Cosecha de Modelos Económicos y Atrapar a La Dependencia de La Biomasa

8/17/2019 Cosecha de Modelos Económicos y Atrapar a La Dependencia de La Biomasa

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Cosecha de modelos económicos y atrapar a la dependencia de la biomasa:el caso de los pequeños peces pelágicos

∗ Pedro Gajardo † Julio Peña!orres " #$ctor %am&re' C(

%esumen

)n el caso de pequeños peces pelágicos* parece ra'onable considerar que lacosecha nonlinearly +unciones dependiendo del es+uer'o pesquero y el caldode pescado( ,e hecho* la e-idencia emp&rica acerca de estas especies depeces sugiere que captura marginal no necesariamente reaccionan en +ormalineal ni a cambios en el es+uer'o de pesca ni en los ni-eles de e.istenciasde peces( )sto está en contradicción con los modelos económicostradicionales de la pesca de captura /entrada de producti-idades marginales

normalmente se supone que es constante( 0l mismo tiempo* permitir la nolinealidad en capturas de captura y es+uer'o a los parámetros del stoc1*este papel se e.tiende el tradicional de una sola cosecha stoc1 modeloeconómico* centrándose en la dependencia de las soluciones estacionarias alas capturas no lineal de parámetro de stoc1( Por lo tanto* anali'amos lasrespuestas de equilibrio ante cambios en este parámetro* que a su -e'puede ser desencadenada por el cambio climático o el cambio tecnológico(,ado el en+oque de este estudio en el caso de pequeños peces pelágicos* elanálisis considera -alores positi-os pero pequeños para la captura deparámetro de stoc1(

2ey3ords: las pesquer&as de pequeños pelágicos* +unción de producciónCobb,ouglas* control óptimo* má.imo de principio(

4 5ntroducción los

pequeños peces pelágicos* como la anchoa* el arenque* la sardina y el jurelrepresentan una proporción importante de la cosecha de peces marinos delmundo /actualmente alrededor de un tercio de la misma* con más de 67millones de toneladas por año en todo el mundo* seg8n las estad&sticas dela 90; /#erric1* ?(

)n algunas naciones pesqueras /por ejemplo* Per8 y Chile?* la pesca de estetipo son recursos importantes para sus econom&as nacionales* tanto ent$rminos de -alor añadido de la producción* as& como sobre el empleoregional(

∗,epartamento de @atemática* Ani-ersidad !$cnica 9ederico =anta @ar&a*0-da( )spaña 4B7* Casilla 447D Dalpara&so* Chile( Correo electrónico:Pedro(gajardoEusm(cl

†9acultad de )conom&a y


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",epartamento de 5ngenier&a @atemática y Centro de @odelamiento@atemático /CM7* la pesca de la sardina de Cali+ornia una d$cada más tarde*la población de arenque en el @ar del B7 y principios de 4>7 yprincipios de 4>7 colapso de la anchoa peruana /Peña!orres* 4>>B?(

as caracter&sticas antes mencionadas acerca de pequeños peces pelágicosnormalmente están ausentes de los modelos económicos pesquerosmatemática tradicional( )sta literatura se ha centrado habitualmente en elcaso de +unciones de cosecha lineal /ejemplos bien conocidos son /Clar1*4>7; Clar1* 4>>7?; /Plourde y Oeung 4>?; /,oc1ner 9eichtinger y@ehlmann* 4>>??( )ste en+oque tiene -entajas e-identes en t$rminos demanejabilidad matemática( 0s&* el modelo que describe generalmente una

sola especie de peces en continua e-olución del tiempo es

./t? Q + /./t?? u/t?./t?*

donde ./t? es el ni-el de e.istencias de peces en el tiempo t* u/t? 4 es eles+uer'o pesquero y 9 es la +unción de crecimiento biológico de las especies(

)n contraste* y dado el presente documento se centra en el caso de lospequeños peces pelágicos los recursos* tenemos

6 considerar una Cobb,ouglas +ormulario para la +unción de cosecha :

R h/t? Q u S /t?. /t?* /4(4?


