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RESISTANCE DES MATERIAUX

PROPRIETE GONNET_2003

COURS DE RDM PAGE 1 SUR 12

Gravure montrant lessai dune poutre en flexion


INTRODUCTION - HYPOTHESES




(Extrait de Discorsi e dimostrazioni mathematiche de Galile)




SOMMAIRE

1. EN QUOI A CONSISTE ? .................................................................................................................................................................4 2. INTRODUCTION...................................................................................................................................................................................4 3. HYPOTHESES .........................................................................................................................................................................................4

3.1 LE MATERIAU ..................................................................................................................................................................................... 5 3.1.1 Continuit de la matire..........................................................................................................................................................5 3.1.2 Homognit .............................................................................................................................................................................5 3.1.3 Isotropie.....................................................................................................................................................................................5

3.2 LA GEOMETRIE ................................................................................................................................................................................... 5 3.3 LES FORCES APPLIQUEES................................................................................................................................................................... 7

3.3.1 Plans de symtries....................................................................................................................................................................7 3.3.2 Points ou zones dapplication des forces.............................................................................................................................8 3.3.3 Types de forces extrieures ....................................................................................................................................................8

3.4 DEFORMATION................................................................................................................................................................................. 11 3.4.1 Hypothse de Navier Bernouilli .......................................................................................................................................11 3.4.2 Hypothse de Barr de Saint Venant ..................................................................................................................................11

4. RESOLUTION.......................................................................................................................................................................................12




1. En quoi a consiste ?

Pour effectuer un calcul de RDM, il est ncessaire de connatre les actions mcaniques exerces sur le mcanisme (actions dtermines dans ltude de dynamique) et les matriaux utiliss.

Ltude de RDM va permettre de dfinir les sollicitations et les contraintes qui en rsultent. A laide des caractristiques des matriaux (proprits mcaniques), nous allons pouvoir en dduire les dformations du matriau, et dans les cas extrmes, sa rupture.

2. Introduction

La rsistance des matriaux ntudie que des solides de formes simples : les poutres . Bien souvent, il est possible de modliser des solides par une poutre, la condition que ceux-ci respectent certaines hypothses. Lobjet de ce cours est de prsenter les hypothses de la RDM, pralable indispensable ltude.

La rsistance des matriaux est ltude de la rsistance et de la dformation des solides (arbres de transmissions, btiments, diverses pices mcaniques) dans le but de dterminer ou vrifier leurs dimensions afin quils supportent les charges quils subissent, dans des conditions de scurit satisfaisantes et au meilleur cot (optimisation des formes, des dimensions, des matriaux) . Son domaine dapplication tant trs large et les situations rencontres nombreuses et varies, il est ncessaire de mettre en place des hypothses simplificatrices dans le but de standardiser les cas dtude.

La photo ci-contre reprsente un magnifique chariot lvateur dun domaine viticole dun village bourguignon (commenant par un C et finissant par un S), mondialement connu pour ses vins blancs. Ce chariot lvateur est destin divers travaux sur lexploitation, et en fonction de son utilisation, nous nous intresserons plus particulirement aux fourches de ce chariot.

FIGURE : CHARIOT ELEVATEUR

3. Hypothses

Dans ce paragraphe, nous allons citer les diffrentes hypothses que lon est en droit de formuler dans le cadre de la Rsistance des Matriaux. La figure suivante montre lapplication au fourches du chariot lvateur.




FIGURE : FOURCHE DU MAGNIFIQUE CHARIOT ELEVATEUR

3.1 Le matriau 3.1.1 Continuit de la matire

Lorsquon regarde au microscope la coupe dune pice en mtal, on voit gnralement une structure fibreuse, ou quelquefois une structure granulaire. Toutefois, les distances entre ces fibres ou ces grains sont trs petites par rapport aux dimensions des plus petites pices mcaniques qui sont tudies. On peut alors raisonnablement considrer le matriau comme continu. 3.1.2 Homognit

On admet que les matriaux ont les mmes proprits mcaniques en tous points. Cela est peu prs vrifi pour la plupart des mtaux, mais il faut savoir que cette hypothse nest quune grossire approximation pour les matriaux tels que le bois ou le bton. 3.1.3 Isotropie

On admet que les matriaux tudis ont, en un mme point, les mmes proprits mcaniques dans toutes les directions. Cela est peu prs vrai pour les aciers, mais il faut savoir que cette hypothse est loin de la ralit pour le bois et les matriaux composites par exemple.

3.2 La gomtrie

Les seuls solides que nous tudierons seront du type poutre (solide idal du point de vue de la RDM : solide dfini par sa ligne moyenne et sa section droite). La poutre est un solide dont la longueur est prpondrante devant les autres dimensions transversales.

Action de la charge

II.4 - PRINCIPE DE BARRE DE SAINT VENANT

Action de la traverse infrieure / fourche

Action de la traverse suprieure / fourche

II.2 - GEOMETRIE : POUTRE

II.4 - DEFORMATIONS

II.1 - MATERIAU

II.3 FORCES APPLIQUEES




FIGURE : GEOMETRIES DE POUTRES

FIGURE : NOTION DE POUTRE Une poutre est dfinie par :

v sa ligne moyenne (ligne droite ou ligne courbe grand rayon de courbure, sur laquelle se trouve le barycentre G des sections droites). Celle-ci est le plus souvent rectiligne ;

p

L > 4 ou 5D

Plan de symtrie de la poutre Ligne moyenne Sections droites SG, SB et SA

D

L

G B A




v sa section droite (section qui engendre la poutre, constante et de centre de surface G). Celle-ci est en principe constante et son centre de surface est sur la ligne moyenne. Dans le cas de la fourche du chariot lvateur :

FIGURE : ASSIMILATION A UNE POUTRE

Bien souvent, les poutres tudies ne remplissent pas ces conditions. Les relations tablies en tenant compte de ces hypothses ne sappliquent pas parfaitement, do la ncessit dintroduire un coefficient de scurit dans les calculs de dimensionnement.

3.3 Les forces appliques 3.3.1 Plans de symtries

Les forces extrieures appliques la poutre (P) seront situes soit dans le plan de symtrie (PS), soit symtriquement par rapport au plan de symtrie.

FIGURE : PLANS DE SYMETRIES

Ligne moyenne

Section droite

Calcul de RDM : 1re poutre

Calcul de RDM : 2me poutre

*

**




3.3.2 Points ou zones dapplication des forces

En RDM, il nest pas possible de remplacer un systme de forces par un systme quivalent du point de vue de lquilibre car les effets physiques (dformations, contraintes) sont diffrents.

Dans les deux cas, la poutre est en quilibre, mais par contre les dformations sont totalement diffrentes. On fait galement les approximations suivantes : F les contacts de la poutre et du milieu extrieur seffectuent au niveau de la ligne moyenne ; F les supports des forces reprsentant les actions de contact ne sont pas dplacs aprs dformation. Reprenons le cas de la fourche du chariot lvateur (toujours aussi magnifique) :

Poutre avant dformation

Poutre aprs grande dformation

Poutre aprs petite dformation (a nglig)

3.3.3 Types de forces extrieures On distingue les actions distance et les actions de contact. Actions distance : poids, magntisme Actions de contact : charges concentres en un point ou charges rparties.

