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Catherine Potel, Philippe Gatignol Université du Maine, Le Mans
COURS DE MECANIQUE
2ème année
Catherine POTEL, Philippe GATIGNOL
Chapitre 1. CINEMATIQUE DU SOLIDE
Université du Maine - UFR Sciences et Techniques
Catherine Potel, Philippe Gatignol Université du Maine, Le Mans
AVANT-PROPOS A noter que la numérotation des paragraphes adoptée ici est calquée sur celle du cours oral afin de faciliter le suivi du cours magistral, mais ne répond pas aux normes de présentation usuelles d'un document écrit.
Chapitre 1 Cinématique du solide DEUST VAS 2
Catherine Potel - 1.1 - Université du Maine - Le Mans
I RAPPELS DE CINEMATIQUE DU POINT 1 Repères et bases
a) Base orthonormée directe B =
r r re e ex y z, ,d i est une base orthonormée si et seulement si :
⎪⎩
⎪⎨⎧
===⊥⊥
1eeeeee
zyx
zyxrrr
rrr
(vecteurs orthogonaux deux à deux) (vecteurs unitaires)
e y
ez
ex
Figure 1.1
.
e y
ez
ex
Figure 1.2
Si, de plus, deux des vecteurs de la base définissent le sens positif du troisième selon la "règle du tire-bouchon" ou selon la "règle des trois doigts", B =
r r re e ex y z, ,d i est une base orthonormée directe. Sinon, elle
est indirecte. Règle du tire bouchon : rotation de rex vers rey : progression selon rez (figure 1.1)
Représentation plane :
où . désigne un vecteur "rentrant" dans le plan de la feuille
. désigne un vecteur "pointant" vers le lecteur (figure 1.2).
b) Repère orthonormé direct
Un repère R de l'espace est défini par la donnée - d'un point de l'espace appelé origine, soit O. - soit de trois directions orientées x, y, z perpendiculaires deux à deux - soit de trois vecteurs libres unitaires, orthogonaux deux à deux, soit B =
r r re e ex y z, ,d i ,
la base orthonormée associée au repère R . Terminologie et notations : on parle alors du repère O x y z,b g ou du repère d'origine O et de base B =
r r re e ex y z, ,d i , noté selon les cas :
R , O x y z,b g, O e e ex y z; , ,r r rd i ou O,Bb g .
Chapitre 1 Cinématique du solide DEUST VAS 2
Catherine Potel - 1.2 - Université du Maine - Le Mans
c) Coordonnées d'un point - composantes d'un vecteur
y
z
x
O
M
H
z
y
x
e y
ez
ex
Figure 1.3
Un vecteur a des composantes sur une base B =
r r re e ex y z, ,d i . Ainsi,
OM xe ye zex y z
⎯ →⎯= + +
r r r ,
également noté :
OM x
yz
⎯ →⎯
B (1.1)
Remarque fondamentale. Un même vecteur a des composantes différentes suivant la base sur laquelle il est projeté. Il faut donc toujours signaler dans quelle base on a projeté le vecteur.
Un point M a pour coordonnées dans le repère R B= O,b g : M x y z, ,b g
d) Repère cartésien. Coordonnées cartésiennes
Soit R = O e e ex y z; , ,r r rd i un repère orthonormé positif donné.
A tout point M de l'espace, on associe le vecteur libre OM⎯ →⎯
.
Les composantes de OM⎯ →⎯
sur la base r r re e ex y z, ,d i sont appelées "coordonnées
cartésiennes du point M dans le repère R ". Nous les noterons x, y, z.
Cela revient à dire que OM xe ye zex y z
⎯ →⎯= + +
r r r (1.2)
e) Coordonnées cylindriques
On considère un plan Π orienté conformément au sens de sa normale, soit Oz, et un repère R = O e e ex y z; , ,r r rd i . Le repère O e ex y; ,r rd i est donc un repère positif du plan.
i) Coordonnées polaires dans le plan
H étant un point quelconque de O e ex y; ,r rd i, on considère la droite OHb g sur laquelle on
choisit une orientation qui n'est pas nécessairement celle du vecteur OH⎯ →⎯
. On définit ainsi un axe Ox1. On désigne par :
Chapitre 1 Cinématique du solide DEUST VAS 2
Catherine Potel - 1.3 - Université du Maine - Le Mans
O
y
z x
x 1 = OHρ
ϕΗ
.
Figure 1.4
ρ : la mesure algébrique OH sur Ox1. ϕ : l'angle algébrique Ox Ox, 1b g , défini modulo 2π. ρ et ϕ constituent un couple de "coordonnées polaires"
associé au point H.
Remarques : A un point H correspond une infinité de couples de coordonnées polaires : - il y a déjà l'infinité ρ ϕ π, + ∈2k ka f - si l'on change le choix de l'orientation de la droite OHb g , l'axe Ox1 est changé en son
opposé, donc ρ en -ρ et ϕ en ϕ + π (modulo 2π).
- on a donc la double infinité de points : ρ ϕ π
ρ ϕ π π,
,+
− + +RST ∈
22
kk
ka f (1.3)
i) Coordonnées cylindriques
Le repère R = O e e ex y z; , ,r r rd i étant donné, on peut repérer un point M quelconque de l'espace
de la manière suivante : on considère les projections H sur le plan O e ex y; ,r rd i et K sur l'axe
Oz. La position de H est repérée dans le plan par ses coordonnées polaires H ρ ϕ,b g et celles
de K sur Oz par la mesure algébrique OK z= .
Oy
z
x
M
H
K
= OH x1ρ
= OKz
ϕ
Figure 1.5
Le point M est donc repéré par le triplet ρ ϕ, , zb g appelé "coordonnées cylindriques" de M
dans R = O e e ex y z; , ,r r rd i , avec l'indétermination
sur ρ et ϕ déjà signalée.
On définit la base orthonormée locale des coordonnées cylindriques B c ze e e=
r r rρ ϕ, ,d i où
r r re e ezρ ϕ, , sont définis dans le sens des ρ ϕ, , z
croissants.
iii) Relations avec les coordonnées cartésiennes
Marche à suivre : Il faut d'abord déterminer les relations entre les vecteurs de la base des coordonnées
cartésiennes B =r r re e ex y z, ,d i et les vecteurs de la base orthonormée locale des coordonnées
cylindriques B c ze e e=r r rρ ϕ, ,d i .
Chapitre 1 Cinématique du solide DEUST VAS 2
Catherine Potel - 1.4 - Université du Maine - Le Mans
Sachant ensuite que OM xe ye zex y z
⎯ →⎯= + +
r r r et aussi que OM e zez
⎯ →⎯= +ρ ρ
r r , on en déduira alors les relations entre x y z, ,b get ρ ϕ, , zb g Obtention des relations cherchées :
ϕ.
ey
ez
ex
ϕ eρ
eϕ
Figure 1.6
La projection des vecteurs de la base B c ze e e=r r rρ ϕ, ,d i sur
ceux de la base B =r r re e ex y z, ,d i donne :
y
y
x
x
zz
ee
cossin
ee
esincos
eee
r
r
r
r
rr
r
r
ϕϕ
++
ϕ−ϕ
⎪⎩
⎪⎨
⎧
===
ϕ
ρ
. (1.4)
Inversement, la projection des vecteurs de la base B =
r r re e ex y z, ,d i sur ceux de la base
B c ze e e=r r rρ ϕ, ,d i donne :
r
r
r r
r
r
r
reee e
ee
ee
x
y
z z
===
RS|T|
−+
cossin
sincos
ϕϕ
ϕϕ
ρ
ρ
ϕ
ϕ , (1.5)
ce qui peut être résumé dans le tableau suivant :
100e0cossine0sincoseeee
z
zyx
r
r
r
rrr
ϕϕ−ϕϕ
ϕ
ρ . (1.6)
De plus,
OM e zee e ze
xe ye ze
z
x y z
x y z
⎯ →⎯= +
= + += + +
ρ
ρ ϕ ϕρr r
r r r
r r rcos sind i d'où
xyz z
===
RS|T|
ρ ϕρ ϕ
cossin . (1.7)
f) Coordonnées sphériques
Le repère O x y z,b g étant donné, ce qui revient à définir R = O e e ex y z; , ,r r rd i , et M désignant
un point quelconque non situé sur Oz, on considère le plan défini par Oz et ce point M. Ce plan coupe le plan O e ex y; ,r rd i selon une droite que l'on oriente de telle sorte que l'axe Ox1 ainsi défini "pointe" dans le demi plan contenant M. Comme précédemment, on appelle reρ le
vecteur unitaire porté par cette droite orientée.
