Cours (Edition3) Typeset

8/18/2019 Cours (Edition3) Typeset

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Cours de Mathématiques Supérieures

Lycée Henri IV

3eédition

Serge Francinou

1994-2007


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Partie AStructures fondamentales


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Chapitre 1

Eléments de théorie des ensembles

Les Mathématiques reposent surl’étude d’objets correspondant à une superposition de concepts.Le mathématicien formule des assertions sur ces objets. Il s’agit de rechercher les assertions vraieset intéressantes.

Toute théorie mathématique repose au départ sur des notions intuitives : c’est notamment le caspour la notion d’ensemble et la relation d’appartenance (∈). Outre ces objets intuitifs, on renonceà toute vérité absolue i.e. on admet avant toute chose un certain nombre d’assertion a priori : cesont les axiomes. La donnée de ces axiomes constituent une théorie (on en verra quelques uns dansle chapitre II.). A l’aide de ces axiomes, et plus généralement de toute assertions vraies, et d’unraisonnement logique (dont les règles seront vues dans le chapitre I.), on peut tenter de démontrerqu’une assertion est vraie (ou fausse). Ces résultats sont appelés le plus souvent :

• théor̀eme ;• proposition (résultat plus faible qu’un théorème) ;• corollaire (conséquence assez immédiate d’une proposition ou d’un théorème ) ;• lemme (résultat intermédiaire dans la démonstration d’un théorème ou d’une proposition).Il existe des assertions dont on ne peut démontrer si elles sont vraies ou fausses : elles sont dites

indécidables. Si une proposition est à la fois vraie et fausse dans une théorie donnée, cette théorieest dite contradictoire. Ces théories présentent peu d’intérêt.

I. Eléments de logique

On supposera dans toute la suite que l’on travaille dans une théorie non contradictoire.

1) Définitions, généralités :

Règle 1 A toute assertion A, on associe une assertion appeĺee non A : non A est vraie si A est fausse ; non A est fausse si A est vraie.

Règle 2 A deux assertions A et B, on associe une assertion (A ou B) qui est vraie si l’une des assertions A et B est vraie et fausse sinon.

Exemple : (A ou non A) est toujours vraie : c’est une tautologie.

Règle 3 A deux assertions A et B, on associe une assertion (A et B) qui est vraie si les deux

assertions A et B sont vraies et fausse sinon.Règle 4 Soient A et B deux assertions. On note (A =⇒ B) pour (non A ou B) et on l’appelle Aimplique B .


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6 CHAPITRE 1. ELÉMENTS DE TH ́EORIE DES ENSEMBLES

Remarque : A la place de A implique B (est vraie) on peut dire aussi

• si A, alors B ;• A est une condition suffisante pour B ;• pour B, il suffit A ;• B est une condition nécessaire pour A ;• pour A, il faut B .

∗ Exemple : Soient a et b deux entiers. Alors

( a = b =⇒ a2 = b2 ) est vraie.

ATTENTION ! Ce n’est pas parce que A =⇒ B est vrai que B est vrai .ex

Règle 5 Soient A et B deux assertions. On note A ⇐⇒ B (appeĺee A équivalente à B) l’assertion :(A =⇒ B) e t (B =⇒ A)

Si A ⇐⇒ B est vraie on dit que les propositions A et B sont équivalentes.Remarque : Pour A et B équivalentes, on dit aussi :

• A si, et seulement si, B ;• A est une condition nécessaire et suffisante (CNS) pour B ;• pour A, il faut et il suffit B .

Remarque : • Si A et B sont équivalentes, alors A et B sont toutes les deux vraies ou toutes lesdeux fausses (et réciproquement).• non (A et B ) équivaut à (non A ou non B ).

non (A ou B) équivaut à (non A et non B ).

• non (A =⇒ B) équivaut à (A et non B ).

2) Quelques principes de démonstration :

Soient A et B deux assertions.

i Preuve de A ou B :

Pour prouver que A ou B est vrai, on pourra supposer que A fausse et prouver B .

∗ Exemple : Admettons que tout entier n ∈ Z s’écrivent de manière unique 2k + r avec k ∈ Z etr = 0 ou 1. Soient a et b dans Z. On suppose que ab est pair. Alors a est pair ou b est pair.

Remarque : Ainsi pour prouver A =⇒ B , on suppose A et on montre B .

ii Principe du syllogysme :

Règle 6 Si A et A =⇒ B sont vraies, alors B est vraie.∗ Exemple : Soient a et b des entiers. On a :

a2 = b2 =⇒ a = ±b

Si a2 = b2 est vraie, alors a = ±b.


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iii La contraposée :

Lorsqu’on veut prouver A =⇒ B , on peut supposer non B et établir non A. Ainsi, on prouvela contraposée : non B =⇒ non A. On résume ainsi :Règle 7 Les assertions A =⇒ B et non B =⇒ non A sont équivalentes.

iv Raisonnement par l’absurde :

Le principe du raisonnement par l’absurde est basée sur la règle suivante : on désire prouver Q.On rajoutte non Q au système d’axiomes (i.e. on suppose Q faux) et on démonstre que l’on aboutità une théorie contradictoire.∗ Exemple : √ 2 n’est pas rationnel. .

v Equivalences :

Pour prouver A ⇐⇒ B, on peut prouver A =⇒ B puis B =⇒ A : c’est un raisonnement pardouble implication .

Si A ⇐⇒ C et C ⇐⇒ B, alors A ⇐⇒ B. Donc pour prouver A ⇐⇒ B , on peut l’établir parplusieurs équivalences successives : c’est un raisonnement par équivalence .

Exemple : 1. Soit λ ∈ C, λ =/ − i. Montrer l’équivalence : λ ∈ R⇐⇒1 + λi1 − λi

= 1.2. Soit f : R −→ R. f est constante si et seulement si f est dérivable et f = 0.Nous verrons plus loin un autre mode de preuve basée sur les propriétés de N : la démonstration

par récurrence.

3) Quantificateurs :

On notera A(x) une assertion dépendant de l’objet x. Soit E un ensemble.

Règle 8 L’assertion (∀x, A(x)) est vraie si et seulement pour tout objet x, l’assertion A(x) est vraie.

L’assertion (∀x ∈ E, A(x)) est vraie si et seulement si pour tout objet x appartenant à E , A(x)est vraie.

∀ est appelé quantificateur universel.Règle 9 L’assertion (∃x, A(x)) est vrai si, et seulement si, il existe un objet x tel que l’assertion A(x) est vraie.

L’assertion (∃x ∈ E, A(x)) est vraie si, et seulement si, il existe un objet x appartenant à E tel que A(x) est vraie.

∃ est appelé quantificateur existentiel.∗ Exemple : Une fonction f : R −→ R est continue en 0 si :

(∀ε > 0) (∃η > 0) (∀x ∈ R) (|x| < η =⇒ |f (x) − f (0)| ε)Règle 10 non (∀x, A(x)) est équivalente à (∃x, non A(x)).

non (∃x, A(x)) est équivalente à (∀x, non A(x)).non (∀x ∈ E, A(x)) est équivalente à (∃x ∈ E, non A(x)).non (∃x ∈ E, A(x)) est équivalente à (∀x ∈ E, non A(x)).

∗ Exemple : f :R

−→R

n’est pas continue en 0 dès que(∃ε > 0) (∀η > 0) (∃x ∈ R) (|x| < η et |f (x) − f (0)| > ε)

Voilà qui achève les règles de logique qui régissent tous les raisonnements qui vont suivre.


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II. Premiers axiomes de la théorie des ensembles

1) Inclusion :

Définition 1 Soient E et F deux ensembles.On dit que F est inclus dans E , si pour tout x ∈ F , x ∈ E . On dit aussi que F est une partie

de E et on note F ⊂ E .Proposition 1 Soient E , F , G trois ensembles.

Si E ⊂ F et F ⊂ G, alors E ⊂ G.Définition 2 Soient E et F deux ensembles.

On dit que E et F sont égaux si E ⊂ F et F ⊂ E . On note E = F .

2) Quelques opérations de construction d’ensembles :

On considèrera comme notion intuitive le fait d’être en nombre fini. On supposera égalementconnue la notion d’entiers naturels. Les axiomes présentés dans ce paragraphe font partie de lathéorie de Zermelo-Fraenkel.

• Ensembles formés par des éléments donnés :Axiome 1 Soient a1,a2,...,an des objets en nombre fini. Il existe un unique ensemble E dont les éléments sont exactement les a1, a2 ,..., an. On note

E = {a1, a2, . . . , an}

Exemple : Si a et b sont des objets mathématiques, {a} est un singleton et si a =/ b, {a, b} est unepaire .

• Partie d’un ensemble définie par une relation :Axiome 2 Soit E un ensemble et A(x) une assertion dépendant d’un objet x de E . Alors, il existe un unique ensemble F inclus dans E tel que

(∀x ∈ E ) (x ∈ F ⇐⇒ A(x))Cet ensemble est noté

F = {x ∈ E, A(x)}∗ Exemple : Soit E = N et A(x) = (2 divise x). Alors F est l’ensemble des nombres pairs.Remarque : Soit F et G deux parties d’un ensemble E . Pour montrer que F = G, on peut montrerl’́equivalence

x ∈ F ⇐⇒ x ∈ G.

Un autre exemple fondamental : le complémentaire.

Définition 3 Soit E un ensemble et F ⊂ E . Alors

S E F = {x ∈ E, x /∈ F }est appelé complémentaire de F dans E.


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Proposition 2 Soient E un ensemble et F et G deux parties de E .

1. On a S

E S

E F = F .2. Si F ⊂ G, S E G ⊂ S E F .3. Si

S E F = S E G, F = G.

• L’ensemble vide :Axiome 3 Il existe un unique ensemble noté ∅ tel que

(∀x) (x /∈ ∅)∅ est appelé ensemble vide.En particulier, on affirme l’existence d’un ensemble.

