Aspetti Matematici della Meccanica Quantistica · Crisi della Fisica Classica Fondata sui pilastri della meccanica newtoniana (o hamiltoniana) e della teoria dell’elettromagnetismo

Appunti del corso

Aspetti Matematici della Meccanica Quantistica

(FM450 – A.A. 2014/15)

Michele Correggi

Dipartimento di Matematica e Fisica,

Universita degli Studi Roma Tre,

L.go San Leonardo Murialdo, 1,

00146, Roma

email: [email protected]

11 luglio 2015

versione provvisoria(riportare errori e refusi a [email protected])

Indice

I Introduzione alla Meccanica Quantistica 5

1 Crisi della Fisica Classica 61.1 Meccanica Newtoniana e Hamiltoniana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2 Corpo Nero e Effetto Fotoelettrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.3 Modelli Atomici: da Democrito a Bohr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2 I Postulati della Meccanica Quantistica 142.1 Cinematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.2 Dinamica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3 Spazi di Hilbert e Teoria degli Operatori 173.1 Spazi di Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.2 Trasformata di Fourier, Spazi di Sobolev e Distribuzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.3 Operatori Lineari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.4 Operatore Aggiunto e Inverso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.5 Operatori Simmetrici, Autoaggiunti, Unitari e Proiettori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.6 Principio di Indeterminazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.7 Criterio di Autoaggiunzione e Estensioni Autoaggiunte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.8 Spettro e Risolvente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.9 Teorema Spettrale e Interpretazione Probabilistica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463.10 Caratterizzazione dello Spettro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543.11 Operatori Compatti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573.12 Matrice Densita e Stati Misti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593.13 Teorema di Stone e Dinamica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

4 Particella Libera e Oscillatore Armonico 634.1 La Particella Libera: Osservabili e Dinamica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634.2 Evoluzione Libera di Pacchetti d’Onda: Dispersione e Interferenza . . . . . . . . . . . . . . . 664.3 L’Oscillatore Armonico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

5 Atomo di Idrogeno 775.1 Autoaggiunzione e Stabilita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 775.2 Spettro Energetico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 805.3 Momento Angolare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 845.4 Stati Legati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

II Stato Fondamentale e Stati Legati 93

6 Stato Fondamentale 956.1 Stabilita di Prima Specie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 956.2 Esistenza dello Stato Fondamentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

1

2

6.3 Unicita dello Stato Fondamentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

7 Stati Eccitati 1077.1 Proprieta degli Stati Eccitati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

III Stabilita della Materia 109

8 Stabilita di Prima Specie 112

9 Particelle Identiche e Stabilita di Seconda Specie 1159.1 Spin e Particelle Identiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1159.2 Matrici Densita Ridotte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1199.3 Sistemi a Molti Corpi Non Interagenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1229.4 Stabilita di Seconda Specie e Proprieta Preliminari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

10 Disuguaglianze di Lieb-Thirring 12810.1 Teoria di Birman-Schwinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13210.2 Dimostrazione delle Disuguaglianze di Lieb-Thirring . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

11 Elettrostatica 138

12 Stabilita di Seconda Specie 14712.1 Dimostrazioni Alternative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14812.2 Conseguenze della Stabilita di Seconda Specie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

Notazione

• vettori in Rd o Cd saranno indicati con lettere in grassetto, ad esempio x o v, gli scalari in R o Csaranno invece indicati come, ad esempio, x e v; nel caso in cui non ci sia rischio di ambiguita useremoinoltre la convenzione di indicare con x := |x| il modulo del relativo vettore;

• dati due vettori u e v in Rd il prodotto scalare sara indicato con

u · v =

d∑i=1

uivi,

mentre, usando la notazione εijk per il tensore di Levi-Civita totalmente antisimmetrico, il prodottovettore sara indicato con

u× v =d∑

i,j,k=1

εijkuivjei;

• dato un qualunque numero z ∈ C indicheremo con z∗ il suo complesso coniugato;

• il prodotto scalare in Cd sara indicato come in Rd ovvero se z,w ∈ Cd, z ·w =d∑i=1

z∗iwi;

• la palla di centro x ∈ Rd e raggio % > 0 sara indicata con B%(x);

• per la derivata rispetto a x ∈ R useremo la notazione sintetica ∂x = ∂∂x ;

• la funzione caratteristica di un insieme S sara indicata con 1S(·);

• per le norme useremo sempre la notazione ‖ · ‖; in assenza di ambiguita useremo tale espressioneanche per indicare la norma L2, mentre le norme Lp saranno indicate con ‖ · ‖p;

• useremo la notazione Hp(I) per indicare lo spazio di Sobolev di indice p > 0;

• dato uno spazio di Hilbert H useremo le seguenti notazione per gli spazi di operatori da H in sestesso:

– L (H ) operatori lineari;

– B(H ) operatori limitati;

– L 1(H ) operatori classe traccia;

– L 2(H ) operatori Hilbert-Schmidt;

– L k(H ) ideale di Schatten di ordine k ∈ N;

• utilizzeremo spesso i simboli di Landau per lo studio degli andamenti asintotici: siano f(x) e g(x) ≥ 0due funzioni continue di x, allora diremo che

– f = O(g), se limx→0

|f |g≤ C < +∞;

3

4

– f = o(g), se limx→0

|f |g

= 0;

– f ∼ g, se limx→0

|f |g

= C < +∞ e C > 0;

– f g, se f = o(g);

– f g, se f ≥ 0 e g = o(f);

con definizioni analoghe nel caso x→ x0 o x→∞.

Parte I

Introduzione alla Meccanica Quantistica

5

Capitolo 1

Crisi della Fisica Classica

Fondata sui pilastri della meccanica newtoniana (o hamiltoniana) e della teoria dell’elettromagnetismo diMaxwell, la fisica alla fine del 1800 si presentava come una solida teoria in grado di descrivere i fenomeninaturali fondamentali. Negli anni a cavallo fra la fine del secolo XIX e l’inizio di quello successivo, la scopertadi una serie di fenomeni totalmente incompatibili con le teorie fisiche classiche e genericamente associati alcomportamento di oggetti microscopici porto ad una crisi che sarebbe state superata da lı a poco solamentecon l’avvento della Meccanica Quantistica (MQ).In questo capitolo, dopo alcuni brevi richiami sulla meccanica newtoniana e hamiltoniana e la teoriadell’elettromagnetismo, discuteremo come avvenne storicamente questa rivoluzione.

1.1 Meccanica Newtoniana e Hamiltoniana

Rivediamo brevemente in questa Sezione i due pilastri su cui si fondava la fisica classica alla fine dell 1800,la meccanica newtoniana e la teoria dell’elettromagnetismo.

Il sistema elementare in meccanica newtoniana e il punto materiale ovvero un massa m > 0 concentratain un punto nello spazio R3, che puo quindi essere individuato dalla posizione x ∈ R3. Un’altra caratteristicafisica che caratterizza il sistema e la carica elettrica e, che sara poi rilevante per determinare come si inter-faccia il punto materiale con la teoria dell’elettromagnetismo. La dinamica di tale sistema e completamentedescritta dall’equazione di Newton

mx = F(x, x, t), (1.1)

e dalle condizioni iniziali x(0) = x0 e x(0) = v0, cioe , sotto ragionevoli ipotesi di regolarita su F (ad esempioF lipschitziana), una volta assegnati tali dati iniziali la traiettoria x(t), x(t) e determinata ad ogni tempot ∈ R.

Il campo elettromagnetico e dato dalla coppia formata dal campo elettrico E(x) e dal campo magneticoB(x), che sono entrambi funzioni vettoriali: Ω ⊂ R3 → R3. I campi si ottengono risolvendo le equazioni diMaxwell:

∇ ·E = 4πρ, (1.2)

∇×E = −1

c

∂B

∂t, (1.3)

∇ ·B = 0, (1.4)

∇×B =4πj

c+

1

c

∂E

∂t, (1.5)

dove ρ e la densita di carica e j la densita di corrente. E’ curioso osservare che le equazioni di Maxwell sonoapparentemente 8 equazioni in 6 incognite, ma il sistema e comunque ben definito perche delle 8 equazionisolo 6 sono indipendenti. E’ infatti facile vedere che le 2 equazioni vettoriali in aggiunta con le proprieta deidati iniziali implicano le due equazioni scalari: se poniamo E(0) = E0,B(0) = B0, con E0,B0 tali che

∇ ·E0 = 4πρ(0), ∇ ·B0 = 0,

6

7

allora prendendo la divergenza delle due equazioni vettoriali otteniamo

∂t (∇ ·E) + 4π∇ · j = 0 ∂t (∇ ·B) = 0,

e la seconda implica immediatamente ∇ ·B = 0, mentre la prima combinata con l’equazione di continuita

∂tρ+∇ · j = 0, (1.6)

da la prima equazione di Maxwell. Una distribuzione di carica ρ(x, t) con corrente j(x, t) subisce nel campoelettromagnetico E(x, t),B(x, t) la densita di forza

F(t) = ρ(x, t)E(x, t) +1

cj(x, t)×B(x, t).

Nel caso elementare di un punto elementare ρ(x, t) = eδ(x− x(t)) e j(x, t) = ex(t)δ(x− x(t)) e si riottienela forza di Lorentz e l’equazione di Newton

mx = FLorentz(x, t) = eE(x, t) +e

cx×B(x, t). (1.7)

Ricordiamo inoltre che la densita di energia del campo elettromagnetico e data dalla quantita

E(x, t) =1

8π

(|E(x, t)|2 + |B(x, t)|2

). (1.8)

Il vettore di Poynting

S(x, t) =1

8πE(x, t)×B(x, t),

entra nella variazione dell’energia del campo elettromagnetico come descritto nella successiva

Proposizione 1.1 (Bilancio energetico del campo elettromagnetico).Sia Ω ⊂ R3 una regione compatta e n il versore normale a ∂Ω in direzione uscente, allora

∂t

∫Ω

dx E(x, t) = −∫

Ωdx j(x, t) ·E(x, t)−

∫∂Ω

dσ n · S(x, t). (1.9)

Osservazione 1.1. Una conseguenza piu o meno diretta della precedente Proposizione 1.1 e che, se consi-deriamo un sistema di cariche confinato in una regione limitata, ad esempio contenuta in una palla di raggioR, e i campi E e B decadono quando |x| → ∞ abbastanza rapidamente, cioe piu velocemente di |x|−1, ilsecondo termine (di superficie) nella (1.9) si puo trascurare. Se al contrario i campi decadono come |x|−1 opiu lentamente, nel qual caso si dicono radiativi, il termine di superficie da un contributo finito e non nulloper ogni t.

Ricordiamo ora alcuni concetti essenziali del formalismo hamiltoniano della meccanica classica: lo spaziodegli stati puri di un sistema classica e dato dell’insieme dei punti (p,q) nello spazio delle fasi Γ ⊂ R2d. Leequazioni del moto vengono espresse attraverso una funzione speciale sullo spazio delle fasi, l’Hamiltonianadel sistema H(p,q) : Γ→ R che assumiamo tempo-indipendente e C1(Γ):

q =∂H

∂p,

p = −∂H∂q

, (1.10)

con dati iniziali (p(0),q(0)) = (p0,q0). Naturalmente la soluzione del problema di Cauchy determina latraiettoria del sistema ad ogni tempo t ∈ R. Le Hamiltoniane di alcuni sistemi elementari sono qui di seguitoelencate:

8

• punto materiale o particella libera di massa m in Rd:

H =|p|2

2m;

• particella di massa m immersa nel campo conservativo V (q) (sottoposta alla forza F(q) = −∇V ):

H =|p|2

2m+ V (q);

• particella di massa m e carica e immersa nel campo elettrico generato da una carica puntiforme in Rdi carica q:

H =|p|2

2m+

eq

|q−R|;

• particella di massa m e carica e immersa nel campo magnetico B tale che B = ∇×A per un potenzialevettore A (si noti che la possibilita di porre B = ∇×A e una conseguenza dell’equazione di Maxwell∇ ·B = 0):

H =1

2m

(p− e

cA)2

;

con ovvie generalizzazioni al caso a piu corpi.

Esercizio 1.1. Si dimostri a partire dalla forma della Hamiltoniana di una particella in un campo magneticoche la forza a cui e sottoposta tale particella e la forza di Lorentz introdotta in precedenza.

Vista l’importanza che assumera nelle applicazioni successive, scriviamo ad esempio l’Hamiltoniana diN elettroni di carica −e, nel campo elettrico generato da M nuclei fissi di carica Zje nei punti Rj e nel uncampo magnetico di potenziale vettore A:

H(p1, . . . ,pN ,q1, . . . ,qN ) =N∑i=1

1

2m

(pi −

e

cA(qi)

)2−

M∑j=1

Zje2

|qi −Rj |

+∑i<j

e2

|qi − qj |.

Un caso particolare e quello dell’Hamiltoniana classica dell’atomo di idrogeno, ovvero un sistema compostoda un elettrone e un nucleo di carica e:

H(p,q) =|p|2

2m− e2

|q|.

Se il momento angolare dell’elettrone e non nullo, le traiettorie limitate del sistema (stati legati) sono ellissi(o circonferenze), i cui semiassi sono variano con continuita come funzioni dell’energia del sistema. Se nericava immediatamente che la distanza media dal nucleo dell’elettrone puo in meccanica classica assumereun intervallo continuo di valori, con un valore minimo corrispondente all’orbita con minima energia. Percerti dati iniziali tuttavia, corrispondenti a momento angolare nullo, si puo verificare il fenomeno di cadutasul centro dell’elettrone, nel senso che esso raggiunge il nucleo in un tempo finito e la dinamica non e globalenel tempo.

Altri problemi si presentano pero quando si combina la descrizione classica con la teoria dell’elettromagne-tismo: l’elettrone infatti muovendosi attorno al nucleo genera una distribuzione di carica tempo-dipendentee quindi una densita di corrente date da

ρ(x, t) = −eδ(x− q(t)), j(x, t) = −eq(t)δ(x− q(t)).

I campi elettrico e magnetico generati da tali densita di carica e corrente sono a loro volta tempo-dipendentie, se facciamo le seguenti ipotesi semplificative

supt∈R|q(t)| c, sup

t∈R|q(t)| |x|, q(t) 6= 0,

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Figura 1.1: Leggi di Planck (P), Rayleigh-Jeans (RJ) e Plank (P) [GP1, p. 3].

ovvero assumiamo che la velocita dell’elettrone sia molto piu piccola di quella della luce, valutiamo i cam-pi a distanze molto maggiori di quella dell’elettrone dal nucleo e infine richiediamo che l’accelerazionedell’elettrone non si annulli mai, allora si ha

B(x, t) =e

4πc2|x|q

(t− c

|x|

)× x, E(x, t) = B(x, t)× x,

dove abbiamo indicato con x = x/|x|. Pertanto i campi generati dall’elettrone sono radiativi e nel bilancioenergetico del campo elettromagnetico il termine di bordo della (1.9) da un contributo non nullo. Un’analisipiu raffinata mostra che, per dati iniziali generici, l’energia del sistema all’interno di una palla di raggiogrande in effetti diminuisce a causa del campo elettromagnetico prodotto dall’elettrone, che quindi perdendoenergia tende ad avvicinarsi e infine a cadere sul nucleo.

1.2 Corpo Nero e Effetto Fotoelettrico

Storicamente il primo fenomeno a cui si associa l’inizio della crisi della fisica classica e il corpo nero o,per meglio dire, la spiegazione della radiazione emessa da tale sistema fisico. Descriviamo meglio di cosasi tratta: Kirchhoff fu il primo a proporre nel 1860 la definizione di corpo nero come un oggetto fisicoche assorbe tutta la radiazione elettromagnetica con cui venga irraggiato. Una realizzazione sperimentaledi questo oggetto ideale si puo costruire immaginando di prendere un cubo cavo mantenuto a temperaturacostante e di praticare nella superficie un piccolo foro. La radiazione che entra nel foro verra riflessa infinitevolte all’interno della cavita e, se il foro e abbastanza piccolo, non potra mai uscirne. D’altra parte benchela radiazione entrante non possa mai emergere dal foro, esso emette una radiazione caratteristica, dettaappunto radiazione di corpo nero, che si osserva essere indipendente dalla forma della cavita e dagli altriparametri del sistema, ad eccezione della temperatura T . Piu precisamente l’intensita di radiazione u(ν, T )ha un andamento classico, con u che tende a 0 quando ν → 0,+∞ ed ammette un unico massimo (ildato sperimentale e sostanzialmente sovrapponibile alla legge di Planck della Fig. 1.2). Per spiegare taleandamento in ambito classico furono proposti due modelli alternativi. Wien, partendo dall’ipotesi che leparticelle del corpo fossero distribuite secondo la statistica di Maxwell, derivo la legge di Wien (β costanteuniversale)

u(ν, T ) = Cν3e−βνT , (1.11)

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che approssimava abbastanza bene l’andamento a grandi frequenze dell’intensita osservata sperimentalmente,ma si discostava in modo significativo per piccole frequenze. Viceversa il modello proposto da Rayleigh nel1900 e corretto qualche anno piu tardi da Jeans nel 1905 si basava sull’ipotesi che le particelle della superficiedella cavita potessero essere descritte come oscillatori armonici in interazione con il campo elettromagnetico.Sotto queste ipotesi fu derivata la legge di Rayleigh-Jeans

u(ν, T ) = Cν2T, (1.12)

che era in ottimo accordo con i dati sperimentali per piccole frequenze, mentre ovviamente si discostava inmodo sensibile appena la frequenza si allontanava da 0. Nella Fig. 1.2 si puo vedere un confronto grafico frale due leggi, con anche un ingrandimento attorno a ν = 0. Come risulta evidente gia a un primo sguardo ledue leggi sono del tutto incompatibili e nessuna delle due da una spiegazione soddisfacente della radiazioneda corpo nero.

La soluzione del problema fu data nel 1900 da Planck il quale riprese il modello di Rayleigh-Jeans maassunse che le energie accessibili agli oscillatori della cavita fossero un insieme discreto. Piu precisamente ilivelli energetici raggiungibili dagli oscillatori erano nel modello di Planck dati da

En = nhν,

con h nuova costante fisica – da quel momento in poi chiamata costante di Planck – con le dimensioni diun’azione e esplicitamente uguale a

h = 2π · 6.582 · 10−22 Mev · s. (1.13)

La legge ricavata da Planck a partire dal modello appena descritto e quella che sappiamo oggi descrivereprecisamente la radiazione da corpo nero per ogni ν e cioe

u(ν, T ) = Cν2 1

ehνkBT − 1

, (1.14)

dove abbiamo indicato con kB la costante di Boltzmann.L’ipotesi di discretizzazione o quantizzazione dell’energia nel modello di Planck non aveva naturalmente

nessuna giustificazione classica e fu in effetti il nucleo da cui comincio a svilupparsi la teoria quantistica.Non entreremo qui nel dettaglio della storia dell’affermazione scientifica della MQ, ma citeremo brevemen-te un altro caso in cui l’ipotesi di quantizzazione fu essenziale per spiegare un fenomeno classicamenteincomprensibile. Si tratta dell’effetto fotoelettrico: illuminando una lastra di metallo con una radiazioneelettromagnetica si osserva la produzione di elettroni. Tale effetto era noto a livello sperimentale sin dagliultimi anni del XIX secolo, ma constuiva un mistero dal punto di vista teorico, a causa delle proprietacaratteristiche del fenomeno e, in particolare, le seguenti:

• il numero di elettroni (intensita di corrente) e proporzionale all’intensita della radiazioneelettromagnetica;

• esiste una frequenza di soglia ν0 > 0 tale che se ν < ν0 non sono emessi elettroni;

• l’energia cinetica massima degli elettroni e proporzionale alla differenza ν − ν0 e non dipendedall’intensita della radiazione.

Soprattutto le ultime due proprieta non avevano nessuna spiegazione classica plausibile, poiche la radiazioneelettromagnetica puo scambiare quantitita arbitrarie di energia con gli elettroni del metallo. Einstein nel1905 fece sua l’ipotesi di quantizzazione di Planck, applicandola alla radiazione elettromagnetica e suppo-nendo che essa fosse composta da quanti di energia hν, cioe proporzionale alla frequenza della radiazione.Tali ipotesi si dimostro sufficiente per cosntruire un modello accurato dell’effetto fotoelettrico, tanto cheMillikan nel 1916 uso l’effetto fotoelettrico per misurare la costante di Planck.

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1.3 Modelli Atomici: da Democrito a Bohr

L’idea che la materia sia composta da elementi microscopici identici fra loro risale addirittura ai filosofipresocratici greci nel V secolo a.C.. Ad esempio Democrito fondava il suo modello di realta sull’esistenza ditali constituenti elementari, che chiamo appunto atomi, i quali muovendosi in modi differenti si combinavanoper formare tutta la varieta di sostanze note.

L’ipotesi atomica fu poi abbandonata per lungo tempo fino a tornare in auge a partire dal XVIII secolograzie ai primi sperimenti di chimica di Dalton, Lavoisier, etc., i quali si accorsero che una teoria atomicasi sarebbe ben sposata con le prime regole empiriche della chimica. Similmente Brown osservo che letraiettorie di moto – da allora detto browniano – di particelle microscopiche in soluzione acquose avevanouna spiegazione naturale ipotizzando urti frequenti fra le particelle e i costituenti (atomi o molecole) dellasoluzione in agitazione termica. Il consenso non era pero molto diffuso tanto che ancora alla fine del 1800Mach e Ostwald dibattevano contro l’esistenza degli atomi o, piu precisamente, la necessita dell’ipotesiatomica, sottolineando soprattuto l’impossibilita di verificarla sperimentalmente.

Le cose cambiarono pero all’inizio del 1900 quando un numero notevole di evidenze sperimentali sull’e-sistenza degli atomi comincio ad accumularsi. Le informazioni di cui si disponeva riguardo alle proprietadegli atomi erano consistenti e si possono riassumere nella lista seguente:

• il raggio di un atomo e ' 10−8cm;

• la massa di un atomo e ' 10−24g;

• gli atomi sono caricamente neutri;

• gli atomi contengono elettroni con carica −e, e ' 10−10C, e massa me ' 9.1 · 10−31Kg;

• se compliti da radiazione elettromagnetica gli atomo la assorbono e quindi emettono a loro voltaradiazione elettromagnetica le cui frequenze possono essere misurate (spettri atomici di assorbimentoo emissione).

Nel 1885 Ballmer raccolse tutti i dati sperimentali sullo spettro di emissione dell’atomo di idrogeno emostro che esso contiene righe di emissione alle frequenze

νm,n = cRH

(1

m2− 1

n2

), m < n ∈ N, (1.15)

dove RH e una costante misurata sperimentalmente – il Rydbergh – e c e la velocita della luce.Per spiegare la grande mole di dati sperimentali riguardo agli spettri atomici vari modelli di atomo

cominciarono ad essere proposti a partire da inizio 1900. Si va dal modello planetario di Perrin nel1901 al modello a panettone di Thomson nel 1904, fino a quello di Rutherford nel 1911. Ciascunmodello proponeva un aggiustamento della descrizione classica che combinava la meccanica newtoniana conl’elettromagnetismo di Maxwell e, come abbiamo visto, produceva atomi instabili. Il modello planetario esostanzialmente il piu ingenuo, in quanto prescinde in qualche senso dagli effetti elettromagnetici descrivendol’atomo di idrogeno come un satellite (elettrone) che ruota attorno al suo pianeta (nucleo). Nel modelloa panettone invece l’atomo e descritto come una distribuzione di carica positiva – la carica nucleare –nella quale sono immerse cariche puntiformi negative – gli elettroni. In realta tale modello fu abbandonatoquasi subito per il fatto che si scontrava con l’evidenza sperimentale (vedi sotto) che il volume occupato daun atomo fosse in realta per la maggior parte vuoto, cioe che elettroni e nucleo occupassero una frazioneminuscola di tale volume.

Il modello di Rutherford dell’atomo di idrogeno del 1911 constituiva in realta un ritorno al modelloplanetario, in cui l’elettrone ruota su un’orbita ellittica attorno al nucleo (di dimensioni ' 10−13cm) ad unadistanza dell’ordine di 10−8cm. I motivi dietro al ritorno a tale descrizione stavano nei risultati sperimentaliottenuti da Rutherford studiando l’interazioni di particelle α con atomi d’oro: un fascio di quelle che oggisappiamo essere particelle α, cioe nuclei di He venivano sparati contro una sottilissima lamina d’oro dispessore ' 10−5cm, per essere poi registrate dopo l’attraversamento della lamina. Quello che si osservava

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era che la maggior parte delle particelle non veniva affatto deflessa come se lo spazio occupato dagli atomifosse una frazione molto piccola del volume della lamina d’oro, il che chiaramente escludeva il modello diThomson. Inoltre osservando le particelle deflesse si ricavava una dimensione lineare del volume occupatodall’atomo dell’ordine di 10−8cm. Il modello planetario era in perfetto accordo con questi dati sperimentali,ma, come sappiamo, aveva problemi molto piu profondi, prevedendo un atomo instabile.

Dopo alcuni tentativi infruttuosi come il principio di combinazione proposto da Ritz nel 1908, unasoluzione parziale al paradosso del modello planeterio fu trovata da Bohr nel 1913, sfruttando ancora unavolta l’ipotesi di quantizzazione di Planck e Einstein. L’idea euristica prendeva spunto dal fatto che lanuova costante h introdotta da Planck avesse le dimensioni di un’azione, cosı che combinando nel modo piusemplice possibile i parametri fondamentali dell’atomo di idrogeno per trovare una lunghezza si ottiene laquantita h

mee2' 10−8, cioe esattamente l’ordine di grandezza del raggio dell’atomo di idrogeno. Il modello

atomico di Bohr si fonda sui seguenti postulati:

• tranne che quando e coinvolto il campo elettromagnetico, sia nel fenomeno di emissione che di assorbi-mento, il moto dell’elettrone e descritto dalle equazioni del moto classiche (di Newton). In particolarel’elettrone si muove su traiettorie ellittiche attorno al nuceo ma non irraggia onde elettromagnetiche;

• i livelli energetici accessibili dell’atomo sono discreti;

• l’energia dei livelli energetici En e fissata dalla condizione di quantizzazione

|L| = ~n, n ∈ N, (1.16)

dove |L| e il modulo del momento angolare;

• l’emissione/assorbimento di onde elettromagnetiche avviene solo quando l’elettrone passa da un livelloEn ad un altro Em e, in tal caso, l’energia del fotone emesso/assorbito e data da hν = |En − Em|.

Vediamo ora cosa implica la condizione di quantizzazione. Supponiamo per semplicita che l’orbita classicasia una circonferenza nel piano x, y, cioe che l’energia coincida col minimo del potenziale efficace. In questocaso abbiamo che |L| = mr2ω = ~n, dove ω e la velocita angolare e r raggio dell’orbita e dall’uguaglianzadella forza centrifuga con l’attrazione elettrostatica

e2

r2= mω2r =

L2

mr3=

~2n2

mr3,

da cui ricaviamo

En =L2

2mr2− e2

r= −1

2

me4

L2= −1

2

me4

~2n2= −1

2

mα2c2

n2, (1.17)

dove abbiamo usato la costante di struttura fine α ' 1/137. Il raggio dell’orbita n−esima e

rn =~2n2

me2. (1.18)

Nel caso dello stato ad energia piu bassa, ovvero per n = 1, si ottiene r1 ' 0.52A in ottimo accordo con gliesperimenti. Le frequenze νm,n delle righe di emissione/assorbimento sono ottenute dalle regole del modelloe si ricava immediatamente che

νm,n =mα2c2

4π~

(1

m2− 1

n2

), (1.19)

in perfetto accordo con la regola empirica di Ballmer.

Esercizio 1.2. Si dimostri che limn→∞ νn,n+1 = νe, dove νe = 2π/Te e la frequenza del moto circolaredell’elettrone.

Nella trattazione quantistica dell’atomo di idrogeno vedremo che i livelli energetici e la relativa quantizzazioneemergeranno naturalmente e che il modello di Bohr non e in realta cosı accurato, se si eccettuano le energieEn. In effetti gia pochi anni dopo l’introduzione del modello di Bohr ci si rese conto che esso non potevaspiegare l’intera mole di risultati sperimentali riguardo agli atomi, e, in particolare, due problemi risaltavanoparticolarmente:

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• come estendere la descrizione agli atomi con piu elettroni?

• gli atomi sono contiuamente sottoposti a radiazioni elettromagnetiche ma non si osserva un’emissionecontinua di radiazione, come mai?

Il modello di Bohr fu percio modificato e affinato portando alla regola di quantizzazione di Bohr,Sommerfeld e, gradatamente, alla formulazione organica della MQ.

Capitolo 2

I Postulati della Meccanica Quantistica

In questo capitolo presenteremo i postulati su cui e costruita la MQ, seguendo la storica impostazione diVon Neumann [VN]. Sara fin da subito evidente come la stuttura matematica della MQ sia particolarmentericca, tanto da poter affermare che una parte notevole dell’analisi funzionale moderna sia stata sviuppatain ragione della rilevanza in ambito quantistico. Al contempo vedremo pero come questa ricchezza siaalla base della necessita di interpretazione non banale della MQ, che individui una corrispondenza fra glioggetti matematici della teoria e le grandezze fisiche coinvolte negli esperimenti, e come questo rappresentia tutt’oggi un problema senza una soluzione soddisfacente.

2.1 Cinematica

Le regole della cinematica quantistica rappresentano, come per ogni teoria fisica, il cuore della teoria stessa,identificando gli oggetti matematici, che rappresentano le grandezze fisiche misurate negli esperimenti, efornendo le regole per estrarre previsioni sui dati sperimentali da tali oggetti matematici.Il primo e secondo postulato riguardano rispettivamente stati e osservabili, mentre il terzo e in una certamisura il quarto costituiscono i fondamenti dell’interpretazione della MQ.

Postulato 1 (Stati puri).Gli stati puri di un sistema quantistico al tempo t ∈ R sono raggi unitari |Ψ(t)〉 in uno spazio di Hilbertseparabile H su C.

Si noti l’aggettivo puri nel postulato precedente che qualifica il tipo di stati. Vedremo che non si tratta deltipo piu generale di stati e che esiste una classe piu ampia formata dagli stati misti (si veda la Sezione 3.12).

Postulato 2 (Osservabili).Le osservabili di un sistema quantistico con spazio di Hilbert H sono operatori linaeri autoaggiunti su H .

Le grandezze fisiche di un sistema quantistico sono pertanto rappresentate da operatori in L (H ). E’importante sottolineare a questo stadio che non si suppone necessariamente vero il contrario, ovvero non siassume che tutti gli operatori autoaggiunti su H siano effettivamente osservabili.

Postulato 3 (Interpretazione).Dato uno stato |Ψ(t)〉 di un sistema quantistico al tempo t ∈ R e un’osservabile A,

• i possibili valori della misura di A su |Ψ(t)〉 al tempo t sono i punti dello spettro σ(A) ⊂ Rdell’operatore A;

• la probabilita PA,Ψ(I) che nella misura si ottenga un valore λ ∈ I borelliano contenuto in σ(A) e

PA,Ψ(I) = ‖EA(I)Ψ(t)‖2 , (2.1)

dove EA(I) indica il proiettore spettrale di A relativo al borelliano I.

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La natura probabilistica della MQ fa quindi la sua comparsa in questo terzo postulato, associando ai possibilirisultati di un esperimento delle probabilita e quindi frequenze di visita: ripetendo il medesimo esperimentodi misura di A sullo stato |Ψ(t)〉 al tempo t, si registreranno diversi valori di A, con frequenze sempre piuvicine al valore asintotico dato dalle probabilita (2.1). Una conseguenza diretta del terzo postulato e inoltreche il valor medio della misura dell’osservabile A nello stato |Ψ(t)〉, ovvero la media di valori ottenuti in unnumero arbitrariamente grande di esperimenti identici, e dato dal valore di aspettazione di A su |Ψ(t)〉:

〈A〉 := 〈Ψ(t)|A |Ψ(t)〉 . (2.2)

Il quarto e ultimo postulato della cinematica quantistica e in realta quello piu controverso e che ancoraoggi non si considera una soluzione soddisfacente al problema della misura in MQ. Non lo presenteremopercio qui nel dettaglio (si veda per maggiori informazione, per esempio, [GP1, Capitolo 2.8]) ma com-menteremo soltanto il suo ruolo nell’interpretazione della MQ. Le regole introdotte in precedenza sarebberoinfatti perfettamente sufficienti per costruire una cinematica completa, ma vi e la necessita di dare una defi-nizione del processo di misura. Sfortunatamente questo non e possibile all’interno della stessa MQ, se non apatto di generare paradossi inaccettabili, poiche l’apparato di misura e tipicamente costituito da un oggettomacroscopico, che come tale obbedisce alle regole della meccanica classica. Si dovrebbe percio fornire unmodello che renda compatibile il carattere probabilitisco della MQ con l’assenza di incertezza (eccetto quellainsita nell’errore sperimentale) tipico di ogni misura classica.

Una possibile soluzione (debole) del problema e quello di ammettere questa separazione fra mondo micro-scopico quantistico e mondo macroscopico classico e fornire una regola empirica per descrivere l’interazionefra i due che avviene negli esperimenti (appunto il Postulato 4). Si e soliti spiegare tale interazione sottoli-neando il fatto che ogni misura genera una perturbazione del sistema in oggetto e quindi ne modifica lo stato.Tale spiegazione e tuttavia poco soddisfacente e anche problematica alla luce dei recenti esperimenti in cuimisure indirette permettono di ricavare informazione dal sistema microscopico senza perturbarne lo stato.Altre soluzioni sono state proposte, ma nessuna totalmente accettabile o piu soddisfacente della regola sucui si fonda la cosı detta interpretazione di Copenhagen della MQ, ovvero il collasso della funzione d’onda:in estrema sintesi, se la misura1 dell’osservabile A da come risultato un suo autovalore non degenere λ, alloradopo la misura il sitema si trovera nel relativo autostato.

2.2 Dinamica

Per completare la descrizione di un sistema quantistico e necessario specificare una dinamica, ovvero unlegge che descriva l’evoluzione temporale del sistema. Piu precisamente da cosa e dato lo stato del sistemaal tempo t > 0 se al tempo t = 0 esso si trovava nello stato (puro) |Ψ0〉?

L’ultimo Postulato2 della MQ riguarda precisamente questa questione:

Postulato 5 (Dinamica).Se al tempo t = 0 un sistema quantistico si trova nello stato |Ψ0〉, allora il suo evoluto al tempo t > 0 e lostato |Ψt〉 che si ottiene risolvendo l’equazione di Schrodinger

i~∂t |Ψt〉 = H(t) |Ψt〉 , (2.3)

con dato iniziale |Ψt=0〉 = |Ψ0〉 e dove H(t) e un’osservabile speciale detta hamiltoniana del sistema.

1Piu precisamente il Postulato 4 si applica alle cosı dette misure di prima specie o preparazioni che vanno dinstinte dallemisure di seconda specie: in quest’ultimo caso l’interferenza dell’apparato di misura con il sistema e cosı drastica che il sistemastesso non sopravvive alla misura (ad esempio quando una particella e registrata su uno schermo), mentre nel primo caso sipresuppone che dopo la misura il sistema continui ad esistere ed evolvere secondo le regole della dinamica quantistica (si vedala Sezione 2.2).

2Per la numerazione seguiamo la tradizione di indicare quest’ultimo Postulato come quinto, anche se ne abbiamo formulatiesplicitamente solo 3. Il motivo e che abbiamo tralasciato di discutere il Postulato 4, brevemente accennato nella precedenteSezione.

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Osservazione 2.1. Come e evidente dal precedente Postulato la dinamica di un sistema quantistico edata da un problema di Cauchy nello spazio di Hilbert H degli stati del sistema. Questo e analogo aquanto si verifica nel caso dei sistemi classici. Tuttavia vedremo che vi e una differenza sostanziale nellasoluzione della dinamica: in meccanica classica sono notoriamente necessarie delle assunzioni di regolaritasull’hamiltoniana del sistema, mentre la dinamica quantistica risulta essere piu regolare e, sotto le ipotesidel Postulato 5, esiste sempre un’unica soluzione dell’equazione (2.3) (si veda la Sezione 3.13).

Osservazione 2.2. E’ importante sottolineare che l’esistenza dell’hamiltoniana del sistema e in effetti unaparte rilevante del postulato, nel senso che la dinamica di un sistema quantistico e totalmente identificatadalla sua hamiltoniana (Sezione 3.13 per ulteriori dettagli).

Alla luce delle due Osservazioni precedenti e in particolare della seconda, risulta evidente che ogni sistemaquantistico e univocamente individuato dallo spazio dei suoi stati – lo spazio di Hilbert H – e dall’hamil-toniana H(t) che ne genera la dinamica. In realta un’ulteriore ipotesi che spesso non viene esplicitamentediscussa riguarda le grandezze fisiche osservabili: si assume infatti in assenza di ulteriori specificazioni chetutti gli operatori autoaggiunti su H siano osservabili. Tuttavia quest’ipotesi presenta molti aspetti di-scutibili, anche in termimi di interpretazione della teoria. Non approfondiremo oltre la questione in questasede.

Si noti pero che l’indentificazione di un sistema fisico con il suo spazio degli stati e la dinamica che locaratterizza e tipico anche della meccanica classica e, piu in generale, di ogni teoria fisica: la descrizionedi qualunque sistema fisico e infatti caratterizzata anzitutto dall’insieme delle grandezze fisiche misurabili(che sia per la MQ che per la meccanica classica si assume essere massimale, come discusso in precedenza)e dall’insieme degli stati che associano alle osservabili il relativo valore di aspettazione (un numero reale);l’evoluzione temporale e quindi definita in termini di un problema di Cauchy. In ambito classico questitre elementi sono dati rispettivamente dallo spazio delle fasi, i cui punti sono gli stati puri, dalle funzionicontinue su di esso e dalle equazioni di Hamilton dell’evoluzione temporale. In MQ i corrispettivi sono invecelo spazio di Hilbert (o piu propriamente lo spazio dei raggi in uno spazio di Hilbert separabile), gli operatoriautoaggiunti su tale spazio e l’equazione di Schrodinger.

Capitolo 3

Spazi di Hilbert e Teoria degli Operatori

Questo capitolo e dedicato ad un richiamo delle nozioni fondamentali riguardanti la teoria degli spazi diHilbert e degli operatori lineari agenti su di essi. Non discuteremo le dimostrazione della maggior parte deirisultati presentati, ma proporremo un ampia scelta di esempi ed esercizi per familiarizzare con i concettichiave della teoria. Rivedremo poi in forma critica i postulati della MQ, sfruttando gli strumenti appenaintrodotti per ricavarne conseguenze e generalizzazioni. In particolare vedremo come l’interpretazione pro-babilistica della MQ sia una conseguenza naturale dei primi due Postulati della teoria, applicando il teoremaspettrale agli operatori autoaggiunti (osservabili) sullo spazio di Hilbert.

3.1 Spazi di Hilbert

Partiamo dunque dalla seguente

Definizione 3.1 (Spazio di Hilbert).Uno spazio di Hilbert H su C e uno spazio vettoriale su C su cui sia definito un prodotto scalare〈·| ·〉: H ×H → C e che sia completo rispetto alla metrica associata alla norma ‖u‖2 := 〈u|u〉 indotta dalprodotto scalare.

Ricordiamo che un prodotto scalare e un applicazione bilineare1, positiva e non degenere. La metrica associataalla norma ‖ · ‖ e naturalmente definita come

dist (u, v) = ‖u− v‖ , u, v ∈H .

Ricordiamo inoltre che uno spazio metrico e completo se ogni successione di Cauchy e convergente e che glispazi di Hilbert sono casi speciali di spazi di Banach in cui la norma e indotta da un prodotto scalare.

Esempio 3.1

1. Un esempio banale di spazio di Hilbert e CN , N ∈ N, con il prodotto scalare standard (x,y) = x ·y =∑Ni=1 x

∗i yi;

2. per ogni aperto I ⊂ Rd,

L2(I, dx) :=

f misurabili

∣∣∣ ∫I

dx |f(x)|2 < +∞, (3.1)

e uno spazio di Hilbert con dx misura di Lebesgue in Rd. Naturalmente il prodotto scalare e dato da

〈f | g〉 :=

∫I

dx f∗(x)g(x). (3.2)

Piu in generale ogni L2(B,dµ) con B borelliano in Rd e µ misura borelliana regolare e ancora unospazio di Hilbert;

1Assumeremo sempre che il prodotto scalare sia antilineare nella prima componente e lineare nella seconda.

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3. lo spazio delle successioni quadrato sommabili, i.e.,

`2(Z) :=

unn∈Z , un ∈ C

∣∣∣∣ ∑n∈Z|un|2 < +∞

, (3.3)

e anch’esso uno spazio di Hilbert, il cui prodotto scalare e la naturale generalizzazione di quello suCN .

Definizione 3.2 (Raggio).Un raggio unitario |Ψ〉 nello spazio di Hilbert H e , dato un certo Ψ ∈ H con ‖Ψ‖ = 1, la classe diequivalenza

|Ψ〉 :=eiαΨ, α ∈ R

. (3.4)

In effetti la definizione (3.4) definisce una relazione di equivalenza in H , che a sua volta puo essere usataper definire un opportuno spazio proiettivo a partire da H e idenficare con esso lo spazio degli stati di unsistema quantistico. Non svilluperemo oltre questo tipo di approccio.

Il Postulato 1 puo dunque essere riformulato nel seguente modo: gli stati puri di un sistema quantisticosono vettori in H normalizzati definiti a meno di una fase globale (costante). Vedremo come quest’ultimarichiesta sia compatibile con il Postulato 3, nel senso che sia il valore di aspettazione che le probabilita deivalori misurati sono indipendenti dal rappresentativo scelto per il raggio |Ψ〉.

La notazione che abbiamo usato per indicare i raggi in H e quella tipicamente usata dai fisici: l’espres-sione |Ψ〉 si chiama2 ket di Ψ ed e la controparte del bra di Ψ, i.e., 〈Ψ| che non e nient’altro che un elementodel duale dello spazio dei ket. Grazie al teorema di Riesz (si veda il prossimo Teorema 3.6) lo spazio deiket e in corrispondenza uno a uno con lo spazio dei bra e dunque per ogni Ψ ∈ H ha senso l’espressione〈Ψ|. Inoltre 〈Ψ |Φ〉 ∈ C e dato dal prodotto scalare usuale fra Ψ e Φ, dove Ψ e Φ sono due rappresentatividei raggi in questione. Chiaramente il prodotto scalare dipende dalla scelta dei rappresentativi, ma il suomodulo oppure l’aspettazione di un osservabile su un singolo stato |Ψ〉, che sono le uniche quantita consignificato fisico (si veda il Postulato 3), ne sono indipendenti.

Come abbiamo visto un esempio di spazio di Hilbert sono gli spazi vettoriali finito dimensionali con unprodotto scalare, i.e., CN . Nel caso finito dimensionale sappiamo che qualunque spazio vettoriale ammetteuna base ortonormale. Vedremo che una cosa analoga vale anche per gli spazi di Hilbert.

Definizione 3.3 (Denso).Dato un insieme S ⊂H diciamo che S e denso in H se ogni u ∈H e limite di elementi in S.

Esercizio 3.1. Dimostrare che le combinazioni lineari finite, i.e.,∑N

n=1 anen sono dense in `2(N).

Esercizio 3.2. Dimostrare che dato un intervallo aperto I ⊂ R, C∞(I) e denso in L2(I, dx).

Definizione 3.4 (Base e s.o.n.c).Dato uno spazio di Hilbert H diciamo sistema completo (s.c.) un insieme di vettori denso in H . Unabase o sistema ortogonale completo (s.o.c.) e un insieme di vettori ortogonali massimale, ovvero noncontenuto propriamente in nessun altro insieme di vettori ortogonali. Un sistema ortonormale completo(s.o.n.c.) e una base composta da vettori uαα∈I , I ⊂ R, tali che

• (normale) ‖uα‖ = 1 per ogni α ∈ I;

• (ortogonale) 〈uα |uβ 〉 = 0 se α 6= β.

Una conseguenza dell’assioma della scelta e la seguente

Proposizione 3.1 (Esistenza di un s.o.n.c.).Ogni spazio di Hilbert H ammette almeno un s.o.n.c.

2Mettendo insieme i due elementi bra e ket, ovvero scrivendoli uno di fianco all’altro si ricostruisce il braket, la parentesi.

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Definizione 3.5 (Spazio di Hilbert separabile).Uno spazio di Hilbert H si dice separabile se ammette una base numerabile.

Definizione 3.6 (Dimensione).Dato uno spazio di Hilbert H definiamo la sua dimensione come il numero degli elementi di una qualsiasibase.

Per gli spazi di Hilbert separabili l’analogia con il concetto di base finito-dimensionale e ancora piu forte.

Teorema 3.1 (Serie di Fourier).Sia H uno spazio di Hilbert separabile su C e unn∈N un suo s.o.n.c numerabile. Assegnato un vettoreΨ ∈H i suoi coefficienti di Fourier Ψnn∈N sono i numeri complessi

Ψn := 〈un |Ψ〉 . (3.5)

Si ha allora

• (serie di Fourier) Ψ =∑

n∈N Ψnun nel senso che

limN→∞

∥∥∥∥Ψ−N∑n=1

Ψnun

∥∥∥∥ = 0; (3.6)

• (identita di Parseval) ‖Ψ‖2 =∑

n∈N |Ψn|2 e piu in generale per ogni Ψ,Φ ∈H ,

〈Ψ |Φ〉 =∑n∈N

Ψ∗nΦn, (3.7)

dove Φn sono i coefficienti di Fourier di Φ rispetto alla stessa base.

Esercizio 3.3. Dimostrare senza usare la (3.5) che, fissato il s.o.n.c., la serie di Fourier e unica, ovverose Ψ =

∑Ψnun =

∑Ψ′nun allora Ψn = Ψ′n per ogni n.

Dato uno spazio di Hilbert separabile dunque, una qualunque s.o.n.c. numerabile individua una corrispon-denza uno a uno fra H e `2(N) (o `2(Z) a seconda del numero di elementi di base), associando ad ognivettore di H i suoi coefficienti di Fourier e viceversa.Solitamente la terminologia serie di Fourier e coefficienti di Fourier si riserva per il caso speciale H = L2(I)con I aperto in R e un(x) = |I|−1/2 exp2πinx/|I| (si veda anche Esempio 2 punto 2). In questo caso sipuo dimostrare che la serie di Fourier di ogni funzione in L2(I) e puntualmente convergente q.o., mentreconverge uniformemente se e solo se la funzione e continua e periodica (cioe assume lo stesso valore agliestremi dell’intervallo). Questa particolare base e inoltre utile per dare una definizione alternativa deglispazi di Sobolev:

Definizione 3.7 (Spazi di Sobolev).Definiamo lo spazio di Sobolev di indice p > 0 come

Hp(I) :=f ∈ L2(I)

∣∣∣ |n|pfn ∈ `2(Z), (3.8)

dove fn indicano i coefficienti di Fourier di f rispetto alla base un(x) = |I|−1/2 exp2πinx/|I|.

Per decidere se un insieme di vettori linearmente indipendenti e un s.o.n.c e spesso utile uno dei seguenticriteri:

Proposizione 3.2 (S.o.n.c).Sia H uno spazio di Hilbert separabile, allora un s.o.n. unn∈N e una base e quindi un s.o.n.c. se valealmeno una (e quindi entrambe) delle seguenti proprieta:

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• le combinazioni lineari finite∑N

n=1 anun con an ∈ C e N < +∞ sono dense in H ;

• 〈Ψ |un 〉 = 0 per ogni n ∈ N ⇐⇒ Ψ = 0.

Esempio 3.2 Riprendiamo i casi discussi nell’Esempio 3.1:

1. la base standard di CN , ovvero enn=1,...N , e chiaramente un s.o.n.c.;

2. un s.o.n.c per L2(I, dx) con I intervallo aperto di R e data dai vettori unn∈Z (teorema di Fourier)con

un(x) := 1√Le

2πinxL , (3.9)

dove abbiamo chiamato L := |I| la lunghezza dell’intervallo.Nel caso in cui I non sia invece compatto, ad esempio per I = R, due possibili s.o.n.c. sono dati da

Hn(x)e−x2

2 , Ln(x)e−xn+1 , (3.10)

con n ∈ N e Hn e Ln rispettivamente i polinomi di Hermite e i polinomi di Laguerre.

3. una base per `2(N) e ovviamente data dalla generalizzazione infinito dimensionale della base canonicain CN , ovvero enn∈N.

Esercizio 3.4.

1. Dimostrare che le funzioni un(x) =(

2π

)1/2sinnx formano un s.o.n.c. in L2(0, π).

2. Si considerino le funzioni

fn(x) =

1, se 1

n+1 ≤ x ≤1n ,

0, altrove,

con n ∈ N. Le fn formano un set ortogonale completo in L2(0, 1)?

3. Le funzioni un(x) = e2inx, n ∈ Z, formano un set ortogonale completo in L2(0, π)? e in L2(0, 2π)?Si consideri poi il set vn(x) = un(x)eβx per un certo β ∈ C: il set vn e completo in L2(0, π)? e inL2(0, 2π)?

4. Dato un set completo un in H , quand’e che il set vn = un− v rimane un set completo per un certov ∈H ? e invece quand’e che il set wn = en − αme1 non e completo in `2(N)?

5. Il set un(x) = xeinx e ancora completo in L2(−π, π)?

In ogni spazio di Hilbert valgono due disuguaglianze che coinvolgono la norma e che hanno una grandeutilita:

Proposizione 3.3 (Disuguaglianze di Schwarz e triangolare).Per ogni u, v ∈ H spazio di Hilbert valgono la disuguaglianza di Schwarz e la disuguaglianzatriangolare, i.e.,

|〈u |v 〉| ≤ ‖u‖ ‖v‖ , ‖u+ v‖ ≤ ‖u‖+ ‖u‖ . (3.11)

Esercizio 3.5. Dimostrare le due disuguaglianze in (3.11) usando le proprieta della norma. (Suggerimento:calcolare la norma ‖u+ λv‖ per λ ∈ C generico e scegliere valori ad hoc di λ).

Come abbiamo visto uno spazio di Hilbert ammette una metrica indotta dalla norma, ma grazie alla presenzadel prodotto scalare e possibile definire in H una topologia piu debole di quella della norma, che in effetticoincide con quella generata dagli elementi del duale di H .

21

Definizione 3.8 (Convergenza forte e debole).Data una successione unn∈N in uno spazio di Hilbert H separabile si dice che

• un converge fortemente o in norma oppure semplicemente converge a u ∈ H e si indica conun

s−→ u selimn→∞

‖u− un‖ = 0; (3.12)

• un converge debolmente a u ∈H e si indica con unw−→ u se

limn→∞

〈v |un − u〉 = 0, ∀v ∈H . (3.13)

La convergenza forte implica ovviamente la convergenza debole via ad esempio la disuguaglianza di Schwarz.

Esercizio 3.6. Dimostrare che se unw−→ u in H , allora ‖u‖ ≤ lim infn→∞ ‖un‖ (semicontinuita inferiore

della norma).

Proposizione 3.4 (Covergenza debole e forte).Sia unn∈N una successione in H separabile. Allora un

s−→ u ⇐⇒ unw−→ u e lim

n→∞‖un‖ = ‖u‖.

Dimostrazione. Un semplice calcolo da

‖u− un‖2 = ‖u‖2 + ‖un‖2 − 〈un |u〉 − 〈u |un 〉 ,

ma la convergenza debole di un ci garantisce che

〈un |u〉 −→n→∞

‖u‖2 , 〈u |un 〉 −→n→∞

‖u‖2 .

Quindi

limn→∞

‖u− un‖2 = limn→∞

[‖un‖2 − ‖u‖2

],

da cui l’enunciato.

Si sarebbe tentati di pensare che in L2(I, dx) la convergenza debole sia sostanzialmente equivalente allaconvergenza puntuale q.o.. Questo pero e falso e in generale

convergenza forte ; convergenza q.o., convergenza q.o. ; convergenza debole,

tuttavia se una successione converge sia debole che puntualmente q.o. allora il limite e lo stesso.Nutaralmente il concetto di convergenza debole si puo definire anche in spazi di Banach, come Lp(I, dx),

dove il ruolo del prodotto scalare viene preso dai funzionali appartenti al duale di Lp cioe Lq con 1p + 1

q = 1.

Ricordiamo qui tre risultati fondamentali della teoria dell’integrazione in spazi L1(I, dx) con I ⊂ Rd chesaranno di grande utilita in tutto il resto del corso:

Teorema 3.2 (Teorema della convergenza monotona).Sia fn ≥ 0 una successione in L1(I, dx) tale che fn+1(x) ≥ fn(x) per ogni n ∈ N e q.o.. Se ‖fn‖1 ≤ C perogni n e fn(x) −→

n→∞f(x) q.o., allora f ∈ L1(I, dx) e limn→∞ ‖fn − f‖1 = 0.

Teorema 3.3 (Teorema della convergenza dominata).Sia fn una successione in L1(I, dx) tale che |fn(x)| ≤ g(x) per ogni n ∈ N e q.o. con g ∈ L1(I, dx). Sefn(x) −→

n→∞f(x) q.o., allora f ∈ L1(I, dx), |f |(x) ≤ g(x) e limn→∞ ‖fn − f‖1 = 0.

Teorema 3.4 (Lemma di Fatou).Sia fn ≥ 0 una successione in L1(I, dx) tale che lim infn→∞ |fn|1 < +∞. Se lim inf fn = f allora f ∈L1(I, dx) e ‖f‖1 ≤ lim infn→∞ fn.

22

Esercizio 3.7.

1. Sia Ψn ∈ L2(R) e si abbia 〈Ψn |f 〉 −→ 〈Ψ |f 〉 per ogni f ∈ C∞0 (R). E’ vero che Ψnw−→ Ψ? in caso

negativo si trovi un controesempio.

2. Sia fn ∈ L2([0, 1]) la successione fn(x) = n−1/2x1

2n− 1

2 con n ∈ N. La successione converge debolmente(e eventualmente a cosa?)? in norma?

3. Consideriamo la successione di funzioni fn : R+ → R,

fn(t) =

tn, se t ∈ [0, 1],

0, per t > 1.

La successione converge puntualmente? uniformemente su R+? debolmente in L2(R+)? in norma inL2(R+)?

4. Sia fn(x) la successione

fn(x) =

1, se n ≤ x ≤ 2n,

0, altrimenti,

con n ∈ N. La successione converge puntualmente (e eventualmente a che cosa?)? uniformemente?debolmente in L2(R)? in norma in L2(R)?

5. Si considerino le funzioni fn introdotte nell’Esercizio 3.4 punto 2. Si ponga quindi gN (x) =∑Nn=1 fn(x): gN converge puntualmente quando N → ∞? debolmente in L2(0, 1)? in norma nello

stesso spazio? uniformemente su [0, 1]?

Concludiamo questa sezione discutendo alcune proprieta geometriche elementari degli spazi di Hilbert ecaratterizzandone il duale.

Definizione 3.9 (Sottospazio ortogonale).Sia K un sottospazio (di Hilbert) proprio di H . Definiamo il suo complemento ortogonale come ilsottospazio

K ⊥ :=

Φ ∈H∣∣ 〈Φ |Ψ〉 = 0, ∀Ψ ∈ K

. (3.14)

Teorema 3.5 (Teorema della proiezione).Sia H uno spazio di Hilbert e K un suo sottospazio proprio. Allora ogni Ψ ∈ H si scrive in modo unicocome somma Ψ = Φ + Φ′ con Φ ∈ K e Φ′ ∈ K ⊥.

Definizione 3.10 (Duale).Dato uno spazio di Hilbert H definiamo il suo duale H ∗ come lo spazio dei funzionali lineari limitati daH ∈ C.

Il duale H ∗ contiene dunque le f : H → C che sono limitate nella norma

‖f‖ := supΨ∈H

|f(Ψ)|‖Ψ‖

. (3.15)

Proposizione 3.5 (Completezza di H ∗).Il duale H ∗ e completo rispetto alla metrica indotta dalla norma (3.15).

Un esempio immediato di funzionale su H e dato dall’applicazione fΦ : H → C che agisce nel seguentemodo su ogni Ψ ∈H :

fΦ(Ψ) = 〈Φ |Ψ〉 . (3.16)

Ovviamente per tale funzionale vale ‖fΦ‖ = ‖Φ‖ e quindi il funzionale e limitato. Il contenuto del teoremadi Riesz e precisamente che tutti i funzionali in H ∗ sono di questa forma:

Teorema 3.6 (Teorema di Riesz).Per ogni f ∈H ∗ ∃! Φ ∈H tale che f(Ψ) = 〈Φ |Ψ〉.

23

3.2 Trasformata di Fourier, Spazi di Sobolev e Distribuzioni

Prima di introdurre la teoria degli operatori lineari, richiamiamo alcune utili proprieta della trasformata diFourier.

Definizione 3.11 (Trasformata di Fourier).Data una qualunque f ∈ C∞0 (Rd), definiamo la sua trasformata di Fourier come

f(k) :=1

(2π)d/2

∫Rd

dx e−ik·xf(x). (3.17)

Proposizione 3.6 (Estensione della trasformata di Fourier).La (3.17) definisce un’applicazione F : L1(Rd) → L∞(Rd) che ammette un’estensione naturale a L2(Rd).Inoltre

i) F : L2(Rd)→ L2(Rd) e un’applicazione bigettiva con trasformazione inversa data da

f(x) :=1

(2π)d/2

∫Rd

dk eik·xf(k); (3.18)

ii) F individua un operatore unitario da L2(Rd)→ L2(Rd), cioe⟨f∣∣∣ g⟩ = 〈f |g 〉 , ∀f, g ∈ L2(Rd).

La relazione fra la trasformata di Fourier e gli spazi Lp e piu complicata ma vale la seguente utilissimadisuguaglianza:

Teorema 3.7 (Disuguaglianza di Hausdorff-Young).Esiste una constante Cd < +∞, dipendente solo da d, tale che per ogni 1 ≤ p ≤ 2∥∥Ψ

∥∥Lq(Rd)

≤ Cd ‖Ψ‖Lp(Rd) , (3.19)

con 1p + 1

q = 1 (e quindi 2 ≤ q ≤ ∞).

Inoltre la trasformata di Fourier e molto utile per studiare operatori differenziali o integrale grazie alleseguenti proprieta :

Proposizione 3.7 (Poprieta della trasformata di Fourier).Per ogni f, g ∈ L2(Rd)

i) (convoluzione) definendo la convoluzione come

(f ? g)(x) :=

∫Rd

dy f(x− y)g(y), (3.20)

si ha (f ? g

)(k) = (2π)

d2 f(k)g(k); (3.21)

ii) (traslazione e riscalamento)

f(· − y)(k) = e−ik·yf(k), f(·/λ)(k) = λdf(λk); (3.22)

iii) (derivazione)

∂xif(·)(k) = −ikif(k). (3.23)

Per questo motivo la trasformata di Fourier entra anche nella definizione degli spazi di Sobolev su Rd.

24

Definizione 3.12 (Spazio di Sobolev).Definiamo lo spazio di Sobolev di indice p su Rd come

Hp(Rd) :=f ∈ L2(Rd)

∣∣∣ (k2 + 1)p/2

f(k) ∈ L2(Rd). (3.24)

Chiudiamo la discussione della trasformata di Fourier enunciando un risultato importantissimo.

Teorema 3.8 (Teorema di Paley-Wiener).Una funzione analitica g(z), z ∈ Cd, e la trasformata di Fourier f di una funzione f ∈ C∞0 (Rd) tale chesupp(f) ⊂ BR(0), se e solo se per ogni N ∈ N ∃CN <∞ tale che

|g(z)| ≤ CNeR|=(z)|

(1 + |z|)N, ∀z ∈ Cd. (3.25)

Quindi la trasformata di Fourier mappa funzioni C∞0 (Rd) in funzioni analitiche che soddisfano la stima dicui sopra. Analogamente funzioni analitiche (reali) a decrescenza rapida (come segue dalla (3.25)) sonomappate dalla (anti)trasformata di Fourier in funzioni C∞0 (Rd).Un risultato piu debole ma comunque molto utile e il seguente

Teorema 3.9 (Analiticita della trasformata di Fourier).Sia f ∈ L2(Rd). Allora eb|x|f(x) ∈ L2(Rd) per ogni b < a, se e solo f ammette continuazione analitica allastriscia |=(z)| < a. Inoltre f(·+ i=(z)) ∈ L2(Rd) se |=(z)| < a e, per ogni b < a,

sup|=(z)|≤b

∥∥∥f(·+ i=(z))∥∥∥

2<∞. (3.26)

Riassumiamo ora brevemente la teoria delle distribuzioni. Per semplicita consideriamo solo distribuzioni diuna sola variabile reale. La generalizzazione a Rd e ovvia. Introduciamo anzitutto gli spazi delle funzionitest S e D definiti come

S :=

f ∈ C∞(R)

∣∣∣ supx∈R

∣∣∣xh∂kxf ∣∣∣ < +∞,∀h, k ∈ N, D := C∞0 (R), (3.27)

cioe dati dalle funzioni lisce rispettivamente a decrescenza rapida o a supporto compatto. Definiamo quindigli spazi delle distribuzioni come i duali S ′ e D′ ovvero gli spazi dei funzionali lineari continui da S o D inC, dove la continuita e relativa alla seguente topologia in S o D: diciamo che una successione fn ∈ S o Dconverge a f se

xh∂kxfn −→n→∞ 0, uniformemente.

Di conseguenza una distribuzione F sara continua se F (fn) → F (f) per ogni successione convergente in So D. Indichiamo l’azione di una distribuzione F sullo spazio delle funzioni test come 〈F, f〉.