Chapitre 1 Cinématique du solide DEUST VAS 2
Catherine Potel - 1.5 - Université du Maine - Le Mans
On désigne par : ϕ : l'angle algébrique Ox Ox, 1b g , défini modulo 2π, Oy1 : l'axe perpendiculaire, dans le plan O e ex y; ,r rd i tel que Oy Oy, 1b g = ϕ , reϕ : le vecteur unitaire porté par l'axe Oy1,
Oz2 : la droite OMb g orientée dans le sens du vecteur OM⎯ →⎯
,
r : la mesure algébrique OM , toujours positive, rer : le vecteur unitaire porté par l'axe Oz2, θ : l'angle orienté Oz Oz, 2b g, compté positivement dans le plan O z x, 1b g, c'est-
à-dire le plan O e ez; ,r rρd i, conformément à l'orientation de sa normale Oy1 et
compris entre 0 et π, Ox2 : l'axe perpendiculaire, dans le plan O e ez; ,r r
ρd i tel que Ox Ox1 2,b g = θ , reθ : le vecteur unitaire porté par l'axe Ox2.
O y
z
x
M
H
K
x1
y1
ϕ
θ
z 2
r
x 2
θ
Figure 1.7
O x y z, 1 1b g ou R c zO e e e= ; , ,r r rρ ϕd i est donc un
nouveau repère orthonormé positif, déduit de O x y z,b g par rotation de ϕ autour de Oz, commun aux deux repères. O z x y, 2 2 1b g ou R s rO e e e= ; , ,r r r
θ ϕd i est donc un
nouveau repère orthonormé positif, déduit de O x y z, 1 1b g par rotation de θ autour de Oy1, commun
aux deux repères. Le point M est donc repéré par le triplet r, ,θ ϕb g appelé
"coordonnées sphériques" de M dans
R = O e e ex y z; , ,r r rd i , avec r >∈
∈
RS|T|
00
0 2 2θ π
ϕ π π,
, b g . (1.8)
Remarque. Ces coordonnées ne sont pas définies lorsque M est sur Oz. ϕ s'appelle l'azimut et θ la colatitude. Cherchons maintenant les relations avec les coordonnées cartésiennes.
Chapitre 1 Cinématique du solide DEUST VAS 2
Catherine Potel - 1.6 - Université du Maine - Le Mans
Marche à suivre : * Il faut d'abord déterminer les relations entre les vecteurs de la base des coordonnées cartésiennes B =
r r re e ex y z, ,d i avec les vecteurs de la base locale des coordonnées cylindriques
B c ze e e=r r rρ ϕ, ,d i, ce qui a fait l'objet du § I/1-e).
* Il faut ensuite déterminer les relations entre les vecteurs de la base locale des coordonnées cylindriques B c ze e e=
r r rρ ϕ, ,d i avec les vecteurs de la base locale des coordonnées sphériques
B s re e e=r r r, ,θ ϕd i .
* Sachant ensuite que OM xe ye zex y z
⎯ →⎯= + +
r r r et aussi que OM rer
⎯ →⎯=r , on en déduira alors les
relations entre x y z, ,b get r, ,θ ϕb g. Obtention des relations cherchées :
Les deux figures suivantes 1.8 a) et 1.8 b) sont tout à fait équivalentes. La première se rapproche plus du dessin en perspective de la figure 1.7, alors que la deuxième permet de se ramener à une configuration classique pour projeter les vecteurs de base.
ez e r
eθ
θ
θ eρeϕ
. θ. ez
e r
eθ
θ
eρ
eϕ figure 1.8-a) figure 1.8-b)
où . désigne un vecteur "rentrant" dans le plan de la feuille
. désigne un vecteur "pointant" vers le lecteur. La projection des vecteurs de la base B s re e e=
r r r, ,θ ϕd i sur ceux de la base B c ze e e=r r rρ ϕ, ,d i
donne :
r
r
r r
r
r
r
reee e
ee
ee
r z
z
===
RS|T|
−++θ
ϕ ϕ
ρ
ρ
θθ
θθ
cossin
sincos . (1.9)
Chapitre 1 Cinématique du solide DEUST VAS 2
Catherine Potel - 1.7 - Université du Maine - Le Mans
Inversement, la projection des vecteurs de la base B c ze e e=r r rρ ϕ, ,d i sur ceux de la base
B s re e e=r r r, ,θ ϕd i donne :
r
r
r r
r
r
r
reee e
ee
ee
z r
r
===
RS|T|
−+ρ
ϕ ϕ
θ
θ
θθ
θθ
cossin
sincos . (1.10)
Il reste ensuite à remplacer les vecteurs de la base B c ze e e=
r r rρ ϕ, ,d i par leur expression en
fonction des vecteurs de la base B =r r re e ex y z, ,d i dans l'équation précédente, ce qui peut être
résumé dans le tableau suivant :
r r r
r
r
r
e e eeee
x y z
r sin cos sin sin coscos cos cos sin sin
sin cos
θ ϕ θ ϕ θθ ϕ θ ϕ θ
ϕ ϕθ
ϕ
−− 0
(1.11)
De plus,
OM rer e e exe ye ze
r
x y z
x y z
⎯ →⎯== + += + +
r
r r r
r r rsin cos sin sin cosθ ϕ θ ϕ θd i
d'où x ry rz r
===
RS|T|
sin cossin sincos
θ ϕθ ϕθ
. (1.12)
g) En résumé
- Coordonnées cartésiennes : x, y, z ; OM xe ye zex y z
⎯ →⎯= + +
r r r
- Coordonnées cylindriques : ρ ϕ, , zb g ; OM e zez
⎯ →⎯= +ρ ρ
r r
- Coordonnées sphériques : r, ,θ ϕb g ; OM rer
⎯ →⎯=r
OM xyz
OM
z
OM r
c s
⎯ →⎯ ⎯ →⎯ ⎯ →⎯
= =B B B
ρ0 0
0
Chapitre 1 Cinématique du solide DEUST VAS 2
Catherine Potel - 1.8 - Université du Maine - Le Mans
2. Vecteurs vitesse, rotation et accélération
a) Vecteur vitesse
Définition : on appelle vecteur vitesse (ou simplement la vitesse) d'un point M par rapport à un repère R B= O,b g le vecteur dérivée par rapport au temps t , et par
rapport à la base B , du vecteur position OM⎯ →⎯
. Notation :
rV M d M
dt/
/
R
B
a f=FHGG
IKJJ
⎯→⎯O . (1.13)
Dimension : V LT en m s= −1 /
b) Vecteur accélération
Définition : On appelle vecteur accélération ( ou simplement accélération) d'un point M par rapport à un repère R B= O,b g le vecteur dérivée par rapport au temps, et par rapport à la base B , du vecteur vitesse
rV M /Rb g .
Notation :
r
r
Γ M d Mdt
dVdtM/
/
/
/
R
B
R
B
a f=FHGG
IKJJ =
FHG
IKJ
⎯→⎯2
2
O . (1.14)
Dimension : Γ = −LT en m s2 2/
c) Vecteur rotation
i) Introduction : mouvement d'un point dans le plan
Première méthode : utilisation des composantes cartésiennes sur B 0
O
y
z x
x 1 = OMρ
ϕΜ
.0
0
0 Figure 1.9
Les coordonnées polaires ρ tb g et ϕ tb g sont liées aux
coordonnées cartésiennes par (voir ch 1 § I/1-g) :
x t t ty t t tb g b g b gb g b g b g
==
RSTρ ϕρ ϕ
cossin
. (1.15)
Chapitre 1 Cinématique du solide DEUST VAS 2
Catherine Potel - 1.9 - Université du Maine - Le Mans
On a donc : & & cos & sin& & sin & cosx ty tb gb g
= −= +
RSTρ ϕ ρϕ ϕρ ϕ ρϕ ϕ
(1.16)
Or ,
r r rV M x e y ex y/ & &R 0 0 0d i = + (1.17)
c'est-à-dire r r r r rV M e e e ex y x y/ & cos sin & sin cosR 0 0 0 0 0d i d i d i= + + − +ρ ϕ ϕ ρϕ ϕ ϕ ,
d'où
r r rV M e e/ & &R 0d i = +ρ ρϕρ ϕ (1.18)
en introduisant la base B c e e=r rρ ϕ,d i, vue au chapitre 1 § I/1-g), dite "base locale" car elle
dépend de la position du point M.
Deuxième méthode : utilisation des composantes sur la base locale B c
OM e⎯ →⎯
= ρ ρr donc ( )
00
//
0 tded
etd
OMd/MVB
B
R ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ρ+ρ=
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛= ρ
ρ
⎯→⎯ rr
&r
. (1.19)
Identification Par identification des relations (1.18) et (1.19), il vient
ϕρ ϕ=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛e
tded
0/
r&
r
B
,
soit ( ) ρρ ∧Ω=∧
ϕ=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛e/
001
00
tded
0c
00/ 0
rr
&
r
BBBBB
. (1.20)
Le vecteur vitesse du point M par rapport au repère 0R peut donc s'écrire
( ) MO//
tdMOd
/tdMOd
0c
c0
∧Ω+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛BB
BB
r (1.21)
avec ( )0z0c e/ r
&r
ϕ=Ω BB . (1.22)
ii) Cas particulier important
Soient B1 et B 2 deux bases orthonormées définies par :
B1 1 1 1= r r re e ex y z, ,d i et B 2 2 2 2
= r r re e ex y z, ,d i avec r re ez z1 2
= . B1 et B 2 sont déduites l'une de l'autre par rotation d'angle α autour de re z 1
(figure 1.10).
