Cttrig 5s Iip

I.E.P. “DOSCIENTAS MILLAS PERUANAS” TRIGONOMETRÍA

5º SECUNDARIA – II PERIODO - 2008OARIAMILLAS PERUANAS"te de Canal 7 TV equeña y 01 metro de cinta gruesa de cualquier color.

V. CIRCUNFERENCIATRIGONOMÉTRICA

1.- CONCEPTOEs aquella circunferencia geométrica inscrita en un sistema de coordenadas rectangulares, cuyo centro coincide con el origen de coordenadas y cuyo radio es la unidad.

En donde:

A : Origen de arcosB : Origen de complementosA’ : Origen de SuplementosM : Extremo del arco AM

2.- LÍNEAS TRIGONOMÉTRICASEs la representación de las funciones trigonométrica por medio de segmentos.

2.1.- SENO: Está representado por la ordenada del extremo del arco.

en general : SenAM = Sen = Además : -1 Sen 1

Entonces : (Sen)max = 1 (Sen)min = -1

2.2.- COSENO: Está representado por la abscisa del extremo del arco.

En general: Cos AM = Cos = MQ

Además : -1 Cos 1

Entonces : (Cos)max = 1(Cos)min = -1

2.3.- TANGENTE: La tangente de un arco viene a ser la coordenada del punto de intersección entre el eje de tangentes y la prolongación del radio que pasa por el extremo del arco.

En general: TanAM = Tan =

Además :Tan =

2.4.- COTANGENTE: Está representado por la abscisa del punto de intersección entre el eje de cotangentes y la prolongación del radio que pasa por el extremo del arco.

En general: Cot AM = Cot =

2.5.- SECANTE: Viene a ser la abscisa del punto de intersección entre el eje de abscisas y la tangente geométrica trazada por el extremo del arco.

En general: SecAM = Sec =

También : Sec =

2.6.- COSECANTE: Viene a ser la ordenada del punto de intersección entre el eje de ordenadas y la tangente geométrica razada por el extremo del arco.

En general: CscAM = Csc =

PROBLEMAS RESUELTOS

1) Calcula el mayor valor en:a) Sen100° b) Sen170°c) Sen240° d) Sen350°

Solución :Graficamos una C.T y ubicamos en ella los arcos mencionados; luego trazamos la línea trigonométrica Seno correspondiente.

Rpta: Sen170°

2) Calcula:

E =

Solución :Analizando el radical ” ”Se observa

Senx>1 NoSenx –1 O Senx 1

Senx = 1

Luego : Cos x =0

Reemplazando :

E = E =

3) Calcula el máximo valor de:Q = (5 + Senx) (5-Senx)

Solución :

Q = 25- Sen2xmin =0

Qmax = 25

4) En la C.T halla el área de la región sombreada.

Solución : en la figura:

En la figura:

Sx = SA’NA + S A’MA

88

C.T

O

MQ

A

O

M

A

R

T

C.T

O

M

A

RB

A’

O

M

’SL A

O

M

A

L

350°

170°

100°

240°

Sen100°

Sen350

Sen240°

Sen170°

O

M

AA’

N

O

M

AA’

N

|Sen|

|Sen|

A’ A

M(x, y)

(0, -1)

C.T

B’

O

x

y

B (0, 1)

(1, 0)(-1, 0)

C.I

O

P

M

A



Sx =

Sx = 2|Sen|

Sx = -2Sen

5) Calcula el mínimo valor de: E= Senx(Senx-1)

Solución:

E efectuando operaciones

E= Sen2x – Senx

E= Sen2x – 2Senx.

E=

Entonces:

Emin =

PRÁCTICA DIRIGIDA Nº 05

NIVEL I1).- Si:

calcula:

a) 1 b) 2 c) d) 3/2 e) 5/2

2).- Si:

Afirma si es (V) o (F):

I. Senx1>Senx2

II. Cosx1>Cosx2

III. Tgx1>Tgx2

a) VVV b) VFV c) FVFd) FVV e) FFV

3).- Afirma si es (V) o (F): I. La Tangente en el IIIC es creciente.II. El coseno en el IIC es creciente.III. El seno en el IVC es creciente.

a) VFF b) VFV c) VVFd) FVF e) FVV

4).- A partir de la figura calcula: PT.

a) Tg Sen

b) Tg Cos

c) Tg (1-Cos )

d) Tg (1-Sen )

e) Tg (1+Cos )

5).- Afirma si es (V) o (F):I. Sen2>Sen3II. Cos4>Cos5III. Tg5>Tg6

a) VFF b) VFV c) FVFd) VVF e) VVV

6).- Simplifica:

a) 1 b) 2 c) 3d) 5 e) 1/2

7).- Calcula el máximo valor de:

a) 1 b) 3 c) 5d) 7 e) 2

8).- Calcula el área de la región sombreada.

a)

b)

c) 2(Sen +Tg )

d)

e) 9).- ¿En qué cuadrante las líneas seno y

tangente son creciente en valor relativo?

a) II y III b) I y IVc) III y IV d) I y IIIe) II y IV

10).- Calcula el área de la región sombreada.

a) b)

c) d) e)

11).- Determina el mínimo valor de:

a) –3 b) –4 c) –5d) –6 e) –7

12).- Si:

afirma si es (V) o (F):

I.

II.

III.

a) VFF b) FVF c) VFVd) VVF e) FFV

13).- A partir de la C.T. Calcula:PQ

a)

b)

c)

d) –( )

e) 1+

14).- De la figura, calcula el área de la región sombreada.

a)

b)

c)

d)

e)

15).- Si: k Zcalcula:

a) 2 b) –2 c) 1d) (-1)k.2 e)(-1)k+1.2

NIVEL II1).- Calcula el intervalo de x:

a) b)

c) d) e)

2).- Si se cumple 3a+aSen2x=b, halla el intervalo de (b/a).

a) b) c)

d) e)

3).- Halla el máximo valor de:

a) 15 b) 16 c) 17

89

X2+y2=1

P

A

T

X2+y2=1

P

C.T.

C.T.

P

Q



d) 18 e) 19

4).- Afirma si es (V) o (F):

I. El seno en el IIC, decrece entre (0) y (-1).II. El coseno en el IIIC, crece entre (-1) y (0). III.La tangente en el IIC, crece entre( ) y (0).

a) FVF b) FVV c) VFVd) VVF e) FFV

5).- Calcula el área de la región sombreada:

a) 1/2 b)

c) 2 d) 3/2 e) 3

6).- Si , calcula su valor a partir de:

a) 37º b) 53º c) 30ºd) 75º e) 18º

7).- Afirma si es (V) o (F):

I. Sen 2 > Sen 3II. Cos 4 > Cos 5III. Tg 5 > Tg 6

a) VFV b) VVV c) FFFd) VFF e) FFV

8).- Si:

afirma si es (V) o (F):

I.

II.

III.

a) VFV b) VFF c) FFVd) FFF e) VVV

9).- Calcula el valor de:

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

10).- A partir del gráfico. Calcula PT.

a)

b)

c)

d)

e)

11).- Determina los signos de:

I. II.

III.

a) (+)(+)(+) b) (+)(-)(+)c) (+)(-)(-) d) (-)(-)(+) e) (-)(-)(-)

12).- Indica si es (V) o (F) en el IV cuadrante:

I. Senx- Cosx es positivo. II. Tgx-Senx es negativo.III. Cosx-Ctgx es positivo.

a) FVV b) VFV c) VVVd) FVF e) VVF

13).- ¿En qué cuadrante(s) se cumple que mientras el seno decrece el coseno crece? a) IC b) IIC c) IIICd) IVC e) FD

14).- De la figura, calcula OD:

a)

b)

c) -

d)

e)

15).- A partir de la figura, calcula PQ:

a) b)

c) d)

e)

CLAVES DE RESPUESTAS

NIVEL I :

1) a 2) a 3) b 4) a 5) a

6) b 7) d 8) b 9) b 10)d

11)c 12)c 13)b 14)e 15)d

NIVEL II :

1) c 2) c 3) d 4) b 5) b

6) b 7) d 8) a 9) c 10)--

11)a 12)b 13)c 14)d 15)b

VI. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

1.- CONCEPTOEs el conjunto no nulo de pares ordenados (x;y) en el cual la primera componente corresponde a un valor angular expresado en radianes (número real) y la segunda componente es el valor obtenido mediante la siguiente regla de correspondencia:

Y=F.T.(x) esto es:

F= e y R ;

2.- DOMINIO DE UNA FUNCIÓN (Df)

Es el conjunto formado por todos los valores que puede tomar el ángulo.

