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Università degli Studidi Modena e Reggio Emilia
AutomationRobotics and
SystemCONTROL
Corso di laurea in Ingegneria Meccatronica
MODI E STABILITA’ DEI SISTEMI MODI E STABILITA’ DEI SISTEMI DINAMICI
CA - 04 – ModiStabilitaCesare Fantuzzi ([email protected])
www.automazione.unimore.it
Antitrasformate di Laplace
� La determinazione dell'evoluzione libera e dell'evoluzione forzata di un sistema lineare stazionario si riportano all'antitrasformazione di un rapporto di polinomi in s, cioè di una funzione del tipo
)()(...
)()()( 01
1 sXsb
sXsbsbsb
sXsFsY
m
i
iii
im
mm
m∑
=−
− =+++==
� Si definisce n-m grado relativo della funzione razionale F(s)
� Per la fisica realizzabilita’ del sistema occorre che:n > m n – m > 0
Marzo - Giugno 2011
)()(...
...)()()(
0
0
01
1
1 sXsa
sXasasa
sbsbsbsXsFsY
n
i
ii
in
nn
n
imm
∑
∑
=
=−
−
− =++++++==
2CA-04-ModiStabilità
Antitrasformata di Laplace
F(s)X(s) Y(s) )()( 0 sX
sa
sbsY n
i
m
i
ii
∑
∑==
Dalla Funzione di Trasferimento e’ possibile determinare l’uscita del sistema una volta applicato un determinato ingresso
Marzo - Giugno 2011 CA-04-ModiStabilità
0
sai
ii∑
=
Applichiamo un ingresso impulsivo
1)()()( =→= sXttx δ∑
∑
=
==n
i
ii
m
i
ii
sa
sbsY
0
0)(
3
Grado Relativo
Se: � grado relativo ¸ 1
Frazione strettamente propria: si può scomporre il rapporto di P(s) e Q(s) in unasomma di termini facilmente antitrasformabili, detta somma di fratti semplici.Esempio:
� grado relativo = 0Dividendo i polinomi si ottiene la somma di una costante e di una frazionestrettamente propria, che si possono antitrasformare indipendentemente(l'antitrasformata della costante è la stessa moltiplicata per un impulso di Dirac).Esempio:
Marzo - Giugno 2011 4CA-04-ModiStabilità
Antitrasformata di Laplace � E’ noto che un polinomio di grado n a coefficienti reali ammette n zeri reali o
complessi, cioè l'equazione algebrica ottenuta imponendo l'annullarsi di un polinomio
ammette n radici reali o complesse. Se fra tali radici ve n‘è una complessa, vi è pure la sua coniugata.
� Data una l’equazione
si dice equazione caratteristica relativa alla funzione di trasferimento F(s).Marzo - Giugno 2011 5CA-04-ModiStabilità
Antitrasformate di Laplace
� Siano p1, … , pn le sue radici, per cui il polinomio Φ(s) sipuò scrivere nella forma fattorizzata
In particolare, se z1, … ,zm e p1, …,pn sonorispettivamente gli zeri di P(s) e Q(s) (polinomio a rispettivamente gli zeri di P(s) e Q(s) (polinomio a numeratore e a denominatore di F(s)) si ha la forma fattorizzata
in cui con K (=bm) si è indicato un opportuno coefficientereale.
Marzo - Giugno 2011 6CA-04-ModiStabilità
Zeri e Poli
� Si definiscono le costanti complesse:
z1, …, zm zeri di F(s)
p1, …, pn poli di F(s)
� Una funzione razionale è completamente determinata, a meno di un fattore costante K, una volta assegnati i suoizeri e i suoi poli.
