Cours Maths S 10

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MATHEMATIQUES Série SNº : 32010

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Fiche Cours

Plan de la ficheI - Les parties d’un ensemble EII - ProbabilitéIII - Probabilité conditionnelleIV - Variable aléatoireV - Lois discrètes usuellesVI - Loi continue

I - Les parties d’un ensemble E

Opérations sur les parties d’un ensemble

A B∪ A B∩ A B∩ = ∅

PartitionLes parties A1, A2, …, An constituent une partition de E si elles sont non vides, deux à deux disjointes et si leur réunion est égale à E.

Exemple

Dans un jeu de trente deux cartes : pique, cœur, carreau, trèfle est une partition car il n’existe pas de carte qui soit à la fois pique et cœur, pique et carreau… Ces ensembles sont bien deux à deux disjoints ; si on réunit ces quatre ensembles, on obtient le jeu de trente deux cartes.

Une autre partition du jeu de cartes et de considérer les huit hauteurs : sept, huit, neuf, dix, valet, dame, roi, as.

► À SAVOIRLes événements

Soit E ={ }1 2 kx , x ,....., x l’ensemble des issues d’une expérience aléatoire.

• On appelle événement toute partie A de E.• Un événement noté { }ix réduit à un seul élément est un événement élémentaire.• ∅ désigne l’événement impossible.• E désigne l’événement certain.• A désigne le contraire de A.• A B∩ signifie que les deux événements A et B sont réalisés simultanément.• A B∪ signifie que l’un au moins des deux événements A, B est réalisé.

Fiche 10 : Probabilités




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II - Probabilité

Loi de probabilitéLorsqu’une expérience aléatoire comporte un nombre fini d’issues, on définit sur l’ensemble E ={ }1 2 kx , x ,..., x (appelé aussi univers)

une loi de probabilité en se donnant des nombres P1, P2, …, Pk respectivement associés à x1, x2, …, xk. tels que iP ≥ 0 et i k

ii 1

P 1.=

=

=∑EquiprobabilitéOn dit qu’il y a équiprobabilité quand chaque événement élémentaire a la même probabilité d’apparition.

Exemple

a) Tirer une carte au hasard dans un jeu de 32. Le groupe de mots « au hasard » nous indique l’équiprobabilité : chaque carte a la même probabilité 1/32 d’être tirée.Dans ce cas, pour tout événement A :

( ) AP AE

nombre d'éléments de nombre de cas favorablesnombre d'éléments de nombre de cas possibles

= =

b) Dans un supermarché, il y a 150 cartons de lait, dont 8 sont avariés. Un client prend deux cartons au hasard. Quelle est la probabilité que ce client soit mécontent ?Il suffit de dénombrer les cas possibles et les cas favorables.L’ordre dans lequel il choisit ses cartons n’a pas d’importance et les répétitions ne sont pas possibles (il prend deux cartons obligatoirement distincts).

Donc on dénombrera avec n

.p

Méthode : « Calculer une probabilité simple », fiche exercices n°10 « Probabilités ».

► À SAVOIROpérations sur les probabilités

• ( )0 P A 1≤ ≤• ( )P ∅ = 0• P(E) = 1• ( )P A = 1 – P(A)• ( ) ( ) ( ) ( )P A B P A P B P A B∪ = + − ∩ • Dans le cas particulier où A et B sont disjoints ( )A B∩ = ∅ : ( ) ( ) ( )P A B P A P B .∪ = +

Exemple

On extrait simultanément et au hasard 5 cartes d’un jeu de 32. Calculer la probabilité d’obtenir trois rois ou une dame.La solution sera de la forme :( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )P 3 1 P 3 P 1 P 3 1 .rois dame rois dame rois dame∪ = + − ∩

Méthode : « Opérations sur les événements et probabilité », fiche exercices n°10 « Probabilités ».

III - Probabilité conditionnelle

Formule des probabilités conditionnellesSoit A un événement de l’ensemble E, tel que P(A) ≠ 0.On appelle probabilité conditionnelle de B sachant que A est réalisé le nombre ( ) ( ) ( )

( )A

P A BP B P B A .

