Licence Sciences de la Matie`reL3 Physique - L3 Mecanique

1 2 0 1 2 3

-1

0

1

2

3

2

3

Supernova Cosmology ProjectPerlmutter et al. (1998)

Best fit age of universe: to = 14.5 1 (0.63/h) Gyr Best fit in flat universe: to = 14.9 1 (0.63/h) Gyr

19 Gyr14.3 Gyr

accelera

ting

decelerat

ing

11.9 Gyr

9.5 Gyr

7.6 Gyr

H0t0 63 km s-1 Mpc-1

=

Cosmologie

Bertrand BercheGroupe M

Laboratoire de Physique des Materiaux

Universite Henri Poincare, Nancy 1

2

Cosmologie i

Cosmologie

Sommaire

Chap. 1 : Definir la cosmologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

Chap. 2 : Bases empiriques de la cosmologie . . . . . . . . . . . . . . 5

Introduction

Isotropie et homogeneite de lUnivers a` grande echelle

Recession des galaxies, hypothe`se de Hubble

Chap. 3 : Cosmologie newtonienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

Principe cosmologique

Loi de Hubble et ballon de baudruche

Dynamique de lUnivers newtonien

Au-dela` des mode`les de poussie`re

Parametrisation en

Histoire de lUnivers

Chap. 4 : Parenthe`se : notions de relativite . . . . . . . . . . . . . . 25

Quadrivecteurs

Tenseurs

Definition des grandeurs physiques et expression covariante des lois physiques

Formulation covariante de lelectromagnetisme

Chap. 5 : Cosmologie relativiste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

Introduction

LUnivers comme un fluide

Principe dequivalence faible et principe dequivalence fort

Le principe de moindre action en relativite generale

Les equations dEinstein

Le mode`le de Friedmann, Robertson et Walker

ii

Parame`tres mesurables.

Chap. 6 : Le mode`le Lambda-CDM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

Les elements essentiels du mode`le CDM

Le role particulier de

Chap. 7 : Les proble`mes cosmologiques . . . . . . . . . . . . . . . 61

La matie`re sombre

Le proble`me de la constante cosmoogique ou de lenergie sombre

Le proble`me de la platitude

Le proble`me de lhorizon

Autres difficultes

Chap. 8 : Linflation cosmologique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

Introduction

Linflaton

La phase de de Sitter

Chap. 9 : Cosmologies alternatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

Motivations

Les ingredients dun mode`le gravitationnel

Theories alternatives de la gravitation

Chap. 10 : Vers la cosmologie quantique . . . . . . . . . . . . . . . . 79

Formulation lagrangienne et hamiltonienne des equations de Friedmann

Quantification canonique des equations de Friedmann et equation de Wheeler-DeWitt

Chap. Elements de bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

Incontournables...

Pour prolonger la reflexion. . .

Des ouvrages accessibles sur la relativite, la gravitation, la cosmologie. . .

Des ouvrages et articles sur la theorie des champs. . .

Des articles pedagogiques sur des sujets ponctuels

Cours en ligne

1Definir la cosmologie

La cosmologie est letude de lUnivers dans son ensemble a` tre`s grande echelle,lorsque la composition et la nature precise du contenu materiel de lUniversimportent peu et que ce contenu peut etre remplace par un milieu continu ayantdes proprietes moyennes.

Plutot que de chercher a` definir davantage ce dont il sagit, je cite ci-dessous deuxouvrages recents, en francais. Tout dabord un extrait des pages dintroduction dulivre de Peter et Uzan (1) qui permet de comprendre les enjeux de la cosmologie etsa place particulie`re parmi les theories physiques :

Malgre ces developpements et labondance des observations, la cosmologie garde(. . . ) un statut different compare aux autres sciences. En effet nous nobservonsquun seul Univers et qui plus est a` partir dune position unique de lespace et dutemps. La plupart des observations sont donc cantonnees a` notre cone de lumie`repasse. La cosmologie ne fait donc pas leconomie dhypothe`ses inverifiablescomme par exemple le Principe Cosmologique qui a des implications fortesconcernant les symetries des espace-temps cosmologiques.La construction dun mode`le cosmologique repose principalement sur troishypothe`ses : (1) le choix dune theorie de la gravitation, (2) des hypothe`ses surla nature de la matie`re presente dans notre Univers et (3) une hypothe`se desymetrie.Il faut souligner que les observations cosmologiques ne peuvent etre interpreteesindependamment de ces hypothe`ses theoriques. Ainsi on ne cherche pas a` prouverla validite dun mode`le, mais a` etablir un accord entre les observations etle cadre theorique dans lequel elles sont interpretees. Ceci nempeche pas lacosmologie dexclure les mode`les dont les predictions sont incompatibles avecles observations, comme dans tout autre domaine de la physique.

(1) P. Peter et J.P. Uzan, Cosmologie primordiale, Belin, Paris 2005.

1

2 Mis a` jour le 6 Novembre 2009

Paru recemment egalement, un ouvrage collectif (2) comprend une contributionde F. Bouchet intitulee Cosmologie dont je recommande vivement la lecture :

La cosmologie a pour objet les proprietes globales de lUnivers. Elle ne sinteressepas aux objets de lUnivers en tant que tels, et cherche a` ne retenir que ce quinappartient a` aucun dentre eux en particulier. Cest une science physique, ausens ou` on utilise la demarche, les methodes et les lois de la physique. Mais lesinvestigations cosmologiques doivent utiliser les methodes de lastronomie, quiest une science naturelle dobservation. Les syste`mes observes sont a` prendrecomme ils sont, sans pouvoir modifier a` volonte leur environnement pouren comprendre les mecanismes et valider les mode`les qui les decrivent. Lavalidation scientifique est donc toujours plus delicate, puisquelle na pas acce`s a`lexperience directe dans des conditions controlees ; dautant plus que dans le casde la cosmologie, nous navons par definition quun seul syste`me, qui de surcrotne peut etre observe que de linterieur !La cosmologie moderne pose les principes suivants :1. Une cosmologie scientifique a un sens. En dautres termes il existe

effectivement des proprietes densemble, a` decouvrir.2. Les lois de la physique sont bien des lois universelles, qui doivent etre valables

en tous temps et en tous lieux.3. LUnivers est globalement identique partout, aucun lieu dobservation nest

privilegie.Tous ces postulats seront juges a` leurs fruits. A commencer par lintelligibilite

de lUnivers en tant que tel. Le deuxie`me principe nous enjoint dappliquer a`distance les lois validees dans notre environnement. La difficulte est que les lois dela physique sont etablies, pour un certain domaine dechelle, de temps, denergie,dacceleration, etc., par des experiences multiples dans ce domaine-la`. Or, lacosmologie contemporaine est precisement une entreprise ou` lon conside`re desconditions jamais rencontrees auparavant et qui risque de requerir une modificationde nos lois communes dans ces conditions extremes. Cest une difficulte, mais cestaussi une chance de forger une meilleure approximation de la realite. Le troisie`meprincipe, connu sous le nom de principe cosmologique, enonce lhomogeneite etlisotropie de lespace. Neanmoins notre environnement immediat est a` levidencetre`s inhomoge`ne. On entend donc par homogeneite de lespace que les proprietesmoyennes dun morceau dUnivers de suffisamment grand volume seront identiquesa` celles de tout autre morceau de lUnivers. Lisotropie est lidentite des proprietesdans toutes les directions autour de lobservateur.

Lobjet de la cosmologie etant defini, il me semble utile de deflorer de`smaintenant le sujet ! Pendant longtemps, la cosmologie a ete un champ scientifiqueessentiellement speculatif, en raison des difficultes inherentes au sujet, notammenten termes dobservations. Depuis une dizaine dannee sest impose un mode`lecosmologique standard. Derrie`re ce terme on entend quun consensus sest degageau sein de la communaute des cosmologistes. Ce consensus est fonde en grandepartie sur les mesures tre`s fines des proprietes du fond de rayonnement cosmologique(notamment ses irregularites) et sur les campagnes dobservations de supernovtre`s lointaines. On a pu en deduire avec une precision remarquable les valeursdes parame`tres cosmologiques qui determinent la composition et la dynamique delUnivers. Le mode`le cosmologique standard est encore appele mode`le CDM - BBNet on precise en general quil est interprete dans le cadre du paradigme de linflation.Ces termes techniques cachent les proprietes essentielles de lUnivers : il est domine

(2) M. Leduc et M. Le Bellac eds., Einstein aujourdhui, CNRS Editions, Paris 2005.

Cosmologie 3

par la constante cosmologique et la matie`re froide (cest-a`-dire non relativiste),mais celle-ci est invisible (cold dark matter), les abondances relatives des elementslegers dans lUnivers sont conformes aux les predictions du Big Bang (Big BangNucleosynthesis) et enfin les theories cadre de linflation apportent des reponsesa` un certain nombre de difficultes fondamentales quon appelle couramment lesproble`mes cosmologiques, le proble`me de lhorizon, le proble`me de lUnivers plat,le proble`me des reliques,. . .

On se propose de donner dans ce cours quelques notions tre`s elementaires decosmologie afin de comprendre en partie le mode`le cosmologique standard. Oncommencera tout dabord par des notions de cosmologie newtonienne, puis onapportera quelques raffinements introduits par la relativite generale. Les lecteursinteresses par davantage de physique sont encourages, ne serait-ce que pour butiner,a` se reporter a` la bibliographie (3) .

(3) Notamment les ouvrages (mentionnes dans la bibliographie) de Kenyon, de Berry, de Liddle ou

de Longair, mais aussi le remarquable Harrisson ou encore a` un niveau plus eleve, Peebles ou Rich.

4 Mis a` jour le 6 Novembre 2009

Cosmologie 5

2

Bases empiriquesde la cosmologie

IntroductionLa cosmologie est letude de lUnivers dans son ensemble. Cest un champ

disciplinaire qui a ete initie par Einstein lorsquil sest penche sur les implicationsde la relativite generale a` tre`s grande echelle. Dautres noms sont associes a` lanaissance de la cosmologie, de Sitter, Friedmann, Lematre, Robertson, Walker,Eddington, Gamow, Hoyle et dautres, mais cest encore Einstein qui a joue unrole precurseur, meme sil a assez rapidement abandonne ce domaine detude. J.P.Luminet resume levolution de la cosmologie de la facon suivante : . . .Friedmannet Lematre sont de plus en plus reconnus comme des novateurs sinscrivant dansla lignee de Ptolemee, Copernic, Kepler, Galilee, Newton et Einstein. (. . . ) Lescontributions respectives des hommes de science ayant participe a` lelaboration dunouveau paradigme cosmologique se clarifient enfin : Einstein a cree la theoriede la relativite generale et ecrit les equations gouvernant les proprietes physico-geometriques de lunivers ; Friedmann a decouvert les solutions non statiques deces equations, decrivant la variation temporelle de lespace, et entrevu son possiblecommencement par une singularite ; Lematre a relie lexpansion theorique delespace au mouvement observe des galaxies, et jete les bases physiques du BingBang ; Hubble, enfin, a demontre la nature extragalactique des nebuleuses spirales etconfirme experimentalement la loi de proportionnalite entre leur vitesse de recessionet leur distance. in A. Friedmann, G. Lematre, Essais de cosmologie, edite par J.P.Luminet, Seuil, Paris 1997.

