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Cours de Mathématiques Terminale S
Guillaume Franchi
Table des matières
1 Généralités sur les suites 31.1 Rappels et généralités sur les suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Suites arithmétiques et suites géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.1 Suites arithmétiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2.2 Suites géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 Raisonnement par récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 Fonctions trigonométriques 8
2.1 Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.2 Fonctions sinus et cosinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3 Limites de suites 123.1 Limite infinie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123.2 Limite finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.3 Limites et opérations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.4 Théorèmes de comparaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.5 Convergence monotone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.6 Étude des suites récurrentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4 Limites de fonctions 214.1 Limites à l’infini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214.2 Limites en a ∈ R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244.3 Limites et opérations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274.4 Théorèmes de comparaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284.5 Théorèmes de composition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
5 Continuité et dérivation 315.1 Notion de continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315.2 Théorème des valeurs intermédiaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325.3 Rappels sur la dérivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335.4 Compléments sur la dérivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
6 Nombres complexes 1 396.1 Le corps des nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396.2 Équations du second degré dans C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436.3 Interprétation géométrique des nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
7 Conditionnement et indépendance 507.1 Probabilités conditionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 507.2 Événements indépendants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 517.3 Rappels sur la loi binomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
8 Fonction exponentielle 578.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 578.2 Relations fonctionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 588.3 Étude de la fonction exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 598.4 Équations et inéquations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
9 Géométrie dans l’espace 1 629.1 Positions relatives de droites et de plans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
9.1.1 Positions relatives de deux plans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 629.1.2 Positions relatives de deux droites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 629.1.3 Positions relatives d’une droite et d’un plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 639.1.4 Parallélisme dans l’espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
9.2 Vecteurs dans l’espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 659.3 Caractérisations vectorielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 669.4 Repères de l’espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 679.5 Représentations paramétriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
10 Logarithme népérien 7010.1 Définition de la fonction ln et relations fonctionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7010.2 Propriétés de la fonction ln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
11 Intégration 7511.1 L’intégrale vue comme une aire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
1
11.2 Premières propriétés de l’intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7711.3 Primitive et intégration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
12 Lois à densités 8312.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8312.2 Loi uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
2
CHAPITRE 1
Généralités sur les suites
1.1 Rappels et généralités sur les suites
Une suite est une fonction u : N → R. Pour tout n ∈ N, on note un = u(n) et on dit que un est le n-ièmeterme de la suite (un).
Définition
Exemple :
1) Soit (un) la suite donnée par la formule explicite un = 2n pour tout n ∈ N. On a u3 = 2 × 3 = 6 etu147 = 2 × 147 = 394.
2) Soit (vn) la suite donnée par la formule de récurrence
v0 = 0vn+1 = 3vn − 2 pour tout n ∈ N
On a v1 = 3v0 − 2 = 3 × 0 − 2 = −2, v2 = 3v1 − 2 = 3 × (−2)− 2 = −8.
Remarque : On peut aussi définir des suites comme des fonction d’une partie de N dans R. Par exemple, onpeut considérer la suite (un) définie pour tout n > 2 par un =
√n − 2.
Soit (un) une suite. Étudier la monotonie d’une suite, c’est étudier son sens de variation.
1) Si pour tout n ∈ N, un 6 un+1, on dit que la suite (un) est croissante.
2) Si pour tout n ∈ N, un < un+1, on dit que la suite (un) est strictement croissante.
3) Si pour tout n ∈ N, un > un+1, on dit que la suite (un) est décroissante.
4) Si pour tout n ∈ N, un > un+1, on dit que la suite (un) est strictement décroissante.
5) Si pour tout n ∈ N, un = un+1, on dit que la suite (un) est constante.
Définition
Exemple :
On souhaite étudier la monotonie de la suite (un) donnée par la formule un = 1 +1
n + 1pour tout n ∈ N.
On dispose de deux méthodes :
1) Par implications successives. Pour tout n ∈ N, on sait que n < n + 1 puis n + 1 < n + 2. Or, la fonction
inverse est strictement décroissante sur ]0;+∞[, d’où1
n + 1>
1n + 2
. Ensuite, 1 +1
n + 1> 1 +
1n + 2
et
un > un+1. Donc la suite (un) est strictement décroissante.
2) En étudiant le signe de un+1 − un. Pour tout n ∈ N, on a un+1 − un =1
n + 2− 1
n + 1=
n + 1 − n − 2(n + 1)(n + 2)
=
−1(n + 1)(n + 2)
< 0. Ainsi un+1 − un < 0, c’est à dire un > un+1 et la suite (un) est strictement décrois-
sante.
3
Remarque : On énoncera par la suite des théorèmes pour lesquels il faut bien comprendre la nuance entre« croissance » et « stricte croissance ». Les deux dessins ci-dessous permettent de bien percevoir cette nuancepour les suites.
0
−1
1
2
3
4
5
1 2 3 4 5b
b
b
b
b
b
n
un
suite strictement croissante
0
−1
1
2
3
4
5
1 2 3 4 5
b b
b
b
b b
n
un
suite croissante
En particulier, une suite constante est croissante et décroissante.Toutefois, une suite strictement croissante n’est pas constante...
Soit (un) une suite.
1) On dit que (un) est majorée s’il existe un nombre réel M tel que pour tout n ∈ N, un 6 M.
2) On dit que (un) est minorée s’il existe un nombre réel m tel que pour tout n ∈ N, m 6 un.
3) On dit que (un) est bornée si elle est minorée et majorée
Définition
Exemple : La suite (un) donnée par la formule un = 2+1
n + 1est minorée par 2 et majorée par 3. Elle est donc
bornée.
1
2
3
1 2 3 4 5
b
bb b b b
n
un
1.2 Suites arithmétiques et suites géométriques
Cette section est un rappel de notions vues en classe de première, les démonstrations des différentes pro-priétés n’y sont donc pas proposées.
1.2.1 Suites arithmétiques
Une suite (un) est dite arithmétique s’il existe un nombre réel r tel que pour tout n ∈ N :
un+1 = un + r.
Cette formule est appelée formule de récurrence et r la raison.
Définition
4
Soit (un) une suite arithmétique de raison r.Pour tous n, p ∈ N, on a :
un = up + (n − p)× r.
En particulier, on a la formule explicite :
un = u0 + n × r.
Propriété
Soit (un) une suite arithmétique de raison r.
limn→+∞
un =
+∞ si r > 0−∞ si r < 0
Propriété
Soit (un) une suite arithmétique de raison r.La somme des (n + 1) premiers termes est donnée par :
S =n
∑k=0
uk = u0 + u1 + · · ·+ un =(n + 1)× (u0 + un)
2.
En particulier, la somme des n premiers entiers est donnée par :
S = 1 + 2 + 3 + · · ·+ n =n
∑k=1
k =n(n + 1)
2.
Propriété
1.2.2 Suites géométriques
Une suite (un) est dite géométrique s’il existe un nombre réel q tel que pour tout n ∈ N :
un+1 = un × q.
Cette formule est appelée formule de récurrence et q la raison.
Définition
Pour tous n, p ∈ N, on a :un = qn−p × up.
En particulier, on a la formule explicite :un = qn × u0.
Propriété
limn→+∞
qn =
+∞ si q > 10 si −1 < q < 1
Propriété
5
Soit (un) une suite géométrique de raison q.
⊲ Si q = 1, la suite est constante, et la somme des (n + 1) premiers termes est donnée par :
S =n
∑k=0
uk = u0 + u1 + · · ·+ un = (n + 1)× u0.
⊲ Si q 6= 1, la somme des (n + 1) premiers termes est donnée par :
S =n
∑k=0
uk = u0 + u1 + · · ·+ un = u0 ×1 − qn+1
1 − q.
En particulier,
S =n
∑k=0
qk = q0 + q1 + q2 + · · ·+ qn = 1 + q + q2 + · · ·+ qn =1 − qn+1
1 − q.
Propriété
1.3 Raisonnement par récurrence
Remarque : Pour s’assurer qu’une suite de dominos se renverse, il faut vérifier deux faits :1) le premier domino tombe ;2) si un domino pris au hasard tombe, alors il fait tomber le suivant.
Soient P(n) une propriété qui dépend d’un entier naturel n et n0 un entier naturel. Pour démontrer quepour tout n > n0,P(n) est vraie, il suffit de :
1) vérifier que P(n0) est vraie : cette étape est appelée initialisation de la récurrence ;
2) de montrer que, si pour un entier considéré n > n0, P(n) est vraie (c’est l’hypothèse de récurrencenotée souvent HR), alors P(n + 1) est vraie : cette étape est appelée hérédité de la récurrence.
Axiome (Peano)
Exemple : Montrons par récurrence que pour tout entier naturel n non nul, on a la propriété
P(n) :n
∑k=1
k =n(n + 1)
2.
Initialisation : Comme 1 =1 × 2
2, l’égalité est vraie pour n = 1 d’où P(1) est vraie.
Hérédité : Supposons l’égalité vraie au rang n ∈ N∗ fixé. Montrons qu’elle l’est alors au rang n + 1.On a :
n+1
∑k=1
k =n
∑k=1
k + n + 1
=n(n + 1)
2+ n + 1 d’après l’hypothèse de récurrence
=n(n + 1) + 2n + 2
2=
(n + 1)(n + 2)2
Donc P(n + 1) est vraie.Conclusion : En vertu du principe de récurrence, pour tout entier naturel n non nul, on a l’égalité :
n
∑k=1
k =n(n + 1)
2.
On propose ci-dessous un autre résultat qui se prouve par récurrence dont la démonstration est à connaître.
6
Pour tout nombre réel x > 0, pour tout entier naturel n, on a l’inégalité
(1 + x)n > 1 + nx.
Proposition (Inégalité de BERNOULLI)
Preuve : Soit x > 0. On procède par récurrence sur n.
• Initialisation : Comme (1 + x)0 = 1 > 1 + 0 × x alors l’inégalité est vérifiée au rang 0.
• Hérédité : Supposons l’inégalité vérifiée au rang n ∈ N fixé. Montrons qu’elle l’est alors au rang n + 1.On a :
(1 + x)n+1 = (1 + x)× (1 + x)n
Or, par hypothèse de récurrence :
(1 + x)n > 1 + nx.
Donc :
(1 + x)n+1 > (1 + x)(1+ nx) = 1 + nx + x + nx2 > 1 + (n + 1)x
car le carré d’un nombre réel est positif ou nul.La propriété est donc vérifiée au rang n + 1, ce qui achève la récurrence.
7
CHAPITRE 2
Fonctions trigonométriques
2.1 Rappels
Dans cette section, on munit le plan d’un repère orthonormé (O, I, J)
Soit D une droite numérique graduée dont le zéro coïncide avec le point I, et perpendiculaire à l’axe desabscisses.Soit x un nombre réel sur cette droite. On appelle image de x sur le cercle trigonométrique C le point Mde C sur lequel vient se poser x lorsqu’on « enroule » la droite D sur le cercle C .
D
O
CI
J++
+
+
+
−π
2
π
4
π
2
t
π
Mb
Définition
Exemple :Le périmètre du cercle C étant de 2π, on a :
⊲ 0 et 2π ont pour image le point I.
⊲π
2et
5π
2a pour image le point J.
⊲ π et 3π ont pour image le point (−1; 0).
⊲3π
2a pour image le point (0;−1).
Soient x ∈ R et M le point image de x sur le cercle C .Pour tout k ∈ Z, M est également le point image du réel x + 2kπ.
Propriété
Remarque :Il s’agit en fait d’ajouter ou de retirer k tours du cercle.
8
Soit x ∈ R et M l’image de x sur le cercle trigonométrique. L’abscisse du point M est appelée le cosinusde x noté cos x. L’ordonnée de M est appelée le sinus de x noté sin x.
−1
1
1−1
bI
bJ
b
O
C M
cos x
sin x b
Définition
Pour tout x ∈ R :
⊲ −1 6 cos x 6 1 et −1 6 sin x 6 1 ;
⊲ ∀k ∈ Z, cos x = cos(x + 2kπ) et ∀k ∈ Z, sin x = sin(x + 2kπ) ;
⊲ cos2 x + sin2 x = 1 ;
⊲ cos(−x) = cos x et sin(−x) = − sin(x) ;
⊲ cos(π − x) = − cos x et sin(π − x) = sin x.
Propriété
Quelques valeurs remarquables à retenir.
Réel x 0π
6π
4π
3π
2
Angle α 0˚ 30˚ 45˚ 60˚ 90˚
cos x 1
√3
2
√2
212
0
sin x 012
√2
2
√3
21
Propriété
9
On a représenté ci-dessous le cercle trigonométrique avec toutes les valeurs remarquables à retenir.
−1
1
1−1
bO
bI
bJ
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
π
6
−π
6
5π
6
− 5π
6
π
43π
4
− 3π
4−π
4
π
32π
3
− 2π
3−π
3
12
√2
2
√3
2− 1
2−√
22
−√
32
0π
π
2
−π
2
12
√2
2
√3
2
− 12
−√
22
−√
32
+
Pour tous a, b ∈ R, on a
• cos(a + b) = cos(a) cos(b)− sin(a) sin(b) ;
• cos(a − b) = cos(a) cos(b) + sin(a) sin(b) ;
• sin(a + b) = sin(a) cos(b) + sin(b) cos(a) ;
• sin(a − b) = sin(a) cos(b)− cos(a) sin(b).
Propriété (formules d’addition)
Pour tout a ∈ R, on a
• cos(2a) = cos2(a)− sin2(a) = 2 cos2(a)− 1 = 1 − 2 sin2(a) ;
• sin(2a) = 2 cos(a) sin(a).
Propriété (formules de duplication)
2.2 Fonctions sinus et cosinus
La fonction qui à un réel x associe son cosinus est définie sur R. On la note cos : x 7→ cos x. Sa courbereprésentative est la suivante :
−1
1
π2 π 3π
2 2π−π2−π−3π
2−2π
y = cos(x)
Définition
10
Remarque :
1) Comme pour tout x ∈ R, cos x = cos(−x), on dit que la fonction cosinus est paire. L’axe des ordonnéesest alors axe de symétrie de la courbe représentative de la fonction cosinus.
2) Comme pour tout x ∈ R et tout k ∈ Z, cos x = cos(x + 2kπ), on dit que la fonction cosinus est 2π-périodique. Cela implique que l’allure de la courbe sur l’intervalle [0, 2π[ est la même que sur les inter-valles [2kπ, 2kπ + 2π[.
La fonction qui à un réel x associe son sinus est définie sur R. On la note sin : x 7→ sin x. Sa courbereprésentative est la suivante :
−1
1
π2 π 3π
2 2π−π2−π−3π
2−2π
y = sin(x)
Définition
Remarque :
⊲ Comme pour tout x ∈ R, sin(−x) = − sin(x), on dit que la fonction sinus est impaire. L’origine durepère est alors centre de symétrie de la courbe représentative de la fonction sinus.
⊲ La fonction sinus est aussi 2π-périodique.
11
CHAPITRE 3
Limites de suites
3.1 Limite infinie
Soit (un) une suite de nombres réels.
⊲ On dit que la suite (un) a pour limite +∞ si pour tout réel A > 0, il existe un rang à partir duquelun > A :
∀A > 0, ∃ n0 ∈ N, ∀n > n0, un > A.
⊲ On dit que la suite (un) a pour limite −∞ si pour tout réel A < 0, il existe un rang à partir duquelun 6 A :
∀A < 0, ∃ n0 ∈ N, ∀n > n0, un 6 A.
On écrit alors :
limn→+∞
un = +∞ ou limn→+∞
un = −∞.
Définition
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
5 10 15 20 25 30 35 40 45−5
b b b bbbb b b b
bbb bb b b
bbb b b b
bbb b b b
bbb b b
b bbbb b b b
bbb b b b
bbb b b b
bbb bb b b
bbb b b b
bbb b b b
bbb b b
b bbbb b b b
bbb b b b
bbb b b b
bbb
n
un
limn→+∞
un = +∞
−5
−10
−15
−20
−25
−30
−35
−40
−45
5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
bb b
b
bbbb b
b
bb bbbb
b
b bbbb
b
bbbb b
b
bbbb bb
b
b bbbb
b
b bbb b
b
bbbb b
b
bb bbbb
b
b bbbb
b
bbbb b
b
bbbb b
b
b
b bbbb
b
b bbb b
b
bbbb b
b
bb b
n
un
limn→+∞
un = −∞
Remarque :Dans les deux cas, on dit que la suite (un) est divergente.
Exemple :On considère la suite (un) donnée pour tout n ∈ N par un = n2.Montrons que lim
n→+∞un = +∞.
Soit en effet A > 0. On note n0 le plus petit entier tel que n0 >√
A. Pour tout n > n0, on a donc :
un = n2 > n20 >
√A
2= A.
On en conclut, A étant arbitraire :
∀A > 0, ∃ n0 ∈ N, ∀n > n0, un > A.
12
C’est à dire :
limn→+∞
un = +∞.
Remarque :Plus généralement, pour tout p ∈ N∗, lim
n→+∞np = +∞.
