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Rsolution de systmes linaires : Mthodesdirectes

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Proprits mathmatiq

Rappels mathmatiqu

Exemples

Proprits

Principe gnral des

algorithmes

Triangularisation

Forme matricielle de la

triangularisation

Conditions

Recherche de pivots m

Conditionnement

Proprits mathmatiques - p. 2/51

Proprits mathmatiques

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Proprits mathmatiq

Rappels mathmatiqu

Exemples

Proprits

Principe gnral des

algorithmes

Triangularisation

Forme matricielle de la

triangularisation

Conditions

Recherche de pivots m

Conditionnement

Proprits mathmatiques - p. 3/51

Rappels mathmatiques

Soit rsoudre le systme linaireAx = b.

A

Mn(IR) :

matrice carre de dimension n

n

x, b IRn : vecteurs de dimension n.

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Proprits mathmatiq

Rappels mathmatiqu

Exemples

Proprits

Principe gnral des

algorithmes

Triangularisation

Forme matricielle de la

triangularisation

Conditions

Recherche de pivots m

Conditionnement

Proprits mathmatiques - p. 3/51

Rappels mathmatiques

Soit rsoudre le systme linaireAx = b.

A

Mn(IR) :

matrice carre de dimension n

n

x, b IRn : vecteurs de dimension n.

CNS dexistence de la solution :

Le systme Ax = b a une solution unique si et seulement si sondterminant est non nul.

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Proprits mathmatiq

Rappels mathmatiquExemples

Proprits

Principe gnral des

algorithmes

Triangularisation

Forme matricielle de la

triangularisation

Conditions

Recherche de pivots m

Conditionnement

Proprits mathmatiques - p. 3/51

Rappels mathmatiques

Soit rsoudre le systme linaireAx = b.

A

Mn(IR) :

matrice carre de dimension n

n

x, b IRn : vecteurs de dimension n.

CNS dexistence de la solution :

Le systme Ax = b a une solution unique si et seulement si sondterminant est non nul.

Si le dterminant est nul : Si b Im(A) le systme a une infinit de solutions Si b IRn Im(A) le systme na pas de solution

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Rappels mathmatiquExemples

Proprits

Principe gnral des

algorithmes

Triangularisation

Forme matricielle de la

triangularisation

Conditions

Recherche de pivots m

Conditionnement

Proprits mathmatiques - p. 4/51

Exemples

Exemple 1 :2x1 + 3x2 = 54x1 3x2 = 1

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Proprits mathmatiq

Rappels mathmatiquExemples

Proprits

Principe gnral des

algorithmes

Triangularisation

Forme matricielle de la

triangularisation

Conditions

Recherche de pivots m

Conditionnement

Proprits mathmatiques - p. 4/51

Exemples

Exemple 1 :2x1 + 3x2 = 54x1 3x2 = 1

Le dterminant vaut D = 18, le systme a une solution uniquex1 = 1, x2 = 1

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Proprits mathmatiq

Rappels mathmatiquExemples

Proprits

Principe gnral des

algorithmes

Triangularisation

Forme matricielle de la

triangularisation

Conditions

Recherche de pivots m

Conditionnement

Proprits mathmatiques - p. 4/51

Exemples

Exemple 1 :2x1 + 3x2 = 54x1 3x2 = 1

Le dterminant vaut D = 18, le systme a une solution uniquex1 = 1, x2 = 1

Exemple 2 :2x1 + 3x2 = 5

4x1 + 6x2 = 10

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Rappels mathmatiquExemples

Proprits

Principe gnral des

algorithmes

Triangularisation

Forme matricielle de la

triangularisation

Conditions

Recherche de pivots m

Conditionnement

Proprits mathmatiques - p. 4/51

Exemples

Exemple 1 :2x1 + 3x2 = 54x1 3x2 = 1

Le dterminant vaut D = 18, le systme a une solution uniquex1 = 1, x2 = 1

Exemple 2 :2x1 + 3x2 = 5

4x1 + 6x2 = 10

Le dterminant vaut D = 0, le systme a une infinit de solutions :(1, 1) + (3, 2), ( IR).

E l

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Rappels mathmatiquExemples

Proprits

Principe gnral des

algorithmes

Triangularisation

Forme matricielle de la

triangularisation

Conditions

Recherche de pivots m

Conditionnement

Proprits mathmatiques - p. 4/51

Exemples

Exemple 1 :2x1 + 3x2 = 54x1 3x2 = 1

Le dterminant vaut D = 18, le systme a une solution uniquex1 = 1, x2 = 1

Exemple 2 :2x1 + 3x2 = 5

4x1 + 6x2 = 10

Le dterminant vaut D = 0, le systme a une infinit de solutions :(1, 1) + (3, 2), ( IR).

Exemple 3 :2x1 + 3x2 = 5

4x1 + 6x2 = 9

E l

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Proprits mathmatiq

Rappels mathmatiquExemples

Proprits

Principe gnral des

algorithmes

Triangularisation

Forme matricielle de la

triangularisation

Conditions

Recherche de pivots m

Conditionnement

Proprits mathmatiques - p. 4/51

Exemples

Exemple 1 :2x1 + 3x2 = 54x1 3x2 = 1

Le dterminant vaut D = 18, le systme a une solution uniquex1 = 1, x2 = 1

Exemple 2 :2x1 + 3x2 = 5

4x1 + 6x2 = 10

Le dterminant vaut D = 0, le systme a une infinit de solutions :(1, 1) + (3, 2), ( IR).

Exemple 3 :2x1 + 3x2 = 5

4x1 + 6x2 = 9

Le dterminant vaut D = 0, le systme na pas de solution.

P it

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Rappels mathmatiquExemples

Proprits

Principe gnral des

algorithmes

Triangularisation

Forme matricielle de la

triangularisation

Conditions

Recherche de pivots m

Conditionnement

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Proprits

On ne change pas la solution dun systme linaire lorsque :

P it

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Proprits mathmatiq

Rappels mathmatiquExemples

Proprits

Principe gnral des

algorithmes

Triangularisation

Forme matricielle de la

triangularisation

Conditions

Recherche de pivots m

Conditionnement

Proprits mathmatiques - p. 5/51

Proprits

On ne change pas la solution dun systme linaire lorsque :

on permute deux lignes,

P it

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Proprits mathmatiq

Rappels mathmatiquExemples

Proprits

Principe gnral des

algorithmes

Triangularisation

Forme matricielle de la

triangularisation

Conditions

Recherche de pivots m

Conditionnement

Proprits mathmatiques - p. 5/51

Proprits

On ne change pas la solution dun systme linaire lorsque :

on permute deux lignes,

on permute deux colonnes,

Proprits

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Proprits mathmatiq

Rappels mathmatiquExemples

Proprits

Principe gnral des

algorithmes

Triangularisation

Forme matricielle de la

triangularisation

Conditions

Recherche de pivots m

Conditionnement

Proprits mathmatiques - p. 5/51

Proprits

On ne change pas la solution dun systme linaire lorsque :

on permute deux lignes,

on permute deux colonnes,

on multiplie une ligne par un rel non nul,

Proprits

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Rappels mathmatiquExemples

Proprits

Principe gnral des

algorithmes

Triangularisation

Forme matricielle de la

triangularisation

Conditions

Recherche de pivots m

Conditionnement

Proprits mathmatiques - p. 5/51

Proprits

On ne change pas la solution dun systme linaire lorsque :

on permute deux lignes,

on permute deux colonnes,

on multiplie une ligne par un rel non nul,

on ajoute une ligne une autre.

Proprits

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Proprits mathmatiq

Rappels mathmatiquExemples

Proprits

Principe gnral des

algorithmes

Triangularisation

Forme matricielle de la

triangularisation

Conditions

Recherche de pivots m

Conditionnement

Proprits mathmatiques - p. 5/51

Proprits

On ne change pas la solution dun systme linaire lorsque :

on permute deux lignes,

on permute deux colonnes,

on multiplie une ligne par un rel non nul,

on ajoute une ligne une autre.

Nous allons donc utiliser ces transformations pour se ramener uncas simple.

Proprits

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Proprits mathmatiq

Rappels mathmatiquExemples

Proprits

Principe gnral des

algorithmes

Triangularisation

Forme matricielle de la

triangularisation

Conditions

Recherche de pivots m

Conditionnement

Proprits mathmatiques - p. 5/51

Proprits

On ne change pas la solution dun systme linaire lorsque :

on permute deux lignes,

on permute deux colonnes,

on multiplie une ligne par un rel non nul,

on ajoute une ligne une autre.

Nous allons donc utiliser ces transformations pour se ramener uncas simple.

! Ces proprits sont vraies dansIR pas dansIF

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Proprits mathmatiq

Principe gnral des

algorithmes

Les matrices triangulai

Algorithme de remont

Mthodes

Mthodes (suite)

Ce quil reste faire

Triangularisation

Forme matricielle de la

triangularisation

Conditions

Recherche de pivots m

Conditionnement

Principe gnral des algorithmes - p. 6/51

Principe gnral des algorithmes

Les matrices triangulaires

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Proprits mathmatiq

Principe gnral des

algorithmes

Les matrices triangulai

Algorithme de remont

Mthodes

Mthodes (suite)

Ce quil reste faire

Triangularisation

Forme matricielle de la

triangularisation

Conditions

Recherche de pivots m

Conditionnement

Principe gnral des algorithmes - p. 7/51

Les matrices triangulaires

Pour certaines matrices, il est simple de calculer une solution.Dfinition Une matriceA = (aij )1i,jn est triangulairesuprieure (respectivement infrieure) si

i, j t.q. j > i (resp. j > i)

aij = 0Si A est une matrice triangulaire suprieure, et si aucun lmentdiagonal nest nul, la solution du systme Ax = b est :

xn =

bn

ann

xi =bi

nj=i+1 aij xj

aii

Si A est une matrice triangulaire infrieure, et si aucun lment

diagonal nest nul, la solution du systme Ax = b est :

x1 =b1

a11

xi =bi

i1j=1 aij xj

aii

Algorithme de remonte

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Principe gnral des

algorithmes

Les matrices triangulai

Algorithme de remont

Mthodes

Mthodes (suite)

Ce quil reste faire

Triangularisation

Forme matricielle de la

triangularisation

Conditions

Recherche de pivots m

Conditionnement

Principe gnral des algorithmes - p. 8/51

Algorithme de remonte

Dans le cas des matrices triangulaires suprieures, lalgorithme estdonc le suivant.