Marzo - Giugno 2011 CA-04-ModiStabilità 7
Antitrasformata di Laplace
∑∑
= ==n
j
mi
i csb
Riscriviamo in la Funzione di Trasferimento come somma di Frattisemplici (Fattorizzazione)
Residuo, da calcolarsi per soddisfarel’uguaglianza
Marzo - Giugno 2011 CA-04-ModiStabilità
∑∑
∑
=
=
=
−==
n
j j
j
n
i
ii
i
ps
c
sasY
1
0
0)(
j - esimo polo della Funzione diTrasferimento
9
Antitrasformata di Laplace
H(s)
La Fattorizzazione della Funzione di Trasferimento corrisponde allasuddivisione della risposta impulsiva in elementi “semplici”, chiamati modidel Sistema
1
1
ps
c
−
c
Marzo - Giugno 2011 CA-04-ModiStabilità
X(s) Y(s)2
2
ps
c
−
n
n
ps
c
−
10
Modo del Sistema
tpecps
cL 1
11
11 =
−−
Si definisce Modo di un Sistema l’antitrasfomata (funzione neldominio del tempo) di ciascun fratto semplice in cui vienefattorizzata la Funzione di Trasferimento
Marzo - Giugno 2011 CA-04-ModiStabilità
ps 1 −
Modo del sistema (Caso in cui la Funzione diTrasferimento ha tutti i poli semplici)
11
Modi di un Sistema
La somma dei modi di un sistema corrisponde all’uscita del Sistemaa cui e’ applicato l’ingresso Impulso di Dirac
tp
tpec 11
)(tδ
Marzo - Giugno 2011 CA-04-ModiStabilitàControlli Automatici
tpec 22
tpn
nec
)(tδ)(ty
12
Antitrasformate di Laplace
� Antitrasformazione in caso di poli semplici� Antitrasformazione in caso di poli multipli
Marzo - Giugno 2011 13CA-04-ModiStabilità
Antitrasformate di Laplace – Poli semplici
� Lo sviluppo della F(s) in somma di fratti semplici corrisponde all'espressione
Ki : residui relativi ai vari poli pi
Reali in corrispondenza di poli reali
Complessi coniugati
� I residui si possono ricavare facilmente da
Marzo - Giugno 2011
Complessi coniugati in corrispondenza di poli complessi coniugati
14CA-04-ModiStabilità
Antitrasformate di Laplace – Poli semplici
� Riassumendo:
� Complessivamente, si ha:� Complessivamente, si ha:
Marzo - Giugno 2011 15CA-04-ModiStabilità
Antitrasformate di Laplace – Poli semplici
ESEMPIO� Sia
I residui sono:
e infine, antitrasformando i singoli termini, si ottiene
Marzo - Giugno 2011 0 2 4 6 8 10-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
Tempo (sec)
f(t)
f(t)
16CA-04-ModiStabilità
Antitrasformate di Laplace – Poli semplici
� Quando si hanno coppie di poli complessi coniugati, nella antitrasformata f(t) sono presenti esponenziali complesse moltiplicate per coefficienti complessi: essi si possono però facilmente ricondurre a prodotti di esponenziali reali per funzioni trigonometriche applicando le formule di Eulero.
σ
j ω
φ
e j φ
Si abbiano infatti i poli complessi coniugati
a cui corrispondono i residui
La somma di fratti semplici ad essi relativa è
Marzo - Giugno 2011
e -j φ
17CA-04-ModiStabilità
Antitrasformate di Laplace – Poli semplici
� Posto
mettendo in forma polare i residui (u1+j v1 = M ej φ1) si può scrivere
da cui, antitrasformando, si ottieneda cui, antitrasformando, si ottiene
funzione che, infine, si può porre nella forma
Marzo - Giugno 2011 18CA-04-ModiStabilità
Antitrasformate di Laplace – Poli semplici
� Sia
Scomponendo in fratti semplici e calcolando i residui si deduce
e pertanto
da cui, antitrasformando,
Marzo - Giugno 2011 19CA-04-ModiStabilità
Antitrasformate di Laplace – Poli semplici
4
5
6
7f(t)
0 2 4 6 8 10-3
-2
-1
0
1
2
3
4
Tempo (sec)
f(t)
Marzo - Giugno 2011 20CA-04-ModiStabilità
Antitrasformate di Laplace – Poli semplici
� Dovendo antitrasformare l'espressione generale
si può ricorrere all'impiego di tabelle, che riportano le antitrasformate di alcuni fratti elementari.Per usare tali tabelle, anzitutto si pone lo sviluppo in fratti semplici nella forma
� in cui:– il primo termine si riferisce ad un eventuale polo nell'origine,– la prima sommatoria ai cosiddetti termini del primo ordine, relativi agli h poli reali non nulli– la seconda sommatoria ai cosiddetti termini del secondo ordine, relativi alle k coppie di poli
complessi coniugati.Marzo - Giugno 2011
ii p
1−=τ
21CA-04-ModiStabilità
Un Esempio: Risposta al gradinounitario
Risposta al gradino unitario di un sistema elementare del primo ordine.
� Se per esempio:
� Antitrasformando i due termini si ha:
� A parte un guadagno, la risposta è del tipo f(t) = 1 – e-t/τ
� La risposta è dunque caratterizzata dal valore di τ (costante di tempo)
Marzo - Giugno 2011 22CA-04-ModiStabilità
Antitrasformate di Laplace – Poli semplici
� Per ottenere i termini del primo ordine dai corrispondenti termini della F(s) bastaeseguire opportune posizioni.Infatti in questo caso i poli pi sono reali e quindi:
dove il parametroττττ costante di tempoττττi costante di tempo
caratterizza la risposta al gradino unitario del sistema elementare del primo ordine.
