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E E.E.
E.E.S. N° 59
“ESCUELA DEL CENTENARIO – PCIA. R. SÁENZ PEÑA”
CUADERNILLO DE MATEMÁTICA
2° AÑO C.B.
PROFESOR: GABRIEL VALUSSI
Profesor: Gabriel Valussi Página 1
Cuadernillo de Matemática EES N° 59
Número Racional
Los números racionales son los que se pueden representar por medio de fracciones. Representan partes de algo que se ha dividido en partes iguales. Por ejemplo, si cortamos una torta en 4 trozos iguales y tomamos tres trozos de esta, nos hemos comido 3/4 de la torta.
Un número racional es también, todo número que puede representarse como el cociente de dos enteros con denominador distinto de cero (una fracción común).
Son ejemplos de números racionales:
, ,
También son números racionales los números enteros:
entre otros.
Un mismo número racional se puede expresar con varias fracciones. Por ejemplo:
se puede expresar como:
o
De todas estas formas, la primera se llama fracción irreducible y las demás fracciones equivalentes.
Los números racionales son infinitos. Aunque parezca increíble podemos asociar un número natural a cada número racional. Muchas veces los números racionales se expresan como números decimales. Por ejemplo:
Se pueden clasificar en dos grupos: Exactos y periódicos. Estos últimos se pueden clasificar a su vez, en periódicos puros y periódicos mixtos.
Profesor: Gabriel Valussi Página 2
Cuadernillo de Matemática EES N° 59
• Exactos: son los que en su representación decimal tienen un número fijo de números. Por ejemplo:
• Periódicos: son los que en su representación decimal tienen un número ilimitado de números. Hay dos tipos de números periódicos:
▪ Periódicos puros: cuando un número, o grupo de números, se repite ilimitadamente, desde el primer decimal. (Por ejemplo: 3.838383...).
▪ Periódicos mixtos: un número o grupo de números se repite ilimitadamente a partir del segundo o posterior decimal (por ejemplo 3.27838383...).
Clases de fracciones según la relación del numerador y el denominador:
o Fracciones propias: el número del denominador es más alto que el del numerador
o Fracciones impropias: el número del numerador es más alto que el del denominador
o Fracciones mixtas: abreviación de una suma un entero y una fracción propia
o Fracciones reducibles: el numerador y el denominador no son números primos entre sí,
pero se puede usar una calculadora para simplificar fracciones para resolverlo.
o Fracciones irreducibles: en estas el numerador y el denominador son números primos
entre sí, por lo que no puede simplificarse
o Fracciones inversas: se han producido a partir de otras fracciones en las que el
numerador y el denominador se han invertido
o Fracciones aparentes o enteras: representan cualquier número que pertenezca a los
enteros
o Fracciones decimales: estas fracciones incluyen potencias de 10 en su denominador
o Fracciones compuestas: en estos casos el numerador o el denominador, o
ambos, contienen también fracciones.
o EJERCICIOS
a) 7
3− − − − − − − − − − − − − c)
1
4− − − − − − − − − − − − −
b) 12
3− − − − − − − − − − − − d)
12
24− − − − − − − − − − − −
Profesor: Gabriel Valussi Página 3
Cuadernillo de Matemática EES N° 59
Número mixto
Un número mixto o fracción mixta está formado por una parte entera (número natural) y una parte fraccionaria. Todas las fracciones mayores que la unidad se pueden expresar en forma de número mixto.
Pasar de fracción a número mixto.
1. Se divide el numerador por el denominador
2. El cociente de la división anterior se convierte en el entero del número mixto.
3. El resto de la división es el numerador de la fracción.
4. El denominador es el mismo que el de la fracción. Es el divisor de la división.
Ejemplo:
8 5 3 1
Como se puede observar en la división:
• El cociente es 1.
• El resto es 3.
• El divisor es 5.
