Corso di misure meccaniche, termiche e collaudi ... · Misure 2016 -Taccani Incertezzatipo 28 Lo scopo della classificazione in categoria Ae categoria B è quello di indicare le due

Corso di misure meccaniche, termiche e collaudi

Prof. Rodolfo Taccani

Dipartimento di ingegneria ed architettura

Espressione delle misureIncertezza

1

Misure 2016 - Taccani

• Presentazione PP su Moodle «Incertezza dimisura»

• Testo di riferimento: Doebelin

• Per approfondimenti «GUM 2008» su Moodle

Materiale di studio

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• VIM : International vocabulary of basic and generalterms in metrology UNI-CEI U37.00.001.0 (1990);

• UNI 4546, (1984) Misure e Misurazioni: termini edefinizioni fondamentali;

• UNI-CEI-ENV 13005 (2000) e successive «Guide tothe expression of uncertainty in measurement”(GUM);

• Supplement 1 to the GUM: Propagation ofdistributions using a Monte Carlo method;

• UNI-ISO 9001-2000 Sistemi di gestione per laqualità;

• UNI-ISO 10012 Assicurazione della qualità relativaagli apparecchi per le misurazioni. Linee guida per ilcontrollo dei processi di misurazione.

Riferimento normativo

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Una MISURA è una informazione costituita da (UNI 4546):

• Numero

• Incertezza− (con il livello di confidenza secondo UNI-CEI ENV

13005)

• Unità di misura

assegnati a rappresentare un parametro in un determinatostato del sistema.

Espressione della misura

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Misura: esempio

Parametro Numero Incertezza u.d.m.

Temperatura al suolo

297 ± 1 K

Massa a vuoto

1244 ± 2 kg

Lunghezza corridoio

20,0 ± 0,1 m

5


Una MISURA è una informazione costituita da (UNI 4546):

• Numero

• Incertezza− (con il livello di confidenza secondo UNI-CEI ENV

13005)

• Unità di misura

assegnati a rappresentare un parametro in un determinatostato del sistema.

Espressione della misura

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Quante sono le cifre significative nei due casi????

Numero: cifre significative

7


Cifre significative: concetto legato all’approssimazionecon cui si sceglie di rappresentare una grandezza.

Errore di arrotondamento ≤ ±5 x 10-n

n = numero di cifre significative utilizzando la notazionescientifica

Esempi:

u = 5.236 tutte cifre significative (4)


u = 000.5 1 cifra significativa

u = 0.005 1 cifra significativa


u = 5000 tutte cifre significative È VERO ?


8


U = 5000 quante cifre significative (c.s.) ha?

Per definirlo devo ricorrere alla notazione scientifica:

• Se interessano solo le migliaia: 1 c.s.

u = 5 x 103

• Se interessano anche le centinaia: 2 c.s.

u = 5.0 x 103

• Se interessano anche le decine: 3 c.s.

u = 5.00 x 103

• Se interessano anche le unità: 4 c.s.

u = 5.000 x 103


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ARROTONDAMENTO:

Per semplificare, si segue la seguente regola per gliarrotondamenti:

• le cifre da 0 a 4 comportano un arrotondamento sullacifra precedente alla stessa unità;

• dal 5 al 9 la cifra precedente è arrotondata all’unitàsuperiore.


10


SOMMA

Per l’addizione, in presenza di cifre decimali, bisognamantenere una cifra decimale in più, nel numero piùaccurato, in rapporto a quella contenuta nel numero menoaccurato. Il risultato va arrotondato al numero di cifredecimali pari a quello del numero meno accurato.

Esempio:


11

2.635 +

0.9 +

1.52 +

0.7345 =

5.79

2.64 +

0.9 +

1.52 +

0.73 =

5.8


SOTTRAZIONE

Per la sottrazione, in presenza di cifre decimali, arrotondareil numero più accurato allo stesso numero di cifre decimalidi quello meno accurato. Dare il risultato allo stessonumero di cifre decimali del numero meno accurato.

Esempio:


12

7.6345 -

0.031 =

7.603

7.635 -

0.031 =

7.603


PRODOTTO E DIVISIONE

Per la moltiplicazione e divisione arrotondare il numero piùaccurato ad una cifra significativa in più di quella delnumero meno accurato.

