Corso di “Ricerca Operativa”Corso di “Ricerca Operativa”a.a. 2001/2002a.a. 2001/2002

Ottimizzazione della produzione di Ottimizzazione della produzione di un Mulino per la Macinazione di un Mulino per la Macinazione di

cerealicereali

Studenti:

• Manuel

CdL Ing Meccanica V.O.

• Andrea

CdL Ing. Meccanica V.O.

Università degli studi di CagliariUniversità degli studi di Cagliari

Indice degli ArgomentiIndice degli Argomenti

••1Fasi di lavorazione1Fasi di lavorazione••2Obiettivi 2Obiettivi ••3Definizione dei Costi3Definizione dei Costi••4Definizione delle variabili4Definizione delle variabili••5Definizione dei vincoli5Definizione dei vincoli••6Definizione della funzione obiettivo 6Definizione della funzione obiettivo ••7Soluzione ottima7Soluzione ottima••8Analisi di Sensitività8Analisi di Sensitività••9Conclusioni e commenti9Conclusioni e commenti

Fasi di lavorazioneFasi di lavorazione  

•1)Controllo di qualità in ingresso e acquisto dei cereali

•2)Trattamento

•3)Macinazione

•4)Controllo di qualità in uscita

•5)Insacchettamento •6)Distribuzione

Fase 1Fase 1Controllo di qualità in ingresso e Controllo di qualità in ingresso e

acquisto dei cerealiacquisto dei cereali

Lo scopo è misurare la percentuale Lo scopo è misurare la percentuale di:di:

• •umiditàumidità • •radioattivitàradioattività • •corpi estraneicorpi estraneie rilevare la presenza di:e rilevare la presenza di: • •fattori di contaminazionefattori di contaminazione -fattori microbiologici-fattori microbiologici -fattori macrobiologici-fattori macrobiologici -fattori chimici-fattori chimici

Fase 2 Fase 2 TrattamentoTrattamento

Questa fase è a sua volta suddivisa in Questa fase è a sua volta suddivisa in 4 sottofasi:4 sottofasi:

••prepulituraprepulitura

••puliturapulitura

••umidificazione umidificazione

••riposoriposo

Fase 3Fase 3MacinazioneMacinazione

Questa fase è a sua volta suddivisa in Questa fase è a sua volta suddivisa in 2 sottofasi:2 sottofasi:

••spazzolaturaspazzolatura

••macinazionemacinazione

Fase 4Fase 4Controllo di qualità in uscitaControllo di qualità in uscita

Si eseguono 2 controlli:Si eseguono 2 controlli:

••omogeneità del coloreomogeneità del colore

••omogeneità delle dimensioniomogeneità delle dimensioni

Fase 5Fase 5InsacchettamentoInsacchettamento

Vengono utilizzati dei sacchi da 50 Vengono utilizzati dei sacchi da 50 Kg con carta Kraft a triplo strato Kg con carta Kraft a triplo strato utilizzata per prodotti alimentariutilizzata per prodotti alimentari

Fase 6Fase 6DistribuzioneDistribuzione

I sacchi vengono stoccati in appositi I sacchi vengono stoccati in appositi container tramite l’utilizzo di elevatori container tramite l’utilizzo di elevatori

mobili e ,successivamente,trasportati nei mobili e ,successivamente,trasportati nei centri di lavorazione o venditacentri di lavorazione o vendita

ObiettiviObiettivi

L’obiettivo è : determinare la L’obiettivo è : determinare la produzione ottima dei vari prodotti produzione ottima dei vari prodotti

derivanti dalla macinazione dei derivanti dalla macinazione dei cereali alla quale corrisponde un cereali alla quale corrisponde un

profitto massimo.profitto massimo.