3.- RANGO DE UNA FUNCIÓN (Rf)Es el conjunto de valores obtenidos mediante la regla de correspondencia.

Y = F.t.(x)

90

rad

C.T.

rad

P

T

C.T.

B

X2+Y2=1

AA’

D

0

B1

X2+Y2=1

PQ



4.- PERÍODO DE UNA FUNCIÓN (T)

Es el intervalo de repetición de la curva.Ejemplo:Grafica: de la F.T. Seno

En la gráfica el dominio de la función seno es el conjunto formado por todos los valores que toma el ángulo x.

Df = {0; /2; ; ; ......}En otras palabras el Df = En la gráfica el rango de la función (f) son todos los valores que toma la función Seno en la grafica.

Rf = {1; 0; 1} Rf: [-1; 1]

El periodo (T) es el intervalo de repetición de la curva en el gráfico el periodo es 2

T = 2

5.- FUNCIÓN SENO

F= X ;

TABULANDO:

x - - /2 0 /6 /4 /2

y 0 -1 0 0,5 /2 1 0

Llevando estos valores al sistema de coordenadas rectangulares obtenemos:

5.1.- Análisis del gráfico

- Dominio; D, = R

- Rango; Rf[–1,1 ] -1 ≤ Senx ≤ 1

- Período; T = 2 .

- Es continua en R.

6.- FUNCIÓN COSENO

F= ;

6.1.- Análisis del Gráfico

Dominio: D1=R

Rango:

Periodo: T=2

Es continua en R.

7.- FUNCIÓN TANGENTE

F= x R – (2n+1)

}

7.1.- Análisis del Gráfico Dominio:

Rango: R1 = R Periodo: T =

Es continua en su dominio pero discontinua para

8.- FUNCIÓN CONTANGENTE

F = {(x ; y ) / y = ctx ; X R –nx ; Z}

8.1.- Análisis del Gráfico

- Dominio: Df= R- n ; n z

- Rango: Rf = R - Período: T =

- Es continua en su dominio pero discontinua para x = n ; n z

9.- FUNCIÓN SECANTE

F= {(x;y)/y = sec x ; x R – (2n+1) }


- Dominio: Df=R-(2n+1) :n z.

- Rango: R1=R-<-1;1>.- Período: T =2 .

- Es continua en su dominio pero

discontinua para x = (2n +1) : n z.

10.- FUNCIÓN COSECANTE

F = {(x;y)/y = cscx :x R - n :n z}

912

Y=Senx (senoide)

Y

1

-1

0 X

T=2

22

32

5

Y=Cosx (cosenoide)Y

1

-1

X

T=2

22

2

23

X

Y Y= Tanx (tangentoide)

2 2

0 22

3

T =2

2

Y= Sen xY

0 X22

3

Y= Sen x

2

0

2

2

3 2 x

Y

y cotx (contangenoide)

Y

y- secx

y- secx

20

(Secantoide)

1

/2 3/2 5/2

X

-1

/2

232

y- cscx

(cosecanoide)

Y= cscx-1

x0

1




- Dominio : Df = R-nx : n z.

- Rango : Rf= R - <- 1; 1>- Periodo : T = 2

- Es continua en un dominio pero discontinua para x=n : n z.

PROBLEMAS RESUELTOS

1. Determina el dominio de la función:

Solución:

En general:

2. Halla el rango de “f”:

Si:

Solución: Se sabe: Senx+Cscx 2 y

Senx+Cscx -2

Elevando al cuadrado: Sen2x+Csc2x 2

Sen2x+Csc2x-2 0

Entonces:

3. Halla el periodo de la función “F” definida por:

F(x)= 3Cos4x + 4 Sen2x

Solución:

El periodo de la función Y=Cosx es 2 ; luego el periodo de:

F(x)= 3Cos4x + 4 Sen2xSerá:

*

*

4. Calcula el rango de la función: Y= 1-2Cos2x

Solución: Se sabe:

5. Halla el dominio de la función:

Solución: Se debe cumplir:

Cosx = 1Luego: x= 0En general:


1).- Halla el dominio de la función:

a)

b) -

c) -

d) -

e) -

2).- Sean las funciones:

Halla:

a) b)

c)

d) e)

3).- Si el dominio de la función:

es

a) b) c)

d) e)

4).- Halla la suma de todos los valores enteros que puede formar k si: k+1=2Senx

a) –1 b) –3 c) –5 d) 3 e) 5

5).- Halla el dominio de la función: f(x)= Secx+Cscx

a)

b) -

c) -

d) -

e)

6).- El rango de la función:

a) b)

c) d)

e)

7).- Si: f(x)= 2Cos2x-4Cosxhalla: Fmax + Fmin

a) 0 b) 2 c) 4 d) 6 e) 1

8).- Halla el rango de:

a) b)

c)

d) e)

9).- Calcula el mínimo valor de la función: f(x)= Senx(Senx+1)

a) 0 b) –1 c) –1/2 d) –1/4 e) –1/8

10).- Calcula el rango de:

a) b) c)

d) e)

92



11).- Si:

Calcula:

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 412).- Si: ; además:

Halla:

a) –1 b) 2 c) 1d) 1,5 e) 2,5

13).- Halla el mínimo valor de la expresión:

a) –2 b) 9 c) 2d) 3 e) 7

14).- Sabiendo que las funciones:

Se intersectan en el punto con

, calcula el valor de:

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

15).- Si el punto P(x1;2a-b) pertenece a la

función f(x)=Sen x y el punto Q(x2;a+b) pertenece a la función h(x)=Cosx.

Halla si además

a) 3 b) 2 c) 1d) –1 e) –2

16).- Grafica:

17).- Dadas las funciones: f(x)=Secx h(x)= Cosxen el intervalo: ¿Cuántas proposiciones son verdaderas?

I. “f” es creciente y “h” es decreciente.

II. “f” y “h” no se interceptan.III. Rf = Rh

IV. f > h

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

18).- Halla el área del cuadrilátero que se forma al unir los puntos de intersección entre las gráficas de las funciones:

f(x)= Tg x g(x) = Ctg(x)

en el intervalo:

a) b) 2 c) 3

d) 4 e) 6

19).- En cuantos puntos se intersectán las gráficas de las funciones:

en el intervalo: a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

20).- La gráfica de la función:f(x)= Senx. Tgx . Ctgx,

en el intervalo de es:

21).- ¿Para que valores de “n” la expresión

siempre existe?

a)

b)

c)

d)

e)

22).- Si se cumple la siguiente igualdad:

donde . Calcula el valor de la

siguiente expresión: a) –2 b) 0 c) 2d) 4 e) 6

23).- Ordena en forma creciente: Cov1; Vers1; ExSec4

a) Vers2; Cov1; ExSec4 b) ExSec4; Cov1; Vers2c) Cov1; ExSec4; Vers2d) Cov1; Vers2; ExSec4e) ExSec4; Vers2; Cov1

24).- De la circunferencia trigonométrica mostrada, calcula PR, si Sen =5/7

a) 5/7

b) 1 c) 9/7d) 11/7e) 13/7

25).- Siendo un arco positivo y menor que una vuelta para el cual se cumple:

Calcula el valor de:

a) 0 b) 1 c) 2d) 3 e) -2

26).- Ordena de mayor a menor:

y

a) , y b) , y

c) , y d) , y

e) , y

27).- Halla AT en términos de “”.

a) 1+Sen -Cos b) 1-Sen +Cos

c) 1+Sen +Cos d) 1-Sen -Cos

e) 2+Sen -Cos

28).- En la C.T. mostrada. Halla la ordenada de “P”.

