Cromodinámica Cuántica en la norma de Coulombindico.nucleares.unam.mx/event/220/session/15/... · 2012. 1. 3. · 1 Formulación Hamiltoniana de la Teoría de Yang-Mills Hamiltoniano

Formulación Hamiltoniana de la Teoría de Yang-MillsUn nuevo método: flujos Hamiltonianos

ResultadosResumen

Cromodinámica Cuántica en la norma de Coulomb

Axel Weber

Instituto de Física y Matemáticas (IFM)Universidad Michoacana de San Nicolás de Hidalgo (UMSNH)

Morelia, Michoacán

XXIV Reunión Anual de la División de Partículas y Campos de la SMF

ICN-UNAM, México, D.F., 19–21 de mayo de 2010

Axel Weber QCD en la norma de Coulomb


ResultadosResumen

Este trabajo se llevó a cabo en colaboración con

Markus Leder y Hugo Reinhardt,Instituto de Física Teórica,Universidad de Tübingen, Alemania

Jan M. Pawlowski,Instituto de Física Teórica,Universidad de Heidelberg, Alemania



ResultadosResumen

Contenido

1 Formulación Hamiltoniana de la Teoría de Yang-MillsHamiltoniano de Christ-LeeResultados conocidos en el infrarrojo

2 Un nuevo método: flujos HamiltonianosEl grupo de renormalización funcionalImplementación

3 ResultadosDimensiones anómalasFactor de forma de Coulomb

4 Resumen



ResultadosResumen

Hamiltoniano de Christ-LeeResultados conocidos en el infrarrojo

Contenido




4 Resumen



ResultadosResumen


Norma de Weyl

Teoría de Yang-Mills = Cromodinámica Cuántica sin cuarks dinámicos

norma de Weyl: Aa0(x) ≡ 0 (a = 1, . . . , 8) ⇒

H = −1

2

Z

d3xδ

δAa(x)·

δ

δAa(x)+

1

2

Z

d3x Ba(x) · Ba(x) ,

Baj = −

1

2ǫjkℓF

akℓ =

h

∇× Aa −g

2f abcAb × Ac

i

j,

1

i

δ

δAaj (x)

= −Eaj = −F a

0j

estados: ψ[A] = ψ[AU ] ante transformaciones de norma espaciales

AU = U AU† −i

gU ∇U† , U = U(x) ∈ SU(3)

producto escalar:

〈φ|ψ〉 =

Z

D[A]φ∗[A]ψ[A]



ResultadosResumen


Norma de Coulomb

Norma de Coulomb: fijar la invarianza ante transformaciones espaciales U(x) por

∇ · Aa(x) = 0

producto escalar:

〈φ|ψ〉 =

Z

D[A] J[A]φ∗[A]ψ[A] ,

a integrarse sobre las componentes transversales de A,

Aaj (p) =

„

δjk −pj pk

p2

«

Aak (p) ,

J[A] = Det (−∇ · D) el determinante de Faddeev-Popov ,

Dab = δab∇ + g f abcAc(x)



ResultadosResumen


Hamiltoniano de Christ-Lee

Eliminar la componente longitudinal de Ea(x) = δ/δAa(x) a partir de la ley de Gaussno abeliana (invarianza ante tranformaciones de norma espaciales para los estados enla norma de Weyl) ⇒ el Hamiltoniano de Christ-Lee

HCL = −1

2

Z

d3x1

J[A]

δ

δAa(x)· J[A]

δ

δAa(x)+

1

2

Z

d3x Ba(x) · Ba(x)

+1

2

Z

d3x d3y1

J[A]ρa(x) J[A] 〈x, a|(−∇ · D)−1(−∇2)(−∇ · D)−1|y, b〉 ρb(y)

= −1

2

Z

d3xδ

δAa(x)·

δ

δAa(x)+

1

2

Z

d3x Aa(x) · (−∇2) Aa(x) + O(g) ,

con la densidad de carga de color de los gluones

ρa(x) = g f abcAb(x) ·1

i

δ

δAc(x)



