Cours de physique - al.lu · Cours de physique Classes 1B et 1C Athénée de Luxembourg. Tabledesmatières 1 CinématiqueetDynamique5

Cours de physique

Classes 1B et 1C

Athénée de Luxembourg

Table des matières

1 Cinématique et Dynamique 51.1 Grandeurs cinématiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.1 Base cartésienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.1.2 Base de Frenet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.1.3 Mouvement circulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.1.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.2 Mouvement dans un champ de force constant . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.2.1 Mouvement dans le champ de pesanteur uniforme . . . . . . . . . . . . 151.2.2 Mouvement dans un champ électrostatique uniforme . . . . . . . . . . 19

1.3 Mouvement des planètes et des satellites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.3.1 Champ de gravitation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.3.2 Lois de Kepler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.3.3 Mouvement dans un champ de gravitation . . . . . . . . . . . . . . . . 261.3.4 Satellite géostationnaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.4 Mouvement dans un champ magnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301.4.1 Force de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301.4.2 Mouvement dans un champ uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301.4.3 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2 Oscillateurs 372.1 Systèmes oscillants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.1.1 Exemples d’oscillateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.1.2 Mise en évidence expérimentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.1.3 Définitions d’oscillateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.1.4 Grandeurs caractéristiques des oscillateurs . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.2 Oscillateurs mécaniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.2.1 Rappels sur le ressort . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.2.2 Équation différentielle du mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422.2.3 Solution de l’équation différentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432.2.4 Oscillations amorties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462.2.5 Le phénomène de résonance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.3 Oscillateurs électriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512.3.1 Loi d’Ohm pour une bobine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512.3.2 Énergie magnétique d’une bobine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 532.3.3 Rappel sur le condensateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542.3.4 Oscillations dans un dipôle RLC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 552.3.5 Équation différentielle pour un circuit LC . . . . . . . . . . . . . . . . 572.3.6 Solution de l’équation différentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 582.3.7 Oscillations amorties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

1BC Table des matières 3

2.3.8 Le phénomène de résonance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

3 Ondes et lumière 643.1 Propagation d’une onde mécanique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

3.1.1 Signal transversal, signal longitudinal, onde . . . . . . . . . . . . . . . 643.1.2 Célérité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653.1.3 Longueur d’onde et période . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 663.1.4 Double périodicité du phénomène de propagation . . . . . . . . . . . . 673.1.5 Équation d’onde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

3.2 Interférences mécaniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 703.2.1 Conditions d’interférences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 703.2.2 Superposition de petits mouvements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 703.2.3 Interférences dans un milieu à une dimension . . . . . . . . . . . . . . . 713.2.4 Interférences dans un milieu à deux dimensions . . . . . . . . . . . . . 753.2.5 Interférences dans un milieu à trois dimensions . . . . . . . . . . . . . . 793.2.6 Le phénomène de diffraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

3.3 Interférences lumineuses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 813.3.1 Expérience des fentes de Young . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 813.3.2 Interprétation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 813.3.3 Calcul de la différence de marche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 823.3.4 Position des maxima et des minima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

4 Relativité restreinte 854.1 Les postulats d’Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

4.1.1 Premier postulat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 854.1.2 Deuxième postulat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

4.2 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 874.3 Relativité de la simultanéité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 874.4 Dilatation du temps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 884.5 Contraction des longueurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 914.6 Expérience des muons (Frisch et Smith 1963) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

4.6.1 Description de l’expérience . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 934.6.2 Explication à l’aide de la dilatation du temps . . . . . . . . . . . . . . 944.6.3 Explication à l’aide de la contraction des longueurs . . . . . . . . . . . 94

4.7 Quantité de mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 954.8 Énergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

4.8.1 Énergie d’un corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 964.8.2 Énergie au repos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 974.8.3 Équivalence énergie-masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 974.8.4 Masse et inertie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 984.8.5 Énergie cinétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 984.8.6 Relation entre l’énergie et la quantité de mouvement . . . . . . . . . . 99

5 Dualité onde-corpuscule 1005.1 Aspect corpusculaire de la lumière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

5.1.1 Expérience de Hertz (1887) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1005.1.2 Extraction d’un électron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1015.1.3 Insuffisance du modèle ondulatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1025.1.4 Modèle corpusculaire de la lumière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1025.1.5 Les propriétés du photon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

4 Table des matières 1BC

5.1.6 Interprétation de l’effet photoélectrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1035.1.7 Propriétés d’un rayonnement électromagnétique . . . . . . . . . . . . . 103

5.2 Aspect ondulatoire des particules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1045.2.1 Quantité de mouvement du photon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1045.2.2 Longueur d’onde d’une particule matérielle . . . . . . . . . . . . . . . . 1045.2.3 Caractère ondulatoire des particules matérielles . . . . . . . . . . . . . 106

6 Réactions nucléaires 1076.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

6.1.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1076.1.2 Lois de conservation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

6.2 La radioactivité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1086.2.1 Ce qu’on entend par radioactivité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1086.2.2 Les différents modes de désintégration . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1086.2.3 La décroissance radioactive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1136.2.4 Applications de la loi de décroissance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

6.3 Réactions nucléaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1176.3.1 Réactions exothermiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1176.3.2 Énergie de liaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1186.3.3 La fission nucléaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1206.3.4 Fusion nucléaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

7 États énergétiques quantifiés 1237.1 Les insuffisances de la physique classique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1237.2 Le modèle quantique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1247.3 La physique quantique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

Chapitre 1

Cinématique et Dynamique

1.1 Grandeurs cinématiques

En classe de 2e nous avons introduit les grandeurs cinématiques utilisées pour décrire le mou-vement d’un point matériel : l’abscisse curviligne, les vecteurs position, vitesse et accélération.Les vecteurs sont exprimés dans la base d’un repère, le plus souvent orthonormé. Le choix dela base est arbitraire mais, en pratique, est guidé par la trajectoire et les forces qui agissentsur le mobile ; nous allons utiliser la base cartésienne et la base de Frenet.

1.1.1 Base cartésienne

À un référentiel galiléen (par exemple le référentiel terrestre) nous pouvons attacher un repèrecartésien (O,~ı, ~, ~k) dont les vecteurs unitaires de base sont fixes par rapport au référentiel(figure 1.1a).

ıä

k

y

z

xO

(a) base cartésienne

ıä

k y

z

xO

M≠≠æOM

(b) vecteur position

Figure 1.1 – Repère orthonormé à 3 dimensions

6 Cinématique et Dynamique 1BC

Position d’un mobile

Dans la base cartésienne, le vecteur position du point mobileM s’exprime (figure 1.1b) :

−−→OM = x~ı+ y ~+ z ~k (1.1)

Une autre façon de repérer la position d’un mobileM sur sa trajectoire est d’utiliser l’abscissecurviligne. Pour cela, on choisit arbitrairement (figure 1.2) :

• une origine A sur la trajectoire,

• un sens positif.

ıä

k

y

z

xO

A M+

s

Figure 1.2 – Abscisse curviligne

L’abscisse curviligne s est la mesure algébrique de l’arc AM . Il est à noter que pour pouvoirutiliser l’abscisse curviligne, il faut connaître la trajectoire du mobile.

Vecteur vitesse

Le vecteur vitesse ~v du mobile M à l’instant t nous renseigne sur la rapidité du changementdu vecteur position à cet instant. Il est défini par (figure 1.3) :

~v = limt′→t

−−−→MM ′

t′ − t = d−−→OMdt (1.2)

≠≠æOM Õ

≠≠æOM

≠≠æMM

M

M Õ

O(t)

(tÕ)

v

Figure 1.3 – Vecteur vitesse

En effet : −−−→MM ′ = −−→MO +

−−→OM ′ =

−−→OM ′ −−−→OM = ∆−−→OM

1BC Cinématique et Dynamique 7

et

limt′→t

∆−−→OMt′ − t = d−−→OM

dt .

Le vecteur vitesse en M est tangent à la trajectoire en ce point et orienté dans le sens dumouvement.

L’expression du vecteur vitesse dans la base cartésienne se déduit des relations (1.1) et(1.2) :

~v = d−−→OMdt = d(x~ı+ y ~+ z ~k)

dtet comme les vecteurs de base sont fixes :

~v = dxdt ~ı+ dy

dt ~+ dzdt~k (1.3)

de sorte qu’on puisse écrire :

~v

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

vx = dxdt

vy = dydt

vz = dzdt

Remarque :

On utilise souvent les notations x, y, z qui représentent exclusivement des dérivations parrapport au temps. Ainsi le vecteur vitesse s’écrit :

~v = x~ı+ y ~+ z ~k.

Vecteur accélération

Le vecteur accélération ~a à l’instant t indique la rapidité de la variation du vecteur vitesse.Il est défini par (figure 1.4) :

~a = limt′→t

~v′ − ~vt′ − t = d~v

dt

v

vÕ

vÕ ≠ v

M

M Õ

(t)

(tÕ)v

vÕ

a

Figure 1.4 – Vecteur accélération

De la relation (1.3) il vient :

~a = dvxdt ~ı+ dvy

dt ~+ dvzdt

~k


et :~a = d2x

dt2 ~ı+ d2y

dt2 ~+ d2z

dt2~k

puisque les vecteurs de base sont fixes.

On peut alors écrire :

~a

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

ax = dvxdt = d2x

dt2

ay = dvydt = d2y

dt2

az = dvzdt = d2z

dt2

Remarque : avec la notation pour les dérivations par rapport au temps, l’accélération s’écrit :

~a = vx~ı+ vy ~+ vz ~k = x~ı+ y ~+ z ~k.

1.1.2 Base de Frenet

Dans la suite nous allons nous limiter à une trajectoire plane. À une telle trajectoire nouspouvons attacher le repère (M, ~T , ~N) appelé repère de Frenet (figure 1.5).

+

ı

ä

y

xO

M

M Õ

T

T Õ

N Õ

N

Figure 1.5 – Repère de Frenet

Il s’agit d’un repère qui se déplace avec le mobileM ; les vecteurs de base varient par rapportau référentiel galiléen lors du déplacement du point mobile. Les caractéristiques du repère deFrenet sont :

• son origine est le point mobile M ;

• le vecteur unitaire ~T est tangent à la trajectoire en M et orienté dans le sens positif ;

• le vecteur unitaire ~N est normal à la trajectoire en M (et donc aussi à ~T ) et orientévers l’intérieur de la courbure de celle-ci.

Vecteur vitesse

Comme le vecteur vitesse ~v est tangent à la trajectoire, son expression dans la base de Frenetest :

~v = vT ~T + 0 ~Noù vT est la valeur algébrique de la vitesse en M . Ainsi :


• vT > 0 si le mobile se déplace dans le sens positif ;

• vT < 0 si le mobile se déplace dans le sens contraire.

La norme du vecteur vitesse est donnée par :

v = |vT | = limt′→t|s′ − s|t′ − t

dont on peut déduire la valeur algébrique de la vitesse :

vT = limt′→t

s′ − st′ − t = ds

dt

où s est l’abscisse curviligne. Ainsi, dans la base de Frenet :

~v = dsdt

~T (1.4)

Vecteur accélération

Exprimer le vecteur accélération dans la base de Frenet revient à déterminer les coordonnéestangentielle aT et normale aN définies par (figure 1.6) :

~a = aT ~T + aN ~N.

a

aN N

aT T

Figure 1.6 – Composantes du vecteur accélération

On obtient le vecteur accélération par dérivation du vecteur vitesse :

~a = d~vdt = d(vT ~T )

dtet en appliquant la règle sur la dérivée d’un produit :

~a = dvTdt

~T + vTd~Tdt .

Le premier terme correspond à la composante tangentielle de l’accélération qui est due à lavariation de la valeur de la vitesse. Le deuxième terme est une conséquence du changementde la direction du vecteur vitesse.

Considérons un déplacement élémentaire assez petit pour qu’il puisse être approximé par unarc de cercle de rayon r (figure 1.7). Ce rayon est appelé rayon de courbure de cette partiede la trajectoire.


T

T Õ

T

◊

T

T Õ

T

s

◊r

Figure 1.7 – Variation de la direction du mouvement

Déterminons la variation du vecteur tangent unitaire lors du déplacement élémentaire :

∆~T = ~T ′ − ~T ⇔ ~T ′ = ∆~T + ~T .

Comme la norme du vecteur tangent est toujours égale à l’unité, ces vecteurs forment untriangle isocèle avec l’angle au sommet ∆θ. La longueur de la base du triangle vaut :∥∥∥∆~T

∥∥∥ = 2∥∥∥~T∥∥∥ sin(∆θ/2) = 2 sin(∆θ/2).

Le sinus d’un angle de faible amplitude, exprimé en radians, est approximativement égal àcet angle : ∥∥∥∆~T

∥∥∥ = ∆θ = 1r

∆s.

Le vecteur ∆~T a la direction et le sens du vecteur normal unitaire au milieu de l’arc :

∆~T = 1r

∆s ~N.

En divisant cette expression par l’intervalle de temps ∆t et en prenant la limite ∆t→ 0, onobtient la dérivée du vecteur tangent unitaire :

d~Tdt = 1

r

dsdt

~N = vTr~N.

L’expression générale du vecteur accélération dans la base de Frenet est :

~a = dvTdt

~T + vT2

r~N (1.5)

Remarques :

• La coordonnée tangentielle aT est positive si vT augmente et négative dans le cascontraire.

• L’accélération est normale à la trajectoire si et seulement si le mouvement est uniforme.

• La coordonnée normale aN étant positive, le vecteur accélération est toujours orientévers l’intérieur de la courbure.

• Pour un mouvement dont le sens est à tout instant positif, vT peut être remplacé parla norme v du vecteur vitesse.


1.1.3 Mouvement circulaire

Un mobile décrit un mouvement circulaire si sa trajectoire est un cercle. Le mouvement estcirculaire uniforme (MCU) si en plus la norme du vecteur vitesse reste constante. Nous allonsnous limiter au cas d’un mouvement dans le sens positif.

Abscisse angulaire

On fixe arbitrairement une origine A sur la trajectoire circulaire d’un mobile (figure 1.8).La position du point mobile M peut être repérée par l’angle θ = ◊AOM , appelé abscisseangulaire.

y

xO

+M

◊

s

A

r

Figure 1.8 – Abscisse angulaire

Les coordonnées cartésiennes de la position du mobile sont :

x = r cos θ ; y = r sin θ

où r est le rayon de la trajectoire circulaire. L’abscisse curviligne s est :

s = r θ (1.6)

où l’angle θ est exprimé en radians.

Vitesse angulaire

La relation (1.4) donne la vitesse algébrique comme la dérivée de l’abscisse curviligne parrapport au temps. En utilisant la relation (1.6), nous pouvons faire apparaître l’abscisseangulaire :

v = dsdt = d(r θ)

dt = rdθdt = r θ. (1.7)

La dérivée de l’abscisse angulaire par rapport au temps est, par définition, la vitesse angulairede rotation du point mobile M sur le cercle :

ω = dθdt = θ


Elle s’exprime en radian par seconde (rad/s). Une vitesse angulaire de 1 rad/s signifie quel’abscisse angulaire varie de 1 rad en 1 s.

En utilisant la relation (1.7), nous pouvons exprimer la vitesse v, appelée vitesse linéaire, enfonction de ω :

v = r ω (1.8)

Mouvement circulaire uniforme

Le mouvement circulaire est uniforme si la vitesse linéaire est constante. Il en suit que lavitesse angulaire est également constante :

dθdt = ω = constante.

L’abscisse angulaire est obtenue en intégrant la vitesse angulaire par rapport au temps :

θ = ω t+ cte.

La constante d’intégration est déterminée en considérant l’abscisse angulaire initiale θ0 :

θ(t = 0) = θ0 = cte.

Il en suit l’expression de l’abscisse angulaire à l’instant t :

θ = ω t+ θ0

Le mouvement circulaire uniforme est périodique de période T . La période est le tempsnécessaire pour décrire un tour complet et s’exprime en seconde (s). Nous avons :

T = périmètre du cerclevitesse linéaire = 2π r

v.

La vitesse linéaire peut s’exprimer en fonction de la période :

v = 2π rT

(1.9)

En utilisant la relation (1.8), la vitesse angulaire est :

ω = 2πT.

La fréquence f du mouvement circulaire uniforme est le nombre de tours effectués par seconde.La distance parcourue par seconde étant la vitesse linéaire v, nous avons :

f = vitesse linéairepérimètre du cercle = v

2π r .

Ainsi, la fréquence est l’inverse de la période :

f = 1T


La fréquence est exprimée en hertz (Hz) : 1 Hz = 1 s−1. La vitesse angulaire peut s’écrire :

ω = 2πT

= 2π f (1.10)

Dans le cas d’un mouvement circulaire uniforme, aT = 0 et l’expression (1.5) du vecteuraccélération dans la base de Frenet (figure 1.9a) se réduit à :

~a = aN ~N = v2

r~N = ω2 r ~N.

La figure 1.9b montre les vecteurs vitesse et accélération. L’accélération est orientée vers lecentre du cercle, on dit qu’elle est centripète.

O

+M

N

T

r

(a) base de Frenet

O

+M

a

v

(b) vitesse et accélération

Figure 1.9 – Mouvement circulaire uniforme

Dans un référentiel galiléen, appliquons la relation fondamentale de la dynamique au mobileen mouvement circulaire uniforme :∑

i

~Fi = m~a = maN ~N

On remarque que la résultante des forces est centripète.

1.1.4 Exercices

Exercice 1.1 Un point mobile a comme coordonnées cartésiennes dans un repère(O,~ı, ~ ) :

−−→OM

∣∣∣∣∣∣x = 2t− 2y = 3t2

Calculer les coordonnées du vecteur vitesse et du vecteur accélération de ce point mobile.

Exercice 1.2 La position d’un enfant sur un manège est repérée par rapport à un référentielterrestre, en coordonnées cartésiennes, dans le repère (O,~ı, ~ ) par :

−−→OM

∣∣∣∣∣∣x = a cos(ω t)y = a sin(ω t)

où a et ω sont des constantes positives.


1. Déterminer, dans le même système de coordonnées cartésiennes, les coordonnées duvecteur vitesse et du vecteur accélération de l’enfant.

2. Exprimer le vecteur accélération en fonction du vecteur position −−→OM .

Exercice 1.3 Un CD tourne à raison de 8000 tours par minute ; son diamètre est 11,8 cm.

1. Calculer sa vitesse angulaire de rotation en rad/s.

2. Calculer la vitesse linéaire d’un point situé à la périphérie du disque.

3. Quelle est l’accélération de ce même point dans le repère de Frenet ?

Exercice 1.4 Avec quelle fréquence en Hz dois-tu tourner un seau rempli d’eau dans unplan vertical pour que l’eau ne te tombe pas sur la tête ?


1.2 Mouvement dans un champ de force constant

Considérons un point mobile M sur lequel agit, en tout point de l’espace, une force ~F . Onparle d’un champ de force agissant à distance. Si en tout point de l’espace le vecteur forceest le même, le champ de force est dit constant.

Nous allons établir les équations horaires du mouvement dans les deux cas suivants :

• mouvement d’une masse ponctuelle dans un champ de pesanteur uniforme ;

• mouvement d’une charge ponctuelle dans un champ électrique uniforme.

1.2.1 Mouvement dans le champ de pesanteur uniforme

Le champ de pesanteur terrestre est caractérisé par le vecteur champ de pesanteur ~g dirigévers le centre de la terre.Il n’est pas uniforme globalement mais peut être considéré comme tel dans une région limitéede l’espace. Pour deux points situés à la même altitude et distants de 100 km, la direction de~g varie de moins de 1 et pour une différence d’altitude de 100 km, la norme de ~g varie de3 % environ.À l’intérieur d’un cube de 100 km de côtés, le champ de pesanteur peut donc être considérécomme uniforme.

Étude dynamique

Le système étudié est un projectile ponctuel de masse m. L’étude de son mouvement se feradans le référentiel terrestre supposé galiléen.

Nous négligeons ici le frottement de l’air et la poussée d’Archimède. La seule force appliquéeest le poids ~P = m~g du projectile.

Dans le référentiel terrestre, la relation fondamentale de la dynamique s’applique :∑i

~Fi = ~P = m~a.

L’accélération du projectile est donnée par :

~a =~P

m= m~g

m= ~g.

Le vecteur accélération est indépendant de la masse du projectile et égal au vecteur champde pesanteur. C’est un vecteur constant.

Étude cinématique

Nous allons choisir le repère cartésien le plus adapté à l’étude du mouvement (figure 1.10) :

• l’axe Oz est vertical et dirigé vers le haut ;

• la position M0 du projectile à l’instant t = 0 est sur l’axe Oz ;


ı

k

z

xO

yä

g

P

v0

M0

M

–

Figure 1.10 – Conditions initiales

• le vecteur vitesse ~v0 du projectile à l’instant t = 0 est contenu dans le plan Oxz et faitl’angle α avec l’axe Ox ;

• le plan Oxy est un plan horizontal.

Les coordonnées du vecteur accélération dans la base cartésienne sont :

~a

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

ax = dvxdt = 0

ay = dvydt = 0

az = dvzdt = −g

La vitesse est obtenue en intégrant l’accélération par rapport au temps :

~v

∣∣∣∣∣∣∣∣∣vx = ctevy = cte′

vz = −g t+ cte′′

Les constantes d’intégration sont déterminées en considérant la vitesse initiale :

~v(t = 0) = ~v0

∣∣∣∣∣∣∣∣∣v0x = v0 cosα = ctev0y = 0 = cte′

v0z = v0 sinα = cte′′

Le vecteur vitesse à l’instant t s’écrit donc :

~v

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

vx = dxdt = v0 cosα

vy = dydt = 0

vz = dzdt = −g t+ v0 sinα

(1.11)

La position est obtenue en intégrant la vitesse par rapport au temps :

−−→OM

∣∣∣∣∣∣∣∣∣x = v0 cosα t+ ctey = cte′

z = −12 g t

2 + v0 sinα t+ cte′′


Les constantes d’intégration sont déterminées en considérant la position initiale :

−−→OM(t = 0) = −−−→OM0

∣∣∣∣∣∣∣∣∣0 = cte0 = cte′

z0 = cte′′

Nous obtenons finalement les équations paramétriques ou horaires du mouvement :

−−→OM

∣∣∣∣∣∣∣∣∣x(t) = v0 cosα ty(t) = 0z(t) = −1

2 g t2 + v0 sinα t+ z0

(1.12)

Remarques :

• le mouvement suivant l’axe Ox est uniforme ;

• il n’y a pas de mouvement suivant l’axe Oy ; le mouvement s’effectue donc dans le planOxz ;

• le mouvement suivant l’axe Oz est uniformément varié ;

• Le mouvement est indépendant de la masse m du projectile et ne dépend que desconditions initiales.

Équation de la trajectoire

L’équation de la trajectoire ou équation cartésienne est obtenue en éliminant le temps t entrex(t) et z(t). L’expression (1.12) permet d’écrire :

t = x

v0 cosα ⇒ z = −12 g

Çx

v0 cosα

å2+ v0 sinα

Çx

v0 cosα

å+ z0.

Finalement :

z(x) = −12

g

(v0 cosα)2 x2 + tanα x+ z0 (1.13)

z

xO

a = g

v

Figure 1.11 – Trajectoire du projectile dans le champ de pesanteur


La trajectoire du projectile est une parabole d’axe vertical contenue dans le plan Oxz et dontla concavité est orientée vers le bas.

La figure 1.11 montre les vecteurs vitesse et accélération en différents points de la trajec-toire.

Calcul de la portée

La portée horizontale est la distance horizontale entre le point de lancement M0 du projectileet le point d’impact P (figure 1.12).

