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STANDARDIZZAZIONE
ΨPsicometria (8 CFU)
Corso di Laurea triennale
STANDARDIZZAZIONE
Un punteggio all’interno di una distribuzione è in realtà privo di significato se preso da solo.
Sapere che un soggetto ha ottenuto un punteggio x=52 in una scala di aggressività
STANDARDIZZAZIONEΨ
punteggio x=52 in una scala di aggressività dice abbastanza poco sulla caratteristica del
soggetto
Non si sa, cioè, se è poco o molto aggressivo o se la sua aggressività è nella media.
STANDARDIZZAZIONE
Per variabili misurate su scale a rapporti un singolo valore è già più informativo
Sappiamo ad esempio cosa vuol dire avere 18
Ψ
Sappiamo ad esempio cosa vuol dire avere 18 anni
Tuttavia anche con variabili di questo tipo conoscere un punteggio potrebbe non essere informativo delle caratteristiche del soggetto
STANDARDIZZAZIONE
Se si sa che un soggetto è alto 1.80 m
ΨEsempio
Questa informazione assume un significato ben diverso se il soggetto è
un pigmeo o uno svedese
Nel primo caso sarebbe “molto alto” mentre nel secondo sarebbe “nella
media”
Per avere un’idea chiara del significato di un dato valore dobbiamo riferire il valore stesso
alla distribuzione di punteggi del gruppo di cui fa parte
STANDARDIZZAZIONEΨ
fa parte
Gli aspetti da considerare sono due:
la scala di misura utilizzata
il confronto tra punteggi in test diversi
• la scala di misura
i punteggi di un test sono su scale a intervalli
equivalenti prive dello zero (utilizzabile come
• confronto tra punteggi in
STANDARDIZZAZIONEΨ
(utilizzabile come riferimento); i punteggi
vengono quindi riferiti alla media e alla varianza di un
gruppo
• confronto tra punteggi in test diversi
per confrontare misure ottenute con strumenti
diversi è necessario riferirle ad una scala comune o standard
STANDARDIZZAZIONE
• Questa operazione consente di definire laposizione di un soggetto all’interno di unadistribuzione di frequenza e, dunque, di:
Ψ
a) confrontare due prestazioni dello stessosoggetto entro due diverse distribuzioni
b) confrontare le prestazioni di soggettidiversi in differenti distribuzioni
STANDARDIZZAZIONE
Standardizzare significa riferire la misura ad una scala standard di cui sono noti i parametri (media e varianza)
Ψ
Gli indicatori di tendenza centrale e di dispersione (media e deviazione standard) possono essere utilizzati per ottenere la standardizzazione delle misure
noti i parametri (media e varianza)
STANDARDIZZAZIONE
Una delle scale più comunemente utilizzate è detta “standard” o “z” e ha media = 0 e varianza = 1
Ψ
Questa scala si ottiene trasformando i punteggi xi di una distribuzione in punteggi zi tramite la formula
s
XXz
−=PUNTI z
PUNTI zeta
Consentono riferire una misura ad una scala standard con media uguale a zero
e deviazione standard uguale a 1
Ψ STANDARDIZZAZIONE
e deviazione standard uguale a 1
La trasformazione dei valori Xi in valori zisignifica esprimere i valori come distanza dalla media in termini di
deviazioni standard
(cioè, usare la deviazione standard come unità di misura)
STANDARDIZZAZIONE - PUNTI Z
In un test di percezione visiva la media è21.25 e la deviazione standard di 6.74.
ΨEsempio
21.25 e la deviazione standard di 6.74.
Trasformare in punti z i seguenti punteggiottenuti da 6 soggetti dislessici.
Ss 1 2 3 4 5 6 xi 8 15 17 20 25 28
STANDARDIZZAZIONE - PUNTI Z
Si standardizzano i punteggi:
97.174.6
25.218z1 −=−= 10.1
74.6
25.2114z2 −=−=
Ψ
74.6 74.6
63.074.6
25.2117z3 −=−= 18.0
74.6
25.2120z4 −=−=
56.074.6
25.2125z5 =−= 00.1
74.6
25.2128z6 =−=
Ψxi 8 14 17 20 21.25 25 28 zi -1.97 -1.10 -0.63 -0.18 0 0.56 1.00
MEDIA
STANDARDIZZAZIONE - PUNTI Z
Il soggetto n°2 con 14 è una deviazione standardsotto alla media (21.25 - 6.74 ≅≅≅≅ 14)
Il soggetto n°6 con 28 è una deviazionestandard sopra alla media (21.25 + 6.74 = 28)
Ψx i 8 14 17 20 21.25 25 28 z i -1.97 -1.10 -0.63 -0.18 0 0.56 1.00
MEDIA
STANDARDIZZAZIONE - PUNTI Z
Il soggetto n°5 con 25 è circa mezza deviazionestandard sopra la media e, ad esempio, distadalla media la metà rispetto al soggetto n°6
Il soggetto n°1 con 8 è due deviazioni standardsotto la media e, ad esempio, dista dalla media ildoppio rispetto al soggetto n°2.
