Cours - Fractions Rationnelles 26

c Christophe Bertault - MPSI

Fractions rationnelles

Dans tout ce chapitre, K est lun des corps R ou C.

Notre objectif : apprendre calculer des intgrales telles que

10

dt

t4 + 1ou

pi0

sin(4t)

1 + cos2 tdt.

Nous avons construit la main lanneau K[X] des polynmes coefficients dans K : un polynme tait alors par dfinitionune suite presque nulle dlments de K. La construction du corps K(X) des fractions rationnelles coefficients dans K nestquant elle pas au programme. En deux mots, K(X) se construit partir de K[X] de la mme manire que Q se construit partir de Z, mais de toute faon nous navons pas tudi la construction de Q !

1 Fractions rationnelles, fonctions rationnelles

1.1 Corps des fractions rationnelles

Dfinition (Corps des fractions rationnelles)

Dfinition : Il existe un ensemble K(X) satisfaisant les trois assertions suivantes :

A tout couple (A,B) K[X]2 tel que B 6= 0, on peut associer un lment de K(X) not AB.

Tout lment de K(X) peut tre crit sous la formeA

Bpour certains A,B K[X] avec B 6= 0.

Pour tous (A,B), (C,D) K[X]2 tels que B 6= 0 et D 6= 0 : AB

=C

D AD = BC.

Addition et produit : On munit K(X) de deux lois internes en posant, pour tous (A,B), (C,D) K[X]2 telsque B 6= 0 et D 6= 0 :

A

B+C

D=

AD +BC

BDet

A

B CD

=AC

BD.

Ces dfinitions sont possibles car elles dpendent seulement deA

Bet

C

Det non du choix de A,B,C,D eux-mmes.

Structure de corps : Alors (K(X),+,) est un corps appel le corps des fractions rationnelles coefficientsdans K. Pour tout couple (A,B) K[X]2 tel que A 6= 0 et B 6= 0, linverse de la fraction A

Best la fraction

B

A.

Lien avec les polynmes : Tout polynme P K[X] peut tre identifi la fraction rationnelle P1. Cette

identification fait de K[X] un sous-anneau de K(X).

Structure vectorielle : La multiplication par un polynme constant munit K(X) dune structure de K-espacevectoriel. Prcisment, si K et si A,B K[X] sont tels que B 6= 0 :

AB

=A

B.

Explication Lexistence du corps K(X) vous parat peut-tre vidente bien sr que les fractions rationnellesexistent ! mais souvenez-vous bien que nous avons scrupuleusement distingu les polynmes (suites presque nulles. . . ) desfonctions polynomiales. Ici, cest le concept abstrait de fraction rationnelle qui vient dtre dfini. La notion de fonction rationnellesera introduite un peu plus loin.

Dfinition (Forme irrductible dune fraction rationnelle) Soit R K(X). On appelle forme irrductible de R toutecriture de R de la forme R =

A

Bo A et B sont premiers entre eux. Une telle criture est toujours possible, et unique

multiplication prs par des scalaires non nuls.

Exemple La fraction(X2 + 1)(X + 1)2

X(X + 1)nest pas irrductible, mais la fraction

(X2 + 1)(X + 1)

Xlest.

Dans tout ce qui suit, quand nous dirons Soit R =A

B K(X) , il sera sous-entendu que (A,B) K[X]2 et que B 6= 0.

1


Dfinition (Drive dune fraction rationnelle) Soit R =A

B K(X). La fraction rationnelle A

B ABB2

dpend

seulement de R et non du choix de A et B eux-mmes. On lappelle la drive de R.

Pour tous R,S K(X) et , K : (R+ S) = R+ S, (RS) = RS +RS et si S 6= 0 :(R

S

)

=RS RS

S2.

En outre, la drive dun polynme concide avec sa drive comme fraction rationnelle.

Dfinition (Degr dune fraction rationnelle)

(i) Soit R =A

B K(X). La quantit A B dpend seulement de R et non du choix de A et B eux-mmes. On

lappelle le degr de R, not R. Le degr dune fraction rationnelle est ainsi soit un entier relatif, soit .(ii) Pour tous R,S K(X) : (R + S) 6 max

{ R, S

}et (RS) = R + S,

et si R est non constante : R = R 1.

