Cristal Fotônico 1D

PHOTONIC CRYSTALSO Filme Multi Camadas:

Cristal Fotonico Unidimensional

Fidel Souza

UFMG

01/06/2015

Roteiro

Introducao

O Filme Multi CamadasUm exemplo simples de cristal fotonico unidimensional e o filmemulti camadas apresentado na figura abaixo:

Consiste de uma sucessao periodica de camadas de dois materiaiscom diferentes constantes dieletricas.

O Filme Multi Camadas

Como podemos observar na figura 1, a estrutura possui simetriatranslacional discreta na direcao z e contınua nas direcoes x e y .Assim podemos esperar que os modos tenham a forma:

Hn,kz k‖ = ejk‖·ρejkz zun,kz k‖(z) (1)

onde k‖ = kx x + ky y e ρ = x x + y y. Por causa da simetriacontınua no plano xy , k‖ pode assumir qualquer valor real.

No entanto, na direcao z temos simetria discreta, e por issopodemos considerar kz apenas na primeira zona de Brilloin. Afuncao u(z) deve ser periodica em z , de forma queu(z + R) = u(z) para R = `a. Como o vetor de rede e dado poraz, o vetor recıproco e igual a (2π/a)z e a primeira zona de brilloine: −π/a < kz ≤ π/a.

Origem Fısica das Bandas ProibidasIniciamos a discussao acerca da origem das bandas proibidasconsiderando apenas ondas que se propagam em y , ou seja, k‖ = 0.Assim para evitar excesso na notacao podemos considerar ky = k.

Origem Fısica das Bandas Proibidas

Na figura 2 sao apresentadas tres diagramas de estrutura debandas.

O diagrama da esquerda e referente a uma estrutura formada porcamadas de mesmo material (homogeneo), com constantedieletrica ε = 13.

O diagrama do centro representa as bandas de um cristal formadopor camadas com constantes eletricas com pequeno contraste:ε1 = 13 e ε2 = 12.

No diagrama da esquerda, a diferenca entre as constantesdieletricas aumenta de forma que: ε1 = 13 e ε2 = 1.


Primeiramente analisamos o diagrama referente ao meiohomogeneo. Como sabemos, em um meio dieletrico a velocidadeda luz e reduzida pelo ındice de refracao do meio. Os modos quepropagam pelo dieletrico estao sobre a line light, que e avelocidade da luz no meio v = ω/k:

ω(k) = ckni

= ck√ε

= vni k (2)

Neste diagrama as frequencias relacionadas com os modos fora daprimeira zona de Brilloin aparecem tambem dentro dela, de formaque: ω(k + 2π/a) e representada como ω(k). Como se a linelight fosse refletida na fronteira da primeira zona de Brilloin.


Agora consideramos o diagrama do centro, que e referente aocristal formado por camadas dieletricas com pequenocontraste, ε1 = 13 e ε2 = 12. Este diagrama e quase igual aodiscutido anteriormente, mas com uma diferenca importante. Neletemos o aparecimento de gaps (lacunas) na frequencia,chamadas de bandas proibidas ou photonic band gaps.

Observando o diagrama da direita, onde temos um maiorcontraste na constante dieletrica das camadas que compoe ocristal(ε1 = 13 e ε2 = 1), percebemos um aumento consideravelna largura do gap.

Os photonic band gaps despertam muito interesse, pois com baseneles e possıvel projetar e construir diversos dispositivospromissores como: filtros, espelhos dieletricos, guias de ondas,cavidades, sensores, etc.


Por que aparecem esses gaps na frequencia?

Para entender um pouco mais sobre a ocorrencia do gap,consideramos primeiramente o diagrama de estrutura de bandas deum filme com camadas dieletricas com baixo contraste(ε1 = 13 e ε2 = 12).

Neste caso o gap entre n = 1 e n = 3 aparece em k = π/a, ouseja, na aresta da primeira zona de Brilloin. Dessa forma ocomprimento de onda do campo eletrico deve ser:λ = 2π/k = 2π/(π/a) = 2a.