93

a) b)

c) d)

e)

a) b)

c) d)

Y

X

X2+y2 = 1P

TY

X

45º

X2+y2 = 1

A

e)



a) 3Cos /(1+2Sen ) b) 3Cos /(1-2Sen )

c) 3Sen /(1-2Cos ) d) 3Sen /(2Cos -1)

e) 3Sen /(2Cos -1)

29).- Si y

; calcula el valor de

.

a) 2 /3 b) 3 /4 c) 5 /6

d) e) 4 /3

30).- De la C.T. mostrada. Halla la ordenada del punto “M” en términos de “ ”.

a)

b)

c)

d)

e)


1) e 2) a 3) d 4) c 5) d6) d 7) c 8) d 9) d 10)b11)c 12)e 13)d 14)d 15)a16)b 17) 18)b 19)d 20)b21)d 22)e 23)b 24)b 25)d26)d 27)a 28)d 29)a 30)b

VII. RAZONESTRIGONOMÉTRICAS DE

UN ÁNGULO COMPUESTO

1.- CONCEPTOEs aquel ángulo conformado ya se por la suma ó la diferencia de dos ó más ángulos.Ejemplos :

x = + + y = 45° - 20°

Observación : Sen(x+y) Senx + Seny Tan - Tan Tan(-)

2.- FÓRMULAS BÁSICASPara la suma ó la diferencia de dos ángulos (x y)

a).- Sen(x y) = Senx Cosy Seny Cosx

b).- Cos(x y) = Cosx Cosy Senx Seny

c).- Tan(x y) =

3.- PROPIEDADES

a).- Tgx+Tgy+Tgx Tgy Tg(x+y)=Tg(x + y)

b).- Sen(x+y)Sen(x-y)=Sen2x-Sen2y

c).- =Tgx Tgy

d).- =Cotx Coty-1

Además :

Si : + + = n ó 180n (nZ)

Tg +Tg+Tg=TgTgTg

CotCot+CotCot+CotCot=1

Si : ++=(2n+1)/2 ó (2n+1)90°

TgTg+TgTg+TgTg =1

Cot+Cot+Cot=CotCotCot

PROBLEMAS RESUELTOS

1) Simplifica :L =

Solución :En la expresión; desarrollando cada término del numerador :

L =

L=

Simplificando:

L =

L = 2Sen60°=2

L =

2) Determina el valor de :L =

Solución :

Recuerda que :Sen.Cos+Sen.Cos=Sen(+)

Luego; si : =3x =2x

Sen3x.Cos2x+Sen2x.Cos3x=Sen(3x+2x)= Sen5x

En la expresión :

L =

L = L=1

3) Calcula el valor de “Sen75°”

Solución :En este caso, descomponemos “75°” como la suma de dos ángulos conocidos, por ejemplo :

Sen75° = Sen(45°+30°)

desarrollando :

Sen75° = Sen45°.Cos30°+Sen30°.Cos45°

Reemplazando valores notables:

Sen75°=

Sen75° =

Sugerencia, no olvides el siguiente triángulo :

4) Reduce :

L =

Solución :

94

M

Y

XA

B

B’

A

15°

4

26

26

75°



Vamos a desarrollar los términos conocidos; así :

L =

L=

Reduciendo :

L = L =

Tanx5) Calcula el valor de “Cos8°”

Solución :Descomponemos 8° usando dos ángulos conocidos :

8° = 45° - 37°

Esto es : Cos8° = Cos(45°-37°)

Cos8° = Cos45°.Cos37°+Sen45°.Sen37°

Reemplazando valores conocidos :

Cos8° =

Cos8° =

como sugerencia; no olvides este triángulo :


NIVEL I

1).- Reduce :

P =

a) Tanx b) Tany c) Cotxd) Coty e) 1

2).- Calcula : Q = Secx Secy [ (cos(x + y) + cos(x – y) ]a) 1 b) 2 c) 3d) –2 e) -1

3).- Calcula : E = sen6 /12 + cos6 /12a) 11/16 b) 13/16 c) 12/13d) 15/17 e) 1/4

4).- Calcula :

Q =

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

5).- Si : + = 150° reduce : (sen+cos)2 + (cos + sen)2

a) 1 b) 2 c) 3

d) e) 2

6).- Si : cos(+45°) = .

Calcula : sen . cosa) 1/9 b) 2/9 c) 4/9d) 3/9 e) 5/9

7).- Reduce :

a) tg tg tgy b) ctg ctg ctgyc) 1 d) –1e) 0

8).- Si tg tg = 3/2 y coscos = 1/3Halla : cos (+)

a) 1 b) –1 c) 1/6 d) – 1/6 e) 5/6

9).- Calcula :

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

10).- Si : + = 45°,

Calcula : 1 + (1 + tg) (1 + tg)

a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5

11).- Calcula :

a) 1 b) c) /2

d) 2 e) /4

12).- Si y son ángulos del tercer y cuarto cuadrante respectivamente y sen = 3/5 y cos=3/5.

Calcula : cos ( - )a) 0 b) –1 c) –24/25d) 24/25 e) 1

13).- Si : tg2 = y tg(+) = 6

calcula : tg(-)

a) 24 b) 1/24 c) 2/3d) 3/2 e) 1

14).- Reduce : E =

a) 0 b) 1 c) 2d) –1 e) -2

15).- Si : 3sen = 2sen(+2). Calcula : tg( + ) ctg

a) 5 b) –5 c) 1/5 d) – 1/5 e) 1

NIVEL II

1).- Expresa como monomio :Cos7x + Sen5x Sen2x

a) Cos5xCos2x b) Sen5xCos2xc) Cos5xSen2x d) Sen3xCosxe) N.A.

2).- Reduce :

Cos(60°+x)(Cos(30°-x)-Sen(60°+x)Sen(30°-x)

a) 0 b) 1/2 c) 3/2 d) Cosx e) Senx

3).- Si : x + y = /6 Calcula : (Senx+Cosy)2+(Cosx+Seny)2

a) 0 b) 1 c) 2d) 3 e) 1,5

4).- Si : x + y = , simplifica: (Ctg+Tgx) CosxSecy

a) Secx b) SecxCsc c) Cscd) 1 e) Ctg

5).- Calcula “Tg8°”a) 7/24 b) 5/24 c) 3/14d) 1/7 e) 1/14

6).- Si : 12 = Calcula : Tg +Tg3 + Tg5a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 6

7).- Reduce : M = + Tgy

a) 0 b) Tgx c) Tgyd) Tgx + Tgy e) 2Tgx

8).- Reduce :

a) 1 b) 2 c) Senxd) Cosx e) Sen2x

95

8°

5

7

82°

1



9).- Si : Tg10° = a, calcula :Tg50° - Tg40°a) 0,5a b) a c) 1,5ad) 2a e) 2,5a

10).- Si : Tg21° = a, Calcula : Tg55°30’-Tg34°30’a) a b) 0,5a c) 2ad) 1,5a e) 2,5a

11).- Reduce : M=Sen70° - Sen50°a) Cos10° b) Sen10°c) Cos20° d) 1e) Sen20°

12).- Reduce : Q = (Cos43°+Sen73°) Sec13°+

a) 2 b) 3 c) 2d) 4 e) 513).- Si : Tg(10°+x)=4, Calcula : Tg(55° + x)

a) –1/3 b) –1 c) –5/3d) –5 e) 5/3

14).- Si : a + b + c = /2

Halla :

a) 1 b) 0 c) -1

d) e)

15).- Si: Tg y Tg son las raíces de la ecuación : x2 + 5x – 4 = 0Halla el valor de “” +””

a) 30° b) 45° c) 60°d) 75° e) 37°


NIVEL I1) a 2) b 3) b

4) b 5) c 6) c

7) e 8) d 9) b

10)c 11)c 12)c

13)c 14)c 15)a

NIVEL II 1) a 2) a 3) d

4) c 5) d 6) d

7) b 8) a 9) d

10)c 11)b 12)c

13)c 14)d 15)b

96



V. PLANTEO DE ECUACIONES

1. CONCEPTO Plantear una ecuación es representar en forma matemática (forma simbólica) lo expresado en un lenguaje común (verbal)

2. COMO PLANTEAR UNA ECUACIÓN

Se parte de:Lenguaje Común.

