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Oscillations libres non amorties des Systmes
A un seul degr de libert
Oscillations libres non amorties des Systmes
A un seul degr de libert
Oscillations libres non amorties des Systmes
Chapitre I Oscillations libres non amorties des systmes un seul degr de libert
Physique 3 C.A-G.M Dpartement Sciences et Techniques Page 1
Chapitre I
Oscillations libres non amorties des systmes un seul
degr de libert
1. Introduction :
Sous la vibration on comprendra tout les processus oscillatoires qui ont lieu dans les appareils et les
machines comme la suite de lexcitation des constructions par des forces dynamiques.
Les vibrations se prsentent pendant le transport et lexploitation.
On distingue deux types de sources excitant les oscillations : extrieures et intrieures.
Sources extrieures :
- Irrgularit de la route ;
- turbulence de latmosphre ;
- bruit acoustique;
- agitation de leau.
Et comme sources intrieures :
- Rotation non uniforme dun arbre ;
- rotations des pices dune transmission ou des mcanismes.
Dhabitude les vibrations produites par les sources extrieures sont plus intenses par rapport aux
celles des sources intrieures.
2. Classification des processus oscillatoires (vibratoires) :
Processus oscillatoire
Indtermin
(Alatoire) Dtermin
Mixte
- Stationnaire
- Non stationnaire (choc)
- Parfaitement alatoire
(bruit blanc)
- Markovien.
- Alatoire bande large.
- Alatoire bande troite.
Priodique Apriodique
- Harmonique.
- Poly-harmonique.
- Presque priodique
(Casi- priodique)
- Transitoire
Chapitre I Oscillations libres non amorties des systmes un seul degr de libert
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3. Caractristique dune oscillation sinusodale harmonique :
Une oscillation est dite priodique, si les variations de son amplitude se reproduisent rgulirement
au bout d'une priode constante. La figure ci-dessous montre la courbe dune oscillation signal priodique.
La dure d'une priode corresponde une rotation de 360 degrs (ou 2 radians) sur le cercle
trigonomtrique.
La priode : Cest la dure d'un cycle, elle s'exprime en seconde et ses sous-multiples (voir units) :
Milliseconde:1 0,001 Microseconde: 1 0,000.001 Nanoseconde: 1 0,000.000.001 La frquence : Elle correspond au nombre de cycles effectus par secondes. L'unit est lHertz
(symbole Hz) avec ses multiples :
Kilohertz, 1 kHz = 1000 Hz, Mgahertz, 1 MHz = 1000 000 Hz, Gigahertz, 1 GHz = 1000 000 000 Hz.
On peut aussi associer les units suivantes : ms et kHz, s et MHz, ns et GHz.
Exemple de calcul : Pour une frquence de 50 Hz la priode est gale : 20 . La pulsation : Elle s'exprime en / et se calcule l'aide de la formule :
. !. " . !
Cette fonction peut scrire (voir la figure ci-dessus): #$%& '. ()*$. % + ,& O : ': est lamplitude maximale, : la pulsation . , %: le temps , : la priode ,: Angle de phase , : frquence /0 " 1 .
Chapitre I Oscillati
Physique 3 C.A-G.M
4. Quelques processus oscillatoires
Oscillatoire harmonique
Casi- harmonique :
Distortionnel sinusodal :
Harmonique pendant le processus transitoire
Harmonique pendant les battements
Alatoire bande large :
Alatoire bande troite
Oscillations libres non amorties des systmes un seul degr de libert
Dpartement Sciences et Techniques
Quelques processus oscillatoires :
:
:
Harmonique pendant le processus transitoire :
Harmonique pendant les battements :
:
Alatoire bande troite :
s des systmes un seul degr de libert
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Chapitre I Oscillations libres non amorties des systmes un seul degr de libert
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5. Dfinition de la vibration :
On entend par vibration tout mouvement qui avec ou sans vitesse initiale, aprs un
dplacement initial, oscille dune manire libre. Exemple :
Systmes mcaniques : Masse-ressort, pendule simple.
Systmes lectriques.
