Corso di FISICA TECNICA a.a. 2010/11 prof. Massimo Paroncini · Yunus A. Çengel,Termodinamica e Trasmissione del Calore, McGraw-Hill, 2009 Problemi termoigrometrici degli edifici

Corso di FISICA TECNICAa.a. 2010/11

prof. Massimo Paroncini

materiale didattico a diffusione interna distribuito gratuitamente

FISICA TECNICA

Interfaccia tra la fisica di base e le materie applicative

Applicazione alla tecnica dei principi fisici già acquisiti

Argomenti trattatiArgomenti trattati

Termodinamica Applicata

Trasmissione del Calore

Problemi termoigrometrici degli edifici

Acustica

Illuminotecnica

Termodinamica Applicata

Studio delle proprietà dei corpi e dei fenomeni che implicano uno scambio di lavoro o di energia

Trasformazioni dell’energia da una forma all’altra

Argomenti trattati

Primo principio della termodinamica (principio di conservazione dell’energia)

Secondo principio della termodinamica (qualità dell’energia oltre che quantità)

Sistemi per la conversione dell’energia (cicli diretti)

Sistemi per il trasferimento dell’energia (cicli indiretti: refrigerazione, pompa di calore)

Termodinamica dell’aria umida

Trasmissione del calore

Comprensione dei fenomeni fisici

Modalità della trasmissione del calore:

Conduzione

Convezione

Irraggiamento

Metodi per il calcolo dell’energia scambiata nell’unità di tempoMetodi per il calcolo della distribuzione di temperatura


Dispersioni termiche attraverso l’involucro

Legge 10

Certificazione energetica degli edifici

Verifica Termoigrometrica

Illuminotecnica

Studio dei problemi connessi all’illuminazione artificiale e naturale per assicurare condizione di benessere ambientale e di comfort visivo

Fotometria

Sorgenti luminose artificiali e naturali

Metodi per il calcolo dell’illuminamento e della

luminanza

Illuminazione diurna

Acustica

Studio dei problemi connessi alla propagazione del suono (rumore) e della sensazione psicologica che esso produce sull’uomo

Psicoacustica

Acustica in ambienti chiusi

Correzione del comportamento acustico degli

ambienti

Criteri di valutazione del rumore

Tecniche di isolamento acustico

Testi di riferimentoTermodinamica e Trasmissione del Calore

Yunus A. Çengel,Termodinamica e Trasmissione del Calore, McGraw-Hill, 2009


Appunti distribuiti durante il corso

Termodinamica, Trasmissione del Calore, Illuminotecnica, Acustica

G. Cammarata, Fisica Tecnica Ambientale, McGraw-Hill, 2007

GRANDEZZE FISICHE

• Permettono di descrivere un fenomeno fisico

• Devono essere quantificate ovvero misurate

• Vengono utilizzate quattro grandezze fisiche fondamentali: Lunghezza L, Massa M, Temperatura Θ, Tempo τ.

MISURA DELLE GRANDEZZE FISICHE

MISURA DELLE GRANDEZZE FISICHE

• Consiste nell’associare alla grandezza un numero, secondo operazioni fissate da regole ben definite. Questo numero esprime il rapporto tra la grandezza in questione ed un’altra ad essa omogenea usata come unitàdi misura

Velocità

• MISURA DIRETTA: Si realizza confrontando direttamente la grandezza con il campione preso come unità di misura

• MISURA INDIRETTA: A volte non è possibile definire un campione di una grandezza. In questo caso la misura viene dedotta dalla misura di altre grandezze fisiche di specie diversa, tramite una legge che può costituire la definizione della grandezza considerata

EQUAZIONI DIMENSIONALI

• Tra le grandezze fisiche intercorrono relazioni, costituite spesso dalla definizione della grandezza, che comprendono operazioni di moltiplicazione, divisione ed elevamento a potenza razionale semplice.

• La grandezza viene posta in relazione con le altre mediante un prodotto monomio.

• Si conviene di indicare la dimensione di una grandezza fisica tra parentesi quadrate [A]

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]A L Ma b c d= ⋅ ⋅ ⋅τ θ

Gli esponenti indicano la dimensione della grandezza rispetto alle grandezzefondamentali

• Grandezze omogenee hanno tutte le stesse dimensioni

• Una grandezza è adimensionale se: a = b = c = d = 0

• La scelta delle grandezze fondamentali è arbitraria si osservi, però, che il campione dell’unità di misura deve soddisfare a due condizioni

a) Deve essere facilmente disponibile ed usabileb) Deve essere stabile nel tempo

SISTEMI DI UNITA’ DI MISURA

• I sistemi di unità di misura si differenziano tra loro in base alla scelta delle grandezze fisiche fondamentali e, quindi, delle relative unità di misura

Grandezze FondamentaliSI Nome Simbolo

Lunghezza metro m

Massa chilogrammo kg

Tempo secondo s

Intensità di corrente ampere A

Temperatura termodinamica kelvin K

Intensità luminosa candela cd

Quantità di materia mole mol

Grandezze Supplementari SI Nome Simbolo

Angolo piano radiante rad

Angolo solido steradiante sr

Grandezze DerivateSI Nome Simbolo

Frequenza hertz Hz

Forza newton N

Pressione, Tensione pascal Pa

Lavoro, Energia, Calore joule J

Potenza, Flusso Termico watt W

Relazione con altre unità SI

Hz = s-1

N = kg .m .s-2

Pa = N . m -2

J = N . m

W = J . s-1

ESEMPI

[ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] [ ] smkg

smkg

smkg

3-232

2-222

2-2

2

⋅⋅⇒⋅⋅=⇒=

⋅⋅⇒⋅⋅=⇒⋅=

⋅⋅⇒⋅⋅=

⋅⋅=⋅=⋅=

−

−

−

−

τ

τ

τ

LMLt

LP

LMLdFL

LMF

tdmt

vmamF

SISTEMA TERMODINAMICO

SISTEMA

AMBIENTE

TERMODINAMICA

Si occupa dello studio delle proprietà dei corpi e dei fenomeni che implicano uno scambio di Lavoro, Calore o, più in generale, di Energia

TERMODINAMICA

Si occupa dello studio delle proprietà dei corpi e dei fenomeni che implicano uno scambio di Lavoro, Calore o, più in generale, di Energia

• Principio Zero Equilibrio Termico

• Primo Principio Conservazione dell’energia

• Secondo Principio Differenza tra le varie forme di energia, studio dei fenomeni reali

• Terzo Principio Proprietà della materia nelle vicinanze dello zero assoluto

Prenderemo in esame le questioni riguardanti l’energia meccanica e termica; saranno discussi il Primo e Secondo principio con particolare riguardo agli aspetti applicativi concernenti: macchine termiche, frigoriferi, impianti di climatizzazione

Forme di Energia

Sistema

Macroscopica: Energia posseduta dal sistema nel suo insieme

Microscopica: Energia legata alla struttura molecolare. Può essere vista come somma dell’Energia cinetica e dell’Energia potenziale della molecola

Microscopica: Energia di traslazione

Energia di rotazione

Energia di vibrazione

Energia Sensibile

Microscopica: Energia legate alle forze intermolecolari, ovvero alle forze che legano tra loro le molecole

Energia che dobbiamo fornire per rompere il legame tra le molecole e realizzare un passaggio di stato. Un sistema allo stato liquido è ad un livello di energia più elevato di quello allo stato solido, mentre un sistema allo stato gassoso è ad un livello di energia maggiore di quello liquido.Le trasformazioni possono verificarsi senza il cambiamento della composizione chimica

Energia Intermolecolare

Energia Interna U (joule, J)È la somma delle energie microscopiche

Energia Interna U

U = f(T,τ)Energia sensibile Energia latente

Energia latente

SISTEMA TERMODINAMICO

• APERTO: Quando scambiamassa con l’esterno (Sistema con DEFLUSSO)

• CHIUSO: Quando non scambia massa con l’esterno (senza DEFLUSSO)

• ADIABATICO: Quando non scambia Calore con l’esterno

• ISOLATO: Quando non scambia Calore, Lavoro e Massa con l’esterno.

SISTEMA

AMBIENTE

• INTENSIVE: Il valore non dipende dalla massa considerata.• Es: TEMPERATURA, PRESSIONE• ESTENSIVE: Il valore per l’intero sistema è uguale alla somma dei

valori che competono alle singole parti del sistema stesso.• Es: MASSA, VOLUME, ENERGIA INTERNA (U), ENTALPIA (H),

ENTROPIA (S).

GRANDEZZE DI STATO

Un sistema termodinamico in equilibrio è definito da un certo numero di grandezze fisiche che definiscono che ne individuano lo stato. Queste grandezze vengono dette di stato in quanto determinano univocamente lo stato fisico del sistema e la loro variazione, da uno stato ad un altro, non dipende dalla trasformazione. Possono essere di due tipi:

Si conviene di scrivere con lettere maiuscole le grandezze estensive e con lettere minuscole quelle intensive

• Es: Lo stato termodinamico di un fluido è individuato da due grandezze di stato. Se si considerano tre grandezze queste sono legate tra loro da una Equazione di Stato del tipo:

• F(P,T,V) = 0

RELAZIONI TRA LE GRANDEZZE DI STATO

Se un sistema è costituito da un numero C di componenti chimicamente distinti e da un certo numero F di fasi chimicamente distinte, allora lo stato fisico del sistema, in equilibrio termodinamico, è completamente individuato quando si conoscono n grandezze intensive (n = C - F + 2). Questo significa che se si assumono m (m>n) grandezze caratteristiche del sistema, allora esistono m-n equazioni del tipo:

F1 (X1, X2, ......., Xn) = 0

.