(enunciado)

Luego se:- Lee- Interpreta- Simboliza

Para finalmente:

-Transformar al lenguaje matemático

-Solucionar la ecuación.

3. ECUACIONES DIOFANTICASSon ecuaciones cuyas incógnitas aceptan únicamente solución entera y se resuelve tomando divisibilidad respecto a cualquier coeficiente pero también en forma práctica se resuelve tanteando valores enteros para las incógnitas.

PROBLEMAS RESUELTOS

1.- Una persona sube una escalera con el curioso método de subir 5 escalones y bajar 4, si en total subió 75 escalones. ¿Cuántos escalones tiene la escalera?Solución:Veces que baja xVeces que sube (x+1)

Luego:5(x + 1) = 75 5x + 5 = 75 x = 14 veces subió y bajó

Sólo avanzó 14 escalones y como subió una vez más avanzó 5 escalones más.Finalmente:14 + 5 = 19 escalones

2.- En un examen de 30 preguntas, cada respuesta correcta vale 4 puntos, la incorrecta –1 punto y en blanco 0 puntos. Si un estudiante obtuvo 82 puntos y notó que por cada respuesta en blanco tenía 3 correctas. ¿Cuántas contesto incorrectamente?Solución:N° blanco xN° correctas 3xN° incorrectas (30 - 4x)

Luego:0(x) + 4(3x) + (-1)(30 - 4x) = 8212x – 30 + 4x = 82 16x = 112 x = 7Finalmente:

Incorrectas = 30 – 4(7) = 2

3.- A, B y C tiene en total 126 limones; si “C” le diera la cuarta parte a “A” tendrían la misma cantidad, pero si A le diera la mitad a B entonces B tendría la misma cantidad que C. ¿Cuántos limones tiene “B”?

Solución:

Planteando:2k + 3k + 4k = 126 9k = 126 k = 14Finalmente:B = 3(14) = 42

4.- Si el perímetro de un cuadrado se reduce en 40 m entonces su área se hace igual a

del área inicial. Determina el

perímetro del cuadrado original.

Solución:

L Lado

Simplificando:

(L - 10)2 =

(L - 10) =

4L - 40 = 3L L = 40

Perímetro = 4(40) = 160m

5.- Una persona compró con S/.148 aretes sortijas. Si cada arete costó S/.13 y cada sortija S/.16. ¿Cuántos artículos compró en total?

Solución:N° aretes xN° sortijas y

13x + 16y = 148

Tanteando: 1 8,4

2 7,6

3 6,8

4 6

compró:4 aretes + 6 sortija = 10 artículos

PROBLEMAS PROPUESTOS

I. Escribe al lenguaje matemático (forma simbólica) cada uno de los siguientes enunciados :

1) El quíntuple de un número, disminuido en su mitad.

...............................................................

2) El cuádruple de un número aumentado en su tercera parte.

...............................................................

3) El cuadrado de un número

aumentado en seis.

...............................................................

4) El cuadrado de un número

disminuido en cinco.

...............................................................

5) La suma de los cubos de dos

números consecutivos.

...............................................................

6) El cubo de la suma de dos

números impares y consecutivos.

...............................................................

7) “a” es 5 veces “b”

...............................................................

8) “a” es 5 veces más que “b”

...............................................................

9) “a” es 5 más que “b”

...............................................................

10) “a” es 5 veces mayor que “b”

...............................................................

11) Dos números están en la relación

de 3 es a 5.

...............................................................

12) “m” excede a “n” en “x”

...............................................................

13) “El exceso de “m” sobre “n” es

“z”

...............................................................

14) “a” es excedido por “b” en 20

unidades.

97

k

k

Soluciones descartadas (no son enteras)

5x -

4(x + x/3)

(x+6)2

(x-5)2

x3 + (x + 1)3

(x + x + 2)3

a = 6b

a = 5b

a –b = 5

a –6b

m-n=x

m-n=z

b-a=20



...............................................................

II.- Desarrolla en tu cuaderno las siguientes preguntas

1).- Ana y Katty fueron de compras y cada una compró tantos artículos como soles pago por cada uno. Si Ana gastó S/.600 menos que Katty y compraron 30 artículos en total, ¿Cuánto gastó Ana?a) S/.100 b) S/.81 c) S/.25d) S/.625 e) S/.400

2).- Ana tiene el doble de lo que tiene María en dinero; luego Ana le prestó cierta suma a María; por lo que ahora María tiene el triple de lo que le queda a Ana. Si el préstamo que pidió María excede en S/.6 a lo que tenía inicialmente, ¿con cuánto se quedó Ana?a) S/.12 b) S/.15 c) S/.18d) S/.24 e) S/.30

3).- Yo tengo el triple de la mitad de lo que tienes más S/. 10. Si tú tuvieras el doble de lo que tienes, tendrías S/.5 más de lo que tengo, ¿cuánto tengo?a) S/.50 b) S/.55 c) S/.60d) S/.40 e) S/.45

4).- En el camino a un hormiguero se escuchó la siguiente conversación: “Si tú me dieras un gramo, cargaríamos el mismo peso”. Respuesta: “Pero si yo te diera un gramo, cargarías el doble que yo”. ¿Cuántos gramos cargan entre los dos?a) 14 b) 12 c) 16d) 20 e) 7

5).- Se tiene un examen de 350 preguntas de las cuales 50 son de matemática. Suponiendo que a cada pregunta de matemáticas se de el doble de tiempo que a cada pregunta no relacionada con esta materia, ¿Cuánto demorará resolver matemáticamente si el examen dura tres horas?a) 45 min b) 52 min c) 62 mind) 60 min e) 50 min

6).- Se reunieron varios amigos quienes tomaron cuatro tazas de leche y dos tazas de café y tuvieron que pagar 20 soles. Si en otra oportunidad consumieron 1 taza de leche y 3 tazas de café y pagaron 10 soles, entonces una taza de leche cuesta:a) 2,5 soles b) 3 soles c) 4 solesd) 5 soles e) 6 soles

7).- En el primer piso de una biblioteca hay 500 mil libros, en el segundo piso hay 300 mil y en el tercer piso 100 mil. ¿Cuántos libros deben trasladarse del primero al tercer piso para que en el primer piso haya tantos libros como en el segundo y tercero juntos?a) 20 mil b) 50 mil c) 100 mild) 75 mil e) 150 mil

8).- En 7 horas 30 minutos una costurera puede confeccionar un pantalón y tres camisas; ó 2 pantalones y una camisa. ¿En cuánto tiempo puede confeccionar un pantalón y una camisa?a) 3 horas b) 4 horas c) 5 horas d) 4 horas 30 mine) 3 horas 30min

