TEORIA DELLA RELATIVITA Fondamenta della teoria e ...hep.fi.infn.it/calvetti/pippo8large.pdfTEORIA DELLA RELATIVITA Fondamenta della teoria e meccanica relativistica. Ad uso del corso

TEORIA DELLA RELATIVITA

Fondamenta della teoria e meccanica relativistica.

Ad uso del corso di Fisica2 del

Dipartimento di Fisica ed Astronomia dell’Universita di Firenze.

Versione preliminare

M.Calvetti

Anno accademico 2012-13

2

Contents

1 Introduzione 13

2 Il Principio di Relativita di Galilei 15

2.1 Le Trasformazioni di Galilei per osservatori in moto relativo uniforme . . . . . . . . . . . 24

2.2 Composizione galileiana delle velocita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3 Proprieta di propagazione delle onde 31

3.1 Definizione delle variabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.2 Legge di Hooke e Modulo di Young . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.3 Dinamica e deformazione del mezzo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.4 Le soluzioni dell’equazione delle onde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.5 Onde sonore nei gas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.6 Calcolo della velocita del suono in aria e nei metalli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.7 Effetto Doppler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.8 Osservatore fermo - Sorgente in moto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.9 Osservatore in moto - Sorgente ferma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.10 L’esperimento di Michelson-Morley e la ricerca dell’etere . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

4 La velocita della luce 53

4.1 La teoria di Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

4.2 Roemer e i satelliti di Giove . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4.3 Bradley e l’aberrazione stellare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4.4 L’etere e la velocita della luce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

5 A proposito dello spazio e del tempo 63

5.1 Distanze e sincronizzazione degli orologi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

5.2 Aste parallele al moto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

5.3 Aste ortogonali al moto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

5.4 Imbianchini relativistici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

5.5 Il Principio di Relativita e la propagazione di un’onda sferica luminosa . . . . . . . . . . 79

6 Le Trasformazioni di Lorentz 83

6.1 Le basi della Teoria della Relativita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

6.2 Derivazione delle Trasformazioni di Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

3

4 CONTENTS

6.3 Spostamenti infinitesimi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

6.4 Composizione relativistica delle velocita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

7 Lo spazio tempo di Minkowski 93

7.1 Quadrivettori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

7.2 Tensore della metrica, componenti covarianti e controvarianti . . . . . . . . . . . . . . . . 94

7.3 Prodotto scalare e Norma di un quadrivettore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

7.4 Invarianza del prodotto scalare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

7.5 Il tempo proprio di una particella in moto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

7.6 Dilatazione del tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

7.7 Effetto Doppler relativistico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

7.8 Contrazione delle lunghezze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

7.9 Linee d’universo e cono luce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

7.10 Forma grafica delle trasformazioni di Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

8 Dinamica relativistica 109

8.1 Cinematica nello spazio tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

8.2 Velocita ed impulso nello spaziotempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

8.3 La quadriforza e l’equazione della dinamica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

8.4 Energia di una particella . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

8.5 L’equazione di Newton in forma relativistica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

8.6 Revisione del concetto di massa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

8.7 Relazioni relativistiche notevoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

8.8 Energia ed impulso per particelle di massa a riposo nulla, i fotoni . . . . . . . . . . . . . 120

8.9 Conservazione del quadrimpulso per sistemi isolati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

9 Esercizi 123

9.1 Combinazione relativistica delle velocita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

9.2 L’aberrazione stellare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

9.3 Moto di una carica elettrica in campo magnetico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

9.4 Moto di una particella soggetta a forza costante parallela alla velocita . . . . . . . . . . . 127

9.5 Moto di una particella soggetta a forza costante perpendicolare alla velocita iniziale . . . 129

9.6 Effetto Compton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

List of Figures

2.1 La scoperta dei satelliti di Giove nel 1610. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.2 I disegni di Galilei negli affreschi dell’ingresso al dipartimento di Fisica dell’Universita di

Firenze di Arcetri. Al centro le macchie solari, in alto a sinistra i disegni dei satelliti di

Giove e, in senso orario, gli anelli di Saturno, le fasi di venere e la superfice lunare. . . . . 18

2.3 Effetto delle correnti marine nei rilevamenti topografici dal mare. . . . . . . . . . . . . . 19

2.4 John Harrison- L’inventore dell’orologio a bilancere. Risolse il problema di misurare la

longitudine delle navi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.5 Moto relativo e punto di vista di Francesco. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.6 Moto relativo e punto di vista di Chiara. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.7 Le Trasformazioni di Galilei. Relazione algebrica tra le coordinate dello stesso punto P

misurate da due osservatori in moto relativo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.8 Le Trasformazioni di Galilei. Punto di vista di Chiara. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.1 La propagazione di un onda elastica in una dimensione. Definizione delle variabili. . . . . 32

3.2 Legge di Hooke. Relazione algebrica tra l’allungamento del materiale, le dimensioni della

sbarra e la forza. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.3 Calcolo delle forze esterne agenti sul segmento di sbarra S∆x. . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.4 Le soluzioni dell’equazione delle onde sono combinazioni lineari di funzioni che ”viaggiano

rigidamente” con velocita ±c. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.5 Forze esterne agenti sul volume di gas S∆x. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.6 L’Effetto Doppler prodotto dallo spostamento dell’anatra. Il moto dell’anatra concentra

in uno spazio minore le onde prodotte in avanti. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.7 L’ effetto Doppler sonoro nel caso di sorgente in moto ed osservatore fermo. L’aria costi-

tuisce un sistema di riferimento privilegiato per il suono, perche e in aria che il suono si

propaga con velocita data. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.8 Sorgente ferma ed osservatore in moto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.9 Esperimento di Michelson e Morley. Si misura del tempo di andata e ritorno della luce

in direzioni perpendicolari orientate a piacimento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

4.1 nel 1865, Maxwell calcola la velocita della luce dalle equazioni che descrivono i risultati

degli esperimenti di Faraday e di Ampere. Le proprieta dei campi elettrici e magnetici

stazionari, espresse tramite il valore della costante dielettrica ε0 e della permeabilita

magnetica µ0 del vuoto, sono legate alla velocita della perturbazione elettromagnetica

dalla relazione c = 1√ε0µ0' 3108m/s. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

5

6 LIST OF FIGURES

4.2 I tempi delle eclissi di Io, il satellite piu interno di Giove, presentano delle modulazioni che

dipendono dalla distanza Terra-Giove. Roemer, seguendo un’idea di Cassini, interpreto

questo fatto come dovuto al tempo necessario alla luce per attraversare la distanza Terra-

Giove che cambia nel corso dell’anno. Questa fu la prima evidenza sperimentale della

velocita finita della luce. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4.3 Bradley e l’aberrazione stellare. La posizione delle stelle nel cielo cambia nel corso

dell’anno, descrivendo delle piccole ellissi. Il fenomeno e dovuto alla combinazione del

moto della terra attorno al sole con la velocita finita della luce. La scoperta dell’aberrazione

stellare confermo definitivamente la velocita finita della luce. . . . . . . . . . . . . . . . . 57

4.4 Aberrazione stellare. Il puntamento del telescopio cambia nel corso dell’anno. . . . . . . . 58

4.5 La non osservazione delle stelle doppie di De Sitter dimostra che la velocita della luce non

dipende da quella della sorgente (De Sitter 1913). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

5.1 Combinazione delle velocita di oggetti in movimento. Le Trasformazioni di Galilei non

sono verificate sperimentalmente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

5.2 Costruzione di un riferimento spaziotemporale. Gli assi cartesiani sono graduati e gli

orologi sono messi nella loro posizione e non si spostano. Il tempo di un evento si legge

nell’orologio posto nella posizione in cui l’evento avviene. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

5.3 Simultaneita e lunghezza nella direzione del moto. Confronto delle lunghezze di oggetti

in moto relativo. Chiara, in movimento, supera Francesco fermo nel proprio riferimento. . 72

5.4 Simultaneita e lunghezza nella direzione del moto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

5.5 Aste ortogonali alla direzione del moto. Interpretazione dell’esperimento da parte dell’osservatore

O. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

5.6 Aste ortogonali alla direzione del moto. Interpretazione dell’esperimento da parte dell’osservatore

O’. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

5.7 Le lunghezze ortogonali al moto non cambiano quando si cambia il sistema di riferimento. 78

5.8 Onda luminosa sferica uscente dall’origine. Punto vista di Francesco (O). . . . . . . . . . 79

5.9 Onda luminosa sferica uscente dall’origine. Punto di vista di Chiara (O’). . . . . . . . . . 80

6.1 Linvarianza delle dimensioni trasverse permette di collegare lo scorrere del tempo dei due

osservatori tramite il Teorema di Pitagora: (ct)2 − (V t)2 = (ct′)2. . . . . . . . . . . . . . 86

6.2 Variazione della funzione gamma al variare di beta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

6.3 Composizione relativistica delle velocita. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

6.4 Sebbene la velocita relativa di P ed O’ sia, per O, maggiore di c, tuttavia la velocita

di P nel riferimento di O’ risulta minore di c. La velocit relativa di P ed O’ non e la

trasmissione di un segnale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

7.1 Hermann Minkowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

7.2 Effetto Doppler relativistico. La frequenza percepita dall’osservatore e determinata dalla

geometria del moto e dalla dilatazione temporale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

7.3 Un asta in movimento e piu corta di quando sta ferma. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

7.4 Passato e futuro nel cono luce dell’evento A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

LIST OF FIGURES 7

7.5 Quando la distanza tra gli eventi B ed A e di tipo temporale, la relazione di causa effetto

e conservata. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

7.6 Se la distanza tra gli eventi A e D e di tipo spaziale, l’evento D e fuori del cono luce di A.

In questo caso la relazione temporale prima-dopo tra gli eventi A e D puo essere invertita

cambiando sistema di riferimento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

9.1 Moto di una massa m sottoposta ad una forza costante parallela alla velocita. . . . . . . 128

9.2 Moto di una carica elettrica in un campo di forza costante, caso del condensatore carico. 129

9.3 Effetto Compton. Diffusione di un fotone da parte di un elettrone libero. . . . . . . . . . 131

8 LIST OF FIGURES

Chapter 1

Introduzione

Nel terzo capitolo di questo libretto si parla della propagazione delle onde sonore nei metalli e nei gas.

Vedremo che la velocita delle onde dipende dalle proprieta del mezzo nel quale il segnale si propaga e non

dalla velocita della sorgente che lo emette. Cambia, invece, la frequenza dell’onda quando la sorgente si

muove rispetto all’osservatore.

Nella seconda meta dell’800, analogamente, si pensava che dovesse esistere un mezzo nel quale l’onda

luminosa potesse propagarsi, l’etere, un mezzo impalpabile e contemporaneamente capace di propagare

l’onda luminosa ad altissima velocita. L’insuccesso di qualunque tentativo di rivelare sperimentalmente

l’etere indusse Einstein ad ipotizzare la sua assenza. La non esistenza dell’etere, ed insieme le proprieta

di propagazione delle onde elettromagnetiche, convinsero Einstein a rivedere la concezione dello spazio

e del tempo che fino ad allora si era radicata nella mente umana.

La pubblicazione della teoria della relativita ristretta, nel 1905, aprı una finestra su un mondo mer-

aviglioso, quello vero, una visione universale che ha cambiato la nostra idea dello spazio, del tempo e,

quindi, tutta la fisica.

Questo libretto e scritto con l’intento di accompagnare gli studenti del secondo anno di fisica sul

sentiero logico della teoria relativistica. Le sezioni nelle quali sono divisi i capitoli corrispondono agli

argomenti svolti durante le lezioni in aula, l’indice e il programma del corso.

La difficolta della relativita speciale non e nella matematica, bastano infatti le quattro operazioni e

le radici quadrate, ma concettuale.

E’ esperienza personale che all’inizio dello studio di questa materia la nostra mente ”resiste”, non

vuole cambiare il modo in cui ha immaginato lo spazio ed il tempo fino a quel momento. Sappiamo

che la teoria relativistica e verificata sperimentalmente e quindi da accettare ”per forza”, ma facciamo

fatica a pensare in modo relativistico.

Dobbiamo abbandonare le nostre sicurezze spaziotemporali.

Siamo convinti di conoscere lo spazio ed il tempo, che sono il mezzo nel quale viviamo. Sappiamo

che possiamo muoverci liberamente nelle tre direzioni dello spazio mentre nel tempo non possiamo farlo,

perche il tempo scorre inesorabile in avanti. Siamo convinti che lo spazio ed il tempo sono diversi e,

soprattutto, separati. Lo spazio e una cosa, il tempo un’altra, non c’e possibilita di influenza reciproca

tra loro, questo pensiamo.

Se un oggetto ha una certa lunghezza, quella e. Se un orologio segna un intervallo di tempo tra due

eventi, quello e. Se due eventi avvengono simultaneamente in posti diversi, sono simultanei per tutti.

Questo pensiamo prima di imbatterci nello studio della teoria relativistica.

9

10 CHAPTER 1. INTRODUZIONE

Man mano che il ragionamento logico avanza siamo costretti a lasciare queste sicurezze ed a pensare

che la lunghezza di un oggetto dipende dalla sua velocita, che il ritmo di un orologio dipende dalla

sua velocita, che eventi simultanei per un osservatore possono non esserlo per un altro osservatore in

movimento.

Grazie alla fatica fatta per andare attraverso questa rivoluzione mentale diventiamo intellettualmente

piu ricchi e piu vicini a comprendere come vanno le cose intorno a noi.

Chapter 2

Il Principio di Relativita di Galilei

E’ difficile dire quale sia il piu grande dei contributi dati da Galilei al pensiero scientifico moderno. Per

cominciare, vi lascio dire da Lui che ” ... questo grandissimo libro (della natura) che continuamente ci

sta aperto innanzi agli occhi (io dico l’universo), non si puo intendere se prima non s’impara a intender

la lingua, e conoscer i caratteri ne quali e scritto. Egli e scritto in lingua matematica, e i caratteri son

triangoli, cerchi, ed altre figure geometriche, senza i quali mezzi e impossibile a intendere umanamente

parola; senza questi e un aggirarsi vanamente per un oscuro laberinto... , ”

La matematica e la lingua che dobbiamo usare per formulare leggi che sono rigorosamente osservate

dalla natura e che percio la rendono riproducibile. Queste devono essere riconosciute attraverso la

pratica della sperimentazione. Non e possibile inventare le leggi della natura, dobbiamo leggerla come

un libro, solo cosı possiamo scoprire come funziona. I grandi scienziati sono quelli che riescono a leggere

questo libro per primi ed a raccontarcelo.

Galilei ha inventato il metodo scientifico e lo ha usato dando inizio ad una serie di scoperte che hanno

cambiato il nostro modo di pensare per portarlo sempre di piu nella profondita e nella bellezza che sta

dentro ed intorno a noi. La prima scoperta e che le leggi naturali NON SONO nella nostra mente, non

sono innate ma devono ESSERE MESSE nella nostra mente, attraverso lo studio e l’interpretazione dei

risultati sperimentali, questo ci ha detto Galilei.

Per capire la teoria della relativita dobbiamo modificare il nostro modo di pensare lo spazio ed il

tempo, saremo costretti a farlo perche la natura ce lo dice. Lo spazio ed il tempo NON SONO quello

che la nostra esperienza quotidiana ci ha insegnato.

La prima volta che Galilei ha cambiato il nostro modo di pensare e stato con la scoperta del principio

d’inerzia: un corpo rimane nel suo stato di moto uniforme (per sempre) finche una forza non ne modifica

lo stato. Eppure tutto sembra indicare il contrario: i corpi lasciati a se stessi, prima o poi si fermano,

non possono restare sempre in movimento.

Galilei fu capace di immaginare un mondo senza attriti, lo capı e lo disse. Sono incredibili la sua

grandezza ed il suo coraggio.

Che ne dite poi dell’osservazione che tutti i corpi lasciati cadere nel campo gravitazionale hanno la

stessa accelerazione? E esperienza quotidiana che se si lasciano cadere contemporaneamente una piuma

ed un mattone di piombo, il piombo arriva per primo a terra. Galilei fece una serie di esperimenti con

il piano inclinato, che rallentava la caduta, e finalmente capı che sono gli attriti che fanno la differenza.

Se non ci fosse l’aria, la piuma ed il piombo cadrebbero nello stesso tempo.

Voglio ricordare altri importanti contributi dati da Galilei al progresso scientifico: il perfezionamento

11

12 CHAPTER 2. IL PRINCIPIO DI RELATIVITA DI GALILEI

e la costruzione di telescopi sempre piu potenti, la scoperta dei satelliti di Giove, vedi Fig.2.1 e della

complessita della superfice lunare, con monti e valli, la scoperta delle macchie solari, degli anelli di

Saturno, vedi Fig.2.2, ed il suo sostegno al sistema copernicano, per il quale fu processato e condannato

dal pensiero scientifico dominante.

Figure 2.1: La scoperta dei satelliti di Giove nel 1610.

Galilei ha praticato il metodo scientifico, ci ha detto che il linguaggio della natura e la matematica,

che per capirla dobbiamo pensarla senza attrito e senza campo gravitazionale. Galilei ci ha detto che

dobbiamo stare attenti a non lasciarci ingannare DAI NOSTRI PREGIUDIZI.

Ora, sebbene tutto questo sia sufficiente a mettere Galilei nella storia del pensiero scientifico moderno,

tuttavia un’altra sua scoperta deve essere ricordata: la scoperta del Principio di Relativita.

Secondo me, questa e la scoperta piu importante di Galilei perche essendo alla base della teoria

relativistica, non solo e stata ma rimane il fondamento di tutta la fisica.

Per comprendere il profondo significato del Principio di Relativita conviene descrivere come Galilei

arrivo a capirlo.

A cavallo tra il ’500 ed il ’600, due problemi relativi alla navigazione non erano ancora stati risolti

con sufficiente precisione: la determinazione della longitudine e la misura della velocita di una nave in

mare aperto.

Per misurare la velocita della nave si gettava in mare una corda con dei nodi a distanza fissa ed una

tavoletta all’estremita. L’attrito dell’acqua sulla tavoletta faceve srotolare la corda. La velocita della

nave si misurava contanto i nodi che scorrevano in un dato intervallo di tempo, misurato con la clessidra.

Le unita di misura della velocita delle navi, ancora oggi, sono i ”nodi”.

Sebbene con questo metodo si possa misurare la velocita istantanea della nave rispetto all’acqua del

mare, tuttavia non possiamo conoscere con certezza lo spazio percorso dalla nave rispetto alla terraferma.

Questo metodo di misura della velocita della nave, infatti, non tiene conto delle correnti marine.

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Figure 2.2: I disegni di Galilei negli affreschi dell’ingresso al dipartimento di Fisica dell’Universita di Firenze di Arcetri.

Al centro le macchie solari, in alto a sinistra i disegni dei satelliti di Giove e, in senso orario, gli anelli di Saturno, le fasi

di venere e la superfice lunare.


Osservando alcune carte geografiche del ’500 si nota che la forma dei continenti non corrisponde a

quella oggi conosciuta. Questo e dovuto al fatto che le rilevazioni topografiche spesso venivano effettuate

dal mare, calcolando la distanza percorsa usando la velocita misurata della nave, senza tener conto delle

correnti marine. Non si sapeva come fare diversamente, vedi Fig.2.3.

Figure 2.3: Effetto delle correnti marine nei rilevamenti topografici dal mare.

Se ci si muoveva col favore della corrente, senza saperlo, la lunghezza di un isola risultava piu corta

di quanto fosse perche, rispetto ad essa, la nave si muoveva con velocita maggiore di quanto creduto.

Una nave ferma in mezzo al mare, trasportata dalla corrente marina, avrebbe avuto una velocita in

nodi nulla, ma se da quella nave si fosse osservata un’isola, la si sarebbe vista scorrere comunque e la sua

lunghezza, misurata usando la velocita della nave in nodi, sarebbe stata nulla: paradossalmente l’isola

non avrebbe avuto dimensioni.