Arrotondare il risultato allo stesso numero di cifresignificative del numero meno accurato.

Esempio:


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(1.2)(6.335)(0.0072)

3.14159

(1.2)(6.34)(0.0072)

3.140.0174 0.017


È la minima incertezza che può essere assegnata nellamisura di un parametro, fissato un modello descrittivo dellagrandezza.

L'incertezza assegnabile nella misura non dipende soltantodal metodo di misura usato, ma contiene una parte legataintrinsecamente alla definizione stessa del parametro.

Esempio: tronco di cono modellato mediante un cilindro (a sinistra) emediante due cilindri sovrapposti (a destra)

Incertezza intrinseca

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L’incertezza intrinseca nel modello “cilindro” è legata aivalori (a, b), mentre l’incertezza intrinseca nel modello“doppio cilindro” è legata ai valori (c, d) e (e, f).

È stato possibile ridurre l’incertezza intrinseca della misuraunicamente modificando e raffinando il modellomatematico. Di converso bisogna ora stimare due diversiparametri.

La scelta del modello è sempre un compromesso fra i costidelle campagne sperimentali e l’incertezza che si è dispostia tollerare.

Incertezza intrinseca: limiti del modello matematico

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Definizioni statistiche

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Sull’universo Sul campione

Media � =1

��

�

��

�̅ =1

��

�

��

Varianza �� =1

��(��−�)

�

�

��

�� =1

� − 1�(��−�̅)

�

�

��

Scarto tipo �� =1

��(��−�)

�

�

��

�� =1

� − 1�(��−�̅)

�

�

��


Definizioni statistiche

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La deviazione standard, scarto tipo o scarto quadraticomedio è un indice di dispersione statistico, vale a dire unastima della variabilità di una popolazione di dati o di unavariabile casuale.

La deviazione standard è uno dei modi per esprimere ladispersione dei dati intorno ad un indice di posizione, qualepuò essere, ad esempio, la media aritmetica o una suastima. La deviazione standard ha pertanto la stessa unità dimisura dei valori osservati (al contrario della varianza cheha come unità di misura il quadrato dell'unità di misura deivalori di riferimento). In statistica la precisione si puòesprimere come deviazione standard.


Misura poco accurata e poco dispersa (incertezza ridotta)

Incertezza: effetti sistematici e casuali

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Misura accurata e molto dispersa (incertezza elevata), ad esempio dopo correzione di effetto sistematico


19



20

Misura accurata e poco dispersa

Misura poco accurata e

molto dispersa


Fonti di incertezza

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Le 4 principali fonti di incertezza in una misurazione sono:

• non costanza dello stato del sistema tra le misurazioni;

• l'incompleta definizione del sistema;

• la presenza di effetti strumentali;

• l'incertezza intrinseca del misurando.


Da uguaglianza a compatibilità

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Passando dal concetto di errore a quello di stimaaccompagnata da un intervallo di incertezza viene a cadereil concetto di uguaglianza così come comunemente definito.

Il concetto di uguaglianza va sostituito con quello dicompatibilità.

Poiché non è certo il valore numerico del misurando èimpossibile parlare di uguaglianza nel senso definito dallamatematica.


Compatibilità

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Condizione che si verifica quando le fasce di valoreassegnate in diverse occasioni come misura dello stessoparametro nello stesso stato hanno almeno un elemento incomune.

Perché diverse misure siano compatibili è necessario esufficiente che esista un elemento comune a tutte le fascedi valore: un insieme di misure che soddisfa a questacondizione si dice mutuamente compatibile.


Compatibilità: esempio

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Dalle tre misure eseguite su un certo parametro nellostesso stato, solo 1) – 3) e 2) – 3) sono mutuamentecompatibili; uno e due non sono compatibili perché non cisono elementi comuni nei loro intervalli.

Risulta evidente che la compatibilità non una proprietàtransitiva come l’uguaglianza.

1), 2) noncompatibili

2), 3) compatibili

1), 3) compatibili


Facciamo il punto della situazione…

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Al di là dell’inquadramento teorico del problema, l’incertezza va definita numericamente: come????