ResultadosResumen


Potencial de Coulomb a color

Agregar cargas de color estáticas (cuarks pesados) ρq(x),

ρa(x) → ρaq(x) + g f abcAb(x) ·

1

i

δ

δAc(x)

⇒ término de interacción entre las cargas estáticas

Hq =1

2

Z

d3x d3y ρaq(x)F ab(x, y)ρb

q(y)

con el potencial de Coulomb a color

F ab(x, y) = 〈x, a|(−∇ · D)−1(−∇2)(−∇ · D)−1|y, b〉

para g2 → 0,

F ab(x, y) → 〈x, a|(−∇2)−1(−∇2)(−∇2)−1|y, b〉

= δab〈x|(−∇2)−1|y〉 = δab 1

4π

1

|x − y|

en el infrarrojo, F ab(x, y) causa la interacción confinante entre los cuarks (y losgluones)



ResultadosResumen


Contenido




4 Resumen



ResultadosResumen


Funciones de correlación

Escribir J[A] de forma local

J[A] = Det (−∇ · D) =

Z

D[c̄, c] exp»

−

Z

d3x c̄a(x)(−∇ · Dab)cb(x)

–

⇒ valores esperados en el vacío

〈F〉 =

Z

D[c̄, c,A]F e−R

d3x c̄(−∇·D)c |ψ0[A]|2 ,

ψ0[A] = exp

"

−1

2

Z

d3p

(2π)3Aa(−p) |p|Aa(p) + O(g)

#

funciones de correlación a tiempos iguales

D

Aaj (p) Ab

k (−q)E

=1

2ω(|p|)δab„

δjk −pj pk

p2

«

(2π)3δ(p − q) ,

D

ca(p) c̄b(−q)E

=D

〈p, a|(−∇ · D)−1|q, b〉E

=d(|p|)

p2δab (2π)3δ(p − q)



ResultadosResumen


Dimensiones anómalas

En el ultravioleta p ≫ ΛQCD ,

ω(p) = p + O(g2) , d(p) = 1 + O(g2) ,

dimensiones anómalas (logarítmicas) se calculan en teoría de perturbacionesD. Campagnari, AW, H. Reinhardt, F. Astorga, W. Schleifenbaum, arXiv:0910.4548 [hep-th]

en el infrarrojo p ≪ ΛQCD , el principio variacional para funcionales de vacíoGaussianas

ψ0[A] = exp

"

−1

2

Z

d3p

(2π)3Aa(−p) ω̃(|p|) Aa(p)

#

lleva a ecuaciones de tipo Dyson-SchwingerA.P. Szczepaniak, E.S. Swanson, PRD65 (2001) 025012; C. Feuchter, H. Reinhardt, PRD70 (2004) 105021



ResultadosResumen


Resultados numéricos

soluciones numéricas (para todo el rango de momentos) y analíticas en el infrarrojo:

ω(p) ∝1

pα, d(p) ∝

1

pβ, regla de suma: α = 2β − 1 ,

solución 1: (α = 0.592, β = 0.796) , solución 2: (α = 1, β = 1)

D. Zwanziger, PRD70 (2004) 094034; C. Feuchter, H. Reinhardt, PRD70 (2004) 105021; W. Schleifenbaum, M.

Leder, H. Reinhardt, PRD73 (2006) 125019; D. Epple, H. Reinhardt, W. Schleifenbaum, PRD75 (2007) 045011

Ambas soluciones: escalamiento; para p → 0,

1

2ω(p)→ 0 , d(p) → ∞

se confirma el comportamiento de ω(p) en cálculos sobre redes (problemas: redes degran tamaño, fijación de norma “completa”), favorecen α = 1G. Burgio, M. Quandt, H. Reinhardt, PRL102 (2009) 032002