.

Fm-n (X1, X2, ......., Xn) = 0

• MECCANICO: Se, per esempio, la pressione P = costante

• TERMICO: Quando la temperatura T = cost. non c’è scambio termico

• CHIMICO: Non ci sono reazioni chimiche o fenomeni di diffusione di specie chimiche. Questo equilibrio è caratterizzato da un potenziale chimico costante.

EQUILIBRIO DI UN SISTEMA TERMODINAMICO

Un sistema è in equilibrio termodinamico quando è contemporaneamente in equilibrio meccanico, chimico e termico

FLUIDO TERMODINAMICO

Considereremo sistemi chimicamente omogenei ovvero costituiti da sostanze pure o riconducibili a queste.

Una sostanza è considerata pura quando ha una struttura molecolare uniforme edinvariabile oppure quando è costituita da una soluzione di sostanze omogenee in rapporto fisso tra loro (aria)

PRINCIPIO ZERO

X1 ,Y1 X2 , Y2

X3 , Y3

Se due sistemi sono in equilibrio termico con un terzo sistema, sono in equilibrio termico tra di loro.

Ciò non vuol dire che abbiano lo stesso stato termodinamico ma solo che tra essi non c’è scambio termico

Adiabatico

Conduttore

MISURA DELLA TEMPERATURA

Per poter stabilire una scala di misura di una grandezza fisica si deve poter stabilire un criterio di confronto e uno di somma. Pertanto fissata l’unità di misura della grandezza in esame resta determinata l’intera scala. E’ ciò che accade per la Lunghezza, Massa, Volume ed altre grandezze ma non per la Temperatura in quanto per questa si può stabilire un criterio di confronto (Principio Zero) ma non di somma. Per la temperatura risulta necessario fissare l’intera scala.

Costruire una scala della temperatura significa mettere in corrispondenza biunivoca una serie di numeri con i livelli termici individuabili per mezzo del Principio Zero.

Un dispositivo di misura che permette di associare ad ogni livello termico un numero èchiamato TERMOMETRO.

Punto di fusione delghiaccio a pressioneatmosferica 0°C

Punto di ebollizione dell’acqua a pressione atmosferica 100°C

SCALA DI TEMPERATURA

Detta X la sostanza termometrica e T = a . X la legge che lega la temperatura alla sostanza termometrica si ha:

T(Xg) = a . Xg Per il punto di fusione del ghiaccio

T(Xv) = a . Xv Per il punto di ebollizione dell’acqua

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

aT Xv T Xg

Xv XgT X

T Xv T Xg

Xv XgX

T XXv Xg

X

=−−

⇒ =−−

⋅

=−

⋅

100

Con questa scala si misurano per definizione 100 gradi di differenza tra due punti di riferimento (SCALA CENTIGRADA) ma non è detto che le loro indicazioni coincidano per ogni altra situazione

( )

( )

( )

( )

( )

T LLv Lg

T LRv Rg

R

T EEv Eg

E

T LPv Pg

P

T VVv Vg

V

=−

⋅

=−

⋅

=−

⋅

=−

⋅

=−

⋅

100

100

100

100

100

L Termometro a liquido (Alcool, Hg)

Termometro a resistenza elettrica

Termometro a termocoppia

Termometro a gas a volume costante

Termometro a pressione costante

Adoperando il termometro a gas a volume costante, le indicazioni che si ottengono con differenti gas sono tanto più vicine quanto più Pg tende a zero.

Il comportamento a cui tendono tutti i gas al tendere a zero della pressione si dice comportamento del gas ideale.

L’espressione scritta sotto definisce quindi la temperatura del termometro a gas ideale (Volume costante). L’unità di misura nel S.I. è il kelvin K

O2

Aria

N2H2

TPv Pg

PPg=−

⋅→lim 0100

T(K)

P(kPa)

717.75

La temperatura di fusione del ghiaccio è definita come:

Tg = 273.15 K

Accanto alla scala di temperatura in kelvin è usata la scala in gradi celsius (°C), definita come:

t (°C) = T(K) - 273.15

TgPv

PgPg

=⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

−→

100

10lim

Successivamente anziché la temperatura di fusione del ghiaccio è stata presa a riferimento la temperatura del punto triplo dell’acqua TT posta per definizione pari a:

TT = 273,16 K

( )

( )

27316

27316

27316

.

.

.

= ⋅

= ⋅

= ⋅

a X

T XX

X

T PP

P

T

T

T

Scegliendo 273.16 permette di mantenere Tg = 273,15.

Infatti per l’acqua al passare della pressione dal valore di saturazione (0.006 atm) al valore del punto di fusione normale (1 atm) corrisponde una diminuzione della temperatura di fusione di un centesimo di grado.

La temperatura del punto triplo dell’acqua è quindi di 0.01 °C

GAS IDEALE

Dalla definizione di temperatura assoluta abbiamo visto che, per un qualsiasi gas, in un termometro a volume costante si ha:

Questo è dovuto al fatto che per un gas ideale il prodotto pressione volume molare dipende solo dalla temperatura.

Detto il volume molare definito come: con n numero di moli per un gas ideale si ha: n

Vv =

Tp p

pT

T 0lim16.273

→=

( ) ( )Tfvpp

=→ 0

lim ( ) Avpp

=→ 0

lim

Con A funzione della sola temperatura

ν

GAS IDEALE

Indicando con

Tp p

pT

T 0lim16.273

→= ( )

( )TT

p vp

vp

n

Vp

n

Vp

TT lim

lim16.273lim16.273

0==

→ da cui

( ) ( )T

vpvp T

16.273

limlim = con ( )

kmol

atmmvp T

3

414.22lim =

Il valore di 22.414 rappresenta il volume occupato da una kmole di gas ideale alla pressione di 1 atm ed alla temperatura del punto triplo dell’acqua

( )Kkmol

J

Kkmol

Jvp T

⋅=

⋅⋅⋅

= 2.831416.273

1001325.1414.22

16.273

lim 5

kmolK

JR

⋅= 2.8314

GAS IDEALE

Pertanto l’equazione di stato di un gas ideale può essere scritta come:

Sostituendo al volume molare la sua espressione si ha:

TRvp ⋅=⋅

Dove è la costante universale del gas R

TRnVp ⋅=⋅ Introducendo il volume specifico v definito come il volume occupato per unità di massa

kg

m

M

Vv

3

== TRnMvp ⋅=⋅⋅ TRM

nvp ⋅=⋅

Indicando con la massa molecolare si ha:n

MM = T

M

Rvp ⋅=⋅

GAS IDEALE

Indicando con una costante che dipende dalla massa molecolare del gas si ha:

L’equazione sopra scritta costituisce la prima proprietà del gas ideale

M

RR =

TRvp ⋅=⋅

Il gas ideale non esiste in natura, ma la legge è tanto più verificata quanto più piccola è la massa molecolare, quanto più bassa è la pressione e quanto più alta è la temperatura rispetto alla temperatura critica.

L’aria, ad esempio, può considerarsi un gas ideale con un errore dell’1% alla temperatura ambiente e per pressioni fino a 25 atm

Forme di Energia

Sistema

Macroscopica: Energia posseduta dal sistema nel suo insieme

Microscopica: Energia legata alla struttura molecolare. Può essere vista come somma dell’Energia cinetica e dell’Energia potenziale della molecola

Microscopica: Energia di traslazione

Energia di rotazione

Energia di vibrazione

Energia Sensibile

Microscopica: Energia legate alle forze intermolecolari, ovvero alle forze che legano tra loro le molecole

Energia che dobbiamo fornire per rompere il legame tra le molecole e realizzare un passaggio di stato. Un sistema allo stato liquido è ad un livello di energia più elevato di quello allo stato solido, mentre un sistema allo stato gassoso è ad un livello di energia maggiore di quello liquido.Le trasformazioni possono verificarsi senza il cambiamento della composizione chimica

Energia Intermolecolare

Energia Interna U (joule, J)È la somma delle energie microscopiche

Energia Interna U

U = f(T)Energia sensibile Energia latente

Energia latente

DIAGRAMMA T - v

A

B C

D

Se la pressione passa da 0.1 MPa (100 kPa) a 100 MPa, il volume specifico v diminuisce. L’ebollizione inizia ad una temperatura piùelevata (179.9 °C), il volume specifico del liquido saturo aumenta, mentre quello del vapore saturo diminuisce. Ne deriva che il segmento che unisce i punti di liquido saturo e vapore saturo è molto piùcorto. Un ulteriore aumento della pressione renderà più corto questo segmento, fino a ridurlo ad un punto. Per l’acqua questo avviene per una pressione di 22.09 MPa. Questo punto viene detto punto critico ed è caratterizzato dalla coincidenza dei punti rappresentativi dello stato di liquido saturo e dello stato di vapore saturo. La temperatura, la pressione ed il volume specifico di una sostanza pura che si trovi al punto critico sono chiamati, rispettivamente, temperatura critica Tcr, volume specifico critico vcr, pressione critica.

