Esercitazioni Di Elettrotecnica - Circuiti in Regime Stazionario

8/20/2019 Esercitazioni Di Elettrotecnica - Circuiti in Regime Stazionario

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A. Maffucci: Circuiti in regime stazionario ver3-2005

2

Università degli Studi di Cassino

Esercitazioni di Elettrotecnica:

circuiti in regime stazionario

Antonio Maffucci

ver.3 – settembre 2005


2/12


3

1. Serie, parallelo e partitori.

ES. 1.1 Calcolare la resistenza equivalente vista ai capi del generatore E.

Utilizzando l’equivalenza serie e parallelo, il circuito di resistenze visto da E si può ridurre ad ununico resistore attraverso i seguenti passi:

ES. 1.2 Calcolare la resistenza equivalente vista dal generatore J.

Utilizzando l’equivalenza serie e parallelo, il circuito di resistenze visto da E si può ridurre ad ununico resistore attraverso i seguenti passi:

Ω=Ω=

Ω=Ω=

2 3

4 1

43

21

R R

R R + E

1 R 3 R

4 R 2 R

Ω=+= 543 R R R A

+ E 1 R

A R

2 R

Ω=+

== 22.2//2

22

R R

R R R R R

A

A A B

+ E 1 R

B R

Ω=+= 22.31 R R R Beq

+ E eq R

Ω==

Ω=Ω==

2

3 5

53

241

R R

R R R

3 R

J 1 R 5 R

4 R

2 R

Ω=+=

Ω=+=

87.1

7

21

21

54

R R

R R

R

R R R

B

A

Ω=

+= 49.2

C A

C Aeq

R R

R R R

J 3 R

A R B R

J C R A R ⇔

⇔ ⇔

⇔ eq R J

Ω=+= 87.33 R R R BC


4

ES. 1.3 - Calcolare la eq R vista ai morsetti A-B e quella vista ai morsetti C-D.

Risultato: .600.1 ,125.7 Ω=Ω= eqCDeqAB R R


Risultato: .126.0 ,147.0 Ω=Ω= eqCDeqAB R R

ES. 1.5 - Calcolare il valore di 4 R tale che ai morsetti A-B si abbia R Req = .

Risultato: .24 R R =


Risultato: .m63.0 ,m47.0 Ω=Ω= eqCDeqAB R R

2 R

Ω=

Ω=Ω=Ω=Ω==

2

3 410 5

6

54

321

R

R R

R R R

1 R

3 R

5 R

4 R

6 R A

B

C

D

Ω=Ω==

Ω=Ω==

3 1

4.0 2.0

654

231

R R R

R R R

1 R 3 R

5 R

4 R

2 R

6 R

A

B

C

D

2/ 321 R R R R R === 2 R 1 R

3 R 4 R B

Ω=Ω=Ω=

Ω=Ω=

m8.0,m3 ,m1

m4.1 m3.2

543

21

R R R

R R 1 R

3 R 4 R

2 R

5 R

A

B

C

D


3/12


5

ES. 1.7 - Calcolare la tensione v3 usando il partitore di tensione.

Il partitore di tensione si applica a due resistori in serie, quindi occorre preliminarmentericondursi alla rete equivalente seguente:

Applicando ora il partitore di tensione si ha:

.1101

3 V R R

R E v

A

A =+

=

ES. 1.8 - Calcolare la corrente i3 usando il partitore di corrente.

Il partitore di corrente si applica a due resistori in parallelo, quindi occorre riferirsi alla reteequivalente seguente:

Applicando ora il partitore di corrente si ha (tenuto conto dei versi):

.mA84.31

13 −=+

−= R R

R J i

A

Ω==

Ω=

=

100

50

220

32

1

R R

R

V E

+ E 1 R 3 R

2 R

−+ 3v

+ E

1 R

A R

−

+

3v

Ω=+

== 50//23

2332

R R

R R R R R A

Ω=+= µ 832 R R R A J

1 R A R

3i

Ωµ=

Ωµ==

=

3

5

10

2

31

R

R R

mA J

J 1 R 3 R

3i 2 R


6

ES. 1.9 - Calcolare la potenza erogata dal generatore E e quella assorbita dal resistore R 5

Scegliendo le correnti come in figura, le potenze richieste sono date da:

. , 2555

i R P Ei P R E

erog E ==

La E i si valuta a partire dal calcolo della resistenza equivalente vista ai capi del generatore:

da cui si ricava: W80.8=erog E P .