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Cuadernillo de Matemática EES N° 59
Solución:
1. Escribir como número mixto:
a) .............=3
11 b) .............=
5
14 c) .............=−
7
12 d) .............=
2
9
2. Escribir la fracción impropia y dar la expresión decimal correspondiente:
3. Expresar como fracción impropia y como número mixto:
a)
b)
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Cuadernillo de Matemática EES N° 59
4. ¿Qué fracción del entero representa la zona pintada?
5. Escribir una fracción de denominador 5 que sea:
a) Propia
b) Impropia
c) Aparente
6. Escribir 3 fracciones de denominador 8, en cada caso:
a) Propias e irreducibles
; ; ,
b) Impropias y reducibles
; ; ,
c) Aparentes ; ; ,
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7. Escribir 3 fracciones de denominador 10, en cada caso:
a) Propias e reducibles
; ; ,
b) Impropias y irreducibles
; ; ,
c) Aparentes
; ; ,
8. Escribir la expresión decimal correspondiente a cada fracción:
.......=2
5
Cálculos
Auxiliares
.......=−6
5
Cálculos
Auxiliares
.......=3
1
Cálculos
Auxiliares
.......=3
2
Cálculos
Auxiliares
.......=−9
5
Cálculos
Auxiliares
.......=6
5
Cálculos
Auxiliares
9. Escribir la fracción que representa:
a) Un minuto como parte de una
hora
d) Un mes como parte de un
año
b) Una hora como parte de un día
e) Un trimestre como parte de
un año
c) 100 días como parte de una
semana
f) 10 años como parte de un
siglo
10. alcular:
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a) =1205
2 de ….......
Cálculos Auxiliares
b) =3404
5 de ….....
c) =3183
1 de ……...
Fracciones Equivalentes
Las fracciones equivalentes son fracciones que representan la misma cantidad, aunque parezcan diferentes. Podemos obtenerlas multiplicando numerador y denominador por un mismo número. O dividir numerador y denominador por el mismo número (ambos deben ser divisibles por este número); así, estamos hallando una fracción equivalente con numerador y denominador más pequeños. Por eso, este proceso se llama simplificación.
Dos fracciones son equivalentes cuando representan la misma cantidad.
Por ejemplo: 20 = 12 = 4
5 3 1
Para obtener fracciones equivalentes, se debe multiplicar o dividir el numerador y
denominador de la fracción por un mismo número distinto de cero.
2 = 2 * 5 = 10 Cuando se multiplica se está amplificando la fracción. 3 3 * 5 15 20 = 20 : 5 = 4 = 4 : 2 = 2 Cuando se divide se está simplificando. 50 50 : 5 10 10 : 2 5
11. Escribir tres fracciones equivalentes a:
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Simplificación de Fracciones
Son fracciones simplificadas de otra fracción aquellas que representan la misma
cantidad que la fracción origen, pero con un menor número de partes…... ejemplo
4 = 2 (4:2) = 2
8 4 (8:2) = 4
…… tenemos que dividir el numerador (4) y el denominador (8) de la fracción origen entre
el mismo número. En este caso, entre 2.
12. Simplificar:
Relación de orden en “Q”
La Relación de Orden permite establecer cuando una fracción es menor, igual o
mayor que otra.
1) Se buscan fracciones equivalentes a las dadas de igual denominador. Se comparan los
numeradores de las fracciones obtenidas y, entonces, es mayor la que tenga mayor
numerador.
Ejemplo: entre 5/6 y 3/4
Buscamos las equivalentes 5 * 2 = 10 3 * 3 = 9 6 * 2 12 4 * 3 12
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Cuadernillo de Matemática EES N° 59
Entonces: 5 > 3 6 4 2) Se transforman en expresiones decimales y se las compara.