Donnees : A = (A[i, j])1i,jn, b = (b[i])1indebut

x[n] b[n]

A[n,n]

pour i = n 1 . . . 1 fairesum 0pour k = i + 1 . . . n faire

sum sum + A[i, k] x[k]x[i] b[i]sum

A[i,i]

fin

Algorithme de remonte

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Principe gnral des

algorithmes

Les matrices triangulai

Algorithme de remont

Mthodes

Mthodes (suite)

Ce quil reste faire

Triangularisation

Forme matricielle de la

triangularisation

Conditions

Recherche de pivots m

Conditionnement

Principe gnral des algorithmes - p. 8/51

Algorithme de remonte

Dans le cas des matrices triangulaires suprieures, lalgorithme estdonc le suivant.

Donnees : A = (A[i, j])1i,jn, b = (b[i])1indebut

x[n] b[n]

A[n,n]

pour i = n 1 . . . 1 fairesum 0pour k = i + 1 . . . n faire

sum sum + A[i, k] x[k]x[i] b[i]sum

A[i,i]

fin

partir dun systme dquations linaires quelconques,

Algorithme de remonte

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Principe gnral des

algorithmes

Les matrices triangulai

Algorithme de remont

Mthodes

Mthodes (suite)

Ce quil reste faire

Triangularisation

Forme matricielle de la

triangularisation

Conditions

Recherche de pivots m

Conditionnement

Principe gnral des algorithmes - p. 8/51

Algorithme de remonte

Dans le cas des matrices triangulaires suprieures, lalgorithme estdonc le suivant.

Donnees : A = (A[i, j])1i,jn, b = (b[i])1indebut

x[n] b[n]

A[n,n]

pour i = n 1 . . . 1 fairesum 0pour k = i + 1 . . . n faire

sum sum + A[i, k] x[k]x[i] b[i]sum

A[i,i]

fin

partir dun systme dquations linaires quelconques,on triangularise le systme,

Algorithme de remonte

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Principe gnral des

algorithmes

Les matrices triangulai

Algorithme de remont

Mthodes

Mthodes (suite)

Ce quil reste faire

Triangularisation

Forme matricielle de la

triangularisation

Conditions

Recherche de pivots m

Conditionnement

Principe gnral des algorithmes - p. 8/51

Algorithme de remonte

Dans le cas des matrices triangulaires suprieures, lalgorithme estdonc le suivant.

Donnees : A = (A[i, j])1i,jn, b = (b[i])1indebut

x[n] b[n]

A[n,n]

pour i = n 1 . . . 1 fairesum 0pour k = i + 1 . . . n faire

sum sum + A[i, k] x[k]x[i] b[i]sum

A[i,i]

fin

partir dun systme dquations linaires quelconques,on triangularise le systme,on rsout le systme triangulaire,

Algorithme de remonte

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algorithmes

Les matrices triangulai

Algorithme de remont

Mthodes

Mthodes (suite)

Ce quil reste faire

Triangularisation

Forme matricielle de la

triangularisation

Conditions

Recherche de pivots m

Conditionnement

Principe gnral des algorithmes - p. 8/51

go t e de e o te

Dans le cas des matrices triangulaires suprieures, lalgorithme estdonc le suivant.

Donnees : A = (A[i, j])1i,jn, b = (b[i])1indebut

x[n] b[n]

A[n,n]

pour i = n 1 . . . 1 fairesum 0pour k = i + 1 . . . n faire

sum sum + A[i, k] x[k]x[i] b[i]sum

A[i,i]

fin

partir dun systme dquations linaires quelconques,on triangularise le systme,on rsout le systme triangulaire,

pour cela on utilise des permutations de lignes et de colonnes etdes combinaisons linaires de lignes.

Mthodes

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Principe gnral des

algorithmes

Les matrices triangulai

Algorithme de remont

Mthodes

Mthodes (suite)

Ce quil reste faire

Triangularisation

Forme matricielle de la

triangularisation

Conditions

Recherche de pivots m

Conditionnement

Principe gnral des algorithmes - p. 9/51

Pour rsoudre le systme Ax = b, il faut appliquer les modifications la fois la matrice A et au vecteur b.Il y a deux cas possibles :

Mthodes

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Principe gnral des

algorithmes

Les matrices triangulai

Algorithme de remont

Mthodes

Mthodes (suite)

Ce quil reste faire

Triangularisation

Forme matricielle de la

triangularisation

Conditions

Recherche de pivots m

Conditionnement

Principe gnral des algorithmes - p. 9/51

Pour rsoudre le systme Ax = b, il faut appliquer les modifications la fois la matrice A et au vecteur b.Il y a deux cas possibles :

On souhaite rsoudre une seule quation Ax = b.

Mthodes

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algorithmes

Les matrices triangulai

Algorithme de remont

Mthodes

Mthodes (suite)

Ce quil reste faire

Triangularisation

Forme matricielle de la

triangularisation

Conditions

Recherche de pivots m

Conditionnement

Principe gnral des algorithmes - p. 9/51

Pour rsoudre le systme Ax = b, il faut appliquer les modifications la fois la matrice A et au vecteur b.Il y a deux cas possibles :

On souhaite rsoudre une seule quation Ax = b.On travaille sur la matrice [A b] qui a n lignes et n + 1 colonnes

Cest llimination de GAUSS

Mthodes

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algorithmes

Les matrices triangulai

Algorithme de remont

Mthodes

Mthodes (suite)

Ce quil reste faire

Triangularisation

Forme matricielle de la

triangularisation

Conditions

Recherche de pivots m

Conditionnement

Principe gnral des algorithmes - p. 9/51

Pour rsoudre le systme Ax = b, il faut appliquer les modifications la fois la matrice A et au vecteur b.Il y a deux cas possibles :

On souhaite rsoudre une seule quation Ax = b.On travaille sur la matrice [A b] qui a n lignes et n + 1 colonnes

Cest llimination de GAUSS

Pour rsoudre le systme, il fautUne triangularisation,

Une remonte (solution dun systme triangulaire).

Mthodes (suite)

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algorithmes

Les matrices triangulai

Algorithme de remont

Mthodes

Mthodes (suite)

Ce quil reste faire

Triangularisation

Forme matricielle de la

triangularisation

Conditions

Recherche de pivots m

Conditionnement

Principe gnral des algorithmes - p. 10/51

On doit rsoudre plusieurs systmes avec la mme matriceAx = b1. . . Ax = bk.

Mthodes (suite)

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algorithmes

Les matrices triangulai

Algorithme de remont

Mthodes

Mthodes (suite)

Ce quil reste faire

Triangularisation

Forme matricielle de la

triangularisation

Conditions

Recherche de pivots m

Conditionnement

Principe gnral des algorithmes - p. 10/51

On doit rsoudre plusieurs systmes avec la mme matriceAx = b1. . . Ax = bk.

On dcompose A en produit de deux matrices triangulaires (Uest suprieure et L infrieure) :

A = L U

Mthodes (suite)

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algorithmes

Les matrices triangulai

Algorithme de remont

Mthodes

Mthodes (suite)

Ce quil reste faire

Triangularisation

Forme matricielle de la

triangularisation

Conditions

Recherche de pivots m

Conditionnement

Principe gnral des algorithmes - p. 10/51

On doit rsoudre plusieurs systmes avec la mme matriceAx = b1. . . Ax = bk.

On dcompose A en produit de deux matrices triangulaires (Uest suprieure et L infrieure) :

A = L U

Une rsolution se fait grce deux systmes triangulaires

Axk = bk

Lyk = bkU xk = yk

Cest la dcomposition LU

Mthodes (suite)

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algorithmes

Les matrices triangulai

Algorithme de remont

Mthodes

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Ce quil reste faire

Triangularisation

Forme matricielle de la

triangularisation

Conditions

Recherche de pivots m

Conditionnement

Principe gnral des algorithmes - p. 10/51

On doit rsoudre plusieurs systmes avec la mme matriceAx = b1. . . Ax = bk.

On dcompose A en produit de deux matrices triangulaires (Uest suprieure et L infrieure) :

A = L U

Une rsolution se fait grce deux systmes triangulaires

Axk = bk

Lyk = bkU xk = yk

Cest la dcomposition LU

Il faut une triangularisation pour prparer la matrice etdeux remontes par vecteur bk.

Ce quil reste faire

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algorithmes

Les matrices triangulai

Algorithme de remont

Mthodes

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Ce quil reste faire

Triangularisation

Forme matricielle de la

triangularisation

Conditions

Recherche de pivots m

Conditionnement

Principe gnral des algorithmes - p. 11/51

Comment triangulariser ?