C

Cr

C

C

Cr a




3.3.3.1 Charges concentres en un point Dans le cas de la fourche du chariot lvateur :

FIGURE : CHARGE CONCENTREE Exemple : reprenons le cas de la fourche du chariot lvateur. Donnes du problme : v le chariot transporte un ft de vin de Chablis Grand Cru les Clos 2000 ; v le ft contient 228 litres ; Remarque : cest malheureux dire, mais pour faire le calcul, on assimilera la densit de ce divin breuvage celle de leau La masse totale M embarque sur les fourches (il y a 2 fourches) du chariot lvateur est donc :

kgM 2281228 =

Le poids P sexerant sur une fourche est : NP 11402

10228=

=

Lintensit de la charge concentre sur une fourche est alors : NP 1140= 3.3.3.2 Charge uniformment rpartie

T MTL1999

Clos 2000 Pr




Dans le cas de la fourche du chariot lvateur :

FIGURE : CHARGE REPARTIE Exemple : reprenons le cas de la fourche du chariot lvateur. Donnes du problme : v le chariot transporte une palette de cartons de vin de Chablis Grand Cru les Clos 1998 (cartons export de 6 bouteilles) ; v une bouteille (de 75cl) pse environ 1.3kg ; v la palette en bois EURO pse environ 20kg ; v la palette est constitue de 4 rangs de 13 cartons chacun ; v le poids des cartons (emballage) est nglig. Calculer la charge rpartie sexerant sur une fourche. Remarque : la rsistance des fourches dpend directement de la gomtrie et la section des fourches, dduites du calcul de la charge embarque. Au prix des bouteilles transportes, il vaut mieux ne pas se tromper dans le calcul La masse totale M embarque sur les fourches (il y a 2 fourches) du chariot lvateur est donc :

( )[ ] kgM 426204133.16 +=

Le poids P sexerant sur une fourche est : NP 21302

10426=

=

Lintensit de la charge rpartie sur une fourche est alors : mNp /14205.1

2130==

Dans ce cas, p

r est appel densit linique de force . Cest par exemple le poids au mtre des profils du

commerce (unit : N/m).

CHABLIS

CRD

CHABLIS CHABLIS CHABLIS

CRD CRD CRD CRD

CHABLIS

CRD


CRD CRD CRD CRD

CHABLIS

CRD


CRD CRD CRD CRD

pr




On a : lpF =

rr

Exemple : une poutre de longueur totale ml 5.2= et de poids total NP 3750= est soumise une charge rpartie de :

mNp /15005.2

3750==

3.4 Dformation 3.4.1 Hypothse de Navier Bernouilli Au cours des dformations, les sections droites restent planes et perpendiculaires la ligne moyenne.

FIGURE : DEFORMEE DUNE POUTRE 3.4.2 Hypothse de Barr de Saint Venant Les rsultats de la RDM ne sapplique valablement qu une distance suffisamment loigne de la rgion dapplication des forces concentres. En effet, nous ne pouvons pas, avec les quations de la RDM, calculer les dformations locales autour dun point dapplication dune force.




4. Rsolution Organigramme de rsolution dun problme de RDM :

Voil, cest tout pour aujourdhui

Actions extrieures exerces sur la poutre

Efforts intrieurs dans la poutre : N, T, MT et Mf

Contraintes en tout point : s, t

Dformations en tout point : e, g

Dimensionnement de la poutre

Coefficients de scurit

Principe Fondamental de la Statique






COURS




1. A quoi a sert ?

2. Testez vos connaissances

3. Introduction - Hypothses

4. Torseur de cohsion

5. Notion de contrainte

6. Traction

7. Cisaillement

8. Torsion

9. Flexion

10. Essais mcaniques

Bon courage






A QUOI A SERT ?




SOMMAIRE

1. A QUOI A SERT ? ...............................................................................................................................................................................4 2. LES ESSAIS DE RDM EN AERONAUTIQUE..............................................................................................................................5

2.1 TEST DES AILES.................................................................................................................................................................................. 5 2.2 TEST DES AILES DU CONCORDE ....................................................................................................................................................... 6 2.3 TEST DU FUSELAGE............................................................................................................................................................................ 7 2.4 TEST DU TRAIN DATTERRISSAGE .................................................................................................................................................... 8




1. A quoi a sert ?

La rsistance des matriaux (RDM) permet de dfinir les formes, les dimensions et les matriaux des pices mcaniques de faon matriser leur rsistance, leur dformation, tout en optimisant leur cot.

Ce pont a t vrifi en Rsistance des Matriaux pour : F assurer sa rsistance sous son propre poids et celui des vhicules, F assurer sa rsistance en cas de forte tempte, F optimiser sa forme et son cot.

Cette bouteille a t vrifie en Rsistance des Matriaux pour : F assurer sa rsistance lorsquelle est pleine, F assurer une rsistance minimum en cas de chute, F minimiser son paisseur pour faire des conomies sur la matire premire.

De la mme faon, pour le matriel descalade et de scurit en gnral, les matriaux sont tests et vrifis dans toutes les configurations dutilisation possibles (charges, chocs, temprature).




2. Les essais de RDM en aronautique En aronautique, la RDM une importance primordiale. En plein vol, on imagine facilement les

consquences de la rupture dune pice. On ne peut pas se permettre de surdimensionner les pices car le poids de lavion serait alors trop

important. Il faut donc raliser des calculs et des vrifications trs strictes des pices constitutives dun avion.

Grce aux progrs dans la connaissance des matriaux et les moyens de calcul et de modlisation des structures, les pices mcaniques sont de plus en pus fiables. Voici quelques exemples :

F test des ailes F test du fuselage F test du train datterrissage

2.1 Test des ailes

Cet essai consiste vrifier la rsistance statique dune aile davion. Pour modliser une charge rpartie sur toute laile, on applique leffort grce des cbles accrochs aux poutres de la photo ci-contre.




Laile est en charge maximum. On distingue bien la dforme de laile. Pendant tout lessai, une multitude de capteurs calculent la dformation de laile.

Rupture de laile ! On distingue bien le morceau cass (vertical) de laile.

2.2 Test des ailes du Concorde

Mme essai que prcdemment, ralis sur un Concorde. On remarque les cbles fixs sur laile de lavion.




Essai avec charge thermique. On refait le mme essai que prcdemment mais diffrentes tempratures (celles-ci vont jusqu -50C). Les gaines de ventilation injectent un mlange gazeux -50C pendant que la structure de lavion est chauffe

2.3 Test du fuselage

Test de la partie arrire du fuselage. Essai statique. Rupture par flambage en flexion et effort tranchant dune partie arrire du fuselage.




2.4 Test du train datterrissage

Essai de flexion sur un train datterrissage. Dformation due au flambage dun vrin de train datterrissage.







TESTEZ VOS CONNAISSANCES




SOMMAIRE

1. QUESTION1 .............................................................................................................................................................................................4 2. QUESTION 2 ............................................................................................................................................................................................4 3. QUESTION 3 ............................................................................................................................................................................................4 4. QUESTION 4 ............................................................................................................................................................................................5 5. QUESTION 5 ............................................................................................................................................................................................5 6. QUESTION 6 ............................................................................................................................................................................................6 7. QUESTION 7 ............................................................................................................................................................................................6 8. QUESTION 8 ............................................................................................................................................................................................7 9. QUESTION 9 ............................................................................................................................................................................................7 10. QUESTION 10 .....................................................................................................................................................................................8 11. QUESTION 11 .....................................................................................................................................................................................8 12. QUESTION 12 .....................................................................................................................................................................................9




1. Question1 Indiquez si les essais suivants sont destructifs, ou non destructifs.

Essai de traction ? oui ? non Photolasticit ? oui ? non Essai de rsilience ? oui ? non Ultrasons ? oui ? non

2. Question 2 Lessai de rsilience mesure :

? la rsistance lectrique ? la rsistance aux chocs ? la rsistance la corrosion ? lage du capitaine ? la mallabilit

3. Question 3 Pour mener bien une tude de RDM, nous avons besoin de formuler des hypothses. Cochez les bonnes hypothses. Le matriau doit tre :

? isotrope ? homogne ? continu ? indformable




4. Question 4 Cochez la rponse qui nest pas une sollicitation :

? cisaillement ? traction ? compression ? contrainte normale ? torsion

5. Question 5

{ }Rz

y

G

coh

TT

=

00

00

? flexion ? traction / compression ? cisaillement ? torsion

{ }RG

coh

N

=

00

0

00


{ }R

f

z

y

G

coh

M

TT

=

00

0


{ }Rfz

fy

G

coh

MM

=0

000





6. Question 6 Cochez la ou les bonne(s) rponse(s). Une contrainte cest :

? une valeur absolue ? une pression ? un vecteur ? une valeur algbrique ? une densit de forces

7. Question 7 Soit une poutre soumise de la flexion. Cochez la section de la poutre qui donnera les contraintes les plus faibles.

? solution (1)

? solution (2)

? solution (3) N.B. Les sections sont gales dans les trois solutions

A

A F

Section A-A

(1) (2)

(3)




8. Question 8 Soit une poutre soumise une sollicitation de traction. Parmi les trois propositions de forme, quelle est selon vous la meilleure solution et la plus mauvaise.