Definizione dei CostiDefinizione dei Costi

Al massimo profitto lordo giornaliero Al massimo profitto lordo giornaliero verranno detratte le seguenti spese:verranno detratte le seguenti spese:••Irap £ 150000Irap £ 150000••Ici £ 21000 Ici £ 21000 ••Irpeg £ 395000Irpeg £ 395000 ••Energia elettrica £ 220000Energia elettrica £ 220000••Acqua £ 15000 Acqua £ 15000 ••Acquisto sacchiAcquisto sacchi £ 220000 £ 220000••Trasporto £ 310000Trasporto £ 310000••Manutenzione £ 50000 Manutenzione £ 50000 ••Costo del personale £1250000 Costo del personale £1250000 ••Ammortamenti £ 280000Ammortamenti £ 280000••Altri costi £ 50000 Altri costi £ 50000

0.0236286250Farina per mangimi (mais)

0.15300550250Farina polenta

0.05100330230Farina per mangimi (orzo)

0.12240510270Farina 00

0.13260550290Semola per pasta

0.0360350290Semola grossa

Profitto(euro)

Profitto(lire)

Prezzo di vendita (lire/Kg)

Prezzo di acquisto (lire/Kg)

Tipi di farina o semola

Definizione delle variabiliDefinizione delle variabiliLe variabili che prenderemo in Le variabili che prenderemo in

considerazione sono i prodotti in considerazione sono i prodotti in uscita dalla macinazione dei diversi uscita dalla macinazione dei diversi

tipi di cerealitipi di cerealiChiamiamo: Chiamiamo: x1-semola per panex1-semola per pane x2-semola per pastax2-semola per pasta x3-farina 00x3-farina 00 x4-farina per mangimi(orzo)x4-farina per mangimi(orzo) x5-farina per polentax5-farina per polenta x6-farina per mangimi (mais)x6-farina per mangimi (mais)

Definizione dei vincoliDefinizione dei vincoliVincoli di ProduzioneVincoli di Produzione

2 x1 + 2 x2 + 2 x3 + 3 x4 + x5 + x6 <= 288002 x1 + 2 x2 + 2 x3 + 3 x4 + x5 + x6 <= 28800

x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 <=20000x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 <=20000

x1<=2000 x1<=2000

x2<=6000 x2<=6000

x3<=6000x3<=6000

x4<=1000 x4<=1000

x5<=2000x5<=2000

x6<=1000 x6<=1000

x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 >= x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 >= 1200012000

x1>=1500 x1>=1500

x2>=4500 x2>=4500

x3>=5000 x3>=5000

x4>=500 x4>=500

x5>=1000 x5>=1000

x6>=500x6>=500

Vincoli di mercato

Definizione della Funzione Definizione della Funzione ObiettivoObiettivo

Max 60 x1 + 260 x2 + 240 x3 + 100 Max 60 x1 + 260 x2 + 240 x3 + 100 x4 + 300 x5 + 36 x6x4 + 300 x5 + 36 x6

Soluzione OttimaSoluzione Ottima

LP OPTIMUM FOUND AT STEP 6 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 3492000. VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 1500.000000 0.000000 X2 5900.000000 0.000000 X3 5000.000000 0.000000 X4 500.000000 0.000000 X5 2000.000000 0.000000 X6 500.000000 0.000000

ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES

2) 3400.000000 0.000000 3) 4600.000000 0.000000 4) 0.000000 130.000000 5) 0.000000 -200.000000 6) 500.000000 0.000000 7) 1400.000000 0.000000 8) 100.000000 0.000000 9) 0.000000 -20.000000 10) 1000.000000 0.000000 11) 0.000000 -290.000000 12) 500.000000 0.000000 13) 1000.000000 0.000000 14) 0.000000 170.000000 15) 0.000000 -94.000000 16) 500.000000 0.00000

Analisi di sensitivitàAnalisi di sensitività

NO. ITERATIONS= 8NO. ITERATIONS= 8

RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED:RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED:

OBJ COEFFICIENT RANGESOBJ COEFFICIENT RANGES

VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLEVARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE

COEF INCREASE DECREASECOEF INCREASE DECREASE

X1 60.000000 200.000000 INFINITYX1 60.000000 200.000000 INFINITY

X2 260.000000 340.000000 20.000000X2 260.000000 340.000000 20.000000

X3 240.000000 20.000000 INFINITYX3 240.000000 20.000000 INFINITY

X4 100.000000 290.000000 INFINITYX4 100.000000 290.000000 INFINITY

X5 300.000000 INFINITY 170.000000X5 300.000000 INFINITY 170.000000

X6 36.000000 94.000000 INFINITYX6 36.000000 94.000000 INFINITY

NO. ITERATIONS= 0NO. ITERATIONS= 0 RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED:RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED:

OBJ COEFFICIENT RANGESOBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLEVARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE

COEF INCREASE DECREASECOEF INCREASE DECREASE X1 60.000000 200.000000 INFINITYX1 60.000000 200.000000 INFINITY X2 260.000000 340.000000 20.000000X2 260.000000 340.000000 20.000000 X3 240.000000 20.000000 INFINITYX3 240.000000 20.000000 INFINITY

X4 100.000000 290.000000 INFINITYX4 100.000000 290.000000 INFINITY X5 300.000000 INFINITY 170.000000X5 300.000000 INFINITY 170.000000 X6 36.000000 94.000000 INFINITYX6 36.000000 94.000000 INFINITY

RIGHTHAND SIDE RANGESRIGHTHAND SIDE RANGES

ROW CURRENT ALLOWABLE ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLEALLOWABLE

RHS INCREASE DECREASERHS INCREASE DECREASE 2 12000.000000 3400.000000 INFINITY2 12000.000000 3400.000000 INFINITY 3 20000.000000 INFINITY 4600.0000003 20000.000000 INFINITY 4600.000000 4 28800.000000 200.000000 2800.0000004 28800.000000 200.000000 2800.000000

5 1500.000000 500.000000 100.0000005 1500.000000 500.000000 100.000000 6 2000.000000 INFINITY 500.0000006 2000.000000 INFINITY 500.000000

7 4500.000000 1400.000000 INFINITY7 4500.000000 1400.000000 INFINITY 8 6000.000000 INFINITY 100.0000008 6000.000000 INFINITY 100.000000 9 5000.000000 1000.000000 100.0000009 5000.000000 1000.000000 100.000000 10 6000.000000 INFINITY 1000.00000010 6000.000000 INFINITY 1000.000000

11 500.000000 500.000000 66.66666411 500.000000 500.000000 66.666664 12 1000.000000 INFINITY 500.00000012 1000.000000 INFINITY 500.000000

13 1000.000000 1000.000000 INFINITY13 1000.000000 1000.000000 INFINITY

Tramite l’analisi di sensitività Tramite l’analisi di sensitività possiamo analizzare come varia possiamo analizzare come varia la soluzione ottima al variare di la soluzione ottima al variare di

alcune condizioni:alcune condizioni:

••Variazione nel vettore dei costiVariazione nel vettore dei costi

••Variazione nei termini notiVariazione nei termini noti

••Variazione nella matrice dei vincoliVariazione nella matrice dei vincoli

••Aggiunta di una variabileAggiunta di una variabile

••Aggiunta di un vincoloAggiunta di un vincolo

Variazione nel vettore dei costiVariazione nel vettore dei costi

Nel nostro caso i costi non possono Nel nostro caso i costi non possono essere modificati perché imposti dal essere modificati perché imposti dal

mercato perfettamente mercato perfettamente concorrenziale.concorrenziale.