Considerando celulas unitarias com simetria inversa oureflexao especular, so ha duas possibilidades para o perfil decampo eletrico. Estas duas possibilidades sao ilustradas na figura 3(a) e (b) que segue.


Figura 3


Foi desenvolvido anteriormente atraves do princıpio variacionaluma regra heurıstica que nos diz que:

- Os modos de menor frequencia concentram a maior partede sua energia nas regioes de mais alta constantedieletrica.

- Os modos de maior frequencia concentram uma grandefracao de sua energia (mas nao necessariamente a maiorparte) em regioes de mais baixa constante dieletrica.


Com isso em mente observamos uma diferenca entre as duasbandas adjacentes ao gap em k = π/a:

- O modo com menor frequencia, n = 1, tem perfil de campodado pela figura 3 (a) e concentra a maior parte de suaenergia nas regioes com ε = 13, como e visto na figura 3 (c).

- O modo de maior frequencia, n = 2, concentra a maior partede sua energia na regiao com ε = 12, como visto na figura3(c), e por isso tem perfil de campo representado pela figura 3(b).



A heurıstica baseada no teorema variacional pode ser estendidapara descrever a configuracao com grande contraste da constantedieletrica.

Aqui ambos os modos acima e abaixo do gap tem suaenergia concentrada nas regioes de maior constantedieletrica, mas de formas diferentes, sendo a banda de menorfrequencia mais concentrada que a de maior frequencia. Estecaso e ilustrado na figura 4.



E comum nos depararmos com com os termos: banda do ar (airband) e banda do dieletrico (dieletric band), para denominar asbandas acima e abaixo do gap respectivamente.

Uma importante observacao e o fato de que o gap normalmenteocorre na aresta ou no centro da zona de Brilloin. Isto eilustrado na figura 5.

Bandas proibidas sempre aparecem em filmes multi camadas ondeε1/ε2 6= 1. Quanto maior o contaste maior o gap como veremosna proxima seccao.


Largura da Banda Proibida

Como foi visto no capıtulo 2, nosso problema de autovalor eescalonavel. Considerando uma expansao no nosso sistema temos:r’ = sr. De forma que H(r’) = H(sr) e ε(r’) = ε(sr). Podemosverificar que a relacao entre os operadores diferencias no espacooriginal e expandido, e dada por: ∇r = s∇r’ = s∇′. Assim temosque:

s∇′ × 1ε(r’)s∇′ ×H(r’) = (ωc )2H(r’)

∇′ × 1ε(r’)∇

′ ×H(r’) = ( ωsc )2H(r’)

Θ′H(r’) = ( ωsc )2H(r’) (3)

Quando expandimos nosso sistema, expandimos nossasautofuncoes e escalonamos nosso autovalor.


O fato de nosso sistema ser escalonavel faz com que a simplesmedida de largura de banda 4ω, nao seja uma grandezainteressante para descrever o tamanho do band gap.

Geralmente, o tamanho do gap e representado por uma grandezamais interessante, que tem um valor fixo independente da escala.Esta grandeza e chamada razao gap-midgap, e e dada por:4ω/ωm. Aqui ωm e a frequencia central do gap.

A razao gap-midgap e geralmente expressa em percentagem:4ω/ωm = .1 representa um gap de 10%.

Pela mesma razao e usual (como sempre visto) plotar o diagramade estrutura de bandas como uma frequencia normalizada,ωa/2πc, em funcao de um vetor de onda normalizado, ka/2π.As duas grandezas sao adimensionais.


E possıvel desenvolver uma aproximacao analıtica para a razaogap-midgap em um filme multi camadas.