• Ensemble des parties d’un ensemble :Axiome 4 Soit E un ensemble. Il existe un unique ensemble noté P (E ) tel que

(∀F ) (F ∈ P (E )) ⇐⇒ (F ⊂ E )P (E ) est appelée ensemble des parties de E, on peut écrire

P (E ) = {F, F ⊂ E }C’est cet axiome et le précédent qui permettent de définir les entiers naturels : 0 = ∅, 1 = P (0) ={∅}, 2 = P (P (∅)) = {∅, {∅}} ...

• Intersection et réunion de deux ensembles :Axiome 5 Soient E et F deux ensembles.

Il existe un unique ensemble noté E ∪ F tel que (∀x) (x ∈ E ∪ F ) ⇐⇒ (x ∈ E ou x ∈ F )

E ∪ F = {x, x ∈ E ou x ∈ F } est appelée union de E et F .Définition 4 Soient E et F deux ensembles.

On appelle intersection de E et F l’ensemble

E ∩ F = {x ∈ E, x ∈ F } = {x, x ∈ E et x ∈ F }

Remarque : Soient E , F et G trois ensembles. On aE ∪ F = F ∪ E, E ∩ F = F ∩ E, E ∪ ∅ = E, E ∩ ∅ = ∅

E ∪ (F ∪ G) = (E ∪ F ) ∪ G, E ∩ (F ∩ G) = (E ∩ F ) ∩ G

E ∩ (F ∪ G) = (E ∩ F ) ∪ (E ∩ G) et E ∪ (F ∩ G) = (E ∪ F ) ∩ (E ∪ G)Proposition 3 (Lois de Morgan) Soient F et G deux parties d’un ensemble E . On a

1.S E (F ∪ G) = S E F ∩ S E G

2.S E (F ∩ G) = S E F ∪ S E G

Définition 5 Soient E et F deux ensembles.

On appelle différence de E et F l’ensemble

E \F = {x ∈ E, x /∈ F }


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3) Limites dans la construction des ensembles :

On peut se demander si les opérations que l’on s’est autorisé pour la construction d’ensemblesne sont pas limitatives. L’expérience prouve jusqu’à aujourd’hui que l’on a choisi le bon cadre. Onpourrait par exemple se demander s’il ne serait pas plus judicieux de considérer des ensembles dutype

{x, A(x)}En fait, si on prend cet axiome, on obtient une théorie contradictoire : Soit E = {x, x /∈ x}. AlorsE /∈ E et E ∈ E !Remarque : Une illustration : Imaginons un barbier qui décide de raser tous les hommes ne se rasentpas eux mêmes. Doit-il se raser lui-même ?

III. Applications

1) Généralit́es :

La théorie des ensembles permet de définir à partir des axiomes précédents la notiond’application, mais afin de ne pas surcharger ce cours, nous l’introduirons de manìere intuitivepar la définition suivante :

Définition 6 Une application (ou fonction) f est la donnée de deux ensembles E et F et d’un ”procédé” qui associe à tout élément x ∈ E un unique élément y ∈ F noté f (x) et appelé image dex par f .

Dans ces conditions, f est appelée application de E dans F . E est l’ ensemble de définition def , et F est l’ ensemble d’arrivée de f .

f est not́ee f : E −→ F , ou f : x ∈ E −→ f (x) ∈ F , ou encore E −→ F

f : x −→ f (x)Définition 7 Soient f : E −→ F , y ∈ F et x ∈ E .

On dit que x est un ant́ecédant de y si y = f (x).

Remarque : Deux fonctions f et g sont donc égales si et seulement si elles ont même ensemble dedéfinition E , même ensemble d’arrivée et si pour tout x ∈ E , f (x) = g(x).Convention : Etant donné un ensemble F , il existe une unique application de ∅ dans F appeĺeeapplication vide .

Définition 8 Soient E et F deux ensembles. On note F (E, F ) l’ensemble des applications de E dans F . Si E = F , on note F (E ) au lieu de F (E, E ).En particulier, nous admettons qu’un tel ensemble existe.

Définition 9 Soit E un ensemble. On appelle application identique de E , l’application

E −→ E I E : x −→ x

Définition 10 Soient A ⊂ E et F des ensembles, f : E −→ F , g : A −→ F .On dit que g est la restriction de f à A dès que

(∀

x ∈

A) (g(x) = f (x))

On note alors g = f |A.On dit que f constitue un prolongement de g si f |A = g.


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2) Composition des applications :

Définition 11 Soient E , F et G trois ensembles, f : E −→ F , g : F −→ G.On appelle application composée de f et g la fonction

E −→ Gg ◦ f : x −→ g(f (x))

Proposition 4 Soient f : E −→ F , g : F −→ G, h : G −→ H . Alors 1. (h ◦ g) ◦ f = h ◦ (g ◦ f )2. f ◦ I E = f et I F ◦ f = f .

Remarque : En général, f ◦ g =/ g ◦ f .

3) Injection, surjection et bijection :

Définition 12 Soit f : E −→ F .1. On dit que f est injective si

(∀(x, x) ∈ E 2) (f (x) = f (x) =⇒ x = x)2. On dit que f est surjective si

(∀y ∈ F ) (∃x ∈ E ) (y = f (x))3. On dit que f est bijective si f est à la fois injective et surjective.

Remarque : f est injective si et seulement si

(∀(x, x) ∈ E 2) (x =/ x =⇒ f (x) =/ f (x))Exemple : • I E est bijective.

• Soit F ⊂ E . Alors j : x ∈ F −→ x ∈ E est appelée l’injection canonique de F dans E • Soit E un ensemble et f : F ∈ P (E ) −→

S E F ∈ P (E ) est une bijection.∗ Exemple : exp : R −→ R∗+ est une application bijective.

sin : R −→ [−1, 1] est surjective mais non injective.sin : [−π2 , π2 [−→ R est injective mais non surjective.

Proposition 5 Soient f : E −→ F et g : F −→ G.1. Si f est g sont injectives, alors g ◦ f est injective.2. Si f est g sont surjectives, alors g ◦ f est surjective.3. Si f est g sont bijectives, alors g ◦ f est bijective.

4) Application réciproque :

Définition 13 Soient f : E −→ F une application bijective.Alors l’application qui a tout y ∈ F associe l’unique x ∈ E tel que y = f (x) est appelée

application réciproque de f . Elle est notée f −1.

Proposition 6 Soit f : E −→ F .1. Si f est bijective, on a f −1 ◦ f = I E et f ◦ f −1 = I F .2. Si g ◦ f = I E et f ◦ g = I F , alors f est bijective et f −1 = g.

Exemple : Soit E un ensemble et f : F ∈ P (E ) −→S E F ∈ P (E ). Alors f −1 = f . On dit que f

est une involution.


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Proposition 7 Soient E , F et G trois ensembles et f : E −→ F et g : F −→ G deux bijections.1. I −

1E = I E .

2. (g ◦ f )−1 = f −1 ◦ g−1.3. (f −1)−1 = f .

5) Image directe, image réciproque :

Définition 14 Soient f : E −→ F , A ⊂ E et B ⊂ F .L’ image de A par f est

f (A) = {y ∈ F, (∃x ∈ A)(y = f (x))} = {f (x) ∈ F, x ∈ A}

L’image de f est f (E ).

L’ image réciproque de B par f est

f (B) = {x ∈ E, f (x) ∈ B}

Remarque : Si f est bijective, f (B) = f −1(B).Notation : On note parfois f −1(B) pour f (B).

Proposition 8 Soit f : E −→ F .1. Les deux propositions suivantes sont équivalentes :

(i) f injective

(ii) Pour tout y ∈ F , f ({y}) est soit vide , soit réduit à un seul élément.2. Les deux propositions suivantes sont équivalentes :(i) f surjective

(ii) f (E ) = F

6) Résoudre une équation :

On se donne deux applications f et g et on se demande s’il existe des objets x dans l’ensemblede départ de f et de g vérifiant f (x) = g(x). Cela s’appelle résoudre l’équation

(E ) f (x) = g(x).

Tout d’abord, il convient de préciser le domaine de validité de (E ).

On peut ensuite raisonner• par équivalence.ou

• par analyse synthèse (ou double implication) : on prend x solution. On regarde ce que celadonne pour x (c’est l’analyse). Ensuite, on vérifie que les x trouvé conviennent : c’est la synthèse.

Ensuite, on peut essayer d’isoler x dans un unique membre pour se ramener à une équation dutype F (x) = a. L’équation revient alors à trouver l’image réciproque du singleton {a}∗ Exemple : Trouver les x ∈ R tels que √ x2 − 2x = x − 3.

IV. Familles et produit cartésien


Définition 15 Soit I un ensemble.


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On appelle famille indixée sur I toute application x définie sur I . Si i ∈ I , on notera l’image de i xi au lieu de x(i) et (xi)i∈I au lieu de x. I constitue alors l’ensemble des indices. xi est l’́eĺement d’indice i.

Si J ⊂ I , (xi)i∈J (i.e. la restriction de x à J ) est une sous-famille de (xi)i∈I .Remarque : Considérons deux familles x = (xi)i∈I et y = (yi)i∈I . Alors x = y si, et seulement si∀i ∈ I , xi = yi.Exemple : • Supposons que I = {1, 2, . . . , n}. Les familles indicées par I sont appelées des n−uplets.On les note (xi)i∈I = (xi)1in = (x1, x2, . . . , xn).

• Si I = N ou plus généralement une partie de N, les familles sont appelées des suites.• Soit E un ensemble. Considérons x : a ∈ E −→ a ∈ E . Alors la famille x est not́ee x = (a)a∈E

et est la famil le canoniquement associé à E .

2) Intersection et réunion d’une famille de parties :

Définition 16 Soit E un ensemble, (E i)i∈I une famille de parties de E (i.e. les E i sont des parties de E ). La ŕeunion des E i est constituée des éléments de x ∈ E tel qu’il existe i ∈ I tel que x ∈ E iet l’ intersection des E i est constituée des éléments x tel que pour tout i ∈ I , x ∈ E i.

i∈I E i = {x, (∃i ∈ I )(x ∈ E i)} et

i∈I

E i = {x, (∀i ∈ I )(x ∈ E i)}

Si I = {1, 2, . . . , n}, on note la réunion des E in

i=1 E i et l’intersection n

i=1 E i.