Per l’acqua:

•Pcr = 22.09 MPa

•Tcr = 374.14 °C

•vcr = 0.003155 (m3/kg)

DIAGRAMMA p-v-T

DIAGRAMMA p-v-T (Acqua)

Un liquido che per una data pressione si trova ad una temperatura inferiore a quella di saturazione, corrispondente a quella pressione, viene detto liquido sottoraffreddato. Analogamente un liquido è sottoraffreddato se, per una data temperatura, si trova ad una pressione superiore alla pressione di saturazione corrispondente a quella temperatura.

Un vapore si dice vapore surriscaldato se si trova, per una data pressione, ad una temperatura maggiore della temperatura di saturazione corrispondente alla pressione data.

Analogamente un vapore si dice surriscaldato se, per una data temperatura, si trova ad una pressione inferiore alla pressione di saturazione corrispondente alla temperatura data.

LIQUIDO SOTTORAFFREDDATO E VAPORE SURRISCALDATO

DIAGRAMMA p - v

Nel diagramma p-v le linee a temperatura T costante sono decrescenti, come mostrato in figura.

Il diagramma p-v non è molto usato nella tecnica in quanto il volume specifico del liquido lungo la curva limite inferiore, quando si è lontani dal punto critico, di molto inferiore del volume specifico del vapore saturo lungo la curva limite superiore. Per l’acqua a 20°C vl = 0.001 m3/kg e vv = 57.84 m3/kg. Il diagramma riportato in figura è volutamente deformato.

PROCESSI TERMODINAMICI

Consistono in trasformazioni che da uno stato iniziale di equilibrio termodinamico portano ad uno stato finale, sempre di equilibrio termodinamico

• Processo aperto • Lo stato iniziale e finale non coincidono

• Processo chiuso o ciclo • Lo stato finale e iniziale coincidono

• Sistema chiuso

o senza deflusso

• La massa resta confinata all’interno del sistema. Si possono avere scambi di calore e lavoro con l’esterno.

• Viene scambiata della massa con l’esterno

• Sistema aperto

o con deflusso

TRASFORMAZIONI REVERSIBILI O QUASI STATICHEIN SISTEMI SENZA DEFLUSSO

• CASO IDEALE: R = 0

• (1) Espansione senza attrito δL = p . dv

• CASO REALE:

• (1) Espansione con attrito

δL = p . dv - R . dx dal sistema si ottiene un lavoro minore

• (2) Compressione con attrito

δL = p . dv +R . dx sul sistema si compie un lavoro maggiore

P

dxR

Rdx

(1)

(2)

dx = w . dτ

Se la trasformazione avviene in un tempo che tende all’infinito allora la possiamo considerare quasistatica

LAVORO LUNGO UNA TRASFORMAZIONE REVERSIBILE

12

p

v

L12 (+)

12

p

v

L21 (-)

v1 v2 v1 v2

Il lavoro è l’area sottesa dalla curva ed èpositivo quando c’è una espansione

Quando c’è una compressione è negativo

L p dv= ⋅∫1

2

LAVORO LUNGO UN CICLO CHIUSO REVERSIBILE

1 2

p

v

Ln = L12 + L21 (+)L12 > 0 ; L21 < 0L12 > L21

CICLO DIRETTO

p

vv1 v2 v1 v2

Ln (+)

2Ln (-)

1

Ln = L12 + L21 (-)L12 > 0 ; L21 < 0L12 < L21

CICLO INVERSO

CONVENZIONE SUI SEGNI

• (1) Espansione senza attrito

δL = p . dv (+)

Lavoro fatto dal sistema sull’esterno. Si prende positivo (+)

• (2) Compressione senza attrito

δL = p . dv (-)

Il lavoro è fatto dall’esterno sul sistema. Si prende negativo (-)

• Il calore è positivo quando dall’esterno entra nel sistema.

• E’ negativo quando è ceduto dal sistema all’esterno

P

dx(1)

Q(+)L(+)

P

dx(2)

Q(-)

L(-)

Q (+)Q (-)

Sistema

L (+)

L (-)

LAVORO CON DEFLUSSO

• SISTEMI APERTI

necessità di valutare il lavoro

utile prodotto da una massa m di

fluido che entra in una sezione ed esce

da un’altra

Turbina

Pompa

Tensione alternataT A

1

2

1 Sezione di ingresso

2 Sezione di uscita

T Turbina

Lu Lavoro utile

A Alternatore

Lu

EQUAZIONE DI BERNOULLI

τ+dτ

τ

Lu

Lu

Lu

Ι ΙΙ ΙΙΙ

( )ΔE Le Li= +∑Le Lavoro esterno

Li Lavoro internoΔE variazione dell’energia

cinetica

12

21

1 2

1 Sezione di ingresso

2 Sezione di uscita

Espressione di ΔE

( ) ( ) ( ) ( )[ ]ΔΔ Δ

E E E E EIII I II II= − + −+ +τ τ τ τ τ τ

( ) ( )ΔΔ

E E E E EIII II II I= + − ++τ τ τ

( ) ( )[ ]limΔ Δτ τ τ τ∂∂τ

τ→ += − =0 E E

EdII II

II

( )EIII τ τ+ΔEnergia cinetica nella sezione di uscita

( )EI τ Energia cinetica nella sezione di ingresso

Indicata con e l’energia cinetica per unità di massa e con m* la portata di massa, ovvero la massa che attraversa una data sezione nell’unità di tempo, possiamo scrivere:

( )lim *Δ Δτ τ τ

τ→ += ⋅ = ⋅ ⋅0 2 2 2 2E e m e m dIII

( )lim *Δτ τ

τ→ = ⋅ = ⋅ ⋅0 1 1 1 1E e m e m dI

Quindi

( )∂∂τ

τ τE

d e m e m d dE+ ⋅ − ⋅ ⋅ =2 2 1 1* *

Regime Stazionario

In regime stazionario

Indicate con w le velocità

∂∂ τ

E= 0

m m m1 2* * *= =

( )dE m e e dw w

m d= − ⋅ =−

⋅ ⋅* *2 1

22

12

2τ τ

Espressione dei Lavori Esterni

In regime stazionario

δLg: Lavoro della forza di gravità

∑ = +

= + + +

L L L

L L L L L

e i

e g n u t a∂ ∂ ∂ ∂ ∂'

( ) τ∂

∂

dzzgmL

dUL

g

pg

⋅−⋅⋅−=

−=

12*


δLn: Lavoro della forze di pressione

( ) τdmvpvpLn*

2211 ⋅⋅−⋅=∂

222111 dxdApdxApLn ⋅⋅−⋅⋅=∂

2211 dVpdVpLn ⋅−⋅=∂


δL’UT: Lavoro utile

δL’a: Lavoro delle forze di attrito

τdmRL a ⋅⋅−=∂ *12'

τdmLL UT ⋅⋅−=∂ *12''

Espressione dei Lavori Interni

Ι ΙΙΙ

1 2

P

P+dPΙΙ

dx

A’’

dxAPdxAdPPLi ''')(* ⋅−⋅⋅+=∂

A’

'''''* dVdPdVPdVPLi ⋅+⋅+⋅−=∂

Trascurando dPdV’’

( )'''* dVdVPLi ⋅−−=∂

Espressione dei Lavori Interni

( )[ ] τdmdvvvPLi ** ⋅+−−=∂

τdmdvPLi ⋅⋅⋅−=∂ ** Integrando su tutto il sistema

∫ ⋅=∂2

1

* dvPdmLi τ

CONCLUSIONI

ma ( ) ∫∫ ⋅−=⋅+⋅−⋅2

1

2

1

2211 dPvdvPvPvP

( ) ( ) ∫

∑⋅⋅+⋅−⋅−⋅⋅−⋅+−−=⋅

−

∂=2

1

**12

*12

*221112

**21

22 '

2dvPdmdmRdmLdmvPvPdzzgmdm

ww

LdE

ττττττ

( ) 0'2

*1212

2

1

12

21

22 =⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++⋅+−+

−∫ τdmRLdPvzzg

ww

Equazione di Bernoulli per deflusso stazionario, monodimensionale

In termini di potenza e per unità di massa

( ) 0'2 1212

2

1

12

21

22 =++⋅+−+

−∫ RLdPvzzg

ww

CONCLUSIONI

Deflusso senza lavoro utile

( ) 02 12

2

1

12

21

22 =+⋅+−+

−∫ RdPvzzg

ww

Deflusso senza lavoro utile e senza attrito

Deflusso senza lavoro utile e senza attrito di un fluido incomprimibile

( ) 02

2

1

12

21

22 =⋅+−+

−∫ dPvzzg

ww

( ) ( ) 02 1212

21

22 =−+−+

−PPvzzg

ww

LAVORO IN SISTEMI CON DEFLUSSO

12

1’

2’L’12

Il lavoro L12 rappresenta il lavoro totale scambiato fra il sistema e l’esterno, somma del lavoro utile L’12 e del lavoro di immissione ed emissione:

11221212 ' vPvPLL ⋅−⋅+=

Sostituendo L12 nell’espressione precedente si ha:

∫−= vdPL 12'

11221212' vPvPLL +−=

1122

2

112' vPvPPdvL +−= ∫ ∫−=2

112' vdpL

CONCLUSIONI

Nell’ipotesi si possa trascurare la variazione di energia cinetica, la variazione di energia potenziale ed il lavoro delle forze di attrito (trasformazioni reversibili) si ha:

∫ ⋅−=2

1

12' dPvL

1

2p

vv1v2

∫ ⋅−=2

1

12' dPvL

ESEMPI

Processo a volume costante

È quanto avviene in una turbina idraulica dove P1 e P2 sono le pressioni a monte ed a valle della turbina. Le variazioni di volume sono trascurabili. Il lavoro utile esterno è dovuto alla differenza tra il lavoro di immissione e quello di emissione. Per trasformazioni reversibili si ha:

( )21

2

1

12' PPvdPvL −=⋅−= ∫

10 kg

16 °C

Qe = 1500 kJ

Qu = 50 kJ

10 kg

50 °C

L = 0

1 2

p

vv1 v2

Ln (+)

1 2

p

vv1 v2

Ln (+)

Qe

Qu

PRIMO PRINCIPIO DELLA TERMODINAMICA

In un processo ciclico la quantità di calore netto scambiata fra il sistema e l’esterno (presa con il suo segno) è uguale alla quantità di lavoro netto scambiato (presa con il suo segno).