? la meilleure ? acceptable ? la plus mauvaise



9. Question 9 Soit une poutre soumise une sollicitation de traction. Parmi les trois propositions de forme, quelle est selon vous la meilleure solution et la plus mauvaise.




F

F

F

F F

F F

F F




10. Question 10

11. Question 11




12. Question 12

1 2

3 4

5

6 7

8

9

10

11

1 Sollicitation applique un plongeoir 2 A les mmes caractristiques mcaniques dans toutes les directions 3 Indispensable aux archers 4 Matriaux base de fer 5 Quand on dpasse la limite lastique 6 de contraintes 7 Rsistance aux chocs 8 Densit de forces 9 Matriaux en anglais 10 Quand on tire dessus (sollicitation) 11 Forme que prend la pice pendant les sollicitations.







TORSEUR DE COHESION




SOMMAIRE

1. TORSEUR DE COHESION.................................................................................................................................................................4 1.1 EFFORTS INTERIEURS......................................................................................................................................................................... 4 1.2 COMPOSANTES DES EFFORTS INTERIEURS...................................................................................................................................... 5 1.3 TORSEUR DES EFFORTS INTERIEURS (TORSEUR DE COHESION)................................................................................................... 5 1.4 SOLLICITATIONS SIMPLES ET COMPOSEES...................................................................................................................................... 6




1. Torseur de cohsion

Soit une poutre en quilibre sous leffet dactions mcaniques extrieures (poids, actions de contact). En RDM, les efforts extrieurs appliqus la poutre engendrent des efforts intrieurs la poutre.

En procdant une coupure fictive de la poutre et en isolant une des deux parties (la gauche par exemple), les actions mcaniques que la partie droite exerce sur la partie gauche sont ds lors des actions extrieures. La partie gauche considre tant en quilibre, lapplication du Principe Fondamental de la Statique permet de modliser ces efforts intrieurs par un torseur, appel ici torseur de cohsion.

1.1 Efforts intrieurs

Principe fondamental de la statique :

( )

=

=

=

=

n

ii

n

ii

FM

F

1

1

0

0

rr

rr

v On isole la poutre :

La poutre est en quilibre : ( ) ( ) ( ) ( )

=+++

=+++

0

0

4321

4321rrrrr

rrrrr

FMFMFMFM

FFFF

GGGG

v On isole le tronon de gauche :

Le tronon de gauche est en quilibre : ( ) ( )

=++

=++

0

0

1221

1221

rrrr

rrrr

GGG MFMFM

RFF

1Fr

2Fr

4Fr

3Fr

S

G

1Fr

2Fr

G

12Rr

12GMr

S




Par identification :

( ) ( )432112 FFFFRrrrrr

+=+-=

( ) ( ) ( ) ( )

+=

+-= 432112 FMFMFMFMM GGGGG

rrrrr

1.2 Composantes des efforts intrieurs

++=

++=

zMyMxMM

zTyTxNR

fzfyTG

zy

rrrr

rrrr

12

12

Nr

: effort normal, port par la ligne moyenne x ( xRN Grr

= 12 )

zy TTTrrr

+= : effort tranchant, perpendiculaire la ligne moyenne

TMr

: moment de torsion, port par la ligne moyenne x

fzfyf MMMrrr

+= : moment flchissant, perpendiculaire la ligne moyenne.

1.3 Torseur des efforts intrieurs (torseur de cohsion) La liaison entre les deux tronons est une liaison encastrement. Laction mcanique du tronon droit sur le

tronon gauche peut donc tre modlise par un torseur (torseur de cohsion { }Gcoh ) de rsultante 12Rr

et

de moment rsultant 12GMr

au point G.

Par convention, on prendra toujours pour { }Gcoh laction mcanique de la partie droite sur la partie gauche :

{ } { }GcohGcoh 12

= .

12Rr

= - somme des efforts gauche de la section S = ( )21 FFrr

+-

12GMr

= - moment rsultant en G des efforts gauche de S = ( ) ( )

+- 21 FMFM GG

rr

fyMr

TMr

fzMr

yTr

Nr

zTr

x z

y

G




{ } { }( )zyxfz

fy

T

z

y

GGG

GcohGcoh

MMM

TTN

M

R

,,12

1212

=

== r

r

1.4 Sollicitations simples et composes

Si une seule composante N , T , TM ou fM existe, alors que toutes les autres sont nulles, on dit que lon a une sollicitation simple. Si deux composantes au moins sont non nulles, on dit que lon a une sollicitation compose. Le tableau page suivante rsume les diffrents cas de sollicitations les plus courants.





Composantes

Cas Exemple

N

T

TM

fM

Observations

TRACTION

N 0 0 0

CISAILLEMENT

0 T 0 0

TORSION

0 0

TM

0

FLEXION PURE

0 0 0 fzM

Sollicitations simples

FLEXION SIMPLE

0 yT

0

fzM

FLEXION+TRACTION

N

yT

0

fzM

FLEXION+TORSION

0 yT

TM

fzM

FLAMBAGE

N 0 0

fzM

Sollicitations composes

x y

Fr

-

x y

Fr

MM-x

y

x y

Fr

Fr

-

M M-

Fr

Fr

-

x y M M-




FLEXION DEVIEE

0

yT

zT

0

fzM

fyM

x y

Plan (x,y)

G






NOTION DE CONTRAINTE




SOMMAIRE

1. CONTRAINTES ......................................................................................................................................................................................4 1.1 NOTION DE CONTRAINTE.................................................................................................................................................................. 4

1.1.1 A quoi sert le calcul des contraintes ?..................................................................................................................................4 1.1.2 Peut-on observer une contrainte ?........................................................................................................................................5 1.1.3 Quels sont les paramtres qui influencent les contraintes ?.............................................................................................5

1.2 CONCENTRATION DE CONTRAINTES................................................................................................................................................ 5 1.3 NOTIONS SUR LES COEFFICIENTS DE SECURITE.............................................................................................................................. 6




1. Contraintes

1.1 Notion de contrainte

Remarque : =D 1212 Rf irr

= somme des ifr

D pour toute la coupure

Dfinition : on appelle contrainte ( )nM r,s en M, dans la direction nr , la limite lorsque DS tend vers zro, du rapport entre leffort 12if

rD et laire DS entourant le point M.

Autrement dit : ( )S

fnM i

S D

D=

D

12

0lim,

rr

s

Remarque : les projections de ( )nM r,s sur les directions nr et tr donnent respectivement les contraintes normale s et tangentielle t. 1.1.1 A quoi sert le calcul des contraintes ?

Exprimentalement, on a dfini pour chaque matriau un contrainte limite admissible au-del de laquelle la pice subit des dtriorations de ses caractristiques mcaniques, dimensionnelles, voire une

1Fr

2Fr

4Fr

3Fr

S

G M n

r

tr

tr

nr

12ifr

D

DS M

Passage la limite ( 0DS )

tr

nr

( )nM r,s

DS M

t

s

Contrainte normale s

( ) ( ) asss cos,, nMnnM rrr == Contrainte tangentielle t

( ) ( ) asst sin,, nMtnM rrr ==

a




rupture. Le calcul de la rsistance des matriaux consiste vrifier que les contraintes engendres par les sollicitations extrieures ne dpassent pas la contrainte limite admissible par le matriau. Le calcul des contraintes sert valuer la tension dans la matire. 1.1.2 Peut-on observer une contrainte ?

Une contrainte est un outil de calcul, on ne peut pas lobserver directement, par contre on peut observer ses effets : tude des dformations, tude de la cassure, photolasticit. A laide de ces trois mthodes, on peut valuer les contraintes dans un matriau, mais le rsultat obtenu est moins prcis que celui rsultant dun logiciel de calcul par lments finis. 1.1.3 Quels sont les paramtres qui influencent les contraintes ?

Nous avons vu dans ce qui prcde que la contrainte est le rapport dune force par une surface. Les paramtres qui influencent directement une contrainte sont donc les sollicitations et la section de la poutre.

