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cours 23
POLYNÔME DE TAYLOR
Aujourd’hui, nous allons voir
✓ Trouver une approximation d’une
fonction
Les fonctions apparaissent naturellement dans beaucoup de situations où on modélise un phénomène
de la vie.
Les fonctions qui en découlent ne sont pas toujours très simple, ce qui peut rendre l’analyse du phénomène
difficile voir impossible.
Or, rare sont les phénomènes étudiés dont la précision des mesures sont infini.
Ça serait bien si on pouvait trouver une façon de trouver
une fonction simple à partir d’une fonction compliquée
mais que les deux fonctions aient les mêmes valeurs à
une certaine précision près.
On a vu dans le cours de calcul différentiel qu’on peut utiliser la dérivée pour donner une approximation
linéaire d’une fonction.
La droite tangente à une fonction est une approximation raisonnable de la fonction pour les
valeurs de x qui sont près de a.
Naturellement remplacer un fonction par une droite simplifie grandement les calculs.
Or l’approximation est grossière voir inutilisable dès qu’on prend des valeurs trop loin de a.
La droite est un peu trop simple. Quelles sont les fonctions les plus simples d’un point
de vue du calcul différentielle?
Les polynômes!
Une constante
Polynôme de Taylor d’ordre n le reste
Exemple:
Trouver le polynôme de Taylor de la fonction suivante autour de 0
Exemple:
Trouver le polynôme de Taylor de la fonction suivante autour de 1
Exemple:
Trouver le polynôme de Taylor de la fonction suivante autour de 1
Exemple: Trouver le polynôme de degré 5 de la
fonction suivante autour de 0
Faites les exercices suivants
Calculer le polynôme de Taylor de degré 5 autour de 0 des fonctions suivantes
1)
2)
Regardons maintenant le reste.
Pour pouvoir faire ce qu’on a fait jusqu’à présent il fallait
que la fonction ainsi que ses dérivées soient continue sur l’intervalle .
Mais si est continue sur l’intervalle alors elle possède un maximum et un minimum .
Posons et tels que
Mais
Exemple: Quel est notre marge d’erreur si on évalue
à l’aide du polynôme de Taylor de degré 5 autour de 0
Faites les exercices suivants
Évalué
à l’aide du polynôme de Taylor de
autour de
à deux décimales près.
Ça serait bien d’utiliser cette approche pour trouver une approximation de .
Pour ça, il faut trouver une fonction qui vaut lorsqu’évalué en une certaine valeur et dont les
dérivées ce calcul bien.
Développons son polynôme de Taylor autour de 0
Bien que relativement près de
Cette approche n’est pas optimale puisque le reste
Mais
Aujourd’hui, nous avons vu
✓ Polynôme de Taylor
✓ Le reste
✓ Approximation à l’aide du polynôme de
Taylor
Devoir: Feuille # 1 à 5