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donde h/t? es la tasa de recolección en el tiempo t /medido en toneladas porunidad de tiempo?* y R y S son dos parámetros positi-os tales que R T S U4(

)l -alor del parámetro R controla cuánto es+uer'o pesquero captura

marginales de producti-idad /rendimiento? -ar&a seg8n el es+uer'o pesquerocambios( 0s&* R Q 4 implica constantes marginal pro ducti-ity capturasadicionales de unidades de es+uer'o pesquero( Por otro lado* el parámetro Smide cómo atrapar los rendimientos son sensibles a cambios marginales enlas poblaciones de peces( )n el caso de la constante el costo por unidad dees+uer'o pesquero* cuanto menor sea el -alor o+S el menos sensible launidad #ar-est coste será a las -ariaciones en el ni-el de e.istencias depeces( Por lo tanto* cuanto menor sea el -alor de S es más probable deber&aser* ceteris paribus* la ocurrencia de colapso pesquero(

)n relación a la literatura sobre m$todos de e-aluación de stoc1 de pesca*el caso R Q S Q 4 describe un conte.to donde la pesca de captura porunidad de es+uer'o de pesca /CPA)? es proporcional* en un tiempoin-ariante de moda* a la abundancia de las poblaciones( )n tal caso* losdatos dependientes de la pesca como la CPA) podr&a utili'arse* en principio*como un &ndice para calcular

4)l uso de una sola -ariable de entrada presupone que otros insumos /porejemplo* trabajo* capital? se usan en proporciones Njas* por lo que laintensidad de utili'ación de la entrada puede ser medido por una sola-ariable(

6)sta es una +orma +uncional ampliamente utili'ado en la econom&a( Der yVibe #eathNeld /4>* Cap&tulo M? acerca de sus propiedades cuando seaplica a la modeli'ación de las +unciones de producción( =in embargo* suutili'ación en modelos pesqueros ha sido muy in+recuente( as e.cepcionesson raras /$onard y ong* 4>>6?* /#annesson 4>>H* página IH? /#annessony 2ennedy /677I? y Peña!orres* 4>>I?( D$ase tambi$n /,asgupta y sanar4>>? para una descripción clásica de su uso en los modelos de crecimientoeconómico óptimo para las econom&as con recursos naturales agotables(

6

desconocido la abundancia de peces( =in embargo* e.isten di+erentesreasons3hy la relación entre CPA) y la abundancia de las poblacionespodr&an ser tanto no lineales y -ariables en el tiempo( )n relación con elcaso de la escolaridad de especies de peces* como los pequeños pelágicos*


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di+erentes estudios emp&ricos han hecho pin señaló la pertinencia de unarelación no lineal entre la CPA) y en la abundancia del stoc1 /para másdetalles* -$ase /Vilberg et al( 6747?; /Wuinn y ,eriso 4>>>* Cap&tulo 4?;/#ilborn y Valters 4>>6?;/Csir1e 4>??(

)n e+ecto* y en cuanto a la +unción /4*4?* di+erentes estudios emp&ricos sobrelas pesquer&as de pequeños pelágicos sugieren que la conjetura XR y Sser&an al mismo tiempo cercano a unoX debe ser recha'ada( ,e hecho* lae-idencia disponible sugiere positi-e-alues pero in+erior a la unidad para elcaso de S /p( ej(* y Conrad psomer /4>>M?; /Kjorndal y Conrad 4>??( Paraeste tipo de poblaciones de peces* incluso algunos autores han sugeridoque* para determinados rangos de abundancia de peces* la independenciatotal e-entualmente puede pre-alecer entre los rendimientos de captura depeces y los ni-eles de e.istencias /p( ej(*

H @acCall /4>B?; /Clar1* 4>6?; /4>?; Csir1e /Kjorndal 4>; Kjorndal4>>?? ( )n relación con el -alor de R* la e-idencia disponible para -ariaspequeñas pesquer&as pelágicas sugiere -alores positi-os que están cerca oincluso mayor que uno /p( ej( /Kjorndal 4>; Kjorndal 4>>?; /Kjorndal yConrad 4>?; y Conrad psomer /4>>M?; /Peña!orres y Kasch /6777?;Peña!orres* Dergara* y Kasch 677M??( 0s&* a Nn de mantener lamanejabilidad* matemáticas en este trabajo -amos a limitar el análisis alestudio de casos con R Y 4(

a e-idencia citada en pequeños peces pelágicos conNrma la pertinencia deanali'ar te.tos pesca con S positi-o pero lo su+icientemente pequeño( Por

lo tanto* hay que hacer especial hincapi$ en los e+ectos del stoc1relati-amente insensibles* o incluso disminuyendo* el promedio de loscostos de la cosecha /unidad? en una reducción de las e.istencias /Peña