Dans le plan vertical Oxz, les coordonnées cartésiennes de ces deux points sont :

M0

∣∣∣∣∣∣0z0

; P

∣∣∣∣∣∣xportée

zP

On applique l’équation de la trajectoire (1.13) au point P :

zP = −12

g

(v0 cosα)2 xportée2 + tanα xportée + z0.

z

xO

xportée

M0

P

zmax

Figure 1.12 – Portée horizontale et flèche de la trajectoire

La portée horizontale est la seule solution acceptable de cette équation du second degré.

Calcul de la flèche

La flèche est l’altitude maximale atteinte par le projectile (figure 1.12). On peut la déterminerpar les méthodes suivantes.

• Au sommet de la trajectoire la vitesse verticale est nulle : vz = 0. La relation (1.11)donne :

−g t+ v0 sinα = 0⇒ tzmax = v0 sinαg

.

On obtient la flèche en substituant tzmax dans l’équation horaire (1.12) de z :

zmax = z(tzmax) = z0 + v02 sin2 α

2 g .


• L’énergie mécanique E du système « projectile et Terre » est la somme de l’énergiecinétique et de l’énergie potentielle de pesanteur :

E = 12 mv2 +mg z.

La conservation de l’énergie mécanique entre la position initiale et la flèche permetd’écrire :

12 mv0

2 +mg z0 = 12 m (v0 cosα)2 +mg zmax

ce qui conduit à l’expression de la flèche.

1.2.2 Mouvement dans un champ électrostatique uniforme

Considérons le mouvement d’une particule chargée dans un champ électrostatique ~E uni-forme. Un tel champ règne par exemple entre les armatures d’un condensateur plan.

Étude dynamique

Le système étudié est la particule de charge q et de masse m. L’étude de son mouvement sefera dans un référentiel galiléen.

Les forces exercées sur la particule chargée sont le poids et la force électrostatique. L’effet dupoids est en général négligeable devant l’effet de la force électrostatique.

Exercice 1.5 Comparer ces deux forces dans le cas d’un électron dans un champ électriqued’intensité E = 106 V/m.

La résultante des forces extérieures se réduit à la force électrostatique :~F = q ~E.

L’accélération de la particule est donnée par : ~a =~F

m= q ~E

m.

Étude cinématique

Supposons qu’à l’instant t = 0 la particule pénètre dans le champ électrostatique uniformeavec une vitesse ~v0. Le vecteur champ est parallèle à l’axe Oz :

Fz = q Ez ⇒ az = Fzm

= q Ezm

.

Remarque : le signe de az dépend des signes de q et de Ez !

Les équations horaires du mouvement de la particule dans le champ électrostatique uniformesont (voir relations 1.12) :

−−→OM

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

x(t) = v0 cosα ty(t) = 0

z(t) = 12q Ezm

t2 + v0 sinα t+ z0


Exercice 1.6 Établir ces équations en partant du vecteur accélération !

Équation de la trajectoire

L’équation de la trajectoire devient (voir relation 1.13) :

z(x) = 12

q Ezm (v0 cosα)2 x

2 + tanα x+ z0

La trajectoire est une parabole contenue dans le plan Oxz. L’orientation de la concavité dé-pend du signe de q Ez. Il importe de remarquer que q et Ez sont des valeurs algébriques.

La figure 1.13 montre la trajectoire d’une charge négative dans le champ électrostatiqueuniforme d’un condensateur plan avec Ez < 0.

v0

–

z

xO

L

q < 0

+ + + +

≠ ≠ ≠ ≠

E

F

Figure 1.13 – Trajectoire d’une charge dans un champ électrostatique


1.3 Mouvement des planètes et des satellites

Pour étudier les mouvements des planètes et des satellites, un référentiel terrestre ne peutplus être considéré comme galiléen et, par conséquent, les lois de la dynamique n’y sont plusapplicables.

Ces mouvements seront donc décrits :

• dans le référentiel héliocentrique (ou de Copernic) pour les planètes ;

• dans le référentiel géocentrique pour les satellites de la Terre.

1.3.1 Champ de gravitation

La force d’interaction gravitationnelle

Selon la loi de gravitation de Newton, deux corps A et B quasi ponctuels, de masses Met m et dont les centres OA et OB sont distants de r, exercent l’un sur l’autre des forcesattractives ~FA/B et ~FB/A de même direction OAOB, de même intensité mais de sens opposés(figure 1.14) :

FA/B = FB/A = F = KmM

r2

FB/A

FA/B

B

A

u

M

mOA

OB

Figure 1.14 – Forces d’interaction gravitationnelle

La constante K est appelée constante de gravitation. Sa valeur dans le Système internationald’unités est :

K = 6,67 · 10−11 N kg−2 m2.

Une expression vectorielle de la force gravitationnelle s’obtient en définissant un vecteurunitaire ~u, directeur de la droite OAOB et orienté de OA vers OB (figure 1.14) :

~FA/B = −~FB/A = −K mM

r2 ~u = −F ~u.

Définition du champ de gravitation

Lorsqu’une masse ponctuelle m subit les forces d’attraction d’un ensemble de masses, chaqueterme de la somme vectorielle qui représente la résultante ~F est proportionnelle à m ; il ensuit que la résultante est également proportionnelle à m.

La grandeur vectorielle ~F/m est donc indépendante de m et appelée vecteur champ de gra-vitation.


Définition Il existe un champ de gravitation en un point de l’espace si une particule demasse m, placée en ce point est soumise à une force d’interaction gravitationnelle ~F . Levecteur champ de gravitation ~G est défini par :

~G =~F

m

L’intensité du champ de gravitation s’exprime en N/kg.

Le champ de gravitation dépend de la position du point de l’espace considéré ainsi que despositions et des valeurs des masses qui le créent.

Champ créé par une masse ponctuelle

Considérons une masse ponctuelle M située en un point O de l’espace. On place une masse« d’essai » ponctuelle m en un point P à une une distance r = OP de la masse M . La loi deNewton donne la force exercée sur la masse m :

~F = −K mM

r2 ~u

où le vecteur unitaire ~u est dirigé de M vers m. Le champ de gravitation créé par la masseM au point P est obtenu en divisant la force par m :

~G =~F

m= −K M

r2 ~u (1.14)

Le vecteur champ de gravitation est dirigé vers la masse M (figure 1.15).

u

MO

Gr P

Figure 1.15 – Champ créé par une masse ponctuelle

Une masse m placée en P est alors soumise à la force gravitationnelle :

~F = m ~G.

Comme la force est attractive, elle est dirigée vers la masse qui crée le champ.

Champ créé par un corps à symétrie sphérique

Considérons une planète (ou le Soleil, . . .) que nous représentons par une boule de masse M ,de rayon R et de centre O. Supposons qu’elle soit à symétrie sphérique, c’est-à-dire que lamatière est distribuée identiquement dans toutes les directions.


u

M

O

Gr P

Or

Pz

R

Figure 1.16 – Champ créé par un corps à symétrie sphérique

Dans un tel cas on peut montrer que si le point P est extérieur à la distribution (figure 1.16), lechamp de gravitation ~G créé en P est égal au champ qui serait créé par une masse ponctuelleM située en O :

~G = −K M

r2 ~u

On exprime souvent l’intensité du champ de gravitation d’une planète en fonction de l’altitudez du point P (figure 1.16). Avec r = R + z on obtient :

G = KM

(R + z)2 (1.15)

Si le point P est situé à la surface de la planète, donc z = 0, l’intensité du champ vaut :

G0 = KM

R2 .

Cette relation donneKM = G0 R2 que nous pouvons remplacer dans l’expression (1.15) :

G = G0 R2

(R + z)2 .

L’intensité G du champ de gravitation créé par une planète de rayon R à une altitude z, enfonction de l’intensité G0 à la surface de la planète, s’écrit finalement :

G = G0

ÇR

R + z

å2

Exemple : la valeur du champ à la surface de la Terre est G0 = 9,834 N/kg.

Différence entre champ de pesanteur et champ de gravitation

Le champ de pesanteur ~g est défini par la relation ~P = m~g dans le référentiel terrestre non-galiléen. Le champ de gravitation ~G par contre est défini par la relation ~F = m ~G dans leréférentiel géocentrique, qui est un référentiel galiléen (en tout cas « plus galiléen » que leréférentiel terrestre).

Considérons l’exemple d’une boule suspendue à un ressort en un point de l’équateur terrestre(figure 1.17). Nous allons négliger l’influence de l’air.

Dans le référentiel terrestre, la boule est en équilibre : P = T .

Dans le référentiel géocentrique, la boule effectue un mouvement circulaire uniforme. Laprojection sur la direction normale donne : maN = F − T ⇒ F > T .


ressort

boule

référentielterrestre

T

P

P = T

référentielgéocentrique

T

F

F > T

Figure 1.17 – Boule suspendue à un ressort dans le champ terrestre

Il en suit que F > P et donc G > g. La valeur du champ de gravitation est supérieure à lavaleur du champ de pesanteur.

Application numérique : avec G = 9,834 N/kg, aN = 0,034 m/s2 et g = G − aN on obtientg = 9,8 N/kg.

1.3.2 Lois de Kepler

Tycho Brahé et ses assistants, parmi lesquels se trouvait Kepler, consignèrent de très nom-breuses valeurs de positions de planètes dans le ciel au cours du temps. Kepler établit, àpartir de ces observations très précises, trois lois qui régissent le mouvement des planètes. Àl’époque, ces lois étaient donc purement expérimentales.

Première loi de Kepler ou loi des orbites elliptiques (1609)

Énoncé Les planètes décrivent des orbites elliptiques dont le Soleil occupe l’un des foyers.

Une ellipse est une courbe bien précise. De même qu’un cercle est caractérisé par un point,son centre, et une distance, son rayon, une ellipse est caractérisée par deux points, ses foyersF et F ′, et une distance a nommée demi-grand axe (figure 1.18). Un point M de l’ellipsevérifie : FM +MF ′ = 2a.

Le cercle est un cas particulier d’ellipse dont les foyers sont confondus. Le demi-grand axeest alors le rayon du cercle.

Seconde loi ou loi des aires (1609)

Kepler remarqua que les planètes ne tournent pas avec une vitesse constante autour du Soleil.Il observa qu’elles ont une vitesse plus grande lorsqu’elles sont plus proches du Soleil.


M

F F ÕO

2a

Figure 1.18 – Une ellipse et ses caractéristiques

S

PttÕ = t

AÕ = A

Figure 1.19 – Les aires A et A′ des surfaces colorées sont égales

Précisément, cette vitesse varie de façon que l’aire balayée par le rayon vecteur −→SP pendantun intervalle de temps déterminé reste constante quelle que soit la position de la planète surson orbite (figure 1.19).

Énoncé Le rayon vecteur −→SP allant du Soleil à la planète balaye des surfaces d’aires égalespendant des intervalles de temps égaux.

La distance parcourue par la planète pendant l’intervalle de temps ∆t est plus grande quandla distance SP est plus petite. Il en suit que la planète a une vitesse plus grande quand elleest plus proche du Soleil. Dans le cas d’une trajectoire circulaire, le mouvement de la planèteest uniforme.

Troisième loi de Kepler ou loi des périodes (1618)

La troisième loi de Kepler est de nature différente des deux précédentes : elle unifie le mou-vement de toutes les planètes en une loi universelle. Pour cette raison, on l’appelle aussi loiharmonique.

Soient T la période de révolution de la planète autour du Soleil et a la longueur du demi-grand axe de l’ellipse. La période de révolution est le temps mis par la planète pour fairecomplètement le tour de son orbite.

Énoncé Le carré de la période de révolution d’une planète autour du Soleil est proportionnelau cube de la longueur du demi-grand axe de son orbite.


Quelles que soient les deux planètes (1) et (2) choisies, ont peut écrire :

T12

a13 = T22

a23 .

Ce rapport dépend uniquement des caractéristiques du Soleil. Si la trajectoire est circulaire,la longueur du demi-grand axe a est égale au rayon r.

1.3.3 Mouvement dans un champ de gravitation

Étude dynamique

Nous allons appliquer les lois de la dynamique au mouvement d’une masse m dans un champde gravitation. Cette masse peut être par exemple un satellite dans le champ de la Terre ouencore la Terre dans le champ du Soleil. Dans le premier cas le référentiel que nous allonschoisir est le référentiel géocentrique, dans le deuxième cas c’est le référentiel héliocentrique(ou de Copernic).

uF

N

T

r

Terre

satellite

Figure 1.20 – Vecteurs unitaires et force de gravitation

La seule force est la force de gravitation ~F = m ~G (figure 1.20). La loi fondamentale de ladynamique permet d’obtenir l’accélération de la masse m :∑

i

~Fi = ~F = m ~G = m~a

et en utilisant la relation (1.14) :

~a = ~G = −K M

r2 ~u

où M est la masse du corps qui crée le champ de gravitation. On remarque que l’accélérationne dépend pas de la masse m en mouvement.

La plupart des trajectoires des planètes du système solaire (à l’exception de Mercure) et dessatellites de la Terre sont des ellipses faiblement excentriques. Une telle trajectoire peut êtreconsidérée, en première approximation, comme circulaire de rayon r.

Nous allons utiliser, dans le plan de la trajectoire, le repère de Frenet dont l’origine est lecentre d’inertie de la masse m (figure 1.20).


Dans le cas d’un mouvement circulaire, le vecteur unitaire ~u est opposé au vecteur unitaire~N de la base de Frenet : ~u = − ~N . L’expression de l’accélération dans la base de Frenetest :

~a = 0 ~T +KM

r2~N. (1.16)

Étude cinématique

La relation (1.5) donne l’expression générale de l’accélération dans la base de Frenet enfonction des grandeurs cinématiques :

~a = dvdt

~T + v2

r~N.

En identifiant les deux expressions de l’accélération, relations (1.16) et (1.5), l’égalité descoordonnées tangentielles donne :

dvdt = 0⇒ v = constante (1.17)

alors que l’égalité des coordonnées normales permet d’écrire :

v2

r= K

M

r2 ⇒ v2 = KM

r. (1.18)

On déduit de la relation (1.17) que le mouvement est uniforme. La relation (1.18) permetd’obtenir l’expression pour la vitesse linéaire constante :

v = KM

r.

La période du mouvement circulaire uniforme se déduit de la relation (1.9) :

T = 2π rv

= 2π√

r3

KM= 2π√

KMr

32 (1.19)

Il en suit la 3e loi de Kepler dans le cas particulier du mouvement circulaire :

T 2

r3 = (2π)2

KM= constante.

Ce rapport est le même pour toute planète du système solaire ou pour tout satellite de laTerre.

En utilisant la relation (1.8) on obtient l’expression pour la vitesse angulaire :

ω = v

r= KM

r3

Remarques :

• Les vitesses linéaire et angulaire sont indépendantes de la masse en mouvement.

• Quand le rayon de la trajectoire augmente, les vitesses linéaire et angulaire diminuent.


1.3.4 Satellite géostationnaire

Définition

Un satellite est dit géostationnaire s’il reste en permanence à la verticale d’un point de lasurface terrestre. Il occupe une position fixe dans le référentiel terrestre.

Conditions de stationnarité

Quelles conditions doit vérifier un satellite pour être géostationnaire ?

• Lorsque la Terre tourne autour de son axe polaire, les satellites stationnaires tournentégalement avec elle. La trajectoire d’un satellite qui serait stationnaire au-dessus deParis est circulaire dans un plan qui ne passe pas par le centre de la Terre (figure 1.21).Cela est impossible.

En effet, les vecteurs force et accélération sont dirigés respectivement vers le centre dela Terre et vers le centre de la trajectoire. Ces deux centres doivent être confondus pourque, d’après le principe fondamental de la dynamique, les vecteurs force et accélérationsoient parallèles. Ceci n’est le cas que si le satellite est situé à la verticale d’un pointde l’équateur.

satellite au-dessusde Paris (impossible)

centre de la Terresatellite à la verticaled’un point del’équateur (possible)

Figure 1.21 – Trajectoires de deux satellites « stationnaires »

Un satellite ne peut être géostationnaire que si le plan de son orbite est confondu avecle plan de l’équateur. Tout satellite géostationnaire se trouve à la verticale d’un pointde l’équateur terrestre.

• Cette condition étant réalisée, la période de révolution du satellite doit être la mêmeque la période de rotation de la Terre autour de son axe polaire.

La période de révolution d’un satellite géostationnaire est égale à un jour sidéral.

La durée d’un jour sidéral, notée TS, vaut : TS = 23 h 56 min 4 s = 86 164 s.

Considérons le mouvement de la Terre dans le référentiel héliocentrique (figure 1.22).Pendant un jour solaire d’une durée de 24 h, la Terre tourne d’un angle d’environ 361.La durée d’une rotation de 360, appelée jour sidéral, est inférieure à 24 h.

• Pour rester à la verticale du même point :

Le sens de rotation du satellite autour de la Terre et celui de la Terre autour de sonaxe polaire doivent être identiques.


24 h

¥ 1¶Soleil

Terre

Figure 1.22 – Mouvement de la Terre dans le référentiel héliocentrique

Altitude et vitesse

Calculons l’altitude d’un satellite géostationnaire. En utilisant la relation (1.19), avecr = RT + zS, on obtient une expression reliant période et altitude :

TS = 2π√KMT

(RT + zS) 32

d’où :(RT + zS)3 = TS

2 KMT

(2π)2

et finalement :

zS = 3

ÃTS

2 KMT

(2π)2 −RT .

Avec RT = 6,4 · 106 m, MT = 5,98 · 1024 kg et TS = 86 164 s, l’altitude d’un satellite géosta-tionnaire vaut zS = 3,58 · 107 m = 35 800 km.

La vitesse linéaire en orbite géostationnaire est :

vS = KMT

r=√

KMT

RT + zS= 3,08 km/s.


1.4 Mouvement dans un champ magnétique

L’action d’un champ magnétique sur une particule chargée en mouvement et le mouvementqui en résulte est à la base de nombreuses applications : spectrographe de masse, cyclotronpour n’en citer que quelques unes.

1.4.1 Force de Lorentz

Énoncé La force magnétique subie par une particule de charge q et de vitesse ~v dans unchamp magnétique ~B s’écrit :

~f = q ~v × ~B

Cette force est appelée force de Lorentz.

Les caractéristiques de la force de Lorentz sont :

• ~f est perpendiculaire à ~v et à ~B ;

• le sens de ~f est donné par la règle de la main droite : le pouce indique le sens de q ~v,l’index celui du champ magnétique ~B, le majeur donne le sens de la force ~f ;

• l’intensité de ~f est f = |q sinα| v B, où α est l’angle formé par ~v et ~B.

Remarques :

• La force de Lorentz est nulle si la charge est au repos ou si son vecteur vitesse estparallèle au vecteur champ.

• La force de Lorentz est à tout instant perpendiculaire au vecteur vitesse. Elle est doncnormale à la trajectoire et ne travaille pas. Le théorème de l’énergie cinétique permetde conclure que le mouvement de la particule, en absence de toute autre force, estuniforme :

∆EC = W (~f) = 0⇒ EC = cte⇒ v = cte.

• Un vecteur perpendiculaire au plan d’étude sera convenablement représenté par :

lorsque le vecteur est dirigé vers l’avant du plan ;

⊗ lorsque le vecteur est dirigé vers l’arrière du plan.

1.4.2 Mouvement dans un champ uniforme

Nous allons considérer une particule (ou un faisceau de particules) de charge q, de masse met de vitesse initiale ~v0, évoluant dans un champ magnétique ~B uniforme.

Dans la suite nous allons nous limiter aux cas où ~v0 ⊥ ~B ou ~v0 ‖ ~B.


Étude expérimentale

Nous rappelons ici les résultats d’une expérience réalisée en classe de 2e.

Expérience 1.1 Un faisceau d’électrons pénètre avec la vitesse initiale ~v0 dans une ampoulecontenant un gaz raréfié dans laquelle règne un champ magnétique uniforme ~B créé par desbobines de Helmholtz.

Observations :

• Si ~v0 ⊥ ~B, la trajectoire est circulaire. Le rayon de la trajectoire diminue quand l’in-tensité de ~B augmente ; il augmente quand la vitesse initiale des électrons augmente.

• Si ~v0 ‖ ~B, le faisceau n’est pas dévié.

Interprétation : la modification de la trajectoire du faisceau d’électrons est due à l’action dela force de Lorentz.

Étude dynamique

Nous allons déterminer les caractéristiques du mouvement de la particule chargée dans leréférentiel terrestre considéré comme galiléen.

Les forces appliquées à la particule chargée sont :

• la force de Lorentz ~f = q ~v× ~B en un point de la trajectoire où la vitesse de la particuleest ~v ;

• le poids de la particule ~P = m~g.

Exercice 1.7 Comparer ces deux forces dans le cas d’un électron se déplaçant à la vitessev = 106 m/s dans un champ magnétique d’intensité B = 10−3 T.

Dans la suite nous allons négliger les effets du poids. Le principe fondamental de la dynamiquepermet d’écrire : ∑

i

~Fi = ~f = q ~v × ~B = m~a

d’où l’accélération de la particule :

~a = q ~v × ~B

m. (1.20)

L’accélération est perpendiculaire au vecteurs vitesse et champ magnétique.

Étude cinématique

Premier cas : ~v0 ⊥ ~B

La figure 1.23 montre le repère orthonormé utilisé. Son origine coïncide avec la position dela particule à l’instant t = 0.

L’accélération est à tout instant perpendiculaire au vecteur champ, donc :

az = dvzdt = 0⇒ vz = constante.


NT

e≠

y

xO

B

v0

fv

e≠

z

Figure 1.23 – Force de Lorentz et base de Frenet

Comme v0z = 0 à l’instant t = 0, nous avons à tout instant :

vz = dzdt = 0⇒ z = constante.

En considérant les conditions initiales, il vient z = 0. Le mouvement est décrit dans le planz = 0 perpendiculaire à ~B. Dans ce plan, nous allons exprimer le vecteur accélération dansla base de Frenet.

Comme le vecteur accélération est à tout instant perpendiculaire à ~v, sa coordonnée tangen-tielle est nulle. De l’expression (1.20) il vient :

~a = 0 ~T + |q| v Bm

~N. (1.21)

La relation (1.5) donne l’expression générale de l’accélération dans la base de Frenet enfonction des grandeurs cinématiques :

~a = dvdt

~T + v2

r~N.

En identifiant les deux expressions de l’accélération, relations (1.21) et (1.5), l’égalité descoordonnées tangentielles donne :

dvdt = 0⇒ v = constante (1.22)

alors que l’égalité des coordonnées normales permet d’écrire :

v2

r= |q| v B

m⇒ v

r= |q|B

m. (1.23)

On déduit de la relation (1.22) que le mouvement est uniforme, propriété générale d’unmouvement sous l’action de la force de Lorentz. La relation (1.23), en remplaçant v par v0,permet d’obtenir l’expression pour le rayon de courbure de la trajectoire :

r = mv0

|q|B.

Comme les grandeurs m, v0, |q| et B sont constantes, le rayon de courbure est constant. Lemouvement de la particule chargée est donc circulaire.


Énoncé Lorsque la vitesse initiale ~v0 de la particule chargée est perpendiculaire au champmagnétique ~B, la trajectoire est un cercle de rayon

r = mv0

|q|B

décrit à vitesse constante dans un plan perpendiculaire à ~B.

Le temps mis par la particule pour réaliser un tour complet est la période T du mouvementcirculaire. On l’obtient en divisant le périmètre du cercle par la vitesse de la particule :

T = 2π rv0

= 2πm|q|B .

La période est indépendante de la vitesse de la particule et ne dépend que de sa nature et del’intensité du champ magnétique.