3.2 Limite finie
Soient ℓ ∈ R et (un) une suite.On dit que (un) a pour limite ℓ si tout intervalle ouvert contenant ℓ contient tous les termes de la suite àpartir d’un certain rang.
On dit que la suite (un) tend vers ℓ en +∞ et on écrit limn→+∞
un = ℓ.
Si limn→+∞
un = ℓ, on dit que la suite (un) est convergente. Sinon, on dit qu’elle est divergente.
Définition
Soient ℓ ∈ R et (un) une suite.On a l’équivalence :
limn→+∞
un = ℓ ⇐⇒ ∀ε > 0, ∃ n0 ∈ N, ∀n > n0, un ∈ ]ℓ− ε; ℓ+ ε[
⇐⇒ ∀ε > 0, ∃ n0 ∈ N, ∀n > n0, |un − ℓ| < ε.
Propriété
−0.5
0.5
1.0
1.5
2.0
5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75−5
b b
×
×
×
×
×
×
×
×
×
××
××
××
××
××
××
××
××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××
n
ℓ+ ε
ℓ− ε
Remarque :Pour une illustration du phénomène, cliquer ici (nécessite l’installation du logiciel Geogebra).
Preuve :
• La deuxième équivalence n’est qu’une traduction de la première.
• Montrons la première équivalence par double implication.
"=⇒" : Supposons que limn→+∞
un = ℓ. Tout intervalle ouvert contenant ℓ contient tous les termes de la suite
à partir d’un certain rang.Soit donc ε > 0, l’intervalle ]ℓ− ε; ℓ+ ε[ est un intervalle ouvert contenant ℓ, il existe donc n0 ∈ N
tel que pour tout n > n0, un ∈]ℓ− ε; ℓ+ ε[.
13
"⇐=" : Supposons que :
∀ε > 0, ∃ n0 ∈ N, ∀n > n0, un ∈ ]ℓ− ε; ℓ+ ε[ .
Soit donc un intervalle ouvert I contenant ℓ. Quitte à considérer un intervalle plus petit contenantℓ, on peut supposer I =]a; b[ avec a et b deux réels.On pose ε = min(ℓ− a; ℓ− b) > 0. Alors l’intervalle ]ℓ− ε; ℓ+ ε[ contient tous les termes de la suiteà partir d’un certain rang n0, et est contenu dans I.Donc I contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang. Cela étant vrai pour toutintervalle I, on a bien :
limn→+∞
un = ℓ.
Exemple :
On considère la suite (un) définie pour tout n ∈ N∗ par un =1n
. On a :
limn→+∞
un = 0.
Soit ε > 0, on a1ε> 0 et il existe n0 ∈ N tel que n0 >
1ε
. Alors pour tout n > n0, n >1ε
.
En passant à l’inverse, on obtient pour tout n > n0 :
0 <1n< ε =⇒ 1
n∈]− ε; ε[.
Ceci étant valable pour tout ε > 0, on a bien limn→+∞
1n= 0.
Si une suite de nombres réels est convergente, alors sa limite est unique.
Proposition (Hors programme)
Preuve :Considérons une suite (un) de nombres réels. Par l’absurde, supposons que la suite (un) possède deux
limites distinctes notées ℓ et ℓ′. On a |ℓ− ℓ′| > 0 et on pose ε =|ℓ− ℓ′|
2> 0.
Il existe alors n1 et n2 deux entiers naturels tels que :
∀n > n1, |un − ℓ| < ε et ∀n > n2, |un − ℓ′| < ε.
en particulier, pour n0 = max(n1; n2), on a par l’inégalité triangulaire :
|ℓ− ℓ′| = |ℓ− un0 + un0 − ℓ
′| 6 |ℓ− un0 |+ |un0 − ℓ′| = |un0 − ℓ|+ |un0 − ℓ
′| < 2ε = |ℓ− ℓ′|.
Ce qui est une contradiction. Par conséquent, la suite (un) ne peut pas posséder deux limites distinctes.
14
3.3 Limites et opérations
Comme les définitions précédentes sont un peu lourdes, on dispose du théorème suivant qui va permettrede calculer plus efficacement des limites de suites.
Soient (un), (vn) deux suites et ℓ1, ℓ2 deux nombres réels.
⊲ limite d’une somme
limn→+∞
un ℓ1 ℓ1 ℓ1 +∞ −∞ +∞
limn→+∞
vn ℓ2 +∞ −∞ +∞ −∞ −∞
limn→+∞
un + vn ℓ1 + ℓ2 +∞ −∞ +∞ −∞ FI
⊲ limite d’un produitlim
n→+∞un ℓ1 ℓ1 6= 0 0 ±∞
limn→+∞
vn ℓ2 ±∞ ±∞ ±∞
limn→+∞
unvn ℓ1ℓ2 ±∞ FI ±∞
Le signe de la limite du produit s’obtient en appliquant la règle des signes.
⊲ limite d’un quotient
limn→+∞
un ℓ1 ℓ1 6= 0 ±∞ ℓ1 ±∞ 0
limn→+∞
vn ℓ2 6= 0 0 ℓ2 ±∞ ±∞ 0
limn→+∞
un
vn
ℓ1
ℓ2±∞ ±∞ 0 FI FI
Le signe de la limite du quotient s’obtient en appliquant la règle des signes.
Les deux lettres FI signifient « forme indéterminée ». Cela signifie qu’on ne peut pas conclure sur la limiteà déterminer : il faut étudier plus finement la situation.
Théorème (admis)
Exemple :
• On considère la suite (un) définie pour tout n ∈ N∗ par un = −2 +1n
.
Pour tout n ∈ N∗, un = vn + wn où vn = −2 et wn =1n
.
Comme limn→+∞
vn = −2 et limn→+∞
wn = 0, alors :
limn→+∞
un = −2.
• En utilisant de manière analogue la règle sur les produits :
limn→+∞
23×(
−2 +1n
)
= −43
.
En général, pour lever une forme indéterminée, il suffit de factoriser par le terme de plus haut degré.
Méthode
Exemple :On considère la suite (un) donnée pour tout entier naturel n par un = 2n2 − 6n + 7.On sait que lim
n→+∞2n2 = +∞ et lim
n→+∞−6n + 7 = −∞. Ainsi, d’après le tableau précédent, la limite de (un)
est du type +∞ − ∞ et on ne peut pas conclure.
Mais, on remarque que pour n 6= 0, on a un = n2(
2 − 6n+
7n2
)
.
Or limn→+∞
n2 = +∞ et limn→+∞
2 − 6n+
7n2 = 2.
15
D’où, d’après les règles d’opération sur les limites, limn→+∞
un = +∞.
Exemple :
On considère la suite (vn) donnée pour tout entier naturel n par−3n + 4n2 + 1
.
Le numérateur de cette fraction tend vers −∞ quand n tend vers +∞ et le dénominateur vers +∞ et onaboutit à une forme indéterminée.
On remarque cependant que pour n 6= 0, vn =
n
(
−3 +4n
)
n2(
1 +1n2
) =−3 +
4n
n
(
1 +1n2
) .
Or limn→+∞
−3 +4n= −3, lim
n→+∞1 +
1n2 = 1 et lim
n→+∞n = +∞.
Donc, d’après les règles d’opération sur les limites, il vient limn→+∞
vn = 0.
3.4 Théorèmes de comparaison
Soient (un) et (vn) deux suites telles que :
⊲ un 6 vn à partir d’un certain rang;
⊲ limn→+∞
un = +∞.
Alors limn→+∞
vn = +∞.
Proposition
Preuve :Soit A > 0, il existe n1 ∈ N tel que pour tout n > n1, un > A.D’autre part, il existe n2 ∈ N tel que pour tout n > n2, un 6 vn.On pose n0 = max(n1; n2), alors pour tout n > n0, on a :
A 6 un 6 vn.
On a donc bien limn→+∞
vn = +∞.
Exemple :On considère la suite (un) définie pour tout n ∈ N par un = n2 + cos n.On a pour tout entier naturel n, un > n2 − 1.Comme lim
n→+∞n2 − 1 = +∞, on a :
limn→+∞
un = +∞
Soit q > 1, on a limn→+∞
qn = +∞.
Propriété
Preuve :Puisque q > 1, il existe x > 0 tel que q = 1 + x. Il suffit en effet de choisir x = q − 1.Alors, en appliquant l’inégalité de Bernoulli, on a pour tout n ∈ N :
qn = (1 + x)n > 1 + nx.
Or, limn→+∞
1 + nx = +∞.
Par conséquent, limn→+∞
qn = +∞.
16
Soient ℓ, ℓ′ deux réels, (un) et (vn) deux suites telles que :
⊲ un 6 vn à partir d’un certain rang;
⊲ limn→+∞
un = ℓ ;
⊲ limn→+∞
vn = ℓ′ ;
Alors ℓ 6 ℓ′.
Proposition (admis)
Soient ℓ ∈ R et (un), (vn) et (wn) trois suites telles que :
⊲ un 6 vn 6 wn à partir d’un certain rang;
⊲ limn→+∞
un = limn→+∞
wn = ℓ.
Alors la suite (vn) converge vers ℓ : limn→+∞
vn = ℓ.
Théorème (des gendarmes)
Exemple :
On considère la suite (vn) définie pour tout n ∈ N∗ par vn =cos n
n.
On sait que pour tout n ∈ N∗, −1 6 cos n 6 1.On en déduit que pour tout n ∈ N∗ :
− 1n6 vn 6
1n
.
Or limn→+∞
− 1n= lim
n→+∞
1n= 0.
D’après le théorème des gendarmes, on a donc :
limn→+∞
vn = 0.
−0.2
−0.4
−0.6
−0.8
−1.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
b
bb
b
bb b
bb b
bb b
bb b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b
b
b
bb b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b
b
b
bb b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b
vn
1n
− 1n
17
3.5 Convergence monotone
Soit (un) une suite croissante. Si limn→+∞
un = ℓ, alors :
∀n ∈ N, un 6 ℓ.
Propriété
Preuve :Par l’absurde, supposons qu’il existe n0 ∈ N tel que un0 > ℓ.L’intervalle ouvert ]ℓ− 1; un0 [ contient ℓ, et donc tous les termes de la suite à partir d’un certain rang.Or, par croissance de la suite (un), pour tout n > n0, on a un > un0 , et en particulier un /∈]ℓ− 1; un0 [.Donc, à partir du rang n0, aucun terme de la suite n’est dans cet intervalle, ce qui est une contradiction.On en conclut que :
∀n ∈ N, un 6 ℓ.
• Une suite croissante non majorée a pour limite +∞.
• Une suite décroissante non minorée a pour limite −∞.
Proposition
Preuve :on démontre le premier point, le second se démontre de manière analogue.Soit (un) une suite croissante non majorée.Soit donc un nombre réel A > 0. Comme (un) n’est pas majorée, il existe n0 ∈ N tel que un0 > A.Par croissance de la suite (un), on a :
∀n > n0, un > un0 > A.
Par conséquent :
∀A > 0, ∃ n0 ∈ N, ∀n > n0, un > A.
C’est à dire :
limn→+∞
un = +∞.
• Toute suite croissante et majorée converge.
• Toute suite décroissante et minorée converge.
Ce théorème est admis, car il nécessite des outils n’étant abordés que dans le supérieur.
Théorème (de la convergence monotone)
Remarque :Ce théorème n’est qu’un théorème d’existence : il permet de dire qu’une suite converge, mais ne donne pas
d’indication sur la valeur de la limite.
18
3.6 Étude des suites récurrentes
Il s’agit d’étudier la limite éventuelle d’une suite vérifiant une relation du type : un+1 = f (un) où f estune fonction définie et continue sur un intervalle de R.
1) On vérifie d’abord que la suite est bien définie, c’est à dire que pour tout n ∈ N, un appartient bienau domaine de définition de f .
2) On dresse rapidement un tableau de variations de la fonction f .
3) On montre par récurrence que la suite (un) est bornée et monotone.
4) On conclut à l’aide du théorème de convergence monotone.
5) On détermine la limite ℓ en résolvant l’équation f (ℓ) = ℓ.
Méthode
Remarque :En effet, si lim
n→+∞un = ℓ, alors par continuité de f , lim
n→+∞f (un) = f (ℓ), donc f (ℓ) = ℓ.
Exemple :On considère la suite (un) définie par :
u0 = 6∀n ∈ N, un+1 = 1, 4un − 0, 05u2
n.
Pour tout n ∈ N, on a un+1 = f (un) où f : R −→ R
x 7−→ 1, 4x − 0, 05x2.
1) La fonction f étant définie sur R, la suite est bien définie.
2) La fonction f est dérivable sur R et pour tout x ∈ R, f ′(x) = 1, 4 − 0, 1x. On en déduit :
x
Signe de f ′
Variations de f
−∞ 14 +∞
+ 0 −
−∞−∞
9.89.8
−∞−∞
3) À l’aide du dessin ci-dessous, on conjecture que la suite (un) est croissante et majorée par 8.
1
2
3
4
5
6
7
8
1 2 3 4 5 6 7 8 9
bu0
bu1
bu2
bu3
bu4
y=
x
C f
19
On montre donc par récurrence que :
∀n ∈ N, un 6 un+1 6 8.
⊲ Pour n = 0, on a u1 = f (u0) = f (6) = 1, 4× 6 − 0, 05× 62 = 6, 6, donc :
u0 6 u1 6 8.
L’inégalité est vérifiée.
⊲ Supposons l’inégalité au rang n ∈ N fixé. Montrons qu’elle l’est encore au rang n + 1.On a, par hypothèse de récurrence :
un 6 un+1 6 8
=⇒ f (un) 6 f (un+1) 6 f (8) par croissance de f sur ]− ∞; 8]
=⇒ un+1 6 un+2 6 8 car f (8) = 8.
Ce qui achève la récurrence.
4) La suite (un) est croissante et majorée, donc elle converge. On note ℓ sa limite.
5) On résout l’équation :f (ℓ) = ℓ
⇐⇒ 1, 4ℓ− 0, 05ℓ2 = ℓ
⇐⇒ 0, 4ℓ− 0, 05ℓ2 = 0⇐⇒ ℓ(0, 4 − 0, 05ℓ) = 0
⇐⇒ ℓ = 0 ou ℓ =0, 4
0, 05= 8.
Comme la suite (un) est croissante, on a pour tout n ∈ N, un > u0 = 6, donc ℓ > 6.On en déduit que :
limn→+∞
un = 8.
Remarque :Dans la plupart des exercices du baccalauréat, les consignes guident le candidat vers la réponse, et il n’est
pas nécessaire de faire le dessin.
20
CHAPITRE 4
Limites de fonctions
Dans ce chapitre, la plupart des résultats se démontrent de la même manière qu’avec les suites.
4.1 Limites à l’infini
On considère dans cette section une fonction f définie au moins sur un intervalle de la forme I =]a;+∞[,où a ∈ R.
• On dit que f a pour limite +∞ en +∞ si :
∀A > 0, ∃ x0 ∈ I, ∀x > x0, f (x) > A.
On note alors :lim
x→+∞f (x) = +∞.
• On dit que f a pour limite −∞ en +∞ si :
∀A < 0, ∃ x0 ∈ I, ∀x > x0, f (x) 6 A.
On note alors :lim
x→+∞f (x) = −∞.
Définition
Remarque :Si on considère une fonction définie sur un intervalle de la forme I =]− ∞; a[, où a ∈ R, on peut définir de
manière analogue les limites en −∞ :
limx→−∞
f (x) = +∞ ⇐⇒ ∀A > 0, ∃ x0 ∈ I, ∀x 6 x0, f (x) > A
etlim
x→−∞f (x) = −∞ ⇐⇒ ∀A < 0, ∃ x0 ∈ I, ∀x 6 x0, f (x) 6 A
⊲ Pour tout entier naturel p > 1, limx→+∞
xp = +∞.
⊲ Pour tout entier naturel p > 1 :
limx→−∞
xp =
+∞ si p est pair−∞ si p est impair
⊲ limx→+∞
√x = +∞.
Propriété
21
y = x3
y = x2
y =√
x
Soit ℓ ∈ R.
⊲ On dit que f a pour limite ℓ quand x tend vers +∞ si :
∀ε > 0, ∃ x0 ∈ I, ∀x > x0, f (x) ∈]ℓ− ε; ℓ+ ε[.
On note :lim
x→+∞f (x) = ℓ.
⊲ De la même manière, si f est définie sur un intervalle de la forme ]− ∞; a[, où a ∈ R, on dit que f apour limite ℓ quand x tend vers −∞ si :
∀ε > 0, ∃ x0 ∈ I, ∀x 6 x0, f (x) ∈]ℓ− ε; ℓ+ ε[.
On note :lim
x→−∞f (x) = ℓ.
Définition
Remarque :On a naturellement l’équivalence :
limx→+∞
f (x) = ℓ
⇐⇒ ∀ε > 0, ∃ x0 ∈ I, ∀x > x0, f (x) ∈]ℓ− ε; ℓ+ ε[⇐⇒ ∀ε > 0, ∃ x0 ∈ I, ∀x > x0, | f (x)− ℓ| < ε.