ΨSTANDARDIZZAZIONE - PUNTI Z
Un soggetto ha ottenuto il punteggio di 30 sia in un test che misura l’ansia sia in uno che
misura l’introversione; come è possibile sapere se in certe situazioni il soggetto si
ESEMPIO
sapere se in certe situazioni il soggetto si dimostra più introverso o più ansioso?
E’ necessario utilizzare una scala comune sulla quale “leggere” i punteggi dei due test
Ψ STANDARDIZZAZIONE - PUNTI Z
Sapendo che la media dei punteggi al test di ansia è 36,6 e la deviazione standard 5.97 il punteggio 30 del nostro soggetto potrà essere trasformato in
ESEMPIO
essere trasformato in
07.197.5
6.3630z −=−=
Sapere che ha ottenuto un punto zeta di -1.05significa che si trova al di sotto della media (segno negativo) di circa 1 dev st
Ψ STANDARDIZZAZIONE - PUNTI Z
Il nostro soggetto ha un uguale punteggio (30) anche alla scala di introversione;
affermare che le due caratteristiche sono presenti in ugual misura è un errore, poiché si
ESEMPIO
presenti in ugual misura è un errore, poiché si deve tener conto del fatto che le due scale possono essere diverse
Per poter confrontare le due misure occorre standardizzarle, cioe’ fare riferimento ad una scala comune
Ψ STANDARDIZZAZIONE - PUNTI Z
La media dei punteggi al test di introversione è 31.2 e la deviazione standard 5.62; di conseguenza il punteggio 30 diviene
ESEMPIO
Quindi z ansia= -1.05 e z introversione= -0.21Su questa base si può affermare che il nostro soggetto è molto meno ansioso che introverso anche se in ambedue le caratteristiche si colloca al di sotto della media
21.062.5
2.3130z −=−=
Ψ STANDARDIZZAZIONE - PUNTI Z
Naturalmente può essere effettuato il percorsoinverso nel caso in cui si voglia conoscere ilvalore di x a partire dal valore di zcorrispondente. Basta trasformare la formula
XX −
Risolvendo l’equazione con incognita X
s
XXz
−=
zsXX +=
Ψ STANDARDIZZAZIONE - PUNTI Z
In un test attitudinale la media dei punteggi è72 con s=4
Se si volesse conoscere il punteggio di unosoggetto di cui si conosce z= -.25
ESEMPIO
soggetto di cui si conosce z= -.25
711724x)25.0(72X =−=−+=
zsXX +=
Ψ STANDARDIZZAZIONE
Oltre alla scala in punti z, nei manuali dei test psicologici si incontrano altre scale che sono trasformazioni lineari della scala z:
ALTRE SCALE
scala z:
- Scala in punti T
- Scala stanine (standard nine)
- Scala sten (standard ten)
Ψ STANDARDIZZAZIONE
Si tratta di una scala con M= 50 e s=10
Si ottiene applicando la formula:
Scala in punti T
Si ottiene applicando la formula:
z1050T +=
Varia tra 0 e 100
Non prevede valori negativi
Ψ STANDARDIZZAZIONE
Scala stanine (standard nine)
La scala ha M = 5 e s = 2
z25inetans += z25inetans +=
Divide la distribuzione in 9 categorie
Ψ STANDARDIZZAZIONE
Scala sten (standard ten)
La scala ha M = 5.5 e s = 2
z25.5sten += z25.5sten +=
Divide la distribuzione in 10 categorie
RANGO PERCENTILE
DEFINIZIONE
STANDARDIZZAZIONEΨ
Il rango percentile di un punteggio X, Il rango percentile di un punteggio X, RP(x)
può essere definito come la percentuale didati che assumono valore
minore o uguale a X
RANGO PERCENTILE
ESEMPIO
STANDARDIZZAZIONEΨ
Se un soggetto ha un punteggio X , Se un soggetto ha un punteggio Xi,
dire che RP(Xi) = 35significa che nella distribuzione ordinata
dei dati il punteggio Xi
lascia alla sua sinistra il 35% dei datidella distribuzione
CALCOLO DEL RANGO PERCENTILE
Dati non raggruppati in classi
STANDARDIZZAZIONEΨ-si dispongono i dati in ordine crescente
-si individua la posizione (POS) del punteggio che
( ) 1001N
POSXRP ⋅
+=
-si individua la posizione (POS) del punteggio che
interessa
- si applica la formula
Se N è > o = a 30 ( ) 100N
POSXRP ⋅=
CALCOLO DEL RANGO PERCENTILE
ESEMPIO
STANDARDIZZAZIONEΨSupponiamo di aver ottenuto i seguenti punteggi:
25 43 34 58 48 38 54
( ) 1001N
POSXRP ⋅
+=
Vogliamo conoscere il RP del punteggio 38
Ordino i dati: 25 34 38 43 48 54 5838 occupa la terza posizione
( ) 5.3710017
3XRP =⋅
+=
CALCOLO DEL RANGO PERCENTILE
Dati raggruppati in classi (distribuzione di frequenza)
STANDARDIZZAZIONEΨ-si dispongono le classi in ordine crescente
-si individua la posizione (POS) del punteggio Xi che
interessa con la formula
i0
cum fi
XXfPOS
0
−+=
interessa con la formula
fcumo= frequenza cumulata immediatamente inferiore al
valore Xifi = frequenza della classe che include il valore Xii = ampiezza della classe che include il valore XiX0= limite reale inferiore della classe che include il valoreXi
STANDARDIZZAZIONE
Classi
18-20
21-22
f
15
18
ΨESEMPIO
fcum
15
33
i
3
Limiti reali
17.5-20.5
20.5-22.521-22
23-24
25-26
27-30
18
20
16
13
82
33
53
69
82
2
2
2
4
22.5-24.5
20.5-22.5
24.5-26.5
26.5-30.5
Calcoliamo il RP del punteggio 28
CALCOLO DEL RANGO PERCENTILE
ESEMPIO
fXX
fPOS−+=
STANDARDIZZAZIONEΨ- si individua la posizione (POS) del punteggio 28 con
la formula
i0
cum fi
XXfPOS
0
−+=
74134
5.262869POS ≅−+=
( ) 9010082
74XRP ≅⋅=
ESERCIZIO
Nella classe di Giulio i voti all’ultimocompito di Matematica sono stati iseguenti
STANDARDIZZAZIONEΨ
seguenti
Giulio ha preso 6 al compito di matematica.Come valuto la sua prova?