Variazione nei termini notiVariazione nei termini noti I) Consideriamo il nuovo problema in cui vengono I) Consideriamo il nuovo problema in cui vengono modificati alcuni termini noti:modificati alcuni termini noti:

max z = 60max z = 60. . xx1 1 + 260+ 260. . xx2 2 + 240+ 240. . xx3 3 + 100+ 100. . xx4 4 + 300+ 300. . xx5 5 + 36+ 36. .

xx66

2) x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 >= 2) x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 >= 1300013000

3) x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 <= 3) x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 <= 1900019000

4) 2 x1 + 2 x2 + 2 x3 + 3 x4 + x5 + x6 <= 288004) 2 x1 + 2 x2 + 2 x3 + 3 x4 + x5 + x6 <= 28800

5) x1 >= 15005) x1 >= 1500 6) x1 <= 20006) x1 <= 2000 7) x2 >= 45007) x2 >= 4500 8) x2 <= 60008) x2 <= 6000 9) x3 >= 50009) x3 >= 5000

10) x3 <= 600010) x3 <= 6000 11) x4 >= 50011) x4 >= 500

12) x4 <= 100012) x4 <= 1000 13) x5 >= 100013) x5 >= 1000 14) x5 <= 200014) x5 <= 2000

15) x6 >= 50015) x6 >= 500 16) x6 <= 100016) x6 <= 1000

Soluzioni del nuovo problema:Soluzioni del nuovo problema: LP OPTIMUM FOUND AT STEP 0LP OPTIMUM FOUND AT STEP 0 OBJECTIVE FUNCTION VALUEOBJECTIVE FUNCTION VALUE

1) 3492000.1) 3492000. VARIABLE VALUE VARIABLE VALUE

REDUCED COSTREDUCED COST X1 1500.000000 0.000000X1 1500.000000 0.000000 X2 5900.000000 0.000000X2 5900.000000 0.000000 X3 5000.000000 0.000000X3 5000.000000 0.000000 X4 500.000000 0.000000X4 500.000000 0.000000 X5 2000.000000 0.000000X5 2000.000000 0.000000 X6 500.000000 0.000000X6 500.000000 0.000000

ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICESROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 2400.000000 0.0000002) 2400.000000 0.000000 3) 3600.000000 0.0000003) 3600.000000 0.000000 4) 0.000000 130.0000004) 0.000000 130.000000 5) 0.000000 -200.0000005) 0.000000 -200.000000 6) 500.000000 0.0000006) 500.000000 0.000000 7) 1400.000000 0.0000007) 1400.000000 0.000000 8) 100.000000 0.0000008) 100.000000 0.000000 9) 0.000000 -20.0000009) 0.000000 -20.000000

10) 1000.000000 0.00000010) 1000.000000 0.000000 11) 0.000000 -290.00000011) 0.000000 -290.000000 12) 500.000000 0.00000012) 500.000000 0.000000 13) 1000.000000 0.00000013) 1000.000000 0.000000 14) 0.000000 170.00000014) 0.000000 170.000000 15) 0.000000 -94.00000015) 0.000000 -94.000000 16) 500.000000 0.00000016) 500.000000 0.000000

Tale variazione restringe il campo intorno all’ottimo Tale variazione restringe il campo intorno all’ottimo ma , di fatto ,lascia inalterati tutti gli altri risultati: ma , di fatto ,lascia inalterati tutti gli altri risultati: in in corrispondenza della soluzione ottima i valori della corrispondenza della soluzione ottima i valori della funzione obiettivo, delle variabili decisionali e di funzione obiettivo, delle variabili decisionali e di

quelle duali restano immutati.quelle duali restano immutati.

Rimangono uguali anche i valori delle slacks di tutti Rimangono uguali anche i valori delle slacks di tutti i vincoli ad eccezione, ovviamente, di quelli i vincoli ad eccezione, ovviamente, di quelli

modificati. Il comportamento è lo stesso continuando modificati. Il comportamento è lo stesso continuando a modificare i due vincoli nella stessa direzione; a modificare i due vincoli nella stessa direzione;

dunque aumentare la produzione minima e diminuire dunque aumentare la produzione minima e diminuire quella massima non determina variazioni purché tali quella massima non determina variazioni purché tali modifiche non superino il limite costituito dai 15400 modifiche non superino il limite costituito dai 15400 Kg di derivati che rappresentano la soluzione ottima.Kg di derivati che rappresentano la soluzione ottima.

