Corso di Fondamenti Fisici di Tecnologia Moderna ...milotti/Didattica/... · Edoardo Milotti - Fondamenti Fisici di Tecnologia Moderna t MULTIPLIERS SOME BASICS In its simplest conceptual

INTRODUZIONE AGLI AMPLIFICATORI OPERAZIONALI

Corso di Fondamenti Fisici di Tecnologia Moderna

RETROAZIONE (FEEDBACK)

G

α

++

Sin Sout

Sout = G ⋅ Sin +αSout( )

Sout =G

1−αGSin ′G =

G1−αG

Edoardo Milotti - Fondamenti Fisici di Tecnologia Moderna

′G =G

1−αG

1. 1-αG>1 (e cioè αG < 0) allora retroazione negativa

2. 1-αG<1 (e cioè αG > 0) allora retroazione positiva

3. 1-αG=0 autooscillazione


STABILIZZAZIONE PER MEZZO DELLA RETROAZIONE NEGATIVA

G = G(p) guadagno funzione di uno o più parametri

∂ ′G∂ p

=∂∂ p

G1−αG

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟=∂G∂ p

⋅1

1−αG+∂G∂ p

⋅αG

(1−αG)2=

=∂G∂ p

⋅1

(1−αG)2

1′G∂ ′G∂ p

=1

(1−αG)1G

∂G∂ p

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

La variazione relativa si riduce in presenza di retroazione negativa!


L�inventore della retroazione negativaHarold Stephen Black (1898-1983)

(foto da National Inventors Hall of Fame, https://www.invent.org/inductees/harold-stephen-black)


https://www.invent.org/inductees/harold-stephen-black


AMPLIFICATORI OPERAZIONALI

+

-

Amplificatori differenziali con un'impedenza di ingresso altissima e con un guadagno enorme (spesso maggiore di 106).

Un amplificatore differenziale dà un'uscita che è proporzionale alla differenza di potenziale tra i due ingressi


Il primo amplificatore operazionale su circuito integrato monolitico: µA702 (1963), progettista Bob Widlar (1937-1991)

Bob Widlar nel 1977

µA702

9 transistorguadagno open loop ≈ 1000


Il primo amplificatore operazionale a grande diffusione : µA741 (Bob Widlar: 1968)


Un OP-AMP moderno: il TLE2027 della Texas Instruments



Gli amplificatori operazionali operano di solito con retroazione negativa e visto che hanno un guadagno open-loop molto alto

′G =G

1−αG→ −

1α

allora il segnale all�ingresso dell�amplificatore diventa trascurabile

Sin +αSout ≈ Sin +α −1α

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟Sin = 0


′G =G

1−αG→ −

1α

Si noti anche che

questo termine può essere nonlineare: G = G(p,Vin)

il guadagno effettivo G’ dipende solo dalla rete di feedback: questa rete è fatta di solito con componenti passivi, lineari, e quindi un amplificatore con retroazione negativa ha una linearità assai migliore dell’amplificatore con funziomento open-loop


le due regole fondamentali (benché approssimate) per il

funzionamento degli amplificatori operazionali sono infine le

seguenti:

1. L'ingresso di un'OP-AMP non assorbe corrente

2. Gli ingressi sono alla stessa tensione


+

-A

B

VinVout

Rf

Ri

Iin

If

a causa della retroazione A è una massa virtuale

Iin = Vin Ri I f = Vout Rf

Iin + I f = 0 (l�impedenza di ingresso è molto grande)

Vin Ri +Vout Rf = 0 Vout = −Rf

RiVin


+

-

VinVout

R1

R2

I1

I2

A

Amplificatore non invertente

In questo caso il punto A si trova a a potenziale Vin, e quindi

0 = I1 + I2 =Vout −Vin

R1−VinR2

Vout = R1 ⋅1R1

+1R2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟⋅Vin =

R1 + R2R2

⋅Vin


+

-Vout

RfV1

R1

V2R2

Sommatore analogico

I1 + I2 + I f = 0

Come nel caso dell�amplificatore invertente

V1 R1 +V2 R2 +Vout Rf = 0

Vout = −Rf ⋅V1R1

+V2R2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟


+

-Vout

RfIin

If

Amplificatore in transimpedenza

Iin + I f = 0

Iin +Vout Rf = 0

Vout = −Rf IinQUESTO AMPLIFICATORE CONVERTE UNA CORRENTE IN TENSIONE.