∫∫ = LQ δδ

Il primo principio si chiama anche principio della equivalenza fra calore e lavoro o anche principio di conservazione dell’energia

( ) 0=−∫ LQd

LdUQ t δδ +=

( ) 0==− ∫∫ tdULQd

PRIMO PRINCIPIO DELLA TERMODINAMICA

Per unità di massa

LduQ t δδ +=

dove

Dove ut è la somma di tre termini:•Energia interna u•Energia cinetica

•Energia potenziale

2

2w

zg ⋅

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅++= zg

wuddut 2

2

pertanto dzgw

dLduQ ⋅+++=2

2

δδ

Per una trasformazione finita

( )12

21

22

121212 2zzg

wwLuuQ −+

−++−=

Trascurando le variazioni di energia cinetica e potenziale si ha: LduQ δδ +=

PRIMO PRINCIPIO NEI SISTEMI CON DEFLUSSOENTALPIA

12

1’

2’L’12

Per l’unità di massa ( )12

21

22

121212 2zzg

wwLuuQ −+

−++−=

Il lavoro L12 rappresenta il lavoro totale scambiato fra il sistema e l’esterno, somma del lavoro utile L’12 e del lavoro di immissione ed emissione:

11221212 ' vPvPLL ⋅−⋅+=

Sostituendo L12 nell’espressione precedente si ha:

PRIMO PRINCIPIO NEI SISTEMI CON DEFLUSSOENTALPIA

Definendo l’entalpia per unità di massa come:

L’equazione sopra scritta rappresenta il primo principio per sistemi con deflusso. L’entalpia, essendo somma di funzioni di stato, è una funzione di stato

( )12

21

22

1122121212 2' zzg

wwvPvPLuuQ −+

−+⋅−⋅++−=

( ) ( ) ( )12

21

22

1211122212 2' zzg

wwLvPuvPuQ −+

−++⋅+−⋅+=

( )vPuh ⋅+=

( )12

21

22

121212 2' zzg

wwLhhQ −+

−++−=

PRIMO PRINCIPIO NEI SISTEMI CON DEFLUSSO

Trascurando le variazioni di energia cinetica e potenziale ed utilizzando la forma differenziale, possiamo riscrivere il primo principio come:

'LdhQ δδ +=

Per trasformazioni reversibili dPvL ∫−=2

1

12' da cui

solo per trasformazioni reversibili vdPdhQ −=δ

CALORI SPECIFICI

Si consideri l’energia interna come funzione di due variabiliallora:

( )vTfu ,=

dvv

udT

T

udu

Tv

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

=

Definendo il calore specifico a volume costante cv come il rapporto tra la variazione di energia interna che subisce l’unità di massa del sistema e la sua variazione infinitesima di temperatura fra due stati di equilibrio allo stesso volume

vv T

uc ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

=

dvv

udTcdu

Tv ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+=

Per un processo a volume costante dTcdu v=

CALORI SPECIFICI

Per un processo a volume costante e reversibile da cui

Definendo il calore specifico a pressione costante cp come il rapporto tra la variazione di entalpia che subisce l’unità di massa del sistema e la sua variazione infinitesima di temperatura fra due stati di equilibrio alla stessa pressione

( )pTfh ,=

dpp

hdT

T

hdh

Tp⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

=

Si consideri l’entalpia come funzione di due variabiliallora:

duQ =δ

dTcQ v=δ

CALORI SPECIFICI

Dalla definizione di calore specifico a pressione costante da cuip

p T

hc ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

=

dpp

hdTcdh

T

p ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+=

Per un processo isobaro e reversibile da cuidhQ =δ

dTcQ p=δ

CALORI SPECIFICI

Oltre ai calori specifici a pressione e volume costante si possono definire calori specifici lungo altre trasformazioni. Questi calori specifici vanno definiti in funzione di variazioni di parametri del sistema. Per il momento possiamo dire che il calore specifico lungo una trasformazione reversibile è definito come il rapporto tra il calore scambiato durante un processo e la variazione di temperatura che il sistema subisce. Per un processo fra due stati molto vicini si ha:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

=T

Qc

Processo adiabatico 0=Qδ 0=c

Processo isotermo 0=dT ∞=c

Compressione di un gas con cessione di calore

0>dT0<Qδ

0<c

GAS IDEALE

Dalla definizione di temperatura assoluta abbiamo visto che, per un qualsiasi gas, in un termometro a volume costante si ha:

Questo è dovuto al fatto che per un gas ideale il prodotto pressione volume molare dipende solo dalla temperatura.

Detto il volume molare definito come: con n numero di moli per un gas ideale si ha:

vn

Vv =

Tp p

pT

T 0lim16.273

→=

( ) ( )Tfvpp

=→ 0

lim ( ) Avpp

=→ 0

lim

Con A funzione della sola temperatura

GAS IDEALE

Indicando con

Tp p

pT

T 0lim16.273

→= ( )

( )TT

p vp

vp

n

Vp

n

Vp

TT lim

lim16.273lim16.273

0==

→ da cui

( ) ( )T

vpvp T

16.273

limlim = con ( )

kmol

atmmvp T

3

414.22lim =

Il valore di 22.414 rappresenta il volume occupato da una kmole di gas ideale alla pressione di 1 atm ed alla temperatura del punto triplo dell’acqua

( )Kkmol

J

Kkmol

Jvp T

⋅=

⋅⋅⋅

= 2.831416.273

1001325.1414.22

16.273

lim 5

kmolK

JR

⋅= 2.8314

GAS IDEALE

Pertanto l’equazione di stato di un gas ideale può essere scritta come:

Sostituendo al volume molare la sua espressione si ha:

TRvp ⋅=⋅

Dove è la costante universale del gas R

TRnVp ⋅=⋅ Introducendo il volume specifico v definito come il volume occupato per unità di massa

kg

m

M

Vv

3

== TRnMvp ⋅=⋅⋅ TRM

nvp ⋅=⋅

Indicando con la massa molecolare si ha:n

MM = T

M

Rvp ⋅=⋅

GAS IDEALE

Indicando con una costante che dipende dalla massa molecolare del gas si ha:

L’equazione sopra scritta costituisce la prima proprietà del gas ideale

M

RR =

TRvp ⋅=⋅

Il gas ideale non esiste in natura, ma la legge è tanto più verificata quanto più piccola è la massa molecolare, quanto più bassa è la pressione e quanto più alta è la temperatura rispetto alla temperatura critica.

L’aria, ad esempio, può considerarsi un gas ideale con un errore dell’1% alla temperatura ambiente e per pressioni fino a 25 atm

ENERGIA INTERNA ED ENTALPIA DI UN GAS IDEALE

La seconda legge che caratterizza il gas ideale riguarda l’espressione dell’energia interna e deriva da una esperienza dovuta a Joule. Con questa esperienza si dimostrò che, per un gas ideale, l’energia interna è funzione della sola temperatura.

perciò( )Tfu =

dvv

udT

T

udu

Tv

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

= il secondo termine del secondo membro è, quindi, nullo. pertanto

dTcdu v=

L’espressione è valida per un gas ideale qualunque sia la trasformazione

dTT

udu ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

=

ENERGIA INTERNA ED ENTALPIA DI UN GAS IDEALE

Se si considera la funzione entalpia per un gas ideale

perciò

il secondo termine del secondo membro è, quindi, nullo. Pertanto

L’espressione è valida per un gas ideale qualunque sia la trasformazione

( )Tfh =

dpp

hdT

T

hdh

Tp⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

=

dTT

hdh ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

= dTcdh p=

RELAZIONE TRA I CALORI SPECIFICI

Dalla definizione di entalpia si ha:

perciò

Indicando

( )vpddudh ⋅+=vpuh ⋅+=

( )RTddTcdTc vp += RdTdTcdTc vp +=

da cuiRcc vp +=

v

p

c

ck = con k>1

Rk

kcp 1−

= Rk

cv 1

1

−=

ALCUNI PROCESSI DEL GAS IDEALE

1) Processo ISOCORO (volume costante)

RTpv =

1

2p

(Pa)

v (m3/kg)

11 RTvp =

22 RTvp =

v

2

2

1

1

T

p

T

p=

Processo ISOCORO senza deflusso

LduQ δδ += pdvduQ +=δ 0=Lδma v = cost.