!orres* 4>>B?( a posibilidad de stoc1insensiti-e promedio /unidad? loscostos de la cosecha surge como el resultado de las estrategias de+ensi-asque estas especies de peces siga en reducción de los ni-eles de stoc1: comoel stoc1 . disminuye* los card8menes de peces tienden a aumentar sudensidad como de+ensa +rente a los depredadores naturales( Para lasespecies que -i-en cerca de la superNcie del mar* como los pequeñospelágicos* los

M 8ltimos e+ecto tiende a reducir el promedio /unidad? los costos de lacosecha (

Por lo tanto* este documento se asumen -alores de cosecha en que RTS Q 4y S es positi-o pero cercano a cero( ,e hecho* nuestro análisis se centraráen los equilibrios estacionaria resultante cuando S tiende a cero( )nparticular* dada la R T S Q 4* que asumimos en aras de la simplicidadmatemática* estudiamos los e+ectos de las -ariaciones en la proporción /R yS? cuando R y S Z 7 Z 4(

Para el estudio de la sensibilidad de una pesquer&a de equilibrio a loscambios en el parámetro S puede aportar ideas 8tiles* no sólo desde el


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punto de -ista de anali'ar el riesgo de colapso de pesca* sino tambi$n paraotras cuestiones pertinentes( Por ejemplo* puede ayudar a anticipar nue-asrespuestas de equilibrio

Hbiólogos marinos /p( ej( Csir1e @acCall /4>>7; 4>? han declarado que en

las pesquer&as de pequeños pelágicos signiNca rendimientos de cosecha/por unidad de es+uer'o pesquero? no son un buen indicador de los cambiosen la abundancia de peces( a hipótesis es que cuando cae* la abundanciade las poblaciones de especies pelágicas pequeñas tienden a reducir elrango de sus 'onas de reproducción y alimentación* concurrente condisminuciones en el n8mero de escuelas* a pesar de que en las escuelas detamaño medio puede permanecer constante( )s decir* el stoc1 reduce elrango de su distribución espacial* al mismo tiempo que aumenta sudensidad( )ste comportamiento podr&a resultar en una relación /al menostransitoria? independencia entre el rendimiento de las cosechas y la

abundancia de las poblaciones de peces(M/Vilberg et al( 6747? es una e.celente re-isión reciente en distintas+uentes de cambios depende de la densidad de peces en la capturabilidad yas&* de manera más general* sobre las ra'ones para la obtención de unarelación no lineal entre la CPA) y la abundancia de las poblaciones(

H

en un determinado tipo de pesca que será un -alor o+S que resume ele+ecto combinado de los +actores ambientales y tecnológicos sobre lainteracción entre la abundancia de peces y los consiguientes rendimientosde captura por unidad de es+uer'o pesquero* cuando la pesca se en+renta acambios en el -alor de su parámetro S( )sta 8ltima puede ocurrir comoresultado de los cambios climáticos y sus e+ectos sobre el ni-el

desencadenado* la densidad o la ubicación de la población de peces ene.plotación* o debido a las inno-aciones tecnológicas o institucionales quea+ectan la capacidad de los pescadores a la b8squeda y captura de loscard8menes de peces(

)l análisis de una pesquer&a de respuesta a los cambios en el equilibrio Spuede tambi$n proporcionar ideas 8tiles cuando el regulador de la pescanecesita e-aluar la -entaja comparati-a de la utili'ación de los derechos deaterri'aje o cupos de captura en un determinado tipo de pesquer&a( ,ehecho* en la medida en que esta decisión se -e a+ectada por di+erentes

tipos de incertidumbre /por ejemplo* acerca de la locali'ación de los peces*las pre-isiones de e.istencias o incluso los parámetros económicos?* el