Le fait que ce soit la relativite generale qui soit pertinente a` lechelle delUnivers provient de ce que la gravitation est la seule interaction effective entreconstituants de lUnivers dans cette limite. Le programme consiste en principe a`extraire des equations dEinstein la geometrie et la dynamique de lUnivers (4) . Il

(4) La discussion qui suit est empruntee a` A.K. Raychaudhuri, S. Banerji and A. Banerjee, General

Relativity, Astrophysics, and Cosmology Springer-Verlag, New-York 1992.

6 Mis a` jour le 6 Novembre 2009

faut pour cela connatre les sources des champs, soit les composantes de T dememe que certaines conditions aux limites. La difficulte reside dans le fait que lonignore a` peu pre`s tout de la distribution de matie`re et denergie, des contrainteset des vitesses dans lUnivers. Il est vrai qua` lepoque actuelle, les observationsastronomiques nous renseignent en partie sur ces distributions, mais elles semblentsi irregulie`res et discontinues a` premie`re vue quune description mathematiquesave`re horriblement compliquee. De plus les observations sont limitees au cone delumie`re, elles sont donc tre`s locales. Deux hypothe`ses peuvent ici etre avancees :celle dun Univers hierarchique (discontinu et imbrique a` toute les echelles (5) ) etcelle dun Univers continu a` des echelles extremement grandes, au-dela` des amaset super-amas galactiques, de lordre de quelques centaines de millions dannees-lumie`re. A cette echelle, la description hydrodynamique prevaut (les galaxiessont lanalogue des molecules dun liquide pour lequel a` une echelle assez grandedevant lechelle moleculaire, une description continue en termes de densite (r), dechamps et dequations differentielles est valide). Cest cette vision hydrodynamiquequi convainct actuellement la communaute.

Le proble`me des conditions aux limites est aussi assez particulier. Enelectromagnetisme en general, on resoud un proble`me en supposant une distributionde charge finie et en imposant aux champs de sannuler a` linfini. Il serait etrangede considerer ici que toute la distribution de matie`re et denergie de lUnivers estconcentree dans notre voisinage et baigne dans un grand vide, ce qui donne auproble`me des conditions aux limites une importance particulie`re.

Isotropie et homogeneite de lUnivers a` grande echelle

En fondant la cosmologie moderne en 1917, Einstein a introduit des hypothe`sesnaturelles, mais assez arbitraires pour resoudre ces difficultes. Labsence deconditions aux limites est compensee en supposant un Univers homoge`ne et isotrope.Lidee dun Univers homoge`ne (cest le principe cosmologique) est guidee par le soucide ne pas etre anthropique en attribuant une place privilegiee a` la Terre. Par ailleurson sait maintenant, notamment grace aux observations fines du fond de rayonnementcosmique que lUnivers est essentiellement isotrope et sil doit etre isotrope partout,il est alors egalement homoge`ne. Einstein a egalement suppose un Univers statique,ce en quoi il avait tort, mais cela la conduit a` introduire la constante cosmologique qui se reve`le maintenant indispensable dans tous les mode`les cosmologiques. Lesanecdotes autour de cette constante sont dailleurs tre`s instructives. Einstein atout dabord introduit la constante cosmologique comme la simplification la plussimple quil puisse faire aux equations de la gravitation (respectant les symetries duproble`me, mais introduisant une nouvelle constante fondamentale de la physique) desorte que lUnivers soit statique. Il a dailleurs combattu les solutions non statiquesde Friedmann. Quelques annees plus tard, les observations, notamment de Hubble,mettaient en evidence levolution de lUnivers (en loccurrence son expansion), ce quia pour un temps laisse penser a` Einstein que la constante cosmologique etait la plus

(5) Les galaxies sont un peu les unites de base, ce sont les plus grandes structures bien comprisesdans lUnivers. Au voisinage de notre galaxie (la voie lactee), une quinzaine dautres galaxies dont

celle dAndrome`de forment le groupe local dans un volume denviron 1 Mpc3. Au-dela` on trouvelamas de la Vierge (Virgo) a` 10 Mpc et dans une echelle de quelques dizaines de Mpc plusieurs amas

forment le superamas local de Virgo. LUnivers se structure en de tels superamas de taille typiquede lordre de 20 Mpc. Ces superamas semblent parfois relies par des ponts de matie`re et entreeux se trouvent dimmenses espaces apparemment vides de matie`re (comme dans la constellation

du Bouvier, a` 150 Mpc, un vide dune trentaine de Mpc). Il semblerait qua` une echelle encore plusgrande un grand mur forme de feuillets se dessine sans quon ait la moindre idee pour le moment

sur son origine. Ces elements sont empruntes a` M. Lachie`ze-Rey.

Cosmologie 7

Figure 2.1 Les echelles de longueur dans la nature, du noyau a` lUnivers. Alechelle de la cosmologie, le syste`me solaire est vu comme le noyau atomique a`notre echelle !

8 Mis a` jour le 6 Novembre 2009

Figure 2.2 Distribution de matie`re visible a` grande echelle dans lUnivers.Lintensite lumineuse en termes de niveaux de gris reve`le la densite de matie`rebaryonique. Certaines grandes structures filamentaires sont encore perceptibles,mais la figure est grossie`rement isotrope.

grosse erreur de sa vie (6) . Cette constante est de nos jours une pie`ce matresse desmode`les devolution de lUnivers, meme si sa determination precise est un proble`meouvert, notamment linterpretation de la valeur mesuree reste problematique et a`lorigine dun spectaculaire desaccord theorie-experience (7) .

Les observations de lUnivers a` des echelles de plusieurs centaines de millionsdannees-lumie`re font etat dune distribution de matie`re et de rayonnementremarquablement isotropes. A des echelles inferieures, lUnivers apparat composede structures complexes, etoiles, galaxies (les galaxies sont separees les unes desautres de 1 Mpc en moyenne, leur densite est de lordre de 2.1024kg.m3), amasde galaxies, super-amas,. . . , mais au-dela`, il semble quune certaine description denature hydrodynamique devienne valide, dans laquelle lUnivers est vu comme unfluide isotrope caracterise par une densite, une pression et une equation detat. Silon admet que la Terre noccupe aucune position privilegiee, lisotropie doit etreadmise pour tout autre observateur, ce qui entrane egalement lhomogeneite delUnivers.

(6) La litterature fait etat du terme anglais blunder, cest-a`-dire bevue, rapporte par G.

Gamow, voir cependant a` ce sujet A. Harvey and E. Schucking, Einsteins mistake and thecosmological constant, Am. J. Phys. 68, 723 (2000) ou A. Pais (Subtle is the Lord...: The

Science and the Life of Albert Einstein, Oxford University Press, New-York 1982) qui cite unelettre dEinstein a` Weyl dans laquelle apre`s avoir pris connaissance des donnees astronomiques enfaveur de lexpansion de lUnivers, il sexprime ainsi If there is no quasi-static world, then away

with the cosmological term!.(7) La constante cosmologique a mis du temps a` simposer. Encore assez recemment, elle nefaisait pas lunanimite ; Feynman en 1963 par exemple ecrivait dans R.P. Feynman, Lectureson gravitation, Penguin Books, 1995, quelle lui semblait inutile et Landau non plus netait pas

favorable a` lintroduction de cette constante cosmologique, pas plus qua` aucune modification dela theorie de la relativite generale quil considerait la plus magnifique des theories physiques

existantes cite par V.L. Ginzburg, Physics Today May 1989, p.54.

Cosmologie 9

Figure 2.3 Le photographie de la zone la plus grande jamais observee. Chacundes 9325 points est une galaxie analogue a` la notre qui contient quelques centainesou milliers de milliards detoiles comme le soleil (tire du serveur sur les puissancesde 10 au CERN, http://microcosm.web.cern.ch/Microcosm/p10/french/

Le rayonnement fossile a` 3 K ou fond de rayonnement cosmique (8) estegalement remarquablement isotrope (les fluctuations relatives sont de lordre de105 seulement), une fois effectuees les corrections Doppler dues a` la vitesse dela Terre, ou celle du satellite dobservation par rapport au referentiel propre duCBR (9) . Cette observation confirme lhypothe`se que la distribution denergie oude matie`re dans lUnivers, quelle que soit sa nature, est isotrope. Il semble memeque les fluctuations observables dans le fond de rayonnement cosmique puissent etrecorrelees aux fluctuations de la distribution de matie`re visible.

(8) On rencontre les acronymes anglais CMB pour Cosmic Microwave Background, CBR pour

Cosmic Backgroung Radiation ou MBR pour Microwave Backgroung Radiation.(9) Le satellite COBE est anime dune vitesse de 8 km.s1 par rapport a` la Terre, le mouvement

saisonnier de la Terre autour du Soleil est de 30 km.s1, le syste`me solaire se deplace a` 220 km.s1

autour de centre galactique, la voie lactee a` 80 km.s1 par rapport au groupe local et le groupe

local de galaxies a une vitesse de 630 km.s1 dans la direction de la constellation Hydra.

10 Mis a` jour le 6 Novembre 2009

Figure 2.4 Distribution essentiellement isotrope du fond de rayonnementcosmique (CMB pour Cosmic Microwave Background ou CBR pour CosmicBackgroung Radiation) dans lUnivers. La figure du dessus provient du satelliteCOBE et celle du dessous, de resolution nettement meilleure, de WMAP.

Recession des galaxies, hypothe`se de HubbleLa mesure du deplacement vers le rouge par effet Doppler de raies caracteristiques

emises par des sources lointaines (galaxies, quasars. . . ) est la preuve dun Universen expansion, et donne un moyen de mesurer la vitesse de recession de cesobjets eloignes. En faisant appel a` des mode`les cosmologiques, on peut tirer desinformations sur la distance de ces sources a` la Terre et meme une estimation delage de lUnivers depuis le Big Bang.

On mesure le deplacement vers le rouge des raies dun spectre connu dont leslongueurs donde propres (mesures et emission effectuees sur Terre) sont 0, et cellesemises par la source et detectees sur Terre, . Cette mesure est caracterisee par leparame`tre

z = 00

. (2.1)

Si la vitesse deloignement de la source par rapport a` la Terre nest pas tropgrande, cz est une bonne approximation de la vitesse de recession radiale |v|. Eneffet au premier ordre en |v|/c,

0(1 + |v|/c), (2.2)

soit 00

= z = |v|/c (10) . On pourrait utiliser ici les expressions exactes de leffetDoppler,

= 0

1 + |v|/c1 |v|/c ,

dou` lon tire

|v| = c (z + 1)2 1

(z + 1)2 + 1.

(10) Sil sagissait dun mouvement de rapprochement, le signe de |v|/c serait oppose.

Cosmologie 11

Figure 2.5 Deplacement des raies spectrales emises par diverses etoiles. On endeduit le decalage spectral z, puis la vitesse deloignement.