Exemple :On a représenté dans le repère ci-dessous la courbe représentative d’une fonction f définie sur [0;+∞[ :
22
−1
−2
1
2
3
4
5
6
7
8
5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
C f
y = 2
y = 2 + ε
y = 2 − ε
Par lecture graphique, on conjecture :
limx→+∞
f (x) = 2.
Cliquer ici pour l’animation sur Geogebra.
Si limx→+∞
f (x) = ℓ, on dit alors que la droite d’équation y = ℓ est une asymptote horizontale à la courbe
représentant f en +∞.
Définition
Remarque :Sur l’exemple précédent, la droite d’équation y = 2 est une asymptote horizontale à C f en +∞.
On a :
limx→−∞
1x= 0 et lim
x→+∞
1x= 0.
Propriété
23
y =1x
4.2 Limites en a ∈ R
Dans cette section, on considère un nombre a ∈ R et une fonction f définie au moins sur un intervalle I dela forme ]a − η; a[ ou ]a; a + η[, où η > 0.
⊲ On dit que f tend vers +∞ quand x tend vers a si :
∀A > 0, ∃α > 0, ∀x ∈ I, |x − a| < α =⇒ f (x) > A.
On note :limx→ax∈I
f (x) = +∞.
⊲ On dit que f tend vers −∞ quand x tend vers a si :
∀A < 0, ∃α > 0, ∀x ∈ I, |x − a| < α =⇒ f (x) < A.
On note :limx→ax∈I
f (x) = −∞.
Définition
Exemple :
y = A
C f
aa − α a + α
24
limx→ax 6=a
f (x) = +∞.
Remarque :On doit parfois distinguer la limite à gauche et la limite à droite :
2 3 4 5 6 7 8
aC f
On a ici :
limx→ax<a
f (x) = −∞ et limx→ax>a
f (x) = +∞.
On note aussi :
limx→a−
f (x) = −∞ et limx→a+
f (x) = +∞.
On a :
limx→0−
1x= −∞ et lim
x→0+
1x= +∞.
Propriété
Preuve :On traite la limite en 0−, le cas en 0+ se traite de manière analogue.
Soit A < 0, on pose alors α = − 1A
> 0, et pour x ∈]− α; 0[ :
1A
< x < 0
=⇒ 0 > A > x.
A étant arbitraire, on a :
∀A < 0, ∃ α > 0, ∀x ∈]− α; 0[,1x< A.
C’est à dire limx→0−
1x= −∞.
25
−1
−2
−3
1
2
3
4
1 2 3−1−2−3
y =1x
Si limx→a
f (x) = ±∞, on dit que la droite d’équation x = a est une asymptote verticale à la courbe repré-
sentant f .
Définition
On dit que f tend vers ℓ ∈ R lorsque x tend vers a si :
∀ε > 0, ∃ α > 0, ∀x ∈ I, |x − a| < α =⇒ | f (x)− ℓ| < ε.
On note alors :
limx→ax∈I
f (x) = ℓ.
Définition
Exemple :Pour tout réel x, on définit la partie entière de x, notée ⌊x⌋ le plus grand entier inférieur ou égal à x.⌊x⌋ est l’unique entier relatif n vérifiant :
n 6 x < n + 1.
On a tracé une partie de la courbe représentative de la fonction définie sur R par f (x) = ⌊x⌋ ci-dessous :
1
2
3
1 2 3 4
b
b
b
b
b
On a par exemple les limites :
limx→2−
= 1 et limx→2+
= 2.
26
4.3 Limites et opérations
Le tableau dressé avec les limites de suites reste valable pour les fonctions, que la limite soient en ±∞ ouen a ∈ R.
Soient f , g deux fonctions et ℓ1, ℓ2 deux nombres réels.
⊲ limite d’une somme
lim f ℓ1 ℓ1 ℓ1 +∞ −∞ +∞
lim g ℓ2 +∞ −∞ +∞ −∞ −∞
lim f + g ℓ1 + ℓ2 +∞ −∞ +∞ −∞ FI
⊲ limite d’un produitlim f ℓ1 ℓ1 6= 0 0 ±∞
lim g ℓ2 ±∞ ±∞ ±∞
lim f × g ℓ1ℓ2 ±∞ FI ±∞
Le signe de la limite du produit s’obtient en appliquant la règle des signes.
⊲ limite d’un quotient
lim f ℓ1 ℓ1 6= 0 ±∞ ℓ1 ±∞ 0lim g ℓ2 6= 0 0 ℓ2 ±∞ ±∞ 0
limf
g
ℓ1
ℓ2±∞ ±∞ 0 FI FI
Le signe de la limite du quotient s’obtient en appliquant la règle des signes.
Les deux lettres FI signifient « forme indéterminée ». Cela signifie qu’on ne peut pas conclure sur la limiteà déterminer : il faut étudier plus finement la situation. Les formes indéterminées se lèvent de la mêmemanière qu’avec les suites.
Théorème (admis)
Exemple :
• On considère la fonction f définie sur D f =]− ∞; 2[∪]2;+∞[ par :
f (x) =2x + 13x − 6
.
On souhaite étudier les limites de la fonction f aux bornes de son ensemble de définition.Pour tout x ∈ D f \ 0, on a :
f (x) =
x
(
2 +1x
)
x
(
3 − 6x
) =2 +
1x
3 − 6x
.
Comme :
limx→+∞
2 +1x= 2 et lim
x→+∞3 − 6
x= 3
On a par quotient : limx→+∞
f (x) =23
.
De la même manière, on a : limx→−∞
f (x) =23
.
En x = 2, on va devoir séparer en deux cas. D’une part, on a :
limx→2−
2x + 1 = 5 et limx→2−
3x − 6 = 0−.
Par quotient, en appliquant la règle des signes, on a :
limx→2−
f (x) = −∞.
D’autre part :
limx→2+
2x + 1 = 5 et limx→2+
3x − 6 = 0+.
Par quotient, on a :lim
x→2+f (x) = +∞.
27
• On considère la fonction g définie sur R \ −4 par :
g(x) =2x
(x + 4)2 .
On a pour tout x /∈ −4; 0 :
g(x) =2x
x2(
1 +4x
)2 =2
x
(
1 +4x
)2 .
On a :
limx→+∞
(
1 +4x
)2
= 1 et limx→+∞
x = +∞.
Par produit, limx→+∞
x
(
1 +4x
)2
= +∞.
Donc, par quotient : limx→+∞
f (x) = 0.
De la même manière, on a : limx→−∞
f (x) = 0.
En x = −4, on a :lim
x→−4−(x + 4)2 = lim
x→−4+(x + 4)2 = 0+.
Comme limx→−4
2x = −8, on a par quotient :
limx→−4x 6=−4
f (x) = −∞.
4.4 Théorèmes de comparaison
Les propositions et théorèmes de cette section concernent aussi bien les limites en a ∈ R qu’en ±∞.
Soient f et g deux fonctions définies sur un même intervalle ouvert I telles que : ∀x ∈ I, f (x) 6 g(x).
⊲ Si lim f (x) = +∞, alors lim g(x) = +∞ ;
⊲ Si lim g(x) = −∞, alors lim f (x) = −∞.
Proposition
Soient ℓ ∈ R et f , g et h trois fonctions définies sur un même intervalle ouvert I telles que :
∀x ∈ I, f (x) 6 g(x) 6 h(x).
Si lim f (x) = lim h(x) = ℓ, alors lim g(x) = ℓ.
Théorème (des gendarmes)
−0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
1.6
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110
y = h(x)
y = f (x)
y = g(x)
28
4.5 Théorèmes de composition
Soient f : I −→ R et g : J −→ R deux fonctions définies sur des sous-ensembles I et J de R.Si pour tout x ∈ I, f (x) ∈ J, on peut définir la fonction composée g f :
g f : I −→ R
x 7−→ g ( f (x)) .
Définition
Exemple :On pose :
∀x ∈ R, f (x) = x2 + 1 et ∀x > 0, g(x) =√
x.
Comme pour tout réel x, on a f (x) > 0, on peut définir la composée de f par g :
∀x ∈ R, g f (x) = g ( f (x)) =√
x2 + 1.
Soient f et g deux fonctions réelles telles que la composée g f soit bien définie.α, β et γ désignent aussi bien des nombres réels que ±∞.Si lim
x→αf (x) = β et lim
x→βg(x) = γ, alors :
limx→α
g f (x) = γ.
Proposition
Preuve :On traite le cas où α, β et γ sont des nombres réels.Soit ε > 0, puisque lim
x→βg(x) = γ, il existe η1 > 0 tel que :
∀X ∈ J, |X − β| < η1 =⇒ |g(X)− γ| < ε.
Or, comme η1 > 0, et puisque limx→α
f (x) = β, il existe η2 > 0 tel que :
∀x ∈ I, |x − α| < η2 =⇒ | f (x)− β| < η1.
Alors, pour tout x ∈ I tel que |x − α| < η2, on a :
|g ( f (x))− γ| < ε.
On a donc, ε étant arbitraire :
∀ε > 0, ∃ η2 > 0, ∀x ∈ I, |x − α| < η2 =⇒ |g f (x)− γ| < ε.
C’est à dire limx→α
g f (x) = γ.
Exemple :Considérons la fonction f définie pour tout x > 0 par :
f (x) =
√
x +1x
.
On a limx→0+
x +1x= +∞ et lim
X→+∞
√X = +∞.
Donc, par composition :lim
x→0+f (x) = +∞.
29
Soient I un sous-ensemble de R de R et f : I −→ R une fonction.On considère une suite (un) à valeurs dans I telle que lim
n→+∞un = a, où a désigne aussi bien un réel que
±∞.Si lim
x→af (x) = ℓ, alors :
limn→+∞
f (un) = ℓ.
Proposition
Exemple :Considérons la suite (un) définie pour tout n ∈ N∗ par :
un = cos(
1n
)
.
On a :
limn→+∞
1n= 0 et lim
x→0cos x = 1.
Donc, par composition :
limn→+∞
un = 1.
30
CHAPITRE 5
Continuité et dérivation
5.1 Notion de continuité
Soient I un intervalle et a ∈ I. On dit qu’une fonction f : I → R est continue en a si limx→a
f (x) = f (a).
Sinon, on dit que la fonction f est discontinue en a.
Définition
Soient I un intervalle et f : I → R une fonction. On dit que f est continue sur I si f est continue en toutpoint de I.
Définition
Exemple :La fonction partie entière entière, définie sur R, n’est pas continue sur R. En effet, pour tout k ∈ Z,
limx→k−
⌊x⌋ = k et limx→k+
⌊x⌋ = k + 1. Néanmoins, la fonction partie entière est continue sur chacun des intervalles
]k; k + 1[, k ∈ Z.
1
2
3
1 2 3 4
b
b
b
b
b
Exemple : La fonction f : [−1; 2] → R donnée par la formule : ∀x ∈ [−1; 2], f (x) = x3 − x2 est continue sur[−1; 2].
−1
−2
1
2
1 2−1
Remarque : Intuitivement, le graphe d’une fonction continue peut se tracer sans avoir à lever le crayon.
Les propriétés sur les limites nous donnent :
Les fonctions usuelles x 7→ k, x 7→ x, x 7→ x2, x 7→ xn, x 7→ 1x
, x 7→ √x, x 7→ |x| sont continues sur tout
intervalle de leurs ensembles de définition.
Propriété
31
Soient f , g deux fonctions continues définies sur un intervalle I. Alors
1) f + g est continue sur I ;
2) f g est continue sur I ;
3) si de plus g ne s’annule pas sur I,f
gest continue sur I.
Propriété
5.2 Théorème des valeurs intermédiaires
Soient a, b ∈ R tels que a < b et f : [a; b] → R une fonction continue. Pour tout réel k compris entre f (a)et f (b), il existe c ∈ [a; b] tel que f (c) = k.
f (a)
f (b)
a bc
k
C f
Théorème (des valeurs intermédiaires)
Remarque :
1) On peut reformuler le théorème des valeurs intermédiaires de la façon suivante : soient a, b ∈ R tels quea < b et f : [a; b] → R une fonction continue. f prend toutes les valeurs comprises entre f (a) et f (b).
2) Il n’y a pas unicité du nombre c comme le montre l’illustration ci-dessus.
3) Le théorème des valeurs intermédiaires ne permet pas de trouver la valeur d’un tel nombre réel c.
Pour avoir l’unicité dans le théorème des valeurs intermédiaires, il faut ajouter une hypothèse sur la fonc-tion f .
Soient a, b ∈ R tels que a < b et f : [a; b] → R une fonction continue et strictement monotone. Pour toutréel compris entre f (a) et f (b), il existe un unique c ∈ [a; b] tel que f (c) = k.
Corollaire
On a plus généralement la proposition ci-dessous.
Soit f une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle ]a; b[, où a et b désignent aussibien des réels que ±∞.On suppose que f admet des limites en a et b, finies ou infinies.Pour tout réel k compris entre lim
x→af (x) et lim
x→bf (x), il existe un unique c ∈]a; b[ tel que f (c) = k.
Proposition
32
Exemple :
• On donne le tableau de variations d’une fonction f continue définie sur l’intervalle [−1; 2, 5] :
x
variationsde f
−1 0 2 2.5
−3−3
11
−3−3
−2−2
On cherche le nombre de solutions de l’équation f (x) = 0.Comme f est continue et strictement croissante sur [−1; 0], et que f (−1) = −3 et f (0) = 1, d’après lethéorème des valeurs intermédiaires, il existe une unique solution x1 à l’équation f (x) = 0 sur l’intervalle[−1; 0].De même, f est continue et strictement décroissante sur [0; 2], et f (0) = 1 et f (2) = −3. D’après lethéorème des valeurs intermédiaires, il existe une unique solution x2 à l’équation f (x) = 0 sur l’intervalle[0; 2].Finalement, l’équation f (x) = 0 possède exactement 2 solutions sur l’intervalle [−1; 2, 5].
x
variationsde f
−1 0 2 2.5
−3−3
11
−3−3
−2−2
x1
0
x2
0
• La fonction f définie sur R par f (x) = −x3 − 3x − 1 est continue et strictement décroissante sur R.De plus, on a lim
x→−∞f (x) = +∞ et lim
x→+∞f (x) = −∞.
L’équation f (x) = 0 possède donc une unique solution x0 sur R.
x
f (x)
−∞ +∞
+∞+∞
−∞−∞
x0
0
5.3 Rappels sur la dérivation
Soient I un intervalle, a ∈ I et f : I → R une fonction. On dit que f est dérivable en a si la limite :
limx→ax 6=a
f (x)− f (a)
x − a
existe et est finie.Dans ce cas, on note cette limite f ′(a) et on l’appelle le nombre dérivé de f en a.Si f est dérivable en chaque point de I, on dit que f est dérivable sur I.Si f est dérivable sur I, la fonction
f : I → R
x 7→ f ′(x)
est la fonction dérivée de f .
Définition
33
Remarque :Si cette limite existe, c’est la même que :
limh→0h 6=0
f (a + h)− f (a)
h.
Application :Un nombre dérivé peut parfois être utile pour lever certaines indéterminations. Considérons par exemple
la limite :
limx→9x 6=9
√x − 3
x − 9
qui conduit à une forme indéterminée du type «00
».
En posant pour tout x > 0, f (x) =√
x, la limite devient :
limx→9x 6=9
f (x)− f (9)x − 9
= f ′(9) =1
2√
9=
16
.
En effet, pour tout x > 0, la fonction f est dérivable en x de nombre dérivé1
2√
x.
Soient I un intervalle, a ∈ I et f : I → R une fonction dérivable en a. L’équation de la tangente la courbeC f en a est y = f ′(a)(x − a) + f (a).
Proposition
Exemple :
On considère la fonction f définie sur R par f (x) =23
x3 − x2 + x + 2.
On cherche l’équation de la tangente à la courbe représentant f en x = 2.f est dérivable sur R et : ∀x ∈ R, f ′(x) = 2x2 − 2x + 1.En particulier f (2) = 2 × 22 − 2 × 2 + 1 = 5. Alors la tangente à la courbe représentative de f en 2 a pour
équation :y = f ′(2)(x − 2) + f (2)
⇐⇒ y = 5(x − 2) +163
⇐⇒ y = 5x − 143
Remarque :f ′(a) est le coefficient directeur de la tangente de la courbe C f en a.
Dire que le rapportf (x)− f (a)
x − atend vers f ′(a) quand x tend vers a, c’est dire que lorsque le point M(x; f (x))
tend vers le point A(a; f (a)), la pente de la droite (AM) tend vers « une position limite » : celle de la pente dela tangente Ta à la courbe C f en a.
×A
×M
x
××
×
a
Ta
34
Soient I un intervalle, a ∈ I et f : I → R une fonction. Si f est dérivable en a alors f est continue en a.
Proposition
Preuve :On remarque que pour tout x ∈ I, x 6= a, on a :
f (x) = f (x)− f (a) + f (a) =f (x)− f (a)
x − a(x − a) + f (a).
