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“Cuaterniones de Hamilton “

Nombre: Lilian HernándezCurso: Taller de MatemáticaProfesor: Sr. Rigoberto Medida

OSORNO, 2015

Índice

Introducción.......................................................................................................................................3

Definición: Cuaternión.......................................................................................................................4

Propiedades.......................................................................................................................................4

Álgebra de Cuaterniones....................................................................................................................5

a) La suma y resta de dos cuaterniones.........................................................................................5

b) Producto de Cuaterniones.........................................................................................................6

Método práctico para hallar el producto de cuaterniones.................................................................9

Representación de puntos a través de cuaterniones.......................................................................11

Representación de vectores a través de cuaterniones.....................................................................11

Importancia de los cuaterniones unitarios.......................................................................................11

Ventaja de la utilización de los cuaterniones...................................................................................12

APLICACIONES DE LOS CUATERNIONES............................................................................................12

Conclusión........................................................................................................................................13

Bibliografía.......................................................................................................................................14

Introducción

En el presente trabajo se pretende dar a conocer sobre los “Cuaterniones de Hamilton”, su autor fue el matemático irlandés William Rowan Hamilton, Su descubrimiento le causó tal emoción que no pudo resistir la tentación de escribir su fórmula fundamental en una piedra del puente Brougham, el 16 de octubre de 1843. Los cuaterniones resultaron ser unos nuevos números que no obedecían la propiedad de conmutatividad ya conocida. Antes de Hamilton, se suponía que la ley conmutativa era una regla implícita a todos los sistemas algebraicos; sin embargo, esto generó una nueva perspectiva del álgebra moderna. Este último hecho, propicia que el álgebra se amplié a universos cuyas operaciones no cumplen las propiedades de las cuatros operaciones de la aritmética básica. Como consecuencia de esta ampliación, se obtendrán distintas álgebras, cada una con sus propias reglas, símbolos y ecuaciones. Hamilton estaba convencido de que los cuaterniones se convertirían en la herramienta precisa con la que poder describir la realidad del espacio físico y el tiempo. De modo que el tiempo es un escalar, y los puntos de espacio están definidos por las tres coordenadas reales. A fin de especificar la operación necesaria para convertir un vector en otro en el espacio, era necesario conocer cuatro números, la relación entre la longitud de un vector y otro, el ángulo entre ellos, el nodo, y la inclinación del plano en el que estos vectores se encuentran. Es aquí como nace este interesante tema, donde a continuación se dará a conocer su definición, propiedades y aplicaciones.

Definición: Cuaternión

Hay conjuntos de números aún "más grandes" que los complejos, y son usados por los matemáticos. Los cuaterniones, también llamados cuaternios, inventados por William H. Hamilton en 1845, forman un sistema numérico con tres unidades imaginarias diferentes. Mientras que los números complejos son una extensión de los reales por la adición de la unidad imaginaria i, tal que i2 = -1, los cuaterniones son una extensión generada de manera análoga añadiendo las unidades imaginarias: i, j y k a los números reales, tal que i2 = j2 = k2 = ijk = -1. (SALDARRIAGA, 2012)

Esto se puede resumir en la tabla de multiplicación: la Tabla de Cayley.

El producto de cuaterniones no es conmutativo, es por eso que se debe tener cuidado con la ubicación de los cuaterniones; siempre debe escribirse en la columna el primer cuaternión.

Un cuaternión es un número de la forma q = a + a1 i + a2 j + a3 k.

a, a1 , a2 , a3 pertenecen a los Reales.

"a" se denomina parte real o parte escalar, y "a1 i + a2 j + a3 k " se denomina parte imaginaria o parte vectorial ".

Ejemplo: q = 2 - 3 i + 5 j + 4 k

Propiedades

1) Cuaternión nulo Es aquel en que a = a1 = a2 = a3 = 0

2) Cuaternión conjugado, dado el cuaternión: q = a + a1 i + a2 j + a3 k

su cuaternión conjugado es q N= a - a1 i - a2 j - a3 k

Ejemplo: Dado q = 2 - 3 i + 5 j + 4 k entonces qN = -2 + 3 i - 5 j - 4 k

3) cuaternión opuesto, dado el cuaternión q = a + a1 i + a2 j + a3 k su cuaternión opuesto es

- q = -a - a1 i - a2 j - a3 k

4) Valor absoluto o norma de un cuaternión, dado el cuaternión q = a + a1 i + a2 j + a3 k ,

se define su norma o valor absoluto como │q│ =

Ejemplo: Dado q = 2 - 3 i + 5 j + 4 k

│q│ =3√6

5) Cuaternión unitario Es aquel cuaternión cuya norma o valor absoluto es uno.