II)Consideriamo il seguente problema in cui viene II)Consideriamo il seguente problema in cui viene modificato il termine noto 4): modificato il termine noto 4):

max 60. x1 + 260. x2 + 240. x3 + 100. x4 + 300. x5 + 36. x6

subject to 2) x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 >= 12000 3) x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 <= 20000 4) 2 x1 + 2 x2 + 2 x3 + 3 x4 + x5 + x6 <= 32400

5) x1 >= 1500 6) x1 <= 2000 7) x2 >= 4500 8) x2 <= 6000 9) x3 >= 500010) x3 <= 600011) x4 >= 500

12) x4 <= 100013) x5 >= 100014) x5 <= 200015) x6 >= 500

16) x6 <= 1000 

Si ottiene:

LP OPTIMUM FOUND AT STEP 3

  OBJECTIVE FUNCTION VALUE

  1) 3806000.  VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 1500.000000 0.000000 X2 6000.000000 0.000000 X3 6000.000000 0.000000 X4 800.000000 0.000000 X5 2000.000000 0.000000 X6 1000.000000 0.000000

ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 5300.000000 0.000000 3) 2700.000000 0.000000 4) 0.000000 33.333332 5) 0.000000 -6.666667 6) 500.000000 0.000000 7) 1500.000000 0.000000 8) 0.000000 193.333328 9) 1000.000000 0.000000 10) 0.000000 173.333328 11) 300.000000 0.000000 12) 200.000000 0.000000 13) 1000.000000 0.000000 14) 0.000000 266.666656 15) 500.000000 0.000000 16) 0.000000 2.666667

Dunque l’ora giornaliera di straordinario fa salire il profitto massimo da £ 3492000 a

£ 3806000(+ 8.99%).

Anche la quantità ottima di derivati da produrre passa dai 15400 Kg ai 17300 Kg con un incremento del 12.34%.

Stavolta le variabili duali positive sono cinque in corrispondenza dei vincoli 4), 8), 10), 14), 16). Un incremento della funzione obiettivo si ottiene aumentando la quantità massima di farina per polenta che deve essere prodotta ogni giorno e, in misura minore, aumentando le quantità massime producibili di semola per pasta e farina 00. Nettamente inferiore il miglioramento in seguito a una maggiore attività lavorativa del mulino e quasi trascurabile quello legato a una maggiore disponibilità di farina di mais per mangimi.

Variazione nella matrice dei Variazione nella matrice dei vincolivincoli

I coefficienti delle variabili non possono essere I coefficienti delle variabili non possono essere mutati . mutati . Non è dunque possibile apportare alcuna Non è dunque possibile apportare alcuna modifica alla matrice dei vincolimodifica alla matrice dei vincoli

Aggiunta di una variabile Aggiunta di una variabile (attività)(attività)

Nel seguente caso ,il mulino, oltre ai Nel seguente caso ,il mulino, oltre ai 6 tipi di cereali già visti macina anche 6 tipi di cereali già visti macina anche

semi di soia. semi di soia.

350520170Farina di soia

Profitto

(lire/Kg)

Prezzo di vendita

(lire/Kg)

Prezzo di acquisto

(lire/Kg)

Tipo di farina o semola

Il problema che si ottiene è il seguente:

max 60 x1 + 260 x2 + 240 x3 + 100 x4 + 300 x5 + 36 x6 + 350 x7subject to

2) x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 >= 12000 3) x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 <= 20000

4) 2 x1 + 2 x2 + 2 x3 + 3 x4 + x5 + x6 + 2 x7 <= 28800

5) x1 >= 1500 6) x1 <= 2000

7) x2 >= 4500 8) x2 <= 6000

9) x3 >= 5000 10) x3 <= 6000

11) x4 >= 500 12) x4 <= 1000

13) x5 >= 1000 14) x5 <= 2000

15) x6 >= 500 16) x6 <= 1000

17) x7 >= 100 18) x7 <= 1000

end

Si ottiene:LP OPTIMUM FOUND AT STEP 10 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 3582000.