RIASSUMIAMO LA SITUAZIONE:

• UNI 4546 : Misura = numero + incertezza + unità dimisura (+stato del sistema)

• Incertezza = fascia di valori che possono essereassegnati al parametro.

• Non definisce come determinare l’incertezza, qualecriterio usare per definire l’ampiezza dell’intervallo.

UNI-CEI-13005 (Guida ISO)

• L’esito di una operazione di misura è una variabilealeatoria, l’obiettivo è determinarne il valore medio.


Facciamo il punto della situazione…

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UNI-CEI-13005, assunzioni di base:

• si fa riferimento a distribuzione di probabilità di Gauss(distribuzione normale);

• parametri caratterizzanti la distribuzione � (media) e �(deviazione standard, radice quadrata della varianza);

• � è l’elemento di base per il calcolo dell’incertezza eviene definito incertezza tipo (standard);

Due modalità di valutazione dell’incertezza:

• misura ripetuta, incertezza tipo “A”

• conoscenza a priori della distribuzione di probabilità, incertezza tipo “B”


Incertezza tipo (UNI CEI ENV 13005)

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INCERTEZZA: parametro, associato al risultato di unamisurazione, che caratterizza la dispersione dei valoriragionevolmente attribuibili al misurando.

INCERTEZZA TIPO: incertezza del risultato di unamisurazione espressa come scarto tipo.

VALUTAZIONE DELL’INCERTEZZA DI CATEGORIA A:metodo di valutazione dell’incertezza per mezzo dell’analisistatistica di serie di osservazioni.

VALUTAZIONE DELL’INCERTEZZA DI CATEGORIA B:metodo di valutazione dell’incertezza con mezzi diversidall’analisi statistica di serie di osservazioni.


Incertezza tipo

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Lo scopo della classificazione in categoria A e categoria B èquello di indicare le due diverse modalità di valutazione dellecomponenti dell’incertezza ed ha unicamente utilità di tipo: ladifferenza è sostanzialmente legata a come si procedenell’analisi. La classificazione non sottintende l’esistenza didifferenze nella natura componenti risultanti dai due tipi divalutazione (presenti nella catalogazione tra componentisistematiche ed aleatorie).

Entrambi i tipi di valutazione sono basati su distribuzioni diprobabilità e le componenti risultanti da ambedue i metodi sonoquantificate mediante varianze o scarti tipo.

Mentre l’incertezza tipo di categoria A è ottenuta da una densitàdi probabilità derivata da una distribuzione di frequenzaosservata, l’incertezza tipo di categoria B è ottenuta da unadensità di probabilità ipotizzata sulla base del grado di credenzanel verificarsi di un evento (probabilità soggettiva).

Entrambe le categorie di incertezza possono essere indicate intermini di percentuale sulla misura o come valore assoluto.


Incertezza tipo A

29

• Si dispone di ripetizioni delle misure;

• ci si appoggia alla statistica


Incertezza tipo A

30

Con distribuzione normale entro l’intervallo ± si trova il66% degli elementi della distribuzione


Incertezza tipo A

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Metodo di valutazione dell’incertezza per mezzo di analisistatistica di serie di osservazioni. Solitamente si fariferimento ad una distribuzione gaussiana dei valori dellemisure effettuate in corrispondenza di un determinatovalore di riferimento o di una t-student se il numero dicampioni è inferiore a 30.

La miglior stima dei valori attesi �� di una grandezza � chevaria casualmente e della quale sono state ottenute �osservazioni indipendenti �� nelle stesse condizionisperimentali è il valor medio delle � osservazioni:

�̅ =1

��

�

��


Incertezza tipo A

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Le singole osservazioni �� differiscono a causa di variazionicasuali delle grandezze d’influenza, o effetti aleatori. Lavarianza sperimentale delle osservazioni, che stima lavarianza �� della distribuzione di probabilità di ��, cioè lavarianza della popolazione, è data da:

�� = �� =

1

� − 1�(��−�̅)