9).- Indica cuánto aumenta el área de un rectángulo de perímetro “2p” cuando cada uno de sus lados aumenta en “x” (Área de rectángulo = base x altura, perímetro = de sus 4 lados)a) x2 + px b) x2 – px c) (x+p)2

d) x2 – p2 e) x2 – 2px + x2

10).- Un día viernes en el colegio 200 Millas un alumno preguntó a su profesor de R.M. “¿Qué hora es?”, y le contestó: “La hora es tal que la fracción que falta por transcurrir del día, es igual a la fracción que falta por transcurrir de la semana, considerando lunes como inicio de la semana”. ¿A qué hora le hizo la pregunta?a) 15:00 h b) 16:00 h c) 17:00 hd) 18:00 h e) 19:00 h

11).- Al dividir un número entre 5 el residuo es 3 y al dividirlo entre 8 el residuo es 6. Si

los cocientes se diferencian en 9, ¿qué resto dará al dividir el número por 7?a) 6 b) 3 c) 1 d) 5 e) 2

12).- En una reunión el número de caballeros es dos veces más que el número de damas; después que se retiran 8 parejas, el número de caballeros que ahora queda es cuatro veces más que el nuevo número de damas. ¿Cuántos caballeros habían inicialmente?a) 16 b) 32 c) 48d) 64 e) 72

13).- En un edificio de 4 pisos se observa que el número de habitaciones de cada piso es uno más respecto del inmediato anterior y en cada habitación hay tantas ventanas como habitaciones hay en el respectivo piso. Si el total de ventanas del último piso y el total de habitaciones del primer piso suman 69, calcula cuántas habitaciones en total tiene el edificio.a) 28 b) 26 c) 12d) 16 e) 36

14).- Se tiene x, (x + y) , 2y monedas de S/.1, S/.2 y S/.5 respectivamente. Al cambiar todo el dinero en billetes de S/.10 se cuentan 30 billetes, coincidiendo el número de monedas que excedía las monedas de S/.2 a las de S/5.Calcula cuánto dinero se tiene en monedas de S/.2.a) S/.24 b) S/.116 c) S/.64d) S/.120 e) S/.128

15).- Una madre debe repartir una herencia de 70 mil dólares en el momento del nacimiento de su hijo o hija. Si tuviera un hijo ella recibiría la mitad de lo que recibe su hijo. Pero si naciera mujer, la madre recibiría el doble de lo de su hija. Llegó el día del parto y para sorpresa de todos nacieron gemelos, un hombre y una mujer. ¿Cuánto recibió el hijo?a) $20 000 b) $10 000 c) $30 000d) $40 000 e) $25 000

16).-Con S/.1 296 se han comprado igual número de vasos de tres clases distintas,

siendo los precios respectivos de cada clase de vaso 7; 8 y 12 soles. ¿Cuántas docenas de vasos se compraron? a) 4 b) 6 c) 8d) 10 e) 12

17).- En una bolsa hay fichas blancas y fichas negras. Si se saca 5 fichas blancas, queda el doble de fichas negras que blancas. Si se extrae 6 fichas negras y 3 blancas, la razón de blancas a negras será 8: 11. ¿Cuántas fichas blancas hay en la bolsa?a) 23 b) 19 c) 25 d) 28 e) 16

18).- El cuadrado de la suma de las 2 cifras que componen un número es igual a 121. Si de este cuadrado se restan el cuadrado de la primera cifra y el doble del producto de las 2 cifras, se obtiene 81. ¿Cuál es la diferencia de las cifras del número?a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9

19).- A un campamento de retiro, asisten 320 personas entre varones, mujeres y niños. Si el número de varones es tres veces más que el número de mujeres y éste es el triple que el de los niños, ¿cuántos hombres hay?a) 120 b) 160 c) 320d) 240 e) 200

20).- Sobre un estante se pueden colocar 15 litros de ciencias y 3 libros de letras ó 9 libros de letras y 5 libros de ciencias. ¿Cuántos libros de ciencias únicamente caben en el estante?

a) 15 b) 20 c) 24d) 30 e) 18

21).- Ana le dice a Raúl: “Si me dieras 5 de tus galletas, ambos tendríamos la misma cantidad” y éste respondió: “Si me dieras 10 de las tuyas, tendría el triple de lo que te quedaría”. ¿Cuántas galletas tiene Ana?

a) 10 b) 25 c) 40 d) 30 e) 35

22).-Se han comprado un traje, un bastón y un sombrero por $259. El traje costó 8 veces lo que costo el sombrero y el

98



bastón $30 menos que el traje. Halla la diferencia del precio del sombrero con el traje.

a) 110 $ b) 115 $ c) 119 $d) 112 $ e) 215 $

23).- En una reunión de amigos los cuales estaban en pareja, cada varón compra una caja de chocolates para cada dama. En cada caja el número de chocolates es tanto como el número total de cajas, y estas son tantas como el triple del número de soles que cuesta cada chocolate. Si los varones gastan en total 243 soles. ¿cuántas damas son las damas afortunadas?a) 15 b) 18 c) 12d) 9 e) 6

24).- Una rajá dejó en herencia a sus hijas cierto número de perlas. Tenían que repartírselas de una forma muy especial. Cada hija recibiría: La mayor, una perla más 1/7 de las restantes, la segunda dos perlas más 1/7 de las tres restantes, la tercera tres perlas más 1/7 de las restantes, y así sucesivamente todas las demás hijas. Las hijas menores se sintieron perjudicadas por este reparto. El juez, tras contar las perlas, les dijo que todas ellas se llevarían el mismo número de perlas. ¿Cuántas hijas y perlas había?. Dar como respuesta la suma de ambos resultados.a) 36 b) 42 c) 50d) 35 e) 48

25).-Un asunto fue sometido a votación de 800 personas y se perdió, habiendo votado de nuevo las mismas personas sobre el mismo asunto, fue ganado el caso por el triple de votos por el que había sido perdido y la nueva mayoría fue con respecto a la anterior como 13 es a 11. ¿Cuántas personas cambiaron de opinión entre la primera y segunda votación? a) 416 b) 160 c) 150d) 220 e)180

CLAVES DE RESPUESTAS1) c 2) c 3) b 4) b5) a 6) c 7) b 8) d

9) a 10) b 11) b 12) c13) b 14) b 15) d 16) a17) b 18) c 19) d 20) b21) b 22) c 23) d 24) b25) b

VII. PROBLEMAS SOBRE EDADES

INTRODUCCIÓNLos problemas sobre edades, pertenecen al capítulo de “planteo de ecuaciones” pero, lo estudiaremos como un capítulo aparte por la diversidad de problemas existentes y por la exist4encia de formas prácticas para dar solución a dichos problemas.

CASO I : Cuando Interviene la edad de un sujeto.

Observación.- Es recomendable resolver el problema planteando una simple ecuación.

Ejemplo Aplicativo (1)

Hace 4 años Rocío tenía 2/5 partes de los años que tendrá dentro de 8 años. ¿Cuántos años tendrá Rocío dentro de 12 años?

Resolución :

Sea la edad actual de rocío : “x” años.Luego :

Hace 4 años tenía “x-4”

Dentro de 8 años tendrá: “x + 8”

Según dato:

X – 4 = (x+8) x = 12

Dentro de 12 años tendrá = 24 años Ejemplo Aplicativo (2)

Dentro de 12 años Mauricio tendrá 3 veces más la edad que tuvo hace 6 años. ¿Qué edad tiene Mauricio?

Resolución :

Sea la edad actual de Mauricio “x” años.

Luego : La edad que tuvo hace 6 años

x + 12 = 4 (x - 6) x = 12

Tres veces más La edad que tendrá

dentro de 12 años.

La edad de Mauricio es 12 años.

Si una persona ya cumplió años, luego:

Si una persona todavía no cumple años, luego:

Ejemplo Aplicativo (3)

Luis Tenía en el año 1969 tantos años como el doble del número formado por las dos últimas dos cifras del año de su

nacimiento. ¿cuántos años tendrá Luis el año 2000?

Resolución :AN + EX = A

= 69

= 23 años

CASO II : Cuando interviene la edad de dos ó más sujetos.