Ainsi :
limx→a
f (x) = limx→a
f (x)− f (a)
x − a(x − a) + f (a) = f ′(a)× 0 + f (a) = f (a).
f est donc continue en a.
Remarque :Attention, la réciproque est fausse ! Par exemple la fonction définie sur R donnée par la formule f (x) = |x|
est continue sur R. Mais, on a :
limx→0−
f (x)− f (0)x − 0
= limx→0−
−x
x= lim
x→0−−1 = −1
et d’autre part :
limx→0+
f (x)− f (0)x − 0
= limx→0+
x
x= lim
x→0+1 = 1.
Donc f n’est pas dérivable en 0.
On a le tableau :
f (x) f ′(x) f est dérivable surk 0 R
x 1 R
ax + b a R
xn, n ∈ N∗ nxn−1 R
1x
− 1x2 R
∗
1xn
= x−n, n ∈ N∗ −nx−n−1 R∗
√x
12√
xR∗
+
cos x − sin x R
sin x cos x R
Proposition (Dérivées des fonctions usuelles)
Exemple :La limite qui suit peut-être considérée comme une « référence » :
limx→0x 6=0
sin x
x.
Pour tout x 6= 0, on a :
sin x
x=
sin x − sin 0x − 0
.
Lorsque x tend vers 0, cette quantité tend en fait vers (sin)′(0) = cos 0 = 1.On a donc :
limx→0x 6=0
sin x
x= 1.
35
Soient u, v deux fonctions dérivables sur un intervalle I. Alors
1) u + v est dérivable sur I et pour tout x ∈ I, x, (u + v)′(x) = u′(x) + v′(x) ;
2) uv est dérivable sur I et pour tout x ∈ I, (uv)′(x) = u′(x)v(x) + u(x)v′(x) ;
3) si de plus v ne s’annule pas sur I,u
vest dérivable sur I et pour tout x ∈ I,
(u
v
)′(x) =
u′(x)v(x)− u(x)v′(x)
[v(x)]2.
Proposition (Dérivées et opérations)
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I.
1) f est croissante sur I si, et seulement si ∀x ∈ I, f ′(x) > 0.
2) f est décroissante sur I si, et seulement si ∀x ∈ I, f ′(x) 6 0.
3) f est constante sur I si, et seulement si ∀x ∈ I, f ′(x) = 0.
Théorème (Dérivée et sens de variation)
Remarque :Si pour tout x ∈ I, f ′(x) > 0, f est strictement croissante sur I. La réciproque est fausse. Par exemple, la
fonction cube est strictement croissante sur R, mais sa dérivée s’annule en 0.
Exemple :
• Soit f la fonction définie sur [0; 10] par f (x) =4x − 12x + 1
.
On calcule : f ′(x) =4(2x + 1)− 2(4x − 1)
(2x + 1)2 =6
(2x + 1)2 .
Un carré étant toujours positif, on a pour tout x ∈ [0; 10], f ′(x) > 0, donc :
x
f ′(x)
f (x)
0 10
+
−1−1
39213921
• Soit f la fonction définie sur R par : f (x) = x3 − 0, 5x2 − 2x + 1.On calcule :
f ′(x) = 3x2 − x − 2.
On cherche alors f ′(x) > 0, pour cela on cherche les racines du trinôme.On a ∆ = (−1)2 − 4 × 3 × (−2) = 25 = 52.Les racines sont donc :
x1 =1 − 52 × 3
= −23
et x2 =1 + 5
6= 1.
De plus, le trinôme est de signe négatif entre les racines, et de signe positif à l’extérieur des racines, cequi nous donne :
x
f ′(x)
variationsde f
−∞ −23
1 +∞
+ 0 − 0 +
−∞−∞
49274927
−12
−12
+∞+∞
36
Remarque :Dans un tableau de variations, les limites ainsi que les extrema locaux sont à calculer.
5.4 Compléments sur la dérivation
Soient f : I −→ R une fonction définie sur un intervalle I et a ∈ I.Si f est dérivable en a, il existe alors une fonction ε définie sur I, continue en a telle que :
∀x ∈ I, f (x) = f (a) + f ′(a)× (x − a) + (x − a)ε(x) et ε(a) = 0.
Lemme (Hors programme)
Preuve :Supposons la fonction f dérivable en a, on pose pour tout x ∈ I :
ε(x) =
f (x)− f (a)
x − a− f ′(a) si x 6= a
0 si x = a
La fonction f est bien continue en a car limx→ax 6=a
f (x)− f (a)
x − a− f ′(a) = 0.
Pour tout x 6= a, on a alors :
f (a) + f ′(a)(x − a) + (x − a)ε(x) = f (a) + f ′(a)(x − a) + f (x)− f (a)− (x − a) f ′(a) = f (x).
La formule étant vérifiée pour x = a, on a bien :
∀x ∈ I, f (x) = f (a) + f ′(a)× (x − a) + (x − a)ε(x).
Soient I, J deux intervalles de R et u : I −→ J, v : J −→ R deux fonctions dérivables.Alors v u est dérivable sur I et :
∀x ∈ I, (v u)′(x) = u′(x)× v′(u(x)).
Proposition (Hors programme)
Preuve :Soit a ∈ I, on utilise deux fois le lemme précédent.Il existe tout d’abord, comme u est dérivable en a, une fonction ε1 : I −→ R continue en a telle que ε1(a) = 0
et :∀x ∈ I, u(x) = u(a) + u′(a)(x − a) + (x − a)ε1(x).
Il existe également, v étant dérivable en u(a), une fonction ε2 : J −→ R continue en u(a) telle que ε2(u(a)) =0 et :
∀y ∈ J, v(y) = v(u(a)) + v′(u(a))(y − u(a)) + (y − u(a))ε2(y).
En particulier, pour tout x ∈ I (en posant y = u(x)) :
v(u(x)) = v(u(a)) + v′(u(a))[
u′(a)(x − a) + (x − a)ε1(x)]
+[
u′(a)(x − a) + (x − a)ε1(x)]
ε2(u(x)).
Donc :
v(u(x))− v(u(a)) = v′(u(a))[
u′(a)(x − a) + (x − a)ε1(x)]
+[
u′(a)(x − a) + (x − a)ε1(x)]
ε2(u(x))
et en factorisant par (x − a) :
v(u(x))− v(u(a)) = (x − a)×[
v′(u(a))× u′(a) + v′(u(a))× ε1(x) + u′(a)ε2(u(x)) + ε1(x)× ε2(u(x))]
.
D’où :
v(u(x))− v(u(a))
x − a= v′(u(a))× u′(a) + v′(u(a))× ε1(x) + u′(a)ε2(u(x)) + ε1(x)× ε2(u(x)).
37
u étant continue en a, car elle y est dérivable, on a limx→a
ε2(u(x)) = ε2(u(a)) = 0.
Par suite :
limx→ax 6=a
v(u(x))− v(u(a))
x − a= u′(a)× v′(u(a)).
a étant arbitraire, on a bien le résultat souhaité.
On déduit de la proposition précédente :
Soit I un intervalle.
1) Soient u : I → R une fonction dérivable sur I et n ∈ N∗. Alors un est dérivable sur I et pour tout
x ∈ I, (un)′(x) = n × u′(x)× u(x)n−1.
2) Soit u : I → R une fonction dérivable et strictement positive sur I. Alors la fonction√
u est déri-vable sur I et
(
√
u(x)
)′=
u′(x)
2√
u(x).
3) Soit f : R → R une fonction dérivable. Alors la fonction x 7→ f (ax + b) est dérivable sur R et pourtout x ∈ R,
( f (ax + b))′ = a f ′(ax + b).
Corollaire (Formules AU PROGRAMME)
Exemple :
• On considère la fonction f définie sur R par :
f (x) = (x − 2)√
x2 + 1.
f est de la forme u × v avec u(x) = x − 2 et v(x) =√
x2 + 1.u est dérivable sur R et : ∀x ∈ R, u′(x) = 1.D’autre part, v est de la forme
√w avec : ∀x ∈ R, w(x) = x2 + 1.
Comme f est dérivable sur R et strictement positive, v est dérivable sur R avec :
v′(x) =w′(x)
2√
w(x)=
2x
2√
x2 + 1.
On en déduit que f est dérivable sur R avec pour tout x ∈ R :
f ′(x) = 1 ×√
x2 + 1 + (x − 2)× 2x
2√
x2 + 1
=√
x2 + 1 +x(x − 2)√
x2 + 1
=x2 + 1 + x2 − 2x√
x2 + 1
=2x2 − 2x + 1√
x2 + 1
• On considère la fonction g définie sur R \ −1 par :
g(x) =
(
2x − 3x + 1
)3
.
On pose pour tout x 6= −1, u(x) =2x − 3x + 1
. La fonction u est dérivable sur R \ −1 et :
∀x 6= −1, u′(x) =2(x + 1)− (2x − 3)
(x + 1)2 =5
(x + 1)2 .
La fonction g est donc dérivable sur R \ −1 et pour tout x 6= −1 :
g′(x) = 3 × 5(x + 1)2 ×
(
2x − 3x + 1
)2
= 15 × (2x − 3)2
(x + 1)4
38
CHAPITRE 6
Nombres complexes 1
6.1 Le corps des nombres complexes
Il existe un ensemble, noté C, et contenant R tel que :
⊲ C possède un élément i vérifiant i2 = −1 ;
⊲ Tout élément z de C s’écrit de manière unique sous la forme : z = a + ib où a et b sont des nombresréels.
Cette écriture est appelée forme algébrique de z.a est appelée partie réelle de z, notée aussi Re(z).b est appelée partie imaginaire de z, notée aussi Im(z).Les éléments de C sont appelés nombres complexes.
Définition
Remarque :
• C contient bien les nombres réels, car tout réel x peut s’écrire : x + i · 0.
• Si Re(z) = 0, on dit que z est un imaginaire pur.
Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si ils ont même partie réelle et même partie imagi-naire.C’est à dire que pour tous complexes z = a + ib et z′ = c + id, on a :
z = z′ ⇐⇒ a = c et b = d.
Propriété
Les règles d’addition et de multiplication connues pour R s’étendent à C.Soient z = a + ib et z′ = c + id deux nombres complexes.
i) z + z′ = (a + c) + i(b + d)
ii) zz′ = (ac − bd) + i(ad + bc)
Propriété
Preuve :
i) est évident.
ii) On calcule :zz′ = (a + ib)(c + id)
= ac + iad + ibc + i2bd= ac + i(ad + bc) + (−1) · bd= (ac − bd) + i(ad + bc)
d’où le résultat.
39
Exemple :On calcule :
• (1 + 3i) + (−3 + 2i) = (1 − 3) + (3 + 2)i = −2 + 5i
• 2 − 4i − (−1 − 5i) = 2 + 1 − 4i + 5i = 3 + 1
• (4 + i)(−5 + 3i) = −20 + 12i − 5i + 3i2 = −20 + 7i − 3 = −23 + 7i
Remarque :Les identités remarquables restent en particulier vraies dans C, mais il faut faire attention à i2 = −1.
Soit z = a + ib ∈ C.
i) z possède un opposé dans C :−z = −a − ib.
ii) Si z est non nul, (i.e. (a; b) 6= (0; 0)), z possède un inverse dans C , c’est à dire un élément z′ ∈ C telque z · z′ = 1. On a :
1z=
a
a2 + b2 − ib
a2 + b2 .
Corollaire
Preuve :
i) évident.
ii) Si b = 0, alors z est un nombre réel et possède évidemment un inverse. Supposons b 6= 0, on cherchez′ = c + id tel que zz′ = 1, c’est à dire (ac − bd) + i(ad + bc) = 1 + i · 0.Cela est équivalent à :
ac − bd = 1ad + bc = 0 ⇐⇒
abc − db2 = ba2d + abc = 0
En soustrayant la seconde ligne à la première, on obtient :
−db2 − a2d = b ⇐⇒ −d(b2 + a2) = b ⇐⇒ d =−b
a2 + b2 .
Le dénominateur est non nul car (a; b) 6= (0; 0).Alors, comme ad + bc = 0 et b 6= 0 :
c = − ad
b=
a
a2 + b2 .
Le nombre complexe z possède donc bien un inverse :
z′ =a
a2 + b2 − ib
a2 + b2 .
Exemple :On pose z = 4 + 2i 6= 0, z possède un inverse :
1z=
14 + 2i
.
Pour trouver la forme algébrique de cet inverse, on va le multiplier par son conjugué :
14 + 2i
=(4 − 2i)
(4 + 2i)(4− 2i)=
4 − 2i
16 − (2i)2 =4 − 2i
16 − (−4)=
4 − 2i
20=
420
− 220
i =15− 1
10i
Soient z, z′ deux nombres complexes.On a zz′ = 0 ⇐⇒ z = 0 ou z′ = 0.
Propriété
40
Preuve :
En effet, si l’on suppose z 6= 0, alors z possède un inverse1z
et :
zz′ = 0 ⇐⇒ 1z
zz′ =1z· 0 ⇐⇒ 1 · z′ = 0 ⇐⇒ z′ = 0.
Soit z = a + ib un nombre complexe. On appelle conjugué de z le nombre complexe z = a − ib.
Définition
Exemple :
• Le conjugué de 2 − 3i est 2 + 3i.
• Le conjugué de −4 + i est −4 − i.
Remarque :On vérifie facilement que pour tout z ∈ C, z = z. En effet si z = a + ib :
z = a − ib = a + ib = z.
Soit z ∈ C.
i) z ∈ R ⇐⇒ z = z
ii) z est un imaginaire pur si et seulement si z = −z
Propriété
Preuve :Soit z un nombre complexe : z = a + ib avec a, b ∈ R.
i) On a z = z ⇐⇒ a + ib = a − ib ⇐⇒ 2ib = 0.Par unicité de l’écriture d’un nombre complexe, cette égalité est équivalente à 2b c’est à dire b = 0.Alors z = a est un nombre réel.
ii) On a z = −z ⇐⇒ a + ib = −(a − ib) ⇐⇒ a + ib = −a + ib ⇐⇒ 2a = 0 ⇐⇒ a = 0.Alors z = ib est un imaginaire pur.
Soient z1, z2 deux nombres complexes, on a :
i) z1 + z2 = z1 + z2 ;
ii) z1z2 = z1 · z2 ;
iii) Pour tout n ∈ N, zn1 = (z1)
n ;
iv) Si z2 6= 0,(
1z2
)
=1z2
;
v) Si z2 6= 0,(
z1
z2
)
=z1
z2.
Propriété
Preuve :On note z1 = a + ib et z2 = c + id de sorte que :
z1 = a − ib et z2 = a − id.
41
i) On a z1 + z2 = (a + c) + i(b + d) et donc :
z1 + z2 = (a + c)− i(b + d)= a − ib + c − id= z1 + z2
ii) On a z1z2 = (ac − bd) + i(ad + bc) et donc :
z1z2 = (ac − bd)− i(ad + bc)
D’autre part :z1 z2 = (a − ib)(c − id)
= ac − iad − ibc + i2bd= ac − i(ad + bc)− bd= (ac − bd)− i(ad + bc)= z1z2
iii) On montre par le résultat par récurrence sur n.
⊲ Pour n = 0, la propriété est vérifiée car z01 = 1 et z1
0 = 1.⊲ Supposons la propriété vérifiée au rang n ∈ N fixé, montrons qu’elle l’est alors au rang n + 1. On
a :zn+1
1 = z1zn1
= z1 · zn1
= z1 · (z1)n par hypothèse de récurrence
= (z1)n+1
Ce qui achève la récurrence.
iv) Supposons z2 6= 0, z2 6= 0. z2 et z2 sont donc inversibles dans C et :
z2 ·(
1z2
)
= z2 ·1z2
= 1 = 1 = z2 ·1z2
En simplifiant par z2, on a bien(
1z2
)
=1z2
.
v) On a lorsque z2 6= 0 :(
z1
z2
)
= z1 ·(
1z2
)
= z1 ·1z2
=z1
z2.
Exemple :On a :• (5 + 2i) + (−3 − i) = (5 − 2i) + (−3 + i) = 2 − i
• (−1 − i)(2 + i) = (−1 + i)(2 − i) = −2 + i + 2i − i2 = −1 + 3i
•(
2 − 5i
1 + i
)
=2 + 5i
1 − i
Pour tout nombre complexe z :
• z + z = 2Re (z) ;
• z − z = 2i Im(z).
Propriété
Preuve :On note z = a + ib ∈ C. On calcule :
z + z = a + ib + a − ib = 2a = 2 Re(z).
De la même manière :
z − z = a + ib − (a − ib) = 2ib = 2i Im(z).
42
6.2 Équations du second degré dans C
On considère ici l’équation :(E) : az2 + bz + c = 0
où a, b et c sont des réels et a 6= 0.Le principe de résolution est le même que celui appris en première, mais le cas où le discriminant est négatif
ne pose plus de problème.
On considère le discriminant ∆ = b2 − 4ac du trinôme.
⊲ Si ∆ > 0, l’équation possède deux solutions réelles :
z1 =−b −
√∆
2aet z2 =
−b +√
∆
2a.