L’esempio canonico di distribuzione e l’applicazione

〈F, f〉 =

∫R

dx F (x)f(x),

con F funzione misurabile localmente cioe F ∈ L1loc(R). Sotto queste ipotesi e facile vedere che l’espressione

di sopra definisce un funzionale lineare continuo sia in S ′ che in D′. Gli spazi S ′ e D′ contengono pero“funzioni” molto piu singolari ed e in effetti questo il motivo per cui e conveniente introdurli: un esempiocaratteristico e dato dalla δ di Dirac che definiamo come

〈δ, f〉 = f(0) =

∫R

dx δ(x)f(x), (3.28)

dove l’ultima espressione e puramente formale.Negli spazi delle distribuzioni e possibile definire una topologia (debole): una successione di distribuzioni

Fn converge a F in S ′ o D′ se 〈Fn, f〉 −→n→∞

〈F, f〉 per ogni funzione test f ∈ S o D. Inoltre si definiscono

25

derivata k−esima ∂kF , trasformata F e antitrasformata di Fourier F di una distribuzione F ∈ S ′ o D′ nelmodo seguente ⟨

∂kF, f⟩

= (−1)k⟨F, ∂kxf

⟩, (3.29)

〈F , f〉 = 〈F, f〉, 〈F , f〉 = 〈F, f〉. (3.30)

Si verifica che queste operazioni sono continue rispetto alla topologia della convergenza debole fra distribu-zioni. Questo permette di ottenere derivate e trasformate di Fourier di “funzioni” non derivabili ne in L2,come ad esempio la δ di Dirac o la funzione di Heaviside θ(x).

3.3 Operatori Lineari

Al fine di investigare le conseguenze del Postulato 2 della MQ, introduciamo in questa sezione i concettifondamentali della teoria degli operatori lineari su uno spazio di Hilbert, che assumeremo sempre separabile.

Definizione 3.13 (Operatore lineare).Sia H uno spazio di Hilbert separabile. Un operatore lineare A : H → H e un applicazione tale cheA(αu+ βv) = αAu+ βAv con u, v ∈H e α, β ∈ C.

Nello spazio degli operatori lineari L (H ) e naturale definire la norma data da

‖A‖ := supΨ∈D(A)

‖AΨ‖‖Ψ‖

. (3.31)

Una caratteristica essenziale di ogni operatore A e il suo dominio di definizione D(A), ovvero l’insieme delleu ∈H su cui e assegnato A.

Osservazione 3.1. Non assumeremo che il dominio di un operatore sia necessariamente massimale, ma inogni caso chiederemo che D(A) sia denso in H .

Definizione 3.14 (Operatore limitato).Un operatore A ∈ L (H ) e limitato se ‖A‖ < +∞.

E’ evidente che c’e, almeno in apparenza, un’ambiguita nella definizione di un operatore e piu precisamentedel relativo dominio: se il dominio non coincide con una base, cioe un denso minimale, e sempre possibilerimuovere un certo numero di elementi da D(A) senza tuttavia modificare l’operatore. Per eliminare questaambiguita si introducono i concetti di estensione e chiusura di un operatore, che giocano un ruolo crucialenello studio degli operatori illimitati. Infatti nel caso in cui l’operatore sia limitato e facile vedere che ilproblema del dominio di definizione non sussiste, in quanto l’operatore puo essere sempre esteso a tutto H .

Definizione 3.15 (Estensione).Siano A e B due operatori con dominio D(A) ⊂ D(B). Diciamo che B e un’estensione di A se A = B suD(A).

Proposizione 3.8 (Operatori limitati).Ogni operatore limitato A ammette un’estensione (unica) con dominio tutto H .

Definizione 3.16 (Operatore chiuso).Un operatore A su H si dice chiuso se per ogni un ∈ D(A) tale che Ψn

s−→ Ψ ∈H e AΨns−→ AΨ, allora

Ψ ∈ D(A). Diciamo che A e chiudibile se ammette un’estensione chiusa e in tal caso indichiamo con Ala piu piccola estensione chiusa di A.

La definizione di operatore chiuso e equivalente alla richiesta di chiusura dell’insieme grafo Γ(A) ⊂H ×Hdell’operatore A, ovvero

Γ(A) := (Ψ, AΨ),Ψ ∈ D(A) .Ovviamente ogni operatore limitato e chiudibile e la sua chiusura ha per dominio H . Tuttavia non tutti glioperatori sono chiudibili ma tutti quelli che consideremo e in particolare quelli che hanno significato fisico,i.e., sono per lo meno simmetrici (si veda la Sezione 3.4), sono sempre chiudibili.

26

Osservazione 3.2. Si noti che tipicamente D(A) 6= D(A). Infatti data l’ipotesi di densita di D(A),D(A) = H , ma quest’ultimo coincide con il dominio di A se e solo se A e limitato.

Esempio 3.3 (Operatore di moltiplicazione)Sia F (x) una funzione misurabile su Rd. Definiamo l’operatore di moltiplicazione per F come

(MΨ) (x) := F (x)Ψ(x), (3.32)

con dominio D(M) = C∞0 (Rd). Come dimostrato nella seguente Proposizione 3.9, M e limitato se e solo seM ∈ L∞(Rd) e in tal caso e facile vedere che D(M) = L2(Rd).

Proposizione 3.9 (Operatore di moltiplicazione).Sia M un operatore di moltiplicazione in L2(Rd) per la funzione misurabile F (x), allora

‖M‖ = ‖F‖L∞(Rd) = supx∈Rd

|F (x)| . (3.33)

Dimostrazione. Dimostriamo anzitutto che ‖M‖ = ‖F‖L∞(Rd):

‖MΨ‖2 =

∫Rd

dx |F (x)|2 |Ψ|2 ≤ supx∈Rd

|F (x)|2 ‖Ψ‖2 ,

da cui otteniamo il risultato osservando che sup(F 2) = (sup |F |)2.Se risucissimo quindi a trovare una successione di stati normalizzati Ψε tali che

‖MΨε‖ −→ε→0

supRd|F |,

avremmo dimostrato l’assunto. Supponiamo allora per semplicita che F sia continua e che supRd |F | =F (x0) < +∞ per un certo x0 finito (nel caso in cui sia infinito l’argomento e analogo) e prendiamo unafunzione f(x) ∈ C∞[0, 1] tale che f(0) 6= 0 e ∫

B1(0)dx |f |2 = 1,

dove abbiamo indicato con B%(x) la palla di raggio % centrata in x. Poniamo allora

Ψε(x) := 1εd/2

f(|x−x0|ε

).

Calcoliamo

‖M‖2 ≥ ε−d∫Rd

dx |F (x)|2∣∣∣f ( |x−x0|

ε

)∣∣∣2 = ε−d∫Bε(x0)

dx |F (x)|2∣∣∣f ( |x−x0|

ε

)∣∣∣2= ε−d

∫Bε(0)

dx |F (x + x0)|2∣∣f (xε )∣∣2 =

∫B1(0)

dx |F (x0 + εx)|2 |f (x)|2

= |F (x0)|2 −∫B1(0)

dx(|F (x0)|2 − |F (x0 + εx)|2

)|f (x)|2 =: |F (x0)|2 −Rε.

Ora grazie alla continuita di F , F (x) e certamente limitata in un intorno di x0 e pertanto l’integrabilita di|f |2 ci garantisce che Rε ≤ C per ogni ε sufficientemente piccolo. Possiamo allora applicare il teorema diconvergenza dominata e fare il limite sotto il segno di integrale, ottenendo (ancora grazie alla continuita diF ) che Rε −→

ε→00.

Esercizio 3.8. Si trovi come modificare la dimostrazione della Proposizione 3.9 nel caso in cui x0 siaillimitato e piu in generale nel caso in cui F sia misurabile ma non continua.

27

Esercizio 3.9. Si dimostri che M con M operatore di moltiplicazione limitato ha dominio uguale all’interoL2(R) senza far uso della Proposizione 3.8.

Esempio 3.4 (Operatore integrale)Sia K(x, y) una funzione misurabile su R× R. Definiamo l’operatore integrale K con kernel K(x, y) come

(KΨ) (x) :=

∫R

dy K(x, y)Ψ(y), (3.34)

per ogni Ψ ∈ C∞0 (R).Iniziamo suppondendo che K(x, y) ∈ L2(R2) e vediamo che questo garantisce la limitatezza

dell’operatore. Si ha infatti

‖K‖2 = supΨ∈C∞0 (R)

‖Ψ‖−2∫R

dx

∣∣∣∣ ∫R

dy K(x, y)Ψ(y)

∣∣∣∣2 ≤ supΨ∈C∞0 (R)

∫R

dx

∫R

dy |K(x, y)|2

= ‖K‖2L2(R2) < +∞.

Anche in questo caso l’operatore non e chiuso e la sua chiusura K ha dominio che copre l’intero spazio diHilbert L2(R). In effetti la richiesta K(x, y) ∈ L2(R2) puo essere indebolita come discusso nella prossimaProposizione 3.10.

Proposizione 3.10 (Test di Schur).Sia K un operatore integrale con kernel K(x,y) : Rd × Rd → C misurabile, allora

‖K‖ ≤√k1k2, (3.35)

k1 := supx∈Rd

∫Rd

dy |K(x,y)| , k2 := supy∈Rd

∫Rd

dx |K(x,y)| . (3.36)

Dimostrazione. Il risultato e sostanzialmente una conseguenza diretta dell’applicazione della disuguaglianzadi Schwarz:

|(KΨ) (x)| ≤∫Rd

dy |K(x,y)| |Ψ(x)| ≤(∫

Rddy |K(x,y)|

)1/2(∫Rd

dyK(x,y)|Ψ(y)|2)1/2

≤√k1

(∫Rd

dyK(x,y)|Ψ(y)|2)1/2

,

cosı che

‖KΨ‖22 ≤ k1

∫Rd×Rd

dxdy |K(x,y)| |Ψ(x)|2 ≤ k1k2 ‖Ψ‖22 ,

e il risultato e dimostrato.

Esempio 3.5 (Operatore posizione)Sia H = L2(R) e definiamo

(QΨ) (x) := xΨ(x), (3.37)

con dominio D(Q) = C∞0 (R).Osserviamo anzitutto che l’operatore e illimitato cioe ‖Q‖ = +∞. A questo scopo consideriamo una

funzione dolce f ∈ C∞0 (0, 1) normalizzata a 1 in L2((0, 1), dx) e per ogni n ∈ N poniamo

Ψn(x) :=

f(x− n), se n ≤ x ≤ n+ 1,

0 altrimenti.

28

Chiaramente Ψn e normalizzata e quindi

‖Q‖2 ≥∫R

dx x2 |Ψn(x)|2 =

∫ n+1

ndx x2 |f(x− n)|2 =

∫ 1

0dx (x+ n)2 |f(x)|2 ≥ n2 −→

n→∞+∞.

Di conseguenza l’operatore non potra mai essere definito su tutto L2(R).

Esercizio 3.10. L’operatore Q e chiuso? e se no qual e la sua chiusura Q?

Esempio 3.6 (Operatore impulso)Sempre su L2(R) definiamo l’operatore

(PΨ) (x) := −i∂xΨ(x), (3.38)

con dominio ancora D(P ) = C∞0 (R). Come nel caso di Q anche P e un operatore illimitato. Inoltre non enemmeno chiuso e D(P ) = H1(R), come si vede facilmente usando le proprieta della trasformata di Fourier.

Esercizio 3.11. Dimostrare che l’operatore P non e limitato.

Esempio 3.7 (Operatori di creazione e distruzione)Sia H uno spazio di Hilbert separabile infinito-dimensionale e unn=0,1,...,∞ un suo s.o.n.c.. Definiamoallora gli operatori di creazione e distruzione come

a†un =√n+ 1 un+1, aun =

√n un−1, per n > 0,

0, per n = 0.(3.39)

con dominio ovviamente definito dalle combinazioni lineari degli elementi della base. Chiaramente nessunodei due operatori e limitato come banalmente segue dal calcolare la norma di a o a† sull’n-esimo vettore dibase un. Inoltre si vede immediatamente che i due operatori non sono chiusi e il dominio della chiusura dientrambi e

D(a/a†) :=

Ψ ∈H∣∣∣√nΨn ∈ `2(N)

,

dove Ψn sono i coefficienti di Fourier di Ψ nella base un.

Esercizio 3.12. Si consideri l’operatore a†a. Come agisce sulla base un. Qual e il dominio della suachiusura?

Esercizio 3.13. Si verifichi se i seguenti operatori sono limitati:

1. (Af) (x) =

∫ x

0dy

1√x− y

f(y) in L2(0, 1);

2. (Af) (x) =

∫R3

dye−|x−y|

|x− y|f(y) in L2(R3);

3. (δf)(x) = f(0) con dominio C(−1, 1) ⊂ L2(−1, 1). L’operatore e chiuso o chiudibile?

3.4 Operatore Aggiunto e Inverso

In questa sezione introduciamo le definizioni cruciali di operatore aggiunto, operatore simmetrico e operatoreautoagginto che giocheranno un ruolo cruciale nel seguito alla luce del Postulato 2 della MQ, che appuntoidentifica le osservabili di un sistema quantistico con gli operatori autoaggiunti.

Assumeremo sempre di avere a che fare con spazi di Hilbert separabili e operatori definiti su un densoin H .

29

Definizione 3.17 (Aggiunto).Sia A ∈ L (H ), il suo aggiunto e l’operatore A∗ definito nel modo seguente

D(A∗) :=

Φ ∈H∣∣ ∃Ξ ∈H t.c. 〈Φ |AΨ〉 = 〈Ξ |Ψ〉 ,∀Ψ ∈ D(A)

, A∗Φ := Ξ. (3.40)

Quindi se Φ ∈ D(A∗) e Ψ ∈ D(A) allora 〈A∗Φ |Ψ〉 = 〈Φ |AΨ〉. In effetti nel caso in cui A sia limitato (equindi estendibile a tutto H ) e facile vedere che anche A∗ e limitato e ‖A‖ = ‖A∗‖. Piu in generale e facilevedere che il dominio di A∗ e anche dato da

D(A∗) =

Φ ∈H∣∣ |〈Φ |AΨ〉| ≤ C‖Ψ‖,∀Ψ ∈ D(A)

. (3.41)

Proposizione 3.11 (Proprieta dell’aggiunto).La mappa ∗ soddisfa le seguenti proprieta :

• A∗ e chiuso;

• A e chiudibile ⇐⇒ D(A∗) denso e in tal caso (A∗)∗ = A;

• (AB)∗ = B∗A∗;

• dati due operatori A e B, se D(A) ⊂ D(B) allora D(B∗) ⊂ D(A∗).

Si noti fra le proprieta enunciate nella precedente Proposizione 3.11 il criterio al punto 2 che puo esseremolto utile per verificare se un operatore e chiudibile. In realta vedremo fra poco che tutti gli operatorifisici (in quanto almento simmetrici) sono sempre chiudibili.

Riprendiamo ora gli esempi discussi nella sezione precedente, per studiare gli aggiunti degli operatori inquestione.

Esempio 3.8 (Operatore di moltiplicazione)Sia F (x) ∈ L∞(Rd) e consideriamo l’operatore (limitato) di moltiplicazione per F in L2(Rd) con dominioC∞0 (Rd) e verifichiamo che M∗ e l’operatore di moltiplicazione per F ∗ con dominio tutto L2(Rd). Usandola definizione di dominio di M∗ vediamo che esso e composto dalle Φ tali che

sup‖Ψ‖=1,Ψ∈D(M)

|〈Φ |MΨ〉| ≤ C,

ma per ogni Ψ ∈ D(M) normalizzata

|〈Φ |MΨ〉| =∣∣∣∣ ∫

Rddx Φ∗(x)F (x)Ψ(x)

∣∣∣∣ ≤ ‖F‖L∞(Rd)

∫Rd

dx |Φ(x)| |Ψ(x)| ≤ C ‖Φ‖2 ,

che e limitato per ogni Φ ∈ L2(Rd). Inoltre per ogni Ψ ∈ D(M) e Φ ∈ L2(Rd),

〈Φ |MΨ〉 =

∫Rd

dx Φ∗(x)F (x)Ψ(x) =

∫Rd

dx (F ∗(x)Φ(x))∗Ψ(x) = 〈M∗Φ |Ψ〉 ,

e quindi (M∗Φ) (x) = F ∗(x)Φ(x).

Esercizio 3.14. Si consideri l’operatore integrale K discusso nell’esempio 3.4 sotto l’ipotesi che K(x,y) ∈L2(R2d) e con D(K) = C∞0 (Rd) e si dimostri che l’aggiunto K∗ e anch’esso un operatore integrale con kernelK∗(y,x) e il suo dominio e L2(Rd).

Esempio 3.9 (Operatore posizione)Riprendiamo l’Esempio 3.5 e cerchiamo Q∗ dato l’operatore Q con dominio D(Q) = C∞0 (R). Dimostreremoche

D(Q∗) =

Ψ ∈ L2(R)∣∣ xΨ ∈ L2(R)

. (3.42)

30

Osserviamo infatti che per ogni Φ nel dominio di cui sopra si ha

sup‖Ψ‖2=1,Ψ∈D(Q)

|〈Φ |QΨ〉| ≤ sup‖Ψ‖2=1,Ψ∈D(Q)

∫R

dx (xΦ(x))∗Ψ(x) ≤ ‖xΦ‖2 < +∞,

per cui certamente D(Q∗) contiene le Φ tali che xΦ ∈ L2(R). Vediamo ora che coincide proprio con taleinsieme: sia ξN (x) ≥ 0 una approssimante C∞0 (R) della funzione caratteristica dell’intervallo [−N,N ] taleche ξN (x) = 1 per ogni x ∈ [−N,N ] e che la successione sia monotona in N , allora ogni Φ ∈ D(Q∗) deveessere tale che ‖Q∗Φ‖2 < +∞ e possiamo scrivere (per convergenza monotona)

‖Q∗Φ‖2 = limN→∞

‖Q∗ξNΦ‖2 = limN→∞


|〈Ψ |Q∗ξNΦ〉| = limN→∞


|〈QΨ |ξNΦ〉|

= limN→∞


∣∣∣∣ ∫R

dxΨ∗(x)xξn(x)Φ(x)

∣∣∣∣1/2 = limN→∞

(∫R

dx |xξn(x)Φ(x)|2)1/2

< +∞,

dove abbiamo usato chesup

Ψ∈S,‖Ψ‖=1|〈Ψ |Φ〉| = ‖Φ‖2 , (3.43)

per ogni insieme denso S in H (come D(Q)). Inoltre la successione |x|ξN (x)|Φ(x)| e ancora monotona inN per cui possiamo fare il limite sotto il segno di integrale ottenendo che Ψ ∈ D(Q∗) se e solo se∫

Rdx x2 |Φ(x)|2 < +∞.

Naturalmente da quanto ottenuto ricaviamo anche che ∀Φ ∈ D(Q∗),

(Q∗Φ) (x) = xΦ(x).

Si noti che Q∗ e quindi un’estensione di Q.

Esercizio 3.15. Si consideri l’operatore impulso P definito nell’Esempio 3.6. Si dimostri che D(P ∗) =H1(R) e che su tale dominio P ∗ = P . (Suggerimento: si usi la trasformata di Fourier).

Esercizio 3.16. Si riprenda l’Esempio 3.7 e si dimostri che a∗ = a†. E’ altrettanto vero che (a†)∗ = a?

Esempio 3.10Consideriamo l’operatore introdotto nell’Esercizio 3.13 e cerchiamo il suo aggiunto. Sappiamo che Φ ∈ D(δ∗)se

sup‖Ψ‖=1,Ψ∈D(δ)

|〈Φ |δΨ〉| = sup‖Ψ‖=1,Ψ∈D(δ)

|Ψ(0)|∣∣∣∣ ∫ 1

−1dx Φ∗(x)

∣∣∣∣ < +∞,

per ogni Ψ ∈ C∞(−1, 1). Tuttavia e chiaro che il sup al membro di destra puo essere solo 0 o +∞. Bastainfatti prendere un approssimante in L2 della δ di Dirac: data una f ∈ C∞0 (−1, 1) positiva con f(0) = 1 enormalizzata in L2(−1, 1), definiamo

Ψε(x) =

1√εf(xε

), se − ε ≤ x ≤ ε,

0, altrimenti.

cosı che Ψε e ancora normalizzata in L2(−1, 1), appartiene a D(δ) e

Ψε(0) =1√ε−→ε→0∞.

Abbiamo allora che se ∫ 1

−1dx Φ∗(x) 6= 0,

31

sup‖Ψ‖=1,Ψ∈D(δ)

|〈Φ |δΨ〉| ≥ C |Ψε(0)| = C√ε−→ε→0∞.

Quindi le uniche funzioni in D(δ∗) sono quelle a media nulla, i.e.,

D(δ∗) =

Φ ∈ L2(−1, 1)

∣∣∣∣ ∫ 1

−1dx Φ(x) = 0

.

Inoltre su queste funzioni〈Φ |δΨ〉 = 0 = 〈δ∗Φ |Ψ〉 , ∀Ψ ∈ D(δ),

cioe, poiche D(δ) e un denso, δ∗Φ = 0 per ogni Φ ∈ D(δ∗).Si noti che D(δ∗) non e denso in L2(−1, 1) (tutte le funzioni pari sono ortogonali a D(δ∗)) e percio δ non echiudibile.

Esercizio 3.17. Sia F (x) un funzione misurabile su R ma F /∈ L2(R) e sia Ψ0 un qualsisi vettore non nulloin L2(R). Definiamo l’operatore

TΨ = 〈F |Ψ〉Ψ0, D(T ) =

Ψ ∈ L2(R)

∣∣∣∣ ∫R

dx |F (x)| |Ψ(x)| < +∞.

Si trovi T ∗ e D(T ∗) e si dica se l’operatore e chiudibile.

Concludiamo la sezione introducendo due sottospazi molto importanti per ogni operatore A ∈ L (H ):

Definizione 3.18 (Immagine e nucleo).Dato un operatore A ∈ L (H ) definiamo

• il suo nucleo ker(A) :=

Ψ ∈ D(A)∣∣AΨ = 0

;

• la sua immagine ran(A) :=

Φ ∈H∣∣ ∃Ψ ∈ D(A) t.c. Φ = AΨ

.

Possiamo ora chiederci quando A e invertibile, ovvero se esiste un operatore A−1 : ran(A)→ D(A) tale cheAA−1 = A−1A = I. Un importante criterio per l’esistenza dell’inverso limitato e la seguente

Proposizione 3.12 (Inverso limitato).Un operatore A ∈ L (H ) ammette inverso limitato se e solo se ∃C > 0 tale che

‖AΨ‖ ≥ C ‖Ψ‖ , ∀Ψ ∈ D(A). (3.44)

Dimostrazione. (⇐=) Se vale la (3.44) allora ker(A) = ∅. Quindi si puo definire un operatore dal ran(A)→D(A) dato da A−1Φ = Ψ tale che Φ = AΨ. Inoltre ponendo Φ = AΨ si ha sempre dalla (3.44)

‖Φ‖ ≥ C∥∥A−1Φ

∥∥ ,cioe l’inverso e automaticamente limitato.

(=⇒) Viceversa se esiste A−1 limitato, allora per definizione di operatore limitato∥∥A−1Φ∥∥ ≤ C ‖Φ‖ ,

per una qualche C > 0 limitata e per ogni Φ ∈ D(A−1) = ran(A). Ma allora ponendo Ψ = A−1Φ si haΨ ∈ D(A) e la (3.44) e soddisfatta.

32

3.5 Operatori Simmetrici, Autoaggiunti, Unitari e Proiettori

Possiamo ora definire le due classi di operatori piu rilevanti di questo corso.

Definizione 3.19 (Operatore simmetrico).Un operatore A su H e detto simmetrico se A ⊂ A∗, ovvero D(A) ( D(A∗) e A = A∗ su D(A).

Definizione 3.20 (Operatore autoaggiunto).Un operatore A su H e detto autoaggiunto se A = A∗, ovvero D(A) = D(A∗) e A = A∗. Si diceessenzialmente autoaggiunto se A = A∗.

La differenza fra operatori simmetrici e autoaggiunti e una specificita degli operatori illimitati, in quantoper operatori limitati le due definizioni coincidono. In effetti se A = A∗ su D(A), automaticamente D(A) ⊂D(A∗), cioe se A e simmetrico A∗ e sempre un’estensione di A.E’ importante sottolineare che ogni operatore simmetrico e chiudibile, poiche A∗ definisce un’estensionechiusa di A. Piu precisamente si hanno le seguenti relazioni:

A simmetrico =⇒ A ⊂ A∗∗ ⊂ A∗,A simmetrico chiuso =⇒ A = A∗∗ ⊂ A∗,

A essenzialmente autoaggiunto =⇒ A ⊂ A∗∗ = A∗,

A autoaggiunto =⇒ A = A∗∗ = A∗. (3.45)

Osservazione 3.3. Grazie alle proprieta degli operatori autoaggiunti, per ogni osservabile A e stati Ψ,Φ ∈D(A) di un determinato sistema quantistico si ha l’uguaglianza

〈Φ |AΨ〉 = 〈AΦ |Ψ〉 ,

cioe l’espressione non dipende dallo stato su cui si fa agire A. Per questo nel caso di osservabili e quindi dioperatori autoaggiunti si usa l’espressione

〈Φ|A |Ψ〉 := 〈Φ |AΨ〉 = 〈AΦ |Ψ〉 . (3.46)

Torniamo a discutere gli esempi trattati in precedenza:

Esempio 3.11 (Operatore di moltiplicazione)L’operatore (limitato) di moltiplicazione per F limitata in L2(Rd) con dominio C∞0 (Rd) e essenzialmenteautoaggiunto se e solo se F e reale. In tal caso ovviamente il dominio di autoaggiunzione e tutto L2(Rd).Piu in generale se F ∈ L2

loc(R) l’operatore M con D(M) = C∞0 (R) non e necessariamente limitato, ma esso eessenzialmente autoaggiunto se e solo se F ∗ = F e in tal caso D(M∗) = D(M) =

Ψ ∈ L2(R) | FΨ ∈ L2(R)

.

Esercizio 3.18. Dimostrare quanto affermato per un operatore di moltiplicazione con F ∈ L∞loc(R)\L∞(R).

Esercizio 3.19. Sia K un operatore integrale in L2(Rd) con kernel K(x,y) tale che k1, k2 < +∞ (si vedala Proposizione 3.10). Si trovino le condizioni piu generali di autoaggiunzione di K.

Esempio 3.12 (Operatore posizione)Riprensiamo l’Esempio 3.5: come dimostrato Q ⊂ Q∗, vediamo ora che Q e in effetti essenzialmente au-toaggiunto, cioe Q = Q∗. A questo proposito osserviamo che D(Q∗) in (3.42) e ovviamente il dominiodi un operatore chiuso. Inoltre il dominio della chiusura di Q dovra contenere tutti i vettori Ψ tali che∃Ψn ∈ D(Q), Ψn → Ψ e QΨn → Φ ∈ L2(R), ma questo e ovviamente equivalente a prendere la chiusura diD(Q) = C∞0 (R) nella norma (si verifichi che e una norma)

‖ · ‖2Q := ‖ · ‖2L2(R) + ‖x · ‖2L2(R) .

D’altra parte tale chiusura coincide precisamente con D(Q∗).

33

Esercizio 3.20. Si dimostri che l’operatore impulso P discusso nell’Esempio 3.6 e anch’esso essenzialmenteautoaggiunto.

Esempio 3.13 (Operatore impulso sull’intervallo)Consideriamo ora l’operatore P in L2(0, 1) con dominio di definizione D(P ) = C∞0 (0, 1). L’operatore non eovviamente chiuso ma il suo aggiunto e facile da trovare: il dominio di P ∗ sara dato dalle Φ ∈ L2(0, 1) taliche

sup‖Ψ‖=1,Ψ∈D(P )

|〈Φ |PΨ〉| < +∞,

ma questo e per definizione l’insieme delle funzioni che ammettono derivata debole. Tale insieme coincidecon lo spazio

D(P ∗) = AC[0, 1], (3.47)

cioe le funzioni assolutamente continue3 nell’intervallo [0, 1]: f si dice assolutamente continua se ∀δ > 0,∃ε > 0 tale che

n∑i=1

∣∣xi − x′i∣∣ < δ =⇒n∑i=1

∣∣f(xi)− f(x′i)∣∣ < ε,

per ogni collezione finita di intervalli [xi, x′i]. In effetti e facile verificare che AC[0, 1] coincide esattamente

con H1(0, 1) definito nella Definizione 3.7: Ψ ammette derivata debole se e solo se∣∣∣∣ ∫ 1

0dxΨ(x)f ′(x)

∣∣∣∣ < +∞, ∀f ∈ C∞0 (0, 1),

ma sviluppando l’integrale nella base di Fourier abbiamo∣∣∣∣∑n∈Z

Ψ∗nnfn

∣∣∣∣ < +∞,

per ogni f ∈ C∞0 (0, 1). D’altra parte C∞0 e denso in L2(0, 1) e quindi i coefficienti di Fourier di unaf ∈ C∞0 (0, 1) sono densi in `2(Z). Percio la condizione precedente equivale a

‖nΨn‖2`2(Z) =∑n∈Z|n|2 |Ψn|2 < +∞,

che e esattamente la definizione di H1(0, 1).L’azione di P ∗ sul suo dominio e facile da ricavare: se Φ ∈ D(P ∗) e Ψ ∈ D(P ),

〈Φ |PΨ〉 = −i∫ 1

0dx Φ∗(x)∂xΨ(x) = i

∫ 1

0dx ∂xΦ∗(x)Ψ(x) =

∫ 1

0dx (−i∂xΦ(x))∗Ψ(x) = 〈PΦ |Ψ〉 ,

dove abbiamo integrato per parti. Si noti che l’assenza di termini di bordo e dovuta al fatto che le funzioniin D(P ) hanno supporto compatto in (0, 1).

A questo punto c’e da chiedersi se l’operatore sia essenzialmente autoaggiunto come nel caso di P sullaretta reale R. Sicuramente D(P ) ⊂ D(P ∗) quindi P ⊂ P ∗, ma P non e chiuso anche se chiudibile. Dobbiamopercio chiederci che dominio ha P : data una successione Ψ(j) ∈ C∞(0, 1), j ∈ N , assumiamo percio cheΨ(j) −→

j→∞Ψ ∈ L2(0, 1) e ∂xΨ(j) −→

j→∞Φ ∈ L2(0, 1). Allora questo implica la convergenza di Ψ(j) nella norma

H1 che e definita come‖Ψ‖2H1(0,1) =

∑n∈Z

(n2 + 1

)|Ψn|2 , (3.48)

3Il teorema fondamentale del calcolo dice precisamente che se f ∈ AC[0, 1], allora f ′ e definita quasi ovunque, f ′ ∈ L1(0, 1) e fcoincide con l’integrale indefinito di f ′. Viceversa se g ∈ L1(0, 1), allora G(x) uguale all’integrale indefinito di g e assolutamentecontinua e G′ = g.

34

dove gli Ψ(j)n sono i coefficienti rispetto alla base di Fourier di Ψ. D’altra parte la convergenza in H1(0, 1)

implica la convergenza in L∞(0, 1) (vedere la Proposizione 3.13) e quindi Ψ(j) converge a Ψ uniformemente.Ma siccome Ψ(j)(0) = Ψ(j)(1) = 0 per ogni j ∈ N, allora la convergenza uniforme implica che

Ψ(0) = Ψ(1) = 0. (3.49)

Possiamo quindi conlcudere che

D(P ) =

Ψ ∈ H1(0, 1)∣∣Ψ(0) = Ψ(1) = 0

( D(P ∗), (3.50)

cioe l’operatore e simmetrico ma non autoaggiunto.

Proposizione 3.13 (Immersione di Sobolev).Sia I ⊂ R un intervallo della retta reale, allora ∃C < +∞ indipendente da I tale che

‖Ψ‖L∞(I) ≤ C ‖Ψ‖H1(I) . (3.51)

In particolare se Ψ ∈ H1(I) allora Ψ e continua e limitata su I.

Dimostrazione. Dimostriamo la (3.51). Si noti anzitutto che per ogni Ψ ∈ H1(I) la serie di Fourier convergetotalmente e quindi uniformemente: infatti per ogni x ∈ I

|Ψ(x)| ≤∑n∈Z|Ψn| ≤

(∑n∈Z

(n2 + 1

)|Ψn|2

)1/2(∑n∈Z

1

n2 + 1

)1/2

≤ C ‖Ψ‖H1(I)

dove abbiamo indicato con Ψn i coefficienti di Ψ rispetto alla base di Fourier. Prendendo il sup rispettoa x ∈ I otteniamo immediatamente il risultato. La continuita di Ψ segue in modo analogo, applicando ilteorema di convergenza dominata.

Chiudiamo la Sezione introducendo un’altra classe di operatori molto importanti in MQ, in quanto imple-mentano le simmetrie dei sistemi quantistici (teorema di Wigner), cioe gli operatori unitari. Prendiamoallora due spazi di Hilbert (separabili) H e H ′ con i relativi prodotti scalari 〈· |· 〉 e (·, ·), si ha la seguente

Definizione 3.21 (Isometria).Un’isometria T : H −→H ′ e un operatore lineare tale che

〈Ψ |Φ〉 = (TΨ, TΦ) , ∀Ψ,Φ ∈H . (3.52)

Definizione 3.22 (Operatore unitario).Un operatore U : H −→H ′ e un operatore unitario se e un’isometria e ran(U) = H ′.

Proposizione 3.14 (Inverso di un operatore unitario).Un operatore U e unitario se e solo se U−1 e limitato e U−1 = U∗.

Osservazione 3.4. Si noti che l’aggiunto che compare nella Proposizione 3.14 non e quello usuale, nelsenso che abbiamo definito l’aggiunto solo nel caso in cui H = H ′. La generalizzazione e tuttavia banale:dato un operatore lineare A : H −→H ′, si ha

D(A∗) =

Φ ∈H ′ ∣∣ ∃Ξ ∈H ′, 〈Φ |AΨ〉 = 〈Ξ |Ψ〉 , ∀Ψ ∈ D(A), A∗Φ := Ξ. (3.53)

Osservazione 3.5. L’unica differenza fra un’isometria e un operatore unitario sta nell’immagine: entrambisono operatori limitati con norma 1 da H a H ′ e entrambi sono invertibili in quanto hanno nucleo banale.Tuttavia nel caso di un’isometria l’inverso non e definito in generale su tutto H ′ poiche un’isomtria non enecessariamente surgettiva. Quando questo accade allora l’isometria definisce un operatore unitario.

35

Esempio 3.14 (Trasformata di Fourier)Come gia discusso in precedenza la trasformata di Fourier (3.17) definisce un operatore unitario daL2(Rd) −→ L2(Rd).

Esempio 3.15Un facile di esempio di operatore unitario si costruisce astrattamente data una base unn∈N di uno spaziodi Hilbert numberabile H : l’operatore U : H −→ `2(N) definito nel seguente modo e infatti ovviamenteunitario (si veda il Teorema 3.1)

UΨ = 〈un |Ψ〉n∈N, U−1Ψnn∈N =∑n∈N

Ψnun.

Esercizio 3.21. Dimostrare che gli operatori (UaΨ)(x) = eiaxΨ(x) e (VbΨ)(x) = Ψ(x− b) definiti da L2(R)in se stesso con a, b ∈ R sono unitari e ricavare l’espressione esplicita dell’aggiunto.

Esempio 3.16 (Operatori di shift)Consideriamo in `2(N) il seguente operatore (operatore di right shift)

T (a1, . . . , an, . . .) = (0, a1, . . .) .

Alternativamente si puo definire sugli elementi della base canonica come Ten = en+1. L’operatore haovviamente norma 1 poiche

‖Tan‖2 =∞∑n=1

|an|2 = ‖an‖2 .

Inoltre come operatore da `2(N)→ `2(N) esso definisce un’isometria in quanto

〈Tan |Tbn〉 =

∞∑n=1

a∗nbn = 〈an |bn〉 .

Resta da capire se si tratta di un operatore unitario ma si vede subito che cosı non puo essere: il vettore e1

e infatti ortogonale a tutti i vettori in ran(T ). Infatti ran(T ) contiene vettori della forma

∞∑n=2

an−1en.

D’altra parte sappiamo che T ∗ e l’operatore (operatore di left shift)

T ∗ (a1, . . . , an, . . .) = (a2, . . .) ,

o sugli elementi della base Ten = en−1 se n ≥ 2 e Te1 = 0. E’ quindi facile vedere che

T ∗T = I, TT ∗ = I − 〈e1 |· 〉 e1,

cioe TT ∗ coincide con l’identita ma solo nel sottospazio ortogonale a e1.

Una delle proprieta piu utili degli operatori unitari riguarda gli operatori autoaggiunti:

Teorema 3.10 (Equivalenza unitaria I).Dato un operatore A su H e un unitario U : H −→H ′, sia A′ l’operatore

D(A′) =

Ψ′ ∈H ′ ∣∣ ∃Ψ ∈ D(A),Ψ′ = UΨ, A′Ψ′ := UAU−1Ψ′. (3.54)

Allora A e (essenzialmente) autoaggiunto se e solo se A′ e (essenzialmente) autoaggiunto.

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Osservazione 3.6. Abbiamo gia usato implicitamente questo risultato studiando l’operatore impulso e osser-vando che a meno di un operatore unitario, la trasformata di Fourier appunto, esso coincide con l’operatoreposizione Q e quindi ne condivide le proprieta.Vedremo che questa strategia, ovvero l’uso di un operatore unitario che trasforma l’operatore in questionein un operatore di moltiplicazione, e alla base del teorema spettrale.

Chiudiamo la sezione introducendo un ultimo tipo di operatori che entrera nella discussione del teoremaspettrale.

Definizione 3.23 (Proiettore).Un operatore P ∈ L (H ) si dice proiettore ortogonale se esiste un sottospazio K chiuso di H tale cheper ogni Ψ ∈H , Ψ = Φ + Φ⊥ con Φ ∈ K e PΨ = Φ.

Proposizione 3.15 (Proprieta dei proiettori).Un operatore P ∈ L (H ) e un proiettore ortogonale se e solo se P e limitato, P 2 = P e P ∗ = P .

Esempio 3.17 Se consideriamo il sottospazio unidimensionale generato da un vettore Φ di modulo unitario,il relativo proiettore ortogonale e ovviamente PΨ = 〈Φ |Ψ〉Φ. La verifica delle proprieta della Proposizione3.15 e lasciata per esercizio.

3.6 Principio di Indeterminazione

Una cosenguenza diretta della struttura dello spazio (algrebra) delle osservabili di un sistema quantistico,ovvero degli operatori autoaggiunti su uno spazio di Hilbert separabile, e il principio di indeterminazione.In effetti il nome stesso di questa proprieta e fuorviante in quanto si puo appunto vedere come conseguenzadei postulati su cui e construita la teoria4. Tuttavia storicamente e stato introdotto indipendentementedallo sviluppo assiomatico della MQ e per questo si conserva ancora il nome di principio di interminazione.

In estrema sintesi il principio di intederminazione si puo riassumere nel modo seguente: se due osservabilinon commutano allora non esistono autostati simultanei di entrambe. Piu precisamente l’dispersione odeviazione standard delle osservabili A e B su un generico stato Ψ, ovvero

∆ΨA :=

√〈A2〉Ψ − 〈A〉

2Ψ =

√⟨Ψ∣∣∣(A− 〈A〉Ψ)2

∣∣∣ Ψ⟩, 〈A〉Ψ := 〈Ψ |A|Ψ〉 , (3.55)

soddisfa un’esplicita disguguaglianza, il principio di indeterminazione appunto. Ricordiamo che ilcommutatore di due operatori A e B e definito come l’operatore

[A,B] := AB −BA. (3.56)

Teorema 3.11 (Principio di indeterminazione).Siano A e B due operatori autoaggiunti su H e Ψ ∈H tale che Ψ, AΨ, BΨ ∈ D(A) ∩D(B), allora

∆ΨA∆ΨB ≥ 12 |〈Ψ |[A,B]|Ψ〉| . (3.57)

Dimostrazione. Sia Ψ un vettore che soddisfa le ipotesi dell’enunciato e λ ∈ C, allora ponendo A′ = A−〈A〉Ψe B′ = B − 〈B〉Ψ (si noti che se A e B sono autoaggiunto lo stesso vale per A′ e B′)

0 ≤∥∥(A′ + iλB′

)Ψ∥∥2

=⟨(A′ + iλB′

)Ψ∣∣(A′ + iλB′

)Ψ⟩

=⟨

Ψ∣∣(A′ − iλB′) (A′ + iλB′

)∣∣Ψ⟩=⟨

Ψ∣∣∣A′2∣∣∣Ψ⟩+ λ

⟨Ψ∣∣i[A′, B′]∣∣Ψ⟩+ λ2

⟨Ψ∣∣∣B′2∣∣∣Ψ⟩ = (∆ΨA)2 + λ 〈Ψ |i[A,B]|Ψ〉+ λ2 (∆ΨB)2 ,

dove abbiamo usato la definizione (3.55) di ∆ΨA e sfruttato il fatto che [A′, B′] = [A,B]. Ora poiche [A,B]e simmetrico sul suo dominio, a cui Ψ appartiene per ipotesi, i coefficienti del polinomio in λ di sopra sono

4In realta in inglese si usa la terminologia uncertainty relation che e molto piu appropriata.

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reali. Pertanto la disuguaglianza puo essere soffisfatta per ogni λ se e solo se l’equazione di secondo gradonon ammette soluzione o ne ammette una sola, ovvero

(〈Ψ |i[A,B]|Ψ〉)2 − 4 (∆ΨA)2 (∆ΨB)2 ≤ 0,

da cui segue direttamente l’enunciato.

Vediamo ora quali sono le conseguenze fisiche del principio di indeterminazione. Data una qualunqueosservabile ∆ΨA = 0 su un certo stato Ψ se e solo se Ψ e un autostato di A (si veda anche la Sezione 3.8. Alcontrario preso genericamente uno stato Ψ, la misura dell’osservabile A avra una deviazione standard nonnulla. Il principio di indeterminazione afferma allora che date due osservabili A e B possono esistere statisenza dispersione per entrambe le osservabili solo se le due osservabili commutano. Non solo ma il prodottodelle dispersioni delle due osservabili e sempre maggiore o uguale di una certa quantita proporzionale alvalore di aspettazione del commutatore. E’ particolarmente esemplificativo il caso in cui si prendano dueosservabili A e B tali che [A,B] 6= 0 e un autovettore di A: in questo caso ∆ΨA = 0, ma il membro di destradella (3.57) sara in generale non nullo e quindi ∆ΨB = +∞!Questa discussione conduce naturalmente alla seguente definizione:

Definizione 3.24 (Osservabili compatibili).Due osservabili A e B si dicono compatibili se D(A) ∩D(B) denso in H e [A,B] = 0 su D(A) ∩D(B).

Esempio 3.18 (Posizione e impulso)Il caso piu importante in assoluto di una coppia di osservabili non compatibili sono la posizione Q e l’impulsoP descritte negli Esempio 3.5 e 3.6. Come vedremo tali operatori descrivono la posizione e l’impulso di unaparticella sulla retta reale R.

Osserviamo anzitutto che esiste un denso appartenente all’intersezione di D(Q) e D(P ), che e banalmentedato, ad esempio, da C∞0 (R). Presa una qualunque Ψ ∈ C∞0 (R), possiamo calcolare il commutatore(

[Q,P ]Ψ)

(x) = −ix∂xΨ(x) + i∂x (xΨ(x)) = iΨ(x),

cioe[Q,P ] = iI. (3.58)

Il commutatore di Q e P e dunque non nullo e porporzionale all’identita. Inoltre se prendiamo ancoraΨ ∈ C∞0 (R) le ipotesi del Teorema 3.11 sono soddisfatte e quindi

∆ΨQ∆ΨP ≥ 12 . (3.59)

Tornando alla discussione precedente vediamo quindi che non esistono stati nell’intersezione del dominio diQ e P sui quali sia la posizione che l’impulso abbiano valore definito! Se percio misurassimo l’impulso diuna particella di cui conosciamo con esattezza la posizione, otterremmo qualunque valore sulla retta realecon dispersione infinita. Allo stesso modo la misura della posizione di una particella con impulso definitoavra dispersione infinita. Per questo si e soliti dire che non si puo conoscere simultaneamente posizione eimpulso di una particella quantistica allo stesso tempo.

3.7 Criterio di Autoaggiunzione e Estensioni Autoaggiunte

Per capire se un operatore e autoaggiunto e spesso conveniente il seguente criterio.

Teorema 3.12 (Criterio di autoaggiunzione).Sia A un operatore simmetrico su H . Allora le seguenti affermazioni sono equivalenti:

i) A autoaggiunto;

ii) A chiuso e ker(A∗ ± i) = 0;

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iii) ran(A± i) = H .

Dimostrazione. (1 =⇒ 2) Supponiamo che esista Ψ ∈ D(A∗) tale che A∗Ψ = −iΨ (il caso di segno positivoe del tutto analogo), allora

i ‖Ψ‖2 = 〈−iΨ |Ψ〉 = 〈A∗Ψ |Ψ〉 = 〈Ψ |AΨ〉 = −i ‖Ψ‖2 =⇒ Ψ = 0.

(2 =⇒ 3) Poiche A∗Ψ = −iΨ non ha soluzione non banale, ran(A− i) deve essere denso in H . Suppo-niamo infatti che cosı non sia, cioe esista Ψ0 ∈ H non nullo tale che Ψ0 ⊥ ran(A− i), allora avremmo perogni Ψ ∈ D(A)

〈Ψ0 |(A− i)Ψ〉 = 0,

il che implica che Ψ0 ∈ D(A∗). Inoltre

0 = 〈Ψ0 |(A− i)Ψ〉 = 〈(A∗ + i)Ψ0 |Ψ〉 ,

che non e possibile in quanto per densita di D(A) implicherebbe (A∗ + i)Ψ0 = 0, che ha solo la soluzionenulla. Rimane quindi da dimostrare che ran(A− i) = H , cioe che ran(A− i) e chiuso in norma. Notiamopero che

‖(A− i)Ψ‖2 = ‖AΨ‖2 + ‖Ψ‖2 ,

per cui se presa una successione Ψn ∈ D(A), si ha (A− i)Ψn → Φ ∈H , allora si ha anche Ψn → Ψ ∈ D(A).Dato che l’operatore e chiuso concludiamo che Φ ∈ ran(A) e Φ = (A− i)Ψ. Pertanto ran(A− i) e chiuso ecoincide con H .

(3 =⇒ 1) Sia ora Φ ∈ D(A∗). Dato che ran(A − i) = H , ∃Ψ ∈ D(A) tale che (A∗ − i)Φ = (A − i)Ψ.D’altra parte D(A) ⊂ D(A∗) per cui Φ−Ψ ∈ D(A∗) e

(A∗ − i)(Φ−Ψ) = 0. (3.60)

Ma ran(A+ i) = H implica che ker(A∗ − i) = 0: ragionando come prima infatti se esistesse uno Ψ0 nonnullo tale che (A∗ − i)Ψ0 = 0, allora per ogni Ψ ∈ D(A) si avrebbe

0 = 〈Ψ |(A∗ − i)Ψ0 〉 = 〈(A+ i)Ψ |Ψ0 〉 ,

cioe Ψ0 sarebbe ortogonale a ran(A + i), che contraddice le ipotesi. Percio la (3.60) in combinazione conker(A∗ − i) = 0 implica che Ψ = Φ, cioe ogni Φ ∈ D(A∗) appartiene anche a D(A). In altri terminiD(A) = D(A∗) e l’operatore e autoaggiunto.

Osservazione 3.7. Se A non e chiuso vale un teorema analogo a quello precedente in cui al punto 1“autoaggiunto” va sostituito con “essenzialmente autoaggiunto” e il punto 2 diventa ker(A∗ ± i) = 0 e ilpunto 3 ran(A± i) “denso in H ” anziche coincidente con l’intero H .

Osservazione 3.8. E’ immediato verificare che l’enunciato del Teorema 3.12 precedente non cambia seanziche considerare A∗ ± i o A ± i si prende un generico numero complesso z tale che =(z) 6= 0 e siconsiderano gli operatori A∗ ± z e A± z.In particolare il fatto che ran(A− z) = H implica che l’inverso (A− z)−1 e un operatore limitato e∥∥(A− z)−1

∥∥ ≤ 1

dist(z, ρ(A)), (3.61)

come segue banalmente da

‖(A− z)Ψ‖2 = ‖(A−<(z))Ψ‖2 + |=(z)|2 ‖Ψ‖2 ≥ |=(z)|2 ‖Ψ‖2 , (3.62)

che vale per ogni Ψ ∈ D(A): ponendo quindi Φ = (A− z)Ψ ∈H si ottiene la disuguaglianza.

39

Esempio 3.19 (Operatore posizione)Sappiamo gia che l’operatore Q dell’Esempio 3.5 e essenzialmente autoaggiunto. Dimostriamolo usando ilpunto 3 del Teorema 3.12. L’operatore Q agisce come moltiplicazione per x, per cui ci dobbiamo chiederese al variare di Ψ ∈ D(Q), (x± i)Ψ(x) sia denso in H . Ma questo e ovvio perche per ogni Φ ∈ C∞0 (R)

Φ(x)

x± i∈ C∞0 (R) = D(Q).

Pertanto ran(P ± i) contiene un denso dato da C∞0 (R).

Esercizio 3.22. Applicare i criteri del Teorema 3.12 all’operatore P definito nell’Esempio 3.6 per trovaredimostrazioni alternative che e essenzialmente autoaggiunto.

Esempio 3.20 (Operatore impulso sull’intervallo)Riprendiamo l’operatore impulso su L2(0, 1) introdotto nell’Esempio 3.13. Come abbiamo visto esso non eautoaggiunto. Vediamo se si poteva arrivare alla medesima conclusione in modo alternativo, usando cioe ilTeorema 3.12: usiamo il punto 2 e cerchiamo una soluzione non banale dell’equazione

PΨ = ±Ψ =⇒ ∂xΨ(x) = ±Ψ(x),

che ha come soluzioni Ψ±(x) = Ce±x. Siccome Ψ± ∈ D(P ∗) in quanto funzioni dolci, il nucleo di P ∗ ± i enon banale e quindi l’operatore non puo essere essenzialmente autoaggiunto.Si noti che Ψ± /∈ D(P ) per cui e essenziale che al punto 2 del criterio di autoaggiunzione si consideril’aggiunto dell’operatore. Analogamente a quanto discusso nella dimostrazione del Teorema 3.12 inoltre Ψ±sono automaticamente ortogonali a tutto ran(P ± i) e quindi quest’ultimo non puo essere denso.

Esercizio 3.23. Si consideri l’operatore P definito nell’Esempio 3.20 precedente e si dimostri che essoammette infinite estensioni autoaggiunte con dominio D(Pα) =

Ψ ∈ H1(0, 1) |Ψ(1) = αΨ(0)

con α ∈ C,

|α| = 1.

Esempio 3.21 (Interazione puntuale)Si consideri l’operatore H = −∆ definito sul dominio

D(H) := C∞0 (R \ 0),

cioe le funzioni dolci a supporto lontano dall’origine, quindi tali che Ψ(0) = 0. Come sappiamo −∆ eautoaggiunto su H2(R) per cui portemmo aspettarci che H sia essenzialmente autoaggiunta. Tuttavia efacile vedere che D(H) ( H2(R) in quanto la convergenza simultanea della funzione e della derivata secondaimplica la convergenza uniforme della successione e, di conseguenza, tutte le funzioni in D(H) si annullanoall’origine. Quindi il dominio della chiusura dell’operatore non coincide con H2(R).

Verifichiamo che H non e essenzialmente autoaggiunto. Consideriamo le funzioni

Ψ±(x) := exp− 1√

2(1± i) |x|

, (3.63)

e osserviamo che esse soddisfano

−∆Ψ±(x) = ∓iΨ±(x), ∀x 6= 0. (3.64)

Dimostriamo che esse appartengono a ran(H∓ i)⊥: per ogni Ψ ∈ D(H) abbiamo che dist(supp(Ψ), 0) ≥ ε,per un qualche ε > 0, allora

〈Ψ± |(H ∓ i)Ψ〉 =

∫R

dxΨ∗±(x) (−∆± i) Ψ(x)

=

∫ −ε−∞

dxΨ∗±(x) (−∆Ψ) (x) +

∫ ∞ε

dxΨ∗±(x) (−∆Ψ) (x)∓ i∫R

dxΨ∗±(x)Ψ(x) =

=

∫ −ε−∞

dx (−∆Ψ±)∗ (x)Ψ(x) +

∫ ∞ε

dx (−∆Ψ±)∗ (x)Ψ(x)∓ i∫R

dxΨ∗±(x)Ψ(x)

= ±i∫R

dxΨ∗±(x)Ψ(x)∓ i∫R

dxΨ∗±(x)Ψ(x) = 0.

40

Quindi ran(H ∓ i) non e denso e l’operatore non e essenzialmente autoaggiunto per il Teorema 3.12.

Esercizio 3.24. Si dimostri che l’operatore H dell’Esempio 3.21 ammette infinite estensioni autoaggiunteHα di dominio D(Hα) = Ψ ∈ H1(R) ∩H2(R \ 0) |Ψ′(0+)−Ψ′(0−) = αΨ(0) con α ∈ R.

Esercizio 3.25. Si dimostri che l’operatore N := a†a introdotto nell’Esercizio 3.12 e essenzialmenteautoaggiunto e si trovi il dominio di autoaggiunzione.

Un metodo costruttivo per verificare l’autoaggiunzione di un operatore e fornito dal Teorema di Kato-Rellichche garantisce la stabilita dell’autoaggiunzione rispetto a piccole perturbazioni.

Definizione 3.25 (Piccola perturbazione).Dati due operatori autoaggiunti A e B con D(A) ⊂ D(B), B e una piccola perturbazione (nel senso diKato) di A se esistono a < 1 e b <∞ tali che per ogni Ψ ∈ D(A)

‖BΨ‖ ≤ a ‖AΨ‖+ b‖Ψ‖. (3.65)

Osservazione 3.9. Un caso banale in cui la (3.65) e verificata e quello di B operatore limitato autoaggiunto.In tal caso la disuguaglianza vale per a = 0 e b = ‖B‖.

Osservazione 3.10. Nella definizione di piccola perturbazione e sufficiente che la disuguaglianza (3.65) siaverificata su un dominio di essenziale autoaggiunzione di A che sia denso in H .

Teorema 3.13 (Teorema di Kato-Rellich).Siano A un operatore autoaggiunto su D(A) e B un operatore simmetrico piccola perturbazione di A, alloraA+B e autoaggiunto su D(A).

Osservazione 3.11. Alla luce di quanto detto nell’Osservazione 3.10, il Teorema 3.13 si applica anche alcaso in cui A sia essenzialmente autoaggiunto su un denso D(A) su cui B e una piccola perturbazione di A.In questo caso naturalmente A+B sara essenzialmente autoaggiunto su D(A).

Dimostrazione. Usiamo il punto 3 del Teorema 3.12, cioe dimostriamo che per un certo µ > 0, ran(A+B+iµ) = H . Osserviamo anzitutto che per la (3.61) A+ iµ e invertibile e ponendo z = −iµ e Ψ = (A+ iµ)−1Φnella (3.62) si ottiene che ‖A(A+ iµ)−1‖ ≤ 1. Allora usando la definizione di piccolezza

∥∥B(A+ iµ)−1Ψ∥∥ ≤ a ∥∥A(A+ iµ)−1Ψ

∥∥+ b∥∥(A+ iµ)−1Ψ

∥∥ ≤ (a+b

µ

)‖Ψ‖,

dove abbiamo usato la (3.61) e il fatto che per ogni Φ ∈ L2(R3)

‖(A+ iµ)Φ‖2 = ‖AΦ‖2 + |µ|2 ‖Φ‖2 ,

che applicata a Φ = (A+ iµ)−1Ψ da∥∥A(A+ iµ)−1Ψ

∥∥ ≤ 1. Prendendo µ > b1−a che e limitato poiche a < 1,

otteniamo∥∥B(A+ iµ)−1Ψ

∥∥ ≤ ‖Ψ‖. Allora I +B(A+ iµ)−1 e un operatore invertibile con inverso limitatoper la (3.44). Per ogni Φ ∈H possiamo allora definire

Ψ = (A+ iµ)−1 (I +B(A+ iµ)−1)−1

Φ.

Ovviamente Ψ ∈ D(A) e usando l’identita

A+B + iµ =(I +B(A+ iµ)−1

)(A+ iµ) ,

otteniamo(A+B + iµ) (A+ iµ)−1 (I +B(A+ iµ)−1

)−1= I,

per cui ogni Φ ∈H e ottenibile come (A+B+iµ)Ψ per una certa Ψ ∈ D(A), cioe ran(A+B+iµ) = H .

Un altro caso in cui l’autoaggiunzione e garantita e quello degli operatori positivi limitati:

41

Definizione 3.26 (Operatore positivo).Diciamo che un operatore A ∈ L (H ) e positivo e lo indichiamo con A ≥ 0, se

〈Ψ |AΨ〉 ≥ 0, ∀Ψ ∈ D(A). (3.66)

Dati due operatori A e B diciamo che A ≥ B se A−B ≥ 0.

Proposizione 3.16 (Autoaggiunzione degli operatori positivi).Se A ∈ B(H ) e chiuso e positivo, allora A e autoaggiunto.

Dimostrazione. La dimostrazione e molto semplice e sfrutta il fatto che H e uno spazio di Hilbert complesso.Dato che A e limitato e chiuso D(A) = H . Inoltre per ogni Ψ ∈H ,

0 ≤ 〈Ψ |AΨ〉 = 〈Ψ |AΨ〉∗ = 〈AΨ |Ψ〉 .

Questo si generalizza facilmente a qualunque coppia di Ψ,Φ ∈H , usando l’identita di polarizzazione

〈Ψ |AΦ〉 = 14 〈A(Ψ + Φ) |Ψ + Φ〉+ 1

4 〈A(Ψ− Φ) |Ψ− Φ〉+ i4 〈A(Ψ− iΦ) |Ψ− iΦ〉 − i

4 〈A(Ψ + iΦ) |Ψ + iΦ〉 ,

ricavando〈Ψ |AΦ〉 = 〈AΨ |Φ〉 ,

per ogni Ψ,Φ ∈H .

E’ importante sottolineare come nel caso in cui A sia limitato dal basso il Teorema di Kato-Rellich (3.13)garantisca anche la limitatezza dal basso di A+B. Prima di enunciare il risultato formuliamo precisamentela definizione di operatore limitato dal basso:

Definizione 3.27 (Operatori limitati dal basso).Un operatore A simmetrico e limitato dal basso se ∃|λ0| < +∞ tale che A ≥ −λ0, i.e.,

〈Ψ |AΨ〉 ≥ −λ0 ‖Ψ‖2 , ∀Ψ ∈ D(A). (3.67)

Corollario 3.1 (Limitatezza dal basso di A+B).Siano A,B due operatori che soddisfano le ipotesi del Teorema di Kato-Rellich 3.13 e sia A limitato dalbasso con limite dal basso −λ0. Allora A+B e limitato dal basso e

A+B ≥ −λ0 −max

b

1− a, a|λ0|+ b

. (3.68)

Dimostrazione. E’ sufficiente ripercorrere la dimostrazione del Teorema 3.13 sostituendo (A + iµ)−1 con(A + λ)−1, λ > λ0. La limitatezza dal basso di A garantisce che tale operatore sia limitato. Dopodiche siprocede allo stesso modo e si osserva che ‖B(A+ λ)−1‖ < 1 se

λ > λ0 + max

b

1− a, a|λ0|+ b

.

Infatti∥∥B(A+ λ)−1Ψ∥∥ ≤ a ∥∥A(A+ λ)−1Ψ

∥∥+ b∥∥(A+ λ)−1Ψ

∥∥ ≤ (amax

1,|λ0|λ− λ0

+

b

λ− λ0

)‖Ψ‖,

dove abbiamo usato la disuguaglianza∥∥A(A+ λ)−1∥∥ ≤ max

1,|λ0|λ− λ0

,

che puo essere dimostrata sfruttando la proprieta degli operatori autoaggiunti ‖A‖ = sup‖Ψ‖=1 〈Ψ |A|Ψ〉 (siveda anche il teorema spettrale nella forma del Corollario 3.2).

Quindi, per tale λ, A+B+λ e invertibile con inverso limitato, poiche A+B+λ = (A+λ)(1+(A+λ)−1B)ed entrambi gli operatori al membro di destra sono invertibili: il primo perche λ ∈ ρ(A) e il secondo perche∥∥1 + (A+ λ)−1B

∥∥ ≥ 1−∥∥(A+ λ)−1B

∥∥ > 0.

Se conclude quindi che λ ∈ ρ(A+B).

42

Se invece A e positivo ma illimitato le cose si complicano leggermente. Prima pero di enunciare il ri-sultato generale dobbiamo discutere la possibilita di estendere operatori simmetrici per ottenere opera-tori autoaggiunti. Come abbiamo visto se A ⊂ A∗ e simmetrico e B un’estensione di A, deve essereD(A) ⊂ D(B) ⊂ D(B∗) ⊂ D(A∗), come segue banalmente dalla definizione del dominio dell’aggiunto:siccome Φ ∈ D(A∗) se supΨ∈D(A),‖Ψ‖=1 | 〈Φ |AΨ〉 | < +∞, un allargamento del dominio di A implica chela proprieta debba essere verificata su un dominio piu ampio e quindi per un insieme di Φ al piu uguale aquello precedente.

Si potrebbe pensare quindi che, dato un operatore A simmetrico, a patto di prendere un’estensione“massimale”, questa debba essere autoaggiunta. In realta questa procedura ha successo solo sotto certeipotesi, cioe non tutti gli operatori simmetrici ammettono estensioni autoaggiunte.