Non era possibile conoscere con certezza la posizione di una nave in mezzo al mare. Si poteva misurare

la Latitudine misurando l’altezza del Sole sull’orizzonte a mezzogiorno, oppure misurando l’altezza della

stella Polare di notte, ma non si sapeva misurare la Longitudine. Il problema era complicato dalla

rotazione terrestre. Per trovare un isola in mezzo al mare le navi dovevano veleggiare Est-Ovest e

viceversa finche l’isola veniva avvistata. La navigazione era piuttosto approssimata e quindi pericolosa.

La misura, da bordo della nave, della longitudine e della distanza percorsa dal porto di partenza,

sono due problemi ai quali anche Galilei dedico la sua attenzione.

L’ammiragliato britannico offrı dei premi in denaro a chi avesse trovato un modo pratico di misurare

la longitudine con sufficiente precisione, tanto era l’interesse di origine militare e commerciale.

Galilei, Eulero ed altri proposero di determinare la longitudine per mezzo delle osservazioni astro-

nomiche ma il metodo proposto era troppo complicato. Richiedeva lunghe osservazioni notturne, con

misure di precisione sulla posizione di molti oggetti celesti, fatte da una nave in continuo movimento,

non era pratico.

Il problema della misura della longitudine da una nave fu risolto brillantemente un secolo dopo,

dall’inglese John Harrison nella prima meta del ’700, con l’invenzione dell’orologio a bilanciere.

15

Figure 2.4: John Harrison- L’inventore dell’orologio a bilancere. Risolse il problema di misurare la longitudine delle navi.

Si rimetteva l’orologio a mezzogiorno nel porto di partenza, quindi, man mano che la nave avanzava

verso ovest, o verso est, si leggeva l’ora nel momento in cui il sole si trovava alla massima altezza,

il mezzogiorno locale. La distanza in tempo tra l’istante del mezzogiorno locale ed il mezzogiorno

dell’orologio, indicava di quanti fusi orari la nave si era spostata, stabilendo la longitudine.

Galilei aveva lavorato al perfezionamento dell’orologio a pendolo ma sapeva che questo non era adatto

ad essere usato in navigazione. Immaginate cosa succede ad un orologio a pendolo in caso di mare molto

mosso.

Il secondo problema, invece, come misurare la velocita assoluta di una nave che si muove di moto

uniforme in mare aperto, non e stato risolto, da nessuno, nemmeno oggi. Notate bene, non sto parlando

della velocita della nave rispetto alla terra ferma ma della velocita assoluta della nave.

Galilei si accorse che un osservatore chiuso all’interno di una nave non puo capire se la nave sta

veleggiando. Certo percepisce il moto della nave, le oscillazioni causate dal moto delle onde e dalla spinta

del vento. Puo dire se la nave subisce accelerazioni, o se la sua struttura e soggetta a sollecitazioni,

magari sente lo scricchiolio del fasciame, ma non puo dire se la nave, nel suo complesso, si sta muovendo.

Nel caso di moto uniforme, poi, rettilineo e senza scosse, non si puo dire assolutamente nulla, potremmo

muoverci a velocita elevatissime senza averne il minimo indizio.

Tutti noi abbiamo verificato questo. Quando di due treni fermi alla stazione su binari adiacenti, uno

comincia a muoversi, se la partenza e dolce, nessuno dei viaggiatori e capace di dire qual’e il treno in

partenza. Per alcuni istanti pensiamo che sia l’altro treno a partire mentre, invece, e il nostro.

Chi lo direbbe, per esempio, quando al mattino presto, al calduccio sotto le coperte, stiamo belli

tranquilli, che la nostra stanza e noi compresi, ci stiamo muovendo a velocita folli nello spazio galattico?

Eppure, tutta la fisica e la chimica del nostro corpo non riescono a dircelo. Galilei capı che non esiste

un esperimento dai cui risultati si possa dedurre la velocita assoluta del proprio laboratorio.

Se due navicelle spaziali con motori spenti (due riferimenti inerziali) si incrociano nello spazio, per i

due equipaggi non e possibile dire quale delle due astronavi sia in movimento. Possono dire se le due

astronavi si stanno avvicinando, o allontanando, oppure, caso veramente difficile se ci pensate bene,


stanno ferme una rispetto all’altra.

Per ciascun equipaggio il proprio laboratorio e fermo, l’altro in moto. I due laboratori sono perfetta-

mente equivalenti.

Proviamo ora, seguendo l’esempio di Galilei che immagino l’assenza di attrito, ad immaginare un

universo vuoto al di fuori della nostra astronave.

Bene, in questo caso, non si puo parlare di velocita dell’astronave perche non sapremmo come mis-

urarla, visto che non c’e nessun altro oggetto rispetto al quale misurare la sua distanza. Se esiste solo

la nostra astronave, tutte le posizioni dello spazio sono equivalenti.

Nel caso in cui siano presenti piu astronavi, invece, gli astronauti possono misurare le velocita relative

tra loro ma, di nuovo, la velocita assoluta dell’insieme delle astronavi non ha significato, tutte le posizioni

nello spazio sono equivalenti.

Il Principio di Relativita dice che le leggi della fisica sono le stesse su tutte le astronavi. In altre parole,

non esiste un esperimento che effettuato in un’astronave dia risultati diversi quando viene ripetuto in

un’altra, le astronavi sono indistinguibili, perfettamente equivalenti.

Credo sia meglio farvelo dire da Galilei:

”Rinserratevi con qualche amico nella maggior stanza che sia sotto coverta di alcun gran naviglio, e

quivi fate di aver mosche, farfalle e simili animaletti volanti, siavi anco un gran vaso dacqua, e dentrovi

de pascetti, sospendasi anco in alto qualche secchiello, che a goccia a goccia vadia versando dellacqua in

un altro vaso di angusta bocca, che sia posto a basso: e stando ferma la nave, osservate diligentemente

come quegli animaletti volanti con pari velocita vanno verso tutte le parti della stanza; i pesci si vedranno

andar notando indifferentemente per tutti i versi, le stille cadenti entreranno tutte nel vaso sottoposto;

e voi, gettando allamico alcuna cosa, non piu gagliardamente la dovrete gettare verso quella parte che

verso questa, quando le lontananza sieno uguali, e saltando voi, come si dice, a pie giunti, uguali spazi

passerete verso tutte le parti. Osservate che avrete diligentemente tutte queste cose, benche niun dubbio

ci sia che mentre il vassello sta fermo non debbano succeder cosı, fate muover la nave con quanta si voglia

velocita; che (purche il moto sia uniforme e non fluttuante in qua e la) voi non riconoscerete una minima

mutazione in tutti li nominati effetti, ne da alcuno di quelli potrete comprendere se la nave cammina o

pure sta ferma...”

Consideriamo un libro di fisica, per esempio di meccanica o di elettromagnetismo, ma anche di

medicina, di chimica o di un qualunque altro argomento scientifico. Ebbene, se il contenuto di questo

libro descrive correttamente le leggi della natura in una astronave, allora la descrive correttamente

anche IN TUTTE LE ALTRE. La fisica e la stessa in tutte le astronavi che si muovono di moto relativo

uniforme. Possiamo tranquillamente stampare il libro in tante copie e distribuirlo a tutti gli equipaggi.

Fate attenzione, adesso viene il punto: se tutto questo e vero, allora le leggi della fisica DEVONO

essere scritte in una forma matematica tale da GARANTIRE la validita del PRINCIPIO DI RELA-

TIVITA, altrimenti non possono essere giuste.

Nasce spontanea la domanda: come si fa a scriverle le leggi della fisica nel modo giusto?

Lo vediamo nei prossimi paragrafi.

2.1. LE TRASFORMAZIONI DI GALILEI PER OSSERVATORI IN MOTO RELATIVO UNIFORME 17

Figure 2.5: Moto relativo e punto di vista di Francesco.

Figure 2.6: Moto relativo e punto di vista di Chiara.


2.1 Le Trasformazioni di Galilei per osservatori in moto relativo uniforme

Per osservatore intendiamo un laboratorio perfettamente equipaggiato di strumenti scientifici, dove

squadre di ricercatori o singoli pensatori come voi, possano disegnare, costruire e realizzare esperimenti

di fisica, biologia, ingegneria, chimica ecc, in pratica ogni tipo di esperimento. Il risultato della vostra

ricerca scientifica sono le leggi della Natura. Nel caso particolare della meccanica, che studia il moto dei

corpi e le sue cause, il risultato della ricerca sono le equazioni di Newton, F=ma, per esempio.

Figure 2.7: Le Trasformazioni di Galilei. Relazione algebrica tra le coordinate dello stesso punto P misurate da due

osservatori in moto relativo.

Supponiamo di avere due osservatori, Francesco (O) e Chiara (O’) in moto relativo uniforme. Francesco(O)

vede Chiara(O’) muoversi di moto uniforme con velocita−→V , vedi Fig.2.5. Chiara(O’) vede Francesco(O)

muoversi con velocita −−→V , vedi Fig.2.6. Per ogni osservatore sono gli altri che si muovono.

Francesco e Chiara posseggono ciascuno un metro ed un orologio, in modo da poter misurare le

distanze tra gli oggetti e gli intervalli di tempo tra gli eventi.

Le coordinate spaziali di un evento, come la posizione di un aereo in un certo istante, se misurate

dalle due astronavi sono diverse.

Una precisa relazione deve pero esistere tra le coordinate (x,y,z,t) e (x’,y’,z’,t’) dello stesso evento, una

relazione che dipende dalla distanza e dall’orientamento relativo degli assi cartesiani dei due osservatori.

Per semplicita, consideriamo il caso in cui gli assi cartesiani sono paralleli con gli assi x e x’ sulla

stessa retta e che gli orologi vengano azzerati nell’istante in cui i due sistemi sono sovrapposti al tempo

t=t’=0, vedi Fig. 2.7. I due orologi sono uguali, segnano la stessa ora ed avanzano sincronizzati, t=t’

sempre.

Supponiamo che Francesco (O) , fermo in autostrada, veda un aereo nel cielo nella posizione −→r (t) =

[x(t), y(t), z(t)]. Chiara (O’) osserva lo stesso aereo da un auto in corsa (il riferimento O’).

Per Trasformazioni di Galilei s’intendono quelle relazioni matematiche che collegano le coordinate

spazio temporali dell’aereo, misurate da Francesco, a quelle dello stesso aereo misurate da Chiara, vedi

Fig.2.8.

Per Francesco, la posizione dell’aereo −→r (t) e data dalla somma vettoriale

2.1. LE TRASFORMAZIONI DI GALILEI PER OSSERVATORI IN MOTO RELATIVO UNIFORME 19

Figure 2.8: Le Trasformazioni di Galilei. Punto di vista di Chiara.

−→r (t) =−→V t+−→rF (t) (2.1)

dove, vedi Fig.2.7:−→r (t) e la posizione dell’aereo MISURATA DA FRANCESCO nel suo riferimento al tempo t,−→V t e la posizione di Chiara MISURATA DA FRANCESCO nel suo riferimento al tempo t,−→rF (t) e la distanza dell’aereo da Chiara misurata da Francesco al tempo t.

Per Chiara, invece, la posizione dell’aereo e data dal vettore −→rC(t), vedi Fig.2.8

Nella teoria newtoniana si assume che la distanza Chiara-aereo, il vettore −→rC(t), misurata da Chiara

(O’) nel suo riferimento, sia uguale alla distanza Chiara-aereo −→rF (t), misurata da Francesco (O) nel suo

riferimento

−→rC(t) = −→rF (t) (2.2)

Dalla 2.1 si ottiene−→rC(t) = −→r (t)−

−→V t (2.3)

che possiamo esprimere anche in coordinate cartesiane

t′ = t

x′(t) = x(t)− Vxty′(t) = y(t)− Vytz′(t) = x(t)− Vzt

(2.4)

Le coordinate spaziotemporali dell’aereo, osservato dai due osservatori in moto relativo, sono legate

da queste trasformazioni, conosciute come le Trasformazioni di Galilei.


2.2 Composizione galileiana delle velocita

Le relazioni tra le velocita e le accelerazioni del punto P misurate dai due osservatori si ottengono

facendo la derivata prima e la derivata seconda, rispetto al tempo, delle trasformazioni 2.3. Tenendo

presente che dt′ = dt, si ottiene che le velocita sono legate dalla relazione

−→v′ (t) =

d−→r′ (t′)

dt′=d−→r′ (t′)

dt=d(−→r (t)−

−→V t)

dt= −→v (t)−

−→V (2.5)

mentre le accelerazioni dalla relazione

−→a′ (t) = −→a (t) (2.6)

Si noti che nel caso di moto relativo uniforme le due accelerazioni sono uguali.

Facciamo ora la seguente importante considerazione: secondo la legge di composizione delle velocita

2.5

−→v (t) =−→v′ (t) + V (2.7)

se Chiara (O’) accende una lampada tascabile ed emette un fascio di luce che si propaga con velocita

c nella direzione delle x’ crescenti, nel suo riferimento, allora, per Francesco, la luce deve muoversi con

velocita MAGGIORE di c, pari a c+V. La velocita della luce e quella di Chiara devono sommarsi come

dicono le Trasformazioni di Galilei per cui la velocita della luce misurata da Francesco deve essere diversa

da quella misurata da Chiara.

Vedremo che per le onde elettromagnetiche questo NON SUCCEDE. La velocita della luce, quando

viene misurata, e SEMPRE uguale a c ' 3105Km/s. Nel caso dei fenomeni elettromagnetici le trasfor-

mazioni di Galilei non possono essere applicate.

La difficolta concettuale della Teoria della Relativita, quella che dobbiamo superare, consiste pro-

prio nel rinunciare alle trasformazioni di Galilei, cioe alle ipotesi che sono state usate per ricavarle:

l’invarianza delle distanze e degli intervalli di tempo.

Chapter 3

Proprieta di propagazione delle onde

3.1 Definizione delle variabili

Consideriamo una sbarra metallica molto lunga di sezione trasversale S. Per semplicita, trattiamo della

propagazione delle onde elastiche in una dimensione.

Sappiamo che i legami atomici tendono a mantenere gli atomi adiacenti a distanze fisse tra loro e

che, per piccoli spostamenti, i legami sono di tipo elastico. In pratica, e come se gli atomi del metallo

fossero legati tra loro da piccole molle.

Colpendo gli atomi ad una estremita della sbarra, le forze di legame spingono gli atomi adiacenti e

danno origine ad un fenomeno collettivo di oscillazione che si propaga lungo tutta la sbarra. Come per

le onde del mare, gli atomi oscillano attorno alla posizione di equilibrio mentre l’energia si diffonde a

grandi distanze, l’energia passa da un atomo all’altro.

Vogliamo calcolare la velocita di propagazione dell’energia.

Sia x la posizione di equilibrio di un certo atomo. All’arrivo della perturbazione l’atomo si sposta e

la sua distanza dalla posizione di equilibrio cambia col tempo. Indichiamo con f(x, t) lo spostamento

dalla posizione di equilibrio x nell’istante t.

Figure 3.1: La propagazione di un onda elastica in una dimensione. Definizione delle variabili.

21

22 CHAPTER 3. PROPRIETA DI PROPAGAZIONE DELLE ONDE

La posizione occupata da quel particolare atomo al tempo t e quindi data dall’equazione

x+ f(x, t) (3.1)

In assenza di deformazione si ha che f(x, t) = 0.

Consideriamo le due sezioni SA ed SB della sbarra che in condizioni di equilibrio si trovano nelle

posizioni xA e xB = xA + ∆x, vedi Fig.3.1.

Con l’arrivo della perturbazione sonora gli atomi delle due sezioni si spostano nelle nuove posizioni

xA + f(xA, t) (3.2)

xB + f(xB, t) = xA + ∆x+ f(xA + ∆x, t) (3.3)

dipendenti dal tempo.

Richiamo la vostra attenzione sul fatto che se f(xA, t) 6= f(xB, t), il volume occupato dagli atomi

compresi tra le due superfici cambia e con esso la densita del materiale, rimanendo il numero di atomi

costante. Questo succede perche il materiale e sottoposto a trazione o compressione a causa dell’arrivo

dell’onda d’urto.

Per il nostro scopo, e utile calcolare la variazione relativa del volume compreso tra le due superfici.

Il volume iniziale essendo V0 = S∆x, mentre il volume compreso tra le due superfici al tempo t e

dato dall’equazione

V (t) = S[xB + f(xB, t)− xA − f(xA, t)] (3.4)

per cui

∆V (t) = V (t)− V0 (3.5)

∆V (t) = S[xA + ∆x+ f(xA + ∆x, t)− xA − f(xA, t)]− S∆x (3.6)

∆V (t) = S[f(xA + ∆x, t)− f(xA, t)] (3.7)

lim∆x→0

∆V

V= lim

∆x→0

S[f(xA + ∆x, t)− f(xA, t)]

S∆x=∂f(xA, t)

∂x(3.8)

Si trova quindi che la derivata parziale della funzione spostamento f(x, t), calcolata nel punto x al

tempo t, e uguale alla variazione relativa di volume nello stesso punto e nello stesso istante.

Si noti che questa espressione e del tutto generale, perche e pura geometria, diretta conseguenza di

come e stata definita la funzione f.

La 3.8 si applica anche nello studio della propagazione delle onde sonore nei gas, come vedremo in

seguito, perche, anche in questo caso, useremo la funzione spostamento f per descrivere come si muovono

gli atomi.

3.2 Legge di Hooke e Modulo di Young

La variazione del volume compreso tra SA ed SB dipende dalle forze esterne applicate dal resto della

sbarra sulle superfici che lo delimitano. Nel caso dei metalli, la relazione tra allungamento, forza esterna

e proprieta del materiale e data dalla legge di Hooke.

Consideriamo una sbarra metallica di sezione trasversale S, lunghezza L, sottoposta ad una forza F

di trazione o compressione. La forza viene applicata ad entrambe le estremita, come mostrato in figura

3.2. LEGGE DI HOOKE E MODULO DI YOUNG 23

Table 3.1: Moduo di Young e tensione massima per alcuni materiali

Materiale Modulo di Young (N/m2) Tensione massima (N/m2)

Alluminio 61010 2108

Ottone 91010 4108

Rame 121010 5108

Acciaio 201010 5108

3.2. Il centro di massa della sbarra e fermo, la risultante delle forze esterne e nulla ma il materiale,

sottoposto ad uno sforzo interno, si allunga (o si scorcia) come farebbe una molla.

La legge di Hooke dice che per piccole deformazioni l’allungamento ∆L della sbarra e proporzionale

alla forza agente sulla sbarra e dipende dalle proprieta del materiale secondo la relazione

Figure 3.2: Legge di Hooke. Relazione algebrica tra l’allungamento del materiale, le dimensioni della sbarra e la forza.

∆L =FL

SY(3.9)

L’allungamento relativo e dato da

∆L

L=

F

SY(3.10)

dove Y e il modulo di Young, che tiene conto delle proprieta meccaniche del materiale, vedi Tabella 3.1.

Piu Y e grande, piu il materiale e rigido e minore la variazione di lunghezza. Per avere una de-

formazione elastica reversibile occorre che l’allungamento relativo sia < 1%. La tensione massima

accettabile per restare in regime elastico e riportata in tabella 3.1 per alcuni materiali.


3.3 Dinamica e deformazione del mezzo

La sezione trasversale della sbarra non cambia per piccole deformazioni elastiche, perche le distanze tra

gli atomi cambiano solo nella direzione della forza. In questo caso, la variazione relativa del volume

compreso tra le due sezioni considerate, uguaglia la variazione relativa della distanza ∆L/L

dL

L=dV

V=∂f(x, t)

∂x(3.11)

legata, a sua volta, alle proprieta del materiale dalle legge di Hooke 3.10

F = SY∂f(x, t)

∂x(3.12)

dove F e la forza di trazione, o compressione, nel punto x.

Si puo usare la 3.12 per calcolare le forze esterne agenti sul segmento ∆x di sbarra. Si considerino le

due sezioni SA e SA′ , distandi dx, come mostrato in Fig. 3.3. FA e la forza che la parte sinistra della

sbarra esercita sulla superfice SA e FA′ e la forza che la parte destra della sbarra esercita sulla superfice

S ′A. Sebbene le due forze FA e F ′A siano in generale diverse, perche la massa compresa tra A e A’ deve

essere accelerata per perpettere la propagazione delle onde, tuttavia devono diventare uguali quando dx

tende a zero.