Chapitre 1 Cinématique du solide DEUST VAS 2
Catherine Potel - 1.10 - Université du Maine - Le Mans
α.ez
α
e y1
1
ex1
ex2
e y2 →
→→
→→
Figure 1.10
r
r
r r
r
r
r
reee e
ee
ee
x
y
z z
x
x
y
y
2
2
1 1
1
1
1
1
===
RS|T|
−++
cossin
sincos
αα
αα
r r r
r
r
r
e e eeee
x y z
x
y
z
2 2 2
1
1
1
00
0 0 1
cos sinsin cos
α αα α
−
Définition : On appelle vecteur rotation instantané (à l'instant t) associé au mouvement de B 2 par rapport à B1 le vecteur :
r rΩB B2 / &1 1
d i = α e z , (1.23)
c'est-à-dire que rΩB B2 / 1d i est le vecteur autour duquel on tourne, multiplié par la dérivée
par rapport au temps de l'angle dont on tourne. Dimension :
rΩB B2 / 1d i est une vitesse angulaire instantanée, donc Ω = −rad s. 1
! 1 260
1tr rad s/ min .= −π
iii) Cas général
On peut montrer que, lorsque les bases B1 et B 2 sont quelconques,
r rr
r rr
r rr
rΩB B
B B B2 1
1 1 1
22
2 22
2 22
2/ .
/.
/.
/d i = F
HGIKJ
L
NMMM
O
QPPP
+FHG
IKJ
L
NMMM
O
QPPP
+FHG
IKJ
L
NMMM
O
QPPP
ede
dte e
dedt
e ede
dtez
yx x
zy y
xz (1.24)
avec
( )
( )
( )⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
∧Ω=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∧Ω=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∧Ω=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
22
22
22
z12
1
z
y12
1
y
x12
1
x
e//
dted
e//
dted
e//
dted
rrr
rrr
rrr
BBB
BBB
BBB
.
(1.25)
Chapitre 1 Cinématique du solide DEUST VAS 2
Catherine Potel - 1.11 - Université du Maine - Le Mans
3 Dérivée d'une fonction vectorielle par rapport à des bases mobiles entre elles - La base de projection est la base sur laquelle on projette un vecteur. - La base de dérivation est la base par rapport à laquelle on dérive un vecteur. - La base de dérivation et la base de projection ne sont pas forcément les mêmes et seront souvent différentes. - Si la base de projection est la même que la base de dérivation, alors la dérivée du vecteur sera obtenue en dérivant uniquement les composantes de ce vecteur par rapport au temps. - Si les deux bases sont différentes, il faudra alors dériver aussi les vecteurs de la base de projection par rapport à la base de dérivation, ou utiliser la formule de changement de base de dérivation.
Soit F→
une fonction vectorielle à dériver par rapport au temps t et par rapport à B 1.
d Fdt
d Fdt
F→ →
→FHGG
IKJJ =
FHGG
IKJJ + ∧
/ //
B BB B
1 2
2 1
rΩd i . (1.26)
Cette égalité apparaît comme la formule de changement de base de dérivation. En particulier, la vitesse et l'accélération d'un point M par rapport au repère 0R s'écrivent
respectivement
( ) ( ) MO//
tdMOd
/tdMOd/MV 01
10
0 ∧Ω+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛= BB
BBR
rr (1.27)
et ( ) ( ) ( ) ( ) ( )001
1
0
0
00 /MV/
/td/MVd
/td/MVd
/M RBBB
R
B
RR
rrrr
r∧Ω+⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=Γ (1.28)
4 Composition des mouvements On a déjà vu que l'étude du mouvement des systèmes mécaniques fait souvent appel à plusieurs repères de l'espace, mobiles les uns par rapport aux autres. On attachera alors un repère à un solide, et on dira que le repère est lié au solide.
Chapitre 1 Cinématique du solide DEUST VAS 2
Catherine Potel - 1.12 - Université du Maine - Le Mans
R 1 2R
3R
d i1S 2S id
S 3id
Figure 1.11
⇒ Nécessité de préciser par rapport à quel repère on étudie le mouvement d'un point ou d'un solide. Notation : R Bi i iO= ,d i lié au solide S id i .
a) Point lié à un repère donné et point coïncident
i) Point lié à un repère donné
Définition : Etant donné un repère R 1, éventuellement mobile par rapport à d'autres repères, on dit qu'un point M est lié au repère R 1 s'il est fixe par rapport à R 1, c'est-à-dire que ses coordonnées dans R 1 ne dépendent pas du temps.
∀ =t V M, /r r
R1 0c h (1.29)
Notation : lorsqu'un point M est lié à un repère indicé, comme R1 ci-dessus, on prendra
l'habitude d'affecter le point du même indice, soit ici M1. M S M M∈ ⇔ ∈ ⇔1 1 1c h c hR
ii) Point coïncident
Soit un point M mobile à la fois par rapport au repère R 0 et par rapport au repère R 1, avec R 1 mobile par rapport à R 0. A chaque instant, M occupe une position M 0 dans R 0 , avec M 0 lié à R 0 et une position M 1 dans R 1 , avec M 1 lié à R 1
Définition : On appelle M 0 et M 1 les points coïncidents avec M , à l'instant t considéré, dans les repères R 0 et R 1 respectivement.
Remarque fondamentale : lorsque le temps varie, ces points coïncidents, fixes dans leurs repères respectifs, changent néanmoins. Ainsi, soit un voyageur M qui part de Compiègne à 13 h, se trouve à Paris à 14 h, à Melun à 15 h et à Troyes à 16 h. Le point coïncident de M dans le repère R 0 = France à l'instant t =14 est M Paris0 = , et à l'instant t =15 : M Melun0 = .
Le point coïncident varie d'un instant à l'autre, et cependant chacun d'entre eux est fixe par rapport à la France !
Chapitre 1 Cinématique du solide DEUST VAS 2
Catherine Potel - 1.13 - Université du Maine - Le Mans
Le point coïncident avec M dans un repère donné est donc le lieu (lié à ce repère) où se trouve le point M à l'instant considéré. La succession, au cours du temps, des points coïncidents avec M (donc des lieux occupés par M) dans le repère R 0 (ou dans le repère R 1) constitue la trajectoire C 0 de M par rapport à R 0 (ou C 1 par rapport à R 1).
Exemple :
R 1d i1S
R 0d i0S I 0
1I
Figure 1.12
Ce n'est pas toujours le même point de S 1d i qui est
en contact avec le sol S 0d i.
b) Composition des vitesses
Soit un point M en mouvement par rapport à un train 1S , lui même en mouvement par rapport au rail 0S (figure 1.13).
S 0
S 1
rail
train
Figure 1.13 Vectoriellement, partant de la relation de Chasles pour les vecteurs :
O M O O O M0 0 1 1
⎯ →⎯ ⎯ →⎯ ⎯ →⎯= + , (1.30)
on obtient, par dérivation de l'équation (1.30) par rapport au temps et par rapport à la base 0B :
d O Mdt
d O Odt
d O Mdt
0 0 1 1
0 0 0
⎯ →⎯ ⎯ →⎯ ⎯ →⎯F
HGG
I
KJJ =
F
HGG
I
KJJ +
F
HGG
I
KJJ
/ / /B B B
.
