Cuadernillo Calculo Diferencial Roberto Cuellar

8/18/2019 Cuadernillo Calculo Diferencial Roberto Cuellar

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Secretaría deEducación Secretaría de

Educación

Calle Armando del Castillo Franco S/N Col. Fidel VelázquezGómez Palacio, uran!o CP "#$%#&el. ' Fa( )*+- +0$%0 ' +0%#$Correo Electrónico1 me(2rances34rodi!'.net.m(

Cole!io Nacional de Educación Pro2esional &5cnica

6A&78A9 8AC&8C: E

ANA98S8S E78VA&8V: E F;NC8:NES)6A&E6A&8CAS V-

“La música es para el alma lo que la gimnasia para el cuerpo...... y las

matemáticas para la mente" - Platón

E<;8P: ) o Alumno-1===========================================

G7A:1========= ESPEC8A98A1============================

&8&;9A7 E 9A 6A&E78A1

8NG. 7o>erto Cuellar Alcala

?E;CAC8@N E CA98A PA7A 9A C:6PE&8&8V8A

CN&7: 6EB8CAN: F7ANCES

C:NA9EP

C;AE7N899: E AP;N&ES E 9A 6A&E78A1 6A&E6A&8CAS V )CA9C;9:8FE7ENC8A9-

7EV8S8:N $1 a %* de Noiem>re del %$DFormación &5cnica1===================

Ing. Roberto Cuellar Alcalá 1




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8N8CE;N8A 8 7EPAS: E A9GE7A1.- Productos notables:2.- Factorización:3.- Radicales

4.- Simplificación de Radicales5.- peraciones con radicales:a! Suma " restab! #ultiplicación " $i%isión

;N8A 881.- Funciones& conceptos b'sicos2.- (ipos de funciones3.- )rafico de funciones4.- Situaciones sub*eti%as donde se in%olucra el concepto de función5.- +*ercicios para obtener el ran,o " el dominio de la función

;N8A 888

1.- mites& conceptos b'sicos2.- (eorema sobre lmitesa! mites al infinitoc! mite " discontinuidad de funcionesb! mite " continuidad de funcionesd! /nfinit0simos

;N8A 8V1.- $eri%ación& conceptos b'sicos2.- $eri%ación por incrementos3.- $eri%ación de funciones al,ebraicas4.- $eri%ación de funciones trascendentes o,artmicas " eponenciales!5.- Repaso de identidades tri,onom0tricas

.- $eri%ación de funciones tri,onom0tricas.- Si,nificado ,eom0trico de la deri%ada;N8A V1.- #'imos " mnimos de una función primer m0todo!2.- +*ercicios para obtener m'imos& mnimos " puntos de infleión3.- plicaciones de la deri%ada.C78&E78:S E EVA9;AC8@N+l alumno acreditar' la materia como mnimo con calificación de 6& si,uiendo los si,uientescriterios:a! 7o m's de 3 faltas en el perodo a e%aluar ecepto en casos especiales!b! 8uaderno de e*ercicios limpio " con todos los e*ercicios en orden " completos.c! +l eamen tiene un %alor del 56 9 repartido en e'menes semanales& uincenales "mensuales!

d! Reporte de traba*o o carpeta de e%idencias l 269e! (areas del 16 9 repartido en el n;mero de tareas del perodo a calificar f! $isciplina 269

. Este cuadernillo de apuntes cubre la totalidad del programa del módulo ANALII !EI#A$I#% !E &'N(I%NE) . < tiene como finalidad apo"ar al estudiante en el proceso de+nse=anza-prendiza*e.N%$A* Este cuadernillo se puede traba+ar en ,orma indiidual o grupal esdecisión del !ocente.

>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>> >>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>> ?#7 P$R+S $+ F#//





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+stimados alumnos: )eneralmente muc@os de ustedes @an escuc@ado ue la

materia de c'lculo diferencial e inte,ral son materias mu" difciles. Sin

embar,o& esta apreciación es totalmente eui%ocada& dado ue el c'lculo es la

@erramienta m's poderosa para entender la ma"or parte de nuestro entorno&

APor u0B Porue el c'lculo diferencial estudia todas auellas ma,nitudes ue

est'n en constante cambio o %ariación: ndices de natalidad o mortalidad&

%elocidad o aceleración& mo%imientos financieros& oferta " demanda en el

mercado& el desarrollo de microor,anismos en %acunas o en te*idos& etc. < el

c'lculo inte,ral es la suma o cuantificación de estos cambios o ma,nitudes en

%ariación.

+ste cuadernillo consta en su primera etapa con un repaso de 'l,ebra:

productos notables& factorización& ecuaciones de primer " se,undo ,rado&

radicales " operaciones con ellos& para facilitar el aprendiza*e si,nificati%o "

lo,rar el cumplimiento de los ob*eti%os en el aula.

a se,unda " tercera etapa consta de conceptos b'sicos en el c'lculo como

son las funciones " el t0rmino lmite de una función& para culminar con la

obtención de la deri%ada de funciones " su aplicación. +ntremos entonces en el

fascinante mundo del c'lculo " apliuemos este conocimiento para desarrollar

nue%as aplicaciones al entorno en ue %i%imos.

+ste cuadernillo @a sido impreso sólo por una p',ina& de*ando la p',ina

posterior para anotar las eplicaciones del maestro durante todo el semestre.

87 F+8( S/78+R

/7). RC+R( 8?+R 8(/(?R $+ #(+R/





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AN&ECEEN&ES 8S&:78C:S E9 C9C;9: 8NF8N8&ES86A9

+l c'lculo infinitesimal es la rama de las matem'ticas ue comprende el estudio

" aplicaciones del c'lculo inte,ral.

+l c'lculo diferencial se ori,ina en el si,lo DE// al realizar estudios sobre elmo%imiento& es decir& al estudiar la %elocidad de los cuerpos al caer al %aco "a

ue cambia de un momento a otro la %elocidad en cada instante debe

calcularse& teniendo en cuenta la distancia ue recorre en un tiempo

infinitesimalmente peue=o.

+n 1& el cientfico in,l0s /saac NeHton fue el primero en desarrollar

m0todos matem'ticos para resol%er problemas de esta ndole.

8asi al mismo tiempo el filósofo " matem'tico alem'n )ott2ried 9ei>niz realizóin%esti,aciones similares e ideando smbolos matem'ticos ue se aplican @asta

nuestros das.

$estacan otros matem'ticos por @aber @ec@o otros traba*os importantes

relacionados con el c'lculo diferencial& sobresale entre otros& P ierre Fermat

matem'tico franc0s& ui0n en su obra @abla de los m0todos dise=ados para

determinar los m'imos " mnimos& acerc'ndose casi al descubrimiento del

c'lculo diferencial. $ic@a obra influenció a ei>niz en la in%ención del c'lculo

diferencial.

Fermat de*ó casi todos sus teoremas sin demostrar "a ue por auella 0poca

era com;n entre los matem'ticos el plantearse problemas unos a otros& por lo

ue frecuentemente se ocultaba el m0todo propio de solución& con el fin de

reser%arse el 0ito para si mismo " para su nación "a ue @aba una ,ran

ri%alidad entre los franceses& alemanes " los in,leses& razón por la ue las

demostraciones de Fermat se @a"an perdido.

7icolas :resme obispo de la comunidad de /isieu& Francia& estableció

ue en la proimidad del punto de una cur%a en ue la ordenada se considera

m'ima o mnima& dic@a ordenada %ara m's pausadamente.

IoJannes Ke4ler tiempo despu0s& coincide con lo establecido por

resme conceptos ue permitieron a Fermat en su estudios de m'imos "

mnimos& las tan,entes " las cuadraturas& i,ualar a cero las deri%ada de la

función& debido a ue la tan,ente a la cur%a en los puntos en ue la función





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tiene su m'imo " su mnimo& es decir& la función es paralela el e*e GH donde la

pendiente de la tan,ente es nula.

/saac arroH maestro de 7eHton& ui0n por medio del tri'n,ulo

caractersticoH& en donde la @ipotenusa es un arco infinitesimal de cur%a " sus

catetos son incrementos infinitesimales en ue difieren las abocinas " las

ordenadas de los etremos del arco.

7eHton concibió el m0todo de las GfluionesH& considerando a la cur%a

como la tra"ectoria de un punto ue flu"e denomina un GmomentoH de la

cantidad fluente al arco muc@o mu" corto correspondiente& es decir& la

%elocidad& por lo tanto& GfluenteH es la cantidad %ariable ue se identifica como

GfunciónH GfluiónH es la %elocidad o rapidez de %ariación de la fluente ue se

identifica como la Gderi%adaH al incremento infinitesimal o instant'neo de la

fluente se le llama GmomentoH ue se identifica como la GdiferencialH

+l principio establece ue: Glos momentos de las funciones son entre s

como sus deri%adasH. a concepción de lei>niz se lo,ra al estudiar el problema

de las tan,entes " su in%erso& bas'ndose en el tri'n,ulo caracterstico de

arroH& obser%ando ue el tri'n,ulo es seme*ante al ue se forma con la

tan,ente& la subtan,ente " la ordenada del punto de tan,encia& as mismo& es

i,ual al tri'n,ulo formado por la normal& la subnormal " la ordenada del mismo

punto. os smbolos Gd& d"Id& la palabra Gderi%adaH " el nombre de

Gecuaciones diferencialesH se deben a ei>niz.

!ustin 9óuis CaucJ' matem'tico franc0s& impulsor del c'lculo

diferencial e inte,ral autor de la teora de las funciones de las %ariables

comple*as& bas'ndose para ello en el m0todo de los lmites las definiciones de

Gfunción de funciónH " la de Gfunción compuestaH tambi0n se deben a 8aucJ'. Jaco>o ernoulli introduce la palabra GfunciónH en el c'lculo

diferencial " la simbolo,a Gf!H se debe a eonardo EulerL ambos

matem'ticos suizos. JoJn Mallis enuncia el concepto de GlmiteH " la

representación simbólica GlmH se debe a Simon 8JuilierL el smbolo tiende a

GKH lo implantó J.G. 9eatJem.





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os procesos ,enerales " las re,las pr'cticas sencillas del c'lculo

diferencial se deben a 7eHton " a 9ei>niz sin embar,o& por m's de 156 a=os

el c'lculo diferencial contin;o bas'ndose en el concepto de lo infinitesimal.

+n el si,lo D/D se @an encontrado bases m's firmes " ló,icas al

mar,en de lo infinitamente peue=o. +l c'lculo diferencial se @a ido

desarrollando a tra%0s de los a=os& consolid'ndose en una @erramienta

t0cnico-cientfica ue se utiliza en el an'lisis de procesos ue contienen

ma,nitudes en constante cambio& por e*emplo: la %elocidad de las reacciones

umicas& los cambios atmosf0ricos& los desarrollos sociales " económicos de

las naciones& en la astronoma& la estadstica& etc.

7eHton " a ei>niz se les llama fundadores del c'lculo "a ue fueron los

primeros en estudiar el problema ,eom0trico fundamental del c'lculo

diferencial& ue se denomina: Gproblema de las tan,entesH en el cual @a" ue

@allar rectas tan,entes a una cur%a dada.





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;N8A 87EPAS: E A9GE7A

P7:;C&:S N:&A9ES. Son auellos ue se pueden obtener si,uiendouna re,la o al,oritmo sencillo. os m's comunes:

1.- Cinomio al cuadrado2.- Cinomio al cubo3.- Cinomios con*u,ados4.- Cinomios con termino com;n L a! L b!

C/7#/ 8?$R$:)enera un trinomio su desarrollo& cu"os t0rminos se obtienen:1.- +l cuadrado del primer t0rmino2.- LI- +l doble producto del primer t0rmino por el se,undo t0rmino.3.- L +l cuadrado del se,undo t0rmino.

+*emplo:

! L 4!2 M 2 L N L 1

C! 2 O 3"!2 M 42 O 12" L "2

+J+R8/8/S.

5b O 4 a!2 M

a O 5b!2 M

O 3"!2 M

Nm L 4n!2 M

2r L 5t!2 MC/7#/ 8?C

Su producto ,enera 4 t0rminos:Ing. Roberto Cuellar Alcalá 7




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1.- +l cubo del primer t0rmino2.- LI- +l triple producto del cuadrado del primero por el se,undo3.- L+l triple producto del primer t0rmino por el cuadrado del se,undo4.- LI- +l cubo del se,undo

btener este producto de manera directa es posible e ideal! con un poco depr'ctica. Sin embar,o& en ocasiones& se dificulta un poco& sobre todo cuandolos t0rminos tienen coeficientes diferentes de 1& por lo ue se recomiendaindicar operaciones primero " lue,o realizarlas.