Definizione 3.28 (Spazi e indici di difetto).Sia A un operatore simmetrico, allora definiamo i suoi spazi di difetto H± e indici di difetto n± come

H± := ker(A∗ ∓ i) = ran(A± i)⊥, n±(A) := dim H±. (3.69)

Teorema 3.14 (Estensioni autoaggiunte).Sia A un operatore simmetrico chiuso, allora

i) A autoaggiunto se e solo se n+(A) = n−(A) = 0;

ii) A ammette estensioni autoaggiunte se e solo se n+ = n− e in tal caso le estensioni autoaggiunte AUsono indicizzate dagli operatori unitari U : H+ →H−:

D(AU ) =

Ψ + Φ+ + UΦ+

∣∣Ψ ∈ D(A),Φ+ ∈H+

, (3.70)

AU (Ψ + Φ+ + UΦ+) = AΨ + iΦ+ − iUΨ+. (3.71)

Il caso degli operatori positivi e compreso nel seguente risultato generale, che riguarda gli operatori limitatidal basso.

Proposizione 3.17 (Estensioni autoaggiunte di operatori limitati dal basso).Sia A simmetrico e limitato dal basso, allora n+(A) = n−(A) e A ammette entensioni autoaggiunte. Fraqueste ce n’e almeno una (l’estensione di Friedrichs) che e ancora limitata dal basso con lo stesso limite dalbasso di A.

3.8 Spettro e Risolvente

Ricordiamo anzitutto che per matrici su CN lo spettro e l’insieme degli autovalori, o in altri termini l’insiemedegli z ∈ C tali che A− z non e invertibile. Per gli operatori la definizione e del tutto analoga.

Definizione 3.29 (Spettro).Dato un operatore A il suo spettro σ(A) e l’insieme degli z ∈ C tali che A− z non e invertibile con inversolimitato. Si dice risolvente o insieme risolvente ρ(A) l’insieme degli z ∈ C per cui A − z e invertibilecon inverso limitato, cioe σ(A) = C \ ρ(A). Per ogni z ∈ ρ(A) si chiama risolvente l’operatore (A− z)−1.

Osservazione 3.12. I casi possibili in cui A− z non e invertibile con inverso limitato sono i seguenti:

1. A − z non iniettivo, ma allora ∃Ψ ∈ H tale che AΨ = zΨ cioe z e autovalore di A e Ψ un relativoautovettore; l’insieme degli autovalori di A si dice spettro puntuale e si indica con σpp(A);

2. A − z iniettivo ma non surgettivo con ran(A − z) denso in H : in questo caso (A − z)−1 e definibilesu un denso e percio non deve essere limitato. Alla luce della Proposizione 3.12 questo implica che

inf‖Ψ‖=1,Ψ∈D(A)

‖(A− z)Ψ‖ = 0, (3.72)

43

cioe esistono dei quasi-autovettori di A (si veda anche la Teorema 3.15), ovvero dei vettori Ψε tali che

AΨε = zΨε + χε, ‖χε‖ ≤ ε,

con ε→ 0. Naturalmente Ψε non converge in H quando ε→ 0, altrimenti avremmo che A− z e noniniettivo. In questo caso si parla di spettro continuo;

3. A− z iniettivo ma non surgettivo con ran(A− z) non denso in H : questo caso e escluso per operatorisimmetrici, ma in generale si puo presentare; gli z ∈ C con queste proprieta costituiscono quello chesi chiama spettro residuo e si indica con σres(A).

Proposizione 3.18 (Spettro non vuoto e chiuso).Per ogni operatore A ∈ B(H ), σ(A) 6= ∅, σ(A) e un insieme chiuso e conseguentemente ρ(A) e un insiemeaperto.

Proposizione 3.19 (Raggio spettrale).Dato un operatore A ∈ B(H ) sia il suo raggio spettrale r(A) := supλ∈σ(A) |λ|, allora vale

r(A) = limn→∞

‖An‖1n (3.73)

mentre, se A e autoaggiunto, r(A) = ‖A‖.

Esempio 3.22 (Operatori di shift)Rirpendiamo gli operatori di shift destro e sinistro definiti nell’Esempio 3.16. Cominciamo con l’osservareche poiche ‖T‖ = ‖T ∗‖ = 1, allora tutti i λ ∈ C tali che |λ| > 1 appartengono a ρ(T ) e ρ(T ∗) (si veda laProposizione 3.19).

Cerchiamo ora gli autovalori di T e T ∗: sia λ ∈ C con |λ| ≤ 1 e consideriamo l’equazione Tu = λu,che implica

λu1 = 0,

λu2 = u1,

λu3 = u2,...

che ammette solo la soluzione nulla: se λ 6= 0 la prima equazione implica u1 = 0 e le altre a seguire un = 0per ogni n. Viceversa se λ = 0, le equazioni dalla seconda in poi implicano ancora un = 0 per ogni n. Quindiσpp(T ) = ∅. Vediamo ora se ci sono autovalori per T ∗: l’equazione agli autovalori T ∗u = λu per |λ| ≤ 1da

λu2 = λu1,

λu3 = λu2,

λu4 = λu3,...

che ha soluzione un = λn−1u1, dove u1 ∈ C e un qualunque numero complesso, che possiamo prendere ugualea 1, senza perdita di generalita. Ovviamente la successione appartiene a `2(N) se e solo se |λ| < 1. Percio

σpp(T ∗) = λ ∈ C | |λ| < 1 , (3.74)

con relativi autovettori u(λ) di componenti u(λ)n = λn−1.

Analizziamo ora T − λ per λ ∈ C, |λ| < 1: poiche come vedremo ran(T − λ) non e denso in `2(N), talipunti appartengono allo spettro di T e piu precisamente

σres(T ) = λ ∈ C | |λ| < 1 . (3.75)

44

Possiamo infatti mostrare che i vettori u(λ∗) definiti sopra sono ortogonali all’immagine di T −λ: per ogniu ∈H ⟨

u(λ∗)∣∣∣ (T − λ)u

⟩=⟨

(T − λ∗)u(λ∗)∣∣∣ u⟩ = 0.

Resta da decidere cosa succede ai λ tali che |λ| = 1. Poiche lo spettro e chiuso devono certamenteappartenere allo spettro sia di T che di T ∗.

Osserviamo che tali punti non appartengono allo spettro puntuale di T ∗, perche l’equazione agli autovalorinon ha soluzione in `2(N). D’altra parte non possono nemmeno appartenere allo spettro residuo di T ∗

perche altrimenti l’immagine di T ∗ − λ non sarebbe densa e qualunque vettore nel complemento ortogonaledi ran(T ∗−λ) sarebbe in realta un autovalore di T , il che e assurdo visto che σpp(T ) = ∅. Se ne conclude chedevono costituire spettro ne puntuale ne residuo (lo spettro descritto al punto 2 dell’Osservazione 3.3.12).

Con lo stesso argomento usato sopra possiamo allora concludere che anche nel caso di T i punti al bordodello spettro stanno nello spettro di tipo 2. E’ infatti un risultato generale che se un punto e nello spettroresiduo di un operatore T , allora lo stesso punto e un autovalore di T ∗, ma T ∗ non ha autovalori con |λ| = 1.D’altra parte T non ha autovalori e il risultato e dimostrato.

Per riassumere abbiamo

σ(T ) = σ(T ∗) = λ ∈ C | |λ| ≤ 1 ,σres(T ) = σpp(T ∗) = λ ∈ C | |λ| < 1 . (3.76)

Esercizio 3.26. Si considerino gli operatori T1 = −i∂x e T2 = −i∂x su L2(0, 1) con domini D(T1) = H1(0, 1)e D(T2) = Ψ ∈ H1(0, 1) |Ψ(0) = 0. Si dimostri che σ(T1) = C mentre σ(T2) = ∅.

L’operatore risolvente ha alcune proprieta molto utili:

Proposizione 3.20 (Identita del risolvente).Sia A ∈ L (H ) e z, z′ ∈ ρ(A), allora

(A− z)−1 − (A− z′)−1 = (z − z′)(A− z)−1(A− z′)−1. (3.77)

Se A inoltre e autoaggiunto, B e un operatore simmetrico piccola perturbazione di A e z ∈ ρ(A)∪ ρ(A+B),allora

(A+B − z)−1 = (A− z)−1 − (A− z)−1B(A+B − z)−1. (3.78)

Nel caso di operatori autoaggiunti inoltre i punti dello spettro possono essere caratterizzati piu in dettaglio.

Proposizione 3.21 (Spettro degli operatori autoaggiunti).Sia A un operatore autoaggiunto, allora,

i) σres(A) = ∅;

ii) σ(A) ⊂ R;

iii) autovettori relativi ad autovalori distinti sono ortogonali.

Dimostrazione. La dimostrazione dei primi due punti e implicitamente contenuta in quanto affermato nel-l’Osservazione 3.3.8: siccome per ogni z ∈ C\R, A−z e invertibile con inverso limitato, allora σ(A) ⊂ R. L’as-senza di spettro residuo e conseguenza di un risultato generale sullo spettro di ogni operatore: se λ ∈ σres(A)allora λ ∈ σpp(A∗), cioe i punti dello spettro residuo di un operatore appartengono necessariamente allospettro puntuale dell’aggiunto.

Per il punto c), come gia argomentato nella dimostrazione del Teorema 3.12, se z ∈ C \ R fosse unautovalore di A con autovettore Ψz ∈ D(A) ⊂ D(A∗), avremmo

z∗ 〈Ψz |Ψz 〉 = 〈AΨz |Ψz 〉 = 〈Ψz |AΨz 〉 = z 〈Ψz |Ψz 〉 =⇒ Ψz = 0.

45

Pertanto gli autovalori sono reali e se prendiamo λ, µ due autovalori distinti λ 6= µ con relativi autovettoriΨλ e Ψµ, abbiamo

λ 〈Ψλ |Ψµ 〉 = 〈AΨλ |Ψµ 〉 = 〈Ψλ |AΨµ 〉 = µ 〈Ψλ |Ψµ 〉 =⇒ 〈Ψλ |Ψµ 〉 = 0.

Esercizio 3.27. Si considerino gli operatori Pα introdotti nell’Esercizio 3.23 e in particolare P1: si trovi lospettro σ(P1).

Teorema 3.15 (Teorema di Weyl).Dato un operatore autoaggiunto A, λ ∈ σ(A) se e solo se esiste una successione (detta di Weyl) di statiΨn ∈ D(A) tale che ‖Ψn‖ = 1 e

limn→∞

‖(A− λ) Ψn‖ = 0. (3.79)

Dimostrazione. Il risultato e sostanzialmente gia dimostrato nell’Osservazione 3.3.12. Osservando che per laProposizione 3.21 A in quanto autoaggiunto non ha spettro residuo, allora si presentano due possibilita: o λ eun autovalore, ma allora la successione costante uguale a un autovettore relativo soddisfa la (3.79); altrimentiA− λ non e surgettivo ma la sua immagine e densa e allora l’argomento al punto 2 dell’Osservazione 3.3.12mostra l’esistenza di una successione di Weyl.

Infine mostriamo che lo spettro e invariante rispetto a trasformazioni unitarie.

Teorema 3.16 (Equivalenza unitaria II).Dato un operatore A su H e un unitario U : H −→H ′, sia A′ = UAU−1, allora σ(A) = σ(A′).

Osservazione 3.13. Un caso interessante in cui l’uso di un operatore unitario permette di semplificarenotevolmente lo studio di un operatore e quando esiste un sistema ortonormale completo di autovettoriun ∈ H (l’analogo discreto di quanto detto nell’Osservazione 3.3.6). In questo caso possiamo fare usodi quanto detto nell’Esempio 3.15: la mappa che va dallo spazio di Hilbert di partenza H ad `2(N) in cuisi associa al generico vettore Ψ i suoi coefficienti di Fourier rispetto alla base un e infatti in questo casoautomaticamente unitaria.

Esempio 3.23 (Laplaciano con condizioni al bordo di Neumann)Vediamo un esempio esplicito in cui si puo applicare la strategia descritta nell’Osservazione 3.3.13.Consideriamo l’operatore HN in L2(0, π) definito come

(HNΨ) (x) = −∆Ψ(x), D(HN) =

Ψ ∈ H2(0, 1)∣∣Ψ′(π) = Ψ′(0) = 0

. (3.80)

E’ facile vedere che ammette un set completo di autovettori: siano infatti un e vn, n ∈ N ∪ 0, lefunzioni

u0(x) = 1√π, un(x) :=

√2π cos(nx), vn(x) =

√2π sin(nx), (3.81)

allora per ciascuna di esse vale −∆un = n2un e −∆vn = n2vn, pero solo le un(x) soddisfano le condizioni albordo che compaiono in D(HN). Infatti

u′n(π) = u′n(0) = 0 =⇒ un ∈ D(HN), HNun = n2un.

Inoltre le un sono ovviamente ortonormali:

2

π

∫ π

0dx cos2(nx) =

1

π

∫ π

0dx (1 + cos(2nx)) = 1,

2

π

∫ π

0dx cos(nx) cos(mx) =

1

π

∫ π

0dx (cos[(n+m)x] + cos[(n−m)x]) = 0,

46

se n 6= m. Infine le un costituiscono un sistema completo e quindi un s.o.n.c.: sappiamo che la base diFourier un, vn e completa in L2(−π, π), ma allora data una qualunque funzione Ψ in L2(0, π) possiamoprolungarla in modo pari rispetto all’origine ovvero ponendo Ψ(x) = Ψ(x)+Ψ(−x) e tale funzione sviluppatanella base di Fourier un, vn avra coefficienti non nulli solo nello sviluppo rispetto alle un, poiche levn sono dispari. Quindi le un sono complete in L2(0, π). Per inciso nello stesso modo si dimostra che levn sono complete in L2(0, π).

A questo punto la trasformazione U definita nell’Esempio 3.15 e certamente unitaria. Quindi otteniamoimmediatamente che

σ(HN) = σpp(HN) =n2, n ∈ N ∪ 0

. (3.82)

Per altro il Teorema 3.10 ci dice anche che HN e autoaggiunto su D(HN) in quando lo stesso vale perl’operatore N su `2(N ∪ 0) definito come

Nen = n2en, D(N) =un ∈ `2(N ∪ 0)

∣∣ n2un∈ `2(N)

. (3.83)

Si noti anche che U∗D(N) = D(HN) per definizione di spazio Hp: le condizioni al bordo sono conseguenzadel fatto che la serie di Fourier delle derivate di ogni funzione Ψ in D(HN) converge totalmente e quindiuniformemente grazie alle proprieta dei coefficienti di Fourier in D(N) e percio Ψ′(π) = Ψ′(0) = 0, dato chelo stesso vale per ogni elemento della base un.

Esercizio 3.28. Dimostrare che l’operatore HD su L2(0, π) definito come (HDΨ) (x) = −∆Ψ(x) sul dominioD(HD) =

Ψ ∈ H2(0, 1)

∣∣Ψ(π) = Ψ(0) = 0

(Laplaciano con condizioni al bordo di Dirichlet) e autoaggiuntoe trovarne lo spettro.

3.9 Teorema Spettrale e Interpretazione Probabilistica

In questa Sezione formuleremo il teorema spettrale e ne discuteremo le conseguenze in MQ, piu precisamentevedremo come una delle possibili versioni del teorema spettrale garantisca la possibilita di rappresentare ognioperatore autoaggiunto su H , e percio ogni osservabile, come operatore di moltiplicazione su un opportunospazio L2.

Gli operatori di moltiplicazione recitano percio un ruolo privilegiato in MQ, che li rende in qualchesenso l’analogo infinito-dimensionale delle matrici diagonalizzabili in dimensione finita. Piu nel dettaglioogni operatore di moltiplicazione ammette interpretazione probabilistica, ovvero, alla luce del Postulato 3della MQ, la misura dell’osservabile associata si comporta come una variabile aleatoria con frequenze diaspettazione e valori medi previsti dalla teoria.

Prima di formulare in generale il teorema spettrale vediamo come alcune delle sue implicazioni sianoovvie e naturali nel caso degli operatori di moltiplicazione. Prendiamo percio un operatore M su L2(Rd)che sia di moltiplicazione per una funzione F ∈ C(Rd) limitata, ovvero

(MΨ) (x) = F (x)Ψ(x). (3.84)

Come abbiamo visto, se F e limitata, l’operatore M e anch’esso limitato. Assumiamo inoltre che F : Rd → Rsia reale. In tal caso abbiamo visto che M e anche autoaggiunto.Grazie alle proprieta di M e naturale definire le potenze Mk, k ∈ N, di M e si vede immediatamente che(

MkΨ)

(x) = F k(x)Ψ(x), (3.85)

e tali operatori sono anch’essi limitati e autoaggiunti. Dalle potenze e poi banale passare ai polinomi. Inoltrese P (x) =

∑k akx

k e un qualsiasi polinomio e Ψ ∈H vale l’identita

〈Ψ |P (M)|Ψ〉 =

∫Rd

dx |Ψ(x)|2 P (F (x)), (3.86)

47

che puo essere riscritta come

〈Ψ |P (M)|Ψ〉 =

∫Rd

dµΨ(x) P (F (x)), (3.87)

dove abbiamo definito la misura spettrale di M come

dµΨ(x) = |Ψ(x)|2 dx. (3.88)

Grazie alla normalizzazione in L2(Rd) di Ψ e alla positivita di |Ψ|2, se vede immediatamente che µ e unamisura di probabilita. Vale allora per M la seguente interpretazione proabilistica: l’operatore e piu ingenerale i polinomi in M si rappresentano come funzioni di una variabile aleatoria x con distribuzione diprobabilita |Ψ(x)|2.

Vediamo ora come questa interpretazione probabilistica per un operatore di moltiplicazione autoaggiuntosi connette con il Postulato 3 della MQ. Assumiamo percio che M sia un’osservabile data da un operatoredi moltiplicazione autoaggiunto (limitato) M su L2(Rd). Il Postulato 3 riformulato per un operatore dimoltiplicazione ci dice che il valore di aspettazione dell’osservabile M nello stato Ψ e dato da

〈M〉 = 〈Ψ |M |Ψ〉 =

∫Rd

dµΨ(x) F (x), (3.89)

dove µΨ e la misura spettrale definita in (3.88). Inoltre i valori possibili nella misura di M sono

σ(M) = ran(F ), (3.90)

ed essi appaiono con frequenze di visita che approssimano le probabilita cosı definite: sia (a, b) ⊂ ran(F ) unqualunque aperto contenuto nell’immagine di F e I(a, b) la sua controimmagine, i.e., I(a, b) := F−1(a, b),allora i valori di M in (a, b) hanno le seguenti probabilita PM,Ψ(a, b) di essere misurati nello stato Ψ,

PM,Ψ(a, b) =

∫I(a,b)

dµΨ(x) =

∫I(a,b)

dx |Ψ(x)|2. (3.91)

Percio l’interpretazione probilistica discussa in precedenza non e solo una rilettura matematica del for-malismo degli operatori di moltiplicazione in L2, ma l’intepretazione fisica della MQ: dato un’osservabilerappresentabile come operatore di moltiplicazione, la misura di tale grandezza fisica nello stato Ψ avra lostesso comportamento di una variabile stocastica con misura di probabilita µΨ.

Prima di discutere la generalita dello schema intepretativo precedente, discutiamo altre conseguenzedelle proprieta degli operatori di moltiplicazione. Notiamo infatti che dalla costruzione dei polinomi diM e facile passare alle funzioni continue di M : sia G ∈ C(R) una funzione continua, per il teorema diStone-Weiestrass possiamo trovare una successione di polinomi Pn(x) tale che supx∈R |G(x)− Pn(x)| → 0per n→∞. Allora possiamo pensare di definire G(M) come il limite della successione Pn(M). Chiaramentee necessario specificare la topologia in cui si prende questo limite:

Definizione 3.30 (Convergenza in norma).Sia An ∈ B(H ) una successione di operatori, allora diciamo che An −→ A in norma (operatoriale) se‖A−An‖ −→

n→∞0.

Dimostriamo che sotto le ipotesi predecenti possiamo porre

G(M) := limn→∞

Pn(M), (3.92)

o piu concretamente che la successione Pn(M) e una sucessione di Cauchy nella topologia in norma definitasopra:

‖Pn(M)− Pm(M)‖2 = supΨ∈H ,‖Ψ‖2=1

∫Rd

dx |Pn(F (x))− Pm(F (x))|2 |Ψ(x)|2

≤ supx∈Rd

|Pn(F (x))− Pm(F (x))|2 −→n,m→∞

0,

48

grazie all’ipotesi di convergenza in norma sup della successione di polinomi Pn. In effetti si puo dimostrareche questo modo di definire le funzioni continue di M induce un omomorfismo fra l’algebra delle funzionicontinue su σ(M) e la C∗ algebra generata da M , ovvero la chiusura in norma dell’algebra dei polinomi diM .

In modo simile si puo dimostrare la possibilita di costruire l’operatore G(A) per ogni funzione misurabileG ∈ L∞(R). Ogni funzione misurabile (borelliana) si puo infatti ottenere come limite puntuale di unasuccessione Gn ∈ C(R) di funzioni continue e limitate, i.e., G(x) = limn→∞Gn(x) per ogni x ∈ R e|Gn(x)| ≤ C < +∞. Allora possiamo pensare di definire l’operatore G(M) come limite degli operatoriGn(M), dove il limite va pero inteso in una topologia piu debole di quella operatoriale.

Definizione 3.31 (Convergenza forte).Sia An ∈ B(H ) una successione di operatori, allora diciamo che An

s−→ A in senso forte se‖(A−An)Ψ‖ −→

n→∞0 per ogni Ψ ∈H .

Definizione 3.32 (Convergenza debole).Sia An ∈ B(H ) una successione di operatori, allora diciamo che An

w−→ A in senso debole se〈Φ |(A−An)Ψ〉 −→

n→∞0 per ogni Φ,Ψ ∈H .

Non discuteremo qui le differenze fra le varie nozioni convergenza e le relative topologie ma sottolianeamoche, come si puo facilmente intuire e dimostrare, la convergenza in norma implica quella forte che a suavolta implica quella debole. Vediamo come questo si puo realizzare in alcuni semplici esempi.

Esempio 3.24 Consideriamo i seguenti operatori in `2(N):

Tn(u1, u2, . . .) =(

1nu1,

1nu2, . . .

),

Sn(u1, u2, . . .) = (

n termini︷︸︸︷0, 0, . . . , 0, un+1, un+2, . . .),

Sn(u1, u2, . . .) = (

n termini︷︸︸︷0, 0, . . . , 0, u1, u2, . . .). (3.93)

Dimostriamo che Tn −→n→∞

0:

‖Tn‖2 = supuj∈`2(N),‖uj‖2=1

∑j∈N

1

n2|uj |2 =

1

n2−→n→∞

0.

Invece Sn non converge in norma ma solo in senso forte:

‖Snuj‖2 =∞∑

j=n+1

|uj |2 −→n→∞

0,

per ogni uj ∈ `2(N), ma

supuj∈`2(N),‖uj‖2=1

‖Snuj‖2 = supuj∈`2(N),‖uj‖2=1

∞∑j=n+1

|uj |2 9 0,

come segue per esempio valutando l’espressione di sopra su en+1.Infine nel caso di Wn dimostriamo che converge debolmente a 0 ma non converge ne in norma ne in sensoforte:

〈vj |Wnuj〉 =∑j∈N

v∗j+nuj ≤(∑

|uj |2)1/2( ∞∑

j=n+1

|vj |2)1/2

−→n→∞

0,

per ogni uj, vj ∈ `2(N). Ma d’altra parte

‖Wnuj‖22 =∑j∈N|uj |2 = 1,

49

per ogni uj normalizzata e quindi W 9 0 ne in senso forte ne tanto meno in norma.

Tornando alla discussione precedente possiamo allora notare che dovremo definire G(M) come il limite fortedella successione costruita cioe,

G(M) := s− limn→∞

Gn(M). (3.94)

Tale successione converge infatti fortemente grazie alle ipotesi che abbiamo fatto sulle Gn: e suffcientedimostrare che la successione Gn(M)Ψ e di Cauchy per ogni Ψ ∈H , ma

‖(Gn(M)−Gm(M)) Ψ‖2 =

∫Rd

dx |Gn(F (x))−Gm(F (x))|2 |Ψ(x)|2

=

∫Rd

dµΨ(x) |Gn(F (x))−Gm(F (x))|2 −→n,m→∞

0,

per semplice convergenza dominata. Abbiamo percio una “ricetta” per costruire tutte le funzioni misurabilidi M a partire di polinomi in M . In realta si puo dimostrare che questa procedura induce un omomorfismofra l’algebra delle funzioni misurabili su σ(M) e la chiusura dell’algebra dei polinomi di M nella topologiaforte. Quest’ultima prende il nome di algebra di Von Neumann di M e si dimostra che essa coincide con lachiusura debole dello stesso spazio.

Un esempio molto importante di funzioni misurabili su σ(M) e rappresentato dalle funzioni caratteristi-che: sia (a, b) ⊂ σ(M) un intervallo contenuto nello spettro di M , allora EM (a, b) il proiettore spettrale di Massociato all’intervallo (a, b) e l’operatore associato alla funzione caratteristica dell’intervallo (a, b), ovvero

EM (a, b) := 1(a,b)(M),(1(a,b)(M)Ψ

)(x) = 1I(a,b)(x)Ψ(x), (3.95)

dove I(a, b) = F−1(a, b) e il borelliano controimmagine di (a, b). La seconda identita e una conseguenza ovviadella definizione e puo essere facilmente verificata su una successione di funzioni continue che converganopuntualmente a 1(a,b): poiche 1(a,b)(M) deve essere non nullo solo su stati su cui il valore di F sia compreso fra

(a, b) e chiaro che come operatore di moltiplicazione su L2(Rd) questo deve proiettare sulla controimmaginedi (a, b).

Ora verificheremo che l’operatore (3.95) sia effettivamente un proiettore e dimostreremo alcune proprietadella famiglia di proiettori al variare dell’intervallo in σ(M). Prima pero osserviamo che alla luce delPostulato 3 della MQ e della discussione precedente, tale definizione e necessaria al fine di poter identificarele probabilita con la (3.91): come stabilito nel Postulato 3 infatti la probabilita di osservare un valore di Mnell’intervallo (a, b) nello stato Ψ e

‖EM (a, b)Ψ‖2 =

∫Rd

dx 1I(a,b)(x) |Ψ(x)|2 =

∫I(a,b)

dµΨ(x), (3.96)

che coincide con la (3.91).Per quanto riguarda l’operatore EM (a, b) vediamo che si tratta di un proiettore ortogonale come

introdotto nella Definizione 3.23: sfruttiamo la Proposizione 3.15 e osserviamo che

‖EM (a, b)Ψ‖2 =

∫Rd

dx 1I(a,b)(x) |Ψ(x)|2 ≤ ‖Ψ‖22 ,

per cui l’operatore e limitato e ‖EM (a, b)‖ ≤ 1. Inoltre e un operatore autoaggiunto in quanto operatore dimoltiplicazione per una funzione reale limitata (si veda la (3.95)). Infine il fatto che E2

M (a, b) = EM (a, b)segue ancora dalla (3.95) e dall’indentita banale (1I(a,b)(x))2 = 1I(a,b)(x).

Poniamo ora per ogni λ ∈ REM (λ) := EM (−∞, λ), (3.97)

e verifichiamo che al variare di λ tali operatori soddisfano le proprieta di una famiglia spettrale (si veda laprossima Definizione 3.33): per ogni Ψ ∈H normalizzata, i.e., tale che ‖Ψ‖2 = 1,

1. limλ→−∞

EM (λ)Ψ = 0 e limλ→+∞

EM (λ)Ψ = Ψ;

50

2. se λ ≤ µ allora 〈Ψ |EM (λ)|Ψ〉 ≤ 〈Ψ |EM (µ)|Ψ〉;

3. limε→0

EM (λ+ ε)Ψ = EM (λ)Ψ cioe la famiglia e continua al variare di λ.

Il punto 1. e il piu facile da dimostrare in quanto segue direttamente dalla (3.95) e dalla normalizzazione diΨ. Per il secondo e sufficiente osservare che l’integrando nella (3.95) e una funzione positiva. Infine il punto3. segue per convergenza dominata.

Usando le proprieta enunciate sopra si puo definire una misura (di Lebesgue-Stieltjes) su R nel modoseguente: fissato lo stato Ψ ∈H (non necessariamente normalizzato) e dato un qualsiasi intervallo (a, b) ⊂ Rponiamo

µΨ((a, b)) := 〈Ψ |EM (b)|Ψ〉 − 〈Ψ |EM (a)|Ψ〉 , (3.98)

e dagli aperti estendiamo la misura ai borelliani S di R via

µΨ(S) := infIk

∑k

µΨ(Ik), (3.99)

cioe richiedendo che sia regolare. Gli intervalli Ik sono scelti nella definizione precedente in modo cheovviamente S ⊂ ∪kIk. Si noti che grazie alle proprieta enunciate in precedenza la funzione 〈Ψ |EM (λ)|Ψ〉al variare di λ va da R a [0, ‖Ψ‖], e monotona non decrescente e vale 0 per λ = −∞. Inoltre essa e continuaal variare di λ. Questo ci garantisce che la definizione (3.98) e be posta e identifica una misura di Borelregolare su R, anch’essa chiamata misura spettrale. In effetti a meno di una trasformazione dello spazio dibase (cambio di variabili) la misura coincide con quella definita nella (3.88). Si noti inoltre che

supp(µΨ) ⊂ σ(M), (3.100)

poiche la misura di ogni insieme che non interseca lo spettro di M e certamente nulla: se ad esempio(a, b) ∩ σ(M) = ∅, allora I(a, b) = ∅ e quindi per la (3.95) µΨ((a, b)) = 0.

La misura spettrale dµΨ(λ) viene anche indicata con d 〈Ψ |EM (λ)|Ψ〉 ed e immediato estenderla a unamisura complessa su coppie di vettori Ψ,Φ ∈H usando l’identita di polarizzazione

µΨ,Φ(λ) := 14µΨ+Φ(λ)− 1

4µΨ−Φ(λ) + i4µΨ−iΦ(λ)− i

4µΨ+iΦ(λ), (3.101)

che nella notazione precedente diventa dµΨ,Φ(λ) = d 〈Ψ |E(λ)|Φ〉.Un’ultima importante proprieta della misura spettrale e che permette in modo alternativo di definire le

funzioni misurabili di M . Infatti per ogni Ψ e Φ in H abbiamo

〈Ψ |M |Φ〉 =

∫σ(M)

dµΨ,Φ(λ) λ, (3.102)

e similmente per ogni funzione misurabile G : R→ R

〈Ψ |G(M)|Φ〉 =

∫σ(M)

dµΨ,Φ(λ)G(λ). (3.103)

Quindi dalla prima identita ricaviamo che grazie alla misura spettrale lo spazio di Hilbert puo essere mappatoin uno spazio L2(σ(M)), dove l’operatore agisce come operatore di moltiplicazione per la funzione λ, mentrele sue funzioni misurabili G(M) corrispondono agli operatori di moltiplicazione per la funzione G(λ).

Ovviamente questa rappresentazione dipende dalla coppia di vettori Ψ e Φ ma la separabilita dello spaziodi Hilbert permette di estenderla all’intero spazio. Se ci limitiamo infatti alla misura reale e a un singolo statoΨ e consideriamo la chiusura di P (M)Ψ questo puo o meno coincidere con l’intero H . Se P (M)Ψ = H ,nel qual caso si dice che Ψ e ciclico, allora la rappresentazione indotta dalla misura spettrale puo essere

ovviamente estesa a tutto H . Se invece questo non avviene si puo cercare una Ψ1 in P (M)Ψ⊥

e costruirela relativa misura spettrale. Alla fine della procedure la separabilita dello spazio d Hilbert garantisce che

51

si sara trovata una successione al piu numerabile Ψnn∈N, tale che in ogni spazio ciclico Hn := P (M)Ψn

valga la rappresentazione indotta dalla misura dµΨn(λ), cioe 5

Hn ' L2(σ(M), dµΨn(λ)), (3.104)

e per cui M agisca su Hn come operatore di moltiplicazione per λ. Se poi la successione degli Ψn e sceltain modo che la serie delle norme ‖Ψn‖2 sia sommabile, allora

L2(Rd,dx) = H =∞⊕n=1

Hn '∞⊕n=1

L2(σ(M),dµΨn(λ)). (3.105)

Nella discussione sviluppata fin qui, abbiamo dunque visto che l’interpretazione probabilistica si ap-plica agli operatori di moltiplicazione, che quindi costuiscono una classe molto speciale di osservabili. Inrealta e possibile dimostrare che tale interpretazione si applica solo agli operatori di moltiplicazione o, piuprecisamente, che se vale l’interpretazione probabilistica di un operatore allora esiste una rappresentazionedello spazio di Hilbert (isomorfismo isometrico) tale che l’operatore viene rapprentato come operatore dimoltiplicazione.

Teorema 3.17 (Interpretazione probabilistica parziale).Data un osservabile A e uno stato Ψ ∈ H , se l’intepretazione probabilistica vale per P (A)Ψ per ognipolinomio P , cioe ∃ una misura di Borel regolare νΨ tale che

〈Ψ |P (A)|Ψ〉 =

∫R

dνΨ(x) P (x), (3.106)

allora P (A)Ψ e isomorfo a L2(R,dνΨ) e A agisce su tale spazio come operatore di moltiplicazione per x.

Dimostrazione. Siano Ψ1 e Ψ2 due generici vettori in P (A)Ψ tali che Ψi = Pi(A)Ψ per due polinomi P1

e P2, allora abbiamo

〈Ψ1 |A|Ψ2 〉 = 〈P1(A)Ψ |A|P2(A)Ψ〉 = 〈Ψ |P ∗1 (A)AP2(A)|Ψ〉 =

∫R

dνΨ(x) P ∗1 (x)xP2(x)

= 〈P1 |x|P2 〉L2(R,dνΨ(x)) .

L’isomorfismo e dunque identificato dalla corrispondenza fra il generico stato Ψ1 e il corrispondente polinomioP1 tale che Ψ1 = P1(A)Ψ. Inoltre su L2(R, dνΨ(x)) A agisce come operatore di moltiplicazione per x. Lachiusura dello spazio dei polinomi in norma L2(R,dνΨ(x)) completa l’enunciato.

Teorema 3.18 (Intepretazione probabilistica globale).Se data un’osservabile A, la rappresentazione (3.106) vale per ogni Ψ ∈ H spazio di Hilbert separabile,allora esiste un operatore unitario U , una misura dµ e una funzione misurabile reale F (x) tale che

UH = L2(Rd,dµ(x)),(UAU−1Ψ

)(x) = F (x)Ψ(x). (3.107)

Dimostrazione. La rappresentazione da H a L2(Rd,dµ(x)) si costruisce esaurendo lo spazio di Hilbert conla collezione di Ψi, i = 1, . . . ,∞, e dei relativi spazi ciclici P (A)Ψi al variare del polinomio P , dove ilvettore Ψi+1 e scelto nel complemento ortogonale di ∪ij=1P (A)Ψj. La collezione dei Ψi definisce attraversoil Teorema 3.17 la decomposizione

H '∞⊕i=1

L2(R,dµi), (3.108)

5Con la notazione ' indichiamo un isomorfismo (isometrico) fra spazi di Hilbert, ovvero sostanzialmente l’esistenza di unoperatore unitario U : H →H ′.

52

con µi := µΨi . La misura complessiva e allora definita sulle unioni numerabili di aperti I = ∪iIi comeµ(I) =

∑∞i=1 µi(Ii) ed e una misura finita se gli Ψi sono scelti in modo che la serie ‖Ψi‖2 sia sommabile,

perche in tal caso

µ(∪∞i=1R) =∞∑i=1

µi(R) =∞∑i=1

‖Ψi‖22 < +∞.

Rimane quindi da capire quali siano gli operatori che possono essere rappresentati come operatori di mol-tiplicazione perche sappiamo che ad essi si applica l’interpretazione probabilistica. Il teorema spettrale cidice appunto che sono tutti e soli gli operatori autoaggiunti.

Teorema 3.19 (Teorema spettrale – operatore di moltiplicazione).Sia A un operatore autoaggiunto su H spazio di Hilbert separabile, allora esiste uno spazio di misura (X,µ)con µ misura finita, un operatore unitario U : H → L2(X,dµ) e una funzione reale F ∈ L∞loc(X,dµ) taleche

i) Ψ ∈ D(A) se e solo se F (x) (UΨ) (x) ∈ L2(X,dµ);

ii) per ogni Ψ ∈ UD(A),(UAU−1Ψ

)(x) = F (x)Ψ(x).

Osservazione 3.14. Se A oltre che ad essere autoaggiunto e anche limitato, allora il Teorema 3.19 puoessere formulato piu precisamente: se A e autoaggiunto limitato su H allora esiste una collezione al piunumerabile di misure µnNn=1 con N ∈ N ∪ ∞ su σ(A) e un operatore unitario

U : H −→N⊕n=1

L2(σ(A),dµn), (3.109)

tale che per ogni Ψ ∈H , UΨ = ΨnNn=1 e(UAU−1Ψ

)n

(λ) = λΨn(λ). (3.110)

Cioe in ciascuno sottospazio invariante per A, l’operatore agisce come operatore di moltiplicazione per lafunzione λ.

Come abbiamo gia visto l’intepretazione probabilistica permette di costruire esplicitamente le funzio-ni misurabili di ogni operatore autoaggiunto A. In realta questa costruzione puo essere sollevata a unomomorfismo fra algebre:

Teorema 3.20 (Teorema spettrale – calcolo funzionale).Sia A un operatore autoaggiunto su H spazio di Hilbert separabile, allora esiste un’applicazione O : L∞(R)→L (H ) tale che

i) O e uno ∗-omomofismo;

ii) O e continuo in norma, cioe ‖O(G)‖L (H ) ≤ ‖G‖∞;

iii) se Gn ∈ L∞(R), Gn(x)q.o.−→ x e |Gn(x)| ≤ |x| per ogni n, allora lim

n→∞O(Gn)Ψ = AΨ per ogni Ψ ∈ D(A);

iv) se una successione di funzioni converge debolemente Gnw−→ G, allora O(Gn)

s−→ O(G);

v) se AΨ = λΨ, λ ∈ R, allora O(G)Ψ = G(λ)Ψ;

vi) se G ≥ 0 allora 〈Ψ |O(G)|Ψ〉 ≥ 0 per ogni Ψ ∈ D(G).

Il teorema precedente e utile per costruire le funzioni misurabili di A, come ad esempio i proiettori spettralidi A ma anche eiAt, t ∈ R, che giochera un ruolo cruciale nell’esistenza della dinamica di ogni sistemaquantistico (si veda il Teorema 3.31). Una conseguenza ovvia del Teorema 3.20 e il seguente

53

Corollario 3.2 (Funzioni di operatori autoaggiunti).Sia A un operatore autoaggiunto e F,G ∈ L∞(R) due funzioni misurabili limitate, allora

i) σ(F (A)) = F (σ(A));

ii) ‖F (A)‖ = supλ∈σ(A) |F (λ)|;

iii) (F (A))∗ = F ∗(A);

iv) (F ·G) (A) = F (A)G(A).

Fra le funzioni limitate di un operatore autoaggiunto sono particolarmente importanti i proiettori spettrali:

Definizione 3.33 (Famiglia spettrale).Una famiglia spettrale in H e una famiglia di proiettori ortogonali E(λ)λ∈R su H che soddisfano leseguenti proprieta

i) per ogni Ψ ∈H , limλ→−∞

E(λ)Ψ = 0 e limλ→+∞

E(λ)Ψ = Ψ;

ii) se λ ≤ µ allora 〈Ψ |E(λ)|Ψ〉 ≤ 〈Ψ |E(µ)|Ψ〉;

iii) limε→0

E(λ+ ε)Ψ = E(λ)Ψ.

Teorema 3.21 (Teorema spettrale – risoluzione spettrale).Sia A un operatore autoaggiunto su H spazio di Hilbert separabile, allora ∃! famiglia spettrale PA(λ) taleche

D(A) =

Ψ ∈H

∣∣∣ ∫σ(A)

dµΨ;A(λ) λ2 < +∞, (3.111)

〈Φ |A|Ψ〉 =

∫σ(A)

dµΦ,Ψ;A(λ) λ, (3.112)

per ogni Ψ ∈ D(A) e Φ ∈H e dove le misure dµΨ;A(λ) = d 〈Ψ |EA(λ)|Ψ〉 e dµΦ,Ψ;A(λ) = d 〈Φ |EA(λ)|Ψ〉sono date da (3.98), i.e., per ogni intervallo aperto (a, b) ⊂ R,

µΨ;A((a, b)) := 〈Ψ |EA(b)|Ψ〉 − 〈Ψ |EA(a)|Ψ〉 , (3.113)

e (3.101) rispettivamente.

Un aspetto che rende tuttavia il teorema spettrale in quest’ultima forma poco utile in generale e il fatto chenon fornisce una ricetta per costruire la risoluzione spettrale, non e cioe un risultato costruttivo. Discuteremoora alcuni esempi in cui la risoluzione spettrale puo essere esplicitamente scritta.

Esempio 3.25 (Operatore posizione)Torniamo all’Esempio 3.5: l’operatore e gia nella forma di moltiplicazione per x, quindi non c’e bisogno diusare il Teorema 3.19 ne la variante descritta nell’Osservazione 3.3.14. Possiamo pero costruire la famigliaspettrale di Q: e facile vedere che i proiettori spettrali sono dati dagli operatori di moltiplicazione

(EQ(λ)Ψ) (x) = 1(−∞,λ](x)Ψ(x). (3.114)

La misura spettrale di un intervallo (a, b) e quindi

µΨ((a, b)) =

∫ b

adx |Ψ(x)|2 , (3.115)

e piu in generaledµΨ(x) = |Ψ(x)|2dx.

54

Esempio 3.26 (Operatore impulso)Nel caso dell’operatore impulso definito nell’Esempio 3.6 e sufficiente usare la trasformata di Fourier perricondursi al caso precedente: poiche la trasformata di Fourier e un operatore unitario da L2(R) a L2(R), iproiettori spettrali di P sono

EP (λ) := F−1EQ(λ)F , (3.116)

cioe(EP (λ)Ψ) (x) = F−1

(1(−∞,λ)(k)Ψ(k)

)(x).

Esercizio 3.29. Si trovi la risoluzione spettrale dell’operatore P 2 su L2(R).

Esempio 3.27 (Laplaciano con condizioni al bordo di Neumann)I proiettori spettrali per l’operatore HN definito nell’Esempio 3.23 sono dati, per ogni λ ≥ 0, da

(EHN(λ)Ψ) (x) =

b√λc∑

n=0

〈un |Ψ〉un(x), (3.117)

dove b · c indica la parte intera. Si noti che λ ∈ R+, poiche σ(HN) = n2 | n ∈ N ∪ 0. Si verifichi che ladefinizione precedente identifica una famiglia spettrale.

Esercizio 3.30. Si trovi la risoluzione spettrale per l’operatore HD introdotto nell’Esercizio 3.28.

Esercizio 3.31. Si trovi la risoluzione spettrale dell’operatore P1 definito nell’Esercizio 3.23.

La risoluzione spettrale che abbiamo visto per un singolo operatore si puo facilmente estendere a un insiemedi operatori A1, . . . , AN sotto l’ipotesi essenziale che essi siano compatibili.

Teorema 3.22 (Rappresentazione spettrale congiunta).Siano A1, . . . , AN operatori autoaggiunti su H commutanti, allora esiste uno spazio di misura (X,µ) con µmisura finita, un operatore unitario U : H → L2(X,dµ) e N funzioni reali Fi ∈ L∞loc tali che

i) Ψ ∈ D(Ai) se e solo se Fi(x) (UΨ) (x) ∈ L2(X,dµ);

ii) per ogni Ψ ∈ D(Ai),(UAiU

−1Ψ)

(x) = Fi(x)Ψ(x).

Grazie a questo risultato possiamo ora rispondere alla domanda: “sotto quali ipotesi un operatore si puorappresentare come operatore di moltiplicazione?”. Infatti il caso piu generale di operatori per cui talerappresentazione vale e quello degli operatori A normali, ovvero tali che [A,A∗] = 0. Questi operatori infattisi possono sempre scrivere come A = B + iC con A,B autoaggiunti commutanti, come segue facilmenteponendo B = A + A∗ e C = −i(A − A∗) e osservando che la condizione [A,A∗] = 0 implica [B,C] = 0.Applicando quindi il Teorema 3.22 all’insieme B,C si ottiene una rappresentazione spettrale congiunta incui sia B che C sono operatori di moltiplicazione e, di conseguenza, anche A agisce come tale.

3.10 Caratterizzazione dello Spettro

Grazie alla risoluzione spettrale fornita dal teorema spettrale e in particolare usando i proiettori spettraliassociati ad ogni operatore autoaggiunto e possibile carattarizzare piu precisamente lo spettro. Ricordiamoanzitutto un teorema generale della misura:

Definizione 3.34 (Misura puntuale, continua, assolutamente continua, singolare).Sia µ una misura di Borel su R, allora diciamo che

55

i) µ e una misura puramente puntuale se ∃ un insieme al piu numerabile di punti P = x1, . . . , xNcon N ∈ N ∪∞ tale che µ(xi) 6= 0 e µ(S) = µpp :=

∑xi∈I∩P

µ(xi) per ogni misurabile S ⊂ R;

ii) µ e una misura continua se µ = µ− µpp;

iii) µ e una misura assolutamente continua rispetto alla misura di Lebesgue se ∃F ∈ L1loc(R) tale che∫

Rdµ f =

∫R

dx F (x)f(x), ∀f ∈ L1(R); (3.118)

iv) µ e una misura singolare rispetto alla misura di Lebesgue se ∃S misurabile tale che µ(S) = 0, mentreR \ S ha misura di Lebesgue 0.

Teorema 3.23 (Teorema di Lebesgue).Ogni misura di Borel µ si decompone in modo unico in

µ = µpp + µcont = µpp + µac + µsing, (3.119)

dove µpp e una misura puntuale, µcont e una misura continua, µac e assolutamente continua rispetto allamisura di Lebesgue e infine µsing e singolare continua rispetto alla misura di Lebesgue.

A questo punto possiamo definire i sottospazi di H invarianti per A autoaggiunto:

Definizione 3.35 (Decomposizione di H ).Sia A un operatore autoaggiuto su H e µΨ la sua misura spettrale, allora definiamo

• Hpp := Ψ ∈H | µΨ e puramente puntuale;

• Hcont := Ψ ∈H | µΨ e continua;

• Hac := Ψ ∈H | µΨ e assolutamente continua;

• Hsing := Ψ ∈H | µΨ e singolare continua.

Proposizione 3.22 (Sottospazi invarianti).I sottospazi della Definizione 3.35 sono tutti sottospazi invarianti per A e si ha la decomposizione

H = Hpp ⊕Hcont = Hpp ⊕Hac ⊕Hsing. (3.120)

La decomposizione di σ(A) accennata nella Sezione 3.8 puo essere resa rigorosa:

Definizione 3.36 (Decomposizione spettrale I).Sia A un operatore autoaggiunto su H , allora definiamo

• σpp(A) := autovalori di A lo spettro puntuale di A;

• σcont := σ(A|Hcont) lo spettro continuo di A;

• σac := σ(A|Hac) lo spettro assolutamente continuo di A;

• σsing := σ(A|Hsing) lo spettro singolare continuo di A.

Questa prima decomposizione dello spettro, pur caratterizzando nel dettaglio il comportamento della misuraspettrale, ha il difetto di dividere σ(A) in sottoinsiemi che non sono necessariamente disgiunti: il motivoe sostanzialmente che σpp non e definito come lo spettro di A ristretto a Hpp ma come l’insieme degliautovalori e cosı abbiamo

σ(A) = σpp(A) ∪ σcont(A), σcont(A) = σac(A) ∪ σsing(A). (3.121)

56

Esempio 3.28 (Operatore di posizione)Lo spettro dell’operatore Q definito nell’Esempio 3.5 e ovviamente continuo e piu precisamente

σ(Q) = σac(Q) = R. (3.122)

Il motivo e che banalmente la misura spettrale dµΨ(x) e sempre assolutamente continua rispetto alla misuradi Lebesgue poiche esiste F (x) ∈ L1(R) tale che dµΨ(x) = F (x)dx dove F (x) = |Ψ(x)|2.

Esempio 3.29 (Laplaciano con condizioni al bordo di Neumann)L’operatore HN definito nell’Esempio 3.23 ha spettro puramente puntuale. Infatti come abbiamo visto

σ(HN) = σpp(HN) =n2 | n ∈ N ∪ 0

. (3.123)

Si noti che la misura spettrale dµΨ(λ) e puntuale in quanto il suo supporto coincide con N ∪ 0.

Esercizio 3.32. Si determini la decomposizione dello spettro degli operatori P definito nell’Esempio 3.6 eP1 introdotto nell’Esercizio 3.23.

Una decomposizione alternativa e data sfruttando le proprieta dei proiettori spettrali di A. Premettiamopero un risultato generale su σ(A):

Proposizione 3.23 (Spettro e proiettori spettrali).Sia A un operatore autoaggiunto su H e EA(λ)λ∈R i suoi proiettori spettrali, allora λ ∈ σ(A) se e solose EA(λ+ ε)− EA(λ− ε) 6= 0 per ogni ε > 0.

Definizione 3.37 (Decomposizione spettrale II).Sia A un operatore autoaggiunto e EA(λ)λ∈R i suoi proiettori spettrali. Sia inoltre λ ∈ σ(A), alloradiciamo che

i) λ ∈ σdisc(A) lo spettro discreto di A se ran(EA(λ+ ε)−EA(λ− ε)) e finito-dimensionale per qualcheε > 0;

ii) λ ∈ σess(A) lo spettro essenziale di A se ran(EA(λ+ ε)− EA(λ− ε)) e infinito-dimensionale per ogniε > 0.

Proposizione 3.24 (Spettro discreto e essenziale).Sia A un operatore autoaggiunto su H , allora

σdisc(A) = σ(A) \ σess(A). (3.124)

Inoltre λ ∈ σdisc(A) se e solo se

i) ∃ε > 0 tale che (λ− ε, λ+ ε) ∩ σ(A) = λ;

ii) Ψ ∈H |AΨ = λΨ e finito-dimensionale.

Invece λ ∈ σess(A) se una o piu delle seguenti e verificata

i) λ ∈ σcont(A);

ii) λ e punto di accumulazione di σpp(A);

iii) λ e un autovalore di molteplicita infinita.

Quindi riassumendo σdisc(A) contiene tutti e soli gli autovalori di A isolati e di molteplicita finita, mentreeventuali punti limite di σpp(A) e autovalori di molteplicita infinita sono contenuti in σess(A).

Il seguente teorema e uno strumento molto utile per capire se un punto λ ∈ σ(A) appartenga a σdisc(A)o a σess(A):

57

Teorema 3.24 (Criterio di Weyl).Sia A un operatore autoaggiunto su H , allora λ ∈ σess(A) se e solo se la successione di Weyl definita nelTeorema 3.15 puo essere scelta in modo che le Ψn siano tutte ortogonali fra di loro.

Osservazione 3.15. In effetti la successione di Weyl dell’enunciato del Teorema 3.24 (detta successionedi Weyl singolare) e sufficiente che converga debolmente a 0, cioe λ ∈ σess(A) se e solo se ∃Ψnn∈N,‖Ψ‖n = 1, limn→∞ ‖(A− λ)Ψn‖ = 0 e Ψn

w−→ 0. In particolare poi la successione puo essere scelta in modotale che Ψn ⊥ Ψm per n 6= m.

Osservazione 3.16.Riprendiamo l’Esempio 3.5 dell’operatore posizione: come abbiamo visto nell’Esempio 3.28, lo spettro diQ e puramente assolutamente continuo e coincide con l’intera retta reale. Di conseguenza si ha ancheσess(Q) = R. Alla medesima conclusione si sarebbe potuti arrivare costruendo una successione di Weylsingolare per Q: per ogni λ ∈ R, un esempio esplicito e dato da Ψnn∈N con

Ψn(x) =√n(n+ 1)1(λ+ 1

n+1,λ+ 1

n ].

Infatti le funzioni Ψn e Ψm sono ortogonali per ogni n 6= m dato che i supporti sono disgiunti. Inoltre‖Ψn‖ = 1 e

‖(Q− λ)Ψn‖2 = n(n+ 1)

∫ λ+ 1n

λ+ 1n+1

dx |x− λ|2 = n(n+ 1)

∫ 1n

1n+1

dx x2 ≤ C

n2−→n→∞

0.

Esercizio 3.33. Costruire esplicitamente una successione di Weyl singolare per l’operatore impulso Pintrodotto nell’Esempio 3.6, che mostri che ogni λ ∈ R appartiene a σess(P ).

3.11 Operatori Compatti

Introduciamo un’ampia classe di operatori, gli operatori compatti, che hanno caratteristiche spettrali uniche:il loro spettro e sempre puramente puntuale e ammettono un sistema ortonormale completo di autovettori.

Definizione 3.38 (Operatore compatto).Un operatore T ∈ B(H ) e compatto se trasforma successioni debolmente convergenti in successioniconvergenti in norma, cioe se Ψn

w−→ Ψ allora TΨn −→ Φ ∈H .

Un esempio tipico di operatori compatti e dato dagli operatori di rango finito: un operatore T ha rangofinito se

ran(T ) = span(Ψ1, . . . ,ΨN ), N <∞, (3.125)

con Ψn un sistema ortonormale completo di H . In altre parole T e compatto se la sua immagine e finitodimensionale. In effetti questo esempio e reso ancora piu significativo dal seguente

Teorema 3.25 (Caratterizzazione degli operatori compatti).Ogni operatore compatto T su H separabile e il limite in norma di una successione di operatori a rangofinito. Inoltre il limite in norma di una successione di operatori compatti e ancora un operatore compatto.

Le proprieta spettali degli operatori compatti sono molto speciali e sono caratterizzate nei prossimi dueTeoremi.

Teorema 3.26 (Teorema di Riesz-Schauder).Sia T un operatore compatto su H , allora σ(T ) e un insieme discreto. Inoltre σ(T ) non ha punti diaccumulazione ad eccezione al piu di 0 e ogni λ 6= 0 in σ(A) e un autovalore con molteplicita finita.

58

Teorema 3.27 (Teorema di Hilbert-Schmidt).Sia A un operatore compatto autoaggiunto su H , allora esiste un sistema ortonormale completo di H diautovettori Ψnn∈N di A e

AΨn = λnΨn, limn→∞

λn = 0. (3.126)

Piu in generale se A e compatto ∃Φn, Ψn s.o.n. (non necessariamente completi) e λn ≥ 0 detti valorisingolari di A tali che

A =∑n∈N

λn |Φn〉〈Ψn| , limn→∞

λn = 0. (3.127)

Prima di passare a studiare due sottoclassi di operatori compatti citiamo un teorema molto utile per studiarelo spettro essenziale degli operatori:

Teorema 3.28 (Teorema di Weyl).Dati A,B operatori autoaggiunti, se ∃z ∈ ρ(A)∩ρ(B) tale che (A−z)−1−(B−z)−1 e un operatore compatto,allora σess(A) = σess(B).

Dimostrazione. Sia λ ∈ σess(A), allora per il criterio di Weyl (Teorema 3.24) esiste una successione di Weylsingolare Ψn tale che

‖(A− λ)Ψn‖ −→n→∞

0, ‖Ψn‖ = 1, Ψnw−→

n→∞0.

Sia ora z ∈ ρ(A) ∩ ρ(B) come da enunciato del teorema:∥∥∥∥[(A− z)−1 − 1

λ− z

]Ψn

∥∥∥∥ =1

|λ− z|∥∥(A− z)−1(A− λ)Ψn

∥∥ −→n→∞

0,

poiche (A − z)−1 e un operatore limitato (e quindi continuo). Vogliamo allora dimostrare che da Φn =(B− z)−1Ψn possiamo estrarre una successione di Weyl singolare per B. Notiamo anzitutto che Φn ∈ D(B)e Φn

w−→ 0: scrivendo

Φn =[(B − z)−1 − (A− z)−1

]Ψn +

[(A− z)−1 − 1

λ− z

]Ψn +

1

λ− zΨn,

abbiamo che il tre termini al membro di destra convergono separatamente a 0 in senso debole. Infatti laconvergenza dell’ultimo e equivalente a quella di Ψn, per il secondo l’abbiamo dimostrato poco sopra e ilprimo converge in realta a 0 in norma grazie all’ipotesi di compattezza e alla Definizione 3.38. In aggiuntausando la precedente decomposizione per Φn e sfruttando che i primi due termini tendono a 0 in normaquando n→∞, si ha anche

limn→∞

‖Φn‖ =1

|λ− z|> 0,

e quindi i la successione e normalizzabile semplicemente definendo Φn = Φn/‖Φn‖.Per dimostrare che Φn e una successione di Weyl singolare per B manca solo di verificare che ‖(B −

λ)Φn‖ → 0, ma

‖(B − λ)Φn‖ = ‖(B − z)Φn + (z − λ)Φn‖ = |z − λ|∥∥∥∥[(B − z)−1 − 1

λ− z

]Ψn

∥∥∥∥≤ |z − λ|

∥∥[(B − z)−1 − (A− z)−1]

Ψn

∥∥+

∥∥∥∥[(A− z)−1 − 1

λ− z

]Ψn

∥∥∥∥ −→n→∞ 0,

per quanto gia discusso.

Due sottoclassi degli operatori compatti sono gli operatori classe traccia e di Hilbert-Schmidt.

59

Definizione 3.39 (Traccia).Per ogni A ≥ 0 in B(H ) definiamo la sua traccia come

Tr(A) :=∑n∈N〈Ψn |AΨn 〉 , (3.128)

dove Ψnn∈N e un s.o.n.c. in H .

Proposizione 3.25 (Proprieta della traccia).La traccia non dipende dal s.o.n.c scelto e soddisfa le seguenti proprieta :

i) Tr(A+B) = Tr(A) + Tr(B);

ii) Tr(λA) = λTr(A), per ogni λ ≥ 0;

iii) Tr(UAU−1) = Tr(A) per ogni unitario U ;

iv) se 0 ≤ A ≤ B allora Tr(A) ≤ Tr(B);

Definizione 3.40 (Operatori classe traccia).Gli operatori classe traccia L 1(H ) sono gli operatori A ∈ B(H ) tali che ‖A‖1 := Tr|A| < +∞.

Teorema 3.29 (Operatori classe traccia e compatti).Un operatore A ∈ B(H ) e classe traccia se e solo se A compatto e i suoi valori singolari λn ∈ `1(N),

i.e.,∑n∈N

λn < +∞.

L’ultima classe di operatori che introduciamo e la naturale generalizzazione di L 1(H ) come L2 lo e di L1:

Definizione 3.41 (Operatori di Hilbert-Schmidt).Gli operatori Hilbert-Schmidt L 2(H ) sono gli operatori T ∈ B(H ) tali che Tr(T ∗T ) < +∞.

Teorema 3.30 (Operatori di Hilbert-Schmidt e compatti).

A e Hilbert-Schmidt se e solo se A compatto e i suoi valori singolari λn ∈ `2(N), i.e.,∑n∈N

λ2n < +∞.

L’importanza degli operatori di Hilbert-Schmidt e che essi ammettono una rappresentazione concreta:

Proposizione 3.26 (Operatori di Hilbert-Schmidt e integrali).K ∈ B(L2(X,dµ)) e Hilbert-Schmidt se e solo se ∃K(x, y) ∈ L2(X,dµ)⊗ L2(X,dµ) tale che

(KΨ) (x) =

∫X

dµ(y)K(x, y)Ψ(y). (3.129)

3.12 Matrice Densita e Stati Misti

Al di la delle proprieta speciali che hanno, gli operatori classe traccia giocano un ruolo importantissimo inMQ, in quanto si identificano con gli stati misti. Tipicamente nella preparazione di un sistema quantistico edifficile riuscire a isolare uno stato puro |Ψ〉 ∈H , mentre piu spesso accade che lo stato prodotto appartengaa un certo insieme ristretto |Ψ1〉 , . . . , |ΨN 〉, con N ∈ N ∪ ∞, in cui ciascuno degli stati compare conuna certa proabilita λn ≥ 0. Ovviamente

∑Nn=1 λn = 1, per normalizzazione della probabilita totale. Vi e

quindi la necessita di definire uno stato (misto) associabile e a questa situazione sperimentale. Dal punto divista matematico tale stato viene identificato con una matrice densita ρ ovvero un operatore classe tracciacosı definito

ρ =N∑n=1

λn |Ψn〉〈Ψn| , (3.130)

60

ovvero la combinazione lineare convessa dei proiettori ortogonali sugli stati Ψn. Poiche per ipotesi

N∑n=1

λn = 1, (3.131)

A ∈ L 1(H ) e anzi Tr(ρ) = 1. Inoltre ρ ha altre due proprieta immediate da verificare

ρ ≥ 0, ρ2 ≤ ρ. (3.132)

Vediamo ora come, data un’osservabile A, si possa associare alla matrice densita ρ, un concetto di valoredi aspettazione, di frequenze di visita, dispersione ecc. Definiamo infatti

〈A〉 := Tr(Aρ), (3.133)

e per analogia con quanto affermato nel Postulato 3, la probabilita di ottenere una misura di A nell’intervallo(a, b) e

PA;ρ(a, b) := Tr (EA(a, b)ρ) , (3.134)

dove EA(a, b) e il proiettore spettrale di A relativo all’intervallo (a, b). Vediamo che le definizioni sonoconsistenti con quanto anticipato sull’interpretazione fisica degli stati misti: usando l’espressione esplicitadi ρ otteniamo

PA;ρ(a, b) =N∑n=1

λn 〈Ψn |EA(a, b)|Ψn 〉 ,

cioe la probabilita di osservare un valore di A nell’intervallo (a, b) e la somma pesata, con pesi λn, delleprobabilita di osservare A in (a, b) negli stati Ψn. Questo coincide con l’interpretazione dello stato mistocome stato “incerto”, nel senso che non si ha una conoscenza esatta di esso ma solo degli stati che possonocomparire e delle relative probabilita. In questo senso gli stati misti in MQ giocano un ruolo analogo aquello degli stati misti (distribuzioni di probabilita) in meccanica classica: in seguito all’impossibilita di unaprecisione arbitraria nella misura o equivalentemente alla presenza di errori sperimentali, non si conosceesattamente lo stato puro in cui si trova il sistema ma tutti gli stati in un determinato insieme possonopresentarsi con diversa probabilita. Anche per il valore di aspettazione di A la definizione e consistenteperche

〈A〉 =N∑n=1

λn 〈Ψn |A|Ψn 〉 ,

che puo ancora una volta essere pensata come la media dei valori di aspettazione di A sugli stati Ψn.