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regulador de la pol&tica óptima elección normalmente depende no sólo deltipo de incertidumbre* sino tambi$n sobre el -alor del parámetro S* o decambios en $l* como la 8ltima a+ectará directamente el coste unitario de lacosecha /-er /Jensen y Destergaard Veit'man* 677H; 6776; #annesson y2ennedy* 677I?(

Por simplicidad* consideramos que el problema de control óptimo deaNctitious /precio tomando? 8nico dueño* digamos un planiNcador social*que ma.imi'a el -alor total actuali'ado de las corrientes intertemporal de lapoblación de peces de las rentas económicas* cuando la +unción de lacosecha de cada agente está dada por /4(4?( 0nali'amos los estadosestables del sistema dinámico asociado que describe el comportamientoasintótico de estos estados cuando S en /4(4? tiende a cero(

)l esquema de este art&culo es como sigue: en la sección 6 se presenta elproblema del plani+icador social cuando S [ /7* 4? y R T S Q 4( a sección Hanali'a el estado de equilibrio constante singular comportamiento como una+unción del parámetro S( a sección M anali'a el comportamiento asintóticode la singular equilibrio estacionario cuando S Z 7( )sta sección constituyeel n8cleo principal de nuestro trabajo( Por 8ltimo* en la =ección Ipresentamos nuestras obser-aciones Nnales( as pruebas matemáticas sonrelegados al 0p$ndice(

6 )l problema del planiNcador social

-amos a modelo en una +orma altamente estili'ada de la gestión de la pesca

del mundo real problema asumiendo que consiste simplemente en elegiruna decisión 8nica -ariable* es decir* el ni-el de es+uer'o de pesca( !ambi$nasumiremos* en contraste con el mundo real de las prácticas de e-aluaciónde stoc1 de pesca* que el caldo de pescado bajo la e.plotación esper+ectamente conocida en cualquier momento( Atili'amos estassimpliNcando la modeli'ación de modo que se diseña para centrarse másdirectamente en el análisis de la sensibilidad del planiNcador social ladecisión acerca de la escala óptima /Nja el ni-el de es+uer'o pesquero y* porende* de los ni-eles de equilibrio estacionario para la -elocidad de cosechay el caldo de pescado* con respecto a los cambios en el parámetro S(%ecordar que este parámetro es un arte+acto de modelado que agregados yresume el e+ecto de di+erentes posibles +uentes de no linealidad entre laCPA) y la abundancia de peces(

Considerar < sim$trica /es decir* unidades de pesca los buques? Cosechasimultáneamente una sola especie de peces( )l n8mero de unidades depesca está deNnido de +orma e.ógena /digamos por consideracionespol&ticas e.ógenos?( !odos estos barcos están bajo el control del planiNcadorsocial(

M


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,ado un es+uer'o pesquero admisibles pol&tica u/\?* la tasa de e.plotaciónresultante h/\? está dado por la +unción Cobb,ouglas /4(4?( 0s&* la e-olucióndel ni-el de e.istencias de peces ./\? a partir de una condición inicial .7]gt; 7* -iene dada por la solución de la ecuación di+erencial ordinariasiguiente: / R ./t? Q + /./t??


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donde J/u* .? es el criterio indicado en /6*6? y el control admisible establecerA es deNnido por

A Q u : 7* T? Z7* T? : u continua piece3ise(

)n lo que sigue suponemos que el -alor má.imo es tan alto que* en lapráctica* el es+uer'o de pesca u nunca alcan'a( )sto e.plica el rangoestablecido de +orma7* T? para es+uer'os admisibles u en la deNnición deA(

I

nos centraremos en el problema /P=P? cuando la captura es estrictamenteproducti-idad marginal decreciente con respecto al ni-el de stoc1* es decircuando S [ /7* 4?( 0demás* en aras de la simplicidad* suponemos R T S Q 4(sta nos permite trabajar con un cónca-o estrictamente hamiltoniano(

0 partir de la teor&a de control óptimo* el principio del má.imo de Pontryaginestablece /p( ej(