P A∩

= =




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Exemple

On extrait simultanément et au hasard 5 cartes d’un jeu de 32.Calculer la probabilité pour qu’une main contenant le roi de pique contienne également la dame de pique.Attention à l’énoncé : « une main contenant le roi de pique ».Il s’agit de calculer la probabilité qu’une main contienne la dame de pique sachant qu’elle contient déjà le roi de pique. C’est-à-dire ( )P Dp / Rp où Dp désigne l’événement « tirer la dame de pique » et Rp désigne l’événement « tirer le roi de pique ».

( ) ( )( )

P Dp RpP Dp / Rp .

P Rp∩

=

Méthode : « Calcul d’une probabilité conditionnelle », fiche exercices n°10 « Probabilités ». Méthode : « Reconnaître une probabilité conditionnelle », fiche exercices n°10 « Probabilités ».

Probabilités composéesA et B sont deux événements quelconques( ) ( ) ( ) ( ) ( )P A B P A B P B P B A P A .∩ = × = ×

Méthode : « Probabilités composées », fiche exercices n°10 « Probabilités ».

Probabilités totalesSoit A1, A2, …, An des événements de probabilité non nulle, réalisant une partition de l’univers E. Alors, pour tout événement B : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2 n nP B P B A P A P B A P A .... P B A P A .= × + × + + ×

Un cas particulier important est celui où la partition se réduit à { }A, A .

La formule devient : ( ) ( ) ( ) ( ) ( )P B P B / A P A P B / A P A .= × + ×

Méthode : « Utiliser la formule des probabilités totales », fiche exercices n°10 « Probabilités ».

IndépendanceOn dit que deux événements A et B sont indépendants lorsque ( ) ( ) ( )P A B P A P B .∩ = ×

IV - Variable aléatoire

Définir une variable aléatoireUne variable aléatoire X est une fonction de E dans .

Exemples

• Quand on compte les points aux cartes (à chaque carte on associe un nombre).• Quand on jette deux dés : à chaque jet, on associe la somme des chiffres apparus sur les faces supérieures.

Loi de probabilité d’une variable aléatoireL’ensemble des valeurs prises par la variable aléatoire X est noté { }1 2 kx , x ,..., x avec les probabilités respectives 1 2 kp , p ,..., p définies par ( )i ip P X x .= =Donner la loi de probabilité de X, c’est donner la valeur de chaque pi.

Fonction de répartitionLa fonction de répartition de X est notée FX et définie par ( ) ( )XF x P X x .= ≤




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► À SAVOIREspérance mathématique, variance, écart type

Espérance mathématique

L’ espérance mathématique de X est le nombre noté ( )i k

i ii 1

E X x p=

=

= ×∑ (cette notion correspond à celle de moyenne arithmétique).

VarianceLa variance de X est le nombre réel positif noté ( )V X .

( ) ( )( ) ( ) ( )( )i k i k2 22

i i i ii 1 i 1

V X x E X p x p E X .= =

= =

= − × = × −

∑ ∑

Ecart-typeL’écart-type est le nombre X V(X).σ =

Propriétés de l’espérance, de la variance, de l’écart type• ( ) ( )E aX aE X= ; ( ) ( )E X b E X b+ = + ;

• ( ) ( )2V aX a V X= ; ( ) ( )V X b V X+ = ;

• ( ) XaX aσ = σ ; ( ) XX b .+σ = σ

Méthode : « Etude d’une variable aléatoire discrète », fiche exercices n°10 « Probabilités ».