xi 3 4 5 6 7 8 9 10 f 3 10 6 4 3 2 1 1
ESERCIZIO (Soluzione)
Si calcola il rango percentile del voto 6
STANDARDIZZAZIONEΨ
x i 3 4 5 6 7 8 9 10 f 3 10 6 4 3 2 1 1 f 3 10 6 4 3 2 1 1 fc 3 13 19 23 26 28 29 30
i0
cum fi
XXfPOS
0
−+= 2141
5.5619POS =−+=
( ) 7010030
216RP =⋅=
CALCOLO DEL RANGO PERCENTILE
Se le classi hanno ampiezza unitaria si puòusare la formula abbreviata:
STANDARDIZZAZIONEΨ
100N
2
ff
)X(RP
icum 0
⋅
+=
ESERCIZIO
Giulio ha preso 6 anche al compito diItaliano. I voti della classe sono iseguenti
STANDARDIZZAZIONEΨ
seguenti
Come valuto la sua prova? Avendo preso siaa Matematica che a Italiano 6, posso dire cheGiulio è ugualmente bravo nelle due materierispetto alla sua classe?
xi 4 5 6 7 8 9 10 f 2 3 4 12 7 1 1
ESERCIZIO (Soluzione)
Si calcola il rango percentile del voto 6
STANDARDIZZAZIONEΨ
xi 4 5 6 7 8 9 10 xi 4 5 6 7 8 9 10 f 2 2 4 13 7 1 1 fc 2 4 8 21 28 29 30
100n
2
ff
)X(RP
icum 0
⋅
+=
2010030
24
4)6( =⋅
+=RP
ESERCIZIO (Soluzione)
• Il voto 6 in Italiano corrisponde al 20°percentile ���� Giulio lascia dietro di sésoltanto il 20% dei compagni.
STANDARDIZZAZIONEΨ
soltanto il 20% dei compagni.
• Sebbene il voto sia lo stesso, la suaprova è peggiore rispetto a quella dimatematica relativamente alla classe ����
Giulio non è particolarmente bravo inItaliano, mentre è abbastanza bravo inMatematica (RP=70).
ESERCIZIO
Marta ha preso 6 al compito di Matematica. I voti della sua classe sono i seguenti:
STANDARDIZZAZIONEΨ
sono i seguenti:
xi 3 4 5 6 7 8 9 10 f 1 5 5 8 7 2 1 1
Come valuto la sua prova? Posso dire che Giulio
e Marta sono ugualmente bravi in Matematica,
tenendo conto dei risultati delle rispettive
classi di appartenenza?
ESERCIZIO (Soluzione)
Si calcola il rango percentile del voto 6 di Marta
STANDARDIZZAZIONEΨ
xi 3 4 5 6 7 8 9 10 f 1 5 5 8 7 2 1 1
100n
2
ff
)X(RP
icum 0
⋅
+=
f 1 5 5 8 7 2 1 1 fc 1 6 11 19 26 28 29 30
5010030
2
811
)6(RP =⋅
+=
ESERCIZIO (Soluzione)
Il voto 6 in matematica corrisponde al50° percentile ���� Marta lascia dietro di
STANDARDIZZAZIONEΨ
50° percentile ���� Marta lascia dietro disé il 50% dei compagni.
Sebbene il voto sia lo stesso di Giulio,
relativamente alle classi di appartenenza, la sua prestazione è peggiore rispetto a quella Giulio
PERCENTILE E RANGO PERCENTILE
NOTA BENE
Il percentile è un valore
STANDARDIZZAZIONEΨ
Il percentile è un valore
Il rango percentile è una posizione
Il 20° percentile è 6 valore
Il rango percentile di 6 è 20 posizione