Les mesures de distances sont beaucoup plus delicates a` realiser. Les distances lesplus courtes, dans notre voisinage immediat jusqua` quelques centaines de pc, sontobtenues par parallaxe (difference angulaire entre des observations faites a` 6 moisdintervalle). Ensuite il faut faire appel a` des calibrations successives. On identifieun type detoile brillante (en fonction de labondance delements chimiques et desraies spectrales qui les caracterisent) qui sert detalon. Connaissant la distance duntel objet (etoile, puis galaxie) par mesure de parallaxe et mesurant sa luminosite

12 Mis a` jour le 6 Novembre 2009

apparente Lapp. on en deduit sa luminosite absolue L0 = 4d2Lapp. Il faut ensuite

identifier dans des galaxies plus eloignees (puis dans les amas plus lointains) desobjets de meme nature et de la mesure de leur luminosite apparente on deduitleur distance. Ces etalons (candles) sont dabord des etoiles ordinaires (jusqua`0.2 Mpc), puis les Cepheides (jusqua` 2 Mpc), les amas globulaires (jusqua` 50 Mpc)et les galaxies brillantes (jusqua` 1000 Mpc). Il est evident quune telle methode decalibrations successives est tre`s delicate et la precision est incertaine.

Figure 2.6 Les raies spectrales emises par le soleil. Chaque etoile ou galaxie aune signature propre.

Des mesures spectrales faites dans le cas de la galaxie NGC7619 donnentpar exemple z = 0.0126. La valeur approchee de la vitesse radiale |v| donnecz 3779 km.s1 alors que la valeur exacte est 3756 km.s1. Des mesures effectueesindependamment par dautres methodes basees sur la luminosite donnent unedistance de d = 65 Mpc (1Mpc vaut 3.26 a.l. et le terme parsec provient de parallaxsecond) entre la Terre et NGC7619. Partant du mode`le du Big Bang (hypothe`se qua`lorigine, tous les objets cosmiques se trouvaient en un meme point, donc que leursdistances relatives etaient nulles), et admettant que la vitesse de recession radialeest et a toujours ete uniforme, on peut estimer que cette distance est d = |v|t ou`t est une estimation de lage de lUnivers. On obtient ainsi t 16.9 109ans, soitde lordre de grandeur de la dizaine de milliards dannees, proche des estimationscouramment admises actuellement. Notons que selon les mode`les de dynamique delUnivers, lexpression d = |v|t est changee, mais d/|v| donne toujours un ordre degrandeur dimensionne de lage de lUnivers.

Le mode`le du Big Bang a pour origine les nombreuses observations faites parEdwin Hubble (11) a` partir de 1929 : le calcul precedent, repete pour de nombreusessources cosmiques donne toujours, aux erreurs experimentales pre`s, le meme resultat.Une des consequences du mode`le est que plus la source est eloignee, plus sa vitessede recession par rapport a` la Terre est grande, et que la relation entre cette distanced et la vitesse radiale |v| est lineaire :

|v| = Hd. (2.3)(11)En fait la premie`re apparition de la loi de Hubble est due a` Lematre en 1927, mais son article,

publie en francais, est longtemps reste meconnu et sa traduction en anglais par Eddington necomporte pas ce passage ou` la loi de proportionnalite distance-vitesse est etablie. Les donnees

etudiees par Hubble en 1929 provenaient dobservations faites par Slipher.

Cosmologie 13

Le coefficient de proportionnalite H est en fait une fonction du temps, et est appeleconstante de Hubble (12) . La valeur numerique precedente donne H = |v|/d 57.8 km.s1Mpc1, compatible avec la fourchette admise actuellement de

40 < H < 100 km.s1Mpc1. (2.4)

Notons par ailleurs que la Terre ne devant pas occuper de position privilegiee danslespace, on devra sattacher a` retrouver une loi de meme forme en choisissant uneorigine arbitraire.

Figure 2.7 Les donnees analysees par Hubble en 1929 (a` gauche) et celles issuesdobservations actuelles (a` droite).

Les resultats analyses a` lorigine par Hubble etaient relativement peu convain-cants, comme le montre la figure ci-dessus, mais les donnees accumulees depuis sontsans ambiguite. On peut noter a` propos des donnees de 1929 que les distances misesen jeu sont probablement encore assez faibles par rapport aux echelles de longueurtypiques de la cosmologie. La dispersion observee sur la figure historique peut doncprovenir de limprecision des mesures de lepoque, mais aussi simplement du faitquelles mettent encore en jeu des mouvements locaux (13) et pas uniquement lemouvement de recession generale. Les mesures plus recentes en revanche validentsans doute possible la loi de Hubble.

Plutot que le diagramme de Hubble, on reporte maintenant la brillance effectivedun certain type dobjet bien identifie (par exemple les SNIa) en fonction de leurredshift z. La premie`re quantite varie comme linverse de la distance au carre (leflux ou la brillance effective dune classe dobjets de luminosite L vaut L/(4d2) etla seconde est proportionnelle a` la vitesse (v cz).

(12) La denomination de constante de Hubble est justifiee dans le sens ou` la variation dans le temps

est extremement faible aux echelles du syste`me solaire et par ailleurs la valeur est la meme en toutpoint de lespace a` un instant donne. Limage classique du ballon de baudruche donne un sens a` ladependance temporelle.(13) Le groupe local auquel appartient la voie lactee est par exemple anime dune vistesse de

630 km.s1 par rapport au referentiel du rayonnement cosmique.

14 Mis a` jour le 6 Novembre 2009

Figure 2.8 Representation dans un diagramme de Hubble des donnees issues deobservations recentes de supernova de type Ia.

Cosmologie 15

3

Cosmologienewtonienne

Principe cosmologiqueLa cosmologie est letude de lUnivers considere dans son ensemble. Elle est

principalement fondee sur la relativite generale, mais on peut etablir une cosmologienewtonienne qui constitue une premie`re approximation et concide avec les mode`lesrelativistes a` pression nulle. La description de lUnivers ainsi obtenue est convenablepour les 10 a` 15 milliards dannees passees. A mesure que lon remonte dans le passe,il devient necessaire de faire appel a` des theories de haute energie.

Comme on vient de le voir, Hubble a remarque lexistence dune loi lineaire entrele decalage spectral vers le rouge, signe dun mouvement de recession generale desgalaxies et la distance a` la Terre. En 1929, Hubble estimait une valeur de lordrede H 500 km.s1Mpc1, mais on pense maintenant que ce resultat est surestimedun facteur 10 environ (14) . Par ailleurs, le principe cosmologique veut que nousnoccupions pas une place privilegiee dans lUnivers, la loi de Hubble doit donc valoirpour tout observateur. Les principes de base sont les suivants,

- Il existe un temps universel, le temps cosmique, de sorte que letat delUnivers puisse etre decrit en fonction de ce temps de la meme manie`repour tout observateur.

- Les lois de la physique sont les memes partout et tout le temps.- LUnivers a` tre`s grande echelle est homoge`ne et isotrope.

Lhomogeneite nest valable qua` des echelles > 200 Mpc et lisotropie estsuggeree par la grande isotropie du fond de rayonnement cosmique a` 3 K.

Notons que dans son article fondateur de la cosmologie moderne en 1917,Einstein avait egalement introduit lhypothe`se dun Univers statique a` grandeechelle, hypothe`se refutee rapidement, notamment par linterpretation de Hubble.

(14) On rappelle quun parsec vaut 3.085 677 1016m, soit environ 3.261 564 annees-lumie`re.

16 Mis a` jour le 6 Novembre 2009

Loi de Hubble et ballon de baudrucheConformement au principe cosmologique, on cherche un mode`le qui rende compte

de la validite en tout point de la loi de Hubble. Considerons la surface dun ballon debaudruche spherique gonfle, dont le rayon varie au cours du temps et qui representelespace tridimensionnel ordinaire. La surface du ballon (2d et non euclidienne) estplongee dans IR3 (euclidien), mais seules les deux dimensions de la surface du ballonrepresentent lespace tridimensionnel ordinaire. Si C est le centre du ballon, O1, O2et M des points de sa surface, CM = a(t). La distance curviligne (sur la surface)entre O1 et M vaut O1M(t) = a(t)1 = l1(t), soit une vitesse de M par rapport a`O1,

|v1| =dO1M

dt= a(t)1 =

a(t)

a(t)l1

qui nest rien dautre que la loi de Hubble avec

H H(t) = a(t)/a(t). (3.1)Le meme raisonnement exactement sapplique a` un observateur O2 qui conclut a` lameme loi de variation vitesse-distance,

|v2| =dO2M

dt= Hl2.

On constate quil ny a donc pas de centre dans cet espace bidimensionnel, puisquetous les points y jouent le meme role. Le rayon a(t) du ballon (defini en dehors dela surface) joue le role de facteur dechelle. Dans ce mode`le simplifie, v representela vitesse de recession des galaxies. Insistons sur le fait que cet exemple ne fournitquune analogie, censee aider a` se construire une image mentale dun espace enexpansion sans centre, de sorte que lexpansion observee depuis nimporte quel pointsoit la meme.

Notons que la loi de Hubble etablit une propriete du mouvement generalde recession des galaxies, abstraction faite des mouvements particuliers supposesnegligeables de`s lors que lon atteint des distances suffisantes entre les objetsconsideres. On pourrait imaginer qua` la surface de notre ballon de baudruchegonfle rapidement, des fourmis se deplacent a` leur vitesse ordinaire. Cette vitessedue au mouvement particulier deviendrait rapidement negligeable devant la vitessedeloignement relatif des fourmis entre elles de`s lors que la ballon de baudrucheatteindrait une taille suffisante.

On peut egalement eliminer la vitesse pour obtenir levolution des distances danslUnivers au cours du temps :

|v(t)| = H(t)l(t),dl(t) = |v(t)|dt

= H(t)l(t) dt,

l(t) = l(t0) exp

( tt0

H(t) dt

).

Dans la pratique, H ne varie notablement qua` lechelle du temps cosmique et onpeut ecrire pour des differences de temps assez courtes

l(t) = l(t0) eH(tt0)

Cosmologie 17

de sorte quune consequence de la loi de Hubble est laugmentation exponentielledes distances dans lUnivers.

Lobjet de ce cours etant de donner quelques elements lies a` lapproche relativiste,nous ne developperons pas beaucoup la cosmologie newtonienne (15) , bien quecertains resultats puissent etre deduits dune analyse classique plus poussee (16) .