Deuxième cas : ~v0 ‖ ~BL’accélération à t = 0 est nulle. Le vecteur vitesse reste donc inchangé et le mouvement dela particule est rectiligne et uniforme.

Énoncé Lorsque la vitesse initiale ~v0 de la particule chargée est parallèle au champ magné-tique ~B, le mouvement est rectiligne uniforme.

1.4.3 Applications

Spectrographe de masse

Les physiciens et les chimistes utilisent quotidiennement une application importante de la dé-viation des particules dans un champ magnétique : le spectrographe de masse (figure 1.24).Cet appareil permet de séparer des ions de masses différentes et donc d’analyser la composi-tion atomique et isotopique de la matière.

Les ions de masse m, de charge q et de vitesse initiale quasi nulle, sont tout d’abord accéléréspar une tension U jusqu’à une vitesse ~v0 qui, d’après le théorème de l’énergie cinétique,vérifie :

12 mv0

2 = |q|U.

Ils pénètrent ensuite dans une zone semi-circulaire où règne un champ magnétique ~B uniformeperpendiculaire à ~v0. Leur trajectoire constitue alors un arc de cercle de rayon r tel que :

r = mv0

|q|B

et en remplaçant v0 par son expression en fonction de U , q, et m on obtient la masse d’union :

m = |q|B2 r2

2U .


v0accélérationdes ions

chambre d’ionisation

détecteur

B

O1

O2

r1

r2

U

Figure 1.24 – Schéma d’un spectrographe de masse

Les ions sont enfin recueillis sur un détecteur (plaque photographique, capteur électronique,. . .) où la position du point d’impact permet de mesurer le rayon r de la trajectoire.

Il est ainsi possible de mesurer la masse des ions incidents, mais aussi d’analyser des mélanges,de séparer des isotopes, de déterminer des abondances isotopiques et de dater des échantillonsde matière.

Cyclotron

Le cyclotron est un accélérateur de particules chargées comme des protons ou des deutérons.Ces particules sont accélérées à grande vitesse dans le vide et servent de projectiles quel’on envoie sur des cibles de matière. Les collisions qui en résultent permettent d’étudier lastructure de la matière.

Un cyclotron est constitué de deux parties creuses hémicylindriques (figure 1.25) dont la formerappelle celle de la lettre D ; en raison de cette forme particulière, on les appelle « dés ».

B BE

dé

sortie desparticulessource S

Figure 1.25 – Éléments d’un cyclotron

Un champ magnétique uniforme ~B est appliqué perpendiculairement aux dés. Un champ


électrique est établi entre les dés en leur appliquant une différence de potentiel. La source Sde particules à accélérer est placée près du centre de l’appareil.

B B

E

r1 r2

v1 v2

S

(a) émission des particules

B B

E

r3

v3

S

(b) inversion du champ

Figure 1.26 – Principe de fonctionnement

Les particules de charge q et de masse m sont émises à la vitesse ~v1 par la source. Sous l’effetdu champ magnétique, elles parcourent un demi-cercle de rayon r1, dans le premier dé :

r1 = mv1

|q|B.

Elles sont ensuite accélérées par le champ électrique (figure 1.26a) et pénètrent dans le seconddé à la vitesse ~v2. Leur trajectoire dans le second dé est un demi-cercle de rayon r2 :

r2 = mv2

|q|B.

Comme v2 > v1, le rayon dans le second dé est plus grand : r2 > r1.

Lorsque les particules pénètrent pour la deuxième fois dans l’espace entre les dés, il faut,pour qu’elles soient à nouveau accélérées, changer le sens du champ électrique (figure 1.26b).Comme la période de rotation des particules est indépendante de leur vitesse, on inverse lechamp électrique en appliquant aux dés une tension alternative qui varie suivant la mêmepériode.

vmaxR

S

Figure 1.27 – Trajectoire des particules


Le processus se répète jusqu’à ce que le rayon de la trajectoire des particules soit maximal,c’est-à-dire égal au rayon R des dés (figure 1.27). La vitesse maximale des particules à lasortie de l’appareil vaut :

vmax = |q|BR

m.

Chapitre 2

Oscillateurs

2.1 Systèmes oscillants

2.1.1 Exemples d’oscillateurs

Les systèmes oscillants sont d’une variété impressionnante et rares sont les domaines de laphysique dans lesquels ils ne jouent pas un rôle important : la corde vocale, la suspensionpneumatique, la corde d’un violon, le circuit électrique oscillant, . . .

Nous allons étudier les oscillations de quelques systèmes oscillants simples, mécaniques etélectriques. La figure 2.1 montre quelques oscillateurs mécaniques.

pendule élastique liquide dans un tube en Upendule simple

Figure 2.1 – Oscillateurs mécaniques

Chacun de ces systèmes est caractérisé par un état d’équilibre stable. Lorsqu’on fournit ausystème de l’énergie pour l’écarter de sa position d’équilibre, une force de rappel tente de leramener dans cette position. L’énergie fournie au système fait que ce mouvement de rappelne cesse pas mais continue au-delà de la position d’équilibre.

2.1.2 Mise en évidence expérimentale

Expérience 2.1 Sur un banc à coussin d’air, un chariot est accroché à deux ressorts iden-tiques (figure 2.2). Les autres extrémités des ressorts sont fixes et distantes d’une longueur

38 Oscillateurs 1BC

suffisante pour que les ressorts soient toujours tendus.

Le chariot est écarté de sa position d’équilibre et puis lâché. Un dispositif permet d’enregistrerau cours du temps la position du chariot par rapport à sa position d’équilibre.

chariot

banc à coussin d’air

ressort

Figure 2.2 – Schéma du dispositif expérimental

Observations :

Si les amortissements sont négligeables, on obtient une sinusoïde (figure 2.3a). En di-minuant la puissance de la soufflerie, l’épaisseur du coussin d’air est réduit ce qui faitaugmenter la force de frottement ; on obtient des oscillations amorties (figure 2.3b).

(a) sinusoïde (b) oscillations amorties

Figure 2.3 – Variations de la position au cours du temps

2.1.3 Définitions d’oscillateurs

Définition Un oscillateur est un système physique manifestant la variation d’une grandeurphysique de part et d’autre d’un état d’équilibre. Si les variation se reproduisent identiques àelles-mêmes, l’oscillateur est dit périodique.

Exemples :

• Un oscillateur mécanique effectue un mouvement d’aller-retour de part et d’autre de saposition d’équilibre.

• En électricité, un circuit dans lequel circule un courant alternatif est un oscillateurélectrique.

Un oscillateur est dit harmonique si la variation de la grandeur physique est une fonctionsinusoïdale du temps.

Exemples : pendule simple, pendule élastique.

Un oscillateur libre effectue des oscillations correspondant à ses propres caractéristiques. Unoscillateur est forcé s’il est soumis à un autre système oscillant qui essaie de lui imposer sesoscillations.

1BC Oscillateurs 39

Exemple : un ressort vertical effectue des oscillations libres quand il est tenu par une mainimmobile ; quand la main effectue un mouvement oscillant vertical on obtient des oscillationsforcées.

Un oscillateur amorti effectue des oscillations dont l’amplitude diminue avec le temps. Pra-tiquement tous les oscillateurs observés sont plus ou moins amortis à cause des frottements.Un oscillateur est entretenu si l’amplitude reste constante grâce à un apport extérieur d’éner-gie.

Exemple : le pendule d’une montre.

2.1.4 Grandeurs caractéristiques des oscillateurs

Période et fréquence

La période T est la durée d’une oscillation. C’est la plus courte durée après laquelle le phé-nomène oscillatoire se reproduit identique à lui-même. L’unité de la période est la seconde(s).

La fréquence f est le nombre de fois que le phénomène oscillatoire se reproduit par seconde.L’unité de la fréquence est le hertz (Hz).

La période et la fréquence sont inverses l’un de l’autre : f = 1T.

Équation horaire

Considérons les oscillations d’un oscillateur harmonique. La variation d’une grandeur x dusystème est sinusoïdale. Cette grandeur est par exemple :

• la mesure algébrique de l’écart par rapport à la position d’équilibre, appelée élongation,du chariot sur le banc à coussin d’air de l’expérience précédente ;

• l’intensité du courant électrique dans le cas d’un oscillateur électrique.

La forme la plus générale de l’équation horaire d’un oscillateur harmonique est :

x(t) = xm sin(ω t+ ϕ) (2.1)

où les constantes xm, ω et ϕ sont les paramètres de l’oscillation qui dépendent du systèmeconsidéré. Les constantes xm et ω sont choisies positives. L’argument du sinus, ω t+ϕ, est laphase de l’oscillation à l’instant t.

Remarque : on peut également remplacer le sinus par un cosinus.

La grandeur x prend des valeurs entre −xm et +xm ; la constante xm est la valeur maximalede x, appelée amplitude. L’unité de l’amplitude est égale à celle de x.

La valeur de x à l’instant t = 0 est donnée par :

x(t = 0) = xm sin(ϕ).

La constante ϕ, appelée phase initiale, tient compte de la valeur initiale de la grandeur x etdu sens initial de sa variation.

40 Oscillateurs 1BC

Il reste à déterminer la constante ω. Elle s’exprime en fonction de la période T de sorte que lacondition de périodicité pour la grandeur x soit vérifiée. Lorsque le temps t augmente d’unepériode T :

x(t+ T ) = xm sin(ω t+ ϕ+ ω T )l’argument du sinus augmente de 2π de sorte que :

xm sin(ω t+ ϕ+ ω T ) = xm sin(ω t+ ϕ+ 2π) = x(t).

Pour que cette condition soit vérifiée à tout instant, ω doit vérifier la relation :

ω T = 2π ⇒ ω = 2πT.

La constante ω est appelée pulsation :

ω = 2πT

= 2π f (2.2)

L’unité de la pulsation est le hertz (Hz).

Remarque : tandis que l’amplitude et la phase initiale sont déterminées par les conditionsinitiales, la pulsation dépend uniquement des caractéristiques de l’oscillateur.

1BC Oscillateurs 41

2.2 Oscillateurs mécaniques

Comme exemple type d’un oscillateur mécanique nous allons étudier en détail les oscillationsd’un pendule élastique horizontal (figure 2.4).

ressortsolide

Figure 2.4 – Pendule élastique horizontal

Ce système oscillant simple est composé d’un solide de masse m accroché à un ressort àspires non jointives de raideur k. Le solide peut se déplacer sans frottements sur un supporthorizontal.

2.2.1 Rappels sur le ressort

La figure 2.5 montre un ressort de raideur k sur lequel un opérateur exerce une force ~F àl’extrémité M du ressort.

La position du point M est repérée par l’abscisse x. La position x = 0 correspond à unressort non tendu. La variation de la longueur du ressort est alors égale à x ; l’allongementcorrespond à des valeurs positives de x, la compression à des valeurs négatives.

xO

FT M

Figure 2.5 – Ressort soumis à une force ~F

Au point M le ressort exerce la tension ~T , avec ~T = −~F . La force ~F vérifie donc la loi deHooke ; sa seule composante est :

Fx = k x.

Cette composante est positive dans le cas d’un allongement et négative dans le cas d’unecompression.

L’énergie potentielle élastique Ep d’un ressort tendu est égale au travailW effectué par la force~F pour allonger (ou comprimer) le ressort d’une longueur x. Comme la force varie au coursdu déplacement du point d’application M , il faut diviser le déplacement en déplacementsélémentaires dx et calculer le travail élémentaire :

δW = Fx dx = k x dx.

Ce travail élémentaire est égal à la variation de l’énergie potentielle élastique :

dEp = k x dx⇒ dEpdx = k x.

L’énergie élastique est donc une primitive par rapport à x de k x :

Ep = 12 k x

2 + constante.

42 Oscillateurs 1BC

La constante d’intégration est choisie de sorte que l’énergie élastique d’un ressort non tendu,c’est-à-dire quand x = 0, soit nulle. Un ressort de raideur k allongé ou comprimé de x possèdedonc l’énergie :

Ep = 12 k x

2 (2.3)

2.2.2 Équation différentielle du mouvement

Nous allons maintenant établir l’équation différentielle qui régit le mouvement de l’oscilla-teur élastique horizontal. Nous allons d’abord nous servir de la relation fondamentale de ladynamique et puis aboutir au même résultat par des considérations énergétiques.

Pour simplifier la première approche, nous allons négliger toute force de frottement.

Relation fondamentale de la dynamique

La position du solide de masse m est repérée par l’abscisse x de son centre d’inertie. Onécarte le solide de sa position d’équilibre O et on le lâche ; il effectue ensuite des oscillationsautour de O. Les forces qui s’appliquent au solide sont son poids ~P , la réaction ~R du supporthorizontal et la tension ~T du ressort de raideur k (figure 2.6).

T

xO

ressort de raideur k solide de masse m

P

R

Figure 2.6 – Bilan des forces du pendule élastique horizontal

Appliquons le principe fondamental de la dynamique au solide de masse m :

m~a =∑i

~Fi = ~P + ~R + ~T .

Considérons la projection de cette équation vectorielle dans la direction du mouvement :

max = Px +Rx + Tx.

Comme le mouvement est horizontal, le poids est perpendiculaire à la direction du mouve-ment : Px = 0.

La réaction étant perpendiculaire au support, sa projection dans la direction du mouvementest nulle : Rx = 0.

L’abscisse x, appelée élongation, est la valeur algébrique de l’écart par rapport à la positiond’équilibre O. La coordonnée Tx de la tension du ressort vérifie la loi de Hooke et est de signeopposé à celui de l’élongation :

Tx = −k x.L’équation se réduit à :

max = −k x.

1BC Oscillateurs 43

Avec ax = vx = x et en divisant par m, on obtient l’équation différentielle du mouve-ment :

x = − kmx

La solution de cette équation différentielle est l’équation horaire x(t).

Conservation de l’énergie

On peut établir l’équation différentielle du mouvement au moyen de considérations éner-gétiques en remarquant que l’énergie mécanique du système est conservée en absence defrottements. L’énergie mécanique E est la somme de l’énergie cinétique Ec du solide et del’énergie potentielle élastique Ep du ressort (relation 2.3) :

E = Ec + Ep = 12 mvx

2 + 12 k x

2.

La conservation de l’énergie mécanique se traduit par :

E = constante⇒ dEdt =

dÄ1

2 mvx2 + 1

2 k x2ä

dt = 0

d’où :12 m 2 vx

dvxdt + 1

2 k 2x dxdt = 0.

Avec dvxdt = ax = x et dx

dt = vx l’expression devient :

mvx x+ k x vx = 0.

En divisant par mvx et en réarrangeant les termes on retrouve l’équation différentielle dumouvement :

x = − kmx.

2.2.3 Solution de l’équation différentielle

Solution sinusoïdale

Une solution de l’équation différentielle est une fonction du temps ; c’est l’équation horairex(t) de l’oscillateur.

L’expérience 2.1 a montré que l’équation horaire du pendule élastique horizontal est unesinusoïde de la forme (relation 2.1) :

x(t) = xm sin(ω0 t+ ϕ).

Vérifions qu’une expression sinusoïdale est effectivement solution de l’équation différentielledu mouvement. En dérivant une première fois par rapport à t :

x = xm ω0 cos(ω0 t+ ϕ) (2.4)

44 Oscillateurs 1BC

et une deuxième fois :

x = −xm ω02 sin(ω0 t+ ϕ) = −ω0

2 xm sin(ω0 t+ ϕ) = −ω02 x (2.5)

on constate que l’équation différentielle du mouvement est vérifiée par l’expression sinusoïdalesous condition que :

ω02 = k

m.

Exercice 2.1 Montrer que x(t) = xm cos(ω0 t + ϕ) est également solution de l’équationdifférentielle du mouvement.

Après avoir lâché le solide, le pendule effectue des oscillations sans aucune influence de l’ex-térieur ; c’est donc un oscillateur libre. Pour cette raison la constante ω0 est appelée pulsationpropre de l’oscillateur.

La pulsation propre ω0 est déterminée par les grandeurs caractéristiques du pendule élastique,à savoir la raideur du ressort et la masse du solide. L’amplitude xm et la phase initiale ϕ sontdéterminées par les conditions initiales.

Période propre

L’équation (2.2) relie la pulsation à la période des oscillations. La pulsation propre du penduleélastique est :

ω0 = k

m

ce qui donne pour la période propre du pendule élastique :

T0 = 2πω0

= 2π m

k

Vitesse et accélération instantanées

En utilisant les relations (2.4) et (2.5) on obtient la vitesse :

vx = x = xm ω0 cos(ω0 t+ ϕ)

et l’accélération du solide :

ax = x = −xm ω02 sin(ω0 t+ ϕ) = −ω0

2 x.

Les facteurs qui multiplient les fonctions trigonométriques sont les valeurs maximales de lavitesse :

vm = xm ω0

et de l’accélération :am = xm ω0

2.

L’accélération est toujours de signe opposé à celui de x. Le vecteur accélération est toujoursdirigé vers la position d’équilibre.

1BC Oscillateurs 45

Quand l’oscillateur s’éloigne de sa position d’équilibre, les vecteurs ~v et ~a sont opposés : lemouvement est freiné. Lorsqu’il se rapproche de la position d’équilibre, les deux vecteurs ontle même sens : le mouvement est accéléré.

Exemple : voir figure 2.7.

Conditions initiales

L’amplitude xm et la phase initiale ϕ sont déterminées par les conditions initiales. À l’instantt = 0, la position est x0 = xm sin(ϕ) et la vitesse vx0 = vm cos(ϕ). Nous allons considéreruniquement les cas particuliers suivants :

• x0 = ±xm et vx0 = 0.

Le solide est écarté de sa position d’équilibre de l’amplitude xm et puis lâché sans vitesseinitiale. La phase initiale est ϕ = π/2 si l’élongation initiale est positive et ϕ = −π/2si elle est négative.

• x0 = 0 et vx0 = ± vm.

Le solide est lancé depuis sa position d’équilibre avec la vitesse vm. La phase initialeest ϕ = 0 si cette vitesse est positive et ϕ = π si elle est négative. L’amplitude est alorsdonnée par xm = vm/ω0.

Exercice 2.2 Reprendre cette discussion avec x(t) = xm cos(ω0 t+ ϕ).

Représentations graphiques

Considérons le cas où la phase initiale est ϕ = π/2. Le solide est lâché sans vitesse initialedepuis la position x0 = xm. La position à l’instant t est donnée par :

x = xm sin(ω0 t+ π/2) = xm cos(ω0 t).

L’expression pour la vitesse devient :

vx = xm ω0 cos(ω0 t+ π/2) = −xm ω0 sin(ω0 t).

L’accélération s’exprime en fonction de la position :

ax = −ω02 x = −xm ω0

2 cos(ω0 t).

La figure 2.7 montre la représentation graphique de x(t), vx(t) et ax(t).

L’énergie cinétique du solide à l’instant t est donnée par :

Ec = 12 mvx

2 = 12 mxm

2 ω02 sin2(ω0 t).

L’expression pour l’énergie potentielle élastique du ressort devient :

Ep = 12 k x

2 = 12 k xm

2 cos2(ω0 t).

L’énergie mécanique E est égale à la somme de Ec et de Ep.

Exercice 2.3 Vérifier que l’énergie mécanique est constante et déterminer sa valeur.

La figure 2.8 montre la représentation graphique de E(t), Ec(t) et Ep(t).

46 Oscillateurs 1BC

Figure 2.7 – Représentation graphique de x(t), vx(t) et ax(t)

Figure 2.8 – Représentation graphique de E(t), Ec(t) et Ep(t)

2.2.4 Oscillations amorties

L’expérience avec le pendule élastique a montré qu’une augmentation progressive de la forcede frottement provoque une diminution de l’amplitude à chaque aller retour (figure 2.9a). Lesoscillations du pendule sont amorties et le mouvement n’est pas périodique au sens strict. Onle qualifie de pseudo-périodique et on appelle pseudo-période la durée d’une oscillation.

Dans le cas d’un faible amortissement, la pseudo-période est légèrement supérieure à lapériode propre du pendule. La valeur de la pseudo-période, donc le temps pour un aller-retour, ne change pas durant le mouvement.

(a) pseudo-périodique (b) apériodique

Figure 2.9 – Régimes oscillatoires en cas de frottements

Lorsque l’intensité de la force de frottement dépasse une valeur critique, il n’y a plus d’os-cillations. Écarté de sa position d’équilibre, le pendule y revient lentement sans osciller (fi-

1BC Oscillateurs 47

gure 2.9b). On qualifie alors le mouvement d’apériodique.

Exemples : les aiguilles d’instruments à cadre mobile et les amortisseurs d’automobile effec-tuent des mouvements apériodiques.

2.2.5 Le phénomène de résonance


Expérience 2.2 On utilise le dispositif solide-ressort de l’expérience 2.1 auquel on adjointun moteur électrique dont la fréquence de rotation est variable et dont l’axe de rotationsupporte un excentrique (figure 2.10). Un des deux ressorts a maintenant une extrémité fixéeà l’excentrique, son autre extrémité est reliée au solide.

Un dispositif permet d’enregistrer au cours du temps la position du chariot par rapport à saposition d’équilibre et la position de l’extrémité du ressort fixée à l’excentrique.

chariot

banc à coussin d’air

ressortexcentrique

Figure 2.10 – Schéma du dispositif expérimental

La soufflerie étant à pleine puissance, on met en marche le moteur avec une fréquence derotation très petite. On observe qu’après quelques instants le mouvement du mobile devientrégulier. Le mouvement observé est alors d’allure sinusoïdale.

On fait varier la fréquence f de rotation du moteur de part et d’autre de la fréquence propref0 de l’oscillateur et on étudie l’évolution de l’amplitude des oscillations du solide.

Les figures 2.11a à 2.11d montrent les enregistrements pour le pendule élastique horizontal.Les échelles de temps et d’allongement du ressort sont les mêmes sur toutes les figures.

Observations :

• En régime établi, après un certain temps, la fréquence des oscillations du penduleélastique est la même que la fréquence de rotation du moteur.

• L’amplitude des oscillations est maximale si la fréquence du moteur est égale à lafréquence propre du pendule élastique (figure 2.11c).

Énoncé Pour une fréquence d’excitation égale à la fréquence propre de l’oscillateur, l’am-plitude des oscillations est maximale ; c’est le phénomène de résonance.

Les oscillations du système solide-ressort sont dites forcées par le mouvement du point d’ac-crochage du ressort à l’excentrique, lui-même lié au moteur.

Lorsqu’un oscillateur est en oscillations forcées, sa fréquence est imposée par un dispositifextérieur, appelé l’excitateur. Un oscillateur en oscillations forcées est aussi appelé résona-teur.

48 Oscillateurs 1BC

(a) oscillations libres, f0 (b) oscillations forcées, f < f0

(c) résonance, f = f0 (d) oscillations forcées, f > f0

Figure 2.11 – Oscillogrammes du pendule élastique horizontal

Influence de l’amortissement

On recommence l’expérience en excitant le résonateur au voisinage de sa fréquence propre,puis on règle la puissance de la soufflerie à des valeurs de plus en plus faibles. On constatealors que l’amplitude du mouvement diminue lorsque la puissance de la soufflerie diminue,c’est-à-dire lorsque l’amortissement augmente.

Énoncé L’amplitude du mouvement à la résonance diminue d’autant plus que l’amortisse-ment est important.

Courbe de résonance

En représentant l’amplitude xm des oscillations en fonction de la fréquence f on obtient lacourbe de résonance. La figure 2.12 montre deux courbes pour des frottements d’intensitésdifférentes.