In questo caso, quando le due superfici coincidono, la massa compresa tra A e A’ tende a zero e la

forza che la parte destra della sbarra esercita sulla parte sinistra ha lo stesso modulo di quella che la

parte sinistra esercita sulla parte destra, per il principio di azione e reazione.

Lo stesso vale per l’estremita B.

Possiamo ora calcolare le forze di tensione applicate alle estremita del segmento di sbarra ∆x.

Figure 3.3: Calcolo delle forze esterne agenti sul segmento di sbarra S∆x.

Si applica la legge di Hooke 3.12 al segmento dx, per dx tendente a zero.

In questo caso, le forze esterne agenti sul segmento di sbarra S∆x sono date dalle seguenti espressioni

FA = −SY ∂f(xA, t)

∂x(3.13)

3.4. LE SOLUZIONI DELL’EQUAZIONE DELLE ONDE 25

in SA e

FB = SY∂f(xA + ∆x, t)

∂x(3.14)

in SB.

Si noti che quando∂f(x, t)

∂x> 0 (3.15)

FB e diretta verso le x positive ed FA verso le x negative.

La somma vettoriale delle due forze, la risultante,

FB − FA = SY (∂f(xA + ∆x, t)

∂x− ∂f(xA, t)

∂x) (3.16)

accelera la massa compresa tra le due superfici.

La seconda equazione di Newton dice che

FB − FA = ρS∆x∂2f(x, t)

∂t2(3.17)

dove ρ e la densita di massa e∂2f(x, t)

∂t2(3.18)

l’accelerazione del segmento ∆x.

Uguagliando il secondo membro delle 3.16 e 3.17 si ottiene, nel limite per ∆x→ 0, l’equazione di secondo

grado alle derivate parziali

ρ

Y

∂2f(x, t)

∂t2=∂2f(x, t)

∂2x(3.19)

∂2f(x, t)

∂2x− 1

c2

∂2f(x, t)

∂t2= 0 (3.20)

che e l’equazione delle onde, dove

c =

√Y

ρ(3.21)

e la velocita di propagazione della perturbazione sonora nel mezzo elastico.

3.4 Le soluzioni dell’equazione delle onde

Qualunque funzione del tipo

F (x, t) = f(x− ct) + g(x+ ct) (3.22)

e soluzione dell’equazione delle onde, come si verifica semplicemente per sostituzione. Questo succede

perche in queste funzioni lo spazio ed il tempo sono combinati SOLO nella forma x± ct.Il significato fisico di questa combinazione e che le funzioni f(x± ct) descrivono perturbazioni che si

propagano lungo l’asse delle x con velocita ∓c.Consideriamo per esempio la funzione f(x − ct). Il valore che questa funzione assume nel punto x

al tempo t e lo stesso che assume ad un tempo successivo t + dt nel punto in avanti x + cdt, perche

(x+ ct)− c(t+ dt) e uguale a x− ct.


Figure 3.4: Le soluzioni dell’equazione delle onde sono combinazioni lineari di funzioni che ”viaggiano rigidamente” con

velocita ±c.

Cio significa che la funzione f si sta spostando in avanti con velocita c.

Se si osserva la sbarra da un sistema di riferimento che si muove con velocita +c parallela alla

sbarra, la perturbazione risulta essere stazionaria. Infatti, supponiamo che in questo riferimento la

perturbazione sia descritta dalla funzione f ′(x′, t′). Essendo l’ampiezza dell’onda uno spostamento, in

quanto la funzione f(x-ct) che rappresenta gli spostamenti dalla posizione di equilibrio, e un vettore

spostamento in una dimensione, possiamo scrivere che

f ′(x′, t′) = f(x, t) (3.23)

dove le coppie (x′, t′) e (x, t) sono legate dalle trasformazioni di Galilei di traslazione.

x′ = x− ct (3.24)

t′ = t (3.25)

Se la funzione f(x,t) e del tipo f(x-ct), allora

f ′(x′, t′) = f(x− ct) = f(x′) (3.26)

Si scopre cosı che, per un osservatore in moto con velocita +c, la f ′(x′, t′) non dipende esplicitamente

dal tempo t’, cioe la perturbazione e per lui ferma.

Analogamente la funzione g(x+ct) descrive una perturbazione che si propaga nella direzione delle x

negative.

La soluzione generale e data dalla combinazione lineare di onde progressive e regressive.

S(x, t) = f(x− ct) + g(x+ ct) (3.27)

3.5. ONDE SONORE NEI GAS 27

3.5 Onde sonore nei gas

L’equazione delle onde sonore nei gas si ottiene in modo analogo. Anche qui consideriamo una colonna di

gas e studiamo il fenomeno in una dimensione. Per calcolare le forze agenti sul volume di gas compreso

tra le superfici SA e SB, vedi Fig.3.5, si usano le proprieta delle trasformazioni termodinamiche dei gas

perfetti.

Figure 3.5: Forze esterne agenti sul volume di gas S∆x.

Anche in questo caso la variazione relativa del volume nel punto x e data da

dL

L=dV

V=∂f(x, t)

∂x(3.28)

Al passaggio dell’onda sonora il gas viene compresso e rarefatto in un tempo pari al periodo dell’onda

stessa. Le onde sonore udibili hanno frequenze comprese tra 20Hz e 20KHz, per cui il periodo di

oscillazione piu lungo di un onda sonora e ≈ 50ms. Questo intervallo di tempo e piccolo rispetto ai tempi

che sono necessari per avere un consistente scambio di calore tra le molecole del volume considerato e

il resto del volume di gas. Il trasporto del calore per convezione, per esempio, e dell’ordine di secondi,

come il tempo di diffusione del fumo di sigaretta in una stanza (si prega di non fumare). Anche il calore

scambiato per irraggiamento non puo essere grande a temperatura ambiente e nel tempo di un periodo,

per la legge di StefanBoltzmann. Il gas subisce una trasformazione termodinamica talmente rapida che

puo essere considerare adiabatica.

Per essa vale la relazione

pV γ = costante (3.29)

dove γ e il rapporto tra il calore specifico a pressione costante ed il calore specifico a volume costante

γ =5

3(3.30)


Dalla 3.29

dpV γ + pγV γ−1 = 0 (3.31)

dp

p= −γ dV

V= −γ ∂f(x, t)

∂x(3.32)

Per piccole variazioni di pressione dp, la pressione p si puo considerare praticamente uguale alla

pressione atmosferica p0, quindi

dpA = −γp0∂f(xA, t)

∂x(3.33)

dpB = −γp0∂f(xB, t)

∂x(3.34)

Con ragionamento analogo a quanto discusso nel caso della sbarra metallica, si ricava la forza risul-

tante esterna che agisce sulla massa di gas compresa tra SA ed SB

∆F = S(dpA − dpB) = Sγp0(∂f(xA + ∆x, t)

∂x− ∂f(xA, t)

∂x) (3.35)

∆F = Sγp0∂2f(x, t)

∂x2∆x (3.36)

Di nuovo, si applica la seconda legge di Newton

ρS∆x∂2f(x, t)

∂t2= ∆F = Sγp0

∂2f(x, t)

∂x2∆x (3.37)

dove ρ e la densita e ∆m = ρS∆x la massa di gas considerata.

Si ottiene cosı l’equazione delle onde nei gas

ρ∂2f(x, t)

∂t2= γp0

∂2f(x, t)

∂x2(3.38)

∂2f(x, t)

∂x2− ρ

γp0

∂2f(x, t)

∂t2= 0 (3.39)

∂2f(x, t)

∂x2− 1

c2

∂2f(x, t)

∂t2= 0 (3.40)

dove

c =

√γp0

ρ(3.41)

e la velocita del suono.

3.6 Calcolo della velocita del suono in aria e nei metalli

Proviamo a calcolare la velocita del suono in azoto (quasi aria). Siano:

PA = 14 il peso atomico del gas

PM = 28 il peso molecolare del gas

N = 6.0221023moli−1, il numero di Avogadro

ρ = la densita del gas

n =il numero di moli di gas nel volume considerato, si ricorda che per mole si intende una quantita in

grammi pari al peso molecolare della sostanza.

3.6. CALCOLO DELLA VELOCITA DEL SUONO IN ARIA E NEI METALLI 29

K = 1.38110−23JK−1 la costante di Boltzmann

R = 8.315Jmol−1K−1costante universale dei gas

γ = 53

rapporto dei calori specifici a pressione e volume costanti

T = la temperatura in gradi Kelvin

Dalla legge di Boyle si ottiene

pV = nRT (3.42)

pV PM = nPMRT (3.43)

pPM =nPMRT

V(3.44)

pPM = ρRT (3.45)

p

ρ=RT

PM∼ p0

ρ(3.46)

Sostituendo nella 3.41

c =

√γp0

ρ=

√γRT

PM(3.47)

Nel caso dell’azoto, che ha una molecola biatomica, PM = 2PA = 28, si ottiene alla temperatura ambiente

T=300K

c =

√γRT

PM≈ 300

m

s(3.48)

che e circa la velocita del suono in aria.

E interessante osservare che nella teoria cinetica dei gas, l’energia cinetica media delle molecole e

data dalla relazione

E =3KT

2=m < v2 >

2(3.49)

dove < v2 > e il valore medio del quadrato delle velocita delle molecole, la velocita quadratica media, e

K e la costante di Boltzman. Sostituendo R=NK nella 3.47 ed usando la 3.49 si ottiene

c =

√γRT

PM=

√γNKT

PM=

√γNm < v2 >

3PM=

√γ < v2 >3 ≈ v (3.50)

La velocita del suono e circa uguale alla velocita microscopica delle molecole e dipende solo dalla tem-

peratura, dato il gas.

Le molecole urtano tra loro come sfere di uguale massa. Nel caso d’urto centrale, il proiettile si ferma

ed il bersaglio parte con la velocita che aveva il proiettile: risultato, l’energia si propaga con la velocita

microscopica della molecole.

Nella tabella 3.2 sono confrontate le velocita calcolate e misurate del suono, per alcuni materiali.

Aluni commenti:

Se la radiazione luminosa ha bisogno dell’etere per propagarsi, allora l’etere deve pervadere tutto

l’universo, altrimenti non potremmo vedere le stelle. E un fatto sperimentale che la radiazione luminosa

si propaga nel vuoto, che il vuoto interstellare si trova ad una tempertura di circa 4 K e che il vuoto

non e un mezzo tangibile.


Table 3.2: Velocita di propagazione del suono

Materiale Modulo di Young ( Nm2 ) Densita (Kgm3 )√

Yρ (ms ) velocita misurata (ms )

Alluminio 6.01010 2.7103 4700 5100

Granito 5.01010 2.7103 4300 5000

Piombo 1.61010 11.4103 1190 1320

Argento 7.51010 10.4103 2680 2680

Pyrex 6.11010 2.25103 5200 5500

Nickel 21.41010 8.9103 4900 4970

Acqua 2.2109 103 1500 0

Le caratteristiche dell’etere devono essere veramente speciali per poter propagare il segnale alla

velocita di 300.000 Km/s. L’etere deve essere o estremamente rigido, molto piu dei metalli, o stare

ad elevatissima temperatura, se fosse simile ad un gas, veramente molto strano.

La verifica sperimentale dell’esistenza dell’etere non ha mai avuto successo ed e per questo che Einstein

escluse la sua esistenza. Per lui la luce si propaga nel vuoto e non ha bisogno di un supporto materiale

per sostenerla.

Ma, se le onde elettromagnetiche trasportano energia, infatti sentiamo il calore del sole su di noi

quando siamo al mare, allora abbiamo un problema.

Infatti, se le onde luminose trasportano energia e non hanno un supporto materiale per propagarsi,

come l’aria per il suono, allora la legge galileiana di composizione delle velocita deve essere applicabile

anche a loro.

Sperimentalmente, si osserva che non e cosı, la velocita della luce non dipende dallo stato di moto

della sorgente o dell’osservatore. Questo fatto, molto strano per la meccanica classica, ci conduce

inesorabilmente a rimettere in discussione i nostri concetti di spazio e di tempo.

3.7 Effetto Doppler

L’effetto Doppler consiste nel fatto che la frequenza f0 di un fenomeno fisico periodico, per esempio la

frequenza sonora della sirena di un’ambulanza, il colore della luce emessa da una stella, o la frequenza

di rivoluzione di un satellite attorno ad un pianeta, viene percepita diversa da f0 se la sorgente e

l’osservatore sono in moto relativo, vedi Fig.3.6

3.8 Osservatore fermo - Sorgente in moto

Sia V la velocita della sorgente, f0 la sua frequenza, b il parametro d’impatto e c la velocita del suono.

Consideriamo l’istante t in cui la sorgente si trova distante ed in avvicinamento, come mostrato in

Fig.3.7. Nell’intervallo di tempo successivo, compreso tra t e t+ dt, la sorgente si sposta della quantita

ds = V dt lungo la sua traiettoria, emette il numero di fronti d’onda dn = f0dt, mentre il fronte d’onda

emesso nell’istante t percorre la distanza cdt.

A causa del moto della sorgente, quindi, i fronti d’onda emessi nell’intervallo di tempo dt sono

compressi nel segmento dl = cdt − V dt cos θ. Percio, per l’osservatore fermo, la distanza λ tra due

3.8. OSSERVATORE FERMO - SORGENTE IN MOTO 31

Figure 3.6: L’Effetto Doppler prodotto dallo spostamento dell’anatra. Il moto dell’anatra concentra in uno spazio minore

le onde prodotte in avanti.


Figure 3.7: L’ effetto Doppler sonoro nel caso di sorgente in moto ed osservatore fermo. L’aria costituisce un sistema di

riferimento privilegiato per il suono, perche e in aria che il suono si propaga con velocita data.

successivi fronti d’onda risulta essere

λ =cdt− V dt cos θ

f0dt=c− V cos θ

f0

=c

f(3.51)

mentre la velocita dell’onda e ancora c. Di conseguenza, la frequenza percepita , data dall’espressione

f =f0

1− Vc

cos θ(3.52)

risulta maggiore in avvicinamento e minore in allontanamento.

f0 ed f sono uguali nell’istante in cui la sorgente si trova alla distanza minima, quando θ = π2. Si

usa dire che l’effetto Doppler trasverso e nullo. Questo succede perche in quella posizione la variazione

istantanea della distanza sorgente-osservatore e nulla.

La formula che lega f a f0 e diversa nel caso relativistico. In questo caso, infatti, oltre all’effetto

geometrico dovuto al moto della sorgente, si deve tener conto della diversa velocita di avanzamento

degli orologi, quello della sorgente e quello dell’osservatore. Per questo, l’effetto Doppler relativistico

trasverso non e nullo, discuteremo questo fenomeno piu avanti nel corso.

3.9 Osservatore in moto - Sorgente ferma

Nel caso di sorgente ferma e osservatore in moto, invece, il ragionamento da seguire per calcolare la

frequenza percepita dall’osservatore e diverso.

Consideriamo l’istante t in cui l’osservatore e in avvicinamento alla sorgente, vedi Fig.3.8. Sappiamo

che nell’intervallo di tempo successivo, compreso tra t e t + dt, la sorgente emette il numero di fronti

d’onda dn = f0dt.

3.10. L’ESPERIMENTO DI MICHELSON-MORLEY E LA RICERCA DELL’ETERE 33

Figure 3.8: Sorgente ferma ed osservatore in moto.

Se l’osservatore fosse fermo rispetto alla sorgente sarebbe raggiunto nello stesso intervallo di tempo

dallo stesso numero di fronti d’onda ma, essendosi avvicinato alla sorgente della quantita ds = v cos θdt,

allora il numero di fronti d’onda che lo raggiunge e maggiore. Possiamo scrivere che

dN = f0dt+ vf0

cdt cos θ (3.53)

dove dN e il numero di fronti d’onda che raggiungono l’osservatore nel tempo dt. La frequenza percepita

e quindi

f =dN

dt= f0(1 +

v

ccos θ) (3.54)

Come si vede la frequenza percepita e diversa nei due casi pur essendo la velocita relativa osservatore-

sorgente la stessa.

Nel caso delle onde sonore, si puo distinguere il caso in cui la sorgente e in moto rispetto all’aria

mentre l’osservatore e fermo, da quello in cui l’osservatore e in moto, sempre rispetto all’aria, e la

sorgente ferma. Nei due casi l’effetto e diverso per cui si puo dire chi e in moto e chi no, esiste cioe il

moto assoluto, contrariamente a quanto affermato dal principio di relativita. Questo succede perche la

presenza dell’aria stabilisce un sistema di riferimento privilegiato, quello in cui l’aria e ferma. Questo

sistema, pero, non e un sistema di riferimento inerziale, un corpo in moto in aria, prima o poi si ferma a

causa dell’attrito. In questo riferimento non vale il principio d’inerzia. Il principio di relativita vale solo

nei riferimenti inerziali. Lasciatemelo dire: quelli, non dell’aria, ma dello spazio tempo in cui siamo.

3.10 L’esperimento di Michelson-Morley e la ricerca dell’etere

Due fasci di luce coerente sono inviati verso due specchi riflettenti posti all’estremita di due bracci

ortogonali di uguale lunghezza. Con metodi interferometrici si misurano i tempi di andata e ritorno dei


due fasci. Se la luce si propaga nell’etere e la terra si muove rispetto all’etere, allora i due tempi di

percorrenza devono essere diversi.

Michelson e Morley pensarono che se la luce si propaga nell’etere, e l’etere pervade tutto lo spazio,

allora doveva esserci un vento dell’etere rispetto alla terra. La terra non poteva essere sempre ferma

rispetto all’etere, se non altro a causa del moto orbitale attorno al sole. La velocita della terra rispetto

all’etere doveva cambiare nel corso dell’anno, il vento dell’etere non poteva essere sempre nullo.

Per capire il principio di funzionamento dell’esperimento, immaginiamo di ripeterlo usando le onde

sonore invece della luce e l’aria invece dell’etere.

Per simulare il moto della terra rispetto all’etere supponiamo di essere in presenza di un forte vento

con velocita V diretta lungo l’asse delle x positive, quelle del laboratorio, vedi Fig.3.9.

Due onde sonore sono emesse simultaneamente dal punto A in direzioni ortogonali verso i due schermi

posti a distanza d, dove vengono riflesse per tornare in A. Il braccio A-B e disposto parallelo alla direzione

del vento.

Figure 3.9: Esperimento di Michelson e Morley. Si misura del tempo di andata e ritorno della luce in direzioni perpendi-

colari orientate a piacimento.

Vogliamo calcolare i tempi di andata e ritorno delle due onde sonore.

Siano: c la velocita del suono rispetto all’ aria e V la velocita del vento nel laboratorio, siamo nel

caso in cui c > V .

Nella fase di andata del tragitto A-B-A, quando il vento soffia a favore, la velocita del vento si somma

a quella del suono perche, mentre il suono si propaga in aria, l’aria stessa si muove alla velocita del

vento. Nel tratto di ritorno B-A, invece, le velocita si sottraggono.

Il tempo totale, di andata e ritorno, e dato dalla somma dei due tempi

t(A→ B → A) =d

c+ V+

d

c− V= d

2c

c2 − V 2=

2d

c

1

1− V 2

c2

(3.55)

3.10. L’ESPERIMENTO DI MICHELSON-MORLEY E LA RICERCA DELL’ETERE 35

Nel caso del tragitto A-C-A, invece, il suono viene emesso dalla sorgente in A in modo che la somma

vettoriale della velocita del suono e del vento sia diretta verso lo schermo C. Lo schermo C e oppor-

tunamente inclinato per rimandare l’onda riflessa in A, nonostante il vento. Il modulo della velocita

risultante nella direzione A-C e dato dal Teorema di Pitagora

VAC =√c2 − V 2 (3.56)

ed e lo stesso per il tragitto di ritorno.

Quindi, il tempo totale di andata e ritorno per il tragitto A-C-A e

t(A→ C → A) =2d√

c2 − V 2=

2d

c

1√1− V 2

c2

(3.57)

Come si vede, i tempi aspettati di andata e ritorno sui due bracci non sono uguali.