+*emplo:

1.- L 3!3 M 3 L 3!2 3! L 3!3!2 L 33 M 3 L 2 L 2 L 2

2.- 2 O 5"!2 M 2!3 O 32!2 5"! L 32!5"!2 O 5"!3

M N3 O 62" L 156"2 O 125"3

+J+R8/8/S:

3.- < L 4!3

4.- 2b O 3 a!3 M

5.- m O !3 M

.- 4 O 5"!3 M

C/7#/S 87J?)$S





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2 binomios son con*u,ados si tienen los mismos t0rminos " uno de esost0rminos tiene si,no diferente.

L 2! O 2! son binomios con*u,adosa L 3!a L 4! no son binomios con*u,ados

O 1! O 1! no son binomios con*u,ados

+l producto de binomios con*u,ados ,enera un binomio& cu"os t0rminos secalculan as:

1.- +l cuadrado del primero2.- O el cuadrado del se,undo

+*emplo:1.- 2 O 3"! 2 L 3"! M 42 O "2

2.- 3m L 2n!3m O 2n! M m2 O 4n2

+J+R8/8/S

3.- 4 L 3"!4 O 3"! M

4.- 3b O 5 a! 3b L 5 a! M

5.- a Lb !a O b! M

.- 3 Lm! 3 O m! M

.- 16 O 16"!16 L 16"! M

N.- p L ! p O ! M

.- 2b L 5c! 2b O 5c! MC/7#/S $+ FR# La!Lb!

(ambi0n llamados binomios con t0rmino com;n& su producto ,enera un

trinomio:Ing. Roberto Cuellar Alcalá 9




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1.- +l cuadrado del t0rmino com;n2.- LI- la suma al,ebraica de los no comunes por el com;n.3.- LI- el producto de los no comunes.

+*emplo:

L 4! O !

2 es el cuadrado del com;n la suma al,ebraica de los no comunes es: L4! L O ! M O 3& por el com;n ue es & resulta O 3 el producto de los nocomunes : L4!O ! M O 2N

Por lo tanto& L 4! O ! M 2 O 3 O 2N

+J+R/8/8/S

1.- L 5! L! M

2.- 2 L !2 L3! M

3.- m L 5! m O 4!M

4.- L N! O ! M

5.- a L 4! a O 5! M

.- " L 5! " O 4! M

.- L 2! O 1! M

F8(R/Q8/7

Si,nifica descomponer en factores una epresión dada. s:

4 a3

b2

3

M 22aaabbIng. Roberto Cuellar Alcalá 10




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42 L 2 M 2 2 L 1!

+isten 16 casos especficos " alrededor de casos especiales. +n esteresumen& solo %eremos los m's comunes ue se reuieren en c'lculo& " ue a

saber son:1.- (rinomio cuadrado perfecto2.- (rinomio de la forma 2 L b Lc3.- $iferencia de cuadrados4.- 8on t0rmino com;n5.- Suma " resta de cubos perfectos

(R/7#/ 8?$R$ P+RF+8(+s la operación in%ersa de ele%ar un trinomio cuadrado perfecto. Para factorizar un trinomio cuadrado perfecto debe cumplir con 2 condiciones:1.- +l t0rmino cuadr'tico e independiente deben ser positi%os " tener raz

cuadrada eacta.2.- +l doble producto de las races debe dar como resultado el t0rmino lineal.

+*emplo:

D2 L 16 L 251.- +l t0rmino cuadr'tico " el independiente son positi%os " tienen razcuadrada eacta& las cuales son: " 5ue,o& el doble producto de las races es: 2!5! M 16& es decir& el t0rminolineal& entonces& el trinomio si es cuadrado perfecto.

Por lo tanto: D2 L 16 L 25 M L 5! 2

7(: S/ + S/)7 $+ (+R#/7 /7+ +S 7+)(/E& +7(78+S +C/7#/ +S 7+)(/E.

+J+R8/8/S:

! a2 O 2ab L b2 M

C! 1 L 142"2 L 44"4 M8! a2 L 1 a L 4 M

$! 3 L 12m2 L m4 M

+! N L 1N 4 L N1M





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&78N:68: E 9A F:76A B% >( c

os trinomios de la forma D2 L b L c& en ocasiones no tiene raz cuadrada

eacta o es ne,ati%o el t0rmino independiente. +stos trinomios de factorizanas:1.- Se colocan 2 pares de par0ntesis& colocando en ambos la raz cuadrada delcuadr'tico.2.- Se buscan 2 n;meros ue sumados den el lineal " multiplicados elindependiente.+J+#P:D2 L 2 O N1.- ! !2.- os factores de N son N 1& 4 2 de estos 2 pares de factores& los;nicos ue sumados al,ebraicamente dan L2 t0rmino lineal! son el 42. a@ora&

el si,no del t0rmino independiente es ne,ati%o& lo ue implica ue uno de elloses ne,ati%o " al ser el lineal positi%o& entonces el ma"or de ellos es positi%o.

D2 L 2 O N M L2! O 2!

+J+R8/8/S

D2 L L 16 M

D2 O 5 O 3 M

a 2 O 2 a O 35 M

m2 O Nm O 166N M

2 L O 132 M

2 O 4 O 326 M

8FE7ENC8A E C;A7A:S?na epresión al,ebraica es una diferencia de cuadrados si:1.- +s un binomio2.- mbos t0rminos tienen raz cuadrada eacta.3.- < est'n separados por un si,no ne,ati%o.

Su factorización ,enera 2 binomios& cu"os t0rminos se encuentran f'cilmente:

a suma de las races! a diferencia de las races!Ing. Roberto Cuellar Alcalá 12




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+J+#P: ! D2 O M D L 3!D O 3!C! 4D4 O 25<N M 2D2 L 5<4! 2D2 O 5<4!.

+J+R8/8/S:8! D2 O 1 M$! 3 O 4 2 M+! a2 O b2 MF! 166m2 O 121n2 M)! 4 O 4 M! 1 O 2 M

FAC&:78OAC8:N P:7 FAC&:7 C:6;N

?na epresión al,ebraica ue se factoriza por factor com;n puede ser cualuier polinomio de 2 o m's t0rminos. +n ocasiones puede ser por factor com;n coeficiente m.c.d.! & literal el ue conten,a el eponente menor! oambos.+*emplo:1.- 2 2 L 43 +n este e*emplo el mcd de 2 " 4 es el 2 " el factor com;n literal es coneponentes 2 " 3& entonces se toma el menor: es decir& 22 22 L 43 M 22 1 L 2!

2.- 5 a2 O 16 a L 26 a4 M 5 a a O 2 L 4 a3!

3.- m2 L 4m3 L Nm4 M m2 1 L 4m L Nm2 !

4.- 12 3 L 244 L 2 M

5.- a2 L a3 L a4 L a5

.- 4 a23 L Na L 12 a24 M

S;6A /: 8FE7ENC8A E C;:S PE7FEC&:S1

?na suma o diferencia de cubos perfectos es auella si " solo s:1.- +s un binomio separado de sus t0rminos por el si,no L suma! o Odiferencia!.2.- (ienen ambos miembros del binomio raz c;bica eacta.Su factorización ,enera 2 binomios:S?#: suma de las races c;bicas!el cuadrado de la primera raz O elproducto de las races L el cuadrado de la se,unda raz!R+S(: resta de las races c;bicas!el cuadrado de la primera raz L el

producto de las races L el cuadrado de la se,unda raz!Ing. Roberto Cuellar Alcalá 13




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+J+#P: ! ND3 L 2"3 las races c;bicas son 2& 3" " por ser suma:N3 L 2"3 M 2 L 3"! 42 O " L "2!

C! 125 a

O b3

M 5 a2

O b! 25 a4

L 5 a2

b L b2

!

8! b3 O 125 a M

$! 12 z12 O 1666 " M

+! a3 L b3 M

F! 4 3 L 1M

)! 2m15 L 21 n M

! 3 O N M

7A8CA9ES

?n radical es toda raz indicada. Sabemos ue al obtener una raz de cualuier n;mero& 0sta tiene 4 elementos: Apodras escribirlosB!

Ing. Roberto Cuellar Alcalá

= 2

14




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7A8CA9ES SE6EIAN&ES?n radical es seme*ante a otro si ambos tienen el mismo radicando " el mismondice& as pues:

2 " 5 son seme*antes

" O 2 son seme*antes

" O 3 no son seme*antes

S86P98F8CAC8:N E 7A8CA9ES SE6EIAN&ESPara simplificar radicales seme*antes& solamente se suman al,ebraicamente

los coeficientes " delante de ellos se coloca el radical seme*ante& e*emplo:

1.- L 4 M 1L4! M 5

2.- 3 O 16 L M 3 O 16 L 1! M O

3.- 12 O 5 L 2 M

4.- 5 L 3 O 4 M

5.- 5 L 3 O 12 M

&E:78A E 9:S EBP:NEN&ESEBP:NEN&E CE7:. (oda epresión ele%ada a la cero es i,ual a 1. APor u0B Porue de acuerdo al criterio de los eponentes en cualuier di%isión& eleponente del numerador resta al eponente del denominador:





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D2

---------M D2- 2 M D6 M 1D2

EBP:NEN&E NEGA&8V:8uando un eponente es ne,ati%o " deseamos @acerlo positi%o& entonces

solamente se cambia la epresión ue lo contiene al denominador si esta en elnumerador " al numerador en caso de estar en el denominador.

+*emplo:-1I2 M 1I1I2

"-1 3

---------- M --------3 "

Si la epresión tiene coeficientes " estos est'n con eponente positi%oentonces no se cambian.

44-3 M -------- 3

EBP:NEN&E F7ACC8:NA78:

(+R+#: M anIm

1.- el ndice m es 2 " el eponente n es 1& entonces:

M 1I2

2.- M b2I3

+n los 2 e*ercicios anteriores& el eponente n es menor ue el ndice m. ATu0

ocurre cuando m es ma"or ue nBPues ue se puede simplificar a una epresión entera " una fraccionaria.+*emplo:

1.- M 5I2 donde 5 es ma"or ue 2 " al di%idir 5 entre 2 M 2 enteros " U

M 2 1I2 & aplicando el teorema: M 2





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2.- M NI3 M 2 2I3 M 2

3.-

4.-

5.-

.-

VA9:7 N;6E78C: E 7A8CA9ES plicando el teorema anterior& es posible encontrar el %alor num0rico deepresiones aritm0ticas ele%adas a eponentes fraccionarios.+*emplo:

1.- 13I2 M 11 11I2 M 1 M 14! M 4

1 1 1 12.- 4-3I2 M ---------M ----------- M ------------ M ---------------

43I2 4 4! 343

3.- 32I243! -1I5 M M

Para encontrar la raz uinta es necesario descomponer en factores primos elradicando:

32 M 22222 M 25

243 M 333333 M 35





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1I M M M aplicando Gle" de la tortillaH

M

+J+R8/8/S:

1.- M

2.-

3.-

4.-





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5.- 5I2 2-1I3

.- 243-1I5 12N3I

6;9&8P98CAC8:N C:N 7A8CA9ES E9 68S6: 8N8CE.

(+R+#: por M si @a" coeficientes fuera de losradicales tambi0n se multiplican+*emplo:

5 4 M 54! M 26

2 M 2! M 12

Racionalizar una epresión numerador o denominador! si,nifica con%ertirla aracionalizar uitando radicales " ue la epresión sea eui%alente. asepresiones pueden ser monomios o polinomios.+*emplo: racionalizar el denominador de:

#ultiplicamos toda la epresión por el denominador

M si notas& el eponente se elimina con el radical

M

EBP7ES8:NES C:NI;GAAS+n el tema de productos notables& 2 binomios eran con*u,ados si tenan losmismos elementos " uno de ellos si,no diferente. Para racionalizar elnumerador o denominador se aplica el mismo teorema.