VARIABLE VALUE REDUCED COST

X1 1500.000000 0.000000

X2 4900.000000 0.000000

X3 5000.000000 0.000000

X4 500.000000 0.000000

X5 2000.000000 0.000000

X6 500.000000 0.000000 X7 1000.000000 0.000000

ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 2400.000000 0.000000 3) 5600.000000 0.000000 4) 0.000000 130.000000 5) 0.000000 -200.000000 6) 500.000000 0.000000 7) 400.000000 0.000000 8) 1100.000000 0.000000 9) 0.000000 -20.000000 10) 1000.000000 0.000000 11) 0.000000 -290.000000 12) 500.000000 0.000000 13) 1000.000000 0.000000 14) 0.000000 170.000000 15) 0.000000 -94.000000 16) 500.000000 0.000000 17) 900.000000 0.000000 18) 0.000000 90.000000 NO. ITERATIONS= 10

 

  

L’introduzione della soia come settimo prodotto da macinare determina, a parità di ore di lavorazione, un incremento del profitto massimo giornaliero da £ 3492000 a £ 3582000(+2.58%).

ConclusioniConclusioniIn definitiva si può dire che se fosse sempre possibile In definitiva si può dire che se fosse sempre possibile produrre la quantità ottima, con un utile giornaliero di produrre la quantità ottima, con un utile giornaliero di £ 531000 pari a £ 12744000 mensili e £ 152928000 £ 531000 pari a £ 12744000 mensili e £ 152928000 annuali, l’azienda realizzerebbe un interessante annuali, l’azienda realizzerebbe un interessante risultato economico; ciò anche in considerazione del risultato economico; ciò anche in considerazione del volume di lavoro e delle dimensioni del mulino che volume di lavoro e delle dimensioni del mulino che sono relativamente piccole, tenuto conto che esistono sono relativamente piccole, tenuto conto che esistono mulini che riescono a macinare fino a 100000 Kg al mulini che riescono a macinare fino a 100000 Kg al giorno.giorno.Tuttavia l’azienda deve adattarsi alle esigenze del Tuttavia l’azienda deve adattarsi alle esigenze del mercato che, come abbiamo visto, variano a seconda mercato che, come abbiamo visto, variano a seconda del periodo, allontanandosi, talvolta anche di molto, del periodo, allontanandosi, talvolta anche di molto, dal realizzare il massimo profitto. dal realizzare il massimo profitto.

Le variazioni sulla quantità minima di derivati da produrre e sulla disponibilità di sacchi si sono rivelate ininfluenti sul profitto aziendale, purché i valori considerati siano sempre, rispettivamente, al di sotto e al di sopra della quantità ottimale.

La strada migliore per aumentare il profitto resta quella di aumentare le ore lavorative, portandole a nove: il profitto arriva così a £ 3806000 con un incremento del 9%. Lavorando dieci ore al giorno il profitto passa a £ 3856000 e l’incremento di profitto rispetto al caso precedente non è sufficiente a far fronte alle aumentate spese per il personale, l’energia, l’acqua, l’assicurazione ecc. Lavorando undici ore il profitto resta addirittura invariato; dunque risulta economicamente vantaggioso lavorare al massimo nove ore al giorno.

Ai fini dell’ottimizzazione del profitto anche l’introduzione della produzione di un cereale “pregiato” come la soia ha portato dei buoni risultati aumentando l’utile netto di un 2.6% circa. C’è da dire, tuttavia, che la soia non ha un mercato come quello degli altri cereali: i suoi campi di utilizzo sono molto limitati e, per così dire, le “fette di mercato” sono già attribuite a pochi e grossi produttori. Pertanto la sua introduzione risulta possibile solo in momenti di forte richiesta.

Resterebbe, infine, da analizzare la variazione simultanea dei casi presenti nell’analisi di sensitività per vedere i suoi effetti sulla produzione ottima.