Michelson e Morley, usando la luce e pensando di essere in presenza di un vento dell’etere, misurarono i

tempi di percorrenza per tutti i possibili orientamenti dei due bracci ortogonali ed in qualunque momento

dell’anno. MAI, MICHELSON E MORLEY, TROVARONO UNA DIFFERENZA TRA I DUE TEMPI

DI PERCORRENZA.

In base a questi risultati, Einstein assume che l’etere non esiste e che la velocita della luce e

UNA COSTANTE UNIVERSALE, sempre la stessa, qualunque sia lo stato di moto della sorgente

e dell’osservatore. In questo modo spiega i risultati dell’esperimento perche, se questa ipotesi e vera,

la velocita della luce e la stessa in tutte le direzioni ed il vento dell’etere non c’e semplicemente perche

l’etere non esiste.

Pero, se l’etere non esiste, viene a mancare il supporto materiale del segnale luminoso, come lo e l’aria

per il suono. In questo caso, allora, la combinazione della velocita della luce con quella della sorgente

dovrebbe avvenire in modo analogo a come si combina la velocita di un sasso lanciato da un treno in

corsa con la velocita del treno.

Sperimentalmente si osserva che la velocita della luce e sempre la stessa, una costante universale,

qualunque sia lo stato di moto relativo sorgente-osservatore. Nel caso della luce sono violate le trasfor-

mazioni di Galileo.


Chapter 4

La velocita della luce

4.1 La teoria di Maxwell

Figure 4.1: nel 1865, Maxwell calcola la velocita della luce dalle equazioni che descrivono i risultati degli esperimenti di

Faraday e di Ampere. Le proprieta dei campi elettrici e magnetici stazionari, espresse tramite il valore della costante

dielettrica ε0 e della permeabilita magnetica µ0 del vuoto, sono legate alla velocita della perturbazione elettromagnetica

dalla relazione c = 1√ε0µ0' 3108m/s.

Quando Maxwell completo la teoria dell’elettromagnetismo scrivendo in forma finale le sue famose

equazioni, non sapeva dell’esistenza degli elettroni e dei protoni. I campi elettrici e magnetici delle onde

erano pensati come perturbazioni in un mezzo elastico, l’etere. Le proprieta dell’etere determinavano la

velocita della luce, esattamente come le proprieta dell’aria determinano la velocita del suono. Questa

volta, tuttavia, si doveva ottenere una velocita molto elevata, ≈ 300000Km/s.

In base alla sua teoria, l’etere doveva pervadere tutto l’universo, essere presente anche in quello che

noi chiamiamo il vuoto pneumatico, la mancanza di aria, visto che la luce si propaga nel vuoto.

37

38 CHAPTER 4. LA VELOCITA DELLA LUCE

Le onde elettromagnetiche previste da Maxwell furono poi generate artificialmente e presto la radio

fu inventata.

Si racconta che Maxwell stesso, dopo aver calcolato la velocita delle onde elettromagnetiche dai valori

della costante dielettrica e magnetica del vuoto, vedi Fig. 4.1, corse al capezzale di Faraday per dirgli

che, finalmente, s’ era capito cosa fosse la luce, un fenomeno elettromagnetico.

Sembra incredibile ma fino alla meta dell’800 non si sapeva che cosa fosse la luce.

4.2 Roemer e i satelliti di Giove

Naturalmente, pur non sapendo quale fosse la sua natura, si e cercato, da sempre, di misurarne la

velocita. Anche Galilei ci provo, senza riuscirci. La velocita della luce era troppo alta per essere

misurata con gli strumenti medioevali, era considerata infinita. Fu nella seconda meta del 1600 che Ole

Roemer(1644-1710), un astronomo danese che lavorarava nell’osservatorio di Parigi, vedi Fig.4.2, dopo

aver osservato per vari anni i satelliti di Giove si accorse che il loro periodo di rivoluzione attorno a

Giove cambiava nel tempo.

L’interesse dell’osservazione dei satelliti di Giove risiedeva nel fatto che questi erano praticamente

degli orologi nello spazio, osservabili contemporaneamente dalla terra da posti diversi. Potevano essere

usati per sincronizzarsi e, per esempio, ricavare la longitudine, come anche Galileo aveva suggerito. Io,

il satellite visibile piu interno di Giove scoperto da Galileo nel 1610, ha un periodo di rivoluzione di

circa 42 ore e 27 minuti , quindi e un orologio siderale abbastanza veloce. Essendo facilmente visibile si

possono registrare gli istanti in cui scompare dietro Giove, le sue eclissi.

Roemer si accorse che quando la terra era vicina a Giove le eclissi di Io avvenivano in anticipo di

circa 11 minuti rispetto al valore medio aspettato mentre, se era lontana, con circa 11 minuti di ritardo,

vedi Fig.4.2.

La distanza Terra-Giove cambia nel corso dell’anno perche la Terra si sposta dalla parte opposta della

sua orbita in sei mesi mentre Giove si muove poco, essendo il suo periodo orbitale di circa 12 anni. Va

detto anche che le orbite della Terra e di Giove, avendo una eccentricita dell’ 1%, sono praticamente dei

cerchi.

Roemer attribuı questo ritardo al fatto che quando la Terra era nel punto piu lontano da Giove,

la luce doveva attraversare una distanza maggiore per raggiungere la Terra, pari al diametro della sua

orbita solare, una intuizione geniale.

Roemer stimo che la luce impiegava 22 minuti a percorrere il diametro dell’orbita terrestre ( oggi

sappiamo che in realta sono 16 minuti). La velocita della luce poteva essere ottenuta dividendo il

diametro dell’orbita terrestre per la differenza di tempo massima osservata.

Christiaan Huygens, famoso scenziato Olandese che dette notevoli contributi anche alla teoria ondu-

latoria della luce, usando i dati di Roemer, calcolo che la velocita della luce era di circa 210.000 Km/s

invece di 300.000 Km/s , non male per gli strumenti e le conoscenze dell’epoca.

In ogni caso la scoperta era fatta, la luce non aveva una velocia infinita.

4.3. BRADLEY E L’ABERRAZIONE STELLARE 39

Figure 4.2: I tempi delle eclissi di Io, il satellite piu interno di Giove, presentano delle modulazioni che dipendono dalla

distanza Terra-Giove. Roemer, seguendo un’idea di Cassini, interpreto questo fatto come dovuto al tempo necessario alla

luce per attraversare la distanza Terra-Giove che cambia nel corso dell’anno. Questa fu la prima evidenza sperimentale

della velocita finita della luce.

4.3 Bradley e l’aberrazione stellare

L’aberrazione stellare e quel fenomeno per cui la posizione apparente delle stelle nel corso dell’anno

cambia. E dovuto alla combinazione della velocita della luce con la velocita della terra nel suo moto

orbitale intorno al sole. Fu scoperto da Bradley nel 1728. vedi Fig.4.3.

Bradley, osservando la stella gamma del Dragone in differenti periodi dell’anno, noto strane ed insp-

iegabili variazioni nella posizione dell’astro. Successivamente indirizzo la sua attenzione su altre stelle e

sempre pote osservare variazioni di posizione della stessa stella in differenti periodi dell’anno; qualunque

stella si osservasse, soprattutto se in posizione sensibilmente perpendicolare al piano dell’eclittica, sem-

brava descrivere sulla volta celeste una specie di piccola ellissi.

Il fenomeno e analogo all’effetto dell’inclinazione della pioggia osservata da un treno in corsa. Secondo

la fisica classica, una pioggia verticale viene vista da un treno in corsa inclinata all’indietro con un angolo

α tale che tg(α) = Vc, dove V e c sono la velocita del treno e della pioggia rispetto a terra.

Nell’osservare le stelle avviene un fenomeno simile. La combinazione della velocita del segnale lumi-

noso con quella della terra inclina i segnali luminosi all’indietro rispetto al moto della terra sull’orbita

solare.

Per vedere una stella che sta sullo zenith dell’eclittica si deve inclinare il telescopio rispetto alla

verticale. Dopo sei mesi il telescopio dovra essere inclinato dalla parte opposta, sempre rispetto alla

verticale, perche la terra ha invertito la sua velocita a causa del moto attorno al sole, vedi Fig. 4.4.

L’angolo α d’inclinazione del telescopio e tale che


tanα =velocita della terra

velocita della luce' 30

300000' 10−4 (4.1)

Figure 4.3: Bradley e l’aberrazione stellare. La posizione delle stelle nel cielo cambia nel corso dell’anno, descrivendo delle

piccole ellissi. Il fenomeno e dovuto alla combinazione del moto della terra attorno al sole con la velocita finita della luce.

La scoperta dell’aberrazione stellare confermo definitivamente la velocita finita della luce.

La velocita della luce e stata misurata con precisione sempre maggiore e con metodi diversi, us-

ando la luce delle stelle e la luce prodotta in laboratorio. Il valore della velocita oggi quotato e

c ' 299.792.458m/s .

4.4 L’etere e la velocita della luce

Abbiamo visto che la velocita del suono non dipende dallo stato di moto della sorgente che lo emette.

Il suono si comporta come i paracadutisti che si lanciamno dall’aereo. La velocita di discesa dei para-

cadutisti non dipende dalla velocita dell’aereo ma dalla densita dell’aria e dalla forma del paracadute.

Quindi, se un osservatore che misura la velocita del suono trova sempre lo stesso valore di 340 m/s,

allora vuol dire che l’osservatore e fermo rispetto all’aria.

Analogamente, se la velocita misurata della luce e sempre la stessa, come la velocita del suono in

aria, allora e come se la Terra fosse ferma rispetto all’etere. Questa sarebbe la spiegazione del fatto che

misuriamo sempre lo stesso valore c. La terra deve essere ferma nell’etere per spiegare il risultato nullo

dell’esperimento di Michelson-Morley.

Vedete..., di nuovo la terra sarebbe in un sistema di riferimento privilegiato nell’universo. Vi sembra

probabile?

Per Einstein l’etere non esiste, la luce si propaga nel vuoto e la sua velocita e una costante universale.

4.4. L’ETERE E LA VELOCITA DELLA LUCE 41

Figure 4.4: Aberrazione stellare. Il puntamento del telescopio cambia nel corso dell’anno.

Se l’etere non esiste, pero, la velocita della luce dovrebbe combinarsi con la velocita della sorgente

che la emette per dare la velocita risultante per un osservatore fermo. Esattamente come succede alla

velocita di un sasso lanciato da un treno in corsa.

La velocita con la quale il sasso viene lanciato sul treno si somma a quella del treno per raggiungere

il povero capostazione fermo sulla banchina, secondo quanto prescritto dalle trasformazioni di Galilei.

Bene, con la luce questo non succede. Se il capotreno accende una lampada tascabile e misura

la velocita della luce emessa, ottiene lo stesso risultato del capostazione che misura la velocita della

STESSA luce, ma da terra. La velocita misurata sul treno e uguale a quella misurata da terra, e sempre

c, in qualunque situazione la si misuri e qualunque sia la velocita del treno, se si allontana o se si

avvicina.

Questo fatto e stato verificato sperimentalmente in laboratorio ma anche con osservazioni astro-

nomiche, la prima volta nel 1913.

L’astronomo olandese Willem De Sitter osservo che se si osservano sistemi binari di stelle, una delle

quali in rapida rotazione attorno all’altra molto piu grande, si dovrebbero osservare nello spazio sistemi

con due piccole stelle ruotanti, non una, le stelle doppie di De Sitter.

Per capire il ragionamento di De Sitter guardate la Fig.4.5.

Essendo un sistema in cui una stella ruota attorno all’altra, ci sono casi in cui la stella si avvicina

alla terra (punto B), oppure si allontana (punto A). Se la velocita della luce che ci porta l’immagine

del sistema dipende dalla velocita della sorgente, i raggi luminosi provenienti dalle due posizioni devono

avere velocita diverse, minore se la stella si allontana maggiore se si avvicina. Sia d la distanza tra la

Terra ed il sistema di stelle. La differenza dei tempi di volo della luce emessa nei punti A e B, nel suo

viaggio verso la Terra, e data dalla relazione

TA − TB =d

c− V− d

c+ V= d

+2V

c2 − V 2(4.2)


Figure 4.5: La non osservazione delle stelle doppie di De Sitter dimostra che la velocita della luce non dipende da quella

della sorgente (De Sitter 1913).

Se questa differenza di tempo eguaglia il tempo T di ritardo nell’emissione del raggio B, dovuto al fatto

che la stella piccola deve percorrere mezza orbita, i due raggi arrivano contemporaneamente e, quindi,

si devono vedere due stelle piccole, non una. Ebbene, non e cosı. Nonostante i sistemi binari di stelle

siano molto comuni nell’Universo, non si osservano stelle doppie.

Quello che cambia e il colore della stella, per l’effetto Doppler, ma non la velocita della luce che ci

porta le immagini.

La velocita della luce non si combina con la velocita della sorgente come vorrebbero le trasformazioni

di Galilei.

Questa EVIDENZA SPERIMENTALE e particolarmente imbarazzante perche la meccanica classica

e basata sulle trasformazioni di Galilei che, a loro volta, sono basate sull’invarianza delle distanze e sulla

sincronizzazione degli orologi.

Chapter 5

A proposito dello spazio e del tempo

La velocita media di un oggetto e definita come lo spazio percorso diviso per l’intervallo di tempo

impiegato a percorrerlo, si misura in metri al secondo. Per misurare una velocita, quindi, occorre avere

un metro per misurare la distanze ed un orologio per misurare gli intervalli di tempo.

Se per errore di costruzione il metro usato e piu corto di quanto dovrebbe essere, il risultato numerico

della velocita misurata risulta piu grande di quanto in realta sia. Infatti, se il metro usato e corto, entra

piu volte nella distanza percorsa e quindi la velocita misurata risulta maggiore di quanto in realta sia

stata.

Lo stesso dicasi per il ritmo dell’orologio. Se l’orologio e piu veloce di quanto dovrebbe essere, la

velocita misurata risulta minore perche l’intervallo di tempo indicato dall’orologio, tra la partenza e

l’arrivo, e maggiore di quello reale.

In altre parole, il risultato della misura della velocita di un oggetto e fortemente legato alle proprieta

del metro e dell’orologio usati. Se due osservatori misurano la velocita dello stesso oggetto, i loro metri

ed i loro orologi devono essere uguali, altrimenti ottengono dei risultati diversi.

Facciamo allora il seguente esperimento. Francesco osserva che un asteroide si sta avvicinando alla

terra con la velocita di 200 Km/s, vedi Fig. 5.1. Sua cugina Chiara, che si trova su un aereo in volo alla

velocita di 100 Km/s, vede lo stesso asteroide. Sia Francesco che Chiara hanno con se un orologio per

la misura del tempo, ed un metro per la misura delle distanze. I due possono anche comunicare tra loro

tramite un telefono.

L’esperimento consiste nella misura della velocita dell’asteroide da parte sia di Francesco che di

Chiara per poi confrontare i risultati.

Francesco sa che la velocita dell’asteroide misurata da Chiara dovrebbe essere di 300Km/s, perche

l’areo e l’asteroide si stanno andando incontro. La distanza relativa asteroide-Chiara diminuisce piu

rapidamente perche le due velocita si sommano, come dicono le trasformazioni di Galilei.

Francesco telefona a Chiara e gli chiede: Scusa Chiara, qual’e per te la velocita dell’asteroide?

Se Chiara risponde 300Km/s, allora Francesco e Chiara sono contenti perche questo vuol dire che i

loro metri e gli orologi sono uguali e che le velocita sono state misurate correttamente (o hanno sbagliato

nello stesso modo, ma questo caso non lo consideriamo).

Pero, se Chiara risponde 299Km/s invece di 300Km/s, come possono, Francesco e Chiara, interpretare

questo risultato?

Riflettete bene sulle possibili risposte a questa domanda, perche la spiegazione di questo strano

risultato e alla base della teoria della relativita.

43

44 CHAPTER 5. A PROPOSITO DELLO SPAZIO E DEL TEMPO

Figure 5.1: Combinazione delle velocita di oggetti in movimento. Le Trasformazioni di Galilei non sono verificate speri-

mentalmente.

Ognuno di loro e sicuro di aver misurato bene la velocita dell’asteroide, anzi l’ha misurata piu volte

per essere sicuro di non aver fatto errori.

Discutono per telefono delle loro misure e del metodo usato. Sebbene abbiano seguito esattamente

le stesse procedure, tuttavia i risultati sono diversi da quanto si aspettavano, perche?

Una possibile spiegazione di questa incomprensibile situazione potrebbe essere che il metro o l’orologio

di uno dei due non sia preciso. Se il metro di Chiara e piu lungo di quello di Francesco, oppure il suo

orologio va piu veloce, allora Chiara misura una velocita piu piccola, e viceversa per Francesco.

Per verificare questa ipotesi, Chiara torna indietro, atterra e raggiunge Francesco. I due confrontano

i metri ed gli orologi ma non trovano differenze tra di loro, i due metri ed i due orologi sono uguali.

Quindi, sebbene i risultati delle due misure debbano essere considerati corretti, tuttavia questi non

confermano la legge galileiana di composizione delle velocita. E esattamente quello che succede in

laboratorio, quando si misurano le velocita dei prodotti di decadimento delle particelle elementari o

quando si misura la velocita della luce emessa da sorgenti in moto.

Essendo la fisica una scienza sperimentale e riprodicubile, Einstein penso che le Trasformazioni di

Galilei non erano valide.

Due capisaldi del pensiero scientifico newtoniano, l’invarianza delle lunghezze nel passaggio da un

sistema inerziale ad un altro e l’esistenza di un tempo t assoluto, con la sua velocita di scorrimento

uguale per tutti, erano messi in dubbio. La concezione newtoniana dello spazio tempo, che tutti noi

abbiamo radicata nella nostra mente fin dalla nostra infanzia, non reggeva alla prova dei fatti.

Francesco e Chiara spiegano il risultato del loro esperimento con la scoperta di un nuovo effetto: la

lunghezza di un metro ed il ritmo di un orologio cambiano, quando sono messi in moto, per questo le

trasformazioni di Galileo non spiegano i risultati ottenuti.

La Teoria della Relativita e difficile, perche dobbiamo abbandonare queste nostre convinzioni pro-

5.1. DISTANZE E SINCRONIZZAZIONE DEGLI OROLOGI 45

fonde. Una volta accettato di farlo, ci si rende conto che la natura e piu bella di quanto avevamo

immaginato e si comincia a pensare in modo relativistico. Si comincia a riflettere seriamente sulla pos-

sibilita che la lunghezza di un asta e/o la frequenza di un orologio possano cambiare quando sono in

movimento, anche di moto uniforme.

Solo se questo accade Francesco e Chiara possono avere entrambi ragione.

Si potrebbe pensare che la Relativita sia una cosa lontana dalla vita di tutti i giorni, una curiosita

scientifica avente effetti pratici solo quando sono in gioco alte velocita, non e cosı. Vedremo che il

funzionamento del trapano elettrico e dovuto ad un effetto relativistico.

Nella relativita ci siamo totalmente immersi perche la natura E RELATIVISTICA.

5.1 Distanze e sincronizzazione degli orologi

Una volta ammesso che la lunghezza di un metro ed il ritmo di un orologio possono cambiare se messi

in movimento, occorre riflettere su come si costruisce il sistema di riferimento, su come si scrivono le

coordinate in metri sugli assi coordinati e su come si possa deteminare l’intervallo di tempo tra due

eventi che accadono anche molto lontani tra loro.

Ammettere questa possibilita e il primo passo per cominciare a pensare in modo relativistico.

Immaginate un videogioco in cui la lunghezza degli oggetti e la velocita di avanzamento degli orologi

cambia se sono in movimento, come si presenta la realta in questo villaggio relativistico? Vedremo che

non e un gioco ma proprio quello che succede se guardiamo con sufficiente attenzione.

Sappiamo che gli assi cartesiani di un sistema di riferimento vanno all’infinito. Due eventi possono

quindi accadere a grande distanza tra loro con un grande intervallo di tempo. Come facciamo a misurare

la distanza delle posizioni dei due eventi e l’intervallo di tempo trascorso tra un evento e l’altro se, quando

il metro e l’orologio sono in movimento, questi cambiamo?