+*emplo:

Racionalizar el denominador se multiplica toda la epresión por eldenominador cambiando el si,no del binomio para @acerla con*u,adaIng. Roberto Cuellar Alcalá 19




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M M M

8omo todos los coeficientes tienen mitad M

+J+R8/8/S& R8/7/QR + $+7#/7$R:

1.-

2.-

3.-





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4.-

EC;AC8:NES

?na ecuación es una i,ualdad. +n una ecuación se utilizan las ;ltimas letrasdel alfabeto r-z! para representar a los %alores desconocidos llamadosincó,nitas. os %alores ue satisfacen una ecuación se llaman races osoluciones de la ecuación.+l eponente m'imo de una incó,nita el ,rado de la ecuación& as pues& si elma"or es 1& entonces es de ,rado 1& si es 2& el ,rado es 2 o cuadr'tica& etc. $ei,ual forma& el ,rado determina las races o soluciones& de primer ,rado tieneuna solución& de se,undo 2& etc. $e la misma forma& el n;mero de incó,nitasdetermina el n;mero de ellas:

DL 2< M N $e primer ,rado con 2 incó,nitasD2 L L16 $e se,undo ,rado con una incó,nitaD3 L 2" L 5z2 $e tercer ,rado con 3 incó,nitas

EC;AC8:NES E P786E7 G7A: C:N ;NA 8NC@GN8&A

(oda ecuación consta de 2 t0rminos:2 L N M O 1

Primer miembro se,undo miembro

Para la resolución de ecuaciones de primer ,rado& se pasan todas lasincó,nitas a la izuierda " los %alores conocidos a la derec@a& se reducen losseme*antes " se encuentra el %alor de la incó,nita. +*emplo:

2 L N M O 12 O M O 1 O N

M O la comprobación es sencilla& sustitu"endo el %alor encontrado en la ecuación:

2 L N M O 12O ! L N M O O 1

O 1N L N M O16 O 16 M O16





Educación


R+SE+R S S/)?/+7(+S +8?8/7+S1.- 5D M ND O 15

2.- N O 4L 3 M L L 14

3.- O 2 L 1! M N O 3L3!

4.- 15 O 16 M O L2!LO L 3!

EC;AC8:NES C;A7A&8CAS

Pueden ser de 2 tipos:a! 8ompletas de la forma: a2 Lb L cb! /ncompletas& con 2 formas: a2 L b M 6 " a2 L c M 6

S:9;C8:N E EC;AC8:NES E 9A F:76A a(% >( Q $

1.- Se factoriza la ecuación por su factor com;n2.- Siempre 1 M 6 " para encontrar 2 se i,uala el factor encontrado

+*emplo: 2 L 4 M 6 D L 4! M 6 donde 1 M 6 " 2 se @alla as: D L 4 M 6 despe*ando MO 4 entonces 2 M O 4

S:9;C8:N E EC;AC8:NES E 9A F:76A a(% c Q $

1.- Se despe*a c si es necesario!2.- Se despe*a si es necesario! " se etrae la raz cuadrada a ambosmiembros.3.- Si c en el despe*e es ne,ati%o entonces las races son ima,inarias. Si sonpositi%as las races son reales e i,uales.

+*emplo:2 O 1 M 62 M 1 etraemos la raz a ambos miembros1 M 2 M LI- 1

42 O 1 M 642 M 1 despe*ando 2 M 1I42 M 4 etraemos raz

1 M 2 M LI- 4Ing. Roberto Cuellar Alcalá 22




Educación


S:9;C8:N E EC;AC8:NES C:6P9E&ASPara la solución de ecuaciones completas eisten 2 formas:

1.- Por factorización2.- Por formula ,eneral

6E&:: E FAC&:78OAC8:N

Recordando el tema factorización& la solución se centra en ese proceso&e*emplo: resol%er 2 L 13 L 46Factorizando: 2 L 13 L 46 M LN! L 5! M 6 D L N M 6 " L 5 M 6

D1 M O N " 2 M O 5

P:7 F:76;9A GENE7A9+n la fórmula ,eneral se indican " se emplean los coeficientes de la ecuación&siendo la fórmula ,eneral la si,uiente:

DM

+*emplo: 32 O 5 L 2 M 6a M 3 b M O 5 c M 2

M M

de au se desprenden las 2 races:

1 M 2 M

a comprobación se de*a al alumno.

R+SE+R S S/)?/+7(+S +8?8/7+S:

1.- 42 L 3 O 22 M 6





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2.- 2 O L 16 M 6

3.- 2 MO 15 O 5

4.- 42 L N M 6

5.- 2 - 3 M 6

F;NC8:NES

+l t0rmino función es de suma importancia en el estudio del c'lculo. ntes de definir u0 es una función %eamos lo si,uiente:

)uadala*ara 8@iapas

(epic 8oa@uila

(utla )uti0rrez )uerreroSaltillo #ic@oac'n

#orelia Jalisco

8@ilpancin,o 7a"arit

Relaciona las 2 columnas " escribe los pares ordenados:





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Sres. Saenzpardo 7anc" /ssa

#ois0s Ramrez

Sres. /ssa /lse Saenzpardo

Sres. )arca Jairo Ramrez

Sres. Ramrez )iselle Saenzpardo

#ónica /ssa

Sres. #artnez $enisse )arca

Jes; #artnez

Relaciona las 2 columnas " escribe los pares ordenados.

1.- ATu0 obser%as al relacionar las 2 listasB

2.- ASe repite el primer elemento en al,una de ellasB

+l concepto de función sur,e de relacionar ,rupos ue tienen al,o en com;n.a primera relación se da entre estados " su capital " la se,unda es unarelación entre padres de familia " alumnos de preparatoria cursando al,;nsemestre de preparatoria.+isten muc@as relaciones: alumno-calificación padres-n;mero de @i*ospersonas-profesiones deporte-n;mero de *u,adores& etc.Sin embar,o no todas las relaciones son funciones. ?na F;NC8:N ES ;NA7E9AC8:N :NE N: SE 7EP8&E E9 P786E7 E9E6EN&: E 9:SPA7ES :7ENA:S. s pues& la primera relación del e*emplo es unafunción " la se,unda no lo es& dado ue se repite el primer elemento al menosuna ocasión.

os pares ordenados se representan ,eneralmente as: &"! " se ,rafican en elplano cartesiano& donde los %alores de se llaman abscisas e*e de lasabscisas! " los %alores de " se llaman ordenadas e*e de las ordenadas!. lC:NI;N&: E VA9:7ES E B SE 9E 99A6A :68N8: A9 C:NI;N&:E VA9:7ES E SE 9E 99A6A C:N&7A:68N8:, 7ANG: : 86AGEN.

@ora bien& para ue se ,enere una relación de pares ordenados& entoncesdebe eistir ue situación la ,eneró. 8ontesta esto:1.- A8u'nto pa,as de luz en tu casa a la 8F+B





Educación


2.- ASi compras tela para @acer una prenda de %estir& cu'nto pa,as por ellaB

3.- ATu0 necesitas para obtener 16 en c'lculo diferencialB

4.- ATu0 necesitas para obtener una buena cosec@a de tomates si losplantaste pre%iamente en una parcelaB

5.- ATu0 necesitas para lle,ar a tiempo a la escuelaB

Si te fi*as& las 2 primeras cuestiones se contestan con una sola situación decambio& sin embar,o& las 3 ;ltimas& puedes enumerar cualuier cantidad desituaciones para contestar la pre,unta.A ES&AS S8&;AC8:NES E CA68:, EN C9C;9: SE 9E 99A6AVA78A9E. +n la pre,unta 1& el costo V!& depende del consumo de WiloXatt-@ora& en la se,unda depende del n;mero de metros ue compre. +n las 3;ltimas pre,untas& las %ariables son muc@as " la pre,unta se contesta conmuc@os Gdepende deH.Si te fi*as la palabra GdependeH es la cla%e en el entendimiento de una función.+ntonces a@ora podemos afirmar lo si,uiente:?C;AN: ;NA VA78A9E EPENE E9 C:6P:7&A68EN&: E :&7A,SE 8CE <;E 9A SEG;NA ES&A EN F;NC8:N E 9A P786E7A. A 9A<;E ?EPENE SE 9E 99A6A VA78A9E EPEN8EN&E 9A <;EE&E768NA 9A 7E9AC8:N SE 9E 99A6A VA78A9E 8NEPEN8EN&E.

as %ariables se representan con las ;ltimas letras del alfabeto r O z ! "al,unos autores emplean al,unas del alfabeto ,rie,o: φ θ&Y& Z& entre otras.as constantes se representan de 2 ,ormas:1.- 8on las primeras letras del alfabeto: a&b&c&d " al,unos autores consideranconstantes @asta la letra n.

2.- 8on cualuier n;mero real o la combinación de n;meros reales " lasprimeras letras del alfabeto: 2& 3& U &[ & 3b& 5 a& etc.

N:&AC8:N E F;NC8:NES

a notación de una función ,eneralmente es la letra f " entre par0ntesis unaepresión:f ! " se lee Gefe de euisH, r! " se lee G,e de erreH@t! " se lee G@ac@e de teH





Educación


a ma"or parte de los autores de tetos sólo consideran a e " en lose*ercicios sin ue esto ten,a ue ser eclusi%o. Por e*emplo:$ada la función:" M 2 L 5 " es la %ariable independiente& la es la independientes " el 2 "

el 5 son constantes.

Si deseo obtener f1!&entonces sólo bastar' con sustituir en la el n;mero 1:f1! M 21!L5 M 2 L 5 M Si uiero obtener el %alor de la función cuando la %ariable independiente %ale3:f3! M 2 3! L 5 M L 5 M 11

ES&: S8GN8F8CA <;E 9A VA78A9E ES 9A VA78A9E EPEN8EN&E :F;NC8@N.




FUNCIONES

ALGEBRAICAS TRASCENDENTES

LOGARITMICAS

y = log 2x

y = ln 3x

TRIGONOMETRICAS INVERSAS

y = arcsn 2x

y = arccos x

TRIGONOMETRICAS

y = sn 2x

y = cos 3x

y = !ang x

E"#ONENCIALES

y = 2x $ %

y = x

#OLINOMIALES&

%'( L)nal

y = 3x $ *

2'( c+a,r-!)ca

y = x2 $ .

3'( c/0)ca

y = x3 $ 2x2 1 *


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C9AS8F8CAC8:N E F;NC8:NES





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8N&E7VA9:S E ;NA VA78A9E

+s cuando una %ariable toma %alores ue est'n comprendidos entre 2 de ellosue se denominan etremos del inter%alo. Sean a " b los etremos inferior "superior& respecti%amente& de un inter%alo& la %ariable puede tomar cualuiera

de los %alores ue est0n comprendidos entre a " b lo anterior se llamaamplitud del inter%alo& siendo a \ b& resultando b O a. a notación de uninter%alo puede ser a&b! a&b] ^a& b] o combinación de ellos. +l par0ntesissi,nifica ue esta GabiertoH " el corc@ete si,nifica ue el inter%alo esta GcerradoH.+*emplo: el inter%alo ^5& 2! se representa:

O 5 ≤ \ 2

:68N8: C:N&7A:68N8: )7ANG: : 86AGEN- E F;NC8:NES

+ncontrar el dominio o contradominio de una función si,nifica encontrar al

con*unto de n;meros reales contenidos en un inter%alo.Recuerda ue los n;meros reales son todos auellos ue podemos representar en la recta num0rica " su inter%alo es desde O ∞ @asta L ∞. os n;merosirreales o ima,inarios son las races pares de n;meros ne,ati%os " serepresentan con la letra i.$e este concepto entonces:

M 3i

M 2i

+*emplo 1: encuentra el dominio " contradominio de la si,uiente función:

" M 5 L 8omo puedes %er& para cualuier %alor de le corresponde un %alor de "& por loue:$f - ∞ & L ∞ !8f - ∞ & L ∞ !

+J+#P 2:

" M$ando %alores a la %ariable independiente:

$#/7/ D 6 1 2 3 4 5 -1 -2 -387(R$#/7/ < i i i i i 6 1 1.4

1i i i

Para %alores de ∠ 5 la función no esta definida para los n;meros reales& por lo ue:Ing. Roberto Cuellar Alcalá




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$f ^5& L∞ !Rf ^6& L∞ !

+*emplo 3:

" M+n esta función @a" un cociente& por lo ue el denominador tiene ue ser unaepresión diferente de 6& dado ue la di%isión entre cero es infinito. ASabesporu0B+s decir& la di%isión entre cero ueda ecluida en nuestro curso. Supon,amosue a M b. bser%a:

a M bab M a2

ab O b2 M a2 O b 2

ba O b! M a L b! a O b!b M aL b

a M bb M 2b1 M2

A$ónde est' el errorB

Cien& %emos ue el denominador es un trinomio de la forma 2 L b L c.resol%iendo la ecuación por el m0todo de factorización!