Dynamique de lUnivers newtonien LUnivers de poussie`re. LUnivers newtonien est un Univers de poussie`re, cest-a`-

dire compose de matie`re non relativiste et de pression nulle. Les limites de ce mode`lesont donc au moins clairement liees au fait quil ne prenne pas en compte les effetsde rayonnement et de pression. Considerons un Univers homoge`ne et isotrope (nonnecessairement statique). Chaque observateur voit la meme densite moyenne (t)a` un instant donne. Choisissons lorigine des coordonnees au niveau dune galaxiequelconque autour de laquelle, en vertu du principe cosmologique, la symetrie estspherique. Considerant une particule test de massem, solidaire du fluide cosmique,distante de r de lorigine et supposant quaucune autre force que gravitationnellenagit sur cette masse test, elle est en mouvement inertiel et on peut ecrire dune partlenergie cinetique de la galaxie test 12m|r|2 et dautre part son energie potentiellegravitationnelle (17) due a` la masse M(r) = 43(t)r

3 comprise dans la sphe`re de

rayon r, GMm/r. En ecrivant 12mC lenergie totale constante de la galaxie test,la loi de conservation secrit

1

2|r|2 4G(t)|r|

2

3=

1

2C. (3.2)

On peut noter que la constante C doit etre la meme pour toutes les galaxies enraison de lhypothe`se dhomogeneite de lUnivers. Cette equation, traduite dans uncontexte relativiste, porte le nom dequation de Friedmann. Si lon conside`re le cas

C = 0, on a |r| =

8piG(t)3 |r|, cest-a`-dire la loi de Hubble, puisque

H rr.

La constante de Hubble H est alors donne par la valeur de la densite, appelee densitecritique, crit.(t),

H(t) =

8Gcrit.(t)

3. (3.3)

On note que la constante de Hubble est une fonction du temps.

(15) Sur la pertinence de lapproche newtonienne en cosmologie, on peut se reporter a` C. Callan,R.H. Dicke and P.J.E. Peebles, Cosmology and newtonian mechanics, Am. J. Phys. 33, 105 (1965).(16)On peut consulter Harrisson, Cosmology, 2nd edition, Cambridge University Press, Cambridge2000 par exemple ou bien T.F. Jordan, Cosmology almost without general relativity, sur arXiv,

astrp-ph/0309756.(17) Il y a une difficulte avec les conditions aux limites. Si lUnivers est effectivement infini et

homoge`ne, par symetrie, aucune force ne sexerce sur la galaxie de reference. Passons ce proble`mesous silence et considerons sinon que lUnivers est isotrope, laissant de cote lhomogeneite et le

principe cosmologique.

18 Mis a` jour le 6 Novembre 2009

Une autre manie`re dexprimer ce resultat est de dire que la densite critiqueest celle qui assure une energie totale nulle pour la particule test. Inversant cetterelation, on constate que la densite critique de lUnivers est proportionnelle a` H2,crit.(t) = 3H

2(t)/8G. Dans la theorie relativiste, un Univers denergie totale nullecorrespond a` un Univers plat (minkowskien), initialement etudie par Einstein et deSitter. En mettant un indice 0 aux quantites estimees a` lepoque actuelle, on voit quela densite critique de matie`re necessaire pour avoir un Univers plat est donnee parcrit. = c = 3H

20/8G. Si la densite actuelle 0 depasse la densite critique, lenergie

totale de lUnivers est negative (C < 0) et lUnivers est fini (cest un proble`meanalogue a` celui des etats lies par le champ de gravitation) alors que si 0 < c,lenergie totale est positive et lUnivers est infini (et on obtient lanalogue des etatsde diffusion). Dans les deux cas, la valeur actuelle de la constante de Hubble traduitle fait que lUnivers est actuellement en phase dexpansion. On note que C representedeux fois la valeur de la densite denergie qui doit etre la meme partout en raisonde lhomogeneite.

Ajoutons que si lon differentie la loi de conservation de lenergie, on obtient(avec r = |r|)

r =4

3G((t)

r2

r+ 2(t)r

),

expression qui est compatible avec la relation fondamentale de la dynamique

r = 43G(t)r

a` condition dimposer la relation de continuite

d

dt((t)r3) = (t)r3 + 3(t)r2r = 0.

Cette expression traduit la conservation de la masse contenue dans la sphe`re enexpansion. Elle permet de donner une forme asymptotique simplifiee de levolutiontemporelle de r. Supposons un forme r(t) t, la compatibilite des deux termesdans lexpression de conservation de lenergie, avec la dependance (t) r3 deduitede la loi de conservation, conduit a` une energie cinetique en t2(1) et une energiepotentielle en t3+2. On en deduit (18) = 2/3,

r t2/3.Cette expression est satisfaite par les mode`les dUnivers domines par la matie`re,cest-a`-dire lorsque (t) = M(t) est la densite de matie`re (non relativiste comme onle verra un peu plus loin). La puissance < 1 traduit la deceleration de lexpansionde lUnivers (les courbes r(t) ont une courbure negative).

Notons finalement quil est possible de donner une solution parametrique delequation de conservation de lenergie en posant (dans le cas dune energie totalenegative C < 0)

r() = A(1 cos ),t() = B( sin ).

(18)On peut egalement developper aux temps courts (par exemple dans le cas C > 0), r() 12A2

et t() 16B3 lorsque 0, dou` le resultat annonce. Aux temps longs, on obtient de cette

manie`re une relation lineaire car a` la fois cosh et sinh se comportent en 12e.

Cosmologie 19

En substituant r = dr/ ddt/ d dans la conservation de lenergie maintenant ecrite

sous la forme 12 r2 GM(t)r = 12C, les expressions des constantes A et B en

decoulent. En effet on obtient (19) 12A2

B2 sin2 GM(t)A (1 cos ) = 12C(1 cos )2, et

lidentification des coefficients de 1, de cos et de cos2 conduit a` A = GM(t)/Cet B = GM(t)/|C|3/2.

Figure 3.1 Evolution du facteur dechelle de lUnivers, ici note a(t) pour r(t)dans le texte. Cette figure est extraite avec la legende dorigine, des notes de coursde Nick Kaiser, http://www.ifa.hawaii.edu/~kaiser/lectures/content.html

Pour C > 0, cest-a`-dire dans le cas dun Univers non borne, il faut poserr() = A(cosh 1) et t() = B(sinh ). Les courbes correspondantes sontegalement presentees sur les figures. Notons que bien que r(t) soit monotone etcroissante, r(t) est negative et lexpansion ralentit. Cest une caracteristique de tousles mode`les dUnivers gouvernes par la gravitation seule (20) .

Par ailleurs, on introduit generalement le parame`tre de densite cosmologique

(19) Il faut noter que M(t) est en fait une constante.(20)Notons que lexpansion ralentit, mais la vitesse des objets augmente avec leur distance a` lorigine(loi de Hubble) comme lindique la relation de conservation de lenergie. Le ralentissement signifie

qua` distance donnee, la vitesse diminue au cours du temps.

20 Mis a` jour le 6 Novembre 2009

(t) =(t)

crit.(t)

qui sexprime en fonction de la constante de Hubble au moyen de la loi de

conservation de lenergie (divisee par 43Gr2),

(rr

)2= H2 = C/r2 + 8G/3 =

8Gcrit./3, soit

(t) = crit.(t)3C

8Gr2

= crit.(t)(1 C/H2r2),

(t) = 1 CH2r2

.

Supposons lUnivers lege`rement sous-critique (cest-a`-dire C > 0 ou < crit.,donc < 1, mais dassez peu). Dans ce cas la constante de Hubble est proche de

sa valeur critique et H2r2 8piG3 crit.r2 = 2GM(t)r . On en deduit que le parame`tre dedensite varie dramatiquement en (t) = 1C/H2r2 1 2GCr/M(t), cest-a`-direque rapidement la densite seloigne de la densite critique. De manie`re encore plusexplosive, un Univers initialement lege`rement sur-critique verra son parame`tre dedensite augmenter tre`s rapidement au cours du temps.

Figure 3.2 Meme figure sur une echelle logarithmique.

Je pense quil est utile de mentionner ici une difficulte de representation mentale.Le traitement newtonien que nous venons dutiliser suppose lexpansion depuis

Cosmologie 21

une certaine origine et ce sont essentiellement les conditions initiales qui ontfourni aux galaxies lenergie suffisante pour compenser la gravitation et conduirefinalement a` une loi de Hubble. Il sagit bien dun mode`le dexplosion (dans unespace tridimensionnel) et dans ces conditions, le lieu de lexplosion est privilegie.Il semble difficile dans ce contexte de se faire une representation qui preserve lideede lisotropie de lespace en tout point, cest-a`-dire le principe cosmologique. Unmode`le tel que celui du ballon de baudruche (dans un espace de plongement cettefois) fait appel a` une dynamique de lespace(-temps) lui-meme et sort necessairementdu cadre newtonien.

Au-dela` des mode`les de poussie`re Prise en compte de la pression. Dans un mode`le de poussie`re, la pression est

negligee car la vitesse thermique des galaxies est petite devant c de sorte quev2th. c2. Si les effets de pression doivent etre pris en compte (ce serait lecas pour un gaz dense), on modifie la loi de conservation. En effet, en multipliantddt ((t)r

3) par c2, on fait apparatre la variation denergie totale dans la sphe`re derayon r en admettant lequivalence masse-energie qui sort bien entendu dun cadrenewtonien. Cette variation secrit encore comme le travail de forces de pression exercesur cette sphe`re en supposant que lexpansion de lUnivers est adiabatique (21) . Ona donc

d

dt

(43r3(t)c2

)= p d

dt

(43r3

).

En developpant on obtient lequation de continuite

(t) = 3 rr((t) + p/c2).

On constate quune pression positive provoque une reduction de la masse de la sphe`rede rayon r.

Dynamique dun Univers domine par le rayonnement. En negligeant la matie`renon relativiste, on peut considerer le cas dun Univers ne comportant comme energieque celle associee au rayonnement electromagnetique (ce cas decrit egalement la

matie`re ultra-relativiste pour laquelle E =|p2|c2 +m2c4 |p|c.). Dans ce cas, la

densite denergie est donnee par la loi de Stefan Rc2 = T 4 (lindice R est ici pour

rayonnement ou pour relativiste) et lequation detat du fluide de photons par

p =1

3T 4 =

1

3R(t)c

2.

Lequation de continuite tenant compte de la pression devient

R(t) = 4R(t)r

r

(21)On peut argumenter en notant que dans le cas contraire, il faudrait prendre en compte un termeen T dS non nul, et quun tel terme en vertu du principe cosmologique devrait etre present de la

meme manie`re en tout point de lUnivers, ce qui entrane que la variation dentropie de lUniversest non nulle. Or bien entendu, lUnivers est larchetype du syste`me isole dans la mesure ou` il ny

a pas denvironnement externe a` lUnivers !

22 Mis a` jour le 6 Novembre 2009

dou` lon deduit une variation R(t) r4, differente de M(t) r3 pour la densitede matie`re non relativiste. Dans les deux cas, lexpansion conduit a` une dilution dela densite denergie. Le comportement asymptotique de r(t) se deduit de nouveaude la compatibilite de la conservation de lenergie avec une loi en t qui demandecette fois que les deux termes en t2(1) et t4+2 soient comparables, soit = 1/2et

r t1/2.

Un Univers domine par le rayonnement voit egalement son expansion decelerer, maisla dynamique est differente de celle de lUnivers domine par la matie`re.