En esta situación se recomienda el uso de un “cuadro de doble entrada” para facilitar la ubicación de los datos en sus tiempos respectivos. TIEMPOS

PASADOPRESENT

EFUTURO

PILI a m XMILI b n Y

Del cuadro anterior se concluye:

1. La diferencia de edades de dos personas es constante en cualquier tiempo.

a – b = m - n = x – y

2. El tiempo que ha transcurrido para una persona es el mismo que ha transcurrido para la otra:

m - a = n - b y x - m = y – n

Ejemplo Aplicativo (1):

Normita le dice a su hermano Tony :”Mi edad es 8 años menos que tu edad , pero dentro de 4 años tu edad será el doble de mi edad”. ¿Cuál es la edad de Tony?

Resolución :

PASAD DENTRO DE

99

EDAD ACTUAL

AÑO ACTUAL

AÑO DE SU NACIMIENTO

= -

EDAD ACTUAL

AÑO ACTUAL

AÑO DE SU NACIMIENTO

= - 1

Hace 8

x - 8 x - 6 x + 5 x +15Tiempo presente

TIEMPO PASADO TIEMPO FUTURO

Hace 6 Edad= xDentro de

5Dentro de

15

SU

JET

OS



O 4 AÑOSNORMIT

Ax-8 x-8+4

TONY x x+4

x + 4 = 2(x – 8 + 4)x + 4 = 2(x – 4)x + 4 = 2x = 8 12 = x

Tony tiene 12 años.

Ejemplo Aplicativo (2):

Adrián le dijo a Elvira : “Yo tengo 3 veces la edad de tú tenías, cuando yo tenía la edad que tú tienes y cuando tengas la edad que tengo, la suma de nuestras edades será 35 años. ¿Cuál es la edad de Elvira?

Resolución :

TENÍA TIENE TENDRÁADRIÁN Y 3x 35-3xELVIRA x y 3x

Del cuadro se tiene :

* 3x – y = y – x 35 – 3x – 3x = 3x – y 4x = 2y 35 + y = 9x ....() 2x = y ......()

() en ()

35 + 2x = 9xx = 5

y = 10 años.

1).- Cuando transcurran “m+n” años a partir de hoy, tendré el triple de la edad que tenía hace “m-n” años. Actualmente tengo:

a) (2m + n) años b) 2(m+n) añosc) (2m- n)años d) (n-2m) añose) (3m-2n) años

2).- La diferencia de los cuadrados de las edades de Graciela y Merly es 49. Si Graciela le lleva por un año a Merly, ¿cuántos años deben transcurrir para que la edad de Merly sea un cuadrado perfecto?

a) 1 año b) 5 años c) 10 añosd) 12 años e) 15 años

3).- Si tuviera 15 años más de la edad que tengo, entonces lo que me faltaría para cumplir 78 años sería los cinco tercios de la edad que tenía hace 7 años. Dentro de 5 año que edad tendré.

a) 28 b) 30 c) 33d) 42 e) 48

4).- Hace “a” años César tenía “m” . dentro de “a” años tendrán n veces la edad que tenía Pepe hace “a” años. ¿Cuál es la edad actual de Pepe?

a) b)

c) d)

e)

5).- ¿Cuál será la edad de Jhon si hace “x” años tenía “n” veces la edad que tenía hace “y” años?

a) b)

c) d) e)

6).- La edad que tendré de “m” años es a la que tenía hace “m” años como 5 es a 3. ¿Qué edad tendré dentro de “2m” años?

a) 4m b) 6m c) 5md) 7m e) 3m

7).- Dentro de 10 años, la edad de un padre será el doble de la edad de su hijo. ¿Cuál es la edad actual del hijo, si hace 2 años, la edad del padre era el triple que la del hijo?

a) 38 b) 20 c) 14d) 27 e) 32

8).- La suma de las edades actuales de 2 hermanos es 60 años, dentro de 5 años el mayor tendrá el doble de la edad que tenía el menor hace 5 años. Hallar la suma de cifras de la edad actual del mayor.

a) 5 b) 6 c) 7d) 8 e) 9

9).- Las edades actuales de 2 amigos son entre sí, como 7 es a 5, pero hace 4 años estaban en la relación de 3 es a 2. ¿Dentro de cuántos años sus edades estarán en la relación de 9 es a 7?

a) 4 b) 6 c) 8d) 10 e) 12

10).- Augusto le dice a Patty:Dentro de 10 años yo tendré el doble de tu edad, a lo que Patty le responde: “Es cierto, pero hace 5 años tu edad era el quintuple de la mía”. ¿Qué edad tiene Augusto?

a) 30 b) 10 c) 20d) 14 e) 28

11).- Cuando tú tengas el cuádruple de la edad que él tenía, entonces él tendrá exactamente 50 años, menos la edad que tú tenías. ¿Cuál será tu edad en ese entonces?

a) 30 b) 40 c) 38

d) 42 e) 44

12).- Cuando Kelith le preguntó a César por la edad que tenías, éste respondió: Tengo el triple de la edad que tú tenías, cuando yo tenía la mitad de la edad que tienes y cuando tengas la edad que tengo, tendré tanto como tú tendrás dentro de 8 años. La edad de César es :

a) 32 años b) 34 añosc) 36 años d) 40 añose) 72 años

13).- Stephani tiene 30 años, su edad es el quintuple de la que tenía Corina, cuando Stephani tenía la tercera parte de la edad actual de Corina. ¿Cuál es la edad actual de Corina?

a) 14 b) 15 c) 28d) 27 e) 30

14).- Juanito le dice a Estela : actualmente tengo el doble de la edad que tú tenías cuando yo tenía tu edad y cuando tú tengas mi edad entre ambos sumaremos 108 años. ¿Cuántos años tengo?

a) 48 b) 24 c) 20d) 18 e) 32

15).- Las edades de dos personas están en la relación de 5 a 7. Dentro de 10 años la relación será de 3 a 4. ¿Hace 10 años cuál era la relación de dichas edades?

a) 3 a 5 b) 2 a 5c) 1 a 2 d) 4 a 3e) 2 a 3

16).- Al ser consultada por su edad, Marilú responde si al doble de mi edad le quitan 13 años, se obtendrá lo que falta para tener 50 años. ¿Cuál es la edad de Marilú?

a) 20 b) 21 c) 22d) 23 e) 24

100



17).- La edad que tiene actualmente Luis es la misma edad que tenía Jaime hace 6 años, justamente cuando Luis tenía 20 años. ¿Qué edad tiene Jaime actualmente?

a) 20 b) 24 c) 26d) 32 e) 36

18).- La edad de Juan es el triple de la edad de Carmen pero dentro de 50 años, el tendrá 11/7 de lo que ella tenga. ¿Qué edad tenía Juan cuando Carmen tenía 10 años?

a) 30 b) 40 c) 45d) 50 e) 60

19).- La suma de las edades de Pascual y Javier es 50, pero dentro de 12 años la diferencia de edades será 10. Hallar la edad de Pascual, si se sabe que este es el mayor.

a) 20 b) 24 c) 28d) 30 e) 32

20).- Hace 6 años la suma de las edades de Carlos y Jorge era 42. Si actualmente Carlos tiene el doble de la edad de Jorge, hallar la edad de Jorge dentro de tres años.

a) 18 b) 21 c) 23d) 36 e) 39

1).-Hace 10 años de edad de Milagros y la edad de Silvia estaban en la relación de 1 a 3; pero, dentro de 5 años, sus edades serán como 3 a 4. ¿Cuál es la edad de Milagros?A)10 B)11 C)12D) 13 E) 14

Jorge nació 6 años antes de Juan. En 1970, la suma de sus edades era la cuarta parte de la suma de sus edades, en 1985. ¿En qué año la suma será el doble de la correspondiente a 1985?A)2000 B) 1998