V - Lois discrètes usuelles

Loi de BernoulliOn considère une épreuve aléatoire à deux issues contraires (épreuve de Bernoulli) notées S (pour succès) de probabilité p et E (pour échec) de probabilité 1 – p.X est la variable aléatoire à valeurs dans { }0,1 définie ainsi : • X = 0 si l’issue de l’épreuve est E ;• X = 1 si l’issue de l’épreuve est S.On dit alors que X suit une loi de Bernoulli de paramètre p.On a ( )E X p= et ( ) ( )V X p 1 p .= −

Loi binomialeUn schéma de Bernoulli est la répétition de n épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes d’issues contraires S et E de probabilités respectives p et 1 – p. On considère la variable aléatoire X qui compte le nombre de S obtenus au cours de ces n épreuves.La variable X est à valeurs dans {0, 1, 2, … , n}.On dit alors que X suit une loi binomiale de paramètres n et p, et on a :

• ( ) ( )n kknP X k p 1 p

k−

= = × −

;

• ( )E X np= ;• ( ) ( )V X np 1 p .= −

Méthode : « Reconnaître une loi binômiale », fiche exercices n°10 « Probabilités ».

VI - Loi continue

Loi continue, loi discrèteLes paragraphes précédents concernent des univers discrets, c’est-à-dire des univers où l’on peut distinguer les éléments les uns des autres. Dans cette partie, on considère des univers où l’on ne peut plus distinguer les éléments les uns des autres.




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Par exemple, on considère un robinet qui goutte. On peut distinguer la première goutte de la deuxième goutte, de la troisième goutte, etc. si on met une cuvette sous ce robinet. Dans cette cuvette, les gouttes sont indiscernables : on est passé d’un univers discret à un univers continu.

Loi de probabilité d’une variable continueUne loi de probabilité P sur un intervalle [ ]I a, b= de est déterminée par une fonction f définie, continue, positive sur I telle que

b

a(x)dx 1.=∫ f

Cette fonction f s’appelle la densité de probabilité de P.Pour tout intervalle[ ],α β inclus dans I, la probabilité de [ ],α β est [ ]( ) ( )P , x dx.

β

αα β = ∫ f

L’intégrale (x)dxβ

α∫ f représente une surface,

donc [ ]( ) [ [( ) ] ]( ) ] [( )P , P , P , P , ,α β = α β = α β = α βcar une surface reste la même que l’on inclue les bords ou non.

Variable aléatoire continueUne variable aléatoire X à valeurs dans [ ]I a, b= suit une loi de probabilité P (ci-dessus définie) si ( )

x

aP a X x (x)dx≤ ≤ = ∫ f pour

tout x de [ ]a, b .

Méthode : « Etude d’une variable aléatoire continue », fiche exercices n°10 « Probabilités ».

Loi uniformeLa loi uniforme sur [ ]I a, b= est la loi de probabilité P dont la densité f est une fonction constante sur [ ]I a, b .=

Cette constante vaut 1 .

b a−La probabilité d’un intervalle [ ]J , I= α β ⊂ est

I .b a J

longueur de longueur de

β − α=

−

Exemple

La variable aléatoire X suit une loi uniforme sur [ ]2,10 . ( ) 9 5 4 1P 5 X 9 .10 2 8 2−

< < = = =−

Loi exponentielleSoit λ un réel strictement positif, la fonction f définie sur [ [0,+∞ par ( ) ss e−λ= λf est la densité d’une loi de probabilité P, appelée loi exponentielle de paramètre .λUne variable aléatoire T à valeurs dans [ [0,+∞ suit la loi exponentielle de paramètre λ lorsque ( )

ts

0P 0 T t e ds.−λ≤ ≤ = λ∫

On a alors ( ) tP 0 T t 1 e−λ≤ ≤ = − et ( ) tP T t e .−λ≥ =On remarque que ( )P T 0 0.≤ =La loi exponentielle est une loi sans mémoire : ( ) ( )( )P T t h / T t≥ + ≥ ne dépend pas de t (avec t et h positifs), c’est-à-dire ( ) ( )( ) ( )P T t h / T t P T h .≥ + ≥ = ≥

Exemple

La fonction f définie sur [ [0,+∞ par 5s(s) 5e−=f est la densité de probabilité d’une loi exponentielle de paramètre 5.

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