Con una resistenza di feedback di 10MΩ l�amplificatore permette di ottenere una tensione di uscita di 10 V a partire da una corrente di 1 µA, su un�uscita a bassa impedenza.

QUESTA E� LA STRUTTURA DI BASE DI MOLTI PREMPLIFICATORI.Edoardo Milotti - Fondamenti Fisici di Tecnologia Moderna

La configurazione di amplificatore in transimpedenza vieneutilizzata con i fotodiodi e altri sensori che si comportano comegeneratori di corrente

fotodiodi BPW34

N+ I

P







Sensibilità spettrale del BPW-34


Sensibilità spettrale del BPW-34B


LM 124 quad single supply


Buffer a guadagno unitario

questo circuito serve solo a dare potenza al segnale, si usa come line driver


+

-Vout

CfIin

If

Circuito integratore

Iin + I f = 0

Iin +ddt

C fVout( ) = 0

Vout (t) = −1Cf

Iin dt '0

t

∫


+

-Vout

CfIin

IfR


Circuito differenziatore

Itot = C1dVindt

+VoutR1

= 0

Vout = −R1C1dVindt


Amplificatore differenziale

V+ =R4

R3+ R4V2

la tensione dell�ingresso non invertente è

Itot =V1 −V+

R1+Vout −V+

R2= 0

V1R1

+VoutR2

−R4

R1 R3+ R4( )V2 −R4

R2 R3+ R4( )V2 = 0

VoutR2

=R4 R1+ R2( )

R1 ⋅ R2 R3+ R4( )V2 −V1R1

Vout =R4 R1+ R2( )R1 R3+ R4( )V2 −

R2R1V1

Vout =R2R1

V2 −V1( )

se R1=R3 e R2=R4


Amplificatore logaritmico

VinR

− ID = 0

ID ≈ I0eqVoutµkT

VinR

≈ I0eqVoutµkT

qVoutµkT

≈ ln VinRI0

Vout ≈µkTq

lnVin − lnRI0( )Edoardo Milotti - Fondamenti Fisici di Tecnologia Moderna

Amplificatore logaritmico con guadagno variabile

ID ≈ I0 expq

µkTR2

R1 + R2Vout

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

Vout ≈µkTq

R1 + R2R2

lnVin − lnRI0( )

VinR

− ID = 0


Moltiplicatore analogico


Moltiplicatore analogico AD538 della Analog Devices



t

MULTIPLIERS SOME BASICS

In its simplest conceptual form, an analog multiplier is a three-terminal (plus common) device that will perform the mathematical operations of multiplication and division , by appropriate terminal connections. Figure 1 shows the conceptual block representing a multiplier.

Vx

OUT E = VxVy o ER

Vy

Figure 1. Conceptual multiplier. E R is a dimensional scale constant, usually 10V

For given values of the inputs, Yx and Yy, the output will be Yx Yy /ER, where ER is a di-mensional constant, usually equal to 10 volts. Since squaring is simply a multiplication of an input by itself, it follows that tying X and Y together will yield a squared term at the output, i.e., if Yx = Yy =Yin, the output will be Yin 2 /ER. Division and square-rooting, being inverses of the above operations, can be implemented by placing the multiplier in the feedback path of an operational amplifier, as Figure 2 shows. Since most multipliers use an operational amplifier as the output circuit, a set of simple external jumper connections permit the same (complete) device to perform in any of the four modes.

(NUMERATOR) V, R

R

E 'Y..L Vx Eo = -Vz. E0 =- R v .. ER

V, (DENOMINATOR )

':) • 0 OUTPUT (ANSWER!) Eo

(a) Division

E 2 -Vz

E0 =J - V,ER

IV,< O)

") • 0 E0

OUTPUT

(b) Square Root

Figure 2. Feedback connection of conceptual multiplier for division and square-rooting

Of what use is such a device? Multipliers serve well in a number of areas including analog computing (e.g. , ratio determination, functions, rms conversion), signal processing (ampli-tude modulation, frequency multiplication, servomechanisms), measurement (wattmeters

t



Vx

OUT E = VxVy o ER

Vy



(NUMERATOR) V, R

R

E 'Y..L Vx Eo = -Vz. E0 =- R v .. ER

V, (DENOMINATOR )