(1.31)
Utilisant la formule de changement de base de dérivation (1.26), on écrit le second terme du second membre de l'équation précédente sous la forme :
d O M
dtd O M
dtO M1 1
1 0 1
0 1
⎯ →⎯ ⎯ →⎯⎯ →⎯
F
HGG
I
KJJ =
F
HGG
I
KJJ + ∧
/ /
/
B B
B BrΩd i
. (1.32)
On peut alors s'écrire :
Chapitre 1 Cinématique du solide DEUST VAS 2
Catherine Potel - 1.14 - Université du Maine - Le Mans
d O M
dtd O M
dtd O O
dtO M0 1 0 1
1 0 1
0 1 0
⎯ →⎯ ⎯ →⎯ ⎯ →⎯⎯ →⎯
F
HGG
I
KJJ =
F
HGG
I
KJJ +
F
HGG
I
KJJ + ∧
/ / /
/
B B B
B BrΩd i
. (1.33)
soit, en termes de vecteurs vitesse :
r r r rV M V M V O O M/ / / /R R R B B0 1 1 0 1 0 1b g b g c h c h= + + ∧
⎯→⎯Ω . (1.34)
La relation (1.34) peut également s'écrire, en faisant intervenir le point coïncident avec M , à l'instant t considéré, dans le repère R 1 :
r r rV M V M V M/ / /R R R0 1 1 0b g b g b g= + . (1.35)
vitesse absolue vitesse relative vitesse d'entraînement La relation (1.35) est dite de "composition des vitesses" Terminologie et interprétation : - le vecteur
rV M /R 0b g représente la vitesse du point M par rapport au repère "fixe" (par
convention) R 0 . Un usage ancien désigne ce repère fixe comme "absolu" (ce qui n'a aucune signification physique particulière dans ce contexte) et ce vecteur vitesse s'appelle alors la vitesse absolue du point M. Par commodité, nous conserverons cette appellation. - le vecteur
rV M /R 1b g représente la vitesse du point M par rapport au repère "mobile" (par
convention également) R 1. L'usage est d'appeler ce vecteur la vitesse relative du point M. - la compréhension du terme
rV M1 0/Rb g est plus subtile. Comme on l'a vu au § I/4-a), le
point coïncident M1 est le lieu du repère R 1 où se trouve M à l'instant considéré. Ce point M1, ainsi bien identifié à cet instant précis, en tant que point lié au repère R 1 mobile par rapport à R 0 , admet un vecteur vitesse par rapport à ce repère "fixe" :
rV M1 0/Rb g . On
l'appelle vitesse d'entraînement du point M dans le mouvement de R 1 par rapport à R 0 . En d'autres termes, le point M décrit, au cours du temps, une trajectoire C 1 dans le repère R 1. A
l'instant t considéré, il se trouve au point M1 de cette trajectoire. D'une part, le point M possède à cet instant une vitesse par rapport au repère R 1 : c'est la vitesse "relative" rV M /R 1b g, tangente à la trajectoire C 1 au point M1. D'autre part, puisque R 1 est mobile
par rapport à R 0 , le point M1 de C 1, lié à R 1, possède à ce même instant une vitesse par rapport à R 0 : c'est la vitesse "d'entraînement"
rV M1 0/Rb g , totalement indépendante de la
vitesse relative précédente. Par ailleurs, le point mobile M se déplace lui aussi par rapport à R 0 et il possède donc une vitesse par rapport à ce repère : c'est la vitesse "absolue"
Chapitre 1 Cinématique du solide DEUST VAS 2
Catherine Potel - 1.15 - Université du Maine - Le Mans
rV M /R 0b g. La formule de composition des vitesses nous apprend que ce dernier vecteur est
la somme vectorielle de la vitesse relative et de la vitesse d'entraînement.
c) Composition des accélérations La terminologie est identique : - accélération relative :
rΓ M /R 1b g
- accélération d'entraînement : rΓ M1 0/Rb g.
Cependant, contrairement au cas de la composition des vitesses, il ne suffit pas d'ajouter ces accélérations, puisque la deuxième ligne représente un terme complémentaire qui couple les effets du mouvement du repère R 1 par rapport au repère R 0 à ceux du mouvement relatif de M par rapport à R 1. Cette accélération, appelée accélération complémentaire, sera notée : rΓ c M / /R R1 0b g .
Avec ces notations, la formule de composition des accélérations s'écrit :
r r r rΓ Γ Γ ΓM M M Mc/ / / / /R R R R R0 1 1 0 1 0b g b g b g b g= + + . (1.36)
Vectoriellement, reprenons l'égalité vectorielle (1.34)
r r r rV M V M V O O M/ / / /R R R B B0 1 1 0 1 0 1b g b g c h c h= + + ∧
⎯→⎯Ω
et dérivons-la par rapport à t et par rapport à la base B0. On obtient l'accélération "absolue"
du point M :
rr r r
rr
Γ
ΩΩ
Md V M
d td V M
d td V O
d t
d
d tO M
d O Md t
// / /
//
/ / /
/ /
RR R R
B BB B
B B B
B B
00 1 1 0
1 01 1 0
1
0 0 0
00
b g b g b g b g
d i d i
=FHG
IKJ =
FHG
IKJ +
FHG
IKJ
+FHGG
IKJJ ∧ + ∧
F
HGG
I
KJJ
⎯ →⎯⎯ →⎯ (1.37)
On peut écrire autrement le premier et le quatrième termes du second membre de l'équation (1.37) en utilisant la formule de changement de base de dérivation :
d V Md t
d V Md t
V Mr r
r r/ // /
/ /
R RB B R
B B
1 11 0 1
0 1
b g b g d i b gFHG
IKJ =
FHG
IKJ + ∧Ω
= + ∧r r rΓ ΩM V M/ / /R B B R1 1 0 1b g d i b g
Chapitre 1 Cinématique du solide DEUST VAS 2
Catherine Potel - 1.16 - Université du Maine - Le Mans
et d O M
d td O M
d tO M1 1
1 0 1
0 1
⎯ →⎯ ⎯ →⎯⎯ →⎯
F
HGG
I
KJJ =
F
HGG
I
KJJ + ∧
/ /
/
B B
B BrΩd i
= + ∧⎯ →⎯r r
V M O M/ /R B B1 1 0 1b g d iΩ
rΓ M /R 0b g peut alors être réécrit de la manière suivante :
r r
rr
r r
r r
Γ Γ
ΓΩ
Ω Ω
Ω
M M
Od
d tO M O M
V M
/ /
//
/ /
/ /
/
R R
RB B
B B B B
B B R
B
0 1
1 01 0
1 1 0 1 0 1
1 0 1
0
2
b g b g
c h c h c h c h
c h b g
=
+ +FHG
IKJ
∧ + ∧ ∧LNM
OQP
+ ∧
⎯→⎯ ⎯→⎯ (1.38)
Le premier terme du second membre de l'équation (1.38) est l'accélération relative. Elle ne fait intervenir que le mouvement de M par rapport au repère R 1. La deuxième ligne regroupe les termes qui ne font intervenir que le mouvement de R 1 par rapport à R0. Ils correspondent donc à l'accélération d'entraînement.
Le dernier terme donne une expression de l'accélération complémentaire :
r r rΓ Ωc M V M/ / / /R R B B R1 0 1 0 12b g c h b g= ∧ . (1.39)
Dans cette expression, le mouvement de R 1 par rapport à R0 apparaît par le vecteur rotation rΩ B B1 0/d i, tandis que le mouvement relatif de M par rapport à R 1 intervient par la vitesse
relative rV M /R 1b g. Ce terme complémentaire porte parfois le nom d'accélération de
Coriolis.
d) Composition des rotations Soient trois bases 0B , 1B et 2B , en mouvement les unes par rapport aux autres. On cherche une relation entre les vecteurs rotation associés au mouvement de 2B par rapport à
0B c'est-à-dire ( )02 /BBΩr
, au mouvement de 1B par rapport à 0B c'est-à-dire
( )01 /BBΩr
et au mouvement de 2B par rapport à 1B c'est-à-dire ( )12 /BBΩr
.
Calculons la dérivée d'une fonction vectorielle F
r quelconque par rapport au temps et par
rapport à la base 0B , en appliquant la formule de changement de base de dérivation (1.26) à
Chapitre 1 Cinématique du solide DEUST VAS 2
Catherine Potel - 1.17 - Université du Maine - Le Mans
et en faisant tout d'abord intervenir sa dérivée par rapport au temps et par rapport à la base 2B
( ) F//
tdFd
/tdFd
02
20
rrrr
∧Ω+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛BB
BB , (1.40)
puis sa dérivée par rapport au temps et par rapport à la base 1B
( ) F//
tdFd
/tdFd
01
10
rrrr
∧Ω+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛BB
BB . (1.41)
L'application de la formule de changement de base de dérivation (1.26) au vecteur Fr
, en faisant intervenir les bases 1B et 2B donne
( ) F//
tdFd
/tdFd
12
21
rrrr
∧Ω+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛BB
BB . (1.42)
Le report de la relation (1.42) dans la relation (1.41) s'écrit
( ) ( )[ ] F///
tdFd
/tdFd
0112
20
rrrrr
∧Ω+Ω+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛BBBB
BB . (1.43)
L'identification des équations (1.43) et (1.40), vraies pour tout vecteur Fr
, donne finalement la formule de composition des rotations :
r r rΩ Ω ΩB B B B B B2 0 2 1 1 0/ / /d i d i d i= + . (1.44)
Ce résultat est tout à fait généralisable à n bases. Remarque :
L'équation (1.44) implique aussi : r r rΩ Ω ΩB B B B B B2 2 2 1 1 2/ / /d i d i d i= + .
Or r rΩB B2 2 0/d i = ,
d'où
r rΩ ΩB B B B2 1 1 2/ /d i d i= − . (1.45)
S 1
2S
ez o
→
Figure 1.14
Exemple : solides en rotation autour du même axe O ez, r
0d i
( )0z202 e/
rrω=Ω BB ,
et r r rΩ ΩB B B B1 0 1 0 10
/ /d i d i= = −ω e z ,
donc r r r rΩ Ω ΩB B B B B B2 1 2 0 0 1 2 1 0
/ / /d i d i d i d i= + = −ω ω e z .