duQ =δ dTcQ v=δ ( )1212 TTcQ v −=


Processo ISOCORO con deflusso

'LdhQ δδ += vdpdhQ −=δ

( ) ( )121212 ppvTTcQ p −−−=

1

2p

(Pa)

v (m3/kg)v

( )1212' ppvL −−=

L’12

∫−=2

1

12' vdpL

( ) ( ) 1212121212 RTRTTTcvpvpTTcQ pp +−−=+−−=

( )( )1212 TTRcQ p −−= ( )1212 TTcQ v −=


2) Processo ISOBARO (pressione costante)

RTpv =1 2

p

(Pa)

v (m3/kg)v1Processo ISOBARO senza deflusso

LduQ δδ += pdvduQ +=δ

v2

11 RTpv =

22 RTpv = 2

2

1

1

T

v

T

v=

( )12

2

1

12 vvppdvL −== ∫( ) 121212 LTTcQ v +−=

( ) ( )121212 vvpTTcQ v −+−= ( )1212 TTcQ p −=

L12


Processo ISOBARO con deflusso

'LdhQ δδ += vdpdhQ −=δ

p

(Pa)

v (m3/kg)

0'12 =Lv1 v2

1 2

( )1212 TTcQ p −=

∫−=2

1

12' vdpL


3) Processo ISOTERMO (temperatura costante)

RTpv =1

2

p

(Pa)

v (m3/kg)v1Processo ISOTERMO senza deflusso

LduQ δδ +=

v2

L12

RTvp =11

RTvp =22

2211 vpvp =

costante=pv

0== Tcu vδδma

1212 LQ =LQ δδ =1

22

1

2

1

12 lnv

vRT

v

dvRTpdvL === ∫∫

1

21212 ln

v

vRTLQ ==


1

2

v (m3/kg)v1

Processo ISOTERMO con deflusso

v2

L12

ma 0== Tch pδδ'LdhQ δδ +=

'LQ δδ = 1212 'LQ =

1

2

1

2

2

12

1

2

1

12 lnlnln'v

vRT

RTv

RTvRT

p

pRT

p

dpRTvdpL ===−=−= ∫∫

1

21212 ln'

v

vRTLQ ==

Il lavoro lungo una isoterma reversibile nel caso con deflusso è lo stesso di quello nel caso senza deflusso


3) Processo ADIABATICO (senza scambio di calore)

1

2

p

(Pa)

v (m3/kg)v1

LduQ δδ +=

v2

L12

ma RTpv = da cui RdTvdppdv =+

( )dTccvdppdv vp −=+

(1) 0=+ pdvdTcv

sostituendo in (1)

( ) pdvvdppdvcc

c

vp

v ++−

0=+ vdpcpdvc vp 0=+p

dp

v

dvk

vp cc

vdppdvdT

−+

=

costante=kpvkk vpvp 2211 =


La curva che rappresenta l’adiabatica è piùripida di quella che rappresenta l’isoterma (iperbole equilatera) 1

2

p

(Pa)

v (m3/kg)v1 v2

isoterma

infatti per l’iperbole (isoterma) si ricava

adiabatica

v

p

dv

dp−=

per l’adiabaticav

pk

dv

dp−=


Trasformazione adiabatica reversibile senza deflusso

1

2

p

(Pa)

v (m3/kg)v1 v2

L12

ma quindi duL −=δ0=Qδ

(J kg-1)

1

2

p

(Pa)

v (m3/kg)v1 v2

L’12

Trasformazione adiabatica reversibile con deflusso

LduQ δδ +=

)()( 211212 TTcTTcL vv −=−−=

'LdhQ δδ += dhL −='δ

)()(' 211212 TTcTTcL pp −=−−=

)(' 2112 TTkcL v −=In una adiabatica con deflusso il lavoro è k volte quello senza deflusso

SECONDO PRINCIPIO DELLA TERMODINAMICA

Il primo principio esprime la conservazione dell’energia e fissa l’equivalenza fra le diverse forme

Oggetto “caldo”

Ambiente più “freddo”

Q

Il primo principio della termodinamica non vieta che un oggetto “caldo”posto in un ambiente più “freddo” si riscaldi. È esperienza comune che ciò non si verifica.

È esperienza comune che un oggetto a temperatura maggiore posto in un ambiente a temperatura minore diminuisca la sua temperatura. L’energia termica persa dall’oggetto a temperatura maggiore è uguale quella ricevuta dall’ambiente circostante


Ambiente più freddo

Q

Le trasformazioni avvengono spontaneamente solo in un certo verso e non secondo quello opposto.

Nel riscaldamento di un ambiente ottenuto tramite una stufa a resistenza elettrica, l’energia elettrica fornita ai capi della resistenza è uguale all’energia ceduta sotto forma di calore all’ambiente. In accordo con il primo principio della termodinamicaEe

Q

Ee=0

Fornendo calore alla stufa non si provoca una generazione di una pari quantità di energia elettrica ai capi della resistenza, anche se ciò non è in contrasto con il primo principio della termodinamica


Il secondo principio della termodinamica non si limita alla solaindividuazione del verso di una trasformazione, ma fornisce i mezzi necessari per determinare la qualità dell’energia e per quantificarne il degrado a seguito di una trasformazione, permettendo inoltre di determinare i limiti teorici per la prestazione dei dispositivi di trasformazione dell’energia.

Il primo principio della termodinamica non pone alcuna restrizione al verso di una trasformazione e la sua soddisfazione non assicura che la trasformazione avvenga in realtà, si sopperisce a questa inadeguatezza con il secondo principio della termodinamica.

Una trasformazione può avvenire soltanto se soddisfa contemporaneamente il primo ed il secondo principio della termodinamica

trasformazione1° principio 2° principio

SERBATOI DI ENERGIA TERMICA

Il serbatoio di energia termica o serbatoio di calore è definito come un corpo di capacità termica ( ) relativamente grande e tale da fornire o assorbire una qualsiasi quantità finita di calore senza subire alcuna variazione di temperatura

•oceani

•laghi

•fiumi

•atmosfera

Esempi

cmC ⋅=

I serbatoi che forniscono calore sono anche detti sorgenti, mentre quelli che lo assorbono sono detti pozzi (sorgenti a temperatura inferiore)

Sorgente

Q

Pozzo

Q

MOTORI TERMICI

Il lavoro può essere facilmente convertito in altre forme di energia, ma, al contrario, la conversione di altre forme di energia in lavoro non è spontanea né semplice. Per convertire il calore in lavoro c’èbisogno di dispositivi appositamente progettati detti motori termici

Qu

SorgenteT1

SorgenteT0

Qe

MTLn

con

T1 > T0

I motori termici

•ricevono calore da una sorgente ad alta temperatura

•convertono parte di questo calore in lavoro

•cedono la parte rimanente di calore ad una sorgente a temperatura inferiore

•funzionano secondo un ciclo

uen QQL +=

uen QQL −=

RENDIMENTO TERMICO DI UNA MACCHINA TERMICA

Poiché il calore ceduto dal sistema alla sorgente a temperatura inferiore è sempre diverso da zero, il lavoro netto fornito dal sistema all’esterno è sempre minore del calore assorbito dalla sorgente a temperatura maggiore. Si può quindi quantificare l’efficienza di una macchina termica mediante il rendimento termico η definito come:

e

n

Q

L=η

dove Ln è il lavoro netto fornito dal sistema e Qe il calore assorbito dal sistema. Dal primo principio si ha:

e

u

e

ue

Q

Q

Q

QQ+=

+= 1η

Esempi di rendimento•autovettura 20%•motori Diesel 30%•grandi impianti a vapore 40%

considerando i segnie

u

Q

Q−= 1η 0 < η < 1

RENDIMENTO TERMICO DI UNA MACCHINA TERMICA

P

Gas

30°C

P

Gas

90°C

Se fosse possibile cedere nuovamente alla sorgente a 100°C gli 85 kJ dell’energia del gas, si avrebbe un motore in cui η = 1. Ovviamente ciò non è possibile. Per consentire al gas di tornare nelle condizioni iniziali, si dovrebbe, per esempio, scambiare calore con un pozzo a 20°C. Questa energia non può essere utilizzata e prende il nome di energia di scarico

P

Gas

30°C

Qu = 85 kJ

Sorgente 100 °C

Pozzo 20 °C

Lu = 15 kJ

Qe = 100 kJ

Secondo Principio della Termodinamica: enunciato di KELVIN - PLANCK

È impossibile costruire una macchina ciclica il cui unico effetto sia la trasformazione in lavoro di tutto il calore assorbito da una sorgente a temperatura uniforme e costante

MT

Qe = 2729 kJ/kg

Sorgente T1

Qu = 2019 kJ/kg

Pozzo T0

MT

Qu = 0

Ln = 709 kJ/kg

η= 26 % η= 100 %Sorgente

T1

Qe = 2729 kJ/kg

Ln = 2729 kJ/kg

SCHEMA DI UN IMPIANTO MOTORE A VAPORE

caldaia

Sorgente

Qe

pompa

condensatore

Pozzo

turbina Lu

Qu

Le

eun LLL +=

eun LLL −=

uen QQL −=

Secondo Principio della Termodinamica: enunciato di CLAUSIUS

È impossibile costruire una macchina ciclica il cui unico effetto sia il trasferimento di calore da un corpo a temperatura più bassa ad un corpo a temperatura più elevata.