Exemple : Soit A ⊂ P (E ). Alors (F )F ∈A est une famille d’ensembles. F ∈AF est l’ensemble des

x ∈ E tel qu’il existe F ∈ A avec x ∈ F . F ∈A F est l’ensemble des x ∈ E tel que pour tout F ∈ Aon a x ∈ F .Proposition 9 Soit E un ensemble, (Ai)i∈I une famille de parties de E , A ⊂ E . On suppose I non vide.

1. A ∩i∈I Ai = i∈I (A ∩ Ai)2. A ∪i∈I Ai = i∈I (A ∪ Ai)3. A\i∈I Ai = i∈I (A\Ai)4. A\i∈I Ai = i∈I (A\Ai)

Exemple : A ∩ (B ∪ C ) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C ) et A ∪ (B ∩ C ) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C ).Corollaire 1 Soit E un ensemble, (Ai)i

∈I une famille de parties de E .

1.S E i∈I Ai = i∈I S E Ai

2.S E

i∈I Ai =

i∈I S E Ai

Définition 17 Soit E un ensemble, F ⊂ E , (Ai)i∈I une famille de parties de E . On dit que (Ai)i∈I est un recouvrement de F si

F ⊂i∈I

Ai

Exemple : ({0, 1, . . . , n})n∈N constitue un recouvrement de NDéfinition 18 Soit E un ensemble, (Ai)i∈I une famille de parties de E .

On dit que (Ai)i∈I est une partition de E si (Ai)i∈I est un recouvrement de E et si pour tout i ∈ I , j ∈ I , i =/ j , on a Ai ∩ A j = ∅.Exemple : Soit A ⊂ E . Alors (A,

S E A) est une partition de E .


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Proposition 10 (Formules d’associativité) Soient (J k)k∈K un recouvrement de l’ensemble I ,

(Ai)i∈I une famille de parties de E . Alors 1. Alors

i∈I Ai =

k∈K

i∈J k Ai

2. Alors

i∈I Ai =

k∈K

i∈J k Ai

3) Produit cartésien :

Définition 19 Soit (E i)i∈I une famille d’ensembles de réunion E .On appelle produit cartésien des E i l’ensemble des familles (xi)i∈I indexées sur I à éĺements

dans E tel que

(∀i ∈ I )(xi ∈ E i)Il se note i∈I E i.Notation : Si les E i sont tous égaux à E , on note leur produit cart́esien E I . Dans ce cas là,E I = F (I, E ).

Si I = {1, 2, . . . , n}, i∈I E i se note aussi ni=1 E i, ou encore E 1 × E 2 × . . . × E n. Si les E i sonttous égaux à E , il se note E n.Remarque : a priori rien ne nous assure que si les E i sont tous non vides alors

i∈I E i =/ ∅.

Généralement, ce fait là est admis et il porte le nom d’axiome du choix.Exemple : R3

Remarque : Représentation garphique d’un produit E × F Remarque : ({x} × F )x∈E est une partition de E × F . (E × {y})y∈F est une partition de E × F .

4) Graphe d’une fonction :Définition 20 Soit f : E −→ F .

On appelle graphe de f la partie de E × F définie par {(x, y) ∈ E × F, y = f (x)}.Exercice : Si f est bijective, comment obtient-on le graphe de f −1 à partir de celui de f ?Définition 21 Soit A ⊂ E × F .

On dit que A est un graphe fonctionnel s’il existe une fonction f : E −→ F tel que A soit le graphe de f .

Proposition 11 Soit A ⊂ E ×F . A est un graphe fonctionnel si, et seulement si, pour tout x ∈ E ,il existe un unique y ∈ F tel que (x, y) ∈ A.Remarque : En fait, dans les exposés de théorie des ensembles, on introduit la notion de fonction

par l’intermédiaire du graphe fonctionnel.

V. Relation d’équivalence

1) Relation binaire :

Définition 22 Soit E un ensemble. On appelle relation binaire sur E toute partie R de E × E .On dit que x ∈ E est en relation avec y ∈ E si (x, y) ∈ R et on note xRy.exExemple : Sur R, on peut définir la relation binaire suivante :

xRy ⇐⇒ xy 0C’est la relation avoir le même signe .Remarque : Si F ⊂ E , R induit canoniquement une relation binaire R sur F donnée par R =R ∩ (F × F ).


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2) Relation d’équivalence, premiers exemples :

Définition 23 Soit R une relation binaire sur E . On dit R est une relation d’équivalence si • R est ŕeflexive i.e. si pour tout x ∈ E , xRx ;• R est symétrique i.e. si pour tout (x, y) ∈ E 2, xRy entraı̂ne yRx ;• R est transitive i.e. si pour tout (x,y ,z) ∈ E 3, xRy et yRz entraı̂ne xRz.Au lieu de xRy, on note souvent x ≡ y mod R, ou encore x ≡ y [R], et même parfois x ≡ y

lorsqu’il n’y a pas ambiguité.

Exemple :• Soit n > 0. La relation sur Z définie par

xRy ⇐⇒ n divise x − y

est une relation d’équivalence et est appelée congruence modulo n.• On définit dans R la relation

xRy ⇐⇒ ∃k ∈ Z, y = x + 2kπ.C’est la congruence modulo 2π. De manière générale, on définit sur R la congruence modulo α.

• La relation avoir le même signe vue précédemment n’est pas transitive (−1 ≡ 0 ≡ 1...).

3) Classes d’équivalences :

Soit E un ensemble muni d’une relation d’équivalence

R.

Définition 24 Soit x ∈ E . On appelle classe d’équivalence de x l’ensemble {y ∈ E, x ≡ y}

Elle est notée ẋ ou x̄. Tout y ∈ ẋ est appelé représentant de la classe ẋ.On note E/R l’ensemble des classes d’équivalence :

E/R = {ẋ, x ∈ E } ⊂ P (E )C’est l’ ensemble quotient de E par R.Définition 25 Soit n ∈ N∗. L’ensemble Z quotienté par la congruence modulo n est not́e Z/nZ.Notation : De même, on note R/αZ l’ensemble quotient de R par la congruence modulo α. R/2πZcorrespond aux angles.Exemple : • L’ensemble des vecteurs du plan est l’ensemble quotient des bipoints par la relationêtre équipollent.

• P 1(C).Remarque : • En algèbre, le passage au quotient est un outil puissant de création d’ensemblesintéressant.

• On a x ≡ y ⇐⇒ ẋ = ẏ.• On a x ∈ ẋ.

Théorème 1 E/R forme une partition de E .

Définition 26 L’application s : x ∈ E −→ ẋ ∈ E /R est une surjection appelée surjection canon-ique.

Exercice : bijection canonique


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VI. Relations d’ordre

1) Définitions et premiers exemples :

Définition 27 Soit E un ensemble. Une relation R sur E est une relation d’ordre si 1. R est réflexive ;2. R est transitive ;3. R est antisymétrique i.e. pour tout (x, y) ∈ E 2, xRy et yRx entraı̂ne x = y.E est dit ordonné.

Notation : Nous noterons les relations d’ordre (plus grand que) ou (plus petit que).

Si x y et x =/ y, on notera x < y et on dira x est strictement plus petit que y.

Si x y et x =/ y, on notera x > y et on dira x est strictement plus grand que y .

Exemple : • Les ordres sur N, Z, Q et R sont des relations d’ordre.• On considère sur P (E ) la relation suivante F RG si et seulement si F ⊂ G. R est une relation

d’ordre.

• Soient E 1 et E 2 deux ensembles ordonnés. On peut alors définir des ordres sur E 1 × E 2 :l’ordre produit et l’ordre lexicographique.

Définition 28 Soit (E, ) un ensemble ordonné. On dit que l’ordre est total si pour tout (x, y) ∈E 2, on a x y ou y x et dans ces conditions, on dit que E est totalement ordonné.

Si l’ordre n’est pas total, on dit qu’il est partiel et que E est partiellement ordonné.

Exemple : • (Q,) est totalement ordonné.• (P (E ), ⊂) est en général partiellement ordonné.• La divisibilité sur N est un ordre partiel.• En ǵenéral, si E 1 et E 2 sont deux ensembles totalement ordonnés, l’ordre lexicographique sur

E 1 × E 2 est total, alors que l’ordre produit total ne l’est pas.Proposition 12 Soient E un ensemble et F un ensemble ordonné. Alors, la relation définie sur F (E, F ) par

f g ⇐⇒ (∀x ∈ E )(f (x) g(x))

où (f, g) ∈ F (E, F )2 est une relation d’ordre. En général, cet ordre est partiel.

2) Applications monotones :

Définition 29 Soient E et F deux ensembles ordonnés et f : E −→ F .1. On dit que f est croissante si

(∀(x, y) ∈ E 2) (x y =⇒ f (x) f (y))

2. On dit que f est décroissante si

(∀(x, y) ∈ E 2) (x y =⇒ f (x) f (y))

3. On dit que f est strictement croissante (resp. strictement décroissante) si f est croissante (resp. décroissante) et injective.

4. On dit que f est monotone si f est croissante ou décroissante.


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17

Exemple : • Une suite (un)n0 est croissante dès quen m =⇒ un um

• La fonction(P (E ), ⊂) −→ (P (E ), ⊂)

f : F −→S E F

est décroissante.

Proposition 13 Soient E , F et G trois ensembles ordonnés, f : E −→ F , g : F −→ G.1. I E est strictement croissante.2. Si f et g sont monotones de même sens, alors g ◦ f est croissante.3. Si f et g sont monotones de sens contraire, alors g ◦ f est décroissante.4. Si f est bijective monotone et si l’ordre de E est total, f −

1

est monotone de même sens que f .