En outre, le degr dun polynme concide avec son degr comme fraction rationnelle.

$$ $ Attention ! Seule la fraction rationnelle 0 est de degr , mais une fraction rationnelle peut tre de degr positifsans tre un polynme. Par exemple, la fraction rationnelle

X4 +X3 + 1

X2 + 3est de degr 4 2 = 2 sans tre un polynme.

1.2 Fonctions rationnelles, zros et ples

Dfinition (Fonction rationnelle) Soient R =A

B K(X) irrductible et A et B les fonctions polynomiales associes

respectivement A et B. La fonction xR7 A(x)

B(x)dfinie sur K priv des racines de B est appele la fonction rationnelle

associe R. Cette dfinition est possible car elle dpend seulement de R et non de A et B eux-mmes.

Explication On impose ici lcriture R =A

Bdtre irrductible pour que le dnominateur de R ait le moins

de racines possible, et donc pour que la fonction R soit dfinie sur le plus grand ensemble possible. Par exemple, la fonction

rationnelle x 7 x3 + x+ 1

x 1 est dfinie sur R \{1}, mais la fonction x 7 x(x

3 + x+ 1)

x(x 1) lest seulement sur R \{0, 1

}.

Dfinition (Zro et racine dune fration rationnelle, ordre de multiplicit) Soit R =A

B K(X) irrductible.

Soit K. On dit que est un zro de R si est une racine de A. La multiplicit de dans A est alors appele lamultiplicit de dans R.

Soit K. On dit que est un ple de R si est une racine de B. La multiplicit de dans B est alors appele lamultiplicit de dans R. Un ple de multiplicit 1 est aussi appel un ple simple ; de multiplicit 2, un ple double.

Explication On a bien pris soin ici de travailler avec une forme irrductible de R : quand A et B sont premiers entreeux, il est certain quils nont pas de racine commune. La confusion zro/ple est donc impossible.

Exemple Dans R(X), la fraction(X2 + 1)(X 2)3(X + 1)X

(X 1)2(X2 +X + 1) a pour zros les rels 1, 0 et 2 et pour ple le seul rel 1. Lamultiplicit de 2 est gale 3, celle de 1 est 2, etc.

2


2 Etude locale dune fraction rationnelle

2.1 Partie entire

Thorme (Partie entire) Soit R =A

B K(X). Il existe un unique polynme E K[X] et une unique fraction

rationnelle Q K(X) tels que :R = E +Q et Q < 0.

Le polynme E est appel la partie entire de R. Il est gal au quotient de la division euclidienne de A par B.

Dmonstration

Existence : Ecrivons R = AB

et introduisons la division euclidienne (E,F ) de A par B. Alors aussitt

R =A

B=

EB + F

B= E+

F

B. Posant Q =

F

B, nous obtenons bien le rsultat voulu, car Q = F B < 0.

Unicit : Soient R = E + Q et R = E + Q deux dcompositions de R conformes lnonc du thorme.Alors E E = QQ. Comme (QQ) 6 max{ Q, Q} < 0 et comme E E est un polynme, alors(E E) = , i.e. E = E. Du coup Q = Q.

Exemple La partie entire de la fractionX4 3X3 + 5X2 1

X2 3X + 1 est X2 + 4.

En effet Petite division euclidienne : X4 3X3 + 5X2 1 = (X2 3X + 1)(X2 + 4) + (12X 5).

2.2 Parties polaires

Thorme (Partie polaire associe un ple) Soient R K(X) et K un ple de R de multiplicit m. Il existe uneunique famille (a1, a2, . . . , am) Km et une unique fraction rationnelle Q K(X) nadmettant pas pour ple telles que :

R =mk=1

ak

(X )k +Q. La sommemk=1

ak

(X )k est appele la partie polaire de R associe .

Les ples de Q sont alors exactement les ples de R autres que , avec les mmes multiplicits.

Dmonstration Nous admettrons ce rsultat pour gagner du temps.

En pratique La mthode ci-dessous de multiplication par (X )m puis dvaluation en est la base de la base !