Qi = 5 kJ

Qe = 7 kJ

MFLn = 2 kJ

Ambiente caldo T1

Ambiente freddoTi

Qe = 7 kJ

MF Ln = 0

Qu = 0

Ambiente caldoT1

Ambiente freddoTi

Secondo Principio della Termodinamica: Equivalenza dei due enunciati

Si consideri la combinazione di una macchina termica e di una macchina frigorifera;si ipotizzi che la MT, violando il 2° principio nell’enunciato di Kelvin, abbia trasformato in lavoro Lu

tutto il calore Qe ricevuto. Si fornisca il lavoro Lu così ottenuto alla MF che assorbe la quantità di calore Qi dalla sorgente fredda T0 e restituisce Qe + Qi

alla sorgente calda T1. Pertanto il lavoro netto Qn della macchina, costituita dalla combinazione di MT e MF, è nullo, mentre il calore netto scambiato con T1 èuguale a Qi. Quindi, il risultato complessivo è un trasferimento di calore dalla sorgente fredda verso quella piùcalda senza compiere lavoro. Questo contraddice l’enunciato di Clausius. Perciò se è falso l’enunciato di Kelvin deve essere falso anche quello di Clausius. Se è vero un enunciato è vero anche l’altro

MF Ln = 0

Qi

Ambiente freddoT0

MT

Sorgente T1

Qe

Lu = LiQe =

Qe + QiQn= Qi

MACCHINE FRIGORIFERE

Il calore fluisce spontaneamente nel verso delle temperature decrescenti. Il processo inverso, come abbiamo visto, non è spontaneo ma perché possa essere realizzato occorrono apparecchiature speciali dette macchine frigorifere.

MF

Qi

Ambiente refrigerato

Ti

Ln

ine

ien

ien

nn

QLQ

QQL

QQL

QL

+=

+−=−

+==

Qe

Ambiente esterno Te > Ti

MF

Qi = 143 kJ/kg


Ti

Ln = 36 kJ/kg

Qe= 179 kJ/kg


n

i

L

Q=ε

ε = 3.972

MACCHINA FRIGORIFERA

evaporatore

Qe

valvola di laminazione

condensatore

Qi

Ln= 36 kJ/kg

Ambiente esternoTe


Ti

800 kPa

30°C

140 kPa

-20°C

140 kPa

-20°C

800 kPa

30°C

Ln

Qi = 143 kJ/kg

Qe = 179 kJ/kg

1

2 3

4

ε = 3.972

POMPE DI CALORE

PdC

Qi = 5 kJ

Ambiente refrigerato Ti = - 2 °C

Ln = 2 kJ

ε1 = 3.5

PdCLn

Qi

Ambiente esterno

Ti

ine

ien

ien

nn

QLQ

QQL

QQL

QL

+=

+−=−

+==

Qe

Ambiente riscaldato Te > Ti

n

e

L

Q=1ε

εε

ε

ε

+=

+=

+==

1

1

1

1

1

n

i

n

in

n

e

L

Q

L

QL

L

Q

Qe= 7 kJ

Ambiente riscaldato Te = 20 °C

TEOREMA E CICLO DI CARNOT

Il secondo principio della termodinamica pone alcune limitazioni al funzionamento delle macchine termiche che operano secondo un ciclo. Un motore termico, infatti, non può fornire lavoro netto scambiando calore con una sola sorgente ed una macchina frigorifera non può funzionare se non si fornisce lavoro dall’esterno.

I teoremi di Carnot, che si riferiscono al rendimento dei motori termici, si possono esprimere come:

• Il rendimento di un motore termico irreversibile è sempre minore di quello di uno reversibile che operi tra le due stesse sorgenti di calore.

• I rendimenti di tutti i motori termici reversibili che operino tra le due stesse sorgenti di calore sono gli stessi.

In sostanza i teoremi di Carnot affermano che il rendimento massimo si ottiene con un ciclo in cui le trasformazioni siano reversibili e questo rendimento è :

( )21,TTfILEIRREVERSIBEREVERSIBIL

=>

ηηη

• indipendente dalla sostanza che percorre il ciclo

• dipende solo dalle temperature delle due sorgenti.

RENDIMENTO DEL MOTORE TERMICO DI CARNOT

CICLO DI CARNOT

P P

4 1 compressione adiabatica

P

Gas

T1 = cost

Gas

T1 = costL12Sorgente

T1

1 2 espansione isoterma

Qe

1

2

P L23

2 3 espansione adiabatica

Isol

amen

to t

erm

ico

Gas

T1

Gas

T2 < T1

2

3

Gas

T2 = cost

Pozzo

T2

Qu

Gas

T2 = cost

3 4 compressione isoterma

3

4

L34

Isol

amen

to t

erm

ico

Gas

T2

4

L41

Gas

T1 = cost 1

CICLO DI CARNOT

• 1-2 espansione isoterma reversibile

LduQ δδ += 0== dTcdu vma

1212 LQ =LQ δδ =

• 2-3 espansione adiabatica reversibile

LduQ δδ += 0 LdTc v δ+=

con T2 < T1 quindi L23 > 0

con v2 > v1 quindi Q12 = L12 > 0

dTcL v−=δ

( )2123 TTcL v −=

1

21

2

1

1

2

1

12 lnv

vRT

v

dvRTpdvL === ∫∫

1

211212 ln

v

vRTLQ ==

p

(Pa) 2

v (m3/kg)

Ln

T1= cost

T2= cost

34

Q12

Q34

1

CICLO DI CARNOT

LduQ δδ += 0== Tcu vδδma

con v3 > v4 quindi Q34 = L34 < 0

• 3-4 compressione isoterma reversibile

LQ δδ = 3434 LQ =

• 4-1 compressione adiabatica reversibile

LduQ δδ += 0 LdTc v δ+=

con T2 < T1 quindi L41 < 0

dTcL v−=δ

( )1241 TTcL v −=

( )2141 TTcL v −−=

4

323434 ln

v

vRTLQ −==

3

42

4

3

2

4

3

34 lnv

vRT

v

dvRTpdvL === ∫∫

3

423434 ln

v

vRTLQ ==

4

323434 ln

v

vRTLQ ==

p

(Pa)

v (m3/kg)

Ln

T1= cost

T2= cost

34

Q12

Q34

2

1


1

21

4

32

ln

ln

1

v

vRT

v

vRT

−=η12

34111Q

Q

Q

Q

Q

Q

e

u

e

u −=−=+=η ma

1

2

4

3 lnlnv

v

v

v=

Infatti per l’adiabatica reversibile si può scrivere

LduQ δδ += 0=+ pdvdTcv ovvero pdvdTcv −=

integrando

mav

RTp = sostituendo

v

dvRTdTcv −= separando le variabili

v

dvR

T

dTcv −=

∫ ∫=2

1

3

2

T

T

v

v

v v

dvR

T

dTc

2

3

1

2 lnlnv

v

T

T

R

c v = Per la trasformazione 4-1 si ha:

∫ ∫=1

2

1

4

T

T

v

v

v v

dvR

T

dTc

4

1

2

1 lnlnv

v

T

T

R

cv = ovvero1

4

1

2 lnlnv

v

T

T

R

cv =

In definitiva1

4

2

3

v

v

v

v=

1

2

4

3

v

v

v

v=

1

21T

T−=η


Il rendimento termico di Carnot è il più alto rendimento di un motore termico che compia il suo ciclo tra due serbatoi di calore alle temperature Ts e Ti. Per un motore termico reale questo rendimento è irraggiungibile perché è praticamente impossibile eliminare completamente tutte le irreversibilità associate al ciclo reale. Si noti che le temperature sono temperature assolute.

I rendimenti termici dei motori che funzionano tra le stesse temperature devono soddisfare la relazione

Qu

Qe

MTCarnot

Ln

Sorgente Ts = 1000 K

Pozzo Ti = 300 K

η = 70 %

s

i

T

T−=1η

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

>=<

iimpossibil motori

ireversibil motori

iliirreversib motori

rev

rev

ηηη

ηrev

La maggior parte delle macchine termiche hanno rendimenti inferiori al 40%. Questo potrebbe sembrare un valore basso ma si osservi che il confronto non deve essere fatto con il 100%, ma con il rendimento di Carnot.

Il rendimento termico dei motori reali (come quello di Carnot) può essere ottimizzato fornendo calore alla più alta temperatura possibile e cedendo calore alla più bassa temperatura possibile.

Qualità dell’energia

Qu

Qe

MTCarnot

Ln

Sorgente Ts

Pozzo Ti = 303 K

s

i

T

T−=1η

Per l’energia si può parlare di qualitàoltre che di quantità. Infatti considerando i valori del rendimento, si può notare come può essere convertita in lavoro una quantitàmaggiore di calore se essa è fornita ad alta temperatura . Più è alta la temperatura della sorgente maggiore è la qualità dell’energia.

Ts(K) η%925 67.2800 62.1700 56.7500 39.4350 13.4

Energiatermica

T (K)

500

1000

1500

2000Qualità

Il lavoro è una forma di energia di qualità molto più elevata dal momento che il 100% di esso può essere convertito in calore.