ResultadosResumen


Potencial de Coulomb a color

Ahora: incluir el potencial de Coulomb a color,D

F ab(x, y)E

=D

〈x, a|(−∇ · D)−1(−∇2)(−∇ · D)−1|y, b〉E

,

se deriva una ecuación de tipo Dyson-Schwinger para˙

F ab(x, y)¸

a partir de larelación

fi

ca(x)

„Z

d3z c̄d (z)(−∇2z)c

d (z)«

c̄b(y)

fl

=D

〈x, a|(−∇ · D)−1(−∇2)(−∇ · D)−1|y, b〉E

−

fi

〈x, a|(−∇ · D)−1|y, b〉„Z

d3z 〈z, d |(−∇2)(−∇ · D)−1|z, d〉«fl

(diagramáticamente, los dos términos se distinguen fácilmente)



ResultadosResumen


Factor de forma de Coulomb

factorización de las funciones de correlación externas:

D

F ab(p,q)E

=d(p)

p2p2f (|p|)

d(p)

p2δab (2π)3δ(p − q) ,

define el factor de forma de Coulomb f (p);

f (p) = 1 + O(g2) en teoría de perturbaciones

d(p)f (p)d(p) ∝1

p2en el infrarrojo para confinamiento lineal

incluir la ecuación para f (p) en el sistema de ecuaciones de tipo Dyson-Schwingerpara ω(p) y d(p)⇒ no hay soluciones consistentes en el infrarrojo, ni analíticas ni numéricas (conescalamiento, en la aproximación considerada)D. Epple, H. Reinhardt, W. Schleifenbaum, A.P. Szczepaniak, PRD77 (2008) 085007



ResultadosResumen

El grupo de renormalización funcionalImplementación

Contenido




4 Resumen



ResultadosResumen


Funcional generatriz

Considerar la funcional generatriz de funciones de correlación a tiempos iguales,

Z [J, η, η̄] =

Z

D[c̄, c,A] e−R

d3x c̄(−∇·D)c |ψ0[A]|2

× exp„Z

d3xˆ

Ja(x) · Aa(x) + c̄a(x)ηa(x) + η̄a(x)ca(x)˜

«

introducir un corte infrarrojo k en la integral funcional, tal que la integración serestringe efectivamente a los modos p con p & k :

Zk [J, η, η̄] =

Z

D[c̄, c,A] exp

−

Z

d3p

(2π)3c̄a(−p)Rc

k (|p|) ca(p)

!

× exp

−1

2

Z

d3p

(2π)3Aa(−p) · RA

k (|p|) Aa(p)

!

× e−R

d3x c̄(−∇·D)c+ln|ψ0[A]|2 eR

d3x [J·A+c̄η+η̄c]



ResultadosResumen


Propiedades de las funciones del corte

Propiedades de las funciones Rck (p), RA

k (p):

(i) para p ≪ k , Rc,Ak (p) → ∞

⇒ integración sobre modos p ≪ k exponencialmente suprimida

(ii) para p ≫ k , Rc,Ak (p) → 0 ,

en particular, para k → 0: Rc,Ak (p) → 0, entonces Zk [J, η, η̄] → Z [J, η, η̄]

nuestra elección:

Rck (p) = p2rk (p) , RA

k (p) = 2p rk (p) , rk (p) = exp

k2

p2−

p2

k2

!

Estrategia: empezar con un valor k = k0 grande:

libertad asintótica ⇒ ψ0[A] para A(p) con p & k0 se reduce a la funcionalperturbativa,

ψ0[A] = exp

"

−1

2

Z

d3p

(2π)3Aa(−p) |p|Aa(p) + O(g)

#

y Zk0[J, η, η̄] se puede determinar en teoría de perturbaciones



ResultadosResumen


Aproximación del flujo

Ecuación diferencial funcional exacta para (∂/∂k)Zk [J, η, η̄]⇔ sistema infinito de ecuaciones diferenciales para las funciones de correlación atiempos iguales; integrar hasta k = 0