Ce quil reste faire

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Proprits mathmatiq

Principe gnral des

algorithmes

Les matrices triangulai

Algorithme de remont

Mthodes

Mthodes (suite)

Ce quil reste faire

Triangularisation

Forme matricielle de la

triangularisation

Conditions

Recherche de pivots m

Conditionnement

Principe gnral des algorithmes - p. 11/51

Comment triangulariser ?

Quelles conditions ?

Ce quil reste faire

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Principe gnral des

algorithmes

Les matrices triangulai

Algorithme de remont

Mthodes

Mthodes (suite)

Ce quil reste faire

Triangularisation

Forme matricielle de la

triangularisation

Conditions

Recherche de pivots m

Conditionnement

Principe gnral des algorithmes - p. 11/51

Comment triangulariser ?

Quelles conditions ?

Que faire pour les matrices singulires ?

Ce quil reste faire

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Principe gnral des

algorithmes

Les matrices triangulai

Algorithme de remont

Mthodes

Mthodes (suite)

Ce quil reste faire

Triangularisation

Forme matricielle de la

triangularisation

Conditions

Recherche de pivots m

Conditionnement

Principe gnral des algorithmes - p. 11/51

Comment triangulariser ?

Quelles conditions ?

Que faire pour les matrices singulires ?

Que faire pour les matrices rectangulaires ?

Ce quil reste faire

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Proprits mathmatiq

Principe gnral des

algorithmes

Les matrices triangulai

Algorithme de remont

Mthodes

Mthodes (suite)

Ce quil reste faire

Triangularisation

Forme matricielle de la

triangularisation

Conditions

Recherche de pivots m

Conditionnement

Principe gnral des algorithmes - p. 11/51

Comment triangulariser ?

Quelles conditions ?

Que faire pour les matrices singulires ?

Que faire pour les matrices rectangulaires ?

Conditionnement du problme ?

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Proprits mathmatiq

Principe gnral des

algorithmes

Triangularisation

Triangularisation simpl

Triangularisation

Algorithme de triangul

limination de GAUSS

Exemple

Forme matricielle de la

triangularisation

Conditions

Recherche de pivots m

Conditionnement

Triangularisation - p. 12/51

Triangularisation

Triangularisation simple

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Proprits mathmatiq

Principe gnral desalgorithmes

Triangularisation

Triangularisation simpl

Triangularisation

Algorithme de triangul

limination de GAUSS

Exemple

Forme matricielle de la

triangularisation

Conditions

Recherche de pivots m

Conditionnement

Triangularisation - p. 13/51

Contrairement ce quon dit parfois, cette mthode a t rapportepour la premire fois par CHANG TSANG au 2e sicle avant JC. Onlappelle aussi mthode fang-cheng.

La mthode utilise :la multiplication par un scalaire

la somme de deux lignes.

Le but de la mthode est dannuler progressivement les coefficientsqui se trouvent sous la diagonale.

Triangularisation

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Proprits mathmatiq

Principe gnral desalgorithmes

Triangularisation

Triangularisation simpl

Triangularisation

Algorithme de triangul

limination de GAUSS

Exemple

Forme matricielle de la

triangularisation

Conditions

Recherche de pivots m

Conditionnement

Triangularisation - p. 14/51

On commence avec A une matrice n lignes et m colonnes

Triangularisation

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Proprits mathmatiq

Principe gnral desalgorithmes

Triangularisation

Triangularisation simpl

Triangularisation

Algorithme de triangul

limination de GAUSS

Exemple

Forme matricielle de la

triangularisation

Conditions

Recherche de pivots m

Conditionnement

Triangularisation - p. 14/51

On commence avec A une matrice n lignes et m colonnes

Il y a n tapes :

Triangularisation

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Proprits mathmatiq

Principe gnral desalgorithmes

Triangularisation

Triangularisation simpl

Triangularisation

Algorithme de triangul

limination de GAUSS

Exemple

Forme matricielle de la

triangularisation

Conditions

Recherche de pivots m

Conditionnement

Triangularisation - p. 14/51

On commence avec A une matrice n lignes et m colonnes

Il y a n tapes :

ltape k, on annule sous la diagonale les coefficients de lacolonne k :

Triangularisation

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Proprits mathmatiq

Principe gnral desalgorithmes

Triangularisation

Triangularisation simpl

Triangularisation

Algorithme de triangul

limination de GAUSS

Exemple

Forme matricielle de la

triangularisation

Conditions

Recherche de pivots m

Conditionnement

Triangularisation - p. 14/51

On commence avec A une matrice n lignes et m colonnes

Il y a n tapes :

ltape k, on annule sous la diagonale les coefficients de lacolonne k :

On appelle ke pivot (p(k)) le coefficient de la diagonalep(k) = ak,k

chaque ligne i > k on soustrait la ligne k multiplie par ai,kp(k)

:

q = ai,k

j,k j m on faitai,j = ai,j ak,j .

q

p(k)

Triangularisation

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Proprits mathmatiq

Principe gnral desalgorithmes

Triangularisation

Triangularisation simpl

Triangularisation

Algorithme de triangul

limination de GAUSS

Exemple

Forme matricielle de la

triangularisation

Conditions

Recherche de pivots m

Conditionnement

Triangularisation - p. 14/51

On commence avec A une matrice n lignes et m colonnes

Il y a n tapes :

ltape k, on annule sous la diagonale les coefficients de lacolonne k :

On appelle ke pivot (p(k)) le coefficient de la diagonalep(k) = ak,k

chaque ligne i > k on soustrait la ligne k multiplie par ai,kp(k)

:

q = ai,k

j,k j m on faitai,j = ai,j ak,j .

q

p(k)

Par dfinition i > k lorsque j = k on fait lopration :

ai,k = ai,k ai,k= 0

en pratique il ne faut pascalculer ces coefficients pour viterles erreurs de calcul.

Triangularisation

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Proprits mathmatiq

Principe gnral desalgorithmes

Triangularisation

Triangularisation simpl

Triangularisation

Algorithme de triangul

limination de GAUSS

Exemple

Forme matricielle de la

triangularisation

Conditions

Recherche de pivots m

Conditionnement

Triangularisation - p. 14/51

On commence avec A une matrice n lignes et m colonnes

Il y a n tapes :

ltape k, on annule sous la diagonale les coefficients de lacolonne k :

On appelle ke pivot (p(k)) le coefficient de la diagonalep(k) = ak,k

chaque ligne i > k on soustrait la ligne k multiplie par ai,kp(k)

:

q = ai,k

j,k j m on faitai,j = ai,j ak,j .

q

p(k)

Par dfinition i > k lorsque j = k on fait lopration :

ai,k = ai,k ai,k= 0

en pratique il ne faut pascalculer ces coefficients pour viterles erreurs de calcul.

Lalgorithme ne fonctionne pas si lun des pivots est nul.

Algorithme de triangularisation

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Triangularisation - p. 15/51

Donnees : A = (A[i, j]),n le nb de lignes,m le nb de colonnesdebut

pour k = 1 . . . n fairep A[k, k]

pour i = k + 1 . . . n faire

q A[i, k]A[i, k] 0

pour j = k + 1 . . . m faire

A[i, j] = A[i, j] A[k, j].

q

p

fin

retourner A la matricetriangulaire

Algorithme de triangularisation

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Triangularisation - p. 15/51

Donnees : A = (A[i, j]),

n le nb de lignes,m le nb de colonnesdebut

pour k = 1 . . . n fairep A[k, k]

pour i = k + 1 . . . n faire

q A[i, k]A[i, k] 0

pour j = k + 1 . . . m faire

A[i, j] = A[i, j] A[k, j].

q

p

fin

retourner A la matricetriangulaire

A

Algorithme de triangularisation

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Triangularisation - p. 15/51

Donnees : A = (A[i, j]),

n le nb de lignes,m le nb de colonnesdebut

pour k = 1 . . . n fairep A[k, k]

pour i = k + 1 . . . n faire

q A[i, k]A[i, k] 0

pour j = k + 1 . . . m faire

A[i, j] = A[i, j] A[k, j].

q

p

fin

retourner A la matricetriangulaire

A(k1)

0

Algorithme de triangularisation

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Triangularisation - p. 15/51

Donnees : A = (A[i, j]),

n le nb de lignes,m le nb de colonnesdebut

pour k = 1 . . . n fairep A[k, k]

pour i = k + 1 . . . n faire

q A[i, k]A[i, k] 0

pour j = k + 1 . . . m faire

A[i, j] = A[i, j] A[k, j].

q

p

fin

retourner A la matricetriangulaire

0

p(1)

p(k1)

a12. . .

a1k. . .

a1

akk+1 akakk

ak+1k+1 ak+1ak+1k

... ... . . . ...

ank ank+1 an

Algorithme de triangularisation

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Triangularisation - p. 15/51

Donnees : A = (A[i, j]),

n le nb de lignes,m le nb de colonnesdebut

pour k = 1 . . . n fairep A[k, k]

pour i = k + 1 . . . n faire

q A[i, k]A[i, k] 0

pour j = k + 1 . . . m faireA

[i, j

] =A

[i, j

] A

[k, j

]. q

p

fin

retourner A la matricetriangulaire

0

p(1)

p(k1)

a12. . .

a1k. . .

a1

akk+1 akakk

ak+1k+1 ak+1ak+1k

... ... . . . ...

ank ank+1 an

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Triangularisation - p. 15/51