MACCHINA FRIGORIFERA DI CARNOT

Analogamente a quanto fatto per il ciclo diretto, per la macchina frigorifera di Carnot(ciclo inverso) si ha:

Qi

Qe

MFdi Carnot

Ln



Ti

n

i

L

Q=ε

is

i

TT

T

−=ε

p

(Pa)

1

2

v (m3/kg)

Ln < 0

Ts= cost

Ti= cost

3

4

Q41 =

Q23 =

Qe

Qi

DISUGUAGLIANZA DI CLAUSIUS ED ENTROPIA

Si consideri un ciclo reversibile e lo si immagini scomposto in tanti cicli di Carnot. Il generico ciclo assorbe una quantità di calore δQi alla temperatura Ti e cede δQj alla temperatura inferiore Tj.

p

(Pa)

v (m3/kg)

δQj

δQiTi

Tj

i

j

i

j

Q

Q

T

T

δδ

η −=−= 11

j

j

i

i

T

Q

T

Q δδ= 0=−

j

j

i

i

T

Q

T

Q δδ

0=+j

j

i

i

T

Q

T

Q δδ0

1

=∑=

n

i i

i

T

Qδ

Considerando il limite per n→ ∞ 0Re

=∫v T

Qδ


L’espressione rappresenta un differenziale esatto dove S è una funzione di stato cui si dal il nome di entropia.

0Re

=∫v T

QδT

Qds

δ= J kg-1 K-1

L’entropia è una funzione di stato per cui l’integrale esteso ad un ciclo chiuso è sempre uguale a zero. Si osservi che l’uguaglianza con il calore scambiato diviso la temperatura alla quale viene scambiato è stata ottenuta per un ciclo reversibile.

Per un ciclo irreversibile si ha.

i

j

i

j

Q

Q

T

T

δδ

η −>−= 11j

j

i

i

T

Q

T

Q δδ−>−

j

j

i

i

T

Q

T

Q δδ< 0<−

j

j

i

i

T

Q

T

Q δδ

0<+j

j

i

i

T

Q

T

Q δδ0<∫

Irrev T

Qδ∫>

Irrev T

Qds

δ

o

T

QdS

δ= J K-1


In definitiva

La variazione di entropia di un sistema chiuso durante una trasformazione irreversibile è maggiore dell’integrale della grandezza δQ/T valutato lungo quella trasformazione. Solo nel caso di una trasformazione reversibile le due quantità diventano uguali.

T

Qds

δ≥

gendsT

Qds +=

δ

T

Qds

δ≥

La quantità δQ/T rappresenta l’entropia scambiata per scambio termico. Pertanto la variazione di entropia durante una trasformazione irreversibile è sempre maggiore dell’entropia scambiata e ciò implica che, durante una trasformazione irreversibile, vi sia la generazione di entropia a causa delle irreversibilità.

gensT

Qss +=− ∫

2

1

12

δ

sgen è una quantità positiva o al più nulla. Ha un valore che dipende dalla particolare trasformazione per cui non è una grandezza di stato

ENTROPIA

Durante una trasformazione l’entropia di un sistema isolato o adiabaticonon diminuisce mai, al più rimane costante se la trasformazione èreversibile. Si noti che in assenza di scambio termico l’aumento di entropia è dovuto alle sole irreversibilità.

Dal momento che nessuna trasformazione reale è reversibile, si può affermare che ogni trasformazione comporta la generazione di unaquantità di entropia e l’aumento dell’entropia dell’universo considerato come sistema isolato.

0≥ds

⎪⎩

⎪⎨

⎧

<=>

0

0

0

gens

Trasformazione irreversibile

Trasformazione reversibile

Trasformazione impossibile

ENTROPIA

• Le trasformazioni possono avvenire spontaneamente solo in un certo verso che sia in accordo con il principio dell’aumento dell’entropia; in modo che si abbia Sgen ≥ 0. Non sono possibili trasformazioni in contrasto con il principio di aumento dell’entropia.

• L’entropia si conserva solo durante trasformazioni reversibili e non si conserva durante tutte le trasformazioni reali. L’entropia dell’universo è sempre in aumento

• L’entropia generata misura l’entità delle irreversibilità dei processi termodinamici reali, che limitano le prestazioni dei sistemi di produzione dell’energia.

BILANCIO ENTROPICO PER I VOLUMI DI CONTROLLO

Q

mese

su

mu

T

Il bilancio entropico per i volumi di controllo deve tenere conto del trasporto di massa attraverso il contorno del volume di controllo

genuuee SsmsmT

QS +−+=Δ

ττττdSsdmsdm

T

dQdS genuuee

••••

+⋅−⋅+= ∑∑∑

genuuei SsmsmT

Q

d

dS ••••

+⋅−+= ∑∑∑τPer trasformazioni stazionarie e per sistemi con un solo ingresso ed una sola uscita

( ) ∑•

••

−−=T

QssmS eugen J K-1 s-1

DIAGRAMMA T-s

L’area sottesa dalla curva della trasformazione reversibile, tracciata nel diagramma T-s, rappresenta la quantità di calore scambiata durante la trasformazione.

Si noti che l’area rappresenta il calore scambiato solo per trasformazioni reversibili, mentre per trasformazioni irreversibili non ha alcun significato.


21

dA = T ds = δQ

∫ ==2

1

QTdsArea

T(K)

s

(J kg-1 K-1)

12

Q12

s

T


CICLO DI CARNOT NEL DIAGRAMMA T-s

Trasformazione 2 - 3 isoentropica

Trasformazione 4 - 1 isoentropica

s

T

Ln,u

s1 s2

1 2

34

DIAGRAMMA T - s (Acqua)


Nella termodinamica si preferisce far uso di altri diagrammi, come il diagramma entropico.

L’andamento dell’isobara nel fluido sottoraffreddatoè volutamente distorto. In questa zona, in realtà, le isobare si confondono con la curva limite inferiore, per cui normalmente non vengono tracciate

DIAGRAMMA h - s

DIAGRAMMA p - h

1 2

34

Gen. Vapore

Qe

compressore

condensatore

turbina

Qu

4

1 2

3

CICLO A VAPORE DI CARNOT

Le

Lu

1 2

34

Gen. Vapore

Qe

pompa

condensatore

turbina

Qu

4

1

2

3

CICLO RANKINE

Le Lu

0

0

1 2

34

0

CICLO RANKINE

Trasformazione 0-2 δQ = dh+ δL’δL’ = 0δQ = dhQ02 = h2 - h0

Trasformazione 2-3

δQ = dh+ δL’δQ = 0δL’ = - dhL’40 = - (h0 - h4)

Trasformazione 3-4

δQ = dh+ δL’δQ = 0δL’ = - dhL’23 = (h2 - h3)

Trasformazione 4-0

δQ = dh+ δL’δL’ = 0δQ = dhQ34 = - (h3 - h4)

( )02

4032

hh

hhhh

Q

L

ass

n

−−−−

==η

02

32

hh

hh

−−

≅η

1 2

3

4

Gen. Vapore

Qe

pompa

condensatore

turbina

Qu

5

1

3

4

CICLO RANKINE CON SURRISCALDAMENTO (HIRN)

Le Lu

0

0

5

1 2

3

0

5


Trasformazione 3-4

δQ = dh+ δL’δQ = 0δL’ = - dhL’50 = - (h0 - h5)

Trasformazione 4-5

δQ = dh+ δL’δQ = 0δL’ = - dhL’34 = (h3 - h4)

Trasformazione 5-0

δQ = dh+ δL’δL’ = 0δQ = dhQ45 = - (h4 - h5)

4( )

03

5043

hh

hhhh

Q

L

ass

n

−−−−

==η

03

43

hh

hh

−−

≅η

CICLO RANKINE CON SURRISCALDAMENTO (HIRN)

CICLO INVERSO DI CARNOT

Qe

5evaporatore

condensatore

Qi

1

2 3

4

espansore compressore1

2 3

4

CICLO FRIGORIFERO

3

4

2

1

5evaporatore

Qe

condensatore

Qi

1

2 3

4

compressorevalvola di

laminazione

Le

CICLO FRIGORIFERO

34

23

34

23

hh

hh

L

Q

−−

==ε

1

2 3

4

Trasformazione 1-2 δQ= dh+ δL’δQ = 0δL’ = 0dh = 0h2 = h1


Trasformazione 3-4 δQ = dh+ δL’δQ = 0δL’ = - dhL’34 = - (h4 - h3)

Trasformazione 4-1 δQ = dh+ δL’δL’ = 0δQ = dhQ41 = - (h4 - h1)

ARIA UMIDA

Vaporeacqueo Aria secca

V, T

Miscela di aria secca e vapore acqueo contenutinello stesso volume V alla stessa temperatura T

ma massa aria secca

• N2, O2, Ar, CO2

La massa d’aria secca rimane sempre costante ed allo stato di gasLa massa di vapore può diminuire (condensazione) o aumentare(aggiunta di vapore). Nel primo caso si parla di deumidificazione, nel secondo di umidificazione

mv massa di vapore

kmol

kgM 97,29=

kmol

kgM 18≅

Pressione parziale del vapore Pv: pressione esercitata dal vapore quando nel volume V è presente il solo vapore

Pressione parziale dell’aria secca Pa: pressione esercitata dall’aria Secca quando nel volume V è presente la sola aria secca

Legge di Dalton: Pt = Pa + Pv

ARIA UMIDA

Ipotesi : L’aria secca ed il vapore acqueo hanno comportamento di gas ideale

ARIA UMIDA

TRvP

TRvP

aaa

vvv

⋅=⋅⋅=⋅

a

aM

RR =

v

vM

RR =

vv m

Vv =

aa m

Vv =

ARIA UMIDA

È il rapporto tra la massa di vapore e la massa d’aria seccapresenti nello stesso volume V alla stessa temperatura T