D2 L 3 L 2 M 6 L2! L 1! M 6& por lo ue 1 M O 2 2 M O 1

@ora bien& el numerador puede ser cero& dado ue cero entre cualuier cantidad es cero.+ntonces:$f !Rf !

EIE7C8C8:S1+78?+7(R + $#/7/ < 87(R$#/7/ $+ S S/)?/+7(+SF?78/7+S:

1.- f! M





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2.- f! M

3.- f! M

4.- f! M





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5.- f! M 2 L 1

EVA9;AC8:N E F;NC8:NES

+%aluar funciones si,nifica encontrar el %alor ue toma la función cuando la%ariable independiente tiene un %alor o epresión definida. s pues& dada lafunción:

" M 2 L 2 O Nallar:

a! f O 1 !b! f1!c! f 6!d! f U !

S?8/7:a! f O 1! M O 1!2 L 2O 1! O N M 1 O 2 O N M O b! f 1! M 1!2 L 2 1! O N M 1 L 2 O N M O 5c! f6! M 6!2 L 26! O N M 6L6 O N M O Nd! f 1I2! M 1I2!2 L 21I2! O N M _ L 1 O N M O [

+n caso de ue el e*ercicio solicite una demostración& si,nifica ue me est'ndando el resultado " sólo tendr0 ue encontrar la i,ualdad.+*emplo:

$ado f! M 3 O 52 O 4 L 26 & demostrar:a! f 1! M 12f ! M 13 O 5 1!2 O 41! L 26 M 1 O 5 O 4 L 26 M O L 21 M 12 .T.T.$.

b ! f6! M O 2 f3! primero encontramos f6!. ue,o f3! " el resultado lomultiplicamos por O 2f6! M 63 O 56!2 O 46! L 26 M 6 O 6 O 6 L 26 M 26f3! M 33 O 5 3!2 O 4 3! L 26 M 2 O 45 O 12 L 26 M 4 O 5 M O 16ue,o:

f6! M O 2 3!26 MO 2 O 16!26 M 26 .T.T.$.

EIE7C8C8:S1





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1.- $$ f! M 3 L 5 L 3allar:a! f O 1!

b! f 2 !

c! f 1I3!

d! f L 1!

e! f O 2!

2.- $$ f! M 3 O 52 O 4 L 26$+#S(RR:

a! f! M 5 f O 1!

b! f5! M 6

c! f L1! M 3 O 22 O 11 L 12





Educación

3.- $$ f! M 4 & demostrar ue f L 1! O f ! M 3 f!

4.- $$ f! M demostrar ue f L @! O f ! M O-

5.- $$ f! M 32 O 2 L 5 demostrar:

a! f-2I3 ! M 2I3





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b! f ! M 11 O 2

c! f L @! M 32 O 2 L 5 L2@ 3 O 1 ! L 3@2

$$ f! M 3 O 2 O L 42 $+#S(RR:

a! f1! M 36

b! f! M 6

c! f6! M -I2 f3!

d! 3 f O 1! M O 4 f!

e! f! M 5 f1!

f! fzL2! M z3 O z 2 O 22 z L 16

$$: f! M sen θ L cos 2θ R:a! f πI4 !Mb! fπ I3! Mc! fπ! Md! f2π! M





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EIE7C8C8:S E 7EPAS: ;N8AES 8 88&7AAI: PA7A EN&7EGA7 E9 8A E9 E7. EBA6EN PA7C8A9

1.- +scribe el dominio " el contradominio de la si,uiente relación de paresordenados:1&2! 2&4! 3&! 4&N! 5&16!

2.- #enciona ue es una función

3.- ATu0 nombres reciben las %ariables en una funciónB

4.- #enciona como se representan las %ariables en una función " escribe 3e*emplos.

5.- #enciona como se representa una constante en una función " escribe 3e*emplos

.- os fundadores del c'lculo diferencial fueron >>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>> " >>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>.

.- +scribe los conceptos ue estableció 7icol's resme en el estudio de losm'imos " mnimos.

N.- +plica como se le conoce al c'lculo diferencial.





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.- +scribe los razonamientos de /saac CarroX sobre el m0todo de las fluiones

16.- #enciona ue aportó ouis 8auc@" al c'lculo diferencial.

11.- 8ita la aportación de Pierre Fermat al c'lculo diferencial

12.- +scribe como sur,e @istóricamente el c'lculo diferencial.

13.- #enciona ue es un inter%alo en una función " escribe sus formas posibles

+ncuentra el dominio " el ran,o de las si,uientes funciones

1.- " M

2.- " M





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+E? S S/)?/+7(+S F?78/7+S

1.- $$ f! M 3 L 22 O N O 1R:

a! f O 1! M

b! f1I2! M

c! f6!

d! f O 3! M

e! f L@! M





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f! f !

2.- $$ f! M 16 L 12 O 32 O 23

$+#S(RR T?+:

a! f1! M 1

b! f3! M O 35

c! 2f1I2 ! M 5 f2!

d! f L 1! M - 2 3 O 2 L 1

e! f O 1! M O 3

f! f- 2! M - 1 f6!Ing. Roberto Cuellar Alcalá




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E 9AS S8G;8EN&ES F;NC8:NES, ESC78E A <;E &8P: E F;NC8:NPE7&ENECE.

" M 2 L 1

" M ln 2

" M lo, O 1!

" M sen 2

" M 33 L 22 O 1

" M arc cos 2

" M cos 3

EVA9;A 9A S8G;8EN&E F;NC8:N A99AN: 9: <;E SE &E P8E.

$$ f! Mallar:

a! f I2!

b!





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ANA98S8S G7AF8C: E F;NC8:NES

$e acuerdo a la clasificación de funciones pa,ina 25!& cada una de ellas sepuede ,raficar " determinar sus caractersticas as como los inter%alos en losue se @allan n;meros reales. )eneralmente para construir una ,rafica de unafunción se emplea el sistema de coordenadas rectan,ulares los %alores deldominio se ubican en el e*e @orizontal e*e o abscisas! " los %alores del

contradominio& ran,o o ima,en en el e*e %ertical e*e de las " u ordenadas!.

F;NC8:N 98NEA9.$ado " M 2 L 1)rafica la función dando %alores al dominio en el inter%alo desde O 3 @asta L3.

8R8(+R/S(/8S $+ ?7 F?78/7 /7+.





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F;NC8:N C;A7A&8CA

$ado: " M 2 O 4 " M O 22 L1)RF/8 #CS F?78/7+S 87 /7(+RES $+S$+ O 3 S( L3

8R8(+R/S(/8S $+ ?7 F?78/7 8?$R(/8





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F;NC8:N C;8CA

$ado " M 23 L 32 O 12 L 1

)rafica la función dando %alores al dominio en el inter%alo desde O 3 @asta L3.

8R8(+R/S(/8S $+ ?7 F?78/7 8?C/8





Educación

F;NC8:N EBP:NENC8A9

$ado " M 2 )rafica la función dando %alores al dominio en el inter%alo desde O 3 @asta L3.

8R8(+R/S(/8S $+ ?7 F?78/7 +DP7+78/





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F;NC8:N 9:GA78&68CA)R/(#.- +l lo,aritmo de un n;mero es el eponente al ue ele%ar unabase para encontrar dic@o n;mero.a base de un lo,aritmo puede ser cualuier n;mero& sin embar,o& las basesm's utilizadas son 2:1.- Case e +uler!& descubierta por J@on 7eper " cu"o numero e es un limite deuna función eponencial " %ale 2.1N2N`son llamados lo,aritmos naturales.

2.- Case 16& tambi0n llamada decimal & %ul,ar o de Cri,,s descubierta por J@onCri,,s asesorado por 7eper.+n las calculadoras cientficas el calculo de los lo,aritmos es mu" sencillo& latecla ) pertenece al decimal o de Cri,ss " la tecla 7 pertenece al natural oneperiano.+*emplo:o, 16 M 1 porue 161 M 16o, 166 M 2 porue 162 M 166o, 1666 M 3 porue 163 M 1666

o, 12N M porue 16 M

n 235 M porue 2.1N2N M

Si te fi*as los lo,aritmos tienen 2 partes& una entera llamada caracterstica "otra decimal llamada mantisa. a caracterstica se obtiene restando 1 aln;mero de d,itos enteros " las decimales en tablas matem'ticas. Sin embar,oeste m0todo esta en desuso al estar incluidas en las calculadoras cientficas.

P7:P8EAES E 9:S 9:GA78&6:S

)R/(# $+ ?7 PR$?8( M a la suma de los lo,aritmos de losfactoreso, ab M lo, a L lo, b

)R/(# $+ ?7 88/+7(+ M a la diferencia del lo,aritmo del di%idendomenos e di%isor.o, aIb M lo, a O lo, b

)R/(# $+ ?7 P(+78/ M al producto del eponente por el lo,aritmode la base

o, an

M n lo, a





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)R/(# $+ ?7 R/Q M al cociente del lo,aritmo del radicando entre elndice de la raz.

o, M

PR $+F/7/8/7: o, 1 M 6 166 M 1!

R+/Q S S/)?/+7(+S +J+R8/8/S 87 S PRP/+$$+S $+ S)R/(#S

1.- 325 23 M

2.- 424 +7(R+ 24

3.- 32 M

4.-

5.- 345 2N M

.- 1234 +7(R+ 16





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.- 24 3 M

N.-

)RF/8 $+ ?7 F?78/7 )R(/#/8

" M o, )rafica la función dando %alores al dominio en el inter%alo desde O 3 @asta L3.

8R8(+R/S(/8S $+ ?7 F?78/7 )R/(#/8





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F;NC8:NES &78G:N:6E&78CAS+n este curso estudiaremos las ,raficas de las funciones:

a! Senob! 8osenoc! (an,ente

+l %alor num0rico de la letra ,rie,a es un %alor redondeado de 3.141& sinembar,o el %alor an,ular es de 1N6& por lo ue 2 M 36& I2 M 6& I4 M45& etc. 8on la a"uda de tu calculadora cientfica obtener los %alores del contradominio " ,raficar. a obtención de estos %alores debe estar en $+) $! en lapantalla de la calculadora.

)RF/8 $+ F?78/7 S+7

8R8(+R/S(/8S $+ F?78/7 S+7

F?78/7+S 8S+7





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8R8(+R/S(/8S $+ F?78/7 8S+7

F?78/7 (7)+7(+

8R8(+R/S(/8S $+ F?78/7 (7)+7(+





Educación

;N8A 8889868&ES

emos escuc@ado frecuentemente la palabra lmite en nuestro l0ico cotidiano&por e*emplo:

1.-

2.-

3.-

4.-

+n matem'ticas " especficamente en c'lculo& el /#/(+ $+ ?7 ER/C+se comprende r'pidamente en ,eometra con el si,uiente e*emplo:APodras trazar un cuadrado en un crculoBAue,o un pent',onoBA@ora un @e',onoBASe puede un icos',onoBSi te fi*as el n;mero de lados n de la fi,ura trazada en el crculo GtiendeH a lacircunferencia.+n una ca*a ue contiene @ue%o o pa=ales por e*emplo& se puede leer: Gnoestibar mas de 5 ca*asH& Aporu0B Porue el empaue tiene como GlmiteH esen;mero de ca*as. ATu0 ocurre si se coloca una o m's ca*as de las indicadasB$efiniti%amente ue las ca*as ecedentes podran sin duda aplastar a las de

aba*o.Entonces un límite en cálculo es un to4e a cota a la que la aria>le tiendedada una 2unción es4ecí2ica. Entonces 4odemos de2inir lo si!uiente1 ?una2unción no 4uede tender a % límites, si el límite de una 2unción e(iste, 5stees Rnico.#atem'ticamente:im f! M 6

Se lee1 ?el límite de 2)(- cuando ( tiende a ($, es 9

+J+#P:





Educación

$ado f! M

D 2

Sustitu"endo el 2 en lu,ar de & nos ueda:

M M

o ue nos representa una indeterminación.?tilizando una calculadora obtener los %alores ue faltan.

D 1.5 1. 1. 1. 1. A B 2.661 2.1 2.3 2.5

F!

