TABLA 1

T(s) 0.8 1.15 1.45 1.7 1.95

L(m) 0.1 0.3 0.5 0.7 0.9

TABLA 2

T(s) 1.6 1.6 1.6 1.6 1.6

M(g) 38.5 76.3 115.6 154.5 193.8

TABLA 3

T(s) 1.85 1.85 1.86 1.86 1.86

θo(grad) 5 10 15 20 25

CUESTIONARIO

1. Con los datos de la tabla 1, realice una gráfica de longitud L en el eje vertical y de periodo T 2 en el eje horizontal. ¿Qué concluye de la gráfica?

T(s) 0.8 1.15 1.45 1.7 1.95

L(m) 0.1 0.3 0.5 0.7 0.9

Elevamos al cuadrado el periodo:

T 2 (s2) 0.64 1.3225 2.1025 2.89 3.8025

L(m) 0.1 0.3 0.5 0.7 0.9

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40

0.2

0.4

0.6

0.8

1

f(x) = 0.252743694116884 x − 0.0437780578924762

L vs T2

Periodo T2 (s2)

Long

itud

(m)

La grafica es una recta ya que proviene de la ecuación: L=g

4 π 2T 2

El periodo cuadrado es directamente proporcional a la longitud, ya que al aumento de longitud del péndulo, mayor es el periodo cuadrado.

2. Realice un ajuste de mínimos cuadrados a la gráfica del problema 1 y determine el valor de la pendiente y el valor de intercepto. ¿Cómo se interpreta estos valores?

T 2 (s2) 0.64 1.3225 2.1025 2.89 3.8025

L(m) 0.1 0.3 0.5 0.7 0.9

Realizamos ajuste de mínimos cuadrados a la gráfica.y=mx+b

m=N (∑ x i y i )−¿¿

m=5 (6.95725 )−(10.7575)(2.5)5 (29.07991875 )−(10.7575)2

m=0.2527m /s2

b=¿¿

b=(2.5 ) (29.07991875 )−(6.95725 ) (10.7575 )

5 (29.07991875 )− (10.7575 )2

b=−0.0438m

La ecuación es:

L=0.2527m / s2×T 2−0.0438m

El valor de intercepto −0.0438m, es el error de medición de la longitud del péndulo.

La pendiente es la razón de cambio de la longitud con respecto al T2.

Siendo la ecuación: L=g

4 π 2T 2, se podría hallar la gravedad

experimental utilizando el valor de la pendiente.

N° x i y i x i y i (x i )2

1 0.64 0.1 0.064 0.4096

2 1.3225 0.3 0.39675 1.74900625

3 2.1025 0.5 1.05125 4.42020625

4 2.89 0.7 2.023 8.3521

5 3.8025 0.9 3.42225 14.45900625

∑ x i ∑ yi ∑ x i y i ∑ ( xi )2

10.7575 2.5 6.95725 29.07991875

3. Muestre que la pendiente del problema 2, está relacionado directamente con la ecuación 4. Entonces determine el valor de la gravedad y su diferencia con el valor internacional 9.8m / s2.

Ecuación 4: L=g

4 π 2T 2

Ecuación del problemas 2: L=0.2527×T 2−0.0438

Con la ecuación 4 y la pendiente determinaremos la gravedad experimental:

g

4 π2=0.2527m / s2

gexp=9.976m /s2

Hallando la diferencia porcentual de la gravedad:

%g=9.976m /s2−9.8m / s2

9.8m /s2×100%=1.796%

4. Con los datos de la tabla 2 grafique el periodo en función de la masa ¿este periodo cambia notablemente al cambiar la masa del péndulo? Explique.

T(s) 1.6 1.6 1.6 1.6 1.6

M(g) 38.5 76.3 115.6 154.5 193.8

0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2 0.220

0.5

1

1.5

2

2.5

3

Periodo vs Masa

Masa (kg)

Peri

odo(

s)

No, al cambiar de masa el periodo no cambia notablemente ya que el periodo no depende de la masa.

5. Busque en la literatura como depende el periodo de la amplitud de la oscilación. ¿Está de acuerdo con la grafica de periodo versus amplitud que usted ha medido en la actividad 3?Si la amplitud es pequeña, el período de oscilación es independiente de la amplitud. Esto sólo ocurre cuando en la ecuación diferencial que rige el movimiento del péndulo podemos aproximar sen(α) por α.Si la amplitud es "grande" (dependiendo del nivel de precisión requerido), el período depende de la amplitud:

T = 2 π√(L/g) [1 + (1/18) αo² + ...] 

donde αo es la amplitud (ángulo) de la oscilación.

De la tabla 3:

T(s) 1.85 1.85 1.86 1.86 1.86

θo(grad) 5 10 15 20 25

0 5 10 15 20 25 301.5

1.6

1.7

1.8

1.9

2

Periodo vs Amplitud

Amplitud (grad)

Peri

odo(

s)

En este caso el valor del periodo no depende de la amplitud. Como se observa en la gráfica esto es cierto para amplitudes pequeños. A partir de valores de amplitudes grandes,el periodo cambiaria, entonces el movimiento oscilatorio ya no se consideraría armónico simple.