Ejemplo: entre 1/4 y 3/8
Transformando en decimales 1 = 1 : 4 = 0,25 3 = 3 : 8 = 0,375 4 8 Entonces: 1 < 3_ 4 8
13. Transformar en expresiones decimales y colocar <, > o = según corresponda:
a) 3
4
9
12 b) −
1
3 −
3
10 c)
4
5
5
8 𝑑) −
6
5 −
10
3
14. Transformar en fracciones equivalentes de igual denominador y ordenar de menor a
mayor:
b) 5
1;
10
2;
4
7 < <
Cálculos Auxiliares
c) 3
2− ;
18
1− ;
9
7− <
<
Cálculos Auxiliares
a) 5
4;
11
6;
55
2 < <
Cálculos Auxiliares
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Cuadernillo de Matemática EES N° 59
SUMA Y RESTA DE NÚMEROS RACIONALES
La suma o resta números racionales con IGUAL denominador, es un número racional
cuyo numerador es la suma o resta (según corresponda) de los numeradores y cuyo
denominador es el denominador común.
Por ejemplo:
7
8
7
1053
7
10
7
5
7
3−=
−+−=−+−
Para sumar o restar fracciones con diferente denominador en primer lugar se debe
encontrar un DENOMINADOR COMUN para las fracciones que está sumando.
COMUN DENOMINADOR: es el mínimo común múltiplo: es el menor número que todos los
denominadores del grupo de fracciones a sumar o restar puedan dividir exactamente. Por
ejemplo: =−−+
6
5
3
2
4
3
2
1
estos denominadores tienen como múltiplos comunes a 12, 24, 36,
etc; pero siempre se debe elegir el menor, en este caso el 12.
Por ejemplo:
=+−−6
5
3
2
4
3
2
1
12
1
12
1716
12
)89()106(
12
10896 −=
−=
+−+=
+−−
15. Resuelve las siguientes adiciones y sustracciones de números racionales:
1º Paso: buscar el
común
denominador.
2º Paso: Se divide el común denominador por
el denominador de la primera fracción. A ese
resultado se lo multiplica por el numerador
de dicha fracción.
Por ej.: 12:2 = 6 x1 = 6
Así con las demás fracciones.
3º Paso: Se
separan en
positivos y
negativos
Por último se resuelve. Si es
posible se debe simplificar el
resultado.
Profesor: Gabriel Valussi Página 11
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1) =+−+10
1
6
4
5
1
4
1
2) =−+−4
1
2
3
28
1
7
3
3) =−+−4
3
2
9
5
1
4
7
4) =−+− 25
9
8
1
5
6
5) =+−+10
1
6
1
5
43
6) =−+−2
3
5
9
4
31
RESOLVER
a)2
1
4
1+ 1)
8
37
4
5−
Cálculos Auxiliares
b) 12
1+− 2)
45
44
5
11−
c)10
1
3
2+− 3)
5
1
30
23+−
d)3
2
9
5+ 4)
6
11
3
7−
e)2
7
8
1− 5)
4
7
2
5−
a) Completar el siguiente crucigrama colocando en cada cuadro una fracción.
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Cuadernillo de Matemática EES N° 59
+
= 4
8
−
= 12
2
=
=
4
2
16. Resolver las siguientes adiciones y sustracciones de números racionales:
a) =+−+10
1
6
4
5
1
4
1
b) =−+−4
1
2
3
28
1
7
3
c) =−+−4
3
2
9
5
1
4
7
d) =−+− 25
9
8
1
5
6
e) =+−+10
1
6
1
5
43
f) =−+−2
3
5
9
4
31
g) =−+ 15
2
3
1
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Cuadernillo de Matemática EES N° 59
h) =−+2
3
5
1
10
3
i) =+−− 12
5
4
1
8
3
j) =−++−6
7
3
2
3
52
k) =−+8
7
2
12
4
31
l) =+−+−2
5
10
72
5
41
20
7
MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS RACIONALES
Para multiplicar fracciones se simplifican (si es posible) los numeradores con los
denominadores. Luego se multiplican los numeradores para obtener el nuevo numerador
y los denominadores, por otro lado, para obtener el nuevo denominador.