(a) Division

E 2 -Vz

E0 =J - V,ER

IV,< O)

") • 0 E0

OUTPUT

(b) Square Root




Iz + If = 0

Iz = Vz/R

If =VxVout

RER

) Vz

R+

VxVout

RER= 0; Vout = �ER

Vz

Vx

t



Vx

OUT E = VxVy o ER

Vy



(NUMERATOR) V, R

R

E 'Y..L Vx Eo = -Vz. E0 =- R v .. ER

V, (DENOMINATOR )


(a) Division

E 2 -Vz

E0 =J - V,ER

IV,< O)

") • 0 E0

OUTPUT

(b) Square Root




t



Vx

OUT E = VxVy o ER

Vy



(NUMERATOR) V, R

R

E 'Y..L Vx Eo = -Vz. E0 =- R v .. ER

V, (DENOMINATOR )


(a) Division

E 2 -Vz

E0 =J - V,ER

IV,< O)

") • 0 E0

OUTPUT

(b) Square Root



Iz + If = 0

Iz = Vz/R

If =V 2out

RER

) Vz

R+

V 2out

RER= 0; Vout =

p�ERVz


changing the X input leads. Since the signal input is differential, all combinations of input and output polarities can be realized.

R LOAD (MUST BE PROVIDED)

_ INPUT, Vz Z2

'\7 Eo ·J-10V V,

E0 (-E 0 ) • 10V V,

Figure 5. Connection of the AD534/AD535 for square rooting

If the output circuit does not provide a resistive load to ground , one should be connected (about 1 OH2) to maintain diode conduction. For critical applications, the Z offset can be adjusted for greater accuracy below 1 V.

POLARITY ·The AD534 is a 4-quadrant multiplier. This means that , for its two inputs , there are four pos-sible permutations of polarity , and the output product will always be of the correct polarity. The inputs can be mapped on the four quadrants of an X-Y plane , as shown in Figure 6 (hence the term "4-quadrant"). Some multipliers will operate in only one or two quadrants. A two-quadrant multiplier will accept a ± signal at one input and a unipolar signal at the other; in the single-quadrant case , the inputs are restricted to a single polarity for each input .

Vy MAX

II

vx MIN I I I ... vx MAX

Ill IV

Vy MIN

Figure 6. Input plane showing multiplication quadrants

Dividers are either two-quadrant or one-quadrant devices, because , as noted earlier, the de-nominator may have only one polarity . However, in the case of devices having the extra degrees of freedom provided by differential inputs, the X input may be of either polarity , as long as it is connected to X1 and X2 in the proper sense.

SPECIAL MULTIPLICATION-DIVISION FUNCTIONS The 436 is an example of a specialized , dedicated, high-performance , two-quadrant divider only . The 433 and 434 are examples of three-input single-quadrant high-accuracy multiplier dividers (YZ/X); the 433 has the further distinction that the exponent of the ratio (Z/X) can be adjusted from 1/ 5 to 5 i.e., Y(Z/ X) 111

• In the AD 53! IC , the internal reference current may be manipulated externally, permitting a form of three-variable multiplier-divider, in which the scale constant can be varied.

SCALING As mentioned earlier, multipliers are almost always designed (but not necessarily constrained) to have a dimensional scale constant, ER , of 1 OV. This permits either input to have any value in the I OV full-scale range, without causing the output to exceed 1 OV. For applications in which the maximum range of the inputs is substantially less than I OV, or if the multiplier is used for division and the numerator can exceed the denominator, it is helpful to use a smaller value of ER. This can be done with the AD534, the AD531, the 433, and the 434.