1.2 Concentration de contraintes

Une contrainte est un effort par unit de surface qui sexerce dans le matriau. Une contrainte sexprime en MPa (Mga-Pascal, 1 MPa = 1 N/mm2). Imaginons un solide soumis une contrainte de 100 MPa : cela revient dire quun effort de 100 N est appliqu sur une surface de 1 mm2. La contrainte dpend de la valeur de la charge applique et de la section concerne du solide. Pour une mme charge, la contrainte sera dautant plus grande que la section est faible, et inversement. Le phnomne de concentration de contraintes est mis en vidence ci-aprs, au travers dexemples de calcul de contraintes raliss avec un logiciel de calcul par Elments Finis (RDM Le Mans).

Dans lexemple ci-dessus, nous avons une poutre soumise de la traction. Lchelle de couleurs visualise lintensit de la contrainte dans le matriau. On remarque que la couleur est uniforme (bleu pour ceux qui ont la couleur), la contrainte est donc identique en tout point de la poutre.




Mme essai, avec la mme poutre mais perce. Cette fois, on remarque que la contrainte nest plus rgulire, elle est plus importante au niveau du trou. En effet, la section tant plus petite pour le mme effort, la contrainte augmente.

La mme poutre est maintenant soumise de la flexion pure. Elle est encastre gauche et soumise un effort ponctuel son extrmit droite. Nous remarquons alors que la contrainte est plus importante au niveau de lencastrement et du point dapplication de la charge. On note galement que la ligne moyenne nest presque pas charge par rapport au reste de la poutre.

1.3 Notions sur les coefficients de scurit

Pour quune structure (machine, vhicule, immeuble) puisse supporter en toute scurit les charges qui normalement la sollicitent, il suffit quelle puisse rsister des charges plus leves. La capacit supporter ces charges sappelle la rsistance de la structure. Le coefficient de scurit s est alors dfini par :

ncessairetstrictemencersisstructureladerellecersis

exercesmenthabituelleeschstructurelaparsadmissibleesch

stantan

argarg

==

(Par exemple, on peut exiger une rsistance relle gale deux fois la rsistance strictement ncessaire).




Le choix de la valeur de s dpend de la connaissance (ou non) des phnomnes agissant sur la

structure : surcharges ventuelles, chocs, type et degr de prcision des charges (statiques, dynamiques, rptes), phnomnes de fatigue, concentrations de contraintes, connaissance et variation des proprits du matriau, qualit de la fabrication, effets de lenvironnement, lubrification, mode de rupture (progressive ou brutale), consquences dune rupture sur lenvironnement (dgts matriels, humains, pollution). Un coefficient de scurit trop faible augment exagrment les risques de rupture. Un coefficient de scurit trop lev a galement des effets nfastes : augmentation du poids, du prix de revient s varie le plus souvent de 1 10.

Pour un grand nombre de structures, la scurit est obtenue si, sous charge, les dformations du matriau restent lastiques. Ceci est ralis lorsque les contraintes en nimporte quel point de la structure restent infrieures la limite lastique Re (ou Re0.2) du matriau. S est alors dfini par :

)tan(intlimRe

pratiquecersisstructureladanstolreecontramatriaudulastiqueite

Rps ==

Pour des matriaux fragiles, il est souvent prfrable dutiliser la rsistance la rupture Rr :

structureladanstolreecontramatriaudurupturelaite

RpRr

sint

lim==

(La valeur de s est alors plus grande dans ce cas)

Valeurs indicatives

s Charges exerces sur la structure

Contraintes dans la structure

Comportement du matriau

Observations

1 < s < 2 rgulires et connues

connues test et connu fonctionnement constant sans -coups

2 < s < 3 rgulires et assez bien connues

assez bien connues

test et connu moyennement

moyennement connues

moyennement connues

non test 3 < s < 4

mal connues ou incertaines

mal connues ou incertaines

connu

fonctionnement usuel avec lgers chocs et surcharges modres







ESSAIS MECANIQUES




SOMMAIRE

1. ESSAIS MECANIQUES ........................................................................................................................................................................4 1.1 ESSAI DE TRACTION........................................................................................................................................................................... 4

1.1.1 Caractristiques fondamentales............................................................................................................................................6 1.2 ESSAI DE TRACT ION BIAXIAL............................................................................................................................................................ 6 1.3 ESSAI DE COMPRESSION.................................................................................................................................................................... 7 1.4 ESSAI DE CISAILLEMENT ................................................................................................................................................................... 7 1.5 ESSAI DE TORSION.............................................................................................................................................................................. 7 1.6 ESSAI DE FLEXION.............................................................................................................................................................................. 8 1.7 ESSAI DE DURETE............................................................................................................................................................................... 8 1.8 ESSAI DE RESILIENCE......................................................................................................................................................................... 9 1.9 PHOTOELASTICIMETRIE..................................................................................................................................................................... 9 1.10 JAUGES DE DEFORMATIONS (EXTENSOMETRIE)........................................................................................................................... 10 1.11 RADIOGRAPHIE................................................................................................................................................................................. 10 1.12 ULTRASONS ...................................................................................................................................................................................... 10




1. Essais mcaniques On distingue essentiellement deux types dessais mcaniques : F les essais destructifs sur prouvette : la pice est dtruite pendant lessai ; F les essais non-destructifs : la pice nest pas dtruite. Ces essais sont utiliss sur les pices complexes, chres et difficiles raliser, mais galement pour valider une hypothse de travail ou un modle dtude. Nous allons voir dans ce qui suit un certain nombre dessais mcaniques, destructifs ou non. Lessai de traction sera quant lui plus particulirement dtaill, puisque cest lessai le plus couramment rencontr. Vous aurez dailleurs la joie immense (si, si) de raliser un essai de traction lors de lune des sances de Travaux Pratiques.

1.1 Essai de traction

Lessai de traction permet lui seul de dfinir les caractristiques mcaniques courantes utilises en RDM. La seule connaissance des paramtres de lessai de traction permet de prvoir le comportement dune pice sollicite en cisaillement, traction, compression et flexion. Les trois photos ci-contre reprsentent respectivement une prouvette plate, une prouvette cylindrique et un dtail dune prouvette cylindrique monte dans des mors dune machine de traction.




Lessai est ralis sur une machine de

traction (photo ci-contre) : on applique lentement et progressivement une prouvette de forme et dimensions normalises, un effort de traction croissant dont lintensit varie de 0 F.

Le graphe ci-dessus reprsente la courbe classique (conventionnelle) de traction dun matriau ductile : Zone lastique OA : lprouvette se comporte lastiquement (comme un ressort) et revient toujours sa longueur initiale ds que la charge est relche. Le point A, auquel correspond la limite lastique Re, marque la fin de cette zone. La proportionnalit entre la contrainte s et la dformation e se traduit par la loi de Hooke ( es E= ). 'tana=E caractrise la pente de la droite OA et es E= son quation. Zone de dformation plastique AE : on distingue encore trois zones BC, CD et DE. Dans la zone BC, parfaitement plastique, la contrainte reste constante et lallongement se poursuit jusquen C. Entre C et D, zone dcrouissage, le matriau subit un changement de structure qui accrot sa rsistance. Le point D, auquel correspond la rsistance maximale Rm, marque la fin de cette zone. Enfin, entre D et E, lprouvette subit une striction amenant une diminution de la section avec tranglement. La rupture se produit au point E, auquel correspond la rsistance la rupture Rr. Remarque : la courbe en trait discontinu correspond la courbe de traction vraie. A quoi correspond-elle ? Vous pouvez dj commencer y rflchir pour prparer la sance de Travaux Pratiques sur la machine de traction. Indices : que se passe-t-il (dautre) lorsque lprouvette sallonge ? Quenregistre la machine de traction ? Nota Bene : vous avez le droit dappeler un ami...

Rm




La courbe ci-contre reprsente quant elle le comportement dun matriau fragile. Dans ce cas, la courbe se rduit presque la zone de dformation lastique. 1.1.1 Caractristiques fondamentales

Limite lastique 0

ReSFe

=

Re limite lastique en MPa Fe charge maxi lastique en N

0S section initiale en mm2

Rsistance la rupture 0S

FrRr =

Rr rsistance la rupture en MPa Fr charge la rupture en N

0S section initiale en mm2

Allongement relatif 0

0%L

LLA u

-= u

L longueur ultime aprs rupture en mm

0L longueur initiale en mm

Allongement 0LLD

=e 0LLL -=D allongement en mm

0L longueur initiale en mm e allongement (ou dformation)

1.2 Essai de traction biaxial Il est possible de tester des pices en ralisant deux essais de traction en mme temps. Avec le montage ci-contre, on teste des fibres en traction simultanment dans deux sens diffrents. Ces fibres intgreront sans doute un matriau composite.