⊲ Si ∆ = 0, l’équation possède une unique solution réelle :
z0 = − b
2a.
⊲ Si ∆ < 0, l’équation possède deux solutions complexes conjuguées :
z1 =−b − i
√
|∆|2a
et z2 =−b + i
√
|∆|2a
.
Propriété
Preuve :On commence d’abord par écrire le trinôme sous sa forme canonique :
az2 + bz + c = a
(
z2 +b
az +
a
c
)
= a
[
(
z +b
2a
)2
−(
b
2a
)2
+c
a
]
= a
[
(
z +b
2a
)2
− b2 − 4ac
4a2
]
= a
[
(
z +b
2a
)2
− ∆
4a2
]
.
Si ∆ > 0, on se retrouve dans le cas étudié en première.Si maintenant ∆ < 0, alors (i
√
|∆|)2 = −|∆| = ∆.En utilisant les identités remarquables, l’équation (E) est alors équivalente à :
az2 + bz + c = 0
⇐⇒ a
[
(
z +b
2a
)2
− ∆
4a2
]
= 0
⇐⇒(
z +b
2a
)2
− ∆
4a2 = 0
⇐⇒(
z +b
2a+
i√
|∆|2a
)
·(
z +b
2a− i√
|∆|2a
)
= 0
⇐⇒(
z − −b − i√
|∆|2a
)
= 0 ou
(
z − −b + i√
|∆|2a
)
= 0
⇐⇒ z =−b − i
√
|∆|2a
ou z =−b + i
√
|∆|2a
.
43
Exemple :Considérons l’équation dans C :
−2z2 + 3z − 4 = 0.
Le discriminant du trinôme est :
∆ = 32 − 4 × (−2)× (−4)= 9 − 32= −23
Une racine carrée complexe de ∆ est donnée par : i√
23.L’équation possède donc deux solutions complexes :
z1 =−3 − i
√23
−4=
3 + i√
234
et z2 =3 − i
√23
4.
6.3 Interprétation géométrique des nombres complexes
Dans cette partie, on considère le plan muni d’un repère orthonormé direct (O;−→u ;−→v ), c’est à dire que l’on
a (−→u ,−→v ) =π
2mod(2π).
Un point M(x; y) du plan peut être associé au nombre complexe zM = x + iy.On dit que zM est l’affixe du point M.De même, pour n’importe quel vecteur s’écrivant −→w = λ−→u + µ−→v , l’affixe du vecteur −→w est :
z−→w = λ + iµ.
Définition
Exemple :
1
2
1 2 3 4−1
b M
O −→u
−→v
−→w
Dans le repère ci-dessus, le point M a pour affixe zM = −1 + 2i. On note M(−1 + 2i).Le vecteur −→w a pour affixe z−→w = 3 − i.
Remarque :Pour tout point M d’affixe z = a + ib, le point M′ d’affixe z = a − ib est le symétrique du point M par
rapport à l’axe des abscisses. Dans l’exemple précédent, M′(1 − 2i) est bien le symétrique de M par rapport àl’axe des abscisses.
Soient A et B deux points du plan d’affixes respectives zA et zB. L’affixe du vecteur−→AB est donné par :
z−→AB
= zB − zA.
Propriété
Preuve :En effet, si on pose zA = xA + iyA et zB = xB + iyB, les coordonnées de A et B dans le repère (O,−→u ,−→v )
sont A(xA; yA) et B(xB; yB).Les coordonnées du vecteur
−→AB sont donc dans la base (−→u ,−→v ) : (xB − xA; yB − yA). C’est à dire :
−→AB = (xB − xA)
−→u + (yB − yA)−→v .
44
Ce qui donne pour affixe :
z−→AB
= (xB − xA) + i(yB − yA)
= (xB + iyB)− (xA + iyA)= zB − zA.
Exemple :Considérons les deux points du plan A(1 + 2i) et B(−2 + 4i).Le vecteur
−→AB a pour affixe z−→
AB= zB − zA = −2 + 4i − (1 + 2i) = −3 + 2i.
Remarque :Deux vecteurs du plan sont égaux si et seulement si ils ont les mêmes affixes :
−→u = −→v ⇐⇒ z−→u = z−→v .
En effet, s’ils sont égaux, ils ont les mêmes coordonnées dans la base (−→u ,−→v ), donc ils ont la même affixe.
Soient A et B deux points du plan d’affixes respectives zA et zB. On note M le milieu de [AB]. L’affixe dupoint M est donnée par :
zM =zA + zB
2.
Propriété
Preuve :En effet, si on note dans le repère (O,−→u ,−→v ) : A(xA; yA) et B(xB; yB), les coordonnées de M sont données
par :
xM =xA + xB
2et yM =
yA + yB
2.
On a donc :
zM =xA + xB
2+ i(
yA + yB
2
)
=12(xA + iyA + xB + iyB) =
zA + zB
2.
Soit z = x + iy un nombre complexe. Le module de z est le nombre réel positif :
|z| =√
x2 + y2.
Définition
Remarque :On a immédiatement pour tout z ∈ C :
|z| = 0 ⇐⇒ x = 0 et y = 0 ⇐⇒ z = 0.
1) Soit z ∈ C, on considère le point M d’affixe z. Le module de z correspond à la distance OM :|z| = OM.
2) Pour tout vecteur −→w du plan, la norme de ce vecteur est égale au module de son affixe :||−→w || = |z−→w |.
3) En particulier, si A et B sont deux points du plan d’affixes respectives zA et zB, on a :
||−→AB|| = |z−→AB
| = |zB − zA|.
Propriété
45
1
2
1 2 3 4−1
b M
O −→u
−→v
OM=|z M
|
Preuve :
1) On note z = x + iy. Le point M d’affixe z a pour coordonnées (x; y), et donc on a :
OM =√
(xM − xO)2 + (yM − yO)2
=√
x2 + y2
= |z|.
2) Soit −→w un vecteur du plan de coordonnées (x; y) dans la base (−→u ;−→v ). Son affixe est donc z−→w = x + iy.D’autre part, la norme de −→w est donnée par :
||−→w || =√
x2 + y2
= |z−→w |.
3) Cette propriété est une simple conséquence de la précédente.
Exemple :Prenons deux points A et B du plan d’affixes respectives zA = 2 + 2i et zB = −3 + 5i. La distance AB,
correspondant à la norme ||−→AB|| est donnée par :
|zB − zA| = | − 3 + 5i− (2 + 2i)|= | − 5 + 3i|=√
(−5)2 + 32
=√
25 + 9=
√34.
Soit Ω un point du plan d’affixe zΩ. Le cercle de centre Ω et de rayon r est l’ensemble des points M duplan d’affixe z vérifiant :
|z − zΩ| = r.
Propriété
Preuve :On note C le cercle de centre Ω et de rayon r.On a pour tout point M d’affixe z du plan :
M ∈ C⇐⇒ ΩM = r⇐⇒ |z − zΩ| = r
D’où le résultat.
Exemple :L’ensemble des points M d’affixe z vérifiant :
|z − (1 + 4i)| = 2
est le cercle de centre Ω(1 + 4i), donc de coordonnées (1; 4) et de rayon 2.
46
Soient z et z′ deux nombres complexes.
i) z · z = |z|2ii) | − z| = |z|
iii) |z| = |z|iv) |z · z′| = |z| × |z′|v) Pour tout n ∈ N, |zn| = |z|n
vi) Si z′ 6= 0,∣
∣
∣
∣
1z′
∣
∣
∣
∣
=1|z′|
vii) Si z′ 6= 0,∣
∣
∣
z
z′
∣
∣
∣=
|z||z′|
Propriété
Preuve :On note z = a + ib et z′ = c + id.
i) On calcule :
z · z = (a + ib)(a − ib)= a2 − (ib)2
= a2 + b2
= |z|2
ii) On calcule :
| − z| = | − a − ib|=√
(−a)2 + (−b)2
=√
a2 + b2
= |z|iii) De la même manière :
|z| = |a − ib|=√
a2 + (−b)2
=√
a2 + b2
= |z|iv) On calcule le carré du module pour alléger les notations :
|z · z′|2 = |(a + ib)(c + id)|= |(ac − bd) + i(ad + bc)|= (ac − bd)2 + (ad + bc)2
= (ac)2 + (bd)2 − 2acbd + (ad)2 + (bc)2 + 2adbc= (ac)2 + (bd)2 + (ad)2 + (bc)2
= a2(c2 + d2) + b2(c2 + d2)= (a2 + b2)(c2 + d2)= (a2 + b2)× (c2 + d2)= |z|2 × |z′|2
On obtient alors, comme |z|, |z′| et |z · z′| sont des nombres positifs :
|z · z′| = |z| × |z′|.v) On procède par récurrence sur n.
⊲ Pour n = 0, la propriété est vérifiée car |z0| = |1| = 1 = |z|0.
⊲ Supposons la propriété vérifiée au rang n ∈ N fixé. Montrons qu’elle l’est alors au rang n + 1.On a :
|z|n+1 = |z| × |zn|= |z| × |z|n par hypothèse de récurrence= |z|n+1
Ce qui achève la récurrence.
47
vi) On a :
1 = |1| =∣
∣
∣
∣
z′ · 1z′
∣
∣
∣
∣
= |z′| ×∣
∣
∣
∣
1z′
∣
∣
∣
∣
.
Comme z′ 6= 0, on a |z′ 6= 0 et en prenant l’inverse de |z′| (dans R ), on obtient :
∣
∣
∣
∣
1z′
∣
∣
∣
∣
=1|z′| .
vii) On calcule :∣
∣
∣
z
z′
∣
∣
∣=
∣
∣
∣
∣
z · 1z′
∣
∣
∣
∣
= |z| ×∣
∣
∣
∣
1z′
∣
∣
∣
∣
=|z||z′| .
Exemple :
On souhaite calculer le module de z =1 + 2i3 − i
.
Plutôt que de déterminer la forme algébrique de ce nombre complexe, il est préférable de déterminer :
|1 + 2i| =√
12 + 22
=√
5et
|3 − i| =√
32 + (−1)2
=√
10
Ce qui nous donne :
|z| = |1 + 2i||3 − i| =
√3√
10.
Pour tout nombre complexe z, on a Re(z) 6 |z|.
Lemme
Preuve :En effet, pour tout nombre complexe z, on a :
|z| =√
Re(z)2 + Im(z)2 >
√
Re(z)2 > |Re(z)| > Re(z).
Pour tout complexes z et z′, on a : |z + z′| 6 |z|+ |z′|.
Proposition (Inégalité triangulaire)
Preuve :Pour établir cette inégalité, on va comparer les carrés des deux quantités. Celles-ci étant positives, celle qui
a le plus grand carré est la plus grande.On a :
|z + z′|2 = (z + z′) · (z + z′)= (z + z′) · (z + z′)= zz + z′z′ + z · z′ + z · z′
= |z|2 + |z′|2 + z · z′ + z · z′
= |z|2 + |z′|2 + 2Re(
z · z′)
car un nombre complexe auquel on ajoute son conjugué donne deux fois la partie réelle de ce nombrecomplexe.
On a donc d’après le lemme précédent :
|z + z′|2 6 |z|2 + |z′|2 + 2|z · z′|6 |z|2 + |z′|2 + 2|z| × |z′|6 |z|2 + |z′|2 + 2|z| × |z′|6 (|z|+ |z′|)2
48
On en déduit :
|z + z′| 6 |z|+ |z′|.
1
2
3
4
1 2 3 4 5 6−1
bO
b M
b M′
b M′′
|z| = OM
|z′ | =
OM
′
|z+z′ | =
OM′′
Sur le dessin précédent, on a bien :
OM′′ 6 OM + OM′.
49
CHAPITRE 7
Conditionnement et indépendance
Dans ce chapitre, on considère une expérience aléatoire dont l’univers, c’est à dire l’ensemble des issuespossibles est noté Ω. On note P une probabilité définie sur cet univers Ω.
7.1 Probabilités conditionnelles
Soient A et B deux événements d’un univers Ω tels que P(B) 6= 0. La probabilité de A sachant B est lenombre noté PB(A) défini par :
PB(A) =P(A ∩ B)
P(B).
Définition
Exemple :On choisit au hasard un élève dans un lycée. On note F l’événement « l’élève est une fille » et A « l’élève
étudie l’allemand ». On sait de plus que P(F) = 0, 6 et P(A ∩ F) = 0, 12. La probabilité que l’élève rencontré
étudie l’allemand sachant que c’est une fille est PF(A) =P(A ∩ F)
P(F)=
0, 120, 6
= 0, 2.
Remarque : On peut lire une probabilité conditionnelle sur un arbre comme le montre le dessin ci-dessous.
F
G
A
E
I
A
E
I
P(F)
PF(A)
Soient A1, A2, . . . , An n événements d’un univers Ω. On dit que les sous-ensembles A1, . . . , An formentun système complet d’événements (SCE) de Ω si les conditions ci-dessous sont réalisées :
1) pour tout i ∈ 1, . . . n , Ai ∩ Aj = ∅ ;
2) A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ An = Ω.
Définition
Exemple :On a représenté à l’aide du diagramme de Venn ci-dessous un univers Ω = x1; x2; x3; x4; x5; x6; x7; x8; x9.
Donner les arguments permettant d’affirmer que les sous-ensembles A1, A2 et A3 ne forment pas un SCE deΩ.
50
b
b
b
b b b
b
b
b
Ω
A1
A2
A3
x1
x2
x3
x4 x5 x6
x7
x8
x9
Soient n un entier naturel non nul, A1, A2, . . . , An n événements de probabilités non nulles qui formentun SCE d’un univers Ω et A un événement de Ω. Alors :
P(A) =n
∑i=1
P(A ∩ Ai)
=n
∑i=1
P(Ai)× PAi(A).
Proposition (Formule des probabilités totales)
Exemple :Avant de partir en vacances, on demande au voisin de bien vouloir arroser une plante. Sans arrosage, elle
mourra avec une probabilité 0, 8 ; avec arrosage, elle mourra avec une probabilité 0, 15. On est sûr à 90% que levoisin l’arrosera.
1) Quelle est la probabilité que la plante soit vivante au retour des vacances?On note A l’événement : « Le voisin a arrosé la plante ». A et A forment un SCE de l’ensemble Ω desissues possibles avec P(A) = 0, 9 et P(A) = 0, 1.On note V l’événement « la plante est vivante au retour des vacances » , alors :
P(V) = P(A)× PA(V) + P(A)× PA(V)= 0, 9 × 0, 85 + 0, 1 × 0, 2= 0, 785.
2) Si elle est morte, quelle est la probabilité que le voisin ait oublié de l’arroser?Cette fois-ci, on cherche :
PV(A) =P(A ∩ V)
P(V)
=P(A ∩ V)
P(A)× P(A)
P(V)
= PA(V)× P(A)
1 − P(V)
= 0, 8 × 0, 11 − 0, 785
≈ 0, 37.
7.2 Événements indépendants
Soient A, B deux événements d’un univers Ω. Les assertions suivantes sont équivalentes :
i) P(A ∩ B) = P(A)× P(B) ;
ii) PA(B) = P(B) ;
iii) PB(A) = P(A).
Proposition
51
Preuve :
• Montrons que i) implique ii). On a PA(B) =P(A ∩ B)
P(A)=
P(A)× P(B)
P(A)= P(B).
• Montrons que ii) implique iii). On a PB(A) =P(A ∩ B)
P(B)=
P(A ∩ B)
PA(B)= P(A ∩ B)× P(A)
P(A ∩ B)= P(A).
• Montrons que iii) implique i). On a P(A)× P(B) = PB(A)× P(B) =P(A ∩ B)
P(B)× P(B) = P(A ∩ B).
Soient A, B deux événements d’un univers Ω. A et B sont dits indépendants si :
P(A ∩ B) = P(A)× P(B).
Intuitivement, cela signifie que la réalisation d’un événement n’influe pas sur la réalisation de l’autre.
Définition
Exemple :Dans un magasin de meubles, il y a 55% de canapés dont 14% en cuir, 30% de fauteuils dont 20% en cuir et
le reste est constitué de poufs dont 42% en cuir.
Un client se présente et choisit un meuble. On considère les événements :
• F : « le meuble choisi est un fauteuil » ;
• C : « le meuble choisi est en cuir ».
Les événements F et C sont-ils indépendants?
On note A l’événement « le meuble est un canapé » et B l’événement « le meuble est un pouf ».
On peut représenter la situation par un arbre :
b
bA
0, 55
b C0, 86
b C0, 14
bF0, 3
b C0, 8
b C0, 2
bB0, 15 b C0, 58
b C0, 42
En utilisant la formule des probabilités totales :
P(C) = 0, 55× 0, 14+ 0, 3 × 0, 2+ 0, 15× 0, 42= 0, 2
D’autre part, P(F ∩ C) = 0, 3 × 0, 2 = 0, 06. Alors :
P(F)× P(C) = 0, 3 × 0, 2= 0, 06= P(F ∩ C).
Les événements F et C sont donc indépendants. Cela signifie que même si l’on sait que le client est là pourun meuble en cuir, cela ne lui donne pas plus de chance d’acheter un fauteuil ou non.