Si costruisce la griglia delle coordinate spaziali usando il metro, vedi Fig 5.2, nel modo seguente: si

prende il metro, si appoggia sull’asse x ponendo un’estremita nell’origine poi, TENENDOLO FERMO,

si segna una tacca sull’asse x in corrispondenza dell’altra estremita.

Durante questa operazione il metro deve restare fermo altrimenti la sua lunghezza sarebbe diversa

da quella del metro campione. Si ripete l’operazione mettendo l’altra estremita sulla prima tacca, e

cosı via. Durante lo spostamento il metro cambia ma riassume la lunghezza giusta quando si ferma, si

assume che la lunghezza del metro dipenda solo dalla velocita istantanea.

In questo modo si puo costruire un sistema di assi cartesiani graduati, gli assi x, y e z, facendo bene

attenzione a tenere il metro fermo ogni volta che si aggiunge una lunghezza. La posizione degli oggetti

nello spazio e data dalle coordinate cartesiane cosı costruite, ad ogni punto dello spazio corrisponde la

terna di numeri x,y,z.

Niente di particolarmente nuovo finora, solo l’accortezza di tenere i regoli fermi quando si misurano

le posizioni.

La sincronizzazione degli orologi e cosa piu delicata. Immaginiamo che Francesco sia nell’origine con

il suo orologio e che Chiara si trovi molto lontana da lui. Ciascuno ha il proprio orologio ma nessuno

puo vedere quello dell’altro. Come fanno a sincronizzare gli orologi?

Il metodo tradizionale e il seguente: Francesco e Chiara si ritrovano insieme, nell’origine del sistema

di riferimento di Francesco, sincronizzano i due orologi, dopodiche Chiara torna nella sua posizione,


Figure 5.2: Costruzione di un riferimento spaziotemporale. Gli assi cartesiani sono graduati e gli orologi sono messi nella

loro posizione e non si spostano. Il tempo di un evento si legge nell’orologio posto nella posizione in cui l’evento avviene.

lontana da Francesco.

Sebbene questo sembri un buon modo per sincronizzare gli orologi, tuttavia non lo e.

L’orologio di Chiara perde la sincronizzazione con quello di Francesco, se durante lo spostamento il

ritmo dell’orologio di Chiara dipende dalla sua velocita.

Questo metodo di sincronizzazione non va bene. Dobbiamo sincronizzare gli orologi nel punto in cui

sono, senza metterli successivamente in movimento, altrimenti l’ora giusta viene persa.

Come fare? Fortunatamente viene in nostro soccorso la possibilita di usare segnali luminosi.

Abbiamo visto che la velocita della luce e una costante universale e non c’e niente di meglio per

sincronizzare gli orologi lontani.

Chiara raggiunge casa sua della quale conosce la distanza dall’origine, perche puo leggere le sue

coordinate cartesiane sulla griglia spaziale precedentemente costruita. Una volta raggiunta casa telefona

a Francesco e gli dice di essere pronta. Francesco accende un faro che emette un segnale luminoso in

ogni direzione, un onda sferica luminosa e, contemporaneamente, fa partire il suo orologio che segnava

l’ora 00:00 in punto. Chiara, che conosce la sua distanza d da Francesco, calcola il tempo d/c che il

segnale impiega per raggiungerla e fa partire il suo orologio proprio al tempo d/c, nell’istante in cui

viene raggiunta dal segnale.

Da quel momento in poi i due orologi sono sincronizzati.

Dobbiamo immaginare che in ogni punto dello spazio sia presente un orologio sincronizzato in questo

modo. Gli orologi del sistema di riferimento non si spostano da un punto all’altro, stanno nel posto dove

sono stati messi e restano sincronizzati.

Dicendo che un evento A avviene nel punto (x, y, z) al tempo t, si intende che t e quello letto

nell’orologio che si trova nel punto x,y,z, uguale a quello che segnano tutti gli altri orologi, ognuno nel

5.2. ASTE PARALLELE AL MOTO 47

suo posto.

Chiamare un punto dello spazio tempo un evento fa parte del gergo relativistico. Non ha impor-

tanza che tipo di evento sia, potrebbe essere l’urto tra due oggetti, la riflessione di un fascio luminoso,

l’esplosione di un petardo, se avviene nel punto (x,y,z) al tempo t, diremo semplicemente che si tratta

dell’evento

A = (ct, x, y, z) (5.1)

La coordinata temporale t viene moltiplicata per c per rendere omogenee le quattro componenti, che

sono delle lunghezze. Gli intervalli di tempo sono misurati in metri, equivalgono all’intervallo di tempo

che la luce impiega a percorrere la distanza data.

Per osservatore intenderemo, d’ora in poi, una squadra di ricercatori che hanno costruito una terna

graduata di assi cartesiani e posto in ogni punto del loro spazio un orologio sincronizzato.

Se ci sono piu osservatori in moto relativo, ogni osservatore ha il suo spazio ed i suoi orologi sin-

cronizzati.

Se ci pensate bene, e quello che succede quando si fanno esperimenti di fisica. Immaginate di inviare

una E-mail ad un vostro amico a Londra. Il tempo impiegato dalla E-mail per raggiungere Londra si

determina usando due orologi diversi, quello del computer di partenza e quello dell’arrivo. I due orologi,

pero, devono essere stati sincronizzati precedentemente, per esempio con un raggio luminoso, altrimenti

la differenza tra i due tempi non corrisponde al tempo realmente impiegato.

5.2 Aste parallele al moto

Supponiamo ora che Francesco e Chiara si trovino insieme ed abbiano a disposizione due macchine da

corsa biturbo monoposto, non necessariamente dello stesso modello. Vogliamo sapere se le due auto

hanno la stessa lunghezza quando una e ferma e l’altra si muove a tutto gas di moto rettilineo uniforme.

Nel caso in cui le due auto sono ferme si possono mettere una accanto all’altra, leggere le coordinate

cartesiane dei paraurti delle due auto e, se sono uguali, le due auto hanno la stessa lunghezza. La lettura

delle coordinate dei paraurti anteriori e posteriori delle due auto si puo fare anche a tempi diversi perche

le auto sono ferme.

Ma, come si fa a confrontare la lunghezza delle due macchina da corsa se una delle due e ferma e

l’altra si muove a tutta velocita?

L’esperimento, immaginario come faceva Einstein, consiste nel confrontare la lunghezza delle due

auto NELL’ISTANTE in cui la macchina in movimento supera quella ferma.

Francesco e Chiara si mettono allora d’accordo e decidono di procedere nel modo seguente: si mettono

ciascuno al centro della propria auto, poi l’auto di Chiara si allontana da quella di Francesco e comincia

a muoversi con velocita V, per esempio 700Km/h, passando accanto a Francesco, che rimane fermo a

motore spento.

Se le estremita anteriori e posteriori delle due auto sono nello stesso posto, NELLO STESSO IS-

TANTE, allora le due auto hanno la stessa lunghezza.

Riepiloghiamo: Francesco si trova nel centro della propria auto A-B, mentre Chiara e nel centro della

sua auto A’-B’ e si muove con velocita V verso Francesco, vedi Fig.5.3.

I due osservatori sanno di essere nel mezzo dei rispettivi regoli perche leggono la propria posizione

sugli assi cartesiani costruiti precedentemente sulla macchina da corsa.


Figure 5.3: Simultaneita e lunghezza nella direzione del moto. Confronto delle lunghezze di oggetti in moto relativo.

Chiara, in movimento, supera Francesco fermo nel proprio riferimento.

Per fare l’esperimento, inoltre, chiediamo a due collaboratori di Francesco di porsi fermi alle es-

tremita A e B della sua auto, ciascuno con il compito di emettere un onda sferica luminosa quando il

corrispondente paraurti dell’altra auto in moto si trova nella loro posizione, A con A’ e B con B’.

Facciamo l’esperimento: Francesco vede Chiara arrivare, passargli accanto per superarlo e poi allon-

tanarsi in avanti.

Nel corso di questo esperimento ciascuno dei collaboratori fa sicuramente partire un’onda sferica

luminosa, perche i paraurti prima o poi devono essere nella STESSA POSIZIONE.

Durante il sorpasso vengono sicuramente emesse due onde sferiche, indipendentemente una dall’altra.

Inoltre, se le due auto non hanno la stessa lunghezza, i segnali sono emessi a tempi diversi perche i

paraurti, anteriore con anteriore e posteriore con posteriorie, non possono coincidere nello spazio nello

stesso istante.

Sia Francesco che Chiara vengono raggiunti, sebbene con un certo ritardo, dai due segnali luminosi

(gli stessi) e possono verificare se arrivano su di loro contemporaneamente.

Vediamo come Francesco e Chiara interpretano i risultati dell’esperimento.

Supponiamo che Francesco veda arrivare simultaneamente i due segnali al tempo t.

Francesco interpreta questo fatto dicendo che i segnali sono stati emessi simultaneamente al tempo

precedente t− l2c

, dove l e la lunghezza dell’auto e c la velocita della luce, che e LA STESSA DAI DUE

LATI.

Non solo, se i segnali sono stati emessi simultaneamente, le estremita dei regoli, A-A’ e B-B’ er-

ano NELLO STESSO PUNTO NELLO STESSO ISTANTE, quindi le due auto SONO DI UGUALE

LUNGHEZZA.

Se i segnali non arrivassero simultaneamente su Francesco, allora si chiede a Chiara il favore di

5.2. ASTE PARALLELE AL MOTO 49

cambiare auto, di prenderne una piu lunga o piu corta e di ripetere l’esperimento finche i segnali non

arrivano simultaneamente su Francesco, cioe finche le due auto, UNA FERMA E L’ALTRA IN MOTO,

hanno la stessa lunghezza PER FRANCESCO.

Per ora va tutto bene, non abbiamo detto niente che vıoli la meccanica newtoniana.

Pero, guardate di nuovo la Fig.5.3 : siccome Chiara sta andando incontro al fronte emesso in B-

B’, viene raggiunta da questo PRIMA di quello emesso in A-A’, dal quale si sta allontanando. Come

interpreta Chiara questo fatto?

Vi ricordo che per Chiara, Francesco arriva in retromarcia alla velocita di 700 Km/h con i suoi due

amici all’estremita dell’auto mentre lei e ferma nel suo riferimento.

Figure 5.4: Simultaneita e lunghezza nella direzione del moto.

Per lei, che si trova nel centro della propria auto ferma, i due segnali NON SONO STATI EMESSI

SIMULTANEAMENTE perche arrivano uno dopo l’altro: vedi Fig.5.4 che illustra il punto di vista di

Chiara.

Anche per Chiara la velocita della luce e LA STESSA DAI DUE LATI ed uguale a c.

Questo e il punto cruciale, non si stanno usando le trasformazioni di Galilei per i segnali luminosi.

La velocita della luce emessa dalle due sorgenti in moto non si somma alla velocita dell’auto di

Francesco.

Il fatto che il segnale da B-B’ arrivi a Chiara prima di quello emesso in A-A’, e la dimostrazione che

l’auto di Francesco e PIU CORTA della sua. Infatti, deve passare del tempo prima che anche il segnale

proveniente dagli estremi A-A’ arrivi. In questo intervallo di tempo l’auto di Francesco continua la sua

corsa affinche anche A e A’ coincidano nello spazio ed il segnale venga emesso.

Possiamo riassumere il risultato dell’esperimento dicendo che:

1) Le due auto sono di uguale lunghezza per Francesco ma non per Chiara.

2) Le emissioni luminose sono simultanee per Francesco ma non per Chiara.


Questa ”strana” conclusione e quanto si verifica in laboratorio quando si fanno esperimenti di fisica.

E un fatto sperimentale che la velocita della luce non si combina con la velocita della sorgente e

dell’osservatore come prescrivono le trasformazioni di Galilei.

Affinche la velocita della luce sia la stessa per Francesco e Chiara, occorre che il metro e l’orologio

di Chiara cambino rispetto a quelli di Francesco, che li vede passare ad alta velocita. Altrimenti, la

velocita della luce non potrebbe essere la stessa per i due. Chiara interpreta i risultati dell’esperimento

nello stesso modo. Per lei e lo spazio tempo di Francesco a cambiare ed hanno ragione entrambi, perche

la fisica deve essere la stessa per tutti gli osservatori inerziali.

La conclusione: la lunghezza degli oggetti e l’intervallo di tempo tra due eventi, dipendono dal loro

stato di moto nel sistema di riferimento dell’osservatore. Eventi simultanei per un osservatore possono

non esserlo per un altro. La lunghezza di un oggetto fermo non e uguale alla lunghezza dello stesso

oggetto in moto.

5.3 Aste ortogonali al moto

Ripetiamo ora l’esperimento ma con le aste ortogonali alla direzione del moto, vedi Fig. 5.5 e Fig. 5.6.

D’ora in poi useremo le aste (regoli) al posto delle macchine da corsa. Un’onda sferica viene emessa

quando, e se, le corrispondenti estremita dei due regoli coincidono nello spazio.

Si noti che quando i due regoli si sovrappongono, se questi sono di lunghezza diversa, non possono

essere emessi due fronti d’onda ma, al massimo, uno quello dalla parte dove le estremita coincidono nello

spazio, per un istante.

Anche in questo caso chiediamo all’osservatore O’ di ripetere l’esperimento cambiando la lunghezza

del suo regolo finche vengono emesse due onde.

Se vengono emessi due segnali i regoli hanno necessariamente la stessa lunghezza per tutti.

Infatti, essendo i due regoli ortogonali alla direzione del moto, la sovrapposizione delle due coppie di

estremi, se c’e, puo essere SOLO SIMULTANEA.

Due segnali significa uguale lunghezza per tutti gli osservatori perche tutti gli osservatori saranno

raggiunti dai due fronti d’onda.

Per Francesco (O), i fotoni raggiungono prima lui e poi Chiara(O’), perche O’ si sta spostando, vedi

in Fig.5.5 il punto di vista di Francesco. Per Chiara, invece, succede la stessa cosa, prima i segnali

raggiungono lei e dopo Francesco, vedi in Fig.5.6 il punto di vista di Chiara, perche Francesco si sta

spostando.

Non si vıola il principio di relativita perche entrambi dicono la stessa cosa: e l’altro che riceve i segnali

dopo.

Quindi: LE LUNGHEZZE NON CAMBIANO NELLA DIREZIONE TRASVERSA AL MOTO men-

tre la relazione prima-dopo e invertita.

L’invarianza delle dimensione trasversa e una conseguenza del principio di relativita, non della

costanza della velocita della luce.

Se la luce avesse velocita diversa per i due osservatori la conclusione precedente non cambierebbe, i

due regoli avrebbero ancora la stessa lunghezza per entrambi, perche e il numero dei fronti d’onda che

determina l’uguaglianza o meno delle due lunghezze.

Se i segnali emessi sono due per un osservatore, lo sono anche per l’altro.

5.3. ASTE ORTOGONALI AL MOTO 51

Figure 5.5: Aste ortogonali alla direzione del moto. Interpretazione dell’esperimento da parte dell’osservatore O.

Figure 5.6: Aste ortogonali alla direzione del moto. Interpretazione dell’esperimento da parte dell’osservatore O’.


Non solo, i segnali arrivano simultaneamente su Francesco e su Chiara a causa della simmetria creata

dall’orientamento perpendicolare delle aste rispetto alla direzione del moto, anche se a tempi diversi.

Francesco e Chiara sono d’accordo sul fatto che le due aste sono di uguale lunghezza.

5.4 Imbianchini relativistici

La cosa puo essere considerata anche da un altro punto di vista.

Immaginiamo di mettere due regoli uguali nell’origine di ciascun osservatore, parallelo all’asse y,

con nell’altra estremita un pennello imbevuto di vernice. Chiediamo quindi a Chiara di mettersi in

movimento. A causa del moto di Chiara ciascun pennello traccia una segno colorato sul piano x-y

dell’altro osservatore.

I due osservatori possono confrontare la posizione del loro pennello rispetto alla linea tracciata

dall’altro in movimento, vedi Fig.5.7.

Figure 5.7: Le lunghezze ortogonali al moto non cambiano quando si cambia il sistema di riferimento.

Se i tracciati disegnati coincidono i regoli hanno la stessa lunghezza.

Se non coincidono, si ha una differenza tra i due osservatori, uno dei due deve avere il pennello piu

vicino all’origine, differenza sulla quale Francesco e Chiara concordano. Questo non e possibile perche

vıola il principio di relativita. Non deve essere possibile distinguere lo stato di moto degli osservatori

sulla base dei risultati di un esperimento.

Si potrebbe dire, per esempio, che l’osservatore in moto e quello con il tracciato della pittura piu

lontano dall’origine mentre quello fermo ha il tracciato piu vicino. Sarebbero tutti d’accordo ma il

principio di relativita sarebbe vıolato.

Nel caso in cui i regoli sono paralleli al moto, come discusso prima, i due tracciati coincidono, non si

creano asimmetrie tra i due osservatori e le lunghezze possono cambiare.

5.5. IL PRINCIPIO DI RELATIVITA E LA PROPAGAZIONE DI UN’ONDA SFERICA LUMINOSA 53

5.5 Il Principio di Relativita e la propagazione di un’onda sferica luminosa

Supponiamo che Francesco(O) e Chiara(O’) siano in moto relativo uniforme. Si mettono d’accordo

nell’avere gli assi coordinati paralleli e a far partire i propri orologi nell’istante in cui i loro sistemi di

riferimento sono coincidenti, al tempo t=t’=0.

Dal punto di vista di Francesco (O), Chiara (O’) si muove con velocita−→V = (V, 0, 0) nella direzione

delle x crescenti mentre, per Chiara (O’), e Francesco (O) che si sta muovendo con velocita −−→V =

(−V, 0, 0) nella direzione delle x’ negative, vedi Fig.5.8 e Fig.5.9

Figure 5.8: Onda luminosa sferica uscente dall’origine. Punto vista di Francesco (O).

Nell’istante t = t′ = 0, quando i due sistemi di riferimento coincidono nello spazio, Francesco e Chiara

sono nello stesso posto. Esattamente in quell’istante Francesco fa scoccare una scintilla nell’origine, in

modo che parta un segnale luminoso simile a quello che abbiamo usato per sincronizzare gli orologi.

Quale sara, per Francesco, la forma del fronte d’onda al tempo t?

Ebbene, per Francesco, la forma del fronte d’onda e una superfice sferica di raggio R = ct, perche la

luce si propaga con la stessa velocita in tutte le direzioni. Il centro della sfera e nell’origine, dove lui si

trova. Nello stesso istante t, Chiara si trova nella posizione x = V t, vedi Fig.5.8.

Per Chiara succede la stessa cosa, vedi Fig.5.9. Questa volta pero e lei ad essere nel centro della

sfera, mentre Francesco si e spostato nella posizione x’= -Vt’.

Per ciascuno dei due osservatori e l’altro che si e spostato mentre loro sono e rimangono fermi nel

centro dell’onda sferica.

Viene spontanea una domanda: com’e possibile che entrambi siano nel centro dell’unico fronte d’onda

sferico, se si trovano in posizioni diverse?

Capire questo significa capire le trasformazioni dello spazio tempo e cominciare a pensare in modo

relativistico


Figure 5.9: Onda luminosa sferica uscente dall’origine. Punto di vista di Chiara (O’).

La spiegazione che la teoria relativistica da, di questa apparente assurdita, e la seguente: sappiamo

che l’insieme degli eventi del fronte d’onda sferico di Francesco, (ct, x, y, z), devono soddisfare l’equazione

di una sfera di raggio R=ct

x2 + y2 + z2 − (ct)2 = 0 (5.2)

Questi eventi sono per lui simultanei al tempo t, perche SOLO GLI EVENTI SIMULTANEI SONO

SULLA SFERA.

Lo stesso fronte d’onda e osservato anche da Chiara, la quale usa le proprie coordinate (ct′, x′, y′, z′).

Anche per lei deve essere

x′2 + y′2 + z′2 − (ct′)2 = 0 (5.3)

Prima di procedere oltre, occorre fare la considerazione seguente: se due oggetti si allontanano o si

avvicinano per un osservatore, lo fanno anche per tutti gli altri osservatori. Per esempio, se un’auto va

contro un muro per un osservatore, deve farlo anche per tutti gli altri.