6) Norma de un cuaternión, dado un cuaternión cuya norma no sea igual a uno podemos normalizarlo definiendo un nuevo cuaternión, asociado al primero, mediante lo siguiente:

7) Inverso de un cuaternión, dado un cuaternión q definimos el cuaternión inverso, que designaremos q -1 como:

Ejemplo: Dado q = 2 - 3 i + 5 j + 4 k

Álgebra de Cuaterniones

a) La suma y resta de dos cuaterniones

Es similar a la de dos complejos; cada coordenada se suma o se resta con su homóloga del otro número:

q1 = a + a1 i + a2 j + a3 k

q2 = b + b1 i + b2 j + b3 k

se define su suma como q1 + q2 = (a + b) + (a1 + b1) i + (a2 + b2) j + (a3 + b3) k

i) La suma de cuaterniones es conmutativa

q1 = a + a1 i + a2 j + a3 k q2 = b + b1 i + b2 j + b3 k entonces q1 + q2 = q2 + q1

ii) La suma de cuaterniones es asociativadados:

q1 = a + a1 i + a2 j + a3 k q2 = b + b1 i + b2 j + b3 kq3 = c + c1 i + c2 j + c3 k Entonces, (q1 + q2)+q3 = q1 + (q2+q3)

iii) Suma de un cuaternión y su conjugado. La suma de un cuaternión y su conjugado es un número real e igual al doble de la parte real de dicho cuaternión.

Dado q1 = a + a1 i + a2 j + a3 k y su q N= a - a1 i - a2 j - a3 k

(q + qN ) = 2a pertenece R, siendo a la parte real de q

b) Producto de Cuaterniones

i) Los cuaterniones se multiplican como combinaciones lineales de las unidades imaginarias, que siguen las reglas de multiplicación.

Dados: q1 = a + a1 i + a2 j + a3 k

q2 = b + b1 i + b2 j + b3 kEntonces:

ii) El producto de cuaterniones no es conmutativo.

q1 ● q2 ≠ q2 ● q1

iii) El producto de cuaterniones es asociativo.

Dados: q1 = a + a1 i + a2 j + a3 k q2 = b + b1 i + b2 j + b3 kq3 = c + c1 i + c2 j + c3 k

Entonces: (q1 ● q2) ● q3 = q2 ● (q1● q3)

Demostración:

Método práctico para hallar el producto de cuaterniones

Para hallar el producto de dos cuaterniones podemos ayudarnos con el uso de una tabla, y teniendo en cuenta los productos principales, realizaremos los siguiente: en la columna ubicaremos las componentes del primer cuaternión y en la fila las componentes del segundo cuaternión. (Heredia, 2008)

Se sabe que los Productos principales:

i * j = k j * k = I i* i = -1 = i2

j * i = -k k * j = -i

k * i = j i * k = -j

Dados: q1 = a + a1 i + a2 j + a3 k q2 = b + b1 i + b2 j + b3 k

q1 ● q2 b b1 i b2 j b3 ka a● b a● b1 i a ●b2 j a ●b3 k

a1 i a1 i ●b a1 i ● b1 ia2 ja3 kTabla 1: producto de cuaterniones q1 ● q2

A tener en cuenta, como el producto de cuaterniones no es conmutativo debemos tener cuidado con la ubicación de los cuaterniones.

q1 ● q2 b b1 i b2 j b3 ka a● b a● b1 i a ●b2 j a ●b3 k

a1 i a1 i ●b a1 ● b1 (i* i )=- a1 ● b1

a2 ja3 kTabla 2: usar productos principales

Ahora sumamos todos los productos que contribuyan a la parte real del producto, todos los que contribuyan a la parte vectorial "i ", a la parte vectorial "j " y a la parte vectorial "k ".

q1 ● q2= p p p1 i p2 j p3 ka● b a ●b1 i a ●b2 j a ●b3 k

-a1● b1 a1● b i -a1● b3 j a1● b2 k-a2● b2 a2● b3 i a2● b j -a2 b1 k-a3● b3 -a3● b2 i a3● b1 j a3● b k

Ejemplo: Dados q1 = -3 + 6 i + 7 j - 8 k q2 = 1 + 12 i - 7 j - 11 k Hallar p = q1 ● q2

q1 ● q2 1 12i -7j -11k-3 -3 -36i 21j 33k6i 6i -72 -42k 66j7j 7j -84k 49 -77i

-8k -8k -96j -56i -88

Reordenando:q1 ● q2= p p p1 i p2 j p3 k

-3 -36i 21j 33k-72 6i 66j -42k49 -77i 7j -84k-88 -56i -96j -8k

q1 ● q2= pp= (-3-72+49-88)+(-36+6-77-56) i + (21+66+7-96) j + (33-42-84-8) k

p= - 114 - 163 i - 2 j – 101 k

Representación de puntos a través de cuaterniones

Todo punto del espacio tridimensional puede ser representado mediante un cuaternión cuya parte real es cero.

Si P (P1, P2, P3) P = 0 + P1 i + P2 j + P3 k

Ejemplo: Representar el vector P (-7, 4, 6) como un cuaternión P = 0 - 7 i + 4 j + 6 k

Representación de vectores a través de cuaterniones

Todo vector del espacio tridimensional puede ser representado mediante un cuaternión, cuya parte real es 0.