Nota la corrente E i , si può ricavare la 5i applicando due volte il partitore di corrente. Dapprima

ricaviamo 3i dalla rete equivalente seguente

quindi ricaviamo 5i ripartendo 3i tra i resistori 4 R ed 5 R :

.20.72 0.19A5

54

435 mW P

R R

Rii R =⇒=+

=

ES. 1.10 - Calcolare la potenza erogata dal generatore J e quella assorbita dal resistore 1 R .

Risultato: .25.7 ,25.62 1 W P W P Rerog J ==

Ω=Ω=Ω=Ω=Ω=

=

2 5 32 10

10

543

21

R R R

R R

V E

+ E

1 R 3 R 5 R

4 R 2 R

Ω==

Ω=Ω==

=

2

3 5

5

53

241

R R

R R R

A J

J 1 R

3 R

5 R

4 R

2 R

E i5i

+ E eq R

2

3

54

//

//

R R R

R R R

R R R

BC

A B

A

=

+=

=

E i

A88.0 36.11 1 ==⇒Ω=+=⇒eq

E C eq R

E i R R R

+ E 1 R

B R 2 R

E i

3i

B E

R R

Rii

+=

2

23


4/12


7

ES. 1.11 - Calcolare la potenza erogata dal generatore e quella assorbita da ogni resistore.

Verificare la conservazione delle potenze.

Risultato: kW.524.0,kW335.0,kW004.0,kW023.0,kW886.04321

===== R R R Rerog

J P P P P P

ES. 1.12 - Calcolare la corrente icc che circola nel corto-circuito.

Risultato: A.87.5−=cci

ES. 1.13 - Calcolare la tensione v0 sul circuito aperto in figura.

Risultato: V43.60

−=v .

ES. 1.14 - Valutare la potenza assorbita dai resistori della rete in figura.

Risultato: W.100,0231

=== R R R P P P

Ω=Ω=

Ω=Ω==

15 20

10 210

43

21

R R

R R A J

1 R 3 R

4 R 2 R

J

Ω=Ω=

Ω=Ω=

=

k 2 25

k 1.0 10

220

43

21

R R

R R

V E

+ E 1 R 3 R

4 R 2 R

cci

Ω=Ω=

Ω=Ω=

Ω=Ω=

=

25 30

5 15

10 10

1

65

43

21

1

R R

R R

R R

A J

1 R

3 R 4 R

2 R

J

5 R 6 R

0v

Ω=

Ω=Ω=

=

100

1 10

10

3

21

R

R R

V E

+ E

1 R 2 R

3 R


8

2. Sovrapposizione degli effetti.

ES. 2.1 - Calcolare la potenza totale erogata dai generatori.

Adottando la convenzione del generatore sui due generatori della rete, la potenza erogata daciascuno di essi sarà data da:

. , J erog J E erog E Jv P Ei P ==

La tensione J v e la corrente E i si possono valutare applicando la sovrapposizione degli effetti,

risolvendo i due circuiti ausiliari ottenuti considerando un solo generatore acceso:

Con riferimento al primo circuito ausiliario, il contributo J v′ è ottenuto valutando la resistenzaequivalente vista dal generatore:

.80.3579.1//)//( 1243 V J Rv R R R R R J eq J J eq ==′⇒Ω=+=

Per valutare E i′ si può utilizzare la tensione v′ sul parallelo 43 // R R R A = :

A R

vi

R R

Rvv A E

A

A J A 31.2

42

−=′

−=′⇒+

′=′

(nell’ultimo passaggio si è tenuto conto della convenzione adottata su 4 R ). Nel secondo circuito

ausiliario, il contributo E i ′′ è ottenuto valutando la resistenza equivalente vista dal generatore:.54.1/50.6//)( 4321 A R E i R R R R R E eq E E eq ==′′⇒Ω=++=

Per valutare J v ′′ è utile passare attraverso il calcolo della corrente Bi ′′ della serie 21 R R R B += :

V i Rv R R

Rii B J

B E B 14.11

3

3 =′′=′′⇒+

′′=′′ .