Primeiramente, consideramos que uma entre duas situacoesocorrem no nosso sistema: o contraste entre as constantesdieletricas e fraco, 4ε/ε << 1 ou a espessura de uma camada d epequeno (d/a e pequeno). Se isto ocorre a razao gap-midgappode ser aproximado por:

4ωωm≈ 4ε

ε· sen(πd/a)

π(4)

Aplicando esta equacao ao caso onde 4ε/ε = 1/12 e d = 0, 5(figura 2-diagrama central), encontramos um gap de 2, 65% queesta de acordo com um valor simulado com maior precisao(2, 55%).


Observando a equacao (4) percebemos que d = 0, 5a maximiza ogap, mas isso e valido somente se 4ε/ε << 1.

De maneira a encontrar uma previsao um pouco mais geral para otamanho do gap (com valores arbitrarios de 4ε/ε), consideramosum filme multi camadas composto por dois materiais com ındicesde refracao, n1 e n2 com espessuras d1 e d2 (d2 = a − d1). O gap(incidencia normal) e maximizado quando d1n1 = d2n2, ou ainda:d1 = an2/(n1 + n2). Neste caso pode ser demonstrado que afrequencia central do gap e dada por (Demonstrado em Yeh, 1988):

ωm = n1 + n24n1n2

· 2πca (5)


O comprimento de onda no vacuo e dado por: λm = 2πc/ωm. Eassim temos que:

ωm = 2πcλm

= n1 + n24n1n2

· 2πca

λm = 4n1n2an1 + n2

(6)

Como:

d1 = an2n1 + n2

e d2 = an1n1 + n2

λ1 = λmn1

= 4d1 λ2 = λmn2

= 4d2 (7)


Pela equacao (7) vemos que gap e maximizado quando a espessurade cada camada e igual a um quarto do comprimento de ondanesta camada. Por isso esse tipo de filme e denominado stack deum quarto de onda. A razao gap-midgap e dada por:

4ωωm

= 4π

sen−1( |n1 − n2|n1 + n2

) (8)

A razao para que o gap maximizado para o stack de um quarto deonda e que as multiplas ondas refletidas nas camadas estaoperfeitamente em fase (e daı?).

Modos Evanescentes nas Bandas Proibidas

De acordo com a seccao anterior, sabemos que a periodicidade docristal induz um gap de frequencia na estrutura de bandas.

Isto implica que nao podem existir modos eletromagneticos com afrequencia do gap no interior do cristal.

O que aconteceria se um modo com frequencia pertencente a faixado gap incidisse sobre a face do cristal (incidencia normal)?

Esperamos que estes modos sejam evanescentes, ou seja, quedecaiam exponencialmente com z . Isto significa que o vetor deonda deve ser complexo k = (k + jκ)z.

H(r) = ej(k+jκ)z = ejkze−κz (9)


Para entender melhor o que da origem a estes modos evanescentes,e o que determina κ, aproximamos ω(k) por uma expansao emseries de potencias em torno da borda da primeira zona deBrilloin k0 = π/2 (onde ocorre o gap: ver figura 2 direita):

ω(k) = ω(π/2) + β(k − π/2) + α(k − π/2)2 + O(4k3) (10)

Como vimos anteriormente, ω deve ser uma funcao par:ω(k) = ω(−k). Este fato implica que os termos da serie compotencia ımpar devem ser nulos, ou seja, β = 0. Desprezandoos termos com potencia maior que 2 e arranjando os termospodemos escrever:

4ω = ω(k)− ω(π/2) = α(k − π/2)2 = α(4k)2 (11)


Como sabemos:

α = d2ω

dk2 (π/2) (12)

Ou seja, α e uma constante com sinal que depende da curvaturade ω(k) em k = k0 = π/2.

Para tentar entender melhor o aparecimento dos modosevanescentes reescrevemos a equacao (11) como:

4k =√4ω/α (13)

onde 4ω = ω(k)− ω(π/2).


Considerando primeiramente a banda com n = 2 no diagrama dadireita da figura 2 (ε1 = 1 e ε2 = 13):

Aqui temos α > 0.