3.13 Teorema di Stone e Dinamica

In questa Sezione discuteremo l’esistenza della dinamica di un sistema quantistico e come essa segua diret-tamente dall’ipotesi di autoaggiunzione dell’hamiltoniana del sistema: come affermato nel Postulato 5 dellaMQ, lo stato di un sistema quantistico al tempo t > 0 e la soluzione dell’equazione di Schrodinger con datoiniziale |Ψt=0〉 = |Ψ0〉, i.e.,

i~∂t |Ψt〉 = H(t) |Ψt〉 .

Considereremo per semplicita il caso di hamiltoniane tempo-indipendenti ma la generalizzazione al casotempo-dipendente e del tutto ovvia (si veda l’Osservazione dopo il Teorema 3.31).

Un caso in cui l’evoluzione temporale e sostanzialmente banale e quello degli autostati di H: se ΦE ∈He tale che

HΦE = EΦE ,

allora l’equazione di Schrodinger (2.3) diventa

i~∂tΨt = EΨt,

61

con dato iniziale Ψ0 = ΦE , la cui soluzione e ovviamente

Ψt = e−iE~ tΦE . (3.135)

In altri termini l’evoluzione temporale e semplicemente data da un fattore di fase tempo-dipendente amoltiplicare lo stato. Pertanto si ha come conseguenza diretta |Ψt〉 = |ΦE〉, cioe il ket e quindi lo statoquantistico e stazionario.

Se l’hamiltoniana avesse un s.o.n.c. di autovettori questo sarebbe sufficiente per definire la dinamicasull’intero spazio di Hilbert via la decomposizione di ogni vettore di H in serie di Fourier. Naturalmentequesto non e sempre vero, ma quand’anche non esistesse un s.o.n.c. di autovettori di H, il problema delladefinizione della dinamica e risolto alla fonte grazie all’applicazione del teorema spettrale, come discusso nelsucessivo Teorema 3.31. Si noti che in tal senso l’ipotesi di autoaggiunzione di H risultera cruciale (si vedail Postulato 5).

Premettiamo una utile definizione:

Definizione 3.42 (Gruppo unitario ad un parametro fortemente continuo).Una famiglia di operatori U(t)t∈R ∈ B(H ) e detta un gruppo unitario ad un parametro fortementecontinuo se

i) U(t) unitario per ogni t ∈ R;

ii) U(t+ s) = U(t)U(s) per ogni t, s ∈ R;

iii) limε→0 ‖U(ε)Ψ−Ψ‖ = 0 per ogni Ψ ∈H .

Osservazione 3.17. La terza proprieta della Definizione 3.42 e equivalente a richiedere che s −limε→0 U(ε) = 1. Inoltre combinando la 2 e 3 si vede immediatamente che la continuita forte in 0 inrealta si estende ad ogni t ∈ R:

s− limε→0

U(t+ ε) = U(t) s− limε→0

U(ε) = U(t).

Esercizio 3.34. Si dimostri che le seguenti famiglie di operatori definiscono due gruppi a un parametrofortemente continui:

1. Uαα∈R in B(L2(R)), (UαΨ) (x) = eiαxΨ(x);

2. Vββ∈R in B(L2(R)), (VβΨ) (x) = Ψ(x− β).

Come agisce la trasformata di Fourier sulle due famiglie, i.e., quanto vale FUαF−1 e FVβF−1?

Possiamo ora enunciare uno dei due risultati principali di questa Sezione:

Teorema 3.31 (Operatori autoaggiunti generano gruppi unitari fortemente continui).Sia A un operatore autoaggiunto su H spazio di Hilbert separabile, allora U(t) = eiAt definisce un gruppounitario a un parametro t ∈ R fortemente continuo e per ogni Ψ ∈ D(A)

limt→0

U(t)Ψ−Ψ

t= iAΨ. (3.136)

Dimostrazione. Il teorema spettrale nella forma del Teorema 3.20 (si veda anche il Corollario 3.2) permettedi definire U(t) = eiAt per ogni t ∈ R. Le altre proprieta del gruppo a un parametro sono conseguenzadiretta dei risultati formulati nel Teorema 3.20 e nel successivo Corollario 3.2. Ad esempio si ottieneimmediatamente che ‖U(t)‖ = supλ∈σ(A) |eiλt| = 1.

Alternativamente si puo usare il teorema spettrale nella forma del Teorema 3.21: in tal caso definiamol’operatore eiAt via gli elementi di matrice⟨

Ψ∣∣eiAtΦ⟩ =

∫σ(A)

dµΨ,Φ;A(λ) eiλt. (3.137)

62

Ancora una volta le altre proprieta sono una conseguenza diretta della definizione. Per esempio la continuitaforte segue per convergenza dominata.

Discutiamo invece piu nel dettaglio la (3.136): ricordando che il dominio di A e caratterizzato (Teorema3.21) come

D(A) =

Ψ ∈H

∣∣∣ ∫σ(A)

dµΨ;A(λ) λ2 < +∞

,

abbiamo che ∥∥∥∥U(t)Ψ−Ψ

t− iAΨ

∥∥∥∥2

=

∫σ(A)

dµΨ;A(λ)

∣∣∣∣eiλt − 1

t− iλ

∣∣∣∣2 .Ora la funzione integranda si puo stimare come∣∣∣∣eiλt − 1

t− iλ

∣∣∣∣2 =

∣∣∣∣∫ λ

0dµ(eiµt − 1

)∣∣∣∣2 ≤ λ ∫ λ

0dµ∣∣eiµt − 1

∣∣2 ≤ 4λ2,

e il risultato segue ancora per convergenza dominata.

E’ importante osservare che il Teorema 3.31 implica unicita ed esistenza della soluzione dell’equazionedi Schrodinger (2.3), che a sua volta genera la dinamica di ogni sistema quantistico. Si noti che da questopunto di vista l’esistenza dell’hamiltoniana e la sua autoaggiunzione sono ipotesi cruciali.

Corollario 3.3 (Dinamica quantistica).Il problema di Cauchy (2.3) con dato iniziale Ψt=0 = Ψ0 ∈H spazio di Hilbert separabile ammette soluzioneΨt ∈H per ogni t ∈ R e tale soluzione e unica.

Dimostrazione. Per ipotesi (Postulato 4) ∃H osservabile e quindi operatore autoaggiunto su D(H) denso inH . Pertanto per il precedente Teorema 3.31

U(t) = e−iH~ t, (3.138)

e un gruppo unitario ad un parametro fortemente continuo. E’ percio facile verificare che U(t)Ψ0 risolvel’equazione di Schrodinger per ogni t ∈ R e, per unitarieta di U(t), ‖U(t)Ψ0‖ = ‖Ψ0‖, per cui U(t)Ψ0 ∈H seΨ0 ∈H . L’unicita in H segue poi dalla bigettivita di U(t) per ogni t ∈ R in quanto operatore unitario.

Osservazione 3.18. Si noti che l’equazione di Schrodinger (2.3) richiede per essere ben posta che Ψt ∈D(H), che, se ad esempio H e illimitato, non coincide con tutto H . Al contrario l’unitario U(t) (3.138) einvece definito su tutto H e quindi permette di implementare l’evoluzione temporale di qualunque stato inH .

Abbiamo quindi visto che un operatore autoaggiunto genera un gruppo unitario, ma il contenuto del prossimoTeorema e che anche l’implicazione opposta e vera, ovvero ogni gruppo unitario fortemente continuo egenerato da un operatore autoaggiunto. Da questo punto di vista si puo meglio apprezzare il Postulato4 della MQ: volendo richiedere la buona positura della dinamica e in particolare la conservazione dellaprobabilita, che appunto equivale all’unitarieta dell’evoluzione temporale, e necessario richiedere che esistaun generatore autoaggiunto.

Teorema 3.32 (Teorema di Stone).Sia U(t) un gruppo unitario a un parametro fortemente continuo su H , allora ∃A autoaggiunto su D(A)denso in H , tale che U(t) = eiAt. Inoltre Ψ ∈ D(A), se e solo se ∃ limt→0(U(t)Ψ − Ψ)/t e, se esiste, taleespressione definisce iAΨ.

Esercizio 3.35. Si trovino i generatori autoaggiunti con relativo dominio di autoaggiunzione dei gruppiunitari introdotti nell’Esercizio 3.34.

Capitolo 4

Particella Libera e Oscillatore Armonico

In questo Capitolo affrontiamo la discussione dei sistemi quantistici piu elementari, la particella libera el’oscillatore armonico, alla luce dei postulati della MQ e dei risultati di teoria degli operatori del Capitolo3. Nonostante si tratti di sistemi molto semplici vedremo che, a differenza del caso classico, la trattazionequantistica non e affatto banale, cosı come alcuni fenomeni fisici che ne sono conseguenza.

4.1 La Particella Libera: Osservabili e Dinamica

Per particella libera intendiamo naturalmente una particella puntiforme, come ad esempio possono essereconsiderati atomi, protoni, elettroni ecc. a velocita lontane da quella della luce, che si muove nello spazio ddimensionale Rd, con d tipicamente 1, 2 o 3.

Come primo elemento della descrizione quantistica del sistema dobbiamo fornire lo spazio degli stati(puri) che si identifica con i raggi unitari nello spazio di Hilbert

H = L2(Rd). (4.1)

In altri termini ogni vettore di norma unitaria in Ψ ∈H , anche detto funzione d’onda, identifica uno statodel sistema e solitamente l’intepretazione fisica che viene associata a tale scelta e che |Ψ(x)|2 rappresenta laprobabilita che la particella sia osservata nel punto x. Vedremo ora come tale interpretazione della funzioned’onda segue banalmente dai Postulati della MQ che abbiamo introdotto nel Capitolo 2. A tale scopodovremo anzitutto identificare le grandezze fisiche osservabili del sistema.

Come nel caso classico e prescindendo da altre carattestiche (carica, spin, ecc.), l’unico parametro fisicodel sistema e la massa m > 0 della particella. Sempre per analogia classica ci aspettiamo di poter osservaree misurare la posizione Q e l’impulso P della particella e, possibilmente, anche le loro funzioni elementari,ad esempio i polinomi. Sia Q che P dovranno essere osservabili vettoriali, cioe Q = (Q1, . . . , Qd) e P =(P1, . . . , Pd), la cui azione su una generica Ψ ∈ C∞0 (Rd) e data da

(QjΨ) (x) := xjΨ(x), (PjΨ) (x) = −i~∂jΨ(x), (4.2)

ovvero Qj e un operatore di moltiplicazione per xj , con naturalmente x = (x1, . . . , xd), mentre Pj e unoperatore differenziale di ordine 1. Abbiamo gia studiato nel dettaglio questi operatori (si vedano gli Esempi3.5, 3.6 e 3.9) e in particolare abbiamo visto che ogni singola componente Qj e Pj , in quanto operatore suL2(R) (si veda la successiva Osservazione 4.1) e autoaggiunta sul dominio

D(Qj) :=

Ψ ∈ L2(R)∣∣QjΨ ∈ L2(R)

, D(Pj) = H1(R). (4.3)

Osservazione 4.1. Nel restringerci allo spazio di Hilbert di una singola componente L2(R) stiamo sfruttandoil fatto che L2(Rd) ' L2(R)⊗ · · ·⊗L2(R) e Qj = 1⊗ · · ·⊗1⊗Qj ⊗1 · · · ⊗1, cioe Qj agisce come l’identitasulle copie di L2(R) diverse dalla j−esima. Quindi in L2(Rd) il dominio di autoaggiunzione di Qj si dovrebbeleggere L2(R)⊗· · ·⊗L2(R)⊗D(Qj)⊗L2(R)⊗· · ·⊗L2(R). Tuttavia le diverse componenti degli operatori Qe P sono indipendenti e commutano fra loro, per cui da qui in poi ci restringeremo a considerare un sistemaunidimensionale, con ovvia generalizzazione dei risultati a Rd.

63

64

Inoltre abbiamo visto che (si veda l’Esempio 3.28)

σ(Q) = σ(P ) = σac(Q) = σac(P ) = R, (4.4)

cioe entrambi gli operatori impulso e posizione hanno sono spettro assolutamente continuo e, in particolare,nessun autovalore.

Per completare la descrizione del sistema resta solo da identificare l’hamiltoniana che, via il Postulato 4,definisce la dinamica. Esattamente come in meccanica classica questa e data da

H0 =P2

2m= − ~2

2m∆. (4.5)

Anche questo operatore e stato parzialmente trattato nel Capitolo 3: grazie ai Teoremi 3.10 e 3.16 e al fattoche (

FH0F−1Ψ)

(k) =~2|k|2

2mΨ(k),

cioe la trasformata di Fourier mappa H in un operatore di moltiplicazione, e immediato verificare cheH0 e autoaggiunta su D(H0) = H2(Rd). Inoltre come nel Corollario 3.2 si puo verificare facilmente cheσ(P 2) = λ2|λ ∈ σ(P ) e quindi

σ(H0) = σac(H0) = R+, (4.6)

dove il fatto che lo spettro sia totalmente assolutamente continuo segue dalla assoluta continuita della misuraspettrale di H0 in trasformata di Fourier (si veda l’Esempio 3.28).

Esercizio 4.1. Si costruisca una successione di Weyl singolare per H per ogni λ ∈ R+.

Benche si tratti di un semplice esercizio e utile costruire esplicitamente la risoluzione spettrale di H:

Proposizione 4.1 (Risoluzione spettrale di H0).Per ogni λ ∈ R+ e Ψ ∈ L2(Rd), l’aspettazione dei proiettori spettrali di H0 e data da

〈Ψ |EH0(λ)|Ψ〉 = 1[0,+∞)(λ) ·

√m

2~2

∫ λ

0dt t−1/2

[∣∣∣∣Ψ(√2mt~2

)∣∣∣∣2 +

∣∣∣∣Ψ(−√2mt~2

)∣∣∣∣2], d = 1;

m~2

∫ λ

0dt

∫ 2π

0dϑ

∣∣∣∣Ψ(−√2mt~2 , ϑ

)∣∣∣∣2 , d = 2;

√2m3/2

~3

∫ λ

0dt√t

∫ π

0dϑ sinϑ

∫ 2π

0dϕ

∣∣∣∣Ψ(−√2mt~2 , ϑ, ϕ

)∣∣∣∣2 , d = 3.

(4.7)

Dimostrazione. Per dimostrare il risultato e sufficiente osservare che FEH0(λ)F−1 e l’operatore dimoltiplicazione per la funzione

1(−∞,λ]

(~2|k|2

2m

).

Per ottenere le espressioni esplicite (4.7) resta solo da fare un banale cambio di variabili, che e lasciato peresercizio.

Esercizio 4.2. Definendo EH0(λ) = F−1E(λ)F con E(λ) operatore di moltiplicazione per la funzione

1(−∞,λ]

(~2|k|2

2m

),

1. verificare che EH0(λ) e una famiglia spettrale;

2. dimostrare che EH0(λ)λ∈R+ identifica la risoluzione spettrale di H0;

3. trovare l’espressione esplicita di (EH0(λ)Ψ) (x).

La trasformata di Fourier e l’ingrediente principale della dimostrazione di un altro risultato, che riguarda ilrisolvente di H0 e l’espressione esplicita del kernel relativo, anche detta funzione di Green di H0.

65

Proposizione 4.2 (Risolvente di H0).Sia z ∈ C \ R+, allora (H0 − z)−1 e un operatore integrale limitato con dominio L2(Rd) e kernel(H0 − z)−1 (x; x′) = Gz(x− x′), con (scegliendo la determinazione di

√z tale che =(

√z) ≥ 0)

Gz(x) :=

i√

m2~2z

expi√

2mz~2 |x|

, d = 1;

m2π~2 |x|−1 exp

i√

2mz~2 |x|

, d = 3.

(4.8)

Osservazione 4.2. In d = 1 la funzione di Green non e singolare all’origine anche se non differenziabile. Ind = 3 ha una singolarita a x = 0 propozionale a |x|−1. Piu in generale si puo dimostrare che in dimensioned ≥ 3 la singolarita e |x|d−2.

Osservazione 4.3. Il caso bidimensionale e speciale: in effetti non abbiamo dato l’espressione esplicita diGz(x) in d = 2 in quanto coinvolge la fuzione speciale di Hankel e non e particolarmente istruttiva. Tuttaviae importante sottolineare che la singolarita all’origine e in questo caso logaritmica ovvero Gz(x) ∼ log |x|quando x→ 0.

Osservazione 4.4. Sfruttando il fatto che σ(H0) = R+ si puo considerare Gz per z = −λ con λ > 0. Inquesto caso l’espressione (4.8) diventa:

G−λ(x) :=

√

m2~2λ

exp

−√

2mλ~2 |x|

, d = 1;

m2π~2 |x|−1 exp

−√

2mλ~2 |x|

, d = 3.

Dimostrazione. Applicando la trasformata di Fourier si trova immediatamente che

Gz(x) =1

(2π)d

∫Rd

dk eik·x1

~2k2

2m − z. (4.9)

In d = 1, per calcolare l’integrale resta solo da applicare il Lemma di Jordan: estendendo l’integrale ad unasemicirconferenza di raggio R nel semipiano superiore per x > 0 e in quello inferiore per x < 0 e osservandoche l’integrale sulla semicirconferenza tende a 0 quando R→∞ grazie al decadimento ∝ k−2 dell’integrando,resta solo da calcolare il contributo dei residui nel semipiano superiore o inferiore. Ma l’integranda ha solodue poli di ordine 1 rispettivamente in ±

√2mz/~ e da un rapido calcolo si ricava il risultato: ad esempio se

x > 0 il residuo che si ottiene e

Res(k =

√2mz~

)=

2√

2mπi

2~π(~2k2

2m +√z)eikx

∣∣∣∣∣∣k=√

2mz~

= i

√m

2~2zei√

2mz~2 x

.

In d = 3 il calcolo e sostanzialmente analogo: per x 6= 0 abbiamo

1

4π2

∫ ∞0

dk k2

∫ 1

−1dt eikxt

1~2k2

2m − z= − i

4π2x

∫ ∞0

dkk(eikx − e−ikx

)~2k2

2m − z= − 1

4π2x

d

dx

∫ ∞−∞

dkeikx

~2k2

2m − z

= − i

2πx

√m

2~2z

d

dxexp

i√

2mz~2 x

=

m

2π~2xexp

i√

2mz~2 x

.

Concludiamo questa Sezione con qualche commento sulla dinamica. L’evoluzione temporale e ovvia-

mente implementata dall’operatore unitario U(t) = e−iH~ t, la cui esistenza segue dall’autoaggiunzione di H.

Sfruttando poi la risoluzione spettrale o, equivalentemente, usando la trasformata di Fourier, e poi facilericavare la forma esplicita dell’operatore:

(U0(t)Ψ) (x) =(e−i

H~ tΨ

)(x) =

1

(2π)d/2

∫Rd

dk eik·xe−i~k2

2mtΨ(k). (4.10)

66

4.2 Evoluzione Libera di Pacchetti d’Onda: Dispersione e Interferenza

Un pacchetto d’onda e una funzione d’onda concentrata, ovvero il cui supporto e sostanzialmente confinatoin un compatto. Questo e ovviamente vero se Ψ ha supporto compatto ma anche, piu in generale, se Ψdecade esponenzialmente per grandi x. Come vedremo l’evoluzione temporale di tali stati e particolarmentesignificative in MQ: poiche per un pacchetto d’onda la possibilita di osservare la particella e confinataad un compatto, e naturale pensare ai pacchetti d’onda come stati quasi classici. In effetti vedremo chel’evoluzione temporale di un pacchetto d’onda sovrappone caratteristiche classiche – il centro del pacchettosi muove come una particella classica, ovvero di moto rettilineo uniforme – con aspetti puramente quantistici– l’evoluzione temporale del pacchetto si accompagna con un fenomeno di dispersione.

Concluderemo la Sezione con lo studio del fenomeno di intereferenza che si produce osservando il motodi due pacchetti d’onda unidimensionali con velocita opposte e discuteremo come tale fenomeno e unaconseguenza diretta del principio di sovrapposizione.

Per semplicita di calcolo restringiamoci anzitutto al caso unidimensionale e consideriamo un dato inizialedella forma

Ψ0(x) = 1√εf(x−x0ε

)eip0~ x, (4.11)

dove x0, p0 ∈ R sono dei parametri e f ∈ S e una funzione reale, pari e normalizzata, cioe f(−x) = f(x)e ‖f‖2 = 1. Supporremo naturalmente che ε 1 e x0, p0 non dipendano da ε. Inoltre per semplicita dinotazione indicheremo per ogni osservabile A

〈A〉0 := 〈Ψ0 |A|Ψ0 〉 , 〈A〉t := 〈Ψt |A|Ψt 〉 ,⟨∆A2

⟩0

=⟨A2⟩

0− 〈A〉20 ,

⟨∆A2

⟩t

=⟨A2⟩t− 〈A〉2t ,

con Ψt = U0(t)Ψ0.

Proposizione 4.3 (Valori di aspettazione a t = 0).Per ogni x0, p0 ∈ R e ε 1 si ha

〈Q〉0 = x0,⟨∆Q2

⟩0

= O(ε2),

〈P 〉0 = p0,⟨∆P 2

⟩0

= O(~2

ε2

). (4.12)

Dimostrazione. Calcoliamo

〈Q〉0 =1

ε

∫R

dx xf2(x−x0ε

)= x0 + ε

∫R

dx xf2(x) = x0,

poiche per ipotesi f e pari. Similmente

〈P 〉0 =p0

ε

∫R

dx f2(x−x0ε

)− i~

2ε

∫R

dx ∂x[f2(x−x0ε

)]= p0.

Quindi⟨∆Q2

⟩0

=⟨Q2⟩

0− x2

0 e

⟨Q2⟩

0=

1

ε

∫R

dx x2f2(x−x0ε

)= x2

0 + ε2

∫R

dx x2f2(x) = x20 +O(ε2),

dato che xkf ∈ L2(R) per ogni k ∈ N. Allo stesso modo

⟨P 2⟩

0=p2

0

ε

∫R

dx f2(x−x0ε

)+

~2

ε

∫R

dx∂x[f(x−x0ε

)]2= p2

0 +~2

ε2

∫R

dx(f ′(x)

)2= p2

0 +O(~2

ε2

).

Nel caso di un pacchetto d’onda l’evoluzione temporale assume una forma piu semplice che per una genericafunzione d’onda:

67

Proposizione 4.4 (Evoluzione temporale di un pacchetto d’onda).Sia Ψt = U0(t)Ψ0 con U0(t) come in (4.10) e Ψ0 in (4.11), allora

(U0(t)Ψ0) (x) =1√2πε

eip0~ xe−i

p20

2m~ t(e−i

H0t~ε f

) (ε−1

(x− p0

m t− x0

)). (4.13)

Dimostrazione. E’ sufficiente applicare la definizione (4.10): calcoliamo anzitutto

Ψ0(k) =1√2πε

∫R

dx e−ikx+ip0~ xf

(x−x0ε

)=

√ε√

2πexp

−i(k − p0

~)x0

∫Re−iεkx+iε

p0~ xf (x)

=√ε exp

−i(k − p0

~)x0

f(ε(k − p0

~)), (4.14)

e quindi

(U0(t)Ψ0) (x) =1√2π

∫R

dk eikxe−i~k2

2mtΨ0(k) =

√ε√

2πeip0~ x0

∫R

dk eik(x−x0)e−i~k2

2mtf(ε(k − p0

~))

=1√2πε

eip0~ x0

∫R

dk expi(kε + p0

~)

(x− x0)

exp−i ~

2mε2

(k2 + 2εp0k

~ +ε2p2

0~2

)tf (k)

=1√2πε

eip0~ xe−i

p20

2m~ t∫R

dk expikε(x− x0 − p0

m t)e−i

~k2t2mε2 f (k) =

1√2πε

eip0~ xe−i

p20

2m~ t(e−i

H0t~ε f

) (ε−1

(x− x0 − p0

m t)).

Proposizione 4.5 (Valori di aspettazione a t > 0).Per ogni x0, p0 ∈ R e ε 1 si ha

〈Q〉t = x0 + p0

m t,⟨∆Q2

⟩t

=t2

m2

⟨∆P 2

⟩0

+⟨∆Q2

⟩0

+t

m(〈QP + PQ〉0 − 2p0x0) ,

〈P 〉t = p0,⟨∆P 2

⟩t

= O(~2

ε2

). (4.15)

Osservazione 4.5. E’ importante osservare che i valori medi delle osservabili P e Q si evolvono esattamentecome le corrispondenti osservabili classiche ovvero di moto rettilineo uniforme. Questo risultato che vediamoqui ricavato per la particella libera e in realta un caso particolare del teorema di Erhenfest, che dice appuntoche i valori medi 〈P 〉t e 〈Q〉t sotto l’evoluzione temporale generata dall’hamiltoniana −∆ +V (x) soddisfanoequazioni del moto di tipo classico. Esplicitamente1

〈P 〉t = m∂t 〈Q〉t , m∂2t 〈Q〉t = −

⟨V ′⟩t, (4.16)

con condizioni iniziali 〈Q〉t=0 = 〈Q〉0 e 〈P 〉t=0 = 〈P 〉0.

Osservazione 4.6. Un effetto molto importante dell’evoluzione temporale libera in MQ e la dispersione,ovvero l’incremento nel tempo della incertezza nella misura della posizione della particella: la seconda delleequazioni in (4.15) implica che, almeno per t abbastanza grande la dispersione in Q cresce nel tempo. Quindila distribuzione di probabilita di trovare la particella in x ha un valor medio che si muove di moto classicoma tende a spiattellarsi quando il tempo cresce. Naturalmente la norma L2 e conservata ma il massimodel modulo della funzione d’onda decresce con t (si veda il prossimo Esempio 1). Questo aspetto differenziadrasticamente la dinamica classica da quella quantistica: in questo secondo caso anche prendendo un datoiniziale ragionevolmente concentrato in x, ovvero uno stato quasi classico, dopo poco tempo tale carattesticaviene a mancare a seguito della dispersione indotta dall’evoluzione temporale quantistica. Quindi il concettodi traiettoria perde totalmente di senso in MQ.

1Stiamo ovviamente assumendo che almeno V ∈ C1(R) e −〈V ′〉t sia lipschitziana, per assicuare l’esistenza della soluzionedelle equazioni classiche del moto.

68

Dimostrazione. Per calcolare i valori di aspettazione conviene usare la trasformata di Fourier e in particolarela (4.14):

〈Q〉t = ε

∫R

dk expi(k − p0

~)x0 + i~k

2

2m tf(ε(k − p0

~))i∂k

[exp

−i(k − p0

~)x0 − i~k

2

2m tf(ε(k − p0

~))]

= ε

∫R

dk(x0 + ~kt

m

) ∣∣∣f (ε (k − p0

~))∣∣∣2 + iε2

∫R

dk f(ε(k − p0

~))f ′(ε(k − p0

~))

=

∫R

dk(x0 + p0t

m + ~ktm

) ∣∣∣f (k)∣∣∣2 = x0 + p0

m t,

dove abbiamo usato che f(k) = f(−k) = f∗(k) grazie alla parita di f e al fatto che f e reale. Perl’aspettazioni di P si ha

〈P 〉t = ε

∫R

dk ~k∣∣∣f (ε (k − p0

~))∣∣∣2 =

∫R

dk(p0 + ~k

ε

) ∣∣∣f(k)∣∣∣2 = p0,

sempre per la parita di f(k). Inoltre⟨P 2⟩t

= ε

∫R

dk ~2k2∣∣∣f (ε (k − p0

~))∣∣∣2 =

∫R

dk(p0 + ~k

ε

)2 ∣∣∣f(k)∣∣∣2 = p2

0 +O(~2

ε2

),

⟨Q2⟩t

= ε

∫R

dk∣∣∣∂k [exp

−i(k − p0

~)x0 − i~k

2

2m tf(ε(k − p0

~))]∣∣∣2

= ε

∫R

dk(x0 + ~kt

m

)2 ∣∣∣f (ε (k − p0

~))∣∣∣2 − 2ε=

∫R

dk(x0 + ~kt

m

)f∗(ε(k − p0

~))f ′(ε(k − p0

~))

+ ε3

∫R

dk∣∣∣f ′ (ε (k − p0

~))∣∣∣2

=

∫R

dk(x0 + ~kt

εm + p0tm

)2 ∣∣∣f (k)∣∣∣2 − 2ε=

∫R

dk(x0 + ~kt

εm + p0

~)f∗ (k) f ′ (k) + ε2

∫R

dk∣∣∣f ′ (k)

∣∣∣2=(x0 + p0

m t)2

+ t2

m2

⟨∆P 2

⟩0− p2

0t2

m2 + tm (〈Pf |Qf 〉+ 〈Qf |Pf 〉) + ε2 ‖Qf‖22

= x20 +

p20t

2

m2 + t2

m2

⟨∆P 2

⟩0

+⟨∆Q2

⟩0

+ tm (〈Pf |Qf 〉+ 〈Qf |Pf 〉) .

Vediamo ora un caso esplicito e significativo di pacchetto d’onda:

Esempio 4.1 (Pacchetto d’onda gaussiano)Se scegliamo una f esplicita in (4.11) della forma

f(x) = 1π1/4 e

− 12x2, (4.17)

e possibile anzitutto calcolare esplcitimente l’evoluzione temporale di Ψ0:

Ψt(x) =1

π1/4√

1 + i~tmε2

1√ε

exp−i p2

02m~ t+ ip0

~ x

exp

−(x− p0

m t− x0

)22ε2(1 + i~t

mε2

) . (4.18)

Infatti, usando la (4.10) e la (4.14), abbiamo

Ψt(x) =√

ε2πe

ip0~ x0

∫R


2mtf(ε(k − p0

~)),

e sostituendo la trasformata della gaussiana (si veda il prossimo Esercizio 4.3),

f(k) = 1π1/4 e

− 12k2

= f(k),

69

otteniamo

Ψt(x) =√

ε2π

1π1/4 e

ip0~ x0

∫R


2mte− 1

2ε2(k− p0

~)2

= 1√2πε

1π1/4 e

ip0~ x0−

ε2p202~2

∫R

dk exp−1

2

(1 + i ~t

mε2

)k2 +

(ix−x0

ε + εp0

~)k

=1√ε

1

π1/4√

1+ i~tmε2

exp

−(x−x0ε − iεp0

~

)2

2(

1+ i~tmε2

) ,

dove abbiamo ancora una volta applicato il risultato dell’Esercizio 4.3. Resta poi un semplice calcolo perottenere l’espressione (4.18).

Dall’espressione (4.18) ricaviamo facilmente

‖Ψt‖L∞(R) =1

π1/4√∣∣1 + i~t

mε2

∣∣ 1√ε

= O(t−1/2), (4.19)

cioe il sup della funzione d’onda decade come t−1/2 a grandi tempi. Questo tipo di decadimento non siosserva esclusivamente per i pacchetti gaussiani ma, al contrario, e un fatto generale (stime dispersive)dovuto alle proprieta dell’evoluzione temporale libera quantistica.

Esercizio 4.3. Sia a ∈ C con 0 < ϕ = arg(a) < π2 oppure a > 0 e b ∈ R qualunque. Allora si dimostri che∫

Rdx e−ax

2eibx =

√π|a|e− 1

2iϕe−

b2

4a . (4.20)

(Suggerimento: si chiami I(b) la quantita al membro di sinistra dell’identita (4.20) e poi si scriva I ′(b) comefunzione di I(b), si risolva l’equazione differenziale e si calcoli I(0) integrando su un settore circolare delpiano complesso, con un lato sull’asse reale e angolo al centro ϕ/2.)

Abbiamo dunque visto come in ambito quantistico, anche per il sistema piu elementare – la particella libera– il concetto di traiettoria perda senso. La probabilita e percio un elemento ineliminabile dalla descrizionequantistica e quand’anche si trovino dati iniziale di carattere quasi classico (i pacchetti d’onda), per cui laprobabilita di osservare la particella e sostanzialmente confinata in una regione finita, l’evoluzione temporaletende a distruggere tale localizzazione.

Un altro aspetto della MQ che non ha analogo classico e l’interferenza che si puo osservare anche nelladinamica di un semplice sistema come la particella libera. Tale fenomeno e una diretta manifestazione delprincipio di sovrapposizione ovvero della linearita dello spazio degli stati quantistici: se ad esempio Ψ1(x)e Ψ2(x) sono due stati (normalizzati), anche Ψ1 + Ψ2, se opportunamente normalizzato e assumendo chenon sia nullo, e uno stato ammissibile per il sistema quantistico. Il punto cruciale e che mentre lo stato e lacombinazione lineare dei due, la distribuzione di probabilita della particella e come sappiamo

|Ψ(x)|2 = c2(|Ψ1(x)|2 + |Ψ2(x)|2 + 2< 〈Ψ1 |Ψ2 〉

), (4.21)

dove l’ultimo termine e proprio quello responsabile dell’interferenza. La costante c serve invece a imporre lanormalizzazione ‖Ψ‖ = 1. Supponiamo ora che Ψ1 ⊥ Ψ2 perche ad esempio le due funzioni hanno supportodisgiunto. Allora c = 1√

2e

|Ψ(x)|2 = 12

(|Ψ1(x)|2 + |Ψ2(x)|2

),

cioe la particella ha il 50% di probabilita di essere osservata nella regione dove ha supporto Ψ1 e probabilitaidentica di essere misurata nel supporto di Ψ2.

70

Quando pero facciamo evolvere il sistema, a causa della dispersione prodotta dall’evoluzione tempo-rale quantistica, i supporti delle due funzioni Ψ1 e Ψ2 tendono a espandersi e, se aspettiamo un temposufficientemente lungo, capitera che

supp (U0(t)Ψ1) ∩ supp (U0(t)Ψ2) 6= ∅.

Ma allora al tempo t > 0 il terzo termine della (4.21) puo non essere nullo e influenzare in modo drastico ladistribuzione di probabilita della particella. Non solo ma proprio come due onde classiche, le due funzionid’onda U0(t)Ψ1 e U0(t)Ψ2 possono interferire tra di loro e dar vita a fenomeni di interferenza costruttiva edistruttiva (frange di interferenza). Nel seguito vedremo come questo fenomeno sia osservabile esplicitamentenel caso dell’evoluzione temporale di due pacchetti d’onda gaussiani.

Consideriamo quindi un dato iniziale della forma

Ψ0(x) = cε√2

(Ψ+(x) + Ψ−(x)) , (4.22)

conΨ±(x) = 1√

εf(x∓x0ε

)ei±p0~ x, f(x) = 1

π1/4 e− 1

2x2, (4.23)

e cε > 0 una costante di normalizzazione. Lo stato iniziale e percio formato da due pacchetti d’onda centratiattorno a x0 e −x0 che hanno velocita iniziale opposta. I due pacchetti si muovono quindi uno incontroall’altro e dopo un certo tempo che andremo a calcolare ci aspettiamo che si sovrappongano.

Prima di proseguire nell’analisi facciamo alcune ipotesi che semplificano i calcoli: assumiamo che

ε

x0 ~

εp0 1, (4.24)

che sono in particolare soddisfatte se x0, p0 > 0 non dipendono da ε e ε2 ~ (naturalmente consideriamoche ~ 1). Per prima cosa andiamo a stimare la costante di normalizzazione: essendo Ψ± normalizzateabbiamo∣∣∣‖Ψ0‖22 − c

2ε

∣∣∣ = c2ε |< 〈Ψ+ |Ψ− 〉| =

∣∣∣∣c2ε

ε

∫R

dx cos(p0

~ x)f(x+x0ε

)f(x−x0ε

)∣∣∣∣ ≤ c2ε√πe−

2x20

ε2

∫R

dx e−x2

= c2εe− 2x2

0ε2 ,

da cui seguecε = 1 +O ((ε/x0)∞) , (4.25)

dove abbiamo indicato con O(η∞) una quantita piu piccola di ogni potenza di η quando η → 0. In effettisaremmo potuti arrivare alla stessa conclusione, cioe che Ψ+ e Ψ− sono con buona approssimazioni ortogonali,osservando che la condizione (4.24) implica che i supporti sono sostanzialmente disgiunti. Piu precisamentele uniche sovrapposizioni si verificano dove almeno una delle due funzioni e esponenzialmente piccola inε/x0.

L’evoluzione temporale di Ψ0 fa si che, per linearita , i centri dei due pacchetti si muovano di motorettilineo uniforme con velocita opposte uguali a p0/m. Pertanto al tempo

T =mx0

p0, (4.26)

i centri dei pacchetti sono esattamente sovrapposti a x = 0 e dobbiamo aspettarci la massima sovrapposizionedei supporti. Definiamo inoltre per convenienza

α =~x0

ε2p0 1, (4.27)

come segue banalmente da (4.24). Notiamo inoltre che la seconda condizione in (4.24) garantisce che ipacchetti Ψ+ e Ψ− sono concentrati anche nell’impulso, compatibilmente con il principio di indeterminazione(3.57), sono cioe stati che saturano la disuguaglianza ∆P∆Q ≥ 1

2~. Inoltre, in particolare, conservano lanatura di pacchetti d’onda concentrati anche durante l’evoluzione temporale, benche come abbiamo visto

71

in precedenza, la dispersione in Q aumenti nel tempo. Si puo tuttavia facilmente vedere dalla seconda delle(4.15) che la dispersione al tempo T in Q soddisfa⟨

∆Q2⟩T x0,

cioe i pacchetti sono ancora concentrati nella posizione rispetto alla distanza iniziale.Se ora prendessimo seriamente l’analogia fra la MQ e una teoria probabilistica classica dovremmo aspet-

tarci che al tempo T la distribuzione di probabilita sia la somma delle distribuzioni di probabilita dei duepacchetti d’onda e in quanto tale sia sostanzialmente coincidente con quella di un singolo pacchetto d’ondacentrato in x = 0 con una dispersione

⟨∆Q2

⟩t

maggiore di quella iniziale. In realta questo e in generalemolto lontano dalla realta : l’evoluzione temporale in MQ non agisce direttamente sulla distribuzione diprobabilita , ma modifica la funzione d’onda. Questo fa sı che il terzo addendo nella (4.21) possa esseremodificato in modo drammatico dalla dinamica.

Proposizione 4.6 (Interferenza di pacchetti d’onda).Sia Ψ0 il dato iniziale (4.22) e assumiamo che valgano le (4.24), allora

|ΨT (x)|2 =2

√πε√

1 + α2e− x2

ε2(1+α2) cos2(p0

~ x)

(1 + o(1)) , (4.28)

uniformemente in x ∈ R.

Osservazione 4.7. L’esponenziale al membro di destra della (4.28) suggerisce che la probabilita sia distribui-ta come nei pacchetti d’onda Ψ±. Tuttavia l’ultimo fattore mostra come questo esponenziale in realta modulidelle oscillazioni dovute al cos2 di frequenza molto elevata (ricordiamo che abbiamo ipotizzato ~/p0 1).All’interno della regione dove la proabilita di osservare la particella e sensibilmente diversa da 0, ovveroad esempio per |x| ≤ cεα, si presentano cioe delle oscillazioni fra un valore massimo, quando x = nπ~

p0,

n ∈ N, e 0, quando x = (2n+1)π~2p0

. Naturalmente non esiste nessuna possibile spiegazione classica di questofenomeno che puo essere osservato in laboratorio e, anzi, questo esempio suggerisce che la MQ non si possareinterpretare semplicemente come una teoria probabilistica classica.

Osservazione 4.8. Sottolineiamo che la (4.28) e in realta una stima e non un’identita. In questo sensol’affermazione sull’uniformita per x ∈ R va intesa nel senso che l’errore o(1) e una quantita il cui suprispetto a x ∈ R e controllato in modulo da una funzione di ε che tende a 0 quando ε→ 0.

Dimostrazione. La dimostrazione combina la linearita dell’evoluzione temporale U0(t) con la (4.18). L’erroree dovuto alla sostituzione di c2

ε con 1 e, come mostra la stima (4.25), e esponenzialmente piccolo in ε/x0.

4.3 L’Oscillatore Armonico

Un altro sistema elementare che e tuttavia alla base della modellizzazione di molti fenomeni fisici quantisticie l’oscillatore armonico. Come in meccanica classica l’hamiltoniana e data da

Hosc =|P|2

2m+

1

2mω2|Q|2, (4.29)

su L2(Rd). Naturalmente data l’azione delle osservabili P e Q, l’operatore Hosc agira su una genericafunzione d’onda Ψ ∈ S(Rd) come(

HoscΨ)

(x) = − ~2

2m∆Ψ(x) +

1

2mω2 |x|2 Ψ(x). (4.30)

Nel seguito per semplificare l’analisi considereremo il caso unidimensionale d = 1, commentando poi allafine di questa Sezione sull’estensione a d > 1.

72

Sia dunque Hosc definita come in (4.29) su S(R). L’operatore e ovviamente illimitato e simmetrico. Inparticolare non e chiuso. Mostreremo pero che e essenzialmente autoaggiunto esibendo esplicitamente unabase di autofunzioni. Tale base definira automaticamente un unitario da L2(R) in `2(N) che ci permetteradi trovare il dominio di autoaggiunzione di Hosc studiando l’operatore associato su `2(N), come abbiamo giafatto nell’Esempio 3.23 (si veda anche l’Osservazione 3.3.13).

Prima pero di procedere con lo studio dell’operatore conviene cambiare unita e studiare un operatoreadimensionale:

Proposizione 4.7 (Oscillatore armonico adimensionale).Sia Hosc l’operatore definito nella (4.29) con d = 1, allora ∃U : L2(R)→ L2(R) unitario tale che

UHoscU−1 =: ~ωHosc, (HoscΨ) (y) = −1

2∆Ψ(y) + 12y

2Ψ(y). (4.31)

Dimostrazione. Riscaliamo le lunghezze ponendo

y = λx (4.32)

con λ ∈ R+ da scegliere in seguito. Se indichiamo con Uλ : L2(R) → L2(R), l’operatore unitario cheimplementa il cambio di coordinate, cioe

(UΨ) (y) = 1√λ

Ψ(λ−1y). (4.33)

allora abbiamo

− ~2

2m∆Ψ(x) +

1

2mω2x2Ψ(x) = −~2λ2

2m∆yΨ(λ−1y) +

1

2λ2mω2y2Ψ(λ−1y)

=√λ

[−~2λ2

2m∆y (UλΨ) (y) +

1

2λ2mω2y2 (UλΨ) (y)

].

A questo punto scegliamo

λ =

√mω

~,

in modo che i due coefficienti dei due addendi siano uguali e il risultato segue banalmente con U = Uλ,l’unitario associato al λ della formula precedente.

Grazie alla Proposizione precedente possiamo restringerci a considerare l’hamiltoniana Hosc definita nella(4.31), visto il caso generale (4.29) si puo riottenere con un cambio di variabili implementato da un operatoreunitario.

Per studiare lo spettro di Hosc conviene introdurre gli operatori di creazione e distruzione

a := 1√2

(Q+ iP

), a† := 1√

2

(Q− iP

), (4.34)

con dominio D(a) = D(a†) = C∞0 (R) e(QΨ)

(y) = yΨ(y),(PΨ)

(y) = −i∂yΨ(y).

Proposizione 4.8 (Operatori di creazione e distruzione).Siano a, a† definiti come nella (4.34) con dominio S(R), allora e, per ogni Φ,Ψ ∈ S(R),

〈Φ |aΨ〉 = 〈a†Φ|Ψ〉,[a, a†]Ψ = Ψ,

[Hosc, a]Ψ = −aΨ,

[Hosc, a†]Ψ = a†Ψ,

HoscΨ =(a†a+ 1

2

)Ψ =

(aa† − 1

2

)Ψ. (4.35)

73

Dimostrazione. Tutte le identita tranne la prima, che segue dall’essenziale autoaggiunzione di P e Q suS(R), sono conseguenza diretta della regola di commutazione fra P e Q, cioe per ogni Ψ ∈ S(R),([

P , Q]

Ψ)

(y) = −i∂y(yΨ(y)) + iy∂yΨ(y) = −iΨ(y).

L’utilita degli operatori di creazione e distruzione sta in particolare nelle ultime tre relazioni in (4.35):

Proposizione 4.9 (Proprieta degli autovalori di Hosc).Se λ ∈ R e un autovalore di Hosc e Ψλ ∈ S(R) il relativo autovettore, allora

i) λ ≥ 12 ;

ii) a†Ψλ e ancora autovettore (di norma λ+ 12) di Hosc all’autovalore λ+ 1;

iii) se λ ≥ 32 , aΨλ e ancora autovettore (di norma λ− 1

2) di Hosc all’autovalore λ− 1.

Dimostrazione. Le ultime tre identita in (4.35) sono sufficienti per ottenere l’enunciato: dall’ultimaotteniamo

λ = 〈Ψλ |Hosc|Ψλ 〉 =⟨

Ψλ

∣∣∣a†a+ 12

∣∣∣Ψλ

⟩= 〈aΨλ |aΨλ 〉+ 1

2 = ‖aΨλ‖22 + 12 ≥

12 .

Mentre dalla terz’ultima e penultima identita

Hosca†Ψλ = λa†Ψλ + [Hosc, a

†]Ψλ = (λ+ 1)Ψλ;

e, se λ ≥ 32 ,

HoscaΨλ = λaΨλ + [Hosc, a†]Ψλ = (λ− 1)Ψλ.

Si noti che la condizione λ ≥ 32 e in realta conseguenza della richiesta che il nuovo autostato abbia norma

non nulla: nel primo caso

‖a†Ψλ‖22 =⟨

Ψλ

∣∣∣aa†∣∣∣Ψλ

⟩=⟨

Ψλ

∣∣Hosc + 12

∣∣Ψλ

⟩= λ+ 1

2 > 0;

mentre nel secondo‖aΨλ‖22 =

⟨Ψλ

∣∣∣a†a∣∣∣Ψλ

⟩=⟨

Ψλ

∣∣Hosc − 12

∣∣Ψλ

⟩= λ− 1

2 ,

che e positivo se e solo se λ > 12 , ovvero λ ≥ 3

2 , per quanto dimostrato riguardo a a†.

Osservazione 4.9. Si noti che il fatto che Ψλ stia in S e in realta un ipotesi cruciale del risultato perche al-trimenti non potremmo sfruttare le relazioni (4.35). Per poter quindi applicare la Proposizione 4.9 dovremmoassicurarci che Ψλ ∈ S(R).

La precedente Proposizione e sufficiente per trovare tutti gli autovalori di Hosc:

Teorema 4.1 (Autovalori di Hosc).Si ha

σpp(Hosc) =n+ 1

2 , n ∈ N ∪ 0, (4.36)

con autofunzioni normalizzate

Ψn(y) =1

π1/4√

2nn!Hn(y)e−

y2

2 , (4.37)

dove Hn e l’n−esimo polinomio di Hermite.

74

Dimostrazione. Per prima cosa osserviamo che e−y2

2 e autofunzione di Hosc all’autovalore 12 . Inoltre essa

sta in S(R) e quindi possiamo applicare la Proposizione 4.9 che implica automaticamente l’esistenza degliautovalori n+ 1

2 . Per identificare le autofunzioni e poi sufficiente applicare a† ripetutamente (rinormalizzandoa ogni passo) e usare la definizione di polinomio di Hermite. Notiamo anzitutto che

Ψn(y) =1

π1/4√

2nn!(y − ∂y)n e−

y2

2 ,

cosı che, per la definizione di polinomio di Hermite,

Hn(y) := (−1)ney2

2dn

dxne−

y2

2 ,

rimane solo da dimostrare che

(−∂y + y)n e−y2

2 = (−1)ney2

2dn

dxne−

y2

2 .

Dimostriamo l’asserto per induzione su n ∈ N. Per n = 0 e ovviamente vero. Supponiamo che sia vero pern ∈ N, allora dimostriamo che vale per n+ 1:

(−∂y + y)n+1 e−y2

2 = (−1)n (−∂y + y)

[ey2

2dn

dxne−

y2

2

]= (−1)n+1e

y2

2dn+1

dxn+1e−

y2

2 .

Per concludere che quelli trovati sono tutti e soli gli autovalori, si osserva che se esistesse un autovaloreλ 6= n+1

2 potremmo ripetutamente applicare a al relativo autovettore ottenendo un autovettore all’autovalore12 < λ′ < 3

2 . Si potrebbe allora applicare l’ultimo punto della Proposizione 4.9, ottenendo un autovalorestrettamente minore di 1

2 , il che contraddice il primo punto della medesima Proposizione.L’argomento precedente contiene in realta una piccola imprecisione: per poter applicare la Proposizione

4.9 dobbiamo assumere che l’autofunzione relativa all’autovalore λ sia in effetti in S(R). L’argomento quindiescluderebbe solo altri autovalori con autofunzioni in S(R). Tuttavia e facile osservare che il risultato dellaProposizione 4.9 si estende banalmente a tutte le funzioni Ψλ tali che PΨλ e QΨλ siano entrambe in L2(R),perche tali funzioni appartengono certamente al dominio di a e a†. Ma, d’altra parte, qualunque autofunzionedi Hosc deve essere tale che ∫

Rdy

12 |Ψ

′λ|

2 + 12y

2 |Ψλ|2

= λ < +∞,

e quindi la Proposizione 4.9 si puo applicare.

Osservazione 4.10. Un’importante conseguenza della Proposizione 4.1 o, piu precisamente, della sua di-mostrazione e che gli autovalori di Hosc sono anche non degeneri. Vi sono vari modi per vederlo, mail piu semplice e invocare l’unicita di Ψ0 o, in altri termini, della soluzione dell’equazione differenziale−1

2Ψ′′ + 12y

2Ψ = 12Ψ, e quindi sfruttare le proprieta di a†.

Per completare l’analisi spettrale di Hosc resta da dimostrare che tutto lo spettro di Hosc e completamentediscreto. Solitamente questo viene dimostrato sfruttando la completezza delle autofunzioni (4.37), mentrequi presentiamo una dimostrazione alternativa che sfrutta le proprieta del risolvente di Hosc, di cui diamouna rappresentazione nel prossimo Lemma 4.2. Sfrutteremo infatti un risultato generale di grande utilitanello studio dello spettro di operatori di Schrodinger con risolvente compatto, il prossimo Lemma 4.1.

Teorema 4.2 (Spettro di Hosc).Si ha

σ(Hosc) = σdisc(Hosc) = σpp(Hosc) =n+ 1

2 , n ∈ N ∪ 0. (4.38)

Inoltre le autofunzioni Ψn in (4.37) costituiscono un s.o.n.c in L2(R).

75

Osservazione 4.11. La dimostrazione del risultato strutta un risultato generale sugli operatori con risol-vente compatto (Lemma 4.1) e lo combina con la rappresentazione (4.39) del risolvente di Hosc, la cuidimostrazione pero e piuttosto complicata. Una dimostrazione piu diretta si puo ottenere combinando ilcriterio di Rellich [RS4, Teorema XIII.65] con una versione piu dettagliata del Lemma 4.1 (si veda [RS4,Teorema XIII.64]).

Dimostrazione. Grazie al Lemma 4.1 e sufficiente dimostrare che (Hosc + λ)−1 e compatto per un qualcheλ ≥ 0. Prendiamo per semplicita λ = 1/2 e mostriamo che (Hosc + 1/2)−1 e il limite in norma di operatoridi classe traccia: chiamiamo Rδ l’operatore integrale con kernel

Rδ(y; y′) =1√π

exp−1

2(y2 + y′2)∫ 1−δ

0dν

νλ−12

√1− ν2

exp

11−ν2

(2νyy′ − ν2(y2 + y′2)

).

E’ facile vedere che Rδ −→δ→0

(Hosc + 1/2)−1 in norma operatoriale: applicando il test di Schur (Proposizione

3.10) abbiamo∥∥∥(Hosc + 1/2)−1 −Rδ∥∥∥ ≤ 1

πsupy∈R

∫ 1

1−δdν

1√1− ν2

exp− 1+ν2

2(1−ν2)y2∫

Rdy′ exp

− 1+ν2

2(1−ν2)y′2 + 2ν

1−ν2 yy′

≤ C supy∈R

∫ 1

1−δdν

1√1 + ν2

exp− 1−ν2

2(1+ν2)y2≤ C

∫ 1

1−δdν

1√1 + ν2

−→δ→0

0.

Inoltre per ogni δ > 0

‖Rδ‖1 =1

π

∫R

dy

∫ 1−δ

0dν

1√1− ν2

exp−1−ν

1+ν y2

=1√π

∫R

dy

∫ 1−δ

0dν

1

1− ν< +∞,

per cui (Hosc + 1/2)−1 e un operatore compatto in quanto limite in norma di operatori compatti (Teorema3.25).

Lemma 4.1 (Spettro discreto e risolvente compatto).Sia A un operatore autoaggiunto limitato dal basso, allora le seguenti affermazioni sono equivalenti:

i) (A− z)−1 e compatto per un qualche z ∈ ρ(A);

ii) (A− z)−1 e compatto per ogni z ∈ ρ(A);

iii) σ(A) = σdisc(A) = σpp(A) e ∃ un s.o.n.c. Ψnn∈N di autovettori di A tale che AΨn = µnΨn eµ1 ≤ µ2 ≤ · · · ≤ µn −→

n→∞+∞.

Dimostrazione. Dimostreremo che i)⇐⇒ ii) e ii) =⇒ iii) =⇒ i).i)⇐⇒ ii) segue immediatamente dalla prima identita del risolvente (3.77) e dal fatto che se A e compatto

e B limitato allora AB e BA sono entrambi compatti.Dimostriamo ora che ii) =⇒ iii): siccome (A − z)−1 e compatto per ogni z ∈ ρ(A) e A e limitato

dal basso ∃a > 0 tale che A ≥ −a e quindi (A + a)−1 e compatto. Allora, poiche (A + a)−1 e positivo eautoaggiunto, per il Teorema di Hilbert-Schmidt 3.27, ∃ un s.o.n.c. Ψnn∈N tale che

(A+ a)−1Ψn = λnΨn,

con λ1 ≥ · · · ≥ λn −→n→∞

0. Il risultato e quindi dimostrato definendo µn = λ−1n −a. Si noti che l’affermazione

sullo spettro di A e conseguenza diretta dell’esistenza di una base di autovettori (appunto il s.o.n.c. Ψn)e del fatto che per il Teorema di Riesz-Schauder 3.26 la degenerazione dei λn e finita per ogni n ∈ N e nonesistono punti di accumulazione diversi da 0 e +∞ per i λn.

Per l’implicazione contraria iii) =⇒ i) prendiamo a > 0 come prima: e facile vedere che si ha larappresentazione

(A+ a)−1 =∑n∈N

1

µn + a|Ψn〉〈Ψn| .

Il Teorema 3.25 unitamente al fatto che µn −→n→∞

+∞ ci da immediatamente il risultato.

76

Lemma 4.2 (Risolvente di Hosc).Per ogni λ > −1

2 , (Hosc + λ)−1 e un operatore integrale limitato su L2(R) con kernel

(Hosc + λ)−1 (y; y′) =1√π

exp−1

2(y2 + y′2)∫ 1

0dν

νλ−12

√1− ν2

exp

11−ν2

(2νyy′ − ν2(y2 + y′2)

). (4.39)

Dimostrazione. La formula (4.39) e anche detta formula di Mehler. Per una dimostrazione si veda adesempio [BC].

Possiamo ora tornare all’hamiltoniana fisica Hosc da cui siamo partiti e osservare che il precedente Teorema4.2 implica (sempre nel caso d = 1)

σ(Hosc) = σdisc(Hosc) = σpp(Hosc) =~ω(n+ 1

2

) ∣∣n ∈ N. (4.40)

Per concludere lo studio dell’oscillatore armonico commentiamo brevemente sul caso d−dimensionale,d > 1: fruttando l’isomorfismo L2(Rd) ' L2(R)⊗ · · · ⊗ L2(R) e ovvio che H0 in Rd sia scrivibile come

Hosc = H(1)osc ⊗ 1⊗ · · · ⊗ 1 + 1⊗H(1)

osc ⊗ 1⊗ · · · ⊗ 1 + · · · , (4.41)

dove con H(1)osc abbiamo indicato l’hamiltoniana dell’oscillatore armonico unidimensionale.

Proposizione 4.10 (Spettro dell’oscillatore armonico in d > 1).Sia Hosc l’hamiltoniana (4.29) in d > 1, allora

σ(Hosc) = σdisc(Hosc) = σpp(Hosc) =~ω(N + d

2

) ∣∣N ∈ N. (4.42)

Inoltre il livello energetico N−esimo ~ω(N + d2) e degenere e una base per l’autospazio relativo e data dalle

autofunzioni

Ψn1,...,nd(x) = Ψn1(x1) · · ·Ψnd(xd), N =d∑i=1

ni, (4.43)

dove le Ψn sono gli autostati dell’oscillatore armonico unidimensionale. Le Ψn al variare di n =(n1, . . . , nd) ∈ Nd formano un s.o.n.c. in L2(Rd).

Dimostrazione. Il risultato segue banalmente dalle proprieta dell’oscillatore armonico unidimensionale edalla rappresentazione (4.41).

Capitolo 5

Atomo di Idrogeno

In questo Capitolo riprenderemo uno dei problemi connessi alla crisi della fisica classica che abbiamo discussonella Sezione 1.3, ovvero la necessita di avere un modello stabile degli atomi, che sia in grado di dare contodelle osservazioni spettroscopiche. Vedremo come in ambito quantistico tale modello non solo esista mariproduca in un certo senso le regole empiriche del modello atomico di Bohr (si veda ancora la Sezione 1.3),fornendone quindi una giustificazione teorica.

In questo Capitolo studieremo esclusivamente l’atomo piu elementare possibile, ovvero quello di idrogeno:un sistema costituito da due particelle cariche, il protone ed l’elettrone, con carica opposta e interagenti conil potenziale coulombiano. Gli atomi piu complessi saranno studiati nei prossimi Capitoli.

5.1 Autoaggiunzione e Stabilita

Il sistema che vogliamo descrivere e dunque costituito da due cariche uguali ed opposte con masse mp '2000me. E’ dunque naturale assumere che il nucleo dell’atomo, costituito dal protone, sia fermo all’originedel sistema di coordinate. In tal caso l’Hamiltoniana del sistema coincide con quella dell’elettrone ed e datada

He = H0 + Ve =P2

2me− e2

|Q|, (5.1)

che agisce su C∞0 (R3) ⊂ L2(R3) come l’operatore

He = − ~2

2me∆− e2

|x|. (5.2)

Esercizio 5.1. Si usi il cambiamento di coordinate (xp,xe) −→ (xcm, r), con xcm = mpxp + mexe lacoordinata del centro di massa e r = xe−xp, per ricavare la fattorizzazione dell’Hamiltoniana H dell’atomodi idrogeno comprensiva dell’energia cinetica del protone. Si dimostri che H = Hcm + Hrel e Hrel e unaperturbazione piccola nel senso di Kato di He. Si sfrutti tale risultato e le seguenti proprieta di He perdimostrare autoaggiunzione e limitatezza dal basso di H.

Il risultato principale di questa Sezione e il seguente

Teorema 5.1 (Autoaggiunzione e limitatezza dal basso di He).L’operatore He definito nella (5.1) e autoaggiunto su D(He) = H2(R3) e essenzialmente autoaggiunto suC∞0 (R3). Inoltre He e limitata dal basso, cioe esiste λ0 < +∞ tale che He ≥ −λ0.

Dimostrazione. L’autoaggiunzione e la limitatezza dal basso sono conseguenza di un risultato generale cheenunciamo nel prossimo Lemma 5.1: e infatti facile vedere che Ve ∈ L2(R3)+L∞(R3) decomponendolo comeVe = V1 + V2 con

V1(x) := Ve(x)1|x|≤R, V2(x) := Ve(x)1|x|>R.

77

78

Lemma 5.1 (Autoaggiunzione per potenziali in L2 + L∞).Sia V reale tale che V = V1 + V2 con V1 ∈ L2(R3) e V2 ∈ L∞(R3) (che indicheremo da qui in poi comeV ∈ L2 + L∞), allora H = −∆ + V e essenzialmente autoaggiunta su C∞0 (R3) e autoaggiunta su H2(R3).Inoltre ∃λ0 < +∞ tale che H ≥ −λ0.

Dimostrazione. Come suggerito dal titolo del Lemma, il risultato e dimostrato applicando il Teorema diKato-Rellich 3.13. Dimostriamo quindi che sotto le ipotesi dell’enunciato V e piccolo nel senso di Katorispetto a −∆. Anzitutto osserviamo che C∞0 (R3) ⊂ D(V ) e V e simmetrico su tale dominio. Inoltre perogni Ψ ∈ L2(R3)

‖VΨ‖2 ≤ ‖V1‖2 ‖Ψ‖∞ + ‖V2‖∞ ‖Ψ‖2 ≤ a′ ‖∆Ψ‖2 + b′ ‖Ψ‖2 , (5.3)

dove abbiamo applicato il prossimo Lemma 5.2 con a′ = a ‖V1‖2 e b′ = b+‖V2‖∞. A questo punto il risultatosegue dall’arbitrarieta di a, per cui possiamo sempre trovare un a′ < 1 tale che la disuguaglianza vale.