Le role de la constante cosmologique. Ce quEinstein a initialement concucomme une difficulte des mode`les cosmologiques est le fait quils soient non statiques(puisquobeissant a` la loi de Hubble). Il a alors introduit comme on la vu laconstante cosmologique. La limite newtonienne des equations dEinstein conduitainsi a` lequation de Poisson modifiee

~2(r) = 4G(r) c2.La contribution (r) de la constante cosmologique au potentiel gravitationnel est

alors solution de 1rd2

dr2 (r(r)) = c2, soit encore

(r) = 1

6c2r2.

Il correspond a` ce potentiel un champ de gravitation repulsif si > 0, G(r) =+ 13c

2r (cest aussi la force par unite de masse). La constante joue ainsi le roledune force source dexpansion qui peut sopposer a` la gravitation et permet derestaurer un Univers statique. En effet, pour une energie totale nulle (Univers plat),la conservation de lenergie devient

1

2|r|2 4G|r|

2

3 1

6c2|r|2 = 0,

de sorte que la constante de Hubble peut etre nulle si lon impose la valeur de ,r/r = H =

8G/3(1 + c2/8G)1/2 = 0.

Parametrisation en Il existe une parametrisation des equations de Friedmann en termes des rapports dedensite a` la densite critique. Considerons de nouveau le cas de lUnivers de poussie`resans constante cosmologique. Lequation de conservation de lenergie a` linstant tsecrit

H2(t) =8G

3(t) +

C

r2(t)

et si on lecrit aujourdhui, avec (t0) = 0 = 0c0 (c0 = c(t0) = 3H20/8G) et en

posant C/r20 = (8G/3)C0c0 (soit C = H20 r

20C0) il vient simplement

H20 = H20 (0 +C0).

Cosmologie 23

Revenant a` lequation a` un instant t quelconque, on exprime alors (t) = (r30/r3)0

et 1/r2 = (r20/r2) 1/r20 pour obtenir lequation de Friedmann sous une forme qui

fait intervenir les parame`tres cosmologiques a` linstant present :

H2(t) = H20

(0

r30r3

+C0r20r2

).

On constate quon a automatiquement la condition 0 +C0 = 1.Ces expressions se generalisent au cas dun Univers comportant egalement du

rayonnement et une constante cosmologique. On definit alors les quantites actuelles

M =8GM (t0)

3H20, R =

8GR(t0)

3H20,

C =C

H20 r20

, =c2

3H20,

et lequation de Friedmann devient

H2(t) = H20

(M

r30r3

+Rr40r4

+Cr20r2

+

).

avec la condition M + R + C + = 1.

Histoire de lUniversLes quelques elements fournis dans les sections precedentes permettent deja` de

discuter en termes simples de lhistoire de lUnivers. Dans le cas C > 0 quinous interesse davantage car on verra que les observations favorisent ce scenariodans le cas de notre Univers, le facteur dechelle r(t) est une fonction monotone,croissante, mais dont la vitesse diminue (on peut definir un parame`tre de decelerationq = rr/r2 (1)/ > 0 si < 1 (22) .). Dans le passe, r(t) etait donc plus petitque sa valeur actuelle. LUnivers actuel est domine par la matie`re, mais lorsquonremonte dans le passe, comme R(t) a decru plus rapidement que M(t), lUnivers aete domine par le rayonnement.

Il y a eu un moment particulier quon appelle decouplage matie`re-rayonnementou recombinaison pour des raisons que nous evoquerons plus tard, ou` les deux formesde densite denergie ont ete du meme ordre (23) . LUnivers a donc ete plus dense, pluschaud, dabord gouverne par une expansion en r t1/2 a` lepoque ou` le rayonnementet les particules relativistes etaient responsables de la dynamique de lUnivers, puispar une expansion un peu plus rapide en r t2/3 apre`s la recombinaison lorsquecest la matie`re non relativiste qui a joue un role dominant pour la dynamique.

Notons que lors de la phase dominee par le rayonnement, la vitesse dexpansiona diverge a` lorigine, puisque r (2t)1/2 lorsque t 0. Cest une difficulte dumode`le newtonien qui prevoit que dans la phase primordiale de lUnivers, la vitesserelative des objets a depasse celle de la lumie`re, en contradiction avec la causalite

(22) Nous verrons cependant que des mesures recentes montrent que q < 0 pour notre Univers.(23) Ici encore en toute rigueur on doit distinguer la recombinaison, cest-a`-dire la disparition des

electrons libres et la formation detats lies avec les noyaux (les atomes !) et le moment de latransition dun Univers domine par la rayonnement a` un Univers domine par la matie`re. Cependant

ces deux phases de lUnivers sont tre`s proches et donc assimilables en premie`re approximation.

24 Mis a` jour le 6 Novembre 2009

relativiste. On est alors amene a` supposer que la validite du mode`le ne setend pas,en remontant le temps, aux instants initiaux. Cette difficulte precise sera levee dansle cadre relativiste car la vitesse en question sera celle de lexpansion du facteurdechelle qui caracterise la dynamique de lespace-temps, mais cela ne permettrapas de communiquer entre differentes regions spatiales a` des vitesses superieures a`c. Notons que cela soule`vera un autre proble`me appele proble`me de lhorizon. Enrevanche on se heurtera toujours a` une impossibilite detendre la theorie a` t 0,mais cette fois pour des raisons dinvalidite des theories quantiques et non pas decausalite.

Figure 3.3 Evolution de lUnivers.

Cosmologie 25

4

Parenthe`se : notionsde relativite

QuadrivecteursLa theorie de la relativite repose sur lexpression dun invariant quadridimensionnel,

ds2 = c2 dt2 dx2 dy2 dz2,

analogue a` lexpression du theore`me de Pythagore qui donne la distance (iciinfinitesimale) entre deux points de lespace euclidien. Les signes qui apparaissenttraduisent la nature un peu differente de lespace-temps de la relativite (on parle demetrique de Minkowski). Pour permettre une generalisation de cet invariant a` desespaces quelconques (ou simplement en restant dans lespace de Minkowski, maisen travaillant avec les coordonnees locales et non plus cartesiennes), on introduitla notion de tenseur ou plus simplement dabord de quadrivecteur contravariant(ou tenseur de rang 1 contravariant). En coordonnees cartesiennes, les composantescontravaraintes du quadrivecteur sont simplement les composantes ordinaires, parexemple dx = (cdt, dx, dy, dz) et le jeu de 4 composantes (24) x, = 0, 1, 2, 3forme un quadrivecteur si ces 4 composantes obeissent par changement de referentielinertiel (25) a` la transformation de Lorentz :

x = x ,

(24) Un indice grec, par exemple, court sur quatre valeurs, de 0 a` 3. La composante 0 est aussiappelee composante temporelle et les trois autres composantes sont les composantes spatiales (onutilise parfois un indice latin, i par exemple, qui court alors de 1 a` 3, ou bien la notation vectorielle).(25)Par defaut, le changement de referentiel inertiel est toujours tel que le referentiel R se deplace

a` la vitesse u = c paralle`lement a` laxe 1 (axe Ox, commun a` Ox) par rapport au referentiel R.

26 Mis a` jour le 6 Novembre 2009

ou` la matrice de transformation de Lorentz est definie par

[ ] =

0 0 0 00 0 1 0

0 0 0 1

.

Il est tre`s important de noter quelques re`gles de lecture de la transformation ci-dessus : Lorsquun meme indice apparat comme cest le cas ici en position hauteet basse (on parle de positions contravariante et covariante), cela signifie quunesomme sur les quatre valeurs permises pour cet indice est sous-entendue. Cest laconvention de sommation des indices muets dEinstein qui alle`ge considerablementlecriture. On dit que lindice est contracte, il a donc explicitement disparu delexpression consideree apre`s sommation. Pour le reste, on doit voir apparatre desdeux cotes de legalite les memes indices non contractes dans les memes positions,contravariantes ou covariantes. Lintroduction de la matrice de transformation est une commodite decriture. Si lon note de manie`re tre`s generale quauquadrivecteur x exprime dans R, il correspond un quadrivecteur x exprime dansR, et que celui-ci est une fonction de x , alors, si la transformation de lun a` lautreest lineaire, le developpement de Taylor de x(x) ne laisse subsister que le termedu premier ordre,

x =x

xx .

Pour que lindice soit en bonne position (covariante), on ecrit aussi

x= ,

ce qui definit la derivee covariante, =(1ct, ~). La justification dun indice en

bas est la suivante : une grandeur scalaire Q fonction des coordonnees despace-temps varie dune quantite Q = Qx x

si les coordonnees varient. Pour assurer

que Q soit un scalaire, il faut contracter lindice et donc le terme Qx

doit avoirun indice covariant, cest-a`-dire secrire comme Q.

Lorigine de la transformation de Lorentz est a` chercher dans la necessite detrouver une loi de transformation des composantes spatio-temporelles qui generalisecelle de Galilee,

ct = ct

x = ct+ xy = y

z = z

devenue inacceptable car elle ne preserve pas la forme des equations de Maxwellet nassure donc pas linvariance des phenome`nes lies a` lelectromagnetisme parchangement de referentiel inertiel. La generalisation cherchee doit etre lineaire afindassurer que si le principe dinertie est satisfait dans un referentiel donne, il le soit

Cosmologie 27

automatiquement dans tout autre referentiel en translation uniforme par rapportau premier. De plus les composantes transverses doivent etre inchangees dans latransformation (26) , on ecrit donc en toute generalite

ct = Dct Exx = Act+Bx

ce qui conduit a` la transformation des vitesses sous la forme v/c = BvAcDcEv .

Appliquee a` lorigine de R (v = 0 et v = u), a` lorigine de R (v = u et v = 0) eta` la lumie`re (v = v = c), on obtient trois contraintes soit,

ct = A(u)(ct x)x = A(u)(ct+ x)

La quatrie`me contrainte est assuree par la condition A(u) = A(u) (le signe de lavitesse est pris en compte dans ), ce qui fait quen combinant cette transformationa` la transformation inverse on obtient(

ct

x

)= A(u)

(1 1

)(ctx

)

= A(u)A(u)(

1 1

)(1 1

)(ct

x

)=

(1 00 1

)(ct

x

),

qui impose A(u) = (1 2)1/2.Ayant maintenant defini un quadrivecteur contravariant comme la donnee

de 4 composantes qui se transforment par changement de referentiel inertielconformement a` la transformation lineaire de Lorentz, on peut construire une normea` ce quadrivecteur, qui save`re invariante par changement de referentiel inertiel, cequi lui confe`re un role privilegie dans la theorie de la relativite. Reprenons le cas delintervalle. On a defini dx = (cdt, dr) et ds2 = (cdt)2 |dr|2. Introduisant lescomposantes covariantes associees a` dx, soit

dx = (cdt,dr),on peut ecrire

ds2 = dx dx = (cdt)2 |dr|2.

On introduit encore le tenseur metrique qui fait passer des composantescontravariantes aux composantes covariantes,

g dx = dx ,

ds2 = g dx dx

[g ] =

1 0 0 00 1 10 0 1 00 0 0 1

(26)On note r les coordonnees transverses a` u. La seule transformation acceptable est de la former= K(u)r avec K(0) = 1 et K(u) = K(u) (ce sont des coordonnees transverses). On a donc

r= K(u)r = K(u)K(u)r

, soit K(u)K(u) = K2(u) = 1, ou en definitive K(u) = 1.