Les courbes présentent des maxima de valeurs respectivement xm1 et xm2. Ces maxima d’am-plitude sont obtenus pour une fréquence de résonance fr égale la fréquence propre f0 du

1BC Oscillateurs 49

xm

xm1

xm2

faibles frottements

frottements plus importants

ff0

Figure 2.12 – Courbe de résonance

système oscillant :

fr = f0 = 1T0

= 12π

k

m.

Suivant l’intensité des frottements, la résonance peut être :

• aiguë (courbe pointue avec un maximum xm1) lorsque l’amortissement est faible ;

• floue (courbe aplatie avec un maximum xm2) lorsque l’amortissement est plus impor-tant.

Exemples de résonances mécaniques

Le phénomène de résonance peut être utile ou destructif, comme le montrent les exemplessuivants :• La suspension d’une automobile peut être modélisée par un ressort verti-

cal fixé entre le châssis et l’axe, ce qui constitue un oscillateur. Il arrivait,sur les modèles anciens, que pour certaines vitesses et certaines irrégu-larités dans la chaussée, l’oscillateur entre en résonance. Cela se tradui-sait par une forte augmentation de l’amplitude verticale du mouvementdu châssis et pouvait présenter des dangers : les roues décollaient de laroute et perdaient toute adhérence. Afin de limiter cet effet, on ajoutedes amortisseurs, généralement à huile, qui permettent de diminuer l’am-plitude du mouvement en cas de résonance.

• Le pont de Tacoma aux États-Unis s’effondra en 1940après être entré en résonance sous l’action de bour-rasques de vent périodiques jouant le rôle d’excitateur.De même, en 1850, le tablier d’un pont suspendu surla Maine à Angers se rompit au passage d’une troupemarchant au pas cadencé. Le tablier du pont et sescibles de suspension, présentant une certaine élasti-cité, constituaient un oscillateur mécanique. L’excita-tion provoquée par les pas cadencés de la troupe l’avaitfait entrer en résonance, provoquant sa rupture. Les tabliers des ponts actuels sont tous

50 Oscillateurs 1BC

arrimés au sol par l’intermédiaire de vérins amortisseurs qui permettent de limiter lephénomène de résonance.• La caisse de résonance d’un violon permet de

renforcer les notes produites par la vibration descordes. L’âme est la pièce qui lie les cordes et lacaisse de résonance. Elle doit être placée sous lechevalet. La caisse de résonance et la masse d’airqu’elle contient constituent un oscillateur méca-nique. Ce dernier possède des périodes propresde vibration qui dépendent de la forme de la caisse. Les cordes du violon jouent le rôlede l’excitateur, la caisse de résonance celui du résonateur.

1BC Oscillateurs 51

2.3 Oscillateurs électriques

2.3.1 Loi d’Ohm pour une bobine

Description d’une bobine

On obtient un solénoïde ou bobine en bobinant un fil conducteur électrique sur un supportisolant. Le fil doit toujours être enroulé dans le même sens autour de l’axe du support.

La bobine crée un champ magnétique lorsqu’elle est parcourue par un courant électrique.

L’étude du phénomène de l’induction magnétique en classe de 2e a montré qu’une bobine nese réduit pas, d’un point de vue électrique, à la résistance du fil qui la constitue. Elle s’opposeaussi aux variations du courant.

Comportement d’une bobine

Lorsqu’une bobine est parcourue par un courant électrique i variable, une tension uB apparaîtà ses bornes. Quand le courant varie rapidement, cette tension est proportionnelle au tauxde variation du courant électrique :

uB ∼didt .

En introduisant un coefficient de proportionnalité et en adoptant la convention récepteurpour la définition de la tension uB, il vient :

uB = Ldidt

où L est appelée inductance de la bobine et s’exprime en henrys (H).

Remarques :

• L’intensité i du courant peut être positive ou négative. On définit un sens positif ducourant qui est représenté par une flèche. Lorsque i > 0 le courant circule dans le sensindiqué par la flèche ; lorsque i < 0 le courant circule dans le sens opposé.

• En convention récepteur, la flèche représentant la tension est en sens inverse de cellechoisie pour le sens positif du courant.

Les oscillogrammes de la figure 2.13 représentent la tension aux bornes de la bobine (voie 1)pour différents courants variables (voie 2).

Modélisation du comportement d’une bobine

Pour une variation quelconque de l’intensité au cours du temps, la tension est la somme dedeux termes liés respectivement à la résistance et à l’inductance de la bobine.

En adoptant la convention récepteur, la tension uB et l’intensité i du courant sont reliéespar :

uB = r i+ Ldidt (2.6)

52 Oscillateurs 1BC

(a) courant en dents de scie (b) courant sinusoïdal

(c) courant rectangulaire

Figure 2.13 – Tension aux bornes de la bobine pour différents courants

Cette relation, appelée loi d’Ohm pour une bobine, relie la tension aux bornes de la bobine àl’intensité du courant qui la traverse.

Remarques :

• En courant continu, le deuxième terme s’annule et la bobine se comporte comme unconducteur ohmique : uB = r i.

• Lorsque la fréquence est largement supérieure à une certaine fréquence limite, l’ampli-tude du premier terme devient négligeable devant celle du deuxième terme.

r Li

r iL

didt

uB

Figure 2.14 – Symbole de la bobine

Le symbole d’une bobine représente les deux paramètres caractéristiques de la bobine : sa

1BC Oscillateurs 53

résistance et son inductance (figure 2.14).

2.3.2 Énergie magnétique d’une bobine

Mise en évidence expérimentale

Expérience 2.3 Un générateur de tension continue alimente une bobine par l’intermédiairede l’interrupteur S. La diode D permet le passage du courant dans le moteur dans un seulsens (figure 2.15). L’axe du moteur M entraîne une hélice.

L’interrupteur S est ouvert depuis une assez longue durée, le moteur est au repos. On ferme S,un courant s’établit dans la bobine. Le moteur ne tourne pas, la diode empêchant le courantde le traverser.

Après quelques instants, on ouvre S. Le moteur se met en rotation entraînant la hélice.

M

DS

Figure 2.15 – Mise en évidence de l’énergie magnétique

Interprétation :

Lorsque le moteur se met à tourner, il n’est plus connecté au générateur qui ne peut doncpas lui fournir de l’énergie. C’est la bobine qui joue le rôle du générateur et, pendant unbref intervalle de temps, maintient le courant qui traverse le moteur dans le sens permispar la diode.

L’énergie fournie au moteur pendant cette phase de l’expérience a été stockée dans labobine lors de l’établissement du courant, à la fermeture de l’interrupteur S.

Expression de l’énergie magnétique

La bobine possède de l’énergie magnétique EL lorsqu’elle est parcourue par un courant élec-trique. Cette énergie est égale au travail électrique que doit effectuer le générateur lors del’établissement de ce courant.

rLiA B

uAB

Figure 2.16 – Bobine traversée par un courant

La puissance électrique P fournie par le générateur pour faire circuler un courant d’intensitéi de A vers B (figure 2.16) à travers la bobine est :

P = uAB i.

54 Oscillateurs 1BC

Avec la loi d’Ohm pour une bobine :

uAB = r i+ Ldidt

la puissance s’écrit :P = r i2 + L i

didt .

Le premier terme correspond à la puissance dissipée par effet Joule et ne contribue pasà l’énergie magnétique de la bobine. Le deuxième terme est égal au taux de variation del’énergie magnétique :

dELdt = L i

didt .

L’énergie magnétique est donc une primitive par rapport au temps de l’expression L ididt .

Nous avons :EL = 1

2 L i2 + constante.

La constante d’intégration est choisie de sorte que l’énergie d’une bobine qui n’est pas par-courue par un courant, c’est-à-dire lorsque i = 0, soit nulle.

L’énergie magnétique emmagasinée dans une bobine d’inductance L parcourue par un courantd’intensité i est :

EL = 12 L i

2

2.3.3 Rappel sur le condensateur

Les armatures d’un condensateur portent des charges opposées. La tension uAB entre lesarmatures A et B est reliée à la charge q de l’armature A par :

uAB = q

C(2.7)

où C est la capacité du condensateur.

A Bi

CuAB

q ≠q

Figure 2.17 – Conventions pour le condensateur

La variation de la charge du condensateur est due à un courant électrique d’intensité i. Avecles conventions de la figure 2.17 nous avons :

i = dqdt . (2.8)

L’énergie potentielle électrique EC d’un condensateur chargé est égale au travail électriqueeffectué pour le charger.

1BC Oscillateurs 55

La puissance électrique fournie au condensateur est :

P = uAB i.

Elle est égale au taux de variation de l’énergie électrique. En utilisant les relations (2.7) et(2.8) il vient :

dECdt = q

C

dqdt .

L’énergie électrique est une primitive par rapport au temps de l’expression q

C

dqdt . Nous

avons :EC = 1

2q2

C+ constante.

La constante d’intégration est choisie de sorte que l’énergie d’un condensateur non chargé,c’est-à-dire lorsque q = 0, soit nulle.

L’énergie électrique emmagasinée dans un condensateur de capacité C portant la charge qest :

EC = 12q2

C

2.3.4 Oscillations dans un dipôle RLC

Expérience 2.4 Le circuit (figure 2.18) comporte un générateur de tension continue, uncondensateur de capacité C, une bobine et une résistance variable R. Lorsque l’interrupteurS est basculé dans la position 1, le condensateur se charge jusqu’à ce que la tension à sesbornes uC soit égale à la f.é.m. du générateur.

1 2

S

L

R

C

voie 1

Figure 2.18 – Décharge d’un condensateur dans une bobine

En basculant S en position 2, on isole le générateur, le condensateur se décharge dans labobine et dans la résistance montées en série. L’oscilloscope enregistre la tension uC au coursde la décharge.

On choisit initialement pour R la valeur R = 0,1 kΩ. On observe (figure 2.19a) que la déchargedu condensateur est oscillante amortie. Elle n’est pas périodique puisque uC ne reprend pasla même valeur à des intervalles de temps égaux ; l’amplitude des oscillations décroît au cours

56 Oscillateurs 1BC

du temps. La tension uC s’annule à des instants séparés par des intervalles de temps égaux ; ladécharge est dite pseudo-périodique. La pseudo-période est la durée qui sépare deux passagessuccessifs de uC par 0 dans le même sens.

(a) oscillations amorties, R = 0,1 kΩ (b) oscillations amorties, R = 1 kΩ

(c) décharge apériodique, R = 10 kΩ

Figure 2.19 – Oscillogrammes des oscillations libres d’un circuit RLC

L’expérience est répétée avec des valeurs de résistance plus grandes. Avec R = 1 kΩ la dé-charge est toujours oscillante amortie, mais l’amortissement est plus important (figure 2.19b).

Lorsque la résistance est très grande, par exemple pour R = 10 kΩ, les oscillations dispa-raissent (figure 2.19c). La tension décroît sans changer de signe. La décharge est apériodique.

En annulant R, l’amortissement, bien que plus faible, n’est pas nul. La résistance de la bobineest la cause de cet amortissement.

Énoncé Lorsque la résistance du circuit RLC est faible, la décharge du condensateur dans labobine est oscillante amortie. L’amortissement augmente avec la résistance totale du circuit.Au-delà d’une valeur limite, la décharge devient apériodique.

1BC Oscillateurs 57

2.3.5 Équation différentielle pour un circuit LC

Nous allons maintenant établir l’équation différentielle qui régit les oscillations d’un circuitLC ; la résistance totale du circuit est supposée négligeable.

Loi des mailles

Considérons le circuit LC de la figure 2.20 constitué d’une bobine d’inductance L et derésistance négligeable et d’un condensateur de capacité C.

Li

i

C

q≠q

uL

uC

Figure 2.20 – Circuit oscillant LC

L’application de la loi des mailles donne : uL + uC = 0. Avec les relations (2.6) et (2.7) et enprenant r = 0 :

uL = Ldidt et uC = q

C

cette équation s’écrit :L

didt + q

C= 0. (2.9)

En utilisant la relation (2.8) entre charge et intensité du courant, la dérivée par rapport autemps de l’intensité est :

didt = d2q

dt2 = q.

En divisant l’équation (2.9) par L et en réarrangeant les termes, l’équation différentielle pourle circuit LC devient :

q = − 1LC

q

Remarques :

• En remplaçant dans l’équation différentielle q par C uC (relation 2.7) et en divisantensuite par C on obtient l’équation différentielle :

uC = − 1LC

uC .

Pour dériver par rapport au temps, on remarque que C est une constante et doncq = C uC .

58 Oscillateurs 1BC

• L’équation différentielle pour la charge a la même forme que celle pour l’élongationd’un oscillateur mécanique.

Conservation de l’énergie

Nous allons établir cette même équation différentielle à partir de considérations énergétiques.L’énergie électromagnétique E du système est la somme de l’énergie électrique EC du conden-sateur et de l’énergie magnétique EL de la bobine :

E = EC + EL = 12q2

C+ 1

2 L i2.

Lorsque la dissipation d’énergie par effet Joule peut être négligée, l’énergie du système resteconstante :

E = constante⇒ dEdt =

d(

12q2

C+ 1

2 L i2)

dt = 0

d’où :12 2 q

C

dqdt + 1

2 L 2 i didt = 0.

Avec les conventions de la figure 2.20 nous avons dqdt = i et di

dt = d2q

dt2 = q. L’expressiondevient :

q

Ci+ L i q = 0.

En divisant par L i et en réarrangeant les termes on retrouve l’équation différentielle ducircuit LC :

q = − 1LC

q.

2.3.6 Solution de l’équation différentielle

Solution sinusoïdale

Une solution de l’équation différentielle est une fonction du temps ; c’est l’équation horaireq(t) de l’oscillateur électrique.

Les résultats expérimentaux et la forme de l’équation différentielle suggèrent une solutionsinusoïdale de la forme :

q(t) = Qm cos(ω0 t+ ϕ)

où Qm > 0 est la charge maximale de l’armature positive du condensateur.

Vérifions que cette fonction est effectivement solution de l’équation différentielle du circuit.En dérivant une première fois par rapport à t :

q = −Qm ω0 sin(ω0 t+ ϕ) (2.10)

et une deuxième fois :

q = −Qm ω02 cos(ω0 t+ ϕ) = −ω0

2 Qm cos(ω0 t+ ϕ) = −ω02 q

1BC Oscillateurs 59

on constate que l’équation différentielle est vérifiée par la fonction sinusoïdale sous conditionque :

ω02 = 1

LC.

Exercice 2.4 Montrer que q(t) = Qm sin(ω0 t + ϕ) est également solution de l’équationdifférentielle.

Lorsqu’une bobine est branchée aux bornes d’un condensateur chargé, le condensateur va sedécharger et se charger périodiquement sans aucune influence de l’extérieur ; le circuit LCest donc un oscillateur libre. Pour cette raison la constante ω0 est appelée pulsation proprede l’oscillateur.

La pulsation propre est déterminée par les grandeurs caractéristiques du circuit LC, à savoirl’inductance L de la bobine et la capacité C du condensateur. La charge maximale Qm et laphase initiale ϕ sont déterminées par les conditions initiales.

Période propre

La pulsation propre des oscillations libres du circuit LC est :

ω0 = 1√LC

La relation (2.2) permet d’obtenir la période propre :

T0 = 2πω0

= 2π√LC (2.11)

Tensions et intensité du courant

La tension aux bornes du condensateur est donnée par la relation (2.7) :

uC = q

C= Um cos(ω0 t+ ϕ)

où Um = Qm

Cest l’amplitude de la tension uC .

La loi des mailles permet d’obtenir la tension aux bornes de la bobine :

uL = −uC = −Um cos(ω0 t+ ϕ).

L’intensité du courant est obtenue à l’aide des relations (2.8) et (2.10) :

i = q = −Im sin(ω0 t+ ϕ)

où Im = Qm ω0 est l’amplitude de l’intensité i. Le circuit LC est donc traversé par un courantalternatif sinusoïdal.

60 Oscillateurs 1BC

Conditions initiales

Les grandeurs Qm et ϕ sont déterminées par les conditions initiales, c’est-à-dire par les valeursde uC et de i à l’instant t = 0.

Considérons l’exemple d’un condensateur qui a été chargé à la tension U0. Lorsqu’on branchela bobine sur ce condensateur, la tension initiale au bornes du condensateur est U0 et sacharge initiale vaut Q0 = C U0. Nous avons à l’instant t = 0 :

U0 = Um cos(ϕ).L’intensité du courant doit être nulle initialement car le courant ne peut pas s’établir de façoninstantanée dans la bobine :

0 = −Im sin(ϕ).Il résulte de ces deux conditions que ϕ = 0 et Um = U0. Les équations horaires pour lesdifférentes grandeurs électriques s’écrivent :

uC = Um cos(ω0 t) = U0 cos(ω0 t)uL = −Um cos(ω0 t) = −U0 cos(ω0 t)i = −Im sin(ω0 t) = −Q0 ω0 sin(ω0 t)

Exercice 2.5 Reprendre cette discussion si q(t) = Qm sin(ω0 t+ ϕ).

Représentations graphiques

La figure 2.21 montre la représentation graphique de uC(t), uL(t) et i(t) pour l’exempleci-dessus. On constate que uC et i sont déphasées de π/2.

Figure 2.21 – Représentation graphique de uC(t), uL(t) et i(t)

L’énergie électrique du condensateur à l’instant t est donnée par :EC = 1

2 C uC2 = 1

2 C U02 cos2(ω0 t).

L’expression pour l’énergie magnétique de la bobine devient :EL = 1

2 L i2 = 1

2 LQ02 ω0

2 sin2(ω0 t).L’énergie électromagnétique E est égale à la somme de EC et de EL.

Exercice 2.6 Vérifier que l’énergie électromagnétique est constante et déterminer sa valeur.

La figure 2.22 montre la représentation graphique de E(t), EC(t) et EL(t).

1BC Oscillateurs 61

Figure 2.22 – Représentation graphique de E(t), EC(t) et EL(t)

2.3.7 Oscillations amorties

L’expérience 2.4 a montré que si la résistance totale du circuit n’est pas négligeable, lesoscillations sont amorties : l’amplitude diminue. L’effet de la résistance est comparable àcelui d’une force de frottement dans le cas d’oscillations mécaniques.

Pour une discussion de l’influence de la résistance sur l’amortissement, voir la section 2.3.4.

L’énergie du système électrique n’est plus constante mais elle est dissipée progressivementpar effet joule. L’équation différentielle et sa solution ne sont plus valables.

2.3.8 Le phénomène de résonance


Expérience 2.5 On utilise le montage de la figure 2.23. Un dipôle RLC série est branchéaux bornes d’un générateur de tension alternative sinusoïdale.

LR C

G

voie 1voie 2Figure 2.23 – Circuit RLC

On fait varier la fréquence f du générateur et on étudie l’évolution de l’amplitude des os-cillations électriques en gardant l’amplitude de la tension aux bornes du générateur (voie 1)constante.

Les figures 2.24a à 2.24c montrent les oscillogrammes pour le circuit RLC. Les échelles detemps et de tension sont les mêmes sur toutes les figures.

L’intensité du courant dans le circuit est proportionnelle à la tension aux bornes de la résis-tance R (voie 2). Connaissant la valeur de la résistance on peut déterminer l’amplitude Imde l’intensité du courant électrique.

62 Oscillateurs 1BC

(a) oscillations forcées, f < f0 (b) oscillations forcées, f > f0

(c) oscillations forcées, f = f0

Figure 2.24 – Oscillogrammes du circuit RLC en régime forcé

Observations :

• La fréquence des oscillations du courant électrique est égale à celle du générateur detension.

• L’amplitude de l’intensité du courant est maximale si la fréquence du générateur estégale à la fréquence propre du circuit LC (figure 2.24c).

Énoncé Pour une fréquence d’excitation égale à la fréquence propre du circuit LC, l’ampli-tude des oscillations du courant électrique est maximale ; c’est le phénomène de résonance.

Les oscillations du circuit RLC sont dites forcées par le générateur de tension alternativesinusoïdale.

Le générateur de tension joue le rôle de l’excitateur et impose sa fréquence aux oscillationsdu circuit RLC. Un circuit RLC en oscillations forcées est aussi appelé résonateur.

1BC Oscillateurs 63

Courbe de résonance

En représentant l’amplitude Im de l’intensité du courant en fonction de la fréquence f onobtient la courbe de résonance. La figure 2.25 représente deux courbes pour des valeursdifférentes R1 et R2 de la résistance du circuit.

ff0

R1

R2 = 2R1

Im

Im1

Im2

Figure 2.25 – Courbe de résonance

Les courbes présentent des maxima de valeurs respectivement Im1 et Im2. Ces maxima d’am-plitude sont obtenus pour une fréquence de résonance fr égale à la fréquence propre f0 ducircuit oscillant non-amorti :

fr = f0 = 1T0

= 12π√LC

.

Suivant les valeurs de la résistance, la résonance peut être :

• aiguë (courbe pointue de maximum Im1) lorsque la résistance est faible ;

• floue (courbe aplatie de maximum Im2) lorsque la résistance est plus importante.

Énoncé L’amplitude de l’intensité du courant diminue d’autant plus à la résonance que larésistance du circuit est importante.

Chapitre 3

Ondes et lumière

3.1 Propagation d’une onde mécanique

3.1.1 Signal transversal, signal longitudinal, onde

Un signal mécanique est une déformation de courte durée d’un milieu élastique. Cette dé-formation ne reste pas localisée à l’endroit où elle est produite, mais elle se déplace dansle milieu élastique : elle se propage. Après le passage du signal le milieu reprend son étatinitial.

Le point de départ du signal est la source S ; la direction et le sens dans lesquels le signal sedéplace constituent la direction et le sens de propagation.

(a) t = t1

(b) t = t2

(c) t = t3

Figure 3.1 – Signal transversal

(a) t = t1

(b) t = t2

(c) t = t3

Figure 3.2 – Signal longitudinal

Si, lors du passage de la déformation, les différents points du milieu se déplacent perpendi-culairement à la direction de propagation (figure 3.1), la déformation est un signal transver-sal.

Si, lors du passage de la déformation, les différents points du milieu se déplacent dans ladirection de propagation (figure 3.2), la déformation est un signal longitudinal.

1BC Ondes et lumière 65

Une onde est une série de signaux qui se suivent à des intervalles de temps réguliers ; ellepeut être transversale ou longitudinale.

3.1.2 Célérité

Définition On appelle célérité c la vitesse de propagation d’un signal ou d’une onde.

Propriétés :

• Dans un milieu homogène, la célérité c est la même en tout point (figure 3.3a).

• Dans un milieu isotrope à deux (figure 3.3b) ou à trois dimensions, la célérité c est lamême dans toutes les directions.

(a) milieu à une dimension (b) milieu à deux dimensions

Figure 3.3 – Célérité d’un signal

• La célérité c ne dépend pas de la forme du signal.

• La célérité c dépend de la nature et de l’état du milieu de propagation (tableau 3.1).

signal milieu de propagation célérité en m/sson air à 0 C 330,7

air à 20 C 342,6air à 40 C 354,1eau de mer à 15 C 1500acier 5000hydrogène à 20 C 1300

lumière vide 3 · 108

eau 2,25 · 108

verre ordinaire 2 · 108

Table 3.1 – Célérités dans différents milieux

• Le long d’une corde tendue, la célérité c dépend de la tension FT de la corde et de samasse par unité de longueur, appelée masse linéique µ, selon la relation :

c =√FTµ

(3.1)

66 Ondes et lumière 1BC

3.1.3 Longueur d’onde et période

Considérons une source S fixée à l’extrémité gauche d’une corde tendue. Le mouvement dela source est sinusoïdal de période T .

