Corso  di  TRASMISSIONE  DEL  CALORE  Anno  Accademico  2011/2012  

-­‐  Lezione  N.3  -­‐  

Prof.  Ing.  Renato  RICCI  DiparEmento  di  Ingegneria  Industriale  e  Scienze  MatemaEche  –  Università  Politecnica  delle  Marche  

Generalità sui dissipatori alettati

2

La scelta del tipo di alettatura, del materiale di base e della configurazione dell’intero dissipatore sono legati a valutazioni di tipo termico ed economico, nonché a parametri estetici. Il colore della superficie esterna del dissipatore è scarsamente importante da un punto di vista termico, purché le vernici usate siano a base di ossidi metallici.

Ciò è connesso al fatto che il dissipatore irradia calore essenzialmente nel medio infrarosso, dove le vernici presentano una emissività scarsamente legata al proprio colore. Un discorso a parte meritano i dissipatori di Alluminio prodotti per Estrusione, essi vengono in genere anodizzati, in diversi colori, e grazie a ciò aumentano sensibilmente la propria emissività.

Lo scambio termico convettivo e radiativo fra un corpo e l’ambiente circostante può essere opportunamente incrementato mediante l’aumento della superficie esterna del corpo stesso. In pratica ciò si realizza mediante l’applicazione al corpo di un opportuno dissipatore alettato o grazie alla morfologia del corpo stesso che può essere già dotato di asperità e protrusioni atte a fungere da alette di dissipazione del calore.

Esempi tangibili di superfici alettate sono da ricercare nelle testate dei motori a combustione interna raffreddati ad aria oppure nei dissipatori termici utilizzati comunemente in elettronica.

Tipologie di dissipatori (1)

3

Estrusione

Fusione e Lav. Meccanica

Skive Fins

Piegatura e Brasatura

I dissipatori possono essere realizzati mediante: estrusione, stampaggio, fusione, piegatura, incollaggio o accoppiamento a caldo. I materiali usati più frequentemente sono l’alluminio ed il rame.

4

Accoppiamento per interferenza a caldo

Quando le alette sono molto allungate e sottili le lavorazioni per estrusione o per fusione diventano complesse ed estremamente costose; in tal caso si preferisce passare ad un accoppiamento a caldo delle lamine alettate. Ciò viene realizzato forzando le lamine su una base rigida nella quale siano state ricavate, per fresatura, delle gole atte ad ospitarle.

Negli ultimi anni sono stati introdotti anche dei dissipatori realizzati per incollaggio di lamine, corte e lunghe, in modo tale da formare il “pacchetto” del dissipatore. Le colle usate più frequentemente sono resine epossidiche caricate in metallo oppure collanti aramidici; in casi particolari possono essere usate delle paste brasanti all’Indio.

Tipologie di dissipatori (1I)

5

Processi Produttivi e Costi

Estrusione Fusione Stampaggio Incollaggio PiegaturaAltezza  massima 75  mm 75  mm 50  mm 150  mm 50  mm

Altezza/ Spessore 8 6 4 60 40

Spessore  Minimo 1  mm 1.75  mm 1.5  mm 0.75  mm 0.25  mm

Materiale Al Al,  Zn,  Mg,  Cu Al,  Cu Al,  Cu Al,  Cu

Costo  di  base X 0.8  X 0.7  X 1.3  X 1.2  XCosto  di  lavorazione X X 0.6  X 1.2  X 2.0  XCosto  di  F initura X 1.2  X 0.8  X 1.1  X 1.4  XCosto  di  Assemblaggio X 4.0  X 2.8  X 1.5  X X

Il processo di Fusione è senz’altro quello che consente di realizzare le superfici alettate più sofisticate, di contro è però anche la tecnologia più costosa. Ultimamente si iniziano a vedere superfici alettate da fusione anche in apparati elettronici consumer e ciò è dettato dall’esigenza di operare con flussi termici specifici molto elevati occupando, allo stesso tempo, il minor spazio possibile.