3) Eléments remarquables dans un ensemble ordonné :

a-Plus grand élément, plus petit élément :

Définition 30 Soient E un ensemble ordonné, a ∈ E .On dit que a est le plus grand élément de E si pour tout x ∈ E , x a. On note a = max E .

On dit que a est le plus petit élément de E si pour tout x ∈ E , x a. On note a = min E Remarque : L’existence d’un plus grand élément n’est pas assuré : E = N, E = [0, 1[.

De par l’antisymétrie de l’ordre, si E admet un plus grand élément, il est unique.

Exemple : Si E = {1, 2, . . . , n}, n est le plus grand élément de E . Le plus grand élément de(P (E ), ⊂) est E .

b-Majorant, minorant :

Définition 31 Soient E un ensemble ordonné, F ⊂ E et a ∈ E .a est un majorant (resp. minorant) de F si pour tout x ∈ F , x a (resp. x a).

Remarque : En général, les majorants ne sont pas uniques. Leur existence n’est pas assurée.

c-borne supérieure, borne inférieure :

Définition 32 Soient E un ensemble, F ⊂

E . On note A l’ensemble des majorants de F et Bl’ensemble des minorants de F .

Si A possède un plus petit élément α, α est appelé la borne supérieure de F et est noté sup F .Si B possède un plus grand élément β , β est appelé la borne inférieure de F et est noté inf F .

Remarque : L’existence des bornes supérieures ou inférieures n’est pas assurée de manière générale.Si la borne existe, elle est unique.

Si F possède un plus grand éĺement a, alors a = sup F .Exemple : Si E = R, et F = [0, 1[, sup F = 1 (on remarque, en particulier que sup F /∈ F ).Exemple : Si E = R, F = {x ∈ E , x2 2} admet une borne supérieure : c’est √ 2. Par contre, siE = Q, F n’admet pas de borne supérieure.

Proposition 14 Soient E totalement ordonné, F

⊂ E , a

∈ E . Alors a est la borne supérieure de

F si et seulement si (i) Pour tout x ∈ F , x a ;(ii) Pour tout c < a, il existe x ∈ F tel que c < x.


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d-Elément maximal, élément minimal :

Définition 33 Soient E un ensemble ordonné, a ∈ E .a est un élément maximal (resp. minimal) de E si

(∀x ∈ E ) (x a =⇒ x = a)

(resp. (∀x ∈ E ) (x a =⇒ x = a)).Exemple : Si E admet un plus grand élément a, a est maximal.

Supposons N∗\{1} muni de l’ordre de la divisibilité. Alors les éléments minimaux sont lesnombres premiers.

e-Bornes dans le cas des familles :

On peut parler de plus grand élément, borne supérieure, de majorant... d’une famille (xi)i∈I d’un ensemble ordonné E . Il s’agira en fait respectivement du plus grand élélment, de la bornesupérieure, du majorant... de la partie {xi ∈ E, i ∈ I }Notation : Soit (xi)i∈I une famille d’un ensemble ordonné. On note supi∈I xi pour sup{xi, i ∈ I }.Si I = {1, 2, . . . , n}, on note même sup1in xi ou encore sup(x1, x2,...,xn). La même remarqueest valable pour max, inf et min.

Si F ⊂ E , on note également supx∈F x pour sup F .

4) Propriétés des bornes :

Les bornes sont évoquées dans ce paragraphe sous réserve d’existence.

Proposition 15 Soient E un ensemble ordonné, F ⊂ G. Alors

sup F sup G et inf G inf F

Si (xi)i∈I est une famille de E et J ⊂ I , on a

supi∈J

xi supi∈I

xi et inf i∈I

xi supi∈J

xi

Proposition 16 Soient E un ensemble ordonné, (xi)i∈I , (yi)i∈I deux familles de E . On suppose que pour tout i ∈ I , xi yi. Alors

supi∈I

xi supi∈I

yi et inf i∈I

xi inf i∈I

yi

Proposition 17 (Formules d’associativité) Soient E un ensemble ordonné, (xi)i∈I une famille de E , (J k)k∈K un recouvrement de I . Alors

supi∈I

xi = supk∈K

supi∈J k

xi

et

inf i∈I

xi = inf k∈K

inf i∈J k

xi


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19

Exemple : • On a avec I = {1, 2, 3}sup(x1, x2, x3) = sup(sup(x1, x2), x3) = sup(x1, sup(x2, x3))

• Comme ({i} × J )i∈I et (I × { j}) j∈J sont des recouvrements de I × J , on asup

(i,j)∈I ×J x(i,j) = sup

i∈I sup j∈J

x(i,j) = sup j∈J

supi∈I

x(i,j)

• Soit (Ak)k∈K une famille de partie de E . Alorssup

k∈K

Ak = supa∈k∈K Ak a = supk∈K supa∈Ak a = supk∈K sup Ak

5) Etude d’un exemple :

Soient E un ensemble, (Ai)i∈I une famille de parties de E . On munit P (E ) de l’ordre ⊂.Un majorant des Ai est une partie contenant tous les Ai i.e. contenant

i∈I Ai.

i∈I Ai est

lui-même un majorant des Ai : c’est donc le plus petit des majorants des Ai. Ainsi

Proposition 18

supi∈I

Ai =i∈I

Ai

Un minorant des Ai est une partie contenue dans tous les Ai i.e. contenue dans

i∈I Ai.

i∈I Aiest lui-même un minorant des Ai : c’est donc le plus grand des majorants des Ai. Ainsi

Proposition 19

inf i∈I

Ai =i∈I

Ai

6) Fonction majorée, fonction minorée :

Définition 34 Soient E et F deux ensembles, F ordonné, f : E −→ F .On dit que f (E ) est ma joŕee (resp. minoŕee) si f (E ) est ma joŕee (resp. minoŕee).On pose sup f = supx∈E f (x), inf f = inf x∈E f (x), max f = maxx∈E f (x) et min f =

minx∈E f (x).

VII. Les nombres entiers naturels1) Introduction :

Il n’est pas question pour nous de faire la construction de N, mais seulement d’en donner uneidée et surtout d’en déduire des propriétés fondamentales utilisées partout en Mathématiques.

Axiome 6 (Axiomes de Peano) Il existe un unique triplet (0,N, S ), où N est un ensemble, 0un éĺement de N et S : n ∈ N −→ S (n) ∈ N une application telle que :

1. S est injective ;2. l’image de S est N∗ = N\{0} ;3. si A ⊂ N, 0 ∈ A et si

(∀n ∈ N)(n ∈ A =⇒ S (n) ∈ A)alors, A = N (axiome de récurrence).

Si n ∈ N, S (n) est son ”suivant”. N est appelé ensemble des entiers naturels.


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1 = S (0) est appelé un. En numérotation décimale, on note 2 = S (1), 3 = S (2), 4 = S (3), 5 = S (4),

6 = S (5), 7 = S (6), 8 = S (7) et 9 = S (8).

N = {0, 1, 2, 3, . . . }On définit des opérations sur N (ce que nous appelerons loi de composition interne dans le

prochain chapitre) :• l’addition +• la multiplication ×Ces opérations, i.e. des applications de N × N dans N vérifient certaines propriétés dont la

commutativité et l’associativité . De plus, la multiplication est distribitive par rapport à l’addition.A partir de N, on construit Z (construction que nous ne verrons pas en détail) : l’idée est de

donner un opposé à n pour + i.e. créer −n tel que (−n) + n = 0

2) L’ordre naturel dans N :

On définit l’ordre dans N par

x y ⇐⇒ (∃d ∈ N, y = x + d)C’est ordre est total et compatible avec + et × : si (x,y ,z) ∈ N3

x y =⇒ x + z y + z

x y =⇒ xz yzThéorème 2 Toute partie non vide de N admet un plus petit élément.

Corollaire 2 (Principe de descente infinie de Fermat-1638-) Toute suite décroissante de Nest stationnaire. Il n’existe pas de suite de N strictement décroissante.

Toute suite décroissante d’entiers naturels est stationnaire.

Théorème 3 Toute partie non vide et majorée de N admet un plus grand élément.

Corollaire 3 Toute suite croissante majorée d’entiers naturels est stationnaire.

Corollaire 4 Toute partie minorée de Z admet un plus petit élément.Toute partie majorée de Z admet un plus grand élément.

3) Division euclidienne dans Z

Remarque : • La propriété d’Archimède s’énonce ainsi : Si (a, b) ∈ N2, b =/ 0, il existe n ∈ N tel quenb > a.

• Le résultat reste vrai si a ∈ Z, la démonstration reste la même.Théorème 4 (Division euclidienne dans Z) Soit (a, b) ∈ Z × N∗. Alors il existe un unique couple (q, r) ∈ N2 tel que

a = bq + r et 0 r < b

q est le quotient et r le reste.

Remarque : Si a ∈ N, q ∈ N.Corollaire 5 Soit n ∈ N∗. L’ensemble quotient Z/nZ contient n éléments qui sont 0, 1,..., n − 1.


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4) Démonstration par récurrence :

Théorème 5 (Principe de la démonstration par récurrence) Soit A ⊂ N et P (n) une pro-príeté dépendant de l’entier n ∈ A.

On note An = {k ∈ A, k < n}. Si

(∀n ∈ A) ((∀k ∈ An, P (k) ) =⇒ P (n) )

est vraie, alors pour tout n ∈ A, P (n) est vraie.Remarque : Ainsi, si on veut démontrer par récurrence une propriété P (n), n ∈ A, on prend narbitraire dans A et en supposant les P (k) vraies pour k ∈ A et k < n, on tente de prouver P (n).

Pour n = a = min A, il n’y a aucun k < a dans A ; démontrer P (a) s’appelle amorcer la récurrence .