Pour comprendre la déformation progressive de la corde, il est commode de la représenter àdifférents instants :

t = 0 : la source commence son mouvement (figure 3.4a) ;

t = T/4 : la source a fait un quart d’oscillation (figure 3.4b), le front d’onde atteint lepoint M1 tel que OM1 = c T/4 ;

t = T/2 : la source a fait une demi-oscillation (figure 3.4c), le front d’onde atteint lepoint M2 tel que OM2 = c T/2 ;

t = 3T/4 : la source a fait trois quarts d’oscillation (figure 3.4d), le front d’onde atteintle point M3 tel que OM3 = c 3T/4 ;

t = T : la source a effectué une oscillation complète (figure 3.4e), la déformationatteint une longueur de corde qu’on appelle longueur d’onde λ = c T ;

t = 2T : la source a effectué deux oscillations complètes (figure 3.4f) ; la déformationatteint une longueur de corde 2λ = c 2T = 2 c T .

(a) t = 0 (b) t = T/4

(c) t = T/2 (d) t = 3T/4

(e) t = T (f) t = 2T

Figure 3.4 – Propagation d’un signal sinusoïdal

Définition La longueur d’onde λ est la distance parcourue par l’onde en une période T . Lalongueur d’onde dépend à la fois de la période T , donc de la source, et de la célérité c, doncdu milieu de propagation.

λ = c T (3.2)


La fréquence f = 1T

de la source permet d’écrire : λ = c

f.

3.1.4 Double périodicité du phénomène de propagation

Périodicité temporelle

Un point M du milieu exécute, comme la source, une vibration sinusoïdale qui se reproduitidentiquement à elle-même après le temps T . La durée T est la période dans le temps oupériode temporelle.

La sinusoïde qui représente l’élongation d’un point en fonction du temps est appelée sinusoïdedes temps (figure 3.5).

Figure 3.5 – Sinusoïde des temps du point M

La sinusoïde des temps d’un point N en aval de M se déduit de la sinusoïde des temps de Mpar une translation de ∆t = d/c le long de l’axe des temps, où d est la distance séparant lesdeux points (figure 3.6).

Figure 3.6 – Sinusoïde des temps du point N

Périodicité dans l’espace

À un instant t donné, on retrouve le même état vibratoire dans la direction de propagationà une distance égale à la longueur d’onde λ. La distance λ est la période dans l’espace oupériode spatiale.

La sinusoïde qui représente l’élongation en fonction de l’abscisse x, à un instant donné,est appelée sinusoïde des espaces. Elle donne l’aspect de l’onde à l’instant t considéré (fi-gure 3.7).

La sinusoïde des espaces à un instant ultérieur t+ δt se déduit de la sinusoïde des espaces àl’instant t par une translation de δx = c δt le long de l’axe des x (figure 3.8).

L’évolution de la sinusoïde des espaces permet d’étudier le mouvement dans la direction yd’un point M du milieu.


Figure 3.7 – Sinusoïde des espaces à l’instant t

Figure 3.8 – Évolution de la sinusoïde des espaces

Deux points du milieu, séparés des distances λ, 2λ, . . . , nλ avec n ∈ Z, ont à tout instantla même élongation ; ils vibrent en phase.

Deux points du milieu, séparés des distances λ/2, 3λ/2, . . . , (2n′ + 1)λ/2 avec n′ ∈ Z, ontà tout instant des élongations opposées ; ils vibrent en opposition de phase.

3.1.5 Équation d’onde

Un oscillateur harmonique, placé en un point d’un milieu élastique, est la source S d’une ondese propageant dans la direction de l’axe des x, la position de l’oscillateur étant confondueavec l’origine de cet axe. L’équation horaire de la source peut s’écrire sous la forme :

yS(t) = ym sin(ω t+ ϕ)

où yS(t) est l’élongation de la source à la date t, ym, ω et ϕ sont respectivement l’amplitude,la pulsation et la phase initiale des oscillations. La période T et la pulsation ω sont reliéespar l’expression :

ω = 2πT.

Nous supposons que la propagation se fait sans amortissement dans le sens des x positifs.Pour atteindre le point M d’abscisse x, l’onde met le temps :

∆t = x

c.


L’élongation yM(t) du point M à la date t est la même que l’élongation de la source à la dateantérieure t−∆t :

yM(t) = yS(t−∆t)= ym sin [ω (t−∆t) + ϕ]

= ym sinïωÅt− x

c

ã+ ϕ

ò= ym sin

ï2πT

Åt− x

c

ã+ ϕ

ò= ym sin

ï2πÅ tT− x

c T

ã+ ϕ

òet avec c T = λ il vient :

yM(t) = ym sinï2πÅ tT− x

λ

ã+ ϕ

ò.

Tous les points ont la même amplitude et la même période que la source, mais ils n’effectuentpas le même mouvement en même temps.

L’équation d’onde y(x, t) représente l’élongation d’un point d’abscisse x à l’instant t :

y(x, t) = ym sinï2πÅ tT− x

λ

ã+ ϕ

ò(3.3)

Remarque :

Pour une onde se propageant dans le sens des x négatifs il faut écrire :

∆t = |x|c

= −xc

de sorte que l’équation d’onde devient :

y(x, t) = ym sinï2πÅ tT

+ x

λ

ã+ ϕ

ò.


3.2 Interférences mécaniques

3.2.1 Conditions d’interférences

L’interférence est un phénomène qui résulte de la superposition de deux ondes de mêmenature et de même fréquence. Les sources émettrices de ces ondes doivent être cohérentes,c’est-a-dire présenter l’une sur l’autre un déphasage constant et avoir la même fréquence. Sile déphasage est nul, donc si les sources sont en phase, on dit qu’elles sont synchrones.

3.2.2 Superposition de petits mouvements

Quand deux signaux se rencontrent, ils se croisent sans se gêner ; leur propagation et leurforme ne sont pas modifiées après le croisement.

(a) avant croisement (b) pendant croisement (c) après croisement

Figure 3.9 – Signaux de même signe

(a) avant croisement (b) pendant croisement (c) après croisement

Figure 3.10 – Signaux de signes opposés

Pendant le croisement, l’élongation résultante est donnée par la règle de superposition despetits mouvements.

Énoncé Lorsque deux signaux colinéaires de faible amplitude se superposent en un pointM , l’élongation résultante y est égale à la somme algébrique des élongations y1 et y2 queprovoqueraient en M les deux signaux en se propageant seuls :

y = y1 + y2.

Les deux signaux peuvent ainsi se renforcer (figure 3.9) lors de leur croisement ou bien sedétruire (figure 3.10).


3.2.3 Interférences dans un milieu à une dimension

Réflexion d’un signal à l’extrémité du milieu

Lors de la réflexion sur une extrémité fixe (figure 3.11), l’élongation change de signe.

(a) signal incident (b) signal réfléchi

Figure 3.11 – Extrémité fixe

(a) signal incident (b) signal réfléchi

Figure 3.12 – Extrémité libre

La réflexion à l’extrémité libre (figure 3.12) se fait sans changement de signe.

Expérience de Melde

Expérience 3.1 Un vibreur anime l’extrémité S d’une corde tendue d’un mouvement vi-bratoire sinusoïdal (figure 3.13). Ce mouvement engendre une onde qui se propage le long dela corde.

Figure 3.13 – Dispositif expérimental

À l’extrémité E, au contact de la poulie, une onde réfléchie de même fréquence prend naissanceet se propage en sens opposé.

On peut varier la longueur utile ` de la corde, la tension FT de la corde mesurée par undynamomètre et la fréquence f du vibreur.


Observations :

Pour un réglage convenable, la corde vibre en plusieurs fuseaux d’égale longueur. Les extrémi-tés des fuseaux sont appelés nœuds, les milieux des fuseaux sont appelés ventres de vibration.La longueur d’un fuseau est égale à λ/2.

L’extrémité E de la corde en contact avec la poulie est un nœud. On constate que l’amplitudedes oscillations du vibreur est petite par rapport à l’amplitude d’un ventre de sorte quel’extrémité S de la corde peut également être assimilée à un nœud.

Vu de loin, le système paraît immobile ; il n’y a pas de progression le long de la corde. Pourcette raison le phénomène est appelé onde stationnaire.

L’éclairage stroboscopique 1 permet de voir que la corde se déforme sur place. La figure 3.13montre la corde en ses deux positions extrêmes (sinusoïdes pleine et en tirets), les deuxinstants correspondants étant séparés d’une demi-période. L’amplitude des vibrations de lacorde est nulle aux nœuds et maximale aux ventres.

L’aspect de la corde dépend de la tension FT de la corde, de la longueur utile ` la cordeet de la fréquence f du vibreur. L’apparence en fuseaux n’est obtenue que pour des valeursdiscrètes de ces paramètres. Le nombre n de fuseaux :

• diminue quand on augmente la tension FT de la corde (` et f ne varient pas) ;

• augmente quand on augmente la longueur utile ` de la corde (FT et f ne varient pas) ;

• augmente lorsqu’on augmente la fréquence f du vibreur (` et FT ne varient pas).

Interprétation :

Une onde stationnaire résulte de la superposition de deux ondes qui se propagent suivant lamême direction en sens opposés : l’onde incidente issue de la source en S et l’onde réfléchiequi prend naissance à l’extrémité fixe E. Ces deux ondes ont la même fréquence et la mêmeamplitude. Les deux sources S et E présentent un déphasage constant ; elles sont cohérenteset peuvent donner naissance à des phénomènes d’interférences.

Aux ventres les deux ondes arrivent à tout instant en phase, il y a interférence construc-tive. D’après le principe de superposition, l’amplitude résultante est égale à la somme desamplitudes des ondes composantes.

Aux nœuds les deux ondes arrivent à tout instant en opposition de phase, il y a interférencedestructive. D’après le principe de superposition, l’amplitude résultante est nulle.

Étude théorique des ondes stationnaires

La figure 3.14 montre l’onde stationnaire dans le repère utilisé pour l’étude théorique.

Soit T la période du vibreur en S dont l’équation horaire peut s’écrire sous la forme :

y(t) = ym sinÅ2πTtã. (3.4)

1Le stroboscope est un appareil qui permet d’émettre des flash lumineux à une fréquence donnée. Sicette fréquence des éclairs est égale à la fréquence de l’oscillateur, alors on observe un repos apparent. Si lafréquence des éclairs est légèrement inférieure à la fréquence de l’oscillateur, alors on observe un mouvementralenti apparent.


Figure 3.14 – Repère utilisé pour l’étude théorique

Le point M d’abscisse x est sollicité à la fois par l’onde incidente y1(x, t) issue de S et parl’onde y2(x, t) réfléchie en E.

L’onde incidente a parcouru la distance ` − x. En tenant compte de l’expression (3.4), sonéquation d’onde s’écrit :

y1(x, t) = ym sinñ2πÇt

T− `− x

λ

åô.

L’onde réfléchie a parcouru la distance `+x et subit un saut de phase de π à l’extrémité fixeE. Son équation d’onde est :

y2(x, t) = ym sinñ2πÇt

T− `+ x

λ

å+ π

ô.

Le mouvement résultant de M est calculé en appliquant la relation trigonométrique :

sin p+ sin q = 2 sin p+ q

2 cos p− q2 .

D’où :

yM = y1 + y2

= ym sinñ2πÇt

T− `− x

λ

åô+ ym sin

ñ2πÇt

T− `+ x

λ

å+ π

ô= 2 ym sin

ñ2πÇt

T− `

λ

å+ π

2

ôcos

Å2π x

λ− π

2

ã= 2 ym sin

Ç2π t

T− 2π `

λ+ π

2

åsin

Å2π x

λ

ã= 2 ym sin

Å2π x

λ

ãsin

Ç2πTt− 2π `

λ+ π

2

å= AM sin (ω t+ Φ) .

L’amplitude résultante AM , fonction de x et indépendante de t, s’écrit :

AM(x) = 2 ym sinÅ

2π xλ

ã(3.5)

Le point M d’abscisse x a un mouvement sinusoïdal de pulsation ω, de phase initiale Φ etd’amplitude AM .


Si M est situé sur un ventre, la valeur absolue de l’amplitude AM est maximale, donc :∣∣∣∣sin Å2π xλ

ã∣∣∣∣ = 1⇔ 2π xλ

= (2k + 1) π2 k ∈ N.

L’abscisse du k-ième ventre s’écrit :

x = (2k + 1) λ4 k ∈ N (3.6)

Remarque : des réflexions multiples en S et en E font que l’amplitude d’un ventre est enréalité bien plus grande que 2 ym.

Si M est situé sur un nœud, l’amplitude AM est nulle, donc :

sinÅ

2π xλ

ã= 0⇔ 2π x

λ= k′ π k′ ∈ N

L’abscisse du k′-ième nœud s’écrit :

x = k′λ

2 k′ ∈ N (3.7)

L’extrémité S de la corde fixée au vibreur peut être assimilée à un nœud. Comme son abscisseest x = `, il vient :

` = nλ

2 n ∈ N

où n est le nombre de fuseaux.

Ondes progressives et stationnaires

Une onde stationnaire est périodique dans le temps et dans l’espace, avec les mêmes périodestemporelle et spatiale que les ondes progressives composantes.

La sinusoïde des espaces à un instant t + δt se déduit de la sinusoïde des espaces à l’instantt en multipliant l’élongation de chaque point par un même facteur (figure 3.15). Il n’y a pasde translation le long de l’axe x comme dans le cas d’une onde progressive.

Figure 3.15 – Évolution d’une onde stationnaire

L’évolution de la sinusoïde des espaces permet d’étudier le mouvement dans la direction yd’un point M du milieu. Tous les points passent en même temps par y = 0 et atteignent enmême temps une position extrême, ils oscillent avec la même période mais avec des amplitudesdifférentes.


Application aux instruments à cordes

La corde, tendue entre deux points fixes, vibre en un nombre entier de fuseaux, donc salongueur est égale à un multiple de la demi-longueur d’onde :

` = nλ

2 = nc

2 f = n

2 f

√FTµ

(3.8)

avec : n nombre de fuseaux

c célérité le long de la corde c =√FTµ

FT tension de la cordeµ masse linéique de la cordef fréquence de la vibration f = c

λ

Énoncé Pour FT , µ et ` donnés, on obtient une onde stationnaire seulement pour les fré-quences vérifiant la relation :

f = n

2 `

√FTµ

n ∈ N∗ (3.9)

Ces fréquences sont appelées fréquences propres de la corde vibrante.

La valeur n = 1 correspond au son le plus grave que la corde puisse émettre : c’est le sonfondamental. La corde vibre alors en un seul fuseau.

Aux valeurs n = 2, 3, . . . correspondent des sons plus aigus, appelés harmoniques.

La formule des cordes vibrantes montre que :

• la fréquence du son fondamental augmente avec la tension de la corde, propriété utiliséepour accorder les instruments ;

• plus la masse linéique est grande, plus la fréquence du son émis est faible, donc plus leson est grave, pour une tension et une longueur données ;

• plus la corde est courte, plus la fréquence est élevée, donc plus le son émis est aigu,pour une tension et une masse linéique données.

3.2.4 Interférences dans un milieu à deux dimensions

Mise en évidence expérimentale

Expérience 3.2 Une fourche munie de deux pointes est fixée à l’extrémité d’un vibreur(figure 3.16). Les pointes O1 et O2 ont ainsi la même fréquence et constituent deux sourcescohérentes. Elles font naître à la surface de l’eau des ondes circulaires.


Figure 3.16 – Dispositif expérimental

Observations :

À la surface libre du liquide on observe des rides fixes, bien nettes entre O1 et O2. Elles ontla forme d’arcs d’hyperboles dont les foyers sont O1 et O2. On les appelle des lignes ou desfranges d’interférences (figure 3.17). Elles disparaissent si l’une des pointes vibre sans toucherl’eau.

Figure 3.17 – Franges d’interférences

Interprétation

Supposons que les deux pointes frappent l’eau exactement au même instant. O1 et O2 consti-tuent alors deux sources non seulement cohérentes mais synchrones. Supposons de plusqu’elles pénètrent à la même profondeur dans l’eau : O1 et O2 constituent alors deux sourcessynchrones de même amplitude. Avec un choix convenable de l’origine des temps leur équationhoraire est du type :

y(t) = ym sinÅ2πTtã.


O1 O2

M

d1d2

Figure 3.18 – Distances entre sources et point d’observation

SoitM un point de la surface de l’eau (figure 3.18) situé à la distance d1 de O1 et à la distanced2 de O2.

L’onde venant de O1 impose au point M le mouvement d’équation horaire :

y1(t) = ym sinñ2πÇt

T− d1

λ

åô.

L’onde venant de O2 impose au point M le mouvement d’équation horaire :

y2(t) = ym sinñ2πÇt

T− d2

λ

åô.

Le mouvement résultant en M est y = y1 + y2.

Interférence constructive :

L’amplitude du mouvement résultant est maximale aux points où les deux vibrations y1 ety2 sont en phase. L’application de la relation :

sin a = sin b⇔ a = b+ n 2π n ∈ Z

donne :y1 = y2 ⇔ 2π

Çt

T− d1

λ

å= 2π

Çt

T− d2

λ

å+ n 2π.

D’où la condition que doit vérifier un point d’une frange d’amplitude maximale :

d2 − d1 = 2n λ2 n ∈ Z (3.10)

À chaque valeur de n correspond une hyperbole. Les points qui obéissent à la condition n = 0sont ceux appartenant à la médiatrice de [O1O2]. Les points qui obéissent à la condition n 6= 0appartiennent à une famille d’hyperboles de foyers O1 et O2.

Interférences destructive :

L’amplitude du mouvement résultant est minimale aux points où les deux vibrations y1 et y2sont en opposition de phase. L’application de la relation :

sin a = − sin b⇔ a = b+ (2n′ + 1) π n′ ∈ Z

donne :y1 = −y2 ⇔ 2π

Çt

T− d1

λ

å= 2π

Çt

T− d2

λ

å+ (2n′ + 1) π.

D’où la condition que doit vérifier un point d’une frange d’amplitude minimale :

d2 − d1 = (2n′ + 1) λ2 n′ ∈ Z (3.11)


À chaque valeur de n′ correspond une hyperbole. Les points qui obéissent à cette conditionappartiennent à une autre famille d’hyperboles de foyers O1 et O2 qui s’intercalent entrecelles des interférences constructives.

Points intermédiaires :

L’état vibratoire en un point M dépend donc de la différence des distances de ce point auxdeux sources : δ = d2 − d1 est appelée différence de marche.

Figure 3.19 – Construction des franges d’interférences

Conclusions

Les conditions d’interférences constructives ou destructives peuvent se résumer comme suit :

• Si la différence de marche en M est égale à un nombre pair de demi-longueurs d’onde,c’est-à-dire la différence de marche est un nombre entier de longueurs d’onde, l’ampli-tude en M est maximale.

• Si la différence de marche enM est égale à un nombre impair de demi-longueurs d’onde,l’amplitude en M est minimale.


3.2.5 Interférences dans un milieu à trois dimensions

Détection des ondes acoustiques

Les ondes sonores ou acoustiques sont des ondes longitudinales qui se propagent dans toutmilieu élastique, en particulier dans l’air. L’onde se propage dans toutes les directions del’espace à partir de la source.

L’oreille mise à part, le détecteur de choix est le microphone. Sa pièce maîtresse est unemembrane élastique que l’onde sonore met en vibrations. Les vibrations mécaniques de lamembrane sont ensuite transformées en vibrations électriques, c’est-à-dire en tension alter-native qu’on peut visualiser sur l’écran d’un oscilloscope.

Interférences de deux ondes acoustiques

Expérience 3.3 Deux haut-parleurs P1 et P2 (figure 3.20), alimentés par un même géné-rateur basse fréquence, sont placés l’un à côté de l’autre. Un microphone mobile est relié àun oscilloscope.

Figure 3.20 – Interférences d’ondes acoustiques

Observations :

Quand on déplace le microphone parallèlement à l’alignement des deux haut-parleurs, l’am-plitude de la vibration sonore qu’il détecte passe alternativement par un minimum et par unmaximum. Ces variations de l’amplitude du son détecté peuvent être observées non seulementdans le plan des deux haut-parleurs, mais dans tout l’espace compris entre eux.

Interprétation :

L’onde sonore détectée résulte de la superposition des deux ondes acoustiques émises par lesdeux haut-parleurs qui constituent des sources cohérentes.

En tout point M où l’amplitude est maximale, la différence de marche des deux ondes acous-tiques est telle que :

P1M − P2M = nλ = 2n λ2 n ∈ Z.

En tout point N où l’amplitude est minimale, la différence de marche des deux ondes acous-tiques est telle que :

P1N − P2N = (2n′ + 1) λ2 n′ ∈ Z.


3.2.6 Le phénomène de diffraction

Comment se comporte une onde lorsqu’elle rencontre un obstacle ?

Expérience 3.4 À l’aide d’une lame rectiligne on crée une onde progressive rectiligne à lasurface de l’eau dans une cuve à ondes. On interpose sur le parcours de l’onde un écran munid’une fente étroite ou un obstacle étroit.

(a) Photographie (b) Schéma

Figure 3.21 – Diffraction d’une onde rectiligne par une fente étroite

La photographie 3.21a montre l’onde après le passage d’une fente de largeur inférieure à lalongueur d’onde. On remarque que l’onde pénètre dans la « zone d’ombre » de l’écran ; la fentese comporte comme une source secondaire d’ondes circulaires. On dit qu’il y a diffraction del’onde rectiligne par la fente.

(a) Photographie (b) Schéma

Figure 3.22 – Diffraction d’une onde rectiligne par un obstacle étroit

Le phénomène de diffraction est également observé lorsqu’une onde rencontre un obstacleétroit. Des ondes circulaires pénètrent dans la « zone d’ombre » de l’obstacle (photographie3.22a).

Définition La diffraction est le phénomène par lequel une onde est déviée de sa trajectoireinitiale lorsqu’elle rencontre une ouverture ou un obstacle dont la dimension est de l’ordre dela longueur d’onde.


3.3 Interférences lumineuses

3.3.1 Expérience des fentes de Young

Expérience 3.5 Une source monochromatique intense éclaire un écran percé d’une fenteO. Cette fente donne naissance à un faisceau divergeant qui éclaire un second écran percéde deux fentes très fines et parallèles, O1 et O2, appelées fentes de Young (figure 3.23). Parle phénomène de diffraction, les deux fentes O1 et O2 se comportent comme des sourcesidentiques divergentes. Un écran, placé parallèlement au plan des fentes, recueille la lumièreissue de O1 et O2.

Figure 3.23 – Expérience des fentes de Young

Ce dispositif a permis au physicien britannique Thomas Young (1773–1829) de démontrer lanature ondulatoire de la lumière.

Observations :

Sur l’écran on observe une série de raies parallèles, de même largeur, alternativement brillanteset obscures : ce sont des franges d’interférences. Elles ne sont observables que si l’écran estplacé dans la zone de recouvrement des faisceaux issus de O1 et O2.

3.3.2 Interprétation

Il est surprenant de voir qu’en certains points de l’espace, le recouvrement de deux faisceauxlumineux donne obscurité. Ceci rappelle le phénomène des interférences destructives observépour des ondes mécaniques.

Par analogie, il faut admettre qu’une lumière monochromatique est une vibration sinusoïdalequi se propage à partir de la source lumineuse. La fréquence de l’onde lumineuse est carac-téristique de la couleur de la lumière. Ces hypothèses constituent le modèle ondulatoire de lalumière.

La lumière issue de O éclaire les deux fentes fines O1 et O2. Celles-ci se comportent, parle phénomène de diffraction, comme deux nouvelles sources de lumière cohérentes et iden-


tiques. En un point M de la région où les deux faisceaux divergents se superposent, les ondeslumineuses interfèrent :

• il y a lumière en M si l’interférence y est constructive ;

• il y a obscurité en M si l’interférence y est destructive.