Por ejemplo:
=
−
7
3
25
2
4
5
70
3
7.5.2
3.1.1−=−
DIVISIÓN DE NÚMEROS RACIONALES
Para dividir dos fracciones se procede de la siguiente manera:
1
5
1
2
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=•−=−4
3
9
8
3
4:
9
8 Se la transforma en multiplicación invirtiendo la fracción
divisora.
Luego se resuelve como una multiplicación.
3
2
1.3
1.2
4
3
9
8
3
4:
9
8−=−=•−=−
Fracción de otra fracción: es el cociente de dos fracciones
cb
da
d
cb
a
.
.= Por ejemplo:
20
21
4.5
7.3
7
45
3
−=−
=
−
17. Multiplica y divide fracciones:
1) =15
5
21
12
40
35
2) =
−
10
4:
5
3
3) =
−
−
64
94
81
4) =
−
16
5
39
46
69
52
90
72
2 1
3 1
Profesor: Gabriel Valussi Página 15
Cuadernillo de Matemática EES N° 59
5) =
−
−
36
21
18
30
4
9
6) =
−7
514
35
7) =
−
3
2:
3
2
8) ( )=− 2:9
3
9) =
−
−
−
45
18
27
25
20
12
15
4
10) =
−
8
3:
2
1
11) =
−
20
98
15
12) =
−
7
6:
5
2
13) =
−
−
33
26
40
38
39
22
19
15
Profesor: Gabriel Valussi Página 16
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POTENCIACIÓN DE NÚMEROS RACIONALES
Para elevar una fracción a cualquier exponente hace falta que la fracción esté entre
paréntesis y se eleva el numerador y el denominador a dicho exponente.
Ejemplo:
Propiedades:
1. Producto de potencias de igual base: es otra potencia con la misma base y cuyo
exponente es la suma de los exponentes.
Ejemplo:
2. Cociente de potencias de igual base: Para dividir potencias con fracciones de la
misma base se deja la misma base y se restan los exponentes.
Ejemplo:
3. Potencia de otro Potencia: Para elevar una potencia a otra se deja la misma base y
se multiplican los exponentes.
Ejemplo:
4. Para elevar una fracción a una potencia negativa se escribe la inversa de la base y
se cambia de signo es exponente.
Ejemplo:
8
27=
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18. Calcular Potencia de Fracciones:
a) (−5
2)
2
=
b) (+3
4)
3
=
c) (2
3)
−3
=
d) (−2
3)
3
=
e) (−2
5)
4
=
f) (−1
3)
3
=
g) 2−1 =
h) (−3)−2 =
i) (−3)−4 =
j) (−3)−3 =
19. Resolver aplicando propiedades:
a) (1
4)
2
. (1
4)
4
=
b) (−2
3)
5
: (−2
3)
2
=
c) [(1
4)
2
]−2
=
Profesor: Gabriel Valussi Página 18
Cuadernillo de Matemática EES N° 59
d) (2
10)
10
: (2
5)
6
=
e) (−10
7)
2
. (−10
7)
2
=
f) (3
77)
2
. (3
77)
2
. (3
77)
−3
=
g) (8
5)
11
: [(8
5)
−10
]−1
=
h) [(3
5)
−4
. (5
3)
3
: (5
3)
5
]−2
=
i) [(1
5)
4
. (1
5)
−3
]2
: [(1
5)
𝑜
. (1
5)
−3
]−1
RADICACIÓN DE NÚMEROS RACIONALES
Para radicalizar una fracción, se extrae la raíz al numerador y denominador.
a. Calcular:
1) =
−
2
2
5 7) =
−
3
3
2
2) =
+
3
4
3 8) =+3
375
192
3) 9) =−3
125
1
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4) =+9
1 10) =−3
24
3
5) =+25
49 11) =
−
4
5
2
b. Resolver aplicando propiedades:
a) (1/2)7 : (1/2)4 = b) (-2/3)2 * (-2/3)4 =
c) ((1/2)2)-1 = d) (3/4)8 : (3/4)5 =
20. Resolver Raíces de Fracciones:
a) =+9
1
b) =−3
125
1 c) =+
25
49
d) =+3
375
192 e) =4
81
16 f) =−3
24
3
21. Resolver los siguientes ejercicios combinados:
a) 1
5−
3
5.