L’hypothèse P (k) vraies pour k ∈ A et k < n s’appelle hypothèse de récurrence (HR).Exemple : Un cas est très fréquent : si A = N, P (0) vraie et (∀n ∈ N∗) (P (n − 1) =⇒ P (n)), alorsP (n) est vraie pour tout n ∈ N.Exercice : • Soient E un ensemble ordonné et (un)n∈N une suite de N. Montrer que cette suite estcroissante si et seulement si pour tout n 0 un un+1.

• Montrer que si n 1, 7 divise 32n+1 + 2n+2.Corollaire 6 (Récurrence descendante) Soient A = {0, 1, 2, . . . , p}, et une propriété P (n)dépendant de n ∈ A. Si P ( p) est vraie et si

(∀k ∈ {1, 2, . . . n}) (P (k) =⇒ P (k − 1))

P (k) est vraie pour tout k ∈ A.

5) Suites définies par récurrence :

Théorème 6 Soient E un ensemble, A ⊂ N. On note An = {k ∈ A; k < n}. Soient pour n ∈ N

E An −→ E f n : (xk)k∈An −→ xn

Alors, il existe une unique suite (xn)n∈A telle que pour tout n ∈ A

xn = f n((xk)k∈An )admis

Remarque : Il s’agit de construire une suite dont le terme xn est donné en fonction des xk aveck < n. Souvent les premiers termes sont donnés : cela revient à prendre les premières f n constantes.

Un cas fréquent se présente : x0 est donné et on pour tout n ∈ N, ϕn : E −→ E . Il existe uneunique suite (xn)n∈N telle que xn = ϕn(xn−1) pour n 1.Exemple : x1 = 1 et xn = nxn−1 : xn = n!.


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Chapitre 2

Ensembles finis. Monöıdes

L’objet de ce chapitre est en partie de comparer la ”grosseur” d’ensembles, les uns par rapportaux autres. Intuitivement, on peut considérer que E et F ont même taille si E et F sont en bijection.

Définition 35 Deux ensembles E et F sont dits équipotents s’il existe une bijection de E sur F .

De même, intuitivement, il parait naturel de dire que E est plus petit que F s’il existe uneinjection de E dans F .

Si E est plus petit que F et F plus petit que E , il serait bon que E et F soient équipotents.C’est le cas :

Théorème 7 (Théorème de Cantor-Bernstein) Soient E et F deux ensembles. S’il existe une

injection f : E −→ F et g : F −→ E , E et F sont équipotents. admisNous ne contenterons de comparer les ensembles de même taille que les ensembles {1, 2, . . . , n}.

I. Ensembles finis

Définition 36 Soit E un ensemble. On dit que E est fini si E est vide ou s’il existe n ∈ N∗ et une bijection f : E −→ {1, 2, . . . , n} = [[1, n]]. Si E n’est pas fini, on dit que E est infini.Exemple : {1, 2, . . . , n} est fini.

1) Cardinal d’un ensemble fini :

Théorème 8 Soit ( p, q ) ∈ N∗2. Si E est bijection avec [[1, p]] et [[1, q ]], alors p = q .Définition 37 Avec les hypothèses du théorème précédent, cet entier p s’appelle le cardinal de E .On le note Card E . Par convention, Card ∅ = 0Exemple : Card{1, 2, . . . , n} = nRemarque : Si E et F sont équipotents, E fini, alors F est fini et Card E = Card F .

Si E est fini de cardinal n, on peut écrire E = {x1, . . . , xn} avec xi =/ x j si i =/ j .

2) Partie d’un ensemble fini :Proposition 20 Soient E un ensemble fini et A ⊂ E . Alors, A est fini et Card A Card E . De plus, si Card A = Card E , A = E .


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24 CHAPITRE 2. ENSEMBLES FINIS. MONO ̈IDES

Théorème 9 Soient E un ensemble, A et B deux parties finies de E . Alors A ∪ B est finie et Card(A ∪ B) = Card A + Card B − Card(A ∩ B)

En particulier, si A et B sont disjoints Card(A ∪ B) = Card A + Card B.Remarque : Extension à une réunion finie

3) Ensembles finis et applications :

Remarque : Si E et F sont en bijection (on dit que E et F sont équipotents ), E et F sont tous lesdeux finis, ou tous les deux infinis. S’ils sont finis, ils ont même cardinal.

Proposition 21 Soit f : E −→ F , E fini. Alors f (E ) est fini et Card f (E ) Card E . De plus, si

Card f (E ) = Card E , f est injective.Application : Principe de Dirichlet

Théor̀eme 10 Soit f : E −→ F . On suppose E et F finis de même cardinal. Les trois propositions suivantes sont équivalentes :

(i) f est injective.(ii) f est surjective.(iii) f est bijective.

Corollaire 7 Soit E un ensemble fini, f : E −→ E . Alors f injective ⇐⇒ f surjective ⇐⇒ f bijective.

Corollaire 8 N est infini.Corollaire 9 Soit E un ensemble.

Les trois propositions suivantes sont équivalentes :(i) E infini ;(ii) Il existe f : N −→ E injective.(iii) Il existe dans E une suite (xn)n∈N d’́eléments 2 à 2 distincts.

4) Produit d’ensembles finis :

Proposition 22 Soient E et F deux ensembles finis. Alors E × F est fini et Card(E × F ) =Card E

×Card F .

Remarque : Cardinal de E n si E fini.

Proposition 23 Soient E et F deux ensembles finis. Alors F (E, F ) est fini et Card F (E, F ) =Card F Card E .

5) Ensembles finis totalement ordonnés :

Proposition 24 Un ensemble fini non vide totalement ordonné admet un plus petit et un plus grand éĺement.

Proposition 25 Soit E un ensemble fini totalement ordonné de cardinal n. Il existe une unique famille (x1, . . . , xn) de E telle que

E = {x1, x2, . . . , xn} et x1 < x2 < .. . < xn.On écrit E = {x1 < x2 < .. . < xn}.


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II. Loi de composition interne

1) Définition :

Définition 38 Soit E un ensemble.

On appelle loi de composition interne (l.c.i.) toute application

E × E −→ E ∗ : (x, y) −→ x ∗ y

Si x et y sont dans E , x ∗ y est appelé composé de x et y.Notation : On note rarement les composés de manière fonctionnelle. On utilise plutot les symboles

de composition ∗, ⊥, ...Si on utilise le symbole de composition +, on dit que la loi est notée additivement.

Si on utilise le symbole de composition × ou ., ou si on omet tout symbole, on dit que la loi estnotée multiplicativement.

Remarque : A l’aide des paranthèses, on peut considérer une sucession de composition : (x∗(y∗z))∗u.Notation : Soient E un ensemble muni d’une l.c.i ∗, A ⊂ E , B ⊂ E . On note

A ∗ B = {x ∈ E, ∃a ∈ A, ∃b ∈ B, x = a ∗ b}

Si a ∈ E ,

a ∗ B = {x ∈ E, ∃b ∈ B, x = a ∗ b} et B ∗ a = {x ∈ E, ∃b ∈ B, x = b ∗ a}Exemple : • + et × sont des l.c.i pour N, Z.

• Soit X un ensemble. Alors ∪ et ∩ sont des l.c.i de P (X ).• Soit X un ensemble. Alors ◦ est une l.c.i sur F (X ).

∗ Exemple : + et × sont des l.c.i pour Q, R et C.

2) Loi naturelle sur Z/nZ, sur R/2πZ :

On peut définir sur Z/nZ et R/2πZ une loi quotient + : x̄ + ȳ = x + y. Cette loi est bien définie.dem

Multiplication sur Z/nZ. Cas de R/2πZ.

3) Associativité et commutativité :

Définition 39 Soit (E, ∗) un ensemble muni d’une l.c.i.On dit que ∗ est associative si pour tout (x,y ,z) ∈ E 3, on a (x ∗ y) ∗ z = x ∗ (y ∗ z).

Exemple : Les l.c.i donnés en exemple en 1) sont associatives.

Exemple : + est commutative sur Z/nZ.

Remarque : La plupart des l.c.i que nous rencontrerons sont associatives.

Si ∗ est associative, on note x ∗ y ∗ z pour (x ∗ y) ∗ z = x ∗ (y ∗ z).Définition 40 Soient (E, ∗) un ensemble muni d’une l.c.i et (x, y) ∈ E 2.

On dit que x et y commutent si x ∗ y = y ∗ x. Si pour tout couple (u, v) de E 2, u ∗ v = v ∗ u,on dit que ∗ est commutative.


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Exemple : • + et × sont des l.c.i commutatives pour N, Z.• Soit X un ensemble. Alors ∪ et ∩ sont des l.c.i commutatives de P (X ).• + est commutative sur Z/nZ.

∗ Exemple : + et × sont des l.c.i associatives pour Q, R et C.Remarque : En général, ◦ n’est pas une loi commutative de F (X ). exNotation : En général, nous noterons additivement les l.c.i commutatives. Les autres seront notéesmultiplicativement ou avec un autre symbole.

4) Elément neutre :

Définition 41 Soient (E, ∗) un ensemble muni d’une l.c.i, e ∈ E .On dit que e est élément neutre de E si pour tout x ∈ E , e ∗ x = x ∗ e = x.

Remarque : En général, l’existence d’élément neutre n’est pas assurée : par exemple pour (2N, ×).Exemple : • 0 est élément neutre pour (N, +), (Z, +).

• 1 est élément neutre pour (N, ×) et (Z, ×).• X est élément neutre pour (P (X ), ∩).• ∅ est élément neutre pour (P (X ), ∪).• I X est élément neutre pour (F (X ), ◦).• 0̄ est élément neutre dans Z/nZ.

Proposition 26 Si (E, ∗) est un ensemble muni d’une l.c.i admettant un élément neutre e, alors e est l’unique élément neutre de E .

Notation : Lorsqu’une loi est notée additivement (resp. multiplicativement), on notera 0 (resp. 1)

son élément neutre.

III. Monöıdes


Définition 42 Soit (E, ∗) un ensemble muni d’une l.c.i.On dit que E est un monöıde si ∗ est associative et admet un élément neutre.