Chapitre 1 Cinématique du solide DEUST VAS 2
Catherine Potel - 1.18 - Université du Maine - Le Mans
Cas particuliers importants : base locale des coordonnées cylindriques et des coordonnées sphériques mobiles par rapport à une base fixe
i) Coordonnées cylindriques On a vu au chapitre 1 § I/1-e) le passage des vecteurs de la base des coordonnées cartésiennes B =
r r re e ex y z, ,d i aux vecteurs de la base orthonormée locale des coordonnées cylindriques
B c ze e e=r r rρ ϕ, ,d i. Ces deux bases sont déduites l'une de l'autre par rotation d'angle ϕ autour
de rez. Comme on l'a vu au § I/2-c, le vecteur rotation associé au mouvement de B c par
rapport à B est donné par
r rΩB Bc ze/ &c h = ϕ . (1.46)
ii) Coordonnées sphériques
On a vu au chapitre 1 § I/1-f) le passage des vecteurs de la base des coordonnées cartésiennes B =
r r re e ex y z, ,d i aux vecteurs de la base orthonormée locale des coordonnées sphériques
B s re e e=r r r, ,θ ϕd i , par l'intermédiaire de la base orthonormée locale des coordonnées
cylindriques B c ze e e=r r rρ ϕ, ,d i .
- On passe de B à B c par rotation d'angle ϕ autour de rez. - On passe de B c à B s par rotation d'angle θ autour de reϕ
Comme on l'a vu au § § I/2-c, on obtient donc le vecteur rotation associé au mouvement de B s par rapport à B c :
r rΩB Bs c e/ &d i = θ ϕ . (1.47)
Or, par application de la composition des rotations (1.44), on a :
r r rΩ Ω ΩB B B B B Bs s c c/ / /d i d i d i= + ,
d'où
r r rΩB Bs ze e/ & &c h = +ϕ θ ϕ . (1.48)
e) Vitesse de glissement
I2
(S )1
(S )2
I
I1
Figure 1.15
Il faut distinguer trois points I point géométrique de contact I I1 1≡ ∈R point de R 1 au contact I I2 2≡ ∈R point de R 2 au contact
Chapitre 1 Cinématique du solide DEUST VAS 2
Catherine Potel - 1.19 - Université du Maine - Le Mans
Définition : La vitesse de glissement de S 2d i par rapport à S 1d i est :
( ) ( )
( ) ( ) ./IV/IV,/IVS/SV
12
1212g
RRRR
∀−==
rr
rr(1.49-a)(1.49-b)
Lorsque le contact est sans glissement,
r r r rV S S V I V Ig 2 1 2 10/ / /d i d i d i= ⇒ =R R . (1.50)
Exemple : roue indéformable sur une chaussée. Dans les cas d'utilisation usuels, le contact se fait avec roulement sans glissement. Pour des situations particulières, fort freinage ou verglas, le contact peut se faire avec glissement ; il y a alors dérapage au contact.
! même lorsque le contact se fait sans glissement, la vitesse du point géométrique de contact I par rapport à la chaussée S1b g est non nulle (figure 1.15) : le point de contact va naturellement à la même vitesse que la roue. C'est le morceau I2 de la roue situé au lieu de contact qui voit, à cet instant et à cet instant seulement, sa vitesse passer par la valeur zéro.
II CHAMP DE VITESSE D'UN SOLIDE INDEFORMABLE 1 Relation entre les vitesses de deux points liés au même solide Soient 1P et 1Q deux points appartenant au même solide ( )1S , lié au repère ( )111 ,O BR = et en mouvement par rapport au repère ( )000 ,O BR = .
La vitesse du point 1P par rapport au repère 0R s'écrit
( )0
101
/tdPOd
/PVB
R ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛=
r , (1.51-a)
soit, en faisant usage de la relation de Chasles,
( )0
11
0
1001
/tdPQd
/tdQOd
/PVBB
R⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛+
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛=
r . (1.51-b)
En reportant l'expression de la vitesse ( )01 /QV Rr
dans la relation (1.51-b), et en faisant
usage de la formule de changement de base de dérivation (1.26), il vient
( ) ( ) ( ) 1101
1
110101 PQ/
/tdPQd
/QV/PV ∧Ω+⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛+= BB
BRR
rrr . (1.51-c)
Chapitre 1 Cinématique du solide DEUST VAS 2
Catherine Potel - 1.20 - Université du Maine - Le Mans
Le vecteur 11PQ étant lié au solide ( )1S , sa dérivée par rapport au temps et par rapport à 1B
est nulle, ce qui conduit à la relation cherchée
r rV P V Q Q P1 0 1 0 1 0 1 1/ / /R R Bd i d i d i= + ∧
→ ⎯ →⎯Ω B , (1.52)
dite formule de distribution des vitesses. ! Cette relation n'est vraie que pour deux points appartenant au même solide rigide S 1d i.
2. Equiprojectivité des vitesses D'après la formule de distribution des vitesses,
r r
1 244444 344444
V P P Q V Q P Q Q P P Q1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1
0
/ / /R R Bd i d i d i⋅ = ⋅ + ∧LNMM
OQPP⋅
⎯ →⎯ ⎯ →⎯ → ⎯ →⎯ ⎯ →⎯Ω B
d'où r rV P P Q V Q P Q1 0 1 1 1 0 1 1/ /R Rd i d i⋅ = ⋅
⎯ →⎯ ⎯ →⎯ . (1.53)
Q
P
V→
P1 0/Rd i
Q1V→
0/Rd i
Figure 1.16
Graphiquement, cette propriété d'équiprojectivité se traduit par le dessin de la figure 1.16 sur laquelle on voit que les vecteurs projetés orthogonalement sur la droite PQb g sont égaux.
3. Torseur distributeur des vitesses ou torseur cinématique
a) Rappel de la formule de changement de point
A1
A'1
F
A
A'
F
B
B'
F
P
Une mesure de l'efficacité de serrage d'un écrou (figure 1.17) est donnée par le moment de la force F
r
appliquée au point A , notée ( )F,Ar
, par rapport au
point P (centre de l'écrou) : FPA)F,A(P
rr∧=M (1.54)
Chapitre 1 Cinématique du solide DEUST VAS 2
Catherine Potel - 1.21 - Université du Maine - Le Mans
Figure 1.17En un autre point Q , la relation (1.54) s'écrit
( ) FAPFPQFAPPQFAQ)F,A(Qrrrrr
∧+∧=∧+=∧=M ,
d'où QPF)F,A(FPQ)F,A()F,A( PPQ ∧+=∧+=
rrrrrMMM . (1.55)
La relation (1.55) fait intervenir le vecteur F
r, correspondant ici à la résultante des forces
appliquées à la clé.
b) Définition d'un torseur Un torseur T est un "être mathématique" constitué d'une résultante ( )TR et d'un moment
( )TM P en un point P .
Notation :
( )( )⎪⎩
⎪⎨⎧
TMTRT
P avec
( )( ) QP)(
PQ)()(
P
PQ
∧+=
∧+=
TRTM
TRTMTM (1.56-a)(1.56-b)
c) Torseur distributeur des vitesses
Par analogie entre la formule de distribution des vitesses (1.52)
r rV P V Q Q P1 0 1 0 1 0 1 1/ / /R R Bd i d i d i= + ∧
→ ⎯ →⎯Ω B , (1.52)
et la formule de changement de point (1.56-b), le champ des vitesses du solide S 1d i peut
s'interpréter comme étant le champ des moments d'un torseur appelé torseur distributeur des vitesses et noté V R R1 0/d i , dont la définition est donnée ci-dessous.
Définition : On appelle torseur distributeur des vitesses, ou parfois torseur cinématique, du repère R 1 dans son mouvement par rapport à R 0 à l'instant t le
torseur noté V V R R= 1 0/d i d'éléments de réduction en un point P1 :
V V R R V B
M V= =
=
=
RS|T|
→
1 01 0
1 01
1
/ /
/d i b g d i
b g d iP P V P
r
r rR B
R
Ω (1.57)
! P P S P1 1 1≡ ∈ ≡ ∈d i d iR
Ce torseur est représentatif des degrés de liberté d'un solide par rapport à un autre (voir chapitre 2).
Chapitre 1 Cinématique du solide DEUST VAS 2
Catherine Potel - 1.22 - Université du Maine - Le Mans
A un instant donné, le champ des vitesses des points liés à un solide s'identifie au champ des vitesses d'un mouvement hélicoïdal, parfois appelé vissage.
( / )RV
B
P
P
PP
∆
H
A
'
"'"
W Ω
P
( / )B 1 0
1
1
1
11
0
Figure 1.18
En utilisant les résultats de ce qui est appelé "la réduction canonique des torseurs" (à admettre dans le cadre de ce cours), la répartition la plus générale des vitesses des points d'un solide à un instant donné est représentée sur la figure 1.18. On voit ainsi que le champ des vitesses peut se décomposer en la somme d'un champ
constant r
W parallèle à Ω→B1 0/Bd i et d'un
champ perpendiculaire à Ω→B1 0/Bd i :
r rV P W HP1 0 1 0 1/ /R Bd i d i= + ∧
→ ⎯ →⎯Ω B (1.58)
où ∆b g : axe instantané de vissage (ou de rotation et de glissement),
Ω→B1 0/Bd i : vecteur rotation instantanée,
rW : vecteur vitesse de translation instantanée. 4. Mouvement de translation d'un solide
Définition : Le mouvement de S 1d i, donc de R 1 par rapport à R 0, est tel que pour tout
couple de points P Q S,b g d i∈ 1 , donc tout couple P Q1 1,b g , le vecteur P Q1 1
⎯ →⎯ demeure
constant, c'est-à-dire que le vecteur lié P Q1 1,b g se déplace en restant équipollent à lui-même (pour un observateur placé dans R 0).