/Pontryagin* Koltyans1ii* Gam1relid'e y @ishchen1o Kardi y Capu''o,olcetta 4>B6; 4>>; 6777?* Dinter que si u : 7* T? Z 7* T? es unasolución óptima del problema de hori'onte inNnito /P=P? y . : 7* T? Z/7*2? el ni-el de e.istencias de peces asociados* entonces e.iste una +unción fdi+erenciable en casi todas partes /a(e(? de tal manera que

R 4 R 4 f /t? Q rf/t? S


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desde el #amiltoniano # # es ma.imi'ada en u/t?* la regla de 9ermat u Q7 da si f/t? U p u/./t?* f/t? Q 7 4

R/pf/t?? S /6*? c ./t? si f/t? ]lt; p(

como se esperaba* la e.presión anterior muestra que si la sombra delplaniNcador social -alor de mantener una unidad adicional de peces en elmar es más alto que el precio de la cosecha p* entonces la pol&tica óptimaconsiste en detener el es+uer'o pesquero completamente y de inmediato(

0 partir de /6*4?* /6*M? y /6*? obtenemos un nue-o sistema para el estado .y -ecino estado f dada por ./t? Q 4/./t?* f/t?? f /t? Q 6/./t?* f/t??;/6(? ./7? Q .7*

donde / 9/.? si f U p 4/.* f? :Q 9/.? R /f


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4S para los -alores pequeños de S* la hipótesis 9 /7? ]lt; >H* pág( HI?(


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%ecurriendo a la ecuación /H(6?* ahora podemos e.plicar por qu$ el estadoóptimo ∗. /S? /S ]gt; 7? será estrictamente por encima L%(

Como /H(6? muestra el regreso de mantener una unidad adicional de . en elmar pro-iene de dos +uentes( Por un lado* el retorno de biológicos de

mantener una unidad adicional de . en el mar

X* que es dado por + ∗/. /S?( Por la otra* los beneNcios resultantes de lacosecha incremental*

/uR.S? dada por . ]gt; 7* es positi-o para S ]gt; 7( )sta segunda +uentede regreso* por lo tanto* aumentar la rentabilidad de la in-ersión en .*sumandose a la ganancia directamente consistente de la marginal

-ol-er biológica ∗ 9/.? /S?( Por lo tanto* el equilibrio intertemporal /esdecir* la óptima

in-ersión ? condición será tal que 9 ∗/. /S? ]lt; 9 /L%? Q r y* por laconca-idad estricta de la +unción 9 /\?* luego ∗. /S? ]gt; L%(

bser-ación H(M( )s sencillo demostrar que el 8nico estado estable delsistema /6(? es un punto de silla( )sta propiedad surge en di+erentesconte.tos económicos( )n el caso de cosechar los modelos pesqueros* sepueden encontrar en /$onard y largo 4>>6* pág( 6>I? y Peña!orres /4>>I?*considerando una +unción log&stica 9 Q R y S Q 4F6(

M 0nálisis sobre el comportamiento asintótico cuando S Z 7

)n esta parte* estudiamos el comportamiento del 8nico estado estacionario/dado por la Proposición H(4? con respecto a las -ariaciones del parámetro S()n particular* nos centramos en el caso de S Z 7(

0demás de la rele-ancia de este caso de las poblaciones de peces pelágicospequeños* su análisis proporciona conocimientos generales acerca de lasrespuestas de equilibrio que cab&a esperar en una baja S pesquer&a*cuando esa pesquer&a es S puede estar cambiando debido a shoc1se.ógenos ambientales o tecnológicos(

)ste análisis asintótico tambi$n proporciona in+ormación sobre lasrespuestas del equilibrio subyacente a una pesquer&a que se está acercandoel conocido caso de R Q 4 y S Q 7( D$ase* por ejemplo* /#annesson 4>>H*=ección 6(? y /Clar1 4>>7* =ección H(I?(

Para el parámetro S [ /7* 4?* nos deberá indicar por ∗. /S? y f /S? elcorrespondiente

∗ /8nico? estados estables( a pareja /. /S? /S?* f? resuel-e el siguientesistema de ecuaciones