Umidità Specifica o assoluta x

È la grandezza fisica che indica quanti kg di vapore sono presenti per ogni kg di aria secca Se x diminuisce si parla di deumidificazione, se x aumenta di umidificazione

a

v

m

mx =

ARIA UMIDA

TRm

VP

TRm

VP

aa

a

vv

v

⋅=⋅

⋅=⋅

TRmVP vvv ⋅⋅=⋅

TRmVP aaa ⋅⋅=⋅dividendo

a

v

a

v

a

v

P

P

M

M

m

m⋅=

Umidità Specifica

a

v

a

v

a

v

P

P

M

M

m

m⋅=

a

v

P

Px ⋅= 623,0

a

v

a

v

P

P

m

mx 623,0==


12S

Pv

Umidità Relativa

È il rapporto tra la massa di vapore e la massa di vapore che puòessere contenuta in condizioni di saturazione nel volume V alla temperatura T

Umidità Relativa Φ

La x non da indicazioni delle condizioni in cui è contenuta la massa di vapore

sv

v

m

m

,

=Φ

Umidità Relativa

v

vM

RR =

vv m

Vv =

svsv m

Vv

,, =

v

svM

RR =,

TRvP

TRvP

vsvsv

vvv

⋅=⋅⋅=⋅

,,

TRmVP vvv ⋅⋅=⋅TRmVP vsvsv ⋅⋅=⋅ ,,

dividendo

sv

v

sv

v

P

P

m

m

,,

==Φ

sv

v

sv

v

P

P

m

m

,,

=

ENTALPIA DELL’ARIA UMIDA

va HHH +=m

Hh = ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛kg

JIndicando con h l’entalpia specifica

vvaa mhmhH ⋅+⋅= Dividendo per ma

a

vva

a m

mhh

m

H⋅+= va hxhh ⋅+= ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

askg

J

( )tcrxtch pvpa ⋅++⋅=

t (°C); h = 0 a 0 °C

cpa = 1,006 kJ/(kg K)

cpv = 1,875 kJ/(kg K)

r = 2501 kJ/kg


12S

Pv

3Tr

Diagramma Psicrometrico

Paroncini 2001


Paroncini 1999

A


Paroncini 2001

s

1

Riscaldamento senza umidificazione

A B

Paroncini 1999

Raffreddamento senza deumidificazione

AB

Paroncini 1999

Riscaldamento con umidificazione

A

B

C

E

F

Paroncini 1999

D

Raffreddamento con deumidificazione

A

B

AR

AB

Paroncini 1999


Paroncini 1999

A


A B

Paroncini 1999


AB

Paroncini 1999


A

B

C

D

F

Paroncini 1999

D


A

B

AR

AB

Paroncini 1999

Batteria alettata

Deumidificazione ed umidificazione

Miscelazione adiabaticaTA / mA

TB / mB

TM / mM

xB / hB

xA / hAxM / hM

?

Bilancio di massa di aria secca:

MBA mmm =+ (1)

Bilancio di massa di vapore d’acqua:

MMBBAA xmxmxm ⋅=⋅+⋅ (2)

Dalla 1 e dalla 2 consegue:

BA

BBAAM mm

xmxmx

+⋅+⋅

=

Miscelazione adiabatica

Bilancio di energia (1° Principio TD):

MMBBAA hmhmhm ⋅=⋅+⋅Quindi:

BA

BBAAM mm

hmhmh

+⋅+⋅

=

Ora poniamo:

AMMB hhehh >>


A

B

M


Bilancio di energia:

MMBBAA hmhmhm ⋅=⋅+⋅Da cui con la (1):

( ) MBABBAA hmmhmhm ⋅+=⋅+⋅

( ) ( )AMAMBB hhmhhm −⋅=−⋅

( )( )MB

AM

A

B

hh

hh

m

m

−−

=


Ossia: ( ) ( )MBAMAB hhhhmm −−= ::

A

BM

BMMAmm AB :: =


BMMAmm AB :: = ( ) BMABmmm AAB :: =+

BM

AB

m

mm

A

AB =+

( )( )( )AB

MB

BA

A

hh

hh

mm

m

−−

=+

Regola della leva

Schema impianto di climatizzazione

Batteria alettata



ARIA UMIDA

Vaporeacqueo Aria secca

V, T

Miscela di aria secca e vapore acqueo contenutinello stesso volume V alla stessa temperatura T

ma massa aria secca

• N2, O2, Ar, CO2

La massa d’aria secca rimane sempre costante ed allo stato di gasLa massa di vapore può diminuire (condensazione) o aumentare(aggiunta di vapore). Nel primo caso si parla di deumidificazione, nel secondo di umidificazione

mv massa di vapore

kmol

kgM 97,29=

kmol

kgM 18≅

Pressione parziale del vapore Pv: pressione esercitata dal vapore quando nel volume V è presente il solo vapore

Pressione parziale dell’aria secca Pa: pressione esercitata dall’aria Secca quando nel volume V è presente la sola aria secca

Legge di Dalton: Pt = Pa + Pv

ARIA UMIDA

Ipotesi : L’aria secca ed il vapore acqueo hanno comportamento di gas ideale

ARIA UMIDA

TRvP

TRvP

aaa

vvv

⋅=⋅⋅=⋅

a

aM

RR =

v

vM

RR =

vv m

Vv =

aa m

Vv =

ARIA UMIDA

È il rapporto tra la massa di vapore e la massa d’aria seccapresenti nello stesso volume V alla stessa temperatura T

Umidità Specifica o assoluta x

È la grandezza fisica che indica quanti kg di vapore sono presenti per ogni kg di aria secca Se x diminuisce si parla di deumidificazione, se x aumenta di umidificazione

a

v

m

mx =

ARIA UMIDA

TRm

VP

TRm

VP

aa

a

vv

v

⋅=⋅

⋅=⋅

TRmVP vvv ⋅⋅=⋅

TRmVP aaa ⋅⋅=⋅dividendo

a

v

a

v

a

v

P

P

M

M

m

m⋅=

Umidità Specifica

a

v

a

v

a

v

P

P

M

M

m

m⋅=

a

v

P

Px ⋅= 623,0

a

v

a

v

P

P

m

mx 623,0==


12S

Pv

Umidità Relativa

È il rapporto tra la massa di vapore e la massa di vapore che puòessere contenuta in condizioni di saturazione nel volume V alla temperatura T

Umidità Relativa Φ

La x non da indicazioni delle condizioni in cui è contenuta la massa di vapore

sv

v

m

m

,

=Φ

Umidità Relativa

v

vM

RR =

vv m

Vv =

svsv m

Vv

,, =

v

svM

RR =,

TRvP

TRvP

vsvsv

vvv

⋅=⋅⋅=⋅

,,

TRmVP vvv ⋅⋅=⋅TRmVP vsvsv ⋅⋅=⋅ ,,

dividendo

sv

v

sv

v

P

P

m

m

,,

==Φ

sv

v

sv

v

P

P

m

m

,,

=

ENTALPIA DELL’ARIA UMIDA

va HHH +=m

Hh = ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛kg

JIndicando con h l’entalpia specifica

vvaa mhmhH ⋅+⋅= Dividendo per ma

a

vva

a m

mhh

m

H⋅+= va hxhh ⋅+= ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

askg

J

( )tcrxtch pvpa ⋅++⋅=

t (°C); h = 0 a 0 °C

cpa = 1,006 kJ/(kg K)

cpv = 1,875 kJ/(kg K)

r = 2501 kJ/kg


12S

Pv

3Tr


Paroncini 2001


Paroncini 1999

A


Paroncini 2001

s

1


A B

Paroncini 1999


AB

Paroncini 1999


A

B

C

E

F

Paroncini 1999

D


A

B

AR

AB

Paroncini 1999


Paroncini 1999

A


A B

Paroncini 1999


AB

Paroncini 1999


A

B

C

D

F

Paroncini 1999

D


A

B

AR

AB

Paroncini 1999

Batteria alettata


Miscelazione adiabaticaTA / mA

TB / mB

TM / mM

xB / hB

xA / hAxM / hM

?

Bilancio di massa di aria secca:

MBA mmm =+ (1)

Bilancio di massa di vapore d’acqua:

MMBBAA xmxmxm ⋅=⋅+⋅ (2)

Dalla 1 e dalla 2 consegue:

BA

BBAAM mm

xmxmx

+⋅+⋅

=


Bilancio di energia (1° Principio TD):

MMBBAA hmhmhm ⋅=⋅+⋅Quindi:

BA

BBAAM mm

hmhmh

+⋅+⋅

=

Ora poniamo:

AMMB hhehh >>


A

B

M


Bilancio di energia:

MMBBAA hmhmhm ⋅=⋅+⋅Da cui con la (1):

( ) MBABBAA hmmhmhm ⋅+=⋅+⋅

( ) ( )AMAMBB hhmhhm −⋅=−⋅

( )( )MB

AM

A

B

hh

hh

m

m

−−

=


Ossia: ( ) ( )MBAMAB hhhhmm −−= ::

A

BM

BMMAmm AB :: =


BMMAmm AB :: = ( ) BMABmmm AAB :: =+

BM

AB

m

mm

A

AB =+

( )( )( )AB

MB

BA

A

hh

hh

mm

m

−−

=+

Regola della leva


Batteria alettata



Documents

Corso di FISICA TECNICA a.a. 2010/11 prof. Massimo Paroncini · Yunus A. Çengel,Termodinamica e Trasmissione del Calore, McGraw-Hill, 2009 Problemi termoigrometrici degli edifici