Systmes acoustiques.
Systmes optiques : lasers.
6. Coordonnes gnralises :
6.1. Coordonnes cartsiennes :
On dfinit par les coordonnes cartsiennes dun point 1 par rapport lorigine 2 par le vecteur de position 2133333334 334
6.2. Coordonnes cylindriques :
334 213333334 . 5334 + 0. 53340
6 . 78 . 7
0 0
Coordonnes cartsiennes :
334 213333334 6. 53346 + 8. 53348 + 0. 53340
6 68 80 0
Coordonnes cartsiennes :
Chapitre I Oscillati
Physique 3 C.A-G.M
6.3. Coordonnes sphriques
6.3. Angle dEuler :
Prcession: par rotation de
Nutation: par rotation de
Rotation propre: par rotation de
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sphriques :
6 . 7. 98 . 7. 9
0 . 7
Coordonnes cartsiennes
334 213333334 .
par rotation de 9 autour de 20 : 6 : 6 et 8 : 8 par rotation de autour de 26 : 8 : 8< et 0 : 0< $0 , "@@ 7, @@ AA 9&.
Les coordonnes gnralises, dun systme de B points matriels et C corps solides est dfinie par : D E. B F G. C coordonnes.
On dsigne par :
H$%&, H $%&, HE$%&, . . HD$%& Les coordonnes gnralises. HJ $%&, H J $%&, HEJ $%&, HDJ $%& Les vitesses gnralises. 7. Degr de libert :
Cest le nombre de coordonnes indpendantes ncessaires pour dterminer la position de chaque
lment dun systme pendant son mouvement tout instant.
On crit alors : K F o K 3> F 6N 3> F 6N F : Degr de libert (ddl). K: Nombre de coordonnes gnralises. : Nombre de relations entre les coordonnes (nombre de liaisons). Exemple :
Soit un systme mcanique constitu de deux points 1 et 1< relis par une tige de longueur O. Trouver le nombre de degr de libert de ce systme. 1P6,8, 0Q : 3 1
Chapitre I Oscillations libres non amorties des systmes un seul degr de libert
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8. Etablissement de lquation du mouvement :
Pour tablir lquation du mouvement pour un systme mcanique passif, il est impratif
dtablir lquation diffrentielle qui reflte le comportement du mobile (systme) on se basant sur
un modle mcanique bien connu.
Un systme mcanique de protection ou disolation est dit passif sil est constitu des
lments mcaniques ordinaires tels quun ressort, amortisseur. Et il est dit actif sil est constitu
dun systme asservi. Les systmes semi-actifs se sont des systmes combins passif et actif en
mme temps .
Parmi les modles mathmatiques connus, on utilise souvent le modle de Maxwell qui
repose sur un systme constitu dune masse et un ressort, et le modle de Kelvin-Voigt compos
galement dune masse, un ressort et en plus un amortisseur.
Approximation et hypothses :
Dans notre cours, on considre que le systme est linaire et que la force damortissement
est proportionnelle la vitesse on ne considre que lamortissement visqueux sans tenir compte
des autres types damortissements ; et on utilise le modle de Maxwell et celui de Kelvin-Voigt
pour modliser un systme mcanique. Aussi on considre que les lments mcaniques constituant
le systme sont linaires et laction des perturbations extrieures est aussi linaire.
Donc partir dun modle, on tabli lquation diffrentielle on se basant principalement sur le
formalisme de Lagrange, et lintgration de lEDF permet de donner lquation finale du
mouvement.
Hypothses
Rsultats
Fo
rma
lism
e d
e H
am
ilto
n
Fo
rma
lism
e
de
La
gra
ng
e
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8.1. Formalisme de Lagrange :
Ce formalisme repose sur la fonction de Lagrange X F 5 et dfini par :
Y Z @ [\X\]J^ _ F
\X\]`a
b
`c 0
O X: Fonction de Lagrange : Lnergie cintique du systme 5: Lnergie potentielle du systme Pour un systme un degr de libert : 1 O
@ [\X\]J _ F
\X\