa le variabili Xa ed Xb tengono conto dellecondizioni siche di Arthur e Bobby, e sono pertanto distinte (ed indipendenti) nella denizione diTa e Tb.

1) Calcolare la probabilità che Arthur vinca la gara (ossia che Ta < Tb).

2) Calcolare il valore di attesa del tempo del vincitore.

3) Identicare la legge del tempo Ta impiegato da Arthur per correre i cento metri.



Settimana 10

Esercizio 1. Sia X una variabile aleatoria continua e positiva, X ≥ 0. Dimostrare che

E(X) =

∫ ∞

0

P(X > x) dx.

Esercizio 2. Sia X una variabile aleatoria gaussiana con valore di attesa 2 e varianza 25.Rispondere alle seguenti domande utilizzando le tavole dell'integrale gaussiano.

1) Calcolare P(|X − 2| ≥ 7).

2) Calcolare P(0 ≤ X ≤ 7).

3) Determinare α tale che P(X ≥ α) ≤ 0.9.

Esercizio 3. Le sfere di acciaio prodotte dalla ACME devono avere un diametro di 5mm. Sonotuttavia accettabili sfere di diametro compreso tra 4mm e 6mm. Si assuma che i diametri dellesfere prodotte siano variabili aleatorie gaussiane indipendenti di media 5mm e varianza 0.25mm2.

1) Quale percentuale dei pezzi prodotti non rispetta i limiti di tolleranza?

2) Potendo ricalibrare di produzione, modicando la varianza delle sfere, si determini il valoremassimo della varianza per cui la percentuale di pezzi che non rispettano i limiti di tolleranzaè inferiore all'1%.

Esercizio 4. Per trasmettere un bit da una sorgente A a una ricevente B tramite una coppia dili elettrici, si applica una dierenza di potenziale di +2V per il valore 1 e di −2V per il valore0. A causa di disturbi elettromagnetici, se A applica µ = ±2V , B legge X = µ + Z, dove Zrappresenta il rumore, descritto da una variabile aleatoria gaussiana di media 0 e varianza 1V2.Dalla lettura di X, B decodica il messaggio con la seguente regola: se X ≥ 0.5V si decodica 1,mentre se X < 0.5V si decodica 0.

1) Se A invia 0, calcolare la probabilità che B decodichi 1.

2) Se A invia 1, calcolare la probabilità che B decodichi 0.

Si supponga ora che A invii 0 o 1 con la stessa probabilità.

3) Calcolare la probabilità che B decodichi 1.

4) Se B ha decodicato 1 calcolare la probabilità che la decodica corrisponda al messaggio inviato.

Esercizio 5. Due dadi equilibrati vengono lanciati 300 volte. Sia X la variabile aleatoria cheindica il numero di volte che si è ottenuto un doppio uno.

1) Calcolare E(X) e V(X).

2) Utilizzando l'approssimazione gaussiana, calcolare la probabilità di ottenere un doppio uno piùdi 10 volte.

Si consideri ora il caso in cui i due dadi vengono lanciati n volte.

3) Utilizzando l'approssimazione gaussiana, determinare quanto grande debba essere n anché laprobabilità di ottenere un doppio uno almeno 10 volte sia maggiore di 1/2.

Esercizio 6. Un percorso escursionistico prevede la scelta di itinerari di dicoltà crescente. Inparticolare, per completare l'itinerario k è necessario superare k ostacoli, k = 1, 2, . . .. Supponendoche il tempo necessario per superare un ostacolo sia descritto da una variabile esponenziale convalore di attesa pari a un'ora e che ostacoli diversi siano descritti da variabili aleatorie indipendenti,rispondere alle domande seguenti.

1) Si consideri il caso in cui Alfonso sceglie il primo itinerario (quello con un solo ostacolo).Determinare la probabilità con cui completa il percorso in meno di un ora.

2) Si consideri il caso in cui Alfonso sceglie il k-esimo itinerario (quello con k ostacoli) con proba-bilità pari a (1− p)k−1p. k = 1, 2, . . ., con p ∈ (0, 1). Determinare il valore di attesa del tempoin cui completa il percorso.

3) Vi sono 1000 escursionisti che scelgono il primo itinerario. Utilizzando l'approssimazione gaus-siana, determinare la probabilità che almeno 600 escursionisti completino il percorso in meno diun ora.



Settimana 11

Esercizio 1. Siano P e Q due matrici stocastiche n × n. Dimostare che il prodotto (righe percolonne) PQ è ancora una matrice stocastica.

Esercizio 2. Si consideri il seguente modello per le previsioni metereologiche. Se un giorno pioveil giorno successivo piove con probabilità del 50%, se un giorno non piove il giorno successivo piovecon probabilità del 30%. Sapendo che lunedí non piove, calcolare:

1) la probabilità che mercoledí piova,

2) la probabilità che giovedí non piova,

3) la probabilità che piova sia mercoledí che giovedì.

Esercizio 3. Si consideri la catena di Markov con spazio degli stati 0, 1 e probabilità ditransizione

P =

(1− p p1− p p

)

con p ∈ [0, 1].

1) Se X0 = 1 calcolare la distribuzione di X2.

2) Se X0 = 0 calcolare la distribuzione di X2.

3) Se X0 = 1 calcolare la distribuzione di Xn per n ≥ 1.

4) Se X0 = 0 calcolare la distribuzione di Xn per n ≥ 1.

5) Spiegare i risultati ottenuti in termini di lanci di moneta.

Esercizio 4. Si consideri la catena di Markov con spazio degli stati 0, 1 e probabilità ditransizione

P =

(2/3 1/32/5 3/5

)

1) Trovare la probabilità stazionaria.

2) Descrivere il limite per n→∞ della matrice Pn.

3) Descrivere il limite per n→∞ del vettore riga (1/2, 1/2)Pn.

Esercizio 5. Si consideri la catena di Markov con spazio degli stati 1, 2, 3 e probabilità ditransizione

P =

0 3/4 1/41/2 1/2 00 1 0

1) Vericare che P è regolare.

2) Trovare la probabilità stazionaria.

3) Descrivere il limite per n→∞ della matrice Pn.

4) Descrivere il limite per n→∞ del vettore riga (1/4, 1/4, 1/2)Pn.

Esercizio 6. Disegnare il grafo di transizione della catena di Markov con probabilità di transizione

P =

0 1/2 1/21/4 1/4 1/20 1/2 1/2

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Corsi di Laurea in Informatica, A.A. 2018-19 Calcolo …...Diabolik, 8 sia sia Tex sia Diabolik. In ne, 3 leggono tutti e tre i periodici. Calcolare 1) quanti leggono solo Topolino,