Se ne conclude che:

W70.7)( −=′′+′== E E E erog

E ii E Ei P , kW.74.0)( =′′+′== J J J erog

J vv J Jv P

(Si osservi che in questa rete il generatore di tensione sta assorbendo potenza elettrica positiva).

4 R 2 R

Ω=Ω=

Ω==

==

5 2

3

20 10

43

21

R R

R R

A J V E

+ E 1 R 3 R J

4 R 2 R E i ′′

1 R 3 R

J v ′′ + E

4 R 2 R

E i′ 1 R 3 R J

J v′ v′

Bi ′′


5/12


9


Risultato: .kW12.0,W67.1621

== erog E

erog

E P P


Risultato: .kW36.1,kW09.0 =−= erog J erog

E P P

ES. 2.4 - Calcolare la tensione v1 e la corrente i3.

Risultato: .A90.0,V60.1 31 −== iv

ES. 2.5 - Utilizzando la sovrapposizione degli effetti, dimostrare la Formula di Millmann.

Ω=Ω=

==

1 ,2

V20 V,10

21

21

R R

E E +

1 E

1 R 2 R +

1 R 1 R

1 R

2 E

Ω==Ω=Ω=

==

105 1

20 50

43

21

R R

R R

A J V E

J +

2 R

1 R 3 R

4 R

E

321

3

3

2

2

1

1

111

R R R

R

E

R

E

R

E

v AB++

++=

1 R 3 R 2 R

+++

1 E 3 E 2 E

A

B

−

+

ABv

V2 V,5

2

21

4321

==

Ω====

E E

R R R R 1 R

3 R 2 R

4 R

−

+

1v

3i

1 E 2 E

+ +


10

ES. 2.6 - Determinare la potenza erogata dal generatore E1.

Risultato: .W05.21

−=erog E

P

ES. 2.7 - Utilizzando il principio di sovrapposizione degli effetti, determinare la tensione v.

Risultato: .V32.0−=v

ES. 2.8 - Utilizzando il principio di sovrapposizione degli effetti, determinare la corrente i e

la potenza assorbita da R 3

Risultato: .mW57.6,mA37.1 == P i

ES. 2.9 - Valutare la corrente i e la potenza erogata dal generatore E1.

Risultato: .W86.2,A86.01

−=−= erog E

P i

R1

E 2 R2 E 1 +

R3+

.2.3,3.2,5.3 ,12,5 32121

Ω=Ω=Ω= == R R R E V E

Ω=Ω=Ω=

==

k 2.3,k 4.2,k 3

2,5

321 R R R

mA J V E

R1

J

R2 E + R3

v

Ω=Ω=Ω=

==

k 5.3,k 2.2,k 2.3

1,10

321 R R R

mA J V E

R1

J

R2

E + R3

i

E 2+

R1 R3

R2+ E 1

i

Ω=Ω=Ω=

==

10,20,5

20 ,10

321

21

R R R

V E V E


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7/12


13

A250.6)//( 213

3 −=+

−=′ R R R

R J I cc

Il contributo cc I ′′ dovuto al generatore di tensione si valuta sostituendo il generatore di correntecon un circuito aperto. Applicando il partitore di tensione si può ricavare la tensione sul parallelo

32 // R R R p = e quindi ricavare la corrente richiesta (che circola in 3 R ).

A375.3 31

=′′

=′′⇒+

=′′ R

v I

R R

R E v

pcc

p

p p .

Si ottiene in definitiva

⇒−=′′+′= A875.2cccccc I I I .A000.14 −=i

ES. 3.4 - Utilizzando il teorema di Thévenin calcolare la potenza assorbita dal resistore 2 R .

Risultato: .85.02

mW P R =

ES. 3.5 - Utilizzando il teorema di Thévenin calcolare la corrente 5i .