Exemple La partie polaire deX2 + 3X + 1

(X 1)2(X 2) associe au ple 1 est 5

(X 1)2 10

X 1 .

En effet Il existe a, b R et Q R[X] nadmettant pas 1 pour ple tels que :

X2 + 3X + 1

(X 1)2(X 2) =a

(X 1)2 +b

X 1 +Q.

Calcul de a : Multiplions par (X1)2 puis valuons en 1. Sachant que 1 nest pas un ple de Q : a = 5. Calcul de b : Pour calculer b, dbarrassons-nous du terme a

(X 1)2 :

b

X 1 +Q =X2 + 3X + 1

(X 1)2(X 2) +5

(X 1)2 =X2 + 8X 9

(X 1)2(X 2) =(X 1)(X + 9)(X 1)2(X 2) =

X + 9

(X 1)(X 2) .

Multiplions alors par X 1 puis valuons en 1. Sachant que 1 nest pas un ple de Q : b = 10.

3


Thorme (Partie polaire associe un ple simple) Soient R =A

B K(X) et K. On suppose que est ple

simple de R, de sorte que : R =a

X +Q pour certains a K et Q K(X) nadmettant pas pour ple.

Alors : a =A()

B().

En pratique Ce thorme vient complter la mthode de multiplication par X puis dvaluation en dans lecas des ples simples. Choisissez, en fonction de la forme de B, celle des deux mthodes qui vous parat la plus rapide.

Dmonstration Comme est ple simple de R, B = (X)C pour un certain C K[X] avec C() 6= 0. AlorsA

C= (X )R = a+ (X )Q, donc si nous valuons en : a = A()

C().

Or B = C + (X )C donc B() = C(), et enfin comme voulu : a = A()C()

=A()

B().

2.3 Dcomposition en lments simples dans C(X)

Thorme (Dcomposition en lments simples dans C(X)) Soit R C(X). Alors R est la somme de sa partieentire et de ses parties polaires. En dautres termes, si E est la partie entire de R et si 1, 2, . . . , r sont les ples distinctsde R de multiplicits respectives m1,m1, . . . , mr :

On noublie pas la partie entire !

R = E +r

i=1

mij=1

aij

(X i)j pour certains aij C uniques.

Cette dcomposition de R est appele la dcomposition en lments simples de R (dans C(X)).

Dmonstration Nous admettrons ce rsultat pour gagner du temps.

En pratique Le tableau ci-dessous recense quelques techniques classiques de calcul des coefficients dunedcomposition en lments simples. Je vous les donne ici titre essentiellement culturel car nous nous contenterons dutiliser, parsouci de simplicit, la mthode de multiplication par (X)m puis dvaluation en . A des fins dillustration, intressons-nous la dcomposition en lments simples suivante :

1

X(X2 + 4)=

a

X+

b

X 2i +c

X + 2io a, b, c C restent dterminer.

Multiplication par (X )mpuis valuation en

Multiplions par 2i puis valuons en 2i : b = 18.

Ples simples

Pour A = 1 et B = X(X2 + 4), sachant que B = 3X2 + 4 : a =A(0)

B(0)=

1

4

et b =A(2i)

B(2i)=

1

3(2i)2 + 4= 1

8.

Evaluation en un point Evaluons en i : i3= ia+ ib ic

3, ou encore : 3a 3b + c = 1.

Multiplication par Xm

puis passage la limite en Multiplions par X puis valuons en x R, et faisons tendre enfin x vers :0 = a+ b+ c.

Parit/imparit

Comme1

X(X2 + 4)est impaire, remplaons X par X dans et multiplions

par 1 : 1X(X2 + 4)

=a

X+

b

X + 2i+

c

X 2i , puis identifions : b = c.

ConjugaisonConjuguons :

1

X(X2 + 4)=

a

X+

b

X + 2i+

c

X 2i , puis identifions :a = a et c = b.

4


Exemple La dcomposition en lments simples deX5

X4 1 dans C(X) est :X5

X4 1 = X+1

4

[1

X 1 +1

X + 1 1X i

1

X + i

].

