CORSO DI TEORIA DELLA RELATIVITA’ I. PROF. LIVIO PIZZOCCHERO Il corso, per la laurea magistrale in Matematica, enfatizza gli aspetti matematici e fondazionali della teoria della relatività; può essere seguito (e inserito nel piano degli studi) anche da studenti del corso di laurea triennale in Matematica, dei corsi di laurea triennale o magistrale in Matematica per le Applicazioni o dei corsi di laurea in Fisica. Le lezioni si terranno presso il Dipartimento di Matematica nel secondo semestre dell' anno accademico 2011/2012, con inizio il 29 febbraio 2012 e con il seguente orario: mercoledì 8.30-10.30 e venerdì 11.30-13.30, aula 4. Per qualunque informazione, gli studenti interessati sono invitati a contattare il docente. Livio Pizzocchero Dipartimento di Matematica, Università degli Studi di Milano, via Saldini 50. Ufficio: secondo piano, studio 2105. e-mail: livio.pizzocchero@unimi.it; telefono 02/50316151. PROGRAMMA. 1. Un esame critico dello spazio-tempo galileiano. Lo spazio- tempo come fibrato sul tempo assoluto, e come

spazio affine quadridimensionale. La propagazione della luce, l’esperimento di Michelson-Morley e la crisi del modello galileiano.

2. La teoria della relatività ristretta. Postulati fondamentali. Teorema di Aleksandrov. Trasformazioni di Lorentz. Gli effetti di “contrazione delle lunghezze” e “dilatazione dei tempi” previsti dalle trasformazioni di Lorentz; osservazione della dilatazione dei tempi nel decadimento di particelle elementari. Composizione relativistica delle velocità; aberrazione della luce; effetto Doppler. Lo spazio-tempo di Minkowski, con la sua struttura affine e pseudo-euclidea; vettori di tipo spaziale, temporale e luce. Linea di universo di una particella. Tempo proprio. Paradosso dei gemelli. Quadrivelocità e quadriaccelerazione di una particella. Dinamica relativistica delle particelle: risoluzione delle equazioni di moto in casi semplici, equazioni di bilancio per l’energia e l’impulso. Le equazioni di Maxwell per il campo elettromagnetico: formulazione relativisticamente invariante, mediante il calcolo differenziale esterno e la dualità di Hodge. Cenni di meccanica dei fluidi perfetti. Il tensore energia- impulso nella fluidodinamica e nell’elettromagnetismo.

3. Un interludio di geometria differenziale. Fibrati vettoriali e connessioni. Varietà pseudo-riemanniane. 4. La teoria della relatività generale. Motivazioni fisiche per una teoria geometrica della gravità. Struttura

geometrica dello spazio-tempo. Il concetto di osservatore in relatività generale: lo spazio solidale, e il problema della simultaneità rispetto ad un osservatore. Il teorema di Coriolis in relatività generale. Dinamica della particella, fluidodinamica ed elettromagnetismo in uno spazio tempo curvo; tensore energia impulso. La teoria della gravità di Newton come caso limite della relatività generale. Comportamento degli orologi in un campo gravitazionale: esperimenti di Hafele-Keating e di Pound-Rebka. Equazioni di Einstein per il campo gravitazionale. Soluzione approssimata nel limite di campo debole. Soluzione di Schwarzschild. Moto di una particella e traiettoria di un segnale luminoso nello spazio-tempo di Schwarzschild. Precessione del perielio di un pianeta e deflessione dei raggi luminosi nel campo gravitazionale del Sole.

Il corso è coperto da dispense scritte dal docente, disponibili in formato elettronico. Questi appunti forniscono materiale più che sufficiente per la preparazione dell’ esame. (Solo per completezza, nella pagina che segue si segnalano alcuni testi di consultazione.) L’esame è orale. Di norma, la prova consiste nella esposizione di argomenti tratti dalle dispense (per un totale di non più di 200 pagine). Gli argomenti possono essere scelti dallo studente, ma devono essere preventivamente approvati dal docente (per questo motivo, si raccomanda di contattare il docente prima di iniziare la preparazione dell’esame). Seminari per 3 crediti F, collegati al corso. Per l’anno accademico 2011/12, il Consiglio di coordinamento didattico di Matematica ha deliberato di offrire agli studenti la possibilità di conseguire 3 crediti di tipo F preparando e tenendo un seminario su un argomento avanzato collegato ad un insegnamento del corso di laurea Magistrale. Il docente di Teoria della Relativita’ I propone i seguenti argomenti:

1) Il sistema GPS e la relatività generale 2) Modelli cosmologici in relatività generale.

Testi di consultazione per il corso di Teoria della Relatività I (solo per chi volesse integrare le dispense, sebbene non sia richiesto): 1. S. Benenti, "Modelli matematici della meccanica I, II" , Celid 2. R. d’ Inverno, "Introduzione alla relatività di Einstein", CLUEB 3. B.A. Dubrovin, A.T. Fomenko, S.P. Novikov, “Geometria contemporanea”, Editori Riuniti 4. T. Frankel, “The geometry of physics”, Cambridge University Press 5. J.B. Hartle. “Gravity. An introduction to Einstein’s general relativity”, Addison Wesley 6. S.W. Hawking, G.F.R. Ellis, “The large scale structure of space- time”, Cambridge University Press 7. L.D. Landau, E.M. Lifsits, “Teoria dei campi”, Editori Riuniti 8. C.W. Misner, K.S. Thorne, J.A. Wheeler, "Gravitation", Freeman and Company 9. R.M. Wald, “General relativity”, University of Chicago Press 10. S. Weinberg, “Gravitation and cosmology", Wiley and Sons 11. H. Weyl, "Space, time, matter", Dover Alcuni di questi testi (o altri riferimenti bibliografici) verranno segnalati dal docente in altra sede, per la preparazione degli eventuali seminari da 3 crediti F.