�

�

��

Questa stima della varianza e la sua radice quadratapositiva �(��) , denominata scarto tipo sperimentale,caratterizzano la variabilità dei valori osservati ��, cioè laloro dispersione intorno alla media.Si preferisce lo scarto tipo perché ha unità di misuraomogenea con la stima della grandezza (valor medio)

�� = �(��−�̅)

�

� − 1

�

��


Incertezza tipo A

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La miglior stima della varianza della media �� ̅ =��

�, è

data da:

�� = �� ̅ =

��

�=��(��)

�

La varianza sperimentale della media ��(�̅) e lo scarto tiposperimentale della media �(�̅) quantificano quanto bene �̅stimi il valore atteso �� di �� tuttavia, ai fini dellavalutazione qualitativa dell’incertezza di �̅ conta la varianzadella media.

Generalmente si parla di varianza di categoria A edincertezza tipo di categoria A.

�� =��

�

Al crescere delle ripetizioni, l’incertezza diminuisce (crescedenominatore).


Incertezza tipo A

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La misura è data dalla media e la sua incertezza è lo scartotipo della media stessa:

� = �̅ ±��

�

Al crescere delle ripetizioni diminuisce l’incertezza.

N.B. Si assume che lo strumento sia esente da deviazionisistematiche che devono essere corrette in fase di taratura.

Una valutazione fatta con � piccoli porta a una “cattivastima” dello scarto tipo, per tenerne conto in elaborazionisuccessive si conserva traccia assieme all’incertezza tipoanche del numero di gradi di libertà del campione impiegatoper la valutazione, � = � − 1, ossia del numero di misureripetute.

35

Misure

x1, ..., xn = 54, 56, 55, 54, 55, 57, 54,

Media: �̅=55

Sp = 1, 15 (indicato anche con �x )

Calcoliamo la SDOM: sm = sp / 7 = 1.15/ 7 = 1, 15/2, 65 =0, 4

Grazie alle proprietà viste, possiamo stimare la misura come

55 ± 0, 4

Deviazione standard delle media( SDOM): esempio


Incertezza tipo B

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Metodo di valutazione dell’incertezza con mezzi diversidall’analisi statistica di serie di osservazioni.

Per una stima �� della grandezza d’ingresso �� che non èstata ottenuta da osservazioni ripetute, la varianza stimata��(��) o l’incertezza tipo �(��) sono valutate per mezzo diun “giudizio scientifico” basato su tutte le informazionidisponibili sulla possibile variabilità di ��.

Per comodità ��(��) e �(��), valutate in questo modo, sonochiamate varianza di categoria B e incertezza tipo dicategoria B.


Incertezza tipo B

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L’insieme di informazioni può comprendere:

• dati di misurazione precedenti;• esperienza o conoscenza generale del comportamento e delle

proprietà dei materiali e strumenti di interesse;• specifiche tecniche del costruttore;• dati forniti in certificati di taratura ed altri;• incertezze assegnate a valori di riferimento presi da manuali.

L’uso dell’insieme di informazioni disponibili per una valutazionedi categoria B dell’incertezza tipo richiede capacità diapprofondimento basata sull’esperienza e conoscenze generali.

Si osservi che una valutazione di categoria B dell’incertezza tipo può essere tanto attendibile quanto una di categoria A,soprattutto quando la valutazione di categoria A è basata su diun numero relativamente ridotto di osservazioni statisticamenteindipendenti.

Tutte le valutazioni tipo B hanno per definizione numero di gradidi libertà infinito.


Incertezza tipo B: esempio

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STRUMENTO A DISPLAY DIGITALE

Significato della lettura 11?

Il valore in ingresso 10.5 < < 11.4.

Nell’intervallo 10.5, 11.4 tutti i valori sono equamenteprobabili, la funzione distribuzione di unacostante nell’intervallo, nulla fuori.


Incertezza tipo B: esempio

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STRUMENTO A DISPLAY DIGITALE

La distribuzione di probabilità è nota, rettangolare: nessunvalore ha probabilità di uscita maggiore degli altri.

La densità di probabilità � � =�

�nell’intervallo, 0 fuori

lo scarto tipo, se si accetta una distribuzione rettangolare, è

Impossibile visualizzare l'immagine.