1.3 Essai de compression Les photos ci-contre montrent un essai de compression sur des chantillons de bton.

1.4 Essai de cisaillement Le dispositif ci-contre permet dtudier la rsistance au cisaillement des diffrentes couches dun sol.

1.5 Essai de torsion La photo ci-contre reprsente une prouvette aprs un essai de torsion. Lessai de torsion permet notamment de dterminer le module dlasticit transversal ou module de Coulomb (G).




1.6 Essai de flexion La photo ci-contre reprsente un essai de flexion longitudinale sur un tuyau en fonte ductile. (photo PONT-A-MOUSSON)

1.7 Essai de duret Cet essai est destin vrifier la duret superficielle dune pice. Il consiste indenter la surface de la pice tester laide dun pntrateur sphrique (duret Brinell), conique (duret Rockwell) ou pyramidal base carre (duret Vickers) sur lequel on applique une charge connue. La mesure de laire de lempreinte, rapporte la charge applique permet de dduire la duret.

Machine universelle (1 250 kg)




1.8 Essai de rsilience Les paramtres de tnacit dtermins par lessai de traction nont plus de sens lorsque la charge sapplique trs rapidement. On parle de choc lorsque la dure dapplication de la charge est de lordre du 1/100 de seconde. La rsistance au choc ou rsilience est caractrise par le quotient de lnergie ncessaire pour rompre lprouvette en un seul coup par la surface de la section rompue. Les photos ci-contre et ci-dessous reprsentent respectivement la machine dessai (Mouton de Charpy) et une prouvette entaille en U.

1.9 Photolasticimtrie La photolasticimtrie permet une tude dtaille des rgions charges. On y observe les zones diso-contraintes ainsi que leur progression. Cette mthode est trs efficace pour ltude des concentrations de contraintes comme : les trous, les encoches, les paulements Pour modliser lobjet de ltude, on utilise une matire plastique transparente. Un systme optique spcial (polariscope) permet dobserver les variations de contraintes avec les modifications de couleurs de la pice. Ci-contre, un exemple dune visualisation des contraintes au niveau du contact entre deux dents dun engrenage : les zones trs colores subissent les contraintes les plus leves.




1.10 Jauges de dformations (extensomtrie) Lutilisation de jauges est la mthode exprimentale la plus usite pour vrifier les rsultats thoriques. Les jauges sont colles directement sur la surface tudier et mesurent les dformations en un point donn . Les contraintes sont alors dduites par les lois de la RDM. Sur la photo ci-contre, les deux jauges sont situes au mme point, mais dans orientes selon des directions diffrentes. Ce montage permet de mesurer les dformations dans deux directions 90.

1.11 Radiographie Il est possible de radiographier une pice mcanique comme on le fait en mdecine. Nanmoins, les pices mtalliques ne laissant pas facilement les rayons X les traverser, il faut une quantit de rayons beaucoup plus importante, trs dangereuse pour lhomme. Sur la photo ci-contre, reprsentant une pice de moteur davion, on met en vidence un cric , bulle dair reste lintrieur de la matire lors de la fabrication.

1.12 Ultrasons Les traducteurs du type de la figure ci-contre gnrent, lorsquils sont appliqus sur la surface de la pice tudier, des ultrasons qui se propagent lintrieur du matriau. Ils peuvent alors tre utiliss soit pour dtecter la prsence de fissures lintrieur de la pice, soit pour dterminer les proprits mcaniques du matriau.






TRACTION




SOMMAIRE

1. DEFINITION............................................................................................................................................................................................4 2. EFFORT NORMAL N ...........................................................................................................................................................................5

3. CONTRAINTE NORMALE s ............................................................................................................................................................6 4. CONDITION DE RESISTANCE........................................................................................................................................................7 5. DEFORMATIONS ..................................................................................................................................................................................7

5.1 ALLONGEMENTS................................................................................................................................................................................. 7 5.2 CONTRACTION LATERALE COEFFICIENT DE POISSON n ............................................................................................................ 8

6. RELATION CONTRAINTES - DEFORMATIONS .....................................................................................................................9 6.1 LOI DE HOOKE.................................................................................................................................................................................... 9 6.2 EXEMPLES DE VALEURS DE MODULE DYOUNG ............................................................................................................................ 9 6.3 ESSAI DE TRACTION......................................................................................................................................................................... 10

7. CONCENTRATION DE CONTRAINTES ....................................................................................................................................10 8. CONTRAINTES DANS UNE SECTION INCLINEE................................................................................................................13




1. Dfinition

Une poutre droite est sollicite en traction chaque fois que les actions ses extrmits (A et B) se rduisent

deux forces gales et opposes ( Fr

et Fr

- ), de direction la ligne moyenne (Lm).

Exemple : les deux figures ci-dessous reprsentent une potence murale flche triangule, utilise en manutention pour lever et dplacer des charges.

Tirant 2

Poutre-rail 3

Palan 4

Ft pivotant 1

Cette potence se compose dun palan 4, dune poutre rail 3, dun ft pivotant 1 et dun tirant 2. Le tirant 2 est

soumis une sollicitation de traction : il est soumis laction des deux forces 23Br

et 21Dr

, gales et

opposes, de direction BD, dintensit maximale 6 200 N (intensit atteinte lorsque le palan est lextrme droite. Le tirant 2 est cylindrique, de diamtre d inconnu, de longueur 2.8 m. Il est ralis en acier (rsistance la rupture Rr = 500 MPa, limite lastique Re = 300 MPa). Le diamtre d va tre dtermin dans les paragraphes suivants.

Fr

Fr

-

BA

Lm

B

D

21Dr

23Br

f d




2. Effort normal N

Faisons une coupure fictive dans la poutre prcdente (section droite S, situe une distance x du point A) entre les deux extrmits A et B, de faon faire apparatre les efforts intrieurs dans la poutre. Cette coupure S divise la poutre en deux tronons AG et GB.

Si on isole le tronon AG, la rsultante des actions 1fD , 2fD , , nfD qui sexercent en chaque point

de la coupure par le tronon GB se rduit au seul effort normal Nr

en G (centre de gravit de la section S).

FfffN nrr

=D++D+D= ...21 (direction AGB) On a donc xFN "= Exemple : reprenons le cas du tirant.

daNDBN 20062123 ===

Fr

-

BA

Lm

x

G

Nr

Fr

-

A

G

Fr

Nr

-

A

G

1fDG

nfD

2fD

Fr

x

Section (S)

G 21Dr

Nr




3. Contrainte normale s Divisons la section S prcdente en n petites surfaces lmentaires 1SD , 2SD , , nSD telles que :

nSSSS D++D+D=D ...21

Chaque lment de surface supporte un effort de traction 1fD , 2fD , , nfD parallle la ligne moyenne AB.

Si M1, M1, M1, sont les centres des petites surfaces DS, en chaque point, la contrainte s est dfinie comme la limite du rapport de Df sur DS lorsque DS tend vers 0 :

DD

=D

1

1

01 1lim

Sf

Ss ;

DD

=D

2

2

02 2lim

Sf

Ss ; ;

DD

=D

n

n

Sn Sf

n 0lims

Contrainte normale uniforme : dans le cas gnral, et sauf cas particulier de concentrations de contraintes, on admettra que toutes les contraintes prcdentes sont identiques. On dit qu'il y a rpartition uniforme des contraintes dans la section droite S. Il en rsulte que :

SN

=s

avec s la contrainte normale en MPa N l'effort normal en N S la section droite en mm2 Exemple : reprenons le cas du tirant, en supposant d = 20 mm.

daND 200621 =

22

314420

mmS =

=p

221 .197314

00062 -==== mmNS

DSN

s

1fDM1

nfD

2fDMn

M2 1SD2SDnSD

1sM1

Mn

M2 2sns

M1

Mn

M2

Contrainte normale uniforme

f d 21Dr

SN

=s




4. Condition de rsistance Pour des conditions de scurit lies lusage de lappareil, la contrainte s prcdemment dtermine doit rester infrieure une contrainte limite admissible, appele rsistance pratique lextension Rpe.