Exemple : (N, +), (Z, +), (P (X ), ∩), (P (X ), ∪) sont des monöıdes commutatifs. (F (X ), ◦) est engénéral un monoı̈de non commutatif. Z/nZ est un monöıde.Exemple : 1. Soient M 1 et M 2 deux monoı̈des. Montrer que

(x1, x2) ∗ (y1, y2) = (x1y1, x2y2)

où (x1, y1) ∈ M 21 et (x2, y2) ∈ M 22 définit sur M 1 × M 2 une structure de monoı̈de.2. M I = F (I, M ) est un monoı̈de (définition des lois).Sauf mention explicite du contraire, nous noterons les lois des monöıdes multiplicativement.

Son élément neutre sera noté 1.

2) Composé d’une famille d’éléments :

Soit I un ensemble fini totalement ordonné non vide. Nous avons vu en I.5) que l’on pouvaitécrire I =

{i1 < i2 < .. . < in

}. Soient M un monoı̈de multiplicatif et (xi)i

∈I une famille de M . On

définit la suite (X k)k∈[[0,n]] par :

X 0 = 1 et X k = xik × X k−1 pour tout k ∈ [[1, n]]


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Définition 43 On appelle composé de la famille des xi l’élément X n. On le note i∈I xi.

Convention : Si I = ∅, i∈I xi = 1.Notation : Si la loi est notée additivement, on notera le composé des xi

i∈I xi.

Si I = [[1, n]], on note parfoisn

i=1 xi ou n

i=1 xi.

Théor̀eme 11 Si les xi commutent deux à deux (i.e. si (i, j) ∈ I 2, xix j = x jxi),

i∈I xi ne dépend pas de l’ordre total de I .

Remarque : • Ce théorème permet donc de définir le composé d’une famille (xi)i∈I (I fini) où lesxi commutent deux à deux : on choisit un ordre total arbitraire sur I et le composé des xi sera lecomposé relatif à cet ordre.

• Dans l’expression i∈I xi, i est un ”indice muet”, il peut être changé par n’importe quel autresymbole.

3) Propriétés des composés :

Soit M un monoı̈de multiplicatif.

Proposition 27 (Formule de changement de variable) Soient (xi)i∈I une famille finie (i.e.I est fini) d’éléments de M commutant deux à deux, ϕ : J −→ I une bijection. Alors :

i∈I xi =

j∈J

xϕ( j)

Exemple : n

i=1 xi =n−1

j=0 x j+1 ; ici ϕ : j ∈ [[0, n − 1]] −→ j + 1 ∈ [[1, n]] et on écrit que l’on a faitle changement de variables i = j + 1.

Proposition 28 Soient m n deux entiers. Alors :

nk=m

k = (m + n)(m − n + 1)

2

Théorème 12 (Formule d’associativité) Soient (xi)i∈I une famille finie d’élément de M com-mutant deux à deux, (J k)k∈K une partition de I . Alors

i∈I xi =

k∈K

j∈J k

x j

Exemple : • Soit (xi,j)(i,j)∈I ×J une famille finie d’éléments de M commutant deux à deux. On a(i,j)∈I ×J

xi,j =i∈I

j∈J

xi,j =

j∈J

i∈I

xi,j

• Soient (xi)i∈I et (yi)i∈I deux familles finies de M . On suppose que pour tout i ∈ I et j ∈ J ,xix j = x jxi, yiy j = y jyi et xiy j = y jxi. Alors

(i∈I

xi)(i∈I

yi) =i∈I

xiyi


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4) Puissances entières :

Soit M un monoı̈de multiplicatif.

Définition 44 Soient a ∈ M , n ∈ N. On definit

an =n

i=1

a = a a . . . a n facteurs

En particulier, a0 = 1.

Proposition 29 Soient (a, b) ∈ M 2, (n, p) ∈ N2. On a 1. ana p = an+ p ;

2. (an) p = anp ;3. (ab)n = anbn si a et b commutent.

Remarque :

i∈I ani = a

i∈I ni et(

i∈I ai)

n =

i∈I ani

5) Familles à support fini :

Il s’agit d’étendre la notation

i∈I xi pour I infini.

Définition 45 Soit (xi)i∈I une famille de M . On appelle support de cette famille l’ensemble S ={i ∈ I , xi =/ 1}. Si S est fini, on dit que (xi)i∈I est une famille à support fini.Définition 46 Soient (xi)i

∈I une famille d’éléments de M commutant deux à deux à support fini.

On appelle composé des xi l’élément i∈S xi qui est noté i∈I xi.Remarque : Les théorèmes vus en 3) (changement de variables et associativité) s’étendent auxfamilles à support fini.

6) Numération en base D, D 2 :

Nous allons décrire le système de numération décimal. On note 2 = 1 + 1, 3 = 2 + 1,..., 9 = 8 + 1.Ce sont les chiffres arabes. On note D = 9 + 1 (”dix”).

Fixons N ∈ N. Alors il existe un unique r ∈ N et une unique suite (a0, a1, . . . , ar) de {0, 1, . . . , 9}tels que :

N =r

k=0

akDk avec ar =/ 0.

On peut écrire plus rapidement qu’il existe une unique suite à support fini (an)n∈N de {0, 1, . . . , 9}telle que :

N =k∈N

akDk

A chaque ak correspond un unique symbole αk parmi 0, 1, 2,...,9. On notera alors :

N = αrαr−1 . . . α1α0

C’est la numération décimale de N . De manière plus générale, on a :


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29

Théor̀eme 13 Soit d ∈ N. Pour tout N ∈ N∗, il existe une unique suite (an)n∈N d’entiers à support fini telle que an ∈ {0, 1, . . . d − 1} pour tout n ∈ N et

N =n∈N

andn =

+∞n=0

andn

ce qui peut s’écrire aussi de manière unique N =r

k=0 akdk avec ar =/ 0.

Si pour chaque élément de {0, 1, . . . d − 1}, on s’est donné un symbole, à chaque ak correspond un unique symbole αk parmi 0, 1, 2,...,d − 1 et N = αrαr−1 . . . α1α0 est l’ ́ecriture en base d del’entier N .

Si d = 2, on parle de numération binaire qui sert aux ordinateurs. Si d = 16, c’est la numération

hexadécimale (utile en informatique). Il est alors nécessaire d’ajouter 6 nouveaux symboles : 10 = A,11 = B , 12 = C , 13 = D, 14 = E et 15 = F .

Cas des entiers négatifs.

Exercice : conversion base 10 vers base D et réciproquement.

IV. Eléments réguliers, éléments inversibles

1) Eléments inversibles :

Soit M un monoı̈de.

Définition 47 Soit a ∈ M .On dit que a est inversible à gauche (resp. à droite) s’il existe b ∈ M tel que ba = 1 (resp.ab = 1). Si a est inversible à gauche et à droite, on dit que a est inversible.

Proposition 30 Soient a un élément inversible de M , (b, c) ∈ M 2 tel que ab = ca = 1.Alors b = c et b s’appelle l’ inverse de a. On le note a−1.

Exercice : Si ab est inversible, montrer que a et b sont inversibles.

Remarque : Si la loi est notée additivement, on parlera plus volontiers d’oppośe que d’inverse, et ilsera noté −a au lieu de a−1.Exemple : • Dans (Z, +), l’opposé de n est −n.

• Dans (N, ×), seul 1 est inversible.• Soit ab ∈ Q, a =/ 0. Alors ab est inversible, d’inverse ba .• Opposé et inverse dans Z/nZ.

2) Propriétés des éléments inversibles :

Proposition 31 Soient a et b dans M inversibles. Alors

1. 1 est inversible ;

2. ab est inversible et (ab)−1 = b−1a−1 ;3. a−1 est inversible et (a−1)−1 = a.

Proposition 32 Soient A ⊂ M et x inversible dans M . Si x commute avec A, x−1 commute aussi avec A.Remarque : Si x et y commutent, il en va de même de x−1 et y−1. Si les xi commutent deux à deux(

i∈I xi)−1 =

i∈I x

−1i .


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3) Puissances entières d’un élément inversible :

Définition 48 Soient a ∈ M inversible et n ∈ N. On note alors a−n = (a−1)n = (an)−1.Remarque : La proposition vue en III.4) est vraie pour a et b inversibles et (n, p) ∈ Z2.

4) Eléments réguliers :

Définition 49 Soit a ∈ M . On dit que a est régulier à gauche (resp. à droite) si (∀(x, y) ∈ M 2)(ax = ay =⇒ x = y)

et respectivement

(∀

(x, y) ∈

M 2)(xa = ya =⇒

x = y)

Si a est régulier à gauche et à droite, on dit que a est ŕegulier.

Exemple : L’élément neutre est toujours régulier. Dans (N, +), tous les éléments sont réguliers.Dans (N, ×), tous les éléments sont réguliers sauf 0.Proposition 33 Soit a ∈ M . Si a est inversible à gauche (resp. à droite), a est régulier à gauche (resp. à droite).

Corollaire 10 Si a est inversible, a est régulier.

Exercice : Soit a ∈ M . On suppose M fini. Montrer que les 4 propositions suivantes sontéquivalentes :

(i) a régulier à droite ;(ii) a régulier à gauche ;(iii) a inversible à droite;(iv) a inversible à gauche.En particulier, vérifier que si a est régulier, a est inversible.

V. Sous Monöıdes, morphismes

1) Notion de sous-monöıde, exemples :

Définition 50 Soit M ⊂ M . M est un sous-monöıde de M si

∗ 1 ∈ M ;∗ pour tout (x, y) ∈ M 2, xy ∈ M (on dit M est stable par la l.c.i).Remarque : M muni de la restriction de la l.c.i est un monöıde.Exemple : • {1} est un sous-monöıde de M .

• N est sous-monöıde de (Z, +) et de (Z, ×).• 2N est un sous-monöıde de (N, +)• Soient X un ensemble et A ⊂ X . On a P (A) ⊂ P (X ). P (A) est un sous-monoı̈de de (P (X ), ∪).• Soient M un monoı̈de et A ⊂ M . On note

C (A) = {x ∈ M, (∀a ∈ A)(xa = ax)}le commutant de A. Alors C (A) est un sous-monöıde de M .