3.3.3 Calcul de la différence de marche

L’état vibratoire en un point M dépend de la différence de marche de ce point aux deuxsources O1 et O2 :

δ = O2M −O1M.

Soit D la distance séparant le plan des fentes du plan de l’écran, a la distance séparant lesdeux fentes et x l’abscisse du point M de l’écran repéré par rapport à la médiatrice (IJ) de[O1O2] (figure 3.24).

Figure 3.24 – Distances et point d’observation

La distance a et l’abscisse x sont de l’ordre du millimètre tandis que la distance D est del’ordre du mètre.

Puisque a D, les rayons lumineux issus des deux fentes et arrivant en M sont approxi-mativement parallèles à la droite (IM). Ceci nous permet d’écrire, dans le triangle rectangleO1O2K (figure 3.25) :

δ = a sinθ.

Dans le triangle rectangle IJM nous avons :

tan θ = x

D.

Étant donné que x D, l’angle θ est suffisamment petit pour pouvoir écrire : sin θ ≈ tan θ.Il en suit :

δ = a tan θd’où l’expression de la différence de marche :

δ = a x

D(3.12)


Figure 3.25 – Différence de marche

3.3.4 Position des maxima et des minima

Positions des franges brillantes

On observe une frange brillante enM si l’interférence y est constructive, c’est-à-dire si :

δ = 2n λ2 n ∈ Z

et en tenant compte de la relation (3.12) :a x

D= nλ

xn = nλD

a.

Les abscisses des franges brillantes sont donc : 0, ± λD

a, ± 2 λD

a, ± 3 λD

a, . . .

La frange centrale en x = 0 est brillante. Deux franges brillantes voisines sont séparées parla distance constante :

xn+1 − xn = (n+ 1− n) λDa

= λD

a.

Positions des franges obscures

On observe une frange obscure en M si l’interférence y est destructive, c’est-à-dire si :

δ = (2n′ + 1) λ2 n′ ∈ Z

et en tenant compte de la relation (3.12) :

a x

D= (2n′ + 1) λ2

xn′ = 2n′ + 12

λD

a.

Les abscisses des franges obscures sont donc : ±12λD

a, ± 3

2λD

a, ± 5

2λD

a, . . .


Deux franges obscures voisines sont séparées par la distance constante :

xn′+1 − xn′ = 2(n′ + 1) + 1− 2n′ − 12

λD

a= λD

a.

La figure 3.26 montre les positions des centres des franges brillantes et obscures observéessur l’écran.

Figure 3.26 – Positions et indices des franges

Interfrange et longueur d’onde de la lumière

Définition L’interfrange i est la distance constante qui sépare deux franges voisines demême nature.

i = λD

a(3.13)

Pour une lumière monochromatique donnée, les franges sont d’autant plus éloignées que lesfentes sont rapprochées ou que l’écran se trouve loin des fentes.

L’interfrange dépend de la longueur d’onde de la lumière. La mesure de l’interfrange permetde déterminer la longueur d’onde de la lumière utilisée. Dans le domaine de la lumière visible,on trouve des longueurs d’onde comprises entre 0,40 µm (lumière violette) et 0,80 µm (lumièrerouge).

Chapitre 4

Relativité restreinte

« Je n’ai aucun talent particulier. Je suis simplement curieux. » (Albert Einstein)

4.1 Les postulats d’Einstein

En 1905, Albert Einstein (1879–1955) publie un article qui allait révolutionner le monde dela physique, intitulé « Zur Elektrodynamik bewegter Körper » (Einstein A. 1905 Annalender Physik1 17 : 891–921). Il y expose une nouvelle théorie en remplaçant les conceptions del’espace et du temps absolu de Newton par des conceptions relativistes sur ces grandeurs.Pour cela il se fonde sur deux hypothèses dont il étudie de façon théorique les conséquenceslogiques. Il pense que les résultats pourraient éventuellement être vérifiés ultérieurement parl’expérience.

4.1.1 Premier postulat

Le principe de la relativité Toutes les lois de la physique sont les mêmes dans tous lesréférentiels d’inertie.

Autrement dit, des expériences identiques menées à l’intérieur de n’importe quel référentield’inertie (référentiel galiléen) donneront toutes les mêmes résultats. La vitesse d’un référentield’inertie est sans effet. Il est impossible de trancher la question : sommes-nous au repos ouen mouvement rectiligne uniforme ?

Exemple 4.1 Le café que vous versez dans votre tasses’écoule exactement de la même manière, que vous voustrouviez au repos dans votre salon, ou dans le compar-timent d’un train animé d’une vitesse constante sur untronçon rectiligne, ou encore dans un avion en mouvementrectiligne et uniforme.

1http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/cb34462944f/date.r=Annalen+der+Physik.langFR

http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/cb34462944f/date.r=Annalen+der+Physik.langFR

86 Relativité restreinte 1BC

Exemple 4.2 Un vaisseau spatial B se dé-place d’un mouvement rectiligne uniforme parrapport à un autre vaisseau A au repos par rap-port à la Terre. A et B constituent des référen-tiels d’inertie. Dans chacun des vaisseaux lesastronautes effectuent la même expérience quiconsiste à allumer une lampe à l’avant du vais-seau et à mesurer la vitesse de la lumière émise.Résultat : ils trouvent tous les deux la mêmevaleur c = 300 000 km/s.

4.1.2 Deuxième postulat

Le principe de la constance de la vitesse de la lumière La vitesse de la lumière dansle vide est la même dans tous les référentiels d’inertie. Elle est indépendante du mouvementde sa source ou de l’observateur.

Exemple 4.3 Reprenons les vaisseaux A et B de l’exemple 4.2 avec en plus une étoilelointaine double envoyant ses ondes lumineuses vers les deux vaisseaux (figure 4.1). Les as-tronautes de A et de B mesurent la vitesse de la lumière issue de chacune des deux étoiles,ainsi que celle de la lumière issue d’une lampe se trouvant à bord de leur vaisseau : ils trouventpour toutes ces vitesses le même résultat c = 300 000 km/s.

Figure 4.1 – Constance de la vitesse de la lumière

Remarque :

Ce postulat est difficile à admettre. Si la lumière est une onde mécanique on s’attend à ceque sa vitesse soit mesurée par rapport à un certain milieu de propagation. Mais on n’apas pu trouver un tel milieu. Si la lumière est constituée de particules, sa vitesse devraitêtre mesurée par rapport à sa source. L’expérience montre qu’il n’est pas ainsi.La théorie de l’électromagnétisme prévoit l’existence d’ondes se propageant dans le vide àune vitesse constante, indépendante du référentiel d’étude et dont la valeur est

1BC Relativité restreinte 87

c = 300 000 km/s. Ce résultat fut confirmé par l’expérience de Michelson et Morley etconduisit Einstein à formuler son deuxième postulat.

4.2 Définitions

Événement Un événement est un phénomène qui se produit en un point de l’espace et à uninstant unique dans le temps.

Observateur Un observateur est une personne ou un dispositif automatique pourvu d’unehorloge et d’une règle. Chaque observateur ne peut relever que les événements de sonentourage immédiat et doit s’en remettre à des collègues pour relever les instants cor-respondants à des événements distants.

Référentiel Un référentiel est un ensemble d’observateurs répartis dans l’espace. Un seulobservateur est en fait assez proche d’un événement pour l’enregistrer, mais les donnéespourront être communiquées plus tard aux autres observateurs.

4.3 Relativité de la simultanéité

Faisons « l’expérience par la pensée » (« Gedankenexperiment ») suivante :

Trois astronautes se déplacent à travers l’espace, d’un mouvement rectiligne et uniforme parrapport à la Terre, au moyen des vaisseaux spatiaux A, C et B (figure 4.2). Les vaisseaux sesuivent à des distances rigoureusement égales. C porte le commandement pour l’ensemble dela flotte. Les ordres sont transmis aux vaisseaux A et B au moyen d’ondes électromagnétiquesse propageant à la vitesse c.

Figure 4.2 – Relativité de la simultanéité de deux événements

Afin de synchroniser les horloges de A et de B, C émet l’information : « Il est midi pile ! »Les événements « A capte l’information » et « B capte l’information » sont observés d’unepart par les astronautes et d’autre part par des observateurs terrestres (nous-mêmes parexemple).

Qu’observent les astronautes ?

Les astronautes se voient mutuellement au repos. Les distances de A et de B par rapport àC sont identiques. Le signal électromagnétique transmettant l’information à la vitesse c estreçu simultanément par A et B, qui vont ainsi pouvoir synchroniser leurs horloges.


Qu’observons-nous ?

A va à la rencontre du signal, tandis que B fuit le signal. Comme la vitesse de propagation dusignal vaut également c pour nous, l’information est captée d’abord par A, et puis, un peu plustard seulement, par B. Pour nous, les deux événements ne sont donc pas simultanés.

Conclusion Deux événements séparés dans l’espace qui ont lieu simultanément dans unréférentiel ne se produisent pas simultanément dans un autre référentiel en mouvement rec-tiligne uniforme par rapport au premier.

4.4 Dilatation du temps

Considérons une « horloge à lumière », où une impulsion lumineuseeffectue des va-et-vient dans un tube entre deux miroirs parallèles dis-tants d’une longueur L (figure ci-contre). Un mécanisme compte lenombre d’allers et retours comme dans les horloges mécaniques nor-males.

Embarquons cette horloge dans un vaisseau en mouvement rectiligneuniforme de vitesse v par rapport à la Terre. Supposons en plus que lavitesse soit perpendiculaire au tube de l’horloge. Mesurons l’intervallede temps entre les événements « le signal part du miroir inférieur » et« le signal est reçu par le miroir inférieur ».

Que mesure l’astronaute ?

Pour l’astronaute, l’horloge est au repos. Le signal lumineux parcourtune distance 2L = c T0 entre les deux miroirs. L’intervalle de tempsT0 mesuré entre les deux événements vaut dans le référentiel des astro-nautes :

T0 = 2Lc.

Que mesurons-nous ?

Pour nous, l’horloge est en mouvement uniforme de vitesse v et le signal parcourt une distanceplus longue. D’après le second postulat, la vitesse du signal lumineux est pour nous égalementc. Il met donc un temps T/2 > T0/2 pour parcourir la distance AB > L entre les deux miroirs(figure 4.3).

Déterminons la relation entre T et T0. Le théorème de Pythagore appliqué au triangle rec-tangle ABC permet d’écrire : Ç

cT

2

å2=ÇvT

2

å2+ L2.

Comme L = cT0

2 , il vient : ÇcT

2

å2=ÇvT

2

å2+ÇcT0

2

å2.


Figure 4.3 – Trajectoire de la lumière dans le référentiel terrestre

En simplifiant :(c T )2 − (v T )2 = (c T0)2

d’où :

T 2 = (c T0)2

c2 − v2 = T02

1− v2

c2

et finalement :T = T0√

1− v2

c2

. (4.1)

Comme le dénominateur est inférieur à 1, T > T0.

Dans le référentiel terrestre, où on a disposé deux horloges séparées dans l’espace, l’intervallede temps est supérieur à celui enregistré dans le référentiel de l’astronaute, à l’aide d’uneseule horloge.

Définition La durée entre deux événements se produisant au même lieu de l’espace estappelée intervalle de temps propre. Cet intervalle est mesuré par une seule horloge se trouvantà l’endroit où les événements se produisent.

Définition La durée entre deux événements se produisant en des lieux différents de l’espaceest appelée intervalle de temps impropre. Cet intervalle ne peut être mesuré que par deuxhorloges se trouvant aux deux endroits où les événements se produisent.

Conclusion Deux horloges A et B séparées dans l’espace, enregistrent entre deux événe-ments un intervalle de temps impropre ∆timpropre plus grand que l’intervalle propre ∆tpropreenregistré par une seule horloge se déplaçant de A vers B, et qui est présente aux deux évé-


nements :

∆timpropre = ∆tpropre√1− v2

c2

La figure 4.4 représente les intervalles de temps impropre et propre en fonction de la vi-tesse.

Figure 4.4 – Relation entre intervalles de temps impropre et propre

Discussion :

• Pour les faibles vitesses, inférieures à 10 % de la vitesse de la lumière, il n’y a prati-quement pas de différence entre les indications des horloges en mouvement et de cellesau repos. L’idée du temps absolu de la mécanique classique reste une approximationvalable.

• Pour les vitesses approchant la vitesse de la lumière, le temps doit être considéré commeune grandeur relative, dépendant de l’observateur qui le mesure.

Remarque : les horloges en mouvement retardent !

• Si, dans l’expérience par la pensée précédente, nous nous équipons également d’une« horloge à lumière » (au repos), nous mesurons sur elle, pour un aller et retour dusignal, la durée propre T0 (la même que l’astronaute mesure sur son horloge au repos,à cause du premier postulat).

Nous constatons : pendant que sur l’horloge de l’astronaute, en mouvement, le signal aparcouru un aller et retour, celui sur notre horloge au repos a parcouru plus d’un alleret retour.

Nous concluons : l’horloge de l’astronaute (en mouvement) marche plus lentement quenotre horloge (au repos). En termes simples : l’horloge en mouvement retarde.

• Si, dans l’expérience par la pensée précédente, l’astronaute examine notre « horloge àlumière » (en mouvement pour lui), il doit aboutir à la même conclusion, c.-à-d. quenotre horloge en mouvement marche plus lentement que la sienne au repos.


Conséquence :

Pour l’observateur terrestre, tout ce qui se passe dans le vaisseau spatial (gestes quotidiens,mouvements de machines, battements du cœur et autres phénomènes physiologiques, . . .),se déroule au ralenti. De même pour l’astronaute observant l’observateur terrestre !

4.5 Contraction des longueurs

Considérons un vaisseau en train de se déplacer de la Terre vers Jupiter en ligne droite età vitesse v constante, par rapport à la Terre et à Jupiter (figure 4.5). Admettons égalementque cette distance reste rigoureusement constante de sorte que l’ensemble « Terre + Jupiter »constitue un référentiel d’inertie, de même que le vaisseau en mouvement par rapport auréférentiel « Terre + Jupiter ».

Figure 4.5 – Mesure de la distance Terre-Jupiter

Mesurons la distance Terre-Jupiter dans les deux référentiels.

Connaissant la valeur v de la vitesse du vaisseau, il suffit de mesurer la durée du voyage,c’est-à-dire la durée entre les événements « le vaisseau passe à la hauteur de la Terre » et « levaisseau passe à la hauteur de Jupiter », et de calculer la distance cherchée.

Que mesure l’astronaute ?

Pour l’astronaute, les deux événements se passent tout près de son vaisseau, donc au mêmeendroit. Une seule horloge lui suffit. Il mesure la durée propre T0.

Dans le référentiel de l’astronaute, la distance Terre-Jupiter est une longueur en mouvement.Elle est notée L et vaut :

L = v T0. (4.2)

Que mesurons-nous ?

Pour nous, les deux événements ne se passent pas au même endroit. Nous devons installerdeux horloges synchronisées, une première horloge sur Terre afin de repérer la date du premierévénement, et une autre sur Jupiter pour celle du deuxième événement. Nous mesuronsmanifestement une durée impropre T .


Par contre dans notre référentiel, la distance Terre-Jupiter est une longueur au repos. Elleest notée L0 et vaut :

L0 = v T. (4.3)

En divisant membre par membre les équations (4.2) et (4.3) en en simplifiant par v onobtient :

L

L0= T0

T.

D’après l’équation (4.1) on a :

L

L0=√

1− v2

c2 ⇒ L = L0

√1− v2

c2 .

Comme la racine carrée est inférieure à 1, L < L0. Dans le référentiel de l’astronaute, la lon-gueur (L en mouvement) est plus courte que dans le référentiel terrestre (L0 au repos).

Conclusion Une longueur est plus courte dans un référentiel par rapport auquel elle est enmouvement (Lmouvement), que dans un référentiel par rapport auquel elle est au repos (Lrepos).

Lmouvement = Lrepos

√1− v2

c2

La figure 4.6 représente les longueurs en mouvement et au repos en fonction de la vitesse.

Figure 4.6 – Relation entre longueurs en mouvement et au repos

Discussion :

• Il n’y a que les longueurs parallèles au vecteur vitesse qui dépendent du référentiel danslequel on les mesure. (La longueur L de l’horloge lumineuse du chapitre précédent étaitla même dans les deux référentiels !)

• Pour les faibles vitesses (inférieures à 10 % de la vitesse de la lumière), il n’y a prati-quement pas de différence entre les longueurs en mouvement et celles au repos. L’idéede l’espace absolu de la mécanique classique reste une approximation valable.

• Pour les vitesses approchant la vitesse de la lumière, la longueur doit être considéréecomme une grandeur relative, dépendant de l’observateur qui la mesure.


• Pour les photons dont la vitesse est c, la dimension spatiale parallèle à leur déplacementa complètement disparue.

Remarque : les longueurs en mouvement raccourcissent !

• Considérons le référentiel terrestre, où se trouve une règle graduée au repos, et unvaisseau spatial, de vitesse ~v par rapport à la Terre, muni également d’une même règlegraduée. L’observateur terrestre aussi bien que l’astronaute voient leur règle au repos,de longueur L0.

L’observateur terrestre mesure, pour la longueur de la règle du vaisseau en mouvementpar rapport à lui, une longueur raccourcie L < L0.

• De même, l’astronaute mesure la longueur L < L0 pour la règle terrestre.

Conséquence :

Si un corps initialement au repos est mis en mouvement il raccourcit suivant la directionparallèle au mouvement.

4.6 Expérience des muons (Frisch et Smith 1963)

4.6.1 Description de l’expérience

L’expérience des muons est une preuve expérimentale de la dilatation du temps et de lacontraction des longueurs. Les muons sont des particules élémentaires produites dans lahaute atmosphère par bombardement avec les protons du rayonnement cosmique, et qui sedésintègrent spontanément pour donner d’autres particules. Si on a N0 muons à l’instantt = 0, on observe qu’à un instant ultérieur t il en reste N :

N = N0 e− ln 2 t

T0 .

où T0 = 1,5 µs est la demi-vie des muons mesurée dans un référentiel où les muons sont aurepos.

L’expérience de Frisch et Smith (figure 4.7) consistait à compter le nombre N1 de muonsdétectés par heure au sommet du Mount Washington (New Hampshire, altitude 1910 m) ainsique celui N2 détecté au niveau de la mer (altitude 3 m). Le compteur fut réglé pour compterles muons ayant une vitesse égale à 0,995 c. Les résultats furent les suivants : N1 = 563± 10muons et N2 = 408± 9 muons.

Un calcul simple montre qu’en absence de considérations relativistes, il n’y a pas moyend’expliquer que les muons atteignent en nombre tellement élevé le niveau de la mer. En effet,les muons mettraient 6,4 µs pour parcourir les 1907 m et le nombre de muons qui atteindraientle niveau de la mer serait seulement de :

N2 = N1 e− ln 2 6,4

1,5 = 29.

La dilatation du temps et la contraction des longueurs nous fournissent l’explication cor-recte.


Figure 4.7 – Expérience des muons de Frisch et Smith

4.6.2 Explication à l’aide de la dilatation du temps

L’intervalle de temps entre les événements « le muon passe au Mount Washington » et « lemuon passe au niveau de la mer » est un intervalle de temps propre ∆t0 pour le muon et unintervalle de temps impropre ∆t, beaucoup plus grand, pour l’observateur terrestre.

Comme ∆t = 6,4 µs et v = 0,995 c on obtient pour la durée du parcours vue par lemuon :

∆t0 = ∆t√

1− v2

c2 = 0,64 µs.

De même, la demi-vie de 1,5 µs est un intervalle de temps propre pour le muon et un intervallede temps impropre T , considérablement allongé, pour l’observateur terrestre :

T = T0√1− v2

c2

= 15 µs.

Dans le référentiel du muon, la demi-vie vaut 1,5 µs et la durée du parcours 0,64 µs. Le nombrede muons atteignant le niveau de la mer vaut donc :

N2 = N1 e− ln 2 0,64

1,5 = 419

ce qui est une bonne concordance compte tenu des erreurs expérimentales.

Dans le référentiel terrestre, la durée de vie moyenne vaut 15 µs et la durée du parcours 6,4 µs.On trouve le même nombre N2.

4.6.3 Explication à l’aide de la contraction des longueurs

Dans le référentiel du muon, la distance à parcourir du sommet du Mount Washington auniveau de la mer est une longueur en mouvement, beaucoup plus courte que la longueur


Lrepos = 1907 m mesurée dans le référentiel terrestre :

Lmouvement = Lrepos

√1− v2

c2 = 191 m.

Cette faible distance sera parcourue en 0,64 µs. On retrouve le résultat précédent !

Remarque :

L’effet mesuré dans cette expérience est loin d’être négligeable ! La désintégration desmuons s’est faite à un rythme 10 fois plus lent qu’au repos. Tous les jours, les physiciensqui étudient les particules de haute énergie, travaillant sur des accélérateurs de grandepuissance, ont affaire à des particules qui se désintègrent spontanément plus de 100 foisplus rapidement que les muons. Si la dilatation du temps ne jouait pas, elles se désintégre-raient et disparaîtraient avant d’avoir parcouru plusieurs mètres, même en se déplaçantpresque à la vitesse de la lumière. C’est parce que leur désintégration est ralentie qu’onpeut les observer à plus de 100 mètres du point où ils sont produits dans l’accélérateur.On peut, en conséquence, les utiliser dans d’autres expériences. La dilatation du tempsdevient ainsi une affaire quotidienne pour ces physiciens.

4.7 Quantité de mouvement

Selon le premier postulat d’Einstein, les lois physiques sont les mêmes dans tous les référentielsd’inertie. Les trois principes de Newton, la conservation de la quantité de mouvement ainsi quela conservation de l’énergie s’appliquent toujours et dans tous les référentiels d’inertie.

La relation fondamentale de la dynamique s’écrit :

∑i

~Fi = d~pdt

où ~p est le vecteur quantité de mouvement. Pour que cette loi fondamentale vérifie le premierpostulat d’Einstein, il faut donner une nouvelle définition au vecteur ~p.

Définition La quantité de mouvement relativiste d’une particule, de masse au repos m0,animée d’une vitesse ~v, est définie par :

~p = m~v = m0 ~v√1− v2

c2

où m est la masse relativiste définie par :

m = m0√1− v2

c2

La figure 4.8 représente la quantité de mouvement par unité de masse en fonction de lavitesse :


Figure 4.8 – Quantité de mouvement par unité de masse

• en rouge la quantité de mouvement relativiste par unité de masse ;

• en bleu la quantité de mouvement classique (pclassique = m0 v) par unité de masse.

Discussion :

• Si v = 0 alors m = m0 qui est la masse au repos de la particule. Elle est égale à lamasse en mécanique classique.

• Pour les faibles vitesses (inférieures à 10 % de la vitesse de la lumière), la quantité demouvement est pratiquement égale à son expression en mécanique classique : p ≈ m0 v.L’expression classique reste donc une approximation valable.

• Pour les vitesses approchant la vitesse de la lumière, la quantité de mouvement doitêtre considérée comme grandeur relativiste, dépendant de l’observateur qui la mesure.

4.8 Énergie

4.8.1 Énergie d’un corps

Définition L’énergie totale d’un corps de masse au repos m0 et de vitesse v s’écrit :

E = mc2 = m0 c2√

1− v2

c2

(4.4)

Pour un corps de vitesse nulle : E0 = m0 c2.


La formule E = mc2, la plus célèbre de la physique probablement, traduit l’équivalence entrel’énergie et la masse.