Vector = v1 i + v2 j + v3 k v = 0 + v1 i + v2 j + v3 k

Ejemplo: Representar el vector v = 3 i + 8 j - 3 k como un cuaternión v = 0 + 3 i + 8 j - 3 k

Importancia de los cuaterniones unitarios

La importancia reside, en que a través de ellos se pueden representar rotaciones en tres dimensiones de manera muy sencilla. Si “q” es un cuaternión unitario, éste puede pensarse como una esfera de radio 1 en el espacio 4 D.Y podemos representar una rotación en el espacio 4 D, en donde (a1, a2, a3) son las componentes de cualquier eje arbitrario y “a” el ángulo de rotación.

Ventaja de la utilización de los cuaterniones

Rotación con cuaterniones, para representar una rotación es que se puede evitar que exista alguna indeterminación al querer rotar con un cierto ángulo. Para poder

realizar la rotación con cuaterniones se lleva a cabo un largo proceso operativo este proceso implica productos escalares y vectoriales. Además de que se deben tomar en cuenta los operadores a la hora de realizar alguna multiplicación ya que estos influyen en los signos de cada número. Dentro de los parámetros necesarios para poder realizar rotaciones con el uso de cuaterniones se necesita un ángulo de rotación, eje de rotación y la función, objeto o elemento a rotar. Para poder realizar estas rotaciones por medio del uso de un software de cálculo numérico.

APLICACIONES DE LOS CUATERNIONES.

Dos ejemplos, relacionados además entre sí, de los números cuaterniones son las matrices de Pauli y (no exactamente es una aplicación o ejemplo, pero se utilizan en ellos) el álgebra de Lie. Otras aplicaciones concretas de los cuaterniones son: Los cuaterniones como rotaciones y orientaciones en el espacio. Los cuaterniones, cuyo número general se puede expresar como:

Q= a + bi+cj+dk

Pueden emplearse para representar rotaciones en el espacio tridimensional. Recordemos que éstos poseen cuatro dimensiones, por lo que tendremos que anular la parte exclusivamente real: a= 0. Se puede demostrar entonces, que, teniendo un vector de posición q= xi+yj+zk , un vector unitario del mismo u= i, j, k y un ángulo cualquiera ϴ, la rotación alrededor del eje (0, u) de un ángulo ϴ que hace q→ q . ′

q= x’i+y’j+z’k

El uso de los cuaterniones de este modo aparece en campos como la computación, la navegación, la robótica, la mecánica orbital de satélites y los gráficos por ordenador. Por ejemplo, los cuaterniones representan en el último caso la orientación de un objeto en el espacio tridimensional. (Bouza, 2012-2013)

Conclusión

Los cuaterniones fueron creados por William Hamilton en 1843. Hamilton buscaba formas de extender los números complejos (que pueden interpretarse como puntos en un plano) a un número mayor de dimensiones. No pudo hacerlo para 3 dimensiones, pero

para 4 dimensiones obtuvo los cuaterniones. Según cuenta la historia, la solución al problema que le ocupaba por bastante tiempo, lo resolvió un día que estaba paseando con su esposa, bajo la forma de la ecuación:

i² = j² = k² = ijk = -1 inmediatamente, grabó esta expresión en el puente de Brougham, que estaba muy cerca del lugar y que quedó marcada hasta nuestros días. Hamilton popularizó los cuaterniones con varios libros, el último de los cuales, Elements of Quaternions (en inglés Elementos de Cuaterniones), tenía 800 páginas y fue publicado poco después de su muerte.

Los cuaterniones tienen diversas aplicaciones, en física representan rotaciones en el espacio, además tienen aplicaciones en el electromagnetismo y la mecánica cuántica.

Los cuaterniones se utilizan a menudo en gráficos por computadora (y en el análisis geométrico asociado) para representar la orientación de un objeto en un espacio tridimensional. Las ventajas son: conforman una representación no singular (comparada con, por ejemplo, los ángulos de Euler), más compacta y más rápida que las matrices. En la actualidad, los cuaterniones son imprescindibles en robótica y en visión por ordenador, además en gráficos por ordenador. En la industria de los videojuegos, 150 después de su descubrimiento, es muy popular el uso de cuaterniones, una industria que mueve más dinero en el mundo, lo que permite conocer su uso cercano en nuestra vida cotidiana.

Bibliografía

Bouza, V. R. (2012-2013). Recuperado el junio de 2015, de http://digibuo.uniovi.es/dspace/bitstream/10651/18233/1/RodBouzaCuaterniones.pdf

Heredia, A. G. (2008). Introducción a los Cuaterniones. Obtenido de http://www.edutecne.utn.edu.ar/cuaterniones/cuaterniones.pdf

SALDARRIAGA, C. A. (2012). La instauración histórica de la noción de. Obtenido de http://bibliotecadigital.univalle.edu.co/bitstream/10893/4650/1/CB-0463887.pdf