I dissipatori più diffusi sono senz’altro quelli di Alluminio estruso che vengono ottenuti dal taglio di barre lineari, lo Stampaggio è invece riservato ai dissipatori utilizzati nei prodotti a basso prezzo o per componenti elettronici e/o meccanici di larga diffusione.

Costo dei dissipatori usati in elettronica

6

Equazione generale di scambio termico per un’aletta a spillo

Le ipotesi sulle quali è basata la trattazione matematica seguente sono:

1.  il materiale dell’aletta è omogeneo ed isotropo;

2.  la temperatura è uniforme su ogni sezione trasversale dell’aletta, ciò implica che il gradiente termico longitudinale sia l’unico a presentare un valore diverso da zero;

3.  il coefficiente di scambio termico convettivo non dipende dalla temperatura dell’aletta

4.  il fenomeno termico è stazionario.

Sotto queste ipotesi il bilancio termico porta a scrivere che:

Il Flusso termico entrante nel volume di controllo Q(z)

DEVE essere uguale alla somma del

Flusso termico uscente dal volume di controllo Q(z+dz)

e del

Flusso termico scambiato con l’ambiente dQc

Q(z) = Q(z + dz)+ d QC

Bilancio termico

Il flusso termico conduttivo che attraversa la sezione (z+dz) è dato da:

Dal postulato di Fourier il flusso termico conduttivo attraverso la sezione –z- è dato da:

Ne segue che:

Se si assume che lo scambio termico con l’esterno sia limitato solo a quello Convettivo si può scrivere che:

( )( )( ) ( )s ed dT zk A z dz h dA T z Tdz dz

⎛ ⎞⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ −⎜ ⎟⎝ ⎠

Combinando tutti i termini fin qui trattati si arriva alla:

Q(z + dz) = Q(z)+ dQ(z)dz

Q(z) = −k ⋅A(z) ⋅ dT (z)dz

Q(z + dz) = Q(z)− k ddz

A(z) ⋅ dT (z)dz

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ ⋅dz

d QC = h ⋅dAS ⋅ T (z)−Te( )

Alette a sezione costante

( )2

2( )1 ( ) ( ) 1 ( ) 0

( ) ( )s

edA zd T dA z dT z h T z T

A z dz dz k A z dzdz+ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ − =

Esplicitando l’equazione precedente si arriva alla seguente formulazione generale

Per alette a sezione costante l’equazione diventa molto più semplice, nel caso di un’aletta rettangolare, ad esempio, si avrà:

( )2

2 ( ) 0ed T h P T z T

k Adz⋅− ⋅ − =⋅

Tb

P

dz

h, Te

L( )sdA z P dz= ⋅

t

w

( ) * costanteA z t w A= = =

22

2 0d mdzθ θ− ⋅ =

1 2( ) mz mzz C e C eθ −= ⋅ + ⋅

( ) ( ) ez T z Tθ = − h Pmk A⋅=⋅

Ponendo: e

si arriva alla:

la cui soluzione generale è rappresentata da:

Soluzione per base a temperatura costante ed estremità termicamente isolata

Tb

P

dz

h, Te

L( )sdA z P dz= ⋅

t

w

( ) * costanteA z t w A= = =

1 2(0) (0) e b e bT T T T C Cθ θ= − = − = = +

1 2( ) 0mL mL

z L

d zk C m e C m edzθ −

=− ⋅ = ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ =

- Condizioni a contorno -

1

mLbmL mL

eC

e eθ −

−⋅

=+

cosh(x) = ex + e−x

2; senh(x) = e

x − e−x

2;

da cui si ottengono:

ricordando che:

2

mLb

mL mLe

Ce eθ

−⋅

=+

si arriva alla:

( )cosh 1 /( )

cosh( )bm L z L

zm L

θ θ⎡ ⎤⋅ ⋅ −⎣ ⎦= ⋅

⋅

Profilo di Temperatura

( )cosh 1 /( )

cosh( )bm L z L

zm L

θ θ⎡ ⎤⋅ ⋅ −⎣ ⎦= ⋅

⋅

mL = 0.5

mL = 1.0

mL = 1.5

mL = 2.0

mL = 3.5

Flusso termico dissipato

Per la nostra aletta a sezione costante ed estremità adiabatica possiamo calcolare quanto flusso termico è stato dissipato ricordandoci che il flusso scambiato per convezione attraverso la superficie laterale dell’aletta DEVE eguagliare quello scambiato per conduzione attraverso la base della stessa.