On a alors : O Q O P P Q0 1 0 1 1 1
⎯ →⎯⎯ ⎯ →⎯⎯ ⎯ →⎯= + ,
ce qui donne d O Qdt
d O Pdt
d P Qdt
0 1 0 1 1 1
0
0 0 0
⎯ →⎯ ⎯ →⎯ ⎯ →⎯F
HGG
I
KJJ =
F
HGG
I
KJJ +
F
HGG
I
KJJ
/ / /B B Br
1 244 344
,
d'où ∀ ∈ =P Q S V Q V P, , / /b g d i d i d i1 1 0 1 0
r rR R (1.59)
Chapitre 1 Cinématique du solide DEUST VAS 2
Catherine Potel - 1.23 - Université du Maine - Le Mans
A chaque instant, le mouvement élémentaire instantané est une translation rectiligne, mais cette translation élémentaire change à chaque instant aussi bien par sa vitesse que par sa direction.
Définitions : - i) Si ∀ t ,
rV P1 0/Rd i garde la même direction, alors la translation est rectiligne.
- ii) Si ∀ t , rV P1 0/Rd i est une constante, alors la translation est uniforme.
- iii) Si ∀ t , on a à la fois i) et ii), alors la translation est rectiligne uniforme. En pratique, des droites sont tracées sur un solide en translation, ces droites restent toujours parallèles à elles-mêmes. Il en est ainsi de la translation circulaire (figure 1.19).
ez→
Figure 1.19
Bien que chaque point soit animé d'un mouvement circulaire, il n'y a pas d'axe de rotation pour le mouvement de S 1d i par rapport à R 0.
Un exemple de tel mouvement est celui des nacelles d'une grande roue (figure 1.19) : il y a une rotation de la roue autour de rez, mais chaque nacelle (dont on néglige le balancement) est animée d'un mouvement de translation à génératrices circulaires.
! Il ne faut pas confondre un tel mouvement avec la rotation d'un solide autour d'une droite.
III MOUVEMENT PLAN : CINEMATIQUE GRAPHIQUE 1 Exemples Mouvement d'une échelle simple dans le plan vertical de la figure
x0
y0
O0
Π 0b gΠ 1d i
Figure 1.20
Le plan Π 1d i de symétrie de l'échelle (figure 1.20)
se déplace sur le plan Π0b g. Remarque : ce mouvement plan sera étudié en III/5-a) sous une forme légèrement différente.
Chapitre 1 Cinématique du solide DEUST VAS 2
Catherine Potel - 1.24 - Université du Maine - Le Mans
Roulement d'un cylindre sur un plan
Π 0b gΠ 1d i
(∆)
Figure 1.21
Une section droite Π 1d i du cylindre se
déplace sur le plan Π0b g, fixe par rapport au
plan de roulement et perpendiculaire à ce dernier (figure 1.21). L'axe ∆b g du cylindre
reste parallèle à lui même.
Notations : S 0d i solide fixe, caractérisé par le repère R 0,
S id i solide mobile par rapport à S 0d i, P0 point lié à S 0d i et Pi .point lié à S id i. 2. Définition
Définition : On appelle mouvement plan d'un solide S1 par rapport à un repère R 0,
un mouvement tel qu'il existe une direction (fixe) de plan π 0d i telle que tout plan Π 1d i
lié à S 1d i parallèle à cette direction π 0d i , coïncide tout au long du mouvement avec un
plan fixe Π0b g, lui aussi parallèle à π 0d i .
Un tel mouvement sera donc parfaitement défini dès lors que l'on aura précisé le mouvement d'un de ces plans Π 1d i , lié à S 1d i, par rapport au plan fixe Π0b g, lié à R 0, avec lequel il
coïncide en permanence. En effet, un point M 1 de S 1d i en dehors de Π 1d i décrit une
trajectoire identique à celle de sa projection orthogonale H 1 sur Π 1d i : on appelle donc fréquemment un tel mouvement, "mouvement plan sur plan". On choisira des axes O x y1 1 1 et
O x y0 0 0 liés à ces plans respectivement. Tous les points de S 1d i considérés dorénavant sont
choisis dans ce plan Π 1d i . Leurs vecteurs vitesses sont également situés dans ce plan.
Chapitre 1 Cinématique du solide DEUST VAS 2
Catherine Potel - 1.25 - Université du Maine - Le Mans
3. Centre instantané de rotation du mouvement de R 1 par rapport à R 0
a) Cas où le torseur distributeur des vitesses est un glisseur :
( ) 0/ 01
rr≠Ω BB et ( ) ( ) 0/PV/ 0101 =⋅Ω RBB
rr
I
I '
BΩ B 1 0→
/d i
P1
P''1
P'1
P'''1V→
0/Rd iP1
P"1V
→
0/Rd i
P"'1V→
0/Rd i
∆b g
Figure 1.22
- P1 est la projection orthogonale de
P'1 sur le plan Π 1d i . On a bien : r rV P V P1 0 1 0/ ' /R Rd i d i=
- On est ici dans un cas de dégénérescence où
r rΩB B1 0 0/d i ≠ . Le
vissage instantané est une rotation pure autour de l'axe ∆b g, perpendiculaire à Π0b g. Dans ce plan Π0b g, on a une rotation pure autour de I ∈ ∆b g, que l'on appelle alors
centre instantané de rotation.
i) Définition du c.i.r. Le point I 1 de Π 1d i qui se trouve en I à cet instant a sa vitesse nulle. On est donc conduit à
poser la définition suivante :
Définition : On appelle centre instantané de rotation de R 1 par rapport à R 0 (c.i.r.)
le point géométrique I tel que la vitesse du point I I S1 1= ∈d i se trouvant en I à
l'instant considéré soit nulle, c'est-à-dire tel que :
r rV I 1 0 0/Rd i = . (1.60)
Pour un mouvement plan quelconque, il en est ainsi à tout instant t, mais le point géométrique I varie au cours du temps, aussi bien dans le plan fixe Π0b g que dans le plan mobile Π 1d i . Il est essentiel de remarquer que la vitesse de ce point géométrique
I , par rapport à R 0, n'est pas nulle. C'est la vitesse du point I 1 du plan Π 1d i , qui se
trouve en I à l'instant t, qui est nulle.
!
r r rV I V I/ /R R0 1 0d i d i= ≠
C'est la vitesse du point I 1 du plan Π 1d i , qui se trouve en I à
l'instant t, qui est nulle.
!
Chapitre 1 Cinématique du solide DEUST VAS 2
Catherine Potel - 1.26 - Université du Maine - Le Mans
ii) Construction du c.i.r. à partir de deux vecteurs vitesse équiprojectifs
Cas où
rV P1 0/Rd i et
rV Q 1 0/Rd i ne sont pas parallèles :
On vient de voir qu'à un instant t, le champ des vitesses
rV P1 0/Rd i apparaît comme le
champ des moments d'un glisseur de support ∆b g passant par I et perpendiculaire à Π 1d i et à
Π0b g.
Q
P
V→
P1 0/Rd i
Q1V→
0/Rd i
I
Figure 1.23
La formule de distribution des vitesses (1.52) donne :
rV P I P1 0 1 0 1 1/ /R Bd i d i= ∧
→ ⎯ →⎯Ω B , (1.61)
et rV Q I Q1 0 1 0 1 1/ /R Bd i d i= ∧
→ ⎯ →⎯Ω B . (1.62)
L'équation (1.61) implique que I 1 appartient à la
perpendiculaire à rV P1 0/Rd i passant par P1 et
l'équation (1.62) implique que I 1 appartient à la
perpendiculaire à rV Q 1 0/Rd i passant par Q 1. I est
donc le point d'intersection des normales aux vecteurs vitesse en P1 et en Q 1.
Réciproquement, la donnée, à l'instant t, de la vitesse d'un point P1 de S 1d i et de la position du centre instantané de rotation I permet de construire la vitesse de tout autre point Q 1, par
équiprojectivité des vitesses voir (figure 1.23).
Cas où rV P1 0/Rd i et
rV Q 1 0/Rd i sont parallèles mais
r rV P V Q1 0 1 0/ /R Rd i d i≠ :
On utilise alors la figure 1.22 en prenant P1
'" pour point Q 1 :
V→
P1 0/Rd i
Q 1V→
0/Rd i
I
P
Q
Figure 1.24
I est donc le centre de l'homothétie qui fait se correspondre les deux vecteurs vitesse. Le mouvement élémentaire instantané est encore une rotation instantanée d'axe ∆b g passant par I . Cette situation
n'est pas différente du cas général traité plus haut ; c'est seulement un choix particulier des points P1 et Q 1 qui a conduit à deux
vecteurs vitesse parallèles.