Detto questo, consideriamo gli eventi A e B che appartengono al fronte d’onda di O aventi coordinate

A = (ct, xA = −ct, 0, 0) e B = (+ct, xB = +ct, 0, 0), mostrati in Fig. 5.8.

Dato che l’evento B e piu vicino a Chiara dell’evento A, perche nel riferimento di Francesco Chiara

si muove nella stessa direzione di B, allora l’evento B deve essere piu vicino a Chiara, di quanto lo sia

l’evento A, anche nel riferimento di Chiara.

Ma, se A e B sono per Chiara a distanze diverse, allora per lei i due eventi NON POSSONO ESSERE

SIMULTANEI, trattandosi di segnali luminosi emessi dal centro dove lei si trova, vedi Fig.5.9.

Per Chiara, che e al centro della propria sfera, deve essere t′B < t′A perche B e piu vicino.

Succede che gli eventi dell’onda sferica che sono simultanei per Francesco, non lo sono per Chiara.

5.5. IL PRINCIPIO DI RELATIVITA E LA PROPAGAZIONE DI UN’ONDA SFERICA LUMINOSA 55

Gli eventi che per Chiara accadono al tempo t′B, quelli sulla sua sfera di raggio ct′B, sono accaduti

per Francesco ad un tempo precedente t < tB.

Mentre lo spaziotempo di Francesco e percorso dall’onda sferica uscente, i suoi eventi (ct, x, y, z)

accadono per Chiara a tempi e posizioni tali che quelli per lei simultanei stanno su una sfera.

(x′)2 + (y′)2 + (z′)2 − c(t′)2 = 0 (5.4)

Vediamo di capire come le coordinate di un evento (ct, x, y, z) di Francesco devono essere trasformate

nelle coordinate (ct′, x′, y′, z′) di Chiara in modo che tutto cio accada.


Chapter 6

Le Trasformazioni di Lorentz

6.1 Le basi della Teoria della Relativita

Le fondamenta della teoria della relativita sono due fatti sperimentali assunti a principio del pensiero

scientifico

1) Il Principio di Relativita

2) La velocita della luce e una costante universale.

Vedremo come queste due condizioni ci guideranno nella costruzione della teoria.

6.2 Derivazione delle Trasformazioni di Lorentz

Abbiamo visto che un onda luminosa sferica per un osservatore, lo deve essere anche per l’altro. Gli

eventi del fronte d’onda soddisfano entrambe l’equazioni

x2 + y2 + z2 − c2t2 = 0 (6.1)

(x′)2 + (y′)2 + (z′)2 − c2(t′)2 = 0 (6.2)

Essendo le lughezze trasverse al moto invarianti, si puo scrivere semplicemente che

x2 − c2t2 = x′2 − c2(t′)2 = 0 (6.3)

Cerchiamo una trasformazione lineare del tipo

x′ = α1x+ α2t (6.4)

t′ = α3x+ α4t (6.5)

Le costanti della trasformazione si ottengono imponendo le quattro condizioni:

1) gli eventi (t,Vt,0,0) di (O), che descrivono il moto dell’origine del sistema O’, devono avere coor-

dinata spaziale nulla in O’,

2) la luce che si propaga con velocita +c lungo l’asse x di Francesco deve farlo anche lungo l’asse x’

per Chiara,

3) la luce che si propaga con velocita −c lungo l’asse x di Francesco deve farlo anche lungo l’asse x’

per Chiara,

4) le distanze trasverse al moto sono invarianti.

57

58 CHAPTER 6. LE TRASFORMAZIONI DI LORENTZ

Cominciamo con imporre la prima condizione nella 6.4.

Sia−→V la velocita relativa di O’ rispetto ad O. Le coordinate di O’, gli eventi (t, x=Vt) , devono avere

coordinata x′ sempre nulla. Sostituendo x=Vt nella 6.4 si ottiene

x′ = α1x+ α2t = α1V t+ α2t = 0 (6.6)

dalla quale si ottiene la prima relazione tra le costanti della trasformazione cercata

α2 = −α1V (6.7)

Imponiamo ora le condizioni 2) e 3).

Si chiede che il fronte d’onda luminoso che si muove con velocita ±c lungo l’asse x, lo faccia anche in

O’ lungo l’asse x’.

Gli eventi (t,+ct) hanno in O’ le coordinate

x′ = α1(x− V t) = α1(ct− V t) = α1(c− V )t (6.8)

t′ = α3x+ α4t = α3ct+ α4t = (α3c+ α4)t (6.9)

Dovendo essere x′ = ct′, perche si tratta di luce, si ottiene che

x′

t′= c =

α1(c− V )

α3c+ α4

(6.10)

α3c+ α4 = α1(1− V

c) (6.11)

Analogamente, considerando il fronte d’onda che si propaga nella direzione opposta, cioe gli eventi

(t,-ct), si ottiene la relazione

−α3c+ α4 = α1(1 +V

c) (6.12)

Sommando la 6.11 con la 6.12 si ottengono le relazioni

α4 = α1 (6.13)

e

α3 = −α1V

c2(6.14)

Possiamo ora sostituire i valori delle costanti α2, α3 e α4 trovate, in funzione di α1, nelle trasformazioni

cercate

x′ = α1(x− V t) (6.15)

t′ = α1(t− V

c2x) (6.16)

Dobbiamo ancora determinare α1, lo facciamo imponendo la quarta condizione, l’invarianza delle

dimensioni trasverse.

Consideriamo l’evento C del fronte d’onda che si trova sull’asse y’, vedi Fig.6.1. Se t’ e il tempo di

questo evento in O’, allora yC =√

(ct)2 − (V t)2 = y′C = ct′.

Succede che l’invarianza delle dimensioni trasverse permette di legare i tempi t e t’ dei due osservatori

attraverso il teorema di Pitagora, ovvero

6.2. DERIVAZIONE DELLE TRASFORMAZIONI DI LORENTZ 59

Figure 6.1: Linvarianza delle dimensioni trasverse permette di collegare lo scorrere del tempo dei due osservatori tramite

il Teorema di Pitagora: (ct)2 − (V t)2 = (ct′)2.

(ct)2 − (V t)2 = (ct′)2 (6.17)

da cui

t = t′√

1− V 2

c2(6.18)

t

t′=

√1− V 2

c2(6.19)

Applicando la 6.16 all’evento C = (t, V t, yC , 0) e combinando il risultato con la 6.18 si ottiene α1

α1 =t′

t

1

1− V 2

c2

=1√

1− V 2

c2

(6.20)

Le trasformazioni cercate sono quindi le seguenti:

x′ =1√

1− V 2

c2

(x− V t) (6.21)

y′ = y (6.22)

z′ = z (6.23)

t′ =1√

1− V 2

c2

(t− V x

c2) (6.24)

Sono dette le Trasformazioni di Lorentz e sono la versione relativistica delle trasformazioni di Galilei.

Indicando con, vedi Fig.6.2


Figure 6.2: Variazione della funzione gamma al variare di beta.

β =V

ce γ =

1√1− β2

(6.25)

si scrivono nella forma

x′ = γ(x− βct) (6.26)

y′ = y (6.27)

z′ = z (6.28)

t′ = γ(t− βxc

) (6.29)

Le Trasformazioni di Lorentz sono relazioni algebriche tra le coordinate spazio temporali degli stessi

eventi visti da osservatori diversi.

Sono state derivate imponendo la costanza della velocita della luce lungo gli assi coordinati e l’invarianza

delle dimensioni trasverse al moto.

E facile verificare che

x2 + y2 + z2 − (ct)2 = x′2 + y′2 + z′2 − (ct′)2 (6.30)

per ogni evento.

Nel caso particolare degli eventi di un fronte d’onda luminoso si ha

x2 + y2 + z2 − (ct)2 = x′2 + y′2 + z′2 − (ct′)2 = 0 (6.31)

per tutti gli osservatori.

Le trasformazioni di Lorentz inverse si ottengono scambiando (x,t) con (x’,t’) e cambiando di segno

a V

6.3. SPOSTAMENTI INFINITESIMI 61

t =1√

1− V 2

c2

(t′ +V x′

c2) (6.32)

x =1√

1− V 2

c2

(x′ + V t′) (6.33)

6.3 Spostamenti infinitesimi

Consideriamo le variazioni infinitesime degli spostamenti, cioe i differenziali delle coordinate. Si puo

scrivere

dx′ =1√

1− V 2

c2

(dx− V dt) (6.34)

dt′ =1√

1− V 2

c2

(dt− V dx

c2) (6.35)

dx′ = γ(dx− V dt) (6.36)

cdt′ = γ(cdt− V dx

c) (6.37)

essendo β = Vc

dx′ = γ(dx− V dt) (6.38)

dy′ = dy (6.39)

dz′ = dz (6.40)

cdt′ = γ(cdt− βdx) (6.41)

Si verifica facilmente che anche per i differenziali delle coordinate vale la relazione

(cdt)2 − (dx)2 − (dy)2 − (dz)2 = (cdt′)2 − (dx′)2 − (dy′)2 − (dz′)2 (6.42)

6.4 Composizione relativistica delle velocita

Sia P un oggetto che si muove con velocita−−→v(t) rispetto ad O, come mostrato in Fig. 6.3, qual’e la

velocita di P nel riferimento O’?

Consideriamo i differenziali delle Trasformazioni di Lorentz:

dx′ =1√

1− V 2

c2

(dx− V dt) (6.43)

dy′ = dy (6.44)

dz′ = dz (6.45)

dt′ =1√

1− V 2

c2

(dt− V dx

c2) (6.46)


Dividento le prime tre per dt′, si ottiene la risposta

v′x =vx − V1− V vx

c2

(6.47)

v′y =vy

√1− V 2

c2

1− V vxc2

(6.48)

v′z =vz

√1− V 2

c2

1− V vxc2

(6.49)

Figure 6.3: Composizione relativistica delle velocita.

Consideriamo, per esempio, il caso di un oggetto che si muove con velocita −→v = (−0.9c, 0, 0) rispetto

ad O, incontro ad un osservatore O’ che, a sua volta, si muove con velocita−→V = (0.8c, 0, 0), sempre

rispetto ad O, come mostrato in Fig.6.4.

Sebbene la combinazione galileiana delle velocita dica che per O’ l’oggetto si muove con velocita -1.7c,

tuttavia questo non succede nel caso relativistico.

Infatti, combinando le velocita secondo le trasformazioni di Lorentz si ottiene che


c2

=−0.9c− 0.8c

1 + 0.90.8= −0.988c (6.50)

La velocita della luce non puo essere superata.

Nella teoria della relativita, la velocita della luce e la massima possibile.

Supponiamo, per assurdo, che un osservatore O’ possa muoversi con velocita maggiore di c e ripetiamo

l’esperimento di far scoccare una scintilla nell’origine quando i due osservatori coincidono.

In questo caso, al passare del tempo, l’osservatore O’ si sposta in avanti lungo l’asse x piu di quanto

faccia il fronte luminoso. Se questo succede, l’onda sferica di O non puo essere sferica anche per O’,

6.4. COMPOSIZIONE RELATIVISTICA DELLE VELOCITA 63

Figure 6.4: Sebbene la velocita relativa di P ed O’ sia, per O, maggiore di c, tuttavia la velocita di P nel riferimento di

O’ risulta minore di c. La velocit relativa di P ed O’ non e la trasmissione di un segnale.

perche per O’ la luce resta tutta indietro, vıolando cosı il secondo principio della relativita, la costanza

di c in tutte le direzioni e per tutti gli osseratori.


Chapter 7

Lo spazio tempo di Minkowski

7.1 Quadrivettori

Possiamo scrivere le trasformazioni di Lorentz in forma compatta usando il formalismo del calcolo

matriciale.

Sia P = (ct, x, y, z) un evento nello spazio tempo dell’osservatore O. Per O’, in moto lungo l’asse x,

le coordinate dello stesso evento sono date dal prodotto righe per colonnect′

x′

y′

z′

=

γ −βγ 0 0

−βγ γ 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

ct

x

y

z

⇒ X ′ = ΓX

Dove Γ e la matrice 4x4 rappresentazione della trasformazione di Lorenz.

Gli oggetti a quattro componenti, che nel passaggio da un riferimento all’altro si trasformano sec-

ondo le trasformazioni di Lorentz, sono detti quadrivettori. I quadrivettori posizione (ct,x,y,z) sono gli

elementi dello spazio tempo di Minkowski, vedi Fig 7.1.

La trasformazione inversa Γ−1 si ottiene cambiando segno al β perche, per O’, O si muove con velocita

−−→V .

Γ−1 =

γ +βγ 0 0

+βγ γ 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

Si verifica facilmente che il prodotto ΓΓ−1 = 1 e la matrice identita.

7.2 Tensore della metrica, componenti covarianti e controvarianti

Il formalismo quadridimensionale non introduce nuova informazione fisica ma e uno strumento potente

che ci permette, aldila dell’apparente complessita, di semplificare i calcoli.

Per fare i conti si usano le seguenti convenzioni:

1) le contrazioni degli indici, cioe la somma sugli indici ripetuti, si puo fare solo con un indice in alto

ed uno in basso

65

66 CHAPTER 7. LO SPAZIO TEMPO DI MINKOWSKI

Figure 7.1: Hermann Minkowski

2) le componenti dei quadrivettori (ct, x, y, z), scritte come xµ con l’indice in alto, si chiamano com-

ponenti controvarianti

Si definisce Tensore metrico la matrice 4x4 cosı definita

gµν =

1 0 0 0

0 −1 0 0

0 0 −1 0

0 0 0 −1

= gµν = gνµ

3) da un vettore controvariante si ottiene il corrispondente covariante, scritto con gli indici in basso,

moltiplicandolo per il tensore metrico

xµ = gµνxν = (ct,−x,−y,−z) (7.1)

7.3 Prodotto scalare e Norma di un quadrivettore

Siano X e Y due quadrivettori.

Si definisce prodotto scalare di due quadrivettori il numero reale

XY = gµνxµyν (7.2)

dove xµ e yν sono le componenti controvarianti.

La norma quadrata di un quadrivettore e definita come il prodotto scalare del vettore per se stesso

|X|2 = gµνxµxν .

7.4. INVARIANZA DEL PRODOTTO SCALARE 67

Nel caso in cui X = (ct, x, y, z) si ha

|X|2 = gµνxµxν = (ct)2 − x2 − y2 − z2 (7.3)

Se la norma quadrata di un quadrivettore e > 0 il quadrivettore si dice di tipo temporale, perche

predomina la componente temporale, se e = 0 si dice di tipo luce, perche cosı fanno gli eventi di un

fronte luminoso, se e < 0 si dice di tipo spaziale.

7.4 Invarianza del prodotto scalare

Il prodotto scalare di due quadrivettori e un invariante per trasformazioni di Lorentz.

Dimostrazione:

Siano X e Y due quadrivettori e Γ la trasformazione di Lorentz tale che

X ′ = ΓX → x′µ = Γµmxm (7.4)

Y ′ = ΓY → y′ν = Γνl yl (7.5)

Sviluppiamo il prodotto scalare X ′Y ′:

X ′Y ′ = gµνx′µy′ν = gµνΓ

µmx

mΓνl yl = gmlx

myl = XY (7.6)

Infatti, si dimostra facilmente che

gml = gµνΓνmΓνl (7.7)

come lo studente puo calcolare esplicitamente. Ne segue che anche la norma di un quadrivettore e

un invariante.

Si definisce distanza d tra due eventi, la norma del quadrivettore differenza

d = |√c2(∆t)2 − (∆x)2 − (∆y)2 − (∆z)2| (7.8)

Le Trasformazioni di Lorentz lasciano invariate le distanze che, a loro volta, sono definite dalla forma

del tensore metrico. Per questo si chiama tensore metrico. Dato che il Principio di Relativita insieme

alla forma delle Trasformazioni di Lorentz determinano la forma delle leggi fisiche, ne segue che molta

della fisica e contenuta negli elementi del tensore metrico, cioe le leggi della fisica sono fortemente legate

alla struttura metrica dello spaziotempo in cui viviamo, che non e euclideo.

Alcune riflessioni filosofiche.

Sembra che lo spazio ed il tempo non possano esistere separatamente. In effetti, lo spazio senza il

tempo non avrebbe senso. Senza il tempo non esiste il movimento, non puo essere definita una velocita,

tutto resta immobile. Lo spazio senza tempo sarebbe un insieme di posizioni non comunicanti, inutile.

Lo stesso dicasi per il tempo. Che senso avrebbe il tempo se non esistessero posti diversi dove andare,

fenomeni che si evolvono nello spazio. Lo spazio ed il tempo costituiscono una entita unica, nella quale

siamo immersi, ne facciamo parte. Certamente il tempo e diverso dallo spazio, ma non ne e disgiunto,

lo spazio ed il tempo sono fortemente legati.

La struttura metrica di questa essenza primordiale determina le leggi della fisica.


Sebbene le Trasformazioni di Lorentz ci dicano che ogni osservatore ha il proprio spazio tempo, che

non esistono il tempo e lo spazio assoluti uguali per tutti, tuttavia lo spazio ed il tempo di ciascun

osservatore sono tali da mantenere uguale per tutti la distanza NON EUCLIDEA tra gli eventi.

7.5 Il tempo proprio di una particella in moto

Sia −→v (t) la velocita di una particella al tempo t nel riferimento O. La velocita istantanea −→v (t) si puo

considerare costante nell’intervallo di tempo compreso tra t e t + dt, dove dt e un intervallo di tempo

infinitesimo.

Consideriamo il sistema di riferimento O’ comovente con la particella, nel quale, per definizione, la

particella e ferma nell’origine. Abbiamo visto che le Trasformazioni di Lorentz mantengono invariate le

distanze tra gli eventi quindi, se lasciamo passare un tempo dt, deve succedere che

c2dt2 − dx2 − dy2 − dz2 = c2dt′2 − dx′2 − dy′2 − dz′2 (7.9)

dove dx′,dy′ e dz′ sono nulli perche O’ e comovente. In questo caso, possiamo scrivere

c2dt2 − dx2 − dy2 − dz2 = c2dt′2 = c2dτ 2 (7.10)

dove dτ e detto l’intervallo di tempo proprio.

7.6 Dilatazione del tempo

L’intervallo di tempo proprio dτ e il tempo che passa per la particella nel suo riferimento, quello che

regola la sua dinamica interna. A questo intervallo di tempo corrisponde il tempo dt dell’osservatore.

Dalla relazione

c2dt2 − dx2 − dy2 − dz2 = c2dτ 2 (7.11)

si ottiene

c2dt2 − (dx2 + dy2 + dz2)

dt2dt2 = c2dτ 2 (7.12)

(dx2 + dy2 + dz2)

dt2= |−→v (t)|2 = v(t)2 (7.13)

dt2(1− v(t)2

c2) = dτ 2 (7.14)

dt

√1− v(t)2

c2= dτ (7.15)

γ =1√

1− v(t)2

c2

(7.16)

dτ =dt

γ(7.17)

7.7. EFFETTO DOPPLER RELATIVISTICO 69

L’intervallo di tempo proprio della particella, che corrispondente all’intervallo di tempo t2 − t1dell’osservatore, e dato dall’integrale

∆τ =

∫ t2

t1

√1− v(t)2

c2dt (7.18)

Essendo√

1− v(t)2

c2< 1, l’intervallo di tempo proprio e sempre minore dell’intervallo di tempo passato

per l’osservatore che la vede in moto, situazione conosciuta come il paradosso dei gemelli.

Sottolineo ancora una volta che l’intervallo di tempo proprio e un invariante relativistico, lo stesso

per tutti gli osservatori.

Il tempo proprio misura il tempo che passa per la particella nel suo riferimento.

L’orologio che abbiamo al polso segna il nostro tempo proprio.

Quando andro in pensione all’eta di 95 anni, il mio intervallo di tempo proprio, da quando sono nato

a quando sono andato in pensione, sara di 95 anni.

Tutti gli osservatori che vedono la terra in movimento, con sopra il Calvetti, e che sono anche in moto

relativo tra di loro, potranno calcolare il mio tempo proprio usando la mia velocita nel loro riferimento

ed usando i loro orologi. Alla fine otterranno tutti lo stesso risultato, saranno d’accordo che ho vissuto

95 anni, prima di andare in pensione, alla barba delle dilatazioni temporali.

