SISTEM PERSAMAAN LINEAR

CRAMER’S RULE

1. Sistem Persamaan Linear

Bentuk umum :

11 1 12 2 1 1

21 1 22 2 2 2

1 1 2 2

......

...

n n

n n

m m mn n

a x a x a x ba x a x a x b

a x a x a x b

+ + + =+ + + =

+ + + = m

2. Cramer’s Rule

Penyelesaian sistem persamaan di atas dengan Cramer’s rule adalah sebagai berikut :

Kita ubah sistem persamaan tersebut menjadi matriks berikut :

11 12 1 1 1

21 22 2 2 2

1 2

n

n

m m mn m m

Ax Ba a a x ba a a x b

a a a x b

=

⎡ ⎤ ⎡⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥ ⎢ =⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥ ⎢⎣ ⎦ ⎣

⎤ ⎡ ⎤⎥ ⎢ ⎥⎥ ⎢ ⎥⎥ ⎢ ⎥⎥ ⎢ ⎥⎦ ⎣ ⎦

*Catatan : m =n

Kemudian untuk mencari 1 2, , , nx x x dengan cara

1

1

2

2

detdetdetdet

detdet

m

n

AxAAxA

AxA

=

=

=

Dengan ,

11 12 1

21 22 2

1 2

12 1

22 21

2

11 1

21 22

1

11 12

21 22

1 2

1

2

1

2

1

2

n

n

m m mn

n

n

m m

n

n

m m

n

m

m

mm m

bb

b

a a aa a a

A

a a a

a aa a

A

a a

a aa a

A

a a

a aa a

A

bb

b

bb

ba a

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

n

n

3. Contoh soal :

Selesaikan sistem persamaan di bawah ini :

1 2 3

1 2 3

1 2 3

8 2 2 22 4 2 2

2 2 13 20

x x xx x x

x x x

− − =

− + − =

− − + =

00

1

20 2 220 4 220 2 138 2 22 4 22 2 13

1800300

6

x

− −−

−=

− −− −− −

=

=

2

8 20 22 20 22 20 13

8 22 4 22 2 13

3000300

10

x2

−− −−

=− −

− −− −

=

=

3

8 2 202 4 202 2 20

8 2 22 4 22 2 13

1200300

4

x

−−− −

=− −

− −− −

=

=

Perhitungan di Scilab

-->A=[8 -2 -2; -2 4 -2; -2 -2 13];

-->B=[20;20;20];

-->A1=[20 20 20; -2 4 -2; -2 -2 13];

-->A2=[8 -2 -2; 20 20 20; -2 -2 13];

-->A3=[8 -2 -2; -2 4 -2; 20 20 20];

-->x1 = det(A1)/det(A)

x1 =

6.

-->x2 = det(A2)/det(A)

x2 =

10.

-->x3 = det(A3)/det(A)

x3 =

4.

-->x = [x1;x2;x3]

x =

6.

10.

4.

Penyelesaian dengan Program di Scilab (Script)

A=[8 -2 -2; -2 4 -2; -2 -2 13]; B=[20;20;20]; [m,n]=size(A); [a,b]=size(B); if m == n & a == m then // Algoritma cramer’s Rule for i=1:m tempA = A; tempA(1:m,i)=B; x(i)= det(tempA)/det(A); end disp(x) else disp("dimensi matriks tidak sesuai") end