52
Soient A, B deux événements d’un univers Ω. Si A et B sont indépendants alors A et B sont indépendants.
Proposition
Preuve :On commence par remarquer que A et A forment un SCE de Ω, donc :
P(B) = P(A ∩ B) + P(A ∩ B)=⇒ P(A ∩ B) = P(B)− P(A ∩ B)=⇒ P(A ∩ B) = P(B)− P(A)P(B) par indépendance de A et B
=⇒ P(A ∩ B) = P(B)(1− P(A)) = P(B)× P(A).
D’où le résultat.
7.3 Rappels sur la loi binomiale
Une variable aléatoire sur Ω est une fonction X : Ω −→ R.
Définition
Une expérience aléatoire à deux issues, appelées Succès ou Échec, est appelée expérience de Bernoulli.
Définition
Exemple : On considère le lancer d’une pièce truquée. On note S l’événement « obtenir un face » et S « obtenirun pile ». Cette expérience aléatoire est une expérience de Bernoulli.
On considère une expérience de Bernoulli telle que la probabilité de l’issue S est p. On note X la variablealéatoire qui à l’issue S associe 1 et à l’issue S associe 0. La loi de Bernoulli de paramètre p est la loi deprobabilité de la variable aléatoire X, c’est à dire :
Valeur prise par X 1 0P(X = xi) p 1 − p
Définition
Exemple : Dans l’exemple précédent, si la probabilité d’obtenir un face est 0, 6, la loi de Bernoulli de paramètre0, 6 est :
Valeur prise par X 1 0P(X = xi) 0, 6 0, 4
Un schéma de Bernoulli est la répétition d’une même épreuve de Bernoulli dans des conditions d’indé-pendance.
Définition
Exemple : Lancer 20 fois la pièce des exemples précédents est un schéma de Bernoulli. On peut le représenterpar un arbre pondéré.
53
On considère un schéma de Bernoulli consistant en une répétition de n épreuves de Bernoulli de para-mètre p.On note X la variable aléatoire qui compte le nombre de succès lors de ces n épreuves. La loi de probabilitéde la variable aléatoire X est appellée loi binomiale de paramètre n et p. On note X ∼ B(n, p).
Définition
Sur un arbre de probabilité associé à un schéma de Bernoulli de paramètres n et p, on note(
n
k
)
le
nombre de chemins contenant exactement k succès sur les n épreuves. Ce nombre s’appelle un coefficientbinomial et on dit « k parmi n ».
Définition
Exemple :Si on représente par un arbre un schéma de 4 épreuves de Bernoulli, on a :
S
S
SS
S
SS
S
S
SS
S
SS
S
S
S
SS
S
SS
S
S
SS
S
SS
S
On compte 6 chemins conduisant à 2 succès, donc(
42
)
= 6.
On a :(
n
0
)
= 1 et(
n
n
)
= 1.
Propriété
Preuve :Ces résultats sont évidents car il n’y a qu’un seul chemin n’ayant aucun succès, et qu’un seul chemin ne
comprenant que des succès.
54
Soit k un entier compris entre 0 et n − 1.
On a la relation suivante :(
n
k
)
+
(
n
k + 1
)
=
(
n + 1k + 1
)
.
Théorème (Triangle de Pascal)
Preuve :Il y a deux types de chemins comprenant k + 1 succès parmi n + 1 expériences de Bernoulli :
⊲ ceux pour lesquels la dernière expérience ((n + 1)ième) est un succès ;
⊲ ceux pour lesquels la dernière expérience est un échec.
i) Si la (n + 1)ième expérience est un succès, alors pour avoir un total de k + 1 succès, il faut que les n
épreuves précédentes aient donné k succès. Il y a donc(
n
k
)
combinaisons possibles.
ii) Si la (n+ 1)ième expérience est un échec, alors pour avoir un total de k+ 1succès, il faut que les n épreuves
précédentes aient donné k + 1 succès. Il y a donc(
n
k + 1
)
combinaisons possibles.
Les ensembles de ces deux types de chemin n’ayant aucun chemin en commun, on en déduit :(
n
k
)
+
(
n
k + 1
)
=
(
n + 1k + 1
)
.
Remarque :On peut alors calculer tous les coefficients binomiaux de proche en proche :
nk
0 1 2 3 4 5 6
1 1 1
2 1 2 1
3 1 3 3 1
4 1 4 6 4 1
5 1 5 10 10 5 1
6 1 6 15 20 15 6 1
On a par exemple :(
42
)
+
(
43
)
= 6 + 4 = 10 =
(
53
)
.
Soit X une variable aléatoire qui suit la loi binomiale B(n, p). Alors, pour tout entier naturel k comprisentre 0 et n, on a la formule :
P(X = k) =
(
n
k
)
pk(1 − p)n−k.
Propriété
55
Remarque :En général, on calculera les probabilités d’une loi binomiale avec la calculatrice. Si X ∼ B(n; p) :
⊲ binomFdp(n,p,k) donne P(X = k) ;
⊲ binomFRep(n,p,k) donne P(X 6 k).
Soit X une variable aléatoire qui suit la loi binomiale B(n, p). Alors l’espérance de X est donnée par laformule
E(X) = n × p.
Propriété (admise)
Remarque :L’espérance correspond à ce qu’on obtient en moyenne comme résultat si on reproduit un grand nombre
de fois l’expérience.
56
CHAPITRE 8
Fonction exponentielle
8.1 Définition
S’il existe une fonction f : R → R dérivable qui vérifie f ′ = f et f (0) = 1, alors pour tout x ∈ R, f (x) 6= 0.
Lemme
Preuve :Soit ϕ la fonction définie sur R par ϕ(x) = f (x)× f (−x). ϕ est dérivable sur R et pour tout x ∈ R :
ϕ′(x) = f ′(x) f (−x) + f (x)[− f ′(−x)] = 0.
Donc ϕ est constante et comme ϕ(0) = f (0)× f (0) = 1 alors pour tout x ∈ R, ϕ(x) = f (x)× f (−x) = 1.En particulier, pour tout x ∈ R, f (x) 6= 0.
L’équation différentielle y′ = y avec condition initiale y(0) = 1 admet une unique solution définie etdérivable sur R.Cette fonction est appelée fonction exponentielle et se note exp.
Proposition
Preuve :On admet l’existence d’une solution et on prouve l’unicité.Soient f , g : R → R deux fonctions qui vérifient l’équation différentielle de la proposition précédente.
D’après le lemme précédent, g est non nulle. Ainsi la fonctionf
gest définie et dérivable sur R.
Pour tout x ∈ R, on a :(
f
g
)′(x) =
f ′(x)g(x)− f (x)g′(x)
[g(x)]2=
f (x)g(x)− f (x)g(x)
[g(x)]2= 0.
Ainsi, la fonctionf
gest constante et vaut
f (0)g(0)
= 1.
Alors, pour tout x ∈ R,f (x)
g(x)= 1 soit f (x) = g(x).
i) La fonction exponentielle est strictement positive sur R.
ii) La fonction exponentielle est strictement croissante sur R.
Proposition
Preuve :
i) Supposons par l’absurde que exp n’est pas strictement positive sur R.Il existe alors a ∈ R tel que exp(a) 6 0 et a 6= 0. On a déjà vu que exp(a) 6= 0. On a alors exp(a) < 0.Comme exp est continue sur R et 0 ∈ [exp(a), 1], d’après le théorème des valeurs intermédiaires, il existeb ∈ [a, 0] si a < 0 ou [0; a] si a > 0 tel que exp(b) = 0 : contradiction!
ii) On sait maintenant que pour tout x ∈ R, f ′(x) = f (x) > 0. Ainsi, f est strictement croissante sur R.
57
8.2 Relations fonctionnelles
Soient x, y ∈ R. On a les égalités :
1) exp(−x) =1
exp(x);
2) exp(x + y) = exp(x)× exp(y) ;
3) exp(x − y) =exp(x)
exp(y);
4) pour tout p ∈ Z, exp(px) = exp(x)p.
Proposition
Preuve :
1) On a vu dans la démonstration du premier lemme l’égalité exp(x) × exp(−x) = 1. Alors, comme la
fonction exp ne s’annule pas sur R, pour tout x ∈ R, exp(−x) =1
exp(x).
2) Soit y ∈ R, on considère la fonction ϕ définie pour tout réel x par :
ϕ(x) =exp(x + y)
exp(y).
ϕ est dérivable sur R et on a :
∀x ∈ R, ϕ′(x) =exp(x + y)
exp(y)= ϕ(x) et ϕ(0) =
exp(y)exp(y)
= 1.
On en déduit que :∀x ∈ R, ϕ(x) = exp(x)
c’est à dire :∀x ∈ R, exp(x + y) = exp(x)× exp(y).
3) Pour tout x, y ∈ R, exp(x − y) = exp(x + (−y)) = exp(x) exp(−y) =exp(x)
exp(y).
4) Montrons par récurrence que pour tout n ∈ N, exp(nx) = exp(x)n.
⊲ Pour n = 0, on a exp(0 × x) = exp(0) = 1 = exp(x)0, l’égalité est donc vérifiée.
⊲ Supposons l’égalité vérifiée au rang n ∈ N fixé. Montrons qu’elle l’est alors au rang n + 1.On a exp((n+ 1)x) = exp(nx + x) = exp(nx) exp(x) = exp(x)n exp(x) = exp(x)n+1, ce qui achèvela récurrence.
Pour un entier p < 0, on a exp(px) = exp(−(−px)) =1
exp(−px)=
1exp(x)−p = exp(x)p.
Remarque :Si on note e le nombre exp(1), on montre par récurrence que pour tout p ∈ Z, exp(p) = ep.
Plus généralement, on note pour x ∈ R, exp(x) = ex.
Les formules de la proposition précédente se réécrivent alors ex+y = exey et ex−y =ex
ey .
58
8.3 Étude de la fonction exponentielle
Pour tout x ∈ R, ex > x + 1.
Proposition
Preuve :Pour tout x ∈ R, on pose f (x) = ex − (x + 1). La fonction f est dérivable sur R et pour tout x ∈ R,
f ′(x) = ex − 1. On a alors le tableau suivant.
x
signede f ′(x)
variationsde f
−∞ 0 +∞
- 0 +
00
Ainsi pour tout x ∈ R, f (x) > 0 et par suite ex > x + 1.
On a limx→+∞
ex = +∞ et limx→−∞
ex = 0.
Corollaire
Preuve :On sait que lim
x→+∞(x + 1) = +∞ et pour tout x ∈ R, ex > x + 1.
D’après le théorème de comparaison, limx→+∞
ex = +∞.
De plus, limx→−∞
ex = limx→+∞
e−x = limx→+∞
1ex
= 0.
Le tableau de variations de la fonction exponentielle est le suivant.
x
exp
−∞ +∞
00
+∞+∞
0
1
1
e
La représentation graphique de la fonction exponentielle est donnée ci-dessous.
1
2
3
4
5
1 2−1−2−3
y = ex
y = x + 1
59
On a limx→+∞
ex
x= +∞ et lim
x→−∞xex = 0
Proposition
Preuve :
On pose, pour tout x > 0, f (x) = ex − x2
2− x.
La fonction f est dérivable sur [0;+∞[ et pour tout x > 1, f ′(x) = ex − x − 1 = ex − (x + 1) > 0.La fonction f est donc croissante sur [0;+∞[ et on a :
x
Signe de f ′(x)
Variatonsde f (x)
0 +∞
+
11
+∞+∞
En particulier, pour tout x > 0 :
f (x) > 0
=⇒ ex >x2
2+ x
=⇒ ex
x>
x
2+ 1
Par comparaison, on a donc limx→+∞
ex
x= +∞.
D’autre part, en posant y = −x, on a :
xex = −ye−y = − y
ey = − 1(
ey
y
) .
Or, lorsque x tend vers −∞, y tend vers +∞ et par quotient :
limx→−∞
xex = limy→+∞
− 1(
ey
y
) = 0.
On a :
limx→0x 6=0
ex − 1x
= 1.
Proposition
Preuve :
On remarque que pour tout x 6= 0,ex − 1
x=
ex − e0
x − 0.
La limite cherchée est donc le nombre dérivée de l’exponentielle en 0 :
limx→0x 6=0
ex − 1x
= limx→0x 6=0
ex − e0
x − 0= exp′(0) = e0 = 1.
60
Soient I un intervalle et u : I → R une fonction dérivable sur I. Alors la fonction x 7→ eu(x) est dérivablesur I et sa dérivée est la fonction x 7→ u′(x)× eu(x).
Proposition
Preuve :C’est un cas particulier la dérivée d’une fonction composée.
8.4 Équations et inéquations
1) Pour tous x, y ∈ R, on a ex = ey ⇐⇒ x = y.
2) Pour tous x, y ∈ R, on a ex < ey ⇐⇒ x < y.
Propriété
Preuve :On rappelle tout d’abord que la fonction exponentielle est continue et strictement croissante sur R. De plus,
limx→−∞
ex = 0 et limx→+∞
ex = +∞.
D’après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe une unique valeur de x pour laquelle ex = 1, etc’est 0.
1) Soient x, y deux nombres réels :
ex = ey
⇐⇒ ex
ey = 1
⇐⇒ ex × e−y = 1⇐⇒ ex−y = 1⇐⇒ x − y = 0⇐⇒ x = y
D’où le résultat.
2) Ce point se montre de manière identique par stricte croissance de l’exponentielle.
61
CHAPITRE 9
Géométrie dans l’espace 1
9.1 Positions relatives de droites et de plans
On rappelle d’abord quelques règles de base en géométrie :
⊲ par deux points distincts de l’espace passe une unique droite ;
⊲ par trois points distincts de l’espace passe un unique plan ;
⊲ si un plan contient deux points distincts A et B, il contient la droite (AB).
9.1.1 Positions relatives de deux plans
Deux plans de l’espace sont
1) soit parallèles, c’est à dire s’ils sont stricte-ment parallèles (qui n’ont aucun point com-mun) ou confondus.
bA
bB
bC
bD
bE b F
b Gb H
2) soit sécants et dans ce cas, leur intersectionest une droite.
bA
bB
bC
bD
bE b F
b Gb H
Sur la figure ci-dessus, l’intersection desplans (CDE) et (ABF) est(CDE)∩ (ABF) = (EF).
Définition
9.1.2 Positions relatives de deux droites
Deux droites de l’espace sont
1) soit coplanaires (contenuesdans un même plan) dansce cas, elles sont
a) soit parallèles
bA
bB
bC
bD
bE b F
b Gb H
b) soit sécantes
bA
bB
bC
bD
bE b F
b Gb H
2) soit non coplanaires
bA
bB
bC
bD
bE b F
b Gb H
Définition
Remarque : Deux droites de l’espace n’ayant aucun point commun ne sont pas nécessairement parallèles...
62
9.1.3 Positions relatives d’une droite et d’un plan
Un plan et une droite de l’espace sont soit
1) parallèles (n’ont pas depoint commun)
bA
bB
bC
bD
bE b F
b Gb H
2) tels que la droite est conte-nue dans le plan
bA
bB
bC
bD
bE b F
b Gb H
3) sécants
bA
bB
bC
bD
bE b F
b Gb H
Définition
9.1.4 Parallélisme dans l’espace
Si deux plans sont parallèles, tout plan sécant à l’un est sécant à l’autre et les droites d’intersection sontparallèles.
Propriété
Soient P et P ′ deux plans sécants de l’espace qui s’intersectent suivant une droite (∆).On suppose que d ∈ P et d′ ∈ P ′ sont deux droites parallèles.Alors les droites d et d′ sont parallèles à la droite (∆).
P
P ′
d d′
∆
Théorème (du toit)
Preuve :
⊲ Si d et d′ sont confondues, alors elles sont confondues avec la droite ∆ et la propriété est vérifiée.
63
⊲ Supposons d et d′ strictement parallèles. Elles sont coplanaires et il existe un plan Q contenant à la fois det d′. On a alors :
Q∩P = d et Q∩P ′ = d′.
Par l’absurde, supposons que les droites d et ∆ ne sont pas parallèles. Comme elles appartiennent aumême plan P , elles sont sécantes en un point A.Alors A ∈ ∆ et comme ∆ est une droite de P ′, A ∈ P ′.De plus, A ∈ d, et comme d est une droite de Q, A ∈ Q.Ainsi, A ∈ P ′ ∩Q = d′.Les droites d et d′ ont le point A en commun, et comme elles ne sont pas confondues, elles sont doncsécantes en A. Contradiction.Les droites d et ∆ sont donc parallèles, et comme d′ est parallèle à d, d′ est également parallèle à ∆.
Exemple :On considère le cube ABCDEFGH ci-dessous. On note M le milieu de [EH] et N celui de [FC]. On souhaite
tracer la section de ce cube par le plan (MNG).
bA
bB
b Cb D
bE bF
b Gb H
bM
b N
bP
Pour cela, il faut construire l’intersection de ce plan avec chacune des faces du solide.