En effet

Forme de la dcomposition en lments simples : Comme X5 = X(X4 1)+X, la partie entire deX5

X4 1 est X. La dcomposition en lments simples deX5

X4 1 dans C(X) est donc de la forme :

X5

X4 1 =X5

(X 1)(X + 1)(X i)(X + i) = X+a

X 1+b

X + 1+

c

X i+d

X + ipour certains a, b, c, d C.

Calcul de a : Multiplions par X 1 puis valuons en 1 : a = 14.

Calcul de c : De mme, multiplions par X i puis valuons en i : c = 14.

Calcul de b et d : b = 14

et d = 14.

Exemple La dcomposition en lments simples deX

(X2 +X + 1)(X + 1)2dans C(X) est :

X

(X2 +X + 1)(X + 1)2=

i3

( 1X j +

1

X j

) 1

(X + 1)2, o j = e

2ipi

3 .

En effet

Forme de la dcomposition en lments simples : De degr strictement ngatif, X(X2 +X + 1)(X + 1)2

est de partie entire nulle. La dcomposition cherche scrit donc, pour certains a, b, c, d C :

X

(X2 +X + 1)(X + 1)2=

X

(X j)(X j)(X + 1)2 =a

X j +b

X j +c

(X + 1)2+

d

X + 1.

Calcul de a et b : Multiplions par X j puis valuons le rsultat obtenu en j :

a =j

(j j)(j + 1)2 =j(

i3)( j2)2 = i3 . De mme : b = i3 .

Calcul de c : Multiplions par (X + 1)2 puis valuons en 1 : c = (1)(1)2 + (1) + 1 = 1.

Calcul de d : Dbarrassons-nous du terme c(X + 1)2

:

a

X j +b

X j +d

X + 1=

X

(X2 +X + 1)(X + 1)2+

1

(X + 1)2=

X2 + 2X + 1

(X2 +X + 1)(X + 1)2=

1

X2 +X + 1.

Multiplions alors par X + 1 puis valuons en 1 : d = 0.

3 Application au calcul intgral

3.1 Intgrales de fractions rationnelles

En pratique

La dcomposition en lments simples des fractions rationnelles est utilise notamment pour le calcul de leurs primitives.

Partie entire Facile primitiver.

1

(X )n avec n > 2 Primitive x 7 1

(n 1)(x )n1 .

1

X avec R Primitive x 7 ln |x |.

1

X (a+ ib) avec a R et b R

1

X (a+ ib) =(X a) + ib(X a)2 + b2 =

1

2 2(X a)

(X a)2 + b2 +ib

(X a)2 + b2 .

Primitive x 7 12

ln((x a)2 + b2)+ i Arctan x a

b.

5


Cas particulier : Les fonctions rationnelles de la forme x 7 ax+ bx2 + px+ q

pour certains a, b, p, q R avec p2 4q < 0(discriminant ngatif au dnominateur) mritent dtre primitives sans dcomposition en lments simples.

On commence par isoler de force un morceau u

u :

ax+ b

x2 + px+ q=

a

2 2x+ px2 + px+ q

+ . . . quonsait primitiver sans problme. Le terme restant not . . . est de la forme

c

X2 + pX + q. Aprs avoir mis le dnominateur sous forme

canonique, on primitive laide dune arctangente.

Exemple

12

0

t5 dt

t4 1 =1

8+

1

4ln

3

5.

En effet Pour tout t [0,

1

2

]:

t5

t4 1 = t+1

4

[1

t 1 +1

t+ 1 1t i

1

t+ i

]= t+

1

4

[1

t 1 +1

t+ 1 2tt2 + 1

]comme on la vu au paragraphe prcdent. En particulier : 1

2

0

t5 dt

t4 1 =[t2

2+

1

4

[ln(1 t) + ln(t+ 1) ln(t2 + 1)]]t= 12

t=0

=

[t2

2+

1

4ln

1 t21 + t2

]t= 12

t=0

=1

8+

1

4ln

3

5.

Exemple limx

x0

t dt

(t2 + t+ 1)(t+ 1)2=

2pi

33 1, ce quon note aussi :

0

t dt

(t2 + t+ 1)(t+ 1)2=

2pi

33 1.