Note historique :

Albert Einstein a démontré incorrectement la formule dans son article « Ist die Trägheiteines Körpers von dessen Energieinhalt abhängig ? » (Einstein A. 1905 Annalen der Physik18, 639–643). La formule fut établie correctement pour la première fois par Max Planck(« Zur Dynamik bewegter Systeme », Planck M. 1908 Annalen der Physik 26, 1–34).

4.8.2 Énergie au repos

La quantité E0 = m0 c2 est l’énergie totale d’un corps au repos. Elle représente la somme

de toutes les énergies internes (thermique, nucléaire, chimique), et des énergies potentielles(électrique, gravitationnelle, élastique).

Exemple 4.4 Pour m0 = 1 g, on obtient E0 = 9 · 1013 J (énergie énorme !).

Exemple 4.5 Pour un électron de masse au repos m0 = 9,11 · 10−31 kg, on obtientE0 = 8,19 · 10−14 J = 511 keV.

Remarque : en utilisant l’expression de l’énergie au repos, l’expression pour l’énergie totalepeut s’écrire :

E = E0√1− v2

c2

. (4.5)

4.8.3 Équivalence énergie-masse

L’équivalence entre l’énergie et la masse constitue l’un des aspects les plus célèbres de lathéorie de la relativité restreinte : si l’énergie d’un corps varie, alors sa masse varie égale-ment. Ainsi, la libération d’énergie ∆E0 lors de la fusion ou de la fission nucléaire (noyauxpratiquement au repos) s’accompagne d’une diminution de masse au repos ∆m0, d’après∆E0 = ∆m0 c

2.

De même, dans toute réaction chimique libérant de la chaleur ou de la lumière, la masse aurepos totale des constituants diminue. La loi de la conservation de la masse (loi de Lavoisier)doit être remplacée par la loi de la conservation de l’énergie.

Par ailleurs, un photon d’énergie E, entrant en interaction avec une autre particule (ou avecun champ électromagnétique assez fort), peut se matérialiser en une paire électron-positron(positron = anti-électron) où chacune des deux particules (de masse au repos m0) crééesacquiert l’énergie E/2 = mc2 (où m est la masse relativiste). L’énergie du photon doit doncêtre supérieure à 2m0 c

2.

L’équivalence entre l’énergie et la masse amène les physiciens à exprimer la masse au reposd’une particule en unités d’énergie.

Exemple 4.6 La masse au repos du proton m0 = 1,673 · 10−27 kg correspond à l’énergiem0 c

2 = 1,504 · 10−10 J. Il serait possible, mais on ne le fait pratiquement jamais, de dire


qu’un proton a une masse au repos m0 = 1,504 · 10−10 J/c2. L’énergie est plutôt exprimée enélectron-volts (eV) :

1,504 · 10−10

1,602 · 10−19 eV = 9,38 · 108 eV = 938 MeV.

Ainsi on dira que la masse au repos du proton est m0p = 938 MeV/c2.

Exemple 4.7 Pour la masse au repos du neutron on trouve m0n = 940 MeV/c2, celle del’électron est m0e = 0,511 MeV/c2.

4.8.4 Masse et inertie

La théorie de la relativité révèle que l’inertie d’un corps de masse au repos m0 et de vitessev est exprimée par la masse relativiste :

m = m0√1− v2

c2

= E

c2 .

Lorsque la vitesse est faible (inférieure à 10 % de la vitesse de la lumière), on retrouve le ré-sultat de la physique classique, à savoir que l’inertie est exprimée par la masse au repos.

En physique classique, la masse d’un corps est indépendante de sa température, de son énergiepotentielle etc.

Pourtant, selon la relativité restreinte, la masse au repos dépend de la température : unetarte chaude a plus d’énergie, plus de masse au repos et donc plus d’inertie qu’une tarteidentique froide. De même lorsqu’on comprime un ressort, le supplément d’énergie élastiqueaccroît sa masse au repos, et donc son inertie. Pour une lampe de poche allumée, la masseau repos et l’inertie diminuent. (Les très faibles variations de la masse au repos des corpsmacroscopiques ne sont pourtant pas mesurables !)

4.8.5 Énergie cinétique

Si v 6= 0 alors le corps possède l’énergie E = mc2 qui est la somme de l’énergie au repos E0et de l’énergie cinétique Ec.

Définition L’énergie cinétique relativiste d’une particule de masse au repos m0 et de vitessev est définie par :

Ec = E − E0 = mc2 −m0 c2 = m0 c

2√1− v2

c2

−m0 c2.

Discussion :

• Pour les faibles vitesses (inférieures à 10 % de la vitesse de la lumière), on peut utiliserle développement limité d’ordre un :

1√1− x2

≈ 1 + 12 x

2, pour x < 0,1


pour montrer que l’énergie cinétique Ec est pratiquement égale à son expression clas-sique 1

2 m0 v2.

• Lorsque v → c, alors Ec →∞.

• Lorsque v → c, alors E → ∞. Or une particule d’énergie infinie n’existe pas. Doncv = c est impossible pour une particule matérielle. Voilà un résultat surprenant de larelativité restreinte.

Énoncé Aucune particule de masse au repos non nulle ne peut atteindre et doncdépasser la vitesse de la lumière.

4.8.6 Relation entre l’énergie et la quantité de mouvement

En élevant au carré l’expression (4.5) de l’énergie totale on obtient :

E2 = E02

1− v2

c2

d’où :E2

Ç1− v2

c2

å= E0

2 ⇒ E2 − E2 v2

c2 = E02.

En utilisant l’expression (4.4) pour remplacer E dans le deuxième terme :

E2 −m2 c4 v2

c2 = E02 ⇒ E2 = m2 v2 c2 + E0

2.

L’expressionmv correspond à la valeur p de la quantité de mouvement. On obtient finalementune relation entre l’énergie totale d’une particule, sa quantité de mouvement et son énergieau repos :

E2 = p2 c2 + E02 (4.6)

Discussion :

• Les expériences en physique des particules donnent des informations sur l’énergie totaleet sur la quantité de mouvement d’une particule détectée. L’expression (4.6) permetalors de calculer l’énergie au repos et donc la masse au repos de la particule.

• Pour des particules matérielles de très grande vitesse, E est largement supérieur à E0et on obtient :

E ≈ p c.

• Les photons sont des particules qui se déplacent à la vitesse de la lumière. Leur masseau repos est par conséquent nulle et l’expression (4.6) peut être simplifiée :

E = p c.

Même si la masse au repos d’un photon est nulle, il transporte de la quantité de mou-vement dont il faut tenir compte lors de collisions avec d’autres particules !

• L’énergie E et la quantité de mouvement p d’une particule dépendent du référentiel danslequel on les mesure. Par contre la quantité E2 − p2 c2 ne dépend pas du référentiel.C’est une quantité invariante. On l’appelle invariant relativiste.

Chapitre 5

Dualité onde-corpuscule

5.1 Aspect corpusculaire de la lumière

5.1.1 Expérience de Hertz (1887)

Une plaque de zinc montée sur un électroscope est chargée, puis éclairée par la lumière émisepar une lampe à vapeur de Hg (figure 5.1).

lampe àvapeur de Hg

lumière riche en UV

plaque de zinc

électroscope chargé

Figure 5.1 – Dispositif de l’expérience de Hertz

Observations :

L’expérience comporte trois étapes :

1. Initialement la plaque de zinc et l’électroscope sont chargés négativement : l’aiguille del’électroscope dévie.Puis la plaque de zinc est éclairée : l’électroscope se décharge.

2. La plaque de zinc est rechargée négativement et une plaque de verre est interposée entrela lampe et le zinc : il n’y a plus de décharge bien que le zinc soit toujours éclairé àtravers le verre. Même en rapprochant davantage la lampe de la plaque, la décharge n’apas lieu.La plaque de verre est enlevée : la décharge s’effectue immédiatement.

1BC Dualité onde-corpuscule 101

3. La plaque de zinc est chargée positivement, puis éclairée : la décharge ne se produitpas.

Interprétation :

La lumière, éclairant la plaque de zinc, permet d’extraire des électrons du métal.

• À l’étape 1, les électrons, une fois extraits, sont repoussés par la charge négative de laplaque : la décharge s’effectue.

• À l’étape 2, la lumière ayant traversé le verre n’a plus l’énergie « adéquate » pour sortirdes électrons du zinc, bien qu’en approchant la lampe on ait augmenté l’énergie captée.La lumière émise par la lampe à Hg est riche en rayonnement ultraviolet. Or le verrearrête le rayonnement ultraviolet (fréquences ν > 7,5 · 1014 Hz). Il laisse par contrepasser le rayonnement visible et infrarouge lequel ne permet donc pas d’extraire desélectrons même s’il est très intense !

• À l’étape 3, la plaque de zinc, chargée positivement, rappelle les électrons émis : ladécharge n’est pas observée.

Définition On appelle effet photoélectrique l’extraction d’électrons de la matière par unrayonnement électromagnétique.

5.1.2 Extraction d’un électron

Un métal est constitué par un réseau cristallin d’ions positifs entre lesquels circulent desélectrons liés au réseau mais libres de se déplacer à l’intérieur de ce réseau.

Pour extraire un électron, il faut lui fournir au moins une énergie Ws, appelée travail desortie ou travail d’extraction. Elle représente l’énergie de liaison de l’électron au réseau mé-tallique.

électron libre ayant l’énergie cinétique Ec

électron libre sans énergie cinétique

électron lié au réseau cristallin

Ec

Ws

énergie

Figure 5.2 – Diagramme énergétique pour un électron

Le diagramme énergétique de la figure 5.2 illustre que :

• à l’intérieur du métal, l’électron a le moins d’énergie, car il est lié au réseau ;

• lorsque l’électron a capté l’énergie E = Ws, il est sorti du métal et est au repos (Ec = 0) ;

• lorsque l’électron a capté une énergie E > Ws, il est sorti du métal et a une énergiecinétique Ec = E −Ws.

102 Dualité onde-corpuscule 1BC

5.1.3 Insuffisance du modèle ondulatoire

Dans le cadre du modèle ondulatoire, un rayonnement lumineux est considéré comme uneonde électromagnétique. Comme toute onde, une onde électromagnétique transporte de l’éner-gie de façon continue. L’énergie transportée par unité de temps à travers une surface est :

• proportionnelle à l’intensité de la lumière (égale au carré de l’amplitude de l’onde) ;

• indépendante de la fréquence de l’onde.

Ce modèle n’arrive pas à expliquer certains résultats de l’expérience de Hertz :

• un rayonnement UV peut extraire des électrons du métal alors qu’un rayonnement dudomaine visible de même intensité n’y arrive pas ;

• un rayonnement visible de forte intensité n’apporte pas, même après une durée consi-dérable, l’énergie nécessaire pour extraire des électrons du métal.

5.1.4 Modèle corpusculaire de la lumière

L’expérience de Hertz permet de conclure que l’énergie apportée par un rayonnement lumi-neux, bien que quantitativement suffisante, ne l’est pas toujours qualitativement.

Pour expliquer l’effet photoélectrique, nous devons renoncer au modèle ondulatoire et recourirau modèle corpusculaire de la lumière. L’hypothèse suivante fut formulée par Einstein en1905.

Modèle corpusculaire de la lumière Un rayonnement électromagnétique de fréquence νpeut être considéré comme un faisceau de particules indivisibles : les photons. Chaque photontransporte un quantum d’énergie :

E = h ν

où h représente la constante de Planck.

5.1.5 Les propriétés du photon

Le photon (ou grain de lumière) est une particule élémentaire relativiste associée à uneonde électromagnétique de fréquence ν. Cette coexistence de propriétés corpusculaires etondulatoires est appelée dualité onde-corpuscule.

Les principales propriétés du photon sont :

• On lui attribue une masse au repos nulle. Sa masse relativiste n’est pas nulle et vautE/c2.

• Il a une charge électrique nulle.

• Il se déplace dans le vide à la vitesse c = 3 · 108 m/s.

• Son énergie est E = h ν avec h = 6,63 · 10−34 J s.Comme ν = c

λla relation précédente peut également s’écrire : E = h c

λ.


5.1.6 Interprétation de l’effet photoélectrique

Considérons un photon d’énergie E = h ν pénétrant dans un métal. Sur son parcours, il peutéventuellement rencontrer un électron et lui céder quasi instantanément toute son énergie.Le photon est complètement absorbé, il disparaît.

Ainsi, contrairement aux phénomènes ondulatoires, l’énergie n’est pas échangée de façoncontinue, mais de façon discontinue par paquets indivisibles, de contenu E = h ν chacun.Ces paquets représentent la plus petite quantité d’énergie échangée et sont appelés quantad’énergie.

Énoncé L’effet photoélectrique est une interaction entre un photon et un électron, où lephoton cède toute son énergie.

Lorsqu’un électron absorbe un photon, trois cas sont envisageables :

• h ν = Ws

L’énergie du photon est égale au travail de sortie de l’électron et suffit tout juste àexpulser l’électron hors du métal. Dans ce cas la fréquence correspond à la fréquenceseuil du métal :

ν = νs = Ws

h.

• h ν < Ws ⇔ ν < νs

L’énergie du photon est inférieure au travail de sortie et donc insuffisante pour ex-traire un électron du métal ; l’effet photoélectrique ne se produit pas et l’électron resteprisonnier du réseau métallique.

• h ν > Ws ⇔ ν > νs

L’énergie du photon est supérieure au travail de sortie. L’électron capte l’énergie h ν.La partie Ws de cette énergie sert à libérer l’électron du réseau métallique ; l’électronconserve l’excédent sous forme d’énergie cinétique Ec :

Ec = h ν −Ws = h ν − h νs = h (ν − νs)

ce qui est la relation d’Einstein pour l’effet photoélectrique (prix Nobel 1921).

5.1.7 Propriétés d’un rayonnement électromagnétique

Un rayonnement électromagnétique est caractérisée par sa fréquence ν et sa puissance P . Lapuissance d’un rayonnement électromagnétique éclairant une surface s’écrit :

P = N

∆t h ν

où N est le nombre de photons frappant la surface pendant l’intervalle de temps ∆t.

Remarque :

L’augmentation de la puissance d’une source de lumière monochromatique de fréquencedonnée fait augmenter le nombre de photons émis par seconde.


5.2 Aspect ondulatoire des particules

5.2.1 Quantité de mouvement du photon

Le photon est une particule associée à une onde électromagnétique. L’énergie E de la particuleest liée à la fréquence ν de l’onde par la relation :

E = h ν = h c

λ. (5.1)

où h est la constante de Planck, c la vitesse de la lumière et λ la longueur d’onde.

L’étude de la relativité restreinte a montré que l’énergie du photon peut aussi être expriméeen fonction de sa quantité de mouvement p :

E = p c. (5.2)

Les relations (5.1) et (5.2) donnent :h c

λ= p c

et finalement :λ = h

p. (5.3)

5.2.2 Longueur d’onde d’une particule matérielle

En considérant les analogies entre onde et particule d’une part et entre onde électromagné-tique et photon d’autre part, Louis de Broglie présenta en 1924 (prix Nobel en 1929) lathéorie suivante :

Énoncé À toute particule de quantité de mouvement p est associée une onde de longueurd’onde λ avec :

λ = h

p

Davisson et Germer ont réalisé en 1927 une expérience (la figure 5.3 montre le schéma dudispositif) mettant en évidence le comportement ondulatoire des électrons. Ils ont pu vérifierexpérimentalement la formule de De Broglie pour les électrons.

canon à électrons

polycristalde nickel

détecteurFigure 5.3 – Schéma du dispositif utilisé par Davisson et Germer


(a) photons (b) électrons

Figure 5.4 – Diffraction par une feuille d’aluminium

Figure 5.5 – Interférences d’électrons par une double fente


5.2.3 Caractère ondulatoire des particules matérielles

D’autres expériences de diffraction par un cristal (figure 5.4) ou d’interférences par une doublefente (figure 5.5) ont confirmé les hypothèses de De Broglie.

Dualité onde-corpuscule Toutes les particules présentent un caractère ondulatoire.

Le caractère ondulatoire des particules est d’autant plus prononcé que la longueur d’ondeassociée à la particule est grande, c’est-à-dire que la quantité de mouvement de la particuleest faible (relation 5.3).

Ceci explique pourquoi il est impossible de mettre en évidence le caractère ondulatoire d’uncorps macroscopique. Il faudrait utiliser des obstacles de diffraction d’une dimension large-ment inférieure à la taille des protons.

Chapitre 6

Réactions nucléaires

6.1 Généralités

6.1.1 Définitions

Un atome est constitué d’électrons et d’un noyau, lui-même constitué de protons et de neu-trons appelés nucléons. Le nombre de masse, noté A, est le nombre de nucléons d’un noyau.Le nombre de charge, noté Z, est le nombre de protons de ce noyau.

Le nombre de neutrons est donc N = A−Z. L’atome étant électriquement neutre, Z désigneégalement le nombre de ses électrons ; il est aussi appelé numéro atomique de l’atome.

Un élément chimique est l’ensemble des atomes de même numéro atomique Z. On connaîtactuellement une centaine d’éléments chimiques.

Un nucléide est l’ensemble des atomes de noyau identique, ou l’ensemble de ces noyaux. Deuxnoyaux d’un même nucléide ont le même nombre de charge Z et le même nombre de masseA. On note A

ZX un nucléide de l’élément X. Actuellement, on connaît environ 1500 nucléidesnaturels ou artificiels.

Les différents nucléides d’un même élément chimique sont dits isotopes. Deux isotopes ont lemême nombre de charge Z mais un nombre de masse A différent. Les noyaux des isotopesdiffèrent par leur nombre de neutrons N .

Exemple 6.1 Les nucléides 126C et 14

6C sont deux nucléides différents du même élémentchimique carbone, ils sont isotopes.

6.1.2 Lois de conservation

Les particules qui participent à une réaction nucléaire forment un système isolé. Les grandeurssuivantes, relatives à ce système, sont conservées lors de la réaction :

• Le nombre de nucléons A.

• La charge électrique et donc aussi le nombre de charge Z.

• La somme de l’énergie cinétique Ec et de l’énergie au repos E0.

108 Réactions nucléaires 1BC

• La quantité de mouvement ~p.

6.2 La radioactivité

6.2.1 Ce qu’on entend par radioactivité

En 1896, Henri Becquerel découvrit que l’uranium et ses composés émettent continuellementun rayonnement. Pierre et Marie Curie poursuivant les travaux commencés par Becquerel ontdonné à ce phénomène le nom de radioactivité.

Définition On appelle radioactivité la transformation spontanée d’un noyau atomique aucours de laquelle un rayonnement est émis.

On rencontre de nombreux éléments radioactifs naturels.

• L’uranium 238 est un des éléments radioactifs naturels les plus importants.

• Le radon 222 est un gaz radioactif naturel, issu des roches et terrains contenant del’uranium.

• Le corps humain contient également des éléments radioactifs : le potassium 40 et lecarbone 14.

Parmi les 1500 nucléides connus, il en existe environ 325 naturels :

• 274 sont stables, leur noyau ne se modifie pas spontanément au cours du temps ;

• 51 sont instables car ils sont radioactifs, leur noyau est susceptible à tout moment desubir une transformation radioactive.

Si on classe ces nucléides stables en fonction des nombres qui les caractérisent, N et Z, onpeut tracer la courbe de stabilité (figure 6.1).

Les noyaux instables radioactifs se situent :

• de part et d’autre de la courbe de stabilité ; ces nucléides possèdent un excès ou undéfaut de neutrons ;

• au-delà du dernier nucléide stable (Z = 82), ces nucléides possèdent un excès de nu-cléons. Ce sont les noyaux lourds.

6.2.2 Les différents modes de désintégration

La radioactivité α

La radioactivité α est l’émission de noyaux d’hélium 42He par certains noyaux. Les noyaux

d’hélium sont aussi appelés particules α ou rayons α.

Les noyaux émetteurs α ont des nombres de masse et de charge élevés (A > 200, Z > 82) ;ce sont des noyaux trop lourds et donc instables.

1BC Réactions nucléaires 109

(a) réelle (b) schématique

Figure 6.1 – Courbe de stabilité

La radioactivité α se traduit par une réaction nucléaire représentée par l’équation :

AZX→ A′

Z′Y∗ + 42He.

A′ et Z ′ sont reliés à A et à Z par les règles de conservation du nombre de nucléons et de lacharge électrique :

A = A′ + 4Z = Z ′ + 2.

On obtient alors :AZX→ A−4

Z−2Y∗ + 42He

Exemple : 22688Ra→ 222

86Rn∗ + 42He.

Le nucléide X est appelé le noyau « père », Y est le noyau « fils ». La particule α est éjectéedu noyau avec une certaine énergie cinétique. La désintégration du noyau lourd rapproche lenoyau fils de la courbe de stabilité (figure 6.2).

L’astérisque (∗) indique que le noyau fils peut être émis dans un état excité, qui donne lieuultérieurement à un rayonnement γ.

Remarque :

Pour un atome radioactif, la réaction nucléaire de désintégration ne porte que sur lesnoyaux. Le cortège électronique de l’atome n’est pas modifié. De ce fait, dans l’écriturede la réaction nucléaire, X est un noyau. Sinon, on écrirait par exemple, pour les atomeset les ions :

22688Ra→ 222

86Rn2− + 42He2+

.


(a) transition (b) schéma

Figure 6.2 – Désintégration α d’un noyau lourd

La radioactivité β−

La radioactivité β−, encore appelée rayonnement β−, est l’émission d’électrons par certainsnoyaux.

La désintégration β− se produit pour des nucléides instables trop riches en neutrons. Ellerésulte de la désintégration, dans le noyau, d’un neutron qui se transforme en un proton avecémission d’un électron et d’un antineutrino :

10n→ 1

1p + 0−1e + 0

0ν.

La réaction nucléaire β− est représentée par l’équation :AZX→ A′

Z′Y∗ + 0−1e + 0

0ν.

L’existence de l’antineutrino fut postulée par Wolfgang Pauli pour rétablir la conservation del’énergie lors de la désintégration β−. En effet, l’étude du bilan énergétique de cette réactionnucléaire montre que l’énergie du noyau père est toujours supérieure à la somme des énergiesdu noyau fils et de l’électron ; l’antineutrino emporte une partie de l’énergie initiale.

L’antineutrino est une particule sans charge, sa masse au repos est quasiment nulle. Il esttrès difficile de le détecter car il n’interagit que très faiblement avec la matière.

La conservation du nombre de nucléons et de la charge électrique relient respectivement A àA′ et Z à Z ′ :

A = A′

Z = Z ′ − 1.

On obtient alors :AZX→ A

Z+1Y∗ + 0−1e + 0

0ν

Exemple : 146C→ 14

7N∗ + 0−1e + 0

0ν.

Les noyaux situés à gauche de la courbe de stabilité se désintègrent par émission β− ; cettedésintégration rapproche le noyau fils de la courbe de stabilité (figure 6.3).



Figure 6.3 – Désintégration β−

Le noyau fils peut être émis dans un état excité et l’électron est éjecté avec une énergiecinétique plus ou moins importante.

La radioactivité β+

La radioactivité β+, encore appelée rayonnement β+, est l’émission de positrons par certainsnoyaux.

La radioactivité β+ se produit pour des nucléides obtenus artificiellement au laboratoire.C’est pourquoi on la qualifie de radioactivité artificielle, elle est caractéristique des noyauxtrop riches en protons. Elle résulte de la désintégration, dans le noyau, d’un proton qui setransforme en un neutron avec émission d’un positron et d’un neutrino :

11p→ 1

0n + 01e + 0

0ν.

La réaction nucléaire β+ est représentée par l’équation :

AZX→ A′

Z′Y∗ + 01e + 0

0ν.