Gli altri risultati dell’enunciato seguono direttamente dall’applicazione del Teorema di Kato-Rellich 3.13(si vedano anche le Osservazioni 3.10 e 3.11 e il Corollario 3.1).

Lemma 5.2 (Disuguaglianza di Sobolev).Sia Ψ ∈ H2(Rd), d ≤ 3, allora Ψ e limitata e continua e ∀a > 0, ∃b < +∞ (indipendente da Ψ) tale che

‖Ψ‖∞ ≤ a ‖∆Ψ‖2 + b ‖Ψ‖2 . (5.4)

Dimostrazione. Ci restringiamo al caso d = 3. La dimostrazione in d = 1, 2 e infatti identica.Osserviamo anzitutto che

‖Ψ‖∞ ≤1

(2π)3/2 ‖Ψ ‖1 ,

come segue banalmente dalla definizione di trasformata di Fourier scambiando il modulo con l’integrale.D’altra parte abbiamo che, per ogni λ > 0,

∫R3

dk|Ψ| =∫R3

dkk2 + λ

k2 + λ|Ψ| ≤

(∫R3

dk1

(k2 + λ)2

)1/2 ∥∥∥(k2 + λ)

Ψ∥∥∥

2≤ C

[λ−1/4 ‖∆Ψ‖2 + λ3/4 ‖Ψ‖2

],

dove abbiamo usato le disuguaglianze di Cauchy e triangolare. Al variare di λ ∈ (0,+∞) si ottiene quindil’enunciato.

Osservazione 5.1. La possibilita di scegliere arbitrariamente la costante a > 0 nella disuguaglianza (5.4)puo essere anche vista come conseguenza del comportamento della espressione al membro di destra sottodilatazioni (scaling): ripetendo la dimostrazione per λ = 1, otterremmo

‖Ψ‖∞ ≤ C [‖∆Ψ‖2 + ‖Ψ‖2] .

Se pero a questo punto definissimo Ψλ(x) = λ3/2Ψ(√λx) e applicassimo la disuguaglianza precedente a Ψλ

riotterremmo la (5.4), cioe

‖Ψ‖∞ ≤ C[λ−1/4 ‖∆Ψ‖2 + λ3/4 ‖Ψ‖2

],

dato che ‖Ψλ ‖1 = ‖Ψ ‖1, ‖Ψλ ‖2 = λ3/4‖Ψ ‖2 e ‖k2Ψλ ‖2 = λ−1/4‖k2Ψ ‖2.

Nel caso paradigmatico dell’atomo di idrogeno abbiamo una chiara dimostrazione dell’importanza dell’ipotesidi autoaggiunzione per le osservabili quantistiche e in particolare per l’Hamiltoniana del sistema:

Corollario 5.1 (Dinamica dell’atomo di idrogeno).Gli operatori U(t) = exp

−iHe

~ t

identificano un gruppo a un parametro fortemente continuo di operatoriunitari e, per ogni t ∈ R, U(t)Ψ0 descrive la dinamica dell’atomo di idrogeno con dato iniziale Ψ0 ∈ L2(R3).

Dimostrazione. Si veda la Sezione 3.13 e in particolare il Teorema 3.31.

79

Osservazione 5.2. Il Corollario 5.1 garantisce l’esistenza globale nel tempo della dinamica dell’atomo diidrogeno. Non si ha percio nessun fenomeno di “caduta sul centro” dell’elettrone e la dinamica quantisticae piu regolare di quella classica. Tuttavia il Corollario 5.1 non risolve interamente il problema fisico dellastabilita dell’atomo di idrogeno che abbiamo visto nella Sezione 1.3 essere uno dei fenomeni alla base dellacrisi della fisica classica. A tale scopo si dovrebbe infatti includere il campo elettromagnetico nella descrizionequantistica, cosa impossibile in ambito non relativistico. Questo e invece possibile in teoria di campo e sipuo in quel caso dare una soluzione completa al problema discusso nella Sezione 1.3, nonche spiegare ilfenomeno dell’assorbimento ed emissione di onde elettromagnetiche da parte dell’atomo di idrogeno.

Concludiamo la Sezione con una prima stima non ottimale del limite dal basso per He, cioe il λ0 checompare nell’enunciato del Teorema 5.1:

Proposizione 5.1 (Limite dal basso per He).Si ha

He ≥ −2mee

4

~2. (5.5)

Dimostrazione. Sia Ψ ∈ H2(R3) con ‖Ψ‖ = 1, allora il Lemma 5.3 implica

〈Ψ |He|Ψ〉 ≥∫R3

dx

(~2

8me|x|2− e2

|x|

)|Ψ|2.

Resta allora solo da minimizzare la funzione ~2

8me|x|2 −e2

|x| , il che equivale a scegliere |x| = ~2

4mee4. Il risultato

segue quindi dalla normalizzazione di Ψ.

Lemma 5.3 (Disuguaglianza di Hardy).Per ogni Ψ ∈ H1(Rd), d ≥ 3, si ha∫

Rddx |∇Ψ|2 ≥ (d− 2)2

4

∫Rd

dx|Ψ|2

|x|2. (5.6)

Osservazione 5.3. La constante della disuguaglianza di Hardy e ottimale (sharp), nel senso che l’operatore

di Schrodinger −∆− ν|x|2 e un operatore illimitato dal basso se ν > (d−2)2

4 .

Dimostrazione. Per ogni β ∈ R calcoliamo∫Rd

dx

∣∣∣∣(∇+ βx

|x|2

)Ψ

∣∣∣∣2 =

∫Rd

dx

[|∇Ψ|2 − β|Ψ|2∇ · x

|x|2+

β2

|x|2|Ψ|2

],

dove abbiamo integrato per parti il secondo termine dello sviluppo del quadrato e sfruttato l’annullamentodei termini di bordo garantita dalla condizione Ψ ∈ H1(Rd):

1

R

∫∂BR

dσ |Ψ|2 =1

R

∫BR∇|Ψ|2 ≤ C

R‖Ψ‖2 ‖∇Ψ‖2 −→

R→∞0.

Inoltre

∇ · x

|x|2=

d∑i=1

|x|2 − 2x2i

|x|4=d− 2

|x|2,

da cui otteniamo

0 ≤∫Rd

dx

∣∣∣∣(∇+ βx

|x|2

)Ψ

∣∣∣∣2 =

∫Rd

dx

[|∇Ψ|2 +

β2 − β(d− 2)

|x|2|Ψ|2

],

e quindi, ottimizzando rispetto a β, cioe scegliendo β = d−22 , il risultato.

80

5.2 Spettro Energetico

In questa Sezione studiamo lo spettro energetico di He. Per prima cosa applichiamo il Teorema di Weyl3.28 per trovare lo spettro essenziale di He.

Proposizione 5.2 (Spettro essenziale di He).Si ha

σess(He) = R+. (5.7)

Dimostrazione. L’idea della dimostrazione e di applicare il Teorema di Weyl 3.28 e quindi a tale scopomostrare che (He− z)−1− (H0− z)−1 e un operatore compatto per un qualche z ∈ ρ(He)∩ ρ(H0). Notiamoinoltre che e sufficiente dimostrare la compattezza dell’operatore

Ve(H0 + λ)−1, λ >2mee

4

~2, (5.8)

poiche −λ ∈ ρ(He) ∩ ρ(H0) e

(He + λ)−1 − (H0 + λ)−1 = −(He + λ)−1Ve(H0 + λ)−1, (5.9)

per la seconda identita del risolvente (3.78). Inoltre osserviamo che se Ve(H0 + λ)−1 e compatto anche ilmembro di destra della (5.9) e compatto in quanto prodotto di un operatore compatto per uno limitato(ricordiamo che grazie alla condizione (5.8) e alla Proposizione 5.1 λ ∈ ρ(He)).

Usiamo ora una decomposizione di Ve simile a quella usata nella dimostrazione del Teorema 5.1:

Ve = Vn +Wn, Vn(x) = Ve(x)1|x|≤n, Wn(x) = Ve(x)1|x|>n,

cosı che Wn ∈ L∞(R3) e‖Wn‖ = ‖Wn‖L∞(R3) −→n→∞ 0.

Osserviamo poi che Vn(H0 + λ)−1 e un operatore integrale con kernel

Vn(x)Gλ(x− y) =Vn(x)e−

√λ|x−y|

4π|x− y|∈ L2(R6).

Infatti ∫R6

dxdyV 2n (x)e−2

√λ|x−y|

16π2|x− y|2≤ C

∫R3

dx V 2n (x)

∫R3

dye−2√λ|y|

|y|2≤ Cn < +∞.

Pertanto Vn(H0 + λ)−1 e un operatore di classe Hilbert-Schmidt e in particolare compatto. Allora ancheVe(H0 + λ)−1 e un operatore compatto in quanto limite in norma di operatori compatti.

Per quanto detto il risultato segue quindi dal fatto che σess(H0) = R+, come abbiamo visto nella Sezione4.1.

Per chiudere l’indagine dello spettro essenziale enunciamo un risultato di cui non daremo la dimostrazione,che si puo ottenere facendo ricorso alle proprieta di riscalamento di He sotto dilatazioni complesse (si vedaad esempio [T3, (4.1.16)]).

Proposizione 5.3 (Assenza di spettro singolare di He).Si ha

σsing(He) = ∅. (5.10)

Una volta identificato lo spettro essenziale, vogliamo trovare lo spettro discreto. Un risultato che riveste uninteresse a se stante e ci permettera di ricavare importanti informazioni sugli autovalori di He e in particolareil fatto che tutti gli autovalori di He sono negativi e il teorema del viriale.

81

Proposizione 5.4 (Teorema del viriale).Sia Ψ un autovettore di He all’autovalore E, allora

E = 12 〈Ψ |Ve|Ψ〉 = −〈Ψ |H0|Ψ〉 . (5.11)

Dimostrazione. La dimostrazione del teorema del viriale usa il comportamento di He sotto l’azione delgruppo delle dilatazioni: definiamo per ogni β ∈ R

(U(β)Ψ) (x) = e3β2 Ψ(eβx). (5.12)

E’ facile vedere che U(β) e unitario e U(−β) = U∗(β) = U−1(β) e piu precisamente U(β) e un gruppounitario ad un parametro fortemente continuo. Inoltre

(HeU(−β)Ψ) (x) = e−3β

2

[− ~2

2mee−2β (∆Ψ) (e−βx)− e2

|x|Ψ(e−βx)]

=(U(−β)

[e−2βH0 + e−βVe

]Ψ)

(x),

cioeU(β)HeU(−β) = e−2βH0 + e−βVe.

Se Ψ e autovettore per ogni β ∈ R si ha

〈(He − E)Ψ |U(β)Ψ〉 = 0,

0 = 〈(He − E)U(−β)Ψ |Ψ〉 = 〈U(β)(He − E)U(−β)Ψ |U(β)Ψ〉 =⟨(

e−2βH0 + e−βVe

)Ψ∣∣∣U(β)Ψ

⟩,

cosı che1

β

⟨((1− e−2β

)H0 +

(1− e−β

)Ve

)Ψ∣∣∣U(β)Ψ

⟩= 0.

Osserviamo poi che per ogni autovettore di He deve essere

‖H0Ψ‖ < +∞, ‖VeΨ‖ < +∞,

e

0 = limβ→0

1

β

⟨((1− e−2β

)H0 +

(1− e−β

)Ve

)Ψ∣∣∣U(β)Ψ

⟩= lim

β→0

1

β

⟨((1− e−2β

)H0 +

(1− e−β

)Ve

)Ψ∣∣∣Ψ⟩ = 〈(2H0 + Ve) Ψ|Ψ〉 ,

poiche

limβ→0

1

β

⟨((1− e−2β

)H0 +

(1− e−β

)Ve

)Ψ∣∣∣ (U(β)− 1) Ψ

⟩= 0

per convergenza dominata, mentre per ogni Ψ nel dominio di He e, in particolare, un autovettore,

1−e−2β

β H0w−→

β→02H0,

1−e−ββ Ve

w−→β→0

Ve.

Corollario 5.2 (Autovalori negativi di He).Tutti gli autovalori E di He sono negativi, cioe E < 0.

Dimostrazione. Segue dalla (5.11) e dal fatto che sia H0 che Ve hanno un nucleo banale.

Un altro fatto che discende dal comportamento di He sotto dilatazioni o, detto in altri termini, dal modo incui He scala quando si riscalano le lunghezze e l’esistenza di ∞ autovalori di He.

Proposizione 5.5 (Esistenza di ∞ autovalori di He).Esistono ∞ autovalori negativi E1 ≤ E2 ≤ · · · di He.

82

Dimostrazione. Dimostriamo che dim[ran(EHe(−∞, 0])] = dim[ran(EHe [E1, 0])] = +∞, dove abbiamo in-dicato con E1 = inf σ(He), che sappiamo essere > −∞ per il Teorema 5.1. Inoltre e facile mostrare cheesiste una Ψ di prova normalizzata tale che 〈Ψ |He|Ψ〉 < 0 (si veda sotto) e quindi E1 < 0 e certamente unautovalore perche sappiamo che σess(He) = R+. In particolare esiste almeno un autovalore < 0.

Sia ora Ψ una funzione C∞0 (R+) tale che supp(Ψ) ⊂ (1, 2) e ‖Ψ‖2 = 1. Definiamo inoltre

Ψn(x) = 2−3n2 Ψ(2−n|x|).

La successione Ψn soddisfa le seguenti proprieta: le Ψn sono normalizzate, hanno supporto disgiunto pern 6= m, infatti supp(Ψn) = (2−n, 2−n+1). Pertanto 〈Ψn |He|Ψm 〉 = 0 per m 6= n e

〈Ψn |He|Ψn 〉 = 2−2n 〈Ψ |H0|Ψ〉+ 2−n 〈Ψ |Ve|Ψ〉 < 0, per n ≥ n0, (5.13)

con n0 > 0 grande abbastanza, come segue banalmente dal fatto che 〈Ψ |Ve|Ψ〉 ≤ −C < 0. Ora affermiamoche per ogni k ≥ 0

span Ψn0 , . . . ,Ψn0+k ⊂ ran (EHe [−E1, 0]) . (5.14)

Dall’arbitrarieta di k nella (5.14) seguirebbe poi il risultato finale.Supponiamo infatti per assurdo che la (5.14) sia falsa e mostriamo come questo generi una contraddizione:

assumendo la (5.14) falsa, avremmo che deve esistere una Ψ ∈ ranEHe [0,+∞) tale che Ψ 6= 0 e

Ψ =k∑j=0

cjΨj+n0 = EHe [0,+∞)Φ

per una certa Φ ∈ L2(R3). Ma per il teorema spettrale

〈Ψ |He|Ψ〉 =

∫σ(He)

dµΨ(λ) λ =

∫σ(He)

d 〈Φ |EHe [0,+∞)EHe(λ)EHe [0,+∞)|Φ〉 λ =

∫ ∞0

dµΦ(λ) λ ≥ 0,

da cui seguek∑j=0

|cj |2 〈Ψj+n0 |He|Ψj+n0 〉 = 0,

per la (5.13). Ma per la stessa (5.13), cj = 0 per ogni j = 0, . . . , k, e quindi Ψ = 0, il che e assurdo.

Riassumendo quanto trovato fin’ora abbiamo quindi che l’assenza di spettro singolare in aggiunta all’assenzadi autovalori positivi implica che

σess(He) = σac(He) = [0,+∞). (5.15)

Mentre lo spettro discreto coincide con lo spettro puntuale ed e dato da un numero infinito di autovalorinegativi con molteplicita finita.

Concludiamo la Sezione mostrando come E1, l’autovalore piu basso di He, si possa ricavare da una stimavariazionale:

Proposizione 5.6 (Energia dello stato fondamentale di He).L’autovalore piu basso di He vale

E1 = inf σ(He) = −mee4

2~2. (5.16)

Osservazione 5.4. L’ottimalita della disuguaglianza che useremo nella dimostrazione della (5.16) cipermette di ricavare anche la forma di un’autofunzione relativa a E1 (si veda l’Osservazione 5.5:

Ψ1,0,0(r) =1

πa3/2e−r/a, (5.17)

dove a = ~2

mee2e il raggio di Bohr. Gli indici che identificano l’autofunzioni saranno introdotti nella prossima

Sezione.

83

Dimostrazione. Per prima cosa notiamo che l’inf dello spettro di He deve essere un autovalore percheinf σ(He) < 0 per quanto gia mostrato e nel semiasse reale negativo He ha solo autovalori di molteplicitafinita. Per trovare il valore di E1 poi dimostreremo una stima dall’alto e una dal basso che coincidono.

Per la stima dall’alto e sufficiente valutare 〈Ψ |He|Ψ〉 su una funzione Ψ di norma unitaria, dato che E1

e per definizione il minimo di tale quantita . Useremo come funzione di prova

Ψλ(x) = cλe− 1

2λ|x|,

con λ > 0 parametro rispetto al quale ottimizzeremo l’energia. La costante cλ serve per garantire lanormalizzazione della funzione e possiamo calcolarne il valore esplicito facilmente

1 = c2λ

∫R3

dx e−λ|x| =4πc2

λ

λ3

∫ ∞0

dr r2e−r =8πc2

λ

λ3,

da cui cλ = λ3/2/√

8π. Inoltre un rapido calcolo da

〈Ψλ |He|Ψλ 〉 = 4πc2λ

∫ ∞0

dr r2

~2λ2

8me− e2

r

e−λr = 4πc2

λ

(~2

4meλ− e2

λ2

)=

~2λ2

8me− e2λ

2. (5.18)

Il valore ottimale di λ lo ricaviamo minimizzando la funzione, ovvero

λ =2mee

2

~2,

che sostituito nella (5.18) da la stima dall’alto E1 ≤ −mee4

2~2 .Per la stima dal basso usiamo la (5.19) dimostrata nel prossimo Lemma 5.4:

E1 = inf‖Ψ‖=1

〈Ψ |He|Ψ〉 ≥ inf‖Ψ‖=1

~2

2me‖∇Ψ‖2 − e2 ‖∇Ψ‖

≥ inf

x∈R+

~2

2mex2 − e2x

≥ −mee

4

2~2.

Lemma 5.4 (Disuguaglianza per il potenziale coulombiano).Sia Ψ ∈ H1(R3), allora ∫

R3

dx|Ψ(x)|2

|x|≤ ‖∇Ψ‖2 ‖Ψ‖2 . (5.19)

Osservazione 5.5. La costante della disuguaglianza (5.19) e ottimale nel senso che se aggiungessimo unprefattore c < 1 al membro di destra la disuguaglianza sarebbe falsa. In effetti studiando l’equazione varia-zionale associata alla minimizzazione del rapporto associato alla (5.19) e facile dimostrare che l’uguaglianzae soddisfatta se e solo se Ψ(x) = Ce−c|x| con C, c > 0.

Dimostrazione. Verifichiamo la disuguaglianza per Ψ ∈ C∞0 (R3). L’affermazione generale si otterra poi perdensita. Il punto di partenza e l’identita

2⟨

Ψ∣∣∣ 1|x|

∣∣∣Ψ⟩ =

3∑j=1

⟨Ψ∣∣∣[∂j , xj|x|]∣∣∣Ψ⟩ ,

che si verifica facilmente:

3∑j=1

[∂j ,

xj|x|

]=

3∑j=1

∂j

(xj|x|

)=

3∑j=1

|x|2 − x2j

|x|2=

2

|x|.

84

Si ha quindi

2⟨

Ψ∣∣∣ 1|x|

∣∣∣Ψ⟩ = −3∑j=1

[⟨∂jΨ

∣∣∣ xj|x|Ψ⟩+⟨xj|x|Ψ |∂jΨ

⟩]≤ 2

3∑j=1

‖∂jΨ‖2∥∥∥ xj|x|Ψ∥∥∥2

≤ 2

3∑j=1

‖∂jΨ‖22

1/2 3∑j=1

∥∥∥ xj|x|Ψ∥∥∥2

2

1/2

= 2 ‖∇Ψ‖2 ‖Ψ‖2 ,

poiche3∑j=1

∫R3

dxx2j

|x|2|Ψ(x)|2 = ‖Ψ‖22 .

5.3 Momento Angolare

Una volta caratterizzato nel dettaglio lo spettro di He e mostrata la stabilita del sistema, per completarel’analisi dell’atomo di idrogeno resta da ricostruire gli spettri atomici di Ballmer o, piu precisamente, trovarel’energia degli stati legati (autovalori negativi) di He. Questo richiedera di sfruttare la simmetria perrotazioni di He e diagonalizzare simultaneamente He e il momento angolare.

Introduciamo anzitutto una nuova osservabile: il momento angolare. In meccanica classica il momentoangolare di una particella libera e L = r × p. Il momento angolare in MQ sara percio rappresentatodall’operatore:

L = (L1, L2, L3) = −i~r×∇, (5.20)

con dominio inizialmente dato dalle funzioni C∞0 (R3). L’operatore e chiaramente illimitato ma simmetrico.Per il momento tralasceremo la discussione della sua autoaggiunzione anche se non e difficile dimostrare chel’operatore (le sue tre componenti separamente) e in effetti autoaggiunto su C∞0 (R3). Ricaveremo il risultatocome sottoprodotto dello studio dello spettro di L.

Notiamo anzitutto una proprieta caratteristica del momento angolare: le tre componenti L1, L2, L3 noncommutano fra di loro.

Proposizione 5.7 (Regole di commutazione di Li e Lj).Per ogni Ψ ∈ C∞0 (R3)

[Li, Lj ] Ψ = i~εijkLkΨ,[L2, Li

]Ψ = 0, (5.21)

per ogni i, j, k = 1, 2, 3.

Osservazione 5.6. Poiche le diverse proiezioni di L non commutano fra di loro, non ammettono rappre-sentazione spettrale congiunta. Per esempio non esistono autovettori comuni a Li, Lj , Lk e, per il Teorema3.11 vale una relazione fra le dispersioni di Li e Lj, i 6= j, simile a quella che abbiamo dimostrato per leosservabili Q e P .

Al contrario L2 = L21 + L2

2 + L23 commuta con ogni Li singolarmente e pertanto ammette risoluzione

spettrale congiunta con una componente di L.

Osservazione 5.7. La prima delle (5.21) e la regola di commutazione soffisfatta dai generatori delle ro-tazioni in R3. Piu precisamente ogni base dell’algebra di Lie dei generatori infinitesimi del gruppo dellerotazioni SO3 soddisfa le regole di commutazione (5.21). Se ne deduce che L e proprio il generatore dellerotazioni in R3 e, se Rα e la combinazione di tre rotazioni di angoli (α1, α2, α3) = α attorno ai rispettiviassi, allora si ha che l’operatore

(UαΨ) (x) = Ψ(R−1α x),

definisce un gruppo unitario fortemente continuo (a tre parametri) il cui generatore e L, cioe

Uα = e−iα·L. (5.22)

Per maggiori dettagli si veda ad esempio [GP1, Capitolo 5].

85

Esercizio 5.2. Si ricavi la relazione di indeterminazione per le osservabili Li e Lj con i 6= j su una funzioned’onda Ψ ∈ C∞0 (R3).

Esercizio 5.3. Si consideri la famiglia di operatori Uα = eiαL3 con dominio C∞0 (R3): si dimostri che Uαimplementa le rotazioni attorno al terzo asse e che Uα e un gruppo a un parametro fortemente continuo. Sene ricavi l’espressione del dominio di autoaggiunzione di L3.

Dimostrazione. La dimostrazione e sostanzialmente un esercizio di algebra. Osserviamo infatti che ogniΨ ∈ C∞0 (R3) e tale che Lki Ψ ∈ C∞0 (R3) per ogni k. Inoltre

([Li, Lj ] Ψ) (x) = −~2∑

l,m,l′,m′

εilmεjl′m′ xl∂m [xl′∂m′Ψ(x)]− xl′∂m′ [xl∂mΨ(x)]

= −~2

∑l,m,m′

εilmεjmm′xl∂m′Ψ(x)−∑l,m,l′

εilmεjl′lxl′∂mΨ(x)

= −~2

∑l,m,m′

(δi,m′δl,j − δi,jδl,m′

)xl∂m′Ψ(x)−

∑l,m,l′

εilm(δm,jδi,l′ − δm,l′δi,j

)εjl′lxl′∂mΨ(x)

= −~2 (xj∂i − xi∂j) Ψ(x) = iεijkLkΨ(x).

Per dimostrare la seconda identita fissiamo i = 1 senza perdita di generalita e calcoliamo[L2, L1

]Ψ =

[L2

2 + L23, L1

]= (L2L2L1 − L1L2L2 + L3L3L1 − L1L3L3) Ψ

= (L2L1L2 − i~L2L3 − L1L2L2 + L3L1L3 + i~L3L2 − L1L3L3) Ψ

= [−i~ (L2L3 + L3L2) + i~ (L3L2 + L2L3)] Ψ = 0.

Come gia anticipato nell’Osservazione 5.6, ricordiamo che se due operatori autoaggiunti A e B commutanosu un denso appartenente ad entrambi i domini e se Ψλ e un autovettore di A all’autovalore λ non degenere,allora Ψλ e anche autovettore di B. Piu in generale se λ e autovalore di A degenere, allora esiste una basedi Hλ = ker(A− λ) di autovettori comuni a A e B.

Grazie alla (5.21) possiamo pensare di cercare degli autovettori comuni, ad esempio, di L2 e L3. Aquesto scopo consideriamo quest’ultimo operatore e ricaviamone l’espressione esplicita in coordinate polari:siano (x1, x2, x3) ∈ R3 le coordinate cartesiane di un punto nello spazio, allora definiamo le coordinate polari(r, ϑ, ϕ) con r ∈ R+, ϑ ∈ [0, π) e ϕ ∈ [0, 2π) attraverso il cambio di variabili

x1 = r sinϑ cosϕ,

x2 = r sinϑ sinϕ,

x3 = r cosϑ,

(5.23)

con trasformazione inversa r =

√x2

1 + x22 + x2

3,

ϑ = arccos

(x3√

x21+x2

2+x23

),

ϕ = arctan(x2x1

).

(5.24)

Con questo cambio di coordinate rendiamo esplicito l’isomorfismo

L2(R3) ' L2(R+, r2dr)⊗ L2(Ω, sinϑdϑdϕ), (5.25)

dove Ω = [0, π) × [0, 2π) rappresenta l’angolo solido o equivalentemente la sfera S2. In altri termini esisteun operatore unitario Upol : L2(R3) −→ L2(R+, r2dr) ⊗ L2(Ω, sinϑdϑdϕ) che implementa il cambio di

86

coordinate. Inoltre rispetto a tale isomorfismo gli operatori Li sono banali sulla prima componente dellospazio di Hilbert ovvero, con un piccolo abuso di notazione, si ha UpolLiU

−1pol = 1⊗Li, cioe UpolLiU

−1pol agisce

come l’unita su L2(R+, r2dr). Piu precisamente abbiamo le espressioni esplicite

UpolL1U−1pol = i~

(− sinϕ ∂ϑ +

cosϕ

tanϑ∂ϕ

),

UpolL2U−1pol = i~

(− cosϕ ∂ϑ +

sinϕ

tanϑ∂ϕ

),

UpolL3U−1pol = −i~ ∂ϕ; (5.26)

UpolL2U−1

pol = − ~2

sinϑ∂ϑ (sinϑ∂ϑ) +

1

sin2 ϑL2

3. (5.27)

Si noti in particolare come in nessuno dei tre operatori compare la variabile r, il che e equivalente allafattorizzazione UpolLiU

−1pol = 1 ⊗ Li di cui abbiamo gia parlato. Da qui in poi, con un altro abuso di

notazione giustificato tuttavia dall’equivalenza unitaria, porremo

Li := UpolLiU−1pol , L2 := UpolL

2U−1pol

Esercizio 5.4. Si ricavino le espressioni (5.27).

Nelle nuove varibili un dominio ragionevole (ovviamente piu largo di C∞0 (R3)) di L3 e il seguente

D(L3) =

Ψ(ϑ, ϕ) ∈ L2(Ω, sinϑdϑdϕ)∣∣Ψ ∈ C1(Ω),Ψ(ϑ, 0) = Ψ(ϑ, 2π),

(∂ϕΨ) (ϑ, 0) = (∂ϕΨ) (ϑ, 2π),∀ϑ ∈ [0, π) . (5.28)

L’operatore e ancora simmetrico su D(L3) ma non autoaggiunto. In effetti L3 su D(L3) non e chiuso. Vedre-mo pero che L3 e essenzialmente autoaggiunto su tale dominio, in quanto ammette una base di autovettoricontenuti in D(L3):

Proposizione 5.8 (Spettro e autoaggiunzione di L3).L’operatore L3 definito nella (5.27) e essenzialmente autoaggiunto sulle funzioni C1(0, 2π) periodiche. Inoltre

σ(L3) = σdisc(L3) = σpp(L3) =~m

∣∣m ∈ Z, (5.29)

e i corrispettivi autovettori sono dati da

Φm(ϑ, ϕ) =1√2π

Φ(ϑ)eimϕ. (5.30)

Dimostrazione. Si vede immediatamente che l’equazione agli autovalori L3Ψ = λΨ e risolta da funzioni dellaforma

Ψ(ϑ, ϕ) = Φ(ϑ)eiλϕ.

Imponendo poi la condizione che Ψ ∈ D(L3) si ottiene la condizione

e2πiλ = 1,

e quindi λ deve essere un intero.L’autoaggiunzione segue poi banalmente dal fatto che

eimϕ

m∈Z e la base di Fourier in L2(0, 2π).

Per quanto detto in precedenza possiamo allora cercare una base comune di autovettori congiunti di L3 eL2. La Proposizione 5.8 ci dice che tali autovettori comuni Φλ,m devono essere della forma

Φλ,m(ϑ, ϕ) =1√2π

Φλ(ϑ)eimϕ. (5.31)

Per studiare lo spettro di L2 e conveniente, come per l’oscillatore armonico, introdurre gli operatori disalita e discesa

L± = L1 ± iL2, (5.32)

che hanno le seguenti proprieta:

87

Proposizione 5.9 (Proprieta di L±).Gli operatori L± definiti nella (5.32) soddisfano le seguenti identita: per ogni Ψ ∈ C∞0 (R3),

i) L∗±Ψ = L∓Ψ;

ii) [L3, L±] Ψ = ±~L±Ψ;

iii) L2Ψ =(L+L− + L2

3 − ~L3

)Ψ =

(L−L+ + L2

3 + ~L3

)Ψ.

Dimostrazione. Tutte e tre le identita sono conseguenze algebriche della regola di commutazione (5.21).Lasciamo percio la dimostrazione come esercizio al lettore.

Corollario 5.3 (Operatori di salita e discesa).Se Φλ,m e un autovettore congiunto normalizzato di L2 e L3, con autovalori λ e m, e λ > ~2(m2 ± m),allora L±Φλ,m e un autovettore congiunto di L2 e L3 agli autovalori rispettivamente λ e ~(m± 1).

Dimostrazione. Grazie alla prima delle proprieta elencate nella Proposizione 5.9 si ha

L3L±Φλ,m = (L±L3 ± ~L±) Φλ,m = ~ (m± 1)L±Φλ,m,

per cui resta solo da verificare che L±Φλ,m non sia nullo. Ma dalla prima e dall’ultima delle proprietaabbiamo

‖L±Φλ,m‖2 = 〈Φλ,m |L∓L±Φλ,m 〉 = λ2 − ~2(m2 ± 1

),

da cui la condizione su λ.

Con le informazioni fin qui ricavate possiamo caratterizzare completamente lo spettro congiunto di L2 e L3.

Proposizione 5.10 (Spettro di L2).Si ha

σ(L2) = σdisc(L2) = σpp(L2) =

~2`(`+ 1)

∣∣ ` ∈ N ∪ 0. (5.33)

Inoltre se Y`,m(ϑ, ϕ) e un autovettore congiunto di L2 e L3 agli autovalori rispettivamente ~2`(`+ 1) e ~m,allora −` ≤ m ≤ `. Infine le autofunzioni congiunte sono esplicitamente date dalle armoniche sferiche

Y`,m(ϑ, ϕ) =1√2π

(−1)m+|m|

2

√(2`+ 1)(`− |m|)!

2(`+ |m|)!P|m|` (cosϑ)eimϕ. (5.34)

Osservazione 5.8. Dalla Proposizione 5.10 si ricava immediatamente che la degenerazione degli autovaloridi L2 e data da

∑`m=−` = 2` + 1. In particolare l’autovalore ` = 0 (onda s) non e degenere, mentre ` = 1

(onda p) e tre volte degenere.

Osservazione 5.9. Nella (5.34) compaiono i polinomi di Legendre generalizzati Pm` (t), t ∈ [−1, 1], che sonodefiniti in termini dei polinomi di Legendre P`(t) dalla

Pm` (t) = (1− t2)m2

dm

dtmP`(t). (5.35)

I polinomi di Legendre sono invece definiti come

P`(t) =1

2``!

d`

dt`(1− t2)`. (5.36)

Per maggiori informazioni sui polinomi speciali si veda [AS, Capitolo 22].

88

Dimostrazione. La condizione λ > ~2m(m± 1) ereditata dal Corollario 5.3 si puo leggere piu facilmente seponiamo λ = ~2`(`+ 1) con

` = −12 + 1

2

√1 + 4λ

~2 ≥ 0,

poiche λ ≥ 0. In tal caso infatti si ha `(`+ 1) > m(m± 1) o equivalentemente(m± 1

2

)2<(`+ 1

2

)2,

da cui ricaviamo immediatamente −` ≤ m ≤ `.A questo punto ricordiamo che m ∈ Z e dimostriamo che ` ∈ N ∪ 0 per assurdo: supponiamo infatti

che cosı non sia, allora, fissato −` ≤ m ≤ `, deve esistere un k ∈ N tale che

m+ k < ` < m+ k + 1,

ma allora poiche per m+k la condizione e soddisfatta potremmo applicare L+ e generare un altro autostatodi L2 e L3: sia Y`,m+k l’autovettore relativo agli autovalori ~2`(`+ 1) e ~(m+ k), allora L+Y`,m+k sarebbeautovettore di L3 all’autovalore ~(m+ k + 1), dato che

‖L+Y`,m+k‖2 = ~2 (`(`+ 1)− (m+ k)(m+ k + 1)) > 0

ma poiche m+ k + 1 > ` questo e impossibile.

Prima di concludere la discussione degli operatori L2, L3, vediamo alcuni casi semplici di armoniche sferiche.Come gia anticipato lo stato ` = 0 (onda s) e non degenere e la relativa autofunzione e

Y0,0 =1√4π, (5.37)

cioe la funzione costante. Per ` = 1 (onda p) si hanno invece tre autofunzioni

Y1,0(ϑ) =

√3

4πcosϑ, Y1,±1(ϑ, ϕ) =

√3

4πcosϑe±iϕ. (5.38)

Diamo infine un risultato di cui ometteremo la dimostrazione:

Proposizione 5.11 (Completezza delle armoniche sferiche).Le armoniche sferiche Y`,m`∈N∪0,−`≤m≤` formano un s.o.n.c. in L2(Ω, sinϑdϑdϕ).

Corollario 5.4 (Autoaggiunzione di L2, L3).Gli operatori L2 e Li sono essenzialmente autoaggiunti su C∞0 (R3). L’operatore L3 e inoltre essenzialmenteautoaggiunto anche su D(L3) definito nella (5.28).

Dimostrazione. Il risultato per L2 e Li in L2(R3) segue dall’isomorfismo (5.25), dalla completezza dellearmoniche sferiche in L2(Ω, sinϑdϑdϕ) e infine dal fatto che si possa costruire una base di L2(R3) dellaforma χn(r)Y`,m(ϑ, ϕ) con χn ∈ C∞0 (R+) (densita di C∞0 in L2).

Analogamente la completezza delle armoniche sferiche e il fatto che Y`,m ∈ D(L3), per ogni `,m, implical’essenziale autoaggiunzione di L3 su D(L3).

5.4 Stati Legati

Una delle proprieta piu rilevanti di He e l’invarianza per rotazioni. Infatti e facile verificare che[L2, He

]= [Li, He] = 0, (5.39)

89

per lo meno sul denso delle funzioni regolari a supporto compatto. In ogni caso grazie alla proprietaprecedente possiamo cercare gli autovettori comuni di He, L2 e L3: usando il cambio di variabili dallecoordinate cartesiane a quelle polari si ha

Upol (−∆)U−1pol = − 1

r2∂r(r2∂r

)− 1

r2 sinϑ∂ϑ (sinϑ∂ϑ)− 1

r2 sin2 ϑ∂2ϕ, (5.40)

dove Upol e l’unitario che realizza l’isomorfismo (5.25). Pertanto abbiamo anche che

UpolHeU−1pol = − ~2

2mer2∂r(r2∂r

)+

L2

2mer2− e2

r. (5.41)

Questo suggerisce che gli autovettori congiunti di He,L2 e L3 abbiano la forma

RE,`(r)Y`,m(ϑ, ϕ), (5.42)

con RE,`(r) soluzione del problema radiale

− ~2

2mer2∂r(r2∂rRE,`

)+

~2`(`+ 1)

2mer2RE,` −

e2

rRE,` = ERE,`, (5.43)

normalizzata in modo tale che ∫ ∞0

dr r2 |RE,`(r)|2 = 1.

Per risolvere l’equazione e conveniente introdurre una variabile adimensionale x = r/a con a = ~2

mee2

raggio di Bohr e definireSη,`(y) = a3/2 y Re2η/a,`(ay), (5.44)

con η = aE/e2, cosı che la (5.43) diventa

(h`Sη,`) (x) = −1

2S′′η,` +

`(`+ 1)

2x2Sη,` −

1

xSη,` = ηSη,`, (5.45)

con x ∈ (0,∞), η < 0 e ∫ ∞0

dx |Sη,`(x)|2 = 1.

Fin’ora non abbiamo detto nulla riguardo al dominio dell’operatore ma per semplicita continueremo adassumerlo definito su C∞0 (R+): si noti che anche nel caso in cui il limite all’origine di RE,` sia non nullo,che e ammissibile per ` = 0, Sη,` tende in ogni caso a 0 quando x → 0. Quindi per essere maggiormenteprecisi dovremmo scegliere come dominio le funzioni in H2

0 (R+), cioe lo spazio delle funzioni C1(R+) cheammettono derivata seconda in senso debole quadrato sommabile e si annullano quando x→ 0.

Per trovare gli autovalori η usiamo ancora una volta il trucco di introdurre operatori di salita e discesa:definiamo percio

A±,` =1√2

(±∂x +

`+ 1

x− 1

`+ 1

). (5.46)

Le proprieta di A±,` sono raccolte nella prossima Proposizione, la cui dimostrazione e lasciata per esercizio.

Proposizione 5.12 (Proprieta di A±,`).Gli operatori A±,` definiti nella (5.46) soddisfano le seguenti identita: per ogni Ψ ∈ H2

0 (R+),

i) A∗±,`Ψ = A∓,`Ψ;

ii) [h`, A±,`] Ψ = ±A±,`Ψ;

iii) h`Ψ =(A−,À+,` − 1

2(`+1)2

)Ψ;

90

iv) h`+1Ψ =(A+,À−,` − 1

2(`+1)2

)Ψ.

Corollario 5.5 (Operatori di salita e discesa).Se Sη,` e un autovettore congiunto normalizzato di h` e L2, con autovalori η e ~2`(`+ 1), allora

• se η > − 12(`+1)2 , A+,`Sη,` e autovettore di h`+1 all’autovalore η;

• se η > − 12`2

e ` > 0, A−,`Sη,` e un autovettore di h`−1 all’autovalore η.

Dimostrazione. Analogamente al Corollario 5.3 i risultati sono conseguenza diretta delle proprieta elencatenella Proposizione 5.12. In particolare la condizione η > − 1

2(`+1)2 segue dall’identita

‖A+,`Sη,`‖2 = η +1

2(`+ 1)2,

da cui la condizione su η. Il caso di A−,` e del tutto analogo.

Abbiamo ora tutti gli ingredienti necessari a dimostrare il risultato piu importante di questa Sezione:

Teorema 5.2 (Stati legati di He).Gli autovalori negativi di He sono dati da

En = − mee4

2~2n2, n ∈ N. (5.47)

Le relative autofunzioni normalizzate sono

Ψn,`,m(r) = Rn,`(r)Y`,m(ϑ, ϕ), n ∈ N, ` = 0, . . . , n− 1, m = −`, . . . , `, (5.48)

dove Y`,m sono le armoniche sferiche (5.34) e

Rn,`(r) = − 1

n

√(n− `− 1)!

[(n+ `)!]3

(2r

n

)`+1

L2`+1n+`

(2rn

)exp

− rn

. (5.49)

Osservazione 5.10. Gli stati legati di He sono dunque infiniti e accumulano a 0 quando n → ∞, comeavevamo gia dimostrato nella Sezione precedente. Le corrispondenti autofunzioni formano un s.o.n.. Natu-ralmente il sistema non puo essere completo in L2(R3) perche c’e una parte non vuota di σ(He) – lo spettroessenziale σess(He) – il cui proiettore spettrale e ortogonale allo span delle (5.48).

Osservazione 5.11. Lo stato legato n-esimo e degenere e la sua degenerazione e data da

n−1∑`=0

(2`+ 1) = n2. (5.50)

Osservazione 5.12. Nella (5.49) compaiono i polinomi di Laguerre generalizzati Ljk: il polinomio diLaguerre di ordine k ≥ 0 e definito come

Lk(x) = exdk

dxk

(xke−x

), (5.51)

con x ∈ (0,∞), mentre quello generalizzato di indici k e 0 ≤ j ≤ k e

Ljk(x) = (−1)jk!

(k − j)!x−jex

dk−j

dxk−j

(xke−x

). (5.52)

Per ulteriori informazioni si consulti ancora [AS, Capitolo 22].

91

Osservazione 5.13. L’energia dello stato legato n-esimo e indipendente da `. In generale avremmo dovutoaspettarci una dipendenza anche da ` ma il fatto che non compaia e una conseguenza delle special proprietadi simmetria dell’atomo di idrogeno (integrabilita).

Osservazione 5.14. L’autofunzione relativa allo stato fondamentale E1 l’abbiamo gia ricavata nella (5.17).Notiamo qui che essa coincide con l’espressione generale (5.48), ovvero

Ψ1,0,0(r) =1

√πa3/2

e−ra .

La probabilita di trovare l’elettrone nella corona sferica compresa fra r1 e r2 > r1 e

4

a3

∫ r2

r1

dr r2e−2ra =

∫ r2

r1

dr P (r), P (r) =4r2

a3e−

2ra . (5.53)

La densita di probabilita P (r) ha un massimo per r = a e quindi possiamo concludere che l’idea che l’elettroneorbiti a distanza a dal nucleo, su cui e fondato il modello atomico di Bohr possa essere considerata una buonaapprossimazione della realta.

Osservazione 5.15. Gli stati legati (5.47) riproducono perfettamente le regole empiriche di Ballmer pergli spettri atomici: le energie di assorbimento o emissione sono tutte date dalle differenze fra due livellienergetici e, quando si verifica uno dei due fenomeni di emissione o assorbimento, l’elettrone salta da unlivello all’altro cosı cedendo o assorbendo energia.

Inoltre i livelli (5.47) coincidono con quelli ottenuti da Bohr con il suo modello empirico. Va pero dettoche risulta evidente dalle proprieta degli En e, in particolare, dalla degenerazione, che la regola di quantiz-zazione di Bohr e sbagliata: fissato il livello n-esimo il momento angolare (in effetti la terza componente delmomento angolare) non e esattamente1 ~(n− 1) ma piuttosto ~m con m = −`, . . . , ` e ` = 0, . . . , n− 1.

Dimostrazione. La prima parte della dimostrazione e analoga alla dimostrazione della Proposizione 5.10:poniamo anzitutto per convenienza η = − 1

2γ2 , con γ ∈ R+, cosı che le condizioni che compaiono nel Corollario5.5 si leggono

`+ 1 ≤ γ. (5.54)

Se γ ∈ N non c’e altro da dimostrare ma si puo far vedere che se cosı non fosse si cadrebbe in contraddizione,di nuovo seguendo la stessa strategia della dimostrazione della Proposizione 5.10. Omettiamo i dettagli perbrevita.

Per quanto riguarda la derivazione delle autofunzioni radiali osserviamo che se ` = n− 1 l’equazione perSn,n−1 (con un piccolo abuso di notazione chiamiamo Sn,` := Sη,` con η = − 1

2n2 ) diventa

−1

2S′′n,n−1 +

n(n− 1)

2x2Sn,n−1 −

1

xSn,n−1 = − 1

2n2Sn,n−1,

che e risolta daSn,n−1(x) = cnx

xe−xn ,

con la costante cn fissata dalla normalizzazione in L2 della funzione, che da

cn =1√

(2n)!

(2

n

)n+ 12

.

La altre autofunzioni sono ottenute applicando ripetutamente a Sn,n−1 l’operatore di discesa A− erinormalizzando a ogni passo lo stato ottenuto.

Chiudiamo la Sezione lasciando alcuni esercizi al lettore:

1In effetti la condizione di quantizzazione di Bohr darebbe ~n ma con n ∈ N ∪ 0, per cui per paragonarla con quantoabbiamo trovato dobbiamo rimpiazzare n con n− 1.

92

Esercizio 5.5. Si trovi il valor medio della distanza dal nucleo nello stato Ψ1,0,0. Si ricavi la distribuzionedi probabilita radiale dell’elettrone nello stato Ψ2,1,0 (onda p). Si trovi il punto di massima probabilita e ilvalor medio della distanza dal nucleo.

Esercizio 5.6. Si calcoli il potenziale elettrostatico generato dall’atomo di idrogeno (nucleo incluso) neglistati Ψ1,0,0 e Ψ2,0,0.

Esercizio 5.7. Si consideri in L2(R6) l’Hamiltoniana dell’atomo di elio in unita naturali

HHe = −∆1 −∆2 −2

|x1|− 2

|x2|+

1

|x1 − x2|.

Si trovi il dominio di autoaggiunzione di HHe. Si ricavino inoltre una stima dall’alto e una dal basso (noncoincidenti) per inf σ(HHe). [Suggerimento: per la stima dall’alto si usi uno stato prodotto Ψλ(x1)Ψλ(x2)con Ψλ una funzione di prova analoga a quella usata nella dimostrazione della Proposizione 5.6].

Parte II

Stato Fondamentale e Stati Legati

93

94

Un problema tipico in MQ e la ricerca dello stato fondamentale o stato a minima energia di un sistemaquantistico. Come si intuisce gia dai termini usati, tale problema ammette una naturale formulazione nel-l’ambito del calcolo delle variazioni: trovare lo stato a minima energia equivale a minimizzare un opportunofunzionale – l’aspettazione dell’Hamiltoniana del sistema – sulla varieta delle funzioni d’onda normalizzate.

Le motivazioni fisiche che rendono il problema dello stato fondamentale cosı importante in MQ sonomolteplici. Ne menzioneremo due fra le piu significative.La prima ragione e sostanzialmente legata alla stabilita della materia, di cui torneremo a parlare in maggioredettaglio nell’ultima parte del corso: poiche i sistemi fisici tendono a rilasciare energia scambiandola con ilmondo esterno, gli stati a bassa energia e in particolare quello fondamentale hanno una probabilita mag-giore di essere osservati. In altri termini ogni sistema non perfettamente isolato dal resto dell’universo, inun tempo sufficientemente lungo, tendera a occupare il suo stato a minima energia. In quest’ottica e chiarocome una questione fondamentale sia la limitatezza dal basso dell’energia dello stato fondamentale: se perassurdo un sistema fisico potesse raggiungere stati a energia arbitrariamente bassa, tenderebbe a rilasciareenergia fino a collassare su se stesso. Da un punto di vista dinamico quindi si puo anche vedere l’instabilitao l’illimitatezza dal basso dell’energia come una singolarita che impedisce alla dinamica di essere definitaper tutti i tempi. A livello operatoriale si puo leggere questo aspetto nella relazione fra illimitatezza dalbasso e non autoaggiunzione dell’Hamiltoniana.In secondo luogo e naturalmente importante sapere quanta energia puo rilasciare un sistema fisico e que-sto e chiaramente connesso con la piu bassa energia raggiungibile dal sistema, ovvero quella dello statofondamentale. Infatti se per assurdo esistesse un sistema fisico in natura la cui energia potesse essere re-sa arbitrariamente bassa, si potrebbe costruire un motore perfetto estraendo da esso energia all’infinito.Naturalmente questo non e possibile e tutti i sistemi fisici realistici sono stabili.

Una volta che si sia dimostrata la stabilita del sistema e poi naturale chiedersi se l’energia piu bassapossa essere in effetti raggiunta o se invece sia un punto di accumulazione dello spettro dell’Hamiltoniana. Intermini variazionali questo equivale a chiedersi se l’inf del funzionale sia in effetti un minimo e sia raggiuntosu una qualche funzione d’onda. Nota l’esistenza, diventa interessante discutere l’unicita e poi passare dallostato fondamentale agli stati eccitati o stati legati, cioe gli autostati negativi dell’energia.

Riassumendo, le questioni che affronteremo in questa parte del corso sono quindi

• la limitatezza dal basso dell’energia dello stato fondamentale (stabilita);

• l’esistenza dello stato fondamentale;

• l’unicita dello stato fondamentale;

• le proprieta degli stati legati.

Capitolo 6

Stato Fondamentale

In questa parte del corso prenderemo in considerazione sistemi quantistici descritti da Hamiltoniane dellaforma

H = −∆ + V (x), (6.1)

con x ∈ Rd. Sceglieremo percio unita di misura naturali ~ = c = 1 e m = 1/2, per semplificare ladiscussione. Si noti che la dimensione dello spazio non sara vincolata a essere 1, 2 o 3, ma potra essered > 3, nella prospettiva di applicare i risultati ottenuti ai sistemi a molti corpi. Inoltre assumeremo sempreimplicitamente che H sia autoaggiunta ma, da un certo punto di vista, la discussione contenuta in questoCapitolo si puo applicare anche a operatori simmetrici ma non autoaggiunti.

Definizione 6.1 (Stato fondamentale).Dato un sistema quantistico con Hamiltoniana H, l’energia dello stato fondamentale e

E0 = inf σ(H) = infΨ∈D(H),‖Ψ‖=1

〈Ψ |H|Ψ〉 . (6.2)

Chiameremo stato fondamentale una qualunque funzione d’onda Ψ0 normalizzata tale che

E0 = 〈Ψ0 |H|Ψ0 〉 . (6.3)

Per semplicita nel seguito useremo anche il funzionale dell’energia E : L2(Rd) → R definito come il valormedio di H sullo stato Ψ, cioe

E [Ψ] = 〈Ψ |H|Ψ〉 . (6.4)

Porremo inoltre

E [Ψ] = T [Ψ] + V [Ψ], T [Ψ] = 〈Ψ |−∆|Ψ〉 , V [Ψ] = 〈Ψ |V |Ψ〉 , (6.5)

dove T e l’energia cinetica e V l’energia potenziale del sistema. Equivalentemente si puo anche scrivere

T [Ψ] =

∫Rd

dx |∇Ψ|2 . (6.6)

6.1 Stabilita di Prima Specie

La questione piu rilevante che affronteremo in questo Capitolo e quella della stabilita o, equivalentemente,della limitatezza dal basso dell’energia:

Definizione 6.2 (Stabilita di prima specie).Diciamo che un sistema quantistico e stabile di prima specie se E0 > −∞.

95

96

Dal punto di vista matematico e chiaro che, affinche un sistema sia stabile, e necessario che il potenzialenon sia troppo negativo, o, in altri termini, che la sua parte negativa sia dominata dall’energia cinetica.Definiamo quindi la parte positiva V+ ≥ 0 e negativa V− ≥ 0 del potenziale nel modo seguente

V (x) = V+(x)− V−(x), V+ = max V, 0 , V− = −min V, 0 , (6.7)

perche ci torneranno utili nel seguito.Tornando al problema della stabilita si potrebbe pensare che sia un falso problema, ovvero che tutte le

Hamiltoniane della forma (6.1) siano stabili. Il prossimo Esempio mostra che cosı non e.

Esempio 6.1 (Instabilita per potenziali specifici)Si consideri l’operatore di Schrodinger

−∆− 1

|x|3

in Rd. Mostriamo che E0 = −∞.A tale scopo e sufficiente mostrare l’esistenza di una successione di Ψn(x) ∈ C∞0 (Rd) tale che

‖Ψn‖ = 1, limn→∞

E [Ψn] = −∞. (6.8)

Prendiamo allora Ψn(x) = nd/2Ψ(nx) con Ψ ∈ C∞0 (Rd) e calcoliamo

‖Ψn‖ = ‖Ψ‖, T [Ψn] = n2T [Ψ], V [Ψn] = n3V [Ψ].

Per cui se scegliamo Ψ normalizzata tale che V [Ψ] < 0, cosa che e sempre possibile, allora la (6.8) eimmediatamente verificata:

E [Ψn] = n2T [Ψ] + n3V [Ψ] −→n→∞

−∞.

Esercizio 6.1. Dimostrare l’instabilita nei casi in cui V (x) = − C|x|α con α > 2 oppure α = 2 e C > 1

4 .

Il risultato principale di questo Capitolo e il seguente

Teorema 6.1 (Stabilita di prima specie).Sia V reale e

V− ∈

Ld2 (Rd) + L∞(Rd), se d ≥ 3,

L1+ε(R2) + L∞(R2), se d = 2,

L1(R) + L∞(R), se d = 1,

(6.9)

allora E0 > −∞. Inoltre ∃C,D < +∞ tali che, per ogni Ψ ∈ H1(Rd),

T [Ψ] ≤ CE [Ψ] +D‖Ψ‖. (6.10)

Osservazione 6.1. In dimensione 1 il potenziale puo anche contenere un termine di misura e il risultatocontinua ad essere valido: se

V [Ψ] =

∫R

dµ(x) |Ψ(x)|2,

con µ misura di Borel limitata, allora E0 > −∞. Naturalmente si possono aggiungere anche altri terminidella forma L1 + L∞. Un esempio particolarmente significativo e quello della delta di Dirac δ(x), cioe lamisura concentrata in x = 0.

Osservazione 6.2. Dalla dimostrazione e facile vedere che, assumendo che V = V−, si ricava comesottoprodotto la disuguaglianza

|V [Ψ]| ≤ 12T [Ψ] +D ‖Ψ‖22 , (6.11)

97

per una qualche D < +∞. L’aspetto di questa disuguaglianza ricorda da molto vicino la definizione di piccolaperturbazione o piccolezza nel senso di Kato (Definizione 3.25), con la differenza che la prima e scritta per leaspettazioni degli operatori mentre la seconda vale per le norme. Nonostante questa differenza tuttavia le duecondizioni sono equivalenti nel senso che entrambe garantiscono l’autoaggiunzione dell’operatore −∆ + V :nel caso della disuguaglianza (6.11) questo e precisamente il contenuto del Teorema KLMN [RS2, TeoremaX.17]. Pertanto, nel caso in cui le condizioni (6.9) siano soddisfatte dall’intero potenziale V , l’Hamiltoniananon e solo limitata dal basso ma anche autoaggiunta su H2(Rd).

Esercizio 6.2. Riprodurre la dimostrazione in d = 1, 2.

Dimostrazione. Per semplicita discuteremo esplicitamente solo il caso d = 3. Partiremo dalla ovvia stimadal basso

E [Ψ] ≥ T [Ψ]− V−[Ψ].

Osserviamo che se V− ∈ L32 + L∞ vuol dire che possiamo scrivere V− = V1 + V2 con V1 ∈ L

32 (R3) e

V2 ∈ L∞(R3). Inoltre possiamo sempre scegliere la norma 3/2 di V1 arbitrariamente piccola: fissiamo K > 0grande, allora decomponendo

V1(x) = V1(x)1|V1|≤K + V1(x)1|V1|>K,

abbiamo che il primo termine al membro di destra e ovviamente in L∞(R3) mentre il secondo tende a 0quando K →∞, poiche ∥∥V11|V1|>K

∥∥1≤ K−1/2 ‖V1‖3/23/2 −→K→∞

0.

Infatti |V1|1|V1|>K e una funzione positiva monotona decrescente in K, il cui integrale si annulla nel limite.Quindi la funzione deve tendere a 0 quasi ovunque ma anche puntualmente per monotonia. Inoltre poiche

per ipotesi V3/2

1 e integrabile, la norma L3/2 di V11|V1|>K deve tendere a 0 quando K →∞. In conclusionepossiamo trovare una decomposizione V− = V1 + V2 con V2 ∈ L∞(R3) e

‖V1‖3/2 ≤12S3,

con S3 la costante che compare nella disuguaglianza di Sobolev (6.13).A questo punto stimiamo via Holder con p = 3 e q = 3/2

V1[Ψ] ≤ ‖V1‖3/2(∫

R3

dx |Ψ|6)1/3

≤ 12S3 ‖Ψ‖26 ≤

12T [Ψ],

dove abbiamo usato la (6.13) contenuta nel prossimo Lemma 6.1. Per l’intero V− abbiamo allora

V−[Ψ] = V1[Ψ] + V2[Ψ] ≤ 12T [Ψ] + ‖V2‖∞ ‖Ψ‖

22 , (6.12)

che combinata con la stima di partenza implica

E [Ψ] ≥ 12T [Ψ]− ‖V2‖∞ ‖Ψ‖

22 ,

ovvero la (6.10), ma anche il fatto che

E0 = inf‖Ψ‖=1

E [Ψ] ≥ inf‖Ψ‖=1

(−‖V2‖∞ ‖Ψ‖

22

)= −‖V2‖∞ > −∞.

Lemma 6.1 (Disuguaglianze di Sobolev ottimali).Esistono delle costanti Sd, S2,p > 0 tali che per ogni Ψ ∈ H1(Rd)

‖∇Ψ‖22 ≥ Sd ‖Ψ‖22dd−2

, in d ≥ 3, (6.13)

‖∇Ψ‖22 + ‖Ψ‖22 ≥ S2,p ‖Ψ‖2p , in d = 2 e ∀2 ≤ p <∞, (6.14)

‖∇Ψ‖22 + ‖Ψ‖22 ≥ 2 ‖Ψ‖2∞ , in d = 1. (6.15)

98

Ometteremo la dimostrazione delle disuguaglianze di Sobolev per brevita, ma il lettore interessato puotrovarne la discussione dettagliata, ad esempio, in [LL, Capitolo 8]. tTuttavia prima di procedere oltre,vediamo come disuguaglianze simili a quelle nell’enunciato del Lemma 6.1, ma non ottimali, si possanoottenere sfruttando le proprieta della trasfromata di Fourier. Piu precisamente mostriamo come ricavare ind ≥ 3 una disuguaglianza simile alla (6.13) ma con un p leggermente peggiore.

Scegliamo ad esempio p = 2(d−ε)d−2 e ε > 0 un numero arbitrariamente piccolo. Usiamo anzitutto la

disuguaglianza di Hausdorff-Young (Teorema 3.7):

‖Ψ‖22(d−ε)d−2

≤ C∥∥Ψ∥∥2

2(d−ε)d+2−ε

. (6.16)

Si noti che la condizione 2 ≤ 2(d−ε)d−2 ≤ ∞ necessaria per applicare Hausdorff-Young e automaticamente

soddisfatta in quanto equivalente alle disuguaglianze d− 2 ≤ d ≤ ∞.A questo punto applichiamo Holder al membro di destra con esponenti p = d−ε

d+2−2ε e q = d+2−2ε2−ε :

∥∥Ψ∥∥2

2(d−ε)d+2−ε

=

(∫Rd

dk∣∣Ψ(k)

∣∣ 2(d−ε)d+2−ε

) d+2−εd−ε

=

(∫Rd

dk (k2 + 1)−d−εd+2−ε

[(k2 + 1)

∣∣Ψ(k)∣∣2] d−ε

d+2−ε) d+2−ε

d−ε

≤ C∫Rd

dk (k2 + 1)∣∣Ψ(k)

∣∣2(∫Rd

dk1

(k2 + 1)d−ε2−ε

) 2−εd−ε

,

ma la funzione (k2 + 1)−d−ε2−ε e certamente integrabile per k finito e quando |k| → ∞ e asintotica a k−

2(d−ε)2−ε .

Considerato che la misura in d dimensioni produce un fattore kd−1, l’integranda si comporta in R+ per kgrande come k alla potenza

−2(d− ε)2− ε

+ d− 1 = −1− (d− 1)ε+O(ε2) < −1,

per ε sufficientemente piccolo, ed e percio integrabile su tutta la semiretta. Ne concludiamo che ∃Cε < +∞tale che

‖Ψ‖22(d−ε)d−2

≤ Cε ‖Ψ‖2H1(Rd) .

La disuguaglianza cosı ottenuta non e della forma (6.13) a causa della presenza della norma H1 anzichedella norma L2 del gradiente di Ψ . Tuttavia e sufficiente sfruttare le proprieta di scaling delle due norme (siapplichi la disuguaglianza a Ψλ(x) = λd/2Ψ(λx)) per ottenere che il coefficiente del termine L2 puo esserereso piccolo a piacere, cioe per ogni δ > 0 esiste Cε,δ < +∞ tale che

‖Ψ‖22(d−ε)d−2

≤ Cε,δ ‖∇Ψ‖22 + δ ‖Ψ‖22 .

6.2 Esistenza dello Stato Fondamentale

Nella Sezione precedente abbiamo visto che sotto ipotesi ragionevoli sulla parte negativa del potenzialel’energia dello stato fondamentale dell’operatore di Schrodinger −∆ + V e limitata dal basso e quindi ilsistema e stabile. Viene a questo punto naturale chiedersi se tale energia sia raggiunta su uno stato Ψ0, cioese l’inf sia in realta un minimo ed esista quindi un minimizzatore. Premettiamo una utile

Definizione 6.3 (Succesione minimizzante).Diciamo che una successione Ψnn∈N in L2(Rd) e minimizzante per E [Ψ], se ‖Ψn‖2 = 1 e

limn→∞

E [Ψn] = E0 = inf‖Ψ‖=1

E [Ψ]. (6.17)

99

L’esistenza di una successione minimizzante e naturalmente garantita ogni volta che E0 > −∞. La questionee se tale successione possa convergere e soprattutto in quale topologia.