28 Mis a` jour le 6 Novembre 2009

en coordonnees cartesiennes. On joue avec g ou g pour elever ou abaisser des

indices, par exemple pour transformer les composantes covariantes

x =

x =xx

x

avec = gg , ce qui revient a` preserver la composante si lon ele`ve ou lon

abaisse une composante temporelle et a` changer le signe sil sagit dune composantespatiale. Il est clair que toute contraction (norme) dun quadrivecteur, AA

definitun scalaire invariant par transformation de Lorentz.

TenseursOn generalise les notions precedentes a` des objets ayant davantage de composantes.Ainsi par exemple, le jeu de 16 composantes A obeissant par changement dereferentiel inertiel a` la transformation

A

= A

definit un tenseur de rang 2 deux fois contravariant. De manie`re equivalente, letenseur deux fois covariant associe se transforme comme

A =

A

et un tenseur mixte, comme

A

=

A

.

Il est bon de noter que tout objet muni dindices ne forme pas necessairement untenseur. Par exemple caracterise un changement de referentiel, mais pas unequantite physique dans un referentiel donne. De meme, la loi de transformationetant lineaire si un objet na que des composantes nulles dans un referentiel inertiel,il doit en etre de meme dans tous sil sagit dun tenseur.

Definition des grandeurs physiques et expression covariante des loisphysiquesPour definir une quantite physique dans le formalisme tensoriel, il est naturel

de partir dune expression classique, par exemple vectorielle, puis den chercherla generalisation evidente sous forme de quadrivecteur. On peut ensuite ecrireexplicitement les composantes du quadrivecteur pour leur donner un sens. On obtientdu meme coup la loi de transformation des composantes et des invariants (parcontraction) qui peuvent saverer tre`s utiles. Prenons le cas de la vitesse,

v =dr

dt v = dx

d.

Le temps netant plus un invariant, on a choisi de parametrer la trajectoire (on parlede ligne dunivers) par le temps propre, tel quil secoule dans le referentiel proprede lobjet detude, defini par

ds2 = dx dx = c2 d 2, d = dt

1 |v|2/c2

Cosmologie 29

La quadrivitesse v est bien un tenseur de rang 1 car x en est un et est uninvariant. Ses composantes, c dtd et

drd ou encore

v = (c, v), (1 |v|2/c2)1/2

se transforment comme v = v , ce qui conduit notamment a` la loi habituelle

de composition des vitesses qui remplace celle de Galilee. Linvariant associe est

vv =

dxd

dx

d = c2.

On peut maintenant generaliser p = mv pour definir le quadrivecteur energie-impulsion,

p = mv = (mc, mv)

dont la premie`re composante est homoge`ne a` une energie divisee par c, p0 = E/c etde sorte que lon ait dune part la loi de transformation, p = p

et dautre partlinvariant tre`s important (27) ,

pp E2/c2 |p|2 = m2c2.

Cette quantite est utile en particulier dans letude des collisions, ou` la quadri-impulsion totale se conserve.

Exprimees a` laide des tenseurs, les lois physiques prennent une forme ditemanifestement covariante car leur validite est assuree dans tout referentiel inertiel,moyennant les re`gles de transformation des tenseurs. Un exemple est fourni par lageneralisation de la loi fondamentale de la dynamique que lon ecrit

mdv

d=

ou` definit la quadri-force, = ddt (E/c,p), soit 0 = c

dEdt et

~ = dpdt = F.La loi de transformation sensuit egalement, =

.

Formulation covariante de lelectromagnetismeLes lois de lelectromagnetisme prennent egalement une forme plus elegante et

compacte a` laide de la notation tensorielle. Commencons par la loi de conservationde la charge,

div j+

t= 0.

Si elle vaut pour un syste`me donne etudie dans un certain referentiel, on souhaiteevidemment quelle soit vraie aussi pour tout autre observateur. La forme de cetteequation sugge`re lintroduction du quadrivecteur j = (c, j), qui nest rien dautreque la generalisation de j = v de sorte que

j =

1

c

c

t+ div j = 0.

(27) Attention, ici p = mv et non pas mv.

30 Mis a` jour le 6 Novembre 2009

Le fait que cette expression soit une contraction nous assure de sa validite danstous les referentiels inertiels. Cest une expression manifestement covariante. Pourles potentiels on proce`de de manie`re analogue. On sait que les equations de Maxwelldans le vide,

divE = /0

divB = 0

rotE = Bt

rotB = 0j+ 00E

t

et la relation entre champs et potentiels,

E = ~ At

B = rotA.

entranent les equations de propagation des potentiels,

~2A 1c22A

t2= 1

0c2j

~2 1c22

t2= /0.

si lon impose la jauge de Lorenz-Lorentz (28)

divA+1

c2

t= 0.

La forme meme de la jauge de Lorenz sugge`re lintroduction dun quadripotentiel

A = (/c,A)

de sorte quelle apparaisse comme une contraction invariante,

A =

1

c

t

(

c

)+ divA = 0.

Les equations de propagation sobtiennent de meme de manie`re covariante au moyende loperateur dAlembertien,

= (1

c

t, ~)

= (1

c

t,~)

= (

1

c22

t2,~2)

(28) Cette relation, tre`s importante puisquil sagit dune jauge covariante, est due au danoisLudvig Valentin Lorenz, mais elle fut popularisee par un quasi-homonyme, le physicien hollandais

incontournable, Hendrik Antoon Lorentz, auquel lusage en a attribue la paternite.

Cosmologie 31

soit

A = 0j

, 0 = 1/0c2.

On cherche ensuite a` definir un tenseur representant le champ electromagnetique(quon appelle souvent tenseur de Faraday). On sait que A est un 4-vecteur. Parailleurs la relation B = rotA contient des termes de la forme

Bx =Azy

Ayz

qui sugge`rent de definir un tenseur de rang 2 antisymetrique

F = A A.On a trivialement des zeros sur la diagonale, F 00 = F ii = 0 et F = F ou encoreF = F. Les composantes non nulles du tenseur deux fois contravariant (29)sexpriment explicitement en fonction des champs E et B.

F = A A = A

x A

x.

[F ] =

0 Ex/c Ey/c Ez/cEx/c 0 Bz ByEy/c Bz 0 BxEz/c By Bx 0

.

On definit egalement un tenseur champ electromagnetique dual (30) .

(29) Le tenseur deux fois covariant

F = ggF

sen deduit en conservant le signe de F00 = F 00 et des composantes purement spatiales, Fij = Fij

et en changeant le signe des composantes mixtes F0j = F0j :

[F ] =

0 Ex/c Ey/c Ez/cEx/c 0 Bz ByEy/c Bz 0 BxEz/c By Bx 0

.

(30) Celui-ci est forme au moyen du tenseur de Levi-Civita

=

{+1 si , , , = 0, 1, 2, 3 et permutations paires1 si permutations impaires0 si deux indices ou plus sont egaux

En particulier on a = . On definit le tenseur dual F par la contraction

F =1

2F .

32 Mis a` jour le 6 Novembre 2009

Utilisant les re`gles de transformation des tenseurs, on obtient aisement lestransformations des champs electromagnetiques par changement de referentielinertiel. F etant un tenseur de rang deux, deux fois contravariant, il se transformepar definition selon

F

= F

,

et sous forme condensee on ecrit :

E = E,

B = B,

E = u(E + uc B)B = u(B (u/c) E).

En realisant des contractions sur tous les indices, on obtient les invariants duchamp electromagnetique :

12FF = E

2/c2 B2, 14FF = E B/c.

Construisons les contractions du tenseur champ electromagnetique, par exempleF

. Pour = 0, on a

F0 = 0F

00 + 1F10 + 2F

20 + 3F30

= 0 +

x(Ex/c) +

y(Ey/c) +

z(Ez/c)

=1

cdivE =

1

0c2c

= 0j0.

Pour = 1, on a de meme

F1 = 0F

01 + 1F11 + 2F

21 + 3F31

=1

c

t(Ex/c) + 0 +

yBz +

z(By)

= 1c2Ext

+ (rotB)ux

= 0j1,

Ses composantes sobtiennent a` partir de celles de F en changeant E/c en B et B en E/c :

[F ] =

0 Bx By BzBx 0 Ez/c Ey/c

By Ez/c 0 Ex/cBz Ey/c Ex/c 0.

Cosmologie 33

et les deux dernie`res composantes spatiales sen deduisent par permutation. On adonc

F = 0j

, (4.1)

expression qui regroupe les deux equations de Maxwell avec sources,

divE =

0

rotB 1c2E

t= 0j.

(4.2)

Le second couple dequations de Maxwell sobtient plus aisement apre`slintroduction du tenseur champ electromagnetique dual. Examinons la contractionF

. Pour = 0, on a

F0 = 0F

00 + 1F10 + 2F

20 + 3F30

= 0 +Bxx

+Byy

+Bzz

= divB.

Pour = 1, on a de meme

F1 = 0F

01 + 1F11 + 2F

21 + 3F31

=1

c

t(Bx) + 0 +

y(Ez/c) +

z(Ey/c)

= 1c

Bxt

1c(rotE)ux.

On en deduit lexpression unifiee du second couple dequations de Maxwell, lesequations sans second membre,

F = 0. (4.3)

Les equations de Maxwell manifestement covariantes secrivent donc :

F = 0j

,

F = F

+ F + F

= 0.(4.4)

34 Mis a` jour le 6 Novembre 2009

Cosmologie 35

5

Cosmologie relativiste

On se propose de donner dans ce chapitre quelques raffinements introduits par larelativite. Les lecteurs interesses par davantage de physique sont encourages, neserait-ce que pour butiner, a` se reporter a` la bibliographie (31) .

IntroductionLa relativite generale est indispensable a` letablissement dune theorie physique de

lUnivers, appelee la cosmologie ou cosmologie physique. Les aspects cinematiquessont essentiellement decrits par la metrique de Robertson et Walker (32) quant a`la dynamique, elle necessite de resoudre les equations dEinstein et de se doter enplus dune equation detat representant un fluide cosmique. On obtient alors lesequations de Friedmann. LUnivers est toujours traite dans son ensemble a` grandeechelle, comme un milieu continu.

LUnivers comme un fluideOn conside`re comme lors du chapitre precedent lUnivers a` tre`s grande echelle

dans une approximation de type hydrodynamique. Il est alors suppose homoge`ne etisotrope conformement au principe cosmologique, et la distribution de matie`re estassimilee a` un fluide de densite egale a` la densite moyenne de lUnivers. Une galaxieest vue dans cette approche comme un element constituant du fluide cosmiquecomme les molecules le sont pour un liquide ou un gaz ordinaire. Le temps est mesurepar des horloges au repos par rapport a` ce fluide, elles sont supposees synchroniseesen imposant une date donnee lorsque le fluide avait une certaine densite fixee.

(31) Notamment les ouvrages de Kenyon, de Berry ou de Longair, mais aussi le remarquableHarrisson ou encore a` un niveau plus eleve, Peacock, Peebles, Kolb et Turner ou Rich.(32) On obtiendra cette metrique par un raisonnement analogue au proble`me du ballon de

baudruche !