S 7 Q 9/.? 4


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escribimos u/S? para el control constante asociada* que está dada por 4 ∗R/p f /S? S

u/S? Q ∗. /S?( /M(6? c

por lo tanto* la tasa de recolección al equilibrio es

h/S? Q


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∗ anterior implica que /./S?* f/S ∗ ?? Q /. /S?* f /S?* para todos los S [ /7*4?( 0 partir de ahora* podemos usar la notación /./S?* f/S?? para los estadosestacionarios de /6(? sin ninguna posibilidad de con+usión(

bser-ación M(H( )s bien sabido que la solución del sistema de Pontryagin

/6*? asociados con el problema /P=P? Cuando R Q 4 y S Q 7 es una soluciónde turnpi1e acercarse lo más rápido posible a los -alores . Q .r y f Q pc/-ea /Clar1 4>>7??( 0s&* la Proposición M(4 establece que el limitar elcomportamiento de los estados estacionarios solutions /./S?* f/S?* cuando SZ 7* es coherente con el resultado de este l&mite(

Cuando S Z 7 -emos del estado /H(6? que tienden a ser una +uente 8nica deregreso de mantener una unidad adicional de . en el mar* que es la tasa decrecimiento biológico

+ /./S?( )sto es as& porque* como S Z 7* el actual per&odo de bene+icios

tienden a ser independientes de . y* por lo tanto* el #amiltoniano /o -alor?+unción en /6(I?* que tiene que ser ma.imi'ada eligiendo el control óptimou/S?* -ar&a con los cambios en la . sólo por el e+ecto di+erencial

+ /.?( Como resultado de ello* el óptimo equilibrio estacionario ./S? tiende aL%(

> a

proposición M(M( os l&mites de los deri-ados de los estados estacionarioscon respecto a S* cuando S Z 7* son:

d. c9 Q /L%? ]gt; 7; /M(M? lim

SZ7 dS 9 /.r?/p c?.r

df 9 Q ln c /L%? T 4 ( /M*I? lim

SZ7 dS


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9/.r? df /b? si ln


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/6(a? tiene capacidad para relati-amente altos -alores de r yForelati-amente bajos -alores de


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=i una pesquer&a se en+rentan un cambio impulsado de +orma e.ógena en suparámetro S* que podr&a ser de inter$s para conocer a priori no sólo cómo elequilibrio precio sombra del stoc1 . cambiar&a* pero tambi$n cómo otras-ariables cla-es en la pesquer&a responder&a( )n consecuencia* en lo quesigue se anali'an las respuestas de equilibrio* a los cambios en el parámetro

S* en la pesquer&a de captura inmó-il* +ija el es+uer'o pesquero y la entradacorrespondiente es marginal producti- dades(

dh en primer lugar* en la siguiente proposición* relación dS ]gt; 7 esprobada en el equilibrio de -alores su+icientemente pequeño de S:

I)ste t$rmino puede ser interpretado como la tasa de rendimiento biológico/por unidad de pesca? de la in-ersión marginal en .* cuando .Q L%(

a Proposición 44 M(I( Para S cercano a cero positi-o* la recolección deequilibrio h/S? disminuye cuando S disminuye(

a prueba( D$ase el 0p$ndice 0(M(

)n segundo lugar* tambi$n sabemos por el resultado en la parte 4 de laProposición M(M que* en el

equilibrio estacionario* dS d. ]gt; 7 para S casi igual a cero positi-o( )ntercer lugar* y de nue-o para S positi-o

d pequeño h lo suNciente* puede demostrarse que* en el equilibrioestacionario* dS . ]gt; 7* tal como se establecen en la siguienteproposición(

h la Proposición M(B( Para S cercano a cero positi-o* la recolección deequilibrio marginal . de pliegues cuando S disminuye(

a prueba( D$ase el 0p$ndice 0(I(

Por lo tanto* considerados S* sabemos que una reducción en S siemprereducirá el constante

estado df ni-eles de . y h( 0s& que* cómo puede ser entonces que* para Scercano a cero* la señal de en +unción de un -alor cr&tico para la condición 9param$trico /L%?F/


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as siguientes propuestas y corolarios proporcionar la respuesta(

a proposición M(( a marginal* la producti-idad de la cosecha de la u* enequilibrio* tiene la misma

/M*B?

monotonicity propiedades que el precio sombra cuando S -ar&a( ,e hecho*


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)n tercer lugar* pensemos ahora en cualquier/ implica de