0

( )(0) tanh( )bz

d zQ k A k A m mLdzθ θ

== − ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

Dal grafico si nota chiaramente come valori di “mL” maggiori di 3 non apportino alcun incremento significativo al flusso termico dissipato.

Efficienza di un’aletta a sezione costante ed estremità adiabatica

Il flusso termico massimo che un’aletta può scambiare con l’esterno si verifica quando tutta l’aletta risulta isoterma ed a temperatura pari a quella della sua base; in tali condizioni il flusso termico dissipato dalla stessa sarà dato da:

( )iso b eQ h P L T T= ⋅ ⋅ ⋅ −Poiché però nella realtà l’aletta presenta temperature via via decrescenti nel procedere dalla base verso la cima per qualificare termicamente l’aletta si può introdurre un parametro che lo consenta: l’EFFICIENZA

Flusso termico dissipato dall'aletta realeFlusso termico dissipato dall'aletta isoterma

η =

tanh( ) tanh( )b

b

k A m mL mLh P L mL

θηθ

⋅ ⋅ ⋅ ⋅= =

⋅ ⋅ ⋅

Dal grafico emerge come per valori di “mL” superiori a 3 l’efficienza scende sotto 0.35. In pratica si cerca di operare SEMPRE con alette ad efficienza maggiore di 0.6, ciò indica in “mL=1.5” il valore limite di tale parametro. Qualora la tecnologia costruttiva del dissipatore fosse a basso costo e non fosse possibile incrementare le dimensioni globali del corpo non alettato si accetta di operare con valori di “mL” compresi fra 1.5 e 3.0.

Vantaggiosità di una superficie alettata Quando si aggiunge un’aletta sulla superficie esterna di un corpo si inducono due effetti termici fra di loro contrastanti:

Ø  si aumenta la superficie totale di scambio termico: effetto termico positivo;

Ø  si aggiunge una resistenza termica conduttiva, quella dell’aletta, alla fuoriuscita del calore dal corpo: effetto termico negativo.

Quest’ultimo effetto è tanto più grande quanto maggiore è il coefficiente di scambio termico convettivo, tanto che in presenza di convezione con fluidi in cambiamento di fase può essere preferibile NON alettare il corpo in oggetto. Proprio per valutare al meglio l’entità dei due effetti termici si introduce un nuovo parametro, chiamato VANTAGGIOSITA’, che rappresenta il “rapporto fra il flusso termico dissipato dal corpo opportunamente ALETTATO e quello che il corpo avrebbe dissipato SENZA ALETTATURA. tanh( ) ( )

( )

tanh( ) Superficie esternatanh( )Area sezione trasversale

b ef

b e

k A m mL T Th A T T

k P mL P LmLh A mL A

η

η

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ −= =

⋅ ⋅ −

⋅ ⋅= ⋅ = ⋅ = ⋅⋅

Dalla formula emerge come a parità di efficienza sia più vantaggiosa quell’aletta che presenta il massimo rapporto fra superficie esterna e sezione trasversale. Nelle applicazioni pratiche è buona norma verificare che la superficie alettata operi sempre ad una vantaggiosità superiore a 2; valori minori di vantaggiosità sono giustificati solo da scelte di mercato e non da valutazioni termiche.