36 Mis a` jour le 6 Novembre 2009

LUnivers ayant des proprietes identiques partout, cette procedure fournit un moyenoperationnel de mesure (et comparaison) du temps, appele temps cosmique.

Principe dequivalence faible et principe dequivalence fortLanalyse des experiences du type de celle de Galilee, puis des experiences plus

recentes dEotvos-Dicke-Bragansky montre que le rapport mi/mg est independantde la nature du materiau considere. On peut alors, grace a` un choix convenabledes unites, postuler legalite de la masse inerte et de la masse gravitationnelle. Cetenonce constitue le principe dequivalence faible dEinstein, que lon peut encoreformuler de la facon suivante :

Le mouvement dun corps depreuve est independant de sa composition.

On peut alors sinterroger sur lexistence dexperiences de mecanique susceptiblesde prouver quun referentiel est anime dun mouvement de chute libre. Imaginonspour cela une capsule en chute libre dans le champ de gravitation terrestre.

g

Figure 5.1 Le champ de gravitation est localement uniforme. Il y a alorsequivalence du point de vue dynamique entre un referentiel immobile dans le champde gravitation g et un referentiel accelere avec une acceleration a = g en labsencede force de gravitation.

Un objet place dans la capsule est soumis a` la meme acceleration que la capsuleelle-meme et, a` condition de ne considerer quune region suffisamment limitee delespace, un observateur dans le referentiel en chute libre pourra conclure quil estau repos dans un referentiel libre de toute force de gravitation. Il faut bien entenduque le champ gravitationnel soit en bonne approximation uniforme dans toute lacapsule afin deliminer les effets de maree (tidal effects)(33) .

(33) voir en particulier P.G. Bergmann, The General theory of Relativity, in Handbuch der Physikvol. IV : Principles of Electrodynamics and Relativity, ed. by S. Flugge (Springer Verlag, Berlin

1962).

Cosmologie 37

Figure 5.2 Une presentation du principe dequivalence (lascenseur dEinstein)qui compare leffet dun champ de gravitation a` celui dune acceleration.

Une formulation plus commune consiste a` dire quun observateur au repos dansun champ de gravitation g ne pourra, par aucune experience de mecanique locale,distinguer leffet de la pesanteur de celui des forces dinertie qui interviendraientdans un referentiel soumis a` lacceleration a = g en labsence de toute force degravitation(34) .

Cet enonce constitue le principe dequivalence faible, connu de Newton. Einsteinla generalise pour y inclure en particulier les lois de lelectromagnetisme, ce quiconduit au principe dequivalence fort :

1 Le resultat de toute experience locale effectuee dans un referentiel en chutelibre est independant de letat de mouvement du referentiel.

2 Les resultats de telles experiences sont les memes dans tous les referentielsen chute libre, en tout lieu et a` tout instant.

3 Les resultats des experiences locales sont compatibles avec la relativiterestreinte.

Alors que la relativite restreinte postulait legalite des resultats dexperiencesde physique realisees dans tout referentiel galileen, le principe dequivalence fortetend cette notion au cas des referentiels en chute libre, et, par extension, au casdes referentiels acceleres, a` condition neanmoins de se limiter a` des experienceslocales. Les deux formulations du principe dequivalence sont illustrees sur la figure

(34) A. Einstein, Principe de relativite et gravitation (1907). op. cit., p 115.

38 Mis a` jour le 6 Novembre 2009

ci-dessus(35) .

Le principe de moindre action en relativite generaleEn gravitation relativiste, lenergie potentielle sera automatiquement incluse dans

les composantes g du tenseur metrique, et letude du mouvement dun corpsdepreuve se reduit a` un proble`me purement geometrique.

Tandis que, chez Newton, les equations des trajectoires doivent etrepostulees a` part, tout a` fait independamment de la structure de lespace, leprincipe geodesique edicte ici, dune manie`re extraordinairement naturelle, queles trajectoires des particules depreuve ne sont rien dautre que les geodesiquesde lespace(). Lespace une fois esquisse, apre`s que les equations de champont ete resolues, les trajectoires sont toutes et totalement definies, contenues,tracees, creusees dans la structure meme de lespace qui va sen trouver precise.(. . .) Qui plus est, le principe geodesique sappuie sur le principe dinertie quilgeneralise. A tel point que lexpression de lun sapplique a` lautre : un corpsabandonne a` lui-meme persiste dans son etat de mouvement. Mais tandis que,pour Galilee, cet etat se reduit au mouvement rectiligne uniforme, il couvredesormais lensemble des mouvements purement gravitationnels possibles. Ainsiles corps sont-ils abandonnes a` eux-memes, liberes de toute contrainte sinonde celle que leur trace lespace lui-meme. Lespace qui nest gue`re plus quelensemble des mouvements possibles(36) .() Il ne sagit ici que des particules depreuve et non pas des trajectoires des corps participantau champ gravitationnel dans lequel ils naviguent.

La generalisation de laction en relativite generale conduit naturellement a` ladefinir par lelement curviligne le long de la courbe geodesique. Celle-ci est bieninvariante par changement arbitraire de syste`me de coordonnees(37) .

S = mc

ds, ds =(g dx

dx)1/2

ds = 0.

(5.1)

On peut alors effectuer le calcul variationnel en conservant le formalisme covariant.On note pour cela

( ds2) = (g dx dx)

= 2ds ( ds)

= dx dxg + 2g dx( dx).

On obtient

( ds) =1

2

dx

dsdx

gx

x + gdx

dsd(x).

(35) figure extraite de M. Boratav et R. Kerner, Relativite (Ellipses), p. 202.(36) J. Eisenstaedt, Trajectoires et Impasses de la Solution de Scwarzschild, Arch. Hist. Exact Sci.

37 (1988) 275, p.283.(37) P.J.E. Peebles, op. cit., p. 245.

Cosmologie 39

On pose x = dx

dset g, =

gx

, ce qui conduit a`

( ds) =

[1

2xxg,x

+ g x d

ds(x)

]ds

dont lintegrale sur la ligne dunivers doit sannuler,

Ligne

ds =

Ligne

[1

2xxg,

]x ds+

Ligne

[g x

d

ds(x)

]ds

[g xx ]LL

dds (g x

)x ds

=

Ligne

[1

2xxg,

d

ds(gx

)

]x ds.

Comme dhabitude, on a annule le terme de bords aux extremites de la lignedunivers. La variation est arbitraire, de sorte que lintegrant doit etre nul, soit

1

2xxg, gx g, xx = 0.

On arrange les termes en multipliant par g et en notant que dans le dernierterme ci-dessus on peut permuter les indices contractes et , soit g, x

x =12(g, x

x + g,xx), dou`

ggx

x

= g[1

2g,

1

2g,

1

2g,

]xx .

En definissant le symbole de Christoffel ou connexion affine (38) (contraction sur ),

=1

2g[g, + g, g,],

on obtient lequation de mouvement

d2x

ds2=

dx

ds

dx

ds.

Si les composantes du tenseur metrique sont connues, lequation du mouvementnous permet en principe de determiner levolution des coordonnees. Le programmecomplet est en fait un peu plus complexe. Nous allons voir que les equationsdEinstein relient le tenseur metrique (sous la forme du tenseur de Ricci R definipar des derivees premie`res et secondes des g) au contenu materiel de lUnivers

(sous la forme du tenseur energie-impulsion T qui depend de la densite, la

(38) Ce nest pas un tenseur car il est identiquement nul dans un referentiel localement inertiel etla loi lineaire de transformation des tenseurs exigerait sinon quil soit identiquement nul dans tout

referentiel.

40 Mis a` jour le 6 Novembre 2009

pression, lequation detat du fluide cosmique). La forme generale de la metrique (deRobertson-Walker) est alors suffisamment contrainte pour quon puisse en deduirela dynamique des parame`tres de cette metrique.

Les equations dEinsteinOn presente dans cette section la forme generale des equations dEinstein. Il ne

sagit pas de demontrer les expressions mises en jeu, mais de pousser encore unpeu le formalisme. Le lecteur interesse pourra consulter nimporte quel ouvrage,notamment celui de Kenyon, particulie`rement agreable (et si jose dire facile) a` lire(chap. 7).

Les equations dEinstein constituent une generalisation de lequation de Poissonpour le potentiel gravitationnel (r),

~2(r) = 4G(r),

defini en fonction de la densite de masse locale (r). Cette equation est analogue a`celle que lon rencontre en electromagnetisme ou` les equations de Maxwell relient letenseur de Faraday F aux sources, les densites de charges et de courant electriquesous la forme F

= 0j ou` j = (c, j). La partie temporelle de cette equation

conduit a` lequation de Poisson une fois utilisee la definition du tenseur de FaradayF = A A et celle du quadri-potentiel A = (/c,A),

~2(r) = 10(r).

Lanalogie avec le potentiel gravitationnel est evidente et il est tentant dechercher une generalisation des equations de Maxwell (on parle dequationsgravitomagnetiques). Il faut pour cela un 4courant gravitationnel j et un tenseuranalogue au tenseur de Faraday, [] qui soient relies par une equation de la forme[] = constj . La densite de masse (r) serait determinee par la composantej0. Nous allons voir que cette definition nest pas possible, car la densite de massena pas les bonnes proprietes. En effet, elle se transforme comme on va le voir un peuplus loin comme la composante dun tenseur de rang 2 et doit donc etre identifiee a` lacomposante 00 dun tenseur plus general. Pour remplacer les equations de Maxwell,il faut donc une equation tensorielle de rang 2, ecrite symboliquement

= .

Le role du potentiel (r) est joue par le tenseur metrique (rappelons par exempledans le cas de la metrique de Schwarzschild que g00 = 1/g11 = 1 + 2/c2) et celuide la densite de masse par le tenseur energie impulsion (39) . Le contenu materiel,par lintermediaire de (r) intervient dans lobjet , et determine de ce fait lesproprietes spatio-temporelles donnees en termes de la metrique g qui intervientdans lobjet .

Lequation dEinstein est donc une equation differentielle pour les composantesdu tenseur metrique, dont les sources sont donnees par le tenseur energie impulsion.

Tenseur de Riemann, tenseur energie impulsion, tenseur dEinstein.- On cherche tout dabord a` caracteriser la courbure dun espace arbitraire

(lespace-temps) au moyen dun tenseur. Rappelons quil est toujours possible de

(39) Dans les ouvrages en anglais on utilise en general le terme de stress energy tensor.

Cosmologie 41

trouver en un point quelconque un referentiel localement tangent qui soit inertiel (lereferentiel en chute libre), cest-a`-dire tel que

g =

gx

= 0.

Ici, est le tenseur metrique de Minkowski = diag(1,1,1,1).Linformation sur la courbure provient donc des derivees dordre superieur du tenseurmetrique. Ce qui distingue notamment un espace courbe dun espace plat, cest quedans le premier, les referentiels localement tangents en x et en x+x diffe`rent, desorte que les variations du tenseur metrique sont du second ordre,

g(x+x) = +1

2g,(x)x

x

g,(x+x) = g,(x)x.