• Soient M un monöıde et M × l’ensemble des éléments de M inversibles. Alors M × est unsous-monoı̈de de M .Remarque : Si xi ∈ M , sous-monoı̈de de M , alors

i∈I xi ∈ M .


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2) Morphismes de monöıdes :

Définition 51 Soient M et N deux monoı̈des, f : M −→ N .f est un morphisme (de monoı̈des) si

1. f (1) = 1 ;

2. pour tout (x, y) ∈ M 2, f (xy) = f (x)f (y).Remarque : Soient M et N des sous-monöıdes de M et N respectivement, f : M −→ N unmorphisme. Alors f |M : M −→ N est un morphisme. Si f (M ) ⊂ N , alors x ∈ M −→ f (x) ∈ N est un morphisme.

Exemple : • f : x ∈ N −→ 2x ∈ N est un morphisme pour +.• f : x ∈ R(+) −→ ex ∈ R∗(×) est un morphisme.

Remarque :

• Soit (xi)i∈I une famille à support fini, les xi commutant deux à deux. Alors

f (i∈I xi) = i∈I f (xi)• Soient f : M −→ N un morphisme, a ∈ M , n ∈ N. Alors f (an) = f (a)n. Si a est inversible,f (a−1) = f (a)−1 cette formule reste vraie pour n ∈ Z.Proposition 34 Soient f : M −→ N et g : N −→ P deux morphismes.

1. I M est un morphisme de M dans M ;

2. g ◦ f est un morphisme de M dans P .Proposition 35 Soient M et N deux monoı̈des et f : M −→ N un morphisme, M (resp. N ) un sous-monoı̈de de M (resp. N ).

1. f (M ) est un sous-monöıde de N noté Im f 2. f −1(N ) est un sous-monöıde de M .

3) Isomorphisme :

Proposition 36 Soit f : M −→ N un morphisme bijectif. Alors f −1 est un morphisme de N dans M .

Définition 52 Soit f : M −→ N un morphisme bijectif.On dit que f est un isomorphisme de M dans N et que M et N sont isomorphes. On note alors

M N .Remarque : Si f : M −→ N et g : N −→ P sont des isomorphismes, g ◦ f est un isomorphisme. Sih est un isomorphisme, h−1 aussi.

Ainsi si M N et N P , M P (transitivité). Si M N alors N M (symétrie).Exercice : Soit X un ensemble. Montrer que les monöıdes (P (X ), ∪) et (P (X ), ∩) sont isomorphes.Remarque : Expliquer ce qu’est un isomorphisme...

VI. Analyse combinatoire

1) Principe des bergers :

Rappelons le résultat suivant démontré en I.

Proposition 37 (Principe des bergers) Soient E un ensemble fini, f : E −→ F .

1. Si (E i)i∈I une partition de E , Card E = i∈I Card E i (formule de la somme).2. On a Card E = y∈F Card f ({y}) (formule du quotient).Proposition 38 Soit E un ensemble fini de cardinal n. Alors P (E ) est fini et est de cardinal 2n.


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2) Arrangements :

Proposition 39 Soient E un ensemble à p éĺements et F un ensemble à n éléments. Le nombre d’applications injectives de E dans F est 0 si p > n, et A pn = n.(n − 1). . . . (n − p + 2).(n − p + 1) =

n!(n− p)! si p n.

Remarque : Ainsi, si n p, A pn est le nombre de p-uplets d’un ensemble F , Card E = n, composéd’éléments deux à deux distincts. Ces p-uplets sont appelés arrangements.

Définition 53 Soit E un ensemble. On appelle permutation de E toute application de E dans lui-même.

Corollaire 11 Soit E un ensemble fini de cardinal n. Le nombre de permutations de E dans E est n!.

3) Combinaisons :

Définition 54 Etant donné un ensemble à n éléments, on appelle combinaison de p objets de E toute partie de E à p éléments.

Si p n, on note C pn le nombre de combinaisons de E à p éléments.

Proposition 40 Soit E un ensemble à n éléments. Alors

C pn = A pn p!

= n!

p!(n − p)!

Remarque : C

p

n ne dépend pas de E .Proposition 41 Soit p n.

1. C pn = C n− pn .

2. Si 0 < p < n, C pn = C pn−1 + C

p−1n−1.

3. Si 1 p n, pC pn = nC p−1n−1.

4. n

p=0 C pn = 2n.

Remarque : Triangle de Pascal, pC pn = nC p−1n−1.

Exercice : Soient E un ensemble fini à n éléments, p ∈ N.1. Montrer que le nombre d’applications u : E −→ [[0, p]] telle

x∈E u(x) p est C

nn+ p = C

pn+ p.

2. Montrer que le nombre d’applications u : E

−→ [[0, p]] telle x∈E u(x) = p est C

n−1n+ p

−1 =

C pn+ p−1.

VII. Compléments : ensembles dénombrables

Définition 55 Soit E un ensemble. On dit que E est dénombrable si E est fini ou s’il existe une bijection de N sur E . Dans le cas contraire on dit que E est indénombrable.

Exemple : N est dénombrable. Toute partie de N est dénombrable.Remarque : Tout ensemble infini contient un ensemble dénombrable non fini.

Exemple : Z est dénombrable.

Lemme 1 Si A ⊂N, A est dénombrable.

Proposition 42 E est dénombrable si et seulement si, il existe une surjection de N sur E .

Proposition 43 Soient E et F deux ensembles dénombrables. Alors E × F est dénombrable.


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Remarque : Cette proposition s’étend à un produit cartésien de n ensembles.

Remarque : L’application :

N×N −→ Nf : (k, l) −→ l + (k+l)(k+l+1)2

est bijectiveExemple : Q est dénombrable. R est indénombrable. P (N) est indénombrable.Corollaire 12 Soit I dénombrable, et (E i)i∈I une famil le d’ensembles dénombrables. Alors

i∈I E i

est dénombrable.


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36 CHAPITRE 3. GROUPES

S E est d’ordre fini égal à (Card E )!.On note S n pour S [[1,n]]. C’est un groupe fini de cardinal n!.

Définition 57 S E est appelé groupe symétrique de E et S n groupe symétrique d’ordre n.Exemple : La loi de composition externe + définie sur Z/nZ lui confère une structure de groupeabélien : 0̄ est élément neutre, l’opposé de x̄ est −x = n − x.Proposition 45 Z/nZ est un groupe abélien de cardinal n.

Exemple : Structure de groupes sur R/2πZ.

2) Sous-groupes :

Définition 58 Soient G un groupe et H ⊂ G. H est un sous-groupe de G si 1. 1 ∈ G ;2. pour tout (x, y) ∈ H 2, xy ∈ H ;3. pour tout x ∈ H , x−1 ∈ H .

Remarque : Si H est un sous-groupe, la restriction de la loi de G à H confère la structure de groupeà H .

Pour montrer qu’un ensemble est un groupe, on aura souvent avantage à le voir comme sous-groupe d’un groupe le contenant.Exemple : • {1} et G sont des sous-groupes de G.

• Pour tout n ∈ Z, nZ est un sous-groupe de Z.• H = {σ ∈ S n, σ(1) = 1} est un sous-groupe de S n.

Remarque : Si les xi

∈ H , il en va de même de i∈I xi. Si x ∈ H , pour tout n ∈ Z, x

n

∈ H .

Exercice : Soit G un groupe. Montrer que

C (G) = {h ∈ G, ∀g ∈ G, gh = hg}est un sous-groupe de G. Ce sous-groupe est appelé centre de G.∗ Exemple : I (P ), ensemble des isométries d’un plan euclidien est un sous-groupe de S P . C’est enparticulier un groupe pour la loi ◦

3) Morphismes de groupes :

Définition 59 Soit G et G deux groupes, f : G −→ G. f est un morphisme de groupe si pour tout (x, y) ∈ G2, f (xy) = f (x)f (y).Remarque : • f (1) = 1 et f (x−1) = f (x)−1.

• f est un morphisme de groupes dès que f est un morphisme de monöıdes. De plus, f (x−1) =f (x)−1 et plus généralement, f (xn) = f (x)n (n ∈ Z).

Si H ⊂ G est un sous-groupe, f |H est un morphisme de groupe de H dans G. Enfin, si H estun sous-groupe de G contenant dans Im f , f : G −→ H est un morphisme de groupes.Exemple : • Soient n ∈ Z et G un groupe abélien. Alors f : x ∈ G −→ xn ∈ G est un morphismede G dans lui-même.

• Soit G un groupe, h ∈ H . AlorsG −→ G

f : g −→ hgh−1

est un morphisme du groupe G : c’est un morphisme de conjugaison .• Soit O un point du plan euclidien. L’application θ ∈ R −→ RO,θ est un morphisme de R dans

I (P ).


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Proposition 46 Soient G, H , K trois groupes, f : G −→ H , g : H −→ K deux morphismes de groupes.

1. I G est un morphisme du groupe G.2. g ◦ f est un morphisme du groupe de G dans K .3. Si f est bijectif, f −1 est un morphisme du groupe H dans G.

Définition 60 Soit f : G −→ H un morphisme de groupe. f est un isomorphisme si f est bijectif.G et H sont alors dit isomorphes et on note G H .Remarque : La relation ”être isomorphes” est réflexive, symétrique, transitive.

Définition 61 Soit G un groupe.Un automorphisme de G est un isomorphisme de G sur G. On note Aut G l’ensemble des

automorphismes de G.

Exercice : Montrer que le groupe H = {σ ∈ S n, σ(n) = n} est isomorphe à S n−1.

4) Image directe et image réciproque d’un morphisme :

Proposition 47 Soient G et H deux groupes et f : G −→ H un morphisme, G (resp. H ) un sous-groupe de G (resp. H ).