3

Il diodo serve ad evitare problemi di polarità del segnale

I moltiplicatori sono circuiti molto flessibili, che permettono – tramitefeedback – di realizzare molte strutture importanti per il calcolo analogico


DAC (Digital-to-Analog Converter) realizzato per mezzo di un sommatore

Ikk∑ + I f = 0

VkRkk

∑ +VoutRf

= 0

Vout = −Rf

RkVk

k∑

Se le resistenze sono scalate secondo potenza di 2

Rk = 2k Rf

Vout = − 2−kVkk∑


Se le tensioni di ingresso rappresentano l�espansione binaria di un numero, il numero può essere ricostruito per mezzo della somma

Vout = − 2−kVkk∑

filtro passa basso

Questo tipo di DAC richiede resistenze scalate con grande precisione: non è in pratica realizzabile con più di 4 input


La rete R-2R

Questo circuito permette di realizzare un DAC a molti input

esempio: DAC-08 della Philips


Il gyrator: permette di cambiare il segno di un�impedenza


I +V out−Vin

R= 0

Vin =Z

R + ZVout ; Vout =

R + ZZ

Vin

Vout −Vin =R + ZZ

Vin −Vin =RZVin

I = −1ZVin; Vin = −ZI


Induttanza simulata:permette di eliminare le induttanze e utilizzare soltanto capacità

Zeq = R +−R(R + Z )−R + R + Z

= R −R(R + Z )

Z=RZ − RZ − R2

Z

= −R2

Z

questo circuito richiede un gyrator

utilizzando un altro gyrator si cambia il segno di questa impedenza equivalente e si ottiene una dipendenza dalla frequenza che è inversa rispetto quella dell�impedenza originale

Z = 1iωC

; Zeq =R2

Z= iωCR2 = iωLeq


Filtri attivi (configurazione di Sallen-Key)

1. comportamento della rete di impedenze

I1 =Vi −VaZ1

; I4 =Vo −VaZ4

; I = I1 + I4; I =Va

Z2 + Z3;

VaZ2 + Z3

=Vi −VaZ1

+Vo −VaZ4

Vb = Z3I =Z3

Z2 + Z3Va =

R3R3 + R4

Vo

Va

Vb


Queste equazioni lineari possono venire risolte eliminando gradualmente tutte le variabili, eccetto le tensioni di ingresso e uscita

VaZ2 + Z3

=Vi −VaZ1

+Vo −VaZ4

1Z2 + Z3

+1Z1

+1Z4

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟Va =

ViZ1

+VoZ4

1Z2 + Z3

+1Z1

+1Z4

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟⋅Z2 + Z3

Z3

⋅R3

R3 + R4

Vo =ViZ1

+VoZ4

1Z3

1+ Z2 + Z3

Z1

+Z2 + Z3

Z4

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟Vo = K

ViZ1

+VoZ4

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

dove K =R3 + R4

R3


infine si trova la funzione di trasferimento del filtro

VoVi

=K

1+ Z1

Z3

+ Z2

Z3

+ Z1Z2

Z3Z4

+ (1− K ) Z1

Z4

dove K =R3 + R4

R3

Utilizzando questa formula si possono calcolareimmediatamente molte strutture che equivalgono a filtri delsecondo ordine (a due poli).


Esempio di filtro a due poli realizzato con la struttura di Sallen-Key

VoVi

=K

1+ iωR1C1 + iωR2C1 −ω2R1R2C1C2 + (1− K )iωR1C2

=K

1+ iω R1C1 + R2C1 + (1− K )R1C2( ) −ω 2R1R2C1C2

Confrontando con la forma generica del filtro a due poli

VoVi

=GΓω0

ω02 + iΓω −ω 2 =

Gω02 Q

ω02 + iω0

Qω −ω 2

=G Q

1+ iωω0Q

− ω 2

ω02

si trova ω0 =1

R1R2C1C2

; Q =R1R2C1C2

R1C1 + R2C1 + (1− K )R1C2


Multivibratore astabile (oscillatore a rilassamento)un utilizzo degli OP-AMP con feedback positivo

caricamento fino a tensione

V+ =R2

R2 + R3VCC

scarica fino alla tensione

V− = −R2

R2 + R3VCC


scarica del condensatore VC (t) = −VCC + V+ +VCC( )e− t /τ

= −VCC +VCCR2

R2 + R3+1

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟e− t /τ

equazione per il tempo di scarica

VC (tC ) = −R2

R2 + R3VCC

= −VCC +VCCR2

R2 + R3+1

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟e− tC /τ


−R2

R2 + R3= −1+ R2

R2 + R3+1

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟e− tC /τ

R3R2 + R3

=2R2 + R3R2 + R3

e− tC /τ

R32R2 + R3

= e− tC /τ

tC = τ ln 2R2 + R3R3

T = 2tC = 2τ ln 2R2 + R3R3

= 2R1C1 ln2R2 + R3

R3


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