Linformation cherchee reside dans un tenseur de rang 4, le tenseur de RiemannR, defini par les connexions affines

(40) ,

R = , , + .

Dans un referentiel localement inertiel, les connexions affines sont nulles mais pasnecessairement leurs derivees et il vient R =

,,. On definit aussi la

forme totalement covariante R = gR telle que dans un referentiel inertiel

2R = g, g, + g, g,. Notons que le tenseur de Riemannposse`de 256 composantes dont en fait seulement 20 sont independantes en raisondes symetries.

- Energie et impulsion sont deux aspects dun meme objet, la 4-impulsion p telle

que E2 c2|p|2 = m2c4. Voyons maintenant comment construire le tenseur energieimpulsion en generalisant la densite de masse . Considerons un nuage de poussie`re.Dans le referentiel R dans lequel il est au repos, il posse`de une densite denergiec2 = mnc2 = E/V sil est constitue de grains de masses m et de densite n (dansR). Ici V est le volume occupe par le gaz et E son energie. Dans un autre referentielR, on aura une augmentation de lenergie E E = E et une contraction duvolume, V V = 1V a` cause de la transformation des longueurs longitudinales,r r = 1r de sorte que = 2 (41) . Il est donc evident que c2 ne peut(40) On rappelle que =

12g[g, + g, g,].

(41) La relativite prevoit que les objets en mouvement sont contractes dans le sens du mouvement.On a deja` mentionne que les longueurs transverses sont inchangees. Pour ce qui est des longueurslongitudinales (cest-a`-dire paralle`lement a` la vitesse), on obtient la longueur L = x2x1 de lobjet(une re`gle par exemple) par les coordonnees des extremites mesurees dans R (immobile) au memeinstant t. Aux deux evenements (x1, ct) et (x2, ct) dans R correspondent dans un referentiel R

(solidaire de la re`gle, animee par rapport a` R dune vitesse u) les evenements

(x1, ct1) = (x1 ct, ct x1)

(x2, ct2) = (x2 ct, ct x2),

42 Mis a` jour le 6 Novembre 2009

ni etre un scalaire ni une composante de quadrivecteur, mais doit etre la composantedun tenseur de rang 2 (42) . On definit ainsi le tenseur energie impulsion T pourun gaz dilue,

T = vv .

Dans le referentiel R, on a la quantite cherchee T 00 = c2. Si lon prend la pressionen compte, lexpression devient

T = (+ p/c2)vv gp.Une definition qui sapplique a` des syste`mes plus complexes que le nuage de poussie`reconsidere ici est que T represente le flux de la composante du 4-vecteur energieimpulsion p le long de la direction . Il obeit a` une loi de conservation (43) ,

T , = 0.

soit

L0 = x2 x

1 = (x2 x1) = L.

Comme > 1, la longueur L mesuree dans R est plus petite que la longueur propre L0 :

L = L0

1 |u|2u/c2.

On parle de la contraction des longueurs en mouvement. On peut noter egalement que les mesuresde position, simultanees dans R, ne le sont pas dans R. Une autre consequence notoire de latransformation de Lorentz est quune horloge en mouvement retarde (secoule plus lentement) parrapport a` une horloge immobile. Lhorloge est immobile en x dans R et sa periode (le tempsecoule entre deux tics successifs de lhorloge) definit lunite de temps, T0 = t2 t

1. On passe au

referentiel R, qui voit lhorloge se deplacer a` vitesse v,

(x1, ct1) = (x + ct1, ct

1 + x

)

(x2, ct2) = (x + ct2, ct

2 x

),

dou` une periode mesuree dans R qui vaut

T = t2 t1 =

c(ct2 + x

ct1 x) = T0,

soit encore

T =T0

1 |u|2/c2.

On dit quil y a dilatation du temps dans le referentiel propre de lhorloge, ce qui signifie que le temps

secoule plus lentement dans un referentiel en mouvement par rapport a` un autre referentiel.(42)Revenant a` la discussion evoquee plus haut sur la forme des equations dEinstein, cest pour cette

raison que lon ne peut pas construire une theorie de la gravitation calquee sur lelectromagnetisme,car la densite de charge se transformant avec un seul facteur , elle est la composante dun 4-

vecteur, la 4-densite de courant j et le tenseur de Faraday obeit a` F = 0j . Dans unetheorie analogue de la gravitation, le second membre est necessairement un tenseur de rang 2, cequi complique lequation cherchee.(43)En relativite generale, cette loi de conservation est etendue a` un referentiel arbitraire en passant

a` la derivee covariante, T; = 0.

Cosmologie 43

Finalement, on retiendra que T

(i) est un tenseur de rang 2,(ii) sannule en labsence de matie`re,(iii)a toutes ses divergences nulles,(iv)est symetrique.- Einstein a identifie le tenseur energie impulsion comme la source de la courbure

de lespace-temps et a ainsi suggere la forme la plus simple possible de relationentre lenergie T et la courbure G , soit KT = G ou` K est une constantea` determiner pour restaurer la limite newtonienne et G , le tenseur dEinstein,decrit la courbure. G est de rang 2 et de divergence nulle (a` cause de ces memes

proprietes satisfaites par T). Il doit etre construit a` partir du tenseur de Riemann.Celui-ci est de rang 4, il faut donc une double contraction (44) , cest le tenseur deRicci

R = R = g

R .

Le tenseur de Ricci nest pas de divergence nulle, ce que lon retablit par soustraction

G = R 1

2gR,

ou` R = gR est le scalaire de Ricci. Lequation dEinstein peut maintenantsecrire

G =8G

c4T .

Une generalisation apportee par Einstein lors dapplications en cosmologie consisteen lintroduction dune nouvelle constante fondamentale, la constante cosmologique, de sorte que lequation dEinstein devient alors

G g =8G

c4T .

Cette constante a pour effet de produire une courbure de lespace-temps meme enlabsence de toute forme de matie`re ou de radiation (45) . Historiquement elle a permisdobtenir un univers statique en cosmologie, meme si lon sait depuis Hubble que cenest pas le cas pour notre Univers.

Le mode`le de Friedmann, Robertson et WalkerLe mode`le de Robertson et Walker, ou encore de Friedmann, Robertson et

Walker (FRW) donne la forme generale de la metrique, puis etablit les equationsde Friedmann regissant la dynamique de lUnivers par application des equationsdEinstein.

(44) On peut montrer que dautres contractions donnent des resultats equivalents.(45) Cest pour cette raison dailleurs quEddington argumentait sur le role indispensable de laconstante cosmologique. Cest la seule facon, dapre`s lui, dintroduire en physique une longueurintrinse`que, le rayon de courbure de lUnivers dans la limite dun Univers vide, comme c est une

constante fondamentale de la physique, la vitesse de propagation de particules non massives dansle vide. (A. Eddington, The Expanding Universe, Cambridge University Press, Cambridge 1933,

chap. IV.).

44 Mis a` jour le 6 Novembre 2009

La metrique de Robertson et Walker. Cherchons la metrique dun Univershomoge`ne, isotrope, et dont la courbure (qui pourra etre positive, negative ou nulle),K(t) = k/a2(t) est la meme en tout point en vertu du principe cosmologique et nedepend que du temps cosmique t. a(t) est un facteur dechelle qui fixe lamplitudede la courbure et k definit le signe, k = +1, 0 ou 1. La metrique cherchee est apriori de la forme

ds2 = c2 dt2 dl2

ou` dl2 est la metrique tridimensionnelle de lespace ordinaire, eventuellement courbe.Lorsque k est positif, on obtient un espace a` courbure positive et dans ce cas, par

analogie avec la surface de la sphe`re, plongee dans IR3, on introduit une coordonneesupplementaire, w, pour plonger lespace tridimensionnel a` courbure positive dansIR4,

x2 + y2 + z2 r2

+w2 = a2(t).

On a donc r2 + w2 = a2(t), soit (r dr)2 = (w dw)2 a` un instant donne, ou encore

dw2 =r2

a2(t) r2 dr2.

Deux points voisins sont distants de

dl2 = dr2 + r2 d2 + dw2

=a2(t)

a2(t) r2 dr2 + r2 d2 + r2 sin2 d2.

On a bien un espace homoge`ne (la courbure est la meme partout) et isotrope(dependance angulaire de la metrique en r2 d2). On introduit en general unevariable sans dimension = r/a(t), de sorte que

dl2 = a2(t)

(d2

1 2 + 2 d2

).

On en deduit la metrique de Robertson et Walker, introduite independamment parces deux auteurs en 1936, en generalisant a` des courbures eventuellement nulles ounegatives en remplacant a par a/

k et en incorporant la coordonnee temporelle,

ds2 = c2 dt2 a2(t)(

d2

1 k2 + 2 d2

). (5.2)

On en deduit la forme du tenseur metrique, dx = (cdt, d, d, d), etds2 = g dx

dx , soit

[g ] =

1 0 0 00 a2

1k20 0

0 0 a22 00 0 0 a22 sin2

. (5.3)

Cosmologie 45

g et g ne sont plus representes par la meme matrice. En effet, comme dx =g dx

et dx = g dx lintervalle secrit

ds2 = dx dx = gg

dx dx

ds2

,

soit gg = 1 dou` lon deduit

g =1

gG

ou` g est le determinant de g et G la matrice de ses cofacteurs (g etant

symetrique, il nest pas necessaire de transposer la matrice des cofacteurs) (46) .On a donc

[g ] =

1 0 0 00 1k2

a20 0

0 0 1a22 00 0 0 1a22 sin2

.

Referentiel comobile. Les coordonnees intervenant dans la metrique deRobertson-Walker sont x = (ct, , , ) ou` t est le temps cosmique et lacoordonnee spatiale radiale ramenee au facteur dechelle de lUnivers. Tout pointse deplacant dans lUnivers de sorte que ses coordonnees spatiales xi = , , soientconstantes suit une ligne dUnivers particulie`re. En effet on a dans ce cas xi = const.,soit

dxi

ds=

d2xi

ds2= 0,

et comme la metrique est diagonale, les connexions affines

=1

2g[g, + g, g,]

spatio-temporelles deviennent

i00 =1

2gi(20g0 g00)

=1

2gii(20 g0i

0

i g001

) = 0.

On en deduit automatiquement que le point en question obeit a` lequation

d2xi

ds2 0

+ inul si=00

dx

ds

dx

ds nul si 6=00

= 0

(46) On pourrait plus simplement ici utiliser le fait quil sagit de matrices diagonales, les elements

de la matrice produit sont alors les produits des elements diagonaux.

46 Mis a` jour le 6 Novembre 2009

cest-a`-dire (47)

Dpi

Ds= 0. (5.4)

Les coodonnees , , sont appelees coordonnees comobiles et le referentiel danslequel elles restent constantes est le referentiel comobile. Lorigine du referentielcomobile obeit a` lequation de la particule libre dans un referentiel inertiel, lereferentiel comobile est donc un referentiel en chute libre. Par ailleurs, dans cereferentiel la metrique de Robertson-Walker