Donnees : A = (A[i, j]),

n le nb de lignes,m le nb de colonnesdebut

pour k = 1 . . . n fairep A[k, k]

pour i = k + 1 . . . n faire

q A[i, k]A[i, k] 0

pour j = k + 1 . . . m faireA

[i, j

] =A

[i, j

] A

[k, j

]. q

p

fin

retourner A la matricetriangulaire

0

p(1)

p(k1)

a12. . .

a1k. . .

a1

akk+1 akp

ak+1k+1 ak+1ak+1k

... ... . . . ...

ank ank+1 an

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Triangularisation - p. 15/51

Donnees : A = (A[i, j]),

n le nb de lignes,m le nb de colonnesdebut

pour k = 1 . . . n fairep A[k, k]

pour i = k + 1 . . . n faire

q A[i, k]A[i, k] 0

pour j = k + 1 . . . m faireA

[i, j

] =A

[i, j

] A

[k, j

]. q

p

fin

retourner A la matricetriangulaire

0

p(1)

p(k1)

a12. . .

a1k . . .

a1

akk+1 akp

ak+1k+1 ak+1ak+1k

... ... . . . ...

ank ank+1 an

Algorithme de triangularisation

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Triangularisation - p. 15/51

Donnees : A = (A[i, j]),

n le nb de lignes,m le nb de colonnesdebut

pour k = 1 . . . n fairep A[k, k]

pour i = k + 1 . . . n faire

q A[i, k]A[i, k] 0

pour j = k + 1 . . . m faireA

[i, j

] =A

[i, j

] A

[k, j

]. q

p

fin

retourner A la matricetriangulaire

0

p(1)

p(k1)

a12. . .

a1k . . .

a1

akk+1 akp

ak+1k+1 ak+1q

... ... . . . ...

ank ank+1 an

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Triangularisation - p. 15/51

Donnees : A = (A[i, j]),

n le nb de lignes,m le nb de colonnesdebut

pour k = 1 . . . n fairep A[k, k]

pour i = k + 1 . . . n faire

q A[i, k]A[i, k] 0

pour j = k + 1 . . . m faireA[i, j] = A[i, j] A[k, j]. q

p

fin

retourner A la matricetriangulaire

0

p(1)

p(k1)

a12. . .

a1k . . .

a1

akk+1 akp

ak+1k+1 ak+10

... ... . . . ...

ank ank+1 an

Algorithme de triangularisation

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Triangularisation - p. 15/51

Donnees : A = (A[i, j]),

n le nb de lignes,m le nb de colonnesdebut

pour k = 1 . . . n fairep A[k, k]

pour i = k + 1 . . . n faire

q A[i, k]A[i, k] 0

pour j = k + 1 . . . m faireA[i, j] = A[i, j] A[k, j]. q

p

fin

retourner A la matricetriangulaire

0

p(1)

p(k1)

a12. . .

a1k . . .

a1

akk+1 akp

0 a

k+1k+1ak+1

... ... . . . ...

ank ank+1 an

Algorithme de triangularisation

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Triangularisation - p. 15/51

Donnees : A = (A[i, j]),

n le nb de lignes,m le nb de colonnesdebut

pour k = 1 . . . n fairep A[k, k]

pour i = k + 1 . . . n faire

q A[i, k]A[i, k] 0

pour j = k + 1 . . . m faireA[i, j] = A[i, j] A[k, j]. q

p

fin

retourner A la matricetriangulaire

0

p(1)

p(k1)

a12. . . a

1k . . .

a1

akk+1 akp

0 a

k+1k+1 a

k+1

... ... . . . ...ank ank+1 an

Algorithme de triangularisation

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Triangularisation - p. 15/51

Donnees : A = (A[i, j]),

n le nb de lignes,m le nb de colonnesdebut

pour k = 1 . . . n fairep A[k, k]

pour i = k + 1 . . . n faire

q A[i, k]A[i, k] 0

pour j = k + 1 . . . m faireA[i, j] = A[i, j] A[k, j]. q

p

fin

retourner A la matricetriangulaire

0

p

(1)

p(k1)

a12

. . . a1k . . . a

1

akk+1 akp

0 a

k+1k+1 a

k+1

... ... . . . ...

0 a

nk+1 a

n

limination de GAUSS

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Proprits mathmatiq

Principe gnral desalgorithmes

Triangularisation

Triangularisation simpl

Triangularisation

Algorithme de triangul

limination de GAUSS

Exemple

Forme matricielle de la

triangularisation

Conditions

Recherche de pivots m

Conditionnement

Triangularisation - p. 16/51

Pour rsoudre lquation Ax = b (n quations, n inconnues).

limination de GAUSS

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Proprits mathmatiq

Principe gnral desalgorithmes

Triangularisation

Triangularisation simpl

Triangularisation

Algorithme de triangul

limination de GAUSS

Exemple

Forme matricielle de la

triangularisation

Conditions

Recherche de pivots m

Conditionnement

Triangularisation - p. 16/51

Pour rsoudre lquation Ax = b (n quations, n inconnues).Construire la matrice [Ab] (n colonnes n + 1 lignes).

limination de GAUSS

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Proprits mathmatiq

Principe gnral desalgorithmes

Triangularisation

Triangularisation simpl

Triangularisation

Algorithme de triangul

limination de GAUSS

Exemple

Forme matricielle de la

triangularisation

Conditions

Recherche de pivots m

Conditionnement

Triangularisation - p. 16/51

Pour rsoudre lquation Ax = b (n quations, n inconnues).Construire la matrice [Ab] (n colonnes n + 1 lignes).

Triangulariser la matrice.

limination de GAUSS

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Proprits mathmatiq

Principe gnral desalgorithmes

Triangularisation

Triangularisation simpl

Triangularisation

Algorithme de triangul

limination de GAUSS

Exemple

Forme matricielle de la

triangularisation

Conditions

Recherche de pivots m

Conditionnement

Triangularisation - p. 16/51

Pour rsoudre lquationAx

=b

(n

quations,n

inconnues).Construire la matrice [Ab] (n colonnes n + 1 lignes).

Triangulariser la matrice.

Appliquer lalgorithme de remonte

limination de GAUSS

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Proprits mathmatiq

Principe gnral desalgorithmes

Triangularisation

Triangularisation simpl

Triangularisation

Algorithme de triangul

limination de GAUSS

Exemple

Forme matricielle de la

triangularisation

Conditions

Recherche de pivots m

Conditionnement

Triangularisation - p. 16/51

Pour rsoudre lquation Ax=

b (n quations, n inconnues).

Construire la matrice [Ab] (n colonnes n + 1 lignes).

Triangulariser la matrice.

Appliquer lalgorithme de remonte

2 n3

3 oprations pour la triangularisation, n2 pour la remonte.

P it th ti

limination de GAUSS

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Principe gnral desalgorithmes

Triangularisation

Triangularisation simpl

Triangularisation

Algorithme de triangul

limination de GAUSS

Exemple

Forme matricielle de la

triangularisation

Conditions

Recherche de pivots m

Conditionnement

Triangularisation - p. 16/51

Pour rsoudre lquation Ax=

b (n quations, n inconnues).

Construire la matrice [Ab] (n colonnes n + 1 lignes).

Triangulariser la matrice.

Appliquer lalgorithme de remonte

2 n3

3 oprations pour la triangularisation, n2 pour la remonte.

Par exemple :

1 2 3

1 1 2

1 1 1

x =

4

5

6

Proprits mathmatiq

Exemple

triangularisation

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Proprits mathmatiq

Principe gnral desalgorithmes

Triangularisation

Triangularisation simpl

Triangularisation

Algorithme de triangul

limination de GAUSS

Exemple

Forme matricielle de la

triangularisation

Conditions

Recherche de pivots m

Conditionnement

Triangularisation - p. 17/51

triangularisation

1 2 3

1 1 2

1 1 1

Proprits mathmatiq

Exemple

triangularisation

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66/191

Proprits mathmatiq

Principe gnral desalgorithmes

Triangularisation

Triangularisation simpl

Triangularisation

Algorithme de triangul

limination de GAUSS

Exemple

Forme matricielle de la

triangularisation

Conditions

Recherche de pivots m

Conditionnement

Triangularisation - p. 17/51

triangularisation

1 2 3 4

1 1 2 5

1 1 1 6

Proprits mathmatiq

Exemple

triangularisation

http://www.polytech.upmc.fr/http://www.upmc.fr/

8/6/2019 cours2-meth_dir_sys_lin (1)

67/191

Proprits mathmatiq

Principe gnral desalgorithmes

Triangularisation

Triangularisation simpl

Triangularisation

Algorithme de triangul

limination de GAUSS

Exemple

Forme matricielle de la

triangularisation

Conditions

Recherche de pivots m

Conditionnement

Triangularisation - p. 17/51

triangularisation

1 2 3 4

1 1 2 5

1 1 1 6

1 2 3 4

0 1 1 1

0 1 2 2

Proprits mathmatiq

Exemple

triangularisation

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8/6/2019 cours2-meth_dir_sys_lin (1)

68/191

p q

Principe gnral desalgorithmes

Triangularisation

Triangularisation simpl

Triangularisation

Algorithme de triangul

limination de GAUSS

Exemple

Forme matricielle de la

triangularisation

Conditions

Recherche de pivots m

Conditionnement

Triangularisation - p. 17/51

triangularisation

1 2 3 4

1 1 2 5

1 1 1 6

1 2 3 4

0 1 1 1

0 1 2 2

1 2 3 4

0 1 1 1

0 0 1 1

Proprits mathmatiq

Exemple

triangularisation remonte

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Principe gnral desalgorithmes