• L’intersection de (MNG) avec la face EFGH est le segment [MG].
• L’intersection de (MNG) avec la face FGCB est le segment [BG], car G, N et B sont alignés.
• L’intersection avec la face EHDA est le segment passant par M et parallèle à (GN), les faces EHDA etFGCB étant parallèles. Il s’agit du segment [MP], où P est le milieu de [EA].
• L’intersection avec la face ABCD est réduite au point B, car pour la même raison que précédemment, ils’agirait d’un segment passant par B et parallèle à (MG).
• De même, l’intersection avec la face HGCD est réduite au point G.
• La section du cube par le plan (MNG) est donc le polygone MGBP, qui est un trapèze par parallélismede (MP) et (GB).
Exemple :ABCD est un tétraèdre. I, J et K sont les milieux des arêtes respectives [AB], [BC] et [CD].On souhaite construire l’intersection ∆ des plans (I JK) et (ACD).
∆
b A
bB
bC
bD
bI
bJ
bK
b L
• Tout d’abord, les plans ne sont pas confondus, et ils ne sont pas strictement parallèles car le point Kappartient aux deux.
64
• Alors la droite (I J) appartient au plan (I JK) et est parallèle (par Thalès) à la droite (AC) appartenant auplan (ACD). D’après le théorème du toit, la droite ∆ est alors parallèle à (AC).
• Comme ∆ passe par K, il s’agit nécessairement de la droite (KL), où L est le milieu de [AD].
9.2 Vecteurs dans l’espace
On étend à l’espace la notion de vecteur vue dans le plan, avec la propriété fondamentale suivante :
Deux vecteurs non nuls−→AB et
−→CD sont égaux si et seulement si le quadrilatère ABDC est un parallélo-
gramme.
bA bC
bDb B
Définition
On rappelle les règles de calcul :
Pour tous réels k et k′ et pour tous vecteurs −→u et −→v :
• k × (−→u +−→v ) = k−→u + k−→v ;
• (k + k′)×−→u = k−→u + k′−→v ;
• (kk′)×−→u = k × (k′−→u ).
Propriété
Deux vecteurs −→u et −→v sont dits colinéaires s’il existe (λ, µ) ∈ R2 \ (0, 0) tels que :
λ−→u + µ−→v =−→0 .
Définition
Remarque :
⊲ En particulier, le vecteur nul est colinéaire à tout autre vecteur.
⊲ Deux vecteurs non nuls −→u et −→v sont donc colinéaires s’il existe t ∈ R tel que u−→u = t ×−→v .
Trois vecteurs −→u , −→v et −→w de l’espace sont dits coplanaires s’il existe trois réels α, β et γ non tous nulstels que :
α−→u + β−→v + γ−→w =−→0 .
Définition
Remarque :Trois vecteurs −→u , −→v et −→w sont coplanaires si on peut tracer leurs représentants dans un même plan.
65
9.3 Caractérisations vectorielles
Soient A, B deux points distincts du plan. Un point M appartient à la droite (AB) si et seulement si lesvecteurs
−−→AM et
−→AB sont colinéaires.
Dans ce cas, il existe t ∈ R tel que−−→AM = t
−→AB.
On dit que−→AB est un vecteur directeur de la droite.
Propriété (caractérisation vectorielle d’une droite)
Soient A, B et C trois points non alignés de l’espace. Un point M appartient au plan (ABC) si et seulementsi les vecteurs
−−→AM,
−→AB et
−→AC sont coplanaires.
Il existe alors α et β deux nombres réels tels que :
−−→AM = α
−→AB + β
−→AC.
On dit que−→AB et
−→AC dirigent le plan (ABC).
Propriété (caractérisation vectorielle d’un plan)
Quatre points A, B, C et D de l’espace sont coplanaires si, et seulement si les vecteurs−→AB,
−→AC et
−→AD
sont coplanaires.
Propriété
Exemple :
Soit ABCD un tétraèdre, I le milieu de [AB], E et F les ponts définis par−→AE =
23−→AC et
−→AF =
23−→AD, et G le
point tel que BCGD soit un parallélogramme.
1) Exprimer−→IE,
−→IF et
−→IG en fonction de
−→AB,
−→AC et
−→AD.
On a : −→IE =
−→IA +
−→AE
= −12−→AB +
23−→AC
−→IF =
−→IA +
−→AF
= −12−→AB +
23−→AD
−→IG =
−→IC +
−→CG
=−→IA +
−→AC +
−→BD
= −12−→AB +
−→AC +
−→BA +
−→AD
= −32−→AB +
−→AC +
−→AD.
2) En déduire que les points I, E, F et G sont coplanaires.On remarque que :
32−→IF +
32−→IE =
−→IG.
Les vecteurs−→IE,
−→IF et
−→IG sont donc coplanaires, dons les poins I, E, F et G sont coplanaires.
66
9.4 Repères de l’espace
Soient−→i ,
−→j et
−→k trois vecteurs no coplanaires de l’espace. Pour tout vecteur −→u de l’espace, il existe un
unique triplet de réels (x, y, z) tel que :
−→u = x−→i + y
−→j + z
−→k .
On note −→u (x; y; z) les coordonnées du vecteur −→u dans la base (−→i ,
−→j ,
−→k ).
Propriété
Un repère (O,−→i ,
−→j ,
−→k ) de l’espace est formé :
⊲ d’un point O origine du repère ;
⊲ d’un triplet (−→i ,
−→j ,
−→k ) de vecteurs non coplanaires.
bO
−→i
−→j
−→k
Définition
Soit (O,−→i ,
−→j ,
−→k ) un repère de l’espace.
Pour tout point M de l’espace, il existe un unique triplet (x, y, z) de réels tels que :
−−→OM = x
−→i + y
−→j + z
−→k .
On note M(x; y; z) les coordonnées de M.
Propriété
On considère un repère (O,−→i ,
−→j ,
−→k ) de l’espace.
⊲ Si −→u = (x; y; z) et −→v = (x′; y′; z′), alors :
−→u +−→v = (x + x′; y + y′; z + z′) et ∀k ∈ R, k−→u = (kx; ky; kz).
⊲ Si A(xA; yA; zA) et B(xB; yB; zB), alors :
−→AB = (xB − xA; yB − yA; zB − zA).
Le milieu de [AB] a pour coordonnées(
xA + xB
2;
yA + yB
2;
zA + zB
2
)
.
Propriété
67
9.5 Représentations paramétriques
Soient M(x, y, z), A(xA, yA, zA) deux points de l’espace et ∆ une droite de l’espace de vecteur directeur−→u (a; b; c) telle que A ∈ ∆. M appartient à ∆ si, et seulement si, il existe un nombre réel t tel que
−−→AM = t−→u ⇐⇒
x = at + xA
y = bt + yA
z = ct + zA
Théorème
Preuve :Procédons par équivalences successives. M ∈ ∆ ssi les vecteurs
−−→AM et −→u sont colinéaires
ssi il existe un nombre réel t tel que−−→AM = t−→u
ssi il existe un nombre réel t tel que
x − xA = aty − yA = btz − zA = ct
ssi il existe un nombre réel t tel que
x = at + xA
y = bt + yA
z = ct + zA
Le système
x = at + xA
y = bt + yA
z = ct + zA
, t ∈ R est appelée représentation paramétrique de la droite ∆
Définition
Exemple : Déterminons une représentation paramétrique de la droite (AB) avec A(2; 1; 3) et B(−1; 4; 5).Commençons par déterminer les coordonnées d’un vecteur directeur de la droite (AB).
−→AB est un tel vec-
teur et ses coordonnées sont (xB − xA; yB − yA; zB − zA) = (−3; 3; 2). Enfin, d’après ce qui précède, un système
d’équations paramétriques de la droite (AB) est
x = −3t + 2y = 3t + 1z = 2t + 3
, t ∈ R.
Interéssons-nous à l’appartenance du point C(−10; 13; 11) à la droite (AB). Pour vérifier que le point C
appartient à la droite (AB), il suffit de trouver un nombre réel t tel que
xC = −3t + 2yC = 3t + 1zC = 2t + 3
Après calcul, on
obtient t = 4 et on aboutit à la conclusion C ∈ (AB).
Soient M(x, y, z), A(xA, yA, zA) deux points de l’espace et P un plan de l’espace dirigé par deux vecteurs−→u (a; b; c) et −→v (a′; b′; c′) tel que A ∈ (P). M appartient à P si, et seulement si, il existe deux nombresréels t et t′ tels que
−−→AM = t−→u + t′−→v ⇐⇒
x = at + a′t′ + xA
y = bt + b′t′ + yA
z = ct + c′t′ + zA
Théorème
Preuve :Le principe de la démonstration est le même que précédemment. Comme −→u et −→v sont non colinéaires, ils
forment une base du plan P . Ainsi, M ∈ P ssi−−→AM est une combinaison linéaire de −→u et −→v ssi il existe deux
nombres réels t et t′ tels que−−→AM = t−→u + t′−→v . La fin de la démonstration est laissée en exercice.
68
Le système
x = at + a′t′ + xA
y = bt + b′t′ + yA
z = ct + c′t′ + zA
, t, t′ ∈ R est appelée représentation paramétrique du plan P .
Définition
69
CHAPITRE 10
Logarithme népérien
10.1 Définition de la fonction ln et relations fonctionnelles
On rappelle que la fonction exponentielle est définie sur R à valeurs dans ]0;+∞[ et strictement croissantesur R.
Donc, d’après le théorème des valeurs intermédiaires, pour tout x > 0, il existe un unique c ∈ R tel queec = x. On appelle ce nombre c le logarithme népérien de x.
On appelle logarithme népérien la fonction notée ln :
ln :∣
∣
∣
∣
]0;+∞[−→ R
x 7−→ ln(x)
telle que pour tout x > 0, eln(x) = x.
Définition
i) Pour tout x ∈ R, on a ln(ex) = x.
ii) Ainsi, pour tout x ∈ R et tout y > 0, on a : ex = y ⇐⇒ x = ln(y).
Propriété
Preuve :
i) Soit x ∈ R.On note a = ln(ex). Par définition du logarithme, on a :
ea = ex =⇒ a = x.
C’est à dire ln(ex) = x.
ii) Alors, si y ∈]0;+∞[, on a ex = y =⇒ ln(ex) = ln(y) =⇒ x = ln(y).
Réciproquement, si x = ln(y), alors ex = eln(y) et donc ex = y.On a donc bien l’équivalence ex = y ⇐⇒ x = ln(y).
Remarque :En particulier, ln(e) = 1 et ln(1) = ln(e0) = 0.D’autre part, pour tous nombres réels a et b strictement positifs, ln(a) = ln(b) ⇐⇒ a = b. En effet, si
a = b, alors ln(a) = ln(b). Réciproquement, si ln(a) = ln(b), alors eln(a) = eln(b) et par suite a = b.
Exemple :On peut alors résoudre les équations suivantes :
• ex = 4 ⇐⇒ x = ln(4)
• ln(x) = 3 ⇐⇒ x = e3
• ln(2x) = 0 ⇐⇒ 2x = e0 ⇐⇒ 2x = 1 ⇐⇒ x =12
• e2x−1 = 2 ⇐⇒ 2x − 1 = ln(2) ⇐⇒ x =ln(2) + 1
2
70
Soient a, b ∈ R∗+. On a les égalités suivantes :
1) ln(a × b) = ln(a) + ln(b) ;
2) ln(
1b
)
= − ln(b) ;
3) ln( a
b
)
= ln(a)− ln(b) ;
4) ln(an) = n ln(a) pour tout n ∈ Z ;
5) ln(√
a) =12
ln(a).
Propriété (Relations fonctionnelles)
Preuve :Soient a, b deux nombres réels strictement positifs.
1) On calcule :
eln(a×b) = a × b
= eln(a) × eln(b)
= eln(a)+ln(b)
Par conséquent, ln(a × b) = ln(a) + ln(b).
2) On a :
0 = ln(1) = ln(
b × 1b
)
= ln(b) + ln(
1b
)
.
Ainsi, ln(
1b
)
= − ln(b).
3) On en déduit :
ln( a
b
)
= ln(a) + ln(
1b
)
= ln(a)− ln(b).
4) On montre d’abord par récurrence sur n :
∀n ∈ N, ln(an) = n ln(a).
⊲ Pour n = 0, on a ln(a0) = ln(1) = 0 = 0 ln(a).La propriété est vérifiée.
⊲ Supposons la propriété vérifiée au rang n ∈ N fixé. Montrons qu’elle l’est alors au rang n + 1.On a :
ln(an+1) = ln(an × a)= ln(an) + ln(a)= n ln(a) + ln(a) par hypothèse de récurrence= (n + 1) ln(a).
Ce qui achève la récurrence.
On obtient le résultat sur Z car si n ∈ N :
ln(a−n) = ln(
1an
)
= − ln(an) = −n ln(a).
5) On a :ln(a) = ln(
√a ×
√a) = ln(
√a) + ln(
√a) = 2 ln(
√a)
D’où ln(√
a) =12
ln(a).
Exemple :On a par exemple :
• ln(8) = ln(23) = 3 ln(2)
71
• ln(
14
)
= − ln(4) = −2 ln(2)
• ln
(√2
2
)
=12
ln(2)− ln(2) = −12
ln(2)
10.2 Propriétés de la fonction ln
1) La fonction logarithme népérien est continue sur R∗+.
2) La fonction ln est dérivable sur R∗+ et, pour tout x > 0, ln′(x) =
1x
.
3) La fonction ln est strictement croissante sur R∗+.
Propriété
Preuve :
1) Ce résultat est admis ici. La preuve dépasse le cadre du cours.
2) Soient x0 > 0, x > 0 et x 6= x0. Considérons le taux d’accroissement :
ln(x)− ln(x0)
x − x0.
On pose X = ln(x) et X0 = ln(x0), alors :
ln(x)− ln(x0)
x − x0=
X − X0
eX − eX0.
Par continuité de ln, on a limx→x0
ln(x) = ln(x0), c’est à dire limx→x0
X = X0.
Or :
limX→X0X 6=X0
X − X0
eX − eX0= lim
X→X0X 6=X0
(
eX − eX0
X − X0
)−1
=1
eX0=
1x0
.
Donc :
limx→x0x 6=x0
ln(x)− ln(x0)
x − x0=
1x0
.
D’où le résultat.
3) Pour tout x > 0, la fonction ln est dérivable et ln′(x) =1x
> 0. La fonction ln est donc strictement
croissante sur ]0;+∞[.
Remarque :Pour tous nombres réels a et b strictement positifs, on a :
ln(a) 6 ln(b) ⇐⇒ a 6 b et ln(a) < ln(b) ⇐⇒ a < b.
On a les deux limites suivantes :
limx→0+
ln(x) = −∞ et limx→+∞
ln(x) = +∞.
Propriété
72
Preuve :On traite d’abord la limite en +∞.Soit A > 0, on pose x0 = eA.Par croissance de la fonction ln, on a pour tout x > x0, ln(x) > ln(x0) = A.A étant arbitraire, on a :
∀A > 0, ∃x0 > 0, ∀x > x0, ln(x) > A
c’est à dire limx→+∞
ln(x) = +∞.
En posant pour tout x > 0, X =1x
, on a :
ln(x) = − ln(X) et limx→0+
X = +∞.
Or limX→+∞
ln(X) = +∞.
Donc limx→0+
ln(x) = −∞.
On peut maintenant dresser le tableau de variations de la fonction ln.
x
ln
0 +∞
−∞
+∞+∞
1
0
e
1
À l’aide de tout ce qui a été fait précédemment, on peut tracer la courbe représentative de la fonction ln.
−1
−2
−3
1
2
1 2 3 4 5 6 7
y = ln x
Remarque :Les courbes représentatives des fonctions exp et ln sont symétriques par rapport à la droite d’équation
y = x. Plus généralement, si deux fonctions sont réciproques l’une de l’autre alors leurs courbes représentativessont symétriques par rapport à la droite d’équation y = x.
−1
−2
−3
1
2
3
1 2 3−1−2−3
y = ln xy = exp(x)
y = x
73
On a les trois limites suivantes :
1) limx→0+
x ln(x) = 0 ;
2) limx→+∞
ln(x)
x= 0 ;
3) limx→0x 6=0
ln(1 + x)
x= 1.
Proposition
Preuve :
1) Soit x > 0, on pose X = ln(x). On a alors :
x ln(x) = eX × X et limx→0+
X = −∞.
Or :lim
X→−∞XeX = 0.
Donc :
limx→0+
x ln(x) = 0.
2) Pour tout x > 0, on pose X =1x
, alors :
ln(x)
x= −X ln(X) et lim
x→+∞X = 0+.
Or :
limX→0+
X ln(X) = 0.
Donc :
limx→+∞
ln(x)
x= 0.
3) Pour tout x > 0, on a :
ln(1 + x)
x=
ln(x + 1)− ln(1)x + 1 − 1
.
On reconnaît alors la limite du taux d’accroissement de la fonction logarithme en 1, c’est à dire :
limx→0x 6=0
ln(1 + x)
x= ln′(1) =
11= 1.