Vediamo come si procederebbe in dimensione finita: supponiamo che la funzione E [x] (l’analogo delfunzionale E [Ψ]) per x ∈ X compatto, sia continua. Allora l’infx∈X E [x] = E0 e sicuramente limitato dalbasso. Poi data una successione minimizzante, cioe tale che E [xn]→ E0 = infx∈X E [x], che ovviamente esistesempre, si avrebbe che xn converge per compattezza a un punto x0 ∈ X e, per continuita della funzione,E [x0] = limn→∞ E [xn] = E0, cioe x0 e un punto di minimo. Le due ipotesi cruciali per ottenere il risultato,come si vede facilmente, sono la continuita della funzione e la compattezza dello spazio.

Sfortunatamente in dimensione infinita nessuna delle due tipicamente e vera. Da un lato si sarebbeportati a considerare una topologia forte che renda il funzionale continuo, ad esempio H1(Rd), ma in que-sto si perde immediatamente la compattezza dello spazio. In effetti questa seconda richiesta e quella piuproblematica, perche nessuno spazio di Hilbert Lp e compatto nella norma relativa. Non solo ma nemmenola varieta su cui si minimizza, ‖Ψ‖ = 1, cioe la sfera unitaria in L2(Rd), e compatta nella norma L2(Rd).La soluzione di questo problema stara ovviamente nell’indebolimento della topologia considerata: vedremoinfatti che la sfera unitaria in L2(Rd) e in effetti compatta nella topologia debole. Questo naturlementerichiedera di verificare la continuita (semicontinuita) del funzionale E [Ψ] rispetto a tale topologia.

L’esistenza dello stato fondamentale Ψ0 e inoltre direttamente collegata con un’altro problemainteressante, ovvero l’esistenza di una soluzione dell’equazione di Schrodinger

−∆Ψ + VΨ = E0Ψ, (6.18)

o, in altri termini, il problema all’autovalore minimo per l’operatore −∆ + V . Il legame fra i due problemie dato dal semplice fatto che l’equazione (6.18) e in realta l’equazione di Eulero-Lagrange per il funzionaleE [Ψ]: per convincersene e sufficiente calcolare per Φ ∈ C∞0 (Rd) reale, assumendo che esista Ψ0,

0 = limε→0

E [Ψ0 + εΦ]− E0 ‖Ψ0 + εΦ‖22ε

= limε→0

1

ε

∫Rd

dx

2ε< (∇Ψ∗0 · ∇Φ) + ε2 |∇Φ|2 + 2ε< (VΨ∗0Φ) + ε2V |Φ|2 − 2εE0< (Ψ∗0Φ)− ε2E0|Φ|2

= 2<∫Rd

dx Ψ∗0 −∆Φ + V Φ− E0Φ .

Rimpiazzando Φ con iΦ si dimostra poi che anche che la parte immaginaria di tale quantita deve annullarsi.Quindi, se Ψ0 e lo stato fondamentale, allora deve risolvere (6.18) in senso debole, in quanto punto critico(in particolare minimo assoluto) del funzionale E [Ψ] sulla varieta ‖Ψ‖ = 11. Ricordiamo infatti che se H eun operatore differenziale simmetrico, Ψ soddisfa l’equazione differenziale HΨ = 0 in senso debole se, perogni Φ ∈ C∞0 (Rd), vale ∫

Rddx Ψ∗(x) (HΦ) (x) = 0.

A questo punto possiamo formulare il risultato principale di questo Capitolo

Teorema 6.2 (Esistenza dello stato fondamentale).Sia V reale, tale che per ogni a > 0, |x ∈ Rd | |V (x)| > a| < +∞ e

V ∈

Ld2 (Rd) + L∞(Rd), se d ≥ 3,

L1+ε(R2) + L∞(R2), se d = 2,

L1(R) + L∞(R), se d = 1,

(6.19)

allora −∞ < E0 ≤ 0 e, se E0 < 0, ∃Ψ0 ∈ H1(Rd) con ‖Ψ0‖ = 1 tale che E [Ψ0] = E0. Inoltre Ψ0 soddisfal’equazione di Schrodinger (6.18) in senso debole.

1Abbiamo implicitamente usato il teorema dei moltiplicatori di Lagrange per minimizzare sulla varieta ‖Ψ‖ = 1, ovveroabbiamo considerato la minimizzazione non vincolata di E [Ψ] − λ‖Ψ‖, con λ ∈ R moltiplicatore di Lagrange. Nel caso delminimo assoluto si vede immediatamente che λ = E0.

100

Osservazione 6.3. Ci si potrebbe chiedere come mai la dimostrazione non fornisca automaticamente anchel’unicita dello stato fondamentale. Il motivo sostanziale e che Ψ0 potrebbe in astratto dipendere dalla sceltadella successione debolmente convergente.

Osservazione 6.4. La seconda condizione su V e semplicemente la richiesta per una funzione Lp (e quindinon necessariamente continua) di tendere a 0 quando |x| → ∞. Si noti inoltre che nelle ipotesi del Teoremal’intero V deve soddisfare le (6.19), non solo la sua parte negativa.

Dimostrazione. Sia Ψnn∈N in H1(Rd) una successione minimizzante. Allora per quanto dimostrato nelTeorema 6.1

E [Ψn]→ E0 > −∞, T [Ψn] ≤ CE [Ψn] +D ‖Ψn‖22 ,per qualche costante C,D < +∞. Ma allora dalla stima sull’energia cinetica e dalla normalizzazione di Ψn

deduciamo chesupn∈N‖Ψn‖H1(Rd) < +∞, (6.20)

cioe per il Teorema di Banach-Alaoglu 6.5 siamo in un compatto nella topologia debole. Quindi (si vedaanche l’Osservazione 6.7) ∃ una sottosuccessione che chiameremo ancora Ψnn∈N con un piccolo abuso dinotazione tale che

Ψnw−→

n→∞Ψ0 ∈ H1(Rd). (6.21)

Inoltre grazie al Lemma 6.2 vale anche Ψnw−→

n→∞Ψ0 in L2(Rd).

Possiamo ora applicare i Lemma 6.3 e 6.4 ottenendo

E0 = lim infn→∞

E [Ψn] ≥ E [Ψ0]. (6.22)

Per ottenere la prima parte dell’enunciato rimane solo da dimostrare che ‖Ψ0‖ = 1, perche come sappiamoci puo essere perdita di norma sotto limite debole (si veda la Sezione 3.1). A tale scopo osserviamo cheE0 ≤ 0, come segue banalmente dal fatto che l’inf dello spettro dell’operatore di Schrodinger H = −∆ + Ve minore o uguale a 0: e sufficiente valutare E [Ψ] su una successione di stati di prova che approssimanofunzioni caratteristiche di insiemi compatti che si allontanano verso l’infinito e usare l’ipotesi che V si annulliall’infinito. Allora per la (6.22)

E0 = lim infn→∞

E [Ψn] ≥ E [Ψ0] ≥ E0 ‖Ψ0‖22 ,

dove abbiamo usato il fatto che E0 = inf E [Ψ] sulle funzioni normalizzate a 1. Ma allora poiche E0 ≤ 0,otteniamo immediatamente che ‖Ψ0‖2 ≥ 1. D’altra parte vale in generale che sotto limite debole la normapuo solo decrescere, cioe

‖Ψ0‖2 ≤ lim infn→∞

‖Ψn‖2 = 1,

e quindi ‖Ψ0‖2 = 1.Per mostrare che Ψ0 soddisfa l’equazione di Schrodinger in senso debole, dobbiamo rendere rigoroso il

calcolo fatto all’inizio della Sezione: sia allora Φ ∈ C∞0 (Rd) e ε ∈ R e chiamiamo

R(ε) =E [Ψ0 + εΦ]

‖Ψ0 + εΦ‖.

La funzione R(ε) e differenziabile in ε in un intorno di ε = 0 in quanto rapporto di due polinomi di ε diordine 2 e finita a ε = 0. Infatti R(0) = E0 ≤ R(ε) per ogni ε ∈ R, cioe R(0) = minεR(ε) e quindi R′(0) = 0.Resta ora solo da osservare che R′(0) = 0 e esattamente il conto riprodotto all’inizio della Sezione, il cuiunico passaggio delicato e l’integrazione per parti del termine cinetico∫

Rddx∇Ψ∗0 · ∇Φ =

∫Rd

dx Ψ∗0(−∆Φ),

che e pero garantito dal fatto che Ψ0 ∈ H1(Rd) e Φ ∈ C∞0 (Rd) (per questo secondo motivo non ci sonotermini di bordo).

101

Lemma 6.2 (Convergenza debole in H1 e L2).Sia Ψnn∈N una successione in L2(Rd) tale che Ψn

w−→n→∞

Ψ in H1(Rd), allora Ψnw−→

n→∞Ψ anche in L2(Rd).

Osservazione 6.5. Quanto affermato nel Lemma 6.2 e in realta conseguenza di un fatto molto piu generale:dato uno spazio X con due norme ‖ · ‖1 e ‖ · ‖2, tali che ‖ · ‖1 ≤ C ‖ · ‖2, C < ∞, cioe la topologia indottadalla norma 2 e piu forte di quella della norma 1, allora la convergenza debole rispetto alla norma 2 implicala covergenza debole rispetto alla norma 1. Ricordiamo a tale proposito che Ψn

w−→n→∞

Ψ in X rispetto ad una

certa norma ‖ · ‖ se per ogni funzionale lineare limitato F ∈ X∗, si ha F [Ψn] → F [Ψ]. Naturalmente ladefinizione dipende dalla norma ‖ · ‖ perche il duale di X e norma-dipendente e, nel caso delle due normeappena citato, X∗‖ · ‖1

⊂ X∗‖ · ‖2, che e anche l’ingrediente principale della dimostrazione.

Dimostrazione. Abbiamo che, per ogni Φ ∈ L2(Rd), grazie alla convergenza debole in H1 di Ψn, si ha

〈Φ |Ψn 〉L2(Rd) =

∫Rd

dk(k2 + 1

) Φ∗(k)

k2 + 1Ψn(k) =

∫Rd

dk(k2 + 1

)Ξ(k)Ψn(k) −→

n→∞〈Ξ |Ψ〉H1(Rd)

= 〈Φ |Ψ〉L2(Rd) ,

dove abbiamo posto Ξ(k) = Φ(k)/(k2 + 1) e osservato che, per ogni Φ ∈ L2(Rd), Ξ ∈ H1(Rd):

‖Ξ‖2H1(Rd) =

∫Rd

dk

∣∣Φ(k)∣∣2

k2 + 1≤ ‖Φ‖22 .

Lemma 6.3 (Semicontinuita dal basso dell’energia cinetica).Sia Ψnn∈N una successione in H1(Rd) tale che Ψn

w−→n→∞

Ψ in L2(Rd), allora

‖∇Ψ‖22 ≤ lim infn→∞

‖∇Ψn‖22 . (6.23)

Dimostrazione. La dimostrazione e come strategia molto simile a quella del fatto che la norma puo solodiminuire sotto convergenza debole. Ricordiamo che per il Teorema di Riesz e la densita delle funzioniregolari a supporto compatto in L2(Rd) si ha

‖Ψ‖22 = supΦ∈C∞0 (Rd),‖Φ‖=1

|〈Φ |Ψ〉| , (6.24)

e dunque

‖∇Ψ‖22 =∥∥kΨ

∥∥2

2= sup

Φ∈C∞0 (Rd),‖Φ‖=1

∣∣∣⟨kΦ∣∣Ψ⟩∣∣∣ = sup

Φ∈C∞0 (Rd),‖Φ‖=1

limn→∞

∣∣∣⟨kΦ∣∣Ψn

⟩∣∣∣= sup

Φ∈C∞0 (Rd),‖Φ‖=1

lim infn→∞

∣∣∣⟨Φ∣∣kΨn

⟩∣∣∣ ≤ supΦ∈C∞0 (Rd),‖Φ‖=1

‖Φ‖2 limn→∞

supm≥n

∥∥kΨn

∥∥2

= lim infn→∞

‖∇Ψn‖2 ,

dove abbiamo usato nell’ordine:

• la convergenza debole di Ψn in L2 per rimpiazzare Ψ con il limite della successione (si noti chekΦ ∈ L2(Rd) per ogni Φ ∈ C∞0 (Rd));

• il fatto che kΨn ∈ L2(Rd), che segue da Ψn ∈ H1(Rd), per poter sostituire il lim con il lim inf;

• la disuguaglianza di Cauchy sulle norme e la definizione di lim inf.

102

Lemma 6.4 (Continuita dell’energia potenziale).Sia Ψnn∈N una successione uniformemente limitata in H1(Rd) tale che Ψn

w−→n→∞

Ψ in L2(Rd), allora, se

V soddisfa le ipotesi del Teorema 6.2,limn→∞

V [Ψn] = V [Ψ]. (6.25)

Dimostrazione. Poniamo per δ > 0

Vδ(x) = V (x)1x∈Rd | |V (x)|≤ 1δ,

cosı che Vδ converge a V in Ld/2(Rd) quando δ → 0 (si veda la dimostrazione del Teorema 6.1). Allora∣∣∣∣∫Rd

dx (V − Vδ)|Ψn|2∣∣∣∣ ≤ ‖Ψn‖ 2d

d−2‖V − Vδ‖ d

2≤ C ‖Ψn‖H1 ‖V − Vδ‖ d

2−→δ→0

0,

uniformemente in n poiche ‖Ψn‖H1 e uniformemente limitata per ipotesi. Pertanto resta da dimostrare che∫Rd

dx Vδ(x) |Ψn(x)|2 −→n→∞

∫Rd

dx Vδ(x) |Ψ(x)|2 ,

per un certo δ fissato. Prendiamo allora ε > 0 e definiamo

Dε =

x ∈ Rd∣∣ |Vδ| > ε

,

cosı che per ipotesi |Dε| < +∞ per ogni ε > 0. Inoltre∣∣∣∣∣∫

Dcε

dx Vδ(x) |Ψn|2∣∣∣∣∣ ≤ ε ‖Ψn‖22 = ε,

e similmente ∣∣∣∣∣∫

Dcε

dx Vδ(x) |Ψ|2∣∣∣∣∣ ≤ ε ‖Ψ‖22 ≤ ε,

per semicontinuita della norma ‖Ψ‖ ≤ lim inf ‖Ψn‖ = 1. Allora decomponendo l’integrale su Dε e Dcε ci

basta dimostrare che ∫Dε

Vδ

(|Ψn|2 − |Ψ|2

)−→n→∞

0,

per ogni fissato δ, ε > 0, poiche i resti sono piccoli (in ε e δ) uniformemente in n. Ma d’altra parte∣∣∣∣∫Dε

Vδ

(|Ψn|2 − |Ψ|2

)∣∣∣∣ ≤ 1

δ‖Ψn + Ψ‖2 ‖Ψn −Ψ‖L2(Dε)

≤ 2

δ‖Ψn −Ψ‖L2(Dε)

−→n→∞

0,

per quanto dimostrato nel prossimo Teorema 6.3.

Concludiamo questa Sezione enunciando due risultati generali che sono stati usati nella dimostrazione delTeorema 6.2 e dei Lemma relativi.

Teorema 6.3 (Teorema di Rellich-Kondrashev).

Sia Ψnn∈N una successione in H1(Rd) tale che Ψnw−→

n→∞Ψ in H1(Rd), d ≥ 3 , allora Ψn

‖ ‖−→n→∞

Ψ in L2(K),

per ogni compatto K ⊂ Rd.

Osservazione 6.6. In realta con il nome di Teorema di Rellich-Kondrashev ci si riferisce solitamente a unrisultato piu generale che da convergenza in norma in Lp(K) con 1 ≤ p ≤ 2d

d−2 in d ≥ 3, 1 ≤ p <∞ in d = 2e 1 ≤ p ≤ ∞ in d = 1.

103

Dimostrazione. Usiamo un approssimante C∞ dell’indentita jm ? Ψn come discusso nel Lemma 6.5, doveabbiamo posto per semplicita di notazione jm := jεm con ε = 1/m, m ∈ N. Dopodiche scriviamo

‖Ψn −Ψ‖L2(K) = ‖Ψn − jm ?Ψn + jm ? (Ψn −Ψ) + jm ?Ψ−Ψ‖L2(K)

≤ ‖Ψn − jm ?Ψn‖L2(K) + ‖jm ? (Ψn −Ψ)‖L2(K) + ‖jm ?Ψ−Ψ‖L2(K) . (6.26)

Dei tre termini al membro di destra della disuguaglianza precedente l’ultimo e il piu facile perche il Lemma6.5 garantisce che

limm→∞

‖jm ?Ψ−Ψ‖L2(K) = 0. (6.27)

La stessa cosa vale per il primo termine ma non uniformemente in n ∈ N. Stessa cosa per il secondo termine:puntualmente in K

|jm ? (Ψn −Ψ)(x)| ≤∫Rd

dy jm(y) |(Ψn −Ψ) (x− y)| ≤ ‖jm‖L2(K) ‖Ψn −Ψ‖L2(K′) −→n→∞ 0,

ma non uniformemente in m. Con K ′ abbiamo indicato un qualunque compatto che contenga l’insiemez = x− y ∈ Rd | x ∈ K,y ∈ supp(jm).

Per il primo termine al membro di destra della (6.26) la soluzione e contenuta nel principio di uniformelimitatezza (Teorema 6.4) che ci garantisce che

supn∈N‖Ψn‖H1(Rd) < +∞.

Questo e sufficiente per concludere che la convergenza del primo termine a 0 quando m → ∞ e in realtauniforme in n ∈ N: osserviamo anzitutto che per ogni Ψ ∈ H1(Rd)∫

Rddx |Ψ(x− y)−Ψ(x)|2 =

1

(2π)d/2

∫Rd

dk∣∣∣e−ik·y − 1

∣∣∣2 ∣∣Ψ(k)∣∣2 ≤ |y|2 ∫

Rddkk2

∣∣Ψ(k)∣∣2 ≤ |y|2 ‖Ψ‖2H1(Rd) ,

cosı che

‖Ψn − jm ?Ψn‖2 ≤

(∫Rd

dx

∣∣∣∣Ψn(x)−∫Rd

dy Ψn(x− y)jm(y)

∣∣∣∣2)1/2

=

(∫Rd

dx

∣∣∣∣∫Rd

dy [Ψn(x)−Ψn(x− y)] jm(y)

∣∣∣∣2)1/2

≤∫Rd

dy

(∫Rd

dx |Ψn(x)−Ψn(x− y)|2)1/2

jm(y)

≤ ‖Ψn‖H1(Rd)

∫Rd

dy |y| jm(y) ≤ C

m−→m→∞

0, (6.28)

dove abbiamo usato la disuguaglianza triangolare per le norme ovvero∥∥∥∥∫Rd

dya(y)Ψ(· − y)

∥∥∥∥ ≤ ∫Rd

dy |a(y)| ‖Ψ(· − y)‖ .

Per il secondo termine invece osserviamo che puntualmente

jm ? (Ψn −Ψ)(x) =

∫Rd

dy Ψn(y)jm(x− y) −→n→∞

∫Rd

dy Ψ(y)jm(x− y),

per convergenza debole in L2(Rd) implicata dalla convergenza H1(Rd) (Lemma 6.2). Inoltre

|jm ? (Ψn −Ψ)(x)| ≤ ‖Ψn‖2 ‖jm‖2 ≤ C ‖jm‖2 ,

uniformemente in n ∈ N. Quindi sfruttando la convergenza dominata e la compattezza di K, la convergenzapuntuale dimostrata sopra implica che

limn→∞

‖jm ? (Ψn −Ψ)‖ = 0. (6.29)

104

Sottolineamo pero che il limite precedente non e uniforme in m.Riassumendo e mettendo insieme le (6.28), (6.27) e (6.29) si ottiene che, fissato ε > 0, esiste m tale che

per m ≥ m sia il primo che il terzo termine in modulo sono minori o uguali a ε/3. Fissato ora m ≥ m,quanto dimostrato nella (6.29) garantisce che esiste n(m) tale che se n ≥ n(m) anche il secondo terminein modulo e minore o uguale a ε/3. In conclusione l’intera somma nella (6.26) e minore o uguale a ε e ilrisultato e dimostrato.

Lemma 6.5 (Approssimante C∞ dell’identita).Sia Ψ ∈ Lp(Rd) e j ∈ L1(Rd) ∩ C∞0 (Rd) tale che j ≥ 0 e ‖j‖1 = 1. Se chiamiamo jε(x) = ε−dj(x/ε) allora

i) jε ?Ψ −→ε→0

Ψ in norma in Lp(Rd);

ii) jε ?Ψ ∈ C∞(Rd) e (jε ?Ψ)(n) = j(n)ε ?Ψ.

Cenni di dimostrazione. Il risultato e sostanzialmente una conseguenza diretta della densita di C∞(K) inLp(K) con K compatto qualunque in Rd. Per i dettagli della dimostrazione si veda [LL, Teorema 2.16].

Gli ultimi due teoremi che presentiamo rivestono una grande importanza in analisi funzionale. Omettiamole dimostrazioni ma il lettore interessato puo consultare [RS1, Teorema III.9] e [RS1, Teorema IV.21].

Teorema 6.4 (Principio di uniforme limitatezza).Sia Ψnn∈N una successione in uno spazio normato X, ‖ ‖, tale che Ψn

w−→n→∞

Ψ ∈ X rispetto alla norma

‖ ‖, allorasupn∈N‖Ψn‖ < +∞. (6.30)

Teorema 6.5 (Teorema di Banach-Alaoglu).Sia H uno spazio di Hilbert separabile, allora ‖Ψ‖ ≤ C e un insieme compatto nella topologia debole.

Osservazione 6.7. Una conseguenza immediata del Teorema di Banach-Alaoglu e che se una successioneΨnn∈N e tale che ‖Ψn‖ ≤ C < +∞ uniformemente in n, allora ∃ una sottosuccessione

Ψnj

j∈N tale che

Ψnjw−→

j→∞Ψ ∈H .

Osservazione 6.8. Il Teorema di Banach-Alaoglu e in realta un risultato molto piu generale fra quellifondanti per l’analisi funzionale moderna. Vale infatti l’analogo del Teorema 6.5 in ogni spazio di Banach,con la topologia debole sostituita da quella ∗-debole, cioe la topologia che rende continui tutti i funzionali nelduale.

6.3 Unicita dello Stato Fondamentale

Come anticipato nell’Osservazione 6.3, l’esistenza dello stato fondamentale non va di pari passo con lasua unicita, cioe perche Ψ0 sia unico e necessario fare ulteriori ipotesi e, in ogni caso, per dimostrarloservono argomenti diversi. Notiamo pero che il Teorema 6.2 da un’indicazione interessante: se l’equazionedi Schrodinger (6.18) e risolta in forma debole da Ψ0, allora anche Ψ∗0 ne e una soluzione debole, come siverifica facilmente. Pertanto questo ci suggerisce che Ψ0 possa sempre essere preso reale.

Inoltre l’equazione di Schrodinger ha anche conseguenze interessanti sulla regolarita di Ψ0 che riassu-miamo nel prossimo Teorema di cui non daremo dimostrazione (si veda per ulteriori dettagli [LL, Teorema11.7]).

Teorema 6.6 (Regolarita delle soluzioni dell’equazione di Schrodinger).Sia B ⊂ Rd una palla aperta e siano Ψ, V ∈ L1(Rd) tali che la seguente equazione differenziale sia soddisfattain senso debole

−∆Ψ + VΨ = 0. (6.31)

Allora per ogni palla B′ concentrica con B e di raggio strettamente minore

105

i) in d = 1, Ψ ∈ C1(B′);

ii) in d = 2, Ψ ∈ Lp(B′), ∀p < +∞;

iii) in d ≥ 3, Ψ ∈ Lp(B′), ∀p < dd−2 ;

iv) per ogni d, se V ∈ Ck(B′) allora Ψ ∈ Ck+2(B′).

Il Teorema precedente si applica su un compatto, ma e facile generalizzarlo al caso dell’intero spazio.Ad esempio se assumiamo che Ψ ∈ L2(Rd) e VΨ ∈ L2(Rd), l’equazione di Schrodinger ci garantisceautomaticamente che Ψ ∈ H2(Rd).

Torniamo alla questione dell’unicita e formuliamo il risultato principale della Sezione:

Teorema 6.7 (Unicita dello stato fondamentale).Sia Ψ0 ∈ H1(Rd) lo stato fondamentale di H normalizzato ‖Ψ0‖2 = 1, V ∈ L1

loc(Rd) reale, V localmentelimitato dall’alto e V |Ψ0|2 ∈ L1(Rd), allora Ψ0 soddisfa l’equazione di Schrodinger (6.18) in senso debole.Inoltre Ψ0 puo essere scelta strettamente positiva e Ψ0 e unica a meno di moltiplicazione per fattori di fasecostanti.

Osservazione 6.9. Si noti che il fatto che Ψ0 soddisfi la (6.18) e un nuovo risultato, perche ottenutocon ipotesi diverse da quelle del Teorema 6.2. Infatti fra le ipotesi del Teorema 6.7 vi e l’esistenza di unminimizzatore.

Dimostrazione. La dimostrazione che Ψ0 e soluzione di (6.18) e identica a quella contenuta nelladimostrazione del Teorema 6.2 e la omettiamo per brevita .

La disuguaglianza diamagnetica (Lemma 6.6) poi implica che E [|Ψ0|] ≤ E [Ψ0] = E0 ma siccome E0 =inf E [Ψ] deve anche essere E [|Ψ0|] = E0, cioe |Ψ0| e ancora un minimizzatore. Inoltre per la seconda partedel Lemma 6.6, se |Ψ0| > 0, deve anche essere Ψ0 = λ|Ψ0|.

Supponiamo ora che esistano due stati fondamentali Ψ0 6= Ψ0 e E [Ψ0] = E0, allora possiamo sceglieresia Ψ0 ≥ 0 che Ψ0 ≥ 0 e supporre che Ψ0 ⊥ Ψ0, per linearita dello spazio degli stati fondamentali: se Ψ0 eΨ′0 sono stati fondamentali allora anche Ψ0 = αΨ0 + βΨ′0 lo e e possiamo aggiustare α, β ∈ C in modo che‖Ψ0‖ = 1 e Ψ0 ⊥ Ψ0. A questo punto avremmo che per ogni palla B ⊂ Rd∫

Bdx Ψ0(x)Ψ0(x) = 0, (6.32)

poiche l’integrando e una funzione non negativa ovunque. Ma per la disuguaglianza di Harnack (Lemma6.7 e la successiva Osservazione 6.12) se Ψ0 e Ψ0 non sono identicamente nulle deve esistere un compattoK ⊂ Rd tale che Ψ0(x) > 0 e Ψ0(x) > 0 per ogni x ∈ K, e, di conseguenza∫

Kdx Ψ0(x)Ψ0(x) > 0,

che contraddice la (6.32). Pertanto lo stato fondamentale e unico. Ma se e unico allora puo essere sceltopositivo e di nuovo la disuguaglianza di Harnack implica che |Ψ0| > 0, mentre la seconda parte del Lemma6.6 che Ψ0 = λ|Ψ0|.

I due Lemma coinvolti nella dimostrazione del Teorema 6.7 sono formulati qui di seguito. Per ladimostrazione di entrambi si vedano rispettivamente [LL, Teorema 7.8 e Teorema 9.10].

Lemma 6.6 (Disuguaglianza diamagnetica).Per ogni Ψ ∈ H1(Rd) si ha |Ψ| ∈ H1(Rd) e

‖∇|Ψ|‖2 ≤ ‖∇Ψ‖2 , (6.33)

e, se |Ψ| > 0, l’uguaglianza e soddisfatta se e solo se Ψ = λ|Ψ|, |λ| = ±1.

106

Osservazione 6.10. In effetti dove Ψ puo essere decomposta in Ψ = |Ψ|eiΦ cioe lontano dai punti in cuiΨ si annulla, la disuguaglianza vale sostanzialmente a livello puntuale q.o.:

|∇Ψ|2 = |∇|Ψ||2 + |Ψ|2 |∇Φ|2 ≥ |∇|Ψ||2 .

Questo in effetti e il modo in cui il risultato e dimostrato dove |Ψ| > 0. Vicino agli zeri di Ψ invece bisognaprocedere a una regolarizzazione della funzione.

Osservazione 6.11. Con il nome disuguaglianza diamagnetica si indica anche un risultato piu generaleche sia applica in presenza di campi magnetici: sia A : Rd → Rd una funzione sufficientemente regolare(ad esempio H1(Rd)) che viene detta potenziale vettore e B = ∇ ×A il relativo campo magnetico, alloral’energia cinetica in presenza di tale campo deve essere modificata e diventa∫

Rddx |(∇− iA) Ψ|2 . (6.34)

La disuguaglianza diamagnetica generalizzata afferma che se la quantita di sopra e finita, allora |Ψ| ∈ H1(Rd)e

‖∇|Ψ|‖2 ≤ ‖(∇− iA) Ψ‖2 . (6.35)

Lemma 6.7 (Disuguaglianza di Harnack).Sia Ω ⊂ Rd connesso e aperto e V misurabile limitato dall’alto in Ω. Sia Ψ ≥ 0 in L1

loc(Ω) tale cheVΨ ∈ L1

loc(Ω) e−∆Ψ + VΨ ≥ 0, (6.36)

in senso debole2. Allora esiste una funzione Ψ semicontinua inferiormente tale che Ψ = Ψ q.o. e, per ogniK compatto contenuto in Ω, ∃C(K) > 0 tale che

Ψ(x) ≥ C∫K

dy Ψ(y), (6.37)

per ogni x ∈ K.

Osservazione 6.12. Una conseguenza banale ma sostanziale per l’uso che vogliamo fare della disuguaglianzadi Harnack e che se Ψ ≥ 0 non e identicamente nulla in K ⊂ Ω, allora

Ψ(x) ≥ C∫K

dy Ψ(y) > 0, (6.38)

per ogni x ∈ K, cioe la funzione e strettamente positiva in K.

2Cioe testata su funzioni di prova Φ ∈ C∞0 (Ω) non negative.

Capitolo 7

Stati Eccitati

Fin’ora ci siamo limitati a considerare lo stato fondamentale ma viene naturale chiedersi se le stesse proprietavalgano anche per gli altri stati legati. Per prima cosa dobbiamo specificare cosa intendiamo per stato legatoo stato eccitato: solitamente uno stato legato indica uno stato nel quale la probabilita di osservare il sistemaal di fuori di un compatto tende a 0 quando la taglia del compatto tende all’infinito. Nel concreto Ψ ∈ L2(Rd)e stato legato se ∫

BcR

dx |Ψ(x)|2 −→R→∞

0. (7.1)

Quando poi il termine stato legato e riferito a un operatore di Schrodinger H si intende implicitamenteche esso sia anche un autostato (eventualmente generalizzato) di H. Chiaramente la proprieta precedentevale per ogni autofunzione di H normalizzata in L2(Rd). Per capire la differenza discutiamo brevemente ilcaso opposto, cioe gli stati di scattering per cui la proprieta (7.1) e falsa: ogni quasi-autostato relativo apunti dello spettro essenziale di H e infatti di questo tipo. Si pensi ad esempio allo spettro dell’operatoreimpulso su L2(R): lo spettro e l’intera retta reale ed e completamente continuo; i suoi quasi-autostati sonoapprossimanti L2 delle onde piane eikx, k ∈ R, che ovviamente non stanno in L2 e la cui norma al di fuoridi qualunque compatto non decade mai, poiche il modulo della funzione stessa e costante.

Quindi riassumendo identificheremo gli stati legati con autostati di H a energia negativa. Quest’ultimaproprieta e conseguenza del fatto che tipicamente lo spettro essenziale di H copre il semiasse positivo enon sono presenti autovalori positivi (come abbiamo visto ad esempio per l’atomo di idrogeno). Esistononaturalmente delle eccezioni ma questo e sostanzialmente il caso che vogliamo prendere in considerazione.

Piu precisamente consideriamo un’Hamiltoniana H della forma

H = −∆ + V (7.2)

con V (x) ∈ L1loc(Rd) che tende a 0 quando |x| → ∞ (faremo anche altre ipotesi su V successivamente). Si

veda ad esempio l’enunciato del Teorema 6.2 per la formulazione corretta di tale proprieta. In ogni caso sottoqueste ipotesi E0 ≤ 0 e, siccome siamo interessati a studiare ulteriori autovalori di H negativi, assumeremoche

E0 < 0. (7.3)

Possiamo allora definire iterativamente gli stati eccitati di H con energia negativa nel modo seguente

Definizione 7.1 (Stati eccitati).Siano E0 ≤ . . . ≤ Ek−1 ≤ 0 e Ψ0, . . . ,Ψk−1 le energie e le autofunzioni dei primi k stati eccitati, alloral’energia dello stato eccitato k + 1-esimo e

Ek = infΨ∈Dk

E [Ψ], (7.4)

con Dk =

Ψ ∈ L2(Rd) | ‖Ψ‖ = 1, 〈Ψ |Ψj 〉 , j = 0, . . . , k − 1

. Se esiste Ψk ∈ Dk tale che E [Ψk] = Ek, alloraΨk e lo stato eccitato k + 1-esimo.

107

108

Si noti che la definizione del k + 1-esimo stato eccitato richiede l’esistenza dei primi k stati eccitati. Inoltree importante osservare che tutte le precedenti energie devono essere non positive.

Come anche per lo stato fondamentale l’esistenza di Ψk e strettamente connessa con l’esistenza di unasoluzione dell’equazione di Schrodinger

−∆Ψ + VΨ = EkΨ. (7.5)

7.1 Proprieta degli Stati Eccitati

Raccogliamo tutte le proprieta piu rilevanti degli stati eccitati nel seguente

Teorema 7.1 (Stati eccitati).Sia V tale che le ipotesi del Teorema 6.2 siano soddisfatte e supponiamo che esistano k autofunzioniΨ0, . . . ,Ψk−1 di H agli autovalori E0 ≤ E1 ≤ · · · ≤ Ek−1 < 0, allora esiste Ψk ∈ H1(Rd) stato eccita-to k-esimo. Inoltre Ψk puo essere scelta reale e soddisfa (7.5) in senso debole. Infine Ek ha molteplicitafinita.

Osservazione 7.1. L’ipotesi che Ek < 0 e cruciale nella dimostrazione. Anzi si puo applicare ripetutamenteil precedente Teorema, ricavando progressivamente l’esistenza di stati eccitati fino a che Ek ≥ 0 per un certok.

Cenni di dimostrazione. Per quanto riguarda l’esistenza di Ψk si procede come nella dimostrazione del Teo-rema 6.2 con l’unica accortezza di osservare che il limite debole preserva il vincolo Ψ ⊥ Ψj , j = 0, . . . , k− 1.Si noti che la condizione Ek < 0 gioca lo stesso ruolo di E0 < 0 nella dimostrazione del Teorema 6.2.

Vediamo ora come si dimostra che Ψk risolve la (7.5): considerando la variazione di E [Ψk] data da E [Ψε]con Ψε = Ψk + εΦ e Φ ∈ C∞0 (Rd) ortogonale a tutte le Ψj , j = 0, . . . , k − 1, si ottiene che, in senso debole,

−∆Ψk + VΨk − EkΨk =k−1∑j=0

cjΨj . (7.6)

Bisogna ora dimostrare che cj = 0 per ogni j. L’idea e sostanzialmente quella di prendere il prodotto scalaredell’equazione con Ψ∗j , ma tale funzione non e in C∞0 (Rd). Prendiamo allora Ψj,ε data da un approssimanteC∞ di Ψj (si veda il Lemma 6.5) moltiplicata per un approssimate C∞ della funzione caratteristica di unapalla con raggio 1/ε. La funzione cosı ottenuta ovviamente converge a Ψj in norma quando ε → 0 ed e inC∞0 (Rd). Moltiplicando (7.6) per Ψ∗j,ε e integrando otteniamo

k−1∑i=0

ci 〈Ψj,ε |Ψi 〉 = cj + o(1) =

∫Rd

dx Ψ∗j,ε −∆Ψk + VΨk − EkΨk

=

∫Rd

dx∇Ψ∗j,ε · ∇Ψk + VΨ∗j,εΨk

+ o(1) =

∫Rd

dx∇Ψ∗j,ε · ∇Ψk + VΨ∗j,εΨk − EjΨ∗j,εΨk

+ o(1)

=

∫Rd

dx −∆Ψj,ε + VΨj,ε − EjΨj,ε∗Ψk + o(1) = o(1),

dove abbiamo usato ripetutamente che ‖Ψj −Ψj,ε‖ = o(1).Assumiamo infine per assurdo che Ek abbia molteplicita infinita. Questo vorrebbe dire che esistono

Ψk,Ψk+1, . . . ortonormali che soddisfano la (7.5) in senso debole. Siccome per ciascuna di queste funzionila norma H1 e uniformemente limitata in k, possiamo estrarre una sottosuccessione Ψkjj∈N convergente

in senso debole per il Teorema di Banach-Alaoglu 6.5. Avremmo quindi Ψkjw−→

j→∞Ψ, ma una successione di

funzioni ortonormali che converge debolmente non puo che convergere a 0. Ma allora

Ek = lim infj→∞

∫Rd

dx∣∣∇Ψkj

∣∣2 + V∣∣Ψkj

∣∣2 = lim infj→∞

∫Rd

dx∣∣∇Ψkj

∣∣2 ≥ 0,

che contraddice l’ipotesi che Ek < 0.

Parte III

Stabilita della Materia

109

110

Dal punto di vista fisico il problema della stabilita della materia e stato fra quelli che hanno recitatoun ruolo cruciale nella nascita e sviluppo della MQ. Abbiamo infatti visto all’inizio del corso come la fisicaclassica non sia in grado di fornire un modello stabile di atomo o in generale di materia costituita da atomi ininterazione. Per riassumere, in ambito classico, il moto dell’elettrone attorno al nucleo, cosı come concepitonel modello planetario, produce irraggiamento di onde elettromagnetiche e, conseguentemente, perdita dienergia cinetica dell’elettrone, che in un tempo finto cade sul nucleo. Le equazioni di evoluzione classica daquel momento in poi perdono senso e la dinamica del sistema non e globale nel tempo.

In MQ il problema e risolto, dato che, come abbiamo dimostrato nel Capitolo 5, la dinamica quantisticadell’atomo di idrogeno e globale nel tempo. Tuttavia non e a questo ancora chiaro se tale proprieta siestenda a qualunque insieme di atomi, ovvero alla materia cosı come la concepiamo. In MQ l’analogodel fenomeno di caduta sul centro e il collasso del sistema dovuto alla possibilita di raggiungere stati conenergia arbitrariamente bassa. In altri termini la stabilita di cui stiamo parlando, che chiameremo stabilitadi prima specie in analogia con quanto discusso nella Sezione 6.1, va di pari passo con la limitatezza dalbasso dell’energia raggiungibile dal sistema fisico, o, dal punto di vista matematico, la limitatezza dal bassodell’energia dello stato fondamentale.

Si noti che ancora nel 1915 Jeans si mostrava dubbioso sulla possibilita che ogni sistema interagentecon un potenziale coulombiano genuino potesse essere stabile. Citando alla lettera da [J, p. 168]: “[...]there would be a very real difficulty in supposing that the law 1

r2 held down to zero values of r. For the forcebetween two charges at zero distance would be infinite; we should have charges of opposite sign continuallyrushing together and, when once together, no force would adequate to separate them. [...] Thus the matterin the universe would tend to shrink into nothing or to diminish indefinitely in size.”.

Come vedremo, invece, anche per sistemi a molte particelle composti da piu di un atomo, tale stabilitae garantita dalla MQ e, in un certo senso, il motivo fisico e sostanzialmente il principio di indeterminazioneche dal punto di vista matematico prende la forma delle disuguaglianze di Sobolev, esattamente come per ilTeorema 6.1.

Vi e pero una seconda forma di stabilita piu sottile, che e tuttavia necessaria per dare conto del mondoche ci circonda. Sin dai primi anni del secolo XX infatti, con la comparsa delle prime teorie quantistiche, ci sie subito chiesti come mai la materia occupasse porzioni cosı ampie di spazio o, equivalentemente, come maiall’interno di qualunque materiale il volume occupato fisicamente dagli atomi fosse una frazione minuscoladell’intero volume del corpo (si veda ad esempio la discussione dell’esperimento di Rutherford nella Sezione1.3). Diceva al riguardo nel 1931 Ehrenfest in [E, p. 617]: “We take a piece of metal. Or a stone.When we think about it, we are astonished that this quantity of matter should occupy so large a volume.Admittedly, the molecules are packed tightly together, and likewise the atmos within each molecule. But whyare the atoms themselves so big? Consider for example the Bohr model of an atom of lead. Why do so fewof the 82 electrons run in the orbits close to the nucleus? The attraction of the 82 positive charges in thenucleus is so strong. Many more of the 82 electrons could be concentrated into the inner orbits, before theirmutual repulsion would become too large. What prevents the atom from collapsing in this way?”. La rispostaa queste domande e connessa al problema della stabilita di seconda specie, cioe al fatto che l’energia di unsistema di N particelle cariche in MQ sia proporzione al numero di particelle N stesso, e non a potenze piualte dello stesso numero N . Infatti la linearita in N dell’energia del fondamentale di N particelle comportache il volume occupato dal sistema e anch’esso lineare in N (estensivita della materia), come vedremo neldettaglio.

Il risultato principale che dimostreremo in quest’ultima parte del corso e proprio che un sistema di Ncariche negative (elettroni) con M nuclei di carica positiva Zie, i = 1, . . . ,M e stabile di seconda specie.Riguardo al motivo fisico la risposta sta in quello che e noto come principio di esclusione di Pauli, ovveronelle proprieta speciali dei sistemi di particelle identiche in MQ. Come vedremo lo spin delle particelledetermina la loro natura nel senso che particelle identiche quantistiche possono essere di due tipi: bosoni(nel caso di spin intero) e fermioni (nel caso di spin semi-intero). Questi ultimi soddisfano il principio diesclusione di Pauli, che, a grandi linee, impedisce a due fermioni identici (come gli elettroni) di occuparelo stesso stato quantistico a una particella. A livello atomico percio ci puo essere al piu un elettrone perorbita ammessa e cosı si spiega il numero relativamente piccolo di elettroni nelle orbite interne. Tornando

111

a Ehrenfest in [E, p. 617] si rispondeva1: “Answer: only the Pauli principle, ‘No two electrons in thesame state.’ That is why atoms are so unnecessarily big, and why metal and stone are so bulky. You mustadmit, Pauli, that if you would only partially repeal your prohibition, you could relieve many of our practicalworries, for example the traffic problem on our streets.”.

Inoltre mostreremo come la natura fermionica degli elettroni sia non solo sufficiente ma anche necessariaper la stabilita di seconda specie: ipotizzando l’esistenza di un sistema analogo di cariche negative bosonicheinteragenti con nuclei positivamente carichi, dimostreremo che la stabilita di seconda specie non vale pertale sistema e la sua energia dello stato fondamentale e proporzionale a N5/3. In effetti con qualche faticain piu e ammettendo che i nuclei si possano muovere e possibile dimostrare [Dy] una stima leggermentemigliore. Afferma Dyson in [Dy] che senza il principio di esclusione di Pauli: “We show that not onlyindividual atoms but matter in bulk would collapse into a condensed high-density phase. The assembly ofany two macroscopic objects would release energy comparable to that of an atomic bomb. It is thus fortunatethat Pauli was unwilling to comply with Ehrenfest’s well-intentioned proposal.”

Nel seguito:

• dimostreremo la stabilita di prima specie;

• introdurremo alcune proprieta delle particelle identiche in MQ e definiremo la stabilita di secondaspecie;

• dimostreremo le disuguaglianze di Lieb-Thirring che riassumono in modo matematicamente sinteticoil principio di esclusione di Pauli;

• discuteremo brevemente alcuni risultati di elettrostatica, inclusa la disuguaglianza di Baxter;

• completeremo la dimostrazione della stabilita della materia di seconda specie.

1Queste parole erano infatti rivolte da Ehrenfest a Pauli in occasione della riconoscimento ottenuto con la medagliaLorentz.

Capitolo 8

Stabilita di Prima Specie

Per prima cosa introduciamo il sistema che vogliamo studiare e l’Hamiltoniana relativa: consideremo lamateria come composta da N elettroni di massa me e carica −e, interagenti fra di loro e con M nucleidi carica Zje, con Zj ∈ N e j = 1, . . . ,M . La posizione degli N elettroni nello spazio R3 sara indicatada xi, i = 1, . . . , N , mentre indicheremo con Rj , j = 1, . . . ,M , le posizioni dei nuclei. Vogliamo dunquescrivere l’energia di questo sistema di particelle interagenti in cui l’energia potenziale e generata solamentedall’interazione elettrostatica delle cariche coinvolte.

Per semplificare la discussione sceglieremo delle unita di misura opportune in cui l’Hamiltoniana sia lapiu semplice possibile. In particolare misureremo

• le lunghezze in unita di lunghezza Compton dell’elettrone λC =~mec

≈ 3.86 · 10−11cm;

• l’energia in unita di energia a riposo dell’elettrone mec2 ≈ 0.5MeV;

• il tempo in unita di λC/(mec2) ≈ 1.29 · 10−19s.

Questa scelta sara equivalente a porre ~ = me = c = 1 (unita naturali) e rimpiazzare la carica e con√α,

dove α e la costante di struttura fine

α =e2

~c≈ 1

137. (8.1)

Una seconda semplificazione o, piu precisamente, un’approssimazione che faremo e quella di considerare inuclei fissi e trascurare la loro energia cinetica. Il semplice motivo e che ciascun nucleo ha una massa almenoZjmp, con mp ≈ 2000me la massa del protone. Come e facile intuire il rapporto di massa e cosı sbilanciatoche sulle scale di energia, tempo e lunghezza che vogliamo considerare i nuclei si possono ragionevolmenteconsiderare fermi. Va tuttavia ricordato che questa semplificazione non inficia il risultato che dimostreremonel Capitolo 12: la presenza dell’energia cinetica dei nuclei richiederebbe infatti un adattamento della dimo-strazione abbastanza semplice, ma allo stesso non darebbe origine a nuovi fenomeni. Per questo assumeremoi nuclei fermi nei punti Rjj=1,...,M che compariranno come parametri nella nostra energia.

Fatte queste premesse allora dovremo scrivere un operatore che agisca sulla funzione d’onda di N elettroniin L2(R3), dove trascureremo per il momento le proprieta fermioniche degli elettroni:

H(N,M,R,Z) =

N∑i=1

(−1

2∆i

)+ αVC(X; R,Z), (8.2)

dove abbiamo indicato sinteticamente

X = (x1, . . . ,xN ), R = (R1, . . . ,RM ) , Z = (Z1, . . . , ZM ), (8.3)

e il potenziale VC e dato da

VC(X; R,Z) = W (X; R,Z) + I(X) + U(R,Z), (8.4)

112

113

e W, I e U rappresentano rispettivamente le energie di interazione degli elettroni con i nuclei, degli elettronifra di loro e dei nuclei fra di loro, cioe

W (X; R,Z) = −N∑i=1

M∑j=1

Zj|xi −Rj |

; (8.5)

I(X) =∑

1≤i<j≤N

1

|xi − xj |; (8.6)

U(R,Z) =∑

1≤j<k≤M

ZjZk|Rj −Rk|

. (8.7)

Indicheremo poi come nei Capitoli precedenti

E [Ψ] = 〈Ψ |H|Ψ〉 = T [Ψ] + V [Ψ]. (8.8)

La quantita che sara al centro del nostro studio e l’energia dello stato fondamentale di H, ovvero E0,a =inf σ(H) oppure in termini variazionali1

E0,a(N,M,R,Z) = infΨ∈DN

E [Ψ], (8.9)

con DN =

Ψ ∈ H1(R3N ) | ‖Ψ‖2 = 1

.

Definizione 8.1 (Stabilita di prima specie).Diciamo che la materia e stabile di prima specie se per ogni R ∈ R3M e Z ∈ RM , con Zj ≤ Z <∞ perogni j = 1, . . . ,M ,

E0,a(N,M,R,Z) > −∞. (8.10)

Si noti che a rigor di logica fra le possibili configurazioni dei nuclei vi e quella in cui le posizioni di 2 o piunuclei coincidono. Tale configurazione e ovviamente singolare per il potenziale coulombiano ma, grazie alfatto che il termine U(R,Z) del potenziale VC diverge a +∞ quando |Rj −Rk| → 0, tale configurazione ecertamente stabile di prima specie. Percio quando verificheremo la stabilita di prima specie della materiapossiamo implicitamente assumere che Rj 6= Rk.

Teorema 8.1 (Stabilita di prima specie della materia).Per ogni R ∈ R3M e Z ∈ RM , con Zj ≤ Z <∞ per ogni j = 1, . . . ,M ,

E0,a(N,M,R,Z) ≥ −12α

2Z2M2N. (8.11)

Dimostrazione. Per prima cosa possiamo liberarci dell’energia potenziale di U(R,Z), il cui contributo esicuramente positivo. Poi scriviamo

H =

N∑i=1

hi + U(R,Z), hi = −12∆i + Vi(xi; xi+1, . . . ,xN ,R,Z), (8.12)

dove

Vi(xi; xi+1, . . . ,xN ,R,Z) = Wi(xi; R,Z) + Ii(xi; xi+1, . . . ,xN ) = −M∑j=1

αZj|xi −Rj |

+

N∑j=i+1

α

|xi − xj |. (8.13)

Il contributo dell’energia potenziale dovuta alla repulsione fra gli elettroni e anch’esso positivo e quindiotteniamo la stima dal basso

H ≥N∑i=1

hi, hi = −12∆i + Vi(xi; R,Z), Vi(xi; R,Z) = −

M∑j=1

αZj|xi −Rj |

,

1La label a nell’energia E0,a indica che stiamo considerando lo stato fondamentale assoluto, cioe non vincolato, se si escludela richiesta di normalizzazione in L2(R3). Nel seguito considereremo altri domini di minimizzazione (piu ristretti).

114

dove gli operatori hi sono ora della forma 1⊗· · ·⊗ 1⊗ hi⊗ 1⊗· · ·⊗ 1, cioe scrivendo L2(R3N ) = ⊗NL2(R3),le altre copie di L2(R3) sono lasciate invarianti.

Per dimostrare la limitatezza dal basso di H ci basta allora dimostrare che ognuna delle hi e limitata dalbasso e la stima (8.11) seguira sommando su N la singola stima dal basso. D’altra parte possiamo applicarea hi direttamente il Teorema 6.1, grazie al fatto che(

Vi

)−∈ L3/2(R3) + L∞(R3). (8.14)

Per dimostrarlo osserviamo anzitutto che e sufficiente considerare un termine con j fissato alla volta; inoltredecomponendo

(Vi

)−

=

M∑j=1

αZj|xi −Rj |

=

M∑j=1

αZj

|xi −Rj |1|xi−Rj |≤R +

αZj|xi −Rj |

1|xi−Rj |>R

,

si vede subito che, per ogni j = 1, . . . ,M , il primo termine sta in L3/2(R3) mentre il secondo e limitato daαZj/R.

Per ottenere poi la (8.11) possiamo per prima cosa rimpiazzare ogni Zj con Z tale che Zj ≤ Z per ognij = 1, . . . ,M , poiche questo sicuramente abbassa l’energia. Usando poi la stima del Lemma 5.4 per ognisingolo termine di potenziale otteniamo che per ogni Φ ∈ L2(R3) normalizzata⟨

Φ∣∣∣hi∣∣∣Φ⟩ ≥ 1

2 ‖∇iΦ‖22 − αZM ‖∇iΦ‖2 ‖Φ‖2 ≥ −

12α

2Z2M2,

da cui si ottiene immediatamente la (8.11).

Osservazione 8.1. Decomponendo l’intero potenziale Vi(xi; R,Z) come fatto per Vi, repulsione elettronicainclusa, si vede che Wi(xi; R,Z) e Ii(xi; xi+1, . . . ,xN ) appartengono entrambi a L2(R3) +L∞(R3), per ogniR,Z e xi+1, . . . ,xN . Possiamo allora applicare a hi il Teorema di Kato-Rellich 3.13 cosı come abbiamofatto per l’atomo di idrogeno (si veda la dimostrazione del Teorema 5.1), ottenendo che H e autoaggiuntasu H2(R3N ).

Capitolo 9

Particelle Identiche e Stabilita di SecondaSpecie

In questo Capitolo definiremo il concetto di stabilita di seconda specie. A tale scopo introdurremo il concettodi particelle identiche in MQ e discuteremo alcune proprieta cruciali dei sistemi di particelle identiche noninteragenti, come la descrizione dello stato in termini di matrici densita ridotte e il comportamento dellostato fondamentale.

9.1 Spin e Particelle Identiche

Come stiamo per vedere la richiesta che un sistema sia composto da particelle identiche ha conseguen-ze inaspettate in MQ. Prima pero, dobbiamo introdurre un’altra caratteristica intrinseca delle particellequantistiche.

Fin qui abbiamo trattato elettroni e protoni e, in genere, ogni particella quantistica come se fosseropunti materiali con i soli gradi di liberta associati al moto nello spazio R3. Con questo assunzione siamoriusciti a costruire una teoria dell’atomo di idrogeno che riproducesse le osservazioni sperimentali sugli spettrienergetici, pertanto in quell’intervallo di energie e in assenza di campi esterni forti, dobbiamo aspettarci chequelli siano gli unici gradi di liberta rilevanti. Tuttavia quando entrano in gioco campi magnetici intensie, soprattutto, effetti relativistici legati alle velocita delle particelle prossime a quella della luce, si scopreche esistono altri gradi di liberta interni di tali particelle. Quando poi si richiede l’invarianza relativisticadelle equazioni della dinamica quantistica emerge l’equazione di Dirac e con essa una nuova caratteristicadell’elettrone (cosı come di ogni altra particella quantistica), lo spin. In effetti non e necessaria l’invarianzarelativistica per ammettere l’esistenza di questi gradi di liberta addizionali, ma basta richiedere invarianzasotto trasformazioni di Galileo (non relativistiche), tuttavia e in ambito relativistico che lo spin diventarilevante.

Storicamente lo spin e stato ipotizzato inizialmente per dare conto della presenza di un momento ma-gnetico anomalo negli atomi, in aggiunta al momento magnetico assciato al moto orbitale ml = µB

~ S. Glieffetti di tale anomalia potevano essere spiegati supponendo che ogni particella, in particolare ogni elettrone,avesse un momento giromagnetico addizionale della forma

ms = 2µB

~S,

con µB il magnetone di Bohr e S un momento angolare intrinseco dell’elettrone, lo spin appunto. L’osservabilespin deve quindi essere un osservabile vettoriale S = (S1, S2, S3), le cui componenti devono soddisfare leregole di commutazione del momento angolare

[Si, Sj ] = i~εijkSk. (9.1)

Questo implica che S e il generatore di una rappresentazione del gruppo SU2, le cui rappresentazioni irridu-cibili sono 2S+ 1-dimensionali, S un numero intero o semi-intero, cioe S ∈ N∪0 oppure S = 2k−1

2 , k ∈ N.

115

116

Lo spazio di Hilbert dei gradi di liberta di spin e allora C2S+1 e in tale spazio una base e data dagli auto-vettori comuni |S,m〉, m = −S,−S + 1, . . . , S, ad esempio, di S2 e S3 (si veda quanto detto nella Sezione5.3):

S2 |S,m〉 = ~2S(S + 1) |S,m〉 , S3 |S,m〉 = ~m |S,m〉 . (9.2)

Lo spazio di Hilbert complessivo di una particella quantistica di spin S e quindi

H = L2(R3)⊗ C2S+1, (9.3)

e lo stato e una collezione di 2S + 1 funzioni d’onda in L2(R3). Le osservabili traslazionali come posizionee impulso lasciano la componente di spin invariata, mentre, al contrario, le osservabili di spin agiscono solosu C2S+1.

Ad esempio nel caso dell’elettrone S = 12 e lo spazio di Hilbert di spin e bidimensionale. Le osservabili

di spin si scrivono in termini delle matrici di Pauli e nella base ∣∣1

2 ,±12

⟩ in cui sono diagonali S2 e S3, si

ha ∣∣12 ,+

12

⟩=

(10

),

∣∣12 ,−

12

⟩=

(01

), (9.4)

S3 = ~(

1 00 −1

), S1 = ~

(0 11 0

), S2 = ~

(0 −ii 0

). (9.5)

A questo punto c’e da fare una piccola digressione sulla differenza fra spin e momento angolare per comelo abbiamo definito nella Sezione 5.3. Un modo di immaginare i gradi di liberta dello spin e infatti quellodi supporre che l’elettrone cosı come le altre particelle abbia una dimensione e lo spin sia il generatore dellerotazioni di tali oggetto attorno ai suoi assi. In realta questo tipo di descrizione richiederebbe di introdurreun numero ancora maggiore di gradi di liberta: se si comportasse come un corpo rigido classico l’elettroneavrebbe bisogno di 6 (3 angoli e 3 coordinate spaziali) anziche 3 coordinate spaziale affinche la sua posizionesia identificata univocamente nello spazio. Percio possiamo usare tale descrizione solo a livello di analogia.

Notiamo pero che benche S e L abbiano sostanzialemente propreta analoghe un’importante differenzeemerge nella descrizione dei gradi di liberta relativi: l’autospazio relativo all’autovalore ~2`(`+ 1) di L2 haanch’esso dimensione 2` + 1 ma ` puo essere solamente intero, mentre a livello di rappresentazione anchevalori semi-interi sarebbero ammissibili, come avviene per lo spin. Questa differenza si spiega studiando ilcomportamento degli operatori di rotazione1 generati da S e L: fissato un asse u e un angolo α, la rotazionedi tale angolo attorno a u e data da Us(α) = e−iαu·S, nello spazio di spin, e da Ul(α) = e−iαu·L nellospazio dei gradi di liberta traslazionali. Ora nel caso in sui lo S sia semi-intero si vede immediatamente cheUs(0) = 1 ma Us(2π) = −1 mentre Ul(0) = Ul(2π) = 1, cioe la condizione ` ∈ N e collegata alla richiesta chel’operatore di una rotazione di angolo 2π coincida con l’indentita . Questo ovviamente necessario nel casodella parte di funzione d’onda Ψ(x), che descrive i gradi di liberta traslazionali: poiche Ψ(x) e una funzioneovviamente Ψ(R(2π)x) = Ψ(x), dove R(2π) e una rotazione di angolo 2π attorno ad un asse qualunque.Tale vincolo al contrario non sussiste nello spazio di Hilbert relativo ai gradi di liberta di spin, da cui il fattoche S puo essere semi-intero.

Ora che abbiamo introdotto lo spin, possiamo specificare piu precisamente cosa intendiamo per particelleidentiche. In MQ due particelle che hanno le stesse caratteristiche fisiche, ovvero, massa, carica elettrica e,appunto, spin, si dicono identiche. Cosı tutti gli elettroni – particelle con massa me, carica −e e spin 1

2 –sono identici fra di loro. Lo stesso vale per protoni, neutroni, etc.. Piu precisamente quando parliamo dioggetti fisici identici intendiamo che non esistono esperimenti per quanto complicati che possano permetteredi distinguere particelle uguali fra loro. A questo punto si inizia a intuire una differenza sostanziale conquanto avviene in meccanica classica. Anche ammesso infatti che esistano due sistemi classici perfettamenteidentici, e sempre possibile distinguirli a posteriori: risolvendo le equazioni del moto classiche per ciascun

1In effetti a livello di teoria delle rappresentazione, la differenza segue dal fatto che sia S che L generano una rappresentazionedel gruppo delle rotazioni SO3 ma tale gruppo non e semplicemente connesso ed ammette due ricoprimenti dati dal gruppoSU2, che invece e semplicemente connesso, a seconda se il determinante della matrice sia 1 o −1. Allora sia S che L generanoSU2 e quindi un ricoprimento semplicemente connesso di SO3. Nel caso di L solo quello generato per continuita dall’identita eammesso, mentre per S entrambi sono ammissibili.

117

sistema otteniamo due traiettorie univoche, assegnati i dati iniziali necessariamente distinti. Quindi seimmaginassimo un esperimento in cui i due sistemi evolvono simultaneamente a partire da dati inizialidistinti, ad ogni tempo successivo potremmo distinguere con infinita precisione l’uno dall’altro semplicementeseguendo a ritroso la traiettoria percorsa (a meno di casi patologici in cui le traiettorie si sovrappongono).

In MQ questa possibilita di distinzione a posteriori a partire dalla traiettoria percorsa non e semplice-mente possibile e il motivo banale e che non esistono traiettorie in MQ: un sistema composto ad esempioda 2 particelle identiche avra una funzione d’onda in Ψ(x) ∈ L2(R6) che evolve secondo l’equazione diSchrodinger. Misurare una grandezza fisica relativa ad una particella equivale a agire su Ψ(x) con un ope-ratore che coinvolge solo 3 coordinate spaziali, ma a quale oggetto queste coordinate si riferiscano non sipuo dire. Naturalmente si possono pensare stati prodotto Ψ(x1,x2) = Ψ1(x1)Ψ2(x2) in cui la due particellesono distinguibili perche, ad esempio, i supporti di Ψ1 e Ψ2 sono disgiunti. Ma appena si accende l’evolu-zione temporale, anche in assenza di interazione, il fenomeno di dispersione descritto nella Sezione 4.2 fa sıche i supporti delle componenti tendano ad allargarsi e infine a occupare l’intero spazio, di fatto rendendoimpossibile la distinzione fra i due sottosistemi.