Para uma frequencia ligeiramente maior que ω(π/2) temos4ω > 0 e 4k e real. Por outro lado para uma frequencialigeiramente menor que ω(π/2), 4ω < 0 e consequentemente:

4k =√4ω/α = j

√−4 ω/α = jκ (14)

Isso implica em modos que decrescem exponencialmente em z , e κdetermina a taxa com que isso ocorre.

Se considerarmos a banda com n = 1, temos α < 0. Para umafrequencia ligeiramente acima de ω(π/2) teremos 4ω > 0, e4k = jκ. Ja para uma frequencia abaixo de ω(π/2) 4k e real.


O valor de κ(ω) e maximo na frequencia central do gap, e diminuiate se tornar nulo nas fronteiras.

Quanto maior a largura do gap maior sera o valor maximo de κ.Assim, para um filme multi camadas, a configuracao que atinge omaior valor de κ e o stack de um quarto de onda.

E impossıvel excitar modos com frequencia no gap dentro de umcristal ideal (com extensao infinita).

Contudo, se o cristal possuir defeito, ou for finito, e possıvel quemodos evanescentes existam na estrutura. Se um modoevanescente e compatıvel com a simetria de um defeito do cristal,este pode ser excitado de forma local.

Modos Evanescentes nas Bandas ProibidasEm um cristal fotonico unidimensional e possıvel confinar ummodo em uma direcao, ou seja, o modo existira em um plano,como na figura 7:

Propagacao Fora do EixoAte aqui so consideramos modos que propagam no eixo z , ou seja,kx = ky = 0. Agora analisaremos modos que propagam fora desseeixo.

Propagacao Fora do Eixo

O diagrama da figura 8 traz a estrutura de bandas de um cristalfotonico unidimensional com camadas com constantes dieletricasε1 = 13 e ε2 = 1, com espessuras d1 = 0, 2a e d2 = 0, 8a. Paraum vetor de onda k = ky y.

A principal diferenca entre a propagacao na direcao z e na direcaoy (ou no plano xy), e que nao existe bandas proibidas compropagacao fora do eixo z .

Isto ocorre porque no plano xy nao ha periodicidade daconstante dieletrica para espalhar a luz de forma coerente eformar o gap. Veremos a frente que ainda e possıvel projetarcristais fotonicos unidimensioonais que operem como espelhosomnidirecionais.


Uma outra diferenca interessante que pode ser destacada na figura8 e que dois modos que propagam no eixo z e se diferemapenas pela polarizacao TE ou TM (E em x ou em y) devemser modos degenerados pois diferem apenas em rotacao e osistema possui simetria rotacional. Contudo, se a propagacao se daem uma direcao arbitraria essa simetria e quebrada econsequentemente a degenerescencia nao existira.

Considerando a propagacao na direcao y , com k = ky y, temos queo sistema e invariante a reflexao em relacao ao plano xz . Issoimplica em apenas duas polarizacoes possıveis, TE ou TM. Nestecaso as frequencias nao sao necessariamente iguais.


Embora para duas polarizacoes diferentes, as curvas ω(k) sejamdiferentes elas possuem um comportamento em comum: paragrandes comprimentos de onda, ω(k) e aproximadamentelinear independente da polarizacao:

ων = cν(k)k (15)

Na equacao acima ν define uma das duas possıveis polarizacoes ecν e uma constante que depende da direcao de k e da polarizacao.Isto ocorre em todos os cristais fotonicos, independentemente dageometria ou dimensao.

Este comportamento e devido a: modos com grandescomprimentos de onda, percebem a estrutura como um meiodieletrico homogeneo com constante dieletrica resultante deuma media ponderada das constantes de cada meio.


Uma outra pergunta e por que os modos polarizados na direcao x(banda 1 - TM) tem frequencias menores que os modos comdirecao contida no plano yz (banda 2 - TE)?

Para responder a essa pergunta usamos a heurıstica desenvolvidano capıtulo 2, que nos diz que modos com frequencias maisbaixas concentram sua energia de campo nas regioes demaior constante dieletrica.

Para isso focamos no caso onde temos grandes comprimentos deonda para cada polarizacao.