1. f (G) est un sous-groupe de H .2. f −1(H ) est un sous-groupe de G.

Définition 62 Soit f : G −→ H un morphisme de groupes. On appelle noyau de f la partie ker f = {x ∈ G, f (x) = 1}.Remarque : Im f = f (G) est un sous-groupe de H et ker f est un sous-groupe de G

Proposition 48 Soit f : G −→ H un morphisme de groupes. Alors f est injective si, et seulement si ker f = {1}.

II. Sous-groupe engendré

1) Intersection de sous-groupes :

Proposition 49 Soient G un groupe et (H k)k∈K une famille de sous-groupes de G. Alors

k∈K H kest un sous-groupes de G.

2) Définition :

Définition 63 Soit A une partie d’un groupe G et H = {H ⊂ G, H sous-groupe de G, H ⊃ A} =/ ∅.On appelle

H 0 =

H ∈HH

le sous-groupe engendré par A.

Remarque : Au sens de l’inclusion, H 0 est le plus petit sous-groupe contenant A. Si A ⊂ H , où H est un sous-groupe de G, H 0 ⊂ H .Exemple : Soit n ∈ Z. Alors nZ est le sous-groupe engendré de Z engendré par n. demDéfinition 64 Soit (xi)i∈I une famille d’un groupe G. On appelle sous-groupe engendré par les xile sous-groupe engendré par {xi ∈ G, i ∈ I }.


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Remarque : Si la famille est réduite à un éĺement a, le sous-groupe engendré est {ak, k ∈ Z}.Exemple : Le sous-groupe engendré par 2π dans R est 2πZ.

Définition 65 Soit A une partie du groupe G. On dit que A engendre G si le sous-groupe engendré par A est G tout entier.

3) Détermination du sous-groupe engendré :

Théor̀eme 14 Soit A une partie d’un groupe (G, ×).Le sous-groupe engendré par A est l’ensemble des éléments qui s’écrivent comme produit

d’́eĺements de A ou d’inverses d’éléments de A.

Théor̀eme 15 Soient (G, +) un groupe abélien, (xi)i∈

I une famille de G. Le sous-groupe engendré

par les xi est formé des éléments du type i∈I nixi où (ni)i∈I est une famille à support fini de Z.Exercice : Ecrire ce théorème dans le cas où la loi est notée de manière multiplicative.

Remarque : Au lieu de supposer G abélien, on peut seulement supposer que les xi commutent deuxà deux.

III. Le groupe additif Z

1) Sous-groupes de Z :

Z est muni de deux opérations + et

×. Pour +, Z est un groupe abélien. Les nZ (n

∈ Z) sont

des sous-groupes de Z. On a

nZ = nZ⇐⇒ n = ±n

nZ est engendré par n. Y a t-il d’autres sous-groupes ? Le théorème suivant donne la réponse :

Théor̀eme 16 Soit H un sous-groupe de (Z, +). Il existe un unique n ∈ N tel que H = nZ.

2) Factorisation des morphismes de Z dans un groupe G :

Théor̀eme 17 Soit f : Z −→ G un morphisme de groupes.• Si ker f = {0}, f établit un isomorphisme de Z sur Im f :

Im f Z.

• Si f n’est pas injective, il existe un unique n ∈ N∗ tel que ker f = nZ et l’application

f̄ : k̄ ∈ Z/nZ −→ f (k) ∈ Im f

est bien définie et est un isomorphisme de groupes :

Z/nZ Im f.

f̄ est l’isomorphisme canoniquement associé à f .

Exemple : Soit θ ∈ R et f : k ∈ Z −→ kθ ∈ R/2πZ. A quelle condition Im f est-elle finie ?


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3) Groupes monogènes :

Définition 66 On dit qu’un groupe G est monogène s’il existe a ∈ G tel que a engendre G i.e.

G = {an ∈ G, n ∈ Z}

Si G est de plus fini, on dit que G est cyclique.

Remarque : Si G est monogène, G est abélien. Tout groupe quotient d’un groupe monogène estmonogène. dem

Exemple : Tout sous-groupe de Z est monogène. Les Z/nZ (n > 0) sont cycliques (et engendré par

1̇).

Théor̀eme 18 Soient G un groupe monogène engendré par a et

Z −→ Gf : k −→ ak

1. Si G est infini, alors f est un isomorphisme de Z sur G :

G Z

2. Si G est d’ordre fini n, l’isomorphisme canoniquement associé à f , ḟ établit un isomorphisme de Z/nZ sur G :

G Z/nZ

Remarque : Il n’existe que deux types de groupes monogènes : ceux isomorphes à Z et ceux iso-morphes à un Z/nZ. Représentation graphique.

IV. Congruence modulo un sous-groupe

1) Théorème de Lagrange :

Soient G un groupe et H ⊂ G un sous-groupe. On définit alors la relation binaire RH sur Gpar

xRH y ⇐⇒ y ∈ xH (⇐⇒ x−1y ∈ H )

RH est appelée congruence à gauche modulo H .

Proposition 50 RH est une relation d’équivalence.Lemme 2 Si x ∈ G, xH est la classe de x modulo RH .Lemme 3 Les classes d’équivalence de

RH sont en bijection.

Théorème 19 (Théorème de Lagrange) Soient G un groupe fini de cardinal n, H un sous-groupe de cardinal d. Alors d divise n.


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2) Ordre d’un élément dans un groupe :

Définition 67 Soient G un groupe et a ∈ G. L’ ordre de a est le cardinal du sous-groupe engendré par a.

Notons H a ce sous-groupe, A = {k > 0, ah = 1}.• Supposons H a infini. Alors H a Z et a est dit d’ordre infini . On est dans le cas 1 du théorème

précédent. Ainsi A = ∅ etak = 1 ⇐⇒ k = 0

ak = al ⇐⇒ k = l

• Supposons H a fini d’ordre n. a est d’ordre fini n. Alors H a

Z/nZ : on est dans le cas 2 du

théorème précédent. A =/ ∅ et n est le plus petit élément de A. Ainsiak = 1 ⇐⇒ k ∈ nZ

ak = al ⇐⇒ k ≡ l mod nThéor̀eme 20 Soit G un groupe de cardinal n.

1. L’ordre de tout élément de G divise n.2. Soit a ∈ G. Alors an = 1.

3) Relations compatibles avec une l.c.i :

Définition 68 Soient (M, ∗) un monoı̈de et R une relation d’équivalence. On dit que R est com-patible avec la loi de M si pour tout x, y et a dans M , on a

x ≡ y mod R =⇒ ∗ § ≡ ∗ † mod R et § ∗ ≡ † ∗ mod RExemple : Soit n > 0. Sur (Z, +), la relation ”de différence divisible par n”, ou congruence modulon est une relation d’équivalence compatible avec +.dem

Définition 69 Sur M/R, si ∗ est compatible avec M , on peut définir une loi en posant pour x, y ∈ M

x̄ ∗ ȳ = x + y.Cette loi est appelé loi quotient de M /

R.

Remarque : Cette loi est associative. Elément neutre.

V. Le groupe symétrique S n• Soit E un ensemble. Alors S E , l’ensemble des permutations de E est un groupe pour ◦. Si E

est fini, S E est d’ordre (Card E )!.Soit G un groupe, Aut G, l’ensemble des automorphismes de G est un sous-groupe de S G.Si E = [[1, n]], on note S E , S n.Si E = {a1, a2,...,an} et σ une permutation de E tel que σ (ai) = bi, on note

σ = a1 a2 . . . anb1 b2 . . . bn Probleme : : calculer σ 10000.


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1) Orbite selon une permutation :

Soient E un ensemble fini, σ ∈ S E . Définissons la relation binaire sur S E :x ∼ y ⇐⇒ (∃k ∈ Z) (y = σk(x))

Proposition 51 ∼ est une relation d’équivalence.Si x ∈ E , nous noterons Ωx la classe d’équivalence de x appelée aussi orbite de x. On a :

Ωx = {σk(x), k ∈ Z}On remarque que Ωx est stable par σ et plus généralement par σ

k (k ∈ Z).Probleme : A quelle condition sur k et l entiers a t-on

σk(x) = σl(x)

En composant par σ−l, le problème se remène à trouver les k tel que σ k(x) = x. Pour répondreà cette question nous allons introduire

Z −→ E f : k −→ σk(x)

Alors f (Z) = Ωx. Notons H = f −1{x}.Définition-Proposition 1 H est un sous-groupe de Z, distinct de {0} et il existe un unique n > 0tel que H = nZ. n est appelé ordre de x sous σ . C’est le plus petit entier strictement positif tel que σn(x) = x.

Remarque : Si E est infini, le cas H = {0} est possible.Remarque : On en déduit que σk(x) = x si et seulement si n divise k (i.e. k ∈ nZ) et σk(x) = σl(x)si et seulement si n divise k − l (i.e. k − l ∈ nZ).Alors si k0 est l’ordre de x sous σ , on a

Ωx = {x, σ(x), σ2(x), . . . , σk0−1}et le cardinal de l’orbite de x est k0.Remarque : Représentation graphique d’une orbite.

2) Cycles :

On reprend les notations du 2). Les différentes orbites de E sous σ forment une partition de E .

Elles sont donc en nombre fini, de réunion E , et disjointes deux à deux.On a x ∈ Ωx. Ωx = {x} si et seulement si σ(x) = x.Définition 70 Soient a1,...,ak k éléments distincts de E , k 2. La permutation qui associe

− à ai ( 1 i < k) l’́eĺement ai+1,− à ak l’élément a1,− à tout y /∈ {a1, a2, . . . , ak}, l’éĺement y,

est appelée cycle et est notée [a1, a2, . . . ak]. L’ensemble {a1, a2, . . . ak} est le support du cycle et ksa longueur.

Remarque : Une permutation est un cycle si et seulement si elle possède une unique orbite nonréduite à un singleton.

Soit σ un cycle. Notons Ω l’unique orbite non réduite à un point et pr

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Cours (Edition3) Typeset