ADDENDAS LIBRO DE ALGEBRA

24 de septiembre de 2014

1. Cuaterniones

A mediados del siglo XIX, William Rowan Hamilton introdujo los cua-terniones tratando de representar los puntos del espacio tridimensionalpor medio de un numero, de una manera analoga a como represen-tamos los puntos del plano usando numeros complejos. Su problema eradefinir como multiplicar y dividir las coordenadas de puntos en el espacio.La anecdota cuenta que cruzando un puente camino de la Academia deCiencias de Dubln le vino la idea de improviso y grabo con un cuchilloen la baranda las formulas que veremos mas abajo.

Los cuaterniones son una generalizacion de los numeros complejos enel que hay tres races distintas de 1 a saber i, j y k. Mas precisamente,el conjunto de los cuaterniones se define como

H = {a+ b i + cj + dk : a, b, c, d R} .

La definicion formal de las operaciones es la siguiente. Si a = a1 +a2 i + a3j + a4k y b = b1 + b2 i + b3j + b4k

a + b = (a1 + a2 i + a3j + a4k)a b = (a1b1 a2b2 a3b3 a4b4) + (a1b2 + a2b1 + a3b4 a4b3) i

+(a1b3 a2b4 + a3b1 + a4b2)j + (a1b4 + a2b3 a3b2 + a4b1)k

Si bien la definicion de la suma no despierta mayores comentarios, ladefinicion del producto no da muchas luces acerca de su origen. La cues-tion es bastante mas intuitiva que lo que parece. Las reglas que satisfaceel producto de las unidades imaginarias es la siguiente.

i i = j j = k k = i j k = 1 .

1

Estas son las identidades que Hamilton habra grabado en el puente deDubln.

Si suponemos que la multiplicacion es asociativa y que el producto deun numero real por una unidad imaginarias conmuta, de esas identidadesse desprende facilmente que

i j = k = j ij k = i = k jk i = j = i k

Por ejemplo, si multiplicamos la ultima identidad de Hamilton por i,tenemos

i ( i j k) = i (1) = i ,

de donde por asociatividad,

( i i) j k = i ,

o sea,j k = i .

Vemos que las operaciones entre cuaterniones se definen en formaanaloga a aquellas de los numeros complejos, es decir, se operan comoexpresiones algebraicas cualesquiera, teniendo en cuenta que debemosestablecer como se multiplican las tres unidades imaginarias. Para ello,conservamos casi todas las propiedades de los polinomios, asociatividad yconmutatividad de la suma y asociatividad del producto y distributividaddel producto sobre la suma, sin embargo, como vimos, el producto no esconmutativo.

Un camino mas intuitivo para definir el producto podra ser dandoestas identidades y las propiedades habituales de las operaciones entre depolinomios con excepcion de la conmutatividad del producto. Si hacemosesto, llegamos a la definicion anterior

Observamos tambien que 0 = 0 + 0 i + 0j + 0k H y 1 = 1 + 0 i +0j + 0k H son neutros aditivo y multiplicativo respectivamente.

Definimos el conjugado del cuaternion a como

a = a1 a2 i a3j a4k .

Entonces es inmediato verificar que

a a = a21 + a22 + a23 + a24 ,

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identidad que nos permite definir la norma y tambien el inverso multi-plicativo de a.

|a| =

a a =a21 + a

22 + a

23 + a

24

a1 = aaa

De esta manera, podemos dividir dos cuaterniones multiplicando eldividendo por el inverso del divisor. Sin embargo, dado que el productode cuaterniones no es conmutativo, existen dos divisiones posibles multi-plicado el inverso del divisor por la izquierda o por la derecha. Tenemosentonces dos divisiones posibles:

a/b = a b1

b\a = b1 a.

Por ejemplo,j/ i = j i1 = j ( i) = k

i\j = i1 j = i (j) = kEsto abre todo un campo de estudio de estructuras algebraicas no con-mutativas.

Ejemplo 1. 1.

1.1. Cuaterniones como pares ordenados de un nume-ro real y un vector en R3

El lector familiarizado con vectores en el espacio tridimensional debehaber notado la similitud entre el producto de las unidades imaginariasy el producto cruz de los vectores unitarios i, j, y k. Incluso la nomen-clatura es la misma. Por supuesto esto no esfortuito dado que Hamiltonbuscaba precisamente una manera de codificar los puntos del espacio.

Una manera alternativa de entender los cuaterniones es como paresordenados en R R3, es decir,

H = {(,v ) : R, v R3} .

De esta manera las operaciones son

a + b = ( + ,v +w )a b = ( v w , w + v +v w ) ,

3

donde v w y v w ) son los producto punto y cruz habituales de losvectores en R3.

1.2. Ejercicios

1. Demuestre que en H hay infinitas races de 1, es decir hay infinitoscuaterniones a tales que a2 = 1.

2. Demuestre que a b = b a.

3. Demuestre que si dos enteros se pueden escribir como suma decuatro cuadrados, entonces su producto tambien. (Este Lema esimportante para demostrar el Teorema de Lagrange, que dice quetodo entero positivo puede escribirse como suma de cuatro cuadra-dos. Tiene varias aplicaciones. Naturalmente, hay demostracionesque no usan cuaterniones).

4. Demuestre que H es un espacio vectorial de dimension cuatro sobreel cuerpo de los numeros reales.

5. Cuaterniones como matrices complejas. Demuestre que elcuaternion a = a+ b i + cj + dk H se puede representar como lamatriz

a =

(a+ bi c+ dic+ di a bi

).

De este modo, H ={(

a+ bi c+ dic+ di a bi

)M22(C)

}, dotado

de las operaciones matriciales habituales es isomorfo a H.

a) Encuentre la representacion de i, j y k.

b) Demuestre que la norma de a es la raz cuadrada de su deter-minante.

c) Demuestre que el conjugado de a es el conjugado complejo dela matriz traspuesta.

6. Cuaterniones como matrices reales. Demuestre que el cuater-nion a = a+ b i + cj + dk H se puede representar como la matriz

a =

a b c db a d cc d a bd c b a

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De este modo, H =

a b c db a d cc d a bd c b a

M44(R) ,

dotado de las operaciones matriciales habituales es isomorfo a H.

a) Encuentre la representacion de i, j y k.

b) Demuestre que la norma de a es la raz cuarta de su determi-nante.

c) Demuestre que el conjugado de a es la matriz traspuesta.

7. Averigue acerca de los octoniones.

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