5
2−
1
4=
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b) (1
3−
1
5) . (
5
3−
1
2) =
c) (1 +1
4)
2
−3
2: (−1) =
d) 2
5. (
4
3− 3) +
2
5: 5 =
e) −1
6+
2
3. (−1 +
3
2) − 1 =
Profesor: Gabriel Valussi Página 21
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f) (1 −1
4) . (−
1
3) +
1
4: 5 =
g) 3:(−6
5) − (
1
2.
3
2− 2) =
h) −7
8+
1
4. (
2
3−
3
2) −
2
4: 3 =
i) (3
2)
2
.5
9+ (−
1
2) .
4
3− √−
1
64
3=
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j) (1 −2
5:
3
10) . (−
5
8:
3
4− 1) =
k) (3:6
5.
2
5− 1) . (2 +
1
3: 3) − 4 +
6
5−
11
5=
Profesor: Gabriel Valussi Página 23
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TRABAJO PRACTICO
22. Hallar la expresión decimal de las siguientes fracciones y colocar E si es Exacta, P
si es Periódica Pura o M si es Periódica Mixta. Comprobar sus resultados utilizando
la calculadora científica instalada en sus equipos portátiles.
a) =24
8………. b) =
8
1……….
Cálculos Auxiliares
c) =100
1…….. d) =
33
41……….
e) =7
3………. f) =
9
2……….
g) =30
1……….
h) =21
4………
.
23. Expresar como número fraccionario. Simplificar si es posible.
a) =25,1 ……… b) =1,0
………. c) =− 18,3
………
d) 0, 93̂………
e) =16,3 ………… f) −0,238̂ =………
g) =02,8 …………
h) =61,1
………… i) 8, 02̂ =………
Profesor: Gabriel Valussi Página 24
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24. Completar el siguiente cuadro:
25. Convertir en fracción y resolver:
a) 0,4 +1
2. 0,5 − 0,28 =
b) 0, 45̂.0,24̂: 0,5 =
Clasificación Expresión Decimal
Fracción Generatriz
0, 65̂
1,25
1,2
12,0
315,2
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c) 0, 3̂ +1
3: 0, 4̂ − 2, 1̂ =
d) 1,3 − 1, 5̂ + 0,49̂ =
e) 2, 3̂ + 1,06̂. 0, 3̂ =
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f) 0,25 + 0,02̂. 3 − 0,011̂ =
g) 3
4− 0, 2̂.
3
2−
13
5=
h) 1
5. (−
10
3) + 1, 2̂.
3
2=
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i) −7
8: 0,25 −
13
4+ 0, 3̂ =
j) 8
5. (1 −
11
2) − 0, 5̂. 4,5 =
26. Resolver las siguientes potencias y raíces:
a) =
−
2
7,02
1
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b) =22
1563,0
c) =
−3
16
51
5
3
d) =
−
−2
20
15,0.3,1
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e) =
−3
3
501,0
3
7
f) =
−
−4
2
1:
3
2
6
5
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27. Resolver las siguientes operaciones combinadas:
a) =+−−2
3
4
313,04:64,0
b) =−+−
−
−
3
2
18
7
10
1:02,0
2
13
c) =−−+−
25
36:1
4
9
3
244,12 2
Profesor: Gabriel Valussi Página 31
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d) ( ) =− 50,0:3,0027,03
e) =
+
−−
22
2
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