En effet Nous avons dj calcul la dcomposition en lments simples de la fractionX

(X2 +X + 1)(X + 1)2.

Pour tout t R+ : t(t2 + t+ 1)(t+ 1)2

=i3

( 1t j +

1

t j

) 1

(t+ 1)2=

i3 (j j)t

(t j)(t j) 1

(t+ 1)2

Aussitt, pour tout x R+ :

=1

t2 + t+ 1 1

(t+ 1)2=

1(t+

1

2

)2+

3

4

1(t+ 1)2

.

x0

t dt

(t2 + t+ 1)(t+ 1)2=

23 Arctant+

1

23

2

+1

t+ 1

t=x

t=0

=23Arctan

2x+ 13

+1

x+ 1 2

3Arctan

13 1,

et enfin : limx

x0

t dt

(t2 + t+ 1)(t+ 1)3=

23 pi

2+ 0 2

3 pi

6 1 = 2pi

33 1.

3.2 Intgrales de fractions rationnelles en sinus et cosinus

En pratique Soit R une fraction rationnelle de deux variables par exemple R(X,Y ) =X + Y 2

X3 XY + Y . Dans le

cas o cette intgrale est bien dfinie, nous cherchons calculer des intgrales de la forme

ba

R(cos t, sin t) dt. Le calcul repose

sur certains changements de variables appels rgles de Bioche qui nous ramnent toujours au calcul dune intgrale de fractionrationnelle classique. Les rgles de Bioche sont hors programme donc vous navez pas les connatre, mais il nest pas inutile desavoir quelles existent.

Si la quantit R(cos t, sin t) dtAttention !

nest pas modifie quand on remplace t par t, changement de variable x = cos t. Si la quantit R(cos t, sin t) dt nest pas modifie quand on remplace t par pi t, changement de variable x = sin t. Si la quantit R(cos t, sin t) dt nest pas modifie quand on remplace t par pi+ t, changement de variable x = tan t. Enfin, si aucune des rgles prcdentes ne sapplique, changement de variable x = tan t

2. Rappelons ici trois formules

indispensables : cos t =1 x21 + x2

, sin t =2x

1 + x2et tan t =

2x

1 x2 . En ralit, cette dernire rgle de Bioche marche tous les coups, mais elle complique souvent les calculs par rapport aux trois prcdentes.

Exemple

pi0

sin t dt

4 cos2 t =ln 3

2.

En effet Pour commencer :

pi0

sin t dt

4 cos2 tx=cos t=

1

1

dx4 x2 =

1

1

dx

4 x2 . Ensuite, il nest pas dur de

trouver la dcomposition en lments simples de1

4X2 :1

4X2 =1

4

[1

X + 2 1X 2

].

Conclusion :

pi0

sin t dt

4 cos2 t = 11

dx

4 x2 =1

4

[ 11

dx

x+ 2 11

dx

x 2]=

1

4

[ln

2 + x

2 x]x=1x=1

=ln 3

2.

6


Exemple Pour tout ]1,[ :

2pi

0

dt

+ sin t=

2pi2 1 .

En effet Fixons ]1,[. Ici, seul le changement de variable x = tan t2convient. Or ce changement de variable

ne peut tre effectu que si t dcrit par exemple lintervalle ] pi, pi[. 2pi0

dt

+ sin t=

pipi

dt

+ sin tpar 2pi-priodicit de la fonction sinus

= limrpi

rr

dt

+ sin tcar r 7

rr

dt

+ sin test continue sur R daprs le thorme fondamental de lanalyse

= limrpi

tan r

2

tan r2

1

+2x

1 + x2

2 dx1 + x2

daprs le changement de variable x = tant

2

= lims

ss

2 dx

x2 + 2x+ aprs une composition de limites.

Nous allons calculer sparment cette nouvelle intgrale. Pour tout s R : ss

2 dx

x2 + 2x+ =

2

ss

dx

x2 +2

x+ 1

=2

ss

dx(x+

1

)2+2 12

=2

[2 1 Arctan

1 + x2 1

]x=sx=s

.

On obtient le rsultat voulu en faisant tendre s vers .

7

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