7.7 Effetto Doppler relativistico

Consideriamo una sorgente S che emette un segnale luminoso di frequenza f0.

Calcoliamo l’effetto Doppler relativistico per l’osservatore che vede la sorgente in avvicinamento.

Sia−→V = (V, 0, 0) la velocita della sorgente, b il parametro d’urto ed f la frequenza percepita

dall’osservatore O, vedi Fig.7.2.

Nel caso relativistico l’effetto Doppler, cioe la variazione di frequenza percepita dall’osservatore, e

dovuto a due effetti. Il primo geometrico, dovuto alla combinazione del moto della sorgente e della

velocita di propagazione del segnale, esattamente uguale a quello classico,

f =f0

1− Vc

cos θ(7.19)

Il secondo, prettamente relativistico, dovuto al diverso scorrere del tempo dei due orologi, quello della

sorgente e quello dell’osservatore. Dobbiamo modificare la formula 7.19 per includere questo secondo

effetto.

Se T0 e il periodo di tempo proprio dell’onda sonora emessa nel riferimento della sorgente, questo

corrisponde all’intervallo di tempo T0γ passato per l’osservatore. Dobbiamo percio sostituire al termine

f0 = 1T0

della 7.19, il termine 1T0γ

=√

1− β2f0

f =1

T=

f0

√1− β2

(1− Vc

cos θ)(7.20)

Quando la sorgente e lontana ed in avvicinamento, per θ = 0, si ha

f = f0

√1 + β

1− β(7.21)


Figure 7.2: Effetto Doppler relativistico. La frequenza percepita dall’osservatore e determinata dalla geometria del moto

e dalla dilatazione temporale.

Quando la sorgente e lontana ed in allontanamento θ = π

f = f0

√1− β1 + β

(7.22)

Per θ = π2

si ha l’effetto Doppler trasverso

f = f0

√1− β2 (7.23)

L’effetto Doppler trasverso NON NULLO e puramente relativistico, ed osservato sperimentalmente.

7.8 Contrazione delle lunghezze

Abbiamo visto che la lunghezza di un metro dipende dal suo stato di moto. Vediamo cosa ci dicono le

trasformazioni di Lorentz su questo argomento.

Consideriamo un’asta parallela all’asse x di lughezza a riposo l0. Ci domandiamo quale sia la

lunghezza dell’asta se questa si muove con velocita V lungo l’asse x.

Sia O’ un osservatore comovente con l’asta. Nel suo riferimento l’asta e ferma e gli estremi A e B

hanno coordinate

A = (0, 0) (7.24)

B = (0, l0) (7.25)

(7.26)

7.8. CONTRAZIONE DELLE LUNGHEZZE 71

Figure 7.3: Un asta in movimento e piu corta di quando sta ferma.

La lunghezza di un asta in movimento e data dalla differenza delle posizioni occupate dagli estremi

nello stesso istante. Per calcolare la posizione degli estremi dell’asta, come registrate dall’osservatore

O che la vede passare con velocita +V, si usano le trasformazioni di Lorentz inverse, vedi Fig.7.3.

Consideriamo l’istante in cui i due riferimenti coincidono

t =1√

1− V 2

c2

(t′ +V x′

c2) (7.27)

x =1√

1− V 2

c2

(x′ + V t′) (7.28)

per l’osservatore O, le coordinate dei due estremi al tempo t = t′ = 0 sono date dalle TL

A = (0, 0) (7.29)

B = (V

c2γl0, γl0) (7.30)

(7.31)

Come si puo notare i due eventi A e B non sono simultanei per O. L’evento A avviene al tempo t=0

mentre l’evento B al tempo ritardato t = Vc2γl0.

Per conoscere la lunghezza dell’asta dobbiamo calcolare dove si trovava B al tempo t=0.

Sapendo che l’asta si muove con velocita +V e B si trova nella posizione x = γl0 al tempo t = Vc2l0,

possiamo calcolare dove si trovava al tempo t=0. Possiamo scrivere

(0, xB) = (0, γl0 − VV

c2γl0) = (0, γl0(1− V 2

c2)) = (0,

l0γ

) (7.32)


Abbiamo trovato due punti simultanei sulle linee di esistenza di A e B nel riferimento di O. La

distanza spaziale tra le posizioni di A e B e la lunghezza dell’asta in movimento.

B − A = (0,l0γ

) (7.33)

l = l0√

1− β2 (7.34)

Le aste in movimento sono piu corte di quando sono ferme, si noti bene SONO, non sembrano, piu corte.

Questo fatto e noto come la contrazione delle lunghezze.

Gli oggetti in movimento sono contratti nella direzione del moto mentre il loro orologio scorre piu

lentamente.

Un altro metodo, per calcolare la contrazione delle lunghezze, e quello di partire con un’asta in moto

di lunghezza l rispetto ad O e di chiedersi quale sia la lunghezza dell’asta nel suo riferimento proprio,

quello in cui e in quiete. Consideriamo l’istante t=0 in cui l’estremo A si trova nell’origine, A=(0,0),

mentre B si trova in B=(0,l).

Dobbiamo usare le Trasformazioni di Lorentz dirette

t′ =1√

1− V 2

c2

(t− V x

c2) (7.35)

x′ =1√

1− V 2

c2

(x− V t) (7.36)

per calcolare le coordinate degli eventi A e B in O’. Si ottiene che

A′ = (0, 0) (7.37)

B′ = (−γV lc2, lγ) (7.38)

Come si vede, gli eventi A’ e B’ non sono simultanei in O’. Questa volta, pero la cosa non ha importanza

per la misura della lunghezza dell’asta, perche l’asta e ferma e quindi la posizione degli estremi si puo

misurare anche a tempi diversi. La lunghezza in O’ e l0 = lγ, in accordo con quanto ricavato prima.

7.9 Linee d’universo e cono luce

Sappiamo che la velocita della luce e la massima possibile.

Questo rende impossibile l’azione a distanza. Tutti i segnali che portano informazione, compresi

quelli che trasmettono le forze, devono propagarsi a velocita finita.

La legge di gravitazione newtoniana, per esempio, non puo essere corretta, come del resto Newton

stesso sapeva.

Il fatto che la velocita dei segnali sia limitata condiziona le possibili relazioni di causa effetto tra gli

eventi.

Le trasformazioni di Lorentz ci dicono che la relazione temporale tra gli eventi dipende dallo stato di

moto degli osservatori. La simultaneita non e assoluta e la relazione temporale prima-dopo puo essere

invertita.

7.10. FORMA GRAFICA DELLE TRASFORMAZIONI DI LORENTZ 73

Supponiamo che l’evento B accada dopo l’evento A, perche e causato da A. Per esempio, l’evento B,

la nascita di Francesco, e posteriore all’evento A, la nascita di suo padre. E possibile trovare un sistema

di riferimento per il quale B accade prima di A? La risposta e no, la relativita mantiene la relazione di

causa effetto tra gli eventi. Vediamo come si fa a dimostrarlo.

Si rappresenti lo spazio tempo come mostrato in Fig. 7.4.

Figure 7.4: Passato e futuro nel cono luce dell’evento A.

Sull’asse verticale poniamo la coordinata temporale ct e sul piano x-y le coordinate x-y degli eventi

(non si riesce a rappresentare in tre dimensioni uno spazio a quattro).

Dividiamo lo spazio tempo in tre parti:

1) gli eventi futuro di A. Sono quelli che possono essere raggiunti da un segnale luminoso emesso in

A prima che accadano; questi eventi possono essere stati causati dell’evento A.

2) gli eventi passato di A. Sono quelli che possono aver inviato un segnale luminoso che raggiunge la

posizione di A prima che A accada; questi eventi possono aver causato l’evento A.

3) gli eventi che non hanno potuto ne potranno essere in relazione di causa effetto con A; questi

eventi sono fuori del cono luce di A.

Se un evento B e causato da A, allora B e necessariamente nel cono luce futuro di A.

7.10 Forma grafica delle trasformazioni di Lorentz

Consideriamo di nuovo lo spazio tempo (ct,x), e ricordiamo le trasformazioni di Lorentz

x′ = γ(x− βct) (7.39)

ct′ = γ(ct− βx) (7.40)


Dalla 7.39 vediamo che per x = βct x′ = 0. Questo implica che gli eventi della retta ct = xβ

stanno

sull’asse dei tempi ct′ di O’, vedi Fig.7.5.

Analogamente vediamo dalla 7.40 che i punti della retta ct = βx hanno ct′ e sempre nullo. Questi

eventi stanno sull’asse delle posizioni x′ di O’.

Figure 7.5: Quando la distanza tra gli eventi B ed A e di tipo temporale, la relazione di causa effetto e conservata.

Al variare della velocita relativa dei due osservatori, cambia la pendenza delle rette ct’ e x’, che si

avvicinano alla bisettrice del primo quadrante all’aumentare di β.

Consideriamo i due eventi B e C simultanei per O. Se si proiettano parallelamente all’asse x′ gli eventi

B e C sull’asse dei tempi ct′, si osserva che l’evento C avviene prima dell’evento B. Eventi simultanei

per O non lo sono per O’.

Supponiamo ora che B sia causato da A e che A avvenga al tempo t = t′ = 0.

In questo caso B deve trovarsi necessariamente nel cono luce futuro di A, con tB > 0, come mostrato

in figura 7.5.

Sebbene cambiando la velocita del sistema di riferimento O’ cambi la pendenza delle rette x′ e ct′,

tuttavia l’angolo α non potra mai diventare maggiore di π4. L’evento B sara sempre successivo all’evento

A, per qualunque osservatore, per cui la relazione di causa effetto e conservata.

Consideriamo ora l’evento D, fuori del cono luce di A, che avviene dopo l’evento A per l’osservatore

O. Per tutti gli osservatori con β > ctDxD

, si osserva che l’evento D avviene prima di A, vedi Fig. 7.6.

Cioe, se due eventi sono fuori del cono luce l’uno dell’altro, la relazione temporale prima-dopo tra

di loro puo essere invertita cambiando sistema di riferimento. La cosa non ha importanza perche i due

eventi non possono essere in relazione di causa effetto. Appartengono ad universi diversi, non entreranno

mai in comunicazione.

7.10. FORMA GRAFICA DELLE TRASFORMAZIONI DI LORENTZ 75

Figure 7.6: Se la distanza tra gli eventi A e D e di tipo spaziale, l’evento D e fuori del cono luce di A. In questo caso la

relazione temporale prima-dopo tra gli eventi A e D puo essere invertita cambiando sistema di riferimento.


Chapter 8

Dinamica relativistica

Il principio di relativita per tutti i fenomeni fisici e la forma delle Trasformazioni di Lorentz, costringono

le leggi della meccanica ad avere una forma diversa da quella newtoniana, vediamo come.

Prima di procedere alla costruzione di una meccanica relativistica e istruttivo ricordare come la

meccanica newtoniana sia stata costruita coerentemente al Principio di Relativita ed alle Trasformazioni

di Galilei.

Nella meccanica newtoniana, la posizione −→x (t) di un oggetto e una grandezza vettoriale, nel senso

che rappresenta lo spostamento dell’oggetto dall’origine al punto −→x (t). Lo spostamento non dipende

dal sistema di riferimento usato. Ruotando gli assi cartesiani, il vettore −→x (t) viene rappresentato da

una diversa terna di numeri ma questa nuova terna descrive lo stesso spostamento.

Se si va da Firenza a Prato, per esempio, le infinite terne di numeri che possono descrivere questo

spostamento, che dipendono dall’orientamento del sistema di riferimento, sono diverse, ma sempre da

Firenze a Prato siamo andati.

Inoltre, se il nuovo sistema di riferimento e ruotato, poi traslato di una quantita −→x0 e quindi messo in

moto uniforme con velovita−→V , allora le componenti dello stesso spostamento cambieranno in modo piu

complicato. In questo caso la relazione tra le terne di coordinate e data dalle trasformazioni generali di

Galilei−→x′ (t) = R−→x −

−→V t−−→x0 (8.1)

dove R e elemento del gruppo delle rotazioni,−→V la velocita relativa e −→x0 la distanza tra i due osservatori

al tempo t=t’=0.

Il gruppo delle trasformazioni suddetto e detto Gruppo di Galilei.

Consideriamo la seconda legge della dinamica newtoniana

−→F =

d−→pdt

(8.2)

Questa relazione, valida per Francesco nel suo riferimento, dice che la forza−→F che agisce su un corpo

di massa m per un tempo dt, provoca una variazione del suo impulso, o momento lineare, pari a

d−→p =−→F dt (8.3)

Questo fatto deve essere vero anche per Chiara, che si muove di moto uniforme rispetto a Francesco.

Per lei la forza−→F ′ agisce sullo stesso oggetto e ne provoca la variazione dell’impulso d−→p ′.

77

78 CHAPTER 8. DINAMICA RELATIVISTICA

Il principio di relativita dice che anche per Chiara deve valere la relazione

d−→p ′ =−→F ′dt′ (8.4)

Le terne di numeri che descrivono i vettori d−→p ′ e a−→F ′ sono diverse da quelle di Francesco ma sono

legate a queste dalle trasformazioni di Galilei.

Se si scrivono le equazioni della fisica come uguaglianze tra grandezze vettoriali, del tipo

vettore = vettore. (8.5)

allora queste sono le stese per tutti i riferimenti inerziali.

Cambiando riferimento, cambiano le componenti dei vettori sia a sinistra che a destra dell’equazione

ma RESTA VALIDO il segno di uguaglianza.

Dimostrazione: Sia−→F =

d−→pdt

(8.6)

un’equazione valida in un sistema di riferimento.

Applichiamo l’operatore G, elemento del gruppo di Galilei, all’equazione 8.6

G−→F = G

d−→pdt

=dG−→pdt

(8.7)

−→F ′ =

d−→p ′

dt(8.8)

e la fisica e la stessa, come volevamo dimostrare.

Vi ricordo che: −→x′ (t) = G(−→x ) = R · −→x (t)−

−→V t−−→x0 (8.9)

e −→p′ (t) = G(−→p ) = R · −→p (t)−m

−→V (8.10)

8.1 Cinematica nello spazio tempo

Sia −→x (t) = (x(t), y(t), z(t)) la posizione di una particella puntiforme di massa m in moto arbitrario

rispetto all’osservatore O.

Il moto della particella e descritto dal quadrivettore X(t) = (ct, x(t), y(t), z(t)) = (ct,−→x (t)). La

traiettoria in quattro dimensioni e detta linea di esistenza, o linea d’universo della particella.

Per costruire una cinematica relativistica dobbiamo lavorare nello spaziotempo.

Analogamente a quanto fece Newton, la prima cosa da fare e definire la velocita, quindi l’impulso e poi

la forza che provoca la variazione dell’impulso. La relazione che lega la forza alla variazione d’impulso

e la dinamica, quella che vogliamo ricavare.

Ricordiamo la definizione newtoniana della velocita

−→v (t) =d−→x (t)

dt(8.11)

Nella meccanica classica, come abbiamo detto tante volte, gli intervalli di tempo dt sono uguali per

tutti gli osservatori inerziali, il tempo e uno scalare. Quindi, dividendo il vettore d−→x (t) per lo scalare

8.2. VELOCITA ED IMPULSO NELLO SPAZIOTEMPO 79

dt, si ottiene ancora un vettore. L’operatore di derivata ripetto ad uno scalare mantiene la caratteristica

di ”vettorialita” del numeratore. Se la grandezza da derivare e una funzione scalare, la derivata resta

una funzione scalare, se e vettoriale, resta vettoriale, se e tensoriale resta tensoriale.

Per costruire una meccanica relativistica dobbiamo usare grandezze quadrivettoriali adatte a descri-

vere il moto e le sue cause e legarle nella forma

quadrivettore = quadrivettore (8.12)

per garantire l’invarianza.

8.2 Velocita ed impulso nello spaziotempo

Per costruire la cinematica relativistica, usiamo il tempo proprio dell’oggetto, del quale vogliamo descri-

vere il moto, come unita di misura del tempo. Sappiamo che il tempo proprio e un invariante relativistico.

Definiamo la quadrivelocita V (t) come lo spostamento avvenuto nello spazio tempo nell’unita di tempo

proprio

V (t) =dX(t)

dτ= γ

dX(t)

dt= γ

d

dt(ct,−→x (t)) = γ(c,−→v (t)) (8.13)

La quadrivelocita V (t) e un quadrivettore perche e il rapporto tra il quadrivettore spostamento dX(t)

e lo scalare dτ .

Si noti che la norma quadrata della quadrivelocita |V |2 = γ2c2 − γ2v2 = c2 e una costante.

In relativita il modulo della velocita e una costante del moto. Le componenti spaziali e temporali

cambiano lasciando la norma costante, qualunque sia la forza che agisce sulla particella.

Supponiamo che la particella abbia una massa m. Come in meccanica classica, si definisce il quadrim-

pulso della particella il quadrivettore

P = mV = (mγc,mγ−→v (t)) (8.14)

la cui norma quadrata e |P |2 = m2c2.

Anche il modulo del quadrimpulso e una costante del moto.

Le forze che agiscono su una particella ne cambino lo stato di moto, ma il modulo di V e di P , col

tensore metrico precedentemente definito ed a massa costante, rimangono costanti.

8.3 La quadriforza e l’equazione della dinamica

Sebbene la dinamica relativistica si differenzi molto da quella classica quando si descrivono oggetti

che si muovono con velocita paragonabili a quella della luce, tuttavia essa deve coincidere con quella

newtoniana quando β << 1 perche, in questo caso, la meccanica newtoniana funziona bene. Questa

condizione e nota come il Principio di Corrispondenza.

Seguiamo lo stesso filo logico della meccanica newtoniana: ipotizziamo che la variazione per unita di

tempo proprio del quadrimpulso di una particella di massa m sia uguale alla quadriforza che agisce su

di essa. Scriviamo che

F =dP

dτ= γ

dP

dt= γ(

d(γc)

dt,d(mγ−→v )

dt) (8.15)


dove P e il quadrimpulso ed F la quadriforza, che non sappiamo ancora come scrivere.

Nel definire le componenti della quadriforza F si determina la forma della dinamica, cioe l’effetto

della forza.

Il fatto di seguire la linea tracciata da Newton e il modo migliore per includere nella teoria la validita

del Principio di Corrispondenza.

Cominciamo col determinare le tre componenti spaziali−→F della quadriforza F sapendo che deve

essere

F = (F0,−→F ) = γ(

d(γc)

dt,d(mγ−→v )

dt) (8.16)

Le componenti spaziali della quadriforza, cioe−→F , devono essere tali da riprodurre la seconda legge

di Newton nel limite γ ∼ 1.

Abbiamo definito l’impulso relativistico di una particella di massa m come −→p = mγ−→v .

Se si definire la componente spaziale della quadriforza come−→F = γ

−→F , dove

−→F e la forza, quella dei

campi di forza tradizionali, che agisce sulla particella, si ottiene dalla 8.16 che

γ−→F = γ

d(mγ−→v )

dt(8.17)

e quindi

−→F =

d(mγ−→v )

dt(8.18)

che diventa quella newtoniana quando γ ∼ 1, garantendo cosı la validita del principio di corrispon-

denza.

Resta da determinare la componente temporale della quadriforza. Vedremo che le tre componenti

spaziali della quadriforza determinano la componente temporale.

Questa e una importante conseguenza delle proprieta di trasformazione del quadrimpulso e del prin-

cipio di corrispondenza.

Sapendo che la norma quadrata del quadrimpulso |P |2 = P P = m2c2 e una costante del moto,

possiamo scrivere che la sua derivata rispetto al tempo deve essere nulla

d(|P |2)

dτ= 2P

dP

dτ= 2P F = 0 =⇒ P F = 0 (8.19)

Dato che F = (F0, γF ) e P = (γc,mγ−→v ) si ottiene

P F = mγcF0 −mγ2−→F −→v = 0 (8.20)

da cui

F0 =γ

c

−→F −→v (8.21)

e, finalmente

(γ

c

−→F −→v , γ

−→F ) = γ(

d(mγc)

dt,d(mγ−→v )

dt) (8.22)

che e l’equazione della dinamica relativistica.