+unción 9 /\?( Por lo tanto* cuando S

dS ]gt; 7* dada la estricta conca-idad disminuciones y toda-&a haybeneNcios que se obtienen de la pesca .* pero la ganancia por unidad dees+uer'o pesquero es lo suNcientemente pequeño* el planiNcador social lapol&tica óptima será nue-amente para in-ertir en un plato in+erior .* peroahora tambi$n reduce el ni-el de es+uer'o de pesca estacionaria(

Por 8ltimo* debemos mantener el en+oque en cualquier / implica ]gt; 7( Por lo tanto* un menor -alor de Sinducirá un plani+icador social dS menor in-ersión en parado .* as& como laelección de un menor es+uer'o pesquero estacionario u

/recordar que con r cerca de 9 /7?* el -alor f del plani+icador aumentarácomo S disminuye?( )n un

4H

du coherente* corolario M(47 os )stados que r yFo suNcientemente bajos

-alores de n

]gt; 7 pre-alecerá dS su+icientemente alta para -alores de * tal que +/L%?F


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Cuadro 4: %esumen de las dependencias con respecto a S: aumentar /T? o,isminuir /?(

I Comentarios 9inales

e-idencia emp&rica sobre las poblaciones de peces pelágicos pequeñoscon+irma la importancia de anali'ar los conte.tos de pesca con S positi-opero lo suNcientemente pequeño( Para estas especies de peces* deberáhacerse especial hincapi$ en los e+ectos del stoc1 relati-amente insensibles*o incluso disminuyendo* el promedio de los costos de la cosecha en unareducción de las e.istencias( =istemáticamente* por lo tanto* hemoscentrado en casos con S positi-o que puede incluso tienden a cero* sujeto aR T S Q 4(


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respuestas de equilibrio estacionario mientras e-ita tambi$n la obtención deresultados cuya lectura intuiti-a puede ser oscurecida por el unenlighteningdetalles t$cnicos(


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Por lo tanto* e.iste ∗. [ 7* 2 tal que g /. ? Q rp( )ntonces* la deNnición de

S R ∗ ∗ c +/. ? f Q p * R


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∗ terminamos esta demostración mostrando la singularidad del estadoestacionario /. * f ?( Consideremos dos estados estables /.4* f4? y /.6* f6?(,esde las +unciones . Z 9/.?FL y f Z R /f? están disminuyendo* tenemoslas siguientes equi-alencias:

9 ? + /.4? .4 Y .6 /.6 Y R /f6? Y R /f4? f4 Y f6(


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Por lo tanto* el teorema de la +unción impl&cita implica la e.istencia de dosasignaciones continuamente di+erenciable de S* simplemente denota aqu&por ./\? y f/\? /la gama establece estas +unciones son obtenidos en laProposición H(4?* satis+actoria /M(4?(

,ado que ./S? y f/S? permanecen en el conjunto compacto C Q .r* 2 k 7*p* con el +in de demostrar las con-ergencias de ./S? y f/S?* sólo tenemosque demostrar que cualquier subsecuencia con-ergente ha .r y p c*respecti-amente* como su l&mite de puntos( )ntonces consideramos quecualquier secuencia S1 con-ergente a cero* cuando 1 Z T* tal que ./.? ZS1 v y f/S1? Z f v para algunos . v y f v en C( ,esde fS Z p c cuando S Z 7/-$ase la Proposición M(4?* podemos asegurar que f v U p c ]gt; 7( 0demás*la primera ecuación en /M(4? nos da la siguiente relación:

S 4S c + /./S? f/S? Q p * 4 S


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que el ,)! J/S? Q 0/S? K/S?FS ]lt; 7* para todos los S [ /7* 4?* donde un/S?y b/S? +ueron descritas en /0(B? y 0(?* respecti-amente( =eñalando que un9/S? Q r /L%? /L%? lim

SZ7 .r .r

9 ? K/S? Q /p c?9 lim

SZ7 /L%? /.r * c

9/.r? concluimos S det J/S? Z /p c?9 /L%? S Z 7( )ste -alor l&mite esnegati-o debido a la conca-idad estricta de 9

c * cuando ( Por lo tanto*

d./S? c9 Q /L%? ]gt; 7( lim

SZ7 dS 9 /.r?/p c?.ranalógicamente* desde el teorema de la +unción impl&cita* el deri-ado de laf/S? puede ser calculado de la siguiente manera df/S? < + /./S? 4 + /./S?? Q n T 4 f/S?+ /./S??./S? dS S det J/S?