La rsistance pratique Rpe est fixe par des normes ou par le constructeur. Dans le cas gnral, Rpe est dfinie partir de la limite lastique Re du matriau, dtermine par lessai de traction.

sRpe

SN

MaxiRe

==s

avec s le coefficient de scurit adopt pour la construction de lappareil. Exemple : reprenons le cas du tirant. Si on impose une contrainte admissible de 100 MPa, dterminons le diamtre d minimal pour la construction de celui-ci, ainsi que le coefficient de scurit adopt. Rappel : effort N = 62 000 N.

v Dtermination du diamtre d : 100

4

000622 == dS

NMaxi p

s do mmd 1.28

v Dtermination du coefficient de scurit : lacier employ a pour caractristiques Re = 300 MPa et Rr = 500 MPa.

sRpe

Re= ou 3

100300Re

===Rpe

s

5. DEFORMATIONS

5.1 Allongements L0 : longueur initiale de la poutre L : longueur finale de la poutre DL : allongement total de la poutre x0 : longueur initiale du tronon x : longueur finale du tronon Dx : allongement du tronon

L0

x0 Dx

x

DL

L

Fr

A0 (S)

(S) A

B0

B

Fr

-




Lexprimentation montre que les allongements sont proportionnels aux longueurs initiales. Lallongement relatif (dformation e) traduit cette proprit :

00 xx

LL D

=D

=e

Exemple : reprenons le cas du tirant. Sous charge, le tirant sallonge de 4 mm. Dterminons la dformation e et lallongement dun tronon de longueur 1m.

v Dformation e : 00143.080024

==e

v Allongement : 00143.00001

=D

=x

e do mmx 43.1100000143.0 ==D

On a donc mmx 43.0011= 5.2 Contraction latrale Coefficient de Poisson n Le coefficient de Poisson n caractrise le rapport entre la contraction latrale ed et lallongement relatif de la poutre eL :

0dd

dD

=e et 0LL

LD

=e

alors L

d

ee

n -=

Dx 1 000 mm Dx x

Dx

2 800 mm Dx

2 804 mm Dx

4 Dx

B0 Dx

D0 Dx

D Dx

B Dx

21Dr

23Br

Fr

-

A

Fr

B0 d0 B d

2dD

2dD

DL L0




6. Relation Contraintes - Dformations

6.1 Loi de Hooke Pour un grand nombre de matriaux, lessai de traction monte quil existe une zone lastique pour laquelle leffort F

r de traction est proportionnel lallongement DL. Autrement dit, le rapport LF D est

constant (analogie avec un ressort xkF = ). Cette proprit est nonce par la loi de Hooke : en dformation lastique, la contrainte normale s est proportionnelle lallongement relatif e :

es E= avec s la contrainte normale (en MPa) e lallongement relatif (sans unit) E le module dlasticit longitudinale ou module dYoung (en MPa) Remarques : le module dlasticit longitudinale E est une caractristique (proprit mcanique intrinsque) du matriau. La loi de Hooke est la RDM ce que la loi dOhm est llectricit. Exemple : reprenons le cas du tirant. (d = 28 mm, s = 100 MPa, E = 200 GPa, L = 2.8 m). Dterminons lallongement du tirant :

0005.0000200

100===

D=

ELL s

e

mmLL 4.180020005.0 ===D e

6.2 Exemples de valeurs de module dYoung Voir tableau page suivante.




6.3 Essai de traction Voir le chapitre consacr aux essais mcaniques.

7. Concentration de contraintes Lorsque les poutres tudies prsentent de brusques variations de sections (trous, gorges, paulements), la relation SN=s nest plus applicable. En effet, au voisinage du changement de section, la rpartition des contraintes nest plus uniforme et prsente des extremums. Le maximum est atteint pour les points situs proximit des variations : on dit quil y a concentration de contraintes en ces points. La valeur de la contrainte est alors donne par :

0ss = tMaxi K avec SN

SF

==0s

Carbures mtalliques E = 55 000 daN.mm-2

Tungstne 42 000 daN.mm-2

Aciers 17 000 28 000 daN.mm-2

Cuivre 12 600 daN.mm-2 Aciers de construction 20 000 22 000 daN.mm-2

Titane 10 500 daN.mm-2

Bronze 10 000 12 000 daN.mm-2

Fonte 10 000 daN.mm-2

Verre 7 000 7 500 daN.mm-2

Laiton 9 200 daN.mm-2

Zinc 8 000 daN.mm-2

Alliage daluminium 7 000 7 500 daN.mm-2

Magnsium 4 500 daN.mm-2

Bton 2 000 daN.mm-2

Bois 1 000 3 000 daN.mm-2

Caoutchouc 0.75 daN.mm-2 Cuir 25 daN.mm-2

Etain 4 000 daN.mm-2

Elastomre 0.3 daN.mm-2

Module dYOUNG




Kt est appel le coefficient de concentration de contraintes. Kt dpend de la forme de la section et du type de la variation (voir tableaux suivants).




Exemple : dterminons Maxis prs de lpaulement, au niveau de la section S, pour la pice propose :

Cas avec contraintes uniformes

Cas de concentration de contraintes

220

.100

42041031 -=

== mmN

SF

ps

220

.100

42041031 -=

== mmN

SF

ps

0ss = tMaxi K

25.0=dr

et 5.1=dD

Le tableau donne alors 5.1=tK

do 2.1501005.1 -== mmNMaxis

Conclusion : la contrainte est maximale la priphrie de (S), pour le diamtre de 20 et a pour valeur

2.150 -= mmNMaxis

Fr

3 141 daN

(S)

Fr

3 141 daN

(S)

MPa1000 =s

f 30 f 20

5

r = 5

Fr

Fr

3 141 daN 3 141 daN

(S)

MPaMaxi 150=s




8. Contraintes dans une section incline Dterminons les contraintes exerces dans une section incline dun angle a (section de normale n

r et

de vecteur tangent tr

).

Lquilibre statique du tronon AG montre que les efforts intrieurs se rduisent FRGrr

= au point G,

barycentre de la section incline. La projection de GRr

sur nr

et tr

donne respectivement leffort normal aN et leffort tranchant aT dans la coupure.

Les contraintes ns

r dans la section sont identiques en tout point et parallles laxe (ligne moyenne) de la

poutre. La projection de nsr

sur nr

et tr

donne respectivement la contrainte normale la coupure as et la

Fr

Coupure oblique

G

nrt

rtr

nr

A

Efforts intrieurs

nsrEffort normal aN

aaa coscos FRN G == Effort tangentiel aT

aaa sinsin FRT G ==

Fr

-B A

Fr

- G a a

FRGrr

=aT

aN

Contraintes

A

Fr

-

tr

nr

a

nsr

as

at

M

0cos =a

S0 00 =t

00 S

F=s




contrainte tangentielle at . En remarquant que acos0 SS = (avec S0 laire de la section droite et S laire de la section incline) et que 00 SF=s :

asaas aaa2

02

00

coscoscos ====SF

SN

SN

aasaa

t aa cossincossin

00

===S

FST

Remarque : la contrainte normale as est maximale pour a = 0 ( 0ss a =Maxi ) et la contrainte tangentielle at

est maximale pour a = 45 ( 20sta =Maxi ) Remarque : lorsque les matriaux ont une rsistance au cisaillement plus faible, la rupture par traction ou compression se produit dans un plan inclin 45, plan o les contraintes de cisaillement at sont maximales. En revanche, si la rsistance la traction est proportionnellement plus faible, la rupture se produit dans une section droite (a = 0).


Fr

Fr

-Cassures types

45

90






CISAILLEMENT




SOMMAIRE

1. DEFINITION - EXEMPLES ................................................................................................................................................................4 2. EFFORT TRANCHANT T...................................................................................................................................................................5

3. CONTRAINTE DE CISAILLEMENT t ..........................................................................................................................................6 3.1 CONTRAINTE TANGENTIELLE UNIFORME........................................................................................................................................ 6

4. CALCUL DES CONSTRUCTIONS ..................................................................................................................................................7

5. DEFORMATION ANGLE DE GLISSEMENT g .......................................................................................................................7 5.1 RELATION ENTRE t ET g .................................................................................................................................................................... 8




1. Dfinition - Exemples Exemple 1 : une superbe cisaille hydraulique est utilise pour couper des ronds, fers et plats de petites dimensions. Elle se compose dun bti 0, dun coulisseau 4 en liaison glissire par rapport au bti, dune lame fixe 2, dune lame mobile 1 et dun vrin hydraulique 5 fournissant leffort de coupe.