Triangularisation

Triangularisation simpl

Triangularisation

Algorithme de triangul

limination de GAUSS

Exemple

Forme matricielle de la

triangularisation

Conditions

Recherche de pivots m

Conditionnement

Triangularisation - p. 17/51

triangularisation

1 2 3 4

1 1 2 5

1 1 1 6

1 2 3 4

0 1 1 1

0 1 2 2

1 2 3 4

0 1 1 1

0 0 1 1

remonte

Proprits mathmatiq

Exemple

triangularisation remonte

http://www.polytech.upmc.fr/http://www.upmc.fr/

8/6/2019 cours2-meth_dir_sys_lin (1)

70/191

Principe gnral desalgorithmes

Triangularisation

Triangularisation simpl

Triangularisation

Algorithme de triangul

limination de GAUSS

Exemple

Forme matricielle de la

triangularisation

Conditions

Recherche de pivots m

Conditionnement

Triangularisation - p. 17/51

triangularisation

1 2 3 4

1 1 2 5

1 1 1 6

1 2 3 4

0 1 1 1

0 1 2 2

1 2 3 4

0 1 1 1

0 0 1 1

remonte

x3 =1

1= 1

Proprits mathmatiq

Exemple

triangularisation remonte

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71/191

Principe gnral desalgorithmes

Triangularisation

Triangularisation simpl

Triangularisation

Algorithme de triangul

limination de GAUSS

Exemple

Forme matricielle de la

triangularisation

Conditions

Recherche de pivots m

Conditionnement

Triangularisation - p. 17/51

t a gu a sat o

1 2 3 4

1 1 2 5

1 1 1 6

1 2 3 4

0 1 1 1

0 1 2 2

1 2 3 4

0 1 1 1

0 0 1 1

remonte

x3 =1

1= 1

x2 =1 (1 (1))

1= 0

Proprits mathmatiq

Exemple

triangularisation remonte

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72/191

Principe gnral desalgorithmes

Triangularisation

Triangularisation simpl

Triangularisation

Algorithme de triangul

limination de GAUSS

Exemple

Forme matricielle de la

triangularisation

Conditions

Recherche de pivots m

Conditionnement

Triangularisation - p. 17/51

g

1 2 3 4

1 1 2 5

1 1 1 6

1 2 3 4

0 1 1 1

0 1 2 2

1 2 3 4

0 1 1 1

0 0 1 1

x3 =1

1= 1

x2 =1 (1 (1))

1= 0

x1 =

4 (3 (1) + 2 0)

1= 7

Proprits mathmatiq

Exemple

triangularisation remonte

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73/191

Principe gnral desalgorithmes

Triangularisation

Triangularisation simpl

Triangularisation

Algorithme de triangul

limination de GAUSS

Exemple

Forme matricielle de la

triangularisation

Conditions

Recherche de pivots m

Conditionnement

Triangularisation - p. 17/51

g

1 2 3 4

1 1 2 5

1 1 1 6

1 2 3 4

0 1 1 1

0 1 2 2

1 2 3 4

0 1 1 1

0 0 1 1

x3 =1

1= 1

x2 =1 (1 (1))

1= 0

x1 =

4 (3 (1) + 2 0)

1= 7

Donc

x = 70

1

Proprits mathmatiq

http://www.polytech.upmc.fr/http://www.upmc.fr/

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74/191

Principe gnral desalgorithmes

Triangularisation

Forme matricielle de la

triangularisation

Dcomposition LU

Calcul de la matriceL

Inverse de la matrice

Calcul deL

Calcul deL (suite)

Algorithme

Exemple

Conditions

Recherche de pivots m

Conditionnement

Forme matricielle de la triangularisation - p. 18/51

Forme matricielle de la triangularisation

Proprits mathmatiq

Dcomposition LU

Pour prparer la matrice on souhaite la factoriser en deux

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Principe gnral desalgorithmes

Triangularisation

Forme matricielle de la

triangularisation

Dcomposition LU

Calcul de la matriceL

Inverse de la matrice

Calcul deL

Calcul deL (suite)

Algorithme

Exemple

Conditions

Recherche de pivots m

Conditionnement

Forme matricielle de la triangularisation - p. 19/51

matrices triangulaires :

A =

L

11

.. . 1

Up1

p2

.. .p3

Pour construire L et U on utilise llimination de GAUSS en sesouvenant des oprations faites.

Proprits mathmatiq

Dcomposition LU

Pour prparer la matrice on souhaite la factoriser en deux

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76/191

Principe gnral des

algorithmes

Triangularisation

Forme matricielle de la

triangularisation

Dcomposition LU

Calcul de la matriceL

Inverse de la matrice

Calcul deL

Calcul deL (suite)

Algorithme

Exemple

Conditions

Recherche de pivots m

Conditionnement

Forme matricielle de la triangularisation - p. 19/51

matrices triangulaires :

A =

L

11

.. . 1

Up1

p2

.. .p3

Pour construire L et U on utilise llimination de GAUSS en sesouvenant des oprations faites.En effet la fin de la triangularisation, on obtient U :

0BBBBBBBB@

1CCCCCCCCA

A

Proprits mathmatiq

Dcomposition LU

Pour prparer la matrice on souhaite la factoriser en deux

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Principe gnral des

algorithmes

Triangularisation

Forme matricielle de la

triangularisation

Dcomposition LU

Calcul de la matriceL

Inverse de la matrice

Calcul deL

Calcul deL (suite)

Algorithme

Exemple

Conditions

Recherche de pivots m

Conditionnement

Forme matricielle de la triangularisation - p. 19/51

matrices triangulaires :

A =

L

11

.. . 1

Up1

p2

.. .p3

Pour construire L et U on utilise llimination de GAUSS en sesouvenant des oprations faites.En effet la fin de la triangularisation, on obtient U :

0BBBBBBBB@

1CCCCCCCCA

p1

A

Proprits mathmatiq

Dcomposition LU

Pour prparer la matrice on souhaite la factoriser en deux

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78/191

Principe gnral des

algorithmes

Triangularisation

Forme matricielle de la

triangularisation

Dcomposition LU

Calcul de la matriceL

Inverse de la matrice

Calcul deL

Calcul deL (suite)

Algorithme

Exemple

Conditions

Recherche de pivots m

Conditionnement

Forme matricielle de la triangularisation - p. 19/51

matrices triangulaires :

A =

L

11

.. . 1

Up1

p2

.. .p3

Pour construire L et U on utilise llimination de GAUSS en sesouvenant des oprations faites.En effet la fin de la triangularisation, on obtient U :

0BBBBBBBB@

1CCCCCCCCA

p1

p2

A

Proprits mathmatiq

P i i l d

Dcomposition LU

Pour prparer la matrice on souhaite la factoriser en deux

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79/191

Principe gnral des

algorithmes

Triangularisation

Forme matricielle de la

triangularisation

Dcomposition LU

Calcul de la matriceL

Inverse de la matrice

Calcul deL

Calcul deL (suite)

Algorithme

Exemple

Conditions

Recherche de pivots m

Conditionnement

Forme matricielle de la triangularisation - p. 19/51

matrices triangulaires :

A =

L

11

.. . 1

U

p1

p2

.. .p3

Pour construire L et U on utilise llimination de GAUSS en sesouvenant des oprations faites.En effet la fin de la triangularisation, on obtient U :

0BBBBBBBB@

1CCCCCCCCA

p1

p2

...pn

U

Proprits mathmatiq

P i i l d

Dcomposition LU

Pour prparer la matrice on souhaite la factoriser en deux

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8/6/2019 cours2-meth_dir_sys_lin (1)

80/191

Principe gnral des

algorithmes

Triangularisation

Forme matricielle de la

triangularisation

Dcomposition LU

Calcul de la matriceL

Inverse de la matrice

Calcul deL

Calcul deL (suite)

Algorithme

Exemple

Conditions

Recherche de pivots m

Conditionnement

Forme matricielle de la triangularisation - p. 19/51

matrices triangulaires :

A =

L

11

.. . 1

U

p1

p2

.. .p3

Pour construire L et U on utilise llimination de GAUSS en sesouvenant des oprations faites.En effet la fin de la triangularisation, on obtient U :

0BBBBBBBB@

1CCCCCCCCA

p1

p2

...pn

U

Une tape de llimination revient multiplier A par une matriceM(k) quelle est la forme de cette matrice ?

Proprits mathmatiq

Principe gnral des

Soientke colonne

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81/191

Principe gnral des

algorithmes

Triangularisation

Forme matricielle de la

triangularisation

Dcomposition LU

Calcul de la matriceL

Inverse de la matrice

Calcul deL

Calcul deL (suite)

Algorithme

Exemple

Conditions

Recherche de pivots m

Conditionnement

Forme matricielle de la triangularisation - p. 20/51

mki = aikakk

et M(k) =

1 . . .1

. . . 1

mkk+1...mkn

k colonne

Proprits mathmatiq

Principe gnral des

Soientke colonne

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8/6/2019 cours2-meth_dir_sys_lin (1)

82/191

Principe gnral des

algorithmes

Triangularisation

Forme matricielle de la

triangularisation

Dcomposition LU

Calcul de la matriceL

Inverse de la matrice

Calcul deL

Calcul deL (suite)

Algorithme

Exemple

Conditions

Recherche de pivots m

Conditionnement

Forme matricielle de la triangularisation - p. 20/51

mki = aikakk

et M(k) =

1 . . .1

. . . 1

mkk+1...mkn

Alors :

A =

0BBBBBBBB@

1CCCCCCCCAA

Proprits mathmatiq

Principe gnral des

Soientke colonne

http://www.polytech.upmc.fr/http://www.upmc.fr/

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83/191

Principe gnral des

algorithmes

Triangularisation

Forme matricielle de la

triangularisation

Dcomposition LU

Calcul de la matriceL

Inverse de la matrice

Calcul deL

Calcul deL (suite)

Algorithme

Exemple

Conditions

Recherche de pivots m

Conditionnement

Forme matricielle de la triangularisation - p. 20/51

mki = aikakk

et M(k) =

1 . . .1

. . . 1

mkk+1...mkn

Alors :

0BBBBBBBB@

1CCCCCCCCA

11

...