Marzo - Giugno 2011
σ
j ωPiano s
σi = -1/τi
x
Per t = ττττ l’uscitaraggiunge il 63.2% del valore di regime
23CA-04-ModiStabilità
Antitrasformate di Laplace – Poli semplici
� Andamento di f(t) = 1 – e-t/τ per diversi valori di τ (=5, 4, 3, 2, 1)
j ωPiano s
0.6
0.7
0.8
0.9
11-exp(-t/ττττ)
63,2%
ττττ = 1
Marzo - Giugno 2011
σσ = -1/τ
0 2 4 6 8 100
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
x x x
Tempo (sec)
Al diminuire di ττττ, la “velocità”dell’uscita aumenta
ττττ = 5ττττ = 1
xττττ = 5
x
24CA-04-ModiStabilità
Antitrasformate di Laplace – Poli semplici
� Per quanto riguarda i termini relativi ai poli complessi coniugati, si ha
che equivale ad un termine del tipo
in cui si è postoin cui si è posto
� I parametri δδδδi coefficiente di smorzamento (0 · δi · 1)ωωωωi pulsazione naturale
caratterizzano la risposta al gradino unitario del sistema elementare del secondo ordine.
Marzo - Giugno 2011 25CA-04-ModiStabilità
Antitrasformate di Laplace – Poli semplici
� Risposta a gradino di un termine del secondo ordine
1
1.5
Marzo - Giugno 2011
0 2 4 6 8 100
0.5
Tempo (sec)
26CA-04-ModiStabilità
Antitrasformate di Laplace – Poli semplici
� Avendo posto lo sviluppo in fratti nella forma
si può eseguire la antitrasformazione impiegando la seguente tabella.
Marzo - Giugno 2011 27CA-04-ModiStabilità
Antitrasformate di Laplace – Poli multipli
� Si suppone che gli n poli della funzione razionale F(s) si possano dividere in h gruppi, ciascuno formato da ri (i = 1, … ,h) poli coincidenti.In altre parole, si suppone che si abbiano h poli diversi pi (i = 1, … , h), ciascunocaratterizzato da un ordine di molteplicità ri ¸ 1. Naturalmente è
� Lo sviluppo in fratti semplici in questo caso è dato da
� in cui le costanti Kil si ricavano mediante la formula
Marzo - Giugno 2011 28CA-04-ModiStabilità
Antitrasformate di Laplace – Poli multipli
� Facendo uso della proprietà di linearità e della relazione
si può infine ottenere l'antitrasformata come
Anche in questo caso i coefficienti Ki sono complessi coniugati in corrispondenza di poli complessi coniugati, per cui le esponenziali complesse possono essere sostituite con prodotti di esponenziali reali e funzioni trigonometriche, con procedimento analogo a quello seguito nel caso di poli distinti.
Marzo - Giugno 2011 29CA-04-ModiStabilità
Antitrasformate di Laplace – Poli multipli
� Esempio: Sia
Calcolando i residui si deduce
e pertanto
da cui, antitrasformando
Marzo - Giugno 2011 30CA-04-ModiStabilità
Antitrasformate di Laplace – Poli multipli
� Si ottiene:
0.14
0.16
0.18f(t)
Marzo - Giugno 2011
0 2 4 6 8 100
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
Tempo (sec)
f(t)
31CA-04-ModiStabilità
Antitrasformate di Laplace
� Nel calcolo di una antitrasformata si ottengono termini del tipo:
A) K, K eσ t, K eσ t sin(ω t + φ) poli semplici
B) K th, K th eσ t, K th eσ t sin(ω t + φ) poli multipli
Marzo - Giugno 2011 32CA-04-ModiStabilità
Antitrasformata di Laplace – Modi di un sistema
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
f(t)
K * exp( σσσσ t)
σσσσ = 0
σσσσ > 0
σσσσ < 0
K eσ t
-3
-2
-1
0
1
2
3
f(t)
K * exp ( σσσσ t) * sin(w t + f)
σσσσ = 0
σσσσ > 0
σσσσ < 0
K eσ t sin(ω t + φ)
Polisemplici
Marzo - Giugno 2011
0 2 4 6 8 100
0 2 4 6 8 10-3
0 2 4 6 8 100
0.5
1
1.5
2
2.5
Tempo (sec)
f(t)
K * t * exp( σσσσ t)
σσσσ < 0, j = 0
σσσσ < 0, j = 1
σσσσ < 0, j = 2
K t j eσ t
0 2 4 6 8 10-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
Tempo (sec)
f(t)
K * t2 * exp( σσσσ t) * sin(w t + f)
σσσσ < 0, j = 2K t j eσ t sin(ω t + φ)
Polimultipli
33CA-04-ModiStabilità
Antitrasformata di Laplace
Risultato fondamentale: � l'antitrasformata di una funzione razionale fratta rimane limitata se e solo se la
funzione da antitrasformare– non presenta alcun polo a parte reale positiva e– gli eventuali poli a parte reale nulla sono semplici,
diverge in caso contrario.