Aproximación más sencilla:

(i) mantener la dependencia del momento completamente en las funciones decorrelación de dos puntos,

D

Aai (p) Ab

j (−q)E

k=

1

2ωk (p)δab„

δij −pi pj

p2

«

(2π)3δ(p − q) ,

D

ca(p) c̄b(−q)E

k=

dk (p)

p2δab (2π)3δ(p − q)

(ii) utilizar el teorema de no renormalización de Taylor para el vértice fantasma-gluonD

ca(p) c̄b(q) Adj (r)

E

k



ResultadosResumen


Ecuaciones de flujo

(iii) despreciar el vértice de tres gluonesD

Aaj (p)Ab

l (q)Adm(r)

E

ky todos los vértices

propios de cuatro y más puntos;

justificado en el infrarrojo en el caso de dominio de fantasmas:

1

2ω(p)→ 0 , d(p) → ∞ para p → 0

resultado de estas aproximaciones: las ecuaciones de flujo

2 ∂kωk (p) = ∂k

»

“ ”−1

p− RA

k (p)

–

=p

+ p

p2∂k d−1k (p) = ∂k

»

“ ”−1

p− Rc

k (p)

–

=p

+ p

propagadores externos truncados, = ∂k Rc,Ak

las integrales sobre los momentos en los lazos están regularizadas en el infrarrojo y elultravioleta por las propiedades de las Rc,A

k



ResultadosResumen


Contenido




4 Resumen



ResultadosResumen


Ecuaciones integrales

Convertir ecuaciones de flujo en ecuaciones integrales

2ˆ

ωk1(p) − ωk0

(p)˜

= −2Z k0

k1

dk ∂kωk (p) = −

Z k0

k1

dk»

p+ p

–

,

p2

"

1

dk1(p)

−1

dk0(p)

#

= −

Z k0

k1

dk»

p+ p

–

⇒ ωk1(p) y dk1

(p) dadas en términos de

ωk (q) y dk (q), k1 ≤ k ≤ k0 (y 0 ≤ q <∞)

y condiciones iniciales ωk0(p), dk0

(p)

solución numérica por iteración con relaxación, representación de ωk (p) y dk (p) porpolinomios de Chebyshev en p y k , en escala logarítmica, integración sobre q y k conel método de Gauss-Legendre (extrapolación en q utilizando propiedades conocidasde ωk (q) y dk (q))



ResultadosResumen


Condiciones iniciales

Condiciones iniciales ωk0(p) y dk0

(p) determinados por condiciones de normalización:

(i) para k1 ≪ k0 y p ∼ k0 (k1 < p < k0 y p ≫ ΛQCD)

ωk1(p) − ωk0

(p) = a + b p , (a, b = const.)

⇒ elegir ωk0(p) = −a, para que

ωk1(p) = b p (b ≈ 1)

(ii) implementar dominio de fantasmas: d−1k1

(p = 0) → 0 para k1 → 0;en la práctica se integra hasta k1 = kmin > 0 y hay que implementar la condición demanera diferente: se ajusta d−1

k0= d−1

k0(p) (constante en p) de tal manera que

d−1kmin

(p) = A pB (A,B = const.)

para kmin < p ≪ ΛQCD ⇔

d

dp

„

d

d ln pln d−1

kmin(p)

«

= 0 ,

da una ecuación para d−1k0



ResultadosResumen


Ejemplo

Generación gradual de la ley de potencia en el infrarrojo por el flujo, para dk (p):

1e-041e-021e+001e+021e+04

1e-051e-021e+011e+04

1e+00

1e+01

1e+02

1e+03

1e+04

kp



ResultadosResumen

Dimensiones anómalasFactor de forma de Coulomb

Contenido




4 Resumen



ResultadosResumen


Función de correlación de fantasmas

10-7

10-5

10-3

10-1

101

103

p [GeV]