C) 2 005D) 1999 E) 2 001

1).- Cuanto tú naciste yo tenía la tercera parte de la edad que tengo ahora. ¿Cuál será tu edad cuando yo tenga el doble de la edad que tienes, si en ese entonces nuestras edades sumarán 56 años?A) 12 B) 15

C) 20D) 22 E) 24

2).- Un padre comenta: "Mi hija es ahora dos veces menor que yo; pero, hace 5 años, era tres veces menor"; ¿cuántos años tiene mi hija?A) 15 años B) 20 años C) 25

años D) 12 años E) 18 años

3).- Hace 15 años, la edad de Ana y la edad de Betty estaban en la relación de 3 a 7; pero, dentro de 10 años, sus edades serán como 4 a 6. ¿Qué edad cumplirá Ana dentro de 10 años?A) 30 años B) 40 años

C) 45 añosD) 25 años E) 35 años

4).- Hace 6 años, las edades de Antonio y Dina estaban en la relación de 1 a 4; pero, dentro de 8 años, sus edades serán como 5 a 6. ¿Cuál será la edad de Antonio dentro de 10 años?A)10 B)12

C)17D) 20 E) 21

5).- Yo tengo el triple de la edad que tú tenías cuando yo tenía el triple de la edad que tuviste cuando tuve yo la novena parte de la edad que tengo ahora. Si nuestras edades suman 72 años, ¿cuántos años tengo?A) 36 B) 27

C) 25D) 32 E) 29

6).- Él tiene la edad que ella tenía cuando él tenía la tercera parte de la edad que ella tiene; si ella tiene cinco años más de los que él tiene, ¿cuál es la edad de ella?A) 9 B) 12

C) 16D) 10 E) 15

7).- La suma de las edades de Ana, Betty y Karla es 37 años; al acercarse Karla, Ana le dice: "Cuando tú naciste yo tenía 5

años, pero cuando Betty tenía un año, tú tenías 5 años". Calcular la suma de edades de Ana y Karla dentro de 6 años.A) 20 B) 38

C) 41D) 35 E) 29

8).- Un hombre, nacido en la primera mitad del siglo XIX, tenía "x" años en el año "x". ¿En qué año nació? Dar como respuesta la suma de cifras.A) 15 B) 20

C) 1.3D) 17 E) 16

CLAVES DE RESPUESTASNIVEL I

1) e 2) c 3) a

4) d 5) c 6) d

7) a 8) c 9) a

10) 11)b 12)a

13)a 14)c 15)a

16)b 17) 18)e

19)a 20)a

NIVEL II

1) c 2) a 3) c

4) a 5) c 6) b

7) c 8) d 9) c

10)a 11)b 12)c

13)d 14)a 15)e

16)b 17)c 18)d

19)d 20)b

VII. CRONOMETRÍA

1. CALENDARIOS

1.1.- CONCEPTOEs un sistema de medida del tiempo, agrupados en unidades superiores, como semanas, meses, años, etc.

1.2.- OBSERVACIONES

a) Considerar el número de días que atrae cada mes.

Enero Febrero Marzo Abril Mayo Junio Julio31 28 ó 29 31 30 31 30 31

Año normal Año bisiesto

Agosto Setiembre Octubre Noviembre Diciembre31 30 31 30 31

b) Un día se vuelve a repetir cada 7 días.

+7 +7 +7 +7kMartes Martes Martes . . . Martes 1 8 15

c) Con respecto a un año.

101

Año

Normal

Bisiesto

365 días

12 meses (febrero trae 28 días)

52 semanas

366 días

Febrero (29 días)

Se repite cada 4 años()



2. RELOJES

2.1.- CONCEPTOInstrumento empleado para medir o indicar el paso del tiempo y divide el día en horas, minutos y segundos.

H : Horariom : minutero : ángulo formado por el horario y el minutero

Observación:En 1 hora el minutero recorre 60 divisiones, luego:

1h <> 60 div <> 60 min <> 360°

1 div = 1 min = 6°

2.2.- RELACIÓN DEL RECORRIDO DEL HORARIO Y MINUTERO

En cada hora la relación de recorrido de “H” y “m” es:

Lo cual significa que cada vez que el minutero avance “m” divisiones el horario avanzará “m/12” divisiones.

2.3.- CÁLCULO DEL ÁNGULO “ ”

1er CASO : Cuando el minutero adelanta al horario.

= m - 30H

”m” antes que “H”2do CASO : Cuando el horario adelanta al

minutero.

= 30H - m

”H” antes que “m”

2.4.- TIEMPO RELACIONADO CON CAMPANADAS, GOLPES, ETC.En general :Número de campanadas :

Del gráfico:

n° Campanadas = n° intervalos + 1

Ejemplo :

T = 4 x 2 = 8seg

Tiempo = n° de x Tiempo de Total intervalos cada intervalo

2.5.- ADELANTOS Y ATRASOSEstas situaciones se presentan como consecuencia de algún desperfecto en el reloj, por lo que no marcaran la hora correcta.

ADELANTOS

HM = HR + AD

ATRASOS

HM = HR - AT

PROBLEMAS RESUELTOS

1) Siendo las 8 a.m. empieza a adelantarse un reloj 5min cada hora. ¿Qué hora marcará cuando la hora correcta sea 10 pm del mismo día?Solución :

Se adelantó durante :22h - 8h = 14h

Tiempo Adelanto 1h 5min 14h x

x = 70 min = 1h 10min

Sabemos :HM = HR + adelanto

HM = 10h + 1 h 10min

= 11 h 10min p.m.

2) Hace 12 horas y media se descompuso un reloj sufriendo un atraso de 8 min. cada 4 horas. Si en éste instante marca 8h 57min. ¿Cuál es la hora correcta?

Solución :

Tiempo Atraso 4h 8min

12,5 x

x = = 25min

Sabemos : HM = HR - atraso

8h 57min = HR - 25 min

9h 22 min = HR

3) Qué ángulo forman el horario y minutero a las 5h 10min.Solución :

° = - (10) + 30(5)

° = -55° + 150° = 95°

4) Halla la medida del ángulo que forman horario y minutero a las 3h 40min.

Solución :

102

12

6

39

m

H

m/12 div

m div.

1 2 3 4 n n+1

1° 2° 3° (n-1)° n°

I I I I I

tiempo de cada intervalo

1C 2C 3C 4C

1° 2° 3°

2seg 2seg 2 seg 2seg

5C

4°

Hora marcada por

un reloj atrasado

Horareal

Hora marcada por

un reloj adelantado

(-) atraso total

(+) adelantototal

12

6

1

2

3

4

57

8

9

10

11

m

H

30°

5 divisiones(1 división <> 1min)

Donde:HM : Hora marcadaHR : Hora realAD : Adelanto

Donde:HM : Hora marcadaHR : Hora realAT : Atraso

Hm

12

6

1

2

3

4

57

8

9

10

11

H

m

m

12

6

1

2

3

4

57

9

10

11

12

6

1

2

3

4

57

8

9

10

11

m

H

12

6

1

2

3

4

57

8

9

10

11

m H



° = (40) - 30(3)

° = 220° - 90° = 130°

5) Si el 1 de enero de 1942 cae jueves. ¿Qué día caerá el 1 de mayo del mismo año?Solución :N° de días =31 Ene +28Feb + 31Mar + 30Abr = 120 días

Pero : 120 = + 1

Lo cual significa que caerá un día después de jueves, es decir viernes.