Le positron est une particule de masse égale à celle de l’électron mais de charge opposée.L’existence du neutrino fut postulée pour rétablir la conservation de l’énergie lors de ladésintégration β+. Le neutrino est une particule sans charge, sa masse au repos est quasi-ment nulle. Il est très difficile de le détecter car il n’interagit que très faiblement avec lamatière.

Remarque : le neutrino et l’antineutrino de même que l’électron et le positron forment descouples particule-antiparticule.

En tenant compte de la conservation du nombre de nucléons et du nombre de charge, onobtient les relations suivantes :

A = A′

Z = Z ′ + 1.


D’où l’équation de la réaction :

AZX→ A

Z−1Y∗ + 01e + 0

0ν


Figure 6.4 – Désintégration β+

Exemple : 3015P→ 30

14Si∗ + 01e + 0

0ν.

Les noyaux situés à droite de la courbe de stabilité se désintègrent par émission β+ ; cettedésintégration rapproche le noyau fils de la courbe de stabilité (figure 6.4).

Le noyau fils est émis ou non dans un état excité ; le positron est éjecté avec une énergiecinétique plus ou moins importante.

L’émission γ

L’émission γ est une émission de rayonnements électromagnétiques de très courtes longueursd’onde, inférieures à 10−11 m. Les photons γ qui constituent ces rayonnements ont des énergiestrès élevées, supérieures à 100 keV.

À la suite d’une désintégration α, β− ou β+, le noyau fils est émis dans un état excité.Il retrouve son état fondamental en émettant un ou plusieurs photons de haute énergie. Unphoton n’a ni charge électrique ni masse au repos ; il est caractérisé par Z = 0 et A = 0.

Au cours de l’émission γ, le nucléide se conserve :

AZY∗ → A

ZY + un ou plusieurs photons γ

Le rayonnement γ est très pénétrant. Il peut traverser plusieurs dizaines de centimètres deplomb, ou plusieurs mètres de béton.


6.2.3 La décroissance radioactive

Désintégration d’un noyau radioactif

La transformation d’un noyau instable en un autre noyau n’est pas un processus de « vieillis-sement » continu mais se passe d’un seul coup ; une telle transformation nucléaire est appeléedésintégration.

Il est impossible de prévoir la date de la désintégration d’un noyau particulier. Sur un en-semble de noyaux instables identiques, il est impossible de prévoir lesquels de ces noyaux vontse désintégrer à une date donnée. Le phénomène de la désintégration d’un noyau radioactifest donc imprévisible et aléatoire.

Vu le caractère aléatoire de la désintégration, il est impossible de trouver une loi qui décri-rait le comportement d’un seul noyau. On peut cependant prévoir avec précision l’évolutionstatistique d’un grand nombre de noyaux identiques.

La loi de décroissance radioactive

Considérons un échantillon contenant N noyaux radioactifs d’un nucléide donné à la date t.Le phénomène de désintégration va provoquer la décroissance du nombre de noyaux.

Pendant un très court intervalle de temps ∆t, le nombre de noyaux varie de ∆N . Le nombrede noyaux ayant subit une désintégration pendant cet intervalle de temps est −∆N .

Remarque : le signe moins est nécessaire car ∆N est négatif.

La probabilité de désintégration pendant l’intervalle de temps ∆t est :

probabilité = −∆NN

.

Comme la désintégration n’est pas un processus de « vieillissement » , cette probabilité nevarie pas au cours du temps. Elle est proportionnelle à l’intervalle de temps ∆t :

−∆NN∼ ∆t⇒ −∆N

N= λ∆t

où λ est un coefficient de proportionnalité appelée constante radioactive. Elle représente laprobabilité de désintégration par unité de temps, s’exprime en s−1 et ne dépend que dunucléide. On obtient ainsi :

1N

∆N = −λ∆t.

Soit N0 le nombre de noyaux présents à l’instant t = 0. On peut relier N à N0 en passant àla limite ∆t→ 0 et en intégrant entre t = 0 et t :∫ N

N0

1N

dN =∫ t

0(−λ) dt.

Le calcul intégral donne : îlnN

óNN0

=î−λ t

ót0

d’où :lnN − lnN0 = −λ t⇒ ln N

N0= −λ t.


En appliquant à cette relation la fonction exponentielle :

N

N0= e−λ t

on obtient la loi de décroissance radioactive.

Énoncé Le nombre N(t) de noyaux radioactifs contenus dans un échantillon varie suivantla loi :

N(t) = N0 e−λ t (6.1)

où λ est la constante radioactive du nucléide et N0 le nombre de noyaux initialement présents.

La demi-vie d’un nucléide

Un nucléide radioactif est le plus souvent caractérisé par sa demi-vie t1/2 (ou période radio-active) plutôt que par sa constante radioactive λ.

Définition La demi-vie (ou période radioactive) d’un nucléide est l’intervalle de temps aubout duquel la moitié des noyaux initialement présents ont subi une désintégration.

La demi-vie varie d’une fraction de seconde jusqu’à des milliards d’années selon le nucléideconsidéré.

Pour trouver une relation entre la demi-vie t1/2 et la constante radioactive λ, on écrit, pourt = t1/2 :

N(t1/2) = N0

2N0 e

−λ t1/2 = N0

2e−λ t1/2 = 1

2−λ t1/2 = ln 1

2 = − ln 2

et finalement :

t1/2 = ln 2λ

Pour chaque intervalle de temps correspondant à une demi-vie, le nombre de noyaux est divisépar deux (figure 6.5).


Figure 6.5 – Loi de décroissance radioactive

6.2.4 Applications de la loi de décroissance

Activité d’un échantillon radioactif

Définition L’activité A à une date t d’un échantillon contenant N noyaux radioactifs estdéfinie comme étant le nombre de noyaux qui se désintègrent par seconde :

A(t) = −dNdt .

Dans le système international, l’unité d’activité est le becquerel (Bq). Un becquerel correspondà une désintégration par seconde.

En utilisant la relation (6.1) il vient :

A(t) = λN(t)

L’activité est proportionnelle au nombre de noyaux présents et varie donc suivant la mêmeloi exponentielle. En effet, avec :

A(t) = λN0 e−λ t

et en définissant l’activité initiale A0 = λN0 on a :

A(t) = A0 e−λ t

L’activité d’un échantillon de masse m, de masse molaire atomique M et de demi-vie t1/2peut être calculée en utilisant :

λ = ln 2t1/2

et :N = NA

m

Mce qui permet d’écrire :

A = ln 2NAm

t1/2 M

où NA est le nombre d’Avogadro.


Exemple 6.2 Le calcul de l’activité de 1 g de 22688Ra de masse molaire 226 g/mol et de demi-

vie 1600 ans donne A = 3,7 · 1010 Bq. Cette valeur correspond au curie (Ci), ancienne unitéde l’activité.

La datation en géologie

Plusieurs éléments radioactifs peuvent être utilisés pour dater les roches. On considère icil’exemple de la datation par le plomb.

Le plomb ordinaire non radioactif est un mélange des isotopes 204Pb, 206Pb, 207Pb et 208Pb. Lesdifférentes désintégrations radioactives des isotopes de l’uranium et du thorium produisenttous les isotopes du plomb à l’exception de l’isotope 204Pb.

Si un échantillon ne contient pas l’isotope 204Pb, cela indique que le plomb présent a étéproduit par désintégration radioactive. L’échantillon peut alors servir à la datation.

On considère un échantillon d’une roche contenant l’isotope 206Pb qui provient des désinté-grations successives de l’uranium 238U. Soient N et N ′ les nombres de noyaux respectivementd’uranium et de plomb à un instant t donné. À l’instant t = 0, lors de la formation de laroche, l’échantillon contient N0 noyaux d’uranium et aucun noyau de plomb.

La désintégration d’un noyau d’uranium produit un noyau de plomb de sorte que la sommeN +N ′ reste constante au cours du temps :

N0 = N +N ′ =Ç

1 + N ′

N

åN = (1 + r)N

où r = N ′/N . Par application de la loi de décroissance il vient :

N0 = (1 + r)N0 e−λt

ce qui permet d’avoir :(1 + r) = eλt.

La demi-vie de l’uranium 238U est 4,5 · 109 ans, λ est donc connu. On peut calculer t connais-sant la valeur de r à cette date.

Exemple 6.3 Pour un échantillon on mesure r = 0,8. Un calcul permet de conclure qu’ils’est écoulé 3,8 · 109 années depuis la formation de l’échantillon.

La datation en archéologie

On peut aussi dater l’âge d’une matière animale ou végétale grâce aux éléments radioactifs.L’isotope 14

6C du carbone, radioactif β−, de demi-vie t1/2 = 5730 ans, est présent dans l’atmo-sphère sous forme de dioxyde de carbone, en proportion infime mais constante par rapport àl’isotope 12

6C :

r0 = N(146C)

N(126C) ' 10−12.

Les végétaux absorbent le dioxyde de carbone atmosphérique et fixent l’isotope 14 du carbonedans leur tissu. Tous les êtres vivants consommant des plantes absorbent également cetisotope. Au cours de leur vie, végétaux, animaux et humains en contiennent une proportion


constante r0. Après la mort, l’isotope 146C n’est plus absorbé. Sa teneur diminue au rythme

des désintégrations radioactives.

La mesure de l’activité d’un échantillon permet d’évaluer le rapport r et d’en déduire la datede sa mort. En effet :

r = r0 e−λt.

La mesure de ce rapport r sur un objet ancien permet de dater cet objet.

Exemple 6.4 La mesure de l’activité d’une momie dans un sarcophage donne un rapportr = 6 · 10−13. Un calcul donne t = 4222 ans. La momie est dans le sarcophage depuis 4222années.

6.3 Réactions nucléaires

Lors d’une réaction nucléaire, les nucléons initialement présents sont « regroupés » de façondifférente. Les nucléons qui participent aux réactions sont soit libres, soit les constituants desnoyaux. Le nombre de protons et le nombre de neutrons ne varient pas. Contrairement à laradioactivité, ces réactions sont provoquées.

6.3.1 Réactions exothermiques

D’après le principe de la conservation de l’énergie, l’énergie totale des produits d’une réactionnucléaire est égale à l’énergie totale des réactifs. Il est à rappeler que l’énergie totale est lasomme de l’énergie au repos E0 et de l’énergie cinétique Ec.

Une réaction nucléaire est exothermique lorsque l’énergie cinétique des produits est supérieureà celle des réactifs. Il en suit que l’énergie au repos doit diminuer lors d’une telle réaction(figure 6.6). L’énergie libérée E au cours de la réaction s’obtient par :

E = E0(réactifs)− E0(produits)

Elle est égale à l’augmentation de l’énergie cinétique.

E0 nucléons libres

produits

réactifs

E E¸(produits)

E¸(réactifs)

Figure 6.6 – Schéma énergétique d’une réaction nucléaire


6.3.2 Énergie de liaison

À l’intérieur d’un noyau, les nucléons sont confinés dans un très petit espace. La répulsionélectromagnétique intense des protons devrait faire éclater le noyau, mais les nucléons s’at-tirent par interaction forte. Cette interaction, dont la portée n’excède pas la taille du noyau,est identique entre tous les nucléons, qu’ils soient protons ou neutrons.

Énergie de liaison d’un noyau

Les nucléons d’un noyau sont fortement liés de sorte qu’il faut fournir de l’énergie pour lesséparer, c’est-à-dire pour « casser » leurs liaisons.

Définition L’énergie de liaison d’un noyau, que l’on note E`, est l’énergie qu’il faut fournirau noyau pris au repos pour le dissocier en ses différents nucléons obtenus libres et immobiles.

C’est l’énergie au repos du noyau qui tient compte de son énergie de liaison. Puisqu’il fautfournir de l’énergie au noyau pour le dissocier, l’énergie au repos des nucléons libres estsupérieure à l’énergie au repos du noyau. L’énergie de liaison d’un noyau A

ZX s’écrit :

E` =∑

E0(nucléons)− E0(X)= Z E0(proton) + (A− Z)E0(neutron)− E0(X).

En utilisant la relation d’Einstein, l’expression devient :

E` = Z mp c2 + (A− Z)mn c

2 −mX c2

où mX, mp et mn sont les masses au repos respectivement du noyau, d’un proton et d’unneutron. Ainsi :

E` = [Z mp + (A− Z)mn −mX] c2.

L’expression entre crochets est la différence entre la masse au repos des nucléons et la masseau repos du noyau, différence appelée défaut de masse.

Définition Pour un noyau AZX, on constate un défaut de masse ∆m positif :

∆m = Z mp + (A− Z)mn −mX

En valeur relative, le défaut de masse est de l’ordre de 1 %. L’énergie de liaison s’exprime àl’aide du défaut de masse :

E` = ∆mc2

Exemple 6.5 La masse d’un noyau d’hélium est mX = 6,6446 · 10−27 kg, celle de ses nu-cléons est 2mp + 2mn = 6,6951 · 10−27 kg.Le défaut de masse d’un noyau de hélium est ∆m = 5,05 · 10−29 kg, soit 0,8 % de la massedu noyau. L’énergie de liaison vaut E` = 4,54 · 10−12 J.


Remarque : l’énergie de liaison d’un nucléon libre est nulle.

Le schéma de la figure 6.6 montre les énergies de liaison des réactifs et des produits d’uneréaction nucléaire exothermique. L’énergie de liaison des produits est supérieure à celle desréactifs et l’énergie libérée E peut s’écrire :

E = E`(produits)− E`(réactifs)

Énergie de liaison par nucléon

L’énergie de liaison d’un nucléon particulier diffère d’un noyau à l’autre. En moyenne, elleest égale au rapport E`/A, appelé énergie de liaison par nucléon.

La figure 6.7 représente l’énergie de liaison par nucléon en fonction du nombre de masse. Onconstate que les noyaux légers et lourds présentent une énergie de liaison par nucléon plusfaible que les noyaux moyens.

Figure 6.7 – Énergie de liaison par nucléon

Comme le nombre de nucléons ne varie pas lors d’une réaction nucléaire, il suffit que lesénergies de liaison par nucléon des produits soient supérieures à celles des réactifs pour quela réaction soit exothermique.

De ce fait, si deux noyaux légers se soudent pour former un noyau moyen, la réaction appeléefusion nucléaire libère de l’énergie (figure 6.8). De même, lors de la réaction appelée fissionnucléaire, au cours de laquelle un noyau lourd se casse en deux noyaux moyens, il y a libérationd’énergie.


Figure 6.8 – Fusion de noyaux légers et fission d’un noyau lourd

6.3.3 La fission nucléaire

Principe et intérêt de la fission

La fission nucléaire est la rupture d’un noyau lourd fissile qui, sous l’impact d’un neutron, sedivise en deux noyaux plus légers.

La plus connue des réactions de ce type est la fission de l’uranium 235 par absorption d’unneutron. Le noyau d’uranium se brise en deux noyaux plus légers accompagnés de deux outrois neutrons, tout en libérant une énergie importante.

Bilan d’une réaction de fission

Une réaction possible de la fission du noyau d’uranium 235 est :10n + 235

92U→ 9438Sr + 140

54Xe + 2 10n

Comme pour toute autre transformation nucléaire, il y a conservation du nombre de masseet du nombre de charge.

L’énergie libérée par cette réaction est :

E = E0(réactifs)− E0(produits)= (mn c

2 +mU c2)− (mSr c

2 +mXe c2 + 2mn c

2).

Remarque : un gramme d’uranium libère la même énergie que la combustion de 1,8 tonnesde pétrole.

La fission d’un noyau d’uranium peut donner différents noyaux plus légers (figure 6.9). L’équa-tion générale d’une fission est :

10n + 235

92U→ AZX + 234−A

92−ZY + 2 10n

ou bien :10n + 235

92U→ AZX + 233−A

92−ZY + 3 10n.

Remarque : les noyaux X et Y sont souvent radioactifs β− et émis dans un état excité etdonnent alors lieu à l’émission de rayons γ.


Figure 6.9 – Exemple d’une fission d’un noyau d’uranium

La réaction en chaîne

À la suite de la capture d’un neutron, un noyau fissile d’uranium 235 ou de plutonium 239 asubi une fission. Plusieurs neutrons accompagnent les produits de fission. Dans l’exemple dela figure 6.10, les trois neutrons secondaires provoquent trois nouvelles fissions, qui génèrentchacune trois neutrons de seconde génération, qui déclenchent à leur tour neuf fissions ter-tiaires. La réaction en chaîne prend un tour explosif, ce qui arrive dans une bombe atomiqueoù la proportion de noyaux fissiles est très élevée.

Figure 6.10 – Réaction en chaîne incontrôlée

Dans le cœur d’un réacteur où les noyaux fissiles ne dépassent pas 4 % et où beaucoup deneutrons se perdent en route, le nombre de neutrons entretenant la fission est exactement unet la réaction en chaîne s’entretient sans se développer.

6.3.4 Fusion nucléaire

Principe de la fusion

Une fusion nucléaire est une réaction au cours de laquelle deux noyaux légers s’unissent, c’est-à-dire fusionnent, pour en former un plus lourd, tout en libérant une énergie importante. Les


principales réactions de fusion se font à partir de l’hydrogène 11H et de ses deux isotopes, le

deutérium 21H et le tritium 3

1H.

Bilan d’une réaction de fusion

Les figures 6.11 et 6.12 montrent deux exemples de réactions de fusion.

21H + 2

1H→ 31H + 1

1p

Figure 6.11 – Fusion nucléaire donnant du tritium

21H + 2

1H→ 32He + 1

0n.

Figure 6.12 – Fusion nucléaire donnant un isotope de l’hélium

Comme pour toute autre transformation nucléaire, il y a conservation du nombre de masseet du nombre de charge.

Pour la réaction de fusion :21H + 3

1H→ 42He + 1

0nl’énergie libérée est :

E = E0(réactifs)− E0(produits)= (m 2H c

2 +m 3H c2)− (m 4He c

2 +mn c2).

Remarque : la fusion d’un gramme de tritium libère la même énergie que la combustion de13,5 tonnes de pétrole.

Chapitre 7

États énergétiques quantifiés

7.1 Les insuffisances de la physique classique

Les travaux de Rutherford au début du 20e siècle avaient abouti à un modèle atomiquedans lequel la majeure partie de la masse atomique est concentrée dans un espace très petit,de rayon de l’ordre de 10−15 m, appelé noyau atomique, chargé positivement. Les chargesnégatives, les électrons, se déplacent autour du noyau ; l’atome occupe une sphère de rayonde l’ordre de 10−10 m.

Selon la théorie classique de l’électromagnétisme, une charge accélérée, tel qu’un électron enmouvement circulaire, émet continuellement un rayonnement électromagnétique. L’énergie del’atome devrait diminuer et, par conséquent, l’électron devrait s’approcher du noyau atomiquesuivant une spirale. Les atomes ne seraient pas stables, ce qui n’est pas observé !

Le rayonnement électromagnétique émis par un atome serait de courte durée (de l’ordre de10−8 s) et son spectre devrait présenter un ensemble continu de longueurs d’onde, c’est-à-direque toutes les couleurs seraient présentes.

En comparant le spectre d’émission de l’atome d’hydrogène et le spectre du rayonnementthermique émis par les corps denses (Soleil, arc électrique, filament incandescent, . . .), onconstate que :

• le spectre du rayonnement thermique (figure 7.1a) est continu ce qui veut dire quetoutes les longueurs d’onde y sont représentées ;

(a) émis par un corps dense (b) émis par l’atome d’hydrogène

Figure 7.1 – Spectres de rayonnements électromagnétiques

• le spectre d’émission de l’atome d’hydrogène (figure 7.1b) est discontinu ce qui veutdire qu’on ne peut distinguer que quelques raies de longueurs d’onde différentes.

124 États énergétiques quantifiés 1BC

7.2 Le modèle quantique

Pour résoudre le problème de la stabilité de l’atome et expliquer l’existence des spectresdiscontinus, le physicien danois Niels Bohr reprend en 1913 le modèle planétaire pour proposerun modèle quantique pour l’atome d’hydrogène.

1re hypothèse L’atome ne peut exister que dans certains états énergétiques bien définis(En avec n ∈ N∗). L’énergie de l’atome est quantifiée.

2e hypothèse Les transitions d’un état vers un autre se font par sauts (« Quantens-prünge ») et sont accompagnées de l’émission ou de l’absorption d’un photon d’énergie E :

E = |Ef − Ei| = h ν (7.1)

avec : Ei énergie correspondant à l’état initialEf énergie correspondant à l’état finalν fréquence du rayonnement émis ou absorbé

Remarque : les hypothèses sont formulées de sorte qu’elles ne s’appliquent pas seulement àl’atome d’hydrogène mais aussi à tout autre atome.

Exemple 7.1 Les énergies des états de l’atome d’hydrogène peuvent être calculées à l’aidede la formule de quantification suivante :

En = E1

n2 (7.2)

avec : n nombre quantique principal (n ∈ N∗)E1 = −13,6 eV énergie de l’état fondamental de l’atomeEn énergie de l’atome correspondant à l’état caractérisé par

le nombre quantique n.

Dans le modèle des couches (« Schalenmodell »), à chaque nombre quantique n correspondune couche électronique :

n = 1 couche Kn = 2 couche Ln = 3 couche M... ...

La figure 7.2a montre les niveaux d’énergie de l’atome d’hydrogène. Le niveau de référence(E = 0) de l’énergie est celui de l’électron au repos, libéré de l’attraction du noyau (n→∞).

La figure 7.2b montre les intensités du spectre visible (figure 7.3) en fonction de la longueurd’onde, correspondant aux premières transitions de la série Balmer.

1BC États énergétiques quantifiés 125

(a) niveaux d’énergie (b) intensités du spectre visible (série Balmer)

Figure 7.2 – Atome d’hydrogène

Remarques :

• Si Ef < Ei, il y a émission d’un photon. Un spectre d’émission (figure 7.3) s’obtient enfaisant traverser la lumière émise par une source à travers un spectroscope. On obtientdes raies colorées sur un fond noir.

Figure 7.3 – Spectre d’émission de l’atome d’hydrogène

• Si Ef > Ei, il y a absorption d’un photon. Un spectre d’absorption (figure 7.4) s’obtienten interposant sur la trajectoire de la lumière blanche l’élément absorbant. On obtientdes raies noires sur un fond arc-en-ciel.

Figure 7.4 – Spectre d’absorption de l’atome d’hydrogène

7.3 La physique quantique

La dualité onde-corpuscule de la matière et du rayonnement est traitée avec succès dans lecadre de la physique quantique. La mécanique quantique, la théorie de l’électrodynamique

126 États énergétiques quantifiés 1BC

quantique et le modèle standard de la physique des particules donnent une description desphénomènes au niveau atomique en accord avec les résultats expérimentaux.

Les hypothèses citées au début du chapitre s’avèrent être des résultats de la théorie de lamécanique quantique. À savoir :

• Pour tout système de particules confinées dans un espace limité, la mécanique quantiqueprévoit un ensemble discret (discontinu) d’états d’énergies bien déterminées. Ce résultats’applique notamment à l’atome et à son noyau.

• Les transitions entre ces états se font par absorption ou émission de photons. Ceci estégalement valable pour les transitions entre les états énergétiques d’un noyau atomiquece qui permet d’expliquer l’existence du rayonnement γ.

Exemple 7.2 La figure 7.5a montre les niveaux d’énergie du noyau de nickel 6028Ni. Le niveau

de référence (E = 0) de l’énergie est celui du niveau fondamental du noyau.

La figure 7.5b montre les intensités du spectre correspondant.

(a) niveaux d’énergie (b) intensités du spectre de rayonnement γ

Figure 7.5 – Noyau de nickel 6028Ni

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Cours de physique - al.lu · Cours de physique Classes 1B et 1C Athénée de Luxembourg. Tabledesmatières 1 CinématiqueetDynamique5