6. ¿Qué longitud debe tener un péndulo simple en el ecuador terrestre y en los polos geográficos para que su periodo sea de 1s?

Gravedad en el ecuador: gec=9.78m /s2

Gravedad en los polos: gpo=9.8322m / s2

Para cada caso, el periodo es 1s, entonces la longitud es: Ecuador:

L=gec4 π 2

T 2

L=9.78m /s2

4 π2× (1 s)2=0.24773m

Polos:

L=gec4 π 2

T 2

L=9.8322m /s2

4 π2× (1 s )2=0.24905m

7. Determine la frecuencia de las oscilaciones para cada periodo de la tabla 1, tabla 2 y tabla 3. Explique las diferencias en cada tabla.

Ecuación: f=1T

Hallando las frecuencias de cada tabla:

Tabla 1:

T(s) 0.8 1.15 1.45 1.7 1.95

f(Hz) 1.25 0.87 0.69 0.59 0.51

Tabla 2:

T(s) 1.6 1.65 1.6 1.6 1.65

f(Hz) 0.625 0.606 0.625 0.625 0.606

Tabla 3:

T(s) 1.85 1.85 1.85 1.85 1.85

f(Hz) 0.54 0.54 0.54 0.54 0.54

En la tabla 1 se ve un descenso de la frecuencia de manera inversamente proporcional a su periodo, que está ligado de manera directa con su longitud del péndulo. (A mayor longitud del péndulo, mayor periodo).

En la tabla 2 y 3 no se nota una variación, puesto que el periodo no se ve afectado tanto por su masa y su ángulo de desplazamiento, respectivamente.

8. Demuestre que la ecuación diferencial (1) del péndulo simple es válida para amplitudes menores que el 10% de la longitud del péndulo.

De lo expuesto anteriormente podemos concluir que, como la amplitud es tan pequeña, se le puede medir no como un arco sino como una longitud horizontal.

Por tanto para que la ecuación diferencial del péndulo simple se cumpla comprobaremos que debe ser el 10% de la longitud del péndulo

De la figura anterior:

Senθ = X/LX = L Senθ

Ec. Diferencial de del péndulo SimplePara el estado dinámico vale la segunda ley de Newton:

F = -mgsenθ = -mgx/L

Ahora en este punto. Para que se cumpla la ecuación diferencial del péndulo simple se tiene que establecer que la amplitud es menor que la longitud del péndulo.Sabemos que para que resulte ser un péndulo simple el ángulo debe ser mucho menor a 1 rad.

SenθY para que se cumpla que el Senθ, lo vamos a justificar de la siguiente manera:Si la amplitud X = (el 10% de la longitud del péndulo)

X = θ.LSenθ = X/L

Entonces:Senθ = 0.1L/L

Senθ = 0.1

Y para obtener un resultado de 0.1, debe ser mucho menor a 1 rad

L.q.q.d.

9. Busque en la bibliografía y explique en qué consiste el Péndulo de Foucault.Foucault puso en movimiento un péndulo que pesaba 28 kilos y medía 67 metros de largo, y registró que el nivel de oscilación del péndulo giraba lenta pero continuamente en dirección de la marcha del reloj. La causa de este giro es, según los físicos, la Fuerza de Coriolis, que lleva el nombre del físico francés G.G. Coriolis, (1792-1843), también llamada aceleración angular. Resulta del movimiento de giro del globo terrestre y provoca una desviación de las masas hacia la derecha en el hemisferio norte y hacia la izquierda en el sur. Además, las corrientes del aire y del mar globales están sometidas a la influencia de esta misma fuerza.

El experimento de Foucault permitió demostrar el movimiento rotatorio de la tierra. Un péndulo cuyo punto de sujeción le permite oscilar libremente en cualquier dirección es usado para repetir el experimento que el físico francés Foucault realizó por primera vez en público en París en 1851.

El péndulo consiste en una masa sostenida por un cable, que se mantiene en movimiento. Al estar bajo estas condiciones (ver gráficos), el plano de oscilación gira lentamente respecto a una línea trazada en la tierra, aun cuando la tensión del alambre que soporta a la masa y fuerza gravitacional sobre ella, se encuentran en un plano vertical.

Gráfico 1

1.- Movimiento del plano pendular (en el sentido de las agujas del reloj).

2.- Desplazamiento del plano de oscilación debido a la rotación de la Tierra.

3-. Movimiento de rotación de la Tierra (en el sentido contrario a las agujas del reloj).

Gráfico 2

El periodo de oscilación es menor en los polos, en donde giraría una vuelta completa cada 24 horas, mientras que en el ecuador el plano de oscilación no experimentaría ningún sentido de rotación