A livello matematico quanto abbiamo detto si concretizza nella richiesta che l’hamiltoniana di un sistemadi N particelle identiche H sia invariante per permutazioni ovvero

[H,P ] = 0, (9.6)

per ogni P ∈PN rappresentazione del gruppo delle permutazioni di N oggetti, cioe

(PΨ) (x1, . . . ,xN ) = Ψ(xπ(1), . . . ,xπ(N)), (9.7)

con π ∈ PN permutazione di N elementi. Percio lo spazio di Hilbert deve essere sede di una rappresen-tazione irriducibile del gruppo delle permutazioni, che ammette due sole rappresentazioni unidimensionaliirriducibili, quella delle funzioni rispettivamente totalmente simmetriche e totalmente antisimmetriche sottopemutazioni qualunque. Naturalmente diciamo che Ψ ∈ L2(RdN ) e totalmente simmetrica se per ogni coppiai < j in 1, . . . , N

(PijΨ) (x1, . . . ,xi, . . . ,xj , . . . ,xN ) = Ψ(x1, . . . ,xj , . . . ,xi, . . . ,xN ) = Ψ(x1, . . . ,xN ), (9.8)

e totalmente antisimmetrica se

(PijΨ) (x1, . . . ,xi, . . . ,xj , . . . ,xN )Ψ = −Ψ(x1, . . . ,xN ). (9.9)

Allora lo spazio di Hilbert L2(R3N ) si decompone in L2(R3N ) = L2s (R3N ) ⊕ L2

a(R3N ), con ovvio significatodella notazione. C’e pero a questo punto da fare un commento sui gradi di liberta di spin: se teniamo contoanche dello spin, le rappresentazioni unidimensionali del gruppo delle permutazioni non sono piu sufficienti edla decomposizione dello spazio di Hilbert H e piu complicata, perche oltre ai sottospazi Hs e Ha degli statitotalmente simmetrici o antisimmetrici, compaiono anche altri sottospazi sedi di rappresentazioni del gruppodelle permutazioni di dimensione maggiore di 1. Non approfondiremo ulteriormente questa discussione. Perulteriori dettagli si veda [GP2, Capitolo 13] oppure [C-TDL2, Capitolo XIV].

Per riassumere quanto detto fin’ora formuliamo quello che possiamo considerare come un ulteriorePostulato a completamento dei 5 che abbiamo dato nel Capitolo 2, come fondamenti della teoria dellaMQ.

Postulato 6 (Principio di simmetrizzazione).Uno stato puro di un sistema di particelle identiche deve essere totalmente simmetrico o antisimmetricosotto scambio di due qualunque di esse.

Osservazione 9.1. E’ cruciale osservare che il principio di simmetrizzazione si applica all’intera funzioned’onda, gradi di liberta di spin inclusi. Si dovrebbe percio tenere conto di rappresentazioni piu complesse diquelle unidimensionali del gruppo delle permutazioni. Nel seguito pero trascureremo completamente i gradidi liberta di spin, non perche non siano rilevanti in assoluto, il che e appunto falso, ma perche assumeremo

118

che non influiscano sui i vincoli di simmetria della funzione d’onda. Per meglio chiarire consideriamo ilcaso di un sistema di elettroni: la funzione d’onda complessiva in ⊗N

(L2(R3)⊗ C2

)deve essere totalmente

simmetrica o antisimmetrica sotto scambio, ma se la componente di spin e la stessa per ogni particella,la parte di spin e totalmente simmetrica, e il vincolo di simmetria si trasferisce alla parte orbitale dellafunzione d’onda. Assumero percio nel seguito che le componenti di spin di ogni elettrone siano uguali, cosıche ogni altro vincolo di simmetria va a trasferirsi sulla componente in L2(R3N ).

A questo punto possiamo finalmente enunciare il risultato che mette in relazione lo spin di una particellacon le proprieta di simmetria della funzione d’onda. Non forniremo la dimostrazione anche perche discendedalla richiesta di invarianza relativistica in teoria dei campi e non e riproducibile nell’ambito della MQ nonrelativistica:

Definizione 9.1 (Bosoni e fermioni).Un particella quantistica e detta bosone/fermione se il suo spin e intero/semi-intero.

Teorema 9.1 (Teorema di spin e statistica).Lo stato puro di un sistema di particelle identiche e totalmente simmetrico/antisimmetrico se le particellesono bosoni/fermioni.

Ovviamente se un sistema e composto da diverse specie di particelle identiche, li vincoli di simmetria devonoessere soddisfatti rispetto allo scambio di particelle della stessa specie, mentre nessuna condizione e impostasulla permutazione di particelle diverse.

Vediamo ora in un esempio semplice quali possono essere le conseguenze del Teorema di spin e statistica:

Esempio 9.1 (Sistema a due particelle)Consideriamo un sistema a due particelle e prendiamo due stati Ψ1,Ψ2 ortonormali, cioe normalizzati etali che Ψ1 ⊥ Ψ2. Ci chiediamo che stato puro a due particelle identiche possiamo costruire a partire daquesti due: indipendentemente dalla richiesta di simmetria vorremmo costruire uno stato che sia il piu vicinopossibile ad avere una particella nello stato Ψ1 e l’altra in Ψ2. Se appunto non ci fossero vincoli di simmetriaallora lo stato prodotto Ψ1(x1)Ψ(x2) farebbe esattamente al caso nostro. Ma nel caso di particelle identichela risposta dipende in modo significativo dalle caratteristiche delle particelle:

• se le particelle sono bosoni, allora cerchiamo lo stato simmetrico piu vicino a quello prodotto enaturalmente esso sara

1√2

(Ψ1(x1)Ψ2(x2) + Ψ1(x2)Ψ2(x1)) .

• se le particelle sono fermioni, invece lo stato deve essere antisimmetrico e allora viene naturaleconsiderare

1√2

(Ψ1(x1)Ψ2(x2)−Ψ1(x2)Ψ2(x1)) .

Si noti che e gia evidente una differenza sostanziale fra bosoni e fermioni: nel caso fermionico non e semprepossibile costruire lo stato, perche se Ψ1 = Ψ2 lo stato bosonico continuerebbe ad avere senso (a parte lanormalizzazione sbagliata), mentre quello fermionico sarebbe identicamente nullo.

Come suggerisce l’esempio, e interessante chiedersi come generare dato uno stato Ψ(x1, . . . ,xN ) a N par-ticelle identiche, uno stato bosonico o fermionico. La risposta e piuttosto semplice e coinvolge i seguentioperatori:

Definizione 9.2 (Simmetrizzatori).Definiamo l’operatore di simmetrizzazione SN : L2(R3N )→ L2

s (R3N ) e quello di antisimmetrizzazioneAN : L2(R3N )→ L2

a(R3N ) come

(SNΨ) (x1, . . . ,xN ) =1

N !

∑π∈PN

Ψ(xπ(1), . . . ,xπ(N)),

(ANΨ) (x1, . . . ,xN ) =1√N !

∑π∈PN

(−1)|π|Ψ(xπ(1), . . . ,xπ(N)), (9.10)

119

dove |π| e la parita della permutazione.

Esercizio 9.1. Dimostrare che gli operatori SN e AN sono proiettori ortogonali.

Quindi, in generale, assegnato Ψ ∈ L2(R3N ), per costruire uno stato bosonico/fermionico e sufficiente appli-care SN/AN . Naturalmente in questo secondo caso e possibile che non esista la versione antisimmetrizzatadi Ψ, perche ANΨ = 0.

Un caso speciale di stato bosonico e quello in cui tutte le particelle sono nello stesso stato a una particella:sia ψ ∈ L2(R3) una funzione d’onda normalizzata, allora uno stato bosonico fattorizzato ha la forma

Ψ(x1, . . . ,xN ) = ⊗Nψ =

N∏i=1

ψ(xi). (9.11)

Nel caso fermionico questo stato non e ammissibile: se proviamo a costruire uno stato fermionico a Nparticelle con M < N stati a una particella, non avremo mai successo. Possiamo infatti pensare di prenderead esempio lo stato prodotto

M∏i=1

ψi(xi) · ψ1(xM+1) · · ·ψM−N (xN )

e poi antisimmetrizzarlo con AN . Ma dovendo ripetere almeno uno stato a singola particella nel prodotto,l’azione dell’operatore di antisimmetrizzazione darebbe identicamente 0. Se vogliamo costruire uno statofermionico a N particelle da stati di singola particella, allora abbiamo bisogno di almeno N di tali stati: sup-poniamo di avere ψ1, . . . , ψn normalizzati in L2(R3), con ψi ⊥ ψj . Allora in questo caso si puo effettivamentecostruire lo stato fermionico

AN

N∏i=1

ψi(xi) = (ψ1 ∧ · · · ∧ ψN ) (x1, . . . ,xN ) =1√N !

det Ψi(xj) , (9.12)

che viene detto determinante di Slater.

Esercizio 9.2. Siano ψ1, . . . , ψn e φ1, . . . , φN in L2(R3) normalizzate con ψi ⊥ ψj per i 6= j. Si dimostriche

1. ‖ψ1 ∧ · · · ∧ ψN‖ = 1;

2. 〈ψ1 ∧ · · · ∧ ψN |φ1 ∧ · · · ∧ φN 〉 = det 〈ψi |φj 〉;

3. se A ∈MN (C) e ξi =∑

j Aijψj, allora ξ1 ∧ · · · ∧ ξN = det(A) ψ1 ∧ · · · ∧ ψN .

9.2 Matrici Densita Ridotte

Fin qui abbiamo considerato soltanto stati puri di sistemi a molti corpi. In generale pero , come abbiamovisto nella Sezione 3.12, lo stato di un sistema quantistico puo anche essere uno stato misto e come talerappresentato da una matrice densita Γ ∈ L 1(L2(R3N )). Nel caso in cui il sistema si trovi nello stato puroΨ ∈ L2(R3N ), Γ = ΓΨ = |Ψ〉〈Ψ| e le seguenti proprieta sono facilmente dimostrate

TrΓΨ = 1, ΓΨ ≥ 0, Γ2Ψ = ΓΨ. (9.13)

Proprieta simili, eccetto l’ultima, sono soddisfatte anche nel caso generico

TrΓ = 1, 0 ≤ Γ ≤ 1. (9.14)

Ricordiamo che, in quanto operatore di classe traccia, per ogni matrice densita vale la decomposizione

Γ =

∞∑j=1

λjΓΨj =

∞∑j=1

λj |Ψj〉〈Ψj | , (9.15)

120

dove 0 ≤ λj ≤ 1,∑λj = 1 e Ψjj∈N e un s.o.n.c.. Inoltre Γ puo anche visto come operatore integrale con

kernel

Γ(X; Y) =∞∑j=1

λjΨ∗j (Y)Ψj(X), (9.16)

dove abbiamo usato la notazione compatta

X = (x1, . . . ,xN ) , Y = (y1, . . . ,yN ) . (9.17)

Si noti che per ogni Γ ∈ L 1(R3N ) vale anche la formula

TrΓ =∞∑j=1

λj =

∫R3N

dX Γ(X; X), (9.18)

dove la seconda identita, benche vera, richiede di essere commentata: a rigor di logica Γ(X; X) non sarebbeben definito, anche scegliendo un rappresentativo e intendendo l’identita q.o., ma perche Γ ∈ L1(R6N ) ela varieta (X,X) ha misura nulla in L1(R6N )! Tuttavia vi e un modo per dare significato all’espressioneovviando a questa ostruzione ed e quello di intendere

Γ(X; X) =∞∑j=1

λj |Ψj(X)|2 ,

che e una funzione ben definita grazie alle proprieta delle Ψj .Nella Sezione precedente abbiamo descritto la relazione fra la simmetria sotto permutazioni degli stati

puri e le propriete.lle particelle identiche coinvolte. Per capire quali condizioni di simmetria si applichinoagli stati misti e alle matrici densita e sufficiente fra riferimento alla (9.16): se Γ e uno stato puro o mistodi un sistema di particelle identiche allora le Ψj devono soddisfare le richieste di simmetria del Teorema dispin e statistica 9.1. Percio il kernel Γ(X; Y) deve essere separatamente simmetrico/antisimmetrico sottoscambio di i 6= j nelle X e nelle Y.

Una delle conseguenze piu rilevanti delle proprieta di simmetria di Γ e che si osservano proprieta disingola particella, o, piu precisamente, se si fanno esperimenti che coinvolgono solo osservabili di singolaparticella, non e necessario usare tutta l’informazione contenuta in Γ. Similmente nel caso in cui ci sirestringa a osservabili che coinvolgono k < N particelle. In effetti, data Γ, e possibile definire un operatoresemplificato che contiene tutta l’informazione riguardo ai sottosistemi di k < N particelle:

Definizione 9.3 (Matrici densita ridotte).Data una matrice densita normalizzata Γ ∈ L 1( L2(R3N )), la matrice densita ridotta γ(k) ∈ L 1(L2(R3k))di ordine k ≤ N e l’operatore integrale con kernel

γ(k)(x1, . . . ,xk; y1, . . . ,yk) =N !

(N − k)!

∫R3(N−k)

dyk+1 · · · dyN Γ(x1, . . . ,xk,yk+1, . . . ,yN ; Y), (9.19)

e indicheremo sinteticamente γ(k) = TrN−kΓ.

Osservazione 9.2. La definizione del kernel (9.19) ha gli stessi problemi della (9.18), in quanto coinvolgela valutazione di Γ(X; Y) parzialmente sulla diagonale. Di nuovo per ovviare a questo problema e sufficientepensare la (9.19) in termini della (9.16).

Osservazione 9.3. Il prefattore nella (9.19) e solamente una convenzione che fa sı che

Trγ(k) =N !

(N − k)!, (9.20)

ma gioca anche un ruolo fisico: la scelta delle N−k coordinate su cui integrare nel caso di particelle identichee ovviamente arbitrario. Lo stesso pero non vale se le particelle fossero distinguibili: in questo caso per fare

121

in modo che la definizione sia ben posta, si dovrebbe sommare su tutte le possibili scelte di N − k variabilifra le N da cui dipende Ψ. E’ facile vedere che il numero di scelte possibili e proprio N !

(N−k)! .Infine si noti che nel caso k = 1, cioe per la matrice densita ridotta a una particella, la normalizzazione

eTrγ(1) = N. (9.21)

Osservazione 9.4. Se A e un’osservabile che coinvolge solo k < N particelle identiche, ovvero, per esempio,A = A(x1, . . . ,xk), allora per ogni scelta delle k particelle

〈A〉 = TrL2(R3N )(AΓ) = TrL2(R3k)

(Aγ(k)

). (9.22)

Esercizio 9.3. Dimostrare che nel caso fermionico la matrice densita ridotta di un determinante di Slatere γ(1) =

∑|ψj〉〈ψj |.

L’Osservazione 9.4 e particolarmente importante per il tipo di problema che stiamo considerando: seconsideriamo un’Hamiltoniana a N corpi della forma

H =N∑j=1

−1

2∆j + V (xj)

+∑

1≤i<j≤NI(xi,xj), (9.23)

come nel caso della (8.2), la sua aspettazione su un generico stato Γ si puo esprimere totalmente in terminidelle matrici densita ridotte γ(1) e γ(2):

E [Ψ] = 〈Ψ |H|Ψ〉 = TrL2(R3)

(hγ(1)

)+ 1

2TrL2(R6)

(Iγ(2)

), (9.24)

dove h = −12∆ + I.

Esercizio 9.4. Si derivi la (9.24).

Nella ricerca dello stato fondamentale di H si sarebbe allora portati a minimizzare rispetto a γ(1) e γ(2),ottenendo cosı una sensibile semplificazione del problema. C’e pero un problema per nulla banale e cioeidentificare il corretto dominio di minimizzazione per le matrici densita ridotte. Piu precisamente e necessariosapere quali operatori classe traccia su L2(R3) e L2(R6) sono matrici densita ridotte associabili a uno statoa N corpi bosonico o fermionico. Questo e quello che storicamente e stato chiamato problema della N -rappresentabilita e, al contrario di quanto si possa pensare, e un problema ancora aperto, eccetto che perle matrici densita ridotte a un corpo. Vediamo prima pero il risultato opposto, che caratterizza le matricidensita ridotte a un corpo bosoniche e fermioniche:

Proposizione 9.1 (Poprieta delle matrici densita ridotte).Sia γ(1) = TrN−1Γ una matrice densita ridotta associata allo stato misto Γ, allora

i) γ(1) e autoaggiunta e γ ≥ 0;

ii) γ(1) ∈ L 1(L2(R3)) e Trγ(1) = N ;

iii) se Γ e uno stato fermionico, allora γ(1) ≤ 1.

Dimostrazione. Abbiamo sostanzialmente gia visto le proprieta i) e ii), per cui dimostreremo esclusivamentela iii) nel caso fermionico.

Introduciamo gli operatori di creazione e distruzione di una particella nello stato Φ: l’operatore didistruzione CΦ,N : L2

a(R3N ) −→ L2a(R3(N−1)) e dato da

(CN,ΦΨ) (x1, . . . ,xN−1) =√N

∫R3

dx Φ∗(x)Ψ(x1, . . . ,xN−1,x), (9.25)

122

mentre l’operatore di creazione (aggiunto di CN,Φ) C†N,Φ : L2a(R3(N−1)) −→ L2

a(R3N ) e(C†N,ΦΨ

)(x1, . . . ,xN ) =

1√NAN (Ψ(x1, . . . ,xN−1)Φ(xN )) . (9.26)

Gli operatori cosı definiti soddisfano la seguente relazione, la cui dimostrazione e lasciata per esercizio allettore:

C†N,ΦCN,Φ + CN+1,ΦC†N+1,Φ = ‖Φ‖L2(R3) 1N , (9.27)

dove abbiamo indicato con 1N l’identita in L2(R3N ).Supponiamo ora che lo stato fermionico in questione sia puro e commentiamo in seguito sui cambiamenti

da fare nel caso di stato misto. Se Γ = ΓΨ per una certa Ψ ∈ L2(R3N ) normalizzata, usando la (9.27)otteniamo, per ogni Φ ∈ L2(R3),⟨

Φ∣∣∣γ(1)

∣∣∣Φ⟩ =

∫R3(N−1)

dx2 · · · dxN

∫R3

dx′1

∫R3

dx1Φ∗(x′1)Ψ∗(x′1,x2, . . . ,xN )Ψ(x1, . . . ,xN )Φ(x1)

= 〈CN,ΦΨ |CN,ΦΨ〉L2(R3(N−1)) =⟨

Ψ∣∣∣C†N,ΦCN,ΦΨ

⟩L2(R3N )

= ‖Φ‖2L2(R3) ‖Ψ‖2L2(R3N ) −

⟨Ψ∣∣∣CN,ΦC†N,ΦΨ

⟩L2(R3N )

= ‖Φ‖2L2(R3) −∥∥∥C†N,ΦΨ

∥∥∥2

L2(R3N )≤ ‖Φ‖2L2(R3) .

Nel caso in cui invece Γ sia uno stato misto possiamo usare la decomposizione (9.16), cosı che l’identitaprecedente diventa

⟨Φ∣∣∣γ(1)

∣∣∣Φ⟩ =

∞∑j=1

λj 〈CN,ΦΨj |CN,ΦΨj 〉L2(R3(N−1))

= ‖Φ‖2L2(R3)

∞∑j=1

λj ‖Ψj‖2L2(R3N ) −∞∑j=1

λj

∥∥∥C†N,ΦΨj

∥∥∥2

L2(R3N )≤ ‖Φ‖2L2(R3).

Come anticipato, vale anche il viceversa, cioe ogni operatore classe traccia su L2(R3) che soddisfa le proprietadescritte nel Teorema precedente e la matrice densita ridotta a un corpo di uno stato a N corpi. Questorisolve il problema della N rappresentabilita per k = 1: si noti pero la differenza fra il caso fermionico, incui lo stato a N corpi non e necessariamente puro, e quello bosonico in Γ e puro se ci sono almeno dueparticelle.

Teorema 9.2 (Rappresentabilita).Sia γ ∈ L 1(L2(R3)) tale che γ ≥ 0 e Trγ = N , allora

• ∃Γ matrice densita a N corpi bosonica, tale che γ = NTrN−1Γ; inoltre se N ≥ 2, Γ puo essere sceltouno stato puro, cioe Γ = ΓΨ per una qualche Ψ ∈ L2(R3N );

• se in aggiunta γ ≤ 1, allora ∃Γ matrice densita a N corpi fermionica, tale che γ = NTrN−1Γ.

Osservazione 9.5. L’assenza di un analogo del teorema precedente per k ≥ 2 fa sı che la riscrittura(9.24) non sia in realta significativa al fine di minimizzare l’energia, perche resta ignoto il dominio diminimizzazione.

9.3 Sistemi a Molti Corpi Non Interagenti

La discussione del problema della N rappresentabilita della Sezione precedente suggerisce che, in presenza diinterazione, cioe per I 6= 0, la simmetria della funzione d’onda, benche permetta una semplificazione drasticanel calcolo dell’energia, non e in realta di nessun aiuto nella ricerca dello stato fondamentale. Tuttavia nel

123

caso piu semplice di sistemi non interagenti, cioe quando I = 0, e immediato vedere che (9.24) si riducea un’espressione che coinvolge solo γ(1), la matrice densita a un corpo. In questo caso, quindi, grazie alTeorema 9.2, il dominio di minimizzazione della (9.24) e noto esplicitamente, sia nel caso bosonico che inquello fermionico. Vedremo infatti che lo stato fondamentale e la relativa energia possono essere determinatiesplicitamente sia nel caso bosonico che fermioni.

Consideriamo allora un sistema a molti corpi con Hamiltoniana

H =N∑j=1

−∆j + V (xj) =N∑j=1

h(xj), (9.28)

e studiamone lo stato fondamentale nel caso fermionico e bosonico. Assumiamo inoltre che il potenzialesoddisfi le condizioni del Teorema 6.2 e che l’energia dello stato fondamentale e0 di h sia finita e strettamentenegativa, cosı che ne possiamo dedurre l’esistenza di M stati legati per h = −∆ + V di energia

−∞ < e0 ≤ e1 ≤ · · · ≤ 0, (9.29)

con autofunzioni ortonormali ψ0, . . . , ψM−1. Indichiamo inoltre

Eb/f0 = inf

Ψ∈L2s/a

(R3N ),‖Ψ‖=1〈Ψ |H|Ψ〉 , (9.30)

e sia Ψ0 un minimizzatore associato.Iniziamo dal caso bosonico:

Teorema 9.3 (Stato fondamentale di N bosoni non interagenti).Sia H definita come in (9.28) e sia V tale che le ipotesi del Teorema 6.2 siano soddisfatte. Se inoltre−∞ < e0 < 0, allora

Eb0 = Ne0, Ψ0 =

N−1∏i=0

ψ0(xi). (9.31)

Dimostrazione. Grazie alle ipotesi su V e e0, abbiamo da un lato che h ≥ e0 e quindi H ≥ Ne0, ma se Ψ0

e lo stato prodotto (9.31), allora 〈Ψ0 |H|Ψ0 〉 = Ne0 e quindi Ψ0 e lo stato fondamentale.

Nel caso fermionico invece il comportamento e molto meno banale e puo essere considerato una primamanifestazione del principio di esclusione di Pauli.

Teorema 9.4 (Stato fondamentale di N fermioni non interagenti).Sia H definita come in (9.28) e sia V tale che le ipotesi del Teorema 6.2 siano soddisfatte. Se inoltre−∞ < e0 ≤ e1 ≤ · · · ≤ eM−1 ≤ 0 sono gli stati legati di h con autofunzioni ortonormali ψ0, . . . , ψM−1,allora

• se M ≥ N , Ef0 =

N−1∑i=0

ei e lo stato fondamentale e Ψ0 =

N∧i=1

ψi;

• se M < N , Ef0 =

M−1∑i=0

ei e non esiste stato fondamentale.

Osservazione 9.6. Nel caso in cui M ≥ N , se tutti i livelli energetici e0, . . . , eM sono occupati da fermioni,allora Ψ0 e anche unico, benche non sia necessariamente unico il modo di scriverlo come determinante diSlater: nel caso in cui ci sia degenerazione di uno o piu dei livelli energetici, la scelta delle ψ0, . . . , ψM none infatti unica.

Osservazione 9.7. Come si puo facilmente intuire dalla dimostrazione, la non esistenza dello statofondamentale per M < N segue dal fatto che le successioni minimizzanti non convergono in L2(R3).

124

Osservazione 9.8. Il Teorema 9.4 si puo pensare come una conseguenza del principio di esclusione di PauliNel contesto del Teorema e quindi nel caso di fermioni non interagenti, il principio di esclusione di Paulisi puo formulare nel modo seguente: due fermioni identici non possono occupare lo stesso stato ψi a unaparticella. Il fatto che da questo discenda il comportamento dello stato fondamentale e di semplice verifica.

Dimostrazione. Dimostriamo anzitutto una stima dal basso per l’energia. Sia Ψ ∈ L2a(R3N ) uno stato

fermionico a N corpi, ΓΨ la matrice densita e γ(1) la matrice densita ridotta a un corpo associate a Ψ.Allora in quanto operatore di classe traccia esisteranno φjj∈N s.o.n.c. e dei coefficienti λj ≥ 0, tali che∑λj = N e

γ(1) =∞∑j=1

λj |φj〉〈φj | . (9.32)

L’energia di Ψ si riscrive allora

E [Ψ] =N∑j=1

λj 〈φj |h|φj 〉 , (9.33)

ma l’ortonormalita delle ψj implica che si possa scrivere

φj =

M∑`=0

cj`ψ` + χj , χj ∈ span ψ0, . . . , ψM−1⊥ ,

e

1 = ‖φj‖22 =M−1∑`=0

|cj`|2 + ‖χj‖22 ,

da cui segue cheM−1∑`=0

|cj`|2 ≤ 1. (9.34)

Notiamo inoltre che poiche χj sta nel sottospazio ortogonale a tutti gli stati legati deve essere inEh(0,+∞)L2(R3) e quindi

〈χj |h|χj 〉 ≥ 0. (9.35)

L’ortogonalita degli ψj e il fatto che sono autostati implica anche che

〈ψj |h|ψk 〉 = ejδjk, 〈χj |h|ψk 〉 = 0. (9.36)

Mettendo insieme le (9.35) e (9.36) con la (9.33) otteniamo

E [Ψ] ≥∞∑j=1

λj

M−1∑`=0

|cj`|2 e` =

M−1∑`=0

µè`,

dove

µ` =∞∑j=1

λj |cj`|2 ≤∞∑j=1

|cj`|2 =∞∑j=1

|〈φj |ψ` 〉|2 = ‖φ`‖22 = 1,

poiche φjj∈N e un s.o.n.c.. Inoltre

M−1∑`=0

µ` =

∞∑j=1

λj

M−1∑`=0

|cj`|2 ≤∞∑j=1

λj = N,

per la (9.34).

125

Abbiamo pertanto dimostrato che

E [Ψ] ≥ inf

M−1∑`=0

µè`∣∣ 0 ≤ µ` ≤ 1,

M−1∑`=0

µ` = N

.

Il problema variazione al membro di destra puo essere risolto facilmente assegnando µ` = 1 agli stati` = 0, 1, . . ., finche o si esauriscono gli stati oppure sono stati assegnati N coefficienti. Nel primo caso vuoldire che M < N e il membro di destra e dato da

∑M−1i=0 ei, mentre nel secondo M ≥ N e la somma arriva

fino a N − 1. Questo conclude la dimostrazione della stima dal basso.Per completare la dimostrazione del Teorema dobbiamo dimostrare una stima dall’alto che coincida con

la stima dal basso: se M ≥ N lo stato di prova e proprio lo stato fondamentale

Ψ0 =N−1∧i=0

ψi,

mentre se M < N dobbiamo costruire una successione di stati della forma

ψ0 ∧ · · · ∧ ψM−1 ∧ ξ1 ∧ · · · ∧ ξN−M ,

dove gli stati ξj devono essere scelti in modo da essere ortonormali, appartenere a Eh[0,+∞)L2(R3) ed esseresupportati in compatti che si allontanano verso l’infinito, con energia cinetica che tende a zero, cioe in altritermini essere quasi autostati con energia che tende a 0. Osserviamo che l’esistenza di una successione distati con queste proprieta e abbastanza semplice da dimostrare (ometteremo pero i dettagli), ma un’ipotesicruciale e che il potenziale tenda a 0 quando |x| → ∞. Per fare un esempio concreto, prendiamo un potenzialea supporto compatto contenuto in BR0 , allora una scelta possibile e quella di prendere degli approssimantiC∞, opportunamente normalizzati, delle funzioni caratteristiche delle corone circolari R ≤ |x| ≤ R + j,dove R 1 e R > R0. Nel limite R→∞ si avra che 〈ξj |h| ξj 〉 → 0 e allo stesso tempo 〈ψj |h| ξk 〉 = 0, cosı

riproducendo l’energia∑M−1

i=0 ei.

Esercizio 9.5. Si scriva esplicitamente la successione degli stati descritta alla fine della dimostrazione delTeorema 9.4 e si verifichi che soddisfa le proprieta richieste.

9.4 Stabilita di Seconda Specie e Proprieta Preliminari

Torniamo ora all’Hamiltoniana della materia (8.2), ovvero

H(N,M,R,Z) =N∑i=1

(−1

2∆i

)+ αVC(X; R,Z),

dove il potenziale VC e stato definito nelle (8.4) - (8.7). Nel Capitolo 8 abbiamo studiato la stabilita diprima specie del sistema descritto da H e, a tale scopo, abbiamo trascurato i vincoli di simmetria dovutialla presenza di particelle identiche e considerato lo stato fondamentale assoluto E0,a definito nella (8.9)(si veda anche il Teorema 8.1). Tuttavia per affrontare la questione piu sottile della stabilita di secondaspecie come descritta nell’introduzione a questa parte del corso, dobbiamo tener conto della simmetria dellafunzione d’onda. Osserviamo infatti che le particelle descritte da H sono in effetti elettroni e, come tali,sono un sistema di particelle identiche fermioniche (l’elettrone ha spin 1/2). Pertanto la funzione d’onda delsistema a N elettroni deve essere totalmente antisimmetrica. Definiamo percio

E0(N,M,R,Z) = infΨ∈DN,f

E [Ψ], (9.37)

con DN,f =

Ψ ∈ H1(R3N ) ∩ L2a(R3N ) | ‖Ψ‖ = 1

. Si noti che l’unica differenza con E0,a sta nella restri-

zione della minimizzazione alle funzioni antisimmetriche. Per convenienza introduciamo anche il minimodell’energia E0 al variare della posizione dei nuclei, cioe

E0(N,M,Z) = infR∈R3M

E0(N,M,R,Z). (9.38)

126

Possiamo ora dire con precisione cosa intendiamo con stabilita di seconda specie:

Definizione 9.4 (Stabilita di seconda specie).Diciamo che il sistema descritto da H e stabile di seconda specie se, per ogni Z tale che Zj ≤ Z < +∞,∃C(Z) < +∞ tale che

E0(N,M,Z) ≥ −C(Z)(N +M). (9.39)

Nel Capitolo 12 spiegheremo come la stabilita di seconda specie sia sufficiente per spiegare i fenomenidescritti all’inizio di questa parte del corso. Per ora formuleremo dei risultati preliminari che saranno digrande aiuto nella dimostrazione della stabilita di seconda specie, o, piu in generale, daranno informazionipreziose sul comportamento dello stato fondamentale di un sistema a molti corpi interagenti.

Un proprieta interessante riguarda la relazione fra E0,a, lo stato fondamentale assoluto, e lo statofondamentale bosonico, ovvero

E0,b(N,M,R,Z) = infΨ∈DN,b

E [Ψ], (9.40)

con DN,b =

Ψ ∈ H1(R3N ) ∩ L2s (R3N ) | ‖Ψ‖ = 1

:

Teorema 9.5 (Stato fondamentale assoluto e bosonico).Per ogni R ∈ R3M e Z ∈ RM tale che Zj ≤ Z < +∞, si ha

E0,a(N,M,R,Z) = E0,b(N,M,R,Z). (9.41)

Osservazione 9.9. Abbiamo enunciato il risultato relativamente all’Hamiltoniana (8.2) ma esso non di-pende dal fatto che il potenziale sia quello coulombiano ne che sia a due corpi. Come suggerisce il Lemma9.1 si tratta di un fatto molto piu generale. Va pero detto che in presenza di campi magnetici puo esserefalso.

Dimostrazione. La forma quadratica E [Ψ] e limitata dal basso e manifestamente invariante per permutazioni.Inoltre la disuguaglianza diamagnetica implica che E [Ψ] ≥ E [|Ψ|], per cui possiamo applicare il Lemma 9.1,che da direttamente il risultato.

Lemma 9.1 (Forme quadratiche simmetriche).Sia E [Ψ] : L2(R3N )→ R una forma quadratica limitata dal basso, cioe tale che ∃C < +∞, E [Ψ] ≥ −C ‖Ψ‖22.Se inoltre E [Ψ] e invariante per permutazioni di particelle e E [Ψ] ≥ E [|Ψ|], allora

inf‖Ψ‖=1

E [Ψ] = infΨ∈L2

s (R3N ),‖Ψ‖=1E [Ψ]. (9.42)

Dimostrazione. Supponiamo che esista il minimizzatore Ψ0,a assoluto, cioe

E0,a = E [Ψ0,a] = inf‖Ψ‖=1

E [Ψ].

Allora possiamo assumere che sia positivo Ψ0,a ≥ 0 grazie all’ipotesi fatte su E [Ψ]. Inoltre possiamodecomporre

Ψ0,a = Ψs + Ψr,

dove

Ψs = SNΨ0,a =1

N !

∑π∈PN

Ψ0,a(xπ(1), . . . ,xπ(N)) ≥ 0,

e ‖Ψ0,a‖22 = ‖Ψs‖22 + ‖Ψr‖22 poiche Ψs ⊥ Ψr. Il fatto che E [Ψ] sia invariante per permutazioni implica che

E [Ψr,Ψs] =1

(N !)2

∑π,σ∈PN

E [Ψπ,Ψ0,a −Ψσ] =1

(N !)2

∑π,σ∈PN

E [Ψ0,a,Ψπ−1 −Ψπ−1σ]

=1

(N !)2

∑σ∈PN

∑π∈PN

E [Ψ0,a,Ψπ−1 ]−∑π′∈PN

E [Ψ0,a,Ψπ′−1 ]

= 0,

127

dove abbiamo usato la notazione sintetica

Ψπ(x1, . . . ,xN ) = Ψ(xπ(1), . . . ,xπ(N)).

QuindiE0,a = E [Ψ0,a] = E [Ψs] + E [Ψr]. (9.43)

Inoltre

‖Ψs‖22 =1

(N !)2

∑π,σ∈PN

〈Ψπ |Ψσ 〉 ≥1

(N !)2

∑π∈PN

‖Ψπ‖22 =1

N !> 0,

e quindi lo stato Ψs non e nullo. Sappiamo allora che deve valere

E [Ψs] ≥ E0,a ‖Ψs‖22 , E [Ψr] ≥ E0,a ‖Ψr‖22 ,

per definizione di minimo, ma queste stime combinate con l’identita (9.43), implicano immediatamente cheE [Ψs] = E0,a ‖Ψs‖22 e quindi il minimo sulle funzioni simmetriche coincide con il minimo assoluto.

L’argomento precedente si applica se esiste un minimizzatore assoluto, ma se non dovesse esistere,basterebbe applicare l’intera discussione ad una successione minimizzante.

Un altro risultato preliminare sul comportamento dello stato fondamentale dell’Hamiltoniana (8.2) riguardala dipendenza dalla carica nucleare Z:

Teorema 9.6 (Monotonia nella carica nucleare).Se Zj ≤ Z < +∞ per ogni j = 1, . . . ,M , allora

E0(N,M,R,Z) ≥ minR′⊂R

E0(N,M ′,R′, (Z, . . . , Z)). (9.44)

Se inoltre Zj ≤ Z ′j per ogni j = 1, . . .M , allora

E0(N,M,Z) ≥ E0(N,M,Z′). (9.45)

Osservazione 9.10. La prima disuguaglianza (9.44) suggerisce che il minimo venga raggiunto rimpiazzandoZj o con Z oppure con 0, cioe rimuovendo il corrispondente nucleo.

Dimostrazione. L’energia E [Ψ] e una funzione lineare di Zj per ogni j, fissate le altre Zk, k 6= j. PoicheE0(N,M,R,Z) e il minimo di una funzione lineare, esso deve essere una funzione concava di Zj : poniamo

Zj = αZ(1)j + (1 − α)Z

(2)j per un certo α ∈ (0, 1) e indichiamo con una label la dipendenza di E [Ψ] da Zj .

Allora abbiamo

inf‖Ψ‖=1

EαZ

(1)j +(1−α)Z

(2)j

[Ψ] = inf‖Ψ‖=1

(αE

Z(1)j

[Ψ] + (1− α)EZ

(2)j

[Ψ]

)≥ α inf

‖Ψ‖=1EZ

(1)j

[Ψ] + (1− α) inf‖Ψ‖=1

EZ

(2)j

[Ψ].

Si noti che invece E0 non e unitamente concavo in tutte le Zj . In ogni caso, fissate le altre Zk, k 6= j, l’energiadello stato fondamentale E0, in quanto funzione concava di Zj , raggiunge il suo minimo in Zj ∈ [0, Z] aibordi dell’intervallo, quindi o in Zj = 0 oppure in Zj = Z. Applicando a tutte le Zj separatamente taleargomento si ottiene la (9.44).

Se ora minimizziamo rispetto alle posizioni dei nuclei abbiamo che E0(N,M,Z) non puo essere unafunzione crescente stretta nell’intorno di Zj = 0: se infatti lo fosse avremmo che

infR∈R3M

E0(N,M,Z,R) > infR∈R3M

E0

(N,M, Z|Zj=0 ,R

),

ma questo e impossibile perche la configurazione con Zj = 0 e gia compresa nell’inf rispetto a R, in quantocorrisponde a mandare la posizione del j-esimo nucleo all’infinito. Percio E0 deve essere descrescente attornoa Zj = 0 per ogni j fissato. Ma allora per concavita il minimo deve essere in Zj = Z e la funzione deveessere descrescente in Zj in tutto l’intervallo [0, Z].

Capitolo 10

Disuguaglianze di Lieb-Thirring

L’utilita delle disuguaglianze di Lieb-Thirring in fisica matematica non puo essere sottostimata, anche graziealle innumerevoli applicazioni nei campi piu disparati. Vedremo infatti che esistono versioni differenti maequivalenti di tale disuguaglianze: da un lato infatti si trattera di stime relative alle proprieta spettrali, e, piuspecificamente, degli stati legati di operatori di Schrodinger tipicamente a una particella. Allo stesso tempopero dimostreremo un enunciato perfettamente equivalente che si applica alla stima dell’energia cinetica diun sistema a molti corpi bosonico o fermionico. In questo secondo caso, l’applicazione delle disuguaglianzedi Lieb-Thirring alla stima dal basso dell’energia cinetica di N fermioni puo considerarsi una formulazionematematicamente rigorosa del principio di esclusione di Pauli.

La formulazione originaria e quella anche piu studiata riguarda le proprieta spettrali di un operatore diSchrodinger

h = −∆ + V (10.1)

in L2(Rd).

Teorema 10.1 (Disuguaglianze di Lieb-Thirring).Sia h l’operatore di Schrodinger (10.1) e supponiamo che il potenziale V soddisfi le ipotesi dei Teoremi 6.2 e7.1. Siano allora −∞ < E0 ≤ E1 ≤ · · · ≤ 0 i suoi autovalori negativi, allora esiste una costante Lγ,d < +∞tale che, se V− ∈ Lγ+d/2(Rd), ∑

j≥0

|Ej |γ ≤ Lγ,d∫Rd

dx Vγ+d/2− (x), (10.2)

doveγ ≥ 1

2 , se d = 1;γ > 0, se d = 2;γ ≥ 0, se d ≥ 3.

Osservazione 10.1. Per il valore esplicito della costante Lγ+d/2 rimandiamo ad esempio a [LSe, Teorema4.1]. Il valore ottimale della costante e noto in alcuni casi, mentre in altri resta a tutt’oggi un problemaaperto.

Osservazione 10.2. Fra le somme di Riesz degli autovalori, recitano un ruolo particolarmente importantequelle per γ = 0 e γ = 1. Nel secondo caso si tratta proprio della somma del valore assoluto degli autovalorinegativi di h e, come vedremo, tale stima sara cruciale nella dimostrazione della stabilita della materia diseconda specie: il collegamento con un sistema di N fermioni sara fornito dal Teorema 9.4: l’energia dellostato fondamentale di N fermioni interagenti e

∑ej e quindi puo essere stimata dal basso con l’integrale

della parte negativa del potenziale alla potenza 1 + d/2.Nel caso γ = 0 invece la disuguaglianza di Lieb-Thirring fornisce una stima dall’alto per il numero di

autovalori negativi di h. L’importanza del risultato e tale che la stima ha una denominazione a parte –stima di Cwikel, Lieb, Rosenblum – e uno dei motivi e che la dimostrazione generica delle stime diLieb-Thirring non si applica al caso γ = 0, per cui opportune correzioni sono richieste.

128

129

Osservazione 10.3. Sotto ipotesi deboli sul potenziale vettore A, le disuguaglianze di Lieb-Thirring riman-gono valide anche in presenza di campi magnetici. Inoltre ne esiste una versione semi-relativistica in cuil’energia cinetica classica 1

2p2 e rimpiazzata dall’analogo relativistico |p| '√

p2 +m2 −m2.

La dimostrazione del Teorema 10.1 sara fornita alla fine del Capitolo. Prima enunciato una versioneequivalente del Teorema 10.1, che e quella usata nella versione originale della dimostrazione della stabilitadella materia. Anticipiamo che in termini sintetici tale disuguaglianza dice che l’energia cinetica di unsistema di fermioni cresce come la potenza 5/3 della densita ρΨ(x) a una particella.

La disuguaglianza e in effetti banale per il sistema elementare costituito da una singola particella: viala disuguaglianza di Sobolev (Lemma 6.1) abbiamo per ogni Ψ ∈ H1(R3) normalizzata

T [Ψ] ≥ S3

(∫R3

dx |Ψ(x)|6)1/3

= S3 ‖ρΨ‖3 ,

dove abbiamo posto ρΨ = |Ψ|2, ma usando Holder abbiamo anche che

‖ρΨ‖5/35/3 ≤ ‖ρΨ‖2/31 ‖ρΨ‖3 = ‖ρΨ‖3 ,

da cui concludiamo che

T [Ψ] ≥ S3

∫R3

dx ρ5/3Ψ (x). (10.3)

Prima di enuciare il Teorema, ricordiamo che per un sistema a molti corpi

ρΨ(x) = γ(1)(x; x), (10.4)

e che pertanto la normalizzazione di ρΨ e‖ρΨ‖1 = N. (10.5)

Si ricordi infine che per ogni operatore compatto autoaggiunto γ vale la decomposizione γ =∑λj |Ψj〉〈Ψj |

e‖γ‖∞ = ‖γ‖ = sup

j∈N|λj |. (10.6)

Teorema 10.2 (Stima dal basso per l’energia cinetica).Per ogni Ψ ∈ H1(RdN ) esiste K > 0 indipendente da Ψ tale che

T [Ψ] ≥ K∥∥γ(1)∥∥2/d

∞

∫Rd

dx ρ1+ 2

dΨ (x). (10.7)

Osservazione 10.4. La disuguaglianza vale in effetti nel caso piu generale in cui 1+2/d sia rimpiazzato daq e 2/d da q/p, con 1

p + 1q = 1. Inoltre la costante K e strettamente collegata a quella della disuguaglianza

(10.2) via(pL1,d)

q (qK)p = 1. (10.8)

Osservazione 10.5. Abbiamo enunciato il Teorema per stati puri, ma ne esiste una versione che si applicaagli stati misti e alle matrici densita.

Dimostreremo fra poco l’equivalenza del Teorema 10.2 con il Teorema 10.1 (con γ = 1). Prima perodiscutiamo le conseguenze del Teorema 10.2 sul comportamento di un sistema di N fermioni:

Corollario 10.1 (Energia cinetica di N fermioni in R3).Sia Ψ ∈ H1(R3N ) ∩ L2

a(R3N ) uno stato di N fermioni, allora (con K stessa costante della (10.7))

T [Ψ] ≥ K∫Rd

dx ρ5/3Ψ (x). (10.9)

130

Osservazione 10.6. Come conseguenza della (10.9) l’energia cinetica di N fermioni in una regione limitataΩ cresce come N5/3: applicando Holder

N =

∫Ω

dx ρΨ ≤(∫

Ωdx ρ

5/3Ψ (x)

)3/5

|Ω|5/2 ≤ CΩ ‖ρΨ‖5/3 ,

da cui segue immediatamente cheT [Ψ] ≥ KΩN

5/3. (10.10)

Osservazione 10.7. La disuguaglianza (10.9) e stata quella che storicamente e stata usata da Lieb eThirring nella dimostrazione della stabilita della materia di seconda specie [LT]. Come gia anticipatorappresenta una possibile forma matematicamente rigorosa del principio di esclusione di Pauli, implicandouna crescita piu che lineare nel numero di particelle N dell’energia cinetica di N fermioni (vedi anche laprossima Osservazione 10.8.

Osservazione 10.8. Nel caso bosonico (e anche in generale) γ(1) soddisfa la disuguaglianza γ(1) ≤ N etale valore puo essere facilmente raggiunto su uno stato prodotto: prendiamo ad esempio Ψ(X) =

∏ψ(xi),

allora γ(1)Ψ = N |ψ〉〈ψ| e si vede subito che ‖γ(1)‖ = N , per cui la disuguaglianza (10.9) diventa

T [Ψ] ≥ K

N2/3‖ρΨ‖5/35/3 , (10.11)

e ripetendo l’argomento della Osservazione precedente si vede che l’energia cinetica di N bosoni in unaregione limitata cresce linearmente con N . Questo andamento piu debole del caso fermionico sara all’originedell’instabilita di seconda specie di N bosoni che dimostreremo nel Capitolo 12.

Dimostrazione. E’ sufficiente usare la Proposizione 9.1 che da γ(1) ≤ 1 nel caso fermionico, da cui segueimmediatamente che

∥∥γ(1)∥∥∞ =

∥∥γ(1)∥∥ ≤ 1. Il risultato e poi conseguenza diretta della (10.2).

Il fatto che l’energia cinetica di N fermioni cresca come N5/3 si puo anche vedere in un esempio banale:prendiamo N fermioni non interagenti in una scatola cubica Λ ⊂ R3 di lato 2π con condizioni al bordoNeumann. I livelli energetici accessibili per ogni singola particella sono ε(k) = 1

2k2, dove k ∈ Z3 e le

autofunzioni relative ad una particella sono ψk(x) = L−3/2 exp ik · x, che sono poi le autofunzioni delLaplaciano su Λ con condizioni al bordo di tipo Neumann. Usando poi la ricetta del Teorema 9.4 dobbiamosistema gli N fermioni in questi livelli energetici in modo che ogni livello sia occupato al piu da una particella.Naturalmente i livelli sono degeneri e se k1 + k2 + k3 ≤ K il numero di stati e

∑Kj=0 j(j + 1) ' K3, poiche

fissato k1 = K − j, k2 + k3 = j e le possibili combinazioni sono j(j + 1). Pertanto se vogliamo sistemare Nparticelle in stati tutti diversi, dovremo occupare stati fino a |k| ' N1/3, ma l’energia del sistema complessivo(che ovviamente e puramente cinetica) sara la somma delle energie di tutti i livelli energetici occupati, cioeall’incirca ∑

k∈Z3,|k|≤N1/3

k2 ∝ N5/3.

Dimostrazione dell’equivalenza fra i Teoremi 10.1 e 10.2. Per semplificare la discussione e restringerci alcaso piu interessante mostreremo in effetti l’equivalenza nel solo caso fermionico. Piu precisamentedimostreremo che per un sistema fermionico, Corollario 10.1 ⇐⇒ Teorema 10.1 con γ = 1, d = 3.

Iniziamo dall’implicazione (⇐=). Sia EH [Ψ] l’energia di N fermioni non interagenti in R3, cioe l’aspet-tazione di H =

∑(−∆i + V (xi)) per un qualche V tale che le ipotesi del Teorema 6.2 siano soddisfatte e

in particolare V− ∈(L∞ + L3/2

)(R3), allora il Teorema 9.4 implica che

EH [Ψ] ≥ −M∑j=0

|ej |,

131

dove ej , j = 0, . . . ,M , sono le energie di tutti gli stati legati di h = −∆ +V , Hamiltoniana a una particella.Il Teorema 10.1 con γ = 1, d = 3 a sua volta implica che

M∑j=0

|ej | ≤ L1,3

∫R3

dx V5/2− (x).

da cui

T [Ψ] ≥ −∫R3

dx V (x)ρΨ(x)− L1,3

∫R3

dx V5/2− (x), (10.12)

dove, se V− /∈ L5/2(R3) il membro di destra puo anche essere −∞. La stima precedente si applica adogni potenziale V che soddisfi le condizioni fin qui assunte. Facciamo ora una scelta specifica di V , ovveroprendiamo

V (x) = −V−(x) = −cρ2/3Ψ (x).

E’ facile verificare che per tale scelta tutte le ipotesi sono soddisfatte e, in particolare, V− ∈ L3/2(R3).In realta non possiamo sapere se V− ∈ L5/2(R3), ma questo sara conseguenza della disuguaglianza finale.Rimpiazzando questa scelta in (10.12) otteniamo

T [Ψ] ≥(c− L1,3c

5/2)∫

R3

dx ρ5/3Ψ (x),

e, ottimizzando rispetto a c, cioe scegliendo c = (2/(5L1,3))2/3,

T [Ψ] ≥ 3

5

(2

5L1,3

)2/3 ∫R3

dx ρ5/3Ψ (x),

che coincide con la (10.9), via la (10.8).3Vediamo ora come si dimostra l’implicazione (=⇒). Per le ipotesi fatte, l’Hamiltoniana a una particella

h = −∆ + V in L2(R3) ha M + 1 stati legati ψ0, . . . , ψM , con M che assumeremo per semplicita finito.Nel caso in cui fosse M = +∞ sarebbe sufficiente riprodurre lo stesso argomento per M fissato e allafine prendere il limite M → ∞. Prendiamo allora un sistema di M + 1 fermioni e costruiamo lo statoΨ0 = ψ0 ∧ · · · ∧ ψM , che grazie al Teorema 9.4, sappiamo essere lo stato fondamentale di H =

∑Mj=0 h(xj)

con energia E0 =∑M

j=0 ej . La matrice densita ridotta di tale stato a M + 1 corpi e γ(1) =∑M

j=0 |ψj〉〈ψj | e

soddisfa ovviamente∥∥γ(1)

∥∥∞ = 1. Allora il Corollario 10.1 applicato a T [Ψ0] da

−M∑j=0

|ej | = E0 = EH [Ψ0] ≥ K∫R3

dx ρ5/3Ψ0−∫R3

dx V−(x)ρΨ0(x), (10.13)

ma Holder e la disuguaglianza ab ≤ ap/p + bq/q, valida per ogni a, b ≥ 0 e 1p + 1

q = 1, implicano che, perogni δ ∈ (0, 1),∫

R3

dx V−(x)ρΨ0(x) ≤(∫

R3

dx V5/2− (x)

)2/5(∫R3

dx ρ5/3Ψ0

(x)

)3/5

≤ 2

5δ5/2

∫R3

dx V5/2− (x) +

3δ5/3

5

∫R3

dx ρ5/3Ψ0

(x),

che sostituita nella (10.13) restituisce

−M∑j=0

≥ − 2

5δ5/2

∫R3

dx V5/2− (x) +

(K − 3δ5/3

5

)∫R3

dx ρ5/3Ψ0

(x),

e, scegliendo δ5/3 = 53K,

M∑j=0

|ej | ≤ L1,3

∫R3

dx V5/2− (x),

dove abbiamo usato la (10.8).

132

10.1 Teoria di Birman-Schwinger

Un ingrediente cruciale nella dimostrazione delle disuguzglianze di Lieb-Thirring e il principio di Birman-Schwinger, che dimostreremo alla fine di questa Sezione. Si tratta di un risultato generale di teoria deglioperatori di Schrodinger. In effetti la teoria di Birman-Schwinger non e che una conveniente riformulazionedell’equazione agli autovalori per un operatore di Schrodinger della forma −∆+V , che permette di sfruttareproprieta di compatezza non presenti nella formulazione originaria.

Consideriamo allora l’equazione agli autovalori negativi (problema di Stum-Liouville)

(−∆ + V )ψ = −eψ, (10.14)

con ψ ∈ L2(Rd), V ≤ 0 e e > 0. Nell’applicazione alla dimostrazione delle disguguaglianze di Lieb-ThirringV sara in realta −V−, cioe la sola parte negativa del potenziale. Assumeremo inoltre che V soddisfi lecondizioni sufficienti per la limitatezza dal basso dello spettro, cioe (6.9).

Definizione 10.1 (Operatore di Birman-Schwinger).Sia V negativo tale che le ipotesi del Teorema 6.1 siano soddisfatte e in particolare (6.9), allora l’operatoredi Birman-Schwinger Ke : L2(Rd)→ L2(Rd) associato all’equazione di Schrodinger (10.14) e l’operatoreintegrale con kernel

Ke(x; y) =√|V (x)| G−e(x− y)

√|V (y)|, (10.15)

dove la funzione di Green del Laplaciano G−e e definita in (4.9).

Le proprieta piu importanti di Ke sono enunciate nelle seguenti

Proposizione 10.1 (Equivalenza dei problemi agli autovalori).L’operatore di Schrodinger −∆+V ha l’autovalore −e, e > 0, cioe esiste una soluzione di (10.14) in L2(Rd),se e solo se 1 e autovalore di Ke, cioe ∃φ ∈ L2(Rd) tale che

Keφ = φ. (10.16)

Dimostrazione. Dimostriamo anzitutto che sotto le ipotesi fatte su V , l’operatore di Birman-Schwinger eun operatore limitato in L2(Rd): dalla definizione (10.15) si vede immediatamente che Ke ha la struttura

Ke = B∗eBe, Be =√|V | (−∆ + e)−1/2 , (10.17)

dove l’operatore (−∆ + e)−1/2 puo essere facilmente definito usando il teorema spettrale e√|V | indica

l’operatore di moltiplicazione per la funzione√|V (x)|. Mostriamo ora che Be e un operatore limitato su

L2(Rd), da cui segue immediatamente l’assunto. Facciamo anzitutto vedere che (−∆ + e)−1/2 : L2(Rd) →H1(Rd): ∥∥∥(−∆ + e)−1/2 ψ

∥∥∥2

H1(Rd)=

∫Rd

dkk2 + 1

k2 + e

∣∣ψ(k)∣∣2 ≤ max

1, 1

e

‖ψ‖22 .

Inoltre si dimostra che√|V | : H1(Rd)→ L2(Rd) e quindi mettendo insieme i due risultati ne segue che Be

e limitato su L2(Rd): supponiamo per semplicita che d ≥ 3, dato che i casi d = 1, 2 sono del tutto analoghi,allora∥∥∥√|V | ψ∥∥∥2

2=

∫Rd

dx V (x) |ψ|2 ≤ ‖V1‖ d2‖ψ‖22d

d−2+ ‖V2‖∞ ‖ψ‖

22 ≤ S

−1d ‖V1‖ d

2‖∇ψ‖22 + ‖V2‖∞ ‖ψ‖

22

≤ maxS−1d ‖V1‖ d

2, ‖V2‖∞

‖ψ‖2H1(Rd) ,

dove abbiamo usato la decomposizione V = V1 + V2, V1 ∈ Ld/2 e V2 ∈ L∞ e le disuguaglianze di Sobolevenunciate nel Lemma 6.1.

133

Supponiamo ora che la (10.14) sia soddisfatta per una certa ψ ∈ H1(Rd) e poniamo φ =√|V |ψ: il conto

alla riga precedente implica che φ ∈ L2(Rd) e la (10.14) puo essere riscritta nella forma (−∆ + e)ψ = |V |ψ,che a sua volta diventa

(−∆ + e)−1√|V |φ = ψ,

ovvero Keφ = φ. Si noti che quest’ultima equazione e ben posta grazie alla limitatezza in L2(Rd) di Ke e alfatto che φ ∈ L2(Rd).

Se viceversa φ e autofunzione di Ke all’autovalore 1, poniamo ψ = (−∆ + e)−1√|V |φ e calcoliamo (per

il momento formalmente)(−∆ + e)ψ =

√|V |φ =

√|V |Keφ = |V |ψ.

Rimane solo da mostrare che ψ = (−∆ + e)−1√|V |φ sta in L2(Rd), se φ ∈ L2(Rd):∥∥∥(−∆ + e)−1

√|V |φ

∥∥∥2

2=⟨√|V |φ

∣∣∣ (−∆ + e)−2∣∣∣√|V |φ⟩ ≤ 1

e

⟨√|V |φ

∣∣∣ (−∆ + e)−1∣∣∣√|V |φ⟩

=1

e〈φ |Ke|φ〉 =

1

e‖φ‖22 ,

dove abbiamo sfruttato la stima operatoriale (−∆ + e)−2 ≤ e−1(−∆ + e)−1, che si dimostra banalmenteusando la trasformata di Fourier F :⟨

ψ∣∣∣F(−∆ + e)−2F−1

∣∣∣ψ⟩ =⟨ψ∣∣∣ (k2 + e)−2

∣∣∣ψ⟩ ≤ 1

e

⟨ψ∣∣∣ (k2 + e)−1

∣∣∣ψ⟩ =1

e

⟨ψ∣∣(−∆ + e)−1

∣∣ψ ⟩ .Osservazione 10.9. Nella dimostrazione della precedente Proposizione abbiamo fatto uso della disugua-glianza operatoriale (−∆ + e)−2 ≤ e−1(−∆ + e)−1. Si potrebbe essere portati a pensare che si tratti di uncaso particolare di una disuguaglianza ovvia per i numeri reali, ovvero che se a ≥ 0 e a ≤ b allora a2 ≤ ab.Piu in generale si potrebbe pensare che valga l’analogo operatoriale di ac ≤ bc, per ogni c ≥ 0 e a ≤ b.In realta a livello operatoriale tutte queste disuguaglianze sono false! Piu precisamente dati tre operatoriautoaggiunti C ≥ 0 e A ≤ B, non e vero che AC ≤ BC. Ovviamente la ragione di questo fatto sta nellanon commutativita dell’algebra degli operatori (e piu semplicemente delle matrici). Si noti pero che unadisuguaglianza sempre valida e la seguente: siano A ≤ B e C un operatore limitato qualunque, allora

C∗AC ≤ C∗BC. (10.18)

Per motivi analoghi e altrettanto falso che se 0 ≤ A ≤ B, allora An ≤ Bn, qualunque sia n > 1 (sicostruisca un controesempio per matrici 2×2 con n = 2). In effetti soltanto potenze minori di 1 conservanol’ordinamento operatoriale: se 0 ≤ A ≤ B e 0 ≤ γ ≤ 1, allora

Aγ ≤ Bγ , (10.19)

dove le potenze sono definite ad esempio via il teorema spettrale.

L’utilita della riformulazione della (10.14) usando l’operatore di Birman-Schwinger sta nelle proprieta specialidi quest’ultimo. Fissiamo per semplicita d = 3 (che e il caso su cui ci concentreremo per dimostrare ladisuguaglianza di Lieb-Thirring), allora sotto ipotesi ragionevoli su V , si ha che Ke e un operatore compatto:

Proposizione 10.2 (Compattezza di Ke).Se V ∈ L2(R3), allora Ke ∈ L 2(L2(R3)), cioe Ke e un operatore Hilbert-Schmidt e, in particolare, compatto;inoltre

‖Ke‖2L 2(L2(R3)) ≤‖V ‖228π√e. (10.20)

Osservazione 10.10. In dimensione generica d ≥ 3 l’ipotesi V ∈ L2 non garantisce automaticamente cheKe sia Hilbert-Schmidt. Tuttavia si puo mostrare che Ke ∈ Lm(L2(Rd)), cioe Tr(Km

e ) < +∞, per un mgrande abbastanza, il che garantisce ancora la compattezza dell’operatore.

134

Dimostrazione. La dimostrazione e sostanzialmente una stima diretta di Tr(K2e ):

Tr(K2e ) =

∫R6

dxdy |V (x)| G2−e(x− y) |V (y)| =

∫R6

dxdy |V (x)| |V (y)| e−2√e|x−y|

16π2 |x− y|2

≤ 1

16π2

∫R6

dxdy V 2(x)e−2√e|x−y|

|x− y|2=

1

4π

∫R3

dxV 2(x)

∫ ∞0

d% e−2√e% =

‖V ‖228π√e,

dove abbiamo usato la stima di Cauchy ab ≤ 12a

2 + 12b

2.

Proposizione 10.3 (Monotonia di Ke in e).Sia e′ > e, allora Ke′ ≤ Ke. Inoltre

‖Ke‖ −→e→0

+∞, ‖Ke‖ −→e→+∞

0. (10.21)

Dimostrazione. Il primo risultato segue dalla monotonia di (−∆ + e)−1 rispetto a e, ovvero dal fatto chese e′ > e, allora (−∆ + e′)−1 ≤ (−∆ + e)−1, come si dimostra facilmente usando la trasformata di Fourier.Inoltre per ogni ψ ∈ L2(Rd)

〈ψ |Ke′ |ψ 〉 =⟨√|V |ψ

∣∣∣ (−∆ + e′)−1∣∣∣√|V |ψ⟩ ≤ ⟨√|V |ψ∣∣∣ (−∆ + e)−1

∣∣∣√|V |ψ⟩ = 〈ψ |Ke|ψ 〉 .