Os campos para ambas as bandas sao representados na figura 9.



Como visto na figura, para os modos polarizados em x , o campo seconcentra nas camadas de alta constante dieletrica.

Para grandes comprimentos de onda, os modos da banda 2 estaoquase inteiramente ao longo da direcao z . Atravessando as duasregioes. Assim o campo se concentra mais nas regioes de baixaconstante dieletrica, levando a frequencias mais altas.



Uma outra caracterıstica que podemos observar quando apropagacao nao se da somente em z e ilustrada na figura 10.

Baseado na figura 8, podemos definir a largura de banda para apropagacao somente em z como: kz(0)− kz(π/2).

A figura 10 mostra a estrutura de bandas para modos comk = (0, ky , 0) (linhas azuis) e k = (0, ky , π/2) (linhas verdes).

Verificamos na figura 10 que no limite de pequenoscomprimentos de onda, ou seja, ky muito grande, a largurade banda tende para zero.


Ainda verificamos (analogo ao caso anterior do plano de vidro -capıtulo 3) que os modos que estao abaixo da line light,ω = cky , sao os modos guiados nas camadas de altaconstante dieletrica.

A medida que ky aumenta, o acoplamento entre modos nascamadas de alta constante dieletrica vizinhas diminui. Assim paraky muito grande, cada camada guia seus modos de formaindependente.

Neste caso, as frequencias dos modos se tornamindependentes de kz , e os modos terao frequencia dos modosguiados nas camadas de alta constante dieletrica.

Modos Localizados nos DefeitosNesta seccao serao feitas analise acerca dos modos em umaestrutura que possui um defeito. Consideraremos um defeito, umaregiao onde a simetria translacional discreta e quebrada, comomostra a figura 11:

Modos Localizados nos Defeitos

Apesar da rede nao ser perfeitamente periodica, e esperado que aose distanciar do defeito por alguns comprimentos de onda, osmodos se assemelhem aos de um cristal perfeito.

Primeiramente, restringindo-se a propagacao on-axis. Um defeitopode permitir a existencia de modos localizados. Estes modosdecaem exponencialmente no interior do resto da estrutura e saoquantizados em frequencias discretas. Os filmes adjacentes aodefeito operam como espelhos que refletem o campo entre suasfaces.

A frequencia de um modo localizado depende das caracterısticasdo defeito. Se a espessura do defeito aumenta,consequentemente aumenta o comprimento de onda ediminui a frequencia.


Por outro lado, se mantivermos a espessura da camada eaumentarmos ou diminuirmos a constante dieletrica nestacamada, a frequencia ira diminuir ou aumentarrespectivamente.

Modos com frequencia mais proximas do centro do gap saoconfinados de forma mais forte.

A figura 12 traz um diagrama de densidade de estados. Adensidade de estados de um sistema e dada pelo numero deestados possıveis em uma determinada faixa de frequencias(numero de modos por unidade de frequencia).



A densidade de estados na faixa do gap e zero, como podemos verna figura. Porem aparece um pico que representa um estado quepode ser confinado por um defeito (delta de dirac).

Se incluirmos os modos que propagam fora do eixo (off-axis),teremos modos localizados na direcao z que sao guiados noplano xp (k‖ 6= 0 e kz = jκ).

Isto se difere do index guiding convencional, ja que nestecaso modos podem ser guiados nas camadas com mais baixaconstante dieletrica.

Estados de Superfıcie - Ondas de Superfıcie

De forma similar ao que acontece com os defeitos, tambem epossıvel confinar modos na superfıcie de um cristal fotonico,estes sao chamados de estados de superfıcie.

Estados de Superfıcie - Ondas de SuperfıcieEstas ondas de superfıcie devem ser evanescentes no ar, ou seja terfrequencia abaixo da light line. Contudo tambem devem serevanescentes no interior do cristal, assim deve ter frequencia nointerior do gap.

Espelhos Omnidirecionais Multi Camadas

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