E’ possibile individuare un numero adimensionale, il numero di Biot, che rappresenta qualitativamente il rapporto fra la resistenza conduttiva e quella convettiva, con il quale poter esprimere la Vantaggiosità:

Numero di Biot cond

conv

Rh ABik P R⋅= = =⋅

tanh( )tanh( )fk P mLmLh A Bi

η ⋅= ⋅ =⋅

Esempio di calcolo

Tb

P

dz

h, Te

L( )sdA z P dz= ⋅

t

w

( ) * costanteA z t w A= = =

Si abbia un’aletta a sezione rettangolare di altezza (L) pari a 5 cm, spessore (t) di 3 mm e lunghezza (w) di 20 cm; il materiale

dell’aletta è Alluminio con una conducibilità termica di 200 W/mK.

Si calcoli il rendimento e la vantaggiosità dell’aletta qualora la stessa operi in:

1.  Convezione naturale con un gas: h = 5 W/m2K

2.  Convezione forzata con un gas: h = 150 W/m2K

3.  Convezione forzata con un liquido: h = 1500 W/m2K

4.  Convezione con un liquido bifase: h = 15000 W/m2K 4 2

1

0.003 0.2 6 10

2 ( ) 2 0.42 ( ) 2 2

2

2

A t w m

P t w w m

P t w w mA t w t w t

h P hmk A k th A h tBik P k

−

−

⎡ ⎤= ⋅ = ⋅ = ⋅ ⎣ ⎦= ⋅ + ≅ ⋅ = ⎡ ⎤⎣ ⎦

⋅ + ⋅ ⎡ ⎤= ≅ = ⎣ ⎦⋅ ⋅⋅ ⋅= =⋅ ⋅

⋅ ⋅= =⋅ ⋅

Aletta con estremità sottoposta a scambio termico convettivo

( ) ( )cosh 1 / ( /( )) 1 /( )

cosh( ) ( /( )) ( )b

m L z L h m k senh m L z Lz

m L h m k senh m Lθ θ

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⋅ ⋅ − + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ −⎣ ⎦ ⎣ ⎦= ⋅⋅ + ⋅ ⋅ ⋅

La soluzione dell’equazione generale dell’aletta nel caso di estremità libera sottoposta a flusso termico convettivo è data da:

Anche se apparentemente tale soluzione sembra molto diversa da quella dell’aletta con estremità isolata i valori puntuali sono molto vicini e per la maggior parte delle applicazioni pratiche coincidenti; a titolo di esempio è riportata di seguito una tabella contenente, per l’esercizio precedente, i profili di temperatura nel caso di aletta isolata e non.

Metodo della altezza corretta

Tb

P

dz

h, Te

L

t

w

ΔL

( )s

c

A P L LL L L

= ⋅ + Δ= + Δ

Proprio per evitare l’uso delle equazioni relative all’aletta con estremità non isolata si introduce il concetto dell’aletta con ALTEZZA CORRETTA; ossia l’aletta originale con estremità non isolata viene sostituita con un’aletta più alta (Lc) avente però estremità isolata, e quindi soggetta ad equazioni più semplici rispetto alla prima.

Nel caso dell’aletta in figura l’altezza corretta si ottiene imponendo che il flusso di estremità dell’aletta reale sia pari a quello fuoriuscente dalla superficie laterale del pezzo di aletta aggiunto:

( ) ( ( ) )2 ( ) ( ( ) )2 ( ) ( ( ) )

e

e

e

Q z L h w t T L Th L w t T L Th L w T L T

= = ⋅ ⋅ ⋅ − == ⋅ ⋅ Δ ⋅ + ⋅ − ≅≅ ⋅ ⋅ Δ ⋅ ⋅ −

;2 2ct tL L LΔ = = +

che porta alla:

Efficienza per altri tipi di alette

In figura è riportata l’efficienza di alette aventi sezione e profilo diverso; in tutti i casi viene introdotto il concetto di altezza corretta, fatta eccezione per l’aletta triangolare che non p re s en t a f l u s so t e rm i co all’estremità.

Sia l’aletta a spillo a sezione circolare che quella rettangolare presentano efficienze analoghe; l’aletta triangolare presenta invece una maggiore efficienza associata rispetto a quella a sezione rettangolare in quanto a parità di superficie esterna richiede una quantità minore di materiale.