1

M(1)A =

0BBBBBBBB@

1CCCCCCCCA

p

1

A(1)

Proprits mathmatiq

Principe gnral des

Soientke colonne

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8/6/2019 cours2-meth_dir_sys_lin (1)

84/191

p g

algorithmes

Triangularisation

Forme matricielle de la

triangularisation

Dcomposition LU

Calcul de la matriceL

Inverse de la matrice

Calcul deL

Calcul deL (suite)

Algorithme

Exemple

Conditions

Recherche de pivots m

Conditionnement

Forme matricielle de la triangularisation - p. 20/51

mki = aikakk

et M(k) =

1 . . .1

. . . 1

mkk+1...mkn

Alors :

0BBBBBBBB@

1CCCCCCCCA

11

...

1M(2)

0BBBBBBBB@

1CCCCCCCCA

11

...

1

M(1)A =

0BBBBBBBB@

1CCCCCCCCA

p

1

p2 A(2)

Proprits mathmatiq

Principe gnral des

Soientke colonne

http://www.polytech.upmc.fr/http://www.upmc.fr/

8/6/2019 cours2-meth_dir_sys_lin (1)

85/191

algorithmes

Triangularisation

Forme matricielle de la

triangularisation

Dcomposition LU

Calcul de la matriceL

Inverse de la matrice

Calcul deL

Calcul deL (suite)

Algorithme

Exemple

Conditions

Recherche de pivots m

Conditionnement

Forme matricielle de la triangularisation - p. 20/51

mki = aikakk

et M(k) =

1 . . .1

. . . 1

mkk+1...mkn

Alors :

0BBBBBBBB@

1CCCCCCCCA

1

...

1

1M(n1)

0BBBBBBBB@

1CCCCCCCCA

1

1

...

1M(2)

0BBBBBBBB@

1CCCCCCCCA

1

1

...

1

M(1)A =

0BBBBBBBB@

1CCCCCCCCA

p

1

p2

...pn

U

Proprits mathmatiq

Principe gnral des

Soientke colonne

http://www.polytech.upmc.fr/http://www.upmc.fr/

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86/191

algorithmes

Triangularisation

Forme matricielle de la

triangularisation

Dcomposition LU

Calcul de la matriceL

Inverse de la matrice

Calcul deL

Calcul deL (suite)

Algorithme

Exemple

Conditions

Recherche de pivots m

Conditionnement

Forme matricielle de la triangularisation - p. 20/51

mki = aikakk

et M(k) =

1 . . .1

.. . 1

mkk+1...mkn

Alors :

0BBBBBBBB@

1CCCCCCCCA

1

...

1

1M(n1)

0BBBBBBBB@

1CCCCCCCCA

1

1

...

1M(2)

0BBBBBBBB@

1CCCCCCCCA

1

1

...

1

M(1)A =

0BBBBBBBB@

1CCCCCCCCA

p

1

p2

...pn

U

Nous avons doncM A = U

Proprits mathmatiq

Principe gnral des

Calcul de la matrice L

A-t-on obtenu les matrices U et L de la dcomposition ?

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algorithmes

Triangularisation

Forme matricielle de la

triangularisation

Dcomposition LU

Calcul de la matriceLInverse de la matrice

Calcul deL

Calcul deL (suite)

Algorithme

Exemple

Conditions

Recherche de pivots m

Conditionnement

Forme matricielle de la triangularisation - p. 21/51

Proprits mathmatiq

Principe gnral des

l ith

Calcul de la matrice L

A-t-on obtenu les matrices U et L de la dcomposition ?

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algorithmes

Triangularisation

Forme matricielle de la

triangularisation

Dcomposition LU

Calcul de la matriceLInverse de la matrice

Calcul deL

Calcul deL (suite)

Algorithme

Exemple

Conditions

Recherche de pivots m

Conditionnement

Forme matricielle de la triangularisation - p. 21/51

le produit de deux matrices triangulaires infrieures esttriangulaire infrieure,Linverse dune matrice triangulaire infrieure est une matricetriangulaire infrieure.

Lorsquelle existe la dcomposition est unique.Cela nous prouve que la matrice U obtenue est celle de ladcomposition LU et que la matrice M est linverse de la matrice Lrecherche.

Proprits mathmatiq

Principe gnral des

algorithmes

Calcul de la matrice L

A-t-on obtenu les matrices U et L de la dcomposition ?

http://www.polytech.upmc.fr/http://www.upmc.fr/

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algorithmes

Triangularisation

Forme matricielle de la

triangularisation

Dcomposition LU

Calcul de la matriceLInverse de la matrice

Calcul deL

Calcul deL (suite)

Algorithme

Exemple

Conditions

Recherche de pivots m

Conditionnement

Forme matricielle de la triangularisation - p. 21/51

le produit de deux matrices triangulaires infrieures esttriangulaire infrieure,Linverse dune matrice triangulaire infrieure est une matricetriangulaire infrieure.

Lorsquelle existe la dcomposition est unique.Cela nous prouve que la matrice U obtenue est celle de ladcomposition LU et que la matrice M est linverse de la matrice Lrecherche.

Pour calculer la matrice L il faut :

Proprits mathmatiq

Principe gnral des

algorithmes

Calcul de la matrice L

A-t-on obtenu les matrices U et L de la dcomposition ?

l d i d d i i l i i f i

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algorithmes

Triangularisation

Forme matricielle de la

triangularisation

Dcomposition LU

Calcul de la matriceLInverse de la matrice

Calcul deL

Calcul deL (suite)

Algorithme

Exemple

Conditions

Recherche de pivots m

Conditionnement

Forme matricielle de la triangularisation - p. 21/51

le produit de deux matrices triangulaires infrieures esttriangulaire infrieure,Linverse dune matrice triangulaire infrieure est une matricetriangulaire infrieure.

Lorsquelle existe la dcomposition est unique.Cela nous prouve que la matrice U obtenue est celle de ladcomposition LU et que la matrice M est linverse de la matrice Lrecherche.

Pour calculer la matrice L il faut :

Inverser les M(i),

Calculer le produit :

L = M(1)1

M(2)1

M(3)1

M(n1)1

Inverse de la matrice M(i)

On peut montrer que :

ie l

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Forme matricielle de la triangularisation - p. 22/51

1. . .1

. .. 1X

ie colonne

1. . .1

. .. 1Y

je colonne

=

1. . .

1

1. . .

1X+

Y

ie colonne

si i = j

1. . .1. . .

1.

. . 1

X

Y

ie colonne je colonne

si i < j

Proprits mathmatiq

Principe gnral des

algorithmes

Calcul de L

Donc M(k) est inversible dinverse L(k) avec : 1

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92/191

algorithmes

Triangularisation

Forme matricielle de la

triangularisation

Dcomposition LU

Calcul de la matriceLInverse de la matrice

Calcul deL

Calcul deL (suite)

Algorithme

Exemple

Conditions

Recherche de pivots m

Conditionnement

Forme matricielle de la triangularisation - p. 23/51

M(k) =

1 . . .1

. . . 1

mkk+1

mkn

Proprits mathmatiq

Principe gnral des

algorithmes

Calcul de L

Donc M(k) est inversible dinverse L(k) avec : 1

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93/191

g

Triangularisation

Forme matricielle de la

triangularisation

Dcomposition LU

Calcul de la matriceLInverse de la matrice

Calcul deL

Calcul deL (suite)

Algorithme

Exemple

Conditions

Recherche de pivots m

Conditionnement

Forme matricielle de la triangularisation - p. 23/51

M(k) =

1 . . .1

. . . 1

mkk+1

mkn

L(k) =

1. . .

1

. . .1

mkk+1

mkn

Proprits mathmatiq

Principe gnral des

algorithmes

Calcul de L (suite)

La matrice L de la dcomposition est :

L L(1) L(2) L(n1)

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Triangularisation

Forme matricielle de la

triangularisation

Dcomposition LU

Calcul de la matriceLInverse de la matrice

Calcul deL

Calcul deL (suite)

Algorithme

Exemple

Conditions

Recherche de pivots m

Conditionnement

Forme matricielle de la triangularisation - p. 24/51

L = L(1) L(2) L(n 1)

=

Proprits mathmatiq

Principe gnral des

algorithmes

Calcul de L (suite)

La matrice L de la dcomposition est :

L = L(1) L(2) L(n1)

http://www.polytech.upmc.fr/http://www.upmc.fr/

8/6/2019 cours2-meth_dir_sys_lin (1)

95/191

Triangularisation

Forme matricielle de la

triangularisation

Dcomposition LU

Calcul de la matriceLInverse de la matrice

Calcul deL

Calcul deL (suite)

Algorithme

Exemple

Conditions

Recherche de pivots m

Conditionnement

Forme matricielle de la triangularisation - p. 24/51

L = L( ) L( ) L( )

=

1

m12 1

. . . 1 mkk+1 1

...