8.4. ENERGIA DI UNA PARTICELLA 81

8.4 Energia di una particella

Consideriamo la componente temporale della 8.22

γ

c

−→F −→v = γ

d(mγc)

dt(8.23)

−→F −→v =

d(mγc2)

dt(8.24)

Dato che−→F −→v e la potenza della forza che agisce sulla particella, l’energia data alla particella nell’unita

di tempo, possiamo definire l’energia totale come

E = mγc2 (8.25)

che e la famosa equazione di Einstein.

La relazione E = mγc2 stabilisce l’equivalenza tra massa ed energia.

Secondo questa relazione, un oggetto di massa m possiede l’energia E = mc2 anche quando e fermo.

Per esempio, 1gr di massa equivale a ∼ 1014 joule, un’energia enorme.

In questa dinamica, pero, l’energia totale e definita a meno di una costante, perche l’equazione 8.24

e una condizione sulla variazione di E non sul suo valore.

Si potrebbe ridefinire E come E = mγc2−mc2 ed avere, in questo modo, energia a riposo nulla come

nella meccanica newtoniana. Ebbene, questo non si puo fare.

Se si aggiunge una costante diversa da zero all’energia relativistica, non viene riprodotta la legge di

composizione delle velocita galileiana nel limite non relativistico, si vıola il Principio di Corrispondenza.

Dimostrazione: supponiamo che una particella di massa m si muova lungo l’asse x con velocita v, e

che l’osservatore O’ si muova, sempre lungo l’asse x, con velocita V . Il quadrimpulso della particella e

dato da

P = (mγc,mγ−→v ) = (E

c,mγ−→v ) = (

E

c,mγvx, 0, 0) (8.26)

Usiamo le trasformazioni di Lorentz per calcolare il quadrimpulso della stessa particella nel riferimento

O’,Ec

mγ′v′xmγ′v′ymγ′v′z

=

Γ −BΓ 0 0

−BΓ Γ 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

Ec

mγvx

0

0

e consideriamo la seconda componente di questa equazione, quella che dice come si trasforma la

componente x dell’impulso

mγ′v′x = −BΓE

c+ Γmγvx (8.27)

Se si somma una costante Λ all’energia totale E, la 8.27 diventa

mγ′v′x = −Vc

1√1− V 2

c2

(mγc2 + Λ)

c+

1√1− V 2

c2

mγvx (8.28)

che nel limite non relativistico, per Vc<< 1, v

c<< 1, γ ∼ γ′ ∼ Γ ∼ 1, al primo ordine in V/c

mv′x = −mV − V Λ

c2+mvx (8.29)


v′x = vx − V − VΛ

mc2(8.30)

Dalla 8.30, se Λ 6= 0 la composizione galileiana delle velocita, v′x = vx − V non viene riprodotta,

violando cosı il principio di relativita.

Λ deve essere nulla, ed un oggetto a riposo possiede l’energia E = mc2.

8.5 L’equazione di Newton in forma relativistica

Vogliamo scrivere l’equazione della dinamica relativistica

−→F =

d(mγ−→v )

dt(8.31)

in una forma simile a quella di Newton, mettendo in evidenza la relazione tra forza, accelerazione e

velocita. Sappiamo che

mγ =E

c2(8.32)

per cui−→F =

d(Ec2−→v )

dt=

1

c2

dE

dt−→v +mγ

d−→vdt

(8.33)

m−→a =1

γ(−→F − (

−→F −→v )

c2−→v ) (8.34)

Come si vede nella 8.34, in meccanica relativistica l’accelerazione e la forza non hanno la stessa

direzione.

Da notare, il fatto che la componente dell’accelerazione opposta alla velocita sia proporzionale alla

potenza della forza, evita che la particella superi la velocita della luce. Lo vedremo meglio con gli

esercizi.

8.6 Revisione del concetto di massa

Abbiamo visto che l’accelerazione provocata dall’azione della forza dipende dall’orientamento relativo

tra la forza applicata e la velocita.

Se una particella con carica elettrica q si muove in un campo magnetico−→B (−→x ) con velocita −→v (−→x ),

su di essa agisce la forza di Lorentz

−→F = q−→v (−→x ) ∧

−→B (−→x ) (8.35)

In questo caso, la forza e sempre perpendicolare alla velocita istantanea e la 8.34 diventa

mγ−→a =−→F (8.36)

Quando la forza e parallela alla velocita, invece, come nel caso di una particella con carica elettrica

q lasciata libera sotto l’azione di un campo elettrico costante−→E , la 8.34 diventa

mγ3−→a =−→F = q

−→E (8.37)

8.7. RELAZIONI RELATIVISTICHE NOTEVOLI 83

Nei due casi la relazione tra la forza e l’accelerazione e diversa.

Il concetto di massa intesa come il rapporto tra la forza applicata e l’accelerazione prodotta deve

essere abbandonato.

In relativita, la massa di una particella e solo la sua energia a riposo. Il modo in cui una particella

si comporta quando e sottoposta all’azione di una forza esterna dipende dall’orientamento ed intensita

della forza e della velocita, oltre che dal valore della sua massa.

8.7 Relazioni relativistiche notevoli

Le seguenti relazioni tra impulso, energia e massa di una particella devono essere ricordate:

β =v

c(8.38)

γ =1√

1− β2(8.39)

−→p = mγ−→v (8.40)

E = mγc2 (8.41)

V = (γc, γ−→v ) (8.42)

P = (E

c,−→p ) (8.43)

P 2 = m2c2 = (E

c)2 −−→p 2 ⇒ E =

√p2c2 +m2c4 (8.44)

−→p c =−→β E (8.45)

m−→a =1

γ(−→F − (

−→F −→v )

c2−→v ) (8.46)

8.8 Energia ed impulso per particelle di massa a riposo nulla, i fotoni

Per particelle di massa a riposo nulla, come i fotoni, o molto piccola, come i neutrini, la relazione tra

impulso ed energia si ricava dalla E =√p2c2 +m2c4 con m = 0.

In questo caso, E = pc mentre il quadrimpulso e dato dal vettore

P = (E

c,E

c

−→k ) (8.47)

dove−→k e il versore dell’impulso spaziale.

Pur avendo massa a riposo nulla, queste particelle hanno impulso meccanico perche trasportano

energia.


8.9 Conservazione del quadrimpulso per sistemi isolati

L’equazione cardinale della meccanica relativistica

F =dPdτ

(8.48)

dice che se una particella di massa m non e soggetta a forze esterne, il suo quadrimpulso si conserva.

L’energia totale ed il momento lineare sono costanti del moto.

Le particelle elementari come il protone, per esempio, soddisfano questa condizione. La costruzione

dei grandi acceleratori di particelle e basata sulla validita della dinamica relativistica, se usassimo la

meccanica classica per progettarli non funzionerebbero.

Tuttavia, dobbiamo considerare il fatto che il protone non e poi tanto elementare, anzi ha una

struttura interna molto complicata e non del tutto capita. Ci sono i quark, le forze nucleari ecc.

Nonostante questa complessita il quadrimpulso di un protone non soggetto a forze esterne si conserva.

Non ci sarebbe nulla di strano finora, perche e quello che ci dice anche la meccanica classica. Per

sistemi di particelle interagenti non soggetti a forze esterne, il centro di massa si muove di moto uniforme.

Nella meccanica newtoniana questo e dovuto alla validita del principio di azione e reazione, per il

quale le forze interne si cancellano istante per istante. Questo non e vero in relativita.

In relativita, infatti, il principio di azione e reazione NON e applicabile istante per istante, perche

non esiste l’azione a distanza istantanea. Nonostante questo il quadrimpulso di un protone libero si

conserva lo stesso.

La conservazione dell’energia totale e dell’impulso, anche per sistemi di particelle interagenti, e un

principio della natura.

La velocita finita della propagazione dei segnali complica la descrizione delle interazioni ma il tutto

deve avvenire in modo che, alla fine, il quadrimpulso totale venga conservato.

Sebbene nel mondo subnucleare le particelle possono essere distrutte e create, per cui le particelle

prima e dopo l’interazione sono diverse, tuttavia l’energia e l’impulso totale si devono conservare.

Il quadrimpulso totale prima dell’interazione e uguale al quadrimpulso totale dopo l’interazione.

Chapter 9

Esercizi

9.1 Combinazione relativistica delle velocita

ESERCIZIO

Sia −→v = (vx, vy, vz) la velocita di una particella per l’osservatore O. Qual’e la velocita della stessa par-

ticella vista da un osservatore O’ che si muove rispetto ad O con velocita−→V = (V, 0, 0)? Si risolva il

problema usando le proprieta di trasformazione della quadrivelocita.

Soluzione:

Usiamo le TL in forma matriciale per trasformare il quadrivettore velocita da un riferimento all’altro

γ′

c

v′xv′yv′z

=

Γ −BΓ 0 0

−BΓ Γ 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

γ

c

vxvyvz

dove Γ =√

1− V 2

c2e B = V

cil beta di O’.

Per la prima componente si ha

γ′c = γΓc− γBΓvx = γΓc(1− V vxc2

) (9.1)

γ

γ′Γ =

1

1− V vxc2

(9.2)

Per la seconda componente

γ′v′x = −γBΓc+ γΓvx = γΓ(vx − V ) (9.3)

v′x =γ

γ′Γ(vx − V ) (9.4)

sostituendo γγ′

Γ dalla 9.2 si ottiene


c2

(9.5)

uguale a quella ottenuta precedentemente differenziando le trasformazioni di Lorentz, cvd (come vole-

vamo dimostrare).

85

86 CHAPTER 9. ESERCIZI

9.2 L’aberrazione stellare

Consideriamo una stella posta sullo zenith dell’eclittica, l’eclittica e il piano dell’orbita terrestre. Sup-

poniamo di puntare il telescopio in modo da averla nel centro del mirino. Di quanto deve essere variata

l’inclinazione del telescopio per avere la stella di nuovo nel mirino sei mesi dopo?

Sia −→c = (0,−c, 0) la velocita della luce e−→V = (V, 0, 0) la velocita orbitale terrestre, siamo nel riferi-

mento del sistema solare. Nel caso dei fotoni, non possiamo usare il quadrivettore velocita perche questo

non e definito. Il γ del fotone e infinito, per definizione. Possiamo usare, invece, il quadrimpulso del

fotone. Il fotone proveniente dalla stella trasporta l’energia E e l’impulso E/c quindi il suo quadrimpulso

e

P = (E

c,E

ck) = (

E

c, 0,−E

c, 0) (9.6)

Per l’osservatore terrestre O’E′

c

P ′xP ′yP ′z

=

Γ −BΓ 0 0

−BΓ Γ 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

Ec

0−Ec

0

dalla quale

P ′x = −BΓE

c(9.7)

P ′y = −Ec

(9.8)

tan θ =V

c

1√1− V 2

c2

(9.9)

Si noti che la trattazione classica da come risultato tan θ = Vc.

Se il telescopio osserva la stella con inclinazione θ rispetto alla verticale, ad una certa data, sei

mesi dopo dovra essere orientato, sempre rispetto alla verticale, dello stesso angolo ma dalla parte

opposta, perche la terra ha invertito la sua velocita nell’orbita solare. Sei mesi dopo si deve cambiare la

declinazione del telescopio dell’angolo 2θ.

Se si misura con sufficiente precisione l’angolo 2θ, si verifica sperimentalmente che la combinazione

delle velocita e quella relativistica, non quella classica.

Si puo anche calcolare come cambia l’energia del fotone visto dal laboratorio terrestre.

Per la componente temporale del quadrimpulso si ottiene che

E ′ = EΓ (9.10)

L’energia di un fotone e legata alla sua frequenza dalla costante di Planck h, E = hν. Possiamo

percio scrivere che hν ′ = hνΓ, nel qual caso

ν ′ =ν√

1− V 2

c2

(9.11)

La frequenza percepita da terra e diversa da quella emessa dalla stella, e l’effetto Doppler trasverso,

non previsto dalla fisica classica. La variazione di frequenza e dovuta al diverso scorrere del tempo, per

la stella e per l’osservatore, non dalla geometria del moto.

9.3. MOTO DI UNA CARICA ELETTRICA IN CAMPO MAGNETICO 87

9.3 Moto di una carica elettrica in campo magnetico

Si calcoli la traiettoria di una particella di impulso p, carica q e massa m in un campo magnetico B

costante.

Soluzione:

Sulla particella agisce la forza di Lorentz

−→F = q−→v ∧

−→B (9.12)

la quale e sempre perpendicolare alla velocita istantanea della particella e non compie lavoro.

Dall’equazione

m−→a =1

γ(−→F − (

−→F −→v )

c2−→v ) (9.13)

essendo la potenza della forza nulla, si ottiene

mγ−→a =−→F = q−→v ∧

−→B (9.14)

mγ−→a = q−→v ∧−→B (9.15)

L’accelerazione e sempre ortogonale alla velocita istantanea ed al campo magnetico, per cui la compo-

nente della velocita parallela al campo B e ed il modulo della velocita sono costanti del moto.

Consideriamo il caso del moto nel piano perpendicolare al campo magnetico. In questo caso la

particella si muove di moto circolare uniforme.

Il raggio di curvatura si ottiene dalla relazione

mγa = qvB (9.16)

mγv2

R= qvB (9.17)

mγv

R= qB (9.18)

R =p

qB(9.19)

p = qBR (9.20)

Lo studente provi a dimostrare che vale la relazione (da ricordare) p = 0.3BR dove p e espresso in

GeV/c, B in Tesla ed R in metri.

9.4 Moto di una particella soggetta a forza costante parallela alla velocita

Studiamo il moto di una particella carica, inizialmente ferma, soggetta ad una forza costante, vedi

Fig.9.1.

Dalla relazione

m−→a =1

γ(−→F − (

−→F −→v )

c2−→v ) (9.21)

si deduce che, se inizialmente il corpo e fermo, l’accelerazione, la forza, la velocita, e quindi l’impulso,

restano paralleli durante tutto il moto.


Figure 9.1: Moto di una massa m sottoposta ad una forza costante parallela alla velocita.

Sia x la direzione della forza, vedi Fig.9.1.

F =dp(t)

dt(9.22)

p(t) = Ft (9.23)

mv(t)√

1− v(t)2

c2

= Ft (9.24)

dalla quale si ottiene la velocita in funzione del tempo,

v(t) =Ftm√

1 + ( Ftmc

)2

(9.25)

La posizione in funzione del tempo e data dall’integrale della velocita

x(t) = x0 +mc2

F

√1 + (

Ft

mc)2 (9.26)

9.5 Moto di una particella soggetta a forza costante perpendicolare alla

velocita iniziale

Una particella di massa m, carica elettrica q ed impulso iniziale −→p 0 entra tra le armature di un conden-

satore perpendicolarmente al campo elettrico costante−→E , come mostrato in Fig.9.2.

Calcolare la velocita e la posizione della particella in funzione del tempo.

9.5. MOTO DI UNA PARTICELLA SOGGETTA A FORZA COSTANTE PERPENDICOLARE ALLA VELOCITA INIZIALE89

Figure 9.2: Moto di una carica elettrica in un campo di forza costante, caso del condensatore carico.

Consideriamo l’equazione del moto−→F =

d−→pdt

(9.27)

0 =dpxdt

=⇒ px = p0 (9.28)

qE =dpydt

(9.29)

La componente x dell’impulso e costante

mγvx(t) = p0 (9.30)

Nella direzione y, invece

qE =dpydt

(9.31)

py = qEt (9.32)

(9.33)

Possiamo calcolare l’impulso totale

p =√p2x + p2

y =√p2

0 + (qEt)2 (9.34)

e l’energia totale E

E =√p2 +m2c4 =

√p2

0 + (qEt)2 +m2c4 =√E2

0 + (qEt)2 (9.35)


dalla quale si ottiene

γ =Emc2

=

√E2

0 + (qEt)2

mc2(9.36)

Conoscendo γ in funzione del tempo si puo calcolare la velocita dalla 9.30

vx(t) =p0

mγ=

p0c2√

E20 + (qEct)2

(9.37)

e dalla 9.33

vy(t) =qEt

mγ=

qEc2t√E2

0 + (qEct)2(9.38)

Le coordinate della particella in funzione del tempo si ottengono integrando la −→v (t)

y(t) =E0

qE(

√1 + (

qEct

E0

)2 − 1) (9.39)

x(t) =p0c

qEarcsin h

cqEt

E0

(9.40)

Eliminando t tra le due espressioni per x e y, si ottiene

y =E0

qE(cosh

qEx

cp0

− 1) (9.41)

La traiettoria e una catenaria.

9.6 Effetto Compton

L’effetto Compton e quell’effetto per il quale un fotone, diffuso da un elettrone libero, cede parte della

sua energia e del suo impulso all’elettrone.

La perdita di energia del fotone, quindi l’aumento della sua lunghezza d’onda, dipende dall’angolo di

diffusione.

Calcolare la variazione di lunghezza d’onda del fotone in funzione dell’angolo di diffusione.

Soluzione:

Consideriamo un fotone di lunghezza d’onda λ che viene diffuso di un angolo θ da un elettrone libero

fermo, vedi Fig.9.3.

Nota bene che non ci domandiamo qual’e la probabilita di diffusione ad un certo angolo, che e

determinata dalla dinamica dell’interazione, ma solo qual’e la lunghezza d’onda del fotone se viene

diffuso ad un angolo θ, che e determinata dalla cinematica.

Questo e un tipico problema che si risolve applicando la conservazione del quadrimpulso prima e dopo

la diffusione.

Siano:

h la costante di Planck

E0 = hν0 = h cλ0

l’energia del fotone iniziale,−→p0 impulso del fotone incidente−→p 1 impulso del fotone finale

E1 = hν = h cλ

l’energia del fotone finale

m la massa dell’elettrone

9.6. EFFETTO COMPTON 91

Figure 9.3: Effetto Compton. Diffusione di un fotone da parte di un elettrone libero.

−→p2 impulso dell’elettrone finale

E2 =√p2

2c2 +m2c4 energia dell’elettrone finale

La conservazione del quadrimpulso dice che

(E0 +mc2

c,−→p 0) = (

E1 + E2

c,−→p 1 +−→p2) (9.42)

da cui

E0 +mc2 = E1 + E2 (9.43)−→p 0 = −→p 1 +−→p2 (9.44)

da cui

E2 = E0 − E1 +mc2 (9.45)

−→p2 = −→p 0 −−→p 1 (9.46)

Dovendo essere che

E22 = p2

2c2 +m2c4 (9.47)

si ottiene

(E0 − E1 +mc2)2 = (−→p 0 −−→p 1)2c2 +m2c4 (9.48)

E20 + E2

1 +m2c4 − 2E0E1 + 2E0mc2 − 2E1mc

2 = p20c

2 + p21c

2 − 2p0p1c2 cos θ +m2c4 (9.49)


Per i fotoni, particelle senza massa a riposo, E0 = p0c e E1 = p1c, per cui dalla 9.49

−2E0E1 + 2E0mc2 − 2E1mc

2 = −2E0E1 cos θ (9.50)

(E0 − E1)mc2 = E0E1(1− cos θ) (9.51)

(ν0 − ν1)mc2 = hν0ν1(1− cos θ) (9.52)

ν0 − ν1 = ν0ν1h

mc2(1− cos θ) (9.53)

c

λ0

− c

λ1

=c

λ0

c

λ1

h

mc2(1− cos θ) (9.54)

λ1 − λ0 =h

mc(1− cos θ) (9.55)

Si definisce λe = hmc

la lungezza d’onda Compton dell’elettrone

∆λ = λe(1− cos θ) (9.56)

La diffusione a grande angolo aumenta la lunghezza d’onda diminuendo l’energia del fotone.

Questo e uno dei meccanismi attraverso i quali l’energia dei fotoni viene degradata, nella materia,

a lunghezze d’onda sempre piu lunghe finche non si trasforma in calore quando viene assorbita dalle

molecole aumentandone l’energia cinetica.

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TEORIA DELLA RELATIVITA Fondamenta della teoria e ...hep.fi.infn.it/calvetti/pippo8large.pdfTEORIA DELLA RELATIVITA Fondamenta della teoria e meccanica relativistica. Ad uso del corso