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0(I Prueba de la Proposición M(B

la deri-ada parcial de h con respecto a . está dado por

h u 4S /.* u? Q


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9/.r? 0s& pues* la Proposición M(4 implica que Sw Z 9 /L%? ln ?( a econom&a de la producción y el tamaño del stoc1óptimo en una pesquer&a del 0tlántico * 4MI4BM(

Kjorndal* !( /4>?( a gestión óptima de arenque del @ar del 6>(

Kjorndal* !( /4>>?( a producción en una pesquer&a de escolari'ación: elcaso de la pesquer&a de arenque del @ar del IB(

Kjorndal* !( y J( Conrad /4>?( a dinámica de una pesquer&a de accesoabierto( Canadian Journal o+ )conomics 67* MI(

Kjorndal* !( y G( %( @unro /4>>?( a econom&a de la gestión de la pesca: unaencuesta* pp( 4IH4( Cheltenham* A2: )lgar( )n el 0nuario 5nternacionalde )conom&a 0mbiental y de recursos /)ds( !( !ietenberg y #( 9olmer?(

67


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* C( V( Clar1 /4>7?( 0cceso restringido a la propiedad com8n de losrecursos pesqueros: un juego del análisis( )n oretic iu* P( /ed(?*ptimi'ación dinámica y econom&a matemática* 444H6(

Clar1* C( V( /4>6?( PerNles de concentración y la producción y gestión o+@apesca %5(

#eathNeld Vibe* ,( y =( /4>?( Ana introducción a las +unciones deproducción y costos(

@ac@illan* ondres(

#erric1* =( J( ?(

a producción mundial y la econom&a de los pequeños peces pelágicos(Cambridge Ani-ersity Press(

Cap&tulo 44 en el cambio climático y los pequeños peces pelágicos /)ds( ,(Chec1ley* C( %oy* J(

y O( o'e1i 0lheit?(


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#ilborn* %( y C( J( Valters /4>>6?( )-aluación del stoc1 de pesca cuantitati-a:la elección* la dinámica y la incertidumbre( Chapman y #all* ondres(

Jensen* 9( y * M4IM6I(

$onard* ,( O >6?( !eor&a de control óptimo y optimi'aciónestática en eco nomics( Cambridge Ani-ersity Press(

@acCall* 0( /4>B?( a dependencia de la densidad del coeNciente decapturabilidad en Cali+ornia PaciNc =ardina =ardinops saga. caerulea(Cali+ornia Coop( Peces oceánicos( 5n-ertir( %ep 4* 4HB4M(

@acCall* 0( /4>>7?( Geogra+&a dinámica de las poblaciones de pecesmarinos( Ani-ersidad la-ado ton el programa =ea Grant* de =eattle(

psomer* J( ,( y J( Conrad /4>>M?( An análisis de acceso abierto de lapesquer&a de ancho-eta norteña( J( de )conom&a y Gestión 0mbiental 6*64H(

Peña!orres* J( /4>>I* 0gosto?( a sobrepesca con dinámicas optimi'ar elbeneNcio de las empresas( ,ocu mento de trabajo 4HB ,epartamento de)conom&a Ani-ersidad de Chile* M pp(

64

Peña!orres* J( /4>>B?( a sostenibilidad -ersus la pesca colapso: un e.amende las causas y de las recetas de bienestar( )studios de )conom&a 6H/4?* H446(

Peña!orres* J( y @( Kasch /6777?( Cosecha en un pelagicNshery: el caso delnorte de Chile( 0nn( per( %es( >M/4M?* 6>IH67( /


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Pontryagin* ( =(* D( G( Koltyans1ii* %( D( Gam1relid'e y )( 9( @ishchen1o/4>B6?(

a teor&a matemática de los procesos óptimos( !raducido del %uso por 2( ?( Peces cuantitati-a dinámica( .+ordAni-ersity Press*

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Cosecha de Modelos Económicos y Atrapar a La Dependencia de La Biomasa