Risultato: .185 mAi −=

Ω=

Ω=Ω==

==

k R

k Rk R R

mA J V E

5

2 1

2 1

4

321 J

1 R

3 R

4 R 2 R

+

E

Ω==

Ω=Ω==

=

k R R

k R

k R R

V E

4.0

6.02.0

12

54

2

31

+

1 R

3 R 2 R 5i

4 R 5 R


14

ES. 3.6 - Utilizzando il teorema di Norton calcolare la potenza assorbita dal resistore 3 R .

Risultato: .43.03

W P R µ=

ES. 3.7 - Utilizzando il teorema di Thévenin calcolare la potenza assorbita da 5 R .

Risultato: .87.545

W P R µ=

ES. 3.8 - Verificare che il resistore R non è percorso da corrente se tra le resistenze vi è la

seguente relazione (ponte di Wheatstone):

(Suggerimento: applicare Norton ai capi di R ed imporre che sia nulla la corrente Icc)

4 R

3 R

2 R

Ω=

Ω=

Ω==

µ=

=

k R

k R

M R R

A J

V E

300

800

2

1

5

4

2

31 1 R

+

J

E

k Ω3

k Ω10

k 2

mA1

mA2

4

53

21

2

1

=

==

Ω==

=

=

R

R R

R R

J

J

2 J 5 R

4 R

1 R

3 R 2 R

1 J

3

2

4

1

R

R

R

R

=

E

4 R

1 R

3 R

2 R

+

R


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15

4. Metodi generali per l’analisi delle reti in regime stazionario.

ES. 4.1 - Date le seguenti reti di bipoli, scrivere un sistema completo di equazioni di

Kirchhoff indipendenti.

Rete (a)

Orientando il grafo come in figura e scegliendo, ad esempio, l’albero indicato, un possibilesistema completo di equazioni di Kirchhoff è dato da:

LKC

=−+−

=+−−

=++−

0

0

0

654

432

621

iii

iii

iii

LKT

=+−−

=++

=−+

0

0

0

642

543

321

vvv

vvv

vvv

Rete (b)

Orientando il grafo come in figura e scegliendo, ad esempio, l’albero indicato, un possibilesistema completo di eq. di Kirchhoff è dato da:

LKC

=+−=+−−

=−+−

00

0

643

532

621

iii

iii

iii

LKT

=++

=+++

=−−−

0

0

0

543

6542

521

vvv

vvvv

vvv

Si osservi che su tutti i bipoli delle reti (a) e (b) è stata adottata la stessa convenzione.

1

2 4

3 5

6

12 4

3 5

6

2 43

15

2

4

3 6

(a) (b)

1

2

3

4

56

2

4

5


16

ES. 4.2 - Utilizzando il metodo dei potenziali nodali calcolare la corrente nel resistore R 4.

Si individuino i nodi della rete e si orientino tutte le correnti nei resistori, adottando su di essi laconvenzione normale:

Avendo scelto come potenziale di riferimento quello del nodo D, le incognite saranno i potenziali degli altri tre nodi: C B A eee ,, . Per le convenzioni adottate si ha:

. , , , , 654321 C BC A B A A eveveeveevevv ==−=−===

Applicando la LKC ai nodi A, B, C e sostituendo le caratteristiche dei resistori (scritte conriferimento alle conduttanze) si ottiene il sistema:

−=+−

=+−

+=+++

364

353

214321

J ii

J ii

J J iiii

−=+−−

=+−−

+=−+−++

⇒

364

353

214321

)(

)(

)()(

J eGeeG

J eGeeG

J J eeGeeGeGeG

C C A

B B A

C A B A A A

Si osservi che tale sistema può essere posto nella forma matriciale:

0

0

3

3

21

644

533

434321

J

J

J J

e

e

e

GGG

GGG

GGGGGG

C

B

A

−

+

=

+−

+−

−−+++

Risolvendo tale sistema si ottiene:

V eV eV e C B A 625.5,125.48,500.7 −===

da cui: .625.2)(44

44 AeeG

R

vi C A =−==

3 J

1 R

3 R 4 R

2 R

1 J

5 R 6 R

4i

2 J

6i

1i 2i 3i

5i

B C

D

3 J

Ω=Ω=

Ω=Ω=

Ω=Ω=

===

15 35

5 25

10 30

3 1

65

43

21

321

R R

R R

R R

A J A J J

1 R

3 R 4 R

2 R

1 J

5 R 6 R

4i

2 J


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10/12


19

5. Analisi di reti con doppi-bipoli resistivi e generatori pilotati

ES. 5.1 - Analizzando i seguenti doppi-bipoli:

schema a T (stella) schema aΠ

(triangolo)

a) verificare che lo schema a T realizza una qualunque matrice R con le posizioni

seguenti (formule di sintesi): ;, , 2211 mC m Bm A R R R R R R R R =−=−=

b)

verificare che lo schema a Π realizza una qualunque matrice G con le posizioni

seguenti (formule di sintesi): ; , , 2211 m ABm BC m AC GGGGGGGG −=+=+=

c) verificare le seguenti formule di trasformazione stella-triangolo (suggerimento:

imporre l’equivalenza tra gli schemi a T e aΠ

A

C BC A B A BC

B

C BC A B A AC

C

C BC A B A AB

R

R R R R R R R

R

R R R R R R R

R

R R R R R R R

Y

++=

++=

++=

∆→

BC AC AB

BC AC C

BC AC AB

BC AB B

BC AC AB

AC AB A

R R R

R R R

R R R

R R R

R R R

R R R

Y

++=

++=

++=

→∆

ES. 5.2 - Con riferimento alla seguente rete:

a. caratterizzare attraverso la matrice G il doppio bipolo resistivo visto ai capi

dei generatori;

b.

utilizzare la matrice G per calcolare la potenza assorbita dal doppio-bipolo;

Ω=Ω=

==

1 2

10

21

21

R R

V E E

+1 E

1 R 2 R +

1 R 1 R

1 R

2 E

AB R

BC R

−

+

1v

−

+

2v

1i 2i

AC R

1i 2i

R B R

−

+

1v

−

+

2v C R


20

a.) L’elemento 11G è definito come:

quindi corrisponde alla conduttanza di ingresso della rete descritta in alto. Applicando le regoledi equivalenza serie e parallelo di conduttanze si ottiene:

S

GG

GG

G

GG

GGGG

G 33.0

2

2

2

2

2

21

211

21

2111

11 =

++

++

= .

Per la simmetria della rete rispetto alle due porte, si ha anche 2211 GG = (si provi a dimostrarlo).L’elemento 12G è definito come:

Il circuito per il calcolo di tale parametro è disegnato in alto. Si osservi che:

01

211

01

2

01

1

01

212

2222 ====

⋅=⋅==vvvv

i

iG

i

i

v

i

v

iG

quindi ci si riporta al calcolo di01

2

2=vi

i, che può essere effettuato con l’applicazione reiterata del

partitore di corrente:

25.02/2

12/

121

11

111

2 −=++

−=−

= R R R

Ri

ii

i

i

i x

da cui: S GG 08.025.0 1112 −=⋅−= .

Si provi a verificare che mGGG == 2112 , proprietà valida per tutti i doppi-bipoli reciproci.

b.) Introdotto il vettore 21 E E T =e , la potenza assorbita dal doppio-bipolo è esprimibile

come:

.502 2122222111 W E E G E G E GG P mT T =++=⋅⋅=⋅= eeie

1 R 2 R

1 R 1 R

1 R

01

212

2 =

=v

v

iG

2i +

1i

1v

xi

1 R 2 R

1 R 1 R

1 R

01

111

2==

vviG


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21

ES. 5.3 - Con riferimento alla seguente rete:

a) caratterizzare attraverso la matrice H il doppio bipolo resistivo visto ai capi dei

generatori;

b)

utilizzare la matrice H per calcolare la potenza assorbita da tale doppio-bipolo;

Risultato: a) 045.0 ,073.0 ,909.0 21122211 =−==Ω= H H S H H ; b) kW P 546.0= .

ES. 5.4 - Con riferimento al seguente doppio-bipolo:

a) caratterizzarlo attraverso la matrice R;

b) sintetizzare un doppio-bipolo equivalente con uno schema a T;

Risultato: a) Ω=Ω=Ω= 8 ,12 ,24 2211 m R R R ; b) Ω=Ω=Ω= 8 ,4 ,16 C B A R R R .