� =�

3


Valutazione dell’incertezza tipo

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Nella maggioranza dei casi il misurando � non vienemisurato direttamente, ma determinato mediante altre �grandezze ��, ��, ��, … , �� attraverso una relazionefunzionale �:

Le grandezze ��, ��, ��, … , ��possono essere a loro voltadei misurandi o parametri dipendenti da altre grandezze.Ne viene che � può essere molto complessa e che l’unicomodo per determinarla sia sperimentale.Per stimare la grandezza � occorrerà quindi stimare primale grandezze d’ingresso ��, ��, ��, … , ��.Ogni stima �� sarà accompagnata da una varianza tipo��(��) e da una incertezza tipo �(��) di categoria A o B aseconda del metodo utilizzato.Posto che tali ingressi ��, ��, ��,… , �� siano una serie divalori di altri misurandi e/o parametri, affetti ognuno da unaincertezza di tipo A o di tipo B, come le singole incertezzedeterminano l’incertezza del misurando �?

� = �(��, ��, ��, … , ��)


Incertezza combinata

41

AUTOVELOX:

, misura indiretta che passa attraverso la misura di

una distanza e di un tempo: come posso dichiararel’incertezza di combinando l’incertezza valutatasingolarmente su e su ?


Incertezza combinata

42

INCERTEZZA TIPO COMBINATA

Come è possibile combinare le incertezze di tipo A e B? Sidistinguono due casi:

Grandezze

non correlate

correlate


Incertezza combinata: propagazione dell’incertezza

43

A questo punto è possibile applicare la legge dipropagazione dell’incertezza:

Vale solo se posso fare l’ipotesi che NON ci siacorrelazione tra le variabili che considero come ingressi.

Incertezze

ingressi.

� = ��

��

�

��(��)

�

��

Pesi


Propagazione dell’incertezza: esempio

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INCERTEZZA SULLA POTENZA DISSIPATA DA UNRESISTORE:

In entrambi i casi le incertezze sono date come scarti tipo.

In questo caso è facile determinare le singole incertezze diingresso:

W=��

�con �

R = 1250Ω ± 5%

V = 55� ± 2�

�� = 2�

�� = 1250 ∙ 0.05 = 62.5Ω

��

��= −

��

��= 0. 001936

��

��=2�

�= 0. 088


Propagazione dell’incertezza: esempio

45

È ora possibile sostituire i valori precedentemente ricavati eottenere la potenza dissipata nella resistenza:

N.B. È OBBLIGATORIO ESPRIMERE L’INCERTEZZA DI MISURA!

� = 2.42 ± 0.21�

� = ��

��

�

��(��)

�

��

� =��

��

�

�� +

��

��

�

��


Incertezza estesa

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DEFINIZIONE (UNI CEI 9):

È la grandezza che definisce, intorno al risultato di unamisurazione, un intervallo che ci si aspetta comprendereuna frazione rilevante della distribuzione di valoriragionevolmente attribuibili al misurando.

L’incertezza estesa si ottiene moltiplicando l’incertezza tipoper un opportuno fattore di ricopertura.


Incertezza estesa

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L’incertezza tipo permette di definire un intervallo di valoricaratterizzato da un livello di confidenza qualsiasi(tipicamente 68.3%, 95% e 99.7%), attraverso deicoefficienti moltiplicativi detti fattore di copertura. Taleincertezza viene definita incertezza estesa e vale dunque:

�. �. = � ∙ ��

I fattori di copertura � per ottenere i livelli di confidenza68.3%, 95% e 99.7% valgono nel caso di distribuzionegaussiana 1, 2 e 3 rispettivamente.


Percentili della gaussiana

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• il 68% delle letture cadenell’intevallo centrato su� e di estremi � ± 1 ∙ �

• il 95% delle letture cadenell’intervallo centratosu � e di estremi� ± 2 ∙ �

• il 99.7% delle letturecade nell’intervallocentrato su � e diestremi � ± 3 ∙ �


Fonti per le slide

• Prof. Alfredo Cigada – Politecnico di Milano

• Prof. Bortolino Saggin – Politecnico di Milano

• NIST (National Institute of Standards andTechnology)

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