Per quanto riguarda le altre due proprieta osserviamo che (−∆+e)−1 tende a un operatore illimitato quandoe → 0, che giustifica la prima delle (10.21). Per dimostrare la seconda fissiamo d = 3 e ipotizziamo persemplicita che V ∈ L2(R3): allora, per quanto dimostrato nella Proposizione 10.2 e specificamente la stima(10.20), abbiamo che

‖Ke‖ = ‖Ke‖∞ = supn∈N|λn| ≤

(∑n∈N

λ2n

)1/2

= ‖Ke‖2 ≤C√e,

dove abbiamo indicato con λn, n ∈ N, gli autovalori di Ke.

Possiamo ora enunciare il principio di Birman-Schwinger. Fissiamo nuovamente per concretezza d = 3.

Teorema 10.3 (Principio di Birman-Schwinger).Sia e > 0, d = 3, V ∈ L2(R3) e

Ne = # autovalori ≤ −e di −∆ + V, (10.22)

Me = # autovalori ≥ 1 di Ke, (10.23)

allora Ne = Me.

Dimostrazione. Per quanto dimostrato nella Proposizione 10.2, Ke e un operatore compatto. Inoltre Ke emanifestamente positivo, grazie alla positivita di (−∆ + e)−1:

〈ψ |Ke|ψ 〉 =⟨√|V |ψ

∣∣∣ (−∆ + e)−1∣∣∣√|V |ψ⟩ ≥ 0.

Possiamo allora ordinare gli autovalori di Ke in ordine descrescente λ0(e) ≥ λ1(e) ≥ · · · ≥ 0. Per unrisultato generale di teoria degli operatori (si veda ad esempio [RS4, Teorema XII.8]), gli autovalori λn(e)sono funzioni regolari di e. Inoltre per il principio del min-max (prossimo Teorema 10.4) λn(e′) e unafunzione monotona descrescente di e′.

Le proprieta dell’operatore di Birman-Schwinger enunciate nella Proposizione 10.1 fanno sı che ogniqualvolta λn(e) = 1 per un qualche n, allora −e e autovalore di h = −∆ + V . D’altra parte quantodimostrato nella Proposizione 10.3 implica che λ1(e) → +∞ quando e → 0 e λn → 0 per ogni n quandoe → ∞ (si veda la Fig. 10.1 per una rappresentazione grafica) e in particolare, per ogni n, λn(e) < 1 pere abbastanza grande. Osservando la Fig. 10.1 e facile rendersi conto che il numero di autovalori di Ke

maggiori o uguali a 1 coincide con il numero di attraversamenti della retta orizzontale λ = 1 da parte deiλn alla destra di e. Ma ogni attraversamento implica per quanto detto l’esistenza di un autovalore di h aldi sotto di −e. Il risultato e allora dimostrato.

135

Figura 10.1: Comportamento degli autovalori di Ke al variare di e [LSe, p. 65].

Nella dimostrazione del Teorema 10.3 abbiamo usato un risultato fondamentale di teoria degli operatori cheformuleremo in forma semplificata omettendo inoltre la dimostrazione. Il lettore interessato puo trovare ladiscussione dettagliata in [RS4, Sezione XIII.1].

Teorema 10.4 (Principio del min-max).Siano V,W due potenziali tali che V ≤W puntualmente e le ipotesi del Teorema 6.2 siano soddisfatte (cond = 3). Siano inoltre h = −∆ + V e h′ = −∆ + W i relativi operatori di Schrodinger. Se indichiamo conE0 ≤ E1 ≤ · · · ≤ 0 e E′0 ≤ E′1 ≤ · · · ≤ 0 gli autovalori negativi rispettivamente di h e h′, si ha che

Ej ≤ E′j , per ogni j. (10.24)

Osservazione 10.11. Il principio del min-max si applica piu in generale ogni qual volta abbiamo dueforme quadratiche tali che 〈ψ |h|ψ 〉 ≤ 〈ψ |h′|ψ 〉 e, come nel caso semplice dei potenziali V ≤ W , implical’ordinamento relativo degli autovalori.

10.2 Dimostrazione delle Disuguaglianze di Lieb-Thirring

Possiamo ora completare la dimostrazione delle disuguaglianze di Lieb-Thirring. Per semplificare la discus-sione e al contenpo restringerci al caso fisicamente interessante dell’applicazione alla teoria della stabilitadella materia, dimostreremo il Teorema 10.1 solo in tre dimensioni (d = 3) e per γ = 1. Inoltre tralasceremointeramente la discussione della costante ottimale Ld,γ e ci accontenteremo di dimostrare che la stima valeper una certa costante finita.

Dimostrazione del Teorema 10.1. Osserviamo anzitutto che e sufficiente restringersi al caso V = −V−: ilmotivo e che una stima sulla somma dei moduli degli autovalori negativi Ej di h = −∆ − V− fornisceautomaticamente, grazie al principio del min-max (Teorema 10.4), una stima dall’alto anche per l’analogasomma degli autovalori negativi dell’hamitoniana completa −∆ + V . Se infatti chiamiamo E′j gli autovalorinegativi di quest’ultima, abbiamo, via principio del min-max e stima banale V ≥ −V−, l’ordinamentoE′j ≥ Ej e percio |E′j | ≤ |Ej |.

Inoltre ∑j≥0

|Ej | =∑j≥0

ej =

∫ ∞0

de Ne,

136

dove Ne e stato definito nell’enunciato del Teorema 10.3 ed e il numero di autovalori negativi di h = −∆−V−uguali o piu piccoli di −e. Per ricavare la seconda identita nell’espressione precedente e sufficiente osservareche Ne e una funzione continua a tratti (in effetti a scalini), la cui derivata in senso distribuzionale e datada

dNe

de= −

∑j≥0

δ(e− ej),

da cui l’identita via integrazione per parti∫ ∞0

de Ne =∣∣eNe

∣∣∞0−∫ ∞

0de e

dNe

de=∑j≥0

ej .

Si noti l’annullamento dei termini di bordo dovuto al fatto che Ne = 0 per e > e0. A questo puntoapplichiamo il principio di Birman-Schwinger (Teorema 10.3), ottenendo∑

j≥0

|Ej | =∫ ∞

0de Me,

ma se chiamiamo j? ∈ N l’indice tale che λj ≥ 1 per j ≥ j? abbiamo anche che

Me ≤∑j≥j?

λ2j ≤

∑j≥0

λ2j = ‖Ke‖22 ,

da cui ∑j≥0

|Ej | ≤∫ ∞

0de ‖Ke‖22 . (10.25)

Purtroppo anche assumendo che V− ∈ L2(R3), la (10.25) non sarebbe sufficiente per chiudere l’argomentoin quanto nella stima (10.20) compare la funzione 1/

√e che non e integrabile per grandi e. L’idea e allora

di ripetere il ragionamento sostituendo nello schema il potenziale V− con

We(x) =[V (x) + 1

2e]− . (10.26)

Osserviamo anzitutto che

[V (x) + 1

2e]− =

0, dove V (x) ≤ e

2 ,

V− − e2 , dove V (x) ≤ 0 e V−(x) ≥ e

2 ;

da cui la stima banaleWe(x) ≥ V−(x)− 1

2e. (10.27)

Se indichiamo la dipendenza dal potenziale, vale poi la catena di disuguaglianze

Ne(−V−) ≤ Ne/2(−V− + e/2) ≤ Ne/2(−We), (10.28)

come si dimostra nel modo seguente: se (−∆− V−)ψ = Eψ, allora (−∆− V−+ e/2)ψ = (E + e/2)ψ; quindise E ≤ −e e autovalore di −∆−V−, allora E+e/2 ≤ −e/2 e autovalore di −∆−V−+e/2, il che giustifica laprima disuguaglianza. Per la seconda e sufficiente usare la (10.27) e applicare il principio del min-max chegarantisce che gli autovalori di −∆−We sono minori o uguali ai corrispettivi autovalori di −∆− V− + e/2.

Ripetiamo allora l’argomento con cui abbiamo iniziato la dimostrazione rimpiazzando e con e/2 e V−con We:∑

j≥0

|Ej | =∫ ∞

0de Ne(−V−) ≤

∫ ∞0

de Ne/2(−We) =

∫ ∞0

de Me/2(−We) ≤∫ ∞

0de∥∥∥Ke/2

∥∥∥2

2,

137

dove abbiamo indicato con Ke l’operatore di Birman-Schwinger relativo al potenziale −We. A questo puntopossiamo usare la (10.20) e ottenere

∑j≥0

|Ej | ≤ C∫ ∞

0de‖We‖22√

e= C

∫ ∞0

de1√e

∫R3

dx[V (x) + 1

2e]2− = C

∫R3

dx

∫ 2V−(x)

0de

1√e

(V−(x)− 1

2e)2

= C ′∫R3

dx V5/2− (x)

∫ 2

0de

1√e

(1− 1

2e)2 ≤ C ′′ ∫

R3

dx V5/2− (x),

dove abbiamo applicato Fubini per scambiare l’ordine degli integrali: come funzione di x, [V (x) + 12e]

2− e

una funzione positiva, limitata e a supporto compatto per ogni e > 0, grazie all’ipotesi di decadimento fattasul potenziale (si vedano le assunzioni su V del Teorema 6.2). Pertanto essa e integrabile in x per ogni e > 0e l’integrale e finito. Resta da discutere il comportamento quando e→ 0 ma poiche V ∈ L2 anche in questocaso la funzione e integrabile e il suo integrale finito.

Capitolo 11

Elettrostatica

Nel Capitolo precedente abbiamo dimostrato le disuguaglianze di Lieb-Thirring che ci permetteranno distimare dal basso l’energia cinetica degli elettroni nel modello di materia che abbiamo considerato. Perricavare un’analoga stima significativa dal basso dell’energia potenziale coulombiana del sistema elettroni –nuclei dovremo dare alcuni cenni di teoria del potenziale al fine di poter dimostrare la stima chiave ovverola disuguaglianza di Baxter.

Ricordiamo che il potenziale elettrostatico che vogliamo studiare e dato dalla (8.4), cioe

VC(X; R,Z) = W (X; R,Z) + I(X) + U(R,Z),

con

W (X; R,Z) = −N∑i=1

M∑j=1

Zj|xi −Rj |

;

I(X) =∑

1≤i<j≤N

1

|xi − xj |;

U(R,Z) =∑

1≤j<k≤M

ZjZk|Rj −Rk|

.

Come si vede l’unico contributo negativo e dato da W , ma purtroppo esso contiene NM termini, mentreil nostro scopo finale e dimostrare una stima dal basso che sia proporzionale a N + M . In effetti la stimadal basso che abbiamo ottenuto per dimostrare la stabilita della prima specie (8.11) va addirittura comeM2N . D’altra parte i contributi repulsivi dell’interazione fra gli elettroni e di quella fra i nuclei, che abbiamotrascurato per arrivare alla (8.11), dovrebbero aiutare a raggiungere una stima dal basso migliore. Questofenomeno prende il nome di screening elettronico: grazie alla repulsione fra gli elettroni, il campo elettronicoche sente ogni singolo elettrone e in realta piu debole di quello prodotto dai nuclei. Nella disuguaglianza diBaxter tale effetto viene quantificato.

In teoria del potenziale il problema fisico che si vuole risolvere e quello di trovare il potenziale elettrosta-tico generato da una certa distribuzione di carica. Supponiamo allora che le cariche siano distribuite secondouna misura di probabilita (misura di Borel regolare) µ ∈M (Rd), allora vogliamo studiare le proprieta delptenziale generato.

Esempio 11.1 (Distribuzioni di carica elementari)Nel caso elementare di un numero N di particelle puntiformi con carica qi, la distribuzione µ e semplicementedata da µ =

∑qiδ(x − xi), dove xi indicano le posizioni delle N cariche. Analogamente una distribuzione

di carica uniforme di densita ρ in una palla BR di raggio R sara data da µ = ρ1BR .

Definizione 11.1 (Potenziale elettrostatico).Sia µ ∈M (R3) una misura di Borel regolare, allora il potenziale elettrostatico Φ(x) da essa generato e

138

139

la funzione

Φ(x) =

∫R3

dµ(y)1

|x− y|. (11.1)

Osservazione 11.1. La funzione (11.1) e certamente ben definita se µ ≥ 0, anche se ovviamente non enecessariamente limitata. Se invece µ e una misura con segno e quindi µ = µ+ − µ−, con µ± ≥ 0, allorapotrebbe esserci un ambiguita dovuta alla possibile cancellazione di divergenze con segno opposto. Se tuttaviaassumiamo che ∫

R3

dµ±(y)1

1 + |y|< +∞,

si puo dimostrare che la (11.1) e ben posta anche per misure con segno. In effetti sotto queste ipotesiΦ ∈ L1

loc(R3) ed e finita q.o..

Se prendiamo il caso elementare descritto nell’Esempio 1 otteniamo immediatamente che un insieme di Nparticelle puntiformi di carica qi nei punti xi produce un potenziale elettrostatico dato da

Φ(x) =N∑i=1

qi|x− xi|

.

che coincide con quanto ci saremmo aspettati dai noti risultati di elettrostatica.Similmente l’energia elettrostatica di una carica puntiforme q posta in x0 e immersa nel potenziale Φ(x)

e data da qΦ(x0). Risulta quindi naturale definire l’energia di una distribuzione di carica µ come

Definizione 11.2 (Energia di Coulomb).L’energia di Coulomb o elettrostatica D(µ;µ) associata a una misura di Borel regolare µ e

D(µ;µ) =1

2

∫R3

dµ(x)

∫R3

dµ(y)1

|x− y|. (11.2)

Motivata dalla precedente Definizione e dall’Osservazione 11.1, introduciamo anche la seguente

Definizione 11.3 (Distribuzione di carica).Una distribuzione di carica µ e una misura di Borel regolare tale che, se µ = µ+ − µ−, con µ± ≥ 0,allora D(µ±;µ±) < +∞.

Osservazione 11.2. Come e noto data una misura di Borel regolare con segno µ si puo trovare una de-composizione in misure positive µ = µ+ − µ−, dove in aggiunta le misure µ± hanno supporto disgiunto(decomposizione di Hahn). Si noti che nella definizione di distribuzione di carica e sufficiente che la con-dizione sia verificata per una qualunque decomposizione, in cui le misure µ± possono anche avere supportonon disgiunto.

Per concludere definiamo l’energia di interazione fra due diverse distribuzioni di carica:

Definizione 11.4 (Energia di interazione).Date due distribuzioni di carica µ, ν, l’energia di interazione fra di esse e

D(µ; ν) =1

2

∫R3

dµ(x)

∫R3

dµ(y)1

|x− y|. (11.3)

Nel caso in cui ν descriva una singola carica puntiforme q in x0, si vede immediatamente che si riottiene ilrisultato classico per l’energia elettrostatica ovvero qΦ(x0), Φ e il potenziale generato da µ.

L’utilita delle definizioni appena introdotte diventa piu chiara alla luce della seguente

Proposizione 11.1 (Proprieta dell’energia).Per ogni distribuzioni di carica µ, ν si ha

i) 0 ≤ D(µ;µ) < +∞;

140

ii) |D(µ; ν)| ≤√D(µ;µ)D(ν; ν).

Dimostrazione. Dimostriamo anzitutto la positivita dell’energia di Coulomb, mentre la limitatezza saraottenuta come sottoprodotto della seconda disuguaglianza. Osserviamo che vale la seguente semplice identita∫

R3

dz1

|x− z|2|y − z|2=

C

|x− y|, (11.4)

dove C > 0 e una costante limitata (si veda anche il prossimo Esercizio 11.1: integrando il membro disinistra abbiamo infatti∫

R3

dz1

|x− z|2|y − z|2=

∫R3

dz1

|z|2|z + x− y|2= 2π

∫ ∞0

dz

∫ 1

−1dt

1

z2 + |x− y|2 + 2z|x− y|t

=2π

|x− y|

∫ ∞0

dz

∫ 1

−1dt

1

z2 + 2zt+ 1=

C

|x− y|.

Usando la (11.4) nella definizione di D(µ;µ) si ottiene

D(µ;µ) =1

2C

∫R3

dz

∫R3

dµ(x)

∫R3

dµ(y)1

|x− z|2|y − z|2=

1

2C

∫R3

dz

(∫R3

dµ(x)1

|x− z|2

)2

≥ 0.

Per dimostrare la seconda proprieta e sufficiente usare la (11.4) e applicare la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz:

|D(µ; ν)| ≤ 1

2C

∫R3

dz

∣∣∣∣∫R3

dµ(x)1

|x− z|2

∣∣∣∣ ∣∣∣∣∫R3

dν(y)1

|y − z|2

∣∣∣∣≤ 1

2C

(∫R3

dz

∣∣∣∣∫R3

dµ(x)1

|x− z|2

∣∣∣∣2)1/2(∫

R3

dz

∣∣∣∣∫R3

dν(y)1

|y − z|2

∣∣∣∣2)1/2

=√D(µ;µ)D(ν; ν).

Usando questa seconda proprieta dell’energia di Coulomb e poi facile vedere che per ogni distribuzione dicarica µ si ha D(µ;µ) < +∞: decomponendo µ = µ+ − µ− abbiamo per ipotesi sulle distribuzioni di caricaD(µ±;µ±) < +∞, ma, grazie alla seconda proprieta , anche |D(µ+;µ−)| < +∞ e quindi D(µ;µ) < +∞.

Esercizio 11.1. Usando l’identita∫ ∞0

dλ λα2−1e−πλ|x−y|

2= π−

α2 Γ(α2

)|x− y|−α, (11.5)

valida per ogni 0 < α < 3, si dimostri che

1

|x− y|=

1

π3

∫R3

dz1

|x− z|2|y − z|2. (11.6)

Un’altra proprieta dei potenziali elettrostatici particolarmente utile e il teorema di Newton, che si applica adistribuzioni di carica a simmetria sferica. Premettiamo allora la seguente

Definizione 11.5 (Distribuzione di carica a simmetria sferica).Una distribuzione di carica si dice a simmetria sferica attorno a un punto x0 ∈ R3 se per ogni rotazioneR tale che Rx0 = x0, allora µ(RS) = µ(S), per ogni S misurabile.

Teorema 11.1 (Teorema di Newton).Sia µ una distribuzione di carica a simmetria sferica attorno all’origine, allora

Φ(x) =1

|x|

∫|y|≤|x|

dµ(y) +

∫|y|>|x|

dµ(y)1

|y|. (11.7)

In particolare se µ(S) = 0 per ogni insieme S tale che S ∩ y, |y| > R = ∅, per un certo R < +∞ (cioe sela distribuzione di carica e supportata all’interno di una palla di raggio R), allora

Φ(x) =µ(R3)

|x|, per ogni |x| > R. (11.8)

141

Dimostrazione. Se µ e a simmetria sferica allora Φ deve essere invariante per rotazioni, ovvero

Φ(x) =1

4π

∫S2

dω Φ(|x|ω) =1

4π

∫S2

dω

∫R3

dµ(y)1

||x|ω − y|.

Scambiamo ora l’ordine degli integrali usando Fubini e calcoliamo

1

4π

∫S2

dω1

||x|ω − y|=

1

2

∫ 1

−1dt

1√|x|2 + |y|2 − 2|x||y|t

=1

2|x||y|

√|x|2 + |y|2 + 2|x||y| −

√|x|2 + |y|2 − 2|x||y|

=

1

2|x||y||x|+ |y| − ||x| − |y|| = min

1

|x|,

1

|y|

,

da cui si ottiene immediatamente il risultato.

Possiamo tornare ora a discutere la stima dal basso dell’energia coulombiana VC. Semplificando, possiamodire che dovremo affrontare due tipi di problemi nel derivare tale stima: da un lato il potenziale VC e singolarein corrispondenza delle posizioni dei nuclei e questo chiaramente puo essere un problema nel trovare unastima dal basso limitata, ma, dall’altro, il potenziale VC puo essere “grande” in valora assoluto anche lontanodai nuclei, semplicemente per il fatto che contiene un numero grande di termini (ordine NM). La soluzionedi questo secondo problema sta in una partizione conveniente dello spazio in celle:

Definizione 11.6 (Celle di Voronoi).Siano R1, . . . ,RM le posizioni di M nuclei, allora la j−esima cella di Voronoi e l’aperto

Γj =x ∈ R3

∣∣ |x−Rj | < |x−Ri| , ∀i 6= j. (11.9)

Definiamo inoltre la distanza dal nucleo piu vicino al j−esimo

Dj = 12 infk 6=j|Rk −Rj | = dist (Rj , ∂Γj) , (11.10)

e la minima distanza da un nucleoD(x) = inf

j∈1,...,M|x−Rj | . (11.11)

Osservazione 11.3. E’ facile vedere che le celle di Voronoi sono insiemi convessi il cui bordo ∂Γj e uninsieme finito di sezioni di piani e, eventualmente, il punto all’infinito. Per una rappresentazione graficasemplificata si veda la Fig. 11.1.

Possiamo a questo punto enunciare il risultato principale di questo Capitolo. Considereremo il potenzialeVC introdotto nella (8.4) e richiamato all’inizio del Capitolo, ma assumeremo che le cariche nucleari sianotutte uguali, cioe Zj = Z per ogni j = 1, . . . ,M . Nell’applicazione allo studio della stabilita della materiaquesta non sara una restrizione significativa alla luce di quanto dimostrato nel Teorema 9.6.

Ricordiamo che X = (x1, . . . ,xN ) e R = (R1, . . . ,RM ). Introduciamo inoltre la notazione

w(x) =

M∑j=1

Z

|x−Rj |, (11.12)

per il potenziale complessivo generato dai nuclei.

Teorema 11.2 (Disuguaglianza di Baxter).Sia VC il potenziale coulombiano definito in (8.4) con Zj = Z per ogni j = 1, . . . ,M , allora vale la stimadal basso

VC(X) ≥ −(2Z + 1)N∑i=1

1

D(xi)+Z2

8

M∑j=1

1

Dj. (11.13)

142

Figura 11.1: Celle di Voronoi [LSe, p. 78].

Dimostrazione. L’idea chiave della dimostrazione della disuguaglianza di Baxter e l’applicazione del Lemma11.1 alla distribuzione di carica elettronica

µ(x) =N∑i=1

δ(x− xi). (11.14)

Sfortunatamente vedremo che questo argomento non puo funzionare direttamente ed e necessario rego-larizzare la distribuzione di carica dando una “dimensione” alle cariche elettroniche che abbiamo sempreconsiderato puntiformi. Vediamo tuttavia come si procederebbe nel caso della distribuzione di carica (11.14):osserviamo intanto che

D(µ;µ) =∑i<j

1

|xi − xj |.

cioe l’energia elettrostatica di µ coincide con la repulsione elettronica I(X). Inoltre

−∫R3

dµ(x) Φreg(x) = −N∑i=1

Φreg(xi) = −ZN∑i=1

M∑j=1

Z

|xi −Rj |+ Z

N∑i=1

1

D(xi)= W (X; R, Z) + Z

N∑i=1

1

D(xi),

da cui

VC(X; R, Z) ≥ D(µ;µ)−∫R3

dµ(x) Φreg(x)− ZN∑i=1

1

D(xi)+∑k<`

Z2

|Rk −R`|. (11.15)

L’applicazione del Lemma 11.1 a µ darebbe quindi la stima dal basso

VC(X; R, Z) ≥ Z2

8

M∑j=1

1

Dj− Z

N∑i=1

1

D(xi),

che sfortunatamente e inutile a causa della divergenza di D(xi) in Γi.Per ovviare a questo problema rimpiazziamo la distribuzione di carica elettronica (11.14) con

µreg(x) =

N∑i=1

µi(x), µi(x) =1

πd2i

δ(|x− xi| − di

2

), (11.16)

143

dove abbiamo posto per semplicita di notazione di = D(xi). Si noti che la distribuzione di carica puntiformeµ e stata sostituita con una distribuzione di carica superificiale, supportata in sferette di raggio di

2 centratein xi. Usando i risultati dimostrati nel prossimo Lemma 11.2 e specificamente la (11.26), abbiamo che

VC(X; R, Z) ≥ 2∑i<j

D(µi;µj)−M∑j=1

∫R3

dµreg(x)Z

|x−Rj |+∑k<`

Z2

|Rk −R`|

= D(µreg;µreg)−N∑i=1

1

di−

M∑j=1

∫R3

dµreg(x)Z

|x−Rj |+∑k<`

Z2

|Rk −R`|,

e, grazie al Lemma 11.1,

VC(X; R, Z) ≥ −N∑i=1

1

di− Z

∫R3

dµreg(x)1

D(x)+Z2

8

M∑j=1

1

Dj,

ma sul supporto di µi si ha D(x) ≥ di2 per costruzione e quindi

VC(X; R, Z) ≥ −(2Z + 1)N∑i=1

1

D(xi)+Z2

8

M∑j=1

1

Dj,

cioe il risultato finale.

Cosı come la decomposizione in celle di Voronoi ha permesso di risolvere il problema della dipendenza dalnumero di nuclei e considerare “un nucleo alla volta”, cosı il Lemma seguente permette di liberarsi dellasingolarita coulombiana generata all’interno della cella di Voronoi dal nucleo contenuto.

Lemma 11.1 (Regolarizzazione del potenziale).Per ogni distribuzione di carica µ e per ogni scelta di M punti Rj, j = 1, . . . ,M , si ha

D(µ;µ)−∫R3

dµ(x)Φreg(x) +M∑

1≤i<j

Z2

|Ri −Rj |≥ 1

8

M∑j=1

Z2

Dj, (11.17)

dove

Φreg(x) = w(x)− Z

D(x)=

M∑j=1

Z

|x−Rj |− Z

minj∈1,...,M |x−Rj |. (11.18)

Osservazione 11.4. Il potenziale Φreg e naturalmente la regolarizzazione del potenziale Φ generato dainuclei, a cui e stato sottratto il contributo singolare dovuto al nucleo nella cella di Voronoi in questione: piuprecisamente

Φreg(x) =∑j 6=k

Z

|x−Rj |, per ogni x ∈ Γk.

Inoltre Φreg e una funzione continua – in realta C∞ – all’interno di ciascuna cella di Voronoi. Tuttavia taleregolarita viene a mancare al bordo ∂Γj, dove Φreg e solamente continua. Similmente si vede facilmente che

∆Φreg = 0, (11.19)

per ogni x /∈ ∪j∂Γj, cioe Φreg e una funzione armonica all’interno delle celle di Voronoi.

Dimostrazione. Per prima cosa vogliamo cercare la distribuzione di carica che genera il potenziale Φreg,ovvero la ν tale che

Φreg(x) =

∫R3

dν(y)1

|x− y|,

144

o, in termini distribuzionali, −∆Φreg = 4πν. Prediamo allora una funzione test f ∈ C∞0 (R3) e calcoliamo∫R3

dx Φreg ∆f =

M∑j=1

∫Γj

dx Φreg ∆f =

M∑j=1

∫∂Γj

dσ Φreg nj · ∇f −∫

Γj

dx∇Φreg · ∇f

,

dove abbiamo indicato con nj il versore lungo la normale uscente da ∂Γj e dσ la misura di superficie su∂Γj . D’altra parte la continuita di Φreg e f implica che la somma di tutti i termini di bordo deve annullarsiperche per ogni termine ce n’e un altro uguale ma di segno opposto. Inoltre integrando ancora per parti∫

Γj

dx∇Φreg · ∇f =

∫∂Γj

dσ f nj · ∇Φreg,

poiche Φreg e armonica all’interno di Γj . Abbiamo quindi∫R3

dx Φreg ∆f = −M∑j=1

∫∂Γj

dσ f nj · ∇Φreg. (11.20)

Si noti che la somma di termini di bordo nella (11.20) questa volta non si annulla a causa della nondifferenziabilita di Φreg su ∂Γj . Abbiamo quindi scoperto che la distribuzione di carica che genera Φreg euna distribuzione superficiale supportata su ∪j∂Γj . Cerchiamo di trovarne l’espressione esplicita: ricordandoche Φreg(x) = w(x) − Z/D(x), osserviamo che w e certamente una funzione differenziabile di x su ∂Γj equindi, ancora una volta, i corrispondenti termini di bordo hanno somma nulla:∫

R3

dx Φreg ∆f = Z

M∑j=1

∫∂Γj

dσ f nj · ∇(

1

D

). (11.21)

D’altra parte al bordo comune fra le celle Γj e Γk vale banalmente

nj · ∇1

|x−Rj |= nk · ∇

1

|x−Rk|,

poiche su tale bordo |x−Rj | = |x−Rk|. Ma allora poiche D(x) = minj |x−Rj |

Z

M∑j=1

∫∂Γj

dx f nj · ∇(

1

D

)= 2Z

∫∪j∂Γj

dx f nj · ∇(

1

D

)= 2Z

∫∪j∂Γj

dx f nj · ∇1

|x−Rj |

o, alla luce della (11.21), la distribuzione di carica ν che genera Φreg ha supporto in ∪j∂Γj ed e data da

ν(x) = − Z2π

nj · ∇1

|x−Rj |σ(x), (11.22)

dove σ(x) indica la misura superficiale ristretta a ∪j∂Γj . Si noti che tale distribuzione di carica e positiva:poiche per convessita nj · (x−Rj) ≥ 0, il gradiente

∇ 1

|x−Rj |

punta in direzione entrante rispetto a ∂Γj .Ora per ogni distribuzione di carica µ

D(µ;µ)−∫R3

dµ(x) Φreg(x) +∑i<j

Z2

|Ri −Rj |= D(µ; ν)−D(ν; ν) +

∑i<j

Z2

|Ri −Rj |

≥ −D(ν; ν) +∑i<j

Z2

|Ri −Rj |, (11.23)

145

grazie a quanto dimostrato nella Proposizione 11.1. Resta allora da calcolare D(ν; ν) con ν data dalla(11.22). Notiamo anzitutto che∫

R3

dν(x) w(x) = ZM∑j=1

∫R3

dν(x)

∫R3

dy1

|x− y|δ(y −Rj) = Z

M∑j=1

Φreg(Rj),

da cui

D(ν; ν) =1

2

∫R3

dν(x) Φreg(x) =1

2

∫R3

dν(x)

(w(x)− Z

D(x)

)=Z

2

M∑j=1

Φreg(Rj)−Z

2

∫R3

dν(x)1

D(x)

=∑k<j

Z2

|Rk −Rj |− Z

2

∫R3

dν(x)1

D(x). (11.24)

A questo punto resta da calcolare

Z

2

∫R3

dν(x)1

D(x)= −Z

2

4π

∫∪j∂Γj

dσ nj · ∇(

1

|x−Rj |

)1

D(x)= − Z2

16π

M∑j=1

∫∂Γj

dσ nj · ∇(

1

|x−Rj |2

)

=Z2

16π

M∑j=1

∫Γcj

dx ∆

(1

|x−Rj |2

)=Z2

8π

M∑j=1

∫Γcj

dx1

|x−Rj |4, (11.25)

dove abbiamo usato l’identita ∆|x −Rj |−2 = 2|x −Rj |−4 la cui dimostrazione e lasciata per esercizio. Sinoti che nel passaggio dall’integrale su ∪j∂Γj alla somma degli integrali su ∂Γj abbiamo dovuto moltiplicareper 1

2 per evitare di contare due volte lo stesso integrale. Infine nell’ultimo passaggio abbiamo ottenuto uncambio di segno a prezzo di rimpiazzare Γj con il suo complemento Γc

j .Per completare la stima basta osservare che Γc

j contiene sicuramente il semi-spazio tangente alla sfera diraggio Dj centrata in Rj e, quindi, cambiando coordinate x−Rj → x, otteniamo∫

Γcj

dx1

|x−Rj |4≥∫ ∞−∞

dx

∫ ∞−∞

dy

∫ ∞Dj

1

(x2 + y2 + z2)2=

∫ ∞0

d% %

∫ 2π

0dϕ

∫ ∞Dj

dz1

(%2 + z2)2

= π

∫ ∞Dj

dz1

z2=

π

Dj.

Rimpiazzando questa stima nella (11.25) e sostituendo la (11.24) nella (11.23) otteniamo il risultato.

Terminiamo questo Capitolo dimostrando alcune proprieta della distribuzione di carica regolarizzata µreg

introdotta in (11.16):

Lemma 11.2 (Lemma di Onsager).Sia µreg la distribuzione di carica (11.16), allora

i) I(X) ≥ 2∑i<j

D(µi;µj);

ii)1

|xi −Rj |=

∫R3

dµi(x)1

|x−Rj |;

iii) D(µi;µi) =1

D(xi).

In particolare

I(X) ≥ 2D(µreg;µreg)−N∑i=1

1

D(xi), W (X; R, Z) = −

M∑j=1

∫R3

dµreg(x)Z

|x−Rj |. (11.26)

146

Dimostrazione. Tutte e tre le stime sono conseguenza diretta del Teorema di Newton 11.1. Iniziamo dallaprima: per i 6= j

D(µi;µj) =1

2

∫R3

dµi(x)

∫R3

dµj(y)1

|x− y|=

1

2

∫|x−xj |≥

dj2

dµi(x)1

|x− xj |+

1

dj

∫|x−xj |<

dj2

dµi(x),

poiche la distribuzione di carica µj e a simmetria sferica rispetto a xj e quindi il potenziale che genera e

Φj(x) =

1

|x− xj |, se |x− xj | ≥ dj

2 ,

2

dj, se |x− xj | < dj

2 ,

ed esso ovviamente soddisfa la stima puntuale Φj(x) ≤ |x− xj |−1. Quindi

D(µi;µj) =1

2

∫R3

dµi(x)1

|x− xj |−∫|x−xj |<

dj2

dµi(x)

(1

|x− xj |− 1

dj

)≤ 1

2

∫R3

dµi(x)1

|x− xj |=

1

2Φi(xj) ≤

1

2|xi − xj |.

Consideriamo ora l’ultima identita: cambiando variabili x − xi = x′ e passando a coordinate sfericheabbiamo che

D(µi;µi) =1

2

∫|x−xi|≥

di2

dµi(x)1

|x− xi|=

2

d2i

∫ ∞di2

d%%2 δ(%− di

2

) 1

%=

1

di.

Rimane da dimostrare la seconda identita:

∫R3

dµi(x)1

|x−Rj |= Φi(Rj) =

1

|xi −Rj |, se |xi −Rj | ≥ di

2 ,

2

di, se |xi −Rj | < di

2 ,

ma |xi−Rj | ≥ D(xi) = di >di2 , per cui il secondo caso non si verifica mai e l’uguaglianza e dimostrata.

Capitolo 12

Stabilita di Seconda Specie

Dopo aver discusso gli strumenti essenziali nei Capitoli precedenti siamo ora in grado di formulare e dimo-strare il risultato piu importate di quest’ultima parte del corso. Ricordiamo che il modello in questione estato discusso nella Sezione 9.4 (si veda in particolare la Definizione 9.4).

Teorema 12.1 (Stabilita della materia di seconda specie).Se Zj ≤ Z < +∞ per ogni j = 1, . . . ,M , esiste una costante C < +∞ tale che

E0(N,M,Z) ≥ −CZ2(N +M), (12.1)

e in particolare la materia e stabile di seconda specie.

Osservazione 12.1. Come gia ampiamente discusso, un elemento cruciale della dimostrazione della sta-bilita e il principio di esclusione di Pauli, che assumera concretamente la forma delle disuguaglianze diLieb-Thirring. La natura fermionica degli elettroni e quindi essenziale per la stabilita e infatti vedremo nellaSezione 12.2 come la materia bosonica sia instabile di seconda specie.

Osservazione 12.2. Nel nostro modello abbiamo sempre trascurato lo spin degli elettroni. Non e perotroppo complicato tenerne conto e, assumendo che le particelle ammettano q stati di spin (quindi q = 2 pergli elettroni), la stima dal basso (9.39) diventerebbe

E0(N,M,Z) ≥ −CZ2q2/3(N +M),

e quindi il sistema risulterebbe ancora stabile di seconda specie.

Dimostrazione. Il primo passo e la sostituzione di ogni Zj con Z, che e permessa dal Teorema 9.6. Abbiamoquindi

E0(N,M,Z) ≥ E0(N,M, (Z, . . . , Z)). (12.2)

Percio da qui in poi consideremo un sistema con Hamiltoniana H definita nella (8.2) con Zj = Z per ogni j.A questo punto applichiamo la disuguaglianza di Baxter (Teorema 11.2):

H ≥N∑i=1

−1

2∆i −

(2Z + 1)α

D(xi)

, (12.3)

cosı che abbiamo gia eliminato il problema del numero (ordine NM) di termini del potenziale elettrostatico.Il passo successivo e l’uso delle disuguaglianze di Lieb-Thirring. Si sarebbe tentati di applicarle al

potenziale 1/D(x) ma questo non puo funzionare. Scriviamo allora per un certo b > 0

H ≥N∑i=1

−1

2∆i − (2Z + 1)α

(1

D(xi)− b)− (2Z + 1)Nαb =

N∑i=1

hi − (2Z + 1)Nαb,

147

148

dovehi = h(xi) = −1

2∆i − 1D(xi)

+ b.

Osserviamo ora che lo stato fondamentale dell’Hamiltoniana a N corpi∑hi e descritto nel Teorema 9.4 e

quindi, se l’Hamiltoniana a un corpo h ha N stati legati E0 ≤ . . . ≤ EN−1 ≤ 0,

N∑i=1

hi ≥min(N,N)−1∑

i=0

Ei ≥∑i≥0

Ei ≥ −L3,1

∫R3

dx V5/2− (x) = −CZ5/2

∫R3

dx

[1

D(x)− b]5/2

+

,

dove abbiamo applicato le disuguaglianze di Lieb-Thirring (Teorema 10.1) al potenziale V (x) = − 1D(x) + b.

Rimpiazziamo ora la definizione di D(x) = minj∈1,...,M |x−Rj | per ottenere

[1

D(x)− b]5/2

+

≤ maxj∈1,...,M

[1

|x−Rj |− b]5/2

+

≤M∑j=1

[1

|x−Rj |− b]5/2

+

,

da cui

N∑i=1

hi ≥ −CZ5/2M∑j=1

∫R3

dx

[1

|x−Rj |− b]5/2

+

= −CZ5/2M

∫R3

dx

[1

|x|− b]5/2

+

= −CZ5/2M

∫|x|≤ 1

b

dx

(1

|x|− b)5/2

≥ −CZ5/2M

∫ ∞1b

d%%2 dx

(1

%− b)5/2

≥ −CZ5/2Mb−1/2

∫ ∞1

d%%2 dx

(1

%− 1

)5/2

≥ −CZ5/2Mb−1/2. (12.4)

L’ultimo passaggio e semplicemente l’ottimizzazione rispetto al parametro variazionale b > 0:

H ≥ −CZ5/2Mb−1/2 − (2Z + 1)Nαb ≥ −CZ2N1/3M2/3, (12.5)

dove abbiamo massimizzato il membro di destra scegliendo

b =CZM2/3

N2/3.

Resta solo da usare la stima ab ≤ 1pa

p + 1q bq con p = 3, q = 3

2 , a = N e b = M , per ottenere il risultatofinale.

12.1 Dimostrazioni Alternative

La prima dimostrazione della stabilita della materia di seconda specie risale al 1967 e tu ottenuta da Dyson,Lenard [DL]. Si tratta forse di uno dei primi veri risultati di fisica matematica, ma l’argomento che vieneusato nella dimostrazione e piuttosto involuto e complicato. E’ curioso per esempio come venga utilizzatoil principio di esclusione di Pauli, ovvero per mostrare che localmente in una palla di raggio R, N fermionihanno energia cinetica almeno (N − 1)/R2, perche solo una particella si puo trovare nello stato a energia0 (funzione d’onda costante). Il resto della dimostrazione consiste in una lunga serie di disuguaglianze chealla fine forniscono il risultato desiderato.

Come anticipato, la dimostrazione che abbiamo presentato in queste note segue abbastanza da vicinoquella di Lieb, Thirring del 1975 [LT]. Tuttavia il completamento della dimostrazione e ottenuto in mododifferente da quanto fatto in [LT]: la strada che abbiamo seguito infatti e la piu diretta per dimostrare lastabilita di seconda specie e l’idea che ne e alla base e discussa la prima volta in [So]. La dimostrazioneproposta da Lieb, Thirring del 1975 passava invece attraverso lo studio della teoria di Thomas-Fermi,che approssima l’energia di un sistema di elettroni e nuclei interagenti attraverso un funzionale lineare – il

149

funzionale di Thomas-Fermi appunto – che dipende solo dalla densita a una particella ρ(x) associata allafunzione d’onda complessiva’:

ETF[ρ] = c

∫R3

dxρ5/3(x)−M∑j=1

αZj

∫R3

dxρ(x)

|x−Rj |+α

∑i<j

∫R3

dx

∫R3

dyρ(x)ρ(y)

|x− y|+α

∑k<`

ZkZ`|Rk −R`|

. (12.6)

Usando le disuguaglianze di Lieb-Thirring nella forma del Tereoma 10.2 si vede facilmente che il primotermine fornisce una stima dal basso dell’energia cinetica fermionica degli elettroni. Piu complicato eraffinare la disuguaglianza di Baxter (si veda [LSe, Capitolo 6]) per ricostruire i due termini seguenti (secondoe terzo termine in (12.6)) dall’aspettazione del potenziale elettrostatico. In ogni caso si dimostra [LT] che ilfunzionale ETF fornisce una stima dal basso per l’energia E [Ψ]. Inoltre minimizzando ETF rispetto a ρ ≥ 0sotto la condizione di normalizzazione ‖ρ‖1 = N , si ottiene una quantita ETF(N,M,R,Z) e

E0(N,M,R,Z) ≥ ETF(N,M,R,Z), (12.7)

e il problema della stabilita della materia di seconda specie e ridotto a dimostrare analoghe proprieta perl’energia dello stato fondamentale del funzionale di Thomas-Fermi. In particolare si puo dimostrare che lastabilita di seconda specie per Thomas-Fermi e equivalente all’assenza di legame (vedi sotto) fra gli atomi,risultato gia noto al tempo del lavoro di Lieb, Thirring (era stato dimostrato da Lieb, Simon in [LSi1]).Si noti che l’assenza di legame e una proprieta certamente falsa nella realta, poiche gli atomi si legano performare le molecole, tuttavia non vi e nulla di strano nel fatto che la stabilita della materia si possa otteneredall’assenza di legame per una teoria efficace. In altri termini la teoria di Thomas-Fermi non fornisce unadescrizione accurata della materia (tranne che nel limite di grande Z, ovvero per grande numero di atomi),ma cio nonostante l’energia di Thomas-Fermi e una buona approssimazione dal basso dell’energia dellamateria. Piu precisamente l’energia di Thomas-Fermi soddisfa le seguenti proprieta (si veda ad esempio[LSi2] per una review):

• ETF(N,M,R,Z) = ETF(∑Zi,M,R,Z), cioe lo stato fondamentale di Thomas-Fermi e raggiunto per

atomi neutri;

• vale l’assenza di legame, ovvero

ETF(N,M,R,Z) ≥ min

M∑j=1

ETF(Ni, 1,Ri, Zi), Ni ≥ 0,M∑i=1

Ni = N

,

cioe spostando i nuclei in modo che siano arbitrariamente lontani fra di loro si abbassa l’energia. Sinoti che ETF(Ni, 1,Ri, Zi) e in effetti indipendente da Ri;

• ETF(N, 1, 0, Z) = Z7/3ETF(N/Z, 1, 0, 1);

che combinate fra di loro implicano che (e facile vedere che ETF(1, 1, 0, 1) < 0)

ETF(N,M,R,Z) ≥ ETF(1, 1, 0, 1)

M∑j=1

Z7/3j ≥ ETF(1, 1, 0, 1)Z4/3

M∑j=1

Zj = ETF(1, 1, 0, 1)Z4/3N. (12.8)

Successivamente molte altre strade sono state proposte per dimostrare la stabilita della materia. Leometteremo per brevita, facendo riferimento alla monografia [LSe] per una discussione dettagliata. Si notiche la dimostrazione proposta in [LSe] e una via di mezzo fra quella originale di Lieb, Thirring (usale disuguaglianze di Lieb-Thirring ma non la teoria di Thomas-Fermi) e quella che abbiamo presentato inqueste note: anziche seguire la via piu diretta si usa infatti una stima piu raffinata dell’energia elettrostatica(stima dell’energia di Coulomb di scambio), che permette di ottenere costanti piu realistiche nella stimafinale e, in particolare, una migliore approssimazione dell’energia per particella.

150

12.2 Conseguenze della Stabilita di Seconda Specie

Possiamo ora tornare al problema da cui siamo partiti, ovvero dal fatto che il volume occupato dalla materiasia molto maggiore di quanto ci si potrebbe aspettare (si veda l’introduzione a questa parte delle note). Unaconseguenza diretta del Teorema 12.1 e precisamente che il volume occupato dalla materia cresce linearmentecon il numero di componenti o, piu precisamente, e proporzionale al numero di elettroni N che ne fannoparte. Il volume e quindi una quantita estensiva e come tale per un generico sistema (ad esempio un atomo)non puo essere arbitrariamente piccola.

Enunciamo anzitutto un semplice Corollario del Teorema 12.1:

Corollario 12.1.Per ogni Ψ ∈ L2

a(R3N ) normalizzata, esistono due costanti A ≥ 0 e K > 0, tali che

E [Ψ] ≥ −AN, (12.9)

T [Ψ] ≥ K

∫R3

dx ρ5/3Ψ (x). (12.10)

Dimostrazione. La dimostrazione e immediata: la prima disuguaglianza non e nient’altro che la (9.39) doveA = A(Z,M/N) = CZ2(1+M/N). La seconda stima e invece la forma delle disuguaglianze di Lieb-Thirringformulata nel Corollario 10.1.

Teorema 12.2 (Estensivita della materia).Sia Ψ ∈ L2(R3N ) una qualunque funzione d’onda normalizzata che soddisfa (12.9) e (12.10), allora

i) ∃γ > 0 tale che1

N

∫R3

dx |x|ρΨ(x) ≥ γN1/3 (12.11)

cioe la distanza media degli elettroni dall’origine e ∝ N1/3 e quindi il volume occupato e proporzionalea N ;

ii) dato un qualsiasi misurabile Ω ⊂ R3, esiste una costante c > 0 tale che(|Ω|N

)2/5

≥ c

N

∫Ω

dx ρΨ(x), (12.12)

quindi perche Ω possa contenere una frazione macroscopica (ordine N) di particelle, il suo volume deveessere anch’esso ordine N .

Dimostrazione. Dimostriamo per prima cosa che per ogni λ ∈ (0, 1) vale la disuguaglianza

(1− λ)T [Ψ] + V [Ψ] ≥ − AN

1− λ. (12.13)

Usiamo le proprieta delle dilatazioni e poniamo Ψλ(X) = (1 − λ)3N/2Ψ((1 − λ)X). Chiamiamo inoltreRλ = (1− λ)−1R. Allora il Corollario 12.1 implica che

E [Ψλ] = T [Ψλ] + VRλ[Ψλ] ≥ −AN,

dove abbiamo indicato esplicitamente la dipendenza del potenziale dalla posizione dei nuclei. Un semplicecalcolo pero mostra che

T [Ψλ] = (1− λ)2T [Ψ], VRλ[Ψλ] = (1− λ)VR[Ψ],

cosı che la (12.13) e dimostrata. Riformulando la (12.13) e indicando E [Ψ] = E, otteniamo inoltre la stima

T [Ψ] ≤ E +AN

λ+

AN

1− λ. (12.14)

151

A questo minimizziamo il membro di destra rispetto a λ ∈ (0, 1), che equivale a scegliere

λ =

√E +AN√

AN +√E +AN

,

da cui (√AN +

√E +AN

)2≥ T [Ψ] ≥ K

∫R3

dx ρ5/3Ψ (x), (12.15)

per la (12.10). Usiamo ora la disuguaglianza (12.16) con p = 1 dimostrata nel prossimo Lemma 12.1:

N(√

A+√E/N +A

)2≥ C

(∫R3

dx ρΨ(x)

)11/3(∫R3

dx |x|ρΨ(x)

)−2

= CN11/3

(∫R3

dx |x|ρΨ(x)

)−2

,

che implica la (12.11).Consideriamo ora la (12.12): la disuguaglianza di Holder e la (12.15) implicano che∫

Ωdx ρΨ(x) ≤

(∫Ω

dx

)2/5(∫Ω

dx ρ5/3Ψ (x)

)3/5

≤ C|Ω|2/5N3/5,

e di conseguenza il risultato.

Lemma 12.1.Per ogni p > 0, ∃Cp > 0 tale che (∫

R3

dx ρ5/3

)p/2 ∫R3

dx |x|pρ(∫R3

dx ρ

)1+5p/6≥ Cp, (12.16)

per ogni ρ ≥ 0.

Dimostrazione. Anzitutto possiamo assumere che ‖ρ‖1 = 1, perche se cosı non fosse potremmo dividere ρper la sua norma L1 ed e facile vedere che il rapporto al membro di sinistra della (12.16) sarebbe invariantesotto questa trasformazione. Voglaimo allora minimizzare il funzionale

F [ρ] =

(∫R3

dx ρ5/3

)p/2 ∫R3

dx |x|pρ− λ∫R3

dx ρ, (12.17)

sulle ρ non vincolate. Il moltiplicatore di Lagrange λ sara poi fissato dalla richiesta di normalizzazione.Per trovare l’equazione di Eulero-Lagrange associata alla minimizzazione imponiamo per una Φ ∈ C∞0 (R3)positiva

limε→0F [ρ+ εφ]−F [ρ] = 0,

da cui si ricava l’equazione∫R3

dx Φ(x)

5

6p

(∫R3

dy ρ5/3(y)

)p/2−1 ∫R3

dy |y|pρ(y) ρ2/3(x) +

(∫R3

dy ρ5/3(y)

)p/2|x|p − λ

= 0,

e di conseguenza

ρ2/3(x) =6

5p

λ‖ρ‖1−p/25/3

‖|x|pρ‖1−‖ρ‖5/3‖|x|pρ‖1

|x|p

+

, (12.18)

dove la parte positiva e necessaria al fine di ottenere un minimizzatore nel dominio. Piu semplicementel’equazione precedente ci dice che il minimizzatore e della forma

ρ(x) = [a− b|x|p]+ , (12.19)

cioe e una funzione a supporto compatto che dipende da due parametri a e b. Imponendo la normalizzazioneL1 si trova ci si riduce ad un solo parametro indipendente e ottimizzando l’energia F rispetto a tale parametrosi puo trovare il valore esplicito di Cp. Omettiamo i dettagli per brevita.

152

Per concludere questo Capitolo, consideriamo il caso dei bosoni. Come vedremo nel prossimo Teorema12.3 se gli elettroni fossero bosoni la materia non sarebbe stabile della seconda specie. In particolare lo statofondamentale sarebbe proporzionale a −CN5/3:

Teorema 12.3 (Instabilita della materia bosonica).Consideriamo N bosoni carichi negativamente in interazione con M nuclei con carica nucleare uguale Z,allora esistono una Ψ ∈ L2

s (R3N ) e una configurazione dei nuclei R tali che

E [Ψ] ≤ −CZ4/3 min N,ZM5/3 . (12.20)

Osservazione 12.3. In effetti il risultato del Teorema 12.3 non e ottimale perche si puo mostrare [Dy]che, tenendo conto dell’energia cinetica dei nuclei, l’andamento dell’energia dello stato fondamentale eleggermente migliore, cioe −CN7/5 anziche N5/3. In ogni caso pero un sistema bosonico resta instabile diseconda specie, anche se stabile di prima specie.

Dimostrazione. Assumiamo per semplicita che M = n3, n ∈ N, e il sistema sia neutro, cioe N = MZ. Perdimostrare la (12.20) valutiamo l’energia sullo stato di prova

Ψ(X) =

N∏i=1

φλ(xi), φλ(x) = λ3/2g(λx), (12.21)

con λ > 0 parametro variazionale da scegliere in seguito e g ∈ C∞0 (R3) reale normalizzata in L2(R3). E’immediato calcolare

E [Ψ] = Nλ2

∫R3

dx |∇g|2 + αλV (N,R, Z), (12.22)

dove

V (N,R, Z) =1

2N(N − 1)

∫R3

dx

∫R3

dyg2(x)g2(y)

|x− y|−NZ

N/Z∑j=1

∫R3

dxg2(x)

|x−Rj |+ U(R, Z). (12.23)

Dimostreremo ora che esiste una configurazione R tale che

V (N,R, Z) ≤ −CZ2/3N4/3. (12.24)

Vediamo prima pero che tale stima permette di completare la dimostrazione:

E [Ψ] ≤ Nλ2T [g]− CαλZ2/3N4/3

e ottimizzando rispetto a λ, cioe prendendo λ = CZ2/3N1/3, dove abbiamo riassorbito l’energia cinetica dig nella costante (assumendo ovviamente che T [g] > 0), otteniamo

E [Ψ] ≤ −CZ4/3N5/3. (12.25)

Dimostriamo ora la (12.24): dividiamo il supporto di g in M celle Γk tali che∫Γk

dx g2 =1

M,

e collochiamo il k−esimo nucleo nella cella Γk e mediamone la posizione rispetto alla distribuzione diprobabilita Mg2 in Γk. In tal modo l’energia elettrostatica che otteniamo soddisfera la stima

V (N,R, Z) ≤(

1

2N(N − 1)− ZNM +

1

2Z2M2

)∫R3

dx

∫R3

dyg2(x)g2(y)

|x− y|

− 1

2Z2M2

M∑j=1

∫Γj

dx

∫Γj

dyg2(x)g2(y)

|x− y|≤ −1

2Z2M2

M∑j=1

∫Γj

dx

∫Γj

dyg2(x)g2(y)

|x− y|(12.26)

153

poiche 12N(N − 1)− ZNM + 1

2Z2M2 = −1

2N < 0. Infatti il secondo termine nella (12.23) diventa

−NZMM∑j=1

∫R3

dx g2(x)

∫Γj

dyg2(y)

|x− y|= −NZM

∫R3

dx

∫R3

dyg2(x)g2(y)

|x− y|,

mentre il terzo

Z2M2∑k<`

∫Γk

dx

∫Γ`

dyg2(x)g2(y)

|x− y|=

1

2Z2M2

∫R3

dx

∫R3

dyg2(x)g2(y)

|x− y|

− 1

2Z2M2

M∑j=1

∫Γj

dx

∫Γj

dyg2(x)g2(y)

|x− y|.

Dalla (12.26) possiamo poi stimare

V (N,R, Z) ≤ −1

2Z2 minµ, suppµ⊂Bj , µ(Bj)=1

M∑j=1

∫Bj

dµ(x)

∫Bj

dµ(y)1

|x− y|, (12.27)

dove abbiamo rimpiazzato Γj con la piu piccola palla Bj che la contiene. E’ noto [LL, Sezione 11.15] che ilminimo dell’energia di Coulomb di una distribuzione di carica unitaria a supporto contenuto in una palladi raggio r e raggiunto su una distribuzione uniforme supportata sulla superficie della palla e tale minimo euguale a 1

2r , cosı che

V (N,R, Z) ≤ −1

4Z2

M∑j=1

1

rj≤ −1

4Z2M

11M

∑j rj

,

dove abbiamo usato la disuguaglianza di Jensen (prossimo Lemma 12.2). A questo punto resta solo da farvedere che per una g ragionevole 1

M

∑rj ≤ CM−1/3, perche questo implicherebbe la (12.24). Un esempio

semplice e quello che si puo costruire prendendo g(x) = f(x)f(y)f(z) con suppf = [−1/2, 1/2]. Possiamopoi decomporre [−1/2, 1/2] in n intervalli Ij tali che∫

Ij

dx f2(x) =1

n,

e costruire i Γk come prodotto degli intervalli Ij . Ricordando che M = n3 per ipotesi, se prendiamo unrettangolo Γk di lati sk, tk, uk, abbiamo che

rk =1

2

(s2k + t2k + u2

k

)1/2 ≤ 1

2(sk + tk + uk),

da cui1

M

∑rk ≤

1

2M

∑(sk + tk + uk) =

3

2M

∑sk =

3

2n3

∑|Ik| =

3

2n=

3

2M1/3,

perche la lunghezza media degli intervalli Ik e proprio 1/n.

Lemma 12.2 (Disuguaglianza di Jensen).Sia f una funzione convessa e µ una misura positiva su R, allora

1

µ(R)

∫R

dµ(x) f(x) ≥ f(

1

µ(R)

∫R

dµ(x) x

). (12.28)

Bibliografia

Per la prima parte del corso (Capitoli 1, 2, 4 e 5) un buon riferimento e [GP1, GP2]: si trattadi un libro di fisica in cui pero i problemi matematici, se non risolti, sono almeno citati. E’ utilecome riferimento anche se piu orientato verso l’aspetto fisico. Un altro testo di fisica sulla MQche puo essere conveniente consultare e [C-TDL1, C-TDL2]. Dal punto di vista matematico ofisico-matematico e difficile identificare un testo completo di riferimento. Un buon riferimentopotrebbe essere la serie di cui [T3] e parte ma si tratta di approccio molto sintetico, di non facilelettura. Due testi avanzati di grande interesse ma con un approccio diverso all’introduzione dellaMQ sono [De, St].

Per il Capitolo 3 e molti dei risultati di analisi funzionale che usiamo nel corso il riferimentoclassico e [RS1, RS2, RS4]. Naturalmente si tratta di un testo enciclopedico in cui e facileperdersi, ma, almeno nel primo volume, i Capitoli introduttivi contengono un buon richiamo deirisultati di base sulla teoria della misura, gli spazi di Banach ecc..

Per il Capitolo 6 e 7 e in generale per tutti i risultati piu tecnici di analisi funzionale il riferimentoperfetto e [LL]: i temi Capitoli 6 e 7 sono in effetti contenuti in [LL, Capitolo 11]. Anche questotesto contiene una quantita enorme di informazione ma e certamente piu sintetico del Reed-Simone, soprattutto, si puo considerare un compendio esaustivo degli strumenti essenziali dell’analisifunzionale moderna. Una lettura sistematica dall’inizio alla fine non e necessaria per il corso, mae sicuramente molto istruttiva.

I Capitoli 8–12 sono tratti da [LSe], con aggiunta e espansione di materiale. Anche in questocaso la lettura dell’intero testo non e necessaria. La si consiglia comunque a chi fosse interessatoa fare un giorno ricerca in area fisico-matematica.

[AS] M. Abramowitz, A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions, Dover, 1965.

[BC] J. Bellandi Fo, E.S. Caetano Neto, “The Mehler formula and the Green function of theisotropic multi-dimensional harmonic oscillator”, J. Phys. A: Math. Gen. 9 (1976), 683 – 685.

[C-TDL1] C. Cohen-Tannoudji, B. Diu, F. Laloe, Quantum Mechanics, Volume One, Wiley-Vch,2006.

[C-TDL2] C. Cohen-Tannoudji, B. Diu, F. Laloe, Quantum Mechanics, Volume Two, Wiley-Vch,2006.

[De] G. Dell’Antonio, Aspetti Matematici della Meccanica Quantistica. Vol. 1: StrutturaMatematica e Concettuale, Bibliopolis, 2011.

[Dy] F.J. Dyson, Ground state energy of a finite system of charged particles,J. Math. Phys. 8 (1966),1538 – 1545.

[DL] F.J. Dyson, A. Lenard, Stability of matter I, J. Math. Phys. 8 (1967), 423–434; Stability ofMatter II, J. Math. Phys. 9 (1968), 1538–1545.

154

155

[GP1] A. Galindo, P. Pascual, Quantum Mechanics I, Springer-Verlag, 1978.

[GP2] A. Galindo, P. Pascual, Quantum Mechanics II, Springer-Verlag, 1978.

[E] P. Ehrenfest, Collected Scientific Papers, North-Holland Publishing, 1959.

[J] J.H. Jeans, The Mathematical Theory of Electricity and Magnetism, Cambridge UniversityPress, 1915.

[LL] E.H. Lieb, M. Loss, Analysis, Graduate Studies in Mathematics 14, American MathematicalSociety, 1997.

[LSe] E.H. Lieb, R. Seringer, The Stability of Matter in Quantum Mechanics, Cambridge UniversityPress, 2010.

[LSi1] E.H. Lieb, B. Simon, Thomas-Fermi theory revisited, Phys. Rev. Lett. 31 (1973), 681–683.

[LSi2] E.H. Lieb, B. Simon, Thomas-Fermi theory of atoms, molecules and solids, Adv. Math. 23(1977), 22–116.

[LT] E.H. Lieb, W. Thirring, Bound for the Kinetic Energy of Fermions which Proves the Stabilityof Matter, Phys. Rev. Lett. 35 (1975), 687–689. Errata ibid. (1975), 1116.

[RS1] M. Reed, B. Simon, Modern Methods of Mathematical Physics II: Functional Analysis,Academic Press, 1972.

[RS2] M. Reed, B. Simon, Modern Methods of Mathematical Physics II: Fourier Analysis, Self-Adjointness, Academic Press, 1975.

[RS4] M. Reed, B. Simon, Modern Methods of Mathematical Physics IV: Analysis of Operators,Academic Press, 1978.

[So] J.P. Solovej, Stability of Matter, Encyclopedia of Mathematical Physics 5 (2006), 8–14.

[St] F. Strocchi, An Introduction to the Mathematical Structure of Quantum Mechanics, AdvancedSeries in Mathematical Physics 27, World Scientific, 2005.

[T3] W. Thirring, A Course in Mathematical Physics 3: Quantum Mechanics of Atoms andMolecules, Springer-Verlag, 1979.

[VN] J. Von Neumann, Mathematical Foundations of Quantum Mechanics, Princeton UniversityPress, 1955.

Documents

Aspetti Matematici della Meccanica Quantistica · Crisi della Fisica Classica Fondata sui pilastri della meccanica newtoniana (o hamiltoniana) e della teoria dell’elettromagnetismo