� I poli che caratterizzano la trasformata della risposta di un sistema dinamico lineare stazionario a un segnale di ingresso la cui trasformata di Laplace sia una lineare stazionario a un segnale di ingresso la cui trasformata di Laplace sia una funzione razionale fratta (come l'impulso di Dirac, il gradino, la sinusoide) sono quelli della funzione di trasferimento, più quelli relativi al segnale di ingresso.
Marzo - Giugno 2011 34CA-04-ModiStabilità
Convergenza dei Modi
� Come si è visto, la posizione dei poli della funzione di trasferimento (i poli del sistema) rispetto all'asse immaginario influisce sulla proprietà di convergenza del modo corrispondente.
� Definizione:– Un modo m(t) si dice convergente a zero se:– Un modo m(t) si dice convergente a zero se:
– Un modo m(t) si dice limitato se esiste una costante M:
– Un modo m(t) si dice divergente all’infinito se:
Marzo - Giugno 2011
0)(lim =∞→ tmt
∞<=∞→ Mtmt |)(|lim
∞=∞→ |)(|lim tmt
35CA-04-ModiStabilità
Proprieta’ di convergenzadei modi
� In base alla relazione che esiste tra ciascun polo del sistema e il corrispondente modo, possiamo affermareche:– Se un polo ha parte reale negativa, il corrispondente modo
e’ convergenze a zero.– Se un polo semplice ha parte reale nulla, il corrispondente– Se un polo semplice ha parte reale nulla, il corrispondente
modo e’ limitato– Se un polo ha parte reale positiva, oppure ha parte reale
nulla ma e’ di molteplicita’ maggiore di uno, ilcorrispondente modo e’ divergente.
Marzo - Giugno 2011 CA-04-ModiStabilità 36
Definizione di Stabilita’ di un Sistema
� Sia dato un sistema in quiete, cioe’ un sistema per cui l’uscita y(t) rimarrebbe costante in presenza di ingresso costante (o nullo).
� Si sottoponga al sistema un ingresso impulsivo (una approssimazionedell’impulso di Dirac).
� Definizione:– Il sistema si dice asintoticamente stabile se:
0)(lim =ty– Il sistema si dice semplicemente stabile se esiste M:
– Il sistema si dice instabile se:
Marzo - Giugno 2011 CA-04-ModiStabilità
0)(lim =∞→ tyt
∞<=∞→ Mtyt |)(|lim
∞=∞→ |)(|lim tyt
37
Proprieta’ di Stabilita’ di un Sistema
� Siccome la riposta di un sistema all’ingresso impulsivo e’ data dalla somma dei modi del sistema, il cui carattere di convergenza e’ a sua volta dipendente dal polo corrispondente:– Un sistema e’ asintoticamente stabile se tutti i poli hanno
parte reale negativa.parte reale negativa.– Un sistema e’ semplicemente stabile se tutti i poli hanno
parte reale negativa e se esistono poli semplici a parte reale nulla.
– Un sistema e’ instabile se esiste anche un solo polo a parte reale positiva, oppure un polo a parte reale nulla dimolteplicita’ maggiore di uno.
Marzo - Giugno 2011 CA-04-ModiStabilità 38
Sommario
� Abbiamo definito due concetti:– I modi di un sistema, come antitrasformata di Laplace della
risposta libera della Funzione di Trasferimento.– Il carattere di convergenza dei modi, e quindi la stabilità
del sistema fisico descritto dal modello matematico.
� Riferimenti al libro di testo:� Riferimenti al libro di testo:– La stabilità in termini generali è trattata nel capitolo 2.6, da
pag. 41.– I modi del sistema (trattati con il formalismo nello spazio
degli stati e autovalori) sono trattati nel capitolo 3.2.5, da pag. 56.
– La stabilità dei sistemi dinamici lineari è trattata nel capitolo 3.4, da pag. 63.
Marzo - Giugno 2011 CA-04-ModiStabilità 39
Assignment 4.1
� Calcolare la antitrasformata di Laplace delle seguenti funzioni nella variabile complessa s:
Marzo - Giugno 2011 CA-04-ModiStabilità 40