Soit u une fonction définie, dérivable et strictement positive sur un intervalle I.
La fonction ln u est dérivable sur I et ln(u(x))′ =u′(x)
u(x).
Propriété
Preuve :C’est une conséquence directe de la dérivation d’une composée de fonction. Comme u est strictement po-
sitive sur I alors la fonction ln u est bien définie. De plus, comme la fonction u est dérivable sur I, la fonction
ln u est dérivable sur I et pour tout x ∈ I, (ln u)′(x) = u′(x)× ln′ u(x) = u′(x)× 1u(x)
=u′(x)
u(x).
74
CHAPITRE 11
Intégration
Dans tout ce chapitre, on se place dans un repère (O,−→i ,
−→j ).
11.1 L’intégrale vue comme une aire
On note K le point de coordonnées (1; 1) dans le repère (O, I, J). L’unité d’aire choisie est l’aire du rectangleOIKJ :
1
1 2 3−1
1 unitéd’aire
×K×J
×I×O
Soit f une fonction continue et positive définie sur [a; b]. On note C f sa courbe représentative dans lerepère (O, I, J).L’intégrale de la fonction f de a à b est l’aire du domaine située entre la courbe C f et l’axe des abscissesainsi qu’entre les droites verticales passant par (a; 0) et (b; 0).Ce nombre est noté :
∫ b
af (t)dt.
C f
∫ b
af (t)dt
b
I
bJ
b
Oa b
Définition
Remarque : Dans la notation∫ b
af (t)dt, t est une variable muette. On peut la remplacer par n’importe qu’elle
autre lettre sans changer la valeur de ce nombre. À titre d’exemples, on a les égalités
∫ b
af (t)dt =
∫ b
af (x)dx =
∫ b
af (θ)dθ.
75
Exemple : On considère la fonction f définie sur R par f (x) = 2x − 3. On souhaite déterminer graphiquementl’intégrale suivante
∫ 4
2f (t)dt.
On représente graphiquement la fonction f dans un repère du plan et on hachure l’aire à déterminer.
1
2
3
4
1 2 3 4
La surface hachurée est un trapèze dont la petitebase vaut 1, la grande base vaut 5 et la hauteur vaut 2.
Or la formule donnant l’aire d’un trapèze est
A =(b + B)× h
2.
Ainsi∫ 4
2f (t)dt =
(1 + 5)× 22
= 6.
On peut étendre la notion d’intégrale au cas des fonctions négatives.
Soit f une fonction continue et négative sur un intervalle [a; b]. L’intégrale de a à b de la fonction f estl’opposé de l’intégrale de a à b de la fonction | f | (qui est une fonction positive sur [a; b]). En d’autres termes,
∫ b
af (t)dt = −
∫ b
a| f (t)|dt.
Définition
Remarque : Comme on peut avoir affaire à des aires positives ou négatives en calcul intégral, on parle d’airealgébrique.
La définition suivante étend la notion d’intégrale à des fonctions continues quelconques sur un intervalle[a, b].
Soit f une fonction continue sur un intervalle [a; b]. L’intégrale de a à b de f est la somme des airesalgébriques des domaines définies à partir des intervalles sur lesquels f (x) garde un signe constant.
Définition
Exemple : On considère la fonction f définie sur l’intervalle [−2; 2, 5] dont la courbe est donnée ci-dessous.
−1
−2
1
2
3
4
1 2−1−2
D1
D2
D3
C f
On a alors∫ 2,5
−2f (t)dt = aire(D1)− aire(D2) + aire(D3)
76
Remarque : Soit f une fonction continue sur un intervalle [a; b]. Pour tout c ∈ [a; b], on a∫ c
cf (t)dt = 0. En
effet, l’aire d’un rectangle de largeur nulle est nulle.
Pour finir cette section, on définit la valeur moyenne d’une fonction continue sur un intervalle [a; b].
Soit f une fonction continue sur un intervalle [a; b] avec a < b. La valeur moyenne de f sur [a; b] est lenombre réel µ donné par la formule
µ =1
b − a
∫ b
af (t)dt.
Définition
Remarque :On a (b − a)× µ =∫ b
af (t)dt. On interprète cette égalité en termes d’aires : « l’aire sous la courbe
de f est égale à l’aire sous la courbe de la fonction constante égale à µ ».
µ
−1
−2
1
2
3
4
5
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13−1−2−3−4 a b
C f
11.2 Premières propriétés de l’intégrale
Dans toute cette section f et g sont deux fonctions continues sur un intervalle [a; b]. On note respectivementC f et Cg leurs courbes représentatives dans le repère (O,
−→i ,
−→j ).
Soient α, β ∈ R. Alors∫ b
aα f (t) + βg(t)dt = α
∫ b
af (t)dt + β
∫ b
ag(t)dt.
Propriété (linéarité de l’intégrale)
Preuve : Admise.
Pour tout c ∈ [a; b], on a∫ c
af (t)dt +
∫ b
cf (t)dt =
∫ b
af (t)dt.
Propriété (Relation de Chasles)
Preuve : En revenant la définition d’une intégrale vue comme une aire et à l’aide d’un dessin, la démonstrationest facile.
77
C f
a b c
L’aire du domaine jaune est∫ c
af (t)dt, celle du domaine bleu
∫ b
cf (t)dt et
∫ b
af (t)dt est bien égale à la
somme des aires des domaines jaune et bleu.
Soit f une fonction continue sur un intervalle [a; b]. On a l’égalité
∫ b
af (t)dt = −
∫ a
bf (t)d(t).
Corollaire
Preuve :Par la relation de Chasles, on a
∫ a
af (t)dt =
∫ b
af (t)dt +
∫ a
bf (t)dt = 0.
Ce qui prouve l’égalité demandée.
Si pour tout x ∈ [a; b], f (x) > 0 alors∫ b
af (t)dt > 0.
Si pour tout x ∈ [a; b], f (x) 6 0 alors∫ b
af (t)dt 6 0.
Propriété
Preuve :Découle directement des définitions.
Remarque : Attention ! Les réciproques de cette propriété sont fausses !
Si pour tout x ∈ [a; b], f (x) 6 g(x) alors∫ b
af (t)dt 6
∫ b
ag(t)dt.
Propriété
Preuve :Dire que pour tout x ∈ [a; b] f (x) 6 g(x), c’est dire que pour tout x ∈ [a; b], f (x)− g(x) 6 0. Donc, par
linéarité de l’intégrale et d’après la propriété précédente∫ b
af (t)− g(t)dt =
∫ b
af (t)dt −
∫ b
ag(t)dt 6 0.
D’où∫ b
af (t)dt 6
∫ b
ag(t)dt.
Remarque : Encore une fois, la réciproque est fausse.
78
11.3 Primitive et intégration
Soit f une fonction continue sur un intervalle I = [a; b]. On dit qu’une fonction F est une primitive de fsur I si F est dérivable sur I et :
∀x ∈ I, F′(x) = f (x).
Définition
Exemple :On considère la fonction f définie sur R par f (x) = 5x + 2. Les fonctions F définies sur R par G(x) =
52
x2 + 2x + k, k ∈ R sont des primitives de f sur R.
Soit f une fonction continue sur un intervalle I. On suppose qu’il existe une primitive F de f sur I.L’ensemble des primitives de f sur I est l’ensemble des fonctions G définies sur I par G(x) = F(x)+ k, k ∈R.
Propriété
Preuve :Si G est une primitive de f sur I, on a F′ = G′ = f . D’où G′ − F′ = (G − F)′ = 0.Ainsi, G − F est une fonction constante, autrement dit, il existe k ∈ R tel que G(x) = F(x) + k.On finit la démonstration en vérifiant que pour k ∈ R, les fonctions données par la formule G(x) = F(x)+ k
sont des primitives de f sur I. C’est le cas puisque pour tout x ∈ I, G′(x) = F′(x) + 0 = f (x).
Tout comme pour la dérivation, on dispose de tableaux de primitives usuelles. On les donne ci-dessous.
f est une fonction continue sur un intervalle I et F une primitive de f sur I.
f (x) F(x) Ik ∈ R kx + c R
xn(n 6= −1)1
n + 1xn+1 + c R∗
1√x
2√
x + c R∗+
ex ex + c R
1x
ln(x) + c R∗+
sin x − cos x + c R
cos x sin x + c R
Propriété
Remarque : Certaines fonctions continues ne possèdent pas de primitives explicites. C’est le cas par exemplede la fonction f définie sur R par f (x) = e−x2
.
79
Soit u une fonction continue sur un intervalle I.
f F
u′un(n 6= 1)1
n + 1un+1 + c
u′
u(u > 0) ln(u) + c
u′√
u(u > 0) 2
√u + c
u′eu eu + c
Propriété
Exemple : Déterminons toutes les primitives de la fonction f définie par :
• f (x) =1x+
32√
xsur ]0;+∞[.
Les primitives de f sont les fonctions F de la forme :
F(x) = ln(x) + 3√
x + k, k ∈ R.
• f (x) = 3 sin(2x) sur R.Les primitives de f sont les fonctions F de la forme :
F(x) = −32
cos(2x) + k, k ∈ R.
• f (x) =x√
x2 + 1sur R.
En posant u(x) = x2 + 1 pour tout x ∈ R, on remarque que :
∀x ∈ R, f (x) =u′(x)
2√
u(x).
Les primitives de f sont les fonctions F de la forme :
F(x) =√
x2 + 1 + k, k ∈ R.
• f (x) =ex
ex + 4sur R.
En posant u(x) = ex + 4 pour tout x ∈ R, on remarque que :
∀x ∈ R, f (x) =u′(x)
u(x).
Les primitives de f sont les fonctions F de la forme :
F(x) = ln ((ex + 4) + k, k ∈ R.
80
Le théorème suivant permet de faire le lien entre le calcul de primitives et l’intégration.
Soient f une fonction continue sur un intervalle I et a ∈ I. La fonction F définie sur I par F(x) =∫ x
af (t)dt
est l’unique primitive de f sur I s’annulant en a.
Théorème
Preuve :On va supposer de plus, pour simplifier la démonstration, que f est une fonction croissante sur I. Com-
mençons par montrer que la fonction F donnée par la formule F(x) =∫ x
a f (t)dt est une primitive de f .Calculons le nombre dérivé de F en x0 ∈ I. Soit h ∈ R∗. On s’aide du dessin ci-dessous.
x0 + hx0
C f
f (x0)
f (x0 + h)
On en déduit l’encadrement suivant
h f (x0) 6 F(x0 + h)− F(x0) 6 h f (x0 + h).
Puis, en divisant par h chacun des membres de cet encadrement, on obtient :
f (x0) 6F(x0 + h)− F(x0)
h6 f (x0 + h) si h > 0 f (x0 + h) 6
F(x0 + h)− F(x0)
h6 f (x0) si h < 0.
Par continuité de f en x0, on a limh→0
f (x0 + h) = f (x0).
Par le théorème des gendarmes, on a donc, dans les deux cas :
limh→0h 6=0
F(x0 + h)− F(x0)
h= f (x0).
La fonction F est donc dérivable en x0 et F′(x0) = f (x0). Le résultat étant vrai pour tout x0 ∈ I, F est bienune primitive de f sur I qui s’annule en a (car
∫ aa f (t)dt = 0).
Achevons cette démonstration en montrant que cette primitive est unique. Soient alors G une deuxièmeprimitive de f qui s’annule en a. On a déjà vu que pour tout x ∈ I, G(x) = F(x) + k, k ∈ R. En particulier,G(a) = F(a) + k ⇐⇒ k = 0. D’où G = F.
Si f est une fonction continue sur un intervalle [a; b] et G une primitive de f sur [a; b], alors
∫ b
af (t)dt = [G(x)]ba = G(b)− G(a).
Théorème
Preuve :D’après le théorème précédent, x 7−→
∫ xa f (t)dt est l’unique primitive de f sur [a; b] s’annulant en a. Ainsi,
G(x) =∫ x
a f (t)dt + k avec k = G(a). Ensuite,∫ b
a f (t)dt = G(b)− k = G(b)− G(a).
81
Exemple :Soit f la fonction définie sur [0; 3] par f (x) = −x2 + 10.La fonction f est continue sur [0; 3] et on souhaite calculer l’aire sous la courbe :
∫ 3
0f (t)dt.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0
∫ 30 f (t)dt
Une primitive de la fonction f est F(x) = − x3
3+ 10x. On a alors :
∫ 3
0f (t)dt = F(3)− F(0) = −33
3+ 10 × 3 = −9 + 30 = 21.
82
CHAPITRE 12
Lois à densités
Dans tout ce chapitre, on considère une expérience aléatoire d’univers Ω, et X une variable aléatoire définiesur Ω.
12.1 Définition
Notation : dans toute la suite, si f est une fonction continue sur R, sauf en un nombre fini de points, ondéfinit :
∫
R
f (t) dt = limx→+∞
∫ x
−xf (t) dt.
On appellera densité une fonction f : R 7−→ R+ continue, sauf en un nombre fini de points, et telle que :∫
R
f (t) dt = 1.
Définition
Une variable aléatoire est dite à densité s’il existe une fonction de densité f telle que pour tous a, b ∈ R,avec a 6 b, on a :
P(a 6 X 6 b) =∫ b
af (t) dt.
Définition
Soit X une variable aléatoire à densité. On a :
i) Pour tout a ∈ R, P(X = a) = 0.
ii) Pour tous réels a et b tels que a 6 b :
P(a 6 X 6 b) = P(a < X 6 b) = P(a 6 X < b) = P(a < X < b).
Propriété
Preuve :On note f la densité de X.
i) Soit a ∈ R, on a :
P(X = a) = P(a 6 X 6 a) =∫ a
af (t) dt = 0.
ii) Soient a, b deux réels tels que a 6 b.On a :
P(a < X 6 b) = P(a 6 X 6 b)− P(X = a) = P(a 6 X 6 b).
Les autres égalités se démontrent de la même manière.
83
Soit X une variable aléatoire de densité f . L’espérance de X, si elle existe, est donnée par la formule :
E(x) =∫
R
t f (t) dt.
Définition
Soit X une variable aléatoire à densité.
• La variance de X, si elle existe, est le nombre réel :
V(X) = E((X − E(X))2) = E(x2)− E(X)2.
• L’écart-type de X est le nombre réel :
σ(X) =√
V(X).
Définition
Remarque :
• Dans certains cas, ni l’espérance, ni la variance d’une variable aléatoire n’existent, mais ces considérationsdépassent largement le cadre de ce cours.
• L’espérance correspond à la « valeur moyenne » prise par la variable aléatoire X, l’écart-type est un indicemesurant sa dispersion autour de la moyenne.
12.2 Loi uniforme
Soient a, b deux réels avec a < b.On dit qu’une variable aléatoire X suit la loi uniforme sur [a; b] si elle admet comme fonction de densité :
f : R −→ R
t 7−→
1b − a
si a 6 t 6 b
0 sinon
On note X ∼ U ([a; b]).
Définition
Remarque :
• On a tracé ci-dessous la courbe représentative de la fonction f :
1b − a
b b
b ba b
• La fonction f est bien une densité car :
∫
R
f (t) dt =∫ b
a
1b − a
dt = (b − a)× 1b − a
= 1.
84
Soient X une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur [a; b] et u, v deux réels de [a; b].
On a P(u 6 X 6 v) =v − u
b − a.
Propriété
Preuve :Par définition :
P(u 6 X 6 v) =∫ v
uf (t) dt
=∫ v
u
1b − a
dt
=v − u
b − a.
Remarque :On effectue en fait le rapport de la longueur de l’intervalle [u; v] sur celle de l’intervalle [a; b].
Soit X une variable aléatoire telle que X ∼ U ([a; b]). On a :
E(X) =a + b
2.
Propriété
Preuve :On revient une nouvelle fois à la définition :
E(X) =∫
R
t f (t) dt
=∫ b
a
t
b − adt
=1
b − a×[
t2
2
]b
a
=b2 − a2
2(b − a)
=a + b
2.
Remarque :Il s’agit en fait du milieu du segment [a; b].
Exemple :Chaque soir, Tristan et Mehdi se connectent en réseau pour jouer. Tristan se connecte systématiquement à
19h00 précises, tandis que Mehdi se connecte de manière aléatoire entre 19h00 et 19h30.
• Quelle est la probabilité qu’un soir, Tristan attende Mehdi plus de 10 minutes?
On note T le temps d’attente de Tristan, on a T ∼ U ([0; 30]).
On cherche alors P(10 6 T 6 30) =30 − 10
30=
23
.
• Un soir, Tristan attend depuis déjà 15 minutes. Agacé, il décide de se déconnecter dans les deux mi-nutes qui suivent si Mehdi n’arrive toujours pas. Quelle est la probabilité que les deux compères jouentensemble ce soir là ?
On cherche ici :
85
PX>15(X 6 17) =P(15 6 X 6 17)
P(15 6 X)=
2301530
=2
15.
• En moyenne, combien de temps Tristan attend-il ?
On calcule l’espérance :
E(X) =0 + 30
2= 15.
Tristan attend en moyenne 15 minutes par soir.
86