Les efforts de cisaillement 31Ar

et 32Br

exercs par les lames sont perpendiculaires la poutre 3 . Le cisaillement de la poutre se traduit par le glissement de la section droite S1 par rapport la section droite S2 qui lui est directement en contact.

Lame 1

Lame 2 3

S2

S1 31Ar

32Br

A

B

Glissement de S2/S1 3231 BA

rr-=

1

2

4

0

3

5

0

A

B




Exemple 2 : trois blocs identiques 1, 2 et 3 de forme paralllpipdique sont colls en chape comme le montre la figure ci-contre.

Lassemblage supporte une charge Fr

suivant son axe de symtrie. Les deux faces colles ABCD et ABCD sont soumises un cisaillement de mme nature que celui de lexemple 1.

2. Effort tranchant T

Pour lexemple du paragraphe prcdent, les actions exerces par S2 sur S1 sont schmatises par un

infinit de forces lmentaires 1fr

D , 2fr

D , , nfr

D qui agissent respectivement sur les surfaces lmentaires

1SD , 2SD , , nSD telles que : nSSSS D++D+D= ...21

La rsultante T

r des forces lmentaires sapplique au point G, barycentre de la section droite S1. T

r est

gale et oppose 31Ar

(Principe Fondamental de la Statique) :

3121 ... AfffT nrrrrr

-=D++D+D= = effort tranchant

31Ar

A

B

nfr

D2fr

D

1fr

D

31Ar

A

G

Tr

S1

C

B B

A A

2

1

3

Fr

C

B

A

1 Fr

D B

A

Joints colls




Exemple : reprenons lexemple 2 avec F = 200 daN. Du fait de la symtrie, les faces ABCD et ABCD supportent le mme effort

tranchant Tr

. Lquilibre du bloc 1 donne :

daNF

T 1002

==

Tr

sapplique aux centres de gravit des surfaces ABCD et ABCD, respectivement G et G.

3. Contrainte de cisaillement t

Si M1, M2, , Mn sont les centres des surfaces lmentaires 1SD , 2SD , , nSD , en chaque point, la contrainte tangentielle t est dfinie comme la limite du rapport fD sur SD lorsque SD tend vers 0 :

{

DD

=D 1

1

01

1

limSf

S

t ; {

DD

=D 2

2

02

2

limSf

S

t ; ... ; {

DD

=D n

n

Sn S

f

n 0

limt

Remarque : 1t , 2t , , nt sont contenues dans le plan de la section droite, contrairement aux contraintes normales s (cas de la traction uniaxiale) qui lui sont perpendiculaires.

3.1 Contrainte tangentielle uniforme

Dans le cas du cisaillement, on suppose que toutes les contraintes tangentielles lmentaires sont identiques : il y a rpartition uniforme des contraintes dans la section cisaille. Il en rsulte que :

ST

=t

avec t la contrainte tangentielle en N.mm-2 T leffort tranchant en N S la section cisaille en mm-2

Pause rcrative : reprenons lexemple 1 de la poutre sectionne par la cisaille hydraulique (toujours superbe au demeurant). Le vrin hydraulique 5 imprime un effort F = 10 000 daN sur la poutre de section circulaire de diamtre 50. Dterminons la contrainte dans la section cisaille :

La section cisaille vaut : 22

9651450

mmS

=p

La contrainte tangentielle est alors : 2.519651

000100 -== mmNSF

t

A

Fr

B

A

B

G G Tr

Tr




4. Calcul des constructions

On utilise le mme raisonnement quen traction pour la plupart des constructions, sauf pour le cas o la rupture est recherche (cas du sectionnement de la poutre par la cisaille par exemple), la contrainte tangentielle t doit toujours rester infrieure la contrainte admissible au cisaillement du matriau tadm ou Rpg :

RpgouST

admtt = avec sg

RpgadmRe

==t

avec Rpg la rsistance pratique au glissement ou au cisaillement en N.mm-2

Reg la limite lastique au cisaillement (analogue Re) en N.mm-2 Rg la limite la rupture par cisaillement (analogue Rr) en N.mm-2 s le coefficient de scurit adopt

Remarque : Reg et Rg sont des donnes obtenues par essais mcaniques sur les matriaux. Pour la plupart des mtaux et alliages, en premire approximation :

2r

gR

R et 2

eeg

RR

Exemple : reprenons lexemple 2 avec AB = AB = 30 mm et BC = BC = 100 mm. Si la contrainte admissible au cisaillement dans le joint coll est de 900 kPa, dterminons la charge F maximale supportable : La section cisaille vaut : 2000310030 mmS ==

Leffort tranchant vaut : 2F

T =

La contrainte de cisaillement sexprime par : 2.9.0000322

-

=== mmNF

SF

ST

t

Do NF 4005

5. DEFORMATION ANGLE DE GLISSEMENT g

On a dj vu dans les exemples prcdents, que dans le cas du cisaillement, les dformations sont caractrises par un glissement des sections droites les unes par rapport aux autres. Le glissement est mesur par langle g appel angle de glissement (unit : radian).




Exemple 1 : un bloc en lastomre est coll entre une laque rigide et un support fixe. La plaque permet de bien rpartir leffort de cisaillement T sur tout le bloc. Le cisaillement amne un glissement des sections droites successives les unes par rapport aux autres (analogie avec un jeu de cartes que lon tale sur une table). Le glissement peut tre caractris par langle g, appel angle de glissement et tel que : hatg =g Si g est petit : hatg = gg Exemple 2 : reprenons le cas de la poutre sectionne par la cisaille hydraulique. Le glissement de la section droite S1 par rapport la section droite S2 peut tre dfini par un angle de glissement g analogue celui de lexemple 1 prcdent. Remarque : comme dans le cas de la sollicitation de traction, il existe des dformations lastiques (exemple du bloc lastomre) et des dforma tions plastiques (exemple de la poutre cisaille).

5.1 Relation entre t et g Lorsque les dformations sont lastiques, la contrainte de cisaillement t est proportionnelle langle de glissement g. Autrement dit :

gt G= avec t la contrainte tangentielle (en N.mm-2) g langle de glissement (en rad) G le module dlasticit transversale (en N.mm-2) Remarque : cette dernire relation est analogue la loi de Hooke (vu en traction) es E= , avec G constante caractristique du matriau au mme titre que le module dYoung E (pour les mtaux, EG 4.0 ).

a

h

Repos

g T = F

Bloc lastomre

Plaque rigide

Collages

Support fixe

DL (trs petit)

S1 S2

S2 S1

g

31Ar

32Br




( )n+= 12E

G

avec E le module dlasticit longitudinale (ou module dYoung en N.mm-2) G le module dlasticit transversale (ou module de Coulomb en N.mm-2)

n le coefficient de Poisson (sans unit) Exemple : reprenons lexemple du bloc lastomre paralllpipdique (c x b x h) avec c = 50, b = 100 mm et G = 800 kPa. Dterminons g si T = 100 daN et le dcalage a si h = 25 mm.

Contrainte de cisaillement t : 2.2.010050

0001 -=

=

== mmNbc

TST

t

Angle de glissement g : ==== 3.1425.08.02.0

radGt

g

Dcalage a : mmha 4.6tan == g







TORSION




SOMMAIRE

1. DEFINITION - EXEMPLES ................................................................................................................................................................4 2. DEFORMATIONS ANGLE DE TORSION q .............................................................................................................................5

2.1 CONSTATATIONS EXPERIMENTALES................................................................................................................................................ 5 2.2 ANGLE UNITAIRE DE TORSION q ...................................................................................................................................................... 5

3. EFFORTS INTERIEURS MOMENT DE TORSION...............................................................................................................6 4. CONTRAINTES TANGENTIELLES DE TORSION..................................................................................................................6

4.1 EXEMPLES DE VALEURS DE G.......................................................................................................................................................... 7 5. RELATION ENTRE MT ET q .............................................................................................................................................................8

6. RELATION ENTRE t ET MT .............................................................................................................................................................9 7. CALCUL DES CONSTRUCTIONS ..................................................................................................................................................9 8. CONCENTRATION DE CONTRAINTES ....................................................................................................................................10




1. Dfinition - Exemples Une poutre droite est sollicite en torsion chaque fois que les actions aux extrmits (A et B) se rduisent deux couples M et M gaux et opposs daxe la ligne moyenne Lm.