100

101

102

103

104

kmin

~10-3

kmin

~10-4

kmin

~10-5

en el infrarrojo: d(p) ∝1

pβ, β = 0.64



ResultadosResumen


Función de correlación de gluones

10-7

10-5

10-3

10-1

101

103

p [GeV]

10

100

kmin

~10-3

kmin

~10-4

kmin

~10-5

en el infrarrojo: ω(p) ∝1

pα, α = 0.28



ResultadosResumen


Interpretación

Se cumple la regla de suma α = 2β − 1

los exponentes (α = 0.28, β = 0.64) son más pequeños que los de las dos solucionesconocidas con ecuaciones de tipo Dyson-Schwinger

se interpreta que corresponden a la solución conocida (α = 0.592, β = 0.796) y quela diferencia se debe a las aproximaciones:

de resultados similares en la norma de Landau, se espera que para funciones delcorte Rc,A

k generales, los exponentes sean más pequeños que los exactos

la otra solución conocida (α = 1, β = 1) no se reproduce (¿es inestable?)



ResultadosResumen


Contenido




4 Resumen



ResultadosResumen


Ecuación de flujo para el potencial de Coulomb

Ecuación de flujo para el factor de forma de Coulomb:

p2∂k fk (p) = ∂k

“

p

”

= −p

− p − p

p= p2fk (p) (propagadores externos truncados),

falta marcar algunos correladores como k -vestidos

conversión en ecuación integral;

condición de normalización: para k1 ≪ k0 y p ∼ k0,

fk1(p) = 1 (arbitrario, ecuación es lineal en fk )

solución por iteración, con las soluciones para ωk (p) y dk (p) dadas



ResultadosResumen


Resultado para el factor de forma de Coulomb

1e-04 1e-02 1e+00 1e+02 1e+04p

1e+00

1e+01

1e+02

1e+03 kmin

= 10-2

kmin

= 10-3

kmin

= 10-4

en el infrarrojo: f (p) ∝1

pγ, γ = 0.57



ResultadosResumen


¿Confinamiento lineal?

Para el potencial de Coulomb a color,

F (p) =d(p)

p2p2f (p)

d(p)

p2=

1

p2+2β+γ=

1

p 3.85

en el infrarrojo, “casi” confinamiento lineal,

F (p) ∝1

p4

tomar en cuenta que el resultado para β (β = 0.64) probablemente es más pequeñoque el correcto



ResultadosResumen

Resumen

Formulación Hamiltoniana de la teoría de Yang-Mills en la norma de Coulomb

Potencial entre cargas de color estáticas explícito en el Hamiltoniano, causa elconfinamiento de los cuarks y los gluones

Principio variacional para la funcional del vacío lleva a dos diferentes soluciones conescalamiento en el infrarrojo, incompatibles con la ecuación correspondiente para elpotencial de Coulomb a color

Nuevo método: flujos Hamiltonianos, una aplicación del grupo de renormalizaciónfuncional (en tres dimensiones) a la formulación Hamiltoniana

En la aproximación más sencilla se encuentra una solución con escalamiento en elinfrarrojo, correspondiente a una de las soluciones conocidas

La ecuación de flujo para el factor de forma de Coulomb es compatible con las otrasecuaciones de flujo, y para el potencial de Coulomb a color resulta en el infrarrojo

F (p) ∝1

p 3.85,

“cerca” del resultado para confinamiento lineal, F (p) ∝ p−4



ResultadosResumen

Colaboración en IRQCD

Grupo actual en el Instituto de Física Teórica de la Universidad de Tübingen enAlemania:

H. Reinhardt, M. Quandt, G. Burgio, P. Watson, M. Leder, D. Campagnari, M. Pak,W. Schleifenbaum

Grupo en formación en el Instituto de Física y Matemáticas de la UniversidadMichoacana de San Nicolás de Hidalgo:

F. Astorga, A. Bashir, V. Villanueva, P. Dell’Olio, AW


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