. . . 1

m1n . . . mkn . . . mn1n 1

Rappel : les mki sont les coefficients de llimination de GAUSS

m

k

i =

aik

akk

Proprits mathmatiq

Principe gnral des

algorithmes

Algorithme

Donnees : A = (A[i, j]), n le nombre de lignes et colonnesdebut

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Triangularisation

Forme matricielle de la

triangularisation

Dcomposition LU

Calcul de la matriceLInverse de la matrice

Calcul deL

Calcul deL (suite)

Algorithme

Exemple

Conditions

Recherche de pivots m

Conditionnement

Forme matricielle de la triangularisation - p. 25/51

debut

pour k = 1 . . . n fairep A[k, k]pour i = k + 1 . . . n faire

q A[i, k]A[i, k] 0

pour j = k + 1 . . . n faireA[i, j] = A[i, j] A[k, j]. q

p

finretourner

Proprits mathmatiq

Principe gnral des

algorithmes

Algorithme

Donnees : A = (A[i, j]), n le nombre de lignes et colonnesdebut

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Triangularisation

Forme matricielle de la

triangularisation

Dcomposition LU

Calcul de la matriceLInverse de la matrice

Calcul deL

Calcul deL (suite)

Algorithme

Exemple

Conditions

Recherche de pivots m

Conditionnement

Forme matricielle de la triangularisation - p. 25/51

debut

U A

pour k = 1 . . . n fairep U[k, k]pour i = k + 1 . . . n faire

q U[i, k]U[i, k] 0

pour j = k + 1 . . . n faireU[i, j] = U[i, j] U[k, j]. q

p

finretourner U la matrice triangulaire sup erieure,

Proprits mathmatiq

Principe gnral des

algorithmes

Algorithme

Donnees : A = (A[i, j]), n le nombre de lignes et colonnesdebut

http://www.polytech.upmc.fr/http://www.upmc.fr/

8/6/2019 cours2-meth_dir_sys_lin (1)

98/191

Triangularisation

Forme matricielle de la

triangularisation

Dcomposition LU

Calcul de la matriceLInverse de la matrice

Calcul deL

Calcul deL (suite)

Algorithme

Exemple

Conditions

Recherche de pivots m

Conditionnement

Forme matricielle de la triangularisation - p. 25/51

debut

U AL Ipour k = 1 . . . n faire

p U[k, k]pour i = k + 1 . . . n faire

q U[i, k]U[i, k] 0

L[i, k] qppour j = k + 1 . . . n faire

U[i, j] = U[i, j] U[k, j]. qp

finretourner U la matrice triangulaire sup erieure,L la matrice triangulaire inf erieure

Proprits mathmatiq

Principe gnral des

algorithmes

Exemple

Dcomposition de la matrice1 2 3

http://www.polytech.upmc.fr/http://www.upmc.fr/

8/6/2019 cours2-meth_dir_sys_lin (1)

99/191

Triangularisation

Forme matricielle de la

triangularisation

Dcomposition LU

Calcul de la matriceLInverse de la matrice

Calcul deL

Calcul deL (suite)

Algorithme

Exemple

Conditions

Recherche de pivots m

Conditionnement

Forme matricielle de la triangularisation - p. 26/51

1 2 3

1 1 2

1 1 1

Proprits mathmatiq

Principe gnral des

algorithmes

Exemple

Dcomposition de la matrice1 2 3

http://www.polytech.upmc.fr/http://www.upmc.fr/

8/6/2019 cours2-meth_dir_sys_lin (1)

100/191

Triangularisation

Forme matricielle de la

triangularisation

Dcomposition LU

Calcul de la matriceLInverse de la matrice

Calcul deL

Calcul deL (suite)

Algorithme

Exemple

Conditions

Recherche de pivots m

Conditionnement

Forme matricielle de la triangularisation - p. 26/51

3

1 1 2

1 1 1

U(0) =

1 2 3

1 1 2

1 1 1

L(0) =

1 0 0

0 1 0

0 0 1

Proprits mathmatiq

Principe gnral des

algorithmes

Exemple

Dcomposition de la matrice1 2 3

http://www.polytech.upmc.fr/http://www.upmc.fr/

8/6/2019 cours2-meth_dir_sys_lin (1)

101/191

Triangularisation

Forme matricielle de la

triangularisation

Dcomposition LU

Calcul de la matriceLInverse de la matrice

Calcul deL

Calcul deL (suite)

Algorithme

Exemple

Conditions

Recherche de pivots m

Conditionnement

Forme matricielle de la triangularisation - p. 26/51

1 1 2

1 1 1

U(0) =

1 2 3

1 1 2

1 1 1

L(0) =

1 0 0

0 1 0

0 0 1

U(1) =

1 2 30 1 10 1 2

L(1) = 1 0 01 1 0

1 0 1

Proprits mathmatiq

Principe gnral des

algorithmes

Exemple

Dcomposition de la matrice1 2 3

http://www.polytech.upmc.fr/http://www.upmc.fr/

8/6/2019 cours2-meth_dir_sys_lin (1)

102/191

Triangularisation

Forme matricielle de la

triangularisation

Dcomposition LU

Calcul de la matriceLInverse de la matrice

Calcul deL

Calcul deL (suite)

Algorithme

Exemple

Conditions

Recherche de pivots m

Conditionnement

Forme matricielle de la triangularisation - p. 26/51

1 1 2

1 1 1

U(0) =

1 2 3

1 1 2

1 1 1

L(0) =

1 0 0

0 1 0

0 0 1

U(1) =

1 2 30 1 10 1 2

L(1) = 1 0 01 1 01 0 1

U(2) = 1 2 30 1 1

0 0 1

L(2) = 1 0 01 1 01 1 1

Proprits mathmatiq

Principe gnral des

algorithmes

http://www.polytech.upmc.fr/http://www.upmc.fr/

8/6/2019 cours2-meth_dir_sys_lin (1)

103/191

Triangularisation

Forme matricielle de la

triangularisation

Conditions

Conditions

Pivots nuls

Exemple

Exemple (suite)

Recherche de pivots m

Conditionnement

Conditions - p. 27/51

Conditions

Conditions

Cet algorithme est applicable sur A ssi tous les pivotsp(k) sont non nuls.

Comment tre sur que ces pivots ne seront pas nuls ?

http://www.polytech.upmc.fr/http://www.upmc.fr/

8/6/2019 cours2-meth_dir_sys_lin (1)

104/191

Conditions - p. 28/51

Conditions

Cet algorithme est applicable sur A ssi tous les pivotsp(k) sont non nuls.

Comment tre sur que ces pivots ne seront pas nuls ?

http://www.polytech.upmc.fr/http://www.upmc.fr/

8/6/2019 cours2-meth_dir_sys_lin (1)

105/191

Conditions - p. 28/51

Thorme Llimination de GAUSS fonctionne sur une matriceA = (aij )1i,jn si et seulement si toutes ses matrices principales ( en coin )

Ak = (aij )1i,jk sont inversibles

a11 a12

a21 a22

a13

a23a31 a32 a33

. . .

. . .

. . .

......

.... . .

a1n

a2na3n

...

an1 an2 an3 . . . ann

Conditions

Cet algorithme est applicable sur A ssi tous les pivotsp(k) sont non nuls.

Comment tre sur que ces pivots ne seront pas nuls ?

http://www.polytech.upmc.fr/http://www.upmc.fr/

8/6/2019 cours2-meth_dir_sys_lin (1)

106/191

Conditions - p. 28/51

Thorme Llimination de GAUSS fonctionne sur une matriceA = (aij )1i,jn si et seulement si toutes ses matrices principales ( en coin )

Ak = (aij )1i,jk sont inversibles

a11 a12

a21 a22

a13

a23a31 a32 a33

. . .

. . .

. . .

......

.... . .

a1n

a2na3n

...

an1 an2 an3 . . . ann

A1

Conditions

Cet algorithme est applicable sur A ssi tous les pivotsp(k) sont non nuls.

Comment tre sur que ces pivots ne seront pas nuls ?

http://www.polytech.upmc.fr/http://www.upmc.fr/

8/6/2019 cours2-meth_dir_sys_lin (1)

107/191

Conditions - p. 28/51

Thorme Llimination de GAUSS fonctionne sur une matriceA = (aij )1i,jn si et seulement si toutes ses matrices principales ( en coin )

Ak = (aij )1i,jk sont inversibles

a11 a12

a21 a22

a13

a23a31 a32 a33

. . .

. . .

. . .

......

.... . .

a1n

a2na3n

...

an1 an2 an3 . . . ann

A2

Conditions

Cet algorithme est applicable sur A ssi tous les pivotsp(k) sont non nuls.

Comment tre sur que ces pivots ne seront pas nuls ?

http://www.polytech.upmc.fr/http://www.upmc.fr/

8/6/2019 cours2-meth_dir_sys_lin (1)

108/191

Conditions - p. 28/51

Thorme Llimination de GAUSS fonctionne sur une matriceA = (aij )1i,jn si et seulement si toutes ses matrices principales ( en coin )

Ak = (aij )1i,jk sont inversibles

a11 a12

a21 a22

a13

a23a31 a32 a33

. . .

. . .

. . .

......

.... . .

a1n

a2na3n

...

an1 an2 an3 . . . ann

A3

Conditions

Cet algorithme est applicable sur A ssi tous les pivotsp(k) sont non nuls.

Comment tre sur que ces pivots ne seront pas nuls ?

http://www.polytech.upmc.fr/http://www.upmc.fr/

8/6/2019 cours2-meth_dir_sys_lin (1)

109/191

Conditions - p. 28/51

Thorme Llimination de GAUSS fonctionne sur une matriceA = (aij )1i,jn si et seulement si toutes ses matrices principales ( en coin )

Ak = (aij )1i,jk sont inversibles

a11 a12

a21

a22

a13

a23

a31 a32 a33

. . .