Chapitre 1 Cinématique du solide DEUST VAS 2
Catherine Potel - 1.27 - Université du Maine - Le Mans
b) Cas où le torseur distributeur des vitesses est un couple : ( ) 0/ 01
rr=Ω BB et ( ) 0/PV 01
rr≠R
Si
r rV P V Q1 0 1 0/ /R Rd i d i= alors le champ des vitesses est constant. Il n'y a pas de centre
instantané de rotation à cet instant. Le mouvement élémentaire instantané est une translation. Si cette circonstance se produit à tout instant, le mouvement plan est un mouvement de translation à génératrices planes. On peut aussi considérer que le c.i.r. I est rejeté à l'infini dans la direction perpendiculaire à celle des vecteurs vitesse, comme le montre la figure 1.24 sur laquelle on ferait tendre la longueur de
rV Q 1 0/Rd i vers celle de
rV P1 0/Rd i.
c) But de la cinématique graphique
- Dans la pratique, les mouvements plans concernent des mécanismes constitués d'un certain nombre de solides liés entre eux, tous ces solides se déplaçant parallèlement à un même plan. La cinématique graphique consiste à construire géométriquement les vitesses de certains points des constituants d'un système, connaissant la vitesse de l'un d'entre eux, en utilisant : - le c.i.r. de chaque constituant par rapport au repère fixe. - l'équiprojectivité des vitesses de deux points appartenant au même constituant. - les propriétés géométriques des liaisons entre les constituants. - une liaison pivot de centre A entre un solide et un solide implique :
r rV A V A1 0 2 0/ /R Rd i d i= , c'est-à-dire
r rV A 1 2 0/Rd i = .
I A12 ≡ avec I 12 , c.i.r. de dans son mouvement par rapport à .
- une liaison glissière entre un solide et un solide implique :
rV A 1 2/Rd i dans la direction de la glissière, ∀ A 1 du solide .
I 12 est rejeté à l'infini dans la direction perpendiculaire à rV A 1 2/Rd i.
- Dans un certain nombre de cas, le c.i.r. est souvent donné par la condition de roulement sans glissement, qui consiste à écrire que :
r r rV I V I1 0 0 0 0/ /R Rd i d i= = . (1.63)
Chapitre 1 Cinématique du solide DEUST VAS 2
Catherine Potel - 1.28 - Université du Maine - Le Mans
d) Eléments de cinématique graphique Comme on l'a déjà vu au § I/4-a), il va s'avérer utile d'affecter un indice particulier à tout solide mobile, afin d'identifier les points qui lui sont liés et le suivent donc dans son mouvement. S 0d i représentera le solide fixe, caractérisé par le repère R 0 0 0 0 0≡ O x y z,b g et
S id i un solide mobile par rapport à S 0d i. Tout point lié à S 0d i, donc fixe, sera noté P0 . Tout
point lié à S id i, donc entraîné avec lui dans le mouvement, sera noté Pi .
0
12
3
0
O
A
B x0
Figure 1.25
Exemple : système bielle-manivelle La manivelle est animée d'un mouvement circulaire autour du point fixe O. La bielle permet de transformer ce mouvement circulaire en mouvement de translation du piston .
On note I i j le c.i.r. du solide S id i par rapport au repère R j , lié au solide S jd i. Ces points
sont donnés par les propriétés géométriques des liaisons : La liaison pivot en O entre le bâti et la manivelle impose
r rV O V O1 0 0 0/ /R Rd i d i= .
Or r rV O 0 0 0/Rd i = , donc
r rV O 1 0 0/Rd i = , ce qui est la définition du c.i.r. du mouvement de
par rapport à . On a donc : I O10 ≡ .
De même, la liaison pivot en A entre la manivelle et la bielle impose r rV A V A2 0 1 0/ /R Rd i d i= avec I A12 ≡ , et la liaison pivot en B entre la bielle et le
piston impose r rV B V B3 0 2 0/ /R Rd i d i= avec I B23 ≡ .
La liaison glissière entre le piston et le bâti impose que la direction de
rV B 3 0/Rd i
soit parallèle à l'axe O x0. Il n'y a donc pas de c.i.r. du mouvement de par rapport à . D'après ce que l'on a vu au § III/3-b), on peut dire que I 30 est rejeté à l'infini dans la direction
perpendiculaire à O x0. I 2 0 va être donné par la construction de la figure 1.26 :
Chapitre 1 Cinématique du solide DEUST VAS 2
Catherine Potel - 1.29 - Université du Maine - Le Mans
0
12
3O
A
B x0
A2V→
0/Rd i
I 2 0
B 2V→
0/Rd i
Figure 1.26
rV B 3 0/Rd i étant parallèle à l'axe
O x0, rV B 2 0/Rd i aussi. De même,
rV A 1 0/Rd i étant perpendiculaire à
OA , il en va de même de rV A 2 0/Rd i . On connaît donc les
directions des vitesses de deux points, A 2 et B 2, appartenant au
même solide, et par utilisation de la construction présentée sur la figure 1.23, on en déduit I 2 0.
La donnée de la vitesse
r rV A V A1 0 2 0/ /R Rd i d i= permet, par propriété
d'équiprojectivité, d'en déduire r rV B V B2 0 3 0/ /R Rd i d i= : A 2 et B 2 appartiennent au même
solide , et l'on connaît de plus la direction de rV B 3 0/Rd i . Par équiprojectivité, on obtient
la norme de rV B 3 0/Rd i et par suite le vecteur vitesse (voir figure 1.27).
Si l'on souhaite construire la vitesse d'un autre point C 2 de la bielle , on a besoin de I 2 0 pour
connaître la direction de rV C 2 0/Rd i. Par équiprojectivité,
on obtient ensuite sa norme (voir figure 1.27).
O
AB
x0
A2V→
0/Rd i
I 2 0
B 2V→
0/Rd i
C
C2V→
0/Rd i
Figure 1.27
4. Base et roulante Rappel : Pour un mouvement plan quelconque, le point géométrique I varie au cours du temps, aussi bien dans le plan fixe Π0b g que dans le plan mobile Π 1d i . Sa vitesse par rapport
à R 0 n'est pas nulle. C'est la vitesse du point I 1 du plan Π 1d i , qui se trouve en I à l'instant t,
qui est nulle.
Chapitre 1 Cinématique du solide DEUST VAS 2
Catherine Potel - 1.30 - Université du Maine - Le Mans
Définitions : On appelle base la trajectoire C 0 du centre instantané de rotation dans le repère fixe R 0. On appelle roulante la trajectoire C 1 du centre instantané de rotation dans le repère mobile R 1.
C 0 : si O 0 est l'origine du repère R 0, on cherche alors O I0
⎯ →⎯ sur B 0 .
C 1 : Si O 1 est l'origine du repère R 1, on cherche alors O I1
⎯ →⎯ sur B1.
Par composition des vitesses (voir équation (1.35)) :
r r rV I V I V I/ / /R R R0 1 1 0d i d i d i= + .
Or, par définition du c.i.r., r rV I 1 0 0/Rd i = ,
donc r rV I V I/ /R R0 1d i d i= . (1.64)
Les deux courbes C 0 et C 1 sont donc tangentes en I à chaque instant t.
I
I1
I0
C0
C1
IV→
0/Rd i
Figure 1.28
La vitesse de glissement de C 1 par rapport à C 0
(voir équation (1.49)) est donnée par rV I 1 0/Rd i
qui, par définition du c.i.r., est nulle. Les deux courbes C 0 et C 1roulent donc sans
glisser l'une sur l'autre à chaque instant t (voir figure 1.28).
Tout mouvement plan peut donc être généré par le roulement sans glissement d'une courbe
sur une autre. 5. Exemples de mouvements plans Comme on l'a déjà vu sur l'exemple du § III/3-d), il va s'avérer utile d'affecter un indice particulier à tout solide mobile, afin d'identifier les points qui lui sont liés et le suivent donc dans son mouvement. S 0d i représentera le solide fixe, caractérisé par le repère
R 0 0 0 0 0≡ O x y z,b g et S id i un solide mobile par rapport à S 0d i. Tout point lié à S 0d i, donc
fixe, sera noté P0 . Tout point lié à S id i , donc entraîné avec lui dans le mouvement, sera noté Pi .