ES. 5.5 - Valutare l'equivalente di Thévenin ai capi dei morsetti 1-1'

Risultato:10 −β

+= RJ

E V ,β−

=1

R R

eq.

Ω=

==

====

243

1

3

265

4321

R

R R R R

R R R R R

1 R

3 R 2 R

6 R 4 R

5 R

−

+

1v

−

+

2v

1i 2i

Ω==

Ω=Ω=

==

10

5 1

20 50

43

21

R R

R R

A J V E

J 2 R

1 R 3 R 4

R E

Ri

1

)(t i Rβ + E

R

J

1′

+


22

Per calcolare 0V basta applicare la LKC e la LKT:

1

−β=⇒−=β−

J i J ii R R R , 10 −

+=+= β

RJ E Ri E V R

Per calcolare eq R occorre spegnere tutti (e soli) i generatori indipendenti, cioè E e J, e valutare

R R R iiiii )1( β−=⇒β−=

R

vi R =

β−==

1

R

i

v Req

Per 1>β si ha 0


12/12


23

ES. 5.7 - Per il circuito Il seguente circuito rappresenta lo schema equivalente di un

amplificatore di tensione. Calcolare:

a) la matrice delle conduttanze del doppio bipolo ai capi dei morsetti 1-1' e 2-2';

b)

il guadagno di tensione S U v vv A /=

c) i valori dei parametriin

R edout

R per cui il guadagnov

A è massimo.

a)

Orientando correnti e tensioni del doppio-bipolocome nella figura a lato, la matrice delle conduttanzesi valuta applicando la definizione:

ininv Ri R

i

v

iG

1

1

1

1

111

02

====

;

00101 2

1

2

112 ===

== vinvv R

v

v

iG ;

out out v Rv R

v

v

iG

α−=

α−==

= 1

1

1

221

02

;out out v

Rv R

v

v

iG

1

2

2

2

222

01

====

.

Si osservi che 2112 GG ≠ , cioè il doppio-bipolo non è reciproco.

b)

analizzando la maglia alla porta 1 e quella alla porta 2 si ottiene:

S in

in sin

R R

Rvv

+= ,

U out

U inu

R R

Rvv

+α= ,

da cui

U out

U

S in

in

s

uv

R R

R

R R

R

v

v A

++α== .

c)

Osservando l'espressione di v A è semplice verificare che il massimo è dato da

α=maxv A

e si ottiene per 0 , →∞→ out in R R .

U R

ini 1

)(t vinα + +

S v

S R

in R

out R 2

1′ 2′

−

+

inv

−

+

U v

1i 1

)(1 t vα +

in R

out R 2

1′ 2′

−

+

1v

−

+

2v

2i


24

ES. 5.8 - Calcolare i potenziali di nodo del circuito seguente.

Indicando con B A V V , i potenziali dei nodi A e B si ha che

B A B V V V vV V vV )1( 11 α+=⇒α−=α=−⇒−= .

Applicando il metodo dei potenziali nodali (modificato) si ha:

V

R R

J V J V

R R

V J

R

V

R

V

i R

V

J i R

V

A A A B A

B

A

4)1(1

)1(

021

2121

2

1 =α+

+=⇒=

α++⇒=+⇒

=+

=−

.20)1( V V V A B =α+=

ES. 5.9 - Calcolare la potenza dissipata in R 2.

Risultato: W P 52 = .

ES. 5.10 - Con riferimento al seguente circuito, valutare l’equivalente di Norton ai capi di

R 2 e la corrente i2 circolante in tale resistenza.

Risultato: .,1

,)1(2

21

1 eq

eq

cceqcc R R

R I i R R R

E I +

−=β−

=β−=

1vα 1 R

J

A +

2 R

4

10 4

3

21

=α

Ω=Ω=

=

R R

A J

+

−

1v

5

20 10

6

21

=β

Ω=Ω=

=

R R

V E

1 R

iβ + E

2 R

i

1 R

1iβ

2 R

2i

1i

+ E

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Esercitazioni Di Elettrotecnica - Circuiti in Regime Stazionario