. . .

. . .

......

.... . .

a1n

a2n

a3n

...

an1 an2 an3 . . . ann

A4

Conditions

Cet algorithme est applicable sur A ssi tous les pivotsp(k) sont non nuls.

Comment tre sur que ces pivots ne seront pas nuls ?

http://www.polytech.upmc.fr/http://www.upmc.fr/

8/6/2019 cours2-meth_dir_sys_lin (1)

110/191

Conditions - p. 28/51

Thorme Llimination de GAUSS fonctionne sur une matriceA = (aij )1i,jn si et seulement si toutes ses matrices principales ( en coin )

Ak = (aij )1i,jk sont inversibles

a11 a12

a21

a22

a13

a23

a31 a32 a33

. . .

. . .

. . .

......

.... . .

a1n

a2n

a3n

...

an1 an2 an3 . . . ann

An = A

Conditions

Cet algorithme est applicable sur A ssi tous les pivotsp(k) sont non nuls.

Comment tre sur que ces pivots ne seront pas nuls ?

http://www.polytech.upmc.fr/http://www.upmc.fr/

8/6/2019 cours2-meth_dir_sys_lin (1)

111/191

Conditions - p. 28/51

Thorme Llimination de GAUSS fonctionne sur une matriceA = (aij )1i,jn si et seulement si toutes ses matrices principales ( en coin )

Ak = (aij )1i,jk sont inversibles

a11 a12

a21

a22

a13

a23

a31 a32 a33

. . .

. . .

. . .

......

.... . .

a1n

a2n

a3n

...

an1 an2 an3 . . . ann

Cela ne donne pas de moyen priori pour savoir si la mthode fonctionne.

Proprits mathmatiq

Principe gnral des

algorithmes

Triangularisation

Pivots nuls

Le fait quune matrice principale Ak ne soit pas inversible ne signifiepasque la matrice A nest pas inversible.

http://www.polytech.upmc.fr/http://www.upmc.fr/

8/6/2019 cours2-meth_dir_sys_lin (1)

112/191

Forme matricielle de la

triangularisation

Conditions

Conditions

Pivots nuls

Exemple

Exemple (suite)

Recherche de pivots m

Conditionnement

Conditions - p. 29/51

Proprits mathmatiq

Principe gnral des

algorithmes

Triangularisation

Pivots nuls

Le fait quune matrice principale Ak ne soit pas inversible ne signifiepasque la matrice A nest pas inversible.

Par exemple :

http://www.polytech.upmc.fr/http://www.upmc.fr/

8/6/2019 cours2-meth_dir_sys_lin (1)

113/191

Forme matricielle de la

triangularisation

Conditions

Conditions

Pivots nuls

Exemple

Exemple (suite)

Recherche de pivots m

Conditionnement

Conditions - p. 29/51

Par exemple :

0 11 1

1 1 01 1 10 1 1

ces matrices sont inversibles et peuvent tre triangularises par

une mthode un peu plus complexe.

Proprits mathmatiq

Principe gnral des

algorithmes

Triangularisation

Pivots nuls

Le fait quune matrice principale Ak ne soit pas inversible ne signifiepasque la matrice A nest pas inversible.

Par exemple :

http://www.polytech.upmc.fr/http://www.upmc.fr/

8/6/2019 cours2-meth_dir_sys_lin (1)

114/191

Forme matricielle de la

triangularisation

Conditions

Conditions

Pivots nuls

Exemple

Exemple (suite)

Recherche de pivots m

Conditionnement

Conditions - p. 29/51

Par exemple :

0 11 1

1 1 01 1 10 1 1

ces matrices sont inversibles et peuvent tre triangularises par

une mthode un peu plus complexe.

Lavis du mathmaticien :

si un pivot est nul, alors on permute deux lignes

Proprits mathmatiq

Principe gnral des

algorithmes

Triangularisation

Pivots nuls

Le fait quune matrice principale Ak ne soit pas inversible ne signifiepasque la matrice A nest pas inversible.

Par exemple :

http://www.polytech.upmc.fr/http://www.upmc.fr/

8/6/2019 cours2-meth_dir_sys_lin (1)

115/191

Forme matricielle de la

triangularisation

Conditions

Conditions

Pivots nuls

Exemple

Exemple (suite)

Recherche de pivots m

Conditionnement

Conditions - p. 29/51

Par exemple :

0 11 1

1 1 01 1 10 1 1

ces matrices sont inversibles et peuvent tre triangularises par

une mthode un peu plus complexe.

Lavis du mathmaticien :

si un pivot est nul, alors on permute deux lignes

car :Thorme Si tous les pivots possibles sont nuls alors la matriceest singulire

Proprits mathmatiq

Principe gnral des

algorithmes

Triangularisation

Pivots nuls

Le fait quune matrice principale Ak ne soit pas inversible ne signifiepasque la matrice A nest pas inversible.

Par exemple :

http://www.polytech.upmc.fr/http://www.upmc.fr/

8/6/2019 cours2-meth_dir_sys_lin (1)

116/191

Forme matricielle de la

triangularisation

Conditions

Conditions

Pivots nuls

Exemple

Exemple (suite)

Recherche de pivots m

Conditionnement

Conditions - p. 29/51

Par exemple :

0 11 1

1 1 01 1 10 1 1

ces matrices sont inversibles et peuvent tre triangularises par

une mthode un peu plus complexe.

Lavis du mathmaticien :

si un pivot est nul, alors on permute deux lignes

car :Thorme Si tous les pivots possibles sont nuls alors la matriceest singulire

Pourquoi cela nest-il pas satisfaisant ?

Proprits mathmatiq

Principe gnral des

algorithmes

Triangularisation

Exemple

En modifiant lgrement la matrice prcdente :

1 1 01 1 1

x =

01

http://www.polytech.upmc.fr/http://www.upmc.fr/

8/6/2019 cours2-meth_dir_sys_lin (1)

117/191

Forme matricielle de la

triangularisation

Conditions

Conditions

Pivots nuls

Exemple

Exemple (suite)

Recherche de pivots m

Conditionnement

Conditions - p. 30/51

1 1 10 1 1

x = 12

La solution est(1, 1, 1).

Appliquons la mthode de triangularisation avec 4 chiffresdcimaux de prcision en arrondi au plus prs.

Proprits mathmatiq

Principe gnral des

algorithmes

Triangularisation

Exemple

En modifiant lgrement la matrice prcdente :

13 13 01 1 1

x =

01

http://www.polytech.upmc.fr/http://www.upmc.fr/

8/6/2019 cours2-meth_dir_sys_lin (1)

118/191

Forme matricielle de la

triangularisation

Conditions

Conditions

Pivots nuls

Exemple

Exemple (suite)

Recherche de pivots m

Conditionnement

Conditions - p. 30/51

1 1 10 1 1

x 12

La solution est(1, 1, 1).

Appliquons la mthode de triangularisation avec 4 chiffresdcimaux de prcision en arrondi au plus prs.

Proprits mathmatiq

Principe gnral des

algorithmes

Triangularisation

Exemple

En modifiant lgrement la matrice prcdente :

13 13 01 1 1

x =

01

http://www.polytech.upmc.fr/http://www.upmc.fr/

8/6/2019 cours2-meth_dir_sys_lin (1)

119/191

Forme matricielle de la

triangularisation

Conditions

Conditions

Pivots nulsExemple

Exemple (suite)

Recherche de pivots m

Conditionnement

Conditions - p. 30/51

1 1 10 1 1

x 12

La solution est(1, 1, 1).

Appliquons la mthode de triangularisation avec 4 chiffresdcimaux de prcision en arrondi au plus prs. La matrice A

devient :

A =

13

13 0

1 1 1

0 1 1

Proprits mathmatiq

Principe gnral des

algorithmes

Triangularisation

F t i i ll d l

Exemple

En modifiant lgrement la matrice prcdente :

13

13 0

1 1 1

x = 01

http://www.polytech.upmc.fr/http://www.upmc.fr/

8/6/2019 cours2-meth_dir_sys_lin (1)

120/191

Forme matricielle de la

triangularisation

Conditions

Conditions

Pivots nulsExemple

Exemple (suite)

Recherche de pivots m

Conditionnement

Conditions - p. 30/51

0 1 1

2

La solution est(1, 1, 1).

Appliquons la mthode de triangularisation avec 4 chiffresdcimaux de prcision en arrondi au plus prs. La matrice A

devient :

A =

0.3333 0.3333 0

1 1 1

0 1 1

Exemple (suite)

0.3333 0.3333 01 1 10 1 1

x =

012

http://www.polytech.upmc.fr/http://www.upmc.fr/

8/6/2019 cours2-meth_dir_sys_lin (1)

121/191

Conditions - p. 31/51

Exemple (suite)

0.3333 0.3333 00 1+0.9999 10 1 1

x =

012

http://www.polytech.upmc.fr/http://www.upmc.fr/

8/6/2019 cours2-meth_dir_sys_lin (1)

122/191

Conditions - p. 31/51

Exemple (suite)

0.3333 0.3333 00 1E 4 10 1 1

x =

012

http://www.polytech.upmc.fr/http://www.upmc.fr/

8/6/2019 cours2-meth_dir_sys_lin (1)

123/191

Conditions - p. 31/51

Exemple (suite)

0.3333 0.3333 00 1E 4 10 1 1

x =

012

0 3333 0 3333 0

0

http://www.polytech.upmc.fr/http://www.upmc.fr/

8/6/2019 cours2-me