Chapitre 1 Cinématique du solide DEUST VAS 2
Catherine Potel - 1.31 - Université du Maine - Le Mans
a) Mouvement d'une barre d'extrémités guidées sur des glissières perpendiculaires
Q1
P1
C1
I
x0
y0
O0S 0d i
S 1d i2
3
Q 1
P1
x0
y0
O1 S 0d i
S 1d i
V→
P1 0/Rd i
Q1V→
0/Rd i
Figure 1.29 Figure 1.30 Une barre S 1d i, de longueur 2a et de milieu C 1, a ses extrémités P1 et Q 1 guidées sur des
glissières perpendiculaires par des coulisseaux et articulés à la barre (figure 1.29). Les vitesses
rV P1 0/Rd i et
rV Q 1 0/Rd i n'étant jamais parallèles, le mouvement
élémentaire tangent n'est donc jamais une translation. rV P1 0/Rd i étant parallèle à O x0 0 et
rV Q 1 0/Rd i à O y0 0 , par construction (voir § III/3-a-ii)), on obtient le point I, centre
instantané de rotation. Celui-ci se trouve donc, à l'instant de figure, au quatrième sommet du rectangle. Si l'on se donne la vitesse
rV P1 0/Rd i, on peut construire
rV Q 1 0/Rd i par rotation (de
centre I) et homothétie (de centre I). On peut également utiliser directement l'équiprojectivité des vitesses, comme le montre la figure 1.30. Base et roulante
Le centre instantané de rotation I bouge, lorsque t varie, aussi bien par rapport à S 0d i que par
rapport à S1d i. C'est un point géométrique, sans indice, qui n'appartient à aucun des deux
solides S 0d i ou S 1d i. On a : O I a0 2= et C I a1 = .
Chapitre 1 Cinématique du solide DEUST VAS 2
Catherine Potel - 1.32 - Université du Maine - Le Mans
O
Q1
P1
C1
I
x 0
y0
0
C 0
C 1
Figure 1.31
Ainsi, par rapport à S 0d i, I décrit le cercle C 0 de centre
O0 et de rayon 2a . D'après la définition donnée en III/4, C 0
est la base du mouvement. De même, par rapport à S 1d i, I décrit le cercle C 1 de centre C 1 et de rayon a. C 1 est la
roulante du mouvement. Le cercle C 0 est fixe tandis que
le cercle C 1 lié à S 1d i, roule sans glisser sur C 0 . Le point
I 1 de C 1, donc lié à S 1d i, qui
se trouve au contact I des deux cercles à l'instant t a sa vitesse nulle.
Remarque : cinématiquement, le mouvement de Π 1d i par rapport à Π0b g est le même que celui de C 1 sur C 0 . Le roulement sans glissement peut être réalisé technologiquement par
des dentures, ce qui, dans le cas présent, ramène le mouvement au roulement d'une roue dentée sur une autre (engrenage). Cependant, dans le cas général, cette réalisation technologique n'est pas possible car base et roulantes ne sont pas circulaires.
b) Roulement sans glissement d'un cercle sur une droite fixe Le cercle S1d i de centre C 1 et de rayon a roule sans glisser sur la droite fixe, support de l'axe
O x0 0 (voir figure 1.32). Cette condition s'exprime (voir équation (1.50)) en écrivant que la vitesse du point I S I∈ ≡1 1d i qui se trouve au contact I à l'instant considéré a sa vitesse nulle :
r rV I 1 0 0/Rd i = . (1.65)
I est donc le centre instantané de rotation de S1d i par rapport à R 0. Si l'on se donne rV C 1 0/Rd i , sur la parallèle à O x0 0, c'est-à-dire sur la droite y a0 = , on peut construire par
rotation et homothétie de centre I les vitesses des autres points liés à S 1d i, comme le montre
la figure 1.33. Par exemple, r rV B V C1 0 1 02/ /R Rd i d i= . (1.66)
Chapitre 1 Cinématique du solide DEUST VAS 2
Catherine Potel - 1.33 - Université du Maine - Le Mans
Remarque : En I, il y a lieu de considérer que trois points sont confondus à l'instant t : - le point fixe I 0,
- le point I 1 lié à S 1d i et dont la vitesse s'annule à cet instant précis,
- le point géométrique I de contact, centre instantané de rotation, dont la vitesse n'est nulle, ni par rapport à R 0, ni par rapport à R 1.
1C
x 0
y0
I
A 1
y1
1x
a
a
x(t)
θ(t)
O 0 S 0d i
S 1d i
ex 0→
→1
e x
1C
x 0
y0
I
a
O 0 S 0d i
S 1d i
B1
V→
0/R iC1d
B1dV→
0/R i
figure 1.32 figure 1.33
Comme C I1
⎯ →⎯ reste constant par rapport à R 0, on a dans le cas présent :
r rV I V C/ /R R0 1 0d i d i= , (1.67)
et on a vu par ailleurs que r rV I V I/ /R R0 1d i d i= .
Expression analytique de la condition de roulement sans glissement
Si l'on ne tient compte que du contact (avec ou sans glissement) du cercle sur la droite, la position de S 1d i par rapport à S 0d i peut être définie par deux paramètres : l'abscisse x tb g de son centre C 1 sur la droite y a0 = et la rotation (algébrique) θ tb g du cercle sur lui-même.
Cette dernière est définie en considérant un axe C x1 1 lié à S 1d i, de vecteur unitaire rex1 et en
posant : θ π=r re ex x0 1
2,d i b g (1.68)
On notera sur la figure 1.32 que lorsque x tb g &x > 0b g alors θ tb g &θ < 0d i algébriquement,
ce qui est une difficulté de la configuration. Le vecteur rotation instantanée de S 1d i par rapport à R 0 étant &θ rez0
, on a, d'après
l'équation (1.52) :
r r rV I V C e C Iz1 0 1 0 1 10
/ / &R Rd i d i= + ∧⎯ →⎯
θ .
Chapitre 1 Cinématique du solide DEUST VAS 2
Catherine Potel - 1.34 - Université du Maine - Le Mans
Or C I a ey1 1 0
⎯ →⎯⎯=
r , donc r rV I x a ex1 0 0
/ & &Rd i d i= + θ .
La condition cinématique de roulement sans glissement s'écrit donc : & &x a+ =θ 0. (1.69)
! La faute à ne pas faire est de calculer les coordonnées de I dans R 0, c'est-à-dire x,0b g et
d'écrire que leurs dérivées sont nulles, ce qui donnerait &x = 0. 6. Application : les engrenages Afin de limiter la quantité d'outils de taillage des roues dentées et de faciliter les réassortiments, on répartit régulièrement les surfaces conjuguées sur une surface appelée surface primitive. Leur écartement, donnant la largeur de la dent, dépend des efforts à transmettre et d'une condition de continuité d'engrènement.
Figure 1.34
a) Définition La surface active d'une dent est la surface latérale d'un prisme dont la section droite (donc perpendiculaire à l'axe de la roue) est appelée profil de denture. La dent menante et la dent menée sont dites conjuguées par leurs surfaces de contact. Le profil de l'une est le profil conjugué de l'autre.
Chapitre 1 Cinématique du solide DEUST VAS 2
Catherine Potel - 1.35 - Université du Maine - Le Mans
b) Développante de cercle Le profil le plus utilisé en construction mécanique est le profil en développante de cercle. Le cercle de la développante est appelé cercle de base de la roue dentée.
I
O A M
0 1
Figure 1.35
Deux définitions possibles : trajectoire d'un point M appartenant à la
droite qui roule sans glisser sur un cercle fixe . lieu de l'extrémité M d'un fil enroulé sur
un cylindre que l'on déroule, le fil restant toujours tendu.
-1
-0.5
0
0.5
1.5
2
2.5
3.5
-1 0 1 2O
θ
A
MI
0
1R = OA
x
y
Figure 1.36
arc IA = distance IM
Equations cartésiennes
x Ry R= += −
RSTcos sinsin cos
θ θ θθ θ θ
b gb g
Chapitre 1 Cinématique du solide DEUST VAS 2
Catherine Potel - 1.36 - Université du Maine - Le Mans
c) Ligne d'engrènement, angle de pression, cercles de base
T1
T2
O1 O2
Kα
α
1roue (S )
2roue (S )
D 21D
R'2
1R'
R1
R 2
1C '
1C
2C '
2C
I 12
y0
x0
cercle primitif
cercle primitif
cercle de base
cercle de base
ligne d'engrènement
Figure 1.37 Les cercles primitifs C1 et C2, respectivement base et roulante du mouvement de S 2d i par
rapport à S 1d i, sont tangents en I 12 , centre instantané de rotation du mouvement de S 2d i par rapport à S 1d i. Les cercles C 1
' et C 2' , de rayons R'1 et R'2 sont les cercles de base.
La développante du cercle C 1' constitue le profil de dents D 1 de la roue S 1d i.
La développante du cercle C 2' constitue le profil de dents D 2 de la roue S 2d i.
La droite T T1 2d i, passant par I 12 et tangente à C 1' et à C 2
' est appelée droite de poussée ou
droite d'engrènement. Cette droite roule sans glisser sur les cercles mobiles C 1' et C 2
' . Le point de contact entre D1 et D 2 est le point K. Pendant les rotations de C1 et de C2, la droite
T T1 2d i est immobile et le point de contact K se déplace sur cette droite. Si l'on néglige le
frottement de D1 sur D 2 , T T1 2d i étant normale aux profils, la poussée d'une dent sur l'autre
a lieu suivant T T1 2d i et par suite la poussée a un support constant.
α est appelé angle de pression. En général, il est normalisé α = °20 . Les angles de 14°30'
et 22° sont aussi utilisés. Quand l'angle de pression diminue, la tête de la dent devient pointue et se fragilise.