Exemple : tige de tournevis.

M

-M

B

A

ou Mr

-B

A

Mr

Fr

Fr

-

200

A B

A

B

MA

MB = - MA

200

MB = F.A = 24 Nm

M = F.A




2. Dformations Angle de torsion q

2.1 Constatations exprimentales Les sections droites avant dformation restent droites aprs dformation (planes et perpendiculaires la ligne moyenne). Les fibres ou gnratrices initialement parallles la ligne moyenne senroulent suivant des hlices autour de cet axe. La longueur des fibres restent sensiblement invariable ou constante (hypothse des petites dformations). Les sections droites tournent ou glissent en bloc les unes par rapport aux autres (rotations daxe le ligne moyenne). Les rayons GK restent droits dans le domaine lastique, mais sincurvent dans le domaine plastique.

ax = angle (GK0,GK) = angle de torsion entre les sections droites A et G a = angle (BD0,BD) = angle de torsion de la poutre.

2.2 Angle unitaire de torsion q Si on suppose que les sections droites tournent toutes entre elles de la mme faon, alors langle de torsion entre deux sections droites quelconques est proportionnel la distance entre celles-ci. Autrement dit :

qaa

==XL

x = angle unitaire de torsion

Exemple : reprenons lexemple du tournevis avec M = 24 Nm, si langle de torsion aAB mesur entre A et B est gal 14.6. Dterminons q :

1.073.0200

6.14 -=== mmLAB

ABaq

ou encore 11 .274.118073

.73 -- === mradmp

q




3. Efforts intrieurs Moment de torsion La dmarche reste la mme quaux chapitres prcdents, on pratique une coupure fictive (S) dans la poutre afin de la diviser en deux tronons pour faire apparatre et calculer (statique) les efforts intrieurs ou de cohsion (S est une section droite).

Ltude de lquilibre de lun ou lautre tronon montre que les actions de cohsion se rduisent un couple de torsion MT daxe la ligne moyenne (x), tel que :

MMT = Remarque : dans le cas de la torsion, tous les autres efforts intrieurs sont nuls (N = T = Mf = 0).

4. Contraintes tangentielles de torsion En torsion, et dans le cas des petites dformations, les contraintes normales s sont ngligeables. Les contraintes dans la coupure (S) se rduisent des contraintes tangentielles ou de cisaillement t. A partir de la relation t = G g obtenue au chapitre Cisaillement , on montre que la contrainte tM, en un point M quelconque de la coupure (S) est proportionnelle la distance r = GM, entre le point et la ligne moyenne.

G B A

M

-M (S)

x

Tronon 1 Tronon 2

G A

MT

-M (S) Tronon 1

G B

M

(S) -MT

Tronon 2

t = G q r

D

G

M

C

r = GM tM = G q r

Coupure (S)

Section droite

t : contrainte (MPa)

q : angle unitaire de torsion (rad.mm-1)

G : module dlasticit transversal (MPa)

r : rayon GM (mm)




Remarque : tous les points situs sur un mme cercle de centre G et de rayon r ont mme contrainte. Les contraintes sont maximales la priphrie :

tMaxi = G q R pour rMaxi = R Pour les mtaux : EG 4.0

4.1 Exemples de valeurs de G

Exemple : reprenons le cas de la tige de tournevis, G = 80 GPa, q = 73.m-1. Dterminons la contrainte de cisaillement maximale dans la tige. Diamtre de la tige : d = 7 mm do rMaxi =3.5 mm

111 .00127.0.27.118073

.73 --- ==== mmradmradmp

q

do la contrainte 2.3565.327001.000080 -=== mmNG MaxiMaxi rqt

Molybdne G = 117 000 daN.mm-2

Aciers au carbone 79 300 daN.mm-2

Aciers inox 73 100 daN.mm-2

Bryllium + Cuivre 48 300 daN.mm-2 Nickel 48 300 daN.mm-2

Cuivre 44 700 daN.mm-2

Fontes 41 400 daN.mm-2

Bronze et Laitons 40 100 daN.mm-2

Magnsium 16 500 daN.mm-2

Titane 36 000 daN.mm-2

Aluminium et Alliages 26 200 daN.mm-2

Verre 18 200 daN.mm-2

Plomb 13 100 daN.mm-2

Sapin rouge (fibres) 4 140 daN.mm-2

Polythylne 138 378 daN.mm-2

Caoutchouc 4.1 7.6 daN.mm-2

Bton 9 650 daN.mm-2




5. Relation entre MT et q En chaque point M de la coupure sexerce, pour llment de surface DS autour de M, une force lmentaire

Sf D=D tr

dont la direction est perpendiculaire GM.

Le moment en G de cette force est ( ) rD=D=D fGMffMG

Le moment de torsion MT est gal au moment rsultant en G de toutes les forces lmentaires fD de la section (S).

( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

0

22

2

IG

dSGSG

SGSffMM

SS

SSSSGT

q

rqrq

rqrtr

=

=D=

D=D=D=D=

Le terme ( ) 0

2 IGdSS

qr = est le moment polaire de la section (S) par rapport au point G.

Langle unitaire de torsion q est proportionnel au moment de torsion MT : MT = G q I0 avec MT le moment de torsion (Nmm) G le module dlasticit transversal (MPa) q langle unitaire de torsion (rad.mm-1) I0 le moment polaire par rapport au point G (mm4)

f d f D

f d

32

4

0d

Ip

=( )

32

44

0dD

I-

=p

G

-M

Section (S)

TM

M

G

DS

-M

t = r G q




Exemple : reprenons lexemple du tournevis avec MT = 24 Nm, d = 7 mm et G = 80 GPa. Dterminons langle unitaire de torsion.

Moment polaire de la section droite : 444

0 7.235327

32mm

dI ===

pp

Angle unitaire de torsion : 13

0

.27001.07.23500080

10.24 -=

== mmradIG

MTq

6. Relation entre t et MT

A partir des relations t = G q r et MT = G q I0 on peut crire : 0I

MG T==

rt

q

On obtient ainsi : rt0I

MT=

avec t la contrainte de cisaillement (MPa) MT le moment de torsion (Nmm) r le rayon (mm) I0 le moment polaire (mm4) Exemple : reprenons lexemple du tournevis avec MT = 24 Nm, d = 7 mm. Dterminons la contrainte tangentielle et la contrainte tangentielle maximale.

40 7.235 mmI = et

2.1027.235

00024 -== mmNrrt

2.3565.3102102 -=== mmNMaxiMaxi rt

7. Calcul des constructions Sauf pour le cas o la rupture est recherche, la contrainte tangentielle maximale tMaxi doit rester infrieure la rsistance pratique au glissement ou au cisaillement Rpg du matriau. Autrement dit :

Rpg

VI

MI

M TMaxi

TMaxi

==00

rt avec VMaxi =r et sg

RpgRe

=




avec Reg la limite lastique au cisaillement du matriau (MPa) s le coefficient de scurit

Pour les mtaux 2

ReRe g

VI0 est le module de torsion (mm3)

Exemple : pour le tournevis prcdent, on impose une contrainte admissible au cisaillement de 200 GPa. Dterminons la valeur maximale du diamtre d lorsque MT Maxi = 24 Nm.

Contrainte tangentielle maximale : 23

0

.200

16

0002400024 -=

=

= mmNRpgd

VIMaxi p

t

do on tire mmd 5.8

8. Concentration de contraintes Lorsque les arbres tudis prsentent de brusques variations de section (gorge, paulement, trou de perage), les relations prcdentes ne sont plus applicables. Au voisinage du changement de section, la rpartition des contraintes est modifie, tMaxi est suprieure t calcule : on dit alors quil y a concentration de contraintes. Si Kts est le coefficient de concentration de contraintes :

0tt = tsMaxi K avec

=

VI

MT0

0t

f d f D

f d

16

30 d

VI p

=( )

DdD

VI

16

440 -=

p

V = d / 2 V = D / 2




Exemple : dterminons la contrain

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