PROBLEMAS PROPUESTOS

1).- ¿A qué será equivalente el ayer del anteayer del ayer del pasado mañana del pasado mañana de mañana. a) Ayer b) Mañanac) Anteayer d) Pasado

mañanae) F.D

2).- Siendo viernes el mañana del mañana de hace 5 días. ¿Qué día será el anteayer del anteayer de dentro de 4 días? a) Lunes b) Jueves c)

Viernesd) Martes e) Sábado

3).- En un mes hay 5 jueves, 5 viernes y 5 sábados. ¿Qué fecha cae el tercer miércoles de dicho mes?a) 18 b) 19 c) 20d) 21 e) 22

4).- Si el 1 de enero de 1843 cae jueves. ¿Qué día caerá 1 de mayo del mismo año?a) Lunes b) Martesc) Miércoles d) Jueves e) Viernes

5).- En un determinado mes existen 5 viernes, 5 sábado y 5 domingos. ¿Qué día será el 18 de dicho mes?a) Domingo b) Lunesc) Martes d) Miércolese) Jueves

6).- Si el lunes es el martes del miércoles y el jueves es el viernes del sábado. ¿Qué día es el domingo del lunes?a) Martes b) Miércolesc) Jueves d) Viernese) Sábado

7).- Si el ayer del mañana es sábado. ¿Qué día será el mañana del ayer de pasado mañana?a) Lunes b) Martesc) Miércoles d) Juevese) Viernes

8).- Si el ayer del anteayer de mañana es lunes. ¿Qué día será el pasado mañana del mañana de anteayer?a) Lunes b) Martesc) Domingo d) Juevese) Viernes

9).- ¿Qué día del año marcará la hoja de un almanaque cuando el número de hojas arrancadas excede en dos a los 3/8 del número de hojas que quedan?a) 11 de abril b) 12 de abrilc) 13 de abril d) 10 de abrile) N.A.

10).- En un determinado mes el primer día cayó martes y el último también. ¿Qué día cayó el 20 de mayo de dicho año?a) Lunes b) Miércolesc) Sábado d) Jueves e) Martes

11).- ¿Qué fracción decimal de la hora viene a ser 24 minutos con 36 segundos?a) 0.52 b) 0.37 c) 0.71d) 0.41 e) 0.49

12).- Un reloj da 6 campanadas en 5 segundos. En cuántos segundos dará 12 campanadas?a) 12 s b) 10 s c) 11 sd) 9 s e) 13 s

13).- Una alarma suena 5 veces por segundo, cuántas veces sonará en un minuto?a) 300 b) 240 c) 301d) 241 e) 299

14).- ¿Cuántas campanadas dará en un día un reloj que indica cada hora con igual número de campanadas y cada media hora con una campanada?a) 178 b) 179 c) 160d) 168 e) N.A

15).- ¿Cuál de las siguientes relaciones es correcta?I. A las 12h30min las agujas del

reloj están diametralmente opuestas.II. Cuando el horario recorre 30° el

minutero recorre 60 minutos.III. A las 6h 30min las agujas están

superpuestas.

a) Sólo I b) Sólo IIc) Sólo III d) I y II e) I, II, III

16).- Un ciego da 20 golpes de bastón en cierto tiempo. ¿Cuántos golpes de bastón dará en el triple de tiempo?a) 60 b) 59 c) 58 d) 61 e) 62

17).- Un boxeador da 5 golpes en 40 segundos. ¿Cuánto se demorará para dar 20 golpes?a) 3min 10 seg b) 3min 20 segc) 3min 30seg d) 2min 50sege) 2min 40seg

18).- Si faltan transcurrir del día tanto como ya pasó hasta hace 6 horas. ¿Qué hora es?a) 6 pm b) 5 am c) 3 amd) 4 pm e) 3 pm

19).- Si las horas transcurridas del día exceden en 4 a los 2/3 de las horas no transcurridas, entonces la hora es :a) 12:00 b) 13:00 c) 12:45d) 08:40 e) 08:30

20).- Si faltan para las 9:00 la mitad de los minutos que pasaron desde las 7:00. ¿Qué hora es?a) 7:50 b) 8:10 c) 8:20d) 8:40 e) 8:30

21).- Un reloj demora “x” segundos en dar (x+y) campanadas. ¿Cuánto tiempo demora en dar “xy” campanadas?

a) b)

c) d)

e)

22).- Un reloj que se atrasa 6min cada 2 h sincronizado el 4 de mayo a las 4p.m. ¿Cuál seré l próximo día en la que volverá a marcar la hora exacta.a) 14 de mayo b) 16 de mayoc) 15 de mayo d) 12 de mayoe) 13 de mayo

23).- Un reloj se adelanta 1 min por hora si empieza correctamente a las 12 del medio día del jueves 16 de setiembre. ¿Cuándo volverá a señalar la hora correcta?a) 10 de octubre b) 16 de octubrec) 30 de setiembre d) 4 de octubree) 20 de octubre

24).- Un reloj se atrasa 2 min, cada hora y otro se adelanta 3min cada hora. Si los dos se sincronizan al medio día con un reloj normal. Cada cuánto tiempo volverán a marcar la hora exacta los res relojes:a) 4 días b) 8 días c) 10 díasd) 5 días e) 6 días

25).- Un reloj marcará la hora exacta a las 12 del medio día, al cabo de cuántos días

103



tendrá un atraso de 2 días si se atrasa 10 min cada hora?a) 10 días b) 12 díasc) 14 días d) 8 díase) 9 días

26).- Un reloj se adelanta 2min cada 3h a que hora empezó adelantarse si a las 11h 15min de la noche marca las 11h 27min.a) 5:15 am b) 4:15 amc) 6:15 am d) 4: 27 ame) 5: 15 pm

27).- Rita sale de su casa a las 1 pm (según su reloj) y llega al colegio a las 2pm (según su colegio); luego se percata que su reloj estaba atrasado 6min y el del colegio adelantado 14min. ¿Cuánto tiempo se demoró Rita?a) 32’ b) 40’ c) 48’d) 52’ e) 42’

28).- Un reloj adelanta 5min cada hora y otro adelanta 2min cada hora ambos relojes se ponen a la hora a las 12 del día. ¿Después de cuántas horas el primero estará adelantado una hora respecto al otro?a) 20h b) 18h c) 10hd) 15h e) 40h

29).- Un reloj se atrasa 2 min cada 45 min se puso a la hora a las 7:45pm. ¿Qué hora marcará cuando realmente sean las 8:30 am del día siguiente?a) 7:56 b) 8:04 c) 7:54d) 7:45 e) 8:15

30).- Un reloj en lugar de tener 12 divisiones tiene 9 y cada vez gira una vez a su eje. ¿Qué hora marcará a las 4pm?a) 5h b) 6h c) 4hd) 3h e) 2h

31).- Un reloj que tiene 30h gira una sola vez en torno a su eje al día.?Qué ángulo forman las manecillas de dicho reloj cuando en un reloj normal sean las 12 del día?a) 0° b) 90° c) 180°d) 120° e) 150°

32).- Faltan para las 6 tanto como la mitad del tiempo que transcurrió desde las 4:36. ¿Qué hora es?a) 3:36 b) 5:30 c) 5:28d) 5:32 e) 5:42

33).- Qué ángulo forman las manecilla de un reloj a las 2h 20’?a) 40° b) 50° c) 55°d) 45° e) 35°

34).- ¿Qué ángulo forman el horario y el minutero a las 10h40’?a) 70° b) 75° c) 80°d) 85° e) 90°

35).- ¿A qué hora entre las 4 y las 5 las agujas de un reloj se superponen?

a) 4h 20 min b) 4h21

min

c) 4h22 min d) 4h21 min

e) 4h 21 min

36).- ¿A qué hora entre las 1 y las 2 se forma un ángulo recto por primera vez?

a) 1h20 min b) 1h22 min

c) 1h21 min d) 1h23 min

e) 1h21 min

37).- ¿Cuántas veces se superponen las agujas de un reloj?a) 12 b) 24 c) 11d) 22 e) 23


01) b 02) a 03) d 04) e 05) b

06) e 07) a 08) d 09) b 10) c

11) d 12) c 13) d 14) e 15) b

16) c 17) a 18) e 19) a 20) c

21) d 22) a 23) b 24) e 25) b

26) a 27) b 28) a 29) a 30) b

31) c 32) d 33) b 34) c 35) c

36) c 37) e

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