1.- Aacia donde tiende el lmite cuando la %ariable tiende a 2B

2.- Aa" al,;n m0todo mas sencillo en lu,ar de obtener losa %alores deldominio " contradominio por izuierda o por derec@aB AsiB AnoBEeamos el resultado de la pre,unta 12 " analicemos la función en elnumerador: 3 O NAo podemos factorizarBA8u'l sera el resultado de la factorizaciónB

9868&ES PA7&8C;9A7ES

+n el concepto de lmite determinamos ue si eiste un n;mero real cuando la%ariable independiente tiende a un lmite& entonces el lmite eiste " es real. Sinembar,o& en ocasiones el %alor es indeterminado 6I6!& tiende a infinito o





Educación

simplemente a cero. os si,uientes lmites son una ,ua para el desarrollo deeste tema " su comprensión.1.-

im es decir:% 6

2.-

lim c%% ∞ es decir c ∞ M ∞

3.-

lim es decir% ∞

4.-

lim es decir

% ∞

+J+#PS $+ #/(+S

R+J+#P 1im 2 L 2 O 1 2

lim M 22 L 22! O 1 M 4 L 4 O 1 M N O 1 M

+J+#P 2

M indeterminación!.

2





Educación

Recuerda ue las indeterminaciones son resultados no %'lidos por lo ue @a"ue encontrar una solución& en este caso factorizar:

im O 5 M 2 O 5 M O 3

+J+#P 3:

im M

O 2

/#/(+S /7F/7/(8uando el lmite tiende al infinito& una forma de resol%er el e*ercicio es di%idir toda la epresión entre la %ariable ue ten,a el eponente ma"or:

im M ∞

+J+R8/8/S

1.- im 1





Educación

2.- lim

∞

3.- lim

3

4.- lim 2

5.- lim

6

.- lim





Educación

-2

.- lim

3

N.- lim

O 5

.- lim

O 4

16.- lim

O 1





Educación

11.- lim

1

12.- lim

O 1

13.- lim

5

14.- lim

O 5

15.- lim

2





Educación

1.- lim

6

1.- lim

6

1N.- lim 4





Educación

1.- lim 6

26.- lim

5

21.- lim

3

22.- lim

1





Educación

23.- lim

1

24.- lim

2

25.- lim

O 2

E78VAC8:N E F;NC8:NES

+n este captulo %amos a in%esti,ar como %ara el %alor de una función al %ariar el %alor de la %ariable independiente. +l problema fundamental del c'lculodiferencial es el de establecer con toda precisión una medida de esta %ariación.

a in%esti,ación de problemas de esta ndole& problemas ue trataban dema,nitudes ue %ariaban de una manera continua& lle%ó a 7eXton alIng. Roberto Cuellar Alcalá




Educación

descubrimiento de los principios fundamentales del c'lculo infinitesimal& elinstrumento cientfico m's poderoso del matem'tico moderno./78R+#+7(S.- +l incremento de una %ariable ue pasa de un %alor num0rico a otro es la diferencia ue se obtiene restando el %alor inicial del %alor final& por e*emplo& en Fsica la diferencia de temperaturas (2 O (1!. +l

incremento de se representa por el smbolo & ue se lee& Gdelta euisH. +se%idente ue un incremento puede ser positi%o o ne,ati%o& se,;n la %ariableaumente o disminu"a el %alor. simismo. +l incremento de cualuier %ariablees:

" si,nifica incremento de "

t si,nifica incremento de t

z si,nifica incremento de z+isten %arias aplicaciones sobre el conocimiento de Grazón de cambioH& por e*emplo: los ndices de reprobación en matem'ticas& la tasa de deserciónescolar& los costos de producción& la fuerza de los %ientos @uracanados& elcrecimiento de microor,anismos en una %acuna& etc.

as razones de cambio se refieren por lo ,eneral a cambios con respecto altiempo& pero se puede buscar la razón de cambio respecto de cualuier %ariable relacionada. +*emplo:Se dispara un pro"ectil cu"a tra"ectoria se describe con la función

" M O 6.65 2

L2)rafica la función dando %alores de 5 en 5 @asta 46 iniciando en 6 al dominio

8onsidera cuando M 5& entonces la altura " M >>>>>> . si a@ora M 15entonces la altura " M >>>>>>>>.





Educación

+l cociente de incrementos de " al pasar de M16 a M26

878?S/7.- Por lo ,eneral se puede calcular el cociente de incrementos

de G"H con respecto a GH en un inter%alo mediante la si,uiente re,la:

8ociente de incrementos

Si nos interesa la razón de cambio GeactoH de G"H para %alores particulares de& por e*emplo cuando M5 A8u'l es la razón de crecimiento de G"H para cadaunidad de incremento en Ba razón de cambio de G"H con un %alor concreto de GH& se denomina GRQ7$+ 8#C/ /7S(7(7+H de G"H con respecto a GH la cual se calcula

8/+7$

DDL

5 15 6.15 6.615 6.6615 6.6661

$e la tabla anterior se obser%a ue el cociente de incrementos se aproima a

1.5 cuando 6+l an'lisis anterior da lu,ar a la si,uiente definición:

6

+ntonces esta ecuación anterior es la interpretación fundamental de la deri%ada

Gcomo una razón de cambio instant'neo de una %ariable con respecto a otraH.





Educación

Para encontrar si una función es deri%able& es decir& si el lmite del cociente delos incrementos eiste& sera mu" tardado " complicado @acer el an'lisis tanto,rafico como tabular& tal como lo @icimos en el e*emplo anterior& por lo ueeisten 2 formas de encontrar la deri%ada de funciones:

1.- Por incrementos o fórmula ,eneral2.- Por medio de fórmulas establecidas formulario!.

EF8N8C8:N E E78VAA. ?a deri%ada de una función en una %ariable esel lmite del cociente del incremento de la función entre el incremento de la%ariable independiente cuando 0sta tiende a ceroH.

S8GN8F8CA: GE:6E&78C: E 9A E78VAA

:IE&8V:

. 8omprender el si,nificado ,eom0trico del conce4to de deriada en un4unto.

2. btener las pendientes a las rectas tan,entes a una cur%a en un punto.3. plicar el concepto de F;NC8:N E78VAA a la obtención de la

87ECC8:N de una cur%a.

8N&7:;CC8:N

1.- +n una recta corresponde al %alor de la pendiente de larecta& es decir& m es la tan,ente tri,onom0trica del 'n,ulo de inclinación.

2.- +n consecuencia& en el caso de una recta es la pendiente.

+s decir m permite determinar la 87ECC8:N de la recta.

3.- 8onsiderando lo anterior& podemos afirmar ue es lapendiente de la recta secante ue corta a la cur%a y=f(x) en los puntos x,f(x))

"





Educación

4.- 8omo es un %alor ue tiende a & as tambi0n el punto x ,f(x)) tiende a

. $e esta forma GE:6E&78CA6EN&E las secantes se %an G

transformandoH en la &ANGEN&E a la cur%a en el punto .

5.- +n consecuencia& es la pendiente de la 7EC&A &ANGEN&E a

la cur%a y = f(x) en el punto cuando tiende a . tiende a 6 !.

.- ue,o el & o sea la E78VAA de una función en

un punto & es la PEN8EN&E de la recta &ANGEN&E a la cur%a en el

punto .

.- a recta &ANGEN&E a una cur%a en un punto& determina la 87ECC8:Nde la cur%a en ese punto. Podemos concluir entonces ue la 87ECC8:N E;NA C;7VA est' definida por las di%ersas direcciones ue tienen las infinitastan,entes en cada punto.

N.- Para EF8N87 6A&E6A&8CA6EN&E en un solo concepto la 87ECC8:Nde una cur%a& se @ace necesario GENE7A98OA7 el concepto anterior.

.- s el concepto al transformarse en

representa a@ora 9A PEN8EN&E E ;NA

7EC&A &ANGEN&E a la cur%a en cualuier punto de ella.

16.- Finalmente podemos decir uerepresenta la 87ECC8:N E 9A C;7VA y = f(x) en todos sus puntos.

?no de los problemas @istóricos ue dieron ori,en al c'lculo infinitesimal es mu"anti,uo& data del ,ran cientfico ,rie,o rumedes 2N O 212 a.8.! es el llamado:

4ro>lema de las tan!entes " ue se describe a continuación.$ada una cur%a cu"a ecuación referida al plano cartesiano %iene dada por y = f (x) %er





Educación

fi,ura 1!.

Fi,ura 1Sea P un punto fi*o de la cur%a " sea Q un punto mó%il de la cur%a " próimo a P .

a recta ue pasa por P " Q se denomina: recta secante.

8uando el punto Q se mue%e @acia P sobre la cur%a& adoptando las posicionessucesi%as: Q1, Q2 , Q3, ..., Qn, ...& entonces& la posición lmite si eiste! de la secante& sedenomina: la recta tan!ente a la cura en .

@ora& si las coordenadas de los puntos P " Q son respecti%amente:

& Eer fi,ura 2.!& entonces& la pendiente de la recta secante &

denotada por %iene dada por:

Fi,ura 2.+n consecuencia& la recta tan,ente a la cur%a en P si no es %ertical!& es la recta cu"a

pendiente %iene dada por:

$e esta forma& la ecuación de la recta tan,ente a la cur%a en es:





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Punto O Pendiente!

8nter4retación Física e 9a eriada

Velocidad 4romedia ' elocidad instantánea Si se conduce un %e@culo de una ciudad a otra C& separadas entre si 166m.& en un tiempo de 2 @oras& la elocidad 4romedio es de 56 m.I@. +sto es&la %elocidad promedio es la distancia entre las ciudades& di%idida entre eltiempo empleado.

Pero& durante el %ia*e& el %elocmetro con frecuencia marcó lecturas diferentesde 56 m.I@. /nicialmente marco 6 a %eces subió @asta 6 " al final %ol%ió amarcar 6.

Sur,e entonces la si,uiente pre,unta: ATu0 es lo ue en realidad marca el%elocmetroB 7o marca la %elocidad promedio& sino la llamada elocidadinstantánea. Por lo tanto:

$efinición: Sea un punto un punto sobre una recta de coordenada l tal uesu posición al tiempo t est' dada por s/t0& donde s es una función deri%able.

a elocidad /t0 de al tiempo t est' dada por:

Por tanto& la elocidad instantánea v es la derivada de la función de la posición s, es decir, v = ds/dt.

E78VAC8:N E F;NC8:NES P:7 F:76;9A GENE7A9 : E D PAS:S

?na forma de deri%ar funciones es por medio de la re,la de 4 pasos. +s unpoco lar,o " tedioso el proceso " en el momento de ue el alumno aprende aderi%ar por fórmula& este m0todo no les a,rada por los moti%os "a citados.R+) $+ S 4 PSS.

1.- Se sustitu"e por L as como " por " L2.- Se resta la función ori,inal

3.- Se di%ide toda la epresión resultante de la resta entre

4.- 6& es decir se sustitu"en los por 6

+J+#P:

$+R/ER: " M 2 L 3


http://huitoto.udea.edu.co/Matematicas/4.4.html#LINK1

http://huitoto.udea.edu.co/Matematicas/4.4.html#LINK1




Educación

PS 1

" L M L !2 L 3 L !

" L M 2 L 2 L !2 L 3 L 3Paso 2

" L M 2 L 2 L !2 L 3 L 3-" M O 2 O 3

M 2 L 2 L 3

Paso 3

2 L L 3

Paso 4

2 L 6 L 3

2 L 3

$+R/ER S S/)?/+7(+S F?78/7+S PR R+) $+ S 4 PSS

1.- " M N O 5

2.- " M a L b





Educación

3.- " M 2 O 3

4.- " M 23 L 22 O 4 L 1

5.- " M





Educación

.- " M

.- " M

N.- " M





Educación

.- " M

16.- " M

E78VAC8:N P:7 F:76;9AS

$+R/E8/7 $+ F?78/7+S C+CR/8S.- +n el captulo 3 de estecuadernillo estudiamos los tipos de funciones& los cuales son 2:

a! al,ebraicasb! trascendentes





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as al,ebraicas son auellas donde se in%olucran todas las operaciones del'l,ebra: suma& resta& multiplicación& di%isión& potencia " raz. $entro de suclasificación& las al,ebraicas pueden ser polinomiales de primer ,radolineales!& de se,undo ,rado cuadr'ticas!& de tercer ,rado c;bicas!& etc.

ntes de obser%ar los procedimientos de deri%ación& recordemos tambi0n elconcepto de %ariable " constante. ?na %ariable es auella ue cambia en unproceso matem'tico " se representa por las ;ltimas letras del alfabeto r O z! "al,unas letras ,rie,as asimismo& las constantes son auellas ue no cambianen un proceso matem'tico " se representan con las primeras letras del alfabetoa O n!& por la letra ,rie,a π " la letra e +uler!.