Alette radiali

2t hL

k tξ ⎛ ⎞= + ⋅⎜ ⎟ ⋅⎝ ⎠

Ben più complessa è la soluzione per un’aletta radiale a sezione rettangolare; in tal caso si fa uso del grafico riportato in figura dove le curve di efficienza sono funzione del rapporto fra il raggio esterno CORRETTO e quello interno. L’estremità esterna dell’aletta si assume sempre isolata termicamente.

Ottimizzazione rispetto all’altezza

( ) tanh( ) ( / )1 ( / ) tanh( )b e

mL h mkQ h P K A T Th mk mL

+= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅+ ⋅

Ponendo 0 si ottiene 1dQ hdL m k

= =⋅

Sotituendo ad "m" il proprio valore si ha: 1 , ossia 1h A Bik P⋅ = =⋅

Possiamo provare a vedere se esiste un’altezza ottimale che consente di massimizzare il flusso termico; per far ciò prendiamo l’equazione del flusso termico di un’aletta con estremità non isolata:

Questa condizione ci dice che se Bi è minore di 1 l’aggiunta dell’aletta porta ad un effettivo incremento di scambio termico, in caso contrario l’aletta funge da resistenza aggiuntiva e contribuisce ad isolare la superficie piuttosto che incrementarne lo scambio termico. In pratica il valore limite di Bi per un’aletta rettangolare è fissato a 0.25 e non ad 1; ciò vuol dire che conviene alettare un superficie solo se:

0.252 2

h w t h tBik w k⋅ ⋅ ⋅≅ = ≤⋅ ⋅ ⋅

0.5 l'aletta funge da elemento dissipante

0.5 l'aletta funge da elemento isolante

khtkht

≤ ⋅

> ⋅

Caratteristiche di un dissipatore

w

p t

L

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

2

1

2 1

alette b e b e

no alette b e

tot alette no alette b e

Q N h P L T T N h w L T T

Q N h p w T T

Q Q Q h w T T N L N p

η η

η

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ≅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ −

= − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ −

⎡ ⎤= + = ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + − ⋅⎣ ⎦

( ) ( )( ) ( )( )

( )

2 1

1

2 1

1

b ef

b e

h w T T N L N p

h w T T N t N p

N L N p

N t N p

ηη

η

⎡ ⎤⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + − ⋅⎣ ⎦= =⎡ ⎤⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ + − ⋅⎣ ⎦

⎡ ⎤⋅ ⋅ ⋅ + − ⋅⎣ ⎦=⎡ ⎤⋅ + − ⋅⎣ ⎦

( ) ( )2 1tot diss b eQ h T T w N L N pη ⎡ ⎤= ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + − ⋅⎣ ⎦

( )( )

2 1

2 1diss

N L N p

N L N p

ηη

⎡ ⎤⋅ ⋅ ⋅ + − ⋅⎣ ⎦=⎡ ⎤⋅ ⋅ + − ⋅⎣ ⎦

alettata no alettatadiss

alettata no alettata

S SS S

ηη

⋅ +=

+

Più in generale si può scrivere:

Esercizio

La figura sottostante mostra le sezioni di un cilindro di un compressore di aria a due stadi, utilizzato per produrre aria compressa per verniciatura. Si assume che le 9 alette circolari abbiano profilo rettangolare con spessore pari a 3 mm ed altezza pari a 5 cm. Il diametro esterno del cilindro, da cima a cima delle alette, è di 21.9 cm, mentre il passo delle alette è di 1.27 cm.

Il cilindro presenta una temperatura di 260 °C sul mantello esterno e la temperatura dell’ambiente è di 27 °C.

Se il coefficiente di scambio termico convettivo è di 15 W/m2K e la conducibilità delle alette è di 30 W/mK determinare:

• La potenza termica trasferita dal cilindro all’ambiente esterno;

• La potenza termica dissipata in assenza di alettatura;

• La Vantaggiosità della superficie alettata.

Soluzioni