+n el formulario de deri%ación& la notación f ! M $! M " son lomismo& en nuestro curso utilizaremos por comodidad la ;ltima& es decir& "& lacual se lee: G"e primaH.

+J+#P 1:Sea " M 3 L 2Por ser una suma al,ebraica& utilizaremos la fórmula ///:

Si te fi*as la fórmula son 3 t0rminos " en la función son sólo 2& sin embar,o esono importa& dado ue la fórmula es solamente una representación& es decir&pueden ser 2&3& 4 o m's t0rminos. @ora bien& debemos deri%ar entonces 3 "sumarle la deri%ada de 2.8@ecando el formulario& puedes darte cuenta ue la %ariable en la epresión3 est' ele%ada a la potencia 1 " adem's esta acompa=ado de un n;mero una

constante! por lo ue la epresión es la deri%ada de & lue,o el

n;mero 2 por ser una constante corresponde a la fórmula /& es decir:

+ntonces:

" M 3 L 2"M 3

+*emplo 2:





Educación

" M 53 L 42 L 2 L N

+s una suma al,ebraica& por lo ue utilizamos la fórmula 3& es decir& la de lasuma& donde se debe deri%ar cada t0rmino por separado.

os t0rminos 1 " 2 se pueden deri%ar con la fórmula 4& es decir.

+l t0rmino 3 se puede deri%ar con la fórmula 4 a& es decir

< el ;ltimo t0rmino& ue es una constante& con la fórmula 1

Sin embar,o& deri%ar 3 " 2 se consi,ue con la fórmula de un G a la nHfórmulabastante empleada en c'lculo diferencial!

nn-1

Por lo tanto&"M 152 L N L 2

+n los si,uientes e*ercicios& se te proporciona el resultado a la derec@a!&demuestra entonces ue la deri%ada ue encuentres coincide con el resultado

1.- " M 34 O 22 L N " M 123 O 4

2.- " M 4 L 3 O 23 "M 3 O 2

3.- " M "M z O z

4.- " M "M -





Educación

5.- " M 23I4 L 4-1I4 "M

.- " M "M c O

.- " M 32 L 5 O N "M L 5

N.- " M "M





Educación

.- " M "M

16.- " M "M

11.- " M "M

12.- " M "M





Educación

13.- f! M 2 O 32! 3 f! M -1N 2 O 32!2

14.- " M "M

15.- " M " M

1.- " M 2 O 5!3I5 "M

1.- " M a - "M





Educación

1N.- " M "M

1.- " M "M

26.- " M "M

21.- " M "M





Educación

22.- " M "M

23.- " M "M

24.- " M 2 " M

25.- " M "M





Educación

2.- " M "M

2.- " M "M





Educación

2N.- " M "M

F;NC8:NES C7EC8EN&ES EC7EC8EN&ESSe dice ue una función "M f! es creciente en un inter%'lo l M a&b! si se%erfica ue: a \ b entonces f a! \ f b!Se dice ue es una función " M f! es decreciente en un inter%'lo l M a&b! si se%erfica ue: a \ b entonces fa! fb!+mpleando $+R/E$ de la función es sencillo determinar si una función

es creciente o decreciente en un inter%alo. Si f! 6 sobre un inter%alo l&entonces es creciente en ese inter%aloas pendientes de las rectas son ne,ati%as& uiere decir ue la función esdecreciente.+*emplo.$etermina si la función " M 2 O L 2 M 6 es creciente o decreciente en M 2)raficando la función dando %alores al dominio de O 2 @asta L 2





Educación

@ora bien& deri%a la función:< M 2 O

+%aluamos la función en M 2< M 22! O M O 3- 3 \ 6

Por lo tanto la función es decreciente en M 2& obser%a la ,rafica& traza larecta tan,ente al punto " comprueba ,raficamente lo anterior.

+J+#P 2: $etermina como es la función " M 2 L 12 O 5 cuando M - 5

" M 2 L 12 O 5" M 2 L 12

+%aluando para M - 5

"M 2- 5 ! L 12 M - 16 L 12 M L2por lo tanto la función en ese punto es creciente.

F;NC8:N C7EC8EN&E EC7EC8EN&E E ;N 8N&E7VA9:

Para determinar los inter%alos de una función& se procede a lo si,uiente:1.- Se obtiene la primera deri%ada de la función2.- a función es creciente cuando la e%aluación de la función es positi%a& por loue @a" ue utilizar una inecuación siendo al t0rmino independiente.3.- +l inter%alo ser' de dic@o %alor al infinito

+J+#P$etermina en ue inter%alo la función " M 2 - L 1 es creciente

<M 2 O L 1

<M 2 O 2 despe*ando el O ! 3

+ntonces el inter%alo es 3& g!

EIE7C8C8:S.etermina si las si!uientes 2unciones son crecientes en los 4untosindicados 4ara la a>scisa.1.- f! M O 2





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2.- f! M 22

3.- f! M 32 O 4 L 3

4.- f! M 42 L 2 L5

5.- "M

3

- 4





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P;N&: E 8NF9EB8:N E ;NA F;NC8:N

+l punto donde la función cambia de sentido lo llamamos punto de infleión.os puntos de infleión de una cur%a son mu" importantes en el dise=o decarreteras& *ue,os mec'nicos& entre otras cosas.Para obtener el punto de infleión se si,ue el si,uiente procediemiento:

a! se obtienen la primera& se,unda " tercera deri%ada.b! a se,unda deri%ada se i,uala a cero " se resuel%e.c! +l %alor obtenido se sustitu"e en la tercera deri%ada& si este es diferente

de cero& entonces es punto de infleión.d! Se obtiene el punto e%aluando la función en el %alor obtenido.

+*emplo:

btener el punto de infleión de la función " M 3

"M 32 " M "M

a se,unda deri%ada se i,uala a cero " se resuel%e." M M 6

D M 6ID M 6

+ste %alor se sustitu"e en la tercera deri%ada& si es distinto de cero es punto deinfleión& como lo es en este caso.

EIE7C8C8:S1 :&ENE7 9:S P;N&:S E 8NF9EB8:N E 9ASS8G;8EN&ES F;NC8:NES

1.- " M 3 L 1

2.- " M 3- 32 O 3 O 4





Educación

3.- " M 3 O L 5

4.- " M 3 L 32 O 3 L 12

C:NCAV8AES

Para determinar las conca%idades @uecos! de una función se si,ue elsi,uiente criterio.

a! Si la se,unda deri%ada es ma"or ue cero& la cur%a es cónca%a @aciaarriba

b! Si la se,unda deri%ada es menor ue cero& la cur%a es cónca%a @acia

aba*o.)?7S ?(R+S ?(//Q7 8h78E < 87E+D.

$+(+R#/7 S 878E/$$+S $+ F?78/7 " M 3 O 32

"M 32 O " M O

se resuel%e la inecuación O 6

O 1 ! 6

O 1 6 1





Educación

+ntonces la función es cónca%a @acia arriba en el inter%'lo 1 & g !

EIE7C8C8:SE&E768NA 9AS C:NCAV8AES E 9AS S8G;8EN&ES F;NC8:NES

1.- f! M 3 L 1

2.- f! M 3L O 4

3.- f! M 23 O 2 L 45 O 52





Educación

4.- f! M 2 L O 2 O 3

AP98CAC8:NES E 9A E78VAA;N8A V

#D/#S < #/7/#S $+ ?7 F?78/7

F?78/7+S 8R+8/+7(+S < $+8R+8/+7(+S

F/)?R 1 F/)?R 2





Educación

1.- ATu0 obser%as en las fi,uras 1 " 2B

2.- ATu0 obser%as en la fi,ura 3B

F/)?R 3

F?78/7 8R+8/+7(+.- ?na función " M f! es creciente si al aumentar al,ebraicamente GH tambi0n G"H aumenta& es decir& la función creciente en uninter%alo si es creciente en todos los %alores del inter%alo.

F?78/7 $+8R+8/+7(+.- ?na función " M f! es decreciente si al aumentar al,ebraicamente GH la G"H disminu"e& es decir& la función es decreciente en uninter%alo si es decreciente en todos los %alores del inter%alo.

+l criterio para determinar si una función es creciente o decreciente en uninter%alo dado& es el si,uiente: @allar la deri%ada de la función&,eom0tricamente @ablando la tan,ente forma un 'n,ulo a,udo con el e*e de lasGH " tiene pendiente positi%a F?78/7 8R+8/+7(+! si la deri%ada esne,ati%a& la tan,ente forma un 'n,ulo obtuso con el e*e de las " tienependiente ne,ati%a F?78/7 $+8R+8/+7(+!& por lo tanto: G?na función escreciente cuando su deri%ada es positi%a " es decreciente cuando su deri%adaes ne,ati%a.

6AB86:S 68N86:S E ;NA F;NC8:N

Si GfH es una función cu"o %alor es GcH& se tiene ue:a! fc! se llama m'imo relati%o de f si eiste un inter%alo a&b! ue contiene

a GcH tal ue f! fc! para todo GHen dic@o inter%alo& es decir& si fc! esma"or ue cualuiera de los %alores de f! ue le anteceden o le si,ueninmediatamente en el inter%alo dado.

b! fc! se llama mnimo relati%o de f si eiste un inter%alo a&b! ue contienea GcH tal ue f! j fc! para todo GH ue le anteceden o le si,ueninmediatamente en el inter%alo dado.





Educación

$e lo anterior no debe confundirse los m'imos " mnimos relati%os de losabsolutos& los cuales son donde la ordenada G"H es ma"or o menor en la,rafica& por lo ue se denominan GabsolutosH.

)rafica la función " M 23 L32 O 12 dando %alores al dominio de O 3 @asta

L3

6E&::S PA7A CA9C;9A7 6AB86:S 68N86:S E ;NA F;NC8:N

+isten 2 m0todos para calcular los m'imos " mnimos de una función& ambos;tiles " sencillos. Para efectos pr'cticos sólo %eremos el se,undo m0todo elcu'l consiste en lo si,uiente:1.- Se deri%a la función dada.2.- a deri%ada se i,uala a cero " se resuel%e la ecuación. as races de la

deri%ada se denominan %alores crticos de la función.3.- Se obtiene la se,unda deri%ada de la función& es decir& se deri%a la primeraderi%ada. E78VAAS S;CES8VAS!4.- Se sustitu"en las races en la se,unda deri%ada. Si el %alor encontrado espositi%o& si,nifica ue en ese %alor crtico eiste un mnimo& por el contrario& siel resultado es ne,ati%o& entonces eiste un m'imo en ese %alor crtico.

$+R/E$S S?8+S/ES $+ ?7 F?78/7.$eri%ar sucesi%amente una función& si,nifica obtener la se,unda& tercera&cuarta& etc. deri%ada en un momento puede lle,ar a ser 6!.+*emplo:

btener la cuarta deri%ada de la función " M 3

L 52

O L N





Educación

"M 32 L 16 O

"// M L 16

"/// M

"/E M 6

+J+#PS $+ #D/#S < #/7/#S.8alcular los m'imos " mnimos si los @a"! de la si,uientes funciones

" M 23 L32 O 12

Paso 1: deri%ar la función

"M 2 L O 12

Paso 2& se i,uala a cero " se obtienen las races:

2 L O 12 M 6Se puede simplificar todo se puede di%idir entre !D2 L O 2 M6Por factorización L2! O 1! M 6 por lo ue 1 M O 2 2 M 1

Paso 3: deri%ar la primera deri%ada:

"M 2 L O 12"// M 12 L Paso 4& sustituir las races en la se,unda deri%ada:

D1 M O 2 2 M 1<// M -2! L MO 12 "//M 1! L M L M L12

Por lo tanto& tenemos ue eiste un m'imo relati%o cuando M O 2 " @a" unmnimo relati%o cuando M 1 c@eca el ;ltimo ,rafico ue realizaste!.

2.- " M 3 O 2 L ma. M 4 para M1 #in. M 6 para M 3





Educación

3.- "M 16 L 12 O 32 O 23 ma M 1 para M 1 min M - 16 para M O 2

4.- 8omprobar ue la si,uiente función no tiene m'imos ni mnimos

" M 23 L 32 L 12 O 4

5.- " M 22 O 4 min M 6 para M 6 ma. M1 para M 1





Educación

.- " M 4 O 4 min M 3 para M1

.- " M 34 O 43 O 122 #in M O 5 para M O1 ma M 6 para M 6 min M O 32 para M 2

N.- "M 5 O 54 ma M 6 para M 6 min M O 25 para M4





Educación

.- " M 2 L min M 3 a2 para M a

16.- " M min M - U para M O a ma M U para M a

11.- " M 3 O 2 L15





Educación

12.- " M

14.- " M 1 O !3 2L!2

15.- < M 2 L N L16





Educación

1.- " M 4 O 32 L 4

1.- " M

AP98CAC8:NES E 9A E78VAA

P!"#$%&' Q$ P$%*$+ #& &P#&-+ $# &##!

$$+&#.

a aplicación del cálculo di2erencial se puede dar en diferentes 'reas

del conocimiento& como por e*emplo:

+n la economa la deri%ada se puede utilizar para determinar la

utilidad bruta anual de una empresa particular en un determinado perodo de

tiempo.





Educación

8on el c'lculo diferencial& un in,eniero preocupado en el

abastecimiento de a,ua de una ciudad& puede medir el caudal de un ro& el

%olumen ue flu"e en este& en una unidad de tiempo.

+n la mec'nica se puede aplicar el c'lculo diferencial para

determinar la eficiencia de las m'uinas t0rmicas& es decir& para establecer

cuanto traba*o desarrolla en función del tiempo.

+l concepto de %elocidad del mo%imiento rectilneo en el 'rea de

la fsica corresponde al concepto m's ,eneral.

EIE6P9: 1 Construcción de una caa de má(imo olumen

$ebes tener en cuenta lo si,uiente:1. ee el problema @asta comprender lo ue se pide.2. Realiza el dibu*o.3. 8onstru"e el modelo.4. 8alcula m'imos " mnimos.

< analizar las si,uientes cuestiones0

a! ATu0 es lo ue te pide el problemaB.b! A8u'les son las dimensiones de lar,o& anc@o " alto de la ca*aB

puedes utilizar incó,nitas!.c! A8u'l es la ecuación con la ue se %a a obtener el m'imo ó

mnimoB.d! $eri%a la función del inciso anterior. A8u'les son los puntos crticosB.e! $e acuerdo a los puntos crticos& u0 %alor corresponde al m'imo

de ser necesario utiliza el criterio de la se,unda deri%ada!.

P:N8EN: EN P7C&8CA 9:S C:N:C868EN&:S.

?sa los conceptos matem'ticos aprendidos para efectuar una o todas lasacti%idades si,uientes:

$ise=o de una ca*a de cartón de m'imo %olumen sin tapa.

#ateriales:

8artulina de 26 cm. D 26 cm.(i*erasRe,la+scuadras8alculadorao*as cuadriculadas o euipo de dibu*o

8inta ad@esi%a masWin,- tape!




A

L


Educación

+7?78/$ $+ PRC+#:+n esta acti%idad eaminamos el %olumen de las diferentes ca*as ue sepueden construir a partir de un material del mismo tama=o.

PR8+$/#/+7(:a- (omando la cartulina de 26 cm. D 26 cm. Recorta cuadros en las esuinas

como se muestra en la si,uiente fi,ura despu0s de ue tu profesor asi,ne lasmedidas de GH a cada euipo.

>- as medidas de GH para los seis euipos distintos& asi,nando una medida acada euipo son: 2.5 cm.& 2.N cm.& 3 cm.& 3.3 cm.& 3.5 cm.& " 3.N cm.

c- a,a los dobleces necesarios para formar la ca*a como lo muestra la si,uientefi,ura:

d- 8ada euipo ue tome los si,uientes datos de las distintas ca*as " ue realicelas operaciones pertinentes en su calculadora.

8k8?S:

a!. $etermina el 'rea de la base como lo indica la tabla en la columna 5 "anótalo.

b!. $etermina el %olumen del paraleleppedo como lo indica la columna de latabla " anótalo.Ing. Roberto Cuellar Alcalá

A7EA V:9.

E<;8P: 9 A J 9 B A A7EA B J

,

%

"

D

#

0




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c!. A8ómo se comparan los datos de tu ,rupo con los datos obtenidos por losotros ,ruposBcompara las 'reas " %ol;menes con la de los otros!.

d!. $eri%a la función del %olumen E M 26 O 2!2

e!. /,uala con cero

f!. bt0n el %alor de GH en M 6

,!. ATu0 %alor de GH en la tabla se aproima m's con la GH determinada en elinciso f!B 8om0ntalo con tu ,rupo.

@!. 8omenta con tus compa=eros u0 m0todo ocuparas si te asi,nan untraba*o similar al de la pr'ctica.

i!. l estar traba*ando en una empresa ue se dediue al dise=o de en%asesA8rees ue te permitiran desperdiciar materialB

*!. ATu0 dimensiones tiene la ca*a de m'imo %olumenB

W!. os m0todos ue @a" son con: aritm0tica& 'l,ebra& ,r'ficamente " conc'lculo diferencial& posiblemente se inclinen por el m0todo de c'lculodiferencial& debido a ue se pierde menos tiempo " no se desperdicia materialcomo en el ensa"o de prueba " error.

l!. +n una empresa " en nuestra %ida cotidiana& a nadie le ,usta desperdiciar&incluso ni en eperimentos.

m!. ltura M 3 cm 3.3 cm.

ar,o M anc@o M 13 cm. 13.3 cm.7EA98CE6:S E9 EIE7C8C8: EN E9 P8OA77:N.

E M 26 O 2! 2





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EIE6P9: % . Altura má(ima alcanzada 4or una torona

?na toron*a es lanzada en lnea recta @acia arriba a una %elocidad inicial de

166 piesIse,. Su altura en el tiempo t est' dada por " M -1 t L 166 t L Au0 altura lle,a antes de re,resar al sueloB. Si desea lle%ar al m'imo la alturade la toron*a sobre el suelo. <a sabes ue usando la deri%ada se puede

encontrar eactamente cu'ndo la toron*a est' en su punto m's alto. Por

sentido com;n& en la parte m's alta la %elocidad debe ser cero. lternati%amente se busca un m'imo& as ue se tratan de encontrar puntoscrticos donde " M 6. Se tiene:

Al!+ra 3-x)3a





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"

" as

Por lo tanto& se obtiene el tiempo en el ue la altura es m'ima el %alor m'imo de " es entonces:

ASer' necesario comprobar analticamente ue en el punto crtico ue eisteun m'imoB

OPTIMIZACIÓN

$ado ue el mundo est' lleno de problemas& tanto en la industria& la in,eniera&el comercio " cualuier otra 'rea ue reuiera de poder calcular auellos

%alores ue les permitan determinar ,anancias m'imas o mnimos costos&

menor cantidad de material para m'imos %ol;menes etc.& es en donde se

%uel%en importantes los procesos de optimización " donde el calculo diferencial

toma un papel rele%ante en la determinación de estos %alores a partir de uno de

sus conceptos mas importante ue es el de la deri%ada en la obtención de

m'imos " mnimos a partir de una función.




= r2

A = r2


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Pasos a se!uir 4ara resoler 4ro>lemas de o4timización1

ee el problema @asta comprender lo ue se pide.

Realiza uno ó %arios dibu*os de la situación ue muestre como se relacionan

los elementos ue %aran.

8onstru"e el modelo ecuación! de la situación del problema& para lo cual

consideras lo ue se desea ue sea m'imo o mnimo& como pueden ser

'reas& %ol;menes& costos& dimensiones& etc. " epr0salo en t0rminos de una

sola %ariable& utilizando los datos proporcionados.

8alcula los m'imos " mnimos por el m0todo ue desees " resuel%e el

problema.

E1E2L% 3* !eterminación de las dimensiones de una lata.

A8u'les son las dimensiones de una lata de aluminio con capacidad de 4 cm 3

de *u,o& ue utilice el mnimo de material es decir& aluminio!B. a lata escilndrica " con tapa en ambos etremos.

+ste problema lo puedes resol%er por medio de ensa"o " error& pero otramanera de resol%erlo es utilizando m'imos " mnimos. Para realizar esto& esnecesario elaborar un modelo matem'tico de la cantidad de material a usar 'rea de aluminio!

+laborando un dibu*o de la situación& para calcular el 'rea de aluminio sedescompone la lata& considerando las tapas " el cuerpo del cilindro.





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+l 'rea de cada tapa es " la del cuerpo del cilindro es constru"endoel modelo ecuación!.

M 'rea de las tapas L 'rea cilindro

Mado ue la ecuación est en trminos de dos varia4les 5 (altura), r (radio) esnecesario expresarla en trminos de una sola varia4le, para lo cual esnecesario recurrir al volumen dado del cilindro.

V =

8omo conocemos ue E M 4 cm sustitu"endo en la ecuación anterior

tenemos:

4 M

$espe*amos la @ altura! resultando:

Sustitu"endo en ueda: M

Simplificando t0rminos: M

Calculando ob!n!"o#$





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87(/7?+#S:

EJEMPLO 2: Un problema económico.

?na f'brica contrata a una empresa de autobuses para el traslado de sus

traba*adores& con%ienen en pa,ar V126.66 por traba*ador& si @a" un mnimo de




+s!)!+yn,o n la ,r)4a,a con 4alors nors y ayors !nos&

on +n 4alor nor 5367&

2(34) + 70 = 2 -------- f ’(34) = +

on +n 4alor ayor 5387&

2(36) + 70 = - 2 ------ f ’(36) = -

36 383


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56 personas " se comprometen a disminuir V1.66 por cada persona ue ecedade 56. A8u'l es el numero de traba*adores ue proporcionara el m'imoin,reso a la empresa del transporteB.

. Si analizamos el enunciado del problema obser%aremos ue por cada

unidad ue se aumente a 56 ue es el numero de traba*adores mnimo& sereducir' en V1.66 el costo del transporte por lo tanto la fórmula para calcular el 8n!reso de la empresa seria:

a cual representara a nuestra función de in,reso%. plicando la formula para deri%ar un producto " determinar los %alorescrticos tenemos: plicando los 4 pasos para obtener m'imos " mnimos:

/,ualando la deri%ada a cero " despe*ando la %ariable para obtener el %alorcrtico tenemos:

". Sustitu"endo en la formula del in,reso tendramos:

ACE9E7AC8:N EN ;N 6:V868EN&: 7EC&898NE:

Siendo la %elocidad la razón de cambio de la posición de un cuerpo& nospre,untamos: A8u'l es la razón de cambio de la %elocidadB Si la %elocidad en





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el mo%imiento rectilneo se define como la rapidez de la distancia con respecto

al tiempo: Si la razón de cambio de la %elocidad es:+sto uiere decir ue la se,unda deri%ada se denomina aceleración " se

define:H la rapidez de %ariación de la %elocidad con respecto al tiempo:

a M

+l mo%imiento de cada libre de un cuerpo se obtiene de la ecuación: s Mdonde , es la ,ra%edad terrestre .N mIs2! & la %elocidad se obtiene: % M,t " la

aceleración a M ,.

+*emplo 1: a le" del mo%imiento rectilneo de un cuerpo %iene dado por laecuación: sM t3 O t L U & @allar su %elocidad " aceleración en:

a! ?n instante cualuierab! ?n instante t M 2 se,undosc! ?n instante tM 4 se,undos.

S?8/7:a! +n un instante cualuiera:

SM 3t2 O 1 mIs %elocidad!S M t mIs2 aceleración!.

b! 8uando t M 2 se,undosE M 3t2 O 1 M 32!2 O 1 M 34! O 1 M 12 O 1 M 11mIsa M t M 2! M 12mIs2

c! 8uando t M 4EM 3t2 -1 M 34!2 O 1 M 31! O 1 M 4N O 1 M 4mIsa M 3t M 4! M 24 mIs2

+*emplo 2: Se de*a caer una pelota desde lo alto de la torre +iffel. $ic@a torretiene una altura de 366.5 metros. A8u'nto tiempo tardar' en lle,ar al suelo "cu'l es su %elocidad instant'nea cu'ndo lle,a al sueloB

?n coc@e @ace un recorrido en 12 minutos mo%i0ndose se,;n la le":





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s M 144t2 - midiendo t en minutos " s en metros& @allar:a! ATu0 distancia recorre el coc@eBb! A8u'l es su %elocidad m'imaB

c! Tu0 distancia @a recorrido el coc@e cuando alcanza su %elocidadm'imaB

:P&868OAC8:N N;6E7:S

1.- allar 2 n;meros positi%os cu"o producto sea 2NN " ue la suma del dobledel primero m's el se,undo sea mnima.Solución:Sea GH el primer n;meroSea G"H el se,undo n;meroa ecuación de la suma m'ima la denotaremos con GuH?M 2 L "a ecuación ue establece el producto de 2 n;meros i,ual a 2NN es: " M 2NN

(enemos entonces ue despe*ando " de la anterior:

+ntonces: u M 2 L " de esta forma se traba*a con una sola %ariable GH. plicamos los 4 pasos para obtener m'imos " mnimos:





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AP98CAC8:NES A 9A EC:N:68A

+l coste total de producción de GH unidades diarias de un producto es de 2I2

L6 L 56 dólares& " el precio de una de ellas es de 166 O I2 dólares. allar eln;mero de unidades ue se deben %ender diariamente para ue el beneficiosea m'imo.$enotemos el beneficio de la producción con la letra P& con 8 el coste de laproducción " con R el precio de %enta de cada prenda& entonces PM R O 8

P M 166 O I2 ! O 2I2 L 6 L 56!

:&7AS AP98CAC8:NES

?na persona cuenta con 25 m de cerca " desea rodear un campo ue bordeaun ro recto. +n la ribera no necesita cerca. A8u'les son las dimensiones delterreno ue ocupa el 'rea m'imaB8onsideremos 2 casos etremos ue se pueden presentar: M l a8aso 1:

23m

1m 1

8aso 2:12





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8omo se obser%a& las 'reas son diferentes& por lo ue trataremos de encontrar el 'rea m'ima ue se puede cercar. Si es el anc@o& entonces denotaremosal lar,o con la letra ":

M "

P M 2 L "$e donde podemos conocer el %alor de " para relacionarlo con el 'rea<M 25 O 2

Sustitu"endo: M 25 O 2! M 25 O 22

+ncontramos la primera deri%ada: M 25 O 4

/,ualamos a cero " encontramos:25 O 4 M 6D M 25I4D M .25

+ncontramos la se,unda deri%ada: M - 4

o ue nos dice ue para M .25 tenemos un m'imo @ora bien& el lar,o se obtiene de la ecuación:

< M 25 O 2< M 25 O 2.25!

< M 12.56

+l 'rea entonces es de : M N.125 m2

6 P&& $!7& #! &P$+! '$ *$ $!%$+&

$'!#8$ #!' P!"#$%&' Q$ & !+*+&-+ '$ P#&+*$&+,8$& *' $'#*&!' !+ #& $'P$'*& +#& $+ &&+! $ $##!'.

. ?n propietario puede rentar sus 46 apartamentos a V5&666.66 mensualescada uno& el due=o de los apartamentos obser%a ue por cada V256.66 de

aumento en la renta& se renta un apartamento menos. ATu0 renta debecobrar " cuantos apartamentos debe rentar para obtener m'imas,ananciasB

R.- $ebe rentar "$ a4artamentos a un costo de T+,#$$.$$ cada uno paraobtener m'imas ,anancias.





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%. $ada una lamina rectan,ular de lon,itudes 2 " 1 m& respecti%amente&calcula las dimensiones de la ca*a abierta ue se puede formar con ellacortando en las cuatro esuinas un cuadro para ue el %olumen seam'imo.

R.-

". ?na bala disparada %erticalmente @acia arriba alcanza& al cabo de tse,undos la altura @ M 566t O 5t 2 metros. A8u'l ser' la altura m'ima uepueda alcanzarB

R.- 12&566 mts

D. ?n fabricante espa=ol de tele%isores obser%a ue puede %ender 56tele%isores a 26&666.66 pts. cada uno " ue por cada aparato ue fabriue

de mas el precio ba*ara 366.66 pts. A8u'ntos tele%isores debe fabricar para obtener el m'imo in,resoB

R.- M N.3 ≈ N (ele%isores M 5N





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0. +l costo de combustible ue consume una locomotora es proporcional alcuadrado de la %elocidad " tiene un costo de 1&66.66 pts. por @oracuando la %elocidad es de 46 WmI@. /ndependientemente de la %elocidad

el costo por @ora se incrementa por diferentes causas en 3&66.66 pts. por @ora. 8alcular la %elocidad a la ue debe ir la locomotora para ue elcosto por Wilómetro sea mnimo.

R.- E M 6 WmI@

+. allar dos n;meros cu"a suma sea 126 " ue el producto de uno de ellospor el cuadrado del otro sea m'imo

R.- n1 M N6 n2 M 46





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N.- ?na empresa produce " %ende pauetes de @o*as de mauina " ,asta GHcantidad de cientos de dólares en la producción " ,astos de e*ecución& siendoP la ,anancia en su empresa por cada pauete ue %ende al mercado& esdecir: P M 236 L 26 - 2I2. ATu0 cantidad de pauetes de m'uina dar'n el

beneficio m'imoB

.- Se de*a caer una moneda desde una altura de 266 metros& @allar la%elocidad instant'nea de la moneda cuando alcanza el suelo.

16.- Se desea fabricar una ca*a con piezas de cartón de 24 N cm cortando lasesuinas " doblando @acia arriba. +ncuentra la medida del doblez para ue el%olumen sea m'imo " el %olumen m'imo.





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11.- +ncuentra las dimensiones ue debe tener un cilindro de latón de 1266cm3 ue reuieren la menor cantidad de metal 'rea total!.

12.- ?n comerciante en la promoción " %enta de %ideo,rabadoras& descubreue la demanda del artculo se representa por

< M$onde " es la ,anancia total " X es la %ideo,rabadora. +ncuentra ue cantidadde %ideo,rabadoras para obtener la m'ima ,anancia.





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13.- ?n pro"ectil se mue%e de acuerdo a la ecuación: s M t3 O t2 L t L 4&calcular la %elocidad " aceleración en:a! t M 3 se,undosb! t M se,undos

14.- ?n campesino cuenta con 25 metros de cerca " desea rodear un campo debordea un ro recto. +n la ribera no necesita cerca. A8u'les son lasdimensiones del terreno ue ocupa el 'rea m'imaB

15.- $etermina las dimensiones de un cilindro circular recto de %olumen

m'imo ue puede inscribirse en un cono circular recto de r M5 " altura M 15





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1.- ?n %olante de propa,anda debe contener cm2 de impresión con losmar,enes si,uientes izuierdo " derec@o 4 cm& superior e inferior de cm.$etermina las dimensiones mnimas de la p',ina.

1.- +ncuentra el punto en la par'bola "2 M 4p ue est0 m's próimo al punto2&!.





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26.- a p',ina de un ibro debe contener 566 cm2 de impresión con mar,enesde 3 cm por lado. $etermina las dimensiones de la p',ina.

21.- +n una @o*a tama=o carta 2.4 21.5! se de*an los mar,enessi,uientes: izuierdo 3 cm " los otros lados 2 cm. $etermina si las dimensionesde la @o*a minimizan la cantidad de papel& con esos mar,enes.





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E78VAC8:N E F;NC8:NES &7ASCENEN&ES

Recordando la clasificación de funciones& estas se di%iden en al,ebraicas "trascendentes. as primeras inclu"en todas las operaciones concernientes al

'l,ebra " las trascendentes inclu"en:a! +ponencialesb! o,artmicasc! (ri,onom0tricasd! (ri,onom0tricas in%ersas.

+n este captulo emplearemos el resto del formulario& es decir de la fórmula 11a la 2. Si lo,raste dominar el tema de deri%ación de funciones al,ebraicas&entonces este tema ser' mu" sencillo& de lo contrario& @a" ue se,uir prepar'ndose.+*emplo 1:

" M e2 +ste e*ercicio representa un e% & donde % M 2 & c@ecando la fórmula:

lo ue uiere decir ue @a" ue deri%ar la %ariable %& d%Id M 2

" M e2 2! M 2e2

+*emplo 2:

" M sen 22 de acuerdo a la fórmula:

% M 22 d%Id M 4

"M cos 22 2! M 2 cos22

+*emplo 3:

" M ln 22 L 3!+ntonces % M 22 L 3d% Id M 4

"M





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+ncuentra la deri%ada de las si,uientes funciones:

1.- < M ln a Lb! "M

2.- " M ln a2 L b! "M

3.- " M ln a L b!2 "M

4.- " M ln an "M





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5.- " M ln 23 O 32 L 4! M "M

.- " M lo, "M

.- " M ln "M

N.- " M ln "M





Educación

.- " M ln a ! "M

16.- " M ln "M 1 L ln

11.- " M "M





Educación

12.- "M 2 ln2 "M 2 1L2ln!

13.- " M en "M nen

14.- " M 16n "M n 16n ln 16

15.- " M "M





Educación

1.- " M "M

1.- " M "M

1N.- " M b2" "M 2b2" ln b

1.- " M "M





Educación

26.- "M

21.- "M ln 2 e! "M

22.- " M "M

23.- " M "M





Educación

24.- " M ln "M

Su,erencia: racionalizar el denominador para facilitar la operación solicitada.

+n los e*ercicios del 25 al 2 encontrar el %alor de " para el %alor dado de

25.- " M ln 2 L 2! para M 4 "M 4I

2.- " M lo, 4 O 3! para M 2 "M 6.344

2.- " M ln para M "M 1.431





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2N.- " M e-2 para M U "M 6

2.- " M para M 4 "M - 6.64N3

36.- " M sen a "M a cosa

31.- " M 3 cos 2 "M - sen2

32.- " M t, 3 "M 3 sec2 3Ing. Roberto Cuellar Alcalá




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34.- " M a csc b "M - ab csc b ct, b

35.- " M "M

3.- " M "M

3.- " M cos "M cos O sen

3N.- " M "M





Educación

3.- " M sen 2 cos "M 2 cos 2 cos O sen 2 sen

46.- " M ln sen a " M a ct, a

41.- " M ln "M - t, 2

42.- " M ln "M sec





Educación

43.- " M arc cos "M

44.- " M arcsec "M





Educación

45.- " M arct, "M

4.- " M arc sec "M

4.- " M arc csc 2 "M

4N.- " M arc sen "M





Educación

4.- " M arc sen 2 "M arcsen 2 L

56.- " M 2 arccos "M 2 arccos -





Educación

51.- " M arc sen 3 O 42! "M

52.- " M arct, a2 "M

E78VAC8:N E F;NC8:NES 86P98C8&AS

$ecimos ue una función es implicita cuando el %alor de la función no est'dado eplicitamente o cuando no esta despe*ada la %ariable.

F?78/7 /#P/8/( F?78/7 +DP/8/(" O 1 M 6 " M 1I

D2 L" O 4 M 6 " M 4 O 2

D2 L "2 M 25

< M

+n al,unos casos ser' posible resol%er para una %ariable& pero ser' m'ssencillo utulizar la deri%ación implcita. +ste tipo de deri%ación consiste enderi%ar a cada t0rmino de ambos miembros de la i,ualdad con respecto a "resol%er para "& recuerda ue si deri%as "& entonces debes indicar conrespecto a .

+l al,ortmo es el si,uiente:a! $eri%ar cada t0rminob! notar con respecto a ui0n se deri%a la función& si es con respecto a

se escribe dId M 1& esta epresión no se escribe por razones ob%ias& sies con respecto a "& se escribe d"Id M ".

c! ,rupar los t0minos ue contiene d"Id M "en un miembro " en el otrolos ue no lo tienen.





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d! Factorizar "e! $espe*ar ".

+J+#P:

1.- C(+7+R $+R/E$ $+ F?78/7" M 42 L "2 M 3N L 1N " "M 6$espe*amos "

1N" "M - N

"M

2.- C(+7+R $+R/E$ $+ F?78/7:2 L " O 2"3 M 3

12 L " L O 4" M 6

Si te fi*as se aplico la deri%ación de un u% para deri%ar "!

+J+R8/8/S.

1.- 2L" O 5"2 M





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2.- 2L" O 2"2 O 2 M 6

3.- 22 L N" O 2"2 L3 L2" M 5

4.- 2 L " L N"2 L 4 L 3" M 5

5.- 32

L " O "2

M 4





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.- 42

L 4" O "2

M 2

